examenes_2006-2010 estructuras

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Asignatura: Teoría de Estructuras y Fundamentos del Método de los Elementos Finitos

Titulación: ING. INDUSTRIAL 1ªConvocatoria (10-6-2010)

Notas en: http://add.unizar.es/add/

TEORIA (1/3)

Cuestión 1: (33 %)

Plantea las condiciones de contorno en el siguiente problema de placa. Se trata deuna placa infinita en la dirección y y con cargas y condiciones de apoyos ctes endicha dirección.

Cuestión 2: (33%)

Plantea la resolución del siguiente problema de cálculo matricial, con la

discretización que figura en el dibujo:

z

x

L L L

P

P

ΔT

1

2 3

1

2

L

2L

q






conociendo

q

12

2

qL

12

2qL

2

qL

2

qL

P

Cuestión 3: (33 %)

Responde a las siguientes cuestiones:

a) Esfuerzos que aparecen en la formulación de placas delgadas de Kirchhoff.

b) Diferencias entre cálculo matricial y el método de los elementos finitosaplicado a barras

c) Diferencias entre el elemento finito barra de Euler_Bernoulli_Navier y de

Timoshenko. ¿Se puede utilizar el elemento de Timoshenko para resolver

barras largas? ¿Por qué?

8

PL

8

PL

2

P

2

P

T EA Δα T EA Δα






PROBLEMA 1: PTV (1/3)

Se pretende resolver la siguiente estructura plana de barras de rigidez a axil EA con un

coeficiente de dilatación térmica α.

Se pide:

1) Determinar los esfuerzos a axil en cada una de las barras (50 %)2) ¿Qué barras trabajan a tracción? (5 %)

3) ¿Qué barras soportan la máxima compresión? (5 %)

4) Si en la barra BH se incorporase un tensor, determinar el acortamiento que habría queaplicar para que el desplazamiento vertical del nudo H sea cero. (10 %)

5) Si en vez del tensor, todas las barras se encontrasen sometidas a un incremento

uniforme de temperatura ΔT, determinar dicho incremento para que el desplazamientovertical del nudo H sea cero. (20 %)

6) Si el desplazamiento horizontal del nudo C de la estructura estuviese permitido. Estimar

si el incremento de temperatura ΔT es mayor o menor que el calculado en el apartadoanterior. (10 %)

P

A

B

C

D

2L 2L

L

L

2Q

H

P

G






PROBLEMA 2: ELEMENTOS FINITOS (1/3)

Se desea resolver el siguiente problema de barras sometidas a torsión por el Método de los

Elementos Finitos. Para ello se discretiza el problema en dos elementos, el elemento 1 eslineal con dos nudos (nudos 1 y 2) y el elemento 2 es subparamétrico con aproximacióncuadrática en desplazamientos (nudos 2, 3 y 4). El nudo 1 se encuentra empotrado, elelemento 1 tiene aplicado un momento distribuido de valor mx y el nudo 4 tiene aplicado unmomento torsor de valor +PL.

1.- Obtener las funciones de forma del elemento 2 (tanto para geometría como para

desplazamientos). (15%)

2.- A partir de la ecuación diferencial a torsión, aplicar la formulación débil y obtener el

valor de los términos K11 y K23 de la matriz de rigidez elemental para el elemento 2. (30%)

x x m

dx

d GJ

dx

d −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ θ

3.- Supuestas conocidas las matrices del primer y del segundo elemento, ensamblar la

matriz de rigidez y el vector de cargas del problema. (30%)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

11

111

L

GJ

L

GJ

L

GJ

L

GJ

K

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

=

222

222

222

2

3

7

3

8

3

3

8

3

16

3

8

33

8

3

7

L

GJ

L

GJ

L

GJ

L

GJ

L

GJ

L

GJ

L

GJ

L

GJ

L

GJ

K

4.- Imponer condiciones de apoyo y plantear (sin resolver) el sistema de ecuaciones aresolver para obtener los giros. (15%)

5.- Sabiendo que los giros valen: 01= xθ , 00145.0

2= xθ , 002708.0

3= xθ y 00395.0

4= xθ ,

obtener el momento torsor en el nudo 3. (10 %)

DATOS NUMERICOS:

G=8 105 Kp/cm2, J=100 cm4, P = 1000 Kp, L = 1 m, mx=P/3 mKp/m






TEORIA (1/3)

1. Indicar si las siguientes estructuras son estables, inestables o críticas.

-

En el caso de que sean estables indicar si son isostáticas o hiperestáticas (indicandosi el GDH es externo o interno).- En el caso de que sean inestables o críticas justificar el motivo de su inestabilidad o

carácter crítico y proponer un cambio con el que podrían estabilizarse. b)a)

2. Siendo w el campo de desplazamientos en flexión de una placa delgada de Kirchhoff indicar los diferentes tipos de condiciones de contorno que se pueden presentar y la

formulación de los mismos.

3. Diferencias entre polinomios de Lagrange y polinomios Serendip en la formulación de

las funciones nodales de un elemento finito standard de tipo cuadrilátero plano. Indicar cuáles aproximan mejor y por qué.

4. Para el elemento cuadrilátero Serendip de 6 nudos de la figura obtener las funciones

nodales:1. En el caso en que el elemento sea isoparamétrico.

2. En el caso en que el elemento sea subparamétrico.

d)

c)

η

3 2

6ξ

14

5

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