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1. ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO CONTINUO
1.1 Introducción
• Objetivo del control automático Mantener en determinado valor de operación las variablesdel proceso.
Proceso Variablesde entrada
Variablesde salida
- Conocer las leyes físicas- Plantear el sistema de ecuaciones- Escoger el controlador para obtener la salida deseada
Figura 1.1: Representación del proceso dinámico
• Aplicaciones del control automático
- Control de procesos industriales- Sistema de pilotaje de aviones- Control de tráfico- Control de procesos económicos, etc
• Beneficios del control automático
- Funcionamiento óptimo de los sistemas- Mejora en la calidad de la producción- Liberación de la rutina de muchas actividades manuales repetitivas
• Tipos de componentes usados en los sistemas de control
- Eléctricos - Mecánicos - Neumáticos- Electrónicos - Hidraúlicos - Combinación de
los anteriores• Sistemas de control
Son sistemas en los que una o varias variables (variables controladas) son ajustadas para que tengan un comportamiento pre-fijado, mediante una determinada configuración.
• Sistema de control en lazo abierto (SCLA)• Sistema de control en lazo cerrado (SCLC)
Variable(s)controlada(s)
Controlador ProcesoReferen -cia
Perturbaciones
Variable(s)
controlada(s)
Variable(s)
manipulada(s)
ControladorElemento
final de controlProceso
TransmisorElemento prima-rio de medida
Ref.
+-
Error
Valor medido
Perturbaciones
S. C. L. A.
S. C. L. C.
Figura 1.2: Sistemas de control en lazo abierto y cerrado
• Tipos de Sistemas de control
• Sistemas de control lineales y no lineales
Todos los sistemas son inherentemente no lineales. Si las variaciones de magnitud de las variables del proceso son pequeñas, entonces el sistema puede linealizarse y aplicarse las técnicas de control lineal; sin embargo, si dichas variaciones son amplias, entonces tienen que aplicarse técnicas de control no lineal.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales
Lineales: No Lineales:
034.0
2
xxx
xx
Axx
2
3
4
sen
xxx
wtbxxax
• Sistemas de control invariantes y variantes con el tiempo
• Invariantes: • Variantes: Los parámetros no varían Los parámetros varían con el tiempo con el tiempo
• Sistemas de control en tiempo continuo y en tiempo discreto
• Continuo: • Discreto: Son aquellos cuyas señales Son aquellos en los cuales una son continuas en el tiempo t , o más de las variables pueden y pueden describirse mediante cambiar solo en valores discre-
ecuaciones diferenciales. tos de tiempo, y pueden des- cribirse mediante ecuaciones en diferencias.
Ejemplos de sistemas de control
• Típico intercambiador de calor
Vaporde agua
TT
-
TIC
Condensado
V
TT
-
TRC
Condensado
V
Vaporde agua
(a) (b)purgador purgador
Punto deconsigna
Salida controlada(temperatura)
Acción de control
Válvula Proceso
Transmisor
errorSeñal de control
Caudal de vapor
+-
Figura 1.3: (a ) Control neumático; (b ) Control electrónico; (c ) Diagrama de bloques
(c)
Controlador
• Control de velocidad en lazo abierto para un motor DC
Battery+ -
DCamplifier
DC motor
Turntable
Actuator
DC motor
Control device
Amplifier Process
Turntable
(a)
(b)
Desired speed(voltage)
Actualspeed
Figura 1.4: (a) Esquema eléctrico; (b) diagrama de bloques.
• Control de una locomotora eléctrica diesel
T h r o t t l e
V r Amplifier
K
T a c h o m e t e r
L o a d
W oJ, f
G e n e r a t o r L a R ai a
+
-
V g
W d = C t e.
D i e s e le n g i n e
M o t o r
V o = T a c h o m e t e r v o l t a g e
L f R fi f
+
-
V f+-
V r
(a)
)(0 sw)(swrAmplifier
gain
K
Diesel electriclocomotive
G(s)
+
-
Figura 1.5: (a) Sistema de la locomotora diesel; (b) diagrama de bloques
(b)
RESUMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DESCRIPTIVAS PARA ELEMENTOS IDEALES
Tipo deelemento
Elementofísico
Ecuacióndescripti-va
Energía Eo potenciaP
Símbolo
Al mace-namientoinductivo
Inductan-ciaeléctricaResorte detraslación
Resorterotacional
dtdi
Lv 212
2
1LiE
dtdT
Kw
121
KT
E2
21
dtdF
Kv
121
KF
E2
21
2v
2v
2w
1v
1vF
1wT
L
K
K
Tabla 1.1: Resúmen de ecuaciones diferenciales descriptivas.
Tipo deelemento
Elementofísico
Ecuacióndescripti-va
Energía Eo potenciaP
Símbolo
Inercia delfluido
Almace-namientocapacitivo
CapacitanciaeléctricaMasa detraslación
dtdQ
IP212
21IQE
dtdv
MF 2 222
1MvE
dtdv
Ci 21 2212
1CvE
I
C2v 1v
i
2v1vM
constante
F
2P 1PQ
continuación
Tipo deelemento
Elementofísico
Ecuacióndescripti-va
Energía Eo potenciaP
Símbolo
Masarotacional
Capaci-tancia delfluidoCapaci-tanciatérmica
dt
dwJT 2 2
22
1JwE
dt
dCq t
2
2tCE
dt
dPCQ f
21 2212
1PCE f
q
21tC
constante
2wT 1wJ
constante
P
2PfCQ
continuación
1.2 La transformada de LaplaceEl método de la transformada de Laplace permite convertir una ecuación dife-rencial lineal en una algebraica de resolución relativamente fácil. La transfor-mada de Laplace para una función del tiempo f(t) es:
)}({)()(0
tfdtetfsF st
y la transformada inversa de Laplace se escribe:
dsesFtf st)(
21
)(
donde la variable compleja s es:
ws
A continuación se presenta una tabla de transformadas de Laplace de funciones:
Tabla de transformadas de Laplace de funciones
Ver transparencias
1.3 La Función de Transferencia
La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre latransformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplacede la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales soncero. La función de transferencia solo se define para sistemas lineales y deparámetros constantes. En general, la función de transferencia de un sistematiene la forma:
nnnn
nnnn
asasasa
bsbsbsb
SUSY
sG
11
10
11
10
...
...
)()(
)(
El método es particularmente útil, ya que los ceros y polos en el plano S de lafunción de transferencia representan la respuesta transitoria del sistema.
1.4 Diagramas de bloques y gráficos de flujo de señal
Diagramas de bloques
Como los sistemas de control se ocupan del control de variables espe-cíficas, se requiere conocer la relación entre las variables controladas y la de control. Esta relación, se representa mediante la función de transferencia del subsistema que relaciona las variables de entrada y salida.
Suponiendo un sistema con entrada R(s) y salida C(s), la función detransferencia G(s) viene representada por el siguiente diagrama de bloques:
Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las fun-ciones realizadas por cada componente y del flujo de las señales. Tal diagramaindica las interrelaciones que existen entre los diversos componentes.
G(s)R(s) C(s)
Figura 1.6: representación de un sistema simplificado en lazo abierto
En sistemas de control se usan frecuentemente puntos de suma y de bifurcación,muy frecuentes en sistemas de control de lazo cerrado.
R(s)<>E(s)
B(s)
R(s) E(s)+
- B(s)
Punto de bifurcación
E(s)R(s) G(s)
B(s)
C(s)
G(s)E(s) C(s)
(a)
(b)
Figura 1.7: (a) Elementos de un diagrama de bloques; (b) Diagrama de bloquescomo resultado de combinar elementos
Gráficos de flujo de señalEl método de los gráficos de flujo de señal es otro procedimiento alternativo para representar gráficamente la dinámica del sistema de control.
Un gráfico de flujo de señal consiste en una red en la cual los nodos están conectados por ramas con dirección y sentido. El sentido del flujo de señal se indica por una flecha ubicada en la rama y el factor de multiplicación aparece a lo largo de la rama. El gráfico de flujo de señal despliega el flujo de señales de un punto de un sistema a otro y da las relaciones entre las señales.
Sea un sistema definido por el siguiente conjunto de ecuaciones:
)(
)(
)(
3332321313
223232221212
113132121111
xaxaxax
ubxaxaxax
ubxaxaxax
Los gráficos de flujo de señal correspondientes son:
1b
1u
11a
1x12a
13a
2x 3x
22a
2x1x
21a
2b
2u
23a 3x
31a
1x3x2x
32a33a
(a) (b)
(c)
1x31a
(d)
Figura 1.8: (a), (b) y (c) representan a las ecuaciones ( ), ( ) y ( ) respectiva-mente; (d) flujo de señal completo para el sistema descrito.
1u 2x3x
2u
1b11a
32a12a
21a 22a
13a
2b 23a
33a1
12x
1x
1.5 Modelos matemáticos de sistemas dinámicos
En primer lugar se aplican las leyes físicas del proceso y se obtiene una ecuación diferencial (puede ser lineal o no lineal). Si no es lineal existen métodos de linealización.
1.5.1 Método de la relación Entrada/Salida (clásico)
Sea el siguiente sistema de orden n :
)1()()(...)()()()(...)()( 1
)1(
1
)(
01
)1(
1
)(
tubtubtubtubtyatyatyaty nn
nn
nn
nn
Se utiliza la transformada de Laplace para convertir la ecuación diferencial lineal en una ecuación algebraica.
La transformada de Laplace de la ecuación diferencial de órden n , considerando condiciones iniciales nulas es:
)2(
......
)()()(
11
1
11
10
nnnn
nnnn
p asasasbsbsbsb
sGSUSY
A esta ecuación algebraica se le denomina función de transferenciade la planta.
Plantau(t) y(t) PlantaU(s)
Y(s)
Figura 1.9: Diagramas de bloques de sistemas (a) en el tiempo;(b) en el plano S
(a) (b)
if = cte.
Ra = resistencia de armadura ea = tensión aplicada a la armadura La = inductancia de armadura eb = fuerza contra-electromotrizia = corriente de armadura T = torque del motor if = corriente de campo J = momento de inercia equivalenteb = coeficiente de fricción = desplazamiento angular del eje del viscosa motor
Ejemplo 1.1: Obtener el modelo matemático del motor DC controlado por armadura.
Ra La
)(tea
+-
ai )(teb
+
-T
)(tJ
bSalidaEntrada
Dado el circuito:
con:
Figura 1.10: Diagrama de un motor DC controlado por armadura
• Ecuaciones
• Circuito eléctrico: Aplicando la ley de kirchoff se obtiene:
)3()()(
)()( tedt
tdiLtiRte b
aaaaa
La transformada de Laplace de la ecuación (3) es:
)4()()()()( sEssILsIRsE baaaaa
Factorizando Ia(s) en la ecuación (4) y despejando dicha variable se obtiene:
)5())()()(1
()( sEsERsL
sI baa
a
De la ecuación (5) se obtiene la siguiente representación:
Ea(s)aa RsL
1+
-
)(sEb
Ia(s)
El torque T desarrollado por el motor es proporcional al producto de ia y el flujo
en el entrehierro, el que a su vez es proporcional a la corriente de campo.
aff
ff
iKiKtT
iK
1)(
:, 1KK fson constantes
1KiKK ff
donde:
entonces:
)7()()(
:),6()()(
sKIsT
luegotKItT
a
a
• Conversión de energía eléctrica en mecánica:
Figura 1.11: Representación en bloques dela ecuación (5).
• Circuito mecánico: Aplicando la ley de newton se obtiene:
Entonces, la ecuación (7) tiene la siguiente representación:
KIa(s) T(s)
)8(2
2
dtd
bdtd
JT
Entonces la transformada de laplace correspondiente es:
)9()()()( 2 sbssJssT
Factorizando de la ecuación (9) y despejando dicha variable se obtiene:
)10()()(
1)( sT
bJsss
Figura 1.12: Representación en bloques de la ecuación (7)
• Tensión contra-electromotriz: Del circuito eléctrico, la fuerza contra-electromotriz viene expresada por:
La ecuación (10) tiene la siguiente representación:
)(1
bJss T(s) )(s
)11(dtd
Ke bb
: fuerza contra-electromotriz, y : constante de f.c.e.m.
bebK
Ahora, uniendo los bloques se obtiene:
Ea(s)K
aa RsL 1
)(1
bJss
sKb
)(s
)(sEb
-+
Ia(s) T(s)
Figura 1.13: representación en bloques de la ecuación (10).
Figura 1.14: Diagrama de bloques completo.
Aplicando la siguiente fórmula:
GHG
sEs
a
1)()(G
H
)(s)(sEa
Se obtiene el siguiente diagrama:
sKKbRsJRbLsJLK
baaaa )()( 23 )(sEa )(s
+-
Figura 1.15: diagrama de bloques típico de un sistema realimentado
Figura 1.16: Diagrama de bloques simplificado.
Por consiguiente, la función de transferencia viene dada por la siguiente ecuación:
)12()()()(
)(23 sKKbRsJRbLsJL
KsEs
baaaaa
1.5.2 Método de variables de estado
Sea el siguiente sistema de orden n :
)13()()()(
...)()(
11
1
1 tutyadt
tdya
dttyd
adt
tydnnn
n
n
n
Esta ecuación puede ser convertida en n ecuaciones diferenciales de primerorden, para ello se tiene que elegir n variables, con la siguiente asignación:
Primer caso: La función excitadora no incluye términos derivativos
1
1
3
2
1
)()(
)()(
)()(
)()(
n
n
n dttyd
tx
tytx
tytx
tytx
Ahora se obtienen las ecuaciones de estado (n ecuaciones dif. de 1er. orden)
)()()()()()(
)(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
1211
433
322
211
tutxatxatxatxdt
tydtx
txtxtytx
txtxtytx
txtxtytx
nnnnn
n
n
El conjunto de ecuaciones de estado, se representa matricialmente así:
u
x
x
x
aaaax
x
x
nnnnn
1
0
0
0100
0010
2
1
121
2
1
y su forma normalizada es la siguiente:
)14(BuAxx Escalar de entrada
Vector de estado
Vector de estado derivado
) 16 ( Du Cx y
La salida se pueden escribir de la siguiente manera:
)15(001 2
1
nx
x
x
y
o
donde :
001
1000
C
BT
0
1000
0100
0010
121
D
aaaa
A
nnn
El diagrama de bloques de la ecuación de estado y de la ecuación de salida es la siguiente:
nx 2x yx 1
1a 2a 1na na
+-
++
++
++
1nxu
Figura 1.17: Diagrama de bloques completo del sistema de orden n.
Sea el siguiente sistema de orden n :
)17()()(...)()()()(...)()( 1
)1(
1
)(
01
)1(
1
)(
tubtubtubtubtyatyatyaty nn
nn
nn
nn
Segundo caso: La función excitadora incluye términos derivativos
El problema principal al definir las variables de estado para este caso, consiste en los términos derivativos del miembro derecho de la ecuación (17). Las variables de estado deben ser tales que eliminen las derivadas de u en la ecuación de estado.
Una forma de obtener una ecuación de estado y una ecuación de salida es definir las siguientes n variables como un conjunto de n variables de estado:
donde la salida y = x1
)18(1112
)2(
1
)1(
0
)1(
222103
11102
01
uxuuuuyx
uxuuuyx
uxuuyx
uyx
nnnn
nnn
n
donde vienen a ser: n ,,,, 210
)19(01111
03122133
021122
0111
00
nnnnn aaab
aaab
aab
ab
b
Con esta elección de variables de estado (nótese que no es la única selección posible de las variables de estado), se obtiene:
)20(1211
11
232
121
uxaxaxax
uxx
uxx
uxx
nnnnn
nnn
La ecuación (20) y la ecuación de salida pueden reescribirse así:
u
x
x
x
aaaax
x
x
nnnnnn
2
1
2
1
121
2
1
0100
0010
nx
x
x
y
2
1
001
La matriz A es exactamente la misma que la del primer caso. Las derivadas delmiembro derecho de la ecuación (17) afectan únicamente a los elementos de la
matriz B.
y su forma normalizada es como sigue:
)22(
)21(
DuCxy
BuAxx
Para sistemas de una sola entrada, u es un escalar; en cambio, parasistemas de varias entradas, u es un vector.
Nota.-
Ejemplo 1.2: Obtener el modelo matemático del motor DC controlado por armadura usando el método del espacio
de estado.
Considerando el circuito de la figura 1.10 y reescribiendo las ecuaciones (3), (6), (8) y (11) así:
)23()()(
)()( tedt
tdiLtiRte b
aaaaa
)24()()( tKItT a
)25()( 2
2
dtd
bdtd
JtT
)26(dtd
Ke bb
se debe escoger convenientemente las variables de estado, veamos:
Ecuación (23): Ec. Diferencial de 1er. orden ya es una ecuación de estado, donde Ecuación (24): T(t) depende linealmente de no se necesita definir variables de estado.
Ecuación (25): Ec. Dif. Lineal de 2do. orden necesitamos definir 2 varia- bles de estado:
)27()()(1 titx a
)29()()(
)28()()(
3
2
ttx
ttx
Ecuación (26): su variable de estado ya fue definida en la ecuación anterior.
Ahora debemos obtener las ecuaciones de estado:reemplazando las variables de estado dadas por las ecuaciones (27), (28)y (29) en las ecuaciones (23) y (26) se obtiene:
)(tia
)30(1
:
311
1311
aaa
b
a
a
baaa
eL
xL
Kx
L
Rx
obtienesexdespejandoxKxLxRe
De la definición de las variables x2 y x3:
)31(322 xxx
y reemplazando las variables de estado en las ecuaciones (24) y (25):
)32(
:
313
3133
xJb
xJK
x
obtienesexdespejandoKxbxxJ
Las ecuaciones (30), (31) y (32) se pueden representar matricialmente así:
)33(
0
0
1
0
100
0
a
aa
b
a
a
e
L
x
Jb
JK
L
K
L
R
x
A B
o su forma normalizada:
)34(BuAxx
con:
aeu
)35(00010
:sen2
aex
esvectorialtaciónrepresux
Las ecuaciones (30), (31) y (32) son las ecuaciones de estado del sistema y la ecuación (33) es la representación matricial de las ecuaciones de estado.
Determinemos enseguida la ecuación de salida del sistema.Considerando como salida la posición:
1.6 Respuesta transitoria y error en estado estacionario
Con el objeto de mejorar el funcionamiento de los sistemas de control se utilizala realimentación, que comprende una secuencia de operaciones de circuitocerrado. Con el objeto de analizar y diseñar sistemas de control se debe definiry medir el funcionamiento del sistema. Como los sistemas son inherentementedinámicos por lo general se especifica el funcionamiento en términos de la res-puesta en el tiempo para una señal específica de entrada. En esta respuesta se distingue la parte transitoria y el estado estacionario. Dichos comportamientos pueden ser obtenidos gráficamente por computador usando software de simula-ción, como por ejemplo MATLAB.
Las razones fundamentales para usar la realimentación, a pesar de su costo y complejidad adicional son las siguientes:
* La disminución de la sensibilidad del sistema frente a variaciones en los pará- metros del proceso o planta.* La facilidad del control y ajuste de la respuesta transitoria del sistema.* El mejoramiento en el rechazo de las señales perturbadoras y de ruido dentro del sistema.
* El mejoramiento en la reducción del error en estado estacionario del sistema.
1.6.1 Respuesta transitoria
Consideremos un sistema de segundo orden, debido a que las especificaciones defuncionamiento de los sistemas están definidas para este tipo de sistema. Para sis-temas de orden mayor, utilizando el concepto de polos dominantes se aproxima el sistema a uno de segundo orden. Su función de transferencia es:
)36(2
)( 22
2
nn
n
sssG
Donde: : relación de amortiguamiento
: frecuencia natural
n
Sus polos o raíces características son:
)37(1 22,1 nns
Los polos pueden ser reales ( > 1, sobreamortiguado), reales e idénticos ( =1,críticamente amortiguado) ó conjugados complejos ( 0 < < 1, subamortiguado).Para el caso subamortiguado, la respuesta a un escalón unitario tiene oscilacionesamortiguadas, donde se definen algunas especificaciones de funcionamiento queson utilizadas como criterios de diseño:* Porcentaje de sobreimpulso (overshoot)* Tiempo de asentamiento o establecimiento (settling time)* Tiempo de subida o de crecimiento (rise time)* Tiempo de pico máximo (peak time)* Tiempo de retardo (delay time)
El diagrama de bloques de un sistema de segundo orden se muestra en la figura1.18.
ss n
n
22
2
R(s) E(s) C(s)
Figura 1.18: Sistema de segundo orden.
1
0.5
0
C(t) Tolerancia admisible
0.05 o bien
0.02
PM
dt
rt
ptst
Figura 1.19: Curva de respuesta al escalón unitario.
t
%5%2,4
100
121/
2
ót
ePO
t
ns
n
p
1.6.2 Respuesta estacionaria
En la mayoría de sistemas de control, interesa que el valor final de la variable con-trolada (valor en estado estacionario) sea igual al valor deseado. En caso de no ser así, existe un error en estado estacionario ó error permanente.En un sistema realimentado:
G(s)
H(s)
+
-
R(S) C(s)E(s)
Figura 1.20: Sistema de control.
La función de transferencia de lazo cerrado es:
)38()()(1
)()()(
sHsGsG
sRsC
Aplicando la transformada de Laplace y el teorema del valor final obtenemos:
)39()()(1
)(lím)(lím
0 sHsGsR
steest
ss
Se aprecia que el error estacionario depende de la estructura de G(s) en relaciónal número de polos en el orígen (integradores) que tiene. Se define que un siste-ma es de tipo n si la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) tiene n polos en el orígen. También veremos que el error estacionariodependerá del tipode entrada r(t).
1.6.2 Estabilidad
Se dice que un sistema es estable si estando sujeto a una entrada o perturbaciónlimitada, su respuesta es de magnitud limitada.
La ubicación de los polos de un sistema en el plano S indica la estabili-dad de un sistema. Los polos en la parte izquierda del plano S dan como resulta-do una respuesta decreciente. Los polos en el eje jw dan como resultado una res-puesta oscilatoria. Los polos en el lado derecho dan respuestas crecientes. Por lotanto, para que un sistema realimentado sea estable, todos los polos de la funciónde transferencia de lazo cerrado (raíces características) deben tener partes realesnegativas.
Existen varios métodos para averiguar la estabilidad de un sistema :* Test de Routh-Hurwitz* lugar geométrico de las raíces (LGR)* respuesta en frecuencia (margen de fase (MF) y margen de ganancia(MG)).
Nota:
Caso del modelo de entrada/salida: 1+G(s)H(s) = 0Caso del modelo en variables de estado: det (sI-A) = 0
Tabla 1.3 Error en estado estacionario
Ver transparencia
1.7 Simulaciones
Circuito serie RLC
Considere el circuito serie RLC mostrado en la figura 1.21, donde:
).(
),(
),(
),(
),(
),(
ampscorrientei
voltscapacitorelenvoltajev
FiacapacitancC
aresistenciR
HainductanciL
voltsentradadevoltajev
c
in
Usando la ley de Kirchoff para voltaje, se obtiene:
)40(,inc vvRidtdi
L
+
-inv
+
cv
L R
i C
Figura 1.21: circuito simple RLC.
donde:
)41(1 idt
Cvc
Definimos las variables de estado como:
ix
vx c
2
1
Entonces tomando la derivada respecto del tiempo de x1 y usando la ecuación(41) obtenemos:
)42(1
21 xC
x
Ahora, tomando la derivada de x2 y usando la ecuación (40) obtenemos:
)43(11
122 invL
xL
xLR
x
Podemos escribir las ecuaciones (42) y (43) en forma matricial como:
BuAxx donde:
,,2
1in
c vui
v
x
xx
y
L
B
LR
L
cA 1
0,
1
10
Con R = 10 ohmios, L = 0.2 H y C = 0.0015 F, tenemos:
uxx
5
0
505
6.6660
Si podemos medir entonces tenemos :cv
,DuCxy donde:
0,01 DyCPodemos calcular la función de transferencia como:
DBAsICsvsv
sGin
c 1)()()(
)(
Para este caso (donde podemos medir ), obtenemos:cv
,DuCxy donde:
LCs
LR
sLCsG
111
)(2
De otra forma, si medimos i en vez de , obtenemos:
0,10 DyCEn este caso la función de transferencia es:
LCs
LR
sLsG
111
)(2
cv
Un programa sencillo en MATLAB usado para simular la respuesta del circuito RLC se lista a continuación:
% Parámetros del modeloR=10; % ohmiosL=0.2; % HC=0.0015; % F% Modelo en el Esapcio de EstadoA=[0 1/C; -1/L -R/L];B=[0 1/L]’;C=[1 0];D=[0];% Simular la respuesta al escalón unitariostep (A,B,C,D)grid
La simulación en MATLAB para obtener la respuesta del circuito RLCse muestra en la figura 1.22.
Figura 1.22: Respuesta al escalón unitario del circuito RLC.
2. DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON METODOS CONVENCIONALES
2.1 Introducción
La estabilidad relativa y el funcionamiento transitorio de un sistema realimentadoestá directamente relacionado con la ubicación en el plano s de las raíces de laecuación característica ó polos de lazo cerrado. Si los parámetros del sistema varían, entonces las raíces de la ecuación característica también sufrirán variaciónen su ubicación en el plano s, luego es importante determinar cómo se desplazan en el plano s las raíces características a medida que varían los parámetros del sis-tema.
El método del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR), que fue desarro-llado por W.R. Evans (1948) es un método gráfico para dibujar el lugar geométri-co de las raíces en el plano s a medida que varía un parámetro. En diseño de siste-mas de control permite ajustar uno o mas parámetros para obtener la ubicación adecuada de las raíces.
El método de la respuesta en frecuencia es la respuesta en estado esta-cionario de un sistema ante una entrada sinusoidal de amplitud fija, pero con una frecuencia variable en un cierto rango. En un sistema lineal la señal de salida re-sultante al aplicar una sinusoide como entrada, es también una sinusoide en el estado estacionario, que difiere de la señal de entrada solamente en amplitud y ángulo de fase.
2.1.1 Breve introducción al método del LGR
Dada la ecuación característica de un sistema de control:q(s) = 1 + F(s) = 0F(s) = -1
Como F(s) es una magnitud compleja, se puede dividir la ecuación en otras dosecuaciones:
,2,1,0,360180)(
:
1)(
:
KconksF
ángulodeCondición
sF
amplituddeCondición
O
Luego los valores de s que cumplen las condiciones de ángulo y amplitud, sonlas raíces de la ecuación característica ó polos de lazo cerrado del sistema.
Para un sistema con realimentación negativa , con el parámetro K varia-ble dentro del rango 0 < K < se puede usar el siguiente procedimiento:
1) Escribir la ecuación característica 1 + F(s) = 0 y reordenarla en caso necesario, para que aparezca el parámetro de interés K, como factor en la forma: 1 + KP (s) = 0 siendo: F(s) = KG(s)H(s) P(s) = G(s)H(s)
2) Localizar los polos y ceros de P(s) en el plano s, con marcas apropiadas. Polo : X
Cero : O
3) Aplicar las reglas que permiten obtener un bosquejo rápido del LGR.
Tabla 2.1 Diagramas simples del lugar de las raíces
Ver transparencia
2.1.2 Breve introducción a la Respuesta en Frecuencia
La respuesta en frecuencia se puede realizar en forma experimental con genera-dores sinusoidales y equipos de medición. También se puede obtener la caracte-rística de respuesta en frecuencia de un sistema de un modo analítico, directa-mente de la función de transferencia en la cual la variable s se reemplaza porjw, siendo w la frecuencia.
Dado un sistema lineal invariante en el tiempo:
G(s)R(s) C(s)
Si r(t) = R sen wtentonces la respuesta en régimen permanente será (si el sistema es estable):
)(sen)()( wtjwGRtC
Figura 2.1: Representación en blo- ques de un sistema lineal
Una de las representaciones gráficas de la respuesta en frecuencia son los deno-minados diagramas de Bode. Estos diagramas sirven para graficar la respuestaen frecuencia en forma logarítmica. Se trata de dos gráficas, una corresponde a la ganancia en db contra w y la otra corresponde a la fase (w) contra w.
donde G(jw) es una cantidad compleja:
ángulojwG
amplitudómódulojwG
ejwGjwG j
:)(
:)(
)()(
La magnitud y el ángulo de fase de G(jw) se representan fácilmente por gráficasque proporcionarán conocimiento para el análisis y diseño de sistemas de control.La desventaja de este método es que la correlación entre frecuencia y respuestatransitoria es indirecta, excepto en el caso de sistemas de segundo orden.
Diagramas de Bode
)(
)(log20log
jwGMFAngulo
jwGMGarítmicaGanancia db
La escala de frecuencia es logarítmica. Por lo que estas gráficas se realizan enpapel semilogarítmico con una coordenada rectangular lineal para los db y una coordenada logarítmica para w.
Una relación igual a diez entre dos frecuencias se le denomina década.El intervalo de frecuencias w2 = 2w1, se denomina octava.
La ventaja principal de la gráfica logarítmica es la conversión de facto-res multiplicativos en una función de transferencia en factores aditivos por la de-finición de ganancia logarítmica.
Tabla 2.2 Diagramas de Bode de funciones de transferencia típica
Ver transparencias
Estabilidad en el dominio de la frecuencia
El criterio de estabilidad en el dominio de la frecuencia fue desarrollado por H. Nyquist en 1932. Este criterio se basa en el Teorema de Cauchy. Además de dar a conocer la estabilidad absoluta, indica el grado de estabilidad y cómo se puede mejorar la estabilidad, si es necesario. Puede ser utilizado para estudiar laestabilidad de sistemas con retardo de tiempo.
• Teorema de Cauchy
Si un contorno en el plano s rodea Z ceros y P polos de F(s) y no pasa a través de ningún polo ni cero de F(s) cuando el recorrido es en dirección delmovimiento de las agujas del reloj a lo largo del contorno, el contorno corres-pondiente en el plano F(s) rodea al orígen de dicho plano, N = (Z-P) vecesen la misma dirección.
s
F
Ejemplo:
jwjv
u
s
N = 3-1 = 2
• Criterio de Nyquist
Si F(s) es la ecuación característica de un sistema, se puede aplicar el Teorema deCauchy de la siguiente manera:
F
Figura 2.2: Diagrama polar de la estabilidad.
Como la ecuación característica de un sistema es F(s) = 1+P(s), los polos de F(s)son iguales a los polos de P(s). Del contorno correspondiente en el plano F, se obtiene el número N de veces que se rodea al orígen. El contorno de F(s) es igual al contorno de P(s) desplazado de 1. En consecuencia el número de veces que el contorno rodea al orígen del plano F es igual al número de veces que el contorno encierra al punto -1. De esta manera es mas simple hallar N, ya que P(s)se obtiene generalmente en forma factorizada.Finalmente se puede hallar Z = N + P, donde Z es el número de ceros de F(s) que se encuentran en el semiplano derecho del plano s, o sea el nú-mero de raíces de la ecuación característica que produce la inestabilidad.
Por tanto, puede establecerse el criteriode estabilidad de Nyquist como sigue:“ Un sistema de control realimentado es estable, si y solamente si: Z = N + P = 0 ”
jw
R
s
En el plano s se considera como contorno todo el lado derecho del plano s. De este plano se obtiene el número P de polos de F(s) que se encuentran en el semiplano derecho.
s
FP
F
Figura 2.3: Diagrama polar.
donde:N: número de rodeos o vueltas al punto -1 en el plano P.P: número de polos de P(s) en la parte derecha del plano s.Z: número de raíces de la ecuación caracterítica en la parte derecha del plano s.
Estabilidad relativa
Consideremos un sistema donde P = 0, de acuerdo al criterio de Nyquist para quesea estable N debe ser cero, es decir no debe existir rodeos al punto -1 del planoP(s). La proximidad del contorno al punto -1 es entonces una medida de la estabilidad relativa del sistema.Veamos la gráfica polar de P( j w ) de un cierto sistema para varios valores de ganancia K.
P
3K
2K
1K-1
jv
u
123 KKK
Figura 2.4: Diagrama polar de P ( j w ).
P(jw)
Evidentemente el sistema con ganancia K3 será inestable.De los sistemas con ganancia K2 y K1, el más estable será el de ganancia K1.Este grado de estabilidad se mide usando el Margen de Ganancia (MG) y elMargen de fase (MF).
Margen de Ganancia
Es el recíproco de la ganancia P(jw) para la frecuencia en que el ángulo de fase alcanza -180º.
jv
ud1
*w
1
11)(
1
:
180)(
:
180)(
:
*
*
*
MGestableessistemaelSi
dGHjwPMG
definese
jwPcualla
enfrecuenciawwdGH
jwPGH
wEn
www
o
o
Figura 2.5: Diagrama polar para el MG
dd
MGdb log201
log20
Margen de Fase
Es el ángulo de fase a través del cual debe girar el contorno P(jw) para que el punto de magnitud unitaria P(jw ) = 1 pase a través del punto -1 en el plano P(jw).
**w
jv
u1
1/4 de circun-ferencia.
MF
jwPGH
wEn
1)(
:**
Figura 2.6: Diagrama polar para el MF.
El margen de ganancia y el margen de fase se calculan fácilmente por medio de los Diagramas de Bode. Veamos el caso de un sistema estable.
MG
MF
w
w*
cw
w **
w
w
0
-180º
db
jwP )(log20
) (w
Figura 2.7: Diagramas de Bode
Tabla 2.3 Diagramas de Nyquist
Ver transparencias
2.2 Redes de Compensación
2.2.1 Introducción
Compensación es la modificación de la dinámica del sistema para satisfacer lasespecificaciones requeridas. Los procedimientos para el diseño y compensaciónque se describen en este capítulo, son el método del lugar geométrico de las raíces y los métodos de respuesta en frecuencia.
Las especificaciones de comportamiento toman la forma de especifica-ciones de funcionamiento. En general están relacionados con la exactitud , esta-bilidad relativa y velocidad de respuesta.
En términos generales , las especificaciones de funcionamiento no deben ser más restrictivas de lo necesario para cumplir determinada tarea. Si endeterminado sistema de control fuera de gran importancia la exactitud en esta-do estacionario, no se deberían exigir especificaciones muy rígidas de funciona-miento en respuesta transitoria, pues tales especificaciones requerirían compo-nentes muy costosos.
2.2.2 Compensación del sistema
Ajustar la ganancia es el primer paso para que el sistema logre un funcionamientosatisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prácticos , no basta ajustar la ganan-cia del sistema para cumplir con las especificaciones dadas. Con frecuencia, aumentar el valor de la ganancia mejora el funcionamiento estacionario, pero re-dunda en una estabilidad pobre, o hasta en inestabilidad. En tal caso es necesario rediseñar el sistema (modificando la estructura o incorporando elementos o com-ponentes adicionales) para alterar el funcionamiento global, de manera que el sis-tema se comporte en la forma deseada.. Tal rediseño se denomina compensación.El dispositivo que se inserta en el sistema a fin de satisfacer las especificacionesse denomina compensador, el cual compensa precisamente las deficiencias defuncionamiento del sistema original.
2.2.3 Compensación en serie y compensación en la realimentación (o paralelos)
En las figuras 2.8(a) y (b) se muestran esquemas de compensación utilizados comunmente en sistemas de control realimentado
Gc(s) G(s)
H(s)
+
-
(a)
G1(s) G2(s)
Gc(s)
H(s)
+ +
--
(b)
Figura 2.8: (a) Compensación en serie; (b) compensación en paralelo
2.2.4 Compensación en adelanto y en atraso
• Compensadores en adelanto
A continuación se muestran una red eléctrica y otra mecánica , así como sus respectivas funciones de transferencia.
22
1
11 1
RZ
CsRR
Z
eoei
c
R1
R2
Z1
Z2
La función de transferencia entre la salida Eo(s) y la entrada Ei(s) es:
Figura 2.9: circuito eléctrico de adelanto.
1
1)()(
21
21
1
21
2
21
2
Cs
RRRR
CsRRR
RzZ
ZsEsE
i
o
Se define
1,21
21
RRR
TCR
Entonces la función de transferencia se hace
Ts
Ts
TsTs
E
E
i
o
1
1
11
Si este circuito RC se utiliza como compensador en adelanto, se requiere agregarun amplificador con una ganancia Kc ajustable, de modo que la función de trans-ferencia del compensador sea:
Ts
Ts
KTs
TsKsG ccc
1
1
11
)(
k
b1
b2 xi
xo
y
.
:,1,
:
1
1
1
1)(
21
21
oramplificaddel
ajustablegananciaKbb
bT
k
b
con
Ts
Ts
KTs
TsKsG
c
ccc
Figura 2.10: Red mecánica de adelanto
En la práctica se utilizan comunmentecompensadores con amplificadoresoperacionales.
• Compensadores en atraso
El siguiente es un circuito eléctrico en atraso.
Z1
R2
C
R1
ei eo
Z2
Para que este circuito sea usado como compensador en atraso, se debe usar un amplificador con ganancia ajustable Kcß de modo que la función de transferencia del compensador sea:
Figura 2.11: Circuito eléctrico de atraso
Ts
Ts
KTs
TsKsG ccc
1
1
11
)(
1,2
212
RRR
TCR
A continuación se presenta una red mecánica de atraso.
k
b1
b2
xi
xo
Como en el caso eléctrico, si esta red deseausarse como compensador en atraso, es necesario agregar una ganancia ajustableKcß de modo que la función de transferen-cia del compensador sea:
1,2
212 b
bbT
kb
Ts
Ts
KTs
TsKsG ccc
1
1
11
)(
Con: Figura 2.12: Red mecánica de atraso
Tabla 2.4 Redes de circuitos compensadores
Ver transparencias
2.3 Diseño y compensación mediante el LGR
2.3.1 Compensación en adelanto
Este método para diseñar controladores es muy poderoso cuando las especifica-ciones se dan en términos de magnitudes en el dominio del tiempo, como larelación de amortiguamiento y la frecuencia natural no amortiguada de los polosdominantes de lazo cerrado , sobreimpulso máximo, tiempo de crecimiento y tiempo de establecimiento.
Dado el diagrama de bloques del sistema de control de la figura 2.13,los procedimientos para diseñar dicho compensador en adelanto, se pueden indicar como sigue:
Gc(s) G(s)+
-
R(s) C(s)E(s) U(s)
Figura 2.13: Sistema de control.
1. De las especificaciones del sistema encontrar la ubicación deseada de las raíces dominantes.2. Trazar el LGR sin considerar todavía el compensador. Sólo ajustar la ganancia.3. En caso de ser necesario el compensador, colocar el cero de éste bajo la ubi-cación deseada de las raíces.4. Determinar la ubicación del polo del compensador aplicando la condición delángulo del LGR.5. Calcular la ganancia del compensador mediante la condición de magnitud.6. Si existe un requerimiento de error estacionario, comprobar si se cumple con el valor de K encontrado. En caso de no cumplir, repetir el proceso, cambiando la ubicación del cero.
Ejemplo 2.1
Considerando la figura 2.13, con la función de transferencia de la planta G(s) ylas especificaciones siguientes :
Procedimiento de diseño.
%30
%)5(3:.
1)(:.. 2
PO
segtentofuncionamideEspecifs
sGplantaladetransfdeFunc
s
p
Diseñar el compensador en adelanto.
Pasos:1. De las especificaciones del ejemplo:
segrad
obtieneseendoreemplazan
ePO
segt
n
nn
s
/803.2
:)1.2()2.2(
)2.2(3568.010030
)1.2(13
3
)1
(2
Ubicación de las raíces dominantes:
)3.2(211 22,1 jjs nn
2. Sistema sin compensar:
2)()(sK
sPsGH
Figura 2.14: Circuito realimentado sin compensar
Donde:
K+
-
R(s) C(s)E(s)
2
1s
LGRjw
-1
j2
-j2
• El sistema sin compensar es oscilatorio
0 K
• Se observa que una red en adelanto puede satisfacer los requerimientos.
3. Colocar el cero del compensador en linea con las raíces deseadas: Z=1
jw
-1
j2
-j2
-p
Figura 2.15: LGR sin compensar
Figura 2.16: Localización del cero del compensador.
4. Cálculo del polo Aplicando condición de ángulo:
º38º180)º116º116(º90
º180
pp
polosceros
LGR del sistema compensado.
Se determina que :p = 3.6
Figura 2.17: LGR del sistema compensado
-1
j2
-j2
-p
116ºp
jw
5. Cálculo de K para que las raíces se ubiquen en : -1 ± j2
jw
-1
j2
-j2
-p
p 23.25
-3.6
2.231s
Aplicando condición de magnitud en s1:
6.3)1(8
)(
8
223.223.225.3221
1
1
ss
sG
K
dddd
K
zs
psK
c
z
j
i
Figura 2.18: LGR del sistema compensado final.
Entonces el sistema compensado final se representa con el siguiente diagramade bloques:
+
-
R(s) C(s)E(s) U(s)
Gc(s)
2
1s
G(s)
6.3)1(8
ss
Figura 2.19: Sistema de control diseñado.
Nota:
• Puede usarse indistintamente G(s) ó Gp(s)• El controlador proporcional derivativo (PD) es una versión simplificada del compensador en adelanto.
2.3.2 Compensación en atraso
Consideremos el problema de hallar una red de compensación adecuada para un sistema que presenta características satisfactorias de respuesta transitoria, pero nosatisfactorias en estado estacionario. En este caso la compensación consiste esen-cialmente en incrementar la ganancia de lazo abierto sin modificar apreciable- mente las características de respuesta transitoria.
Procedimiento de diseño.
Considerando el diagrama de la figura 2.20 y suponiendo que el sistema no com-pensado cumple las condiciones de respuesta transitoria por simple ajuste de laganancia, se sigue el siguiente procedimiento:
Gc(s) G(s)+
-
R(s) C(s)E(s) U(s)
Figura 2.20: Sistema de control.
Ts
Ts
KTs
TsKsG ccc
1
1
11
)(
1. Trace el diagrama del LGR para el sistema no compensado cuya función detransferencia de lazo abierto es G(s). Basado en las especificaciones de respuestatransitoria, ubique los polos dominantes de lazo cerrado en el lugar de las raíces.2. Suponga que la función de transferencia del compensador en atraso es
Entonces la función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado esGc(s)G(s).3. Evalúe el coeficiente de error estático particular especificado en el problema.4. Determine la magnitud del aumento en el coeficiente de error estático para satisfacer las especificaciones.5. Determine el polo y cero del compensador en atraso que produce el aumento necesario en el coeficiente de error estático particular sin alterar, en forma no-toria, el lugar de las raíces original.
6. Trace un nuevo lugar de las raíces para el sistema compensado. Ubique los polos dominantes de lazo cerrado en el LGR.7. Sjuste la ganancia Kc del compensador partiendo de la condición de magni-tud de que los polos dominantes de lazo cerrado queden en las ubicacionesdeseadas.
Nota:
El controlador proporcional e integral es un ejemplo típico de compensador enatraso.
2.3.3 Compensación en atraso-adelantoLa compensación de adelanto básicamente aumenta el ancho de banda, acelerala respuesta y disminuye el sobreimpulso máximo en la respuesta escalón. La compensación en atraso aumenta la ganancia en baja frecuencia, y así mejorala exactitud en estado estacionario del sistema, pero reduce la velocidad de res-puesta debido al reducido ancho de banda.
Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario, se deben utilizar simultáneamente un compensador en
adelanto y uno en atraso. Sin embargo, en lugar de usar compensadores separa-dos, es más económico utilizar un único compensador en atraso-adelanto. Un ejemplo típico de compensador en atraso-adelanto es el controlador proporcional,integral y derivatio (PID).
2.4 Diseño y compensación mediante la respuesta en frecuencia.
2.4.1 Compensación en adelanto
La función principal del compensador en adelanto es modificar la forma de la curva de respuesta en frecuencia, dando suficiente adelanto de ángulo de fasecomo para contrarrestar el atraso de fase excesivo asociado con los componentesdel sistema fijo. Considerando nuevamente el sistema que se muestra en la figura 2.20, el procedi-miento para diseñar un compensador en adelanto por el método de respuesta en frecuencia es el siguiente:
Suponga el siguiente compensador en adelanto:
)10(1
1
11
)(
Ts
Ts
KTs
TsKsG ccc
Se define
KKc
Entonces
11
)(
TsTs
KsGc
La función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es:
1. Utilizando K, trace el diagrama de Bode de G1(jw), del sistema sin compensar. Evalúe el MF.2. Determine el ángulo de fase en adelanto necesario para agregarlo al sistema.3. Determine el factor de atenuación utilizando la ecuación siguiente:
)()(
:
)(1
1)(
11
)(1
1)()(
1
1
sKGsG
donde
sGTs
TssKG
TsTs
sGTs
TsKsGsGc
Determine la ganancia K que satisface el requisito de coeficiente de error estático.
11
21
21
sen m
Determine la frecuencia en que la magnitud del sistema no compensadoG1(jw) es igual a . Elija esta frecuencia como nueva fre-cuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a y el máximo desplazamiento de fase se produce a esta
frecuencia .
4. Determine las frecuencias de cruce del compensador en adelanto como sigue:
)/1(log20
)/(1 Tm
m
TadelantoenrcompensadodelPolo
TadelantoenrcompensadodelCero
1:
1:
5. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el hallado en el paso 4, calcule la constante Kc de
K
Kc
6. Verifique el MG para asegurar que sea satisfactorio. Si no lo fuera, repetir el proceso de diseño modificando la ubicación del polo y cero del compensador hasta que se logre un resultado satisfactorio.
Ejemplo 2.2
Calcular un compensador en adelanto para que el siguiente sistema cumpla contener un margen de fase de por lo menos 45º.
Gc(s)+
-
R(s) C(s)E(s) U(s)
º45MF
Figura 2.21: Sistema de control.
2
10s
Pasos:
1. Sistema sin compensar: 2
10s
Gp
60
-7.8 db
0.1 1 10 100
-40
0
2 5 12
90
-180
-90
0
-270
2040
45º
3 db
pGlog20
pG
Sistema compensadoSistema sin compensar
compensador
Sist. sin compensarcompensador
De este gráfico se lee:MFsc = 0º, o sea al sistema no le falta nada para llegar a -180º, ya que se encuentra en -180º.
2. Se desea un MF de 45º. Se tiene sin compensar 0º, entonces = 45º
3. De
m
8.511
º45sen11
sen
m
Dando un márgen de seguridad, escogemos : 6
4. Calculamos : db8.76log10log10
En la gráfica del sistema sin compensar se ubica la frecuencia donde la ganan-cia es -7.8 db. Esto ocurre en
segradm /5
s
ssG
TsTs
sG
TT
cc
m
65
11
65
61
)(1
1)(
65
11
Como:
Dibujar la respuesta del sistema compensado.Trazamos la gráfica de Bode del compensador y lo sumamos al gráfico del sis-tema sin compensar, obteniendo los ceros del sistema compensado, y se mideel MF para comprobar el diseño.
2.4.2 Compensación en atraso
La función primaria de un compensador en atraso es atenuar en el rango dealta frecuencia para dar a un sistema suficiente márgen de fase y por lotanto bajar la frecuencia de cruce del sistema.
Procedimiento:1. Determine el MF del sistema sin compensar; para ello trace el diagrama de Bode del sistema con la ganancia ajustada para satisfacer la constante de error deseada.2. Determine la frecuencia donde se cumplirá el MF deseado. Si es que la curva de magnitud cruza la línea de cero db a esta frecuencia w (permi- tiendo un atraso de fase de 5º).3. Coloque el cero del compensador una década por debajo del valor w, ase- gurando así un atraso de solamente 5º en w.4. Mida la necesaria atenuación a w para que la curva de magnitud cruce por cero db a esta frecuencia. Calcule notando que la atenuación es
log20
5. Calcule el polo del compensador
Tp
1
2.4.3 Tipos de compensadores o controladores industrialesUn controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (valor deseado), determina el error, y produce una señal de control que reducirá el error a cero, ó a un valor muy pequeño. La forma como el controlador produce la señal de control, se denomina acción de control.
Las acciones básicas de control son:• Acción de control de dos posiciones (on-off)• Acción de control integral (I)• Acción de control proporcional e integral (PI)• Acción de control proporcional y derivativa (PD)• Acción de control proporcional, integral y derivativa (PID)
• Acción de control de dos posiciones (on/off)
Acción deControl
Actuador Planta
Sensor
+
-
Detector de error
Señal de error
Ent. dereferencia Salida
Controlador automático
Figura 2.22: Diagrama de bloques del sistema de control automático.
La señal de salida del controlador tiene sólo dos valores fijos, llevando al actuadora dos posiciones, que generalmente es conectado o desconectado.
U1 para e(t) > 0 U(t) =
U2 para e(t) < 0
ue
r
En el caso real, hay una brecha diferencial antes que se produzca la conmutación.
Conmutación ideal Conmutación real
U1
U2
+
-
er u U1
U2
+
-
er u
Brecha diferencial
Figura 2.23: representaciones de las conmutaciones ideal y real.
Aplicaciones:- Sistema de nivel de líquido- Sistema de control de temperatura, etc.
• Acción de control proporcional (P)
La salida del controlador es proporcional a la señal de error.
alproporciongananciaKsEsU
sG
teKtu
pc
p
:)()(
)(
)()(
- Es de acción rápida.- No reduce a cero el error estacionario.
• Acción de control integral (I)
El valor de la salida varía en razón proporcional a la integral de la señal de error.
leconstanteKs
K
sEsU
SG
esciatransferendefunciónla
teKdt
tdu
ódtteKtu
ii
c
i
i
graint,)()(
)(
:
)()(
,)()(
- Permite obtener un error estacionario igual a cero, donde el valor de u(t) perma- nece estacionario.- Recibe el nombre de control de reposición o restablecimiento.
• Acción de control proporcional e integral (PI)
Está definida por la siguiente ecuación:
letiempoTdondesT
KsEsU
sG
seráciatransferendefunciónla
dtteT
KteKtu
ii
pc
t
i
pp
graint,)1
1()()(
)(
:
)()()(0
El recíproco de Ti recibe el nombre de frecuencia de reposición, la cual es la can-tidad de veces por minuto en que se repite la acción proporcional. La frecuenciade reposición se mide en término de repeticiones por minuto. La acción I elimina el offset de la acción P.
Ti
2Kp
Kp
u(t)
(Sólo proporcional)
Acción de control PI
0 t
Figura 2.24: a) Señal de error; b) acción de control PI
• Acción de control proporcional y derivativo (PD)
Se define por la siguiente condición:
)1()(
)(
:
)()()(
sTKsE
sU
esciatransferendefunciónladt
tdeTKteKtu
dp
dpp
e(t)
1
0(a) (b)
Td es una constante denominada tiempo derivativo. Significa el intervalo de tiempo en el que la acción derivativa se adelanta al efecto de la acción proporcio-al.
Entre las desventajas de la acción derivativa podemos mencionar la amplificación de las señales de ruido y produce efecto de saturación en el actua-dor.
e(t) u(t)
t t
Td
(Sólo proporcional)
Acción de control PD
Rampaunitaria
0 0
Figura 2.25: a) Señal de error; b) acción de control PD
(a) (b)
• Acción de control Proporcional - Integral - Derivativo (PID)
La ecuación de esta acción es:
)1
1()()(
:
)()()()(
0
sTsT
KsEsU
esciatransferendefunciónla
dttde
TKdtteT
KteKtu
di
p
t
dpi
pp
Esta combinación tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de controlindividuales.
PPD
PID
t00
e(t) u(t)Rampaunitaria
t
(a) (b)
Figura 2.26: a) Señal de error; b) acción de control PID
2.5 Introducción a sistemas de control no lineales
Se pueden encontrar muchos tipos diferentes de fenómenos no lineales en los sistemas de control reales, y se les puede dividir en dos clases: inherentes e intencionales.
2.5.1 Fenómenos no lineales inherentes
Son inevitables en los sistemas de control. Entre ellos podemos citar:1. Saturación2. Zona muerta3. Histéresis4. Juego5. Fricción estática, fricción de coulomb, y otras fricciones no lineales6. Elasticidad no lineal7. Compresibilidad de fluidos
2.5.2 Fenómenos no lineales intencionales
Algunos elementos no lineales se introducen intencionalmente en un sistema para mejorar su comportamiento o para simplificar la construcción del sistemade control, resultando superior desde el punto de vista económico, de peso, deespacio y de confiabilidad, a sistemas lineales diseñados para cumplir la misma tarea.
2.5.3 Procedimientos de análisis y diseño de sistemas de control no lineales
Existen muchos métodos de análisis y diseño de sistemas de control no lineales,entre los cuales podemos citar el método del plano de fase, la función descripti-va, Liapunov, linealización por realimentación, control deslizante y control adaptivo.
Con la finalidad de presentar un método de análisis de sistemas de control no lineales, abordaremos brevemente el método de la función descrip-tiva.
2.5.4 Funciones descriptivas
Suponer que hay una entrada senoidal a un elemento no lineal. La salida del ele-mento no lineal generalmente no es senoidal. Suponer también que la salida es periódica , con el mismo periodo que la entrada. (La salida contiene armónicasmás grandes, además de la componente armónica fundamental).
La función descriptiva está definida como una relación compleja entre la componente armónica fundamental de la salida respecto a la entrada. Es decir:
salidalade
lfundamentaarmónicacomponenteladefasedeentodesplazami
salidaladelfundamentaarmónicacomponenteladeamplitudY
entradadeosoideladeamplitudX
adescriptivfunciónN
dondeXY
N
:
:
sen:
:
1
1
11
Para una entrada senoidal x(t) = X sen wt al elemento no lineal, la salida y(t)se puede expresar como una serie de Fourier, como:
10
10
)sen(
)sencos()(
nnn
nnn
nwtYA
nwtBnwtAAty
donde
)(
)(sen)(1
)(cos)(1
1
22
2
0
2
0
n
nn
nnn
n
n
BA
tan
BAY
wtdnwttyB
wtdnwttyA
Si la característica no lineal es antisimétrica, entonces Ao = 0. La componente armónica fundamental de la salida es:
)sen(
sencos)(
11
111
wtY
wtBwtAty
Entonces la función descriptiva está dada por:
)(1
112
12
11
1
BA
tanX
BA
XY
N
N(X,w)
Sist. N.L.
Figura 2.27: Respuesta de un sistema no lineal
1
0 )sencos()(n
nn nwtBnwtAAtywtXtx sen)(
2.5.5 Función descriptiva de la saturación
La relación Entrada-Salida para una saturación no lineal es ploteada en la figura2.28, con S y k denotando el rango y la pendiente de la parte lineal.
k
y
S x
y(t)
wt
wt
x(t)0
0kS
0
saturaciónSalida saturada
XwtXtx sen)(
2/
2/ 2
2
Figura 2.28: Característica de respuesta de la saturación.
S
Determinemos la función descriptiva.Si: X<=S, entoces la entrada remanente en el rango lineal produce una salida: y(t)=kXsen wt. La función descriptiva es una constante k simple.
Si: X > S, las funciones de entrada y salida son ploteadas como se muestra en la figura 2.23.
2/;
0;sen)(
wtkS
wtwtkXty
Donde:
)()()()(sen4
)()sen()(4
:
)(0)(
)(sen
2/
0
2
2/
01
1
1
wtdwtnsekXwtdwtkX
wtdwttyb
queimplicaperiododecuartospara
twdesimetríalayaimparestwXS
2
21
1
2
2
1
1sen2
)(
)(
:
12
XS
XS
XSk
XN
Xb
XN
esadescriptivfunciónla
XS
XSkX
b
2.5.6 Análisis de sistemas no lineales de control mediante la función descriptiva.
Considere el sistema que se muestra en la figura 2.29, donde N indica la funcióndescriptiva del elemento no lineal. Si las armónicas superiores se atenúan sufi-cientemente, se puede tratar la función descriptiva N como una variable de ganancia real o compleja. Entonces la respuesta en frecuencia de lazo cerrado es
Elementono lineal
Elementoslineales
+
-
r e
N G
c
Figura 2.29: Sistema de control no lineal
)(1)(
)()(
jwNGjwNG
jwRjwC
La ecuación característica es:
0)(1 jwNG
o bien
NjwG
1)(
Si la ecuación anterior para G(jw) se satisface, entonces la salida del sistemapresentará un ciclo límite. Esta situación corresponde al caso en que el diagramade G(jw) pasa por el punto crítico ( En el análisis convencional de respuesta enfrecuencia de un sistema de control el punto crítico es -1+j0).
En el análisis de la función descriptiva, el análisis convencional de frecuencia se modifica de modo que que el diagrama de -1/ N sea el lugar de los puntos críticos. Entonces, la posición relativa del diagrama de -1 / N y del diagrama G(jw), proporciona la información sobre la estabilidad.
Existencia de ciclos límites
Si: G(s)H(s)=-1/ N(X,w) tiene solución, entonces existen ciclos límites.
Im
Re
Im Im
Re ReGH(jw)
-1/ N(X,w) -1/ N(X,w) -1/ N(X,w)
GH(jw) GH(jw)
No hay ciclo límite Hay 1 ciclo límite Hay 2 ciclos límites
Figura 2.30: Ciclos límites.
Estabilidad de ciclos límites
Cada punto de intersección de la curva G(jw) y de la curva -1/ N(X) correspondea un ciclo límite. Si puntos cercanos a la intersección y a lo largo de la curva-1/ N(X) (para la parte en que X se está incrementando) no están encerrados porla curva G(jw), entonces el ciclo límite correspondiente es estable. En otro casoel ciclo límite es inestable.
2.6 Simulaciones
Dada la función de transferencia: 22
1)( 2
ss
ssGc
obtener las gráficas de Bode y LGR.
• Gráficas de Bode.
% Análisis de la función de transferencia % Gc(s)=(s+1)/(s^2+2s+2)num=[0 1 1];den=[1 2 2];% Respuesta frecuencialw=1:.1:100;[mag, fase]=bode(num,den,w);subplot(211);
Programa
semilogx(w,20*log(abs(mag)));title('Diagramas de Bode (Magnitud y fase)');ylabel('Magnitud en dB');xlabel('Frecuencia (rad/seg)');grid;subplot(212);semilogx(w,abs(fase));grid;ylabel('Fase en grados');xlabel('Frecuencia (rad/seg)');
• Gráficas de LGR.
% Análisis de la función de transferencia % H(s)=(s+1)/(s^2+2s+2)num=[0 1 1];den=[1 2 2];%Lugar de las raícesk=0:0.1:10;r=rlocus(num,den,k);plot(real(r),imag(r));title('Lugar de las raíces');xlabel('Parte real');ylabel('Parte imaginaria');text(-2.7,0.9,'-1+i');text(-2.7,-0.9,'-1-i');grid;
3. ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
3.1 Introducción
Un sistema de control puede tener varias entradas y salidas relacionadas entresí, en una forma muy complicada. El método más adecuado para el análisis deestos sistemas, es el método en el espacio de estado.La teoría de control moder-na se basa en la descripción de las ecuaciones del sistema en términos de necuaciones diferenciales de primer orden, que se pueden combinar en una ecua-ción diferencial matricial, de primer orden.
3.2 Matriz de transferencia
Considere el sistema descrito por:
)2.3(
)1.3(
DuCxy
BuAxx
donde:x = vector de estado (n x 1)u = vector de control (r x 1)y = vector de salida (m x 1)A = matriz de n x nB = matriz de n x rC = matriz de mxnD= matriz de m x r
La matriz G(s) que relaciona la transformada de Laplace de la salida y(t), conla transformada de Laplace de la entrada u(t) , se denomina matriz de transferencia.
)3.3()()()( sUsGsY
Las transformadas de Laplace de la ecuaciones (3.1) y (3.2) es:
)5.3()()()(
)4.3()()()0()(
sDUsCXsY
sBUsAXxssX
Suponiendo condiciones iniciales nulas, es decir x(0) = 0, de la ecuación (3.4)se obtiene:
)6.3()()()( 1 sBUAsIsX
Al reemplazar la ecuación (3.6) en (3.5), se obtiene:
)7.3()()()( 1 sUDBAsICsY
Comparando las ecuaciones (3.3) y (3.7), se encuentra que:
)8.3()()( 1 DBAsICsG
3.3 Controlabilidad
Se dice que un sistema de control es de estado completamente controlable, si esposible transferir el sistema de un estado inicial arbitrario a cualquier estado deseado, en un periodo finito. Es decir, un sistema de control es controlable si todas las variables de estado pueden ser controladas en un periodo finito, median-te alguna señal de control restringida.
El siguiente sistema no es completamente controlable.
uFigura 3.1: Diagrama deflujo de un sistema no con-trolable completamente.
Como u afecta solo a x1, el estado x2 es no controlable.Es imposible llevar x2 desde un estado inicial x2 (to) a un estado deseado x2 (tf) en un intervalo de tiempo finito tf-to mediante el control u.
Si un sistema es totalmente controlable, entonces requiere que el rango de lamatriz
)9.3(1BAABBM n
Sea de rango n.
Ejemplo 3.1
-1-2
1 1
y
1
2x 2x1x 1x
1s 1s
Ejemplo 3.2
Determine si el siguiente sistema es completamente controlable.
ux
x
x
x
1
0
12
11
2
1
2
1
Para nuestro sistema, el rango de la matriz de controlabilidad es:
211
10
RangoABBRangoMRango
igual al orden del sistema. Asimismo se observa que la matriz de controlabilidades no singular. Por lo tanto, el sistema es completamente controlable.
3.4 Observabilidad
Se dice que un sistema es totalmente observable, si cada estado x(to) se puededeterminar a partir de la observación de y(t) en un intervalo de tiempo finitoto <= t <= t1. Por lo tanto, el sistema es completamente observable, si cada tran-sición del estado, afecta eventualmente a cada elemento del vector de salida.
El sistema descrito es totalmente observable si y solo si la matriz de observabilidad
)10.3(
1
nCA
CA
C
sea de rango n.Ejemplo 3.3
El siguiente sistema es no observable.
1 1
-13
-2
u2x 2x
1x1xy
1s 1s
Figura 3.2: El sistema es no observable.
2
1
2
1
2
1
31
20
01
x
xy
x
x
x
x
Para este caso,
261
31
Rango
CA
CRango
igual al orden del sistema. Entonces el sistema es completamente observable.
Ejemplo 3.4
Considere si el siguiente sistema es observable.
3.5 Formas canónicas de las ecuaciones de estado
Entre los métodos para obtener representaciones en el espacio de estado, en formas canónicas, se encuentran:• Método de programación directa, para obtener la forma canónica controlable• Método de programación anidada, para obtener la forma canónica observable• Método de programación de expansión en fracciones parciales, para obtener la forma canónica diagonal o de Jordan.
)11.3(1
)1(
1
)(
01
)1(
1
)(
ububububyayayay nn
nn
nn
nn
Considere un sistema definido por:
donde u es la entrada e y es la salida. La función de transferencia está dadapor:
)12.3(......
)()()(
11
1
11
10
nnnn
nnnn
p asasasbsbsbsb
sGSUSY
3.5.1 Método de programación directa
)13.3(
1
0
0
0
1000
0100
0010
1
2
1
121
1
2
1
u
x
x
x
x
aaaax
x
x
x
n
n
nnnn
n
La ecuación de estado y la ecuación de salida, se escriben como:
)14.3(02
1
0110110 ub
x
x
x
babbabbaby
n
nnnn
3.5.2 Método de programación anidada
)15.3(
100
000
001
000
011
011
0
1
2
1
1
2
1
1
2
1
u
bab
bab
bab
x
x
x
x
a
a
a
a
x
x
x
x
nn
nn
n
n
n
n
n
n
n
La ecuación de estado y la ecuación de salida, se escriben como:
)16.3(1000 02
1
ub
x
x
x
y
n
3.5.3 Método de programación en expansión en fracciones parciales
)17.3(
1
1
1
0
0
1
2
1
2
1
1
2
1
u
x
x
x
x
p
p
p
x
x
x
x
n
n
nn
n
La ecuación de estado y la ecuación de salida, se escriben como:
)18.3(02
1
21 ub
x
x
x
cccy
n
n
donde p1, p2, ... pn son las raíces del sistema.
3.6 Análisis de estabilidad
Dado el sistema lineal invariante en el tiempo definido por :
)19.3(BuAxx
la estabilidad del sistema puede determinarse resolviendo el determinante:
)20.3(0 AsI
La condición necesaria y suficiente para la estabilidad asintótica del origen delsistema, es que todos los valores propios de A tengan partes reales negativas.
3.7 Diseño de sistemas de control por el método de espacio de estado
3.7.1 Introducción
Entre las técnicas de control por medio del espacio de estado podemos citar larealimentación de estado, observadores de estado, control óptimo cuadrático,control adaptivo, etc. De todos ellos, se tratará sobre el control por realimenta-ción de estado.
3.7.2 Control por realimentación de estado
El diseño por realimentación de estado es más versátil que el diseño de contro-ladores de configuración fija convencionales ya que se controla directamente la ecuación característica. Un sistema inestable que es controlable, siempre sepuede estabilizar mediante control por realimentación de estado.
La desventaja de este método es que todos los estados deben detectarse y realimentarse, lo cual puede no ser práctico.
Sea el sistema de control:
)21.3(BuAxx
donde:x = vector de estado (n x 1)u = señal de control (escalar)A = matriz de n x n constanteB = matriz de n x 1 constante
Se elige como señal de control
)22.3(Kxu
donde K es de dimensión 1 x n , y u no está acotado.
Al sustituir la ecuación (3.22) en (3.21), se tiene:
B
A
-K
u +
+
x
Figura 3.3: Sistema de control de lazo cerrado con u = - K x.
)()()( txBKAtx
La solución de esta ecuación está dada por:
)23.3()0()( )( xetx tBKA
La estabilidad y las características de respuesta transitoria se determinan a partirde los valores propios de la matriz A-BK. Escogiendo adecuadamente la matrizK, se puede hacer que la matriz A-BK sea asíntoticamente estable.
Pasos de diseño:
Sea el sistema descrito por: BuAxx con la señal de control: Kxu
1. Verificar la condición de controlabilidad. Si es completamente controlable continuar con el paso siguiente.2. Determine los valores de a1, a2, a3, ..., an a partir de: 0 AsI
3. Determine la matriz de transformación T, a partir de: MWT donde M y W están dadas por:
BAABBM n 1
0001
001
01
1
1
32
121
a
aa
aaa
Wnn
nn
donde las son los coeficientes delpolinomio característico 0 AsI
4. Utilizando los valores propios deseados, halle el polinomio característico deseado:
nnnn asss
sssBKAsI
11
1
221 )())((
y determine los valores de n ,, 21
5. Determinar K a partir de:
1112211
TaaaaK nnnn
Ejemplo 3.5
Considere el sistema definido por: BuAxx donde:
1
0,
06.20
10BA
La ecuación característica es:
06.206.20
1 2
s
s
sAsI
Como las raíces características son s = ±4.539, el sistema es inestable, entoncesdebemos verificar la controlabilidad del sistema, así:
01
10ABBM
Como el rango de la matriz de controlabilidad es n = 2, entonces el sistema es completamente controlable.
Ahora, deseamos que los polos de lazo cerrado se localicen en s = -1.8 ± j2.4(que vienen a ser los valores propios de A-BK: µ1= -1.8+ j2.4 y µ2 = -1.8 - j2.4).
Debemos determinar la matriz K de realimentación.Considerar la matriz K = [K1 K2] y reemplazar en el polinomio característico deseado:
122
21
21
6.20
6.20
1
1
0
06.20
10
0
0
ksks
ksk
s
kks
sBKAsI
96.3
)4.28.1)(4.28.1())((2
21
ss
jsjsss
El polinomio característico debe ser igual a:
Igualando los coeficientes de la dos últimas expresiones, se obtiene:
6.3,6.29 21 kk
Entonces: 6.36.2921 kkK
3.8 SimulacionesConsidere el sistema de la figura 1.5 (a) y (b) , los parámetros y especificaciones de diseño siguientes, así como el correspondiente diagrama de flujo.
1,%10,%2
1,1.0,1
,1,1.0,1,1,2.0
,1,1,62.0,100,10
sss
ggpot
tffaa
bgm
TPOe
RLK
KLRRL
fJKKK
rw dT2K
K
3KtK bK
mK0w
fv fi gvaiff RsL
1
tt RsL 1
gK1
fJs 1potK
Figura 3.4: Diagrama de flujo del sistema.
y diseñe un controlador por realimentación de estado.
Solución
Se escoge las siguientes variables de estado:
f
a
ix
ix
wx
3
2
01
Con las variables de estado, se obtienen las siguientes ecuaciones de estado:
uL
xL
Rx
xL
Kx
L
Rx
L
Kx
TJ
xJ
Kx
Jf
x
ff
f
t
g
t
t
t
b
dm
1
1
33
3212
211
donde:1xKKwKKu trpot
En forma matricial (con Td(s) = 0), se tiene:
)24.3(DuCxy
BuAxx
donde:
0,001
,10
0
,
00
0
DC
y
L
B
L
RL
K
LK
LK
JK
Jf
A
f
f
f
t
g
t
t
t
b
m
La correspondiente función de transferencia es:
]))()[(()()( 1
bmsttff
mg
KKfJsLRsLR
KKBAsICsG
Usando los parámetros del sistema y calculando el error de seguimiento en estadoestable para una entrada escalón unitario tenemos:
KKGess 95.1211
1)0(1
1
Usando el método de Routh-Hurwith, encontramos que el sistema en lazo cerra-do es estable para -0.008 < K < 0.0468.Ahora consideremos el diseño del controlador.
La señal de control es:
33221 xKxKxKwKu trpot
Donde Kt, K2 y K3 son las ganancias de realimentación. Kt es la ganancia deltacómetro y Kpot es la variable de sintonía.
Definiendo la matriz de realimentación :
)25.3(
:32
rpot
t
wKHxu
entoncesKKKH
El sistema de lazo cerrao con realimentación de estado es:
)26.3(
)(
Cxy
BvxBHAx
donde
rpot wKv
Usamos el método de localización de polos para determinar H, tal que los valo-res propios de A-BH se encuentren en la localización deseada. Primero deter-minamos la controlabilidad:
BAABBM 2
Calculando el determinante de M se obtiene:
LLK
tf
mg
J
KM 23
2
det
Como 0det00
23 MceroesnoJyKyK LL tfmg
Entonces el sistema es controlable. Podemos localizar los polos del sistema enforma apropiada para satisfacer las especificaciones de estado transitorio. Lospolos deseados están localizados en:
jpjpp 34,34,50 321
Resolviendo el polinomio característico: BHAsI
e igualando a la ecuación de polos deseados: )34)(34)(50( jsjss
se obtiene Kt, K2 y K3, entonces la matriz de realimentación es:
0333.40035.00041.0H
Para seleccionar la ganancia Kpot, debemos calcular la ganancia en DC de lazocerrado de la función de transferencia. La función de transferencia en lazo cerra-do es: BBHAsICsT 1)()( Entonces:
)0(1
TK pot
Figura 3. 5:Respuesta al escalón en lazocerrado.
% Simulación para la respuesta del sistema de control % por realimentación de estadof=1; J=1; Km=10; Kb=0.62; Lt=0.2+0.1;Rt =1+1; Kt=1; Kg=100; Rf=1; Lf=0.1;A=[-f/J Km/J 0; -Kb/Lt -Rt/Lt Kg/Lt; 0 0 -Rf/Lf];B=[0; 0; 1/Lf]; C=[1 0 0]; D=[0];P=[-50, -4+3*j, -4-3*j];H=acker(A,B,P)[num,den]=ss2tf(A-B*H,B,C,D);Kpot=num(4)/den(4);t =[0:0.05:2];[y,x,t]=step(A-B*H,B/Kpot,C,D,1,t);plot(t,x(:,1),t,x(:,2),'--',t,x(:,3),'-.'), gridxlabel('Tiempo(seg)'), ylabel('Variables de estado')legend('-','wo','--','ia','-.','if',-1)
Programa en MATLAB
4. SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL
4.1 Introducción
La tendencia actual de controlar sistemas en forma digital se debe fundamental-mente a la disponibilidad de computadoras digitales de bajo costo y a las venta-jas de trabajar con señales digitales.
4.1.1 Tipos de señales
1. Señal analógica en tiempo continuo: Su amplitud y tiempo pueden adoptar un intervalo continuo de valores.2. Señal cuantificada en tiempo continuo: Su amplitud solo puede adoptar valo- res discretos, mientras que el tiempo valores continuos.3. Señal en tiempo discreto: Definida solo en valores discretos de tiempo. 3.1 Señal de datos muestreados: La amplitud puede adoptar valores en un cierto intervalo continuo. 3.2 Señal digital: La amplitud es cuantificada.
En el control de plantas o procesos con controladores digitales se requiere laconversión de estos tipos de señales. La operación que transforma señales detiempo continuo en señales de tiempo discreto se denomina muestreo o discreti-zación. La operación inversa se denomina retención de datos.
x(t)
x(t) x(t)
x(t)
t
t t
t
0
0
0
0
Figura 4.1: a) Señal analógica en tiempo continuo; b) señal cuantificadaen tiempo continuo; c) señal de datos muestreados; d) señal digital.
a)
b)
c)
d)
4.1.2 Cuantificación de la amplitud
• Es un proceso que involucra la conversión analógica - digital.• Cuando el valor de una muestra cae entre dos estados de salida adyacentes, se debe leer como el estado más cercano al valor real de la señal.• En el sistema binario hay niveles de amplitud o estados de salida.• El nivel de cuantificación Q se define como el intervalo entre dos puntos adya- centes de decisión.
n2
completaescalaaIntervaloFSRFSR
Q n :,2
4.1.3 Ventajas de los controladores digitales
Entre otras:• Son versátiles, pueden manejar ecuaciones no lineales con cálculos complejos, con operaciones lógicas.• Permiten implementar la más amplia variedad de leyes de control.• Los algoritmos pueden ser cambiados mediante software.• Costo más bajo.
Figuras 4.2 y 4.3
Ver transparencias
4.2 La transformada zEs una herramienta muy poderosa utilizada en el análisis y síntesis de sistemasde control en tiempo discreto. El papel de la transformada z en sistemas de tiem-po discreto es similar al de la transformada de Lapace en sistemas de tiempo continuo.
En un sistema de control en tiempo discreto, una ecuación en diferen-cias lineal caracteriza la dinámica del sistema.
4.2.1 Definición de transformada z
La transformada z de una función x(t), sólo toma en cuenta los valores mues-treados de x(t), esto es , x(0), x(T), x(2T), ..., donde T es el período de muestreo,y se define mediante la siguiente ecuación:
)1.4()()]([)]([)(0
k
k
zkTxkTxZtxZzX
Para una secuencia de números x(k), la transformada z se define como
)2.4()()]([)(0
k
k
zkxkxZzX
Tabla 4.1 Tabla de transformadas z
Ver transparencias
4.2.2 La transformada z inversaLa transformada z inversa de X(z) da como resultado una única x(k), pero no da una única x(t). Esto significa que la transformada z inversa da como resultado una secuencia de tiempo que especifica los valores de x(t) solamente en los valores discretos de tiempo, t=0, T, 2T, ..., y no dice nada acerca de los otros valores de x(t).
La notación para la transformada z inversa es .1Z
Un método para encontrar la transformada z es usar la tabla de transformadas; sin embargo existen otros métodos que no implican el uso de tablas. Estos mé-todos son:1. Método de la división directa (expansión de X(z) en una serie infinita de potencias de ).2. Método computacional (MATLAB).3. Método de expansión en fracciones parciales (expansión en términos senci- llos).4. Método de la integral de inversión.
1z
4.3 Análisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
4.3.1 Muestreo mediante impulsos
0 0
x(t) )(tx
)(tx
)(sX
)(tx
)(sXT
t t
Figura 4.4: Muestreadormediante impulsos.
4.3.2 Retención de datos
Retenedor deorden cero
x(t) x(kT)
T
)(1 th
x(t) )(2 th
T )(sX
)(tx
)(0 sGh)(2 sH
a)
b)
Figura 4.5: Muestreador yretenedor de orden cero.
Retenedor deorden cero
x(t) x(kT) h(t)
t kT
x(t) Muestreador x(kT) h(t)
t
Figura 4.6: a) Muestreador realy retenedor de orden cero;b) modelo matemático que con-siste en un muestreador por im-pulsos y una función de transfe-rencia Gho(s).
donde :)3.4()(
1)(
02
k
kTsTs
ekTxse
sH
)4.4()()()( 02 sXsGsH h
siendo:
)5.4()(1
)(
:)3.4()()(
2
0
sXse
sH
esecuaciónlaekTxsX
Ts
k
kTs
Comparando las ecuaciones (4.4) y (4.5) se obtiene la función de transferenciadel retenedor de orden cero:
)6.4(1
)(0 se
sGTs
h
4.3.3 Función de transferencia pulso de sistemas en lazo cerrado
Considere el sistema que se muestra en la figura 4.7.
G(s)
H(s)
C(s)R(s) +
-
E(s) )(sE
T
Del diagrama de bloques:
)(1)(
)(
)()()()(
:)()()()()(
)()()(
)()()()(
sGHsR
sE
sEsGHsRsE
dondeysEsGsHsRsE
sEsGsC
sCsHsRsE
Figura 4.7: Sistema de controlen lazo cerrado.
Puesto que:)(1)()(
)()()()(sGHsRsG
sCsEsGsC
La transformada z de esta última ecuación es:
)7.4()(1
)()()(
:
)(1)()(
)(
zGHzG
zRzC
espulsociatransferenfunciónla
zGHzRzG
zC
Tabla 4.2 Configuraciones típicas de sistemas de control en tiempo discreto de lazo cerrado
Ver transparencias
4.4 Análisis en el espacio de estado de sistemas de tiempo discreto
4.4.1 Ecuaciones en el espacio de estado
• Para sistemas lineales de tiempo discreto variantes en el tiempo
)8.4()()()()()(
)()()()()1(
kukDkxkCky
kukHkxkGkx
• Para sistemas lineales de tiempo discreto invariantes en el tiempo
)9.4()()()(
)()()1(
kDukCxky
kHukGxkx
donde
rmdirectannestadodematrizkG
ntransmisiódematrizkDrentradadevectorku
nmdesalidamatrizkCmsalidadevectorky
rnentradadematrizkHnestadodevectorkx
)(
)(,1)(
)(,1)(
)(,1)(
D
G
H CIz 1x(k+1)u(k) x(k) y(k)+
++
+
D
A
B Cdtu(t) x(t) y(t)+
++
+
)(tx
a)
b)
Figura 4.8: a) Sistema de control lineal en tiempo discreto invariante en el tiempo;b) sistema de control lineal en tiempo continuo invariante en el tiempo.
4.4.2 Representaciones en el espacio de estado
Dado el sistema descrito por:
)10.4()()1()(
)()2()1()(
10
21
nkubkubkub
nkyakyakyaky
n
n
y su respectiva función de transferencia:
)11.4()()(
11
110
nnn
nnn
azazbzbzb
zUzY
Existen muchas formas de representarlas en el espacio de estado, entre las cualesestán:
1. Forma canónica controlable2. Forma canónica observable3. Forma canónica diagonal4. Forma canónica de Jordan
• Forma canónica Controlable
)13.4()(
)(
)(
)(
)(
)12.4()(
1
0
0
0
)(
)(
)(
)(
1000
0100
0010
)1(
)1(
)1(
)1(
02
1
0110110
1
2
1
121
1
2
1
kub
kx
kx
kx
babbabbabky
ku
kx
kx
kx
kx
aaaakx
kx
kx
kx
n
nnnn
n
n
nnnn
n
Debido a que la representación en la forma canónica controlable es la más usada,se presenta a continuación la ecuación de estado y la ecuación de salida .
4.4.3 Matriz de función de transferencia pulso
Dado el sistema discreto descrito por:
)14.4()()()(
)()()1(
kDukCxky
kHukGxkx
La transformada z de la ecuación (4.14) es:
)()()(
)()()0()(
zDUzCXzY
zHUzGXzxzzX
Suponiendo condiciones iniciales cero x(0), se obtiene:
)()()()()(
,)()()(1
1
zUzFzUDHGzICzY
yzHUGzIzX
donde
)15.4()()( 1 DHGzICzF
F(z) es la matriz de función de transferencia pulso.
4.4.4 Discretización de ecuaciones en tiempo continuo
Dada la ecuación en tiempo continuo:
)17.4(
)16.4(
DuCxy
BuAxx
su correspondiente representación discreta es:
)18.4()()()(
)()()()())1((
kTDukTCxkTy
kTuTHkTxTGTkx
C y D son matrices constantes e independientes del tiempo de muestreo T, y:
)20.4()()(
)19.4()(
0BdeTH
eTGT A
AT
La función de transferencia pulso es:
)21.4()()( 1 DHGzICzF
4.4.5 Representaciones canónicas
Considerando la ecuación de estado en tiempo discreto y la ecuación de salida:
)22.4()()()(
)()()1(
kDukCxky
kHukGxkx
Se pueden representar en forma canónica. Dichas representaciones son:1. Forma canónica controlable2. Forma canónica observable3. Forma canónica diagonal o de Jordan.
A continuación se presenta las ecuaciones en tiempo discreto (4.22) en su repre-sentación canónica controlable.
La ecuación (4.22) puede representarse mediante la siguiente representación:
)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)(
)(ˆ)(ˆˆ)()(ˆ)1(ˆ 11
kuDkxCkDukxCTky
kuHkxGkHuTkxGTTkx
donde:
)24.4()(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)(
)23.4()(
1
0
0
0
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
1000
0100
0010
)1(ˆ
)1(ˆ
)1(ˆ
)1(ˆ
:,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ
0001
001
01
1
,
1
2
1
0110110
1
2
1
121
1
2
1
11
1
32
121
1
kuD
kx
kx
kx
kx
babbabbabky
ku
kx
kx
kx
kx
aaaakx
kx
kx
kx
deciresDDyCTCHTHGTTG
a
aa
aaa
W
HGGHHMMWT
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
nn
nn
n
4.5 Diseño de sistemas de control en tiempo discreto por el método de espacio de estado
4.5.1 Diseño por realimentación de estado (ubicación de polos)
Considere el sistema de control en lazo abierto que se muestra en la figura 4.9
(a)
H
G
-K
u(k) +
+
x(k)Iz 1
H
G
Iz 1x(k+1)u(k) x(k)+
+
(b)
Figura 4.9: (a) Sistema de controlen lazo abierto; (b) sistema de control en lazo cerrado con u = -K x(k).
Si la señal de control u(k) fuera )()( kKxku
donde K es la matriz de ganancia de realimentación (1xn), entonces el sistema de lazo cerrado se representa por
)26.4()()()1( kxHKGkx
definido por: )25.4()()()1( kHukGxkx
La matriz K se escoge de tal forma que los valores característicos de G-HK seanlos polos en lazo cerrado deseados: µ1, µ2, ..., µn.Para la ubicación arbitraria de polos debe cumplirse la condición de controlabi-lidad siguiente:
)27.4(1HGGHHRango n
La ecuación característica en lazo abierto es:
)28.4(011
1
nnnn azazazGzI
La ecuación característica de lazo cerrado se convierte en:
)29.4(0)()(
100
00
01
ˆˆˆ
111
11
1111
nnnnnn
nnnn
azazaz
azaa
z
z
KHGzIHKGzI
Por otro lado, la ecuación característica con los valores característicos deseados,está dada por:
)30.4(0
)())((
12
21
1
21
nnnnn
n
zzzz
zzz
Igualando las ecuaciones (4.29) y (4.30) se obtienen :
nnn a
a
a
222
111
Entonces K viene a ser:
1
1111
111
1ˆ
Taaa
TTKK
nnnn
nn
donde las ii lasya son coefientes conocidos.
Y donde la matriz de transformación T = MW también conocida.
4.6 Simulaciones
Dada la siguiente función de transferencia z del sistema de control por realimen-tación de estado:
5.0259702.0240298.0
)()(
)( 2
zzz
zrzy
zF
donde y(z) es la salida del sistema de control y r(z) es la entrada de referencia escalón unitario. Obtener la simulación del sistema de control.
Solución
Programa
% **** Simulación ****% Sistema de control por realimentación de estado % _ Respuesta al escalón unitario_%num=[0 0.240298 0.259702];den=[1 -1 0.5];r=ones(1,41);v=[0 40 0 1.6];axis(v);k=0:40;y=filter(num,den,r);plot(k,y,'o',k,y,'-')gridtitle('Control por realimentación de estado')xlabel('k: número de muestras')ylabel(’Salida y(k)')