�potencias, ra�ces y logaritmosïà ......
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UNIDAD: 1Números.
2° Medio
CONTENIDOS
1. Potencias1.1 potencias1.2 propiedades de las potencias1.3 ecuaciones exponenciales
2. Radicación2.1 raíces2.2 propiedades de las raíces2.3 racionalización2.4 ecuaciones irracionales
3. Logaritmos3.1 logaritmos3.2 propiedades
Definición de potencia
Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arribade este se encuentra otro numero que llamaremos “n”de esta forma: na Al “n” se le llama exponente de la potencia
Al “a” se le llama base de la potencia
Las potencias sirven para expresar lamultiplicación de un dato que se repite una ciertacantidad de veces
“a” es el número en cuestión,”n” esla cantidad de veces que semultiplica por si mismo.
Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)
Bueno, ¿entendieron lo que es realmenteuna potencia?
Yo si, pero parece que mi amigo no mucho
Bueno, lo explicare mas detenidamente.Tomen atención.
Aplicando la definición tenemos:
(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8
Calculemos el valor de -34
Observamos que la base de la potencia es 3( y no -3) expresándola en forma deproducto nos queda:
-34 = -3 • 3 • 3 • 3 = -81
Ahora veamos si entendisteCalculemos el valor de (-2)3
4
4
2
2
Soluciones:
-16
16
Como conclusión se puede decirque cuando un término que esantecedido por un signo negativose eleva a un exponente impar eltérmino siempre será el mismoque al inicio, en cambio elevado aun número par se logrará el signocontrario al inicial.
Ahora resuelve tú
POTENCIAS CON EXPONENTE 1Es igual a la base de la potencia, es decir:
a1=a ejemplos: 101=10; 31=3Ejercita:1) 71=2) 221=3) 41=4) 61=
Soluciones:1)72)223)44)6
En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si mismasi el exponente es 1.
POTENCIAS CON EXPONENTE -1
es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir:a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2Ejercita:
___3
25)4
___8)3
___3,2)2
___4
2)1
1
1
1
1
Soluciones:
1) 2
2) 10/23
3) 1/8
4) 3/10
Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base ysumamos los exponentes, es decir:
an • am = an+m
al revés cuando tenemos una base con una suma en elexponente la podemos descomponer, es decir:
an+m = an • am
Multiplicación de potencias de igual base
EJERCICIO RESUELTOExpresemos en forma de potencias: aquí tenemosel producto del término (-1/2) cinco veces (eltérmino se repite 5 veces).En este caso lo que sehace es sumar los exponentes de todos lostérminos, dejando solo un término.
5
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
RESUELVE ESTOS EJERCICIOSPARA VER COMO VAS MANEJANDOESTA PROPIEDAD
___)4
___55)3
___)2
___)1
242
4
632
53
yxyx aa
bbb
aa
SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.1)a8
2)b11
3) 55
4)a3x+2y
División de potencias de igualbase.
En este caso, mantenemos la base y restamoslos exponentes, es decir:
an : am = an-m
al revés cuando tenemos una base con una restaen el exponente la podemos descomponer, esdecir:
an-m = an : am
EJERCICIO RESUELTO
42626 : xxxx
)()()()( 23
2
3
babababa
Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando estapropiedad
_____:)4
_____5
2:
5
2)3
____)2
____)1
11
54
45
56
6
16
xx mm
xx
xx
m
m
SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te
haya ido bien.1)m10
2)x2
3) 2/54)m2
POTENCIA CON EXPONENTE 0
Es igual a 1:
a0=1, 00= no existe
Ejemplos:50=1
-40=-1
Ejercita:
1) 30=___ 3)-20=___
2) (1/2)0=___ 4) 10=___
Soluciones:
1)1 3)-1
2)1 4)1
POTENCIA CON EXPONENTENEGATIVOEs la misma propiedad que con exponente a -1,solo
que ahora, cuando se da vuelta al ser negativo elexponente, no queda en 1, sino que en n.
a-n=1/an ; a≠0 ejemplo: 3-2=(1/3)2=1/32=1/9Ejercitemos:1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___2)(-2)-2=___ 4) (22/23)-4=___
Soluciones:
1)-1/4 3)9
2)1/4 4)16
Potencia de una potenciaAquí debemos elevar la base a lamultiplicación de los exponentes.(am)n = an • m
En el caso contrario si tenemos una base conexponentes multiplicándose se puedendistribuir.an • m = (am)n
EJERCICIO RESUELTO
1. Desarrollemos (a2 :a6)2
Primero tenemos que aplicar la propiedad,multiplicando los exponentes, luego aplicando laspropiedades ya conocidas deberíamos poder llegar aun término.
8841212
4
26
222
6
2 11
a
aaa
a
a
a
a
a
EJERCICIOS
___)4
___9)3
___23)2
___)1
4
325,0
2
1246
3522324
2
6
42
a
zyx
cbacba
x
ba
SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero
que te haya ido bien.
1) (a4b8)/x12
2) 72a2b19c9
3) 3x3y2z
4) a3/16
Potencia de un productoElevamos el producto de las bases al exponente
común.an • bn = (ab)n
Por el contrario si tenemos 2 un paréntesiselevado a un numero, los componentes delparéntesis se pueden separar.
(ab)n = an • bn
EJERCICIO RESUELTO
605353 444
Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicarlas bases, luego solo resolvemos la potencia resultante.
EJERCICIOS
___278)4
___)3
___2)2
___8)1
1414
22
33
pp ba
qba
ax
SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,.1) (2ax)3
2) [2q(a+b)]2
3) (ab)4p-1
4) 63
POTENCIAS DE 10
100 = 1 104 = 10000101 = 10 105 = 100000102 = 100 106 = 1000000103 = 1000 107 = 10000000
POTENCIA CON EXPONENTEFRACCIONARIO
Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabajade la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de lafracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índicecorresponde a el denominador de la fracción.
nn aa 1
n mn
m
aa • Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver
una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el índicecomo denominador y el exponente que tenga el radicandocomo numerador en la potencia que se formaría
3
53 5 aa
____161728)4
_____216125)3
_____8164)2
_____25)1
4
1
3
1
3
1
3
1
4
2
2
1
2
1
Soluciones:
1)5
2)17
3)-1
4)10
Resuelve estos ejercicios para ver comovas manejando esta propiedad
___)41
1(
___)43
(
___)1,1(
___10
___)2(
___3
___2
3
6
3
1
3
2
2
___5
2
2
5
5
2
___5
311
___2
1
5
43
___)02,0()02,0(
___2221
___)12()12(
___2222
321
012
3021
22
321
11
3210
Reforzamientos varios:
Raíces
RAÍCES
Índice de la raíz OperanteCantidad subradical o radicando
Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacerel proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:
n a
nn aa1
En este nuevo capitulo encontramos lo contrario de lapotencias, las raíces, es decir las potencias se simplifican
(eliminan) con las raíces y viceversa
¿Pero con que términos trabajaremos ahora en este capitulode raíces, si en potencias a=base, y n=exponente, ahoracomo es esto?
Bueno tenemos 3 terminos con los que trabajaremos loscuales son:
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Raíz de una potencia con exponente igual alíndice.
Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene elradicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar elradicando como potencia, una base elevado a unafracción de la siguiente forma:
11
)( aaaa n
n
nnn n
Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo laspropiedades de las raíces, veamos la primera:
Al elevar a n la raíz n-esima dea estamos simplificando elproceso anterior por lo cual elnumero quedaría el numero
Veamos unos ejemplos:
5
2
5
2
5
2
5
2
7777
5555
15
5
5
5
1
13
33 3
12
22
xxxx p
pp p
Aplicando la propiedad,vemos que el índice y elexponente del radicandose deja en forma depotencia, por lo tanto igualnumerador y denominadordan como resultado 1, asíse dice que se simplifico oelimino la raíz y seconvierte en una simplebase elevado a 1 lo queda como resultado lamisma base, como vemosen los ejemplos.
Ahora te toca a ti trabajar:
5 5
3 3
4 4
2
48.4
23.3
59.2
6.1
Raíz de un producto:
nnn baba
nnn baba
Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se esténmultiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen
el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen, como semuestra a continuación.
Así también podemos hacer el proceso inverso,donde el producto de dos raíces de igual índice que
puede agrupar en una sola raíz
6216278278
10100254254
306521612521612527000
632811681161296
3333
3333
4444
Resolvamos juntos estos ejercicios, separandocada raíz en dos productos de raíces yresolviéndolas por separado, luego se multiplica yse obtiene el resultado correspondiente:
4 64 74 3
333
2555.4
842.3
623.2
123.1
ppp
xxx
aa
Trabaja tu:
SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.1) 62) 6a3) 4x4) 5p4
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tieneslas nociones de esta propiedad clara, si crees quecosto, o tienes dudas, resuelve los ejercicios dereforzamiento, o anda a la consulta bibliografía deeste módulo y encontrarás algunos links parareforzarte.
De la raíz de una fracción o división se puede separaren 2 raíces pero que poseen el mismo índice que laanterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.
n
n
n
b
a
b
a
nn
n
b
a
b
a
* Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz yel denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como semuestra a continuación:
* Pasemos a Raíz de un cuociente:
** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar araíz de un producto
24111
444111:444
132
262:26
5255
1255:125
62
182:18
33
a
aaa
a
aaa
Resolvamos algunos ejemplos paraaprender mejor:
Pero parta poderresolver algunosejercicios no solodebemos dividir,sino tambiénaplicarpropiedades delas potenciascomo es la restade exponentes
Vamos te toca ahora
______6
600
______16
4096
______8
216
______60
240
4
3
3
Si tienes alguna dudano vaciles en repasarla materia.!!!!
Soluciones:Acá tenemos lassoluciones de losejercicios anteriores,espero que te haya idobien.1) 22) 33) 24) 10.
mnn m aa
* Bueno aquí simplemente se multiplican losíndices y se deja al final una sola raíz coníndice igual al producto de los índices. Comose puede ver:
¿Y que pasa ahora con Raíz de una raíz?
Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando,¿o no?:
1111
3531441531441531441
222
333
12433 4
422
aaa
abbaa b xxx
____729.4
____81.3
____1.2
____64.1
4
5 4 3
4
Sigue multiplicando tu los índicesy resuelve los siguiente:
Soluciones:Acá tenemos las
soluciones de losejercicios anteriores,espero que te haya idobien.
1) 22) 13) 34) 13
Para esto se amplifica o simplifica tanto elíndice como el exponente de la cantidadsubradical, por un termino o numero enparticular, ejemplo:
pn pn aa 1
yn yxn x aa: :
Pasemos a amplificación ysimplificación del índice de unaraíz:
Resolvamos estos ejercicios:
66 232•3 213•2 3•13
5:10 5:510 5
432434343
5252525
* • En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolvermas fácilmente, así queda como resultado 5
• En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores,ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego sepuede resolver como cualquier otro problema.
Comprobemos si aprendiste bien de que se trata laamplificación y simplificación de raíces.
_____
_____4
_____5
_____7
3 4
15 5
2 3
6 2
p
SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,
espero que te haya ido bien.
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes lasnociones de esta propiedad clara, si crees que costo, otienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo yencontrarás algunos links para reforzarte.
3
3
3
.4
4.3
55.2
7.1
pp
Factor de una raíz como factor:* En palabras simples es pasar un número quemultiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debeelevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentromultiplicándolo por los otros términos dentro de ella, asíse pueden aplicar otras operaciones como la suma deraíces de igual índice.
Se da de la siguiente forma:n nn abba
** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera serno entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar:
212212288 2
Vamos resolvamos:
33 33
2
2
2525250
982727
525220
* Se puede ver dosposibilidades:• simplificar unaraíz, dejándola massimple• O realizar unaraíz, juntandotérminos, pero deesta forma quedauna raíz muycompleja.
Racionalización de denominadores:• La idea es dejar los denominadores sin expresiones conraíces para poder trabajar mas fácilmente.• Consiste en eliminar los radicales de los denominadores.
2
23
2
23
22
23
22
23
2
3
2
23
4
23
22
23
2
3
3 2
3 3
3 2
3 2
3 2
3 23
3 2
3
En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que elradicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así podereliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces.
• En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplicala suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores seeliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positivao negativa), así se eliminan las raíces en el denominador.
• Se presentan los siguiente casos de expresiones:
3
25
25
25
2525
251
25
122
3
25
25
25
2525
251
25
122
Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debeamplificar usando la formula dada de potencias cúbicas:
2233
2233
babababa
babababa
5
2632
263
263
23
2
23
2 3 23 2
3 23 2
3 23 2
3333
Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos peroevoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.
• Cuando tenemos una adición en trinomios se agrupandos términos para dejarlos como suma por diferencia ala hora de multiplicar, así luego de resolver queda unasuma por diferencia simple:
4
102325
100410810816
102325
1024104
10223253
1024
3253
1024
3253
102325
3253
325
325
325325
3253
325
322
Luego de resolver el trinomio, se resolvemosel binomio resultante igual que si fuera sumapor diferencia, y así se elimina términos conraíces en el denominador, y en este caso nosqueda con denominador 4.
Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios:
_____9
13)
_____52
3)2
_____2
2)1
3
SOLUCIONES
9
81.3
52-.2
2.1
3
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,espero que te haya ido bien.
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes lasnociones de esta propiedad clara, si crees que costo, otienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo yencontrarás algunos links para reforzarte.
2 1 2 7
2 2
x
/ - 2
2 x - 1 = 5 / ( )
2 x - 1 5
2 x - 1 = 2 5 / + 1
2 x = 2 6 / : 2
x = 1 3
2
8= x
3: /24=3x
3- /27=3+3x
() /33+3x
6- /93+3x+6
() /3336
33
3
23
x
son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical,para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice dela raíz, para eliminarla:
Ejemplos:
Ecuaciones irracionales:
PRACTIQUEMOS UN POCO
53.2 x
31.1 xx
5)3(.3 xxx
234.4 2 xx
SOLUCIONES:
Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,espero que te haya ido bien.
2
3 x.4
13
25 x.3
28 x.2
2 x5.1 21
x
Cotrol: veamos si aprendiste
3
1
3
1
0,027+64
3
1
2
1
8+4
277+642 3
6 36 23 4+8+8
487a b
a 24n n nncb 5
3
9
16x
y
3
5
16
18a
c
n nb43na
6415 6 a
n n n2 2
3
01+3x-5
3298x2 x
21-x-3+3
2
3
2
2x
x
35
3
25
2
27
142-1
VAMOS A HACER ALGUNOSEJERCICIOS
EJERCICIOS PARA RESOLVER: