EL MAGO “MISTER X”

1.- DATOS GENERALES: - Centro: IESO BERRIOZAR DBHI- Título: ¡El mago Mister X! - Área: MATEMATICAS- Curso: 1º ESO- Nº de U.D. dentro del curso: 5- Fecha: Curso 2009-2010- Autor: IOSU OSTA JIMENEZ

2.- INTRODUCCION: 2.1. – Incardinación en el currículo

CURRICULO OFICIAL DE NAVARRA

CRITERIOS OFICIALES DE EVALUACION

CONTENIDOS ASOCIADOS

– Empleo de letras para simbolizar números inicialmente desconocidos y números sin concretar. Utilidad de la simbolización para expresar cantidades en distintos contextos.– Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa. Búsqueda y expresión de propiedades, relaciones y regularidades en secuencias numéricas.– Obtención de valores numéricos en fórmulas sencillas.– Valoración de la precisión y simplicidad del lenguaje algebraico para representar y comunicar diferentes situaciones de la vida cotidiana.

3. Identificar y describir regularidades, pautas y relaciones en conjuntos de números, utilizar letras para simbolizar distintas cantidades y obtener expresiones algebraicas como síntesis en secuencias numéricas, así como el valor numérico de fórmulas sencillas.8. Utilizar estrategias y técnicas simples de resolución de problemas, tales como el análisis del enunciado, el ensayo y error o la resolución de un problema más sencillo, y comprobar la solución obtenida y expresar, utilizando el lenguaje matemático adecuado a su nivel, el procedimiento que se ha seguido en la resolución.

- Lenguaje simbólico-Expresiones algebraicas- Valor numérico- Monomios: semejanza y operaciones- Igualdad: numérica y algebraica (identidad y ecuación)- Elementos de una ecuación- Ecuaciones equivalentes- Resolución ecuaciones primer grado- Problemas

2.2. – Justificación: Es un tema fundamental dentro de la Matemática pero hay que tener en cuenta que el nivel de abstracción que estos contenidos suponen, todavía no está muy desarrollado en gran parte del alumnado con lo que hay que tener mucha calma e insistir mucho en lo manipulativo, en lo visual, en lo lúdico, antes de dar el salto a la representación algebraica y a la resolución de problemas. Por lo tanto el trabajo en la pre-álgebra va a ser fundamental, sobre todo si no se ha trabajado en primaria.Interesa poner unas buenas bases ya que a partir de ahora todos los cursos se trabaja el álgebra y además es muy importante quitar los miedos y recelos que el álgebra tiene entre el alumnado, como algo difícil, extraño y que no sirve para nada. Hay que ir con calma y pidiendo al alumnado un poco de paciencia por una parte y confianza en el proceso que plantea el profesorado, por la otra.

2.3. – Aprendizajes necesarios para afrontar la U.D.: contenidos y criterios de evaluación del tercer ciclo de primariaEstrategias de cálculo:- Resolución de problemas de la vida cotidiana utilizando estrategias personales de cálculo mental y relaciones entre los números, explicando oralmente y por escrito el significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas.- Colaboración activa y responsable en el trabajo en equipo, manifestando iniciativa para resolver problemas que implican la aplicación de los contenidos estudiados.

Criterios de evaluación:8. En un contexto de resolución de problemas sencillos, anticipar una solución razonable y buscar los procedimientos matemáticos más adecuados para abordar el proceso de resolución. Valorar las diferentes estrategias y perseverar en la búsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la formulación como en la resolución de un problema. Expresar de forma ordenada y clara, oralmente y por escrito, el proceso seguido en la resolución de problemas.Como se ve no hay ningún contenido o criterio de evaluación donde expresamente aparezca el álgebra y si que hay algunas referencias generales relacionadas con la resolución de problemas que tiene que ver indirectamente con este tema. 3.- OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

OBJETIVOS DEAPRENDIZAJE

OBJETIVOS AREA

OBJETIVOS ETAPA

CRITERIOS EVALUACION

COMPETENCIAS1 2 3 4 5 6 7 8

1.- Codificar elementos de la realidad mediante el lenguaje algebraico, así como su posterior descodificación. (*)

1,2,4,10,11

f,g,h,m 1.- Identifica y describe regularidades, pautas y relaciones en conjuntos de números, utilizando letras para simbolizar distintas cantidades y obtener expresiones algebraicas como síntesis en secuencias numéricas, así como el valor numérico de fórmulas

x x x x

sencillas.2.- Visualizar e interiorizar el concepto de ecuación (*) expresando adecuadamente su significado.

1,10 g,h 2.- Representa, mediante balanzas equilibradas, ecuaciones e interpreta oralmente su significado

x x

3.- Resolver ecuaciones de primer grado (*) a partir de la deducción de las propiedades de ecuaciones semejantes, con autonomía y utilizando la estrategia más conveniente en cada caso.

1,6,10,11 b,g 3.- Resuelve ecuaciones de primer grado mentalmente, por tanteo o siguiendo un proceso según la dificultad de la ecuación.

x x x x

4.- Expresar (*) y resolver mediante ecuaciones, problemas y situaciones de la vida diaria.

1,2,3,4,6,7,8,9,10.

11

b,e,f,g,h 4.- Representa mediante ecuaciones de primer grado situaciones reales y problemas resolviéndolos correctamente.

x x x x x x

4.- ACTIVIDADES:4.1. Tipos de actividades:

   

¿Quién es el patrón del álgebra? San Andrés

0.- EVALUACION INICIAL:Descripción: actividad destinada a conocer la situación real del alumnado respecto al tema y que dará la información necesaria para adaptar lo programado al grupo concreto con el que vamos a trabajar.

El profesorado plantea algunas cuestiones y después de la puesta en común pregunta sobre los prejuicios que el alumnado tiene sobre el algebra y las ecuaciones para intentar quitar miedos y demostrarles que ellos ya saben resolver ecuaciones pero de otro modo (mentalmente).1.- ¿Qué número hay que sumarle a 8 para obtener 15? Calcúlalo y exprésalo mediante algún tipo de código (interrogante, números, signos,…)2.-¿Cuánto hay que quitarle a 20 para obtener 7? Calcúlalo y exprésalo mediante algún tipo de código (interrogante, números, signos,…)3.- Calcula el valor del número escondido: 5 + ¿? = 9; 14 - ¿? = 6; ¿? + 2 = 10 y ¿? – 3 = 64.- Un padre tiene el triple de edad que su hijo y entre ambos suman 44. ¿Cuál es la edad de cada uno? Este problema se puede calcular sin álgebra por tanteo, es decir, cogiendo un número, por ejemplo 6 o 10, multiplicarlo por tres, 18 y 30 respectivamente y luego calcular su suma, obteniendo 24 y 40. En ambos casos deducimos que la edad del hijo será algo mayor. Y si seguimos con este razonamiento pronto obtendríamos la edad del hijo y de su padre 11 y 33. Cuando los números son sencillos podemos utilizar este método pero si fueran mucho mayores, este método sería largo y aburrido. Por eso es mejor aprender álgebra. Luego se puede ver la solución en: http://www.youtube.com/watch?v=YDbM9hBPvBg

5.- Si representamos el valor de un número por @ (o por cualquier otro símbolo), ¿Cómo escribirías el doble de ese número, su mitad, el siguiente a él, su anterior y el triple de ese número?El alumnado responde a las preguntas planteadas y procura estar en todo el tema con una actitud abierta y receptiva.

1.- HACIENDO MAGIADescripción: actividad inicial motivadora por una parte y que nos sirve también para comunicar los objetivos y los criterios de evaluación.El profesorado empieza adivinando la fecha de cumpleaños de algunos alumnos y alumnas. También realiza otro juego para calcular el número de objetos que tiene en el estuche el alumnado. Por último plantea un debate sobre el precio de las llamadas de móvil y el precio del envío de mensajes. ¿De qué depende el precio? ¿Cuál sería la fórmula para saber el costo de una llamada o del envío de un mensaje?También se propone trabajar el problema del cambio de personalidad de mister X que da nombre a la unidad didáctica.Se propone al final un cuadro para reflexionar en casa sobre el proceso a seguir a la hora de adivinar un número.Una vez hecha esta introducción se comunican los objetivos y los criterios de evaluación.En esta dirección podemos encontrar más juegos para adivinar números mediante diferentes expresiones:http://sepiensa.org.mx/librero/matematicas.html

El alumnado participa como público en los dos primeros juegos y procura aprenderlos bien para luego poder hacerlos en casa a sus familiares. Luego reflexiona sobre el precio del uso de los móviles e intenta matematizar esa situación cotidiana y por último interioriza tanto los objetivos como los criterios de evaluación del tema.Adivinar la fecha de cumpleaños:

- Multiplica por 5 el número del mes de tu cumpleaños- Súmale 7- Multiplícalo por 4- Súmale 13- Multiplícalo por 5- Súmale el día en que naciste- Resta 205 al resultado- ¿Qué número te ha quedado?Solución: Las cifras de la unidad de millar y centena indican el mes y las decenas y unidades el día de nacimiento.

Adivinar el número de objetos que tienes en el estuche:- Cuenta el número de objetos y multiplícalo por 2- Súmale 3- Multiplica el resultado por 5- Réstale 6- ¿Qué número te ha quedado?- Solución: Restar 9 al resultado y luego dividirlo por 10, es decir, le quitas 9 al resultado

y las cifras que te quedan indica el número de objetos del estuche

Mister X, el mago, es capaz de multiplicarse por dos y añadiéndose 13 cambia de personalidad y se convierte en el 61. ¿Quién es mister X?Sin embargo otras veces al echarse unos polvos mágicos se triplica y con la varita mágica se quita 5 y acaba transformado en el 40. ¿Quién es ahora mister X?

PROPUESTA Nº OPERACIONES = CONCLUSIÓN:relación entre el nº elegido y el resultado

PROCESO a seguir para adivinar el número elegido

Piensa un nºMultiplícalo por 2Súmale 3¿Cuál es el resultado?Piensa un nºMultiplícalo por 6Réstale el nº elegidoDivídelo entre 5¿Cuál es el resultado?Piensa un nºMultiplícalo por 3Réstale 6Divídelo entre 3¿Cuál es el resultado?Invéntate otro juego:

2.- ¿QUÉ EXPRESAN LOS SÍMBOLOS?Descripción: con esta actividad hacemos una introducción al concepto de símbolo.El profesorado reparte la hoja con los diferentes símbolos: los que aparecen en la ropa, los de electrodomésticos, cómic, etc. y por último los matemáticos. Ello nos permitirá entender mejor el concepto de incógnita, de la “x” como símbolo de un número desconocido.El alumnado buscará el significado de los símbolos propuestos, pondrá algún ejemplo donde se usen de una forma lógica y también añadirá otros.

SIMBOLO SIGNIFICADO EJEMPLO

XLL

=

3.- OPERACIONES CON IMAGINACIÓNDescripción: operaciones pero en vez de números se usan símbolos en actividades que preparan el álgebra.El profesorado propone la realización de las operaciones insistiendo en la lógica de las operaciones ya que es la misma que con números.El alumnado resuelve las operaciones e identifica el valor de cada símbolo.

DIEZ + DOS = DOCEABG + ABC +ABC = BBBSENA + MORE = MONEYMI + MAMA + ME + MIMA = EDIPOSEIS + DE + ENERO = REYES (Seis es múltiplo de 6)

4.- MATEMÁTICAS CON LETRASDescripción: conjunto de actividades sobre expresiones algebraicas, en primer lugar como medio de expresar la realidad y en segundo lugar la forma de leer y escribir.El profesorado va acompañando al principio la expresión algebraica de las diferentes situaciones. Cuesta dar el salto de los números a las incógnitas. Luego vienen unos cuadros para indicar cómo se leen y se escriben las expresiones algebraicas.

Hay que tener en cuenta que la 5ª expresión del segundo cuadro, no es posible ya que siempre será un número par y sin embargo la 7º tampoco lo es, pero por lo contrario, ya que tiene que ser impar.El alumnado escucha las explicaciones con atención y va completando los huecos, Hay que tener un poco de paciencia, confiar en el profesorado y cuando aparece una incógnita entenderla como un número oculto.

Completa el cuadroEXPRESIONES ALGEBRAICAS PARA EXPRESAR LA REALIDAD

SITUACION REAL EXPRESION1. Si en un aparcamiento hay 5 coches, ¿cuántas ruedas habrá? ¿Y si hay “c” coches2. Si en una colmena hay 3 avispas, ¿cuántas alas y patas habrá? ¿Y si hay “a” avispas?3. En un museo de ciencias hay 100 mariposas, ¿cuántas antenas y alas habrá? ¿Y si hay “m” mariposas?4. En un cine hay 25 personas, ¿cuántos ojos, narices, piernas y dedos habrá? ¿Y si hay “x” personas?5. Si en una cuadrilla hay 12 teléfonos móviles, ¿cuántas teclas habrá? ¿Y si hay “t” móviles?6. Si en un restaurante hay 15 mesas y si en cada mesa hay 4 sillas, ¿Cuántas patas habrá? ¿Y si tenemos “m” mesas y “s” sillas?7. 5x8. 3y9. 2a + 3b10. X* Y

Suponiendo que “x” es la edad de Mikel, completa el siguiente cuadro:EXPRESIÓN PREGUNTA

X + 4 = 30 ¿Cuál es la edad de Mikel si dentro de 4 años tendrá 30?2X = 50 ¿Cuál es la edad de Mikel…?X – 4 = 8X/2 = 10

2(X + 1) = 253(X – 2) =242X – 1 =20

2X + X = 36X + X/2 = 305X – X/3 = 28

¿CÓMO SE LEEN Y SE ESCRIBEN LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS?EXPRESIÓN SE LEE ASI O TAMBIÉN ASI

x + y equis mas y Suma de equis e y(a – b)2 a menos b al cuadrado Cuadrado de la diferencia de a y b

3x Tres equis o tres por equis Triple de equis2x3 Dos por equis al cubo Doble de equis al cubo3a/2 Tres a partido por dos La mitad del triple de a

m - n3(x + y)

3x2

2a/32x + y/2

ESCRITURA DE EXPRESIONES ALGEBRAICASNORMAS:

1. El coeficiente 1 no se escribe2. El exponente 1 tampoco3. Como símbolo de multiplicar utilizamos el punto “* “en vez de la “x” para no

confundirlo con la incógnita4. Cuando multiplicamos un número por una letra, aunque da igual, ponemos siempre el

número y luego la letra5. Cuando multiplicamos un número por una letra no ponemos entre ellos el signo de

multiplicar6. Entre dos letras que están multiplicándose entre si tampoco se pone el signo de

multiplicar

CON PALABRAS CON LETRAS Y NUMEROSLa edad de Ana es equisEl doble de la edad de AnaProducto de la edad de Ana (x) por la de Marta (z)La tercera parte de la edad MartaLa edad de Ana dentro de cinco añosLa edad de Marta hace tres añosCuadrado de la edad de Ana dentro de dos añosCubo de la edad de Marta hace cuatro añosLa mitad del triple de la edad de AnaEl triple de la mitad de la edad de Marta más la tercera parte de la edad de AnaEl número de ruedas de un cocheEl número de ruedas de una bicicleta

En mi hucha tengo m monedas, cada una de ellas con valor “a” y también n monedas, todas de valor “b”. ¿Qué significado tienen las siguientes expresiones?

EXPRESION ALGEBRAICA

SIGNIFICADO REAL

a + ba - b2a5a

m*a3b7b

n * b

2a + 3b5a – 2bma + nb

-aa - mm - a

Expresión gráfica de sumas y restas de expresiones algebraicas:Si el valor de x lo expresamos mediante -----, entonces: 3x + 2x será: ----- ----- ----- + ----- ----- = ----- ----- ----- ----- -----5x + 4x será:

y 7x – 2x será: ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- - ----- ----- = ----- ----- ----- ----- -----por lo tanto 6x – 2x será:

5.- JUEGOS Y PASATIEMPOSDescripción: diversos juegos y pasatiempos para trabajar de forma amena las expresiones algebraicas.El profesorado plantea los diversos juegos pero sabiendo que lo importante no es quedarse en el juego, en ganar o perder sino en el contenido, en la utilización de las diferentes expresiones algebraicas. En el juego del circuito se trabaja el valor numérico de diferentes expresiones algebraicas.5.1. CIRCUITO ALGEBRAICOJuego del Proyecto Sur de Ediciones y que pertenece al proyecto "Construir las Matemáticas" Para comenzar a jugar, se lanza el dado. El número de casillas a avanzar, o retroceder, viene dado por el valor numérico de la expresión algebraica al sustituir la x de la casilla correspondiente por el número obtenido al lanzar el dado. En plan más artesano puede servir este circuito para trabajar las expresiones algebraicas:

5.2. DOMINO DE ECUACIONESEl ejemplo de dominó algebraico que se propone, ayuda a dominar la resolución de ecuaciones de primer grado sencillas y, por lo tanto, se puede utilizar a partir de los 12 años. En este juego,

aparecen una serie de fichas con dos partes en cada ficha y, en ambas, aparecen o números o ecuaciones en las que hay que buscar la solución. Como en el dominó las vamos uniendo siempre las que tienen el mismo valor. Se dar hecho o elaborar por grupos.http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/domino.htmlhttp://www.anagarciaazcarate.com/?p=83http://www.mauriciocontreras.es/JUEGOS4.pdf (Además tiene muchos juegos algebraicos)

5.3. MEMORY ALGEBRAICO. Se puede dar hecho o se puede elaborar por grupos haciendo parejas de expresiones algebraicas equivalentes. Se ponen todas las cartas boca abajo y se trata de ir buscando parejas al ir levantando por turno dos cartas a la vez que, si no tienen el mismo valor se vuelven a dejar como estaban.

5.4. CUADRADO MAGICO

2X+2 X X+1

X-2 X+2 5X-6

3X-3 2X+1 X-1

1. Escribe las sumas de cada una de las ocho líneas de este cuadrado mágico2. Como ves, todas las líneas no dan la misma expresión. Sin embargo, al tratarse de un

cuadrado mágico, debe existir un valor de x que haga que todas esas expresiones tomen el mismo valor. Calcula el valor de x.

3. Otro método para hallar el valor de x es utilizar la propiedad de los cuadrados mágicos de orden impar: “El orden del cuadrado multiplicado por el término central es igual al número mágico”. Si el número mágico de este cuadrado es 15, halla, con el término central, el valor que debe tener x.

4. Este valor de x será también solución de cualquier ecuación obtenida, igualando entre sí las sumas de otras líneas del cuadrado. Compruébalo

6.- ¿CUAL ES EL SIGUIENTE?Descripción: actividad muy interesante en la que a partir de material manipulativo y/o visual y de series matemáticas se consigue representar el término generalEl profesorado hace la propuesta, deja que jueguen, que manipulen, que construyan, que saquen regularidades, semejanzas, pautas, normas, etc. hasta llegar a la expresión algebraica del término general.

El alumnado manipula, observa, busca regularidades, saca conclusiones y busca las expresiones algebraicas que expresen de

forma general la situación planteada.6.1. CONSTRUYE Y PIENSA (CON MATERIAL MANIPULATIVO, por ejemplo cubitos encajables) para construir torres de diferente forma y alturas de tal forma que veamos una evolución y podamos llegar a sacar una ley que nos permita saber cuántos cubitos necesitamos para construir una torre de 10 o 20 o “n” pisos pero sin hacerla, sólo mediante una fórmula.Esta L de la izquierda tiene 3 cubitos encada brazo. Si hacemos una secuencia en la que los brazos midan 2, 3, 5 cubitos. Podemos ver una secuencia y lanzar

una hipótesis de cuántos cubitos necesitaremos para hacer una L de 10 cubitos. ¿Cuál es la ley?Construye otras piezas, `por ejemplo una escalera, un podium, etc. y calcula la lógica de la secuencia. 3.2. OBSERVA LAS IMÁGENES Y SACA CONCLUSIONESUtilizando este dibujo o papel cuadriculado diseñar distintos pavimentos para las aceras del pueblo pero usando solamente baldosas blancas y negras. ¿Cuántas hay de cada según la longitud de la acera? ¿Qué fórmula relaciona el nº de baldosas blancas con el nº de negras?

¡QUÉ BONITA ES MI CALLE!DISEÑO FORMULA QUE RELACIONA EL Nº DE BALDOSAS

BLANCAS CON LAS NEGRASN M M M

N M MN M M M

M M M M M M

M M M MM M M MM M M MM M

M M MM M

M MM M M M

M M

3.3. SERIES NUMÉRICASCompletar los huecos del cuadro siguiente

SERIE EL DECIMO TERMINO

TERMINO QUE OCUPA EL LUGAR 100

EL TERMINO n

1, 2, 3, 4, 5, ...1, 2, 4, 8, 16, ...1, 3, 5, 7, 9, ...

2n + 33n + 1

7.- OBSERVA Y SACA CONCLUSIONESDescripción: actividad similar a la anterior pero siguiendo un proceso de búsqueda más riguroso y, en parte, unido a situaciones cotidianas.El profesorado plantea las tres situaciones pero insistiendo mucho en el proceso sistemático que hay que seguir hasta llegar a la representación algebraica.El alumnado va realizando los cálculos con valores sencillos para poco a poco, sin realizar las operaciones, poder intuir cual será el término que buscamos. En las situaciones del tren o de los cromos irá simbolizando lo que va pasando en las fases intermedias, siguiendo siempre el orden y rigor necesario.

OPERACIONES A REALIZAR

CALCULA EL VALOR CUANDO EL PRIMER TERMINO ES1 2 3 4 10 100 n

Suma de 2 números consecutivos

Suma de 3 números consecutivos

Suma de 4 números consecutivos

Suma de 100 números consecutivos

Suma de m números consecutivos

Producto de 2 números consecutivos

Producto de 3 números consecutivos

Producto de 4 números consecutivos

Producto de 100 números consecutivos

Producto de m números consecutivos

HA LLEGADO EL TRENHoy ha llegado a Pamplona el tren de Bilbao a Barcelona con x pasajeros. En Tafalla han subido 4 pasajeros. En Castejón ha bajado la mitad de los pasajeros. En Tudela suben 10. En Zaragoza bajan 20 y suben 27, Si no hay más variaciones en todo el trayecto, ¿cuántas personas han llegado a Barcelona?Apunta en el siguiente cuadro los cambios producidos:

SITUACIÓN INICIAL CAMBIOS PRODUCIDOS SITUACIÓN FINALLlegan a Pamplona...

COLECCIÓN DE CROMOS DE FÚTBOLEn clase se ha puesto de moda, sobre todo entre los chicos, el coleccionar cromos de jugadores de fútbol. Vamos a reflejar en el siguiente cuadro la evolución en el número de cromos del Osasuna y del Bilbao de un alumno.Domingo: tiene “x” cromos del Osasuna y también, “y” cromos del Bilbao.El lunes regala 2 cromos del Osasuna y al comprar consigue 4 del BilbaoEl martes intercambia 3 cromos del Osasuna que tiene repetidos y además un amigo le da 5 del BilbaoEl miércoles pierde la mitad de los que tiene del Osasuna y consigue tener el doble de los que tenía del Bilbao porque se ha encontrado un montón en el patio.El jueves ha recibido 5 cromos del Osasuna y ha perdido la tercera parte de los que tenia del Bilbao en una apuestaEl viernes por ser su cumpleaños consigue el triple de los que tenía, tanto del Osasuna como del Bilbao. ¿Cuántos tiene al final de la semana?

DIA DE LA SEMANA

CROMOS DEL OSASUNA

CROMOS DEL BILBAO

EN TOTAL TIENE

DOMINGOLUNES

MARTESMIÉRCOLES

JUEVESVIERNES

8.- IGUALDAD, IDENTIDAD Y ECUACIÓN: ACLARANDO CONCEPTOSDescripción: con esta actividad pretendemos aclarar los conceptos de igualdad, identidad y ecuación que a pesar de tener en común su relación con las expresiones algebraicas, son entre si diferentes.El profesorado plantea los ejercicios de tal forma que de una manera intuitiva el alumnado pueda llegar a definir los tres conceptos.En 1970 J.D. Martín publicó el siguiente artículo que es interesante y que está relacionado con el concepto de desigualdad. Es este artículo se hablaba de la contabilidad del número de relaciones sexuales durante el matrimonio. Se trata de tener un jarrón grande vacío y muchas alubias fuera. Una vez casados, durante el primer año, hay que meter una alubia en el jarrón por cada relación sexual. A partir del comienzo del segundo año el proceso es a la inversa, hay que sacar una alubia del jarrón cada vez que se tiene una relación sexual. La pregunta que se nos plantea es: ¿Se vaciará el jarrón? ¿Cuándo? El autor piensa que el número total de relaciones sexuales del primer año siempre será igual o mayor que la suma de relaciones sexuales que se tengan a partir de entonces.

Coloca los signos entre los números para que la igualdad sea cierta:5 … 10 … 4 = 5 … 6(2 … 4) … 3 = 2 … 5 … 83 …5 … 1 = 2 … 84… (6 … 2) = 3 … 5 … 1

Coloca en los huecos de cada igualdad un mismo número para que la igualdad sea cierta:6 * 3 + … = 10 * …(… - 1) * 4 = 3 * … + 1(2 + …) * 4 = 7 * 3 – 1… (10 - 6) = 6 * … - 4

En toda división sabemos que: Dividendo = divisor x cociente + resto ¿Qué es esto? ¿Por qué?

Juego por parejas, cada jugador tira los tres dados y con ellos, realizando las operaciones que necesite, debe obtener un número del tablero. El primer jugador que consiga tres números en línea, ganará. Cada solución hay que escribirla y así comprobamos por una parte la prioridad de operaciones y por otra el concepto de igualdad.

CONCEPTOS EJEMPLOS DEFINICION

IGUALDAD3 + 7 = 1024 : 6 = 45 * 6 = 30

IDENTIDAD4 + 5 = 5 + 43 + 3 + 3 + 3 = 3 * 4 = 34

a * b = b * a

ECUACIÓN6 + x = 98 – x = 23 * x = 12

9.- JUGANDO CON LAS PALANCASDescripción: utilizamos la palanca de primer grado (una especie de balanza) para equilibrarla y al representar un valor desconocido mediante un símbolo hacemos una introducción de las ecuaciones.El profesorado, a ser posible de una forma manipulativa con una regla y pesas, equilibra la balanza e inicia un proceso donde poco a poco se van planteando las incógnitas y en definitiva las ecuaciones y su resolución. No hay que tener prisa en dar el salto a su representación algebraica.Convendría que las actividades con la palanca se hicieran manipulativamente usando una regla y diferentes pesos tal y como aparece en los dibujos inferiores. En algún caso puede ayudar el uso de dinamómetros. Si queremos plantear situaciones más complejas podemos colocar en una de las partes de la palanca dos pesos.En la siguiente dirección podemos encontrar información sobre las palancas muy interesante y sencilla.http://www.practiciencia.com.ar/cfisicas/mecanica/solidos/solestati/palanca/tipos/index.html

Las palancas son instrumentos que permiten elevar pesos realizando el menor esfuerzo posible" Las palancas se utilizan desde tiempos prehistóricos, pero se debe a Arquímedes la formulación de la ley de su funcionamiento que dice: "El esfuerzo multiplicado por su distancia al punto de apoyo es igual a la carga multiplicada por su distancia al punto de apoyo".

Ejemplo de palanca: una masa se equilibra con otra veinte veces menor, si la situamos a una distancia del punto de apoyo veinte veces mayor: 100 * 1 = 20 * 5

60 * a = 40 * b; 60 * a = 40 * (5 – a) Tomando como referencia esta igualdad, resolved los siguientes problemas, realizando primero el dibujo y luego la fórmula potencia por su brazo = resistencia por su brazo:

1. Calcula la fuerza que tenemos que hacer para mover el peso P con una palanca de primer grado. Sabemos que la distancia del peso (P) al punto de apoyo es 50 cm, la distancia de la fuerza al punto de apoyo es 150 cm y que el peso a mover es de 100 Kg.

2. Calcula la fuerza que tenemos que hacer para mover el peso P con una palanca de primer grado. Sabemos que la distancia del peso (P) al punto de apoyo es 70 cm, la distancia de la fuerza al punto de apoyo es 140 cm y que el peso a mover es de 150 Kg.3. Calcula la fuerza que tenemos que hacer para mover el peso P con una palanca de primer grado. Sabemos que la distancia del peso (P) al punto de apoyo es 35 cm, la distancia de la fuerza al punto de apoyo es 140 cm y que el peso a mover es de 150 Kg.4. Calcula la fuerza que tenemos que hacer para mover el peso P con una palanca de primer grado. Sabemos que la distancia del peso (P) al punto de apoyo es 70 cm, la distancia de la fuerza al punto de apoyo es 30 cm y que el peso a mover es de 40 Kg.5. Calcula la longitud del brazo de la fuerza para mover un peso de 120 Kg. aplicando una fuerza de 40 Kg. El brazo del peso tiene una longitud de 15cm.6. Calcula la longitud del brazo de la fuerza para mover un peso de 20 Kg. aplicando una fuerza de 40 Kg. El brazo del peso tiene una longitud de 40cm.7. Calcula la longitud del brazo del peso para mover un peso de 25 Kg aplicando una fuerza de 75 Kg. El brazo de la fuerza tiene una longitud de 30cm.8. Tenemos que mover un peso de 70 Kg aplicando una fuerza de 7Kg. Tenemos una barra de 3m de longitud total. Calcula el lugar dónde hay que poner el punto de apoyo de la palanca.

10.- JUGANDO CON BALANZASEl profesorado plantea primero, en balanzas que están equilibradas, cuál es el peso del objeto desconocido y posteriormente pasaremos al cálculo de balanzas pero con dibujos. Aunque en los dibujos ya se plantea el método a seguir para calcular el valor del objeto desconocido conviene que antes preguntemos al alumnado sobre el proceso que ellos seguirían. Salvo en el hipotético

caso de que el alumnado no diera ninguna respuesta satisfactoria, no debemos adelantarnos al proponer la respuesta adecuada sin haberlo intentado ellos previamente. Si hubiera varias respuestas resultaría muy interesante compararlas, ver los elementos comunes y sacar la conclusión de cuál es el proceso más interesante.Del documento que aparece en esta dirección hemos cogido algunas actividades:http://www.doredin.mec.es/documentos/08980042/08980042-08.pdf

El alumnado primero juega con balanzas y se familiariza con ellas y su significado de igualdad. El objetivo va a ser siempre el calcular el peso del elemento desconocido y sobre todo iniciar un proceso de resolución que se plantea en las actividades.¿Cuál es el peso del conejo? ¿Cuál es el peso del gato?

¿Qué estrategia debemos seguir cuando tenemos una situación más compleja como la de este ejemplo que viene a continuación?

Evidentemente hay que simplificar y hay que procurar dejar en uno de los platillos de la balanza un solo objeto desconocido. El peso de lo que hay en el otro platillo será el del objeto desconocido. Si quitamos o añadimos en los dos platillos de una balanza el mismo peso, el equilibrio se mantiene. Compruébalo con una balanza de verdad.

Halla el peso de cada animal siguiendo el proceso planteado en el ejemplo anterior:

Sin embargo cuando las situaciones se complican y en los dos platillos aparece el objeto desconocido, como por ejemplo en esta situación del dibujo inferior

Hay que hacer un paso previo para poder dejar una situación similar a las que hemos visto antes.

Siguiendo los pasos del ejemplo anterior, calcula el valor del objeto desconocido en los ejemplos siguientes:

(e) (f)

Siguiendo el proceso vamos ahora a poner palabras a las situaciones planteadas en la balanza y a usar algunos símbolos para designar el valor del objeto desconocido

En lugar de “peso de la botella” ponemos el símbolo “?”. Este símbolo representa el peso de una botella en Kilogramos. Si cada botella pesa lo mismo cada signo de interrogación representará al mismo número. ¿Cuál es el peso de una botella?

¿Cuál será el peso de cada lata?

¿Cuál será el peso de cada saco?

¿Cuál será el peso de cada lingote de oro?

Hasta ahora hemos partido de dibujos de balanzas y hemos acabado en representaciones matemáticas. Ahora vamos a realizar el proceso inverso partimos de ecuaciones y representaremos la balanza que le corresponde.Aquí tienes un problema escrito de forma abreviada: ? + 4 = 9. Dibuja la balanza en equilibrio que corresponde a este problema y escríbelo. Calcula el número representa el símbolo “?”

Haz lo mismo pero con esta ecuación: ? + 8 = ? + ? + ? + 2

El detective Sherlock tiene un problema: ? +? +5 = ? + ? + ? + 2

Resuelve mentalmente, haciendo igual que el detective, los siguientes problemas:a.- 2 + & + & = & + 8b.- $ + $ + $ + 2 = $ + $ + 3c.- ? + ? + ? + ? = ? + ? + 10d.- @ + 5 + @ = 12 + @e.- 6 + # + # + # = # + 14

Nuria y Jorge tienen el mismo número de lacasitos. Nuria tiene 3 tubos y un lacasito suelto y Jorge en cambio tiene 1 tubo y 19 lacasitos sueltos. ¿Cuántos tienen cada uno? Resuelve el problema representando previamente el número de lacasitos de un tubo por ? y escribe el problema de forma abreviada. Luego resuelve.

La abuela Julia tiene el mismo número de galletas que su marido Serafín pero tal y como se ve en el dibujo repartidas de diferente forma. ¿Cuántas galletas tiene cada paquete? ¿Cuántas tiene Julia? ¿Cuántas tienen entre los dos? Ayúdate del símbolo ? para representar el número de galletas de cada paquete y escribe el problema de forma abreviada. Luego resuélvelo.

Laura y Javi tienen el mismo número de pinturas. Laura tiene 3 cajas completas y dos pinturas sueltas y Javi sin embargo tiene una caja completa y 12 pinturas sueltas. ¿Cuántas pinturas tiene cada caja? ¿Cuántas pinturas tiene cada uno? Escribe el problema de forma abreviada utilizando el símbolo que quieras para representar el número de pinturas de cada caja y luego resuélvelo.

Utilizando el símbolo que quieras para representar el número de bombones que hay en la caja llena, escribe el problema de forma abreviada y luego resuélvelo para calcular los bombones que hay en cada caja.Recuerda: Iban vacía 4 cajas y añade 2 bombones. Susi llena 2 cajas y quedan 44 bombones sobre la mesa

A la isla de Santa Clara llegaron por la mañana 3 barquitos llenos de gente y además 4 personas llegaron a nado desde la Concha. Por la tarde volvieron 2 al puerto llenos y 21 personas se quedaron a pasar la noche en la isla porque hacia buen tiempo y querían ver la luna llena desde allí. Si en todos los barquitos cabe el mismo número de personas, ¿cuántas iban en cada viaje? Para resolver el problema hay que escribirlo de forma abreviada y luego calcular el dato desconocido.

Pedro llena un depósito de agua vaciando un barril y añadiendo 32 litros más. Luego su hijo Javier utiliza el agua del depósito para llenas tres barriles y todavía le quedan en el depósito 6 litros. ¿Cuántos litros caben en cada baril? ¿Y en el depósito?

11.- DEDUCIR EL PROCESO A SEGUIRDescripción: con esta actividad queremos que el alumnado haga una síntesis personalizada del proceso a seguir para resolver ecuaciones de primer grado dependiendo del tipo de ecuación que sea.El profesorado pone diferentes modelos empezando por los más sencillos. El alumnado redactará con sus palabras, el proceso que debe seguir en un caso similar. El alumnado utiliza la lógica y generaliza primero verbalmente y luego por escrito, deduciendo un método general que sea válido para utilizar en ecuaciones que tengan la misma estructura.

ECUACION PROCESO A SEGUIR PARA CALCULAR EL VALOR DE “X”X + 2 = 5-5 + X = 2

X + 47 = 1147 + X = 5X – 3 = 6

X – 10 = -23

X – 5 = 32X = 85X = 10X/2 = 6X/3 = 5

3X + 5X = 166X – 2X = 20

2X + 7 = X + 144X – 6 = 3 – 5X

12.- ECUACIONES HUMANASDescripción: esta actividad tiene como finalidad el profundizar y mecanizar el proceso a seguir en la resolución de ecuaciones, insistiendo sobre todo en lo que ocurre cuando un término lo cambiamos de una parte de la igualdad a la otra.El profesorado reparte a varios alumnos y alumnas unas tarjetas con diferentes números de los que solemos encontrar en las ecuaciones: 3; 2; 1; 5; 7, etc. Además hay otras tarjetas con el símbolo “x” y otras con signos positivos, negativos, por o dividido y por la otra cara el signo contrario, es decir, menos, más, dividido y por respectivamente, para poner delante de los números y de los coeficientes de las expresiones algebraicas. Cada alumno/a deberá tener al menos dos tarjetas una con positivo, negativo, por o dividido y otra con el número. Además algunos tendrán una tercera tarjeta con la x. Falta una tarjeta con el signo igual que lo tiene el guardia de tráfico que está en el centro y que cuando para resolver la ecuación es necesario pasar un término de un miembro a otro le obliga a dar la vuelta a la tarjeta del signo.Las fichas pueden tener un cordón para colgar del cuello o de lo contrario las tendrán que sujetar con las manos.La ecuación la resuelve un alumno desde su sitio y las personas que forman la ecuación se ponen delante mirando a toda la clase. Cuando el alumno que resuelve la ecuación quiere pasar un término de un lado al otro, le dice al alumno correspondiente que pase al otro lado pero, al pasar la frontera, el municipal que tiene el signo igual, le cambiará el signo dándole la vuelta a la tarjeta dejando positivo lo que antes era negativo y multiplicando el numero que antes estaba dividiendo. Puede ayudar a entender el proceso el que otra persona vaya escribiendo en la pizarra lo que los diferentes actores están haciendo.El alumnado observa, sigue los cambios, comprende las razones y por último copia en su cuaderno el proceso seguido. 2 + x = 8El +2 pasa la frontera y se convierte en –2, con lo cual a la derecha queda 8 - 2 y, por lo tanto,x = 6

13.- EJERCICIOS PARA PRACTICAR Descripción: conjunto de ejercicios de resolución de ecuaciones de diferente tipo.El profesorado explica los ejemplos de cada tipo (o invita a algún alumno/ a que lo haga) y luego el alumnado resuelve las ecuaciones propuestas. Hay muchísimas con lo cual si se ve que lo van dominando dejan de hacer más. Conviene dar las respuestas para que así el alumnado se autoevalúe. Dirección de internet para resolver ecuaciones con corrector automático: http://www.thatquiz.org/es/practice.html?algebra

El alumnado utiliza la respuesta de la actividad anterior y resuelve las ecuaciones propuestas hasta que vaya viendo que le salen bien.

La suma y la resta son conocidas como operaciones inversas. Repasa los ejemplos y resuelve las siguientes ecuaciones.

Ejemplos:

a) x + 2 = 5         -2   -2 (Inverso de la suma)          x = 3

b) x - 3 = 4       +3  +3 (Inverso de la resta)         x = 7

c) x + 4 = -2         -4    -4 (Inverso de la suma)          x = -6

d) x - 7 = -3 +7 +7 (Inverso de la resta) x = 4

Resolver:

1. x - 9 = 262. x + 8 = -523. x + 91 = 224. x - 7 = -455. x + 42 = -186. x - 6 = 297. x - 21 = -228. x + 7 = -189. x - 12 = -3610. x + 14 = 2611. x - 17 = 1412. x + 11 =3

La multiplicación y la división son operaciones inversas. Repasa los ejemplos y resuelve las siguientes ecuaciones:

Ejemplos:

a) 3x = -6 3x = -6     (Inverso de la multiplicación)    3       3     x = 2

b) –x = 12 -x = 12  (Inverso de la multiplicación)     -1    -1    x = -12

c)    x = 5

x = (5)( (Multiplica por el recíproco)

             x = 10

d)      x =

 ( )( ) x = ( ) (Multiplica por el recíproco)

     x = =

Resolver:

1. -6y = 18 2. y/7 = 15 3. -x = 108 4. (2/9)x = 22 5. 12x =32 6. (-1/9)x = -7 7. (3/8)z = 12 8. -x = 20 9. (1/6)x = -2 10. (5/6)x = 30 11. 9x = -9 12. (4/5)x = 1/4 13. (-5/11)x = 35 14. 12z = -36 15. (3/5)f = -24 16. (-1/2)x = 4 17. -8x = 96 18. 4x = -4 19. -21x = 84 20. (-3/4)x = 9

Cuando trabaje con ecuaciones de dos pasos, recuerda invertir el orden de operaciones cuando las estés resolviendo. Repasa los ejemplos y resuelve las ecuaciones

Ejemplos:

a) 3x - 4 = 11          +4   +4 (Inverso de la resta) 3x = 15         3x = 15          3      3 (Inverso de la multiplicación)           x = 5

b) -7x + 3 = 45             -3    -3 (Inverso de la suma) -7x = 42          -7x = 42          -7      -7 (Inverso de la multiplicación)           x = -6

c) (2/3)x + 15 = 17                 -15    -15 (Inverso de la suma)            (2/3)x =   2     (3/2)(2/3)x = (3/2)(2) (Multiplica por el recíproco)                  x = 6/2 = 3

d) (-3/4)x - 2 = -5                 +2   +2 (Inverso de la resta)         (-3/4)x =  -3  (-4/3)(-3/4)x = (-4/3)(3) (Multiplica por el recíproco)               x = 12/3 = 4

Resolver:

1. 2x + 33 = 17 2. x/5 - 16 = -3 3. 23x - 45 = 116 4. 7x - 13 = -76 5. (5/7)x + 28 = 8 6. -11x - 20 = -97 7. 17 - x = 5 8. 6x + 25 = 1 9. (1/4)x - 15 = -7 10. 33 - x = 8 11. -3x - 7 = -28

Repasa los ejemplos y resuelve las ecuaciones

Ejemplos

a) 16x + 42 - 13x = 24               3x + 42 = 24 (Combine términos semejantes)                -42   -42 (Inverso de la suma)                       3x = -18                        3        3 (Inverso de la multiplicación)                         x = -6

b) 10 - 16x + 9 = -13           -16x + 19 = -13 (Combine términos semejantes)                      -19    -19  (Inverso de la suma)                    -16x = -32                     -16      -16 (Inverso de la multiplicación)                       x = 2

Resolver:

1. 52x - 14 - 35x = -133 2. 36x - 21 - 24x = -105 3. 31x - 22 + 11x = 188 4. 23x + 18 + 24x = -358 5. 57x + 23 - 42x = -97 6. -17x - 22 - 8x = 128 7. -25x - 17 - 18x = 284 8. 53x - 18 + 7x = 162 9. 75x - 29 - 53x = 59 10. 23x - 45 - 38x = -15 11. 27x + 19 - 39x = -65 12. 45x - 83 + 9x = 25 13. -14x - 23 - 15x = 151 14. -22x - 25 - 9x = 99 15. 14x - 53 - 32x = 73

La propiedad distributiva quiere decir que la multiplicación se aplica sobre la suma. Se escribe como: a (b + c) = a b + a c, siendo a, b y c cualquier número.

Repasa los ejemplos y resuelve las ecuaciones:

Ejemplos

a) 4(2x + 7) = 108      8x + 28 = 108 (Propiedad distributiva)             -28       -28 (Inverso de la suma)              8x = 80

               8      8 (Inverso de la multiplicación)               x = 10

b) 5x - 4(2x + 11) = 13         5x - 8x - 44 = 13 (Propiedad distributiva)                -3x - 44 = 13 (Combine términos semejantes)                      +44   +44 (Inverso de la resta)                      -3x = 57                       -3     -3 (Inverso de la multiplicación)                         x = -19

c) 8(3x - 5) + 20 = -68     24x - 40 + 20 = -68 (propiedad distributiva)             24x - 20 = -68 (Combine términos semejantes)                    +20   +20 (Inverso de la resta)                   24x = -48                     24      24 (Inverso de la multiplicación)                      x = -2

Resolver: 1. -6(5x + 2) = 198 2. 5x - 4(2x + 11) = 13 3. 4(3x + 2) - 18 = 14 4. 3(7x + 9) = -15 5. 17 - (6x + 3) = -16 6. 4x - 5(3x + 10) = 126 7. -(5x + 8) + 12 = 34 8. 5(7x - 8) = -320 9. 7x + 3(4x - 1) = -79 10. -7(2x - 5) = 161 11. 18 - 6(5x - 8) = -24 12. -4(5x - 2) + 7 = -5 13. 3x + 4(3x - 5) = 25 14. -6(7x + 5) = 12

El primer paso para resolver ecuaciones donde hay variables en ambos lados es eliminar la variable de un lado usando operaciones inversas. Repasa los ejemplos y resuelve las ecuaciones:

Ejemplos

a) 2x = 5x – 3 -5x -5x (Operación inversa) -3x = -3

-3 -3 (Inverso de la multiplicación) x = 1

b) 11m – 23 = 12m + 5 -11m -11m (Operación inversa) -23 = m + 5

-5 -5 (Inverso de la suma) -28 = m

Resolver:1. 5x - 18 = 6x + 4 2. 12x + x = 5 - 2x 3. 3(x + 8) = 7x 4. -5(x + 2) = 3(x + 2) 5. -3(x + 5) = 2(x + 5) 6. 5x - x = x + 15 7. 26x + 15 = 32x + 3 8. 12d + 4 = 8d 9. 14x - 2 = 19x + 33 10. 108 + 4x = -2x 11. 6(7 - x) + x = 36 + x 12. 5(x + 6) = 8x 13. -7(4x + 2) = 5(2x + 1) 14. 9x - 22 = 4x + 3

14.- PROBLEMASDescripción: después de una introducción a los problemas se proponen dos colecciones de problemas unos tradicionales y otros diferentes que son más interesante. En un menú variado todos son interesantesEl profesorado explica los cuadros iniciales sobre todo el primero que indica los pasos a dar a la hora de resolver los problemas. Hay muchos problemas y habrá que elegir los más interesantes según el alumnado que tengamos y el recorrido realizado.El alumnado resuelve los problemas planteados e interioriza las diferentes estrategias de representación algebraica y su resolución.

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMASPaso 1

Lee el problema con atención

Paso 2

Haz un esquema del problema, identificando los datos conocidos y los que te piden encontrar

Paso 3

Elige una variable para identificar una cantidad desconocida

Paso 4

Escribe la ecuación

Paso 5

Resuelve la ecuación

Paso 6

Responde a la pregunta planteada

Paso 7

Verifica la solución sustituyendo la solución en la ecuación

RELACIÓN DE UN NÚMERO Y SUS VARIANTESFrase Primer o Segundo Tercer o

La edad de Pedro ahora, su edad en 5 años y hace tres añosUn número, triple del número y la mitad de dicho número.Un número, el número aumentado en 7 y el número

disminuido en 6 Un número, tres quinto del número y el doble de la suma de seis y el número.

PALABRAS CLAVES PARA PLANTEAR ECUACIONESPalabra o frase Símbolo matemático

MásAñadir Más queLa suma deSobrepasaAumentadoSumado

Suma (+)

Menos Restado deDiferenciaMenos que Reducido

Resta ( - )

VecesProductoMultiplicadoDoble, triple, medio, etc.

Multiplicación (x)

EntreDividir Cociente

División (÷)

EsDaSonIgual SeráEs igual a

Igual (=)

Un número, el doble y la mitad del tripleTres número pares consecutivos Tres números impares consecutivos

Un número, el 20% del número y el 125 % de dicho número

PROBLEMAS INTERESANTES: a.- Para pagar el alquiler de la bajera el tesorero nos ha dicho que tenemos que poner 25 euros al mes. Sin embargo luego se han apuntado cuatro más y por eso sólo tenemos que poner 20 euros. ¿Cuántas personas formamos parte de la bajera? ¿Cuál es el alquiler que tenemos que pagar?

b.- Tengo que cortar el césped de mi jardín que mide 600 metros cuadrados y para ello tengo tres días. El primer día quiero hacer el doble que el segundo y este segundo día, la tercera parte que el último día. ¿Qué superficie cortaré cada día?

c.-En un hotel tienen habitaciones simples y dobles, teniendo en total 60 camas. ¿Cuántas habitaciones simples y dobles tienen? Si hay más de una respuesta, indica todas.

d.- La profesora de educación física ha hecho tres grupos en clase: el primero formado por la tercera parte del alumnado, el segundo formado por la cuarta parte de la clase y el tercero formado por diez chicas. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase y cuántos en cada grupo? e.- El rompecabezas de Chejov Ahora veremos un ameno problema aritmético, tal y como lo planteó el estudiante de séptimo año, Ziberov, del cuento de Chejov “el Repetidor”. “Un comerciante compró 138 arshins (1 arshin = 80 cm) de tela negra y azul por 540 rublos. Me pregunto, ¿cuántos arshin compró de cada una, si la tela azul costaba 5 rublos por arshin, y la negra, 3 rublos?”

f.- Escribe tres ecuaciones las cuales tengan como soluciones respectivas: 3, 1 y -2.

g.- Amaia ha sacado de su hucha 14 monedas, unas de 20 céntimos y otras de 10. ¿Cuántas monedas tiene de cada tipo si en total tiene 2 euros?

h.- Tenemos para repartir 20 euros entre niños, adolescentes y jóvenes. ¿Cuántos hay de cada grupo sabiendo que a cada niño se le da medio euro, a los adolescentes 2 euros y a los jóvenes 3?

i.- Un ladrón en el supermercado robó varias naranjas, pero al salir, se encontró con tres guardas los cuales le pidieron para no delatarle, la mitad de lo que llevaba mas media naranja. Al final salió con dos naranjas. ¿Cuántas robó?

j.- Nos encontramos en noviembre de 2008. Me falta un mes para cumplir los 43 años. Mi segundo hijo cumplió 4 años en junio...¿Al cabo de cuantos años mi edad será 20 veces la de mi hijo? ¿Cómo hay que interpretar la respuesta?

k.- Normalmente usamos letras como n, t, o x para representar variables. Por ejemplo podemos decir que s representa la longitud del lado de un cuadrado. Ahora tratemos a s como si fuera un número que pudiéramos usar. El perímetro del cuadrado podemos expresarlo mediante 4 s. El área del cuadrado mediante s s. Cuando trabajamos con variables, puede servir de ayuda el usar una letra que nos recuerde la variable que representa: si n es el número de personas en un cine; dejemos que t sea el tiempo que toma viajar a algún sitio; dejemos que d sea la distancia de mi casa al parque. Completa el cuadro siguiente:

Horas trabajadas

Pago por hora Ingreso bruto

0 5 euros 5 0 = 0 euros

1 5 5 1 = 5

2 5 5 2 = 10

3 5 5 3 = 15

4 5 5 4 = 20

10

100

1000

n 5

l.- El alquiler de las películas cuesta 2 euros cada una.

Nº de películas

Precio de cada una

Coste total

1

2

3

4

n

m.- Un pastor le dice a otro: dame una de tus ovejas y así yo tendré el doble que tu. El otro le contestó: me parece más justo que tú me des una de las tuyas y así tendremos los dos igual ¿Cuántas tiene cada uno?

n.- 5 + x + y = 20 Si tanto x como y son números enteros, ¿Cuánto vale x? ¿Cuánto vale y? ¿Cuántas posibilidades tenemos?

PROBLEMAS TRADICIONALES:Problema 1.Si sumamos 12 a la mitad de un número obtenemos 27. ¿Cuál es el número?Llamo _____ al número que voy a buscar. La mitad de ese número será _______ Le añado 12 a esa mitad y queda ________ Todo eso es igual a 27. Entonces escribo la ecuación ____________ = ________Resuelvo la ecuación: ________________________________________________________________________________________________________________________________________Compruebo la ecuación: _________________________________________________________Entonces el número buscado es ___________Problema 2.La suma de los 2/3 de un número con los 3/4 del mismo número es 17. Hallar el número.Llamo _______ al número. Los 2/3 del número se escriben ______ y los 3/4 del número se escriben _______ La suma de los dos términos anteriores es 17. La ecuación: ___________=_____Resuelvo la ecuación ________________________________________________________________________________________________________________________________________Compruebo __________________________. El número buscado es _________

Problema 3. La diferencia de dos números es 14 y el número menor menos 2 unidades es igual a los 2/3 del número mayor. Hallar los números.Leo dos veces más el problema hasta entenderlo. Pienso en números que tengan una diferencia de 14, como ______ y _____, ______ y _____, ______ y _____Me conviene llamar _____ al número menor (porque es al que hay que restarle algo). Entonces el número mayor es __________ (Recuerda lo que dice de la diferencia). Ahora escribo el número menor menos 2 __________ También los 2/3 del número mayor __________Las dos expresiones anteriores, según el problema, son iguales. Entonces tengo la ecuación ______________ = _____________Resuelvo la ecuación ____________________________________________________________La solución es ________ que corresponde al número ________Entonces el otro número es _________Compruebo en el enunciado del problema: diferencia de los números _________; número menor -2 :________, ¿es igual a 2/3 del número mayor: _________? ¿Sí? Entonces los dos números que buscábamos son ___________

Ahora plantea, resuelve y comprueba en tu cuaderno los siguientes problemas:(Piensa antes de preguntar, pero puedes preguntar)

- Si a tres veces un número le sumamos 10, el resultado es 22. ¿Cuál es el número?- La suma de la edad de un padre y su hijo es 70. La edad del padre es 10 años más que el doble de la edad del hijo. Halla la edad de cada uno de ellos.- Hay tres números tal que el segundo es 6 menos que tres veces el primero y el tercero es 2 más, que dos tercios del primero. La suma de los tres números es 150. Encuentra el valor de los tres números.- Halla tres enteros consecutivos cuya suma es 36. ¿Qué método has utilizado? ¿Habría otro método?- Para dos números enteros pares consecutivos, el menor mas 4 veces el mayor, es 48. Encuentra los números.- El perímetro de la alfombra rectangular de un palacio es 40 metros. El ancho es 4 metros menos que el largo. Encuentra las dimensiones de la alfombra. - El segundo ángulo de un triángulo es tres veces mayor que el primero. La medida del tercer ángulo es más que el primer ángulo. ¿Cuánto miden los tres ángulos?- Seis menos, que diez veces un número, es 60 más que siete veces el número. Encuentra el número.- El soporte para un panel de energía solar es triangular. Un ángulo del triangulo es cinco veces el tamaño del primero. El tercer ángulo es menos que el primero. ¿Cuál es la medida de cada ángulo? ¿Cuánto ale un pie? ¿Qué número aparecerían en este problema si las medidas las expresásemos en metros?- El perímetro de una cancha de baloncesto es 288 pies. El largo es 44 pies más que el ancho. Halla las dimensiones de la cancha.- Halla tres enteros impares consecutivos tales que la suma del primero, dos veces el segundo, y tres veces el tercero es 70.- La suma de los números de dos buzones adyacentes es 697. ¿Cuáles son los números? - Quince mas, que tres veces un numero, es lo mismo que diez menos, que seis veces el numero. ¿Cuál es el número?- Hay tres números tales que el segundo es 14 menos, que seis veces el primero y el tercero es dos más que tres cuartos del primero. La suma de los tres números es 112. Halla los números.- El ancho de una cancha de tenis es 42 pies menos que el largo. El perímetro de la cancha es 228 pies. Halla las dimensiones de la cancha.- Halla tres enteros consecutivos de tal que la suma del primero, cinco veces el segundo, y cuatro veces el tercero sea 1226.- Un tubo de 1200 centímetros es cortado en tres piezas. La segunda pieza es tres veces el largo de la primera. La tercera pieza es el doble de la primera. ¿Cuánto mide cada pieza?- La suma de los números de dos páginas consecutivas de un libro es 373. ¿Cuáles son los números de las páginas?- Dieciséis más que tres veces un número es once veces el número. Halla el número.- El producto de un número y 5, aumentado en 21 es 141. Encuentra el número.- Halla tres enteros consecutivos cuya suma es 36- Siete veces un número es 18 más, que cinco veces el número. Halla el número.- Para dos números enteros pares consecutivos el menor más 4 veces el mayor es 48. Encuentra los números- El largo de un rectángulo es 3 cm menos que cuatro veces su ancho. El perímetro del rectángulo es 34 cm. Halla las dimensiones del rectángulo.- El precio de una casa móvil fue reducida en un 11% de su precio original. Su nuevo precio es 248.950 euros. ¿Cuál es el precio original de la casa?

- El perímetro de un rectángulo es de 220 centímetros. Si la longitud del rectángulo es 70 centímetros, ¿Cuál es el ancho del rectángulo? - El área de un rectángulo es de 35 metros cuadrados. El ancho del rectángulo es 5 metros. ¿Cuál es la longitud del rectángulo? - Jordi alquila un coche por 27 euros por día. El costo total de su contrato de alquiler es 216 euros. ¿Por cuántos días alquiló Jordi el coche? - Un triángulo tiene una base de 10 cm y un área de 25 cm cuadrados. ¿Cuál es la altura del triángulo?

15.- EN CADA SITUACIÓN LA ESTRATEGIA MÁS ADECUADADescripción: con esta actividad pretendemos hacer reflexionar al alumnado sobre la importancia de la resolución algebraica de algunos problemas ya que simplifica el proceso de resolución.El profesorado propone los problemas o situaciones y en debate con la clase se decide cuál es la estrategia más adecuada en cada caso. El alumnado elige la estrategia más adecuada en función de las ventajas e inconvenientes que cada una de ellas tiene, resumiendo al final las situaciones en las que las tres estrategias son más adecuadas.

SITUACION ESTRATEGIA¿Cuánto tengo que sumarle a siete para obtener doce?

En este caso lo más sencillo es calcularlo mentalmente, ya que en el fondo es restar siete a doce, con lo que la respuesta es cinco.

La suma de dos números consecutivos es 55. ¿Qué números son?

Habrá gente que pueda encontrar la respuesta mentalmente pero lo más adecuado puede ser buscar la solución por tanteo. Es decir, buscamos dos números seguidos y los sumamos y así sabremos sin han de ser más grandes o pequeños. Si utilizamos la calculadora en poco tiempo obtendremos la solución.Puede ser de ayuda empezar con números cercanos a la mitad de 55.

El doble de un número más su mitad es 400.000. ¿Cuál es el número?

Evidentemente este problema se puede solucionar por tanteo y con ayuda de la calculadora pero puede ser excesivamente largo y aburrido. Por eso en este caso la estrategia más eficaz sería el resolverlo mediante una ecuación:2x + x/2 = 400.000 Al resolverlo obtendremos que la solución es 160.000

La suma de la edad de un padre y su hija es 48. ¿Cuál es la edad de cada uno, si sabemos que la edad del padre es el triple que la de la hija?El producto de dos números consecutivos es 132. ¿Qué números son?En el aparcamiento del colegio hay coches y bicis y en total 36 ruedas. ¿Cuántos vehículos hay de cada tipo si sabemos que el número de coches es el doble que el de bicis?Los tres lados de un triángulo isósceles suman 25 centímetros. ¿Cuánto mide el lado desigual si

sabemos que éste mide la mitad que el lado que es igual?Resuelve esta ecuación 10 + 3x = 45

ESTRATEGIA SITUACIONES EN LAS QUE DEBEMOS USARLACALCULO MENTAL

PORTANTEO

MEDIANTE EL ALGEBRA

16.- ÁLGEBRA EN LA VIDA DIARIACARNET DE CONDUCIR. Hoy he estado en una autoescuela para preguntar por los precios de los diferentes carnets de conducir y estos son los precios:

CONCEPTO LCC PERMISO A1 PERMISO BMATRICULA 49,60 173,10 173,10

MATERIAL ENSEÑANZA 15,20 15,20 24,30TASAS TRAFICO 18,20 85,00 85,00

TRAMITACIÓN EXPEDIENTE 50,80 50,80 50,80ENSEÑANZA TEORICA 60,60 229,30

CIRCUITO CERRADO (PISTA) 30,00 30,00CIRCULACION 60,00

CLASES PRACTICAS 33,50A todo, excepto a las tasas de tráfico, habrá que aplicarle el 16% de IVAOFERTA: matrícula + teoría interactiva + 10 prácticas = 390 eurosNota: si se suspende dos veces el carnet de coche hay que volver a pagar de nuevo las tasas correspondientes a tráfico y tramitación expediente.Cuál es la cilindrada de la moto que se puede conducir con el carnet LCC? ¿Y con el carnet A1? ¿Qué significa permiso B?¿Por cuánto le sale el carnet de coche a una persona que aprueba a la primera recibiendo sólo 5 clases prácticas? ¿Y si hubieran sido 10 prácticas? ¿Cuánto se ahorra con la oferta? ¿Cuánto pagará una persona que saca el carnet de coche a la quinta y con 25 prácticas? En todos estos casos, ¿cuánto pagaría realmente una persona joven si recibe la beca que ofrece el Gobierno de Navarra de 175 euros?

ALQUILER DE COCHES. El verano pasado fuimos de vacaciones a Mallorca y allí alquilamos un coche para poder conocer la isla. En la empresa de alquiler de coches nos hicieron la siguiente oferta:De 1 a 3 días: 125 euros por día hasta 200 Km. por día y los kilómetros que excedieran a 0,10 euros el kilómetro. Además había que incluir el IVADe 4 a 8 días: 100 euros y el resto de condiciones igual que el anteriorDe 9 a 15 días: 75 euros por día y el resto de condiciones las mismas que los anterioresA partir de 15 días a 60 euros el día y el resto de condiciones las mismasCalcula el precio en cada una de las situaciones planteadas:

SITUACION OPERACIONES COSTO

2 días y 426 kilómetros

5 días y 700 kilómetros12 días y 1128 kilómetros20 días y 2786 kilómetrosx días y ( 200x +1) Km.

AHORRO DE UNA FAMILIA. En una familia la madre gana “x” euros al mes, el padre, después de estar varios meses en el paro, ha conseguido un trabajo por el que le pagan “y” euros y la hija mayor gana “z” euros.¿Cuánto consiguen ahorrar si en el préstamo del piso pagan al banco la mitad de lo que gana la hija; en alimentación los 1/3 del sueldo de la madre; en educación de los dos hijos pequeños la cuarta parte del sueldo del padre; en ropas la cuarta parte del sueldo de la madre; en gastos fijos de la casa (luz, agua, teléfono, calefacción, etc.) los 2/5 del sueldo del padre; en ocio par toda la familia la tercer parte del sueldo de la hija y en gastos varios 1/3 del sueldo del padre?Si te resulta muy difícil supón que x = 1800 euros; y = 1600 y que z = 1000 euros

PIZZAS A DOMICILIO. Un estudiante compra una pizza por 9.85 euros y da una propina de 1.00 euro sin importar el número de pizzas que se compren.

Nªde pizzas solicitadas

Coste del número

pedido de pizzas

Propina Coste total

1

2

3

4

p

PISTA DE BALONCESTO. Para evitar que se vaya el balón queremos rodear la pista de baloncesto de la urbanización con una valla metálica de 4 metros de altura que tiene un precio de 30 euros el metro lineal. ¿Cuánto costará la valla? ¿Cuánto pagará el Ayuntamiento? ¿Cuánto tendrá que pagar cada vecino/a de la urbanización?

NAVIDAD. En la merendola que solemos hacer por Navidad nos hemos gastado 45 euros. Sabiendo que hemos gastado en comida el doble que en bebida, ¿Cuánto hemos gastado en bebida? ¿Y si hubiéramos gastado en bebida el triple que en comida?

REBAJAS. Una camisa es rebajada en un 12 % de su precio original. En rebajas el precio de venta es 38 euros. Encuentra el precio original.

MÁS PIZZAS. Elena compró pizzas a 9.99 euros cada una y tres refrescos por 4.29. Gastó un total de 44.25 euros. ¿Cuántas pizzas compró?

LA LAVADORA NO FUNCIONA. El otro día se nos estropeó la lavadora en casa y tuvimos que llamar al técnico de esa marca. La verdad es que la arregló pronto y bien pero la factura no nos dejó tan contentos ya que por salir del taller cobró 35 euros y por cada hora de trabajo 40. Si estuvo hora y media ¿cuánto me cobró? ¿Qué fórmula expresa la cantidad a cobrar?

EL TELEFONO MOVIL. ¿Tienes? ¿Con qué empresa? ¿Contrato o tarjeta? ¿Cuál es tu uso? ¿A qué teléfonos sueles llamar? ¿De qué empresas son? ¿A qué horas? ¿Cobran por minutos o por segundos? ¿Y qué pasa con los mensajes? ¿Depende el precio del número de caracteres? ¿Cuántos caben en tu móvil en una hoja? ¿Has tenido en cuenta el IVA a la hora de calcular los precios? Una vez analizados todos estos datos, busca información de tu empresa y de otras de la competencia y razona matemáticamente, es decir con datos, con números, cuál es la tarifa que a ti más te interesa ¿Coincide con la que tienes ahora? ¿Haces un consumo adecuado del teléfono?

17.- INVENTANDO FORMULASDescripción: con esta actividad se pretende comprender el significado y los elementos de una fórmulaEl profesorado plantea algunos índices económicos y sociales para comprender su significado y sobre todo su elaboración al relacionar diversos factores mediante una fórmula. Luego se le pide al alumnado que elabore sus propios índices o fórmulas.Se puede hacer individualmente o en grupo. El hecho de que varias personas elijan el mismo índice puede ser muy interesante para la puesta en práctica y para suscitar un debate donde se puedan defender con argumentos los criterios y valores que cada uno ha elegido.El alumnado comprende el significado y el proceso de construcción de un índice o problema para luego inventarse un índice de los que se le proponen u otro. Es muy importante que en la puesta en común el alumnado justifique razonadamente las decisiones tomadas.Índice de desarrollo humano

     0,950 y mayor      0,900–0,949 0,850–0,899      0,800–0,849 0,750–0,799

     0,700–0,749      0,650–0,699 0,600–0,649      0,550–0,599 0,500–0,549

     0,450–0,499      0,400–0,449 0,350–0,399      menor a 0,350 no disponible

Aquí tenemos el mapa del mundo con el índice de desarrollo humano de cada país. ¿Qué es el Índice de desarrollo humano? ¿Cómo se calcula? Busca información en WikipediaEn esta dirección encontrarás otros Índices relacionados con el desarrollo, datos y un vocabulario del tema muy interesante:http://hdr.undp.org/en/media/notas%20tecnicas.pdf

Hay un índice en economía que se utiliza mucho, es el del Producto Nacional Bruto. En esta dirección puedes ver diferentes fórmulas: https://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r34701.DOC

Como habrás visto, en todas estas fórmulas se utilizan una serie de valores que suman o restan y que tienen diferente influencia en el valor final. A continuación tienes una serie de índices para que tú inventes una fórmula y justifiques las razones que te han llevado a incluir los diferentes factores y darles el valor que tienen. Índice de felicidadÍndice de estrésÍndice para estar bien alimentadoÍndice para hacer un seguro de vidaÍndice del buen amigo/aÍndice del amor de tu vida

18.- JUGANDO CON EL ÁLGEBRADescripción: actividad comodín para realizar ecuaciones de una forma atractiva y motivadora.El profesorado utiliza alguno de estos recursos lúdicos para trabajar las ecuaciones o como complemento en algunas sesiones y sobre todo como atención a la diversidad para el alumnado que tiene más dificultades. El alumnado tiene que actuar con mucha rapidez para resolver las ecuaciones ya sea mediante cálculo mental o a mano y así poder participar en el juego.

BINGO DE ECUACIONES: se puede utilizar el que viene a continuación pero puede ser más interesante que el alumnado se lo construya a partir de un cartón vacío donde coloca algunas de las ecuaciones de un listado grande que se le ofrece previamente. Evidentemente antes de empezar a jugar tiene que hallar las soluciones. Es una forma más motivadora de resolver ecuaciones.http://www.anagarciaazcarate.com/wp-content/bingo-de-ecuaciones-de-primer-gradoii.doc

Modelo de cartón vacío:

PUZZLE. Con esta actividad pretendemos, igual que en el bingo, realizar una serie de ecuaciones de forma más motivadora que la de entregar un listado enorme para resolver. La imagen de la izquierda se dobla por la mitad y se cortan los rectángulos. Se resuelven las ecuaciones y se ponen

los trozos de tal forma que los resultados iguales estén al lado. Si las ecuaciones se han resuelto bien, al dar la vuelta a todos los trozos se obtiene el dibujo que está a la derecha.

JUEGO DE CARTAS, para hacer familias y jugar al “burro algebraico”

DOMINO DE ECUACIONES: http://www.anagarciaazcarate.com/?cat=4QUIEN TIENE, YO TENGO (y más juegos): http://www.mauriciocontreras.es/JUEGOS4.pdfOTROS JUEGOS: http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:fdQnurCzx0cJ:secundaria2.sep.gob.mx/dgose/files/encuentros/cuatro/4E1417.pdf+juegos+algebraicos&hl=es&gl=es&sig=AHIEtbRQV4n4NqluzzSwunfogPgO-b6SCgJUEGOS EN INGLES Y EN FRANCES: http://translate.google.es/translate?hl=es&langpair=en%7Ces&u=http://www.onlinemathlearning.com/algebra-math-games.htmlhttp://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=es&langpair=en%7Ces&u=http://www.fi.uu.nl/wisweb/&rurl=translate.google.es&usg=ALkJrhhEP1_z4eaeD7XVTr21cscBo55Flw

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=es&langpair=en%7Ces&u=http://www.squidoo.com/algebragames&rurl=translate.google.es&usg=ALkJrhhy5ZHXsxX2gdh7X-hBlf2l-Q16yAInteresante este juego de ganar dinero resolviendo ecuaciones: http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=es&langpair=en%7Ces&u=http://www.quia.com/rr/4096.html&rurl=translate.google.es&usg=ALkJrhjVEd7kAJ-bC-zy87P7jGU2RMNWhw

CRUCIGRAMA ALGEBRAICO

Verticales

1) 3x + 2 = 322) x/5 = 163) 2x + 8 = 4405) 2x - 9 = x + 188) 9x + 9 = 9009) ¼ x - 2 = 25013) x/3 - 11 = x - 233 15) x + 5 = 2x - 80

Horizontales

3) 7x - 4 = 1714) 8x - 920 = 7,0806) ½ x + 8 = 887) 5x = 35,74510) 4x - 4 = 3x + 611) 5/2 x + 40 = 50012) x/9 - 43 = 1,00014) x/7 - 5 = 016) 5x - 4x + 3x + 8 = 8

19.- PARA RESUMIR EL TEMADescripción: Actividad para realizar la síntesis por escrito del tema como si se tratase de realizar un tema de un libro de texto.El profesorado plantea el realizar un resumen o síntesis del tema pero con la estructura que suelen tener los libros de texto, es decir, una parte teórica con explicaciones,

definiciones, vocabulario, etc y unido a ello ejercicios resueltos. Además conviene que secuencien con claridad los pasos a dar para resolver una ecuación de primer grado que les sirva de ayuda en caso de estar bloqueados y de no saber cómo seguir. Para terminar algunos problemas inventados y sobre todo una situación de su vida cotidiana, similar a las trabajadas en clase, donde se utilice el álgebra para buscar la solución. Tiene que haber una relación clara entre los objetivos planteados en la primera actividad, lo trabajado en clase y recogido en el cuaderno y fotocopias entregadas y la propuesta de síntesis que se plantea ahora. Evidentemente no vale copiar de una editorial aunque pueden coger ideas. El alumnado tiene que tener claro lo que tiene que hacer y para ello deberá tener presente los objetivos y los apuntes del cuaderno. Si miran algún libro de texto podrán hacerse una idea de lo que se pretende, es decir, un material que el curso siguiente pudiera servir al alumnado nuevo que empieza a trabajar el álgebra.

4.2. Relación de las actividades con objetivos, contextos, nivel de dificultad y competencias

ACT Nº

OBJCONTEXTOS COMPETENCIAS NIVEL1 2 3 4 5 1 2.

12.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

3 4 5 6 7 8 Repr Cone Refle

1 1,4 x x x x x x x x x x x x x x2 1 x x x x x x x x3 1 x x x x x x x4 1 x x x x x x x x x x x x x5 1 x x x x x x x x6 1 x x x x x x x x x x x x x x x7 1 x x x x x x x x x x x x x x8 2 x x x x x x x x x x x x9 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x10 2,3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x11 2,3 x x x x x x x x x x x12 2,3 x x x x x x x x x x x x13 3 x x x x x14 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x15 4 x x x x x x x x x x x x x16 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x17 2,4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x18 3 x x x x x19 1,2,3,

4x x x x x x x x x x x x x x x x

5.- METODOLOGÍA Y RECURSOS

SESION CONTENIDOS OBJETIVOS ACTIVIDADES RECURSOS

1

Objetivos y criterios de evaluación

1 Act. 1: Haciendo magia Fotocopia, power point

2

Su Los símbolos 1 Act. 2: ¿Qué expresan los símbolos?Act. 3: Operaciones con imaginación

Fotocopia

Fotocopia con operaciones

3

Expresiones algebraicas 1 Act. 4: Matemáticas con letras Fichas

4

Expresiones algebraicas 1 Act. 5: Juegos y pasatiempos Material para los juegos

5

Expresiones algebraicas 1 Act. 6: ¿Cuál es el siguiente? Material manipulativo: palillos, cubitos encajabales, naipes,…

6

Expresiones algebraicas 1 Act. 7: Observa y saca conclusiones

Fotocopia

7

Igualdad, identidad y ecuación

2 Act.8: Aclarando conceptos Fotocopia

8

Ecuaciones 2 Act.9: Jugando con las palancas Palancas y pesos

9 y 10

Ecuaciones y resolución 2, 3 Act.10: Jugando con balanzas Balanzas y fotocopias

11

Ecuaciones y resolución 2,3 Act. 11: Deducir el proceso a seguir

Ficha

12

Ecuaciones y resolución 2,3 Act. 12: Ecuaciones humanas Tarjetas

13

Resolver ecuaciones primer grado

3 Act. 13: ejercicios para practicar Fotocopias

14 y 15

Problemas 4 Act.14. ProblemasAct. 15: Elegir estrategia

FotocopiasFicha

16 y 17

Problemas 4 Act. 16: Álgebra en la vida diariaAct. 17: Inventando fórmulas

FotocopiasFicha

18

Resolver ecuacionesSíntesis del tema

31,2,3,4

Act. 18: Jugando con el álgebraAct. 19: Para resumir el tema

Fotocopias y material lúdico

PROPUESTA RESUMIDA:Sesión 1: Evaluación inicial y comunicación tanto de objetivos como de los criterios de evaluación. Actividades 0 y 1.Sesión 2: Actividades 2 y 4.Sesión 3: Actividades 6 (al menos 6.1) y 7Sesión 4: Actividades 8 y 9.Sesión 5: Actividad 10Sesión 6: Actividades 11 y 12Sesión 7: Actividad 13Sesión 8: Actividad 14Sesiones 9 y 10: Actividad 16, por grupos y utilizando la siguiente dinámica de trabajo cooperativo: EQUIPOS DE ANÁLISIS Los miembros del grupo asumen un rol diferente (defender, criticar, buscar ejemplos, plantear preguntas, hacer el resumen,...) cuando analizan críticamente un problema. Para asegurarse de que la tarea propuesta es adecuada para el análisis en grupo, el profesorado debe asumir previamente cada uno de los roles previstos y comprobar que a cada rol le corresponde una tarea suficiente, interesante y necesaria para el análisis integral de la propuesta. Es aspecto más difícil de la preparación de esta técnica es seleccionar una tarea que sea lo bastante compleja para producir un análisis serio, riguroso y útil cuando se le analiza desde los diversos roles. Si la propuesta no es lo suficientemente compleja uno o más miembros del grupo se aburrirán o no podrán participar activamente.

Ofrecer al alumnado unos roles estructurados puede ayudarles a desarrollar y ampliar su repertorio de patrones analíticos de pensamiento. Se pueden establecer las funciones de cada rol así como el perfil de la persona ideal para asumir ese rol, es decir, las características necesarias para cumplir correctamente esa función y así el alumnado puede elegir su rol teniendo que vaya más con sus cualidades.Sesión 11: Síntesis. Actividad 19Sesión 12: ExamenSesión 13: Corrección del examen, autocrítica y propuestas de todo tipo (sobre las actividades y la metodología utilizada, el trabajo personal, etc.)En función de la dinámica del grupo probablemente sea necesario dedicar más tiempo a realizar ejercicios (actividad 13) y problemas (actividad 14) pero siendo conscientes de que el 1º hay que coger una buena base en lo conceptual y que por eso hay que dedicar, todo el tiempo que haga falta a preparar, a lo manipulativo, a las ecuaciones humanas, etc. porque en los próximos cursos seguiremos trabajando las ecuaciones de primer grado.Las actividades planteadas pero que no se han seleccionado en esta propuesta resumida nos permiten tener un elenco de actividades interesantes para abordar la DIVERSIDAD a dos niveles, a la excelencia (actividades 3, 15 y 17) y a los mínimos (actividades 5 y 18 y sobre todo el trabajo de pre-algebra: balanzas, ecuaciones humanas, juegos, etc.).

6.- EVALUACIÓN

OBJETIVO

% Nota

CRITERIOS DE EVALUACION

COMPETENCIASASOCIADAS

EVALUACION EN EL PROCESO

EVALUACION FINAL

% INSTRUMENTO:Actividad Nº

% INSTRUMENTO:EXAMEN FINAL.

Preguntas Nº

1 30%

1.- Identifica y describe regularidades, pautas y relaciones en conjuntos de números, utilizando letras para simbolizar distintas cantidades y obtener expresiones algebraicas como síntesis en secuencias numéricas, así como el valor numérico de fórmulas sencillas.

1, 2, 7, 8 26% 6 y 7 75% 1, 3, 4

2 15%

2.- Representa, mediante balanzas equilibradas, ecuaciones e interpreta oralmente su significado

1, 2 80%Explicación oral en la actividad 10 20% 2

3 15%

3.- Resuelve ecuaciones de primer grado mentalmente, por tanteo o siguiendo un proceso según la dificultad de la ecuación.

2, 5. 7. 8 100%13 y 15

4 40%

4.- Representa mediante ecuaciones de primer grado situaciones reales y problemas resolviéndolos correctamente.

1, 2, 3, 5, 7, 8 50%14 ( de h en adelante) 16 (ahorro familiar, pizzas a domicilio y

teléfono móvil)

50% 5, 6, 7

EVALUACIÓN:1.- Indica las expresiones algebraicas:- Roberto pesa 70 kilogramos, y Anabel pesa k kilogramos. Escribe una expresión para indicar el peso de ambos. - Un coche viaja por la autopista a 55 kilómetros por hora. Escribe una expresión de la distancia que el coche habrá viajado después de h horas. - Hay 2000 litros de agua en una piscina. El agua está llenando la piscina a una velocidad de 100 litros por minuto. Escribe una expresión de la cantidad de agua, en litros, en la piscina después de m minutos. - Las entradas a un concierto cuestan 15.50 euros cada una. Si se compran n entradas, ¿cuál es el costo total? - Se alquilan películas a 2.50 euros cada una. ¿Cuál es el costo por alquilar x número de películas? - Una compañía de teléfonos cobra 0,34 euros por minuto. ¿Cuál será el gasto si hablamos m minutos? ¿Y si el establecimiento de llamada cuesta 0,15 euros?- Un técnico de TV cobra 35 euros por venir a su casa y 25 euros por cada hora de trabajo. - Una compañía de electricidad cobra 12 euros por los primeros 100 kilowatios-hora de electricidad usada en una casa y 14 euros por cada kilowatio-hora por encima de 100. - Un fontanero cobra 20 euros por llamada de servicio más 5 euros por hora por arreglar los grifos.

2.- ¿Cuánto pesa el objeto desconocido? Explica paso a paso el proceso seguido

3.- Me han regalado una WIEl precio de una Wi es de a euros y cada programa vale b euros. Expresa algebraicamente las siguientes situaciones:

SITUACIÓN REAL EXPRESIÓN ALGEBRAICAUna Wi y un programaUna Wi y cinco programasDos Wis y cuatro programasTres Wis y n programasEme Wis y n programas

4.- Calcular el área de estas figuras de diferentes formas:

2

x

y 6

z

4

y

x 10 6

5.- CANTOS DEL GRILLO. Algunos biólogos han estudiado en profundidad a los grillos han llegado a la conclusión de que el número de cantos que producen por minuto está relacionado con la temperatura del ambiente, siendo la fórmula: Nº de cantos por minuto = 7t – 30. Completa el siguiente cuadro para saber cuántos cantos producirá por minuto el grillo al cambiar la temperatura:

TEMPERATURA EN ºC NUMERO DE CANTOS POR MINUTO2 ºC7 ºC20 ºC35 ºCx ºC

6.- Resuelve dos de estos problemas- Juan salió de su casa a las 9 a.m. caminando a razón de 3 Km. por hora hacia un pueblo cercano. Luisa su hermana, salió tras él a las 10 a.m. en su bicicleta a razón de 12 Km. por hora. Si el pueblo está a 5 km de la casa, ¿a qué distancia del pueblo lo alcanzó?

- La suma de los dígitos de un número de 2 cifras es 15. El número que se obtiene al intercambiar los dígitos es 27 unidades menor que el número inicial. Hallar el número inicial.

- Los requisitos de cierta zona residencial especifican que cada terreno rectangular debe tener el ancho igual a la mitad del largo y que el perímetro de la parcela debe ser de 480 metros. ¿Cuáles son las dimensiones de cada parcela?

- Si el 12% de un número se resta del mismo número el resultado es 396. Hallar el número

- Una barra de 80 cm. de longitud se corta en dos pedazos, uno de ellos 6 cm, más largo que el otro. Hallar la longitud de los pedazos.

7.- CORREOS A partir de las tarifas oficiales de correos (http://www.correos.es/comun/tarificador/tarifas.asp) y usando el calculador de tarifas se le propone al alumnado que calcule el costo de varios servicios escribiendo la fórmula usada para calcularlo. Se valorará la complejidad, es decir, el número de sumandos que tenga la fórmula.

ANEXO:Aprender algebra jugando. Existen numerosos juegos de adivinanza en los que se utilizan herramientas matemáticas como base teórica para su construcción. Muchos de estos juegos, emplean operaciones algebraicas en las que las incógnitas se cancelan, pudiendo así determinar a priori el resultado del problema.Veamos un caso práctico para comprender mejor como funciona éste método:Pedimos al alumnado que realice las siguientes operaciones:1) Piensa un número cualquiera.2) Multiplícalo por 2.3) Al resultado súmale 9.4) Al resultado súmale el número que pensaste.5) Al resultado divídelo por 3.6) A lo que quedó súmale 4.7) Al resultado, réstale el número que pensaste.El resultado de aplicar éstas operaciones es siempre 7 independientemente del número elegido.

Demostración:Los datos anteriores se pueden expresar en lenguaje algebraico de la siguiente manera:1) Piensa un número cualquiera: X2) Multiplícalo por 2: 2X3) Al resultado súmale 9: 2X + 94) Al resultado súmale el número que pensaste: 2X + 9 + X5) Al resultado divídelo por 3: 2X + 9 + X / 36) A lo que quedó súmale 4: (2X + 9 + X / 3) + 47) Al resultado, réstale el número que pensaste.: [(2X + 9 + X / 3) + 4] - X

Si resolvemos las operaciones matemáticas planteadas, veremos que las X se anulan y el número resultante es 7[(2X + 9 + X / 3) + 4] - X = [(3X + 9 / 3) + 4] - X = X + 3 + 4 - X = 7

Luego de probar con varios números y ver que siempre se cumple dicho resultado, podemos incentivar a nuestro alumnado a descubrir una expresión general que sirva para cualquier número pensado.

Otros problemas similares:Juego A1) Piensa un número.2) Súmale 103) Multiplícalo por 24) Súmale el doble del dinero que llevas en la billetera5) Réstale 106) Divídelo por 27) Réstale el número que pensaste8) Réstale el dinero que llevas en la billetera.

Respuesta 5

Juego B1) Piensa un número2) Multiplícalo por 33) A lo que quedó súmale 144) Al resultado súmale el número que pensaste5) A lo que quedó réstale 26) El resultado divídelo entre 47) A lo que quedó réstale 3

Respuesta: Es el número que pensaste

Fórmula matemática para aparcar. La fórmula esta en ingles

http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=712&Itemid=77

sobre problemas

http://www.edutecne.utn.edu.ar/napoles-valdes/problemas-02.pdf

Juegos de algebra

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/aspectosweb/aspectosweb.htmhttp://www.mauriciocontreras.es/JUEGOS4.pdf

CALOR Y TEMPERATURAEn la web que aparece en la pantalla podemos ver de una forma dinámica la influencia del movimiento de las partículas en la temperatura. Para ello hay que clicar en Iniciar/Start. Luego lo que nos interesa es profundizar en las diferentes escalas que se usan para expresar las temperaturas y cómo hacer el cambio de unas a otras.

http://www.genmagic.net/repositorio/displayimage.php?album=random&cat=0&pos=-56

HISTORIA DE LS MATEMATICASProblemas para resolver mediante ecuaciones, páginas: 88, 121,122, 123, 124, de 200 a 207, 258, 259, 285 y 286

VIDEOS1.- A jugar Algebra, (teoría) http://www.youtube.com/watch?v=FRhd1k1gO30&feature=related2.- Cómo resolver ecuaciones: http://www.youtube.com/watch?v=ZjXnaWrauFE&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=LD2VeoX0J4A&feature=related

DIRECCIONES DE INTERNET

JUEGOS ALGEBRAICOS CON CARTAS, DOMINOS y PASATIEMPOShttp://www.mauriciocontreras.es/JUEGOS4.pdfMATERIAL GRUPO CERO DE VALENCIAhttp://www.mauriciocontreras.es/A1.pdf6 BLOQUES DE ACTIVIDADES PARA DEDUCIR EL PESO EN BALANZAShttp://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=1348PARA RESOLVER ECUACIONES EN EL TALLER (+ teoría sobre igualdad y ecuación)http://www.genmagic.org/mates2/EQ1_CAST.HTMLFRACCIONES ALGEBRAICAS y ECUACIONES (teoría y práctica)http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/zonasecundaria/tkContent?idContent=48386&locale=es_ES&textOnly=false

BINGO DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO (son un poco complejas ya que están previstas para 2º o 3º ESO):http://www.anagarciaazcarate.com/wp-content/bingo-de-ecuaciones-de-primer-gradoii.doc900 EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO (SIN FRACCIONES): http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/ecu1.htmlhttp://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/ecu2.htmlhttp://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/ecua3.htmlÁLGEBRA CON PAPAS, JUEGO INTERACTIVO SOBRE ÁLGEBRA CON ACTIVIDADES DE DIFERENTES NIVELES DE DIFICULTAD:http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/index.phpMUCHAS DIRECCIONES: http://www.educasites.net/matematicas.htmMUY INTERESANTE PARA LA ESO: http://sepiensa.org.mx/librero/matematicas.htmlDIRECCIÓN CON OTRAS DIRECCIONES DE JUEGOS INTERACTIVOS. MUY INTERESANTE:http://www.slideshare.net/mayragzz08/matemticas-en-lneaBALANZAS Y OTROS: http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_4_t_2.htmlWEB QUEST PARA 1º Y 2º ESO SOBRE ECUACIONES:http://ciudad.latinol.com/paloma2006/index.htmDIRECCION DE INTERNET CON TEORIA Y BALANZAS (ECUACIONES)http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/index.htmlhttp://ciudad.latinol.com/paloma2006/proceso.htmSISTEMAS DE ECUACIONES CON ORDENADORhttp://www.phpwebquest.org/wq25/webquest/soporte_tablon_w.php?id_actividad=79494&id_pagina=1http://www.phpwebquest.org/wq25/webquest/soporte_tabbed_w.php?id_actividad=1409&id_pagina=1USO DEL ORDENADOR PARA ALGEBRA:http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/index.ph