Problemas propuestos:

1. Haga una lista de los elementos de los siguientes conjuntos; en donde

{ }N 1, 2,3,...= .

{ }{ }{ }

(a) A x :x N,3 x 12

(b) B x :x N, x es par, x 15

(c) C x :x N,4 x 13

= ∈ < <

= ∈ <

= ∈ + =

2. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son iguales?

{ } { } { } { } { }1, 2 , 1,3 , 2,1 , 3,1,3 , 1, 2,1

{ }{ }{ }{ }

2

2

A x : x 4x 3 0

B x : x 3x 2 0 (c)

C x : x N, x 3

D x : x N, x es impar, x 5

= − + =

= − + =

= ∈ <

= ∈ <

3. Determine cuales de los siguientes conjuntos son finitos o infinitos:

a) El conjunto de las rectas paralelas al eje x

b) El conjunto de las letras en el alfabeto español

c) El conjunto de números que son soluciones de la ecuación :

27 18 11 3x 26x 17x 7x 10+ − + − = 0

d) { }D x | x es impar=

4. Entre los conjuntos que siguen, ¿cuáles son diferentes?

{ }{ }

(a)(b) 0

(c)

∅

∅

5. ¿Cual de estos conjuntos son vacíos?

{ }{ }{ }{ }

2

(a) A x | x es una letra anterior a"a" en el alfabeto

(b) B x | x 9 y 2x 4

(c) C x | x x

(d) D x | x 8 8

=

= = =

= ≠

= + =

Soluciones:

1.

{ }{ }

(a) A 4,5,6,7,8,9,10,11

(b) B 2,4,6,8,10,12,14(c) C

=

=

=∅

2.

{ } { } { }{ } { }1,2 2,1 1,2,1 B C

1,3 3,1,3 A D

= = = =

= = =

3.

a) infinito

b) finito

c) finito

d) infinito

4.

a) El conjunto ∅ no tiene elementos, es el conjunto vació.

b) El conjunto { }0 contiene un elemento, el numero cero.

c) El conjunto { }∅ tiene también un elemento que es el conjunto vació.

d) No es vació

roblemas propuestos:

1. Expresar los siguientes conjuntos por el método de extensión:

5.

a) Es vació

b) Es vació

c) Es vació

P

a) { }A x N, 5 x par 18= ∈ < ≤

B = {Las letras de la palabra Matemáticas} b)

c) { }2C x 16 0= − =

d) D = {Las formas de especificar un conjunto}

2. Especifique los siguientes conjuntos por el método de comprensión:

{ }A = Europa, Asia, América, África, Oceanía a)

{ }B = a, e, i, o, u b)

{ }C = rojo, azul, amarillo c)

{ }D = Pacífico, Atlántico, Ártico, Antártico, Indico d)

Solución:

e, m , á , t , i , c , a , s}

= {comprensión, extensión}

el mundo}

arios}

siguiente tabla presenta los resultados de seis entrevistas efectuadas a

solicitantes de trabajo por el Departamento de Relaciones Humanas de la empresa

q

solicita

d ivil la ingles ne auto

1.

a) A = {6, 8,10, 12, 14, 16, 18}

b) B = {m, a , t ,

c) C = {+ 4, -4}

d) D

2.

a) A = {Los cinco continentes d

b) B = {vocales del alfabeto}

c) C = {Los colores prim

d) D = {Los océanos}

Problemas propuestos:

1. La

X.

Nombre del

solicitante

Sueldo Eda Estado c Hab Tie

Sr. Efrén

Ramírez

6 000 32 Casado Si Si

Sr. Jorge 5 000 30 Soltero No No

López

Sr. José 7 000 29 Casado Si No

Hernández

Sr. Luis 5 500 35 Soltero No Si

García

Sr. Raúl 5 000 26 Casado No Si

Jiménez

Sr. Jorge

Fernández

8 000 28 Soltero si Si

Basándose en estos datos:

s de conjuntos de personas del sexo masculino

c) Determine el número de elementos de los siguientes conjuntos:

A = {Solicitantes del sexo masculino}

B = {Solicitantes del sexo femenino}

C = {Solicitantes que hablan ingles}

D = {Solicitantes que tienen automóvil}

E = {Solicitantes menores de 30 años}

2.

a) Especifique el conjunto universal por los métodos de comprensión y extensión

b) Determine varios ejemplo

que carezcan de elementos

Sean { } { } { } { } { }A = 1, 2,......,8,9 , B = 2, 4,6,8 , C = 1,3,5,7,9 , D = 3, 4,5 y E = 3,5 .

¿Cuáles conjuntos pueden ser iguales a Z si se nos da la siguiente información?

( ) ( )( ) ( )

juntos c Z A pero Z Ca Z y Bson dis

b Z D pero Z B d Z C pero Z A

⊂ ⊄

⊂ ⊄ ⊂ ⊄

3. Sean los siguientes conjuntos:

V = {s}

, x, y, z} Z = { }

c) No es subconjunto de P ni de R.

d) No es subconjunto de R pero si de Q.

e) Es subconjunto de todos los demás.

Soluciones

1.

i) Por el m

itante de trabajo en la empresa X}

P = {r, s, t, u, v, w}

Q = {u, v, w

R = {s, u, y, z}

S = {u, v}

T = {s, u}

Determine cual de estos conjuntos:

a) Es subconjunto de P y de Q únicamente.

b) Es subconjunto de R pero no de Q.

:

a) Especificaron del conjunto universa

étodo de compresión:

Ω = {x | x es solic

Ω = {solicitantes de empleo en el Departamento de Recursos Humanos

de la empresa X}

ii)

rén Ramírez, José Hernández, Luis García, Raúl

Jiménez, Jorge Fernández}

b) K = {solicitantes viudos}

K = {solicitantes de mas de 40 años}

M = {solicitantes que pretenden un sueldo inferior a 4 500 pesos}

c) n (A) = 6

n (B) = 0

n (C) = 3

n (D) = 4

n (E) = 3

b) D y E

c) A, B y D

d) ninguno

3.

Por el método de extensión:

Ω = {Jorge López, Ef

2.

a) C y E

a)

R

S; S ⊂ P y S ⊂ Q

R, T, V; R ⊆ R pero ⊄ Q

b)

c) Q; Q P y Q R

d) Q

e) esta contenido en todos los demás.

1. En los diagramas de Venn que siguen, rayar A unión B o sea a)

T ⊆ R pero T ⊄ Q

V ⊆ C pero V ⊄ Q

⊄ ⊄

S, Q ; S ⊄ R pero S ⊂

Q ⊄ R pero Q ⊆ Q

∅

b)

c)

d)

2. Sea { } { } { }A 1, 2, , 4 , B 2, 4,6,8 , C 3, 4,5,6 .= = =A B∪

3a)

Hallar

3. Sean A, B, C los conjuntos del problema 2. Hallar

4. Sean el conjunto,

b) A C∪c) B C∪ d) B B∪

a) ( )A B C∪ ∪

b) ( )A B C∪ ∪

{ }X Mar cos, Ricardo, Enrique= y el conjunto

{ }Y Tomas, Mar cos, Emili= o y { }Z Mar cos, Emilio, Eduard= o . Hallar

a) b) c)

X Y∪ Y Z∪ X Z∪

Soluciones:

1.

2. { }{ }{ }

}

A B 1, 2,3, 4,6,8

A C 1, 2,3, 4,5,6

B C 2,3, 4,5,6,8

B B 2, 4,6,8

∪ =

∪ =

∪ =

∪ = {

3.

) Se determina primero { }A B 1, 2,3, 4,6,8∪ =a . Entonces la unión de

Y C es: A B∪ ( ) { }A B∪ ∪C 1, 2,3, 4,6,8,5= .

b) Se ina primero determ { }B C 2, 4,6,8,3,5∪ = . Entonces la unión de A y

es: B C∪ ( ) { }A B C∪ ∪ 1, 2,3, 4,6,8,5=

Nótese que: ( ) ( )

se hace la lista de los nombres de X con los nombres de Y; así a)

A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪

4. Para hallar X Y∪

{ }X Y Mar cos, Ricardo, Enrique,Tomas, Emilio∪ = Del mismo modo:

b) { }Y Z Mar cos,Tomas, Emilio, Eduardo∪ =

c) { }X Z Mar cos, Ricardo, Enrique, Emilio, Eduardo,Tomas∪ =

Ejemplos propuestos:

1. En los diagramas de Venn rayar A intersección B, o sea A B∩ :

a)

b)

c)

d)

{ } { } { }A 1,2. Sea 2,3, 4 , B 2, 4,6,8 , C 3, 4,5,6 .= = =

A B∩ Hallar

a) b)

B, C o ntos del problema 2. Hallar:

a)

A C∩ c) B C∩

3. Sean A, l s conju( )A B C∩ ∩

( )A B C∩ ∩ b)

Soluciones:

1. La interacción e A y B consiste en el área que es común tanto en A como en B. Para encontrar A , se raya primero A con trazos oblicuos hacia la derecha y luego se

y on trazos oblicuos inclinados alas izquierda como se ve en la figura: a)

B∩ra a B c

b)

c)

d)

Nótese que en el inciso (c) es vacía, A y B son disjuntos.

2. a) Para formar la i ección de nters A y B se inscriben todos los elementos comunes

de A y B; asi { }A B= 2, 4∩

{ }A C= 3, 4∩ b) nera De igual ma

c) { }B C= 4,6∩

d) es efectivamente B

a)

B B∩

3. { }A B 2, 4∩ = . Así que la intersección de { }2, 4 con C es:

( ) { }A B C∩ ∩ 4=

b) { }B C 4,6∩ = . La intersección de este conjunto con A es { }4 , esto es,

( ) { }A B C∩ ∩ 4=

Nótese que ( ) ( )

Ejemplos propuestos:

A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩

1. Sea { } { } { } { }U ,1 2,3, 4, ......,8,9 , A 1, 2,3, 4 , B 2, 4,6,8 , C 3, 4,5,6= = = = . Hallar:

'

'

f) '

2. En el diagrama de Venn, rayar:

b) '

d)

a) A 'B' b) ( )A C∩ c)

( )A B∪ d)

( )A' ' e)

( )B C−

B ' a) ( )A B∪

c) '( )B A−

A' B'∩

Soluciones:

1. a) { }A ' 5,6,7,8,9=

b) { }B' 1,3,5,7,9=

c) ( ) { }A C ' 1, 2,5,6,7,8,9∩ =

d) ( ) { }A B ' 5,7,9∪ =

e) ( )A ' ' A=

f) ( ) { }B C ' 1,3, 4,5,6,7,9− =

2. a)

b)

c)

d)

Ejemplos propuestos:

1. En los diagramas de Ven rayar A menos B, o sea A - B

a)

b)

c)

d)

{ } { } {2. Sea }A 1, 2,3, 4 , B 2, 4,6,8 , C 3, 4,5,6 .= = =

A B−

Hallar:

a) ( )

b) ( ) C A−

c) ( )B C−

d) ( ) B A−

e) ( )B B−

Soluciones:

1. En cada caso el conjunto A- B cosiste en los elementos de A que no estan en B, es

decir, el área de A que no esta en B.

Nótese que, en c) A , si A y B son disjuntos. - B = A

Nótese también que, en si A es subconjunto de B. d) A B− = ∅

2.

a) El conjunto A B− consiste en los elementos de A que no están en B. Como

{ }A 1, 2,3, 4= y 2, 4 B∈ entonces { }A - . B = 1,3

b) Los únicos elementos de C que no están en A son 5 y 6; por lo tanto { }C - A = 5,6 .

c) { }B - C = 2,8

d) { }B A 6,8− =

e) B B− = ∅

Ejemplos propuestos:

1. Encuentre el conjunto potencia, P(S), de { }1,2,3,4,5S =

2. Entre las afirmaciones siguientes decir cual es la correcta y cual incorrecta. Aquí S

es un conjunto no vacío.

{ }

{ }

( ) 2

( ) 2

( ) 2

( ) 2

s

s

s

s

a S

b S

c S

d S

∈

⊂

∈

⊂

Soluciones:

1.

{ } { } { } { } { } { } { } { } { }

{ } { } { } { } { } { } { }

{ } { } { } { } { } {

{ } { } { } { } { }

{ } { } { }

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 ,

2,3 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 , 4,5 , 1,2,3 ,

1,2,4 , 1,2,5 , 2,3,4 , 2,3,5 , 3,4,5 , 1,3,4 ,

1,3,5 , 1,4,5 , 2,4,5 , 1,2,3,4 , 1,2,3,5 ,

1,2,4,5 , 1,3,4,5 , 2,3,4,5 , ]

( ) [ ,

S

P S = ∅

}

Hay conjuntos en P(S) 5

2 3= 2

{

2.

(a) Correcto

(b) Incorrecto

(c) Incorrecto

(d) Correcto

Ejemplos propuestos:

} { } { }A = 1, 2,3 , B = 2, 4 , C = 3, 4,5 . Hallar A x B x C 1. Sean

2. Sean { } { }A Mar cos, Eva, Pablo , B Eva, David= = . Encuentre:

a) A x B

b) B x A

c) B x B

3. Sean { } { } { }X a, b,c , Y b,c,d y Z a,d= = = . Encontrar . X x Y x Z

Soluciones:

1.

{A x B = (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,4,3), (1,4,4), (1,4,5), (2, 2,3), (2,2,4), (2,2,5), (2,4,3), (2,4,4), (2,4,5),

(3,2,3), (3,2,4), (3,2,5), (3,4,3), (3,4,4), (3,4,5)}

2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ({ }( ) ( ) ( ) ( ){ }

A x B Mar cos, Eva , Mar cos, David , Eva, Eva , Eva, David , Pablo,Eva , Pablo,David

B x A Eva,Mar cos , David, Mar cos , Eva, Eva , David, Eva , Eva, Pablo , David, Pablo

B x B Eva, Eva , Eva, David , David, Eva , David, David

=

=

=

)

3.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a,b,a , a, b,d , a,c,a , a,c,d , a,d,a , a,d,d ,

X x Y x Z b,b,a , b,b,d , b,c,a , b,c,d , b,d,a , b,d,d ,

c, b,a , c, b,d , c,c,a , c,c,d , c,d,a , c,d,d

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

EJERCICIOS GENERALES DE CONJUNTOS Sea U = {x І x es un numero entero comprendido entre 1 y 100 inclusive}. A = {x І x es un numero entero comprendido entre 1 y 100 inclusive} B = {x І x es un numero entero comprendido entre 1 y 100 inclusive}

{ }

{ }

C 1,2,3

D 4,7,8,9

=

=

Calcula

1. A C∩

2. B D ∪

3. '∪ ( )A B

4. ( )A B' C∪ −

5. ( ) '− ∩D A C

6. '∩( )' 'B A

7. ( )∩ ∪A D B

8. ) ( ) (' '− − −C B B C

9. ( ) ' '∪ ∩A B C

10. ' 'A B − b) Sea

{ }

{ }

{ }

{ }

1,2,3,4,5 ,

1,5 ,

1,4,5

1,2,4

A

B

C

U

=

=

=

=

Usando los conjuntos anteriores, demuestra que los siguientes conjuntos son iguales:

1. ( ) ( )∩ ∩ ∩ ∩A C B y B A C

2. ( ) ( ) ( )∩ ∩ ∩ ∪ ∩A B C y A B A C

3. ( ) ( ) ( )∪ ∩ ∪ ∩ ∪A B C y A B A C

4. ( )∩ ∪B B C y B

5. ( )∪ ∩C C A y C

6. ' ( ) ' '∪ ∩A B y A B

7. ( ) ' '∩ ∪ 'A C y A C

8. 'A B y− ∩A B

9. C 'C B y B− ∩

10. ( ) ) ∩B ( ' '− − ∩A B C y A C

DIAGRAMAS DE VENN

1. ¿Cuál es el número que representa, el área común a los tres conjuntos?

2. ¿Qué números comprenden el conjunto A?

3. ¿Qué números comprende el conjunto B?

4. ¿Qué números comprende el conjunto C?

5. Los números que constituyen C’ son:

6. Enumera los números que constituyen A’:

7. Enumera los que constituyen B’:

8. ¿Por qué números está representado A B∪ ?

9. ¿Por qué números está representado ( A B∪ )’, el área exterior a A B∪ ?

10. ¿Qué conjunto constituyen las regiones enumeradas II, III, IV, V, VI, VII, VIII?

11. ¿Por qué numero está representada el área exterior al conjunto A B C∪ ∪ , es decir, _______________?

12. Los números __________ y _________ representan el conjunto A B∩

13. ¿Qué conjunto representan V y VI?

14. ¿Por qué números está representado ( B C∩ )’?

15. A’ está representada por los números

16. ¿Qué zonas numeradas representan al conjunto B?

17. Por tanto 'A B∩ , la zona común a los conjuntos 'A y B está representada por los números

18. ¿Por qué zonas numeradas está representado en conjunto C?

19. Entonces, A B− ,el área que está en A pero no en B, está representada por los números:

20. 'C , la zona exterior al conjunto ________ está representada por los números:

21. Por tanto, ( ) 'A B C− ∩ , el área común a A B− y 'C , se denota por el numero: