fenc3b3menos de-transporte-bird-stewart-lightfoot-2a-ed-2006

FENOMENOS DE TRANSPORTE S E G U N D A E D I C I N

Fenmenos de transporte

Segunda edicin

R. Byron Bird Warren E. Stewart

Edwin N. Lightfoot

Departamento de Ingeniera Qumica Universidad de Wisconsin-Madison

O LIMUSA WILEY 8

Bird, Robert Fenmenos de transporte = Transport phenomena / Robert Byron Bird. -- 2a. ed.

-- Mxico : Limusa Wiley, 2006. 1062 p. : il., fot. ; 20 cm. ISBN: 968-1 8-6365-8.

Rstica. 1. Dlnamica de fluidos l. Steward, Warren, coaut. II. Ligthfoot, Edwin, coaut. 111. Viliagrnez Velzquez, Hugo, tr. \V. Zetina Vlez, Atma Rosa, colab.

LC: QA929 Dewey: 530.1 38 - dc21

V E R S I ~ N AUTORIZADA AL ESPAOL DE LA OBRA ORIGINALMENTE PUBLICADA EN INGLES POR JOHN WILEY & SONS, CON EL T~TULO TRANSPORT PHENOMENA

COLABORAD~R EN LA TRADUCCI~N HUGO VILLAG6MEZ VELZQUEZ

REVISI~N T~CNICA ALMA ROSA GRISELDA ZETINA VLEZ INGENIERA Q~~~MICA POR LA FACULTAD DE QU~MICA DE LA UN~VERSIDAD NACIONAL AUT~NOMA DE MEKICO. DOCEME EN MATEMATICAS, UNAM. PROFESORA DE LA ESCUELA DE CIENCIAS QU~MICAS DE LA UNIVERSIDAO LA SALLE.

FENMENOS DE TRANSPORTE

SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIOA O TRANSMITIDA. MEDIANTE NINGN

SISTEMA O MTODO, EFECTR~NIMOMECANICO (INCLUYENDO

EL FOTOCOPIADO, LA GRABACI~N O CUALCiUlER SISTEMA DE

RECUPERACI~N Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACI~N), SIN

CONSENflMlENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.

O 2006, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALOEFIAS 95, MCx ico , D.F. C.P. 06040 m 51 30 0700

55 12 2903 + [email protected]

www.noriega.com.mx

SEGUNDA EDICIN HECHO EN MEXICO

ISBN 968-1 8-6365-8

Prlogo

La transferencia de cantidad de movimiento, la transmisin de calor y la transferencia de materia surgieron como ramas independientes de la fsica clsica desde hace mucho, pem el estudio unificado de estas disciplinas se ha constituido en un rea fundamental de las ciencias de ingeniera. Este desarrollo, a su vez, iniciado hace menos de medio siglo, contina avanzando y encontrando aplicaciones en campos nuevos como la biotecnologa, la microelectrnica, la nanotecnologa y la ciencia de polimeros.

La evolucibn de los fenmenos de transporte ha sido tan rpida y extensa que es imposible abarcarla por completo en un solo libro. A pesar de que hemos incluido muchos ejemplos representativos, nuestro inters primordial, necesariamente, han sido los aspectos bsicos de este campo. Adems, en plticas con colegas hemos encontrado que los fenmenos de transporte se ensean de varias formas y a diversos niveles. En esta edicin se ha incluido suficiente material para cubrir dos moda- lidades de cursos: uno intraductorio y otro avanzado. El curso elemental, a su vez, puede dividirse en un curso cobre transferencia de cantidad de movimiento y en otro sobw transmisin de calor y transferencia de materia, lo que proporciona ms oportunidades para demostrar la utilidad de este material en aplicaciones prcticas. La identificacin de algunas secciones como opcionales (O) y otras como avanzadas (O) puede ser til para estudiantes y profesores.

Considerados durante mucho tiempo m6s bien como un tema matemtico, los fenmenos de transporte con ms significativos por su importancia fsica. La esen- cia medular de este tema la constituye el planteamiento cuidadoso y conciso de los principios de conservacin, junto con las expresiones de densidad de flujo (flux), re- calcando las semejanzas y diferencias entre los tres procesos de transporte considerados. A menudo, la especializacin hasta las condiciones lmite y las propiedades fsicas en un problema especfico puede proporcionar una visin til con esfuerzo mnimo. No obstante, el lenguaje de los fenmenos de transporte es matemtico, y en este libro hemos asumido que el lector est familiarizado con ecuaciones diferenciales ordinarias y con an6lisis vectorial elemental. Introducimos el uso de las ecuaciones diferenciales parciales con una explicacin suficiente de modo que el estudiante interesado pueda dominar el material presentado. Las tcnicas numri- cas se posponen, a pesar de su relevancia evidente, para que el estudiante se con- centre en la comprensin fundamental.

A lo largo del texto se da prioridad a Ias citas y referencias bibliogrficas, esto con el fin de ubicar los fendmenos de transporte en su contexto histrico propio y para orientar al lector que desee ahondar en el estudio de los fundamentos y las aplicaciones. Hemos estado particularmente interesados en presentar a los pioneros, a quienes tanto debernos, y en quienes podemos seguir encontrando inspiracin til. Se trata de personas no tan distintas de nosotros mismos, y quizs algunos de nuestros lectores encuentren en ellos inspiracin para realizar contribuciones semejantes.

Es evidente que tanto las necesidades de nuestros lectores como las herramientas de que disponen han cambiado enormemente desde que se escribi Ia primera edicin hace ms de 40 aos. Hemos hecho esfuerzos muy serios para actualizar el texto, dentro de los Lmites de espacio y de nuestras habilidades, y nos hemos esfor- zado por anticipar desarrollos futuros. Algunos de los cambios mis importantes respecto a la primera edicin incluyen los siguientes: ,

vi Prlogo

propiedades de transporte de sistemas de dos fases

uso de "densidades de flujos combinadas" para establecer balances de envoltura y ecuaciones de variacin

conservacin de la cantidad de movimiento angular y sus consecuencias

obtencin completa del balance de energa mecnica

tratamiento ms amplio de la teora de la capa lmite

dispersin de Taylor

anlisis mejorados de transporte turbulento

anlisis de Fourier de transporte turbulento a Pr o Sc elevados

inclusin de ms material sobre coeficientes de transmisin de calor y transferencia de masa

anlisis ms completos de anlisis dimensional y escalacin

mtodos matriciales para transferencia de materia de varios componentes

sistemas inicos, separaciones de membrana y medio poroso relacin entre la ecuacin de Boltzmann y las ecuaciones sobre el continuo

uso de la convencin "Q + W" en tratamientos de energa, de conformidad con los textos ms importantes de fsica o fisicoqumica.

Sin embargo, siempre es la generacin ms joven de profesionistas la que ve el fu- turo con mayor claridad y ec la que debe construir su realidad sobre una herencia imperfecta.

Queda mucho por hacer, aunque es de esperar que la utilidad de los fenmenos de transporte aumente en vez de disminuir. Cada una de las estimulantes nuevas tecnologas que estn floreciendo a nuestro alrededor se rige, en el nivel de inters detallado que se quiera, por las leyes de conservacin y las expresiones de densidad de flujo, junto con informacin sobre los coeficientes de transporte. Adaptar los planteamientos de los problemas y las tcnicas de solucin para estas nuevas reas indudablemente mantendr ocupados a los ingenieros durante mucho tiempo, y lo nico que podemos esperar es haber proporcionado una base til a partir de la cual empezar.

El ,to de cada libro nuevo depende de muchas ms personas que las que se sefialan en la portada. La deuda ms evidente es ciertamente con los estudiantes perseverantes e inteligentes que en conjunto nos han enseado mucho ms de lo que nosotros les hemos enseado. Asimismo, los profesores que revisaron el manus- crito merecen un agradecimiento especial por sus numerosas correcciones y comentarios ilustrativos: Yu-Ling Cheng (Universidad de Toronto), Michael D. Graham (Univ'ersidad de Wisconsin), Susan J. Muller (Universidad de California-Berkeley), William B. Russel (Universidad de Princeton), Jay D. Schieber (Instituto de Tecnolo- ga de Illinois) y john F. Wendt (Instituto von Krmn para Dinmica de Fluidos). Sin embargo, en un nivel ms profundo, nos hemos beneficiado de la estructura y las tradiciones departamentales creadas por nuestros antecesores aqu en Madison. En primer lugar se encuentra Olaf Andreas Hougen, a cuya memoria est dedicado este libro.

Madison, Wisconsin. R.B.B. W.E.S. E.N.L.

Contenido . -p. . .. - --

Prlogo Ej. 2.3-1 Determinacin de la viscosidad a parfir de datos de flujo capilar 59 , , .

Captulo O El tema de los fenmenos Ej. 2.3-2 Flujo comprecible en un tubo circular de transporte 1 horizontal 60

S2.4 Flujo a travs de un hibo concntrico 61 s2.5 lujo de dos fluidos inmiscibles adyacentes 64 52 6 Flujo reptante alrededor dc una esfera 66

Parte I Transporte de cantidad fl 2 6-7 Dettrnllrrncicn de la ziiscosrdnd a partir dr la zvlocirlnd final d~ 1471d c~ftnra que desrterrdt 70 de n3ovbiento I'reguntns para discusiii 70

Probiemas 71

Captulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 11

51.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento moiecular) 11

Ej. 7.1-1 Cdlculo de la densidad de Pujo de canfidad de mouirniento 16

1 . 2 Generalizacin de Ia ley de viscosidad de Newton 16

1 . 3 Dependencia de la viscosidad con respecto a la presin y la temperatura 22

Ej. 1.3-1 Esfimacin de la viscosidad a parfir de las propiedades crticas 24

51.4" Teora rnolecular de la viscosidad de gases a baja densidad 25

Ej. 1.4-7 C[cuIo de la viscosidad de u n gas puro a baja denstdad 29

Ej. 1.4-2 Prediccin de la viscosidad de una mezcla de gases a baja densidad 30

51.5" Teora molecular de la viscosidad de lquidos 31 Ej. 1.5-1 Estimacin de la viscosidad de un lquido

puro 33 s1.6" Viscosidad de suspensiones y de emulsiones 34 7 Transporte de cantidad de movimiento

convectivo 37 Preguntas para discusin 40 Problemas 41 ,

Captulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 45

2 . Balances de cantidad de movimiento en Ia envoltura y condiciones lmite 46

s2.2 Flujo de una pelicula descendente 48 Ej. 2.2-2 Clculo de fa velocidad de una pelcula 53 Ej. 2.2-2 Pelcula descendente con viscosidad

variable 53 S2.3 flujo a travs de un tubo circular 54

Captulo 3 Ecuaciones de variacin para sistemas isotrmicos 85

53.1. Ecuacin de continuidad 87 Ej. 3.1-1 Esfuerzos normales en superficies slidas

para fluidos nmtonianos incompresibles 88 53.2 Ecuacin de movimiento 89 93.3 Ecuacin de energa mecnica 91 53.4" Ecuacin de cantidad de movimieiito angular 93 53.5 Ecuaciones de variacin en trminos de la

derivada sustancial 94 Ej. 3.5-2 La ecuacin de Bernoulli para el flujo en

estado estacionario de fluidos no viscosos 97 S3.6 Uso de las ecuaciones de variacin para resolver

problemas de flujo 98 Ej. 3.6-1 Flujo estacionario en un tubo circular

largo 99 Ej. 3.6-2 Pelcula desccndentr con viscosidad

variable 101 Ej. 3.6-3 Operacidn de un uiscocmetro

de Couette 101 Ej. 3.6-4 Forma de la superficie de un lquido en

rofacin 106 Ej. 3.6-5 Flujo cerca de una esfera que gira

lentamente 108 53.7 Anlisis dimensional de las ecuaciones de

variacin 110 Ej. 3.7-1 Flujo transversal alrededor de un cilindro

circular 171 Ej. 3.7-2 Flujo estacionario en un tanque

agitado 214 Ej. 3:7-3 Cada de presin para flujo reptante en un

tubo de relleno 117 Preguntas para discusin 118 Problemas 118

Captulo 4 Distribuciones de velocidad con ms de una variable independiente 129

4 Flujo dependiente del tiempo de fluidos newtonianos 129

vii

viii Contenido

Ej. 4.1-1 Flujo cerca de una pared que se pone sribifamente en movimiento 130

Ej. 4.1-2 Flujo laminar no estacionario entre dos ldminas paralelas 132

Ej. 4.1-3 Flujo laminar no estacionario cerca de una ldmina que oscila 135

54.2" Solucin de problemas de flujo usando una funcin de corriente 137

Ej. 4.2-2 Flujo reptante alrededor de una esfera 238 g . 3 " Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo

del potencial de velocidad 141 Ej. 4.3-1 Flujo potencial alrededor de un

cilindro 145 Ej. 4.3-2 Flujo Iincia el interior de un canal

rectangular 146 Ej. 4.3-3 Flujo cerca de una esquina 148

54.4" mujo cerca de superficies slidas por medio de la teora de la capa limite 150

Ej. 4.4-1 Flujo laminar a lo largo de una ldmina plana (solucidn aproximada) 154

E j . 4.4-2 Flujo laminar a lo largo de una lmina plana (solucin eracfa) 155

Ej. 4.4-3 Flujo cerca de un;l esquina 157 Preguntas para discusin 158 Problemas 159

Captulo 5 Distribuciones de velocidad en flujo turbulento 173

5 . 1 Comparaciones de los flujos laminar y turbulento 175

55.2 Ecuaciones de variacin con ajuste de tiempo para fluidos incompresibles 178

55.3 Perfil de velocidad con ajuste de tiempo cerca de una pared 181

35.4 Expresiones empricas pa7.a la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento 184

Ej. 5.4-1 Desarrollo de ia expresin de e s fumo de Reynolds en la vecindad de la pared 186

55.5 Flujo turbulento en ductos 187 Ej. 5.5-1 Estimacidn de la velocidad media en un tubo

C ~ ~ C U ! U ~ 188 Ej. 5.5-2 Aplicacin de la fdrmula de longitud de

mezcla de PraiiJtl a flujo furbulento en un tubo circular 190

Ej. 5.5-3 Magnitud relitiva de la viscosidad y la viscosidad de remolino 190

55.6" Flujo turbulento en chorros 191 Ej. 5.6-1 Distribucin de velocidad con ajusfe de

tiempo en un chorro de pared circular 191 Preguntas para discusin 196 Problemas 196

Captulo 6 Transporte de interfase en sistemas isotrmicos 201

6 . 1 Definicin de factores de friccin 202

56.2 Factores de fricci6n para flujo en tubos 204 Ej. 6.2-3 Cuda de presin requerida para una

velocidad de flujo dada 208 Ej. 6.2-2 Velocidad de Pujo para una cada de presin

dada 209 96.3 Factores de friccin para flujo alrededor de

esferas 210 Ej. 6.3-1 Determinacin del dimetro de una esfe~a que

desciende 214 56.4" Factores de friccin para columnas de

relleno 215 Preguntas para discusin 220 Problemas 221

Captulo 7 Balances macroscpicos para sistemas con flujo isotrmico 229

7 . 1 Balance macrosc6pico de materia 231 E j . 7.1-1 Vaciado de un tanque esfrico 231

57.2 Balance macroscpico de cantidad de movimiento 233

Ej. 7.2-1 Fuerza ejercida por u n chorro (Parte a) 234

57.3 Balance macroscpico de cantidad de movimiento angular 235

Ej. 7.3-1 Momento de torsidn en un recipienfe mezclador 236

57.4 Balance rnacroscpico de energa mecnica 237 Ej. 7.4-1 Fuerza ejercida por un chorro (Parte b) 239

s7.5 Estimacin de la prdida viscosa 240 E j . 7.5-1 Potencia necesa~ia para el flujo en una

tuberfa 242 s7.6 Uso de los balances macroscpicos para problemas

de estado estacionario 244 Ej. 7.6-1 Aumenfo de presidn y ptrdida por friccin en

un ensanchamiento brusco 244 Ej. 7.6-2 Rendimiento deun eyector

lquido-lquido 246 Ej. 7.6-3 Empuje sobre el codo de un fubo 247 Ej. 7 . 64 Chorro que incide 250 Ej. 7.6-5 Flujo isofrmico de un lquido a travs de un

orificio 251 57.7" Uso de los balances macroscpicos para problemas

de estado no estacionario 253 Ej. 7.7-1 Efectos de la aceleracin en flujo no

esfacionnrio desde un tanque cilndrico 253 Ej. 7.7-2 Oscilaciones en un mandmetro 256

57.8. Deduccin del balance macroscpico de energa mecnica 258

Preguntas para discusi6n 261 Problemas 261

Captulo 8 Lquidos polimricos 271

8 . 1 Ejemplos del comportamiento de lquidos polimricos 272

98.2 Reometra y funciones del material 277

58.3 Viscosidad no newtoniana y los modelos newtonianos generalizados 281

Ej. 8.3-1 Flujo laminar en un tubo circular de un fiuido incompresible que obedece la ley de potencias 284

Ej. 8.3-2 Flujo en una rendija estrecha de u n f[uido que obedece la ley de potencias 284

Ej. 8.3-3 Flujo tangencia1 en tubos concntricos de un fluido que obedece la ley de pofencias 285

98.4" Elasticidad y los modelos viscoelsticos Lineales 286 Ej. 8.4-1 Movimiento oscilatorio de amplitud

pequea 289 Ej. 8.4-2 Flujo uiscoelstico no estacionario cerca de

una lmina oscilatoria 290 58.50 Las derivadas corrotacionales y los modelos

viscoelsticos no lineales 291 Ej . 8.5-1 Funciones del material para el modelo de

Oldroyd de 6 constantes 293 58.6. Teorias moleculares para lquidos

polimricos 295 Ej. 8.6-1 Funciones materiales para el modelo

ENEF-P 297 Preguntas para discusin 300 Problemas 301

Preguntas para discusin 334 Problemas 335

Captulo 10 Balances de energa en la envoltura y distribuciones de temperatura en slidos y en fIujo laminar 341

510.1 Balances de energa en la envoltura: condiciones lmite 342

s10.2 Conduccin de calor con una fuente de calor elctrica 343

Ej. 10.2-1 Voltaje necesario para producir una determinada elevacin de temueratura en un alambre calentado por una corriente elcfrica 347

Ej. 30.2-2 Alambre calentado con coeficiente de transmisidn de calor y temperatura ambiente de1 aire especificados 347

510.3 Conduccin de calor con una fuente de calor nuclear 348

510.4 Conduccin de calor con una fuente de calor viscosa 351

910.5 Conduccin de calor con una fuente de calor qumica 354

910.6 ~ond;ccion de calor a travs de paredes compuestas 357

E). 10.t;-! Partrlt-S 1 cilnclrrn~s cornpucsfas 360 Parte 11 Transporte de energa 910.7 Condiicciii de cal;)r en una aleta de

erifrianiiento ,762

Captulo 9 Conductividad trmica y los Ej. 10.7-1 Error en la medicin del terinopar 364 mecanismos de transporte de 510.8 Conveccin forzada 366

energa 309 s10.9 Conveccin libre 372 Preguntas para discusi6n 376

9 . 1 Ley de Fourier de la conduccin de calor Problemas 377

(transporte molecular de energa) 310 Ej. 9.1-1 Medicin de la conductividad trmica 315 Captulo 11 Ecuaciones de variacin para sistemas

59.2 Dependencia de la conductividad trmica con no isotrmicos 393 respecto a la temperatura y la presin 316

Ej. 9.2-1 Efecto de le presi6n sobre la conductividad frrnica 318

Teora de la conductividad trmica de gases a baja densidad 318

Ej. 9.3-1 Clculo de la conductividad trmica de un gas monoatmico a baja densidad 323

E]. 9.3-2 Estimacin de la conductiuidad trmica de un gas poliatmico a baja densidad 324

Ej. 9.3-3 Prediccidn de la coriductiuidad trmica de una mezcla de gases a baja densidad 324

Teora de la conductividad trmica de lquidos 325

Ej. 9.4-1 Prediccidn de la conductiuidad trmica de un lquido 326

Conductividad trmica de slidos 327 Conductividad trmica efectiva de slidos compuestos 328 Tkansporte de energa convectiva 331 Trabajo asociado con movimientos moleculares 332

Ecuacin de energa 394 Formas especiale; de la ecuacin de energa 396 La ecuacin de movimiento de Boussinesq para conveccin forzada y libre 399 Uso de las ecuaciones de variacin para resolver problemas de estado estacionario 400

E j . 11.4-1 Transmisin de calor por conveccin forzada en estado estacionario en flujo laminar en un tubo circular 401

Ej. 11.4-2 Flujo tangencia1 en tubos concntricos con generacin de calor viscoso 404

Ej. 11.4-3 Flujo estacionario en una pelcula no isot&tnica 405

Ej. 11.4-4 Enfriamienfo por transpiracin 406 Ej. 11.4-5 Transmisin de calor por conveccidn libre

desde una ldmina vertical 408 Ej. 11.4-6 Procesos adiabdticos sin friccin en un gas

ideal 411 Ej. 11.4-7 Flujo compresible unidimensional: perfiles

de velocidad, temperatura y presin en una onda de choque estacionaria 412

x Contenido

511.5 Anlisis dimensional de las ecuaciones de variacin para sistemas no isotrmicos 416

E j . 11.5-1 Distribucin de temperafura alrededor de un cilindro largo 419

Ej . 11.5-2 Conveccidn libre en una capa horizontal de fluido; formacin de las celdas de Bnard 421

Ej. 11.5-3 Temperatura en la superficie de un serpentn calentador elctrico 423


Captulo 12 Distribuciones de temperatura con ms de una variable independiente 439

512.1 Conduccin de calor no estacionaria en slidos 439

Ej. 12.2-1 Calen famiento de una placa semiinfinita 440

Ej . 12.1-2 Calentamiento de una placa finita 441 Ej. 12.1-3 Conduccidn de calor no estacionaria cerca de

una pared con densidad de flujo de calor sinusoidal 445

Ej. 12.1-4 Enfriamiento de una esfera en contacto con un fluido bien agitado 446

512.2" Conduccin de calor estacionaria en flujo laminar incompresible 448

Ej. 22.2-1 Flujo laminar en un fubo con densidad de flujo de caior constante en la pared 449

Ej. 22.2-2 Flujo laminar en un fubo con densidad de flujo de calor constanfe en la pared: solucin asin ftica para la regin de embocadura 450

512.3" Flujo potencial de calor estacionario en slidos 452

Ej. 12.3-1 Distribucidn de temperatura en una pared 453

512.4' Teora de la capa limite para flujo no isotrmico 454

Ej.12.4-1 Transrnisi~i de calor en conveccin forzada laminar a lo largo de una ldmina plana calentada (mtodo integral de von Kfrmn) 456

Ej. 12.4-2 Transmisidn de calor en conveccin forzada laminar a lo largo de una ldminn plana calentada (solucin asinttica para nmeros de Prandfl elevados) 458

E j . 12.4-3 Conveccin forzada en flujo tridimensional estacionaria a nmeros de.Prandt1 elmados 460


Captulo 13 Distribuciones de temperatura en flujo turbulento 479

513.1 Ecuaciones de variacin con ajuste de tiempo para flujo no isotrmico incompresible 479

913.2 El perfil de temperatura con ajuste de tiempo cerca de una pared 481

513.3 Expresiones empricas para la densidad de flujo de calor turbulento 482

Ej . 13.3-1 Una relacin aproximada para la densidad de flujo de calor en una pared para flujo turbulento en un tubo 483

513.4' Distribucin de temperatura para flujo turbulento en tubos 4&4

513.5" Distribucin de temperatura para flujo turbulento en chorros 488

513.6. Anlisis de Fourier de transporte de energa en el flujo en un tubo con nmeros de Prandtl elevados 490


Captulo 14 Transporte interfsico en sistemas no isotxmicos 497

514.1 Definiciones de los coeficientes de transmisin de calor 498

Ej. 14.1-1 Cdlculo de los coeficientes de transrnisidn de calor a partir de datos experimentales 501

514.2 Clculos analticos de los coeficientes de transmisin de calor para conveccin forzada a travs de hibos y rendijas 503

514.3 Coeficientes de transmisin de calor para conveccin forzada en tubos 509

Ej. 14.3-1 Diseo de un calentador tubular 514 514.4 Coeficientes de transmisin de calor para

conveccin forzada alrededor de objetos sumergidos 514

514.5 Coeficientes de transmisin de calor para conveccin forzada a travs de lechos de relleno 518

s14.6" Coeficientes de transmisin de caior para conveccin libre y mixta 519

Ej. 14.6-1 Prdida de calor por conveccin libre desde un fubo horizontal 523

514.7" Coeficientes de transmisin de calor para condensacin de vapores puros sobre superficies slidas 524

Ej. 14.7-1 Condensacin de vapor en una superficie vertical 527


Captulo 15 Balances rnacroscpicos para sistemas no isotrmicos 533

--

515.1 Balance macrosc6pico de energa 534 515.2 Balance macroscpico de energa mecnica 536 515.3 Uso de los balances macroscpicos para resolver

problemas de estado estacionario con perfiles de velocidad planos 538

Ej. 15.3-1 Enfriamiento de un gas ideal 539 Ej. 15.3-2 Mezcla de dos corrientes de gas ideal 540

515.4 Las formas d de los balances macroscpicos 541 Ej. 15.4-1 Intercambiadores de calor paralelos

O a confracorriente 543

Contenido xi

Ej. 15.4-2 Potencia necesaria para bombear uz fluido compresible a travs de una fuberi de grandes dirnensioms 444

515.5" Uso de los balances macroscpicos para resolver problemas de estado no estacionario y problemas con perfiles de velocidad no planos 547

Ej . 15.5-1 Calentamiento de un lquido en un tanque agitado 547

Ej. 15.5-2 Operacin de un controlador de temperatura simple 550

Ej. 15.5-3 Flujo de fluidos compresibles a travs de medidores de calor 553

Ej. 15.5-4 Expansin libre intermitente de un fluido compresible 554


Capitulo 16 Transporte de energa por radiacin 571

316.1 El espectro de radiacin electromagn6tica 572 516.2 Absorcin y emisin en superficies slidas 574 916.3 Ley de distribucin de Manck, ley de

desplazamiento de Wien y ley de Stefan-Boltzmann 577

E j . 16.3-1 Tmperatura y emisin de enerpk radiante del Sol 581

516.4 Radiacin directa entre cuerpos negros en el vaco a diferentes temperaturas 581

Ej. 16.4-1 Estimacin de la constanfe solar 586 Ej . 16.4-2 Transmisin de calor radiante entre

discos 586 516.5" Radiacin entre cuerpos no negros a diferentes

temperaturas 586 Ej. 16.5-1 Escudos de radiacin 589 Ej. 16.5-2 Pkrdidas de calor por radiacin y por

conveccin libre en un tubo horizontal 590 Ej. 16.5-3 Radiacin y conveccin combinadas 590

516.6" Transporte de energa radiante en medios absorbentes 591

Ej. 16.6-1 Absorcin de una emisin de rayos de radiacin monocromdfica 593


,-,,ae * ,'wwP RL

xii Contenido

Captulo 19 Ecuaciones de variacin para sistemas de varias componentes 681

g19.1 Las ecuaciones de continuidad para una mezcla de varias componentes 681

Ej. 19.1-1 Difusin, convecci6n y reaccidn quimica 685

519.2 Resumen de las ecuaciones de variacin de varias componentes 686

919.3 Resumen de las densidades de flujo de varias componentes 691.

E j . 19.3-1 Entalpi molar parcial 692 s19.4 Uso de las ecuaciones de variacin para

mezclas 694 Ej. 19.4-1 Transporfe sirnultdneo de calor

y de materia 694 Ej. 29.4-2 Pofil de concentracin en un reactor

tubular 697 Ej . 19.4-3 Oxidacin cataltica del monxido de

carbono 699 Ej. 19.4-4 Conducfividad tnntca de un gas

poliatmico 701 519.5 Anlisis dimensional de las ecuaciones de

variacin para mezclas binarias no reactivas 702

Ej. 19.5-1 Distribucin de concenfracidn alrededor de un cilindro largo 704

Ej. 19.5-2 Fomacidn de niebla durante la deshumidificacin 706

Ej. 19.5-3 Mezcla de fluidos miscibles 708 Preguntas para discusin 710 Problemas 71 0

Captulo 20 Distribuciones de concentracin con ms de una variable independiente 719

520.1 Difusin dependiente del tiempo 720 Ej. 20.1-1 Evaporacin en estado no estacionario de un

liquido (el "problema de Arnold") 721 Ej . 20.1-2 Absorcibn de un gas con reaccin

rdpida 724 Ej. 20.1-3 Difusin no estacionaria con reaccin

homoghea de primer orden 726 Ej. 20.1-4 Influencia det drea interfacial variable sobre

la transferencia de materia en una interfase 728 520.2' Transporte en estado estacionario en capas lmite

binarias 731 Ej. 20.2-1 Difusin y rmccin qumica en flujo

laminar isotPrmico a lo largo de una Lmina plana soluble 733

Ej. 20.2-2 Conveccin forzada desde una lmina plana a altas velocidades de transferencia de rnnteria 735

Ej. 20.2-3 Analogas aproximadas para la lmina plam a bajas velocidades de transferencia de materia 741

520.30 Teora de capa lmite en estado estacionario para flujo alrededor de objetos 741

Ej. 20.3-1 Transferencia de materia para flujo reptante alrededor de una burbuja de gas 745

520.40 Transporte de materia de capa lmite con movimiento interfacial complejo 746

Ej. 20.4-1 Transferencia de materia con deformacin interfacial no uniforme 751

Ej. 20.4-2 Absorcin de un gas con reaccidn rpida y deformacin interfacial 752

920.5. "Dispersin de Taylor" en flujo laminar en un tubo 753

Preguntas para discusibn 758 Problemas 758

Captulo 21 Distribuciones de concentracin en flujo turbulento 769

521.1 Fluctuaciones de concentracin y la concentracin con ajuste de tiempo 769

921.2 Ajuste de tiempo de la ecuacin de continuidad deA 770

521.3 Expresiones semiempncas para a densidad de flujo turbulento de materia 771

521.4" Mejoramiento de la transferencia de materia por medio de una reaccin de primer orden en flujo turbulento 772

521.5. Mezclado turbulento y flujo turbulento con reaccin de segundo orden 777


Capitulo 22 Transporte interfsico en mezclas no isotrmicas 787

522.1 Definicin de los coeficientes de transferencia en una fase 788

522.2 Expresiones analticas para los coeficientes de transferencia de materia 793

s22.3 Correlacin de los coeficientes binarios de transferencia en una fase 797

Ej. 22.3-1 Evaporacin desde una gota que cae libremente 801

Ej. 22.3-2 El psicrmetro de bulbo hmedo y seco 802

Ej. 22.3-3 Transferencia de materia en flujo reptanfe a trav6s de lechos de relleno 805

Ej. 22.34 Transferencia de materia a gotas y burbujas 806

522.4 Definicin de los coeficientes de transferencia en dos fases 807

Ej. 22.4-1 Determinacin de la resistencia de controI 810

Ej. 22.4-2 Inferaccin de las resistencias de fase 812 Ej. 22.4-3 Promedio de rea 814

522.5" Transferencia de materia y reacciones quimicas 815

Contenido xiii

E j . 22.5-1 Estimacin del rea interfacial en una columna de relleno 816

E j . 22.5-2 Estimacin de los coeficientes volumtricos de transferencia de materia 817

Ej. 22.5-3 Correlaciones insensibles al modelo para absorcin con reaccin rpida 818

j22h0 Combinacin de transmisin de calor y transferencia de materia por conveccin libre 820

Ej. 22.6-1 Aditividad de los nmeros de Grashof 820 E j . 22.6-2 Transmisidn de calor por conveccidn libre

como fuente de transferencia de materia por conveccidn forzada 820

$22.7" Efectos de las fuerzas interfaaales sobre la transmisin de calor y la transferencia de materia 822

E j . 22.7-1 Eliminacin de lo circulacidn en una burbuja de gas ascendente 824

Ej. 22.7-2 Inestabilidad de Marangoni en una pelcula descendente 825

922.8" Coeficientes de transferencia a altas velocidades de transferencia neta de materia 826

Ej. 22.8-1 Evaporacin rdpida de un lfquido desde una superficie plana 834

Ej. 22.8-2 Factores de correccidn en la a~aporacin de una gotita 835

Ej. 22.8-3 Desempeo corregido de un bulbo hmedo piara velocidad de transferencia de materia 835

Ej . 22 -84 Comparacin de los modelos de pelcula y de penetracin para evaporacidn no estacionaria ett un tubo largo 837

E j . 22.8-5 Polariuzcin de concentracin en ultrafiltrncin 838

522.9. Aproximaciones matriciales para transporte de materia de varias componentes 842


Capitulo 23 Balances macroscpicos en sistemas de varias componentes 853

323.1 Balances macrosc6picos de materia 854 Ej . 23.1-1 Disposicin de un producto de desecho no

estacionario 855 E j . 23.1-2 Partidores de muestras binarios 857 Ej. 23.1-3 Balances macroscdpicos, "capacidad

separathra" y la "funcin de valor" de Dirac 859 E j . 23.1 -4 Anlisis por compartimientos 862 Ej . 23.1-5 Constantes de tiempo e insensibilidad

al modelo 865 s23.2' Balances macrosc6picos de cantidad de

moviiniento y de cantidad de movimiento angular 868

s23.3 Balance macroscpico de energa 868 923.4 Balance macroscpico de energa mecnica 869 523.5 Uso de los balances macroscpicos para resolver

problemas de estado estacionario 869 Ej. 23.5-1 Balances de energl para un convertidor de

dixido de azufre 869

E). 23 .S-2 Altura de una torre de abcorcidn de relleno 872

Ej. 23.5-3 Cascadas lineales 877 Ej. 23.54 Expansin de una niacla degases reacfivn a

travs de una boquiILa adiabtica sin friccin 881 523.6" Uso de los balances macrosc6picos para resolver

problemas de estado no estacionario 884 Ej. 23.6-1 Puesta en marcha de un reactor

qumico 884 Ej. 23.6-2 Ope~acin de una columna de ell le no en

estado no estacionario 885 Ej. 23.6-3 Utilidad de los monlentos de orden

bajo 889 Preguntas para discusin 892 Problemas 892

Capitulo 24 Otros mecanisinos del transporte de materia 899

524.1 Ecuacin de variacin para entropia 900 524.2. Expresiones de densidad de flujo para calor

y materia 902 Ej. 24.2-1 Difusidn termica y la columnu de Clusius-

Dickel 906 Ej. 24.2-2 Di@si6n de presin

y la ultracen frifugadora 908 924.3' Difusin de concentracin y fuerzas

impulsoras 910 924.4' Aplicaciones de las ecuaciones generalizadas

de Maxwell-Stefan 912 Ej. 24.4-1 Centrifugado de profefnas 913 Ej. 24.4-2 Protenas como partculas

hidrodindmicas 916 Ej. 24.4-3 Difusin de cales ev una solucidn

acuosa 917 Ej. 24.4-4 Desviaciones con respecfo a la

elecfroneutralidad local: electrodsrnosis 919 Ej. 24.4-5 Fuerzas impulsoras adicionales de

transferencia de materia 921 524.5" Transporte de materia a travs

de membranas selectivamente permeables 923

Ej. 24.5-2 Difusidn de concentracidn entre fases z7olumAricas mayores preexistentes 926

Ej. 24.5-2 Ulftafiftracin y smosis inversa 928 Ej. 24.5-3 Membranas cargadas y exclusidn de

Donnan 930 s24.6' Transporte de masa en medios

porosos 932 E j . 24.6-1 Difusin de Knudsen 934 Ej. 24.6-2 Transporte desde una solucin binaria

externa 937 Preguntas para discusin 938 Problemas 939

Eplogo 945

xiv Contenido

A peiid ices

Apndice A Notacin vectorial y tensorial 947

Operaciones vectoriales desde un punto de vista geomtrico 948 operaciones vectoriales en trminos de componentes 951

Ej . A.2-1 Wernostrnci6n de una identidad vecforial 955

Operaciones tensoriales en trminos de componentes 956 operaciones diferenciales para vectores y tensores 962

E j . A.4-1 Probar una identidad tensorial 966 Teoremas integrales para vectores y tensores 968 lgebra de vectores y tensores en coordenadas curvilneas 970 Operaciones diferenciales en coordenadas curvilneas 974

Ej . A.7-I Operaciones diferenciales en coordenadas cilindricas 977

Ej. A.7-2 Operaciones diferenciales en coordenadas esfricas 984

Operaciones integrales en coordenadas curvilneas 986 Comentarios adicionales sobre la notacin vector-tensor 988

Apndice B Densidades de flujo y las ecuaciones de variacin 991

1 Ley de viscosidad de Newton 991 sB.2 Ley de conduccin de calor de Fourier 993 5B.3 (Primera) Ley de Fick de la difusin binaria 994 gB.4 La ecuacin de continuidad 994 5B.5 La ecuacin de movimiento en trminos de T 995 3B.6 La ecuacin de movimiento para un fluido

newtoniano con p y p constantes 996 58.7 La funcin de disipacin m, para fluidos

newtonianos 997 50.8 La ecuacin de energa en trminos de q 997 5B.9 La ecuacin de energa para fluidos newtonianos

puros con p y k constantes 998 5B.10 La ecuacin de continuidad para la especie a en

trminos de j, 998 gB.11 La ecuacin de continuidad para la especie A en

trminos de wA para p%AB constante 999

Apndice C Temas matemticos 1001

C . Algunas ecuaciones diferenciales ordinarias y sus soluciones 1001

5C.2 Expansin de funciones en serie de Taylor 1002 5C.3 Diferenciacin de integrales

(frmula de Leibniz) 1003 5C.4 La funcin gamma 1004 5C.5 Las funciones hiperblicas 1005 5C.6 La funcin de error 1006

Apndice D La teora cintica de los gases 1007

D . Ecuacin de Boitzmann 1007 5D.2 Ecuaciones de variacin 1008 5D.3 Expresiones moleculares para las densidades

de flujo 1009 5D.4 Soluci6n de la ecuacin de Boltzmann 1009 5D.5 Las densidades de flujo en trminos de las

propiedades de transporte 1010 5D.6 Las propiedades de transporte en trminos de

las fuerzas intermoleculares 1010 5D.7 Comentarios finales 1011

Apndice E Tablas para prediccin de propiedades de transporte 1013

E Parmetros y propiedades crticas de la fuerza intermolecular 1014

5E.2 Funciones para la prediccin de propiedades de transporte de gases a bajas densidades 1016

Apndice F Constantes y factores de conversin 1017

El Constantes matemticas 1017 5F.2 Constantes fsicas 1017 5F.3 Factores de conversin 1018

Notacin 1023

ndice de autores 1029

ndice temtico 1037

Captulo 0

El tema de los fenmenos de transporte

0 . Qu son los fenmenos de transporte?

50.2 Tres niveles en los que es posible estudiar los fenmenos de transporte

w.3 Las leyes de conservacin: un ejemplo

50.4 Comentarios finales

El propsito de este capitulo introductono es describir el alcance, los objetivos y los mtodos del tema de los fenmenos de transporte. Es importante tener una idea acerca de la estructura del campo antes de entrar en los detalles; sin esta perspecti- va no es posible apreciar los principios unificadores del tema y la interrelacin de los diversos temas individuales. Para entender muchos procesos en ingeniera, agri- cultura, meteorologa, fisiologa, biologa, qumica analtica, ciencia de materiales, farmacia y otras reas, es esencial tener una buena comprensin de los fenmenos de transporte. Tales fenmenos constituyen una rama bien desarrollada y eminen- temente til de la fsica que trasciende muchas reas de la ciencia aplicada.

0 . QU SON LOS FENMENOS DE TRANSPORTE?

El dominio de los fenmenos de transporte comprende tres temas estrechamente relacionados: dinmica de fluidos, transmisin de calor y transferencia de materia. La dinmica de fluidos se refiere al transporte de cantidad de movimiento, la transmisin de calor trata sobre el transporte de energa, y la transferencia de materia estudia el transporte de materia de varias especies qumicas. En un nivel introduc- torio, estos tres fenmenos de transporte deben estudiarse juntos por las siguientes razones:

A menudo se presentan de manera simultnea en problemas industriales, bio- lgicos, agrcolas y meteorolgicos; de hecho, el desarrollo de cualquier proceso de transporte en forma individual es la excepcin, ms que la regla.

Las ecuaciones bsicas que describen los tres fenmenos de transporte estn bastante relacionadas entre s. La semejanza de las ecuaciones en condiciones simples es la base para resolver problemas "por analoga".

Las herramientas matemticas necesarias para describir estos fenmenos son muy semejantes. Aunque el propsito de este libro no es ensear matemticas, se pedir al estudiante que revise varios temas matemticos a medida que se avanza. Aprender cmo aplicar las matemticas puede ser un resulta- do indirecto bastante til del estudio de esta materia.

Los mecanismos moleculares que constituyen la base de los diversos fenmenos de transporte tienen una estrecha relacin entre s. Toda la materia est

2 Capitulo O El tema de los fenmenos de transporte

hecha de molculas, y los mismos movimientos e interacciones moleculares son responsables de la viscosidad, la conductividad trmica y la difusin.

Los objetivos principales de este libro son proporcionar una visin completa y ba- lanceada del campo de los fenmenos de transporte, presentar las ecuaciones fundamentales de la materia y mostrar corno usarlas para resolver problemas.

Hay numerosos y excelentes tratados sobre dinmica de fluidos, transmisin de calor y transferencia de materia. Adems, hay muchas revistas de investigacin de- dicadas a estos temas individuales e incluso a subcampos especializados. El lector que domine el contenido de este libro estar en posibilidad de consultar tratados y revistas, y abordar con mayor profundidad otros aspectos de la teora, tcnicas experimentales, correlaciones empricas, mtodos de diseo y aplicaciones. Es decir, este libro no debe considerarse como la presentacin completa del tema, sino ms bien como un escaln para llegar a la abundancia de conocimientos que est ms all.

90.2 TRES NIVELES EN LOS QUE ES POSIBLE ESTUDIAR LOS FEN~MENOS DE TRANSPORTE

En la figura 0.2-1 se muestra el diagrama de un sistema grande; por ejempjo, una pieza de equipo grande a travQ de la cual fluye una mezcla de fluido. El transporte de materia, cantidad de movimiento, energa y cantidad de movimiento angular se pueden describir en tres niveles distintos.

Nivel macroscpico (figura 0.2-la). En este nivel se anota un conjunto de ecuaciones denominadas "balances macroscpicos", que describen cmo cambian la materia, la cantidad de movimiento, la energa y la cantidad de movimiento angular en el sistema debido a la introduccin y eliminacin de estas entidades por las corrientes que entran y salen, y tambin debido a otras entradas al sistema provenientes del entorno. No se hace ningn intento por comprender todos los detalles del sistema. A1 estudiar un sistema de ingeniera o uno biolgico es conveniente empezar con esta descripcin rnacroscpica a fin de hacer una valoracin global del problema; eii algunos casos todo lo que se requiere es esta visin general.

Nivel microscpico (figura 0.2-16). En este nivel se analiza lo que esta ocurriendo a la mezcla de fluido en una pequea regin dentro del equipo. Se anota un conjunto de ecuaciones denominadas "ecuaciones de variacin", que describen cmo la materia, la cantidad de movimiento, la energa y la cantidad de movimiento angular cambian dentro de esta pequea regin. El objetivo aqu consiste en obtener informacin

Q = calor aadido al sistema A'

Figura 0.2-1 a) Sistema de flujo macrosc>pico ' W, = trabajo realizado sobre el que contiene N2 y 02;

1 sistema por el entorno b) regin microscpica por medio de partes mvikes dentro del sistema

macrciscpico que contiene Ni y 02, que se encuentran en estado de flujo; C ) colisin entre una molcuIa de N, y una molcula de Q1.

50.2 Tres niveles en los que es posible estudiar los fen6menos de transporte 3

, acerca de la velocidad, la temperatura, la presin y los perfiles de concentracin dentro del sistema. Esta informacin ms detallada puede ser necesaria para comprender algunos procesos.

Nivel molecular (figura 0.2-112). En este nivel se busca una comprensin fundamental de los mecanismos de transporte de materia, cantidad de movimiento, energa y cantidad de movimiento angular en trminos de la estructura molecular y las fuerzas intermoleculares. En general ste es el dominio del fsico terico o del fsico qumico, aunque hay ocasiones en que los ingenieros y los cientficos aplicados deben participar en este nivel. Esto es particularmente cierto si los procesos que se estn estudiando implican molculas complejas, intervalos extremos de temperahra y precin, o sistemas qumicamente reactivos.

Debe resultar evidente que estos tres niveles de descripcin suponen diferentes "escalas de longitud": por ejemplo, en un problema industrial tipico, en el nivel macroscpico las dimensiones de 10s sistemas de flujo pueden ser del orden de centmetros o metros; el nivel microscpico implica lo que est ocurriendo en el intervalo de micras a centmetros; y los probgemas en el nivel molecular contemplan interna- los aproximados de 1 a 1000 nanmetros.

Este libro est dividido en tres partes que tratan lo siguiente:

Flujo de fluidos puros a temperatura constante (haciendo nfasis en el transporte viscoso y convectivo de cantidad de movimiento): captulos 1 a 8.

Flujo de fluidos puros con temperatura variable (haciendo nfasis en el transporte de energa conductivo, convectivo y radiactivo): captulos 9 a 16.

Flujo de mezclas de fluidos de composicin variable (haciendo nfasis en el transporte difusivo y convectivo de materia): captulos 17 a 24.

Es decir, avanzamos desde los problemas ms simples hasta los ms difciles. En cada una de estas partes comenzamos con un capitulo inicial que aborda algunos resultados de la teora molecular de las propiedades de transporte (viscosidad, condudividad trmica y difusividad). En seguida procedemos al nivel microscpico y aprendemos cmo determinar la velocidad, la temperatura y Ios perfiles de concentracin en varios tipos de sistemas. La discusin concluye con el nivel macroscpico y la descripcin de grandes sistemas.

A medida que se avance en el anlisis, e1 lector apreciar que existen muchas relaciones entre los niveles de descripcin. Las propiedades de transporte especifica- das en la teora molecular se usan en el nivel microscpico. Adems, las ecuaciones que se desarrollan en el mismo nivel son necesarias para proporcionar alguna informacin inicial a la solucin de problemas en el nivel macroscpico.

Tambin hay relaciones entre las tres reas de transporte de cantidad de movimiento, energa y materia. Al aprender cmo resolver problemas en un xea, tambin se aprenden las tcnicas para resolverlos en otra. Las semejanzas de las ecuaciones en las tres reas significan que en muchos casos es posible resolver un probIema "por analogia"; es decir, tomar una solucin directamente de un rea y, carnbianGr, luego los smbolos en las ecuaciones, anotar la solucin de un problema en otra rea.

EI estudiante encontrar que estas relaciones - en t r e niveles y entre los diversos fenmenos de transporte- refuerzan el proceso de aprendizaje. A medida que se pasa de la primera parte del libro (transporte de cantidad de movimiento) a la segunda (transporte de energa), y luego a la tercera (transporte de materia), la histo- ria ser muy parecida, pero los "nombres de los jugadores" cambiarn.

En la tabla 0.2-1 se muestra la disposicin de los captulos en forma de una "matriz'' de 3 x 8. Un rpido vistazo a la matriz deja muy claro qu tipos de interrelacio-

4 Captulo O El tema de los fenmenos de transporte

Tabla 0.2-1 Organizacin de los temas en este libro

Cantidad de Tipo de transporte movimiento Energa Materia

Transporte debido al 1 Viscosidad y el 9 Conductividad 17 Difusividad y los movimiento tensor de esfuerzo trmica y el vector vectores de molecular (densidad de flujo de densidad de densidad de flujo

de cantidad de Aujo de calor de materia movimiento)

Transporte en una 2 Balances de 10 Balances de 18 Balances de dimensin (mtodos envoltura de la envoltura de envoltura de de balances de cantidad de energa y materia y envoltura) movimiento y distribuciones de distribuciones de

distribuciones de temperatura concentracin velocidad

Transporte en 3 Ecuaciones de 11 Ecuaciones de 19 Bcuaciones de medios continuos variacin y su uso variacin y su uso variacin y su uso arbitrarios (uso de [isotrmicasl [no isotrmicas] [mezclas] las ecuaciones generales de transporte)

Transporte con dos 4 Transporte de 12 Transporte de 20 Transporte de variables cantidad de energa con dos materia con dos inde~endientes movimiento con variables variables r,intodos especiales) dos variables independientes independientes

independientes

Transporte en flujo 5 Transporte 13 Transporte 21 Transporte turbulento y turbulento de turbulento de turbulento de propiedades de cantidad de energa; materia; zransporte de movimiento; conductividad difusividad de remolino viscosidad de trmica de remo1 ino

remolino remolino

Transporte a travs 6 Factores de 14 Coeficientes de 22 Coeficientes de de lmites de fases friccin; uso de transmisin de transferencia de

correlaciones calor; uso de materia; uso de empricas correlaciones correIaciones

empricas empricas

Transporte en 7 Balances 15 Balances 23 Balances grandes sistemas, macroscpicos macroscpicos macroscpicos como piezas de [isotrmicos] [no isotrmicosl [mezclas] equipo o partes de este

Transporte por 8 Transporte de 16 Transporte de 24 Transporte de medio de otros cantidad de energa por materia en mecanismos movimiento en radiacin sistemas de varios

lquidos componentes; polimricos efectos cruzados

nes pueden esperarse en el transcurso del estudio del libro. Recomendamos estudiar los temas por columnas, en particular para cursos de pregrado. Para bs estudiantes de pos- grado, p r otra parte, hacer e1 estudio de los temas por renglones puede ser una oportunidad para reforzar las relaciones entre las tres reas de los fenmenos de transporte.

g0.3 Las leyes de conservacin: un ejemplo 5

En los tres niveles de descripcin -molecular, microscpico y macroscpico-, las leyes de conservacin desempean un papel fundamental. La obtencin de las leyes de conservacin para sistemas moleculares es directa e instructiva. Con fsica elemental y un mnimo de matemticas es posible ilustrar los conceptos principales y revisar cantidades fsicas clave que se encontrarn a lo largo de este libro. Ese es el tema de la siguiente seccin.

El sistema que consideramos es el de dos molculas diatmicas que chocan. Para fa- cilitar las cosas, suponemos que las molculas no interactan qumicamente y que cada una de ellas es homonuclear; es decir, que sus ncleos atmicos son idnticos. Las molculas estn en un gas a baja densidad, de modo que no es necesario considerar interacciones con otras molculas en el entorno. En la figura 0.3-1 se muestra la colisin entre las dos molculas diatmicas hornonucleares, A y B, y en la figura 0.3-2 se muestra la notacin para especificar las ubicaciones de los dos tomos de una molcula por medio de vectores de posicin trazados desde un origen arbitrario.

En realidad, la descripcin de eventos que ocurren a nive1 atmico y molecular debe hacerse usando mecnica cuntica. Sin embargo, excepto para las molculas ms ligeras (H2 y He) a temperaluras menores que 50 K, la teora cintica de los gases puede desarrollarse con bastante precisin por medio de la mecnica clsica.

Antes y despus de una colisin deben mantenerse varias relaciones entre cantidades. Tanto antes como despus de la colisin se supone que las molculas estn lo suficientemente distanciadas, de modo que las dos molculas son incapaces de "percibir" la fuerza intermolecular entre ellas; ms all de una distancia aproximada de 5 dimetros moleculares se sabe que la fuerza intermolecular es despreciable. Las cantidades despus de la colisin se indican con primas.

a) Segn la ley de conservacin de la materia, la materia total de las molculas que entran a la colisin y salen de sta debe ser igual:

Aqu rnA y rnB son las masas de las molcuIas A y B. Debido a que no hay reacciones qumicas, las masas de las especies individuales tambin se conservan, de modo que

,,@--\ k., 1. Figura 0.3-1 Coli-

sin entre molcu- -"O : 1

Molcula A antes de la colisin / las diatmicas

i / Molcula B antes de la colisiii hornonucleares, co- l L / \ mo Nz y O2 La mo- / \ lcula A est / / '\ compuesta por dos '\ tomos, A l y A2

La molcula B est compuesta tarnbih

Molcula B despus de la coli51on Dc,r dos ~1 r Molcula A despus de la colisin y H2.

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6 Capitulo O El tema de los fenbmenos de transporte

O Origen arbitrario

fijado en ei espacio Figvra 0.3-2 Vectores de posicin para los tomos A l y A2 en la molcula A.

b) Segn la ley de conseniacin de la cantidad de movimiento, la suma de las cantidades de movimiento de todos los tomos antes de la colisin debe ser igual a la co- rrespondiente despus de la colisi6n, de modo que

donde rAl es el vedor de posicin para el tamo 1 d e la molcula A, y fAl es su velocidad. Luego se escribe rAl = FA + RAl, de modo que rAl est escrito como la suma del vector de posicin para el centro de masa y el vector de pasicin del tomo respecto al centro de masa, y se reconoce que RA2 = -RAr; las mismas relaciones tambin se escriben para los vectores de velocidad. Asi, podemos volver a escribir la ecuacin 0.3-3 como

Es decir, el planteamiento de conservacin puede escribirse en trminos de las masas y velocidades moleculares, y las cantidades at6micas correspondientes pueden eliminarse. Para obtener la ecuacin 0.3-4 se us la ecuacin 0.3-2 y el hecho de que para molculas diatmicas hornonucleares se cumple que mAl = nzA2 = mA.

C) Se@ la ley de conservacidn de la energia, la energa del par de molculas que chocan debe ser la misma antes y despus de la colisi6n. La energa de una moicu- la aislada es la suma de las energas cinticas de los dos tomos y la energa potencial interatmica, que describe la fuerza del enlace qumico que une los dos tomos I y 2 de la molcuia A, y es una funcin de la distancia interatmica I rA;! - rAl 1 . En consecuencia, la conservacin de la energa lleva a lo siguiente:

Ntese que utilizamos la notacin estndar abreviada de que*l = (tAl fAl). Luego escribimos la velocidad del tomo 1 de la molcula A como la suma de la velocidad del centro de masa de A y la velocidad de 1 respecto al centro de masa; es decir, kAl = tA +RAI . As, 4 ecuacin 0.3-5 se convierte en

donde uA = $ mA1Ri1 + mA2R& + #A es la suma de las energas cinticas de los tomos, referida al centro de masa de la molcula A, y el potencial interat6mico de la mo-

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90.4 Comentarios finales 7

lala A. Es decir, la enex@ de cada molcuia se divide en su energa &tica respecto a coordenadas fijas y en h energla interna de la mol6cda (que h l u y e sus energas de vibracin, rotadonal y potencial). La w d 6 n 0.3-6 hace evidente que ias energas cinticas de ki inolcuias que chocan pueden transformarse en energa intema o viceversa. Esta idea de un intercambio entre en* cinbtica y energa interna surgir6 de nuevo d o analicemos las daames de energa m los niveles micmc6pico y m a m p m .

d) Pot iltimo, la ley de conservacin de la cantidad de movimiento altgular puede apiicarse a una colisin para obtener

donde X se usa para indica el producto cruz de dos vectores. Luego & introducen los vectores de centro de maca y de pusici6n relativa y los vectores de velocidad como antes, y obtenemos:

donde lA = [ R ~ ~ x mAjtAl] + IR, x es la suma de 10s momentos de cantidad de movimiento angular de los Atomos referida a un origen de coordenadas en el centro de masa de h-molcula; es decir, la "cantidad de movimiento angular fn- terno". El punto importante es que existe la posibilidad de intercambio entre la cantidad de movimiento angular de las molculas (respecto al origen de coordenadas) y su cantidad de movimiento angular interno (respecto al centro de masa de la molcula). Ms tarde se har referencia a este hecho en relacin con la ecuacin de variacin para la cantidad de movimiento angular.

Lac leyes de conse~acin, se&n se aplican a colisiones de molculas mon~atd- micas, pueden obtenerse a partir de los resultados anteriores como sigue: las ecuaciones 0.3-1,032 y 0.3-4 son aplicables directamente; la ecuacin 0.3-6 es aplicable si se omiten las contribuciones de en+ intema; y Ia ecuacin 0.3-8 puede usarse si se descartan los trminos de la cantidad de movimiento angular interno.

Una parte importante de este libro estii relacionada con el establecimiento de las leyes de conservaci6n en los niveles microscpico y macroscpico y su aplicacin a problemas de inters en ingenie& y ciencias. El anIisis anterior debe proporcionar un entorno aceptable para emprender esta tarea. Para repasar las leyes de conservacin por especie para materia, cantidad de movimiento y energia en los niveles microscpico y macroscpico, consdte las tablas 19.2-1 y 23.5-1.

.4 COMENTARIOS FINALES

Para utilizar de manera inteligente los balances macroscpicos, es necesario valerse de informaci6n sobre transporte de interface que proviene de las ecuarione~ de variacin. Pata usar estas ecuadones se requieren las propiedades de transporte, que est6n descritas por vanas teorias moleculares. En consecuencia, desde el punto de vista de la enseanza, parece mejor comenzar en el nivel molecular y progresar hacia sistemas m6s grandes.

Todos los tratamientos tericos van acompaados de ejemplos pafa ilustrar r- mo la teoria se aplica a la solucin de problemas. Al final de cada capitulo se pre- cenan probIemas para reforzar las ideas desarrolladas en el captulo. Los problemas e s t h agrupados en cuatro clases:

vicsaHighlight

8 Captulo O El tema de los fenmenos de transporte

Clase A: problemas numricos, diseados para destacar ecuaciones importantes del texto y para desarrollar sensibilidad respecto a los rdenes de magnitud.

Clase B: problemas analticos que requieren realizar deducciones elementales aplicando conceptos fundamentales del captulo.

Clase C: problemas analticos ms avanzados que pueden requerir consultar los conceptos de otros captulos o de otros libros.

Clase D: problemas que requieren habilidades matemticas intermedias.

Muchos de los problemas y ejemplos ilustrativos son ms bien elementales en el sentido de que implican sistemas demasiado simplificados o modelos muy ideales. No obstante, es necesario empezar con estos problemas elementales para entender cmo funciona la teora y adquirir confianza en su empleo. Adems, algunos de estos problemas pueden ser muy tiles para reaLizar estimaciones sobre el orden d e magnitud en problemas complejos.

A continuacin se presentan algunas sugerencias para estudiar el tema de los fenmenos de transporte:

Leer siempre e1 libro teniendo lpiz y papel a la mano; trabajar todos los detalles de los desarrollos matemticos y anotar los pasos faltantes.

Siempre que sea necesario, consultar los textos de matemticas para repasar clculo, ecuaciones diferenciales, vectores, etc. sta es una oportunidad exce- lente para repasar los contenidos matemticos aprendidos previamente (aunque quiz no con tanto cuidado como debi haber sido). Empearse en interpretar fsicamente 10s resultados clave; es decir, adquirir el hbito de relacionar las ideas fsicas con las ecuaciones.

Preguntar siempre si los resultados parecen razonables. Si los resultados no coinciden con la intuicin, es importante descubrir cul es el error.

Acostumbrarse a comprobar las dimensiones de todos los resultados. sta es una muy buena manera de ubicar errores en las deducciones.

Esperamos que el lector comparta nuestro entusiasmo por el tema de los fenmenos de transporte. Para dominar la materia se requerir algo de esfuerzo, pero las re- compensas merecern el tiempo y la energa invertidos.

Cules son las definiciones de cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular y energa cintica para una partcula simple? Cules son las dimensiones de estas cantidades? Cules son las dimensiones de velocidad, velocidad angular, presin, densidad, fuerza, trabajo y momento de torsin? Cules son algunas unidades comunes usadas para estas cantidades? Verificar que es posible pasar de la ecuacin 0.3-3 a la ecuacin 0.3-4. Describir todos los detalles necesarios para obtener la ecuacin 0.3-6 a partir de la ecuacin 0.3-5. Suponga que el origen de coordenadas se ha desplazado a una nueva posicin. Cmo afec- ta este hecho a la ecuacin 0.3-7? Cambia la ecuacin? Compare y contraste la velocidad angular y la cantidad de movimiento angular. 'Qu se entiende por energa interna?, y por energa potencial? La ley de conservacin de la materia, jsiempre es vlida? Cules son sus limitaciones?

Captulo 1

Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento

91.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento rnolecular)

512 Generalizaci6n de la ley de viscosidad de Newton

1.3 Dependencia de la viscosidad con respecto a la presin y la temperatura

51.4" Teora molecular de la viscosidad de gases a baja densidad

51.5" Teora molecular de la viscosidad de lquidos

91.6" Viscosidad de suspensiones y de emulsiones

51.7 Transporte de cantidad de movimiento convectivo

La primera parte de este libro trata acerca del flujo de fluidos viscosos. Para fluidos de peso molecular bajo, la propiedad fsica que caracteriza la resistencia a fluir es la viscosidad. Cualquiera que haya comprado aceite para motor sabe que algunos aceites con ms ''viscosos'' que otros y que la viscosidad es una funcin de la temperatura.

Empezamos en 91.1 con el flujo cortante simple enfxe lminas paralelas y analiza- mos cmo la cantidad de movimiento se transfiere a travs del fluido por accin viscosa. ste es un ejemplo elemental de transporte de cantidad de movimiento molecular y sirve para introducir la "ley de viscosidad de Newton" junto con la definicin de viscosidad p. Luego, en 51.2 mostramos cmo es posible generalizar la ley de Newton para patrones de flujo arbitrarios. Los efectos de la temperatura y la presin sobre la viscosidad de gases y lquidos se resumen en 91.3 por medio de una griSfica adi- mencional. A continuacin, s1.4 dice cmo las viscosidades de los gases pueden cal- cularse a partir de la teora cintica de los gases, y en 91.5 se proporciona un anlisis semejante para los lquidos. En s1.6 se presentan algunos comentarios sobre la viscosidad de suspensiones y emukiones.

Por ltimo, en s1.7 se muestra que la cantidad de movimiento tambin puede transferirse por el movimiento volumtrico (global) del fluido y que tal fransporfe de la cantihd de movimiento convectiva es proporcional a la densidad p del fluido.

51.1 LEY DE VISCOSIDAD DE NEWTON (TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOLECULAR)

En la figura 1.1-1 se muestra un par de placas paralelas largas, cada una de rea A, se- paradas por una distancia Y. En el espacio entre ellas se encuentra un fluido, ya sea un gas o un lquido. Este sistema est inicialmente en reposo, pero en el tiempo f = O la placa inferior se pone en movimiento en la direccin x positiva a una velocidad constante V. A medida que transcurre el tiempo, el fluido adquiere cantidad de movimiento y finalmente se establece el perfil de velocidad lineal en estado estacionario que se observa en la figura. Se requiere que el flujo sea laminar (el flujo "laminar" es

12 Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento

Figura 1.1-1 Forma- cin del perfil de velo-

Fluido inicialmente en reposo cidad laminar

estacionario para un fluido contenido entre dos placas. El flujo se denomina "laminar"

t = o Placa inferior puesta porque las capas adya- en movimiento centes del fluido ("l-

t pequeo q t grande e

minas") se deslizan una sobre otra de manera ordenada.

Formacin d e la velocidad en flujo no estacionario

Distribucin final d e velocidad para flub estacionario

el tipo de flujo ordenado que suele observarse cuando se vierte jarabe, en contraste con el flujo "turbulento", que es el flujo catico irregular que se observa en una licua- dora a gran velocidad). Cuando se alcanza el estado final de movimiento en estado estacionario, para mantener el movimiento de la placa inferior se requiere una fuerza constante 1". El sentido comn sugiere que esta fuerza puede expresarse como sigue:

Es decir, la fuerza debe ser directamente proporcional al rea y a la velocidad, e in- versamente proporcional a la distancia entre las placas. La constante de proporcio- nalidad p es una propiedad del fluido, definida como la viscosidad.

Ahora volvamos la atencin a la notacin que se utilizar a lo largo del texto. Primero sustituimos F/A por el smbolo T ~ ~ , que es la fuerza en Ia direccin x sobre un rea unitaria perpendicular a la direccin y. Se entiende que sta es la fuerza ejercida por el fluido de menor y sobre el fluido de mayor y. Adems, V / Y se sustituye por -dv,/dy. As, en trminos de estos smbolos, Ia ecuacin 1.1-1 se convierte en

Esta ecuacin, que establece que la fuerza cortante por rea unitaria es proporcional al negativo del gradiente de velocidad, a menudo se denomina ley de viscosidad de N e ~ f o n . ~ En realidad no debemos referirnos a la ecuacin 1.1-2 como una "ley", ya

' Algunos autores escriben la ecuacin 1 .l-2 en la fonna

donde .ryx [=] Ibf/pi& v, [=] pie/s, y [=] pie y p [=] lb,/pie . S; la cantidad g, es el "factor de conversin gravitaciorial" con el valor de 32.174 poundals/lb En este libro siempre usaremos la ecuacin 7.1-2 en vez de la ecuacin 1.1-2a. f'

Sir isaac Newton (1643-1723, profesor en la Universidad de Cambridge y luego director de la Casa de Moneda, fue el fundador de la mecnica cldsica y contribuy tambin a otros campos de la fsica. En realidad, la ecuacin 1.1-2 no aparece en la obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Sir Isaac Newton, aunquc la idea seminal est presente ah. Para comentarios ilustrativos, vase D.J. Acheson, Eleincntn y Fluid Qnainics, Oxford University Press, 1990, @.l.

51.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento moiecular) 13

que Newton la sugiri como un empirismo:3 la proposicin ms simple que puede hacerse para relacionar el esfuerzo y el gradiente de velocidad. Sin embargo, se ha encontrado que la resistencia a fluir de todos los gases y lquidos con peso molecular menor que aproximadamente 5000 est descrita por la ecuacin 1.1-2, y tales fluidos se denominan fluidos nautonianos. Los lquidos polimricos -suspensiones, pastas, lechadas (lodos) y otros fluidos complejos- no son descritos por la ecuacin 1.1-2 y se denominan fluidos no newtonianos. Los lquidos polimricos se describen en el captulo 8.

La ecuacin 1.1-2 puede interpretarse de otra manera. En la vecindad de la superficie slida en movimiento en y = O el fluido adquiere cierta cantidad de movimiento en la direccin x. Este fluido al mismo tiempo imparte cantidad de movimiento a la capa adyacente del lquido, provocando que permanezca en movimiento en la direccin x. Por lo tanto, la cantidad de movimiento en la direccin x se transmite a travs del fluido en la direccin y positiva. En consecuencia, rF tambin puede interpretarse como la densidad de flujo de cantidad de movimiento de la direccin x, en la direccin y positiva, donde el trmino "densidad de flujo" (f Iux) significa "flujo por rea unitaria". Esta interpretacin es consistente con la representacin molecular de transporte de cantidad de movimiento y con las teoras cinticas de los gases y los lquidos. Tambin est en armona con el tratamiento anlogo que se da ms adelante para la transmisin de calor y el transporte de materia.

La idea planteada en el prrafo anterior puede parafrasearse afirmando que la cantidad de movimiento va "cuesta abajo" desde una regin de alta velocidad hacia una regin de baja velocidad: de la misma forma en que un trineo se desliza cuesta abajo desde un lugar elevado hasta otro ms bajo, o como fluye el calor de una regin de alta temperatura a una regin de baja temperatura. En consecuencia, e1 gradiente de velocidad puede entenderse como una "fuerza impulsora" del transporte de cantidad de movimiento.

En lo que sigue, algunas veces nos referiremos a la ley de Newton de la ecuacin 1.1-2 en trminos de fuerzas (lo cual recalca la naturaleza mecnica del tema), y otras veces en trminos de transporte de cantidad de movimiento (lo cual recalca las analogas con el transporte de calor y de materia). Este punto de vista dual probar su utilidad en las interpretaciones fsicas.

A menudo los expertos en dinmica de fluidos usan el smbolo v para representar la viscosidad dividida entre la densidad (masa por volumen unitario) del fluido; as,

Esta cantidad se denomina viscosidad cincmfica. A continuacin se exponen algunos comentarios sobre las unidades de las can-

tidades que se han definido. Si el significado del smbolo [=] es "tiene unidades de", entonces en el sistema SI se tiene que % I=l ~ / r n ~ = Pa, v , I=l m/s y y [=1 m, de modo que

ya que las unidades en ambos miembros de la ecuacin 1.1-2 deben coincidir. En la tabla 1.1-1 se resume lo anterior y tambin se proporcionan las unidades para los sis-

3Una relacin de la forma de la ecuacin 1.1-2 proviene de la teora ciniica simple de los gases (ecuacin 1.4-7). No obstante, una teora rigurosa para gases bosquejada en el apndice D hace evidente que la ecuacin 1.1-2 surge como el primer trmino en una expansin, y que es de esperar la aparicin de trminos adicionales (de orden superior). Tam- bin, incluso una tmra cintica elemental de ios Lquidos predice un comportamiento no newtoniano (ecuacin 1.5-6).


Tabla 1.1-1 Resumen de unidades para cantidades relacionadas con la ecuacin 1.1-2

SI %S Ingls

ryx pa dina/cm2 poundals/piez ei, m/s cm/s pie / S Y m cm pie E*. P a - S gm/cm-s=poise Ib,/pie.s Y m2/s cm2/s pie2 / S

Nota: el pascal, Pa, es lo mismo que N/m2; y el newton, N, es lo mismo que kg . m/s2. La abreviatura de "centipow" es "cp".

temas cgs e ingls. Las tablas de conversibn del apndice F seren muy tiles para resolver problemas numricos que implican diversos sistemas de unidades.

Las viscosidades de los fluidos varan sobre muchos rdenes de magnitud, con la viscosidad del aire a 20C igual a 1.8 X lod5 Pa S y la del glicerol aproximadamente de 1 Pa . s, donde algunos aceites de siiicn son an mds viscosos. En las tablas 1.1-2,l.l-3 y 1.1-4 se muestran datos experimentaIes4 para fluidos puros a 1 atm de presin. Ntese que para gases a baja densidad, la viscosidad aumenta con un incremento en la temperatura, mientras que para lquidos la viscosidad suele disminuir con un incremento en la temperatura. En gases, la cantidad de movimiento es transportada por las molculas en vuelo Iibre entre coIisiones, pero en los iiquidos el transporte se Ueva a cabo predominantemente en virtud de las fuerzas intermoleculares que experimentan pares de molculas a medida que serpentean aleatoria-

Tabla 1.1-2 Viscosidad de1 agua y del aire a 1 atm de presin

Agua (Ilq.1' Aireb

Temperatura Viscosidad Viscosidad cinembtica Viseasidad Viscosidad cinemtica T(o0 dmPa . S) v(cmZ/s) p(mPsr . S) vlcm2/s>

s1.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento molecular) 15

Tabla 1.1-3 Viscosidades de alanos p;ases Y lquidos a presin atrnosf6ricaa

Temperatura Viscosidad Temperatura Viscosidad Gases VC) p(mPa . S) Lquidos T("C) ,u(mPa S) i-C4Hlo 23 0.0076c (Cz&)20 O 0.283 sh 23 0.0153 25 0.224 Ch 20 0.0109b C6H6 20 0.649 H20 100 0.01211d Br2 25 0.744 CQ 20 0.0146~ Hg 20 1.552 N2 20 0.0175~ C2H50H O 1.786 0, 20 0.0204 25 1.074 Hg 380 0.0654~ 50 0.694

H2m4 25 25.54 Glicerol 25 934

Vaiores tomados de N.A. Lange, Handbook of Chemisty, McGraw-Hill, Nueva York, 15a ed. (19991, tabIas 5.16 y 5.18. b H.L. Johnston y K.E. McKloskey, J. Phys. C . . , 44,1038-1058 (1940). C CRC f i n d h k of Chemisty and Physics, CRC Press, Boca Ratn, Fla. (1999). d hndolt-Bornstein Zahlenwerfe und Funktionen, Springer (1969).

Tabla 1.1-4 Viscosidades de algunos metales lquidos

Temperatura Viscosidad Metal T("C) da S)

Datos tomados de The Reactor Handbwk, Vol. 2, Atomic Energy Commission AECD-3646, U.S. Govemment Printing Office, Washington, D.C. (mayo 1955), pp 258 et seq.

mente en torno a sus vecinas. En s 1 . 4 y 1.5 se proporcionan algunos razonamien- tos de la teora cintica elemental para explicar la dependencia de fa viscosidad con respecto a la temperatura.


Cdlcttlo de la densidad de flujo de caiitidad de

Calcular la densidad de flujo de cantidad de movimiento en estado estacionario ry, en y/pies2 cuando la velocidad V de la placa inferior en la figura 1 .l-1 es 1 pie/s en la direccion x positiva, la separacin Y de las placas es de 0.001 pie y la viscosidad ,LL del fluido es 0.7 cp,

movimiento

Debido a que T ~ , se pide en unidades del sistema ingls, es necesario convertir la viscosidad a ese sistema de unidades. As, con ayuda del apndice F se encuentra quep = (0.7 cp)(2.0886 x = 1.46 X 10-5 lbi ~ / ~ i e s ~ . El perfil de velocidad es lineal, de modo que

dv, - Av, - -1 .O pie / s = -1 000s-1

dy Ay 0.001 pie

Al sustituir en la ecuacin 1.1-2 se obtiene

En la seccin precedente Ia viscosidad se defini por medio de la ecuacin 1.1-2, en trminos de un flujo cortante simple en estado estacionario en el que v, es una funcin slo de y, y v y y v, son cero. Por lo general se tiene inters en flujos ms com- plicados en los que las tres componentes de la velocidad pueden depender de las tres coordenadas y quiz del tiempo. En consecue~icia, es necesario contar con una expresin ms general que la ecuacin 1.1-2, pero que pueda simplificarse a la ecuacin 1.1-2 para fhjo cortante en estado estacionario.

Esta generalizaciiin no es sencilla; de hecho, a los niatemticos les llev casi un siglo y medio lograrla. No es apropiado presentar aqu todos los detalles de este desarrollo, ya que es posible consultarlos en muchos libros sobre dinmica de fluid0s.l En vez de ello explicaremos brevemente las ideas primordiales que condujeron al descubrimiento de la generalizacin requerida de la ley de viscosidad de Ne~7ton.

Para hacerlo consideraremos un patrn de flujo muy general, donde Ia velocidad del fluido puede ser en varias direcciones en diversos sitios y puede depender del tiempo t. As, las componentes de la velocidad estn dadas por

En esta situacin, hay nueve componentes del esfuerzo r.. (donde i y j pueden asu- '1

mir las designaciones .y, y y z), en vez de la componente r que aparece en la ecuacin 'Y 1 .l-2. En consecuencia, debemos comenzar por la definicion de estas componentes del

esfuerzo.

' W Prager, Introducfon to Mechanics of Conti?run, Ginn, Boston (1961), pp. 89-91; R. Aris, Vectors, Tcnsors, and the Basic Equntions offiuid Mecknnics, Freiitice-Hall, Englewood CIiHs, N.J. (19621, pp. 30-34,99112; L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanicc, Pergamon, Londres, 2a. edicin (1987), pp. 44-45. Lev Davydavich Landau (1908-1968) recibi e1 premio Nobei en 1962 por su obra sobre dinmica de heo y dinmica de superfluidos.

51.2 Generalizacin de la ley de viscosidad de Newton 17

En la figura 1.2-1 se muestra un pequeo elemento de volumen en forma de cu- bo dentro del campo de flujo, donde el rea de cada cara es unitaria. El centro del elemento de volumen est en la posicin x, y, z. En cualquier instante es posible re- banar el elemento de volumen de manera que se elimine la mitad del fluido de su interior. Como se observa en la figura, cada vez es posible cortar el volumen en forma perpendicular a cada una de las tres direcciones de coordenadas. Luego es posible preguntar por la fuerza que debe aplicarse en la superficie libre (sombreada) para sustituir la fuerza que ejerca sobre esta superficie el fluido que se ha elimina- do. Habr dos contribuciones a esta fuerza: la asociada con la presin y la asociada con las fuerzas viscosas.

La fuerza de presin siempre ser perpendicular a la superficie expuesta. Por lo tanto, en (a) Ia fuerza por rea unitaria en la superficie sombreada ser un vector p8,; es decir, ia presin (un escalar) multiplicada por el vector unitario 6, en la direccin x. En forma semejante, la fuerza sobre la superficie sombreada en (b) ser pS y en Y' (c) la fuerza ser p6,. Las fuerzas de presin sern ejercidas cuando el fluido sea estacionario, as como cuando est en movimiento.

Las fuerzas viscosas entran en accin slo cuando dentro del fluido hay gradientes de velocidad. En general, no son perpendiculares al elemento superficial ni paralelas a ste, sino que forman algn ngulo respecto a la superficie (vase la figura 1.2-1). En (a) se observa una fuerza por rea unitaria -, ejercida sobre el rea sombreada, y en (b) y en (c) se observan las fuerzas por rea unitaria T y 7,. Cada una de estas fuerzas (que son vectores) tiene componentes (escalares!; por ejemplo, 7, tiene las componentes T,,, rXy y r,,. Por lo tanto, ahora es posible resu- mir en la tabla 1.2-1 las fuerzas que actan sobre las tres reas sombreadas de la figura 1.2-1. Esta tabuIacin es un resumen de las fuerzas por rea unitaria (esfuerzos) ejercidas dentro de un fluido, tanto por la presin termodinmica como por

Figura 1.2-1 Fuerzas de presin y viscosas que actan sobre planos en el fluido, perpendiculares a los tres sistemas de coordenadas. Los planos sombreados tienen rea unitaria.

18 Captulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento

los esfuerzos viscosos. Algunas veces serfi conveniente coniar con un smbolo que incluya ambos tipos de esfuerzo, de modo que los esfuerzos moleculares se definen como sigue:

Aqu aii es la delta de Kronecker, que es 1 si i = j y cero si i # j. Al igual que en la seccin precedente, rii (y tambin 7) puede interpretarse en

dos formas:

P.. = pS.- + T. = fuerza en la direccin j sobre un rea unitaria perpendicular a la di- 11 '1 '1

reccin i, donde se entiende que el fluido en la regin de menor x i ejerce la fuerza sobre el fluido de mayor xi.

P = POij + rii = densidad de flujo de la cantidad de movimiento j en la direccin i 1)

positiva; es decir, de la regin de menor xi a la de mayor xi.

En este libro se usan ambas interpretaciones; Ia primera es particularmente til para describir las fuerzas ejercidas por el fluido sobre superficies slidas. Los esfuerzos rXx = p + rxx, T T ~ = p + T ~ , rz7 = p + +zz se denominan esfuerzos normales, mientras que las cantidades restantes, % = T y, rYZ = % ,... se denominan esfuerzos cortantes. Estas cantidades, que tienen dos subndices asociados con las direcciones de coordenadas, se denominan "tensores", as como las cantidades (como la velocidad) que tienen un subndice asociado con las direcciones de coordenadas se denominan "vectores". En consecuencia, nos referiremos a T como el tensor de esfuerzo viscoso (con componentes T..) y a a como el tensor de esfuerzo molecular (con componentes

r! m+). Cuando no hay posibilidad de confusin, los modificadores "viscoso'' y "molecular" pueden omitirse. En el apndice A puede consultarse un anlisis sobre vectores y tensores.

La cuestin ahora es, cmo estn relacionados estos esfuerzos T~~ con los gradientes de velocidad en el fluido? Al generalizar la ecuacin 1.1-2 se impusieron varias restricciones sobre los esfuerzos, como sigue:

Tabla 1.2-1 Resumen de las componentes del tensor de esfuerzo moiecular (o tensor de densidad de cantidad de movimiento rnolecu1ar)a

Vector de fuerza Componentes de las fuerzas (por rea unitaria) por rea unitaria que actan sobre la cara sornbreada (componentes

sobre la cara de la densidad de flujo de cantidad de movimiento normal (densidad de flujo de cantidad a travs de Ia cara sombreada) a la cara de movimiento a travs de la sombread a cara sombreada) Componente x Componente y Componente z

stas se refieren como componentes del "tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento 1 molecular" porque estn asociadas con los movimientos molecularec, segn se analiza en 51.4 y en el apndice D. Las componentes adicionales del "tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo", asociadas con el movimiento volum&rico del fluido, se analizan en 51.7. I

I

51.2 Generalizacin de la ley de viscosidad de Newton 19

Los esfuerzos viscosos pueden ser combinaciones lineales de todos los gradientes de velocidad:

rij = -ZkCI Clijkl - dnk donde i, j, k, y 1 pueden ser 1.2 o 3 (1.2-3) 3 X l

Aqu las 81 cantidades piiw son "coeficientes de viscosidad". Las cantidades x l , x, y x, en las derivadas denotan las coordenadas cartesianas x, y, z , y vl, v2 y v3 son las mismas que u,, vy y u,.

Planteamos que las derivadas respecto al tiempo o las integrales respecto al tiempo no deben aparecer en las expresiones. (Para fluidos viscoelsticos, como se analiza en el captulo 8, las derivadas respecto al tiempo o las integrales respecto al tiempo son necesarias para describir las respuestas elsticas.)

No esperamos que est presente ninguna fuerza viscosa, si el fluido se encuentra en un estado de rotacin pura. Este requerimiento conduce a la necesidad de que ri j sea una combinacin simtrica de los gradientes de velocidad. Por esto se entiende que si se intercambian i y j, la combinacin de los gradientes de velocidad permanece sin cambio. Puede demostrarse que las nicas combinaciones lineales simtricas de los gradientes de velocidad son

Si el fluido es icotrpico, es decir, si no tiene una direccin preferida, entonces los coeficientes enfrente de las dos expresiones en la ecuacin 1.2-4 deben ser escalares, de modo que

As, ;hemos reducido el nmero de "coeficientes de viscosidad" de 81 a 2!

Por supuesto, queremos simplificar la ecuacin 1.2-5 a la ecuacin 1.1-2 para la situacin de flujo que se muestra en la figura 1.1-1. Para ese flujo elemental, la ecuacin 1.2-5 se simplifica a r = A dv,/dy, y por lo tanto, la constante

YX escalar A debe ser la misma que el negativo de la viscosidad p.

Finalmente, por un acuerdo comn asumido entre la mayora de los especia- listas en dinmica de fluidos, la constante escalar B se iguala a $ p - K , donde K se denomina viscosidad dilatacional. La razn para escribir B de esta manera es que por la teora cintica se sabe que K es idnticamente cero para gases monoatmicos a baja densidad.

As, la generalizacin requerida de la ley de viscosidad de Newton en la ecuacin 1.1-2 es entonces el conjunto de nueve relaciones (de las cuales seis son independientes):

Aqu 7.- = T.., e i y j pueden asumir los valores 1, 2 y 3. Estas relaciones para los '1 I'

esfuerzos en un fluido newtoniano estn asociadas con los nombres de Navier,

20 Captulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento

Poisson y Stokes2 Si se desea, este conjunto de relaciones puede escribirse de manera ms concisa en la notacin vector-tensor del apndice A como

donde 6 es el tensor unitario con componentes Vv es el tensar del gradiente de velocidad con componentes (d/axi)vi' (Vv)+ es la "transpuesta" del tensor del gradiente de velocidad con componentes (a/ax>v, y (V v) es Ia divergencia del vector de velocidad.

La conclusin importante es que se tiene una generalizacin de la ecuacin 1.1-2, y esta generalizacin implica no uno sino dos coeficientes3 que caracterizan al fluido: la viscosidad p y la viscosidad dilatacional K. Por lo general, al resolver problemas de dinmica de fluidos no es necesario conocer K . Si el fluido es un gas, a menudo se supone que acta como un gas ideal monoatmico, para el que K es idnticamente cero. Si el fluido es un lquido, a menudo se supone que es incompresible, y en el captulo 3 se demuestra que para lquidos incompresibles (V - v) = O, y en consecuencia el trmino que contiene a K se elimina de cualquier manera. La viscosidad dilatacional es importante para describir la absorcin del sonido en gases poliatmicos4 y para describir la dinmica de fluidos de lquidos que contienen burbujas gaseosa^.^

La ecuacin 1.2-7 (o Ia 1.2-6) es importante y se usar a menudo. Por lo tanto, en la tabla B.l se escribe completamente en coordenadas cartesianas (x , y, z), cilndricas (r, O, z) y esfricas (r, O, +). Los datos de esta tabla para las coordenadas curvilneas se obtienen por los mtodos que se describen en sA.6 y sA.7. Se sugiere que los estudiantes principiantes no se preocupen por los detalles de tales deducciones, sino que ms bien se concentren en utilizar los resultados tabulados. Los captulos 2 y 3 proporcionan bastante prctica para efectuar lo anterior.

Las componentes del esfuerzo significan lo mismo en coordenadas curvilneas que en coordenadas cartesianas. Por ejemplo, 7, en coordenadas cilndricas, que se encontrar en el captulo 2, puede interpretarse como: i) la fuerza viscosa en la direccin z sobre un rea unitaria perpendicular a la direccin r, o ii) la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento en la direccin z en la direccin r positiva. En la figura 1.2-2 se ilustran algunos elementos de superficie tpicos y componentes de esfuerzo tensoriales que surgen en la dinmica de fluidos.

Los esfuerzos cortantes suelen ser fciles de visualizar, pero los esfuerzos normales pueden provocar problemas conceptuales. Por ejemplo, r,, es una fuerza por rea unitaria en la direcci6n z sobre un plano perpendicular a la direcciOn z. Para el flujo de un ff uido incompresible en el canal convergente de la figura 1.2-3, intuitiva- mente se sabe que v, aumenta al disminuir z; por lo tanto, segn la ecuacin 1.2-6, existe un esfuerzo T ~ , = -2p4L(dvz/az) diferente de cero que acta sobre el fluido.

ZC.-L.-M.-H. Navier, Ann. Chimie, 19,244-260 (1821); S.-D. Poisson, J. Ecole Polytech., 13, Cahier 20, 1-174 (1831); G.G. Stokes, Ttans. Camb. Phil. Soc., 8,287-305 (1845). Claude-Louis-Marie-Henn Navier (178518.16) h e ingeniero civil cuya especialidad era la construccin de carreteras y puentes; George Gabriel Stokes (1819-1903) ensen en la Universidad de Cambridge y fue presidente de la Roya1 Cociety. Navier y Stokes son bien conocidos debido a las ecuaciones de Navier-Stokes (vase captulo 3). Vase tambin D.J. Acheson, Elementay Fluid Mechanics, Oxford University Press (1990), pp. 209-212,218.

Algunos autores se refieren a p como la "viscosidad del esfuerzo cortante", pero esta denominacin es inapro- piada porquep puede surgir tanto en flujos no cortantes como en flujos cortantes. La expresin "viscosidad dinmica" tambin se observa ocasionalmente, pero este tnnino tiene un significado muy especifico en el campo de la viscoelas- ticidad y es un trmino inadecuado para p .

'L. Landau y E.M. Lifshitz, op. cit., captulo VIII. G.K. Batchelor, An lntroducfion Lo Fluid Dynamicc, Cambridge University Press (1967), pp. 253-255.

s1.2 Generalizacin de la ley de viscosidad de Newton 21

La fuerza ejercida por el fluido en la direccin + sobre el elemento

de superfiae (RdB)(dz) es -~,,gl, ,~Rd@dz

Esfera slida

"YR, La fuerza ejercida por el

fluido en la diFecci6n 6 sobre el elemento de

Y superficie (M@)(R sen 8 d#) es - ~ ~ I , , ~ ~ ~ s e n B d 8 @

Cilindro sdo de radio R

La fuerza ejercida por el La fuerza ejercida por el fluido en la direccin fluido en la direcci6n

+z sobre el elemento $ sobre el elemento de

de superficie (RdB){dz) es superficie (Rd8) (R sen 13 dq5) -r,l,,~RdOdz es -7@lrE RR2senedB@

Cilindro slido @ La fluido z fuerza sobre en ejercida el la elemento direccin por el de superficie (dr)(dz) es

+TOZ 1 O = ( m / z ~ - & ~ dz

W a Y I

(0)

fl ia fuerza ejercida por el fluido en la direcci6n

I r sobre el elemento de Cono s6lido

-7&10=ar~enadr&

Figura 1.2-2 a) Algunos elenientos de superficie tpicos y esfuerzos cortantes en el sistema de coordenadas cilndricas. b) Algunos elementos de superficie tpicos y esfuerzos cortantes en el sistema de coordenadas esfricas.

Nota sobre la convencin de signos para el tensor de esfuerzo. Respecto a la ecuacin 1.1-2 (y en la generalizacin en esta seccin) hemos recalcado que ryx es la fuerza en la direccin x positiva sobre un plano perpendicular a la direccin y, y que esta es la fuerza ejercida por el fluido en la regin de menor y sobre el fluido de mayor y. En la mayor parte de los libros sobre dinmica de fluidos y elasticidad, las palabras "menor" y "mayo' con intercambiabIes y la ecuacin 1.1-2 se escribe como

22 Caphilo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento

Figura 1.2-3 El flujo en un canal convergente es ejemplo de una situacin en que los esfuerzos normales no son cem. Debi a que u, es '@ una funcin de r y z, la componente de esfuerzo normal rz2 -&(dv,/dz) es diferente de cero. Tambin, como v, depende de r y z, la componente de esfuerzo normal T , ~ = -@(du,/Jr) no es igual a cero. Sin

vztr) embargo, en la pared todos los esfuerzos nom~ales desaparecen para fluidos descritos por la ecuacidn 1.2-7 en el supuesto de que la densidad sea constante (vanse el ejemplo 3.1-1 y e

fenc3b3menos de-transporte-bird-stewart-lightfoot-2a-ed-2006

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