exercicis dia 29/05/2006

Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González

Fonaments de Matemàtica Discreta

Exercicis dia 29/05/2006

Exercici de Conjunts



ENUNCIAT DEL PROBLEMA:En una empresa disposen de quatre productes que, per comoditat, representarem per A, B C i D. Tots els clients que han comprat el producte D també han comprat el producte A. Els clients que han comprat el producte D no han comprat ni el producte B ni el producte C.Han comprat només A, 8 clients; només B 5 clients; només C 7 clients. 7 Clients no han comprat res.El nombre de clients que ha comprat només B i C és el doble que els clients que han comprat D.El nombre de clients que han comprat A i C és més gran en dues unitats que el doble del nombre de clients que han comprat només A i B.Hi ha clients que han comprat A, B i C.En total han comprat el producte A 30 clients, el producte B 20 i el producte C 28.Quants clients té en total l'empresa ?



• Comprovem de seguida que seguir l’enunciat del problema és pràcticament impossible, pel què deicidim fer la representació gràfica corresponent, obtenint així una visió general del problema.

ENUNCIAT DEL PROBLEMA:



1.- En una empresa disposen de quatre productes que, per comoditat, representarem per A, B C i D:

A

C D

B



2.- Tots els clients que han comprat el producte D també han comprat el producte A:

C D

BA



3.- Els clients que han comprat el producte D no han comprat ni el producte B ni el producte C:

C

D B

A



4.- Han comprat només A, 8 clients; només B 5 clients; només C 7 clients. 7 Clients no han comprat res:

C

D B

A

8

5

77



5.- El nombre de clients que ha comprat només B i C és el doble que els clients que han comprat D:

D

A

8x

B

5

C

7

2x

7



6.- El nombre de clients que han comprat A i C és més gran en dues unitats que el doble del nombre de clients que han comprat només A i B:

B

C

7

2x

D

A

8x

5

7



6.- El nombre de clients que han comprat A i C és més gran en dues unitats que el doble del nombre de clients que han comprat només A i B:

7

B

C

7

D

A

8

x

2x

5y

2y+2



7.- Hi ha clients que han comprat A, B i C:

7

B

C

7

D

A

8

x

2x

5y

2y+2

z



8.- En total han comprat el producte A 30 clients...

7

B

C

7

D

A

8

x

2x

5y

2y+2

z30

x+3y+z+10=30



... el producte B 20 ...

7

B

C

7

D

A

8

x

2x

5y

2y+2

z

x+3y+z+10=30

20

2x+y+z+5=20



... i el producte C 28:

7

B

C

7

D

A

8

x

2x

5y

2y+2

z

x+3y+z+10=30 2x+y+z+5=20

28

2x+2y+z+9=28



D’aquesta manera, i a partir de la representació gràfica del problema, hem aconseguit poder-lo plantejar en forma d’equacions de 3 incògnites, formant així un

sistema d’equacions...

7

B

C

7

D

A

8

x

2x

5y

2y+2

z

x+3y+z+10=30 2x+y+z+5=20 2x+2y+z+9=28



... que com no, resoldrem pel sistema de Gauss:

x+3y+z+10=30

2x+y+z+5=20

2x+2y+z+9=28

1 3 1 10 30

2 1 1 5 20

2 2 1 9 28



Multiplicant la 1ª fila per 2 i:- restant-la a la 2ª fila,

- restant-la a la 3ª fila...

1 3 1 10 30

2 1 1 5 20

2 2 1 9 28

1 3 1 10 30

0 -5 -1 -15 -40

0 -4 -1 -11 -32



... multiplicant la 2ª fila per 4 i restant-la a 5 vegades la 3ª ...

1 3 1 10 30

0 -5 -1 -15 -40

0 -4 -1 -11 -32

1 3 1 10 30

0 -5 -1 -15 -40

0 0 -1 5 0



... i ja podem aïllar la “z”:

1 3 1 10 30

0 -5 -1 -15 -40

0 0 -1 5 0

-z + 5 = 0

z = 5

Per substitució, resolem el sistema:

z = 5

-5y –1·(5) -15 = 40

-5y = -20

y = 4

y = 4

x + 3·(4) + 1·(5) + 10 = 30

x + 27 = 30

x = 3

x = 3



Podem comprovar els resultats substitïnt les incògnites a les equacions obtingudes a partir del gràfic:

x+3y+z+10=30

2x+y+z+5=20

2x+2y+z+9=28

3 + 12 + 5 + 10 = 30

6 + 4 + 5 + 5 = 20

6 + 8 + 5 + 9 = 28

z = 5 y = 4 x = 3

A

B

C



Ara ja tenim prou informació per resoldre el problema.Amb el principi d’inclusió – exclusió obtenim la suma dels 4 conjunts:

CBA

CB

DA

CA

BA

D

C

B

A

A U B U C U D

5

6

3

10

4

3

28

20

30

63



Tornant al gràfic, i sabent que la suma dels conjunts dóna 63, nomes ens cal afegir els clients que no han comprat res:

7

C

D

A

A B C D+ + + = 63

BB

+ = 70



D’aquesta manera hem resolt la pregunta del problema:

Quants clients té en total l'empresa ?

La resposta és 70.

Lluis Bausela Oriol Conesa Harold González

Una producció de:

per a


Fonaments de Matemàtica Discreta1er E.T.I.G (nocturn)

EUNCET

exercicis dia 29/05/2006

Documents