exposición problemas de potehnot

8/17/2019 Exposición Problemas de Potehnot

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INTRODUCCION

El Método Planimétrico de IntersecciónInversa consiste en la determinación de laposición planimétrica de puntos, medianteobservaciones angulares hechas desde éstosy dirigidas a otros puntos de coordenadasconocidas (vértices geodésicos,generalmente).

Es necesario realizar al menos tres visuales apuntos de posición conocida.

La obtención de las coordenadas X e Y quedefinan la posición planimétrica de lospuntos, puede hacerse por métodos gráficoso por métodos analíticos.

Los primeros se basan en conceptospuramente geométricos y los segundos enconceptos matemáticos (trigonométricos).A la vez, a los métodos analíticos y/ográficos se les puede dar una orientación oresolución topográfica, como veremos.



EL CASO MÁS GENERAL, ES EL QUE SE OBSERVA EN LA FIGURA

Descripción:1.Se tienen tres puntos A, B, C, de posición planimétrica

conocida y se pretende calcular la posición de un punto P.

2. Estacionando en él con un Teodolito y midiendo exclusivamentelos ángulos a y b .

PROBLEMAPOTHENOTse le conoce

también

ProblemaVértice de la

Pirámide

Problema delos Tres

vértices

TrisecciónInversa

Intersección

Inversa



SOLUCIONES DEL PROBLEMA

DE POTHENOT



SOLUCION GEOMÉTRICA DE LA INTERSECIÓNINVERSA

El caso más sencillo es el planteado en la figura, en el que se pretendedeterminar la posición de un punto P, estacionando en él y midiendoacimutalmente los ángulos a y b que forman entre sí las visuales dirigidas atres puntos conocidos A, B y C. Es evidente que el punto P quedarádeterminado por la intersección de los arcos capaces de ángulos a (sobre elsegmento AB), b (sobre el segmento BC) y a + b (sobre el segmento AC).Con dos cualesquiera de ellos es suficiente .



El problema tendrá soluciónsiempre que el punto P no se

encuentre en la llamada"c i rcunfe renc ia pe l ig rosa" quedeterminan los puntos A, B y C, yaque los dos arcos capaces seconfundirían en uno solo.

Cuando el punto P está en estacircunferencia, el cuadriláteroPABC es inscrito y se cumple que:B + a + b = 180º.

En todo cuadrilátero inscrito, losángulos opuestos sonsuplementarios.



Cuanto más se parezca a + bal valor 180 - B, más cercaestaremos de lacircunferencia peligrosa ypeor definido quedará elpunto P.

En la práctica el ángulo B seconoce de antemano, ya quese tienen las coordenadas X,

Y de los tres puntos A, B y C.

Por tanto, se sabe cuánto nodeben sumar a + b, para nocaer en indeterminación.



SOLUCIONES GRÁFICAS

DE LAINTERSECCIÓN INVERSA



SOLUCIÓN CLÁSICA POR ARCOS CAPACESEs necesario obtener los centros de las circunferencias que pasanpor los puntos ABP y BCP. Para ello trazaremos las mediatrices delos lados AB (M) y BC (N).



SOLUCIÓN CLÁSICA POR ARCOS CAPACESTrazaremos la recta AR que forma el ángulo a con el lado AB, y unaperpendicular a AR que pasaría por O para obtener el centro delcírculo por intersección. Haremos lo mismo con el lado BC.Obtenemos los centros O y O’, y trazando los círculos de radios OA yO’C, pasarán por B y P, siendo P la solución buscada



Considerando los tres arcos capaces posibles,se tiene:



SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE CASSINI.Sean A, B y C los tres puntos de coordenadas conocidas.



Si llevamos sobre la base AB los ángulos 100g (90º), convértice en A y 100-a , con vértice en B, obtenemos un

punto intersección M, que forma parte del arco capaz deángulo a de AB, ya que el ángulo en el vértice M esprecisamente a .



Si hacemos lo mismo en la base BC, llevando los ángulos 100g(90º) y 100-b sobre C y B respectivamente, obtendremos otropunto N que forma parte del arco capaz de ángulo b de BC.

El punto P buscado estará en la recta que une los puntos M y N yexactamente será el pie de la perpendicular trazada desde B a MN .



La justificación de este método se deduce de la Fig. mostrada, en la quese observa que el eje BM es un diámetro de la circunferencia de arcocapaz de ángulo a de base AB y también el eje BN es diámetro de lacircunferencia de arco capaz de ángulo b de base BC. Por tanto, losángulo BPM y BPN son rectos y los puntos M, P y N están alineados.



Medimos a y b desde P.Llevando a sobre la base CA yb sobre la AC como se indica

en la Figura, la intersecciónnos da un punto R (puntoauxiliar de Collins).

Se traza la circunferencia quepasa por los puntos A,R y C.Uniendo el punto R con elvértice B y prolongando hastacortar a la circunferencia, seobtiene el punto P buscado.

SOLUCIÓN BASADA EN EL MÉTODO DE COLLINS.Sean A, B y C los tres vértices de coordenadasconocidas y P el punto que queremos determinarpor Intersección Inversa.



La justificación del método sefundamenta en que desde elvértice R se mira a la base AC

con un ángulo 180 - (a + b), Portanto desde P se verá con unángulo a + b.

Además, si desde C miramos aAR con un ángulo a también lomiraremos desde P, porque sonángulos inscritos sobre lamisma cuerda. También desde Pmiramos a RC con un ángulo b,al igual que desde A. Por todoello, el punto P es pues la

solución que buscábamos.

El mismo resultado hubiésemos obtenido si en vez de basartoda la construcción sobre la base AC lo hubiésemos hechosobre cualquiera de las otras dos bases.



SOLUCIONESANALÍTICAS

DE LA

INTERSECCIÓN INVERSA



Llamemos "a" y "b" a las distancias AB y BC conocidas, por serA, B y C puntos de coordenadas también conocidas(generalmente vértices geodésicos)

Partiendo del caso generalexpuesto, se observa que elproblema analítico para la

determinación de la posicióndel punto P estriba en que enninguno de los trestriángulos que se forman,con vértice en P, se conocendos de sus ángulos.

Sólo se conoce un ángulo ysu lado opuesto. Por tanto,no podemos aplicar la ley desenos en ellos, para deducirsus lados y ángulos.



Los dos triángulos considerados, tienen una diagonal comúnPB y el valor de su distancia en cada uno de ellos es:

C ál l l ió d



Conocemos por tanto cuál es la relación de senos, pero nocuánto valen A y C. A partir de aquí surgen distintasmetodologías para deducir el valor de A y de C.Describiremos las más utilizadas:

Método de Pothenot



Solución de KästnerPodemos sustituir el valor de la constante por la tangente de un ángulo d, deforma que :



Otra forma:

A + C = 180º - (a+b+B)

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