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EXTRACCIÓN DE OPERADORES DE TRANSICIÓN DE ESTADO EN

SISTEMAS COMPLEJOS. APLICACIONES EN HIDROLOGÍA

HÉCTOR ANDRÉS ANGARITA CORREDOR

Ingeniero Civil

Pontificia Universidad Javeriana

Maestría en Hidrosistemas

Bogotá D.C., Diciembre de 2008

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EXTRACCIÓN DE OPERADORES DE TRANSICIÓN DE ESTADO EN

SISTEMAS COMPLEJOS. APLICACIONES EN HIDROLOGÍA

HÉCTOR ANDRÉS ANGARITA CORREDOR

Ingeniero Civil

Trabajo de grado presentado para optar el título de Magíster en Hidrosistemas.

Director:

EFRAÍN DOMÍNGUEZ CALLE

Ing. Hidrólogo, MSc Ecología Hidrometeorologíca

PhD en Ciencias Técnicas

Pontificia Universidad Javeriana

Maestría en Hidrosistemas

Bogotá D.C., Diciembre de 2008

3

CONTENIDO

RESUMEN .................................................................................................................................. 8

Introducción .............................................................................................................................. 9

1. Extracción de operadores de transición a partir de datos observados .......................... 13

1.1. Marco Conceptual ................................................................................................... 13

1.2. El método de operadores adaptativos ‐ AOM ........................................................ 14

1.3. Enfoque adaptativo para la extracción de operadores de transición ..................... 15

1.4. Optimización de un operador adaptativo ............................................................... 19

1.5. Aplicación de un operador adaptativo .................................................................... 20

1.6. Frecuencia de muestreo necesaria para la aplicación de operadores adaptativos 22

1.7. Ejemplos .................................................................................................................. 25

1.7.1. Operadores de transición del atractor de Lorenz. .......................................... 26

1.7.2. Extracción de operadores de un sistema caótico simple (DOF = 2) ................ 29

2. Aplicación del método de extracción de operadores de transición en el diseño de un

sistema de pronóstico hidrológico de niveles en tiempo real ................................................ 34

2.1. Alcance y fuentes de información ........................................................................... 34

2.2. Comentarios sobre la notación de operadores adaptativos ................................... 36

2.3. Ejemplo 1. Estación El Banco .................................................................................. 37

2.4. Ejemplo 2. Estación Puente. Balseadero ................................................................. 43

2.5. Viabilidad de los pronósticos y análisis de los resultados ....................................... 48

3. Aplicación del método de extracción de operadores de transición de estado en la

decodificación de caudales ..................................................................................................... 53

4

3.1. Efecto del proceso codificación‐decodificación en la incertidumbre de la medición

de caudales .......................................................................................................................... 53

3.2. Diseño Experimental ............................................................................................... 56

3.3. Resultados ............................................................................................................... 58

Conclusiones ........................................................................................................................... 61

5

LISTADO DE FIGURAS

Figura 1 Línea de tiempo de calibración y pronóstico en un modelo AOM donde se ilustra el

concepto de ventana de parametrización. ............................................................................. 18

Figura 2. Algoritmo de identificación de un operador adaptativo óptimo ............................. 21

Figura 3. Algoritmo de pronóstico operativo de un operador adaptativo ............................. 22

Figura 4 Canal Ruidoso. ........................................................................................................... 23

Figura 5. Un modelo de pronóstico como un canal ruidoso. .................................................. 23

Figura 6. Modelos de pronóstico AOM de la forma (9) aplicados en dos señales de caudales

diferentes (a) Estación El Banco (b) Estación Paicol , a Δt = 1 dia. ......................................... 24

Figura 7 Criterio de identificación de frecuencia de muestreo óptima .................................. 25

Figura 8 Series de tiempo del atractor de Lorenz ................................................................... 26

Figura 9. Resultados de pronóstico de Y utilizando un operador óptimo de la forma (9)...... 28

Figura 10. Series de tiempo de los Coeficientes del operador de Y = L(Wt) ........................... 28

Figura 11. Pronóstico de P(yt+1,t). ........................................................................................... 29

Figura 12 Imágenes capturadas en un modelo físico del péndulo caótico. en los instantes t =

50, 150 y 250 ........................................................................................................................... 30

Figura 13 Series de tiempo registradas en las posiciones de un péndulo caótico ................. 30

Figura 14 Resultados de pronóstico de Y en T = 1, 3, 5 utilizando un operador óptimo de la

forma (9) ................................................................................................................................. 32

Figura 15 Resultados de pronóstico de P(Y) en T = 1, 3, 5 utilizando un operador óptimo de la

forma (10) ............................................................................................................................... 33

Figura 16 Estaciones limnigráficas seleccionadas de los ríos Cauca y Magdalena ................. 35

Figura 17. Convención adoptada para presentar el operador adaptativo óptimo. (a): Series

de tiempo pronosticadas y observadas (la gráfica inferior muestra mayor detalle temporal)

(b) Diagrama de dispersión observado vs simulado (c). Parámetros del operador óptimo y

criterios de desempeño. ......................................................................................................... 36

Figura 18 Convención para la presentación de un pronóstico probabilístico (d) serie de

tiempo de P(Y(t),t) y (e) Gausiana bivariada de P(r,L(Wt)). .................................................... 37

6

Figura 19 Series de tiempo del niveles diarios en la estación El Banco (X1), Promedio

multianual del dia de años precedentes (X2) y niveles registrados en Estación Pto Berrio (X3)

................................................................................................................................................. 38

Figura 20 Series de tiempo del niveles horarios en la estación El Banco (Xh1), niveles

registrados en Estación Pto Berrio (Xh3) ................................................................................ 38

Figura 21 Modelos de pronóstico en el Banco a resolución diaria. T = 1,3 y 14 días. ............ 39

Figura 22 Pronóstico estocástico en el Banco a resolución diaria. T = 1,3 y 14 días .............. 40

Figura 23. Modelos de pronóstico en el Banco a resolución horaria. T = 1,3 y 6 horas. ........ 41

Figura 24 Pronóstico estocástico en el Banco a resolución horaria. T = 1,3 y 6 horas ........... 42

Figura 25. Estimación de la frecuencia óptima de muestreo en la estación el Banco. ........... 43

Figura 26 Series de tiempo del niveles horarios en la estación Puente Balseadero (Xh1) y

precipitacón (Xh2) y niveles registrados en Pte Garces. (Xh3) ............................................... 44

Figura 27 Modelos de pronóstico en Pte Balseadero a resolución horaria. T = 1 y3 horas. ... 45

Figura 28. Modelos de pronóstico en Pte Balseadero a resolución horaria. T = 6 y 12 horas.

................................................................................................................................................. 46

Figura 29 Pronóstico estocástico en Puente Balseadero a resolución horaria. T = 1,3, 6 y 12

horas ........................................................................................................................................ 47

Figura 30. Estimación de la frecuencia óptima de muestreo en la estación Puente

Balseadero. .............................................................................................................................. 48

Figura 31 Desempeño de los operadores según el criterio AMI/H en las estaciones del Río

Magdalena a resoluciones temporales Horarias. .................................................................... 51

Figura 32 Desempeño de los operadores según el S/σΔ en las estaciones del Río Magdalena

a resoluciones temporales Horarias. ....................................................................................... 51

Figura 33 Desempeño de los operadores según el AMI/H en las estaciones del Río Cauca a

resoluciones temporales Horarias. ......................................................................................... 52

Figura 34 Desempeño de los operadores según el S/σΔ en las estaciones del Río Cauca a

resoluciones temporales Horarias. ......................................................................................... 52

Figura 35. Esquema de la comunicación aplicado a la observación de un proceso hidrológico.

................................................................................................................................................. 53

Figura 36 Campañas de aforo realizadas en la estación Juanchito. Fuente IDEAM. .............. 54

Figura 37 Puntos de Caudal y Nivel ......................................................................................... 55

7

Figura 38 Diseño Experimental para la definición de una función de decodificación de

caudales basada en un modelo de espacio de fase. ............................................................... 56

Figura 39 Hidrograma de creciente a resolución horaria en la estación La Balsa. ................. 57

Figura 40 Tramo de Rio Modelado en Mike 11 ....................................................................... 57

Figura 41 Solución de la onda dinámica en la sección de control considerada ...................... 58

Figura 42 Diagramas de dispersión de caudal decodificado vs caudal teórico en la sección de

control. (a) Curva de gasto (b) Decodificador de espacio de fase ........................................ 59

8

RESUMEN

Este trabajo propone una metodología para identificar operadores que describen la transición de sistemas de complejidad algorítmica significativa. En el método es posible identificar a partir de un conjunto de señales observadas: (1) la matriz de estado del sistema en términos de componentes de las señales y (2) reglas locales en el tiempo para predecir las transiciones de dicho estado. Se han realizado dos aplicaciones del método. La primera es la evaluación de la viabilidad de implementar un sistema de pronóstico en tiempo real de niveles y caudales en los Ríos Magdalena y Cauca. Los resultados de esta aplicación demuestran la viabilidad operativa de desarrollar modelos de pronóstico hidrológico de niveles de agua y caudales en la mayoría de las corrientes naturales evaluadas, en escalas desde horarias hasta semanales. La segunda aplicación es un método de definición de la curva de calibración de caudales que explota la dinámica de la señal observada del nivel. Los resultados indican que el método conduce a una reducción del efecto de la histéresis en decodificación del caudal, que no obstante no es satisfactoria pues induce a una modificación de la escala en los valores decodificados.

Abstract

This work proposes a method for extracting operators to describe transitions in observed signals from significant algorithmic complexity systems. The method identifies from a set of observed signals: (1) a description of the system state in terms of components of signals and (2) local rules in time to predict the system transition to next state. The method uses an adaptive approach suitable for systems in non stationary conditions. Two applications of the method have been developed. First, the evaluation of the feasibility for implementing real‐time forecasting models for levels and flow rates in the Magdalena and Cauca rivers from hourly to two weeks lead times. The results of this application demonstrate its operational feasibility for implementing predictive models of hydrological water levels for most of the cases evaluated. The second application is the definition of discharge decoding method which exploits the dynamics of the water level observed signal. The results indicate that the method leads to a reduction in the effect of hysteresis in the decoded flow, which however is not satisfactory as to induce a change of scale in the decoded values.

Palabras clave:

Pronóstico hidrológico, Sistemas complejos, Complejidad algorítmica, Modelos determinísticos, Modelos estocásticos.

Hydrological Forecast, Complex Systems, Algoritmic complexity, Deterministic models, Stochastic Models.

9

INTRODUCCIÓN

Una cuestión fundamental en el estudio de sistemas naturales radica en cómo explicar

secuencias de datos observados con el fin identificar los patrones o estructuras que definen

su evolución. En esencia, identificar reglas de transición permite disminuir la cantidad de

incertidumbre sobre el comportamiento no observado futuro o pasado. En el caso de un

sistema simple, como un péndulo, para un observador la incertidumbre sobre los estados

no observados es muy pequeña, pues para éste será posible predecir con precisión estados

no observados a partir de un conjunto sencillo de reglas y el conocimiento de las

condiciones las condiciones iniciales. En la medida que el proceso sea más incierto, un

observador percibirá en la secuencia de eventos un componente aleatorio hasta el punto en

el que dicho componente supere cualquier capacidad del observador de identificar las

reglas que determinan su comportamiento.

A partir de esta noción de incertidumbre se introduce una definición intuitiva de la

complejidad de un sistema: Para el observador un proceso será más complejo en la medida

que requiera más información para describir la evolución observada de un sistema.

Kolmogorov y Chaitin, formalizaron este concepto desde el punto de vista informático en

términos la longitud en bits del programa/algoritmo más corto capaz de reproducir la

secuencia de los estados observados del sistema. Esta definición guarda relación con la

capacidad de un observador de describir el sistema observado para comunicar la secuencia

de estados a otro observador: la complejidad puede medirse como el número mínimo de

bits que deben "transmitirse" para comunicar toda la secuencia sin que existan

ambigüedades (Cover 1991). Para un sistema simple, o de complejidad algorítmica mínima,

como el de un péndulo, un observador podrá comunicar una secuencia muy larga de

posiciones en términos del programa que numéricamente implementa la ecuación

diferencial y las condiciones iniciales que gobiernan su evolución, sin importar que el

10

intervalo de simulación tienda a infinito. Por el contrario, en un sistema de complejidad

algorítmica máxima, el mensaje/programa más corto para transmitir una secuencia de

estados observados del sistema es la secuencia misma.

La hidrología como disciplina científica estudia sistemas intermedios bajo la definición

anterior que ocupan una posición entre los sistemas alta predictibilidad (simples) como el

péndulo y aquellos impredecibles o totalmente aleatorios. Estos sistemas pueden

denominarse como de complejidad algorítmica significativa y suelen exhibir

comportamientos donde se identifican componentes estructurables, es decir, sujetos a

reglas identificables que determinan su evolución y otros no periódicos e irregulares, o

aleatorios, que se convierten en una fuente de incertidumbre para sus observadores. Bajo

esta definición la existencia de elementos aleatorios en la secuencia de estados observables

de un sistema es el resultado de la incapacidad práctica del observador de identificar las

reglas que determinan las interacciones dinámicas no observables entre los componentes

del sistema y su entorno.

Existen diversos enfoques para el estudio de las señales que describen la evolución de un

sistema. Un enfoque ampliamente aceptado se basa en el concepto de reconstrucción del

espacio de fase, definido como espacio donde es posible representar el estado de un

sistema. A partir de los trabajos de (Takens 1981), quien demostró que en la ausencia de

ruido algunos aspectos cualitativos el espacio de fase puede reconstruirse a partir de las

series datos observadas, se han realizado avances en la definición de modelos de pronóstico

a partir de datos ruidosos, generales y locales, entre otros por (Casdagli, Eubank et al. 1991;

Juke 2006), (Wagener and Gupta 2005),(Hunt, Kostelich et al. 2007) y (Friedrich, Siegert et

al. 2000; Frank, Beekb et al. 2004). Otro enfoque común consiste en modelos autoregresivos

–AR (Box, Gwilym et al. 2008) que aprovechan las propiedades de inercia del proceso para

estimar los estados futuros como una transformación de los estados pasados. En cualquiera

de los dos casos, la estimación de los estados futuros requiere la existencia de una regla, o

un operador, que describa la transiciones entre los estados del sistema.

Este trabajo se presenta en este contexto. Su objetivo general es proponer un marco

metodológico para aproximarse de forma empírica y cuantitativa a la modelación

11

matemática de sistemas hidrológicos de complejidad algorítmica significativa utilizando el

concepto de operador de transición en los datos observados. Para alcanzar este objetivo

general se plantean los siguientes objetivos específicos:

• Adopción del enfoque de operadores adaptativos (AOM) para la deducción de

ecuaciones diferenciales estocásticas que sirvan como operadores de transición de

estado en sistemas de complejidad algorítmica significativa,

• Implementar el método en aplicaciones hidrológicas.

En relación con el primer objetivo específico, este trabajo establece la conexión matemática

entre el método de AOM y los modelos de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) y de

ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE). Con respecto al segundo objetivo específico se

desarrollaron dos aplicaciones del método. La primera es el diseño de un sistema de

pronóstico estocástico en tiempo real en la red hidrológica de las cuencas del Magdalena y

Cauca, donde se aplica el método para definir los operadores de transición en algunas de las

principales estaciones automáticas del Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios

Ambientales ‐ IDEAM. La segunda aplicación es la definición de un procedimiento de

codificación y decodificación de la curva de gasto, basada en el espacio de fase Nivel, Caudal

(Q H) de un sistema hidrológico. Esta aplicación del AOM aprovecha la dinámica local del

flujo no permanente y no uniforme como alternativa frente al problema de la capacidad de

medición de caudales en corrientes naturales. El método para estimar la eficacia de una

codificación se relaciona con el concepto de capacidad de canal en los casos en que ocurre

una codificación ruidosa ‐ CR (o noisy encoding) que es una interpretación del teorema de

capacidad de canal propuesto por Shannon (Shannon 1948) en el contexto de ingeniería de

comunicaciones.

La estructura del documento se desarrolla de manera similar. En un primer capítulo se

presentarán los aspectos conceptuales y teóricos del método propuesto y algunos ejemplos

que tienen el propósito de aclarar los detalles operativos del método. El capítulo 2 trata

sobre los resultados de la evaluación de la viabilidad de implementación de operadores de

transición para fines de pronóstico hidrológico. Complementario a este capítulo se presenta

el Anexo 1, que contiene la definición de los operadores óptimos de pronóstico en las 11

12

estaciones seleccionadas. A continuación, el capítulo 3 ilustra los elementos conceptuales y

los resultados de la aplicación del método en la identificación de un operador de

decodificación de caudales. Finalmente se presentarán las conclusiones y recomendaciones

del estudio.

13

1. EXTRACCIÓN DE OPERADORES DE TRANSICIÓN A PARTIR DE

DATOS OBSERVADOS

Este capítulo describe el método de extracción de operadores y presenta algunos ejemplos

y recomendaciones para su correcta aplicación. En una primera sección se introducen los

fundamentos conceptuales y matemáticos y los procedimientos de implementación del

método propuesto. En la sección final de este capítulo se presentan algunos ejemplos que

buscan dar claridad sobre la mecánica y los resultados de la aplicación.

1.1. Marco Conceptual

Es posible estudiar las propiedades de la transición de X(t)={X1, X2,…, Xm}, el vector m‐

dimensional de variables de estado de un sistema, a través del concepto de espacio de fase.

Una aproximación consiste en suponer que la derivada con respecto al tiempo de X(t) se

expresa en términos de una función de X, es decir, mediante una ecuación diferencial

ordinaria de la forma:

)),(()(

ttXgdt

tdXi

i =

(1)

Dada la sustitución:

m][1,i ∈

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= ,...

,

2,

1,

ni

i

i

i

x

xx

X

nInI

II

II

xdt

tdx

xdt

tdx

xdt

tdx

,1,

3,2,

2,1,

)(...

)(

)(

=

=

=

−

(2)

14

que garantiza que xi,1, xi,2 … xi,n pertenecen al mismo proceso Xi. Ahora, aceptando que para

un sistema de complejidad algorítmica intermedia la función g(X(t),t) no está determinada

completamente ni el vector X(t) puede ser medido o decodificado1 perfectamente, es

necesario adoptar una formalización sobre la incertidumbre preservada en la transición

modelada. Si se supone que esta puede explicarse matemáticamente como alteraciones

irregulares y no periódicas en las trayectorias del espacio de fase, la ecuación (1) adquiere la

forma de una ecuación diferencial estocástica (o ecuación de Langevin) de la forma:

)()),(()),(()( tttXhttXgdt

tdXii

i Γ+= (3)

Donde g(X(t),t) es el componente determinístico definido en (1), )(tΓ es una señal

aperiódica e irregular (o "ruidosa") y h(X(t),t) una transformación lineal que ajusta la

influencia dinámica del ruido en la evolución del sistema(Gardiner 2004). En una ecuación

de la forma (3), xi(t) son variables aleatorias. La solución de la ecuación es la evolución de la

curva de densidad de probabilidad, P(xi(t),t), dadas las condiciones iniciales y la

incertidumbre del sistema.

La identificación de un modelo de espacio de fase basado en la ecuación (3) requiere

establecer la forma y parámetros de g(X(t),t) y h(X(t),t) que definen las transiciones

observadas de xi(t). Una vez identificada, la ecuación (3) puede ser tratada analíticamente

mediante cálculo estocástico o mediante la solución de la ecuación de Fokker Plank

Kolmogorov. También existen técnicas de solución numérica entre otras, Euler (Orden 1) y

métodos de orden superior, presentados por (Gardiner 2004).

1.2. El método de operadores adaptativos ‐ AOM

El concepto de operador adaptativo óptimo ‐ AOM propuesto por (Dominguez 2005;

Dominguez, Angarita et al. 2009), fue originalmente desarrollado con fines de mejoramiento

de las capacidades de pronóstico en tiempo real de niveles y caudales en corrientes

1 Véase capítulo 3 de este documento

15

naturales, cuya dinámica no estacionaria limita la capacidad de pronóstico a ciertas escalas

temporales. De manera general, el AOM es similar a otros enfoques de modelación de

sistemas dinámicos en tiempo discreto basados en el concepto de espacio de fase, por

ejemplo, el filtro(Kalman 1960) y también a métodos de análisis de series de tiempo como

AR, ARX, ARMAX (Box, Gwilym et al. 2008). La diferencia fundamental consiste en que el

AOM explota las dinámicas locales de las señales observadas, que pueden proveer una

aproximación eficiente desde un punto de vista computacional para el análisis de sistemas

sujetos a condiciones no estacionarias y con componentes periódicos que ocurren a

diferentes frecuencias. En esencia, el AOM consiste en adaptar continuamente modelos

matemáticos simples (lineales o no lineales) a la geometría y la cinemática observable

localmente en el espacio de fase de un sistema. Este enfoque adaptativo continuo resulta

útil en aplicaciones de pronóstico de tiempo real donde sea necesario el reajuste no

supervisado de modelos de pronóstico en caso de fallas en el proceso de transmisión o

asimilación de datos. Así mismo, permite enfrentar operativamente el problema de la

dimensionalidad del atractor de un sistema caótico al identificar entre el vector de señales

conocidas de un sistema, aquellas que definen el estado en un instante dato y a partir de

ello encontrar y ajustar continuamente las reglas de transición al siguiente.

1.3. Enfoque adaptativo para la extracción de operadores de transición

El problema de explicar una secuencia de datos observados puede definirse como un

problema inverso de Tipo 3 (Dominguez 2007), en donde el objetivo es identificar y

parametrizar un operador óptimo que relacione las entradas y salidas conocidas de un

sistema. En este trabajo por operador se entiende el objeto matemático "L" que modifica

una función W.

Definimos W(t) como los estados precedentes del conjunto de m señales observadas de

X(t), }~,...,~,~{)(~21 mXXXt =X en el intervalo [t-ρ, t], que contienen la información

suficiente para representar el estado de un sistema en un instante t:

16

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−−

−−−

ρρρ tmtt

tmtt

tmtt

xxx

xxxxxx

t

,,2,1

2,2,21,1

,,2,1

~...~~......

~...~~~...~~

)(W (4)

un operador de transición puede definirse como el operador L que transforma W(t) en

Y(t+T), donde T es el horizonte de tiempo del pronóstico y Y = {x1, x2, xn} es el vector de

pronóstico n‐dimensional de X:

)]([Pr tLonósticoTt WY =+ (5)

nm RRL ⎯→⎯×ρ:

Con el número de variables de pronóstico n no necesariamente igual al número de variables

que definen el estado del sistema m. Por convención, se definen como variables endógenas

las primeras n variables de )(~ tX , con n ≤ m.

Aquí se propone una aproximación simple para identificar la forma de la ecuación

diferencial estocástica (3). Se supone un sistema en el que es posible monitorear

continuamente y las dinámicas globales no lineales pueden aproximarse en el corto plazo

mediante transiciones locales lineales. Partiendo de las ecuaciones (1) y (3), si se adopta la

forma lineal para gi(X(t),t):

( ) ∑∑==

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==n

i

i

i

i

mimi

i

iii

n

iiii

x

xx

tbtb

tbtbtbtb

tXtBttXg1

,

2,

1,

,,1,,

1,2,

,1,2,1,1,1,

1

)(......)(......

)()(...)()(

)()()),((

ρρ

ρ

(6)

y dada la condición de la ecuación (2), las ecuaciones (1) y (3) se pueden reemplazar

respectivamente por ecuaciones diferenciales de orden superior de la forma:

( )tqxdtdxta

dtxdta

dtxdta

ii

iii

ii =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++∑

=−

−

−

ρ

ρ

ρ

ρρ

ρ

ρ1

11

1

1,, )(...)()( (7)

17

( ) )()),((ˆ)(...)()(1

11

1

1,, tttXhtqxdtdxta

dtxdta

dtxdta

ii

iii

ii Γ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++∑

=−

−

−

ρ

ρ

ρ

ρρ

ρ

ρ (8)

Ahora, si se aproxima el diferencial de orden n de xi como una diferencia finita hacia atrás

(Ames 1977):

( ) iti

it x

ix

dtxd

−=∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∇≅

ρρ

ρ

ρ ρ

0

1

con

ρ

ρρρ

ifiii=

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)!(!

!

Se obtienen los siguientes operadores lineales:

n][1, , (t) ∈+== ∑∑= =

+icttctWLY i

m

k jikjikjii Tt

1 1

)()()]([ρ

W (9)

n][1, , ∈Γ++== ∑∑= =

+itttYhtcttctWLY ii

m

k jikjikjii Tt

)()),(()()()()]([1 1

ρ

W (10)

Donde el operador L es una solución numérica de la ecuación de la dinámica del espacio de

fase del sistema, determinística (9) o estocástica (10), y cikj(t) y ci(t) son coeficientes

dependientes del tiempo. La relación entre los coeficientes de las ecuación diferencial (7) y

la solución numérica (9) está dada por:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ki

k

ki

te

ki

ki

ki

ki

c

cicc

a

aaa

ρρ

......2

1

2

1

0

F

donde

18

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ρρ

ρ

ρ

f

fffff

...00......

...0

...

11

1

01

00

0

F

Para identificar los coeficientes cikj(t) en cada instante k se adopta un enfoque de ventana

móvil, que supone la posibilidad de explicar linealmente las transiciones de corto plazo del

sistema. Se define la ventana de parametrización θ, como el intervalo óptimo de estados

precedentes del sistema: W(t), W(t‐1),…, W(t‐θ) necesarios para determinar óptimamente

los coeficientes cikj de las ecuaciones (9) y (10) en t. En general θ<Ns, donde Ns es la longitud

de las series de tiempo observadas de X(t). La Figura 1 ilustra este concepto.

Figura 1 Línea de tiempo de calibración y pronóstico en un modelo AOM donde se ilustra el concepto de ventana de parametrización.

Por otra parte, la determinación del componente aleatorio de la ecuación (10),

)()),((ˆ tttXh Γ requiere identificar la intensidad del ruido asociada a la transición de estado

del sistema. Aquí se adopta una aproximación de la estructura del ruido que supone (1) que

el ruido es gausiano δ‐correlacionado, según propone (Friedrich, Siegert et al. 2000) y (2)

que h(X(t),t) no varía en el tiempo en el intervalo de pronóstico. Por lo tanto:

)())(()()),((ˆ ttYhtttYh Γ≈Γ (11)

En este caso, se asume una distribución normal bivariada (Fernández, Guijarro et al. 1994)

para representar las propiedades aleatorias de los residuales dado el pronóstico

determinístico del sistema, es decir:

19

)))((|()())((ˆ tLxrPttYh iii W==Γ (12)

dada la distribución de probabilidad conjunta entre la serie de residuales r y la señal

observada Xi:

[ ] [ ]iiiii rxrxrxrx

iniii eXrP

−−− −

=1

21

2/12/)2(1)~,(

K

Kπ (13)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

i

ii X

rrx ~

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

i

ii X

rrx

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= 2

2

rirx

rxri

i

i

SSσ

σK

donde irx es el vector de los promedios de los residuales y de los valores observados y K la

matriz de varianza ‐ covarianza de r y iX~ .

1.4. Optimización de un operador adaptativo

Para una solución en el instante t de las ecuaciones (6), si se define el error de pronóstico

como la siguiente diferencia:

δ=− ++onóstico

TtObservado

TtPrYX (14)

L puede denominarse como un operador óptimo si minimiza alguna función de δ.

El proceso general de identificación de un operador adaptativo óptimo de la forma (1) o (3)

dadas (9) y (10) se muestra en la Figura 2. Por lo general, un algoritmo de búsqueda

exhaustiva utilizando los criterios min (s/σΔ) como función objetivo (cociente entre la

desviación estándar al cuadrado del error de pronóstico (s (δ)) y la desviación estándar de

los incrementos Xi(t+T)‐Xi(t), (σΔ)), es capaz de identificar óptimamente la forma de W(t) y θ

en un plazo de tiempo razonable. Este criterio exige al modelo que la variabilidad de los

20

errores cometidos en los pronósticos no supere la variabilidad de los incrementos de la

señal observada, es decir, mide la habilidad que tiene la metodología de pronóstico para

superar al “pronóstico por inercia”, entendido este último como la estimación:

ObservadoT

InerciaTt XY =+

Un primer ciclo busca la forma de W(t) entre los componentes de las señales X~ con rezagos

en el intervalo de [1,ρmax]. El segundo ciclo tiene que encontrar la longitud de la ventana de

parametrización óptima θ entre T+m∙ρmax y Ns. Según el criterio de desempeño de Centro de

Hidrometeorología de Rusia (Appolov 1974), el valor de S / σΔ tiene que ser menor que 0,8

aceptar que el modelo supera el pronóstico por inercia.

Dentro del ciclo de búsqueda del mejor operador aparece el ciclo de evaluación de un

operador adaptativo, que determina los coeficientes cij(t) y la constante ci(t) óptimos del

operador L(W(t)). Esto se consigue si se minimiza el error cuadrático σ² (cijk) en el intervalo

[t‐T‐θ, t‐T] mediante la solución del siguiente problema de optimización:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+=→ ∑∑

= =

2

1 1

2 )()( it

m

k jkjikj

Observadoiijk c(t)cTtYEc

ρ

σ W min (15)

En el cual los coeficientes cjk y cit son la solución del sistema de ecuaciones:

0

1,0

2

2

=∂∂

===∂∂

i

ijk

c

..., c

σ

ρσ ,j m , 1,... k

(16)

1.5. Aplicación de un operador adaptativo

Una vez establecidos los parámetros del operador óptimo W(t) y θ para un horizonte de

pronóstico T, el proceso de emisión de pronósticos se realiza según aparece en el diagrama

de la Figura 3.

21

Figura 2. Algoritmo de identificación de un operador adaptativo óptimo

Ciclo A. Ooftnidón ...... ___ CIclo .. "CM E_

( - -, -/ -_ .. _ .. -

-.1 - / .... _._ .. - / " "", •

- J l _ .. _"t'l

-"-' _. • / --- / _ .. _-_" __ ," _ ... "

r< -_.- > i >-r< ... '.'-"---"'-

11 -:;¡- JJ -_."-""" ... - .. , ....... I

1-::--1 r< ...... ,-_ ... - ) --I "-"-"",", J _ .. _- I I _o" _ ..... _,,.~

___ o

1-"--r .•• , - L. [II' (,JI- f f < .. (!jI ~

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I C-_" __ "'~ f _. ~

.. , /--¡ "-..-/

1 U-7,--1 11 .. , : ... , 11

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•

u .. - 11 '" Ciclo c. Doft_ .... com~ .... torio

( :)

/ .... _ .. __ .- /

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, ...... ~-.... ; «-,,_ ¡:.y "l' I ,.

~--, -'

22

Figura 3. Algoritmo de pronóstico operativo de un operador adaptativo

1.6. Frecuencia de muestreo necesaria para la aplicación de operadores adaptativos

En general, los criterios de desempeño de modelos basados en relaciones de inercia de la

señal como s/σΔ, proveen información sobre la bondad del modelo en relación con su

capacidad de superar el pronóstico por inercia (o naive forecast) sin establecer una métrica

sobre la precisión del pronóstico. Es decir, en ningún modo describe el nivel de error que se

pueda cometer en los pronósticos. En la Figura 6 se ilustra esta situación. En un proceso

altamente predecible (caso A), el pronóstico por inercia es una estimación muy precisa del

siguiente estado del sistema. Por el contrario, en el caso (B) este pronóstico es impreciso. La

situación anterior conduce a que en una señal observada como irregular y aperiódica, o

ruidosa, es posible que superar el pronóstico por inercia no necesariamente conduzca a un

pronóstico preciso. Desde la perspectiva del modelador o del usuario del pronóstico, la

23

relación entre la señal y el ruido, definida como la relación P/N entre la potencia de la

señales de L(W(t) y H(Y(t,t)), es inferior al umbral que garantiza una capacidad del modelo

de emitir un pronóstico cuantitativo preciso.

Formalmente, esto guarda relación con el teorema de capacidad de canal, propuesto por

(Shannon 1959), que define la cantidad de información C que puede ser enviada a través de

un canal ruidoso :

Ruido (N)

hh Canal: P(h | h)

Figura 4 Canal Ruidoso.

como:

)ˆ,(max)(

hhIChp

= (17)

Donde )ˆ,( hhI es la información mutua promedio entre las señales de entrada y salida del

canal, h y h . En este caso se interpreta un operador de transición como el siguiente canal:

Figura 5. Un modelo de pronóstico como un canal ruidoso.

En el que dado un estado del sistema W(t) transmite un estimativo Y(t+T) del estado futuro

de X. La capacidad del operador de reproducir el estado futuro del sistema X(t+T) podría

expresarse como:

),(max Pr

)(

ObservadoTt

onósticoTtWtp

XYIC ++= (18)

24

Dada una relación P/N para una señal continua, el teorema de capacidad de canal (Shannon,

1956) establece el límite superior de la capacidad como función de la frecuencia de

muestreo:

( )NPC +≤ 1logω (19)

Figura 6. Modelos de pronóstico AOM de la forma (9) aplicados en dos señales de caudales diferentes (a) Estación El Banco (b) Estación Paicol , a ∆t = 1 dia.

La aplicación de modelos AOM en señales de sistemas hidrológicos a diferentes escalas

espaciales (Véase Anexo 1) muestra resultados experimentales que relacionan la resolución

temporal de la señal de entrada con la capacidad de realizar un pronóstico preciso que

supera la inercia del sistema, que corresponde a la interpretación del teorema de Shannon

donde que relaciona la frecuencia de muestreo ω y la capacidad de un modelo AOM de

reproducir las transiciones de estado del sistema.

Según lo anterior, se supone que en X(t) existe una frecuencia de muestreo que maximiza la

cantidad de información que es posible transmitir por el canal de la Figura 8. Se propone el

25

siguiente experimento para identificar ω que maximiza la ecuación (18): Dada una

frecuencia de muestreo ω, es posible realizar un experimento para identificar la existencia

de un modelo tipo AOM que maximiza ),( Pr ObservadoTt

onósticoTt XYI ++ y también garantiza la emisión

de pronósticos que superen la inercia del proceso (s/σΔ<0.8). El primer criterio reduce el

efecto del ruido en la calidad del pronóstico. Por su parte el segundo garantiza que el

operador aporta información a partir de la dinámica local del proceso. El experimento

consiste en que dada una señal a resolución temporal ∆t, crear series sub‐muestreadas de

la serie original a 3∆t , 6∆t, 12∆t, etc. En cada caso, mediante el proceso exhaustivo de la

Figura 2 se estima el mejor modelo tomando como criterio la ecuación (18) y las condiciones

min(s/σΔ) y s/σΔ<0.8.

La Figura 7 ilustra un resultado de este procedimiento. En las abscisas aparecen las

frecuencias de muestreo y en las ordenadas respectivamente max ),( Pr ObservadoTt

onósticoTt YYI ++ y

min(s/σΔ). En ω=3∆t (3 horas) se alcanza un valor de AMI > 0.99 y min(s/σΔ) = 0.72 < 0.8.

Esto es un indicio que la mayor cantidad de información sobre la dinámica de la transición

del sistema se encuentra al realizar muestreos en periodos de 3 horas.

0

0.10.2

0.3

0.4

0.5

0.60.7

0.8

0.9

1

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1

1.01

0 2 4 6 8 10 12 14

S/SigmaDelta

AMI

Frecuencia de muestreo (horas)

Pto Berrio(2309703)

AMI

S/s?Min AMI = 0.95

Max S/s? = 0.8

Figura 7 Criterio de identificación de frecuencia de muestreo óptima

1.7. Ejemplos

En esta sección de presentan dos ejemplos de aplicación del método. El primero de ellos

consiste en identificar el operador de transición del atractor de Lorenz, un sistema caótico

26

determinístico. La segunda aplicación es la identificación de un modelo de pronóstico de la

posición de un péndulo caótico (DOF=2) a partir de información medida

experimentalmente. En el siguiente capítulo, donde se trata la implementación de un

sistema de pronóstico hidrológico de niveles, se presentarán ejemplos de aplicaciones

específicas en hidrología.

1.7.1. Operadores de transición del atractor de Lorenz.

Este primer ejemplo describe el proceso de identificación de los operadores de transición de

un sistema determinístico donde las secuencias de estados X(t) = {x(t),y(t),z(t)} son la

solución del sistema de Lorenz:

Con los parámetros σ = 10, β = 8/3 and ρ = 28. Véase Figura 8

Figura 8 Series de tiempo del atractor de Lorenz

27

En este caso el número de variables de estado y el número de variables de pronóstico, m y n

= 3, y el operador de la ecuación (5) será de la forma:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

)]([)]([)]([

33

22

11

Pr

Pr

Pr

tLtLtL

z

y

x

onósticoTt

onósticoTt

onósticoTt

WWW

33: RRL ⎯→⎯×ρ

Se toma como ejemplo el operador y = L2(W(t)). El procedimiento es igual para los otros dos

casos.

Una vez adoptado el horizonte de pronóstico (en este caso T=1), el primer paso consiste en

identificar los parámetros que definen la estructura del operador: θ, la ventana de

parametrización y W(t), la matriz de estado del sistema. Siguiendo el algoritmo de búsqueda

exhaustiva presentado en la Figura 2 se encuentran θ=177 y W(t):

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00yz0yzxyzxy

4-t

3-t3-t

2-t2-t2-t

1-t1-t1-t

2Wt

que minimizan s/σΔ. Por lo tanto, la forma del operador es:

te

3

1

4

122 c )()]([ +== ∑∑

= =+

k jkjikj tctWLY

TtWt

La Figura 10 muestra los valores calculados de los coeficientes c2jk para los primeros 500

pronósticos, utilizando en cada paso la ecuación (13). Para este operador los valores

obtenidos de los criterios de desempeño son s/σΔ = 0.12, r² = 0.99 y PI=0.985. La Figura 9

resume estos resultados.

28

Figura 9. Resultados de pronóstico de Y utilizando un operador óptimo de la forma (9)

Figura 10. Series de tiempo de los Coeficientes del operador de Y = L(Wt)

Finalmente, el componente probabilístico de la señal que reproduce la incertidumbre de los

pronósticos se estima utilizando la ecuación (9). Los resultados aparecen en la Figura 11:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

8984.00032.0

irx ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

0476.900274.00274.0 0.0148

K

29

Figura 11. Pronóstico de P(yt+1,t).

Los resultados indican que en este caso, a la resolución temporal de la solución numérica de

las ecuaciones de Lorenz, el proceso es altamente predecible según los criterios de

desempeño evaluados: s/σΔ cercano a cero y r² cercano a 1. El efecto de la precisión de los

pronósticos determinísticos se observa en el componente probabilístico de Figura 11, conde

la varianza de los residuales tiende a 0.

1.7.2. Extracción de operadores de un sistema caótico simple (DOF = 2)

En este ejemplo se desea establecer los operadores transición de la posición en Y de la

esfera superior de un péndulo caótico amortiguado (DOF=2) a horizontes de tiempo de 1, 3

y 5 ∆t. El estado del sistema se define por las coordenadas X(t) = [x1,y1,x2,y2], obtenidas

mediante procesamiento de imágenes del modelo físico que se muestra en la Figura 11. Al

ser obtenido de la observación directa, el vector X(t) se encuentra sujeto a las limitaciones

de la observación, en particular a la frecuencia de muestreo de la cámara utilizada (30fps, es

decir 30 s‐1). A diferencia del caso teórico del ejemplo anterior donde la solución numérica

permite adoptar un intervalo de tiempo indefinidamente pequeño, en este caso las

características de la medición conducen a una limitación en la cantidad de información que

es posible recopilar del proceso.

Para efectos del ejemplo, se trabajará con información incompleta, suponiendo que

solamente son conocidas las series x2,y2.

30

Figura 12 Imágenes capturadas en un modelo físico del péndulo caótico. en los instantes t = 50, 150 y 250

Figura 13 Series de tiempo registradas en las posiciones de un péndulo caótico

En el caso considerado, se desea identificar el operador:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

)]([)]([)]([

33

22

11

Pr5

Pr3

Pr1

tLtLtL

y

y

x

onósticot

onósticot

onósticot

WWW

33: RRL ⎯→⎯×ρ

Siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior se encuentran los operadores

31

te

2

1

2

1112 c )()]([

1+== ∑∑

= =+

k jkjikj tctWLY

tWt

c)()]([2

1

5

1te222 3 ∑∑

= =

+==+

k jkjikj tctWLY

tWt

te

2

1

8

1332 c )()]([

5+== ∑∑

= =+

k jkjikj tctWLY

tWt

con:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2-t2-t

1-t1-t1 xy

xyWt

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

5-t5-t

4-t4-t

3-t3-t

2-t2-t

1-t1-t

2

xyxyxyxyxy

Wt

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

8-t8-t

2-t2-t

1-t1-t

3

xy

......xyxy

Wt

Utilizando la ecuación (9), se obtienen los siguientes parámetros del componente aleatorio

de la ecuación (6b):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

030.47022.0

2rx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

8720.00027.00027.0 0.0586

2xK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

939.46194.0

2ry

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

8072.00839.00839.0 0.1255

2YK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1889.471336.0

2ry

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

3793.00027.00027.0 0.0419

2YK

Las Figura 14 y 12muestran los resultados del modelo.

32

Figura 14 Resultados de pronóstico de Y en T = 1, 3, 5 utilizando un operador óptimo de la forma (9)

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-

33

Figura 15 Resultados de pronóstico de P(Y) en T = 1, 3, 5 utilizando un operador óptimo de la forma (10)

El análisis de los resultados muestra que en los tres horizontes de pronóstico considerados

(1, 3 y 5 ∆t) se satisface el criterio de desempeño s/σΔ<0.8 en los modelos identificados. No

obstante, el criterio de precisión AMI/H, no se cumple en todos los casos.

a la luz que este sistema es determinístico , es un indicador del efecto de la frecuencia de

muestreo en la capacidad de pronóstico del sistema.

34

2. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE EXTRACCIÓN DE OPERADORES DE

TRANSICIÓN EN EL DISEÑO DE UN SISTEMA DE PRONÓSTICO

HIDROLÓGICO DE NIVELES EN TIEMPO REAL

Este capítulo presenta la aplicación del método de extracción de operadores de transición

en el pronóstico hidrológico de niveles de agua en estaciones limnimétricas localizadas en

diferentes puntos de los Ríos Magdalena y Cauca. Aquí se desarrollan y discuten algunos

ejemplos generales de implementación de los modelos AOM y se presenta un resumen con

los resultados de la viabilidad de implementación del sistema. La información detallada

sobre la configuración de los mejores modelos de las 11 estaciones evaluadas se presenta

en los Anexos 1, 2 y 3

2.1. Alcance y fuentes de información

Mediante esta aplicación se desea estudiar la viabilidad del método de extracción de

operadores de transición en la definición de modelos de pronóstico hidrológico de niveles

en las estaciones hidrológicas automáticas mostradas en la Figura 16. Las estaciones

seleccionadas abarcan un espectro significativo de escalas espaciales de las cuencas de los

ríos Cauca y Magdalena.

El diseño experimental propone la evaluación en dos grupos: (a) pronósticos basados en

series diarias con horizontes de 1, 3 y 14 días y (b) pronósticos basados en series horarias

con horizontes de 1, 3, 6 y 12 horas. Con la información obtenida en ambos casos, se estudia

la frecuencia de muestreo óptima según la metodología propuesta en la sección 1.6 del

capítulo anterior.

35

Figura 16 Estaciones limnigráficas seleccionadas de los ríos Cauca y Magdalena

Convención

@ Estllci6n piloto

estaciones ® Automática. PM

® Automátic.&, LO

- RIO MAGDALENA

-- RIOCAUCA

36

2.2. Comentarios sobre la notación de operadores adaptativos

La Figura 17 muestra la convención adoptada para representar el operador adaptativo

óptimo. Allí se incluyen los parámetros del operador T, horizonte de pronóstico y θ, ventana

de parametrización. La notación utilizada: X1 : (1,2,3,..,ρ1), X2 : (1,2,3,..,ρ2), Xm : (1,2,3,..,ρm)

es equivalente a la ecuación (4) en la forma:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−

−

m

1

2

,

,1

,2

tm,t2,t1,

x...00...0x

...x...x...xx

ρ

ρ

ρ

tm

t

tWt

En el formato también se presentan los criterios de desempeño s/σΔ, r², PI e I/H. Para cada

modelo se presentan las series de tiempo (hasta 730 pronósticos, según disponibilidad de

información) y el diagrama de dispersión de niveles observados vs pronosticados. En el caso

de los pronóstico probabilísticos, se presentan las series de tiempo de P(Y(t),t) y la

distribución de probabilidad ))(,( WtLrP ii correspondiente.

Figura 17. Convención adoptada para presentar el operador adaptativo óptimo. (a): Series de tiempo pronosticadas y observadas (la gráfica inferior muestra mayor detalle temporal) (b) Diagrama de dispersión observado vs simulado (c). Parámetros del operador óptimo y criterios de desempeño.

(b)

(c)

(a)

37

Figura 18 Convención para la presentación de un pronóstico probabilístico (d) serie de tiempo de P(Y(t),t) y (e) Gausiana bivariada de P(r,L(Wt)).

2.3. Ejemplo 1. Estación El Banco

Los datos de la estación El Banco, localizada en la cuenca baja del Rio Magdalena, muestran

un fuerte patrón de inercia, es decir los niveles futuros del sistema varían lentamente en

relación con el estado actual. Las Figura 19 y Figura 20 muestran que a resoluciones

temporales horarias la función de autocorrelación alcanza una memoria de más de 100

horas, y en las series diarias el radio de correlación supera 40 días. En estos casos, como se

mencionó en la sección 1.6, los modelos de predicción suelen tener valores de s/σΔ altos

(en algunos casos, s/σΔ>1), que muestran que la historia del proceso en sí misma contiene la

información suficiente para prever con precisión el futuro inmediato. Cualquier modelo

aplicado tiene que ser lo suficientemente bueno para traer nueva información acerca de la

dinámica del proceso a fin de explicarlo más allá de la influencia de la inercia.

Las Figura 21 a 21 muestran los operadores obtenidos y los modelos determinísticos y

estocásticos para horizontes de pronóstico de 1, 3, 6, 12 horas y 1,3 y 14 días. En general,

se observa que los modelos con resoluciones temporales por encima de 3 horas superan el

pronóstico por inercia, con valores de S/σ∆ entre 0.65 y 0.75 y PI entre 0.20 y 0.55. Por su

parte, en los modelos probabilísticos también es posible observar el efecto del ruido en la

incertidumbre de los pronósticos de los horizontes de 3 y 14 días.

Por otra parte, el análisis de frecuencias de muestreo, mostrado en la Figura 25, muestra

que en el rango de resoluciones temporales de entre 3 horas y 3 días es posible reproducir

(e) (d)

38

pronósticos precisos (AMI>0.95) que superan la inercia del proceso. Esto no ocurre con

pronósticos a resolución de 1 hora, en donde el modelo no mejora el pronóstico por inercia.

No obstante, en este caso esto se debe a los errores de cuantización en la señal observada.

Figura 19 Series de tiempo del niveles diarios en la estación El Banco (X1), Promedio multianual del dia de años precedentes (X2) y niveles registrados en Estación Pto Berrio (X3)

Figura 20 Series de tiempo del niveles horarios en la estación El Banco (Xh1), niveles registrados en Estación Pto Berrio (Xh3)

39

Figura 21 Modelos de pronóstico en el Banco a resolución diaria. T = 1,3 y 14 días.

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"

40

Figura 22 Pronóstico estocástico en el Banco a resolución diaria. T = 1,3 y 14 días

¡

, •

, , . ~ - ~ ........ ••

41

Figura 23. Modelos de pronóstico en el Banco a resolución horaria. T = 1,3 y 6 horas.

42

Figura 24 Pronóstico estocástico en el Banco a resolución horaria. T = 1,3 y 6 horas

43

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1

1.01

0 100 200 300 400

S/SigmaDelta

AMI


El Banco(2502702)

AMI

S/s?Min AMI

Max S/s?

Figura 25. Estimación de la frecuencia óptima de muestreo en la estación el Banco.

Las siguientes tablas se muestran los tiempos de cálculo obtenidos en la identificación de los

de los operadores óptimos.

Tabla 1 Tiempos de cómputo de identificación y pronóstico en la estación el Banco. Resolución Diaria.

Horizonte de pronóstico(H)

Tiempo de extracción del operador

(HH:MM:SS)

Tiempo de cómputo para 365 pronósticos

(Seg)

1 00:02:10 0.53

3 00:05:20 0.48

14 00:14:44 2.05

Tabla 2 Tiempos de cómputo y desempeño de los operadores adaptativos en la estación el Banco.

Frecuencia de muestreoω

(H)


(HH:MM:SS)


(Seg)

1 00:00:32 0.31

3 00:00:38 0.28

6 00:00:37 0.37

12 00:00:36 0.40

2.4. Ejemplo 2. Estación Puente. Balseadero

En la estación de Puente Balseadero, localizada en la cuenca media del Rio Magdalena, los

datos horarios muestran que el proceso de escorrentía tiene una memoria de menos de 5

horas. Este tipo de proceso, en comparación con la estación de El Banco, es más difícil de

predecir con precisión y es comparativamente más sencillo superar el pronóstico por

inercia.

44

El análisis de las frecuencias de medición muestra que los pronósticos son viables a

resoluciones temporales de 3 horas.

Por otra parte, los tiempos de cálculo obtenidos en la identificación de los de los operadores

óptimos en la estación Puente Balseadero son los siguientes:

Tabla 3 Tiempos de cómputo y desempeño de los operadores adaptativos en la estación Puente Balseadero.

ω

(H)


(HH:MM:SS)


(Seg)

1 00:02:10 0.53

3 00:05:20 0.48

6 00:14:44 2.05

12 00:48:00 3.44

Figura 26 Series de tiempo del niveles horarios en la estación Puente Balseadero (Xh1) y precipitacón (Xh2) y niveles registrados en Pte Garces. (Xh3)

45

Figura 27 Modelos de pronóstico en Pte Balseadero a resolución horaria. T = 1 y3 horas.

46

Figura 28. Modelos de pronóstico en Pte Balseadero a resolución horaria. T = 6 y 12 horas.

47

Figura 29 Pronóstico estocástico en Puente Balseadero a resolución horaria. T = 1,3, 6 y 12 horas

,

,

,

" "

. --

" " -

'" ,.

," '

"

"

" •

48

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.1

0.20.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10 12 14

S/SigmaDelta

AMI


PteBalseadero (2104701)

AMI

S/s?

Min AMI = 0.95

Max S/s? = 0.8

Figura 30. Estimación de la frecuencia óptima de muestreo en la estación Puente Balseadero.

2.5. Viabilidad de los pronósticos y análisis de los resultados

Las siguientes tablas resumen los resultados de desempeño de los modelos basados en

operadores de transición para la emisión de pronósticos hidrológicos en los casos de

pronóstico horario y diario. Según los criterios adoptados (S/σ∆<0.8 y AMI > 0.95),a escalas

horarias, en 9 de las 11 estaciones evaluadas es viable la implementación de un sistema de

pronóstico en tiempo real a resolución entre 1 a 12 horas. En los pronósticos diarios, en 5 de

las 8 estaciones evaluadas se identificaron modelos de pronóstico satisfactorios.

Tabla 4 Viabilidad de implementación de los pronósticos de resolución horaria en las estaciones evaluadas

Estación

AMI S/σΔ Viabilidad del pronóstico

basado en AOM

Horizonte (Días) Horizonte (Días) Horizonte (Días)

1 3 14 1 3 14 1 3 14

El Banco (2502702) 1.00 0.99 0.99 0.62 0.67 0.72 Viable Viable Viable

Nariño (2123701) 0.95 0.61 0.76 0.90 Viable

Puerto Araujo 0.95 0.89 0.82 0.79 0.91 0.85 Viable

Puerto Berrio (2309703) 0.94 0.97 0.87 0.82 0.70 0.82 Viable

Puerto Salgar (2303701) 0.95 0.76 0.79 0.83 Viable

Purificación (2502702) 0.72 0.83 0.62 0.92 0.89 0.85

Puente. Balseadero (2104701) 0.48 0.85 0.65 0.92 0.76 0.77

Salado Blanco (2101704) 0.66 0.74 0.53 0.86 0.88 0.74

49

Tabla 5 Viabilidad de implementación de los pronósticos de resolución horaria en las estaciones evaluadas

Estación

AMI S/σΔ Viabilidad del pronóstico

basado en AOM Frecuencia de

muestreo (Horas) Frecuencia de muestreo

(Horas) Frecuencia de muestreo (Horas)

1 3 6 12 1 3 6 12 1 3 6 12

Bolombolo (2620708) 0.99 0.97 0.92 0.768 0.955 0.816 Viable

La coquera (2624702) 1.00 0.98 0.95 0.91 0.759 0.762 0.855 0.857 Viable Viable

El Banco (2502702) 1.00 1.00 1.00 1.00 0.913 0.703 0.656 0.616 Viable Viable Viable

Narino (2123701) 1.00 0.99 0.94 0.500 0.628 0.858 Viable

Pte. Balseadero (2104701) 0.90 0.95 0.82 0.48 0.988 0.774 0.828 0.919 Viable

PtoAraujo (2312702) 1.00 0.94 0.97 0.93 0.738 0.953 0.845 0.790 Viable

Pto. Berrio (2309703) 0.90 0.95 0.82 0.48 0.812 0.725 0.874 0.818 Viable

Pto. Salgar (2303701) 1.00 0.99 0.98 0.436 0.533 0.520 Viable Viable Viable

Purificación (2502702) 1.00 0.97 0.86 0.72 0.553 0.878 0.917 0.925 Viable

Salado Blanco (2101704) 0.98 0.93 0.83 0.66 1.107 1.116 0.915 0.858

La Victoria (2610707) 1.00 1.00 0.99 0.97 1.033 0.849 0.923 0.964

En la cuenca del Río Magdalena (Véase Figuras 31 y 32), sobre el análisis comparativo del

desempeño de los modelos de pronóstico encontrados cabe mencionar:

• En la Estación el Banco, localizada en el extremo aguas abajo del tramo analizado,

son viables los pronósticos en todas las escalas temporales a excepción de la

frecuencia de muestreo de una hora. Un análisis detallado de la señal observada

indica que la medición de los niveles del agua a esta frecuencia de muestreo esta

afectada por errores de cuantización del instrumento, pues las variaciones en el

proceso ocurren en escalas inferiores a la precisión de la medición (0.01m). Véase

¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.a. En estas condiciones la

secuencia de observaciones no contiene suficiente información sobre las

transiciones de estado del proceso.

• En la estación Salado Blanco, localizada en extremo aguas arriba del tramo

considerado, no se encontró ningún modelo viable en las resoluciones evaluadas.

• En las estaciones localizadas entre los extremos, se observa una tendencia a

aumentar el número de modelos viables en la medida que el tamaño de la cuenca

50

es mayor. Sin embargo, no existe un patrón que permita relacionar la viabilidad de

la implementación del modelo a una resolución temporal específica (1, 3 horas, etc)

con la posición de la estación en el Rio, es decir, el orden de las estaciones que

indirectamente provee una noción del tamaño de la cuenca aferente, no permite

inferir la viabilidad del pronóstico. Sin embargo, cabe aclarar en los modelos

construidos se construyeron a partir de información de un número limitado de

estaciones hidrológicas. En la medida que sea posible utilizar información mas

completa de la red hidrometeorológica del país se podrá evaluar con mayor detalle

la existencia de una tendencia en este sentido.

Por otra parte en la cuenca del Río Cauca (Véase Figuras 31 y 32), en los pronósticos a

resolución horaria se observa una situación similar al Río Magdalena. En la estación La

Victoria, localizada mas aguas arriba del tramo considerado, no son viables los pronósticos

en ninguno de los casos considerados. Es posible que la explicación de esta situación sea la

incapacidad de la frecuencia de muestreo actual de capturar con suficiente detalle la

dinámica del proceso, en particular porque en general, entre menor sea el tamaño de la

cuenca, son menores los tiempos de respuesta del sistema a los eventos de lluvia.

Sobre los resultados obtenidos, un elemento importante lo constituye identificar los límites

de los sistemas de medición actual para anticipar la ocurrencia de eventos extremos. En las

cuencas de menor tamaño, a la luz del método propuesto, los intervalos de medición

actuales hacen inviable el pronóstico de los eventos extremos del proceso y por lo tanto,

limitan de manera importante la capacidad de implementar un sistema de pronóstico en

tiempo real, en particular en aplicaciones en sistemas de alerta.

51

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

AMI /

H

1h 1.00 0.90 1.00 1.00 1.00 1.00 0.90 0.98

3h 1.00 0.95 0.99 0.99 0.94 0.97 0.95 0.93

6h 1.00 0.82 0.98 0.94 0.97 0.86 0.82 0.83

12h 1.00 0.48 0.93 0.72 0.48 0.66

El Banco (2502702)

Pto. Berrio (2309703)

Pto. Salgar (2303701)

Narino (2123701) PtoAraujoPurificación (2502702)

Pte. Balseadero (2104701)

Salado Blanco (2101704)

min AMI/H

Figura 31 Desempeño de los operadores según el criterio AMI/H en las estaciones del Río Magdalena a resoluciones temporales Horarias.

‐

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

S/σΔ

1 0.91 0.81 0.44 0.50 0.74 0.55 0.99 1.11

3 0.70 0.72 0.53 0.63 0.95 0.88 0.77 1.12

6 0.66 0.87 0.52 0.86 0.84 0.92 0.83 0.91

12 0.62 0.82 0.79 0.92 0.92 0.86

El Banco (2502702)

Pto. Berrio (2309703)

Pto. Salgar (2303701)

Narino (2123701) PtoAraujoPurificación (2502702)

Pte. Balseadero (2104701)


max S/σ∆ = 0.80

Figura 32 Desempeño de los operadores según el S/σΔ en las estaciones del Río Magdalena a resoluciones temporales Horarias.

52

0.86

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00AMI / H

1h 1.00 0.99 1.00

3h 0.98 0.97 1.00

6h 0.95 0.92 0.99

12h 0.91 0.97

La coquera (2624702) Bolombolo (2620708) La Victoria (2610707)

min AMI/H = 0.95

Figura 33 Desempeño de los operadores según el AMI/H en las estaciones del Río Cauca a resoluciones temporales Horarias.

‐

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

S/σΔ

1 0.76 0.77 1.03

3 0.76 0.95 0.85

6 0.85 0.82 0.92

12 0.86 0.96

La coquera (2624702) Bolombolo (2620708) La Victoria (2610707)

max S/σΔ = 0.8

Figura 34 Desempeño de los operadores según el S/σ∆ en las estaciones del Río Cauca a resoluciones temporales Horarias.

53

3. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE EXTRACCIÓN DE OPERADORES DE

TRANSICIÓN DE ESTADO EN LA DECODIFICACIÓN DE CAUDALES

En este capítulo se presenta una aplicación del método de extracción de operadores en la

decodificación de caudales. El desarrollo aquí presentado esta motivado por la posibilidad

práctica de ofrecer alternativas al procedimiento basado en la curva de calibración para la

estimación de los caudales a partir de la medición sistemática de los niveles de agua en una

corriente natural.

3.1. Efecto del proceso codificación‐decodificación en la incertidumbre de la medición de caudales

La observación de las señales generadas por un sistema hidrológico puede describirse de

manera general mediante el esquema de comunicación propuesto por (Shannon 1948)

mostrado en la Figura 35. En este caso, no obstante, debe considerarse el hecho que en el

sistema hidrológico la señal "real" se encuentra oculta para el observador. Un ejemplo de

esta situación es la medición de series de tiempo de caudales: Un observador "ve" el Caudal

tQ en un punto de la corriente tras realizar un proceso de codificación en términos del nivel

medido del agua ht y una la función de decodificación )ˆ(ˆthftQ = . La eficiencia o bondad de

este proceso de codificación ‐ decodificación puede estimarse de forma cuantitativa como la

información mutua promedio )ˆ;( tQQI , que mide la cantidad de información de la variable

"real" Q (oculta) está contenida en el valor estimado )ˆ(ˆthftQ =

Figura 35. Esquema de la comunicación aplicado a la observación de un proceso hidrológico.

54

Convencionalmente la función de decodificación )ˆ(ˆthftQ = es una expresión de la forma

(Rantz 1982):

bzHaQ )( −= (13)

donde Q es el caudal, (H‐z) es la diferencia entre la cota del agua y la cota de flujo cero, y a y

b son coeficientes que contienen información empírica sobre las características de la sección

hidráulica. La ecuación (13) supone una relación biunívoca entre los caudales "reales" y los

niveles en el punto donde se realiza la medición del nivel, que generalmente se determina

ajustando una curva a puntos conocidos de registros de nivel y caudal, obtenidos en

campañas de aforo.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 200 400 600 800 1000 1200

Caudal (m3/s)

(H-z

) (cm

)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 100 200 300 400 500

Caudal

(H-z

) (cm

)

Figura 36 Campañas de aforo realizadas en la estación Juanchito. Fuente IDEAM.

La Figura 36 muestra los datos de una serie de campañas de aforo en la estación Juanchito,

localizada en el Río Cauca, señalando mediante una línea entre los puntos la secuencia de

las mediciones. En esta gráfica se evidencia una dispersión entre los datos observados que

implica que no existe una decodificación única del caudal Q dado un nivel h y por lo tanto

adoptar una expresión de la forma )ˆ(ˆthftQ = no conduce a una estimación precisa de Q.

Incluso en los datos tomados en un mismo año (gráfica de la derecha) los datos sucesivos

con Q similar ocurren a niveles muy diferentes. En el recuadro rojo, las diferencias alcanzan

90m3/s en relación con caudales del orden de 250 m³/s, lo que indica una variación relativa

de aproximadamente 35%. Esto se debe a muchos factores, entre otros, el método de aforo,

55

la variabilidad de la geomorfología del cauce y particularmente, al efecto de las fuerzas de

inercia de la onda de una creciente en la relación nivel caudal.

El estudio teórico de la física del proceso de flujo mediante las ecuaciones de onda dinámica

de Saint Vennant, ofrece una posible explicación a esta situación observada. La solución de

las ecuaciones en condiciones de flujo no permanente ni uniforme, demuestra la existencia

de ciclos de histéresis en la relación de caudal nivel, que conducen a las relaciones de

"varios a varios" observadas en los datos de las campañas de aforo. La Figura 37 muestra un

ejemplo de solución de las ecuaciones de flujo para el tránsito de un hidrograma en una

corriente natural a resolución temporal horaria, realizada con el software Mike 11 (DHI

2007). A esta escala temporal, la histéresis demuestra una secuencia ordenada de valores

de Q‐H que concuerda de manera general con la situación observada en las campañas de

aforo.

Figura 37 Puntos de Caudal y Nivel

56

3.2. Diseño Experimental

La existencia de una secuencia con estructura temporal de estados del nivel caudal en el

sistema hidrológico supone la posibilidad de implementar un modelo de espacio de fase que

asimile la dinámica observada de h en una función de decodificación de la serie de caudales.

El experimento propuesto es el siguiente:

Figura 38 Diseño Experimental para la definición de una función de decodificación de caudales basada en un modelo de espacio de fase.

1. Solución de un modelo hidráulico de onda dinámica en un tramo de una corriente

natural de condiciones de frontera conocidas, utilizando el software MIKE 11. De

esta solución, para una sección de control arbitraria, se toman las series modeladas

de caudal (Qt) y nivel (ht). Los datos utilizados corresponden al tramo del Rio Cauca

comprendido entre las estaciones limnimétricas La Balsa y Juanchito (Véase Figura

Figura 40)(Sandoval 2007). La sección de análisis se ubicó 4648m aguas debajo de la

estación la Balsa.

La condición de frontera adoptada es el hidrograma a resolución 12 horas de la

creciente iniciada el 11 de Noviembre de 2001 que se muestra en la Figura 39.

57

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

11/11/2001

12/11/2001

13/11/2001

14/11/2001

15/11/2001

16/11/2001

17/11/2001

18/11/2001

19/11/2001

20/11/2001

21/11/2001

22/11/2001

23/11/2001

24/11/2001

25/11/2001

26/11/2001

27/11/2001

28/11/2001

29/11/2001

30/11/2001

01/12/2001

02/12/2001

03/12/2001

04/12/2001

05/12/2001

06/12/2001

Caudal (m³/s)

Título del eje

Figura 39 Hidrograma de creciente a resolución horaria en la estación La Balsa.

Figura 40 Tramo de Rio Modelado en Mike 11

58

2. Definición de la curva de gasto de la sección de control arbitraria: )ˆ(ˆ0 thftQ = y

reconstrucción de la serie de caudales decodificados a partir de la serie de niveles.

La eficiencia de la codificación está dada por ))(;( 0 hfQI . Este es el valor se asume

como referencia de la eficiencia de un modelo convencional de decodificación para

el caso estudiado.

3. Dadas las series de tiempo de Qt y ht, se determina la forma de la matriz de estado

Wt para un operador de la forma (9) siguiendo el proceso de la Figura 3. Se define la

condición 01 =jx para ],1[ ρ∈j que garantiza que el caudal real está oculto para

el operador de transición.

4. Definición de un modelo de regresión de la forma cBatQ )(ˆ Wt⋅= y reconstrucción de

la serie de caudales decodificados a partir de la serie de niveles. La eficiencia de la

codificación está dada por )))((;(1cBaQI tW⋅ .

5. Comparación de ))(;( 0 hfQI y )))((;(1cBaQI tW⋅

3.3. Resultados

La Figura 36 muestra los resultados de las series de tiempo de caudal y nivel a resolución

horaria obtenidas en la sección de análisis.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

1 73 145 217 289 361 433 505 577 649 721 793 865 937 1009 1081 1153

Tiempo

Q

972

973

974

975

976

977

978

m.s

.n.m

Caudal (m3/s)

Cota (m)

Figura 41 Solución de la onda dinámica en la sección de control considerada

59

El algoritmo de optimización del operador adaptativo, se encuentra una función de

decodificación de la forma:

[ ] { } tet cBtLQ +⋅== )()]([ 11 tWW

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

−

−

2

1

t

t

t

hhh

Wt

con

[ ]12075

86192118−=

−=

tecB

En la Figura 37 se muestran respectivamente los resultados de decodificación de la curva de

gasto y del modelo de espacio de fase. En el caso de la decodificación convencional se

obtiene un criterio de desempeño de AMI = 0.998. En comparación, el operador de espacio

de fase muestra un AMI de 0.984, inferior al método convencional. El principal

inconveniente observado con la decodificación propuesta es la perdida de escala entre los

caudales decodificados y teóricos. No obstante, a pesar que según el criterio de

optimización establecido el método ofrece resultados no satisfactorios, se observa que el

método propuesto reduce el efecto de la histéresis en la decodificación.

Figura 42 Diagramas de dispersión de caudal decodificado vs caudal teórico en la sección de control. (a) Curva de gasto (b) Decodificador de espacio de fase

61

CONCLUSIONES

Este trabajo propone y evalúa un marco de modelación matemática de las transiciones

observadas en señales de sistemas hidrológicos, que según la definición adoptada en

relación con la complejidad de un sistema, constituyen sistemas de complejidad algorítmica

significativa. En este sentido, el principal aporte se de este trabajo se desarrolla en torno a

dos elementos fundamentales:

• La adopción de un método que permite identificar a partir de información

disponible: (1) una descripción del estado del sistema en términos de componentes

de señales observadas y (2) reglas locales en el tiempo para predecir las transiciones

de dicho estado.

• La capacidad operativa de desarrollar modelos de pronóstico hidrológico de niveles

de agua y caudales en corrientes naturales.

La construcción del método se basa en el supuesto de la capacidad de describir en el corto

plazo las transiciones observadas de los estados de un sistema hidrológico complejo en

términos de transformaciones lineales locales. En su mayoría, los resultados obtenidos

validan este supuesto. En el diseño del sistema de pronóstico en tiempo real, en el caso de

pronósticos a resoluciones horarias (1, 3, 6 y 12) en 9 de las 11 estaciones consideradas se

logró definir pronósticos viables, tomando en consideración criterios de precisión del

pronóstico y de capacidad de superar la inercia de la señal. En el caso de pronósticos a

resoluciones diarias (1,3 y 14 días), en 5 de 8 estaciones los resultados fueron satisfactorios.

El principal inconveniente en el caso de los pronósticos diarios es la incapacidad de

garantizar el criterio de AMI sub optima > 0.95, es decir, un pronóstico suficientemente

preciso. Otros inconvenientes se relacionan con la incertidumbre por cuantización

observados en las señales hidrológicas a resoluciones temporales horarias (Véase estación

El Banco), que indican que la precisión actual de los instrumentos de medición de niveles no

captura el detalle de las variaciones de estado en el sistema.

62

El método se basa en una aproximación matemática que conduce a modelos adaptativos

computacionalmente simples. Esta característica ofrece algunos atributos interesantes para

aplicaciones de pronóstico en tiempo real. El primero y más importante es la capacidad de

ajustarse continuamente y sin supervisión a dinámicas no estacionarias del sistema o incluso

construir nuevos modelos en casos de fallas en los procesos de transmisión o asimilación de

información. Por ejemplo, en la aplicación del método en el pronóstico de niveles y caudales

en las estaciones estudiadas, la ejecución del proceso exhaustivo de identificación del

operador óptimo tomó en promedio menos de 2 minutos para horizontes de pronóstico de

horas y hasta 14 minutos en pronósticos de 14 días. Así mismo, en el método es

transparente la evaluación y adopción de variables con estructura temporal como

predictores. Esto desde una perspectiva operacional, conduce a una salida operacional para

identificar relaciones causa efecto que permitan inferir algunas propiedades de los

fenómenos estudiados. Tal es el caso de la modelación de niveles de una corriente, donde el

proceso de definición de la forma del operador óptimo conduce a identificar entre las

señales observables de precipitación, los componentes que contienen mayor información

sobre la escorrentía en un horizonte de tiempo dado.

Desde el punto de vista operacional, la adopción de un esquema probabilístico en el método

robustece su aplicabilidad pues permite al modelador aceptar el grado de certidumbre

sobre la información que provee y además garantiza que el usuario conoce la incertidumbre

al tomar las decisiones.

Por otra parte, la aplicación del método condujo de forma empírica a una aproximación

operativa para la definición de la frecuencia de muestreo óptima de sistemas hidrológicos

con fines de pronóstico. Esta aproximación está relacionada con el teorema de capacidad de

canal propuesto por Shannon, en particular, a la relación de la frecuencia de muestreo (o de

la resolución temporal de la señal) con la capacidad de pronosticar con precisión las

transiciones de estado de un sistema, o en otras palabras, en minimizar el efecto del ruido

en la emisión del pronóstico.

Con respecto a la implementación de un decodificador de caudales basado en un modelo

AOM, aquí se propone una técnica para estimar una relación funcional entre los caudales

63

"reales" en una corriente con los niveles de la superficie del agua basada operadores AOM.

Se manera general, se encontró que según el criterio de desempeño propuesto AMI > 0.95

la técnica es aplicable y conduce a una reducción del efecto de la histéresis en la

decodificación del caudal. Sin embargo, en los resultados se observa una perdida de escala

en los valores decodificados, situación que hace imposible la aplicación del método.

Recomendaciones sobre el desarrollo de la investigación

Con miras al desarrollo de la técnica aquí presentada, algunos elementos que pueden ser

objeto de investigaciones posteriores son:

• Formalización matemática del concepto de capacidad de canal y el efecto de la

relación señal a ruido (SNR) en las frecuencias de muestreo óptimo de sistemas

hidrológicos.

• Definición de un método de validación del pronóstico probabilístico y mejoramiento

de procedimiento para definir el componente aleatorio en la ecuación diferencial

estocástica

• Análisis detallado de la influencia de la frecuencia de muestreo en la precisión del

pronóstico y de las propiedades de escalamiento de la frecuencia óptima de

muestreo.

• Investigación de otros posibles predictores a los aquí empleados, por ejemplo

estimadores basados en sensores remotos.

64

• BIBLIOGRAFÍA

Ames, W. F. (1977). Numerical Methods for Partial Differential Equations, Section 1.6 New York, Academic Press.

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LISTADO DE ANEXOS

Anexo 1 Modelos de pronóstico en tiempo real a resolución diaria en el rio Magdalena

Pto Araujo (2312702)


Pte Balseadero (2104701)

Purificación (2113701)

Nariño (2123701)

Pto Salgar (2303701)

Pto Berrio (2309703)

El Banco (2502702)

Anexo 2 Modelos de pronóstico en tiempo real a resolución horaria EN los rios cauca y Magdalena

Río Cauca

La Victoria (2610707)

Bolombolo (2620708).

La coquera (2624702)

Río Magdalena





Nariño (2123701)



El Banco (2502702)

Anexo 3 Frecuencias de muestreo óptimas en las estaciones identificadas

Rio Cauca

Rio Magdalena

ANEXO 1 MODELOS DE PRONÓSTICO EN TIEMPO REAL A

RESOLUCIÓN DIARIA EN EL RIO MAGDALENA


Figura 1. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pto. Araujo (2312702), x2 = promedio multianual de Niveles en Pto. Araujo en Pto. Araujo (2312702). x3 = precipitación en Pto. Araujo (2312702). Horizonte = 1,3 y 14 días

Figura 2. Pronóstico probabilístico Estación Pto. Araujo (2312702). Horizonte =1,3 y 14 Días.

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Figura 3. Modelo de pronóstico determinístico Estación Salado Blanco (2101704), x2 = promedio multianual de Niveles en Salado Blanco en Salado Blanco (2101704). x3 = precipitación en Salado Blanco (2101704). Horizonte = 1, 3 y 14 Días.

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Figura 6. Pronóstico probabilístico Estación Pte Balseadero (2104701). Horizonte =1, 3 y 14 Días.

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Figura 8. Pronóstico probabilístico Estación Purificación (2113701). Horizonte =1, 3 y 14 Días.

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Nariño (2123701)

Figura 9. Modelo de pronóstico determinístico Estación Nariño (2123701), x2 = promedio multianual de Niveles en Nariño (2123701)en Cod. Estación: 2113705. x3 = precipitación en Cod. Estación: 2113705. Horizonte = 1, 3 y 14 Días.

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Figura 10. Pronóstico probabilístico Estación Nariño (2123701). Horizonte =1, 3 y 14 Días.

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Figura 11. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pto Salgar (2303701), x2 = promedio multianual de Niveles en Pto Salgar (2303701)en Cod. Estación: 2113705. x3 = precipitación en Cod. Estación: 2113705. Horizonte = 1, 3 y 14 Días.

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Figura 12. Pronóstico probabilístico Estación Pto Salgar (2303701). Horizonte =1, 3 y 14 Días.

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Figura 13. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pto Berrio (2309703), x2 = promedio multianual de Niveles en en Pto Berrio (2309703) en Pto Salgar (2303701). x3 = precipitación en Pto Salgar (2303701). Horizonte = 1, 3 y 14 Días.

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Figura 14. Pronóstico probabilístico Estación Pto Berrio (2309703). Horizonte =1, 3 y 14 Días.

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El Banco (2502702)

Figura 15. Modelo de pronóstico determinístico Estación El Banco (2502702), x2 = promedio multianual de Niveles en en El Banco (2502702)en Pto Berrio (2309703) x3 = precipitación en Pto Berrio (2309703) Horizonte = 1, 3 y 14 Días.

Figura 16. Pronóstico probabilístico Estación El Banco (2502702). Horizonte =1, 3 y 14 Días.

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ANEXO 2 MODELOS DE PRONÓSTICO EN TIEMPO REAL A

RESOLUCIÓN HORARIA EN LOS RIOS CAUCA Y MAGDALENA

Río Cauca


Figura 17. Modelo de pronóstico determinístico Estación La Victoria (2610707), x2 = nivel en Juanchito (2606701). x3 = precipitación en Juanchito (2606701). ∆t = 1 hora

Figura 18. Modelo de pronóstico determinístico Estación La Victoria (2610707), x2 = nivel en Juanchito (2606701). x3 = precipitación en Juanchito (2606701). ∆t = 3 horas

Figura 21. Pronóstico probabilístico Estación La Victoria (2610707). ∆t = 1 hora

Figura 22. Pronóstico probabilístico Estación La Victoria (2610707). ∆t = 3 horas

Bolombolo (2620708).

Figura 25. Modelo de pronóstico determinístico Estación Bolombolo (2620708), x2 = nivel en La Victoria (2610701). x3 = precipitación en La Victoria (2610701). ∆t = 1 hora

Figura 26. Modelo de pronóstico determinístico Estación Bolombolo (2620708), x2 = nivel en La Victoria (2610701). x3 = precipitación en La Victoria (2610701). ∆t = 3 horas

Figura 27. Modelo de pronóstico determinístico Estación Bolombolo (2620708), x2 = nivel en La Victoria (2610701). x3 = precipitación en La Victoria (2610701). ∆t = 6 horas

Figura 28. Pronóstico probabilístico Estación Bolombolo (2620708). ∆t = 1 hora

Figura 29. Pronóstico probabilístico Estación Bolombolo (2620708). ∆t = 3 horas

Figura 30. Pronóstico probabilístico Estación Bolombolo (2620708). ∆t = 6 horas

La coquera (2624702)

Figura 31. Modelo de pronóstico determinístico Estación La Coquera (2624702), x2 = nivel en Bolombolo (2620708). x3 = precipitación en Bolombolo (2620708). ∆t = 1 hora

Figura 32. Modelo de pronóstico determinístico Estación La Coquera (2624702), x2 = nivel en Bolombolo (2620708). x3 = precipitación en Bolombolo (2620708). ∆t = 3 horas

Figura 35. Pronóstico probabilístico Estación La Coquera (2624702). ∆t = 1 hora

Figura 36. Pronóstico probabilístico Estación La Coquera (2624702). ∆t = 3 horas

Río Magdalena


Figura 39. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pto. Araujo (2312702), x2 = nivel en Pto. Araujo (2312702). x3 = precipitación en Pto. Araujo (2312702). ∆t = 1 hora

Figura 40. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pto. Araujo (2312702), x2 = nivel en Pto. Araujo (2312702). x3 = precipitación en Pto. Araujo (2312702). ∆t = 3 horas

Figura 41. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pto. Araujo (2312702), x2 = nivel en Pto. Araujo (2312702). x3 = precipitación en Pto. Araujo (2312702). ∆t = 6 horas

Figura 42. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pto. Araujo (2312702), x2 = nivel en Pto. Araujo (2312702). x3= precipitación en Pto. Araujo (2312702). ∆t = 12 horas

Figura 43. Pronóstico probabilístico Estación Pto. Araujo (2312702). ∆t = 1 hora

Figura 44. Pronóstico probabilístico Estación Pto. Araujo (2312702). ∆t = 3 horas


Figura 47. Modelo de pronóstico determinístico Estación Salado Blanco (2101704), x2 = nivel en Salado Blanco (2101704),x3 = precipitación en Salado Blanco (2101704).∆t = 1 hora.

Figura 48. Modelo de pronóstico determinístico Estación Salado Blanco (2101704), x2 = nivel en Salado Blanco (2101704), x3 = precipitación en Salado Blanco (2101704).∆t = 3 horas.

Figura 49. Modelo de pronóstico determinístico Estación Salado Blanco (2101704), x2 = nivel en Salado Blanco (2101704),x3 = precipitación en Salado Blanco (2101704).∆t = 6 horas.

Figura 50. Modelo de pronóstico determinístico Estación Salado Blanco (2101704), x2 = nivel en Salado Blanco (2101704),x3 = precipitación en Salado Blanco (2101704).∆t = 12 horas.

Figura 51. Pronóstico probabilístico Estación Salado Blanco (2101704). ∆t = 1 hora

Figura 52. Pronóstico probabilístico Estación Salado Blanco (2101704). ∆t = 3 horas


Figura 55. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pte. Balseadero (2104701), x2 = nivel en Pte. Garces x3 = precipitación en Pte. Garces. ∆t = 1 hora

Figura 56. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pte. Balseadero (2104701), x2 = nivel en Pte. Garces x3 = precipitación en Pte. Garces. ∆t = 3 horas

Figura 59. Pronóstico probabilístico Estación Pte. Balseadero (2104701), ∆t = 1 hora

Figura 60. Pronóstico probabilístico Estación Pte. Balseadero (2104701), ∆t = 3 horas


Figura 63. Modelo de pronóstico determinístico Estación Purificación (2113701) x2 = nivel en Piedras de Cobre, x3 = precipitación en Piedras de Cobre. ∆t = 1 hora

Figura 64. Modelo de pronóstico determinístico Estación Purificación (2113701) x2 = nivel en Piedras de Cobre, x3 = precipitación en Piedras de Cobre. ∆t = 3 horas

Figura 67. Pronóstico probabilístico Estación Purificación (2113701), ∆t = 1 hora

Figura 68. Pronóstico probabilístico Estación Purificación (2113701), ∆t = 3 horas

Nariño (2123701)

Figura 71. Modelo de pronóstico determinístico Estación Nariño (2123701) x2 = nivel en Purificación (2113701), x3 = precipitación en Purificación (2113701). ∆t = 1 hora

Figura 72. Modelo de pronóstico determinístico Estación Nariño (2123701) x2 = nivel en Purificación (2113701), x3 = precipitación en Purificación (2113701). ∆t = 3 horas

Figura 73. Modelo de pronóstico determinístico Estación Nariño (2123701) x2 = nivel en Purificación (2113701), x3 = precipitación en Purificación (2113701). ∆t = 6 horas

Figura 74. Pronóstico probabilístico Estación Nariño (2123701), ∆t = 1 hora

Figura 75. Pronóstico probabilístico Estación Nariño (2123701), ∆t = 3 horas

Figura 76. Pronóstico probabilístico Estación Nariño (2123701), ∆t = 6 horas


Figura 77. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pto. Salgar (2303701) x2 = nivel en Nariño (2123701), x3 = precipitación en Nariño (2123701). ∆t = 1 hora.

Figura 78. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pto. Salgar (2303701) x2 = nivel en Nariño (2123701), x3 = precipitación en Nariño (2123701). ∆t = 3 horas.

Figura 79. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pto. Salgar (2303701) x2 = nivel en Nariño (2123701), x3 = precipitación en Nariño (2123701). ∆t = 6 horas.

Figura 80. Pronóstico probabilístico Estación Pto. Salgar (2303701), ∆t = 1 hora

Figura 81. Pronóstico probabilístico Estación Pto. Salgar (2303701), ∆t = 3 horas

Figura 82. Pronóstico probabilístico Estación Pto. Salgar (2303701), ∆t = 6 horas


Figura 83. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pto. Berrio (2309703) x2 = nivel en Pto. Salgar (2303701), x3 = precipitación en Pto. Salgar (2303701). ∆t = 1 hora.

Figura 84. Modelo de pronóstico determinístico Estación Pto. Berrio (2309703) x2 = nivel en Pto. Salgar (2303701), x3 = precipitación en Pto. Salgar (2303701). ∆t = 3 horas.

Figura 87. Pronóstico probabilístico Estación Pto. Berrio (2309703), ∆t = 1 hora

Figura 88. Pronóstico probabilístico Estación Pto. Berrio (2309703), ∆t = 3 horas


El Banco (2502702)

Figura 91. Modelo de pronóstico determinístico Estación El Banco (2502702), x2 = nivel en Pto. Berrio (2309703), x3 = precipitación en Pto. Berrio (2309703). ∆t = 1 hora.

Figura 92. Modelo de pronóstico determinístico Estación El Banco (2502702), x2 = nivel en Pto. Berrio (2309703), x3 = precipitación en Pto. Berrio (2309703). ∆t = 3 horas.

Figura 95. Pronóstico probabilístico Estación El Banco (2502702), ∆t = 1 hora

Figura 96. Pronóstico probabilístico Estación El Banco (2502702), ∆t = 3 horas


ANEXO 3 DESEMPEÑO DE LOS MODELOS DE PRONÓSTICO A

DIFERENTES ESCALAS DE MUESTREO

Rio Cauca

Wopt min = 1 h Wopt max = 1h

Figura 99. Desempeño de los operadores óptimos de la Estación Bolombolo a diferentes frecuencias de muestreo


Figura 100. Desempeño de los operadores óptimos de la Estación La Coquera a diferentes frecuencias de muestreo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1

0 1 2 3 4 5 6 7

S/Si

gmaD

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AM

I


Bolombolo (2620708)

AMI

S/σ∆

Min AMI = 0.95

Max S/σΔ

0.74

0.76

0.78

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90.910.920.930.940.950.960.970.980.99

11.01

0 2 4 6 8 10 12 14

S/Si

gmaD

elta

AM

I


La coquera(2620708)

AMI

S/σ∆

Min AMI

Max S/σΔ

Wopt min = NA Wopt max = NA

Figura 101. Desempeño de los operadores óptimos de la Estación La Victoria a diferentes frecuencias de muestreo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.965

0.97

0.975

0.98

0.985

0.99

0.995

1

0 2 4 6 8 10 12 14

S/Si

gmaD

elta

AM

I



AMI

S/σ∆Min AMI = 0.95

Max S/σΔ = 0.8

Rio Magdalena

Wopt min = 3 h Wopt max=72h

Figura 102. Desempeño de los operadores óptimos de la Estación El Banco a diferentes frecuencias de muestreo


Figura 103. Desempeño de los operadores óptimos de la Estación Nariño a diferentes frecuencias de muestreo

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80

S/Si

gmaD

elta

AM

I


Narino(2123701)

AMI

S/σ∆

Min AMI

Max S/σΔ


Figura 104. Desempeño de los operadores óptimos de la Estación Pte. Balseadero a diferentes frecuencias de muestreo


Figura 105. Desempeño de los operadores óptimos de la Estación Salado Blanco a diferentes frecuencias de muestreo

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80

S/Si

gmaD

elta

AM

I


PteBalseadero (2104701)

AMI

S/σ∆

Min AMI = 0.95

Max S/σΔ = 0.8

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80

S/Si

gmaD

elta

AM

I


Salado Blanco(2101704)

AMI

S/σ∆

Min AMI = 0.95

Max S/σΔ = 0.8


Figura 106. Desempeño de los operadores óptimos de la Estación Pto. Berrio a diferentes frecuencias de muestreo


Figura 107. Desempeño de los operadores óptimos de la Estación Pto Salgar a diferentes frecuencias de muestreo

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80

S/Si

gmaD

elta

AM

I


Pto Berrio(2309703)

AMI

S/σ∆

Min AMI = 0.95

Max S/σΔ = 0.8

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

0 10 20 30 40 50 60 70 80

S/Si

gmaD

elta

AM

I


Pto Salgar(2303701)

AMI

S/σ∆

Min AMI = 0.95

Max S/σΔ = 0.8


Figura 108. Desempeño de los operadores óptimos de la Estación Purificación a diferentes frecuencias de muestreo


Figura 109. Desempeño de los operadores óptimos de la Estación Pto. Araujo a diferentes frecuencias de muestreo

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80

S/Si

gmaD

elta

AM

I


Purificación(2502702)

AMI

S/σ∆

Min AMI = 0.95

Max S/σΔ = 0.8

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80

S/Si

gmaD

elta

AM

I



AMI

S/σ∆

Min AMI = 0.95

Max S/σΔ = 0.8

extracciÓn de operadores de transiciÓn de...

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