examenes pau matematicasccss

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder

(como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 - Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora y la tabla de distribución normal.

PRUEBA A

1.- En los años 60, la estatura de los españoles varones que hacían el Servicio Militar se distribuía según una normal de media 170 cms., con una desviación típica de 9 cms. En la actualidad se ha realizado un muestreo a 36 adultos varones dando una media de 172 cms. Se pide: a) ¿Podemos afirmar, con una confianza del 95% , que esa diferencia es debida al azar?

Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma:

0 0 0

1 0 1

: : 170: : 170

H HH H

µ µ µµ µ µ= =

→ ≠ >

Para este contraste, la región de rechazo es R.R.= 0 ,znασµ

+ ∞

Si . .x R R∈ rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos. Datos del problema:

0 0,05172; 36; 170; 9; 0,05; 1.64x n zµ σ α= = = = = =

( )9. . 170 1.64 , 172.46 ,36

R R = + ∞ = ∞

Como ( )172 172.46,∉ ∞ no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que 170µ = .

La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el

estadístico de prueba, 0xz

n

µσ−

= y ver si cae en la región de rechazo que para este

estadístico en este contraste es: R.R.= ( ) ( ), 1.64,zα ∞ = ∞ . 172 170 2 1,33

9 9636

z −= = = ; como ( )1.33 1.64,∉ ∞ , no rechazamos la hipótesis nula, es

decir, aceptamos que 170µ = .

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDADL.O.G.S.E

CURSO 1999-2.000 - CONVOCATORIA: Junio

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

b) ¿Qué se puede decir si esa media se ha calculado utilizando una muestra de 900 jóvenes?.

0 0,05172; 900; 170; 9; 0,05; 1.64x n zµ σ α= = = = = =

El estadístico de prueba sigue siendo, 0xz

n

µσ−

= y la región de rechazo es:

R.R.= ( ) ( ), 1.64,zα ∞ = ∞ . 172 170 2 6.67

9 930900

z −= = = ; como ( )6.67 1.64,∈ ∞ , rechazamos la hipótesis nula, es

decir, aceptamos que 170µ > .

2.- El peso de las 100 vacas de una ganadería se distribuye según una normal de media 600 kilogramos y una desviación típica de 50 kilos. Se pide: a) ¿Cuántas vacas pesan más de 570 kilos?

X = ” Peso de una vaca ”; ( )600, 50X N≈

La probabilidad de que una vaca pese más de 570 kilos es:

( ) ( ) ( )600 570 600570 0.6 1 0.650 50

1 0.2743 0.7257

XP X P P Z P Z− − > = > = > − = − > =

= − =

Quiere decir esto que el 72.57% de las vacas pesan más de 570 kilos, es decir, unas 73 vacas de las 100 de la ganadería pesan más de 570 kilos.

b) ¿Cuántas pesan menos de 750 kilos?

La probabilidad de que una vaca pese entre 500 y 700 kilos es:

( ) ( ) ( )600 750 600750 3 1 350 50

1 0.0014 0.9986

XP X P P Z P Z− − < = ≤ = < = − > =

= − =

Quiere decir esto que el 99.86% de las vacas pesan menos de 750 kilos, es decir, las 100 de la ganadería pesan menos de 750 kilos.

c) ¿Cuántas pesan entre 500 y 700 kilos?

La probabilidad de que una vaca pese entre 500 y 700 kilos es:

( ) ( )

( )

500 600 600 700 600500 700 2 250 50 50

1 2· 2 1 2·0.0228 0.9544

XP X P P Z

P Z

− − − < < = < < = − < < =

= − > = − =

Quiere decir esto que el 95.44% de las vacas pesan entre 500 y 700 kilos, es decir, unas 96 vacas de las 100 de la ganadería pesan entre 500 y 700 kilos.

3.- Una agencia de viajes organiza una excursión . El precio del viaje es de 10.000 pesetas, si reúne 30 o menos personas. Si supera los 30 excursionistas hace una rebaja de 100 pesetas a cada uno de los viajeros. Se pide: a) Halla la función que da el precio de la excursión dependiendo del número de personas.

Represéntala gráficamente.

10000 30

( )9900 30

si xprecio x

si x≤

= >

b) Calcula la función que da el ingreso total que obtiene la agencia en función del número de viajeros. Represéntala gráficamente.

10000 30

( )9900 30

x si xingresos x

x si x≤

= >

4.- El precio de un artículo (en miles de pesetas), que ha estado 8 años en el mercado, se expresa en función del tiempo t (en años) según la siguiente función:

23 4 0 2( ) 521 2 8

2

t si tP t t si t

+ ≤ ≤=

− < ≤

Se pide: a) Representar la función precio en el intervalo dado.

b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función precio.

Hayamos la primera derivada de ( )P t 6 0 2

'( ) 5 2 82

t si tP t

si t

≤ ≤= − < ≤

Es positiva en el intervalo (0,2) y por tanto ( )P x es creciente en ese intervalo, por otra parte, '( )P x es negativa en el intervalo (2,8) y por tanto ( )P x es decreciente en ese intervalo.

c) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo?. ¿Cuándo?

El precio máximo lo alcanzó al segundo año y fue 2(2) 3·2 4 16P = + = . Obsérvese que la función es continua en x = 2 ya que los límites laterales coinciden, y

además que a la derecha de 2 es creciente y que a la izquierda es decreciente, por tanto es un máximo.

5.- Tres estudiantes desean regalar una calculadora gráfica de 8.600 pesetas a un amigo. Deciden reunir esa cantidad de la siguiente forma: Pedro aporta el triple de lo que aportan los otros dos juntos. Juan aporta tres pesetas por cada dos que aporta José. Se pide: a) Plantea el sistema de ecuaciones lineales del problema.

86003( )32

P Ju JoP Ju Jo

Ju Jo

+ + =

= + =

b) Resuelve el sistema por cualquier método que conozcas.

8600 8600 86003 3 0 4 4 8600 4 4 86002 3 0 2 3 0 2 3 0

8600 8600 62 2 4300 2 2 43002 3 0 5 4300

P Ju Jo P Ju Jo P Ju JoP Ju Jo Ju Jo Ju Jo

Ju Jo Ju Jo Ju Jo

P Ju Jo P Ju Jo PJu Jo Ju JoJu Jo Jo

+ + = + + = + + = − − = →− − = − → + = → − = − = − =

+ + = + + = = + = → + = → − = − = −

45001290

860Ju

Jo

= =

PRUEBA B 1.- Para una operación de compraventa de un Supermercado se tiene, entre otras, la siguiente información. Los vendedores afirman que la “caja” media por cliente es de 750 pesetas por operación, con distribución normal. La empresa compradora efectuó un muestreo de tamaño 36 que dio un gasto medio de 722 pesetas y una desviación típica de 56 pesetas. Se pide:

a) Para un nivel de significación del 5%, indicar si el muestreo es representativo, en ensayo bilateral de la población de indican los vendedores. Se nos plantea un contraste de hipótesis Bilateral de la forma:

0 0 0

1 0 1

: : 750: : 750

H HH H

µ µ µµ µ µ= =

→ ≠ ≠

Para este contraste, la región de aceptación es R.A.= 0 / 2 0 / 2,z zn nα ασ σµ µ

− +

Si . .x R A∈ aceptamos la hipótesis nula y en caso contrario la rechazamos. Datos del problema:

0 0,025722; 36; 750; 56; 0,05; / 2 0,025; 1.96x n zµ σ α α= = = = = = =

( )56 56. . 750 1.96 , 750 1.96 731.7 , 768.336 36

R A = − + =

Como ( )722 731.7, 768.3∉ no aceptamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos que 750µ = .



n

µσ−

= y ver si cae en la región de rechazo que para este test

bilateral es: R.R.= ( ) ( )/ 2 / 2, 1.96 , 1.96z zα α− = − . 722 750 28 3

56 56636

z − −= = = − ; como ( )3 1.96, 1.96− ∉ − , no aceptamos la hipótesis nula, es

decir, rechazamos que 750µ = . b) En el supuesto de que las 750 pesetas sea el valor mínimo de gasto de los clientes,

comprobar la validez de la muestra en ensayo unilateral con el mismo nivel. Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma:

0 0 0

1 0 1

: : 750: : 750

H HH H

µ µ µµ µ µ≥ ≥

→ < <

0 0,05722; 36; 750; 56; 0,05; 1.64x n zµ σ α= = = = = = Para este contraste unilateral la región de rechazo es

( )056. . , , 750 1.64 , 734.736

R R znασµ

= + ∞ = −∞ − = −∞

Como ( )722 , 734.7∈ −∞ rechazamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos que 750µ = .

2.- En una muestra aleatoria de 300 votantes, 180 se mostraron favorables al partido A. a) Estimar en % y con un nivel de confianza del 99% , entre qué límites se encuentra la

proporción de votantes al partido A. Se nos pide hallar un intervalo de confianza al 99% para la proporción de votantes del partido A

Este intervalo es ( ) ( )

/ 2 / 2

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ,

p p p pp z p z

n nα α

− − − +

Datos del problema:

/ 2 0,005180ˆ300; 0,6; 0,01; 2,58300

n p z zαα= = = = = =

( )0.6(1 0.6) 0.6(1 0.6)0.6 2.58 , 0.6 2.58 0.527 , 0.672300 300

− −− + =

b) Con un nivel de confianza del 95%, ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra para que

se realice una estimación con un error menor o igual a 0,05?.

Datos del apartado:

/ 2 0.025

0.6; 0.05;0.05 / 2 0.025 1.96

p Ez zαα α

= == ⇒ = ⇒ = =

El máximo error que se comete, con un nivel de confianza del 95 % es:

/ 2ˆ ˆ(1 )p pz E

nα−

<

0.6(1 0.6)1.96 0.05n−

<

0.24 0.051.96n

<

0.24 0.0255n

<

( )20.24 0.0255n

<

0.240.00065

n<

369.08 370n n> ⇒ ≥

3.- Una empresa dedicada a la fabricación de luminosos publicitarios anuncia que, como máximo, hay un 1% de luminosos defectuosos. Se selecciona una muestra de 100 rótulos publicitarios y se observa que aparecen 3 defectuosos. Se pide: a) Con un nivel de significación del 5%, ¿podemos aceptar la hipótesis del fabricante?


0 0 0

1 0 1

: : 0,01: : 0,01

H p p H pH p p H p

≤ ≤ → > >

Para este contraste la región de rechazo es

R.R.=( )0 0

0

1,

p pp z

nα

− + ∞

Si ˆ . .p R R∈ rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos. Datos del problema:

0 0,053ˆ100; 0,03; 0,01; 0,05; 1,64

100n p p zα= = = = = =

( ) ( )0,01 1 0,01

. . 0,01 1.64 , 0,026 ,100

R R − = + ∞ = ∞

Como ( )0,03 0.026,∉ ∞ rechazamos la hipótesis nula, es decir, no aceptamos que 0,01p ≤ .


estadístico de prueba, 0

0 0(1 )p p

zp p

n

−=

− y ver si cae en la región de rechazo

( ) ( ), 1,64 ,zα ∞ = ∞ . 0,03 0,01 2.010,01(1 0,01)

100

z −= =

−; como ( )2,01 1,64 ,∈ ∞ , rechazamos la hipótesis nula, es

decir, no aceptamos la hipótesis nula, 0,01p ≤ . b) ¿Y con un nivel de confianza del 99%?

La región de rechazo para el estadístico de prueba es: ( ) ( ) ( )0,01, , 2,33 ,z zα ∞ = ∞ = ∞ .

el estadístico de prueba vale 2,01z = , y como ( )2,01 2,33 ,∉ ∞ , no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que 0.01p ≤

4.- En un día desapacible, la temperatura (T) en grados centígrados varió con el tiempo t (en horas) según la función 2( ) - 9 8 T t t t= + para 0 12t≤ ≤ . Se pide:

a) ¿Qué temperatura hacía a la dos de la mañana? Nos piden calcular ( ) 22 2 9·2 8 6T = − + = − grados

b) ¿Cuál fue la temperatura máxima? ¿A qué hora se produjo? Calcular '( ) 2 9T t t= − y ''( ) 2 0T t = > , como la derivada segunda es positiva quiere decir que T no tiene ningún máximo en el interior del intervalo (0,12). Por tanto Hay que evaluar la función en los extremos del intervalo y ver en que punto de ellos se alcanza el máximo.

(0) 8(12) 44

TT

==

La temperatura máxima se alcanzó a las 12 horas y se alcanzaron 44 grados.

c) ¿A qué hora hubo una temperatura de cero grados?

Hay que resolver la ecuación 2 1( ) 0 9 8 0

8t

T t t tt=

= ⇔ − + = ⇔ =

d) ¿Cuál fue el intervalo de variación de la temperatura desde las 6 a las 12 horas? (6) 10(12) 44

TT

= − =

La temperatura varió de –10 a 44 grados

5.- La Consejería de Sanidad del Gobierno de Canarias dispone de 30 médicos, 48

enfermeras y 240 millones de pesetas para construir centros asistenciales en los barrios de Guanarteme y Escaleritas. Los requerimientos de cada centro vienen dados por la siguiente tabla:

Zonas Médicos Enfermeras Millones Guanarteme 3 3 30 Escaleritas 2 4 10

Si la autoridades consideran prioritario prestar atención sanitaria al mayor número de personas y, además, si en cada centro de Guanarteme se proporciona asistencia a 1500 personas (de media) y cada centro de Escaleritas puede atender a 600 personas de media, ¿cuántos centros hay que poner en cada barrio? Se trata de maximizar la función, numero de pacientes con asistencia médica. Esta función es: ( , ) 1500 600f x y x y= + Con las siguientes restricciones presupuestarias, de personal y de no negatividad de las variables :

Millones 30 10 240x y+ ≤ Médicos 3 2 30x y+ ≤ Enfermeras 3 4 48x y+ ≤ 0; 0x y≥ ≥

Tenemos pues que:

( , ) 1500 600. . : 30 10 240

3 2 303 4 48

0; 0

Max f x y x ys a x y

x yx y

x y

= ++ ≤+ ≤+ ≤≥ ≥

30 10 240x y+ ≤

3 4 48x y+ ≤

3 2 30x y+ ≤

1500 600 0x y+ =

Los puntos extremos de la región factible son: (0,12), (4,9), (6,6) y (8,0) Evaluamos la función objetivo en estos puntos y se obtiene: ( )( )( )( )

0,12 7200

4,9 11400

6,6 12600

8,0 12000

f

f

f

f

=

=

=

=

Por lo tanto el máximo número de cuidadanos con asistencia médica se tiene cuando se hacen 6 centros en Guanarteme y 6 en Escaleritas.

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5

PRUEBA A

1.- La probabilidad de que un alumno matriculado en 2º Curso de Bachillerato abandone los estudios es de 0,2. Si en un centro hay 100 alumnos de ese nivel, se pide: a) ¿De qué distribución se trata?. ¿Qué condición debe cumplir para que se pueda

aproximar a una continua?. X=”nº de alumnos, de los 100 matriculados, que abandonan los estudios” Se trata de una binomial de parámetros n=100, alumnos, y p=0.2, la probabilidad de que cada una de ellos abandone los estudios, es decir, (100 , 0,2)X B≈ Las condiciones para que una binomial se pueda aproximar por una normal,

( )( )· , · · 1N n p n p p− , son

i) n·p=100·0,2=20>5 ii) n(1-p)=100·0,8=80>5

en este caso se cumplen, por tanto la variable X, se puede aproximar por la variable

( ) ( )100·0.2, 100·0.2·0.8 20,4Y N N≈ =

b) Hallar la probabilidad de que abandonen menos de 30 alumnos.

( )20 30 20( 30) ( 30) 2.5 1 ( 2.5) 1 0.0062 0.99384 4

YP X P Y P P Z P Z− − < ≅ < = < = < = − > = − =

Observación: Para ser más exactos en la respuesta teniendo en cuenta que una variable binomial es discreta, al aproximarla por una variable continua , se le debe hacer la Corrección de Yates, es decir, ( 30) ( 29) ( 29.5)P X P X P Y< = ≤ ≅ ≤

( )20 29.5 20( 29.5) 2.375 1 ( 2.375) 1 0.0088 0.99124 4

YP Y P P Z P Z− − ≤ = < = < = − > = − =


CURSO 1999-2.000 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE


c) Halla la probabilidad de que abandonen entre 10 y 20 alumnos.

Nos piden la probabilidad (10 20)P X≤ ≤ Sin hacer la Corrección de Yates sería

( )

( ) ( ) ( ) ( )

10 20 20 20 20(10 20) (10 20) 2,54 04 4 4

0 2.5 0 2.5 0,5 0,0062 0,4938

YP X P Y P Z

P Z P Z P Z P Z

− − − ≤ ≤ ≅ ≤ ≤ = < < = − < < =

= < − < − = < − > = − = Si hacemos la Corrección de Yates sería

(10 20) (9.5 20.5)P X P Y≤ ≤ ≅ ≤ ≤

( )

( ) ( ) ( ) ( )

9.5 20 20 20.5 20(9.5 20.5) 2,625 0.1254 4 4

1 2.625 0.125 1 2.625 0.1251 0.0044 0.4110 0.5846

YP Y P P Z

P Z P Z P Z P Z

− − − ≤ ≤ = < > = − < < =

= − < − − > = − > − > =

= − − =

En este caso aplicar la corrección de Yates produce una diferencia de aproximadamente 7

centésimas.

2.- Un sociólogo está estudiando la duración del noviazgo en una extensa área rural. Se tomó una muestra aleatoria formada por 56 familias y se obtuvo que la duración media fue de 3,4 años, con una desviación típica de 1,2 años. a) Halla el intervalo de confianza, para la duración media del noviazgo, de la

población de familias en dicha área al nivel de confianza del 95%. El intervalo de confianza para una media muestral es:

/ 2 / 2,x z x zn nα ασ σ

− +

Datos del problema:

0,02556; 3,4; 1,2; 0,05; / 2 0,025; 1,96n x zσ α α= = = = = =

( )/ 2 / 21, 2 1,2, 3,4 1,96 , 3,4 1,96 3.085 , 3.71456 56

x z x zn nα ασ σ

− + = − + =

b) ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para estar seguro al nivel confianza del

90% de que el error máximo cometido es del 5%? Datos del problema: 0,051, 2; 0.05; 0,1; / 2 0,05; 1,64E zσ α α= = = = =

/ 2 0,051.2 1.20.05 1.64 0.05

1.968 1.9680.05 39.360.05

1549.21 1550

z E zn n n

n nn

n n

ασ

< ⇒ < ⇒ < ⇒

⇒ < ⇒ < ⇒ > ⇒

⇒ > ⇒ ≥

3.- Una empresa de bebidas refrescantes sabe que, si x es el precio (en décimas de euros) de una botella de refresco, los beneficios de la empresa (en miles de euros) vienen dados por la expresión 2( ) 10 - - 21b x x x= . Se pide: a) ¿Entre qué valores de x el beneficio es positivo?

Las raíces de la ecuación ( ) 0b x = son 3 y 7, entre ellas la función es positiva. b) ¿Cuál es el precio de la botella que da el beneficio máximo.

Tenemos que derivar e igualar a cero la función de beneficios 2( ) 10 - - 21b x x x= ( ) ( )' 10 2 ' 0 10 2 0 5b x x b x x x= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ =

( )'' 2b x = − , quiere decir que en 5x = hay un máximo.

c) ¿Cuál es ese beneficio?.

Para el precio de 5 décimas de euros (0,5 euros) el beneficio es 2(5) 10·5 5 - 21 4b = − =

Cuando el precio es 0,5 euros el beneficio es 4000 euros

4.- Hacer un esquema de la gráfica de la función f(x) = x2–5x+6 calculando sus máximos y mínimos relativos y los puntos de cortes con los ejes. Halla el área de la región comprendida entre la curva anterior el eje de las abscisas y las rectas x=1 y x=5.

La función f esta definida en todo ¡ . Sus cortes con los ejes se obtienen de:

i) Resolver la ecuación 2 2( ) 0 - 5 6 0

3x

f x x xx=

= ⇔ + = ⇔ =

ii) Evaluar (0) 6f = Con lo cual son los puntos (2,0), (3,0) y (0,6). Para estudiar sus máximos y mínimos tenemos que derivar e igualar a cero la función

2( ) - 5 6f x x x= + ( ) ( )' 2 5 ' 0 2 5 0 2.5f x x f x x x= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ =

( )'' 2f x = , quiere decir que en 2.5x = hay un máximo absoluto. f no tiene máximos ni mínimos relativos. El área de la región comprendida entre la curva, el eje de las abscisas y las rectas x=1 y x=5, se tiene que tener en cuenta que la función es negativa entre 2 y 3. El área se obtiene de la siguiente forma:

2 3 5

1 2 32 3 53 2 3 2 3 2

1 2 3

3 2 3 2 3 2

3 2 3 2

( ) ( ) ( )

5 6· 5 6· 5 6·3 2 3 2 3 2

2 2 1 1 3 35 6·2 5 6·1 5 6·33 2 3 2 3 2

2 2 5 55 6·2 5 6·53 2 3 2

Area f x dx f x dx f x dx

x x x x x xx x x

= − + =

= − + − − + + − + =

= − + − − + − − + +

+ − + + − +

∫ ∫ ∫

3 23 35 6·33 2

14 23 9 14 55 9 17 5.6673 6 2 3 6 2 3

− − + =

= − − + + − = =

5- En un supermercado un cliente compra 12 latas de aceitunas de un total de tres marcas

distintas. Si el número de latas de la marca A es igual a 3/2 el número de latas de la marca B, y éste, a su vez, es igual a dos veces el número de latas de la marca C. Se pide: a) ¿En qué parte del programa de matemáticas, que has dado, ubicas este problema? Este problema pertenece al tema de sistemas de ecuaciones lineales, ya que se describen una serie de “relaciones” entre unas cantidades desconocidas. Estas relaciones una vez se plasman como ecuaciones se observa que son lineales. b) ¿Cuántas latas compró de cada marca?

2 1 1212 2 123 3 63 2 2 42 3 3

22 1 1 2 1 1·2 2 3 3 3

A A AA B C A AA B B A B A B

CB C C B A A C A

+ + = + + = = = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = = = = = =

PRUEBA B 1.- El nivel medio de colesterol en sangre de la población adulta entre 50 y 60 años de edad

es de 185 mg por cada 100 ml de sangre. La desviación típica es de 25 mg por 100 ml. Si las medidas se distribuyen según una normal, calcula: a) ¿Qué porcentaje de la población tiene niveles superiores a 200 mg?

X = ” Nivel de colesterol en sangre en un adulto entre 50 y 60 años”; ( )185, 25X N≈

La probabilidad de que una persona tenga un nivel de colesterol en sangre superior a 200 es:

( ) ( )185 200 185200 0.6 0,274325 25

XP X P P Z− − > = > = > =

Quiere decir esto que el 27.43% de la población adulta entre 50 y 60 años tiene un nivel de colesterol en sangre superior a 200 mg.

b) ¿Qué porcentaje de la población tiene niveles inferiores a 130 mg?

( ) ( ) ( )185 130 185130 2.2 2.2 0,013925 25

XP X P P Z P Z− − < = < = < − = > =

Quiere decir esto que el 1.39% de la población adulta entre 50 y 60 años tiene un nivel de colesterol en sangre inferior a 130 mg.

c) ¿Qué porcentaje de la población está comprendido entre 130 y 200 mg?.

En el gráfico podemos ver que esa probabilidad es: ( ) ( ) ( )130 200 1 130 200 1 0,0139 0.2743 0,7118P X P X P X< < = − < − > = − − =

2.- Para hallar la proporción de jóvenes que les gusta el baloncesto se toma una muestra de tamaño 500. El resultado fue que a 350 les gusta ese deporte. Calcula: a) Intervalo de confianza para un nivel de significación de 0,05.

Se nos pide hallar un intervalo de confianza al 95% para la proporción de jóvenes que les gusta el baloncesto

Este intervalo es ( ) ( )

/ 2 / 2


p p p pp z p z

n nα α

− − − +

Datos del problema:

/ 2 0,025350ˆ500; 0,7; 0,05; 1,96500

n p z zαα= = = = = =

( )0.7(1 0.7) 0.7(1 0.7)0.7 1.96 , 0.7 1.96 0.66 , 0.74500 500

− −− + =

b) Error máximo que se comete.

Tomando p̂ como aproximación para la proporción poblacional, con un nivel de confianza del 95% el error máximo que se comete es:

( )

/ 2

ˆ ˆ1 0.7(1 0.7)1.96 0.04500

p pz

nα

− −= =

Es decir, al tomar como proporción en la población p=0.7, con un nivel de confianza del 95% el error máximo que se comete es del 4%.

3.- El estudio de una muestra aleatoria de 100 jóvenes que se presentan a una prueba, para un puesto de trabajo en un ayuntamiento, revela que la media de edad es de 20,2 años. Sabiendo que la variable estudiada se distribuye normalmente en la población, con desviación típica 10, ¿podemos aceptar con un 95% de confianza el valor de 22 años como media de edad de todos los que asisten a la prueba?.

Se nos plantea un contraste de hipótesis Bilateral de la forma:

0 0 0

1 0 1

: : 22: : 22

H HH H

µ µ µµ µ µ= =

→ ≠ ≠

Para este contraste, la región de aceptación es R.A.= 0 / 2 0 / 2,z zn nα ασ σµ µ

− +


0 / 2 0,025100; 20,2; 22; 10; 0,05; 1,96n x z zαµ σ α= = = = = = =

( )0 / 2 0 / 210 10. . , 22 1.96 , 22 1.96 20.04, 23.96100 100

R A z zn nα ασ σµ µ

= − + = − + =

Como ( )20.2 20.04, 23.96∈ aceptamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que

22µ = . La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el


n

µσ−

= y ver si cae en la región de rechazo, que para este test

bilateral es: R.R.= ( ) ( )/ 2 / 2, 1.96 , 1.96z zα α− = − . 20.2 22 1.8

10100

z −= = − ; como ( )1.8 1.96, 1.96− ∈ − , aceptamos la hipótesis nula, es decir,

aceptamos que 22µ = .

¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para que el intervalo de confianza de la media muestral perteneciera a (20.2-1.78;20.2+1.78) con el mismo nivel de significación? Nos están pidiendo el tamaño muestral para que el error máximo fuera 1.78, con un nivel de confianza del 95%

/ 210 19,61,78 1,96 1,78 11.01 121.22

1,78E z n n n

n nασ

= = ⇔ = ⇔ < ⇔ < ⇔ >

Por tanto se necesita que 122n ≥

4.- El coste de fabricación de x unidades de lavadoras viene dado por la función C(x)= 50.000 + 1000x, donde C(x) viene dado en pesetas. Se pide: a) Halla el coste de fabricación de 3 lavadoras.

( ) 50000 1000(3) 50000 1000·3 53000 pesetas

C x xC

= += + =

b) Si el coste de fabricación ha sido de un millón de pesetas, ¿cuántas lavadoras se han fabricado?

( ) 1000000 50000 1000 1000000 1000 950000 950C x x x x= ⇔ + = ⇔ = ⇔ = lavadoras c) Si el coste de fabricación es de 40.000 pesetas, ¿Cuántas lavadoras se han

fabricado?. Razona la respuesta. ( ) 40000 50000 1000 40000 1000 10000 10C x x x x= ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = −

Esto es imposible, no se ha fabricado ninguna lavadora. La función esta definida para 0x ≥ y el coste mínimo es 50000.

5.- Las necesidades mínimas diarias, de unidades de tres vitaminas A, B y C, en la dieta de un determinado animal, son respectivamente 6,24 y 16. Existen dos tipos de piensos P y Q que pueden suministrar esas vitaminas, cuyos contenidos, en unidades por kilogramo de peso, vienen dados en la siguiente tabla:

Unidades de vitamina A

Unidades de vitamina B

Unidades de vitamina C

Pienso P 1 5 2 Pienso Q 1 3 4

El coste de cada kilogramo de pienso tipo P es de 80 pesetas, mientras que el coste de cada kilogramo de pienso tipo Q es de 75 pesetas. ¿Cómo se ha de configurar la dieta de costo global mínimo?

Se trata de minimizar la función de coste global del pienso. Esta función es: ( , ) 80 75f x y x y= + Con las siguientes restricciones para cubrir el aporte vitamínico y de no negatividad de las variables :

Vitamina A 6x y+ ≥ Vitamina B 5 3 24x y+ ≥ Vitamina C 2 4 16x y+ ≥ 0; 0x y≥ ≥

Los puntos extremos que se obtienen son:

1

2

3

( , ) 80 75. . : 6

5 3 242 4 160; 0

Min f x y x ys a r x y

r x yr x y

x y

= +≡ + ≥≡ + ≥≡ + ≥≥ ≥

REGION FACTIBLE

3

1

2

r

r

r

El costo mínimo se consigue con 3 kilos de pienso P y 3 kilos de pienso Q.

6 3(3,3) 80·3 75·3 465

5 3 24 3

5 3 24 4(4, 2) 80·4 75·2 470

2 4 16 2

6 3, 43(3, 43 , 2, 28) R .

5 3 24 2, 28

0(0,8) 80·0 75·8 600

8

8(8,0) 8

0

x y xf

x y y

x y xf

x y y

x y xFactible

x y y

xf

y

xf

y

+ = = ⇒ → = + = + = =

+ = = ⇒ → = + = + = =

+ = = ⇒ → ∉ + = =

= → = + ==

= → ==

0·8 75·0 640+ =


PRUEBA A 1.- El peso de las peras de una cosecha se distribuye según una normal de media 115

gramos y desviación típica igual a 25 gramos. i) ¿Cuál es la probabilidad de que una pera elegida al azar pese más de 120 gramos?

X = ” Peso de una pera”; ( )115, 25X N≈

La probabilidad de que una pera elegida al azar pese más de 120 gramos es:

( ) ( )115 120 115120 0.2 0,420725 25

XP X P P Z− − > = > = > =

ii) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una muestra de 64 peras esté entre

112 y 119 gramos?

Sabemos que la variable peso medio, x , de una muestra de tamaño 64, se distribuye también como una normal con media 115 y desviación típica

25 25 3.125864

XX n

σσ = = = = .

Nos piden calcular:

( ) ( )

( ) ( )

112 115 115 119 115112 119 0.96 1.283.125 3.125 3.125

1 0.96 1.28 1 0.1685 0.1003 0.7312

XP X P P Z

P Z P Z

− − −< < = < < = − < < =

= − < − − > = − − =


CURSO 2000-2.001 - CONVOCATORIA: Junio


2.- En las últimas elecciones, celebradas hace un año, el 52 por ciento de los votantes de una ciudad estaban a favor del alcalde. Una encuesta, realizada recientemente, indica que, de 350 ciudadanos elegidos al azar, 198 están a favor del alcalde: i) ¿Se puede afirmar, con un nivel de confianza del 90%, que el alcalde gana

popularidad?. Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma:

0 0

1 0

::

H p pH p p

= >

Para este contraste la región de rechazo es R.R.=( )0 0

0

1,

p pp z

nα

− + ∞


0 0,11198ˆ0.52; 350; 0,566; ; 0,1; 1,28350

p n p z zαα= = = = = = =

( ) ( )0,52 1 0,52

. . 0,52 1, 28 , 0,553 ,350

R R − = + ∞ = ∞

Como ( )0,566 0.552,∈ ∞ rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que 0,52p > por tanto que el alcalde ha aumentado su popularidad. La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el


0 0(1 )p pz

p pn

−=

− y ver si cae en la región de rechazo para este

estadístico, que a un nivel de confianza α es, ( ) ( ), 1, 28 ,zα ∞ = ∞ . 0,566 0,52 1.720,52(1 0,52)

350

z −= =

−; como ( )1,72 1, 28 ,∈ ∞ , rechazamos la hipótesis nula, es

decir, aceptamos que 0,52p > por tanto que el alcalde ha aumentado su popularidad.

ii) ¿Se obtiene la misma respuesta que en el apartado anterior si el nivel de confianza es igual a 0.99?. El estadístico de prueba sigue siendo:

0

0 0

0,566 0,52 1.72(1 ) 0,52(1 0,52)

350

p pzp p

n

− −= = =

− −

la región de rechazo para este estadístico, a un nivel de confianza 0.01α = es, ( ) ( ), 2,33 ,zα ∞ = ∞ . Como ( )1,72 2,33,∉ ∞ , no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos la hipótesis nula, 0,52p = .

3.- En un determinado mapa, un solar urbano está limitado por las gráficas de las funciones 2( ) 2f x x= − y ( ) 2 1g x x= +

i) Hacer un dibujo del solar. ( )f x es una parábola que tiene sus raíces en 2± y su mínimo en x=0. ( )g x es una recta que paso por los puntos (0,1) y (1,3) Los puntos de corte de las dos funciones se obtienen de la ecuación:

2 2( ) ( ) 2 2 1 2 3 0 1 o 3f x g x x x x x x x= ⇔ − = + ⇔ − − = ⇔ = − =

ii) Hallar el área del solar si la unidad de medida usada en el mapa es el decámetro.

Dicha superficie se obtiene como la integral de la diferencia de las dos funciones, la superior menos la inferior, entre sus puntos de corte.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 33 2 33 3 2 2

1 11 1

3 322 2

( ) ( ) 2 3 2 3 33 2 3

3 13 3·3 1 3· 1 10.667

3 3

x x xg x f x dx x x dx x x x

Dm

− −− −

− = − + + = − + + = − + + =

− − + + − − + − + − =

∫ ∫

Es decir, la superficie del solar es de 21066.7 m

iii) Si el valor del metro cuadrado es de 30 euros, ¿Cuánto vale el solar?. 1066.7 · 30 31998Valor = = €

4.- Las pérdidas o ganancias de una empresa, expresadas en centenas de miles de euros

cuando han transcurrido t años, siguen la función 2 4( )2

tf tt−

=+

i) Determinar el año en que la empresa deja de tener pérdidas. Nos piden el valor de t a partir del cual la función empieza a ser positiva.

2 4( ) 0 02

tf tt−

> ⇔ >+

como el denominador es positivo, ya que el tiempo t es mayor que cero por tanto t+2

también es positivo, el signo de 2 42

tt−+

, lo determina solo el numerador.

2 4( ) 0 0 2 4 0 2 4 22

tf t t t tt−

> ⇔ > ⇔ − > ⇔ > ⇔ >+

A los 2 años deja de tener perdida y empieza a tener beneficios. ( )

( ) ( )2 2

2( 2) 2 4 ·1 8'( ) 02 2

t tf t t

t t

+ − −= = > ∀

+ +

ii) ¿Es creciente la ganancia?.

Tenemos que hallar la derivada de f y ver si es positiva.

( )( ) ( )2 2

2( 2) 2 4 ·1 8'( ) 02 2

t tf t t

t t

+ − −= = > ∀

+ +

con lo cual la ganancia es una función creciente con el tiempo. ¿En qué año la ganancia supera los 100.000 euros?. Como la función f mide las ganancias o perdidas en cientos de miles de euros nos piden calcular el valor de t tal que

2 4( ) 1 1 2 4 2 62

tf t t t tt−

> ⇔ > ⇔ − > + ⇔ >+

A partir de los 6 años la ganancia supera los 100000 euros.

iii) ¿Existe límite para la ganancia?. En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite?. 2 4 422 4 2 0lim ( ) lim lim lim 2

2 22 1 01t t t t

tt t t tf t

ttt t t

→∞ →∞ →∞ →∞

− −− −= = = = =

+ ++ +

Si existe límite y está en 200000 euros.

5.- Carla compra tres pantalones, dos blusas y un sombrero por 135 euros. Nuria adquiere un pantalón, tres blusas y un sombrero por 100 euros Por su parte, Paula compra dos pantalones, tres blusas y dos sombreros por 155 euros. Si se supone que los artículos de un mismo tipo cuestan lo mismo, determinar el precio de cada una de las prendas.

3 2 135 3 100 3 100

3 100 3 2 135 3 452 3 2 155 2 3 2 155 7 2 165

3 100 253 45 15

2 60 30

P B S P B S P B SP B S P B S B

P B S P B S B S

P B S PB B

S S

+ + = + + = + + = + + = ⇒ + + = ⇒ − = − ⇒ + + = + + = − − = −

+ + = = ⇒ − = − ⇒ = − = − =

PRUEBA B 1.- Se sabe que el consumo semanal de refrescos (en litros) entre los jóvenes de una ciudad

es una variable normal con desviación típica igual a 0.6 litros. Se pregunta a 100 jóvenes sobre su consumo semanal de refrescos y se obtiene una media muestral de 1.5 litros. i) Hallar el intervalo de confianza de nivel 0.95 para la media de consumo semanal de refrescos de la población de jóvenes. Datos del problema: / 2 0,0250.6; 100; 1,5; 0,05; 1,96n x z zασ α= = = = = =

( )/ 2 / 20,6 0,6, 1,5 1,96 ,1,5 1,96 1,38 , 1,62100 100

X z X zn nα ασ σ

− + = − + =

ii) Si se acepta un error de 0.1 litros y se toma un nivel de confianza del 99%, ¿cuál es el tamaño de la muestra de jóvenes que habría que considerar?. Datos del problema: / 2 0,005; / 2 0.005;0,6; 0,1; 0,01 2,58zE zαασ α == = = = =

/ 2 0,0050,6 0,60,1 2,58 0,1

1,548 1,5480.1 15,480,1

239,63 240

z E zn n n

n nn

n

ασ

< ⇒ < ⇒ < ⇒

⇒ < ⇒ < ⇒ > ⇒

⇒ > ≅

2.- Se sabe que la edad (en años) de los aspirantes a un puesto de trabajo en un determinado organismo oficial es una variable normal con desviación típica igual a 5. Se observa una muestra de 125 personas que se presentan a una prueba para optar a un puesto de trabajo en el citado organismo, obteniéndose una edad media igual a 22.3 años: i) ¿Se puede afirmar, con un nivel de significación del 5%, que es igual a 21 la edad media de los que optan a un puesto de trabajo en el organismo oficial?


0 0 0

1 0 1

: : 21: : 21

H HH H

µ µ µµ µ µ= =

→ ≠ ≠

Para este contraste, la región de rechazo es R.A.= 0 / 2 0 / 2,z zn nα ασ σµ µ

− +


0 0,02522,3; 125; 21; 5; 0,05; / 2 0,025; 1.96x n zµ σ α α= = = = = = =

( )5 5. . 21 1.96 , 21 1.96 20,12 ,21,87125 125

R A = − + =

Como ( )22,3 20,12 , 21,87∉ rechazamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos que 21µ = .



n

µσ−

= y ver si cae en la región de aceptación que es:

R.A.= ( ) ( ), 1,96 , 1,96z zα α− = − . 22,3 21 2,9

5125

z −= = ; como ( )2,9 1,96 , 1,96∉ − , rechazamos la hipótesis nula, es decir,

rechazamos que 21µ = . Nota: también se daría por valida un contraste unilateral por la derecha.

ii) ¿Se puede afirmar, si el nivel de significación es del 1%, que dicha edad media es menor o igual que 22?


0 0 0

1 0 1

: : 22: : 22

H HH H

µ µ µµ µ µ≤ ≤

→ > >

Para este contraste, la región de rechazo es R.R.= 0 ,znασµ

+ ∞


0 0,0122,3; 125; 22; 5; 0,01; 2,33x n zµ σ α= = = = = =

( )5. . 22 2.33 , 23.04 ,3125

R R = + ∞ = ∞

Como ( )22,3 23,04 ,∉ ∞ no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que 22µ = .



n

µσ−

= y ver si cae en la región de rechazo que es:

R.R.= ( ) ( ), 2,33 ,zα ∞ = ∞ . 22,3 22 0.67

5125

z −= = ; como ( )0,67 2.33,∉ ∞ , no rechazamos la hipótesis nula, es

decir, aceptamos que 22µ = .

3.- En una empresa que fabrica microcircuitos se ha comprobado que el 10% de estos son defectuosos. Si se compra un paquete de 300 microcircuitos procedentes de la fábrica, determinar: i) Número esperado de microcircuitos no defectuosos.

X = ”nº de microcircuitos NO defectuosos en un paquete de 300” La probabilidad de que un microcircuito sea no defectuoso es p=0,9

(300, 0,9)X B≈ Para una variable binomial de parámetros n y p, su valor medio esperado es n·p=300·0,9=270.

ii) Probabilidad de que se encuentre más de 27 microcircuitos defectuosos. X = ”nº de microcircuitos defectuosos en un paquete de 300” La probabilidad de que un microcircuito sea no defectuoso es p=0,1

(300, 0,1)X B≈ Se dan las condiciones para aproximar una binomial por una normal ya que: i) · 5; 300·0,1 30 5n p > = > ii) ·(1 ) 5; 300·(1 0,1) 270 5n p− > − = > La variable X se puede aproximar por una normal,

( ) ( )· , · ·(1 ) 30, 5,196Y N n p n p p N≈ − =

Con lo cual, aplicando la Corrección de Yates

( ) ( )

( ) ( )

30 27,5 3027 27,55,196 5,196

0, 48 1 0, 48 1 0,3156 0,6844

YP X P Y P

P Z P Z

− − > ≅ > = > =

= > − = − > = − =

Si no se hubiese aplicado la Corrección de Yates ( ) ( ) ( )27 27 0,58 0,719P X P Y P Z> ≅ > = > − =

iii) Probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos esté entre 20 y 30. Nos piden calcular ( )20 30P X≤ ≤ . Aplicando la Corrección de Yates sería

( ) ( )

( ) ( ) ( )

19,5 30 30 30,5 3020 30 19,5 30,55,196 5,196 5,196

2,02 0,09 1 2,02 0,091 0,0217 0,4641 0,5142

YP X P Y P

P Z P Z P Z

− − − ≤ ≤ ≅ < < = < < =

= − < < = − > − > =

= − − =

Si no se hubiese aplicado la Corrección de Yates

( ) ( )

( ) ( ) ( )

20 30 30 30 3020 30 20 305,196 5,196 5,196

1,92 0 1 1,92 01 0,0217 0,5 0,4783

YP X P Y P

P Z P Z P Z

− − − ≤ ≤ ≅ < < = < < =

= − < < = − > − > =

= − − =

4.- El número de personas que acuden a una exposición en un día viene dado por la función 2( ) 12 2f t t t= − , siendo "t" el tiempo en horas transcurrido desde la apertura. Si el

horario de exposición es de 15 a 21 horas: i) ¿A qué hora es máximo el número de personas que acuden a la exposición?. ¿Cuál es el número?.

2( ) 12 2 , 0 6f t t t t= − ≤ ≤ Tenemos que resolver la ecuación

'( ) 0 12 4 0 3f t t t= ⇔ − = ⇔ = Como ''( ) 2 0f t = − < , ( )f t tiene un máximo en 3t = , es decir, a las 15+3=18 horas.

2(3) 12·3 2·3 18f = − = , es el número máximo de visitantes. ii) ¿Cuántas personas visitan la exposición al día?. El número de visitas es:

( )6 62 36 2 2 2

00 0

612 2 12 2 6 2 6·6 2 216 144 722 3 3 3t t tt t dt t

3 3 − = − = − = − = − =

∫ personas

5.- Una empresa piensa invertir hasta 3600 millones de pesetas en una urbanización para construir viviendas de cuatro dormitorios (tipo A), cuyo costo unitario es de 40 millones de pesetas, y viviendas de dos dormitorios (tipo B) que cuestan cada una 30 millones de pesetas. Las normativa vigente limita el número total de viviendas a 100 de las que, como máximo, 80 pueden ser de dos dormitorios. Si la empresa obtiene un beneficio de 4 millones de pesetas por la venta de cada vivienda tipo A y de 3 millones de pesetas por la venta de cada vivienda tipo B, determinar cuántas viviendas de cada tipo debe construir para maximizar los beneficios. Se trata de maximizar la función de beneficios de la urbanización. Esta función es: ( , ) 4 3f x y x y= + Con las siguientes restricciones de presupuesto, limitaciones por normativa y de no negatividad de las variables :

Presupuesto 40 30 3600x y+ ≤ Nº total 100x y+ ≤ Tipo B 80y ≤ 0; 0x y≥ ≥


El beneficio máximo se consigue construyendo o bien 60 tipo A y 40 tipo B o bien construyendo 90 del tipo A y ninguna del tipo B.

100 60(60, 40) 4·60 3·40 360

40 30 3600 40(0,80) (0,80) 4·0 3·80 240(20,80) (60, 40) 4·20 3·80 320(90,0) (90,0) 4·90 3·0 360

x y xf

x y yf

ff

+ = = ⇒ → = + = + = =

→ = + =→ = + =→ = + =

1

2

3

( , ) 4 3. . : 40 30 3600

10080

0; 0

Max f x y x ys a r x y

r x yr y

x y

= +≡ + ≤≡ + ≤≡ ≤

≥ ≥

1

2

3

r

r

r


PRUEBA A 1.- Un estudio indica que la proporción de individuos que enferman después de

suministrarles una determinada vacuna es del 5%. Se toma una muestra de 400 individuos vacunados. Determinar: i) El número esperado de individuos que no enfermaran.

X = ”nº de individuos que enferman después de vacunarlos, en una muestra de 400” La probabilidad de que un individuo enferme después de vacunarlo es p=0,05

(400, 0,05)X B≈ Para una variable binomial de parámetros n y p, su valor medio esperado es n·p=400·0,05=20. Es decir, se espera que enfermen 20, por lo tanto se esperan que no enfermen 380 individuos, ( n·(1-p)=400·(1-0,05)=400·0,95=380 ). ii) La probabilidad de que el número de individuos que enferman sea como mínimo igual a 24 Se dan las condiciones para aproximar la variable binomial X, por una normal. i) · 400·0,05 20 5n p = = > ii) ·(1 ) 5; 400·(1 0,05) 380 5n p− > − = > La variable X se puede aproximar por una normal,

( ) ( )· , · ·(1 ) 20, 4.359Y N n p n p p N≈ − =

Nos piden calcular la probabilidad de que el numero de individuos que enferman sea como mínimo 24. Con lo cual, aplicando la Corrección de Yates, se tiene

( ) ( ) ( )23,5 2024 23,5 0,8 0,21194,359

P X P Y P Y P Z− ≥ ≅ ≥ = ≥ = > =


( ) ( ) ( )24 2024 24 0,92 0,17884,359

P X P Y P Y P Z− ≥ ≅ ≥ = ≥ = > =

iii) La probabilidad de que el número de individuos que NO enferman sea como mínimo igual a 372.

Nos piden calcular la probabilidad de que el número de individuos que enferman sea como máximo 400-372=28. Con lo cual, aplicando la Corrección de Yates, se tiene

( ) ( ) ( ) ( )28,5 2028 28,5 1,95 1 1,95 1 0,0256 0,97444,359

P X P Y P Y P Z P Z− ≤ ≅ ≤ = ≤ = < = − > = − =


( ) ( ) ( ) ( )28 2028 28 1,84 1 1,84 1 0,0329 0,96714,359

P X P Y P Y P Z P Z− ≤ ≅ ≤ = ≤ = < = − > = − =


CURSO 2000-2.001 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE


2.- El sueldo, en miles de euros de los empleados de una multinacional, es una variable normal de media µ y desviación típica 0,3. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 empleados para los que se obtiene un sueldo medio de 2,23. Se pide: i) Determinar un intervalo de confianza para µ de nivel de confianza igual a 0,9.

El intervalo de confianza para una media muestral es:


− +

Datos del problema:

0,0536; 2,23; 0,3; 0,1; / 2 0,05; 1,64n x zσ α α= = = = = =

( )/ 2 / 20,3 0,3, 2,23 1,64 , 2,23 1,64 2,15 , 2,3136 36


− + = − + =

ii) Hallar la longitud del intervalo de confianza si el nivel de confianza es igual a 0,99.

0,00536; 2,23; 0,3; 0,01; / 2 0,005; 2,58n x zσ α α= = = = = =

La longitud del intervalo de confianza es:

( )/ 20,32 2 2,58 2 0,129 0,25836

znασ

= = =

3.- Se quiere construir el marco de una valla publicitaria rectangular de 12 metros cuadrados. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 1,5 euros, mientras que el metro lineal de tramo vertical cuesta dos euros. Determinar: i) Las dimensiones de la valla para que el coste sea mínimo.

12· 12x y yx

= ⇒ =

Tenemos pues que maximizar la función 12 48( ) 3 4 3f x x xx x

= + = +

Derivamos e igualamos a cero 2 2

2 2

48 48'( ) 0 3 0 3 48 3 16 4f x x x xx x

= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

Obviamente solo nos sirve la solución 4x = , y en ese punto es un mínimo ya que la segunda

derivada de f, 3

48''( )f xx

= , evaluada en 4x = , es positiva.

con lo cual 12 12 34

yx

= = =

Solución óptima (x,y) = (4,3) ii) ¿Cuanto cuesta el marco?

(4,3) 3·4 4·3 24C = + =

x y

Se trata de minimizar la función ( , ) 1,5(2 ) 2(2 )C x y x y= +

con la condición · 12x y =

4.- Una zona está delimitada en un determinado mapa por las funciones 2y x= e 2y x= . Si x e y están expresados en decámetros: i) Representar gráficamente la zona.

ii) Hallar el área de la zona.

Dicha área se obtiene como la integral de la diferencia de las dos funciones, la superior menos la inferior, entre sus puntos de corte. Los puntos de corte de igualar las dos funciones y resolver la ecuación que se obtiene:

2 22 2 0 0 o 2x x x x x x= ⇔ − = ⇔ = =

( )23 2 32 2 2 2

00

2 42 2 2 1,3333 2 3 3x xx x dx Dm

− = − = − = =

∫

Es decir, la superficie de la zona son 2133.3 m

5.- En un edificio viven 82 personas en edad de trabajar clasificada en tres grupos parados , de baja por enfermedad y activos. Entre esas personas, el número de parados duplica el número que están de baja por enfermedad, mientras que el número de activos es igual a 9 veces al número de los que están de baja más 10. ¿Cuántas personas están en paro? ¿Cuántas de baja? ¿Cuántas activas?

82 9 10 2 100 62 2 129 10 9 10 64

A P B B B B BP B P B PA B A B A

+ + = + + + = = = ⇒ = ⇒ = = + = + =

PRUEBA B 1.- Los gastos mensuales, en euros, en actividades de ocio de las personas que viven en una

determinada ciudad siguen una normal de media desconocida y desviación típica igual a 25. i) Se toma una muestra de 225 personas y se obtiene que la media muestral de gastos en actividades de ocio es igual a 95. Hallar un intervalo de confianza, de nivel de confianza igual a 0,95, para la media de los gastos mensuales en actividades de ocio. El intervalo de confianza para una media muestral es:


− +

Datos del problema:

0,025225; 95; 25; 0,05; / 2 0,025; 1,96n x zσ α α= = = = = =

( )/ 2 / 225 25, 95 1,96 , 95 1,96 91.73 , 98.27225 225


− + = − + =

ii) Si se toma un nivel de confianza del 99% ¿cuál es el tamaño muestral necesario para estimar la media de gastos mensuales en actividades de ocio con un error menor de 1 euro?.

0,00525; 1; 0,01; / 2 0,005; 2,58E zσ α α= = = = =

/ 2 0,0525 251 2,58 1

64,5 1 64,5 4160, 25 4161

z E zn n n

n n nn

ασ

< ⇒ < ⇒ < ⇒

⇒ < ⇒ < ⇒ > ⇒ ≥

2.- Se afirma que el 18% de los hogares de una ciudad tienen televisión de pago. Después de una campaña publicitaria se estima que dicho porcentaje ha aumentado y para corroborarlo se hace una encuesta eligiendo una muestra de 121 hogares, resultando que en 28 de ellos había televisión de pago. i) ¿Se puede afirmar, tomando 0,01α = , que la proporción de hogares que tienen televisión de pago ha aumentado después de la campaña publicitaria?

Se nos plantea un contraste del tipo:

0 0 0

1 0 1

: : 0,18: : 0,18

H p p H pH p p H p

= = → > >


0

1,

p pp z

nα

− + ∞


0 0,0128ˆ121; 0.231; 0,18; 0,01; 2,33

121n p p z zαα= = = = = = =

( ) ( )0,18 1 0,18

. . 0,18 2,33 , 0, 261 ,121

R R − = + ∞ = ∞

Como ( )0, 231 0, 261 ,∉ ∞ no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que 0,18p = .



0 0(1 )p pz

p pn

−=

− y ver si cae en la región de rechazo para este

estadístico, que a un nivel de confianza 0,01α = , es ( ) ( ), 2,33,zα ∞ = ∞ .

( )0, 231 0,18 1, 460,18 1 0,18

121

z −= =

−;

como ( )1, 46 2,33,∉ ∞ , no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos la hipótesis nula, 0,18p = .

ii) Responder al apartado anterior si 0,1α =

El estadístico de prueba sigue siendo ( )

0, 231 0,18 1, 460,18 1 0,18

121

z −= =

− y la región de rechazo

para este estadístico, a un nivel de confianza 0,1α = , es ( ) ( ), 1, 28 ,zα ∞ = ∞ .

Como ( )1, 46 1, 28 ,∈ ∞ , rechazamos la hipótesis nula, es decir, no aceptamos la hipótesis nula, 0,18p = .

3.- El peso de la piñas tropicales cultivadas en una determinada finca es una variable normal de media 1,4 kg y una desviación típica de 0,6 kg. Si en la presente cosecha se han recogido un total de 325000 kg de piña tropical, determinar: i) La cantidad de piña tropical que pesa más de 1,6 kg. X = ”Peso de una piña tropical”

(1,4 , 0,6)X N≈ Nos piden la probabilidad, ( 1,6)P X > , primero tipificaremos y luego buscamos la probabilidad correspondiente en la N(0,1).

( )1,4 1,6 1,4( 1,6) 0.33 0,37070,6 0,6

XP X P P Z− − > = > = > =

Por tanto el 37,07% del peso de la cosecha será de piñas de más de 1,6 kg, en este caso, 37,07325000 325000·0,3707 120477100

= = kg

ii) La probabilidad de que una piña tropical recogida en la finca pese entre 1,3 y 1,5 kg.

( ) ( ) ( )( )

1,3 1, 4 1, 4 1,5 1, 4(1,3 1,5)0,6 0,6 0,6

0,17 0,17 1 0,17 0,17

1 2· 0,17 1 2·0, 4325 0.135

XP X P

P Z P Z P Z

P Z

− − − < < = < < =

= − < < = − < − − > =

= − > = − =

iii) La cantidad de kg de la cosecha de piñas tropicales difiere 0,5 del peso medio.

( ) ( ) ( )( )

0,9 1, 4 1, 4 1,9 1, 4(1, 4 0,5 1, 4 0,5) (0,9 1,9)0,6 0,6 0,6

0,83 0,83 1 0,83 0,83

1 2· 0,83 1 2·0, 2033 0.5934

XP X P X P

P Z P Z P Z

P Z

− − − − < < + = < < = < < =

= − < < = − < − − > =

= − > = − =

Por tanto el 59,34% del peso de la cosecha será de piñas de más de entre 0,9 y 1,9 kg, en este caso,

59,34325000 325000·0,5934 192855100

= = Kg

4.- Se estima que las ganancias de una empresa (en decenas de miles de euros) para los próximos 10 años, sigue la función:

2 2 0 41( )2 4 101

t ttg t

t tt

− ≤ ≤ += + < ≤ +

i) ¿Cuándo es creciente la ganancia? Tenemos que hallar la derivada de la función ( )g t y ver cuando es positiva.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 1 2 2 ·1 4 0 41 1

'( )1· 1 2 ·1 1 4 10

1 1

t tt

t tg t

t tt

t t

+ − −= ≤ ≤

+ +=

+ − + − = < ≤ + +

Cono se ve claramente '( )g t es positiva para 0 4t≤ ≤ , por tanto la ganancia va aumentando durante los 4 primeros años. ii) ¿Cuándo es máxima la ganancia?. Justificar la respuesta Tendríamos que resolver la ecuación '( ) 0g t = y estudiar el signo de la segunda derivada en los puntos que se obtengan. Y de esta forma obtendríamos los máximos que tuviera la función, pero serían máximos donde la función fuese derivable. En este caso '( ) 0g t = no tiene ninguna solución. Ahora bien si miramos la gráfica de la función

Podemos observar que en x=4 tiene un máximo, lo cual se reafirma con que a la derecha del 4 es creciente y a la izquierda del 4 es decreciente. iii) Si en la función anterior se cambia 4 10t< ≤ por 4 t< ¿a que valor se aproxima la ganancia cuando t crece?. Justificar la respuesta. Tenemos que calcular el limite cuando t tiende a infinito de la función de ganancias

2 212 1 0lim ( ) lim lim lim 11 11 1 01

t t t t

tt t t tg t

ttt t t

→∞ →∞ →∞ →∞

+ ++ += = = = =

+ ++ +

con el paso de muchos años las ganancias se estabilizan en 10000 euros.

5.- El número total de unidades de dos productos ( A y B ) que un comercio puede vender es, como máximo, igual a 120. Dispone de 85 unidades del producto A, con un beneficio unitario de 3 euros, y de 75 unidades del tipo B, con un beneficio de 4,5 euros. Determinar las cantidades de cada una de los productos A y B que el comercio debe vender par maximizar sus beneficios globales. Se trata de maximizar la función de beneficios globales. Esta función es: ( , ) 3 4,5f x y x y= + siendo x el número de unidades que se venden de A e y el número de unidades que se venden de B Con las siguientes restricciones siguientes:

120x y+ ≤ 85x ≤ 75y ≤ 0; 0x y≥ ≥


1

2

3

( , ) 3 4,5. . : 120

8575

0; 0

Max f x y x ys a r x y

r xr y

x y

= +≡ + ≤≡ ≤≡ ≤≥ ≥

El beneficio máximo se obtiene vendiendo 45 unidades de A y 75 unidades de B.

120 85(85,35) 3·85 4,5·35 412,5

85 35

120 45(45,75) 3·45 4,5·75 472,5

75 75

0(0,75) 0·45 4,5·75 337,5

75

85(85,0) 3·85 4,5·0 255

0

x y xf

x y

x y xf

y y

xf

y

xf

y

+ = = ⇒ → = + = = =

+ = = ⇒ → = + = = =

= → = + ==

= → = + ==


Prueba A

1.- Un profesor afirma que el porcentaje de alumnos de bachillerato de su centro que fuman

no sobrepasa el 15%. Si en una muestra de 60 de esos alumnos se observó que 12 fuman: i) ¿Es aceptable la afirmación del profesor con un nivel de significación de 0.01?


0 0 0

1 0 1

: : 0,15: : 0,15

H p p H pH p p H p

≤ ≤ → > >


0

1,

p pp z

nα

− + ∞


0 0,0112ˆ60; 0,2; 0,15; 0,01; 2,3360

n p p zα= = = = = =

( ) ( )0,15 1 0,15

. . 0,15 2,33 , 0, 2574 ,60

R R − = + ∞ = ∞

Como ( )0, 2 0.2574,∉ ∞ no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que 0,15p ≤ .



0 0(1 )p p

zp p

n

−=

− y ver si cae en la región de rechazo, que para este

estadístico es: ( ) ( ), 2,33,zα ∞ = ∞ .

0, 2 0,15 1,0840,15(1 0,15)

60

z −= =

−; como ( )1,084 2,33,∉ ∞ , no rechazamos la hipótesis nula, es

decir, aceptamos la hipótesis nula, 0,15p ≤ .


CURSO 2.001-2.002 - CONVOCATORIA: Junio


ii) ¿La afirmación del apartado anterior es la misma si el nivel de confianza es del 90%?

0 0,112ˆ60; 0,2; 0,15; 0,1; 1,2860

n p p zα= = = = = =

El estadístico de prueba sigue siendo

0

0 0

0, 2 0,15 1,084(1 ) 0,15(1 0,15)

60

p pz

p pn

− −= = =

− −

y la región de rechazo es ( ) ( ), 1, 28 ,zα ∞ = ∞ . como ( )1,084 1, 28 ,∉ ∞ , tampoco rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que

0,15p ≤ .

2.- Un laboratorio farmacéutico afirma que el número de horas que un medicamento de fabricación propia tarda en curar una determinada enfermedad sigue una variable normal con desviación típica igual a 8. Se toma una muestra de 100 enfermos a los que se les suministra el medicamento y se observa que la media de horas que tardan en curarse es igual a 32.

i) Encontrar un intervalo de confianza, con nivel de confianza del 99%, para la media del número de horas que tarda en curar el medicamento.

Datos del problema: / 2 0,0058; 100; 32; 0,01; 2,58n x z zασ α= = = = = =

( )/ 2 / 28 8, 32 2,58 , 32 2,58 29,936 , 34,064100 100

X z X zn nα ασ σ

− + = − + =

ii) Si el nivel de significación es igual a 0.05, ¿cuál es el tamaño de la muestra que

habría que considerar para estimar el valor de la media con un error menor de 3 horas?

Datos del problema:

/ 2 0,0258; 100; 32; 0,05; 1,96n x z zασ α= = = = = =

/ 2 0,0258 83 1,96 2

15,68 15,683 5,22663

27,31 28

z E zn n n

n nn

n

ασ

< ⇒ < ⇒ < ⇒

⇒ < ⇒ < ⇒ > ⇒

⇒ > ≅

3.- Los beneficios, en cientos de miles de euros, estimados para una empresa durante los próximos 5 años, vienen dados por la función:

2 6( ) , si 0 54

tb t tt−

= ≤ ≤+

siendo t el tiempo en años. i) ¿Cuándo la empresa deja de tener pérdidas?

Nos preguntan a partir de que valor de “t” se tendrá que ( ) 0b t >

En 2 6( ) , si 0 5

4tb t tt−

= ≤ ≤+

, el denominador es siempre positivo, con lo cual se

reduce a estudiar cuando 2 26 0 6 6 2,45t t t− > ⇔ > ⇔ > = ; ya que la función está definida para 0 5t≤ ≤ .

ii) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que los beneficios sean iguales a 125000 euros? Los función de beneficios mide en cientos de miles, 125000€ es 1,25 veces 100000 euros.

2

2 26 41,25 6 1,25 5 1,25 114 2,75

t tt t t tt t

− == ⇔ − = + ⇔ − − → + = −

t = -2,75 se descarta ya que 0 5t≤ ≤ .

iii) ¿Para qué valores la derivada de la función beneficio es positiva? Justificar la respuesta.

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 4 6 1 8 6'( )4 4

t t t t tb tt t

+ − − + += =

+ +

En esta expresión el denominador es siempre positivo, y el numerador también ya que no tiene raíces reales, y el término independiente es positivo. En consecuencia la función es siempre creciente.

4.- El propietario de un edificio tiene alquilados los 52 pisos del mismo a 266 euros al mes cada uno. Por cada 7 euros que aumente el alquiler de cada piso pierde un inquilino y, por tanto, queda el correspondiente piso sin alquilar.

i) ¿Cuál es el alquiler que más beneficios producirá al propietario? La función de beneficios es numero de pisos alquilados por alquiler de cada piso

( ) (52 )(266 7 )b x x x= − + , derivamos e igualamos a cero para obtener el máximo.

'( ) (266 7 ) (52 )7 14 98

'( ) 0 14 98 0 7

b x x x x

b x x x

= − + + − = − +

= ⇒ − + = ⇒ =

''( ) 14 7b x x= − ⇒ = es un máximo. El alquiler más beneficioso es cuando tiene 7 pisos desalquilados y por tanto cobra 266+7·7=315 € por cada uno de los que están alquilados.

ii) ¿Cuál es la cantidad máxima que puede recibir el propietario por el alquiler de los pisos?

(7) (52 7)(266 7·7) 45·315 14175b = − + = = euros

5.- Un museo tiene tres salas de exposiciones: A, B y C. Los precios de las entradas son, respectivamente, 2, 4 y 7 euros. Un determinado día entraron a las tres salas un total de 210 personas, siendo la recaudación conjunta igual a 810 euros. Teniendo en cuenta que la novena parte de los visitantes de la sala A es igual a la séptima parte de los visitantes de la sala B, determinar el número de visitantes de cada sala. Justificar la respuesta.

2 4 7 810 2 4 7 810210 210

7 9 09 7

A B C A B CA B C A B C

A B A B

+ + = + + = + + = + + = − = =

Resolviéndose por cualquier método se tiene que 90; 70; 50.A B C= = =

Prueba B

1.- Se sabe que 2 de cada 8 habitantes de una ciudad utiliza el transporte público para ir a

su trabajo. Se hace una encuesta a 140 de esos ciudadanos. Determinar: i) Número esperado de ciudadanos que no van a su trabajo en transporte público.

Datos del problema: 2 0.25; 1408

p n= = =

Tenemos pues que la variable: X = ”nº de ciudadanos que va a su trabajo en transporte público en una muestra de 400” Sigue una distribución binomial de parámetros 140, 0.25; (140,0.25)n p X B= = ≈ El valor esperado en una variable binomial es · 140·0.25 35n p = = , en consecuencia, el nº esperado de ciudadanos que No van a su trabajo en transporte público es 140 35 105− = .

ii) Probabilidad de que el número de ciudadanos que van al trabajo en transporte público esté entre 30 y 45.

(140,0.25)X B: Como · 140·0,25 35 5 ·(1 ) 140·(1 0,25) 105 5n p y n p= = > − = − = > , la variable X se puede aproximar por una variable normal Y.

( ) ( ) ( )· , · (1 ) 140·0.25, 140·0.25·0.75 35,5.12Y N n p n p p N N≈ − = =

Si no se hace Corrección por continuidad

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

29,5 35 35 45,5 3530 45 (29,5 45,5)5.12 5.12 5.12

1.07 2.05 1 1.07 2.05

1 1.07 1.95 1 0.1423 0.0202 0.8375

YP X P Y P

P Z P Z P Z

P Z P Z

− − − ≤ ≤ ≅ < < = ≤ ≤ =

= − ≤ ≤ = − ≤ − − ≥ =

= − ≥ − ≥ = − − =

Si no se hace Corrección por continuidad

( ) ( )

( ) ( )

30 35 35 45 3530 45 (30 45) 0.97 1.955.12 5.12 5.12

1 0.97 1.95 1 0.1660 0.0256 0.8084

YP X P Y P P Z

P Z P Z

− − − ≤ ≤ ≅ < < = ≤ ≤ = − ≤ ≤ =

= − ≤ − − ≥ = − − =

2.- En una muestra de 600 personas de una ciudad se observa que 30 son inmigrantes. i) Determinar un intervalo de confianza de nivel 0.95 para el porcentaje de

inmigrantes en la ciudad. Datos del problema:

30 0.05; 600600

p n= = =

Nivel de confianza 1 0.95 0.05 / 2 0.025α α α= − = ⇒ = ⇒ = El intervalo de confianza para una proporción es:

( )

/ 2 / 2(1 ) (1 ),

0.05·0.95 0.05·0.950.05 1.96 ,0.05 1.96 0.0325 , 0.0674600 600

p p p pp z p zn nα α

− −− + =

= − − =

ii) Si se quiere estimar el porcentaje de inmigrantes con un error máximo de 0.02,

¿cuál es el tamaño de la muestra que habría que considerar si se usa un nivel de significación del 1%? Datos del apartado:

/ 2 0.0050.05; 0.02; 0.01 / 2 0.005 2.58p E z zαα α= = = ⇒ = ⇒ = =

/ 2(1 )p pz E

nα−

<

0.05(1 0.05)2.58 0.02n−

<

0.0475 0.022.58n

<

0.0475 0.0775n

<

( )20.0475 0.0775n

<

0.04750.00006

n<

791.667 792n n> ⇒ ≥

3.- El equipo directivo afirma que la media del recorrido que hacen los alumnos que asisten a un centro de bachillerato es, a lo sumo, igual a dos kilómetros y medio con una desviación típica igual a 0.5 km. Se toma una muestra de 81 alumnos y se obtiene para ellos un recorrido medio de 2.6 km. i) ¿Se puede aceptar con un nivel de significación igual a 0.05 la afirmación del

equipo directivo? Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma:

0 0 0

1 0 1

: : 2.5: : 2.5

H HH H


→ > >

Para este contraste la región de rechazo es R.R.= 0 ,znασµ

+ ∞


0 0,052.6; 2.5; 0.5; 0,05; 1.64x zµ σ α= = = = =

( )0.5. . 2.5 1.64 , 2.591 ,81

R R = + ∞ = ∞

Como ( )2.6 0.2574,∈ ∞ rechazamos la hipotesis nula, es decir aceptamos que 2.5µ ≥ .

La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando

el estadístico de prueba, 0xz

n

µσ−

= y ver si cae en la región de rechazo que para este

estadístico es es: R.R.= ( ) ( ), 1.64,zα ∞ = ∞ .

2.6 2.5 0.1 1,80.5 0.5

981

z −= = = ; como ( )1.8 1.64,∈ ∞ , rechazamos la hipótesis nula, es

decir aceptamos que 2.5µ ≥ .

ii) ¿La respuesta al apartado anterior es la misma si el nivel de confianza es del 99%?

0 0,012.6; 2.5; 0.5; 0,01; 2.33x zµ σ α= = = = = El estadístico de prueba sigue valiendo lo mismo:

0 2.6 2.5 0.1 1,80.5 0.5

981

xz

n

µσ− −

= = = =

Lo que varía es la R.R. que ahora es ( ) ( ). . , 2.33 ,R R zα= ∞ = ∞

Como ( )1.8 2.33,∉ ∞ , aceptamos la hipótesis nula.

4.- Se sabe que el número de delfines que existirán en los próximos años en una reserva

natural marítima, viene dado por la función 15000 4000( )2 2

tn tt+

=+

, siendo t el número de

años transcurridos. Se pide: i) Determinar el número de delfines que habrá dentro de 9 años.

15000 4000( )

2 2tn tt+

=+

Nos piden calcular ( ) 15000·9 40009 69502·9 2

n += =

+ delfines.

ii) ¿Cuántos años han de pasar hasta que haya 7250 delfines?

Tenemos que resolver la ecuación

15000 4000( ) 7250 7250 15000 4000 14500 145002 2

10500500 10500 11 años500

tn t t tt

t t

+= ⇔ = ⇔ + = + ⇔

+

⇔ = ⇔ = =

iii) Determinar el valor hacia el que tenderá en el futuro el número de delfines de la

reserva.

15000 4000 15000lim ( ) lim 75002 2 2t t

tn tt→∞ →∞

+= = =

+ delfines

5.- Dada la región definida por las desigualdades 2 2 10, 2 4, 0, 0x y x y x y+ ≤ − + ≤ ≥ ≥ : i) Representarla gráficamente.

ii) Determinar el punto de la región anterior en el que se maximiza 4 5z x y= + .

Los puntos extremos de la región son (0,2) (2,3) y (5,1), al querer maximizar desplazamos la función objetivo en la dirección (4,5). Los puntos extremos son:

0(0,2) 4·0 5·2 10

2

5(5,0) 4·5 5·0 20

0

2 2 10 2(2,3) 4·2 5·3 23

2 4 3

xf

y

xf

y

x y xf

x y y

= → = + ==

= → = + ==

+ = = → → = + = − + = =

con lo cual el máximo lo alcanza en el punto (2,3).

2 4x y− + =

2 2 10x y+ = ( ) 4 5f x x y= +


Prueba A

1.- Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 años y se encontró que 120 iban al teatro regularmente: Datos del problema: Tamaño muestral 325n =

Proporción muestral de personas que van regularmente al teatro: 120ˆ 0.369325

p = =

a) Hallar, con un nivel de confianza del 94%, un intervalo para estimar la proporción de los ciudadanos que van al teatro regularmente.

Nivel de confianza 1 0,94 0,06α α= − = ⇒ = El intervalo de confianza para una proporción es:

/ 2 0,03ˆ ˆ(1 ) 0.369(1 0.369) 0.233ˆ 0.369 0.369 1.89 (0.318,0.420)

325 325p pp z z

nα

− −± = ± = ± =

b) En las mismas condiciones del apartado anterior, se realiza la experiencia para

conseguir una cota de error del 0.01. ¿Cuál sería el tamaño de la muestra?

El término del error es, / 2ˆ ˆ(1 )p pz

nα− , queremos que sea menor que 0,01, por tanto


CURSO 2.001-2.002 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE


/ 2ˆ ˆ(1 ) 0,01

0,369·(1 0,369)1,89 0,01

0,2331,89 0,01

0,233 0,011,89

p pzn

n

n

n

α−

<

−<

<

<

2

0, 233 0,0053

0, 233 0,0053

0, 233 0,000028

0, 233 8321, 43 83220,000028

n

n

n

n

<

<

<

= = ≅

2.- Una fábrica de coches lanza al mercado el modelo “Mathe” del que se sabe que sus pesos siguen una distribución normal de media 3.100 kilos y una desviación típica de 130 kilos.

Datos del problema: X = ”Peso de un coche modelo Mathe”

(3100,130)X N≈

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al comprar un coche Mathe, pese más de 3.130 kilos? Nos piden la probabilidad, ( 3130)P X > , primero tipificaremos y luego buscamos la probabilidad correspondiente en la N(0,1).

( )3100 3130 3100( 3130) 0.23 0,4090130 130

XP X P P Z− − > = > = > =

b) ¿Qué distribución seguirá la media de las muestras de tamaño 100 de coches Mathe?

La media, X , de una muestra de tamaño n, de normales independientes de media µ y desviación

típica σ, sigue una distribución, ,Nnσµ

, en nuestro caso es:

( )1303100, 3100,13100

X N X N ≈ ⇒ ≈

c) ¿Cuál será la probabilidad de que al comprar un coche pese más de 2900 kilos y menos

de 3500? Nos piden la probabilidad, (2900 3500)P X< < , primero tipificaremos y luego buscamos la probabilidad correspondiente en la N(0,1).

( ) ( ) ( )( ) ( )

2900 3100 3100 3500 3100(2900 3500)130 130 130

1,54 3,08 1 3,08 1,54

1 3,08 1,54 1 0,001 0,0618 0,9381

XP X P

P Z P Z P Z

P Z P Z

− − − < < = < > =

= − < < = − > − < − =

= − > − > = − − =

3.- Una empresa fabrica, entre otros, un tipo de artículo que vende a 520 € la unidad. Los costes de producción que tiene la empresa en la fabricación de dicho artículo vienen dados por la fórmula ( ) 2 20 40000C x x x= + + , en donde x representa las unidades producidas. Sabiendo que el beneficio que obtiene la empresa, con este artículo, es la diferencia de los ingresos menos el coste, se pide: a) Expresar, en función de las unidades de fabricación, el beneficio que obtiene la empresa

con dicho artículo. Representar gráficamente dicho beneficio. La función de beneficos es ingresos menos gastos, es decir,

2 2( ) 520· ( ) 520 ( 20 40000) 500 40000B x x C x x x x x x= − = − + + = − + −

b) ¿Cuántas unidades de dicho artículo se deben producir para que el beneficio sea máximo? En el gráfico, al ser una parábola, su máximo lo alcanza en el punto medio de sus dos raíces, no obstante, vamos a calcularlo. Derivamos la función de beneficios e igualamos a cero

'( ) 2 500; '( ) 0; 2 500 0 250f x x f x x x= − + = − + = ⇒ =

''( ) 2 0f x = − < , por tanto, 250x = es un máximo

4.- La entrada de un túnel tiene una superficie limitada por las rectas 4x = − , 4x = y la

parábola 21 162

y x= − + . Se pide:

a) Dibujar la superficie de la boca del túnel.

b) ¿Podría pasar por el túnel un vehículo de 20 metros de altura?

No ya que la altura máxima del túnel es de 16 metros.

c) ¿Podría pasar por el túnel un vehículo de ocho metros de ancho y 9 metros de alto? Si el vehículo tiene forma rectangular de 8x9 metros, en los extremos, el túnel solo tiene 8

metros de altura, 16 16 82

− + = , y por tanto NO pasaría por el túnel.

d) Calcular la superficie de la boca del túnel. La superficie de la boca del túnel es exactamente el area que hay bajo curva entre los puntos –4 y 4. Esto es la integral de la de la curva entre –4 y 4.

42 34

44

1 64 64 12816 16 64 64 128 106,672 2 3 6 6 6x xdx x

−−

− + = − + = − + − − = − + =

∫

5.- Se tiene la función objetivo ( ), 3 4f x y x y= + y las restricciones: 0; 0; ; 2x y x y x y≥ ≥ ≤ + ≥

Se pide: a) Representar la región de posibles soluciones.

b) Hallar el punto de la región donde la función objetivo se minimiza.

La región sólo tiene dos puntos extremos, el (0,2) y el (1,1), al querer minimizar desplazamos la función objetivo en la dirección (-3,-4). La función objetivo evaluada en los dos puntos extremos da:

(0, 2) 3·0 4·2 8(1,1) 3·1 4·1 7

ff

= + == + =

con lo cual el mínimo lo alcanza en el punto (1,1)

c) ¿Puede alcanzar la función objetivo el máximo en esa región?

No ya que la región es no acotada en la dirección del gradiente, (3,4).

( ) 3 4f x x y= +

2y x= −

Región Factible

y x=

( ) 3 4f x x y= +

x +y=2

Prueba B

1.- Se quiere hacer una encuesta entre los jóvenes para ver lo que se gastan los sábados. Suponiendo que dicho gasto es una variable normal, se pide: a) Hallar el tamaño de la muestra suponiendo que la desviación típica es igual a 10,75, el

nivel de significación es del 3% y el error máximo admitido es de 2 euros. Datos del problema:

/ 2; / 2 0.015;10,75; 2; 0,03 2,17zE αασ α == = = =

/ 2 0,01510,75 10,752 2,17 2

23,3275 23,32752 11,66382

136,043 137

z E zn n n

n nn

n

ασ

< ⇒ < ⇒ < ⇒

⇒ < ⇒ < ⇒ > ⇒

⇒ > ≅

b) Si el nivel de confianza aumenta ¿como afecta al tamaño de la muestra? Justifica la

respuesta tomando como nivel de confianza el 99%. Si se aumenta el nivel de confianza, se tiene que aumentar el tamaño muestral para seguir cometiendo el mismo error máximo.

Datos del problema: 10,75; 2; 0,01; / 2 0,005;Eσ α α= = = =

0,005z , se obtiene interpolando entre los puntos (2,57 , 0,00508) y (2,58 , 0,00494). O bien, aunque es algo menos preciso, tomar el mas próximo a 0,005, que en este caso es 2,58.

/ 2 0,00510,75 10,752 2,58 2

27,735 27,7352 11,86752

192,308 193

z E zn n n

n nn

n

ασ

< ⇒ < ⇒ < ⇒

⇒ < ⇒ < ⇒ > ⇒

⇒ > ≅

2.- Se realizan 100 lanzamientos de una moneda, correctamente fabricada, y se observa que sólo en 36 ocasiones ha salido cruz: a) Con un nivel de confianza del 99%, ¿el resultado anterior permite rechazar la hipótesis

de que la probabilidad de obtener cruz es de 12

?

Se nos plantea un contraste de hipótesis de la forma:

0 0

1 0

::

H p pH p p

= ≠

Para este contraste la región de aceptación es:

R.A.=( ) ( )0 0 0 0

0 / 2 0 / 2

1 1,

p p p pp z p z

n nα α

− − − +

Si ˆ . .p R A∈ aceptamos la hipótesis nula y caso contrario la rechazamos. Datos del problema:

0 0,00536ˆ100; 0,36; 0,5; 0,01; / 2 0,005; 2,58

100n p p zα α= = = = = = =

( ) ( ) ( )0,5 1 0,5 0,5 1 0,5

. . 0,5 2,58 , 0,5 2,58 0,371 , 0,629100 100

R A − − = − + =

Como ( )0,36 0.371, 0.629∉ rechazamos la hipotesis nula. b) ¿Qué conclusión podemos sacar si se obtienen 42 cruces en 100 lanzamientos?

Datos del problema:

0 0,00542ˆ100; 0,42; 0,5; 0,01; / 2 0,005; 2,58

100n p p zα α= = = = = = =

( ) ( ) ( )0,5 1 0,5 0,5 1 0,5

. . 0,5 2,58 , 0,5 2,58 0,371 , 0,629100 100

R A − − = − + =

Como ( )0, 42 0.371, 0.629∈ aceptamos la hipótesis nula.

3.- La estatura de los estudiantes de 2º de bachillerato en la Comunidad Autónoma de Canarias sigue una normal ( )170,15N . Se pide: a) Si consideramos muestras de 144 estudiantes ¿cuál es la distribución de la variable

media muestral? La media, X ,de una muestra de tamaño n, de normales independientes de media µ y

desviación típica σ, sigue una distribución, ,Nnσµ

, en nuestro caso es:

( )15170, 170,1.25144

X N X N ≈ ⇒ ≈

b) Calcular la probabilidad de que, en una muestra de 144 estudiantes, la estatura media

sea mayor que 180 centímetros.

( )170 172 170( 180) 1,6 0,05481,25 1,25

XP X P P Z − −> = > = > =

c) Calcular a partir de qué valor se encuentra el 15% de las estaturas medias superiores.

Tenemos que encontrar un valor 0x de manera que 0( ) 0,85P X x> =

00

0 0 00,15

0

170170( ) 0,15 0,151, 25 1, 25

170 170 1700,15 1,04

1, 25 1, 25 1, 25170 1,04·1, 25 171.3

xXP X x P

x x xP Z z

x

− −> = ⇒ > = ⇒

− − −

⇒ > = ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = + =

4.- En una potabilizadora se pueden producir ( )P x toneladas de agua potable si se emplean un número x de trabajadores. Si la producción de las toneladas de agua viene dada por la fórmula ( ) ( )60P x x x= − , se pide: a) ¿Cuántos trabajadores tienen que contratar para que la potabilizadora produzca lo

máximo posible? Tenemos que derivar e igualar a cero la función de producción ( ) 2 60P x x x= − +

( ) ( )' 2 60 ' 0 2 60 0 30P x x P x x x= − + ⇒ = ⇒ − + = ⇒ =

( )'' 2P x = − , quiere decir que en 30x = hay un máximo.

b) Hacer la gráfica de la producción y averiguar a partir de cuántos trabajadores la empresa tiene que dejar de producir.

A partir de 60 trabajadores la empresa tiene que dejar de producir.

5.- Una empresa compra 5.400 barriles de petróleo de tres tipos. El tipo A lo compra a 27 € el barril, el petróleo del tipo B a 28 € y el del tipo C a 31 €, el barril. El precio total asciende a 156.000 €. Si el primer suministrador vende a la empresa el 30% del total, se pide: a) Plantear las ecuaciones que correspondan al enunciado.

5400 540027 28 31 15600 27 28 31 15600

30 16205400100

A B C A B CA B C A B C

AA

+ + = + + = + + = ⇒ + + = = =

b) ¿Cuál es la cantidad de petróleo de cada tipo comprado?

54005400 1620

27 28 31 1560028 31 15600 43740

1620

3780 28 28 10584028 31 112260 28 31 112260

3 112260 105840 6420 2140

3780 1640

A B CB C

A B CB C

A

B C B CB C B C

C C

B C B

+ + =+ = −

+ + = ⇒ ⇒ + = − =

+ = − − = − ⇒ ⇒ ⇒ + = + =

⇒ = − = ⇒ =

= − ⇒ =

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (comomáximo) a cuatro de las cinco preguntas.- Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5

Prueba A

1.- Para hacer un estudio sobre el precio/día de una habitación doble en hoteles de cuatro estrellasen Canarias, se elige una muestra de 64 de estos hoteles y se obtiene un precio/día medio de 56 €con una desviación típica de 6 €. Se pide:a) Determinar el intervalo de confianza para el precio/día medio de una habitación doble en un

hotel de cuatro estrellas en Canarias con un nivel de confianza del 97%.b) Hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar para que el error máximo sea de 2€, con un

nivel de significación del 1%.Solución

a) Intervalo de confianza 2 2

,x z x zn nα ασ σ

− +

. Sustituyendo:

[ ]6 656 2,17 ,56 2,17 54,3725, 57,627564 64

− + =

b)2

2znασ < ; es decir

2

2 2n zα

σ >

, con 2

2,575zα = , 6σ = . Por tanto:

2 2

2

62,575 59,6756252 2

n zασ > = =

2.- Los servicios de deportes de una ciudad afirman que, al menos, el 25% de los jóvenes, conedades entre los 14 y los 20 años, practica algún tipo de deporte. Sin embargo, el concejalresponsable afirma que la proporción de practicantes es menor. Para tratar de comprobarlo, encargóuna encuesta realizada a 450 jóvenes con edades entre los 14 y 20 años, resultando que 345 nopracticaban ningún deportea) ¿Se puede aceptar la afirmación del concejal si se toma un nivel de significación del 6%?b) ¿Se daría la misma respuesta si el estudio se hace con un nivel de confianza del 99%?

Solucióna) El contraste que se debe plantear es:

0 0:H p p≥

1 0:H p p<Región crítica:

0 00 1

(1 )ˆ p pp p znα−−− <


CURSO 2.002-2.003 - CONVOCATORIA:


con 105ˆ 0,233450

p = = , 0,94 1,555z = − y 0 0, 25p = . Sustituyendo:

0, 25(0,75)0,017 0,233 0,25 1,555 0,031741450

− = − ≥ − = −

Por ello, no se rechaza 0H .

b) Si 0,01α = , 2,32zα = y 0, 25(0,75)0,017 0,233 0,25 2,32 0,047356450

− = − ≥ − = − . Por tanto, la

conclusión es la misma.

3.- Una empresa de transporte estima que sus ganancias (en miles de euros) durante los próximos

años seguirán la fórmula ( ) 64000 50005 5

tg tt+=+

, en donde la variable 1,2,3, 4,5,....t = representa

el tiempo en años medido a partir del presente..a) Hallar las ganancias correspondientes a los años primero y quinto.b) Determinar si las ganancias aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Razonar la

respuesta.c) ¿Se estabilizan las ganancias cuando t crece? ¿Hacia qué valor? Razonar la respuesta.Solución

a) ( ) 64000 50005 5

tg tt+=+

, (1) 6900g = miles de euros, 8900(5) 2966,663

g = = miles de euros.

b) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

5000 5 5 5 64000 5000 295000'5 5 5 5

t tg t

t t

+ − + −= =+ +

Es decir, cuando 0t > , '( ) 0g t < . Por

ello ( )g t decrece cuando 0t > aumenta.

c) ( ) 64000 5000lim lim 10005 5t t

tg tt→∞ →∞

+= =+

4.- Una parcela de terreno (cuyo perímetro está expresado en metros) está determinada por las

inecuaciones 32y ≤ e 2

2xy ≥ . Se pide:

a) Dibujar la parcela.b) Calcular el precio de la parcela si se vende a 300 € el metro cuadrado.c) Si se quiere hacer un intercambio con otra parcela cuadrada con la misma superficie ¿cuántos

metros de lado tendría el nuevo terreno?Solucióna)

a)

b) Ár

c) La

5.- Dislas represon laa) Pb) DSoluca)

2

2

x yy

xz

+=

=

b) La

88 23

8 8

1 102432 322 6 3xea dx x x

− −

= − = − = ∫ . Precio=102400 €

1024 18.473

do = = metros

urante una hora, una agencia de viajes vende un total de 30 billetes de avión con destino a lasde La Palma, Gran Canaria y Lanzarote. Sabiendo que los billetes para Gran Canaria

sentan el doble de los emitidos para las otras dos islas, y que los correspondientes a Lanzarote mitad de los emitidos para La Palma más cuatro:

lantear el correspondiente sistema de ecuaciones.eterminar el número de billetes para cada una de las tres islas.ión

( )

3 30 2030 2 2 310 6 42

44 62

y yy yzxx z x z x

xz z

+ = = ⇒ = + = + + = = ⇒ = = ++ =

solución del sistema es: 4, 20, 6x y z= = =

Prueba B

1.- El 25% de las viviendas de una determinada región tienen conexión a INTERNET. Se eligen 80viviendas de esa región y se pide:a) Probabilidad de que al menos 20 viviendas estén conectadas a INTERNET.b) Número esperado de viviendas no conectadas a INTERNET.c) Probabilidad de que el número de viviendas que están conectadas a Internet esté entre 10 y 30.Solución X = ”nº de viviendas con internet en una muestra de 80”

(80, 0.25)X B≈80, 0,25, 20, 15 3,8729n p np npq= = = = =

( )' 20,3.87X N≈a) ( 20) ( ' 20) ( 0) 0,5P X P X P Z≥ ≅ ≥ = ≥ =b) º 60n =

c) 10(10 30) 1 2 0,990215

P X P Z < < = − ≥ = 2.- La publicidad de una marca de un producto lácteo afirma que su duración es de, como máximo,15 días después de la fecha de su fabricación. Elegida una muestra de 64 unidades de ese productose observa que el tiempo medio de duración ha sido de 16 días con una desviación típica de 2 días:a) ¿Se puede decir que la publicidad es correcta con un nivel de significación del 5%?b) ¿ Se concluiría lo mismo si la desviación típica fuera igual a 4 y el nivel de confianza igual al

99%?Solucióna) Si 0 15µ = , el contraste que se ha de plantear es:

0 0 0

1 0 1

: : 15: : 15

H HH H


→ > >

La región crítica es: 0x znασµ− > . Sustituyendo: 21 16 15 1,645 0,41125

8= − > = . Por tanto, se

rechaza la hipótesis nula.La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el estadístico

de prueba, 0xz

n

µσ−

= y ver si cae en la región de rechazo, que para este test unilateral es:

R.R.= ( ) ( ), 1.64 ,zα ∞ = ∞ .16 15 4

264

z −= = ; como ( )4 1.64,∈ ∞ , rechazamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos 15µ = .

b) Si 0,01α = , entonces 2,32zα = y 41 16 15 2,32 1,168

= − ≤ = . En este caso, no se rechaza la

hipótesis nula.

3.- En un estudio sobre la longevidad de los habitantes de una comunidad se contabilizan 121personas para las que se obtiene una media de 79,5 años de vida.a) Si se maneja una desviación típica igual a 3,5 años y un nivel de significación del 3%, construirel intervalo de confianza para la longevidad media de los habitantes de la comunidad.

b) Con la misma desviación típica del apartado anterior y con un nivel de confianza del 99%, ¿Cuáldebería ser el tamaño de la muestra para que la amplitud del intervalo de confianza sea igual a 1años?

Solución


,x z x zn nα ασ σ

− +

. Sustituyendo:

[ ]3,5 3,579,5 2,17 ,79,5 2,17 78,8095, 80,1904121 121

− + =

b)2

0,5znασ < ; es decir

2

2 0,5n zα

σ >

, con 2

2,575zα = , 3,5σ = . Por tanto:

2

2

324,900625 3250,5

n zασ

> = ≅

4.- El precio en euros de un artículo perecedero, que empieza a venderse el primer día de undeterminado mes, varía con el tiempo (en días) según la fórmula siguiente:

( ) 2

8 si 0 t 44

2 5 si 4<t 104

t

P tt t

+ ≤ ≤= − + + ≤

Se pide:a) ¿Cuál es el precio inicial del artículo?b) Dibujar la gráfica de ( )P t entre el día 1 y el 10.c) ¿En qué periodo de tiempo aumenta el precio?d) ¿Cuál es el precio máximo que alcanza el artículo y en qué día se obtiene?

Solucióna) (0) 8P = €b)

c) En

d) El

los 4 primeros días. 1'( )4

P t =

cuarto día. (4) 9P = .

5.- Un veterinario desea dar a sus animales una dieta que contenga un mínimo de 30 unidades depienso tipo A y 20 unidades de pienso tipo B. En el mercado se encuentran dos productos (P1 y P2 )que se elaboran con dichos piensos. Cada bolsa de P1, que cuesta 2,5 €, contiene 4 unidades de A y2 unidades de B, mientras que cada bolsa de P2 , cuyo costo es de 3,25 €, contiene 5 unidades de Ay 5 unidades de B.¿Qué cantidad de P1 y P2 deberá comprar para que la dieta sea de coste mínimo?SoluciónSean 1p = cantidad de 1P (bolsas) que ha de comprar y 2p = cantidad de 2P (bolsas) que ha decomprar.El problema que se habrá de plantear es:

La solución óptima es 1 25, 2p p= = . 19z = .

1 2

1 2

1 2

1 2

min 2,5 3,5. : 4 5 30

2 5 20 0, 0

p ps a p p

p pp p

++ ≥+ ≥≥ ≥

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) acuatro de las cinco preguntas.

- Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5

PRUEBA A1. En una piscifactoría, se inició un cultivo con 90 ejemplares, de los cuales 64 llegaron a la edad adulta.De los que llegaron a la edad adulta, el peso medio fue de 3,1 kilos con una desviación típica de mediokilo.a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de ejemplares que llegan a la edad adulta, con

un nivel de confianza del 90%. El intervalo de confianza para una proporción es

( ) ( )

/ 2 / 2


p p p pp z p z

n nα α

− − − +

Datos del problema:

/ 2 0,0564ˆ90; 0,71; 0,1; 1,6490

n p z zαα= = = = = =

( )0.71(1 0.71) 0.71(1 0.71)0.71 1.64 , 0.71 1.64 0.6315 , 0.788490 90

− −− + = b) Obtener un intervalo de confianza para el peso medio que alcanzan los ejemplares que llegan a la edad

adulta, con un nivel de confianza del 95%.El intervalo de confianza para una media muestral es:

/ 2 / 2,x z x zn nα ασ σ − +

Datos del problema:

0,02564; 3,1; 0,1; 0,05; / 2 0,025; 1,96n x zσ α α= = = = = =

( )/ 2 / 20,5 0,5, 3,1 1,96 , 3,1 1,96 3,1 0.1225 (2.975,3.225)64 64

x z x zn nα ασ σ − + = − + = ± =

2. Un fabricante de bombillas garantiza que el tiempo de duración de las bombillas sigue una normal demedia 500 horas y desviación típica de 40 horas.a) Calcular la probabilidad de que una bombilla elegida al azar dure más de 450 horas.

X = ” Duración de una bombilla”;( )500, 40X N≈


CURSO 2002-2.003 - CONVOCATORIA:


La probabilidad de que una bombilla dure más de 450 horas es:

( ) ( ) ( )500 450 500450 1.25 1 1.25 1 0.1056 0.894440 40

XP X P P Z P Z− − > = > = > − = − > = − =

b) Calcular la probabilidad de que si se eligen 25 bombillas al azar la duración media sea mayor que 510horas.La media, X , de la duración de 25 bombillas sigue una normal de media 500 y desviación típica

40 825

= , es decir, ( )500, 8X N≈

( ) ( )500 514 500514 1.75 0.04018 8

XP X P P Z − −> = > = > =

c) Para verificar lo que nos dice el fabricante en cuanto a la media de la duración, se hizo una prueba con49 bombillas obteniéndose una media muestral de 492 horas. ¿Podemos aceptar que la media deduración es de 500 horas, con un nivel de confianza del 90%?

Se nos plantea un contraste de hipótesis:

0 0 0

1 0 1

: : 500: : 500

H HH H

µ µ µµ µ µ= =

→ ≠ ≠

Para este contraste, la región de aceptación es R.A.= 0 / 2 0 / 2,z zn nα ασ σµ µ − +

Si . .x R A∈ aceptamos la hipótesis nula y en caso contrario la rechazamos.

Datos del problema:0 0,05492; 49; 500; 40; 0,1; / 2 0,05; 1.64x n zµ σ α α= = = = = = =

( )40 40. . 500 1.64 , 500 1.64 492.62, 509.3749 49

R A = − + =

Como ( )492 492.62, 509.37∈ aceptamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que 500µ =La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el estadístico

de prueba, 0xz

n

µσ−

= y ver si cae en la región de aceptación que para este test bilateral es:

R.A.= ( ) ( )/ 2 / 2, 1.64 , 1.64z zα α− = − ; 492 500 1.44049

z −= = − ;

como ( )1.4 1.64, 1.64− ∈ − , aceptamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que 500µ = .

3. Una empresa tiene dos fábricas, los gastos, en cientos de euros, de cada fabrica en función del númerode trabajadores se obtienen según las funciones:

2( ) 2 12 14; 2f x x x x= + − ≥

2( ) 18 2; 2g x x x x= + + ≥a) Si los ingresos, en cientos de euros, en función del número de trabajadores son ( ) 48h x x= . ¿Con que

número de trabajadores maximiza el beneficio la primera fábrica?

2 2

Beneficios = Ingresos - Gastos ( ) ( ) ( ) 48 (2 12 14) 2 36 14b x h x f x x x x x x= − = − + − = − + +

'( ) 4 36'( ) 0 9

b x xb x x

= − += ⇔ =

b) Si lo que se quiere es tener el mismo gasto en las dos fábricas, ¿con que número de trabajadores seconsigue?

2 2 22

( ) ( ) 2 12 14 18 2 6 16 08

xf x g x x x x x x x

x

= − = ⇔ + − = + + ⇔ − − = ⇔ =

4. Se quiere pintar la parte frontal de una pista de patinar, que tiene la forma:

3m 1.5m

1m

La curva interior está descrita por la parábola 2

( )9xf x =

a) ¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar en estaparte frontal?

b) Si se pinta también la parte trasera que es igual a lafrontal, y cada metro cuadrado lleva 0,25 litros depintura, que cuesta a 5 euros el litro ¿cuanto cuesta lapintura?

a) La superficie a pintar es el área bajo la parábola entre los puntos –3 y 3 junto con los dos rectánguloslaterales de 1,5 x 1

( )333 2

33

1 12(1,5 1) 3 3 1 1 59 9 3

xS x dx−

−

= × + = + = + + =

∫

b) Precio = 2 5 0.25 5 12.5× × × =

5. Se tienen que empaquetar 1500 unidades de un artículo en cajas de 5, 10 y 25 unidades, de manera quehaya el triple de cajas de 5 unidades que de 10 unidades y que en total haya 90 cajas. ¿cuántas cajas tieneque haber de cada tipo?

5 10 25 1500 90 903 3 0 4 90

90 5 10 25 1500 5 20 1050

90 90 1020 5 450 20 15 1350 3020 80 4200 75 3750 50

A B C A B C A B CA B A B B CA B C A B C B C

A B C A B C AB C B C BB C C C

+ + = + + = + + = = → − = → − − = − + + = + + = + =

+ + = + + = = → − − = − → − − = − → = + = = =

PRUEBA B1.-Una de las pruebas de acceso a la universidad para personas mayores de 25 años consiste en un test con100 preguntas, cada una de las cuales dos posibles respuestas, siendo sólo una de ellas correcta. Parasuperar esta prueba debe obtenerse, al menos, 60 respuestas correctas.

Si una persona contesta al azar, es decir, elige de forma aleatoria una de los dos respuestas posibles decada una de las 100 preguntas:a) ¿Cuál será el numero esperado de respuestas correctas?

Sea la variable, X=”nº de respuestas correctas en las 100 preguntas”, como la probabilidad deresponder correctamente una pregunta si se contesta al azar es p=0.5, se tiene que:

(100,0.5)X B≈Para una variable binomial, B(n,p), su valor medio esperado es n·p, en este caso 100·0.5 = 50.

b) ¿Qué probabilidad tendrá de superar la prueba?Nos piden calcular, ( )60P X ≥ , hacerlo directamente supondría los 41 casos del 60 hasta 100, o bienpor el complementario supondría los 60 casos del 0 hasta 59. En ambos casos el cálculo a realizar esmuy grande. Vamos a comprobar si se dan las condiciones para aproximar una binomial por unanormal ( )' · , · ·(1 )X N n p n p p≈ −

· 5(1 ) 5

n pn p

> − >

en este caso 100·0.5 50 5100(1 0.5) 50 5

= > − = >

por tanto se puede utilizar la aproximación.

X se distribuye aproximadamente igual que ( )' 50,5X N≈ .

( ) ( ) ( )' 50 59.5 5060 ' 59.5 1.9 0.02875 5

XP X P X P P z− − ≥ ≅ ≥ = > = > = Si no se hace corrección por continuidad

( ) ( ) ( )' 50 60 5060 ' 60 2 0.02285 5

XP X P X P P z− − ≥ ≅ ≥ = > = > =

2.-En una gran ciudad española la altura de sus habitantes tiene una desviación típica de 8 cm. Se pide:a) Si la altura media de dichos habitantes fuera 175 cm., ¿cuál sería la probabilidad de que la altura

media de una muestra de 100 individuos tomada al azar fuera superior a 176 cm?La media, X , de la altura de 100 individuos sigue una normal de media 175 y desviación típica

8 0.8100

= , es decir, ( )175,0.8X N≈

( ) ( )175 176 175176 1.25 0.10560.8 0.8

XP X P P Z − −> = > = > =

b) Si se considera una muestra aleatoria de 100 individuos de esta ciudad se obtiene una altura mediade 178 cm. Determina un intervalo de confianza del 95% para la altura media de los habitantes deesta ciudad.

El intervalo de confianza para una media muestral es:

/ 2 / 2,x z x zn nα ασ σ − +

Datos del problema:

0,025100; 178; 8; 0,05; / 2 0,025; 1,96n x zσ α α= = = = = =

( ) ( )/ 2 / 28 8, 178 1,96 , 178 1,96 178 1.56 176.43,179.56100 100

x z x zn nα ασ σ − + = − + = ± =

3.Según la ley electoral de cierto país, para obtener representación parlamentaria un partido político ha deconseguir, en las elecciones correspondientes, al menos el 5% de los votos.Próximas a celebrarse tales elecciones, una encuesta realizada sobre 1000 ciudadanos elegidos al azarrevela que 36 de ellos votarán al partido A.a) ¿Puede aceptarse, con un nivel de significación del 5% que A tendrá representación parlamentaria?

0 0 0

1 0 1

: : 0,05: : 0,05

H p p H pH p p H p

≥ ≥ → < <


0

10 ,

p pp z

nα

− −

Si ˆ . .p R R∈ rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos.Datos del problema:

0 0,0536ˆ1000; 0,036; 0,05; 0,05; 1,64

1000n p p zα= = = = = =

( ) ( )0,05 1 0,05. . 0 , 0.05 1.64 0 , 0.03869

1000R R

− = − =

Como ( )0,036 0 , 0.03869∈ rechazamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos que 0,05p ≥ .La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el estadístico

de prueba, 0

0 0(1 )p p

zp p

n

−=

− y ver si cae en la región de rechazo para este estadístico en este

contraste, que a un nivel de significación α =0.05, es, R.R.= ( ) ( ), , 1.64zα−∞ − = −∞ − .0,036 0,05 2.0310,05(1 0,05)

1000

z −= = −−

;

Como ( )2.031 , 1.64− ∈ −∞ − , rechazamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos que 0,05p ≥ .b) ¿y con un nivel de significación del 1%?

El estadístico sigue siendo 0,036 0,05 2.0310,05(1 0,05)

1000

z −= = −−

La región de rechazo para este estadístico en este contraste, con α =0.01, es,R.R.= ( ) ( ), , 2.33zα−∞ − = −∞ − .

Como ( )2.031 , 2.33− ∉ −∞ − , aceptamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que 0,05p ≥ .

4.- Un almacén de frutas para atender a sus clientes, debe tener almacenados un mínimo de 10 toneladasde naranjas y 20 toneladas de manzanas. El numero de toneladas de manzanas no debe ser inferior a lamitad del numero de toneladas de naranjas.Si la capacidad total del almacén es de 80 toneladas, el gastos de almacenaje de una tonelada de naranjases de 30 euros y el de una tonelada de manzanas es de 9 euros,a) ¿Cuántas toneladas habrá que almacenar para que el gasto sea mínimo?b) ¿Y máximo?

La función objetivo es ( , ) 30 9f x y x y= +Los puntos extremos de la región factible son( ) ( )0, 20 0, 20 9*20 180f→ = =

( ) ( )0,90 0,90 9*90 810f→ = =

( ) ( )40, 20 40, 20 30* 40 9* 20 1380f→ = + =

( ) ( )60,30 60,30 30*60 9*30 2070f→ = + =

Por tanto el máximo se alcanza en el punto ( )( , ) 60,30x y = con u

El mínimo se alcanza en el punto ( )( , ) 0, 20x y = con un gasto de

( , ) 30 9Min f x y x y= +90x y+ ≤

2 0x y− ≥

20y ≥

n gasto de 2070€.

180€.

. . : 902 0

20

s a x yx y

y

+ ≤− ≤

≥

5.-El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es 21 5 254

x x+ + y el precio

de venta de una de ellas está en función de la producción total es 50 -4x

euros por cada unidad.

a) Haya el precio de venta si se producen 12 unidades.b) Haya los ingresos de producir 12 unidades.c) Haya los beneficios de producir 12 unidades.d) Haya el número de unidades que deben venderse diariamente para el beneficio sea máximo.

a) 1250 - 474

= b) 47*12=564c)

2 2

2

1 1( ) 50 - 5 25 45 254 4 2

1(12) 12 45*12 25 4432

xb x x x x x x

b x

= − + + = − + −

= − + − =

d)

21( ) 45 252

'( ) 45'( ) 0 45(45) 987.5

b x x x

b x xb x xb

= − + −

= − += ⇔ ==

PRUEBA A 1. Se hizo una encuesta aleatoria entre 130 estudiantes universitarios, de los cuales 85 eran mujeres, sobre el número de horas que estudian diariamente fuera del aula, obteniéndose una media de 3,4 horas.

a) Si la desviación típica es de 1,1 horas, obtener un intervalo de confianza, al 98%, para la media del número de horas que estudian diariamente fuera del aula los estudiantes universitarios.

b) Obtener un intervalo de confianza, al 90%, para la proporción de mujeres entre los estudiantes universitarios.

Solución

a) [ ]2 2

1.1 1.1, 3.4 2.33 , 3.4 2.33 3.175, 3.625130 130

x z x zn nα α

σ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

b) ( ) ( )2 2


p p p pp z p z

n nα α

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) [ ]0.6538 1 0.6538 0.6538 1 0.65380.6538 1.645 ,0.6538 1.645 0.5852,0.7224

130 130

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− − =⎢ ⎥⎣ ⎦

2. Hace diez años, se hizo un amplio estudio y se concluyó que, como máximo, el 40% de los estudiantes universitarios eran fumadores. Para ver si actualmente se mantienen las mismas conclusiones, se tomó una muestra de 78 estudiantes entre los que 38 eran fumadores.

a) Con un nivel de significación del 10%, ¿Se acepta que el porcentaje de fumadores entre los universitarios es menor o igual que el 40%?

b) Se amplió la encuesta hasta 120 personas, y se obtuvo que 54 eran fumadores. Con un nivel de significación del 5%, ¿se tomaría la misma decisión que en el apartado anterior?

Solución Contraste:

0 0

1

: 0.4: 0.4

H p pH p

≤ =>

a) Región crítica: ( ) ( ) { }0 0

01 0.4 1 0.4

ˆ ˆ ˆ0.4 1.28 0.47178

p pp p z p p

nα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

.

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E. / L.O.C.E.

CURSO 2003- 2004 CONVOCATORIA:

MATERIA: Matemáticas Aplicadas a las CC SS

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas.


Como 38ˆ 0.4871778

p = = se rechaza 0H .

b) Región crítica: ( ) ( ) { }0 0

01 0.4 1 0.4

ˆ ˆ ˆ0.4 1.645 0.473120

p pp p z p p

nα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

.

Como 54ˆ 0.45120

p = = no se rechaza 0H .

3. En una pared azul de 8 metros de altura, se quiere pintar de blanco la figura que encierran las funciones 2 2( ) 3 4 y ( ) 2 3 4f x x x g x x x= − + + = − + , ambas definidas en metros.

a) ¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar de blanco? b) Si la pared tiene 23 metros de longitud y se quiere repetir esa figura dejando 5 metros entre

figura y figura, ¿cuánto costaría pintar las figuras, si cada metro cuadrado de blanco cuesta 2 euros?

Solución

a) Ambas funciones son parábolas, la primera con vértice en x = 1,5 y raíces en x = -1 y x = 4 y la segunda con vértice en x = 0,75 y no tiene raíces reales. Para obtener los puntos de intersección igualamos ambas funciones

2 2 2 03 4 2 3 4 3 6 0

2x

x x x x x xx

=⎧− + + = − + ⇒ − + = ⇒ ⎨ =⎩

Los puntos de intersección son (0,4) y (2,6)

a) Para calcular el área que encierran tenemos que resolver la integral

( )2 2 22 2 2 3 2 2

00 03 4 2 3 4 3 6 ( 3 ) 4Area x x x x dx x x dx x x m⎤= − + + − − + = − + = − + =⎦∫ ∫

b) La figura habrá que repetirla 4 veces, entre los metros 0 y 2, 7 y 9, 14 y 16, 21 y 23 Costo 4 4 2 32= × × = € 4. Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería, de manera que la portería tenga la máxima superficie interior posible.

a) ¿Qué longitud deben tener los postes y el larguero? b) ¿Qué superficie máxima interior tiene la portería?

Solución Si x e y, son, respectivamente, las longitudes de los postes y del larguero de la portería,

se debe verificar que .x y sea máximo con la condición de que 2 10x y+ = . Despejando

10 2y x= − , debe hacerse máxima ( )( ) 10 2A x x x= − . Como '( ) 10 4 0 2.5A x x x= − = ⇒ = , siendo ''( ) 4 0A x = − < , tenemos que las dimensiones que hacen máxima la superficie son: 2.5, 5x y= =

La superficie máxima es 12.5 metros cuadrados. 5. Juan, Pedro y Luis, corren a la vez en un circuito. Por cada kilómetro que recorre Juan, Pedro recorre 2 kilómetros y Luis recorre tres cuartas partes de lo que recorre Pedro. Al finalizar la suma de las distancias recorridas por los tres, fue de 45 kilómetros, ¿cuántos kilómetros recorrió cada uno? Solución

x = “Distancia que recorre Juan” y = “Distancia que recorre Pedro” z = “Distancia que recorre Luis” 2 2 0 453 3 4 0 3 4 04

45 2 045

45 45 45 103 4 0 3 4 0 3 4 0 20

2 0 3 2 90 6 90 15

y x x y x y zz y y z y z

x y z x yx y z

x y z x y z x y z xy z y z y z y

x y y z z z

= ⎫ − + = + + =⎫ ⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⇒ − = ⇒ − = ⇒⎬ ⎬ ⎬⎪ ⎪ ⎪+ + = − + =⎭ ⎭+ + = ⎪⎭

+ + = + + = + + = =⎫ ⎫ ⎫ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =⎬ ⎬ ⎬ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪− + = + = = =⎭ ⎭ ⎭ ⎭

x

y

PRUEBA B

1. En un centro comercial se sabe que el 35% de los clientes pagan con tarjeta. a) Si en una caja han pagado 120 clientes, ¿cuál es el número esperado de clientes que no han

pagado con tarjeta? b) Si en una caja han pagado 200 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que hayan pagado con

tarjeta entre 60 y 85 clientes? c) Si en una caja han pagado 400 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 260 no lo

hayan hecho con tarjeta? Solución a) X=”nº de clientes que pagan con tarjeta en una muestra de 120 clientes” (120,0.35)X B≈ Nº esperado de clientes que si han pagado con tarjeta = n·p=120·0,35=42 Nº esperado de clientes que NO han pagado con tarjeta = 120 – 42 = 78 b) Vamos a ver si se dan las condiciones para aproximar una binomial por una normal

( )' · , · ·(1 )X N n p n p p≈ −

· 5(1 ) 5

n pn p

> ⎫⎬− > ⎭

en este caso 200·0.35 70 5200·(1 0.35) 130 5

= > ⎫⎬− = > ⎭


La probabilidad que nos piden sobre X se puede aproximar por una probabilidad calculada sobre

( ) ( )' 70, 200·0.35·0.65 70,6.74X N N≈ = .

( ) ( ) ( )60 70 ' 70 85 7060 85 60 ' 85 1.48 2.22 0.91746.74 6.74 6.74

XP X P X P P Z− − −⎛ ⎞≤ ≤ ≅ ≤ ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Lo que se pregunta es equivalente a que menos de 140 hallan pagado con tarjeta. (400,0.35)X B≈ ( )' 140,9.53X N≈

( ) ( ) ( )140 ' 140 0 0.5p X p X p Z< ≅ < = < = 2. En un país se sabe que la altura de la población se distribuye según una normal cuya desviación típica es igual a10 centímetros.

a) Si dicha media fuera de 170 centímetros, calcular la probabilidad de que la media muestral, de una muestra de 64 personas, difiera menos de un centímetro de la media de la población.

b) ¿Cuál es el tamaño muestral que se debe tomar para estimar la media de la altura de la población con un error menor de 2 centímetros y con un nivel de confianza del 95%.

c) Y si, en el apartado anterior, aumentamos el nivel de confianza al 99%, ¿qué tamaño muestral se necesitará?

Solución

a) ,X Nn

σµ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∼ . En este caso, ( )170,1.125X N∼ y

X = ”Altura de una persona” ( )170,10X N∼

X = ”Media de la altura de una muestra de 64 personas”

,X Nn

σµ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∼ ; ( )10170, 170,1.2564

X N N⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∼

Piden calcular

( ) ( )169 170 170 171 170169 171 0.8 0.8 0.57621.25 1.25 1.25

XP X P P Z⎛ ⎞− − −< < = < < = − < < =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 2

2

10 101.96 2 1.96 96.04 972

z nn nα

σ ⎛ ⎞= < ⇒ > = ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 2

2

10 102.57 2 2.57 165.12 1662

z nn nα

σ ⎛ ⎞= < ⇒ > = ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

3. En una máquina, en la que se ha roto el indicador de la longitud de las piezas que esta fabricando, se sabe que la desviación típica de la longitud de las piezas que produce es de 0,2 cm. Un trabajador cree que la máquina estaba regulada para fabricar piezas de una longitud media igual a 5 cm.

a) Si se toma una muestra de 16 piezas y se obtiene una media de 5,12 cm., con un nivel de significación del 5%, ¿se acepta la hipótesis del trabajador frente a la hipótesis de que la máquina estaba regulada para fabricar piezas de una longitud mayor?

b) Si la media muestral del apartado anterior se hubiese obtenido de una muestra de tamaño 36 y el nivel de significación fuera del 1%, ¿aceptaríamos la hipótesis del trabajador frente a la hipótesis de que la máquina está regulada para fabricar piezas de una longitud mayor?

Solución El contraste que hay que plantear es:

0 0

1

: 5: 5

HH

µ µµ

≤ =>

a) 0 0,055.12; 16; 5; 0.2; 0,05; 1.645x n zµ σ α= = = = = =

Región crítica: { }00.25 1.645 5.0822516

x z x xnα

σµ⎧ ⎫ ⎧ ⎫> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

. Se rechaza 0H .

b) 0 0,015.12; 16; 5; 0.2; 0,01; 2.33x n zµ σ α= = = = = =

Región crítica: { }00.25 2.33 5.07836

x z x xnα

σµ⎧ ⎫ ⎧ ⎫> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

. Se rechaza 0H .

4. Un comercio abre sus puertas a las nueve de la mañana, sin ningún cliente, y las cierra cuando se han marchado todos. La función que representa el número de clientes, dependiendo del número de horas que lleva abierto, es 2( ) 8C h h h= − + . El gasto por cliente decrece a medida que van pasando horas desde la apertura y sigue la función ( ) 300 25g h h= −

a) ¿En que hora se produce la mayor afluencia de clientes? b) ¿Cuánto gasta el último cliente? c) ¿Cuando hay mayor recaudación, en la cuarta o en la quinta hora?

Solución a) Derivamos la función que representa el nº de clientes e igualamos a cero y se obtiene 4h = luego como abre a las 9, es a las 13 horas b) Como el comercio cierra después de 8 horas de abierto, (8) 200g = es el gasto del último cliente c) La recaudación en la cuarta hora es (nº de clientes) por (gasto por cliente), es decir,

( ) 2(4)· 4 ( 4 8·4)(300 25·4) 16·200 3200C g = − + − = = La recaudación en la cuarta hora es

( ) 2(5)· 5 ( 5 8·5)(300 25·5) 15·175 2625C g = − + − = =

Luego se recauda más en la cuarta hora. 5. Una tienda de café recibe 700 kilos de café natural y 800 kilos de café torrefacto. Envasa paquetes de un kilo con dos tipos de mezcla: el tipo A con medio kilo de café natural y medio kilo de café torrefacto, y el tipo B con un cuarto kilo de natural, y tres cuartos kilos de torrefacto. La ganancia por cada kilo de mezcla del tipo A es de un euro, y por cada kilo del tipo B es de dos euros. Determinar los paquetes de cada tipo de mezcla que deben prepararse para obtener la ganancia máxima. Solución Modelo de Programación lineal:

La función objetivo es ( , ) 2f a b a b= + Los puntos extremos de la región factible son ( ) ( )0,0 0,0 1·0 2·0 0f→ = + =

3200 3200 32000, 0, 1·0 2· 2133.33 3 3

f⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )1300, 200 1300, 200 1·1300 2·200 1700f→ = + =

Por tanto el máximo se alcanza en el punto 3200( , ) 0,3

a b ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

con una ganancia de 2133.3 euros.

max 2

. : 7002 4

3 8002 4

0, 0

a ba bs a

a b

a b

+

+ ≤

+ ≤

≥ ≥

Prueba A

1. Se supone que el tiempo de reacción de un conductor, ante un obstáculo imprevisto, sigue una distribución normal con desviación típica 0,05 segundos. a) Si se quiere conseguir que el error de estimación de la media no supere los 0,01 segundos, con un nivel de confianza del 99 %, ¿qué tamaño mínimo ha de tener la muestra de tiempos de reacción? b) Se toma una muestra de 100 tiempos de reacción y se obtiene una media muestral igual a 0,03 segundos. Determinar el correspondiente intervalo de confianza cuyo nivel de confianza es igual a 0,96. Solución

a) 2

2

0.05 0.052.58 0.01 2.58 166.41 1670.01

z E nn nα

σ ⎛ ⎞< ⇒ < ⇒ > = ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Intervalo de confianza: 0,02100; 0,03; 0,05; 0,04; / 2 0,02; 2,05n x zσ α α= = = = = =

[ ]2 2

0.05 0.05, 0.03 2.05 , 0.03 2.05 0.019725, 0.040275100 100

x z x zn nα α

σ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

2. Los responsables de educación de una comunidad trabajan con la hipótesis de que, al menos, el 78% de los padres son favorables a la introducción de la segunda lengua extranjera en el primer curso de Primaria. Encuestados 1024 padres elegidos al azar, 776 están a favor. a) ¿Se puede aceptar la hipótesis de trabajo con un nivel de significación del 10%? b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera igual a 0,01? Solución Contraste:

0 0

1

: 0.78: 0.78

H p pH p

≥ =<

a) Región crítica: ( ) ( ) { }0 00 1

1 0.78 1 0.78ˆ ˆ ˆ0.78 1.28 0.7634

1024p p

p p z p pnα−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪< − = < − = <⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

.

Como 776ˆ 0.75781024



CURSO 2003- 2004 CONVOCATORIA:

MATERIA: Matemáticas Aplicadas a las CC SS



b) Región crítica: ( ) ( ) { }0 00 1

1 0.78 1 0.78ˆ ˆ ˆ0.78 2.33 0.7498

1024p p

p p z p pnα−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪< − = < − = <⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

.

Como 776ˆ 0.75781024

p = = , no se rechaza 0H .

3. El número de flexiones por minuto que es capaz de hacer una persona que empieza su entrenamiento en un gimnasio, viene dado por la función:

36 8( )2

xf xx

+=+

siendo x = “días de entrenamiento” y ( )f x = “número de flexiones”. a) ¿Es ( )f x una función creciente? ¿Por qué?? b) ¿Cuántos días de entrenamiento son necesarios para hacer 28 flexiones por minuto? c) ¿Hacia qué valor se aproxima el número de flexiones cuando crece el número de días de entrenamiento? Solución a) Tenemos que estudiar el signo de la derivada de ( )f x .

( )( ) ( )2 2

36 2 36 8 64'( ) 02 2

x xf x

x x

+ − −= = >

+ +. Por tanto, la función es creciente.

b) Tenemos que resolver la ecuación ( ) 28f x =

36 8 28 36 8 28 56 8 48 62

x x x x xx

+ = ⇒ + = + ⇒ = ⇒ =+

c) 36 8lim 362x

xx→∞

+ =+

flexiones

4. Una hoja de papel debe contener 18 centímetros cuadrados de texto impreso. Si los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm. cada uno y los márgenes laterales 1cm., ¿cuáles son las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo? Solución Si x e y, son, respectivamente, el ancho y el largo de la hoja, se debe verificar que ( ), .A x y x y= sea

mínimo con la condición de que ( )( )2 4 18x y− − = .

Despejando 18 24

xy

= +−

, debe hacerse mínima 18 18( ) 2 24 4

yA y y yy y

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

. Como

( )( )

( )2 22

18 4 18'( ) 2 0 2 4 72 0 2 16 40 0 10

4

y yA y y y y y

y

− −= + = ⇒ − − = ⇒ − − = ⇒ =

−, siendo

''(10) 0A > , tenemos que las dimensiones que hacen mínimo el gasto de papel son: 5, 10x y= = . Otra forma de resolverlo puede ser: Siendo x el ancho del texto e y el alto del texto, el folio debe tener dimensiones (x+2) de ancho por (y+4) de alto. Se quiere minimizar la función ( )( )( , ) 2 4f x y x y= + + sujeto a la condición · 18x y =

Despejando “y” en la condición se tiene que 18yx

=

Lo sustituimos en la función y queda 218 4 26 36( ) ( 2) 4 x xf x x

x x+ +⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ y que tenemos que

24 26 36

x

x xMinx

+ +

Derivando e igualando cero se obtiene

2

24 36'( ) 0 3 3xf x x x

x−= = ⇒ = ± ⇒ =

Haciendo la derivada segunda

372 72''( ) ''(3) 0

27f x f

x= ⇒ = > Luego es un mínimo

llevándolo a la condición se obtiene que 18 63

y = =

Las dimensiones de la hoja serán 5 por 10 5. Una empresa de juguetes fabrica bicicletas, triciclos y coches en los que utiliza un mismo modelo de ruedas. Se sabe que, en los 280 juguetes que va a fabricar, se necesitan 945 ruedas. Si se van a producir 10 bicicletas menos que triciclos. a) ¿Cuántos coches, bicicletas y triciclos se fabricarán? b) Si las bicicletas se venden a 65€, los triciclos a 75€ y los coches a 90€, ¿cuál es el valor total de los juguetes producidos? Solución a) El sistema de ecuaciones es:

2802 3 4 945

10

b t cb t c

b t

+ + =+ + =

= −

280 280 280 280 552 3 4 945 2 385 2 385 2 385 65

10 10 2 290 3 480 160

b t c b t c b t c b t c bb t c t c t c t c t

b t b t t c c c

+ + = + + = + + = + + = =⎫ ⎫ ⎫ ⎫ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − − = − − − = − = =⎭ ⎭ ⎭ ⎭ ⎭

La solución es 55, 65, 160b t c= = = b) El valor es 55·65+65·75+160·90=22850€

Prueba B

1. El Director de Recursos Humanos de una compañía afirma que la edad de sus empleados tiene una media de 40 años y una varianza de 25 años. Si se pregunta la edad a 36 empleados elegidos al azar y se observa que la media de las edades de esta muestra es de 41,3 años: a) ¿Se puede aceptar la hipótesis de que la edad media de los empleados es de 40 años, frente a que

la edad media es mayor de 40 años, con un nivel de significación del 5 %? b) Construir un intervalo de confianza para la media de edad, con un nivel de confianza del 80%. Solución El contraste que hay que plantear es:

0 0

1

: 40: 40

HH

µ µµ

≤ =>

a) Región de aceptación:

{ }05 540 1.645 40 1.645 41.3708336 36

x z x x xnα

σµ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫≤ + = ≤ + = ≤ + = ≤⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

.

Como 41.3x = , se acepta 0H . b) 0,136; 41.3; 5; 0,2; / 2 0,1; 1,28n x zσ α α= = = = = =

[ ]2 2

5 5, 41.35 1.28 ,41.35 1.28 40.283, 42.41636 36

x z x zn nα α

σ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

2. Se sabe que el 40% de las mujeres embarazadas dan a luz antes de la fecha prevista. En un hospital, han dado a luz 125 mujeres en una semana. a) ¿Cuál es el número esperado de mujeres a las que se les retrasó el parto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 45 y 60 mujeres se les haya adelantado el parto? c) Si hubiese habido 61 partos adelantados y si el nivel de significación fuera igual a 0.02, ¿esto

haría rechazar la hipótesis de que el 40% de las mujeres dan a luz antes de la fecha prevista? Solución a) X=”nº de embarazadas que se les adelanta el parto en una muestra de 125”

(125,0.4)X B≈ Nº esperado de embarazadas que se les adelanta el parto = n·p =125·0,4=50 Nº esperado de embarazadas que se les retrasa el parto = 125 – 50 = 75 b) Vamos a ver si se dan las condiciones para aproximar nuestra binomial por una normal

( )' · , · ·(1 )X N n p n p p≈ −

· 5(1 ) 5

n pn p

> ⎫⎬− > ⎭

en este caso 125·0.4 50 5125·(1 0.4) 75 5

= > ⎫⎬− = > ⎭


La probabilidad que nos piden sobre X se puede aproximar por una probabilidad calculada sobre

( ) ( ) ( )' 50, 125·0.4·0.6 50, 30 50,5.47X N N N≈ = = .

( )

( ) ( ) ( )

45 50 60 5045 6030 30

0.91 1.82 1.82 0.91 0.9556 0.1814 0.7842

p X p Z

p Z p Z p Z

⎛ ⎞− −≤ ≤ = ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ≤ ≤ = ≤ − < − = − =

c) El contraste que se ha de plantear es: 0 0

1

: 0.4: 0.4

H p pH p

= =≠

La proporción muestral es 61ˆ 0,488125

p = = y la región de aceptación:

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

0 0 0 00 0

2 2

1 1 0.4 1 0.4 0.4 1 0.4, 0.4 2.33 ,0.4 2.33

125 125

0.2979,0.5021

p p p pp z p z

n nα α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + = − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

Como [ ]0.488 0.2979,0.5021∈ , se acepta 0H . 3. Se ha extraído una muestra de 145 alumnos de una escuela de bellas artes, a los que se les ha propuesto un test de habilidad, obteniéndose una media muestral de 84 puntos. Si la desviación típica es igual a 14 puntos: a) Construir un intervalo de confianza para la media, con un nivel de confianza del 95%. b) Con un nivel de confianza del 95%, ¿qué tamaño muestral deberíamos tomar si se quiere

estimar la media con error menor que 2 puntos? Solución a) Intervalo de confianza:

0,025145; 84; 14; 0,05; / 2 0,025; 1,96n x zσ α α= = = = = =

[ ]2 2

14 14, 84 1.96 , 84 1.96 81.721, 86.279145 145

x z x zn nα α

σ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

b) 2

2

14 141.96 2 1.96 188.238 1892

z E nn nα

σ ⎛ ⎞< ⇒ < ⇒ > = ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

4. La producción de una empresa (en unidades de un determinado producto), en función del número de trabajadores, “x”, es 2( ) 800 5 ; 0 120p x x x x= − ≤ ≤ . El precio de venta de cada unidad, en

función de la producción, es ( ) 400100

ph p = −

a) ¿Con que número de trabajadores se alcanza la producción máxima? b) Si hay 50 trabajadores, ¿cuál es el precio de venta de cada unidad producida? c) Que número de trabajadores es necesario para que el precio de venta de cada unidad sea 205. d) ¿Cuáles serían los ingresos con 100 trabajadores? Solución a) Tenemos que derivar la función de producción e igualar a cero

'( ) 800 10 0 80p x x x= − = ⇒ = ''( ) 10 80p x x= − ⇒ = es un máximo

b) 2(50) 800·50 5·50 27500p = − = Con 50 trabajadores se producen 27500 unidades y el precio de venta de estas unidades será:

27500(27500) 400 125100

h = − =

c) Si ( ) 400 205100

ph p = − = , entonces se habrán producido 19500p = unidades.

Esto hace que 2800 5 19500x x− = ; es decir:

0 120

2 305 800 19500 0 30

130

xxx x x

x

≤ ≤=⎧− + = ⇒ ⇒ =⎨ =⎩

trabajadores.

d) 2(100) 800·100 5·100 30000p = − =

30000(30000) 400 100100

h = − =

Ingresos = (unidades producidas) x (precio de venta) = 30000 x 100 =3000000 5. Una empresa de productos de papelería dispone de 270 metros cuadrados de cartón y de 432 metros de cinta de goma para la fabricación de dos tipos de carpetas: tamaño folio y tamaño cuartilla. Para fabricar una del primer tipo se necesitan 0,20 metros cuadrados de cartón y 30 centímetros de cinta de goma. Para una carpeta del segundo tipo se necesitan 0,15 metros cuadrados de cartón y 27 centímetros de cinta de goma. Si las carpetas se venden a 1,4 euros (tamaño folio)y a 1,1 euros (tamaño cuartilla) la unidad a) ¿Cuántas carpetas de cada tipo interesa fabricar para maximizar el beneficio que se obtiene con

su venta? b) Determinar ese beneficio máximo. Solución Modelo de Programación lineal: x = ”nº de folios” y = ”nº cuartillas”

La función objetivo es ( , ) 1.4 1.1f x y x y= +

Los puntos extremos de la región factible son

( ) ( )0,0 0,0 0f→ =

( ) ( )1350,0 1350,0 1.4·1350 1890f→ = =

( ) ( )0,1600 0,1600 1.1·1600 1760f→ = =

( ) ( )900,600 900,600 1.4·900 1.1·600 1920f→ = + =

Por tanto el máximo se alcanza en el punto ( )( , ) 900,600x y = con una ganancia de 1920 euros.

1.4 1.1. . 0.2 0.15 270

0.3 0.27 432, 0

Max x ys a x y

x yx y

++ ≤+ ≤

≥


Prueba A

1.- Se quiere estimar el sueldo medio de un trabajador del transporte público. Se toma para ello una muestra de 625 de estos trabajadores y se obtiene un sueldo medio muestral de 1480 euros. Si la desviación típica es igual a 250 euros: a) Con un nivel de confianza del 90%, determinar el intervalo de confianza para el sueldo

medio de un trabajador de la construcción b) Si se quiere que el error máximo de la estimación sea de 10€, hallar el tamaño de la

muestra que se debe tomar considerando un nivel de confianza del 99%. Solución

a) 2 2

250 250, 1480 1.645 , 1480 1.645 [1463.55,1496.45]625 625

x z x zn nα α

σ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

b) 2

2502.58 10zn nα

σ = < , 22502.58 4160,25

10n n⎛ ⎞ < ⇒ >⎜ ⎟

⎝ ⎠

2.- Una marca de nueces afirma que como máximo el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías. a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca? b) ¿Qué tamaño muestral se necesita para estimar la proporción de nueces vacías con un

error menor del 1% y con un nivel de confianza del 95 %? Solución a) Tenemos que resolver el siguiente contraste:

0 0

1

: 0,06: 0,06

H p pH p

≤ = ⎫⎬> ⎭

0,0121ˆ300; 0,07; 0,01; 2.33

300n p zα= = = = =

a) Región crítica:

( ) ( ) { }0 0

01 0.06 1 0.06

ˆ ˆ ˆ0.06 2.33 0.0919300

p pp p z p p

nα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

.

Como 21ˆ 0.07 < 0.0919300

p = = se acepta 0H .




b) 22

ˆ ˆ(1 ) 0.07(1 0.07)0,01 1.96 0.01

1.96 0.07(1 0.07) 2500.88 25010.01

p pzn n

n n n

α− −< ⇒ < ⇒

⎛ ⎞⇒ > − ⇒ > ⇒ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

3.- Se espera que, en los próximos diez años, las ganancias (en millones de euros) de una empresa, vengan dadas por la función 2( ) 2 20 5P t t t= − + + . a) Determinar cuándo las ganancias son iguales a 5 millones de euros. b) Determinar en qué años decrecen las ganancias ¿Cuándo son máximas? c) ¿Cuáles son las ganancias acumuladas durante los cinco primeros años? Solución a) 2( ) 2 20 5 5P t t t= − + + = cuando 0t = y 10t = . b) ( ) 4 20 0 5P t t t′ = − + = ⇒ = y (5) 4 0P′′ = − < . Por tanto las ganancias son máximas cuando 5t = y decrecen entre los años 5 y 10.

c) Ganancias acumuladas ( )5

5 5 2 3 2

0 00

2 515( ) 2 20 5 10 53 3

P t dt t t dt t t t⎛ ⎤= = − + + = − + + =⎜ ⎥⎝ ⎦∫ ∫

4.-Se quiere fabricar una caja de volumen máximo que sea el doble de larga que de ancha en la que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro. a) ¿Qué medidas debe tener la caja? b) ¿Qué volumen tendrá?

Solución a) X=Ancho; Largo=2X Y=Alto Volumen = Ancho · Largo · Alto Maximizar X·2X·Y sabiendo que: 2 1 1 3X X Y Y X+ + = ⇒ = − Max 2( ) 2 (1 3 )f x x x= −

4 6'( ) 4 18 ; '( ) 0 4 18 0 1 318 18

f x x x f x x x x y x= − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = − =

4 8 6; Largo ; ;18 18 18

Ancho Alto= ⇒ = =

b) Volumen = Ancho · Largo · Alto 4 8 6 8 0.032918 18 18 243

= = = metros cúbicos

5.- La edad, en años, de Juan es el doble que la suma de las edades de sus dos hijos: Pedro y Luis. A su vez, Pedro es 3 años mayor que Luis. Si, dentro de 10 años, la edad del padre sobrepasa en 11 años a la suma de las edades de los hijos: a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar la edad de cada uno de ellos. Solución

( )23

10 10 10 11

J P LP LJ P L

= += ++ = + + + +

; 2 2 0

321

J P LP LJ P L

− − =− =− − =

; 42, 12, 9J P L= = =

Prueba B 1.- El 70% de los alumnos de instituto tiene teléfono móvil. a) Si un instituto tiene 1400 alumnos ¿cuantos se espera que tengan teléfono móvil? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 150 alumnos, haya más de 100 con

teléfono móvil? c) ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 200 alumnos, haya como máximo 140

con teléfono móvil? Solución a) Sea la variable,

X=”nº de alumnos con teléfono móvil en un instituto de 1400 alumnos”

(1400,0.7)X B≈

Para una variable binomial, B(n,p), su valor medio esperado es n·p, en este caso 1400·0.7 = 980.

b) X=”nº de alumnos con teléfono móvil en una muestra de 150 alumnos”

(150,0.7)X B≈

Nos piden calcular, ( )100P X > , hacerlo directamente supondría los 50 casos del 101 hasta 150, o bien por el complementario supondría los 101 casos del 0 hasta 100. En ambos casos el cálculo a realizar es muy grande. Vamos a comprobar si se dan las condiciones para aproximar una binomial por una normal ( )' · , · ·(1 )X N n p n p p≈ −

· 5(1 ) 5n pn p

> ⎫⎬− > ⎭

en este caso 150·0.7 105 5150(1 0.3) 45 5

= > ⎫⎬− = > ⎭


( ) ( ) ( )' 105 100.5 105100 ' 100.5 0.8 0.78815.61 5.61XP X P X P P z− −⎛ ⎞> ≅ > = > = > − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Si no se hace corrección por continuidad

( ) ( ) ( )' 105 100 105100 ' 100 0.89 0.81335.61 5.61XP X P X P P z− −⎛ ⎞> ≅ > = > = > − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

c) Ahora (200,0.7)X B≈ . También en este caso se puede utilizar la aproximación por

( )140, 42X N′ ≈ . Entonces: ( )140 0.5P X ′ ≤ =

2.- Un informe de la Asociación de Compañías Aéreas indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y la Península Ibérica es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una muestra de 100 viajeros Canarias - Península Ibérica y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €. a) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación del 0.1, la afirmación de partida? b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera igual a 1%? Solución El contraste que hay que plantear es:

0 0

1

: 120: 120

HH

µ µµ

≤ =>

a) Región crítica: { }040120 1.28 125.12100

x z x xnα

σµ⎧ ⎫ ⎧ ⎫> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

.

Como 128 125.12x = > , se rechaza 0H .

b) Región crítica: { }040120 2.33 129.32100

x z x xnα

σµ⎧ ⎫ ⎧ ⎫> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

.

Como 128 129.32x = < , no se rechaza 0H . 3.- Un fabricante de pilas alcalinas afirma que la desviación típica de la duración de sus pilas es de 80 horas. a) Si, para una muestra de 50 pilas, la duración media es de 500 horas, determinar el

intervalo de confianza, con 0.1α = , para la duración media poblacional. b) Si la duración de las pilas siguiera una normal de media 500 horas y desviación típica 80

horas, ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de 9 pilas sea mayor de 520 horas?

Solución


,x z x zn nα α

σ σ⎡ ⎤− +⎢ ⎥

⎣ ⎦; 0,050,1; / 2 0.05; 1,64zα α= = =

Sustituyendo: [ ]80 80500 1,64 ,500 1,64 481.44, 518.5550 50

⎡ ⎤− − =⎢ ⎥⎣ ⎦

La duración media de las pilas es un valor de este intervalo con un nivel de confianza del 90%.

b) n=9; ( )80500, 500,26.669

X N N⎛ ⎞≈ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )500 520 500520 0.75 0.226626.66 26.66XP X P P Z⎛ ⎞− −> = > = > =⎜ ⎟

⎝ ⎠

4.- Una empresa quiere producir ( ) 200 10c t t= + unidades de un producto que quiere vender a ( ) 200 2p t t= − euros cada unidad, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la producción. a) Hallar, dependiendo de t, la función beneficio ( )B t . b) Determinar el intervalo de decrecimiento para ( )B t hasta que su valor sea cero. c) Hallar el beneficio acumulado durante los 90 primeros días. Solución a) ( ) ( )( ) 2( ) ( ) 200 2 200 10 40000 1600 20B t p t c t t t t t= = − + = + −

b) ( )' 1600 40B t t t= − . ( )' 0 40B t t= ⇒ = . El máximo se alcanza para 40t = .

El intervalo de decrecimiento es [ ]40,100

c) Beneficio acumulado ( )90 2

040000 1600 20 3600000 6480000 4860000 2220000t t dt= + − = + − =∫ €

5.- En una pastelería fabrican dos tipos de trufas, las normales y las amargas. Cada trufa normal lleva 20 gr. de cacao, 20 gr. de nata y 20 gr. de azúcar y se vende a 0’75 euros. Cada trufa amarga lleva 100 gr. de cacao, 20 gr. de nata y 10 gr. de azúcar y se vende a 2 euros. En la pastelería disponen de 30 kgr. de cacao, 8 kgr. de nata, y 7 kgr. de azúcar. Determinar cuántas trufas de cada tipo deben fabricarse para maximizar las ganancias.

Solución max 0.75x 2. : 20x+100y 30000

20x+20y 8000 20x+10y 7000 x 0, 0

ys a

y

+≤≤≤

≥ ≥

f(125,275)=0.75*125+2*275=643.75, Sol óptima (125,275). Beneficio máximo 643.75€ f(300,100)=0.75*300+2*100=425 f(0,300)=0.75*0+2*300=600 f(350,0)=0.75*350+2*0=262.5


PRUEBA A 1.-Se tomó una muestra de 120 jóvenes de los cuales 72 tenían teléfono móvil. a) Hallar un intervalo, al 98% de confianza, para la proporción de jóvenes que tienen

teléfono móvil. b) En dicha muestra, entre los que disponían de teléfono móvil, 50 lo tenían con tarjeta

prepago. Entre los jóvenes que tienen teléfono móvil, hallar un intervalo, con el 90% de confianza, para la proporción de los que lo tienen con tarjeta prepago.

Solución

a) 0,0172ˆ120; 0.6; 0,02; / 2 0,01; 2,33

120n p zα α= = = = = =

( ) ( )2 2


p p p pp z p z

n nα α

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) [ ]0.6 1 0.6 0.6 1 0.6

0,6 2,33 ,0,6 2,33 0.495,0.704120 120

⎡ ⎤− −⎢ ⎥= − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

b) 0,0550ˆ72; 0,694; 0,1; / 2 0,05; 1,6472

n p zα α= = = = = =

( ) ( )2 2


p p p pp z p z

n nα α

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) [ ]0.694 1 0.694 0.694 1 0.694

0,694 1,64 ,0,694 1,64 0.605,0.78372 72

⎡ ⎤− −⎢ ⎥= − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

2.- Se supone que, como máximo, el 25% de los habitantes de una ciudad tienen ordenador personal. Para contrastar esta hipótesis, se elige una muestra de 400 de dichos habitantes y se detecta que 115 tienen ordenador personal. a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la hipótesis de partida? b) ¿Se daría la misma respuesta si se toma un nivel de significación igual a 0,1? Solución Contraste:

0 0

1

: 0.25: 0.25

H p pH p

≤ =>

a) Región crítica:




( ) ( ) { }0 00

1 0.25 1 0.25ˆ ˆ ˆ0.25 2.33 0.3004459

400p p

p p z p pnα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

.

Como 115ˆ 0.2875400

p = = no se rechaza 0H .

b) Región crítica:

( ) ( ) { }0 00

1 0.25 1 0.25ˆ ˆ ˆ0.25 1.28 0.2777128

400p p

p p z p pnα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

.

Como 115ˆ 0.2875400


3.- Se ha observado que, para velocidades comprendidas entre 25 y 175 km/hora, el consumo en litros de gasolina de un vehículo cada 100 km, realizados a la velocidad constante de x km/hora, se puede aproximar por la función 2( ) 7.5 0.05 0.00025C x x x= − + . a) ¿A qué velocidad se obtiene el mínimo consumo? ¿Cuál es dicho consumo mínimo? b) Haga un estudio del crecimiento y decrecimiento de la función C(x) en el intervalo

[25,175]. Determine las velocidades que corresponden a consumo máximo. Solución a) '( ) - 0,05 0,0005C x x= +

0.05'( ) 0 -0,05 0,0005 0 1000.0005

C x x x= ⇒ + = ⇒ = =

''( ) 0,0005 0C x = > por lo que en x=100 hay un mínimo 2(100) 7.5 0.05·100 0.00025·100 5C = − + = litros es el consumo mínimo. b) ( )C x es creciente cuando '( ) 0C x > 0.05 0.005 0 100x x⇔ − + > ⇔ > , es decir, (100,175]x∈ ( )C x es decreciente cuando '( ) 0C x < 0.05 0.005 0 100x x⇔ − + < ⇔ < , [25,100)x∈ Al no tener máximos relativos en el intervalo [25,175] el máximo hay que buscarlo en los extremos del intervalo:

2(25) 7.5 0.05·25 0.00025·25 6.40625C = − + = 2(175) 7.5 0.05·175 0.00025·175 6.40625C = − + =

4.- Una gran empresa alquila coches por semana a 400 clientes por un precio de 350€ cada coche. Si por cada 20€ que aumenta el precio de alquiler pierde 10 clientes, ¿qué precio puede poner para que la ganancia sea máxima? Solución Ganancia (G) = nº de clientes (c) x precio (p). Entonces, la función a maximizar es:

( ) ( )( ) 2400 10 350 20 80000 1000 200G x x x x x= − + = + −

( ) 4500 400 0 11.25G x x x′ = − = ⇒ = ; ( )11.25 0G′ < ; ( )11.25 400 0G′′ = − < . Por tanto, la ganancia máxima tiene lugar cuando 575p = . (Nota: Hubiese sido más coherente para la interpretación, que el máximo se alcanzase en un valor natural)

5.- En una competición escolar participan 1500 niños de tres categorías, alevines, infantiles y juveniles. Se sabe que los juveniles son el doble de los alevines y que, sumados los alevines e infantiles, hay 100 menos que juveniles. ¿Cuántos hay de cada categoría? Solución x = alevines; y = infantiles; z = juveniles;

400 100 30015003 2500 3 1500

2 4 1600 400100 100

100 2·400 800

yx y zx y x y

z x x xx y x y

x y z z

= − =+ + = ⎫+ = + =⎫ ⎫⎪= = ⇒ =⎬ ⎬ ⎬− + = − − =⎭ ⎭⎪+ = − = =⎭

PRUEBA B 1.- El 15% de los habitantes de una determinada región son diabéticos. Se toma una muestra de 600 de esos habitantes y se pide: a) Número esperado de habitantes que no son diabéticos. b) Probabilidad de que el número de diabéticos sea mayor que 80. c) Probabilidad de que el número de diabéticos esté entre 80 y 110. Solución a) Número esperado de habitantes que no son diabéticos =510

b) (600,0.15) (90,8.746)X Bi N∼ ∼ , ( ) ( )1080 1.14 0.872976.5

p X p Z p Z⎛ ⎞≥ = > − = > − =⎜ ⎟⎝ ⎠

c) ( ) ( )10 2080 110 1.14 2.28 0.9887 0.1271 0.861676.5 76.5

p X p Z p Z⎛ ⎞< < = − < < = − < < = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

2.- Un productor vende paquetes de carbón para barbacoa con peso medio teórico de, cómo mínimo, 20 kgr. Para contrastar esto se toma una muestra de 9 paquetes, obteniéndose una media de 19,3 kgr. Si se supone que el peso de los paquetes sigue una distribución normal con desviación típica de 1 kgr: a) Determinar si se puede aceptar la hipótesis con 0.05α = . b) Con un nivel de confianza del 90%, ¿qué tamaño muestral es necesario para estimar el

peso medio con un error menor de 0,2 kgr.? Solución a) El contraste que se ha de plantear es:

0 0

1

: 20: 20

HH

µ µµ

≥ = ⎫⎬< ⎭

0,050,05; 1,64zα = =

La región crítica es: 0120 1,64 19.4539

x znα

σµ< − = − = .Como 19.3<19.453, se rechaza la

hipótesis nula.

b) 2

0.2znα

σ < ; es decir 2

2 0.2n zα

σ⎛ ⎞> ⎜ ⎟⎝ ⎠

, con 0,0250,05; / 2 0.025; 1,96zα α= = = , 1σ = .

Por tanto: 2 2

2

11.64 67.70.2 0.2

n zασ⎛ ⎞ ⎛ ⎞> = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠, luego el tamaño muestral debe ser de al menos 68 unidades.

3.- En una muestra de 900 páginas escritas por alumnos de bachillerato, 351 tenían algún tipo de falta de ortografía. a) Determinar un intervalo de confianza, de nivel igual a 0,95, para la proporción de páginas con faltas de ortografía. b) Si 0.1α = , ¿se podría rechazar la hipótesis de que, como máximo, el 38% de las páginas escritas por los alumnos de bachillerato tienen algún tipo de faltas de ortografía? Solución

a) 351ˆ 0.39900

p = =

( ) ( ) [ ]2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 0.24 0.24ˆ ˆ, 0.39 1.96 ,0.39 1.96 0.357,0.423900 900

p p p pp z p z

n nα α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥− + = − + =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

b) Contraste: 0 0

1

: 0.38: 0.38

H p pH p

≤ =>

Región crítica:

( ) ( ) { }0 00

1 0.38 1 0.38ˆ ˆ ˆ0.38 1.28 0.4007

900p p

p p z p pnα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

.

No se rechaza 0H ya que ˆ 0.39 0.4007p = < . 4.- La velocidad (en metros por segundo) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros, viene dada en función de los metros recorridos, x, por la función

( ) 0.00055 (300 )f x x x= − . Deducir de forma razonada: a) ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima?¿Cuál es esa

velocidad máxima? b) ¿Entre qué distancias su velocidad va aumentando?¿Y disminuyendo? c) ¿A qué velocidad llega a la meta? Solución a) '( ) =0,165 - 0,0011f x x

0.165'( ) 0 0,165 - 0,0011 0 1500.0011

f x x x= ⇒ = ⇒ = =

''( ) 0,0011 0f x = > por lo que en x=150 hay un máximo (150) 0.00055·150(300 150) 12.375f = − = m/s b) ( )f x es creciente cuando '( ) 0f x > 0.165 0.0011 0 150x x⇔ + > ⇔ > , Entre 0 y 150 va aumentando y entre 150 y 200 va disminuyendo ya que '( ) 0f x < c) (200) 0.00055·200(300 200) 11f = − = m/s 5.- Para exponer y vender, un comerciante quiere adquirir dos tipos de lavadoras, 1L y 2L . Las del tipo 1L cuestan 400€ y, las del tipo 2L , 500€. Sólo dispone de sitio en su almacén y expositor para 30 lavadoras y de la cantidad de 13000€ para realizar la compra. Si, en la venta posterior, gana el 25% del precio de compra de 1L y el 22% del precio de compra de 2L , ¿cuántas lavadoras de cada tipo debe adquirir para obtener posteriormente el máximo beneficio?

Solución El problema que debe plantear es:

1 2

1 2

1 2

1 2

max100 110. : 400 500 13000

30 0, 0

L Ls a L L

L LL L

++ ≤+ ≤≥ ≥

Puntos extremos: (0,26), (20,10), (30,0) y (0,0) Solución óptima: (20,10), Valor óptimo =3100.


Prueba A

1.- Hace diez años la proporción poblacional de personas que leían el periódico LA CIUDAD era del 35 %. Para comprobar si dicha proporción se mantiene tomamos una muestra de 225 personas de las cuales sólo 65 leen LA CIUDAD.

a) Si 0.05α = , ¿podemos aceptar que la proporción de personas que leen dicho periódico sigue siendo del 35%, frente a que ha disminuido?

Contraste: 0 0

1

: 0.35: 0.35

H p pH p

≥ = ⎫⎬< ⎭

0,0565ˆ225; 0, 288; 0,05; 1.64225

n p zα= = = = =

a) Región crítica: ( ) { }0 0

01 0.35·0.65ˆ ˆ ˆ0.35 1.64 0.297

225p p

p p z p pnα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪< − = < − = <⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Como ˆ 0.288 0.297p = < se rechaza 0H . b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación es del 1%?

0,01 2.33z =

Región crítica: ( ) { }0 0

01 0.35·0.65ˆ ˆ ˆ0.35 2.33 0.275

225p p

p p z p pnα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪< − = < − = <⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Como ˆ 0.288 0.275p = > se acepta 0H .

2.-El número de pulsaciones por minuto de los habitantes de una región sigue una variable

( ),10N µ . Se toma una muestra de tamaño 121 de esos habitantes y se obtiene un número medio de pulsaciones por minuto igual a 70.

a) Hallar un intervalo de confianza para µ con 0.02α =

[ ]2 2

10 10, 70 2.33 , 70 2.33 [70 2.11] 67.88,72.11121 121

x z x zn nα α

σ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − − = ± =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

b) Con la muestra anterior, ¿cuánto valdría α para estimar µ con un error inferior a 2 pulsaciones por minuto?

/ 2 / 2 / 22 121 2.2 2.2 0.0139 0.0278

10 2E nz E z z

nα α ασ α α

σ= ⇒ = = = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2.005-2.006 - CONVOCATORIA:


3.- Para cerrar una vidriera se ha de colocar un cristal cuya superficie está limitada por las funciones 2y = e ( )22 6y x= − − + . a) Dibujar el cristal.

b) Si se mide en decímetros, ¿qué superficie tiene?

434 2 2 2

00

64[ ( 2) 6 2] 2 32 10.663 3xx dx x dm− − + − = − + = − + =∫

4.- La función ( )f x , en cientos de miles de euros, da las ganancias de una empresa en función del tiempo transcurrido, x en años, desde su creación:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>++

≤≤=

3 xsi 13

3x0 21

)(

xx

sixxf

a) ¿Cuántos euros gana la empresa al año y medio de su creación? ¿Y al cuarto año?

€ b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dichas ganancias. Intervalo de crecimiento [ ]0,3 . Intervalo de decrecimiento ] [3,∞ c) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? Razona la respuesta.

Como 3lim 11x

xx→∞

+ =+

, a medida que el tiempo aumenta las ganancias se aproximan a 1

(decreciendo). 5.- Un agricultor compra semillas de garbanzos 1,30 € el kilo, de alubias a 1,20 € el kilo y de lentejas a 0,80 € el kilo. En total compra 45 kilos de semillas y paga por ellas 43 €. Sabiendo que el peso de las lentejas es el doble que lo que pesan, conjuntamente, los garbanzos y las alubias, calcular qué cantidad de semillas ha comprado de cada legumbre.

45 45 101.3 1.2 0.8 43 1.3 1.2 0.8 43 5

2( ) 2 2 0 30

x y z x y z xx y z x y z y

z x y x y z z

+ + = + + = =⎫ ⎫ ⎫⎪ ⎪ ⎪+ = ⇒ + = ⇒ =⎬ ⎬ ⎬⎪ ⎪ ⎪= + − − + = =⎭ ⎭ ⎭

Prueba B 1.-Un estudio realizado por una compañía de seguros de automóviles establece que una de cada cinco personas accidentadas es mujer. Si se contabilizan, por término medio, 169 accidentes cada fin de semana:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un fin de semana, la proporción de mujeres accidentadas supere el 24%?

( )·(1 ) 0.2·0.8ˆ ˆ, ; 0.2, 0.2,0.0307169

p pp N p p N Nn

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∼ ∼

( ) ( )ˆ 0.2 0.24 0.2ˆ 0.24 1.3 0.09680.0307 0.0307pP p P P Z− −⎛ ⎞> = > = > =⎜ ⎟

⎝ ⎠

b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un fin de semana, la proporción de hombres accidentados supere el 85%?

( )·(1 ) 0.8·0.2ˆ ˆ, ; 0.8, 0.8,0.0307169

p pp N p p N Nn

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∼ ∼

( ) ( )ˆ 0.8 0.85 0.8ˆ 0.85 1.63 0.05160.0307 0.0307pP p P P Z− −⎛ ⎞> = > = > =⎜ ⎟

⎝ ⎠

c) ¿cuál es, por término medio, el número esperado de hombres accidentados cada fin de semana? “X” = “nº de hombres accidentados por semana, con 169 accidentes por semana”

(169,0.8) [ ] · 169·0.8 135.2X B E X n p⇒ = = =∼ hombres accidentados.

2.- Se trabaja con la hipótesis de que uno de cada diez varones manifiesta algún tipo de daltonismo.

a) Elegidos 400 varones, se detectan 50 daltónicos. Con un nivel de significación del 10%, ¿se puede aceptar la hipótesis de partida?

Contraste:

0 0

1

: 0.1: 0.1

H p pH p

= = ⎫⎬≠ ⎭


0 / 21 0.1·0.9ˆ ˆ ˆ0.1 1.28 0.1 0.0192

400p p

p p z p pnα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪− > = − > = − >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Como 50ˆ 0.125400

p = = , ˆ 0.1 0.125 0.1 0.025 0.0192p − = − = > se rechaza 0H .

b) Sobre la muestra estudiada en a), ¿se obtendría la misma conclusión si 0.02α = ?

/ 2 0,01 2.33z zα = = Región crítica:.

( ) { }0 0

0 / 21 0.1·0.9ˆ ˆ ˆ0.1 2.33 0.1 0.03495

400p p

p p z p pnα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪− > = − > = − >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Como 50ˆ 0.125400

p = = , ˆ 0.1 0.125 0.1 0.025 0.03495p − = − = < se acepta 0H .

3.- El número de horas semanales que los jóvenes, con edades entre 14 y 18 años, dedican semanalmente a ver la televisión, es una variable ( ), 2N µ . Encuestados 256 de estos jóvenes, la media de horas semanales dedicadas a ver la televisión resultó igual a 6.

a) Construir un intervalo de confianza, al 99%, para µ . a) Intervalo de confianza: / 2 0,005 2.57z zα = =

[ ]2 2

2 2, 6 2.57 , 6 2.57 5.678,6.321256 256

x z x zn nα α

σ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

b) Si 0.05α = , ¿cuál es el tamaño de la muestra que se necesita encuestar para que el error

máximo de la estimación de µ sea de 0.5 horas? 2

2

2 21.96 0.5 1.96 61.46 620.5

z E n nn nα

σ ⎛ ⎞< ⇒ < ⇒ > = ⇒ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

4.- Los beneficios (en miles de euros) por la venta de un producto en función de la inversión realizada en promoción ( en miles de euros) vienen dados por:

( ) ( )2

5 15, 0 3

3 30 3 8

x xB x

x x

+ ≤ ≤⎧⎪= ⎨− − + < ≤⎪⎩

a) ¿Es continua esta función? ¿Es derivable? Representarla gráficamente. El único punto en el que pudiera presentar discontinuidad es en x = 3, ya que cada uno de los trozos la función es un polinomio que siempre es continua y derivable.

3 32

3 3

lim ( ) lim 5 15 30

lim ( ) lim ( 3) 30 30

(3) 30

x x

x x

B x x

B x x

B

− −

+ +

→ →

→ →

⎫= + = ⎪⎪⎪⎪⎪= − − + = ⎬⎪⎪⎪= ⎪⎪⎭

; por lo que B es continua en x = 3

( ) ( )5 0 3

'2 3 3 8

xB x

x x≤ ≤⎧

= ⎨− − < ≤⎩

3 3

3 3

lim '( ) lim 5 5

lim '( ) lim 2( 3) 0x x

x x

B x

B x x

− −

+ +

→ →

→ →

⎫= = ⎪⎪⎪⎬⎪= − − = ⎪⎪⎭; por lo que B no es derivable en x = 3

b) ¿Cuándo crece y decrece la función beneficio? Crece entre 0 y 3000 y decrece entre 3000 y 8000€

c) ¿Cuándo se obtienen los beneficios mínimo y máximo? Mínimo con 8000€ de inversión y máximo con 3000€ de inversión

5.- Un mayorista de frutos secos tiene almacenados 1800 kilos de avellanas y 420 kilos de almendras para hacer dos tipos de mezclas que embala en cajas como se indica a continuación: La caja A tiene 6 kilos de avellanas y 3 de almendras y las vende a 80 euros. La caja B tiene 10 kilos de avellanas y 1 de almendras y las vende a 90 euros.

a) Representar la región factible.

b) ¿Cuántas cajas de cada tipo le conviene hacer para que el beneficio sea máximo?

(100,120) 80·100 90·120 18800(0,180) 80·0 90·180 16200(140,0) 80·140 90·0 11200

fff

= + == + == + =

, luego hay que hacer 100 tipo A y 120 tipo B

( , ) 80 906 10 1800

3 420 0, 0

Max f x y x yx y

x yx y

= ++ ≤ ⎫

⎪+ ≤ ⎬⎪≥ ≥ ⎭


Prueba A

1.- Es conocido que el número de horas diarias que duermen los estudiantes de bachillerato de una región es una variable ( ),1.5N µ .

a) Si para una muestra de 400 estudiantes se ha obtenido una media muestral igual a 8 horas dedicadas a dormir, establecer un intervalo de confianza del 95% para µ .

b) Si se admite que 8µ = y se toma una muestra de 36 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral de horas dedicadas a dormir sea menor o igual que 7.5.

Solución

a) [ ]2 2

1.5 1.5, 8 1.96 , 8 1.96 7.853, 8.147400 400

x z x zn nα α

σ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

b) ( )1.58, 8,0.256

X N N⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∼ ; ( ) ( )7.5 2 0.0227p X p Z≤ = ≤ − =

2.- Hace 10 años, el consumo medio mensual de electricidad por vivienda en Canarias era de 320 Kw. En el año 2005 se ha tomado una muestra aleatoria de 25 viviendas y se ha obtenido un consumo medio mensual de 370 Kw con una desviación típica de 80 Kw

a) Con un nivel de significación del 10%, ¿se acepta que el consumo medio ha aumentado,? b) Para estimar el consumo medio con un error menor de 6 Kw y con un nivel de confianza del

90%, ¿que número de viviendas es necesario considerar? Solución El contraste que hay que plantear es:

0 0

1

: 320: 320

HH

µ µµ

≤ =>

a) Región crítica: { }080320 1.28 340.4825

x z x xnα

σµ⎧ ⎫ ⎧ ⎫> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

. Se rechaza 0H .

b) 2

801.645 6z En nα

σ < ⇒ < ⇒ 2801.645 481.071

6n ⎛ ⎞> =⎜ ⎟

⎝ ⎠, es decir, n > 482

3.- Sea ( )S x la función que nos da el número de solicitudes para comprar acciones de una determinada empresa en función de los días, x, que dichas acciones llevan en el mercado bursátil: 90045)( 2 ++−= xxxS Calcular:

a) El periodo en que dichas solicitudes aumentan.

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2.005-2.006 - CONVOCATORIA: Septiembre


b) ¿Alcanza algún máximo o mínimo la función? Razona la respuesta. a) ¿Cuántos días transcurren para que no haya solicitudes de compra?

Solución

a) y b) ( ) 2 45 0S x x′ = − + = , 452

x = , 45 2 02

S ⎛ ⎞′′ = − <⎜ ⎟⎝ ⎠

. Tiene un máximo relativo en 452

x = . Por

tanto, las solicitudes aumentan hasta 452

x = y disminuyen a partir de este valor.

c) Si 2( ) 45 900 0S x x x= − + + = , entonces 45 2025 3600 45 752 2

x − ± + − ±= =− −

.

La respuesta es 60 días.

4.- Unos jóvenes quieren pintar una parte de un mural que está limitada por la curva 2

322xy −= + y

por el eje OX. Si se mide en decímetros, se pide: a) Representar la zona a pintar. b) Si cada spray cuesta 2 euros y sirve para pintar medio metro cuadrado, ¿Cuánto gastarán en

pintura? Solución

a) Si 2

32 02xy −= + = , entonces 8x = ± .

c) El área a pintar es 88 2 3

2

8 8

102432 32 341.332 6 3x xA dx x dm

− −

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= + = + = =⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦∫ .

Esto son 2341.33 3.41100

m= Por tanto, como cada spray da para 20.5 m , el número de spray que

se necesita es 3.41 6.820.5

= . Por tanto se necesitan 7 sprays y gastarán 14 euros.

10 20 30 40 50 60

250

500

750

1000

1250

5.- En una tienda hay un total de 150 teléfonos móviles de tres tipos: A, B y C. Si el número de los del tipo C duplica la suma de los de los otros dos tipos y el número de los de tipo A es igual a la quinta parte de los de tipo C:

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar el número de de teléfonos móviles de cada tipo que hay en la tienda.

Solución a) Sistema

150

2( )

5

A B CA B C

CA

+ + =+ =

=

Solución 1002030

CAC

===

Prueba B

1. El 60% de los jóvenes de secundaria y bachillerato tienen consola de videojuegos. Si en un instituto hay 800 alumnos

a) ¿Cuántos se espera que tengan consola de videojuegos? La variable X = ”nº de jovenes, de 800, que tienen viedeoconsola”, sigue una distribución binomial de parámetros n = 800 y p = 0.6 El valor medio esperado en una variable ( , )B n p es “n·p”, en este caso

[ ] 800·0.6 480E X = = b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 500 tengan consola de videojuegos?

Nos piden calcular, ( )500P X > , hacerlo directamente supondría los 300 casos del 501 hasta 800, o bien por el complementario supondría los 501 casos del 0 hasta 500. En ambos casos el cálculo a realizar es muy grande. Vamos a comprobar si se dan las condiciones para aproximar una binomial por una normal ( )' · , · ·(1 )X N n p n p p≈ −

· 5(1 ) 5

n pn p

> ⎫⎬− > ⎭

en este caso 800·0.6 480 5800(1 0.6) 320 5

= > ⎫⎬− = > ⎭

por tanto se puede utilizar la aproximación

de X por ( )' 480,13.85X N≈ .

( ) ( ) ( )' 480 500.5 480500 ' 500.5 1.48 0.069413.85 13.85

XP X P X P P z− −⎛ ⎞> ≅ > = > = > =⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )' 480 500 480500 ' 500 1.44 0.074913.85 13.85

XP X P X P P z− −⎛ ⎞> ≅ > = > = > =⎜ ⎟⎝ ⎠

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el nº de jóvenes con consola de videojuegos este entre 470 y

500 (ambos inclusive)?

( ) ( )

( ) ( ) ( )

469.5 480 ' 480 500.5 480470 500 469.5 ' 500.513.85 13.85 13.85

0.76 1.48 1.48 0.760.9306 0.2236 0.707

XP X P X P

P z P z P z

− − −⎛ ⎞≤ ≤ ≅ ≤ ≤ = ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ≤ ≤ = ≤ − ≤ − == − =


( ) ( )

( ) ( ) ( )

470 480 ' 480 500 480470 500 470 ' 50013.85 13.85 13.85

0.72 1.44 1.44 0.720.9251 0.2358 0.6893

XP X P X P

P z P z P z

− − −⎛ ⎞≤ ≤ ≅ ≤ ≤ = ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ≤ ≤ = ≤ − ≤ − == − =

2.- Queremos estimar la proporción poblacional de estudiantes que abandonan la carrera de medicina a lo largo de los tres primeros años. Para ello tomamos una muestra de 225 estudiantes que comenzaron dichos estudios, comprobando que 32 de ellos han abandonado. Se pide:

a) Estimar la proporción de abandonos durante los tres primeros años en la población de estudiantes de medicina con una confianza del 95%.

0,02532ˆ225; 0,142; 0,5; / 2 0,025; 1,96225

n p zα α= = = = = =

( ) ( )

2 2


p p p pp z p z

n nα α

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )

[ ] [ ]

0.142 1 0.142 0.142 1 0.1420,142 1,96 , 0,142 1,96

225 225

0.142 0.045 0.097,0.187

⎡ ⎤− −⎢ ⎥= − − =⎢ ⎥⎣ ⎦

= ± =

b) Suponiendo que aún no se ha tomado la muestra y que queremos hacer la estimación

cometiendo un error menor del 3%, con un nivel de confianza del 95% ¿de que tamaño debería ser dicha muestra?

2

(1 )p pz Enα− < Como nos dice el enunciado del apartado, no tenemos información muestral,

acotamos p(1-p) por 0.25 y se tiene 2 2

/ 2

2

0.25 1.960.25 0.25 1067.110.03

zz E nn E

αα

⎛ ⎞ ⎛ ⎞< ⇒ > = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Por lo tanto hace falta un muestra de al menos 1068 unidades.

3.- Se afirma que, al menos, el 35% de los jóvenes oyen música habitualmente en un aparato que reproduce ficheros en formato MP3. Se realiza una encuesta a 900 de esos jóvenes y resulta que 300 no utilizan tales aparatos

a) Si 0.05α = , ¿se puede aceptar la afirmación anterior? Contraste:

0 0

1

: 0,35: 0.35

H p pH p

≥ = ⎫⎬< ⎭

0,05300ˆ900; 0,333; 0,05; 1.64900

n p zα= = = = =

a) Región crítica: ( ) { }0 0

01 0.35·0.65ˆ ˆ ˆ0.35 1.64 0.323

900p p

p p z p pnα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪< − = < − = <⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Como ˆ 0.333 0.323p = > se acepta 0H . b) ¿Se obtiene la misma conclusión si 0.1α = ? 0,1 1.28z =


01 0.35·0.65ˆ ˆ ˆ0.35 1.28 0.329

900p p

p p z p pnα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪< − = < − = <⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Como ˆ 0.333 0.329p = > también se acepta 0H .

4.- El precio “p” de compra de un articulo esta en función del nº de unidades “x” que se compran

( ) 300200

xp x = − . El numero de unidades que se compran depende del nº del día del año “d” ( “d”

va desde 1 a 365) 2( ) 300 25000x d d d= − + a) ¿A cuánto asciende la factura del día 74 del año?

El día 74 el pedido es de 2(74) 74 300·74 25000 8276x = − + = unidades con lo cual el precio

será 8276(8276) 300 258.65200

p = − =

Por tanto la factura del día 74 asciende a: 8276·258.65 = 2140587,4 € b) ¿Qué día se paga el mayor precio? ¿Cuál es? El precio en función del día del año es

2

2300 25000( ( )) 300 175 1.5 0.005200

d dp x d d d− += − = + −

Para obtener el máximo derivamos e igualamos a cero '( ) 1.5 0.01p d d= − ; '( ) 0 1.5 0.01 0 150p d d d= ⇒ − = ⇒ = el máximo precio se alcanza el día 150.(Nota: es un

máximo ya que ''( ) 0.01 0p d = − < ) Y el precio máximo es p(x(150))=287.5 También se puede razonar diciendo que el precio es claramente una función decreciente en “x” ya que es una recta de pendiente negativa, y el mayor precio se alcanzará en el día que menos unidades se pidan. El mínimo de ( )x d se obtiene derivando e igualando a cero

'( ) 2 300; '( ) 0 2 300 0 150x d d x d d d= − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ p(x(150))=287.5 b) ¿Qué día se paga el menor precio? ¿Cuál es? Por lo dicho anteriormente, el menor precio se pagará el día que más unidades se pidan. Como

( )x d no tiene máximo relativo, el máximo se alcanzará en uno de los extremos del intervalo

2

2

(1) 1 300·1 25000 24701(365) 165 300·165 25000 48725

xx

= − + == − + =

Por lo que el precio mínimo es (48725) 56.375p = 5.- Para seguir una dieta de adelgazamiento, se recomienda un preparado dietético, mezclando dos productos A y B, con las siguientes condiciones: (1) La cantidad de producto B no debe superar a la cantidad de producto A. (2) La cantidad de mezcla ingerida no debe superar los 200 gramos. (3) La cantidad de producto A no debe superar los 150 gramos. Si, en cada gramo, el producto A contiene 0.4 grs. de vitaminas y el producto B contiene 0.3 gramos de vitaminas

a) Representar la región factible.

b) ¿Cuántos gramos de cada producto hay que incluir en la mezcla para maximizar su contenido vitamínico? 150A ,50B

( , ) 0.4 0.30200

150

Max f x y x yx yx yx

= +− ≤ ⎫

⎪+ ≤ ⎬⎪≤ ⎭

(100,100) 0.4·100 0.3·100 70(150,0) 0.4·150 0.3·0 60

(150,50) 0.4·150 0.3·50 75

ff

f

= + == + =

= + =


Prueba A

1.- En el año 1990 el 25% de los partos fueron de madres de más de 30 años. Este año se ha tomado una muestra de 120 partos de los cuales 34 fueron de madres de más de 30 años.

a) Con una significación del 10%, ¿se puede aceptar que la proporción de partos de madres de más de 30 años sigue siendo como mucho del 25%, frente a que ha aumentado?

0

1

: 0.25: 0.25

H pH p

≤ ⎫⎬> ⎭

0,134ˆ120; 0,283; 0,1; 1.28

120n p zα= = = = =

a) Región de rechazo:

( ) { }0 00

1 0.25·0.75ˆ ˆ ˆ0.25 1.28 0.3120

p pp p z p p

nα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪< − = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

Como ˆ 0.283 0.3p = < se acepta 0H . b) Obtener un intervalo de confianza de la proporción de partos de madres de más

de 30 años al 90% de confianza

0,0534ˆ120; 0,283; 0,1; 0,05; 1,64

120 2n p zαα= = = = = =

( ) ( )2 2


p p p pp z p z

n nα α

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )

[ ] [ ]

0.283 1 0.283 0.283 1 0.2830,283 1,64 , 0,283 1,64

120 120

0.283 0.067 0.216,0.35

⎡ ⎤− −⎢ ⎥= − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

= ± =

2.- Se tomó una muestra de 64 turismos de gasolina y se observo que el consumo medio fue de 9.36 litros cada 100 kilómetros con una desviación típica de 1.4 litros. Se pide:

a) Obtener un intervalo de confianza del consumo medio en los turismos de gasolina al 96% de confianza.



[ ]2 2

1.4 1.4, 9.36 2.05 , 9.36 2.05 [9.36 0.358] 9.002, 9.71864 64

x z x zn nα ασ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

− + = − + = ± =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

b) ¿De qué tamaño debería ser la muestra si, con la misma confianza, queremos

que el error máximo cometido en la estimación sea de un cuarto de litro? 2 2

/ 2 · 2.05·1.4 131.79 1320.25

zn n

Eα σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ = = ⇒ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

3.- El consumo de un motor, en un trabajo de 6 horas, viene dado por la expresión ( ) 2 8 20c t t t= − + + , siendo t el tiempo en horas, 0 6t≤ ≤ .

a) ¿Que momento es el de mayor consumo? ¿Cuánto es el consumo máximo?

' ( ) 0 2 8 0 4c t t t= ⇒ − + = ⇒ = 2(4) 4 8·4 20 36c = − + + = litros por hora

b) ¿Cuánto consume en total el motor en las 6 horas que dura el trabajo?

( )636 2 2

00

8 20 4 20 1923tt t dx t t− + + = − + + =∫

4.- Se dispone de una tabla de 4 metros de larga para hacer los tres lados del bastidor de una puerta rectangular de ventilación.

a) Que medidas debemos darle a los lados del bastidor para que la ventilación sea máxima.

( )

( )

2

2

· con la restricción 2 42 4 4 2

· 4 2 4 2'4 2 4 4

4 4 0 1 4 2·1 2

Max x y x yx y y x

Max x x Max x x

x x x

x x y y

+ =+ = ⇒ = −

− = −

− = −

− = ⇒ = ⇒ = − ⇒ =

b) ¿Que superficie de ventilación se ha conseguido? 2· 1·2 2S x y m= = =

5.- Una aseguradora tiene tres tarifas: una para adulto, otra para niño y otra para anciano. Se sabe que una familia de 3 adultos, 2 niños y 1 anciano paga 215 €, una segunda familia de 4 adultos, 1 niño y 2 ancianos paga 260 €, una tercera familia de 2 adultos, 2 niños y 1 anciano paga 190 €.

a) ¿Cuánto paga cada niño, adulto y anciano?

1 2 3 4 5 6

5

10

15

20

25

30

35

xx

y

3 2 215 254 2 260 402 2 190 60

x y z xx y z yx y z z

+ + = =⎫ ⎫⎪ ⎪+ + = ⇒ =⎬ ⎬⎪ ⎪+ + = =⎭ ⎭

b) ¿Cuánto pagará una familia de 5 adultos 3 niños y 2 ancianos? 5·25 3·40 2·60 315+ + =

Prueba B 1.- En un periódico se lee la siguiente información: “Se ha tomado una muestra aleatoria de 36 unidades de consumo mensual en teléfono móvil y el intervalo de confianza al 95%, para el consumo medio, ha sido [ ]18, 22 “

a) ¿Cuánto fue el consumo medio muestral en teléfono móvil? La media muestral sabemos que es el punto medio del intervalo de confianza 18 22 20

2+

=

b) ¿Cuánto fue la desviación típica ?

2

2·622 20 1.96 22 6.121.9636

x znασ σ σ+ = ⇒ + = ⇒ = =

c) ¿Cuál sería el intervalo de confianza al 90% de confianza para el consumo medio?

[ ]2 2

6.12 6.12, 20 1.64 , 20 1.64 [20 1.6728] 18.3272,21.672836 36


− + = − + = ± =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

2.- Se quiere estimar la media del consumo, en litros, de leche por persona al mes. Sabiendo que dicho consumo sigue una normal con desviación típica de 6 litros.

a) ¿Qué tamaño muestral se necesita para estimar el consumo medio con un error menor de 1 litro y con un nivel de confianza del 96%?

2 2/ 2 · 2.05·6 151.29 152

1z

n nE

α σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ = = ⇒ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

b) Si la media del consumo mensual de leche por persona fuese igual a 21 litros, hallar la probabilidad de que la media de una muestra de 16 personas sea mayor que 22 litros.

( )166, 21, 21,1.516

X N N Nnσµ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )16 22 0.66 0.2546p X p Z> = > = 3.- Dos estudiantes quieren contrastar si el consumo medio en teléfono móvil entre los estudiantes es como máximo de 10 euros frente a si es mayor. El primero, en una muestra de 36 estudiantes, obtuvo una media de 10.4 euros con una desviación típica de 2 euros. El segundo obtuvo, en una muestra de 49 estudiantes, una media de 10.39 con una desviación típica de 2 euros.

a) ¿Qué decisión toma el primero con un nivel de significación del 10%?

0

1

: 10: 10

HH

µµ≤ ⎫

⎬> ⎭Región de Rechazo: { }0

210 1.28 10.4236

x z x xnασµ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

10.4 10.42< ⇒ Se acepta 0H . b) ¿Qué decisión toma el segundo con un nivel de significación del 10%?

0

1

: 10: 10

HH

µµ≤ ⎫

⎬> ⎭Región de Rechazo: { }0

210 1.28 10.3649

x z x xnασµ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

10.39 10.36> ⇒ Se rechaza 0H .

4.- El precio de un artículo, que ha estado los últimos 6 años en el mercado, en función del tiempo t (en años) ha seguido la siguiente función:

23 4 0 2( )

2 20 2 6t si t

P tt si t

⎧ + ≤ ≤= ⎨

− + < ≤⎩

a) Representar la función precio en los últimos 6 años.

b) Estudiar cuando ha sido creciente y cuando decreciente el precio del artículo.

6 0 2 Si (0,2); '( ) 6 0 ( ) es creciente'( )

2 2 6 Si (2,6); '( ) 2 0 ( ) es decrecientet si t t P t t P t

P tsi t t P t P t

≤ ≤ ∈ = > ⇒⎧ ⎫= ⇒⎨ ⎬− < ≤ ∈ = − > ⇒⎩ ⎭

c) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo? ¿Cuál es el precio actual? (2) 16(6) 2·6 20 8

PP

== − + =

1 2 3 4 5 6

2.5

5

7.5

10

12.5

15

5.- Una fábrica de tabletas de chocolate tiene almacenados 600 kilos de chocolate y 400 kilos de almendras. La fábrica produce dos tipos de tabletas A y B. Las del tipo A llevan 300gr de chocolate y 100gr de almendras y se venden a 2 euros y las del tipo B llevan 200gr de chocolate y 100gr de almendras y se venden a 1,5 euros. a) ¿Cuál es la cantidad óptima que debe fabricar de cada tipo, para que los ingresos sean máximos? b) Con la producción óptima, ¿cuánto sobra de chocolate y de almendras?

Chocolate que se consume = 300·0+200·3000=600000 luego se gasta todo el chocolate. Almendras que se consume = 100·0+100·3000=300000, luego sobran 100000 gramos (100 kilos) de almendras.

(2000,0) 2·2000 1.5·0 4000(0,3000) 2·0 1.5·3000 4500

ff

= + == + =

2 1.5. . : 300 200 600000

100 100 400000

Max x ys a x y

x y

++ ≤+ ≤


Prueba A

1.- El departamento de extranjería detecta, en un control realizado a 169 inmigrantes, que 60 no tienen permiso de residencia.

a) Con un nivel de confianza del 99%, construir un intervalo de confianza para la proporción de inmigrantes que tienen permiso de residencia. b) Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de inmigrantes que carecen de permiso de residencia es, a lo sumo, del 25%?

Solución a) El intervalo de confianza es:

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ,p p p pp z p zn nα α

⎡ ⎤− −− +⎢ ⎥

⎣ ⎦

Como 109ˆ 0.6449169

p = = , 2

2.575zα = , el intervalo es igual a:

[ ]3 3

109 6540 109 65402.575 , 2.575 0.55011, 0.73968169 169 169 169⎡ ⎤

− + =⎢ ⎥⎣ ⎦

b) Tenemos que resolver el siguiente contraste: 0 0

1

: 0.25: 0.25

H p pH p

≤ = ⎫⎬> ⎭

0.0560ˆ169; 0.355; 0.05; 1.645

169n p zα= = = = =

Región crítica:

( ) ( ) { }0 00

1 0.25 1 0.25ˆ ˆ ˆ0.25 1.645 30479

169p p

p p z p pnα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

.

Como ˆ 0.30479p > , no se acepta 0H . 2.- Con una desviación típica de 5 €, el precio medio de un menú en 64 restaurantes de una determinada región es de 20 €.

a) Hallar un intervalo de confianza, de nivel igual a 0.95, para la media del precio de un menú en los restaurantes de la región citada.

b) ¿Cuántos restaurantes se deben considerar para estimar la media del precio de un menú con una confianza del 99% y un error menor de 1 €?

Solución a) Como / 220, 5, 64, 0.05, 1.96x n zασ α= = = = = , el intervalo de confianza es



[ ]2 2

5 5, 20 1.96 , 20 1.96 18.775, 21.22564 64


− + = − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

b) 2

52.575 1z En nασ

< ⇒ < , 252.575 165.76 166

1n n n⎛ ⎞ < ⇒ > ⇒ ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠

3.- El nivel de las emisiones de gases contaminantes, en toneladas, en una gran industria durante las

10 horas de actividad, viene dado por la expresión ( ) ( )20 28tn t t= − , siendo t el tiempo en horas,

0 10t≤ ≤ . a) ¿Cuál es el nivel máximo?¿Cuándo se produce? ¿En qué intervalos aumenta o disminuye

dicho nivel? b) ¿En qué momentos el nivel es de cuatro toneladas?

Solución

a) Si ( ) 20 2 2 08 8

t tn t −′ = − = , entonces 5t = . Como ( ) 152

n′′ = − , en 5t = existe un máximo.

El nivel máximo es ( ) 2554

n = toneladas. El nivel aumenta en el intervalo ] [0,5 y disminuye

en el intervalo ] [5,10 .

b) Si ( )4 20 28t t= − , entonces 22 20 32 0t t− + = , es decir 20 400 256 20 12

4 4t ± − ±= = .

Por tanto, 2t = y 8t = . 4.- Se quiere regar una parcela de jardín limitada por ( )23y x= − e 3y x= + . Si se mide en metros y cada metro cuadrado debe recibir 12 litros de agua,

a) Representa la parcela. b) ¿Cuántos litros de agua hay que utilizar?

Solución a)

b) Si 2 6 9 3x x x− + = + , entonces 2 7 6 0x x− + = . Por ello, 7 49 242

x ± −= ; es decir 1x = y

6x = . La superficie de la parcela es

( )( ) ( )66 6 3 2

2 2 2

1 1 1

5 1253 3 7 6 63 2 6x xS x x dx x x dx x m

⎛ ⎤= + − − = − + − = − + − =⎜ ⎥

⎝ ⎦∫ ∫

La cantidad de agua necesaria es igual a 125·12 2506

= litros.

5.- Un comercio tiene un total de 270 unidades de productos de tres tipos: A, B y C. Del tipo A tiene 30 unidades menos que de la totalidad de B más C y del tipo C tiene el 35% de la suma de A más B. ¿Cuántos productos de cada tipo hay en el comercio? Solución El sistema es:

( )

27030

0.35

A B CB C AC A B

+ + =+ − =

= +

,

La solución es 120A = , 80B = , 70C = Prueba B

1. Cinco de cada veinte aparatos electrónicos de un determinado tipo, tienen alguna avería dentro del periodo de garantía de 2 años. Un comercio vende 120 de esos aparatos:

a) ¿Cuál es el número esperado de aparatos que se averiarán en el periodo de garantía? b) Hallar la probabilidad de que el número de aparatos averiados esté entre 25 y 40. c) Hallar la probabilidad de que el número de aparatos no averiados sea inferior a 80.

Solución

a) Número esperado 5120 3020

=

b) El número de aparatos averiados, X, es una variable 1120,4

Bi ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Como 30n > , 5np > y ( )1 5n p− > , ( )1 3 10120, 30, 30,4.74344 2

X Bi N N⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∼ ∼

( ) ( ) ( )5 1025 40 1.05 2.11 0.9826 1 0.8531 0.83574.7434 4.7434

p X p Z p Z−⎛ ⎞< < = < < = − < < = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

c) El número de aparatos no averiados, Y, es una variable 3120,4

Bi ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Como 30n > , 5np > y ( )1 5n p− > , ( )3 3 10120, 90, 90,4.74344 2

Y Bi N N⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∼ ∼

( ) ( )80 2.11 0.0174p Y p Z< = < − = 2.- Se afirma que el precio medio de la compra en un hipermercado, durante los comienzos de mes, es, a lo sumo, de 155 € con una desviación típica de 20 €. Para contrastar lo anterior, se elige una muestra de 81 compras y se obtiene que el precio medio es igual a 165€. Suponiendo que el precio de la compra sigue una distribución normal:

a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la hipótesis inicial? b) A partir de los datos muestrales y con una confianza del 90%, ¿cuál es el error máximo al

estimar el precio medio de la compra? Solución Si X representa el precio de la compra, ( ), 20X N µ∼ El contraste que hay que plantear es:

0 0

1

: 155: 155

HH

µ µµ≤ =

>

a) Región crítica: { }020155 2.32 160.1581

x z x xnασµ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

. Como 165x = , se

rechaza 0H .

b) Error 2· 201.645 3.65

9

z

n

α σ= = =

3.- En un barrio de una gran ciudad se inspeccionan 121 viviendas detectando que 22 están deshabitadas.

a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de viviendas habitadas en dicho barrio con un nivel de confianza del 90% .

b) Con un nivel de significación del 5% ,¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de viviendas deshabitadas en el barrio es, a lo sumo, del 15%?

Solución

a) 99 9ˆ 0.8181121 11

p = = = , 0.052

0.1 0.05 1.6452

z zααα = ⇒ = ⇒ = =

( ) ( ) [ ]2 2

2 9 18·ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 11 11 121ˆ ˆ, 0.8181 1.645 ,0.8181 1.645 0.7604,0.8757121 121

p p p pp z p z

n nα α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥− + = − + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

b) Planteamos el siguiente contraste: 0 0

1

: 0.15: 0.15

H p pH p

≤ = ⎫⎬> ⎭

0.052ˆ121; 0.1818; 0.05; 1.645

11n p zα= = = = =

Región crítica:

( ) { }0 00

181 121ˆ ˆ ˆ0.15 1.645 0.20767

121p p

p p z p pnα

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭

⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Como ˆ 0.20767p < , se acepta 0H . 4.- Los beneficios (en millones de euros) generados por el funcionamiento de una industria vienen

dados en función del tiempo (en años) por: ( ) 2

21

tb tt

=+

a) ¿Cuándo los beneficios son de un millón de euros? b) ¿Cuándo los beneficios son máximos? ¿Cuándo crecen y cuando decrecen? c) ¿Qué ocurre cuando pasan muchos años?

Solución

a) Si 2

2 11

tt=

+, 2 2 1 0t t− + = , 2 4 4 1

2t ± −= =

b) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 22 2

2 1 4 2 2 01 1

t t tb tt t

+ − −′ = = =+ +

, 1t = es un máximo ya que:

( ) ( ) ( ) ( )( )

22 2 2

22

4 1 4 1 2 20

1

t t t t tb t

t

− + − + −′′ = <

+ cuando 1t = .

Los beneficios crecen entre 0 y 1 y decrecen a partir de 1.

c) 2

2lim 01t

tt→∞=

+, es decir cuando pasan muchos años los beneficios tienden a cero.

5.- Dos compuestos medicinales tienen dos principios activos A y B. Por cada píldora, el primer compuesto tiene 2 unidades de A y 6 de B, mientras que el segundo compuesto tiene 4 unidades de A y 4 unidades de B. Durante un periodo de tiempo, un paciente debe recibir un mínimo de 16 unidades tipo A y un mínimo de 24 unidades tipo B. Si el coste de cada píldora del primer compuesto es de 0,50 € y el coste de cada píldora del segundo compuesto es de 0,90 €:

a) Representar la región factible b) Calcular el número óptimo de píldoras de cada compuesto que debe recibir el paciente para

minimizar los costos. Solución Se plantea el siguiente problema:

1 2

1 2

1 2

1 2

min 0.5 0.9. : 2 4 16 6 4 24 , 0

x xs a x x

x xx x

++ ≥+ ≥

≥

Región factible no acotada.

Vértices: (8,0), (0,6) y (2,3). Solución óptima: (2,3). Valor óptimo: 3.7

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E.

CURSO 2007 - 2008 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS.

PRUEBA A

1.- Se afirma que “por lo menos el 60% de los estudiantes almuerzan en el comedor de la Facultad”. Para contrastarlo se toma una muestra de 441 estudiantes resultando que 220 almuerzan en dicho comedor.

a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación inicial? b) Construir un intervalo de confianza, de nivel 0.95, para la proporción poblacional de estudiantes que

almuerzan en el comedor de la Facultad. Solución a) Planteamos el contraste:

0 0

1

: 0.6: 0.6

H p pH p

≥ = ⎫⎬< ⎭

1220ˆ441; 0.4988; 0.01; 2.33441

n p z αα −= = = = = −

Región crítica:

( ) ( ) { }0 00 1

1 0.6 1 0.6ˆ ˆ ˆ0.6 2.33 0.5456

441p p

p p z p pnα−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪< + = < − = <⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

.

Como ˆ 0.5456p < , no se acepta 0H . b) El intervalo de confianza es:

2 2


⎡ ⎤− −− +⎢ ⎥

⎣ ⎦

Como ˆ 0.4988p = , 2


( ) ( ) [ ]0.4988 1 0.4988 0.4988 1 0.49880.4988 1.96 ,0.4988 1.96 0.4521, 0.5455

441 441

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− + =⎢ ⎥⎣ ⎦

2.- Una encuesta, realizada sobre una muestra de los jóvenes de una ciudad, para determinar el gasto mensual medio (expresado en euros) en teléfono móvil, concluyó con el intervalo de confianza al 95%: [ ]10.794, 13.206 .

a) ¿Cuál es el gasto mensual medio muestral? b) ¿Cuál es el correspondiente intervalo de confianza al 99%? c) Si, aproximando con cuatro cifras decimales, la desviación típica del gasto mensual es de 7.9989

euros, ¿cuál es el tamaño de la muestra encuestada?

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a

cuatro de las cinco preguntas.

- Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 puntos.

Solución

a) El gasto mensual medio muestral es 10.794 13.206 122+

= euros.

b) Tenemos que 1.206 1.96nσ

= . Por tanto, 1.206 0.61531.96n

σ= = . Por tanto, el intervalo de confianza al

99% es: [ ] [ ]12 2.575 0.6153 10.4156, 13.5844± × =

c) Como 0.6153nσ

= , 27.9989 169

0.6153n ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

3.- El precio en euros, P, de un producto depende del número de días, x, transcurridos desde que dicho producto se puso en venta. La función que relaciona x y P es:

( )2

20 3753xP x x= − + +

a) Determinar si la función tiene máximo y/o mínimo. Razonar la respuesta.

b) Si el producto se retira del mercado porque el precio es nulo, ¿cuándo ocurre esto?

c) Estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la función.

Solución

a) ( ) 2' 20 03xP x = − + = , 30x = . Como ( ) 2'' 30

3P = − , en 30x = hay un máximo. No hay mínimo.

b) Si ( )2

20 375 03xP x x= − + + = , 20 400 500 20 30

2 23 3

x − ± + − ±= =

− −, 75x = . A los 75 días se retira del

mercado. c) ( )P x crece en el intervalo [ )0,30 y decrece en ( )30,∞ 4.- Una alfombra de flores lleva 21 rosas por cada 4 decímetros cuadrados de superficie. Se quiere rellenar de rosas una parte de la alfombra cuya gráfica está limitada por las funciones 2 4 3y x x= − + + e 3y = . Si se mide en metros:

a) Representar la parte de la alfombra. b) Calcular el área de la parte de la alfombra. c) Si cada rosa cuesta 0,3€, ¿Cuánto cuesta rellenar esa parte de la alfombra?

Solución a)

b) Los puntos de corte son ( )0,3 y ( )4,3 . La superficie es

( )44 3

2 2 2 2

0 0

64 32 32004 2 323 3 3 3xS x x dx x m dm⎛ ⎤

= − + = − + = − = =⎜ ⎥⎝ ⎦

∫

El número de rosas necesarias es

32003 21 56004

= . El coste es 5600 0.3 1680× = €

5.- En un hotel hay un total de 240 turistas ingleses, alemanes y franceses. Si los franceses son la tercera parte de la suma de alemanes e ingleses y el 200% de los ingleses igualan a la suma de alemanes y franceses:

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar cuántos turistas de cada nacionalidad hay en el hotel.

Solución

240 80100

3602

i a f ii af a

fi a f

+ + = ⎫ =⎪+ ⎪= ⇒ =⎬⎪ == + ⎪⎭

PRUEBA B

1.- En un IES hay 650 estudiantes. Su altura, medida en metros, sigue una variable normal de media 1.65 y de desviación típica 0.1.

a) ¿Cuántos estudiantes se espera que midan más de 1.75 metros? b) Si el 97.72% de los estudiantes no sobrepasan una determinada altura, ¿cuál es esa altura? c) Si se han de elegir los 200 estudiantes cuya altura esté más próxima a la media (por exceso o por

defecto), ¿cuál es el intervalo de alturas que se debe fijar? Solución

(1.65,0.1)X N∼

a) ( ) ( )0.11.75 1 0.15870.1

P X P Z P Z⎛ ⎞> = > = > =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Por tanto, miden más de 1.7 metros

650 0.1587 103.15 103× = ≅ estudiantes

b) ( ) 1.65 0.97720.1

hP X h P Z −⎛ ⎞≤ = ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Entonces 1.65 20.1

h −= . Es decir, 1.85h = metros.

c) ( ) 2001.65 1 20.1 0.1 0.1 650

a a aP a X a P Z P Z−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ≤ − ≤ = ≤ ≤ = − > =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. Por tanto, 0.34610.1aP Z⎛ ⎞> =⎜ ⎟

⎝ ⎠ y

0.3950.1a

= ; es decir: 0.0395a = . El intervalo de alturas es [ ]1.6105, 1.6895 .

2.- Para estimar el gasto medio por comensal en un restaurante, se toma una muestra de 81 personas resultando que el gasto medio muestral es de 27.50 euros. Si la desviación típica es de 5.30 euros. Con una confianza del 98%:

a) Construir un intervalo de confianza para la media poblacional de dicho gasto. b) Hallar el tamaño de la muestra para que la estimación de dicho gasto se haga con un error menor de 1

euro. Solución

a) [ ]2 2

5.3 5.3, 27.5 2.33 , 27.5 2.33 [27.5 1.37] 26.1278, 28.872181 81


− + = − + = ± =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

El gasto medio por comensal es un valor del intervalo [ ]26.12, 28.87 , con un nivel de confianza del 98%.

b) 2 2

/ 2· 2,33· 5.3 152.49 1531

zn nE

α σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ = = ⇒ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Hace falta un tamaño muestral de al menos 153 comensales para estimar la media con un error menor de 1 euro con un nivel de confianza del 98%. 3.- Se afirma que la proporción de personas que contratan un determinado servicio telefónico es, como mínimo, del 23%. Sin embargo, la compañía telefónica sospecha que actualmente dicha proporción ha variado. Para comprobarlo hace una encuesta a 500 clientes potenciales entre los que sólo 98 piensan contratar dicho servicio.

a) Con un nivel de significación del 5%, determinar si es aceptable la afirmación inicial. b) Con los datos muestrales y con un nivel del 95%, determinar el intervalo de confianza para la

proporción poblacional de personas que piensan contratar el servicio en cuestión.

Solución a) Planteamos el contraste:

0 0

1

: 0.23: 0.23

H p pH p

≥ = ⎫⎬< ⎭

198ˆ500; 0.196; 0.05; 1.645

500n p z αα −= = = = = −

Región crítica:

( ) ( ) { }0 00 1

1 0.23 1 0.23ˆ ˆ ˆ0.23 1.645 0.199

500p p

p p z p pnα−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪< + = < − = <⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

.

Como ˆ 0.199p < , no se acepta 0H . b) El intervalo de confianza es:

2 2


⎡ ⎤− −− +⎢ ⎥

⎣ ⎦

Como ˆ 0.196p = , 2


( ) ( ) [ ]0.196 1 0.196 0.196 1 0.1960.196 1.96 ,0.196 1.96 0.1612, 0.2308

500 500

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− + =⎢ ⎥⎣ ⎦

.

4.- Los gastos de mantenimiento de la maquinaria de una determinada empresa, ( )G x (en miles de euros), vienen dados en función del tiempo, x en meses, que dicha maquinaria lleva en funcionamiento. La expresión de ( )G x es:

( )2 3, si 0 1515

6 60 , si 1515

x xG x

x xx

⎧− + ≤ ≤⎪⎪= ⎨ −⎪ >⎪ +⎩

a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

b) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo?

c) ¿Alcanza la función algún máximo o mínimo? Razona la respuesta.

Solución a)

( )

( )2

2 , si 0 1515

' 150 , si 1515

xG x

xx

⎧− < <⎪⎪= ⎨⎪ >

+⎪⎩

La función decrece en el intervalo [ )0,15 y crece en el intervalo ( )15,∞ .

b) ( )lim 6.x

G x→∞

=

c) Tiene un mínimo en 15x = (siguiendo a)). 5.- En un almacén de electrodomésticos hay neveras y lavadoras, pudiéndose almacenar hasta un total de180. Para atender adecuadamente la demanda de los clientes, deben existir al menos 30 lavadoras y el número de neveras debe ser, al menos, igual al número de lavadoras más 20. Si el costo de cada nevera es de 450 euros y

de cada lavadora es de 375 euros, a) Formular el correspondiente problema b) Representar la región factible. c) ¿Cuántas unidades de cada electrodoméstico se han de almacenar minimizando los costos totales?

Solución

Vértices: ( )50,30 , ( )150,30 y ( )100,80 con valores objetivos iguales a 33750, 78750 y 75000,

respectivamente. El mínimo se alcanza en ( )50,30 .

1 2

1 2

1 2

2

1 2

min 450 375. : 180

20 30 , 0

x xs a x x

x xxx x

++ ≤− ≥

≥≥



PRUEBA A 1.- Para una muestra de 25 personas, el consumo medio diario de agua es de 115 litros con una desviación típica de 18 litros.

a) Obtener un intervalo de confianza al 98% de confianza para el consumo medio diario de agua por persona.

b) Con un nivel de confianza del 99%, ¿cuál es el tamaño muestral necesario para estimar el consumo medio diario de agua por persona con un error menor de 5 litros?

Solución

a) [ ]2 2

18 18, 115 2.33 , 115 2.33 [115 8.38] 106.612, 123.38825 25


− + = − + = ± =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

El consumo medio de agua por persona al día es un valor del intervalo [ ]106.62, 123.38 , con un nivel de confianza del 98%.

b) 2 2

/ 2· 2.575·18 85.9329 865

zn nE

α σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ = = ⇒ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Hace falta un tamaño muestral de al menos 86 unidades para estimar la media con un error menor de 5 litros con un nivel de confianza del 99%. 2.- Con un nivel de confianza igual a 0.95, a partir de un estudio muestral, el intervalo de confianza de la proporción de habitantes de una comunidad que tienen ordenador portátil es [ ]0.1804, 0.2196 .

a) ¿Cuál es la proporción muestral de habitantes de esa comunidad que tienen ordenador portátil? ¿Cuál es el tamaño de la muestra?

b) ¿Cuál debería ser el tamaño muestral para estimar la citada proporción, con una confianza del 95%, con un error máximo de 0.01?

Solución

a) La proporción muestral es el punto medio del intervalo, es decir 0.1804 0.2196ˆ 0.22

p += = .

Como ( )2

ˆ ˆ10.0196

p pz

nα

−= , al ser

2

1.96zα = , 1600n =




b) Como ( )2

ˆ ˆ10.01

p pz

nα

−≥ , debería ser ( )

( )

2

2

1.96 0.166146.56 6147

0.01n n≥ = ⇒ ≥

3.- Una parcela está rodeada por dos carreteras cuyo trazado viene dado por las funciones 2( ) 9 8f x x x= − + − y ( ) 2 2g x x= − . Siendo x en decámetros. a) Representar la parcela.

b) ¿Qué superficie tiene la parcela? a) Si el 70% de la superficie de la parcela se vende como suelo urbano a 500€ el metro cuadrado, el 20%

se tiene que donar al ayuntamiento y el resto se vende como suelo rústico a 45€ el metro cuadrado, ¿cuál es el valor de la parcela?

Solución

b) Puntos de corte; ( ) ( )f x g x=

12 2

2

19 8 2 2 7 6 0

6x

x x x x xx=⎧

− + − = − ⇒ − + − = ⇒ ⎨ =⎩

( ) ( ) ( )6 62 21 1

63 2 3 2 3 22 2

1

9 8 2 2 7 6

6 6 1 17 6 7 36 7 6 20.83 20833 2 3 2 3 2

x x x dx x x dx

x x x Dm m

− + − − − = − + − =

⎡ ⎤ ⎛ ⎞− + − = − + − − − + − = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫ ∫

c) 70 102083· 500 ·2083· 45 822785100 100

euros+ =

4.- Se quiere diseñar un panel, con forma de triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mida 5 metros.

a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los otros lados para que su área sea máxima. b) Si el panel se fabrica con chapa que cuesta 10 euros el metro cuadrado, ¿cuánto costará?

Solución a) Por el teorema de Pitágoras tenemos que:

2 2 2 2 225 25 25x y y x y x+ = ⇒ = − ⇒ = − Y queremos maximizar el área

5

y

x

( )

2

22 2

2 2

'

· · · 252

2 25 2· 25 252 25 25

x yMax Max x y Max x x

x xx x x xx x

= = −

− −− = − + =

− −

Los puntos extremos se obtienen al resolver:

2

21 22

25 2 25 250 25 2 0 ( )2 225

x x x y x descartadax

−= ⇔ − = ⇔ = = −

−

2 25 2525 252 2

y x y= − ⇒ = − =

Area máxima = 2

25 25 25· 252 2 2 6.252 2 4

m= = =

b) 6.25·10 = 62.5 euros 5.- En un domicilio se pagaron 3 facturas (agua, luz y teléfono) por un total de 140 €. De agua se pagó la tercera parte que de luz y la factura del teléfono fue el 45% del total.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) ¿Cuánto se pagó en cada factura?

Solución

140 19.2557.75

36345 140

100

A L T ALA L

TT

⎫⎪+ + =

= ⎫⎪⎪ ⎪= ⇒ =⎬ ⎬⎪ ⎪= ⎭⎪= ⎪⎭

PRUEBA B 1.- La empresa de transportes urgentes ”El Rápido” afirma en su publicidad que, al menos el 70% de sus envíos, llegan al día siguiente a su destino. Para contrastar la calidad de este servicio, la asociación de consumidores selecciona aleatoriamente 100 envíos observando que 39 no llegaron al día siguiente a su destino.

a) Con una significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la empresa? b) ¿Se concluiría lo mismo con un nivel de significación del 8%?

Solución

a) 0

1

: 0.7: 0.7

H pH p

≥ ⎫⎬< ⎭

0,0161ˆ100; 0,61; 0,01; 2.33

100n p zα= = = = =

Región de rechazo: ( ) { }0 0

01 0.7·0.3ˆ ˆ ˆ0.7 2.33 0.593

100p p

p p z p pnα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪< − = < − = <⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

Como ˆ 0.61p = se acepta 0H , con un nivel de significación del 1%.

b) Región de rechazo: ( ) { }0 0

01 0.7·0.3ˆ ˆ ˆ0.7 1.41 0.635

100p p

p p z p pnα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎪ ⎪ ⎪ ⎪< − = < − = <⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

Como ˆ 0.61p = se rechaza 0H , con un nivel de significación del 8%. 2.- Una nueva compañía telefónica desea estimar el número de viviendas de la ciudad que contrarían su servicio. Una vez realizada una encuesta en 400 viviendas, la empresa se encontró con que en 140 viviendas si contratarían su servicio.

a) ¿En qué intervalo se encuentra la proporción de viviendas de la ciudad que contratarían su servicio con una confianza del 97%?

b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario para estimar la proporción de viviendas que contratarían su servicio, con un error menor del 2% y con una confianza del 95%?

Solución

a) 0,015140ˆ400; 0,35; 0,03; 0,015; 2.17400 2

n p zαα= = = = = =

( ) ( )

2 2


p p p pp z p z

n nα α

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )

[ ] [ ]

0.35 1 0.35 0.35 1 0.350,35 2.17 , 0,35 2.17

400 400

0.35 0.0517 0.298, 0.401

⎡ ⎤− −⎢ ⎥= − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

= ± =

La proporción de viviendas de la ciudad que contratarían su servicio es un valor del intervalo [ ]0.298, 0.401 con una confianza del 97%.

b) ( ) ( )2 2

/ 2

2

ˆ ˆ1 1.96ˆ ˆ0.02 0.02 1 0.65· 0.35 21850.02 0.02

p p zE z p p n n nn

αα

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞< ⇒ < ⇒ − < ⇒ > ⇒ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Se necesitaría encuestar al menos a 2185 viviendas para estimar la proporción de viviendas que contratarían el servicio con un error menor del 2% con una confianza del 95%.

3.- Tras un estudio realizado para 25 estudiantes universitarios, se concluyó, con un nivel de confianza del 95%, que la media de horas a la semana dedicadas al estudio era un valor del intervalo [ ]32, 40 .

a) ¿Cuál es la media muestral de horas a la semana dedicadas al estudio? b) ¿Cuál sería el correspondiente intervalo de confianza al 99%? c) Si se reduce a la mitad la amplitud del intervalo (es decir, [ ]34,38 ), ¿qué nivel de confianza tendremos

en este intervalo? Solución

a) La media muestral es el punto medio del intervalo de confianza por tanto 36X = . b) El extremo inferior del intervalo de confianza al 95% tiene la expresión:

2

532 36 1.96 32 4 10.21.9625

x znασ σ σ σ− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =

Con lo cual, el intervalo de confianza al 99% será:

[ ]2 2

10.2 10.2, 36 2.57 , 36 2.57 [36 5.24] 30.76, 41.2425 25


− + = − + = ± =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

c) El extremo inferior del intervalo de confianza tiene la expresión:

2 2 2 2

10.2 234 36 34 5 0.98 0.1635 0.327 1 0.67310.2 225

x z z z znα α α ασ α α α− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ − =

Tendríamos un 67.3% de confianza de que la media de horas a la semana dedicadas al estudio en el intervalo [34,38]

4.- Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación, ( )C x en euros, están relacionados con el número de juguetes fabricados, x, a través de la expresión:

( ) 210 1850 25000C x x x= − + El precio de venta de cada juguete es de 50€.

a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios?

Solución a) ( ) 50I x x=

b) 2 2( ) ( ) ( ) 50 10 1850 25000 10 1900 25000B x I x C x x x x x x= − = − + − = − + − c) '( ) 20 1900; '( ) 0; 20 1900 0 95B x x B x x x= − + = − + = ⇒ = . Como ( )'' 95 20 0B = − < , en 95x = hay un máximo. Los beneficios máximos son 2(95) 10·95 1900·95 25000 65250B = − + − = € 5.- Un servicio técnico tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. Para el presente año ha de conseguir como clientes al menos a 20 empresas y a un número de clientes particulares que, como mínimo debe ser el doble que el número de empresas. Además tiene un límite global de 90 clientes anuales. Si cada empresa le produce 280 € de ingresos anuales y cada particular 170 € anuales:

a) Plantear el problema que maximiza los ingresos anuales y representar gráficamente el conjunto de soluciones posibles.

b) ¿Qué solución le proporcionaría los mayores ingresos anuales? ¿A cuánto ascenderían dichos ingresos?

Solución

a) b)

(20,40) 12400(20,70) 17500

(30,60) 18600

ff

f

==

=

280 170. : 90

2 0200

Max x ys a x y

x yxy

++ ≤

− + ≥≥≥



PRUEBA A 1.- Hace 4 años el gasto medio en material escolar de un niño de primaria al comienzo del curso era de 210

euros. Este año, para 60 niños, se obtuvo un gasto medio de 225 euros con una desviación típica de 20 euros.

a) Con un nivel de significación del 5%, ¿se acepta que el gasto medio actual sigue siendo de 210 euros?

b) Obtener un intervalo de confianza para el gasto medio con una confianza del 90%. Solución: a) Planteamos el contraste:

0

1

: 210: 210

HH

µµ= ⎫

⎬≠ ⎭ /2 0.02560 225; 0.05; 0.025; 1.96

2n X z zα

αα= = = = = =

Región de aceptación:

{ }0 /2 0 /220 20210 1.96 210 1.96 204.94 215.0660 60

z X z X Xn nα ασ σµ µ⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ≤ ≤ + = − ≤ ≤ + = ≤ ≤⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭.

Como [ ]225 204.94 , 215.06X = ∉ se rechaza 0H . b) Intervalo de confianza:

/ 2 0,050.1; 0,05; 1.642

z zααα = = = =

[ ]2 2

20 20, 225 1.64 ,225 1.64 220.76 , 229.2360 60

X z X zn nα ασ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

2.- Se cree que, como mínimo, el 45% de los conductores suspendería un examen teórico. Se les hizo un

examen teórico a 200 conductores de los cuales 70 suspendieron. a) Con un nivel de significación del 2%, ¿se acepta que, como mínimo, el 45% de los conductores

suspendería un examen teórico? b) Usando la información del estudio muestral anterior, ¿qué número de conductores sería necesario

examinar para, con una confianza del 90%, obtener un intervalo de confianza de amplitud 0.04? Solución: a)

0

1

: 0.45: 0.45

H pH p

≥ ⎫⎬< ⎭

0.0270ˆ200; 0.35; 0.02; 2.05200

n p z zαα= = = = = =





1 0.45 0.55ˆ ˆ ˆ0.45 2.05 0.377200

p pp p z p p

nα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ×⎪ ⎪ ⎪ ⎪< − = < − = <⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

Como ˆ 0.35p = se rechaza 0H , con un nivel de significación del 2%. b)

/2 0,05

2 2/2

2

0,1 0,05 1.642

ˆ ˆ·(1 ) 1.64ˆ ˆ·(1 ) 0.35 0.65 1529.71 15300.02

z z

p p zz E n p p n nn E

α

αα

αα = ⇒ = ⇒ = =

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞< ⇒ > − ⇒ > × = ⇒ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.- El rendimiento de dos trabajadores, en metros por hora, marcando una zanja, viene dado por las funciones

2( ) 19 66f x x x= − + + y 2( ) 5 150g x x x= − + + , respectivamente, para 0 8x≤ ≤ , siendo x el tiempo transcurrido desde el comienzo de la jornada..

a) ¿Qué trabajador comienza el día con mayor rendimiento? b) ¿Cuándo es máximo el rendimiento del primer trabajador? c) ¿Cuándo están rindiendo igual los dos trabajadores? d) ¿Cuántos metros marca, en su jornada de 8 horas, el segundo trabajador?

Solución:

a) (0) 66f = es el rendimiento del primer trabajador al comienzo del día (0) 150g = es el rendimiento del segundo trabajador al comienzo del día, que es mayor que el primero. b)

'( ) 2 19;'( ) 0 2 19 0 9.5 [0,8]

f x xf x x x

= − += ⇒ − + = ⇒ = ∉

Como la función es creciente en ( ,8]−∞ , el máximo lo alcanza al final de jornada, es decir en x = 8 c) 2 2( ) ( ) 19 66 5 150 6f x g x x x x x x= ⇒ − + + = − + + ⇒ = es decir, a la sexta hora están rindiendo igual los dos trabajadores. d)

[ ]

83 28 8 20 0

03 2

( ) 5 150 5 1503 2

8 85 150·8 0 1189.333 2

x xg x dx x x dx x

m

= − + + =− + + =

= − + + − =

∫ ∫

4.- La tasa de producción anual, en miles de toneladas, de una cantera de piedra, sigue la función

1 2 3 4 5 6 7 8

20

40

60

80

100

120

140

160

50 3 0 10( )

2 100 10x si x

f xx si x+ ≤ ≤⎧

= ⎨− + >⎩

siendo x el número de años desde su apertura. a) Representar la función. b)¿En qué momento es máxima la tasa de producción? c) ¿Cuándo es la tasa de producción igual a sesenta y dos mil toneladas? d) ¿Al cabo de cuántos años se extingue la cantera?

Solución:

a)

b) x = 10 años

c) 50 3 62 3 12 4

2 100 62 2 38 19x x x años

x x x años+ = ⇒ = ⇒ =⎧

⎨− + = ⇒ − = − ⇒ =⎩

d) x = 50 5.- Una empresa ha gastado 6560€ en comprar 90 cestas de navidad de tres tipos, que cuestan a 60, 80 y 120€,

respectivamente. Las cestas más caras son un 10% de las cestas compradas. a) Plantear el correspondiente sistema. b) ¿Cuántas cestas de cada tipo compró la empresa?

Solución: El sistema es:

90 90 9 90 5060 80 120 6560 60 80 120 6560 60 80 120·9 6560 31

10 9 9 9·90100

A B C A B C A B AA B C A B C A B B

C C CC

⎫⎪+ + = + + = + + = =⎫ ⎫ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = ⇒ + + = ⇒ + + = ⇒ =⎬ ⎬ ⎬ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎭ ⎭ ⎭⎪=⎭

10 20 30 40 50

20

40

60

80

PRUEBA B 1.- El 62% de los estudiantes universitarios son mujeres. Si se toma una muestra aleatoria de 150 estudiantes.

a) ¿Cuál es el número esperado de mujeres? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, como mínimo, 100 sean mujeres? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 85 y menos de 95 mujeres?

Solución: X=”nº de mujeres en 160 estudiantes universitarios”; ( )150,0.62X Bi≈ a) Número esperado · 150·0.62 93n p = =

b) Como 30n > , 5np > y ( )1 5n p− > , ( ) ( ) ( )150,0.62 ; ' 93, 150 0.62 0.38 93,5.94X Bi X N N≈ ≈ × × =

( ) ( ) ( )100 93100 ' 100 1.18 0.11905.94

P X P X P Z P Z−⎛ ⎞> ≅ > = > = > =⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Como 30n > , 5np > y ( )1 5n p− > , ( ) ( ) ( )150,0.62 ; ' 93, 150 0.62 0.38 93,5.94X Bi X N N≈ ≈ × × =

( ) ( ) ( )85 93 95 9385 95 85 ' 95 1.35 0.345.94 5.94

1 0.3669 0.0885 0.5446

P X P X P Z P Z− −⎛ ⎞< < ≅ < < = < < = − < < =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − − =

2.- En una muestra aleatoria de 80 vehículos, 56 son de gasolina.

a) Calcular un intervalo de confianza para la proporción de vehículos de gasolina, con un nivel de confianza del 98%.

b) Usando la información inicial, ¿cuál sería el tamaño muestral para estimar la proporción de vehículos de gasolina, con un error menor del 4% y con una confianza del 94%?

Solución: a) El intervalo de confianza es:

2 2


⎡ ⎤− −− +⎢ ⎥

⎣ ⎦

Como 56ˆ 0.780

p = = , / 2 0.010.02; 0.01; 2.332

z zααα = = = = , el intervalo es igual a:

[ ]0.7 0.3 0.7 0.30.7 2.33 ,0.7 2.33 0.5806, 0.819380 80

⎡ ⎤× ×− + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

b)

/2 0,03

2 2/2

2

0,06 0,03 1.882

ˆ ˆ·(1 ) 1.88ˆ ˆ·(1 ) 0.7 0.3 463.89 4640.04

z z


α

αα

αα = ⇒ = ⇒ = =

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞< ⇒ > − ⇒ > × = ⇒ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.- La pulgada es una unidad de longitud antropométrica que equivale a la longitud media de la primera falange del pulgar. Hace 150 años se estableció que esta medida era de 2,54 cm, y que la desviación típica de la longitud de la primera falange era de 0.2cm. Sin embargo, en 2008, para una muestra de 36 personas, se obtuvo una media de la longitud de la primera falange del pulgar de 2,63cm.

a) A partir de la información muestral y con una significación del 4%, ¿se sigue aceptando que la

longitud media de la primera falange del pulgar es 2.54 cm. frente a que ha aumentado? b) Obtener un intervalo de confianza al 98% para la longitud media de la primera falange del pulgar.

Solución: a) X=”Longitud de la primera falange”, ( ),0.2X N µ≈ El contraste que hay que plantear es: a)

0 0

1

: 2.54: 2.54

HH

µ µµ= = ⎫

⎬> ⎭ 0,042.61; 0,04; ; 1.75X zα= = =

Región de Rechazo: { }00.22.54 1.75 2.5936

x z x xnασµ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

> + = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Como 2.63X = , se rechaza 0H .

b) 0,010,02; 0.01; 2.332

zαα = = =

[ ]2 2

0.2 0.2, 2.63 2.33 , 2.63 2.33 [2.63 0.077] 2.552,2.70736 36


− + = − + = ± =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

4.- Debido a un chaparrón, el caudal de agua que entra a un depósito de recogida de agua sigue la función

2( ) 20f t t t= − + ( t expresado en minutos y f(t) en litros por minuto) a) ¿Cuánto tiempo está entrando agua al depósito? b) ¿Cuándo es máximo el caudal que entra? ¿Cuánto es ese caudal máximo? c) ¿Cuántos litros se han recogido tras el chaparrón?

Solución:

a) Dejará de entrar agua cuando ( ) 0f t = ; 12

2

020 0

20t

t tt=⎧

− + = ⇒ ⎨ =⎩

Durante 20 minutos estuvo entrando agua al depósito. b) '( ) 0 2 20 0 10f t t t= ⇔ − + = ⇔ = , ''( ) 2 0f t = − < , luego a los 10 minutos es cuando más agua está entrando. 2(10) 10 20·10 100f = − + = litros por minuto c)

( )203 2 3 220 2

00

20 2020 20 20 1333.333 2 3 2t tt t dt litros⎡ ⎤

− + = − + = − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

5.- En una pastelería se preparan dos tipos de roscones. Para cada unidad del primero se necesitan 5 huevos y 1.5 kilos de harina y para cada unidad del segundo son necesarios 8 huevos y 4 kilos de harina. Hay que fabricar al menos 16 unidades del tipo A. Los del tipo A se venden a 10€ y los del tipo B a 14€. Se disponen de 400 huevos y 160 kilos de harina y se quiere determinar el número de roscones de cada tipo que se han de producir para maximizar los ingresos.

a) Plantear el problema y representar la región factible. b) ¿Cuál es la producción que maximiza los ingresos? c) Con la producción que maximiza los ingresos, ¿se gasta toda la harina?

a) b)

(40,25) 10 40 14 25 750(16,34) 160 14 34 636

(80,0) 10 80 14 0 800

ff

f

= × + × == + × =

= × + × =

c) Se gastaron 80×1.5 =120 kilos de harina; es decir, sobraron 40 kilos.

10 14. : 5 8 400

1.5 4 16016

, 0

Max x ys a x y

x yxx y

++ ≤+ ≤

≥≥



PRUEBA A 1.- Se afirma que el peso medio de los alumnos de secundaria es, como máximo, de 65 kilos con una desviación típica de 2.5 kilos. Se toma una muestra de 110 alumnos de secundaria y se obtiene un peso medio de 68 kilos.

a) ¿Se puede aceptar la afirmación anterior con un nivel de significación del 10 %? b) ¿Se concluye lo mismo si el nivel de significación es igual a 0.01?

Solución Contraste:

0 0 0

1 0 1

: : 65: : 65

H HH H

µ µ µµ µ µ≤ ≤⎫ ⎫

⎬ ⎬> > ⎭⎭

a)

0

0

Re

1.28, 65.305

68, 68 65.305

gión Crítica

z x zn

EstadísticoxSe rechaza H

α ασµ= > + =

= >

b)

0

0

Re

2.33, 65.55

68, 68 66.45

gión Crítica

z x zn

EstadísticoxSe rechaza H

α ασµ= > + =

= >

2.- Una empresa de productos ecológicos desea estimar el número de familias de la ciudad que comprarían sus productos. Para ello realiza una encuesta en 625 familias entre las que 200 respondieron afirmativamente.

a) ¿En qué intervalo se encuentra la proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos de la empresa con una confianza del 97%?

b) Usando la información que suministra la encuesta, ¿qué tamaño muestral sería necesario para estimar




la proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos de la empresa, con un error menor que el 2% y con una confianza del 95%?

Solución

a) 0,015200ˆ625; 0.32; 0,03; 0,015; 2.17625 2

n p zαα= = = = = =

( ) ( )2 2


p p p pp z p z

n nα α

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )

[ ]

0.32 1 0.32 0.32 1 0.320.32 2.17 , 0.32 2.17

625 625

0.2795,0.3605

⎡ ⎤− −⎢ ⎥= − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

=

La proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos es un valor del intervalo [ ]0.2795,0.3605 con una confianza del 97%.

b) ( ) ( )2 2

/2

2

ˆ ˆ1 1.96ˆ ˆ0.01 0.01 1 0.68·0.32 20900.02 0.02

p p zE z p p n n nn

αα

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞< ⇒ < ⇒ − < ⇒ > ⇒ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Se necesitaría encuestar al menos a 2090 viviendas para estimar la proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos con un error menor del 2% con una confianza del 95%. 3.- En un jardín hay una superficie limitada por las curvas ( )22y x= − e 2 4y x= − + , donde x está expresado en metros.

a) Representar la superficie. b) ¿Cuánto mide? c) Si se recubre con grava, con una altura de 10 centímetros, ¿cuántos metros cúbicos de grava son

necesarios para recubrir la superficie?

Solución 2 2 2 2

0

8( 4) ( 2) 2.66663

x x dx m− + − − = =∫

Se necesitan 0.26666 m3 de grava.

4.- En un estudio realizado en un periodo de 10 años ( 0 10t≤ ≤ ), el nivel de contaminación de CO2 que

produce la circulación de vehículos viene dado por la expresión 22( ) 4 505

C t t t= − + + . Calcular:

a) El momento en el que el nivel de contaminación es máximo.

b) ¿Cuál es el nivel máximo? ¿Cuál es el nivel mínimo y cuándo se alcanza? c) De los diez años, ¿cuál ha sido el periodo de crecimiento?

Solución

4 4) ( ) 4 0 5 ( ) 05 5

a C t t t C t máximo−′ ′′= − + = ⇒ = = < ⇒

b) (5) 60C = es el nivel máximo. El nivel mínimo es (0) (10) 50C C= = y se alcanza, obviamente, al comienzo y al final del periodo en estudio.

c) El periodo de crecimiento es en los 5 primeros años. De (0,5) C’(t)>0 creciente y de (5,10) C’(t)<0 decreciente 5.- El dueño de un bar ha comprado refrescos, cervezas y vinos por un importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es de 80 € menos que el de los refrescos y cerveza juntos. De impuestos ha pagado un 5% por los refrescos, un 20% por la cerveza y un 30% por el vino, lo que hace un total de 103 € de impuestos.

a) Plantear el correspondiente sistema b) ¿Cuánto ha pagado, sin impuestos, por cada tipo de bebida? c) ¿Cuánto ha pagado, con impuestos, por cada tipo de bebida?

Solución: a) Si x = importe (sin impuestos) de los refrescos, y = importe (sin impuestos) de las cervezas, z = importe (sin impuestos) de los vinos, el sistema es:

50080

5 20 30 10300

x y zx y zx y z

+ + = ⎫⎪+ − = ⎬⎪+ + = ⎭

b) Por cada bebida ha pagado (sin impuestos), 120 170 210x y z= = = . c) Por cada bebida ha pagado (con impuestos), 126 (refrescos), 204(cervezas) y 273(vinos).

PRUEBA B

1.- Los datos históricos indican que la proporción de personas que compran leche de la marca A es del 38%. El responsable de ventas de una cadena de grandes almacenes sospecha que dicha proporción ha aumentado y, para contrástarlo, toma una muestra de 1044 clientes de los que 429 compran leche de dicha marca.

a) Con una significación del 4%, ¿es la información muestral suficiente para rechazar que la proporción sigue siendo del 38% e inclinarnos por que dicha proporción ha aumentado?

b) ¿Cuál es la conclusión con una significación del 1%? Solución: a)

0

1

: 0.38: 0.38

H pH p

= ⎫⎬> ⎭

0,04429ˆ1044; 0.4109; 0.04; 1.75

1044n p z zαα= = = = = =


1 0.38 0.62ˆ ˆ ˆ0.38 1.75 0.40631044

p pp p z p p

nα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ×⎪ ⎪ ⎪ ⎪> − = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

Como ˆ 0.4109p = se rechaza 0H , y le damos la razón al responsable de ventas, con un nivel de significación del 4%. b)

0

1

: 0.38: 0.38

H pH p

= ⎫⎬> ⎭

0,01429ˆ1044; 0,4109; 0,01; 2.33

1044n p z zαα= = = = = =


1 0.38 0.62ˆ ˆ ˆ0.38 2.33 0.4151044

p pp p z p p

nα

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ×⎪ ⎪ ⎪ ⎪> − = > + = >⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

Como ˆ 0.4109p = se acepta 0H , y no le damos la razón al responsable de ventas, con un nivel de significación del 4%. 2.- Para estimar el gasto medio en libros y material escolar por alumno de secundaria en la enseñanza pública se toma una muestra de 121 de estos alumnos, resultando que dicho gasto medio es de 286 euros con una desviación típica de 65 euros. Se pide:

a) Estimar el gasto medio poblacional con una confianza del 95%. b) ¿De qué tamaño debería ser la muestra para, con una confianza del 99%, cometer un error menor de 10

euros en dicha estimación. Solución a) Intervalo de confianza:

/2 0.0250.05; 0.025; 1.962

z zααα = = = =

[ ]2 2

65 65, 286 1.96 ,286 1.96 274.42 , 297.58121 121

X z X zn nα ασ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

b)

/2 0.0050.01; 0.005; 2.572

z zααα = = = =

2 2/2· 2.575 65 280.14 281

10zn n

Eα σ ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ = = ⇒ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.- Se sabe que 8 de cada 10 profesores universitarios tienen ordenador portátil. Si tomamos 300 de estos profesores, calcular la probabilidad de que tengan ordenador portátil:

a) Más de 250. b) Menos de 230. c) Más de 220 y menos de 255.

Solución: X=”nº de profesores con portátil en 300 profesores”; ( )300,0.8X Bi≈

Como 30n > , 5np > y ( )1 5n p− > ,

( ) ( ) ( )300,0.8 ; ' 300 0.8, 300 0.8 0.2 240, 6.928X Bi X N N≈ ≈ × × × =

a) ( ) ( ) ( )250 240250 ' 250 1.44 0.07496.928

P X P X P Z P Z−⎛ ⎞> ≅ > = > = > =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( ) ( )230 240230 ' 230 1.44 0.07496.928

P X P X P Z P Z−⎛ ⎞< ≅ < = < = < − =⎜ ⎟⎝ ⎠

c)

( ) ( ) ( )220 240 255 240220 255 220 ' 255 2.88 2.166.928 6.928

0.9846 0.002 0.9826

P X P X P Z P Z− −⎛ ⎞< < ≅ < < = < < = − < < =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − =

4.- El número de miles de afiliados a un partido político, A(x), en función de los años, x, transcurridos desde su creación en el año 2000, viene dada por: 3 2( ) 8 13 294A x x x x= − + +

a) ¿Cuántos afiliados había en el año 2000? b) Calcular los máximos y mínimos de la función. c) ¿En qué años decrece el número de afiliados?

Solución: a) (0) 294A = b)

2

2

'( ) 3 16 131

'( ) 0 3 16 13 0 133

''( ) 6 16''(1) 10 En 1 hay un máximo

13 13'' 10 En hay un mínimo3 3

A x x xx

A x x xx

A x xA x

A x

= − +=⎧⎪= ⇒ − + = ⇒ ⎨=⎪⎩

= −= − ⇒ =⎧

⎪⎨ ⎛ ⎞ = ⇒ =⎜ ⎟⎪⎩ ⎝ ⎠

c) El número de afiliados decrece entre el año 2001 y el primer cuatrimestre de 2004. 5.- Una fábrica produce dos tipos de televisores: A y B. Para fabricarlos se necesita un tiempo de producción en máquinas y un acabado a mano que realizan los operarios. La venta del modelo A, que necesita 2 horas en las máquinas y media hora de trabajo a mano, produce un beneficio de 60 euros. La venta del modelo B, que necesita 3 horas en las máquinas y un cuarto de hora de trabajo a mano, origina un beneficio de 55 euros.

Se dispone de un total de 300 horas de trabajo en máquinas y 60 horas de trabajo a mano. Entre los dos tipos de televisores han de fabricarse por lo menos 90. ¿Qué cantidad de televisores de cada tipo ha de producirse para que el beneficio sea máximo? Solución:

(0,90) 60 0 55 90 4950(0,100) 60 0 55 100 5500(90,0) 60 90 55 0 5400(120,0) 120 60· 55· 0 7200

(105,30) 60· 105 55 30 7950

ffff

f

= × + × == × + × == × + × == × + × =

= × + × =

Para maximizar los beneficios se deben fabricar 30 televisores del tipo A y 105 televisores del tipo B.

60 55. : 2 3 300

0.5 0.25 6090

, 0

Max x ys a x y

x yx yx y

++ ≤+ ≤

+ ≥≥

1

1

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD


PRUEBA A

PRUEBA A 1.- Se quiere estimar el tiempo medio que emplean los estudiantes en llegar desde su domicilio al instituto. Encuestados 60 alumnos se obtuvo un tiempo medio de 23 minutos con una desviación típica de 7 minutos.

a) Obtener un intervalo de confianza para el tiempo medio con una confianza del 90%. b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario tomar para estimar el tiempo medio con un error

inferior a 1.5 minutos con una confianza del 98%. Solución a)

/2 0,0560; 23; 7; 0.1; 0,05; 1.642

n X z z

2 2

7 7, 23 1.64 , 23 1.64 21.51, 24.4860 60

X z X zn n

b)

/ 2 0.010.02; 0.01; 2.332

z z

2 2/ 2· 2.33 7 118.22 119

1.5zn n

E

2.- Se sabe que aprueban el 65% de las personas que se presentan por primera vez al examen para obtener el carnet de conducir. Si un día se van a presentar 180 personas por primera vez:

a) ¿Cuántos se espera que suspendan? b) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben al menos 110? c) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben como mínimo 100 y como máximo 115?

Solución: X=”nº de aprobados en 180 presentados”; 180,0.65X Bi Número esperado de aprobados= [ ] · 180·0.65 117E X n p Número esperado de suspensos=180-117=63

b) Como 180 30n , 117 5np y 1 63 5n p . Una probabilidad sobre X se puede aproximar por una probabilidad sobre X’



2

2

180,0.65 ; ' 180 0.65, 180 0.65 0.35 117,6.4X Bi X N N

109.5 117110 ' 109.5 1.17 1 0.121 0.8796.4

P X P X P Z P Z

110 117110 ' 110 1.09 1 0.1379 0.86216.4

P X P X P Z P Z

c)

100 117 115 117100 115 100 ' 115 2.65 0.316.4 6.4

0.3783 0.004 0.3743

P X P X P Z P Z

99.5 117 115.5 117100 115 99.5 ' 115.5 2.73 0.236.4 6.4

0.4090 0.0032 0.4058

P X P X P Z P Z

3.- Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación, C(x) en euros, están relacionados con el número de juguetes fabricados, x, a través de la

siguiente expresión: 2

( ) 20 25010xC x x .

El precio de venta de cada juguete es de 80€. a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de

fabricación. c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos

beneficios? Solución a)

( ) 80I x x b)

2 2

( ) ( ) ( ) 80 20 250 60 25010 10x xB x I x C x x x x

c)

2

1 1'( ) 2 60 6010 5

1'( ) 0 60 0 3005

300(300) 60·300 250 8750€10

B x x x

B x x x

B

4.- Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar y pasar a papel 15.5 fotografías por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el número de fotografías por minuto será función de la antigüedad de la máquina de acuerdo a la siguiente expresión ( f(x) representa el número de fotografías por minuto cuando la máquina tiene x años ):

3

3

15.5 1.1 0 5( ) 5 45 5

2

x si xf x x si x

x

a) Estudiar la continuidad de la función f(x). b) Comprobar que el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de la máquina. c) Justificar que, si tiene más de 5 años, revelará menos de 10 fotografías por minuto. d) Por muy vieja que sea la máquina, ¿cuántas fotografías revelará por minuto?

Solución a)

Si (0,5)x , f(x) es continua pues se trata de un polinomio. Si (5, )x , f(x) es continua pues se trata de un cociente de polinomios, y en ese intervalo no se anula el denominador. En 5x

5 5

5 5

lim ( ) lim 15.5 1.1 10

5 45lim ( ) lim 10 ( ) es continua en 52

(5) 10

x x

x x

f x x

xf x f x xx

f

b)

2

1.1 0 535'( ) 52

si xf x si x

x

Si (0,5)x , '( )f x es negativa, luego f es decreciente. Si (0,5)x , '( )f x es negativa ya que el numerador es negativo y el denominador positivo, luego f es decreciente.

c) A los 5 años revela 10 y como es decreciente, pasados los 5 años revelará menos de 10.

d) 5 45lim ( ) lim 5

2x x

xf xx

fotografías por minuto

5.- Entre canarios, peninsulares y extranjeros, hay un total de 250 trabajadores en una empresa. Si el número de extranjeros se triplica habría 330 trabajadores en la empresa y si se duplica el número de canarios y se reduce a la mitad el número de peninsulares, habría 325.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) ¿Cuantos trabajadores hay de cada grupo? c) Si se incrementara un 15% el número de canarios y se redujera un 10% el número de

extranjeros, ¿cuántos trabajadores habría en la empresa? Solución a) y b)

250 250 1203 330 2 80 40

3 902 325 1752 2

C P E C P E CC P E E E

P PC E P E

c) 15 10120+ 120 90 40 40 264100 100

trabajadores.

4

4

PRUEBA B

1.- Los salarios netos que reciben los trabajadores de una región siguen una variable normal de media igual a 950 euros y desviación típica igual a 125.

a) ¿Cuál es probabilidad de que, elegido un trabajador, su salario neto sea de, al menos, 800 euros?

b) ¿Cuál es probabilidad de que, elegido un trabajador, su salario neto sea mayor que 700 euros y, como máximo, igual a 1100?

c) Si se seleccionan 675 trabajadores, ¿cuántos se espera que tengan un salario neto de, al menos, 1000 euros?

Solución: X Salario neto que reciben los trabajadores. 950,125X N

a) 800 1.2 0.8849p X p Z

b) 700 1100 2 1.2 0.8849 0.0228 0.8621p X p Z

c) Como 1000 0.4 0.3446p X p Z y 675 0.3446 232.605 , aproximadamente 233 trabajadores tienen un salario neto de, al menos, 1000 euros. 2.- En una muestra de 576 estudiantes universitarios, 400 van a clase en transporte público.

a) Con una confianza del 98%, determinar un intervalo de confianza para la proporción de universitarios que van a clase en transporte público.

b) A partir de los datos recogidos para la muestra, ¿se puede afirmar, con un nivel de significación del 5%, que la proporción de universitarios que van a clase en transporte público es, al menos, igual a 2/3?

Solución: a) El intervalo de confianza es:

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ,p p p pp z p zn n

Como 400ˆ 0.6944576

p , /2 0.010.02; 0.01; 2.332

z z , el intervalo es igual a:

0.6944 0.3056 0.6944 0.30560.6944 2.33 ,0.6944 2.33 0.64967, 0.73912576 576

b) Contraste

0 0

1

: 2 / 3: 2 / 3

H p pH p

0.05ˆ576; 0.6944; 0.05; 1.645n p z z

Región de rechazo: 0 00

1 2 2ˆ ˆ ˆ1.645 0.6343553 35

p pp p z p p

n

Como ˆ 0.6944p no se rechaza 0H , con un nivel de significación del 5%. 3.- Tras un estudio realizado para 49 televidentes menores de 16 años, se concluyó, con un nivel de confianza del 99%, que la media de horas a la semana dedicadas a ver programas de animación era un valor del intervalo 9,11 .

a) ¿Cuál es la media muestral de horas a la semana que los televidentes menores de 16 años dedican a ver programas de animación?

b) ¿Cuál sería el correspondiente intervalo de confianza al 95%?

5

5

c) Si se reduce a la mitad la amplitud del intervalo (es decir, 9.5, 10.5 ), ¿qué nivel de confianza tendremos en este intervalo?

Solución

a) El intervalo de confianza es 2 2

, 9,11X z X zn n

.

Por tanto, la media es el punto medio del intervalo, es decir, 10X .

b) Si 2

2.575,z 49n y 2

1zn

, entonces 2.72 . Por tanto si 0.05 , 2

1.96z y

2 2

2.72 2.72, 10 1.96 ,10 1.96 9.2384,10.76167 7

X z X zn n

.

c) Si 2 2

2.72 0.5, 1.29, 0.1, 0.27 2

z z

4.- Si t es el tiempo, expresado en años, c t es la función que mide los costos, en cientos de miles de euros, de una determinada empresa:

2 2, si 0 2

4 , si 2 1

t tc t t t

t

a) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función. b) ¿Cuándo los costos son máximos? ¿Cuál es el valor máximo del costo? c) ¿Cuál es el costo cuando transcurren los años indefinidamente?

Solución a)

2

2 , si 0 25 , si 2 1

t tc t t

t

Por tanto c t es creciente en 0, 2 y decreciente para 2t . b) Los costos son máximos en 2t y valen 600000 euros.

c) Como 4lim 11t

tt

, cuando transcurren los años indefinidamente los costos se aproximan a

100000 euros. 5.- Un agricultor tiene 10000 euros para invertir en su invernadero. Los tomates son más seguros, pero menos rentables (14%), las flores son más delicadas, pero tienen más rentabilidad (20%). Decide invertir, como mucho, 6000 euros en flores y, como mínimo, 2000 euros en tomates. Además, por la dedicación que requiere cada cultivo, decide que lo invertido en flores sea por lo menos lo invertido en tomates. Calcular cuánto debe invertir en cada cultivo para que el beneficio sea máximo . Plantear el correspondiente problema y calcular dicho beneficio. Solución

6

6

max 0.14 0.2. : 10000 2000 6000 , 0

x ys a x y

xyy x

x y

Región factible:

Los vértices de la región factible son: A(2000,2000); B(2000,6000) ; C(4000,6000) y D(5000,5000) y la solución es 4000 euros en tomates y 6000 euros en flores y el beneficio es de 1760 euros


FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD


PRUEBA A

PRUEBA A 1.- A un servicio de urgencias de un hospital llegan pacientes de tres procedencias distintas: remitidos por centros de salud (47%), por iniciativa propia (32%) y afectados por accidentes y trasladados directamente por ambulancias (21%). Los pacientes que presentan dolencias graves son el 10%, el 4% y el 25%, respectivamente. Si se elige aleatoriamente un paciente que llega a dicho servicio:

a) Hallar la probabilidad de que no tenga una dolencia grave. b) Si se le detecta una dolencia grave, determinar la probabilidad de que haya acudido por iniciativa

propia. Solución Sean A El paciente es remitido por un centro de salud B El paciente acude por iniciativa propia C El paciente es un afectado por accidente y trasladado directamente en ambulancia DG El paciente tiene una dolencia grave Evidentemente 0.47p A ,

0.32p B

0.21p C

/ 0.1p DG A , / 0.04p DG B y / 0.25p DG C . a) / / / 0.47 0.1 0.32 0.04 0.21 0.25 0.1123p DG p DG A p A p DG B p B p DG C p C

0.8877cp DG

b) / 0.0128/ 0.11398

0.1123p DG B p B

p B DGp DG

2.- Para una muestra de 625 jóvenes menores de 19 años se obtuvo una media muestral de 178 miligramos de colesterol por decilitro de sangre, con una desviación típica de 45 miligramos de colesterol por decilitro de sangre.

a) Si se afirma que el índice de colesterol medio en sangre, para jóvenes menores de 19 años, es como máximo 170 miligramos por decilitro, ¿los datos anteriores permitirían aceptar dicha afirmación con una significación del 1%?

b) Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media del colesterol por decilitro de sangre en la población de jóvenes menores de 19 años.

Solución a) El contraste que hay que plantear es:

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como

máximo) a cuatro de las cinco preguntas.


0 0

1

: 170: 170

HH

0,01178; 0,01; ; 2.33X z

Región de Rechazo: 0451.70 2.33 174.194625

x z x xn

Como 178X , se rechaza 0H .

b) /2 0.0050.05; 0.025; 1.962

z z

Intervalo de confianza:

2 2

45 45, 178 1.96 ,178 1.96 174.472, 181.528625 625

X z X zn n

3.- Supongamos que N x mide, sobre una escala en milímetros, el nivel del agua en un pantano en función del número de días, x, transcurridos en el año:

3 236 324 , si 0 21

189, si 21 x x x x

N xx

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) ¿En algún momento el nivel es mayor que 863? c) ¿Presenta la función alguna discontinuidad?

Solución a) Si 3 2 236 324 , 3 72 324 3 6 18 0, 6, 18f x x x x f x x x x x x x

6 72f x x , 6 0f (máximo), 18 0f (mínimo)

Intervalos de crecimiento 0,6 y 18, 21 .

Intervalo de decrecimiento 6,18 . Para 21x la función es constante.

b) 218 0f x x x . 6 864f . Por tanto, si 6x el nivel es mayor que 863.

c) Como 21 189f , N x es continua.

4.- La función 2

2

21

tg tt

controla las ganancias, en decenas de millones de euros, de una empresa en

función del tiempo 0t (expresado en años). a) ¿Cuándo las ganancias son máximas? b) ¿Cuándo las ganancias decrecen? c) ¿Cuántos millones de euros valen las ganancias cuando el tiempo crece indefinidamente?

Solución

a)

2 2

2 22 2

2 1 2 2 2 01 1

t t t t tg tt t

si 0t . Por tanto, las ganancias son máximas cuando

0t . b) Las ganancias decrecen en 0, .

c) 2

2

2lim 11t

tt

. Por tanto, las ganancias tienden a 10 millones de euros cuando el tiempo crece

indefinidamente.

5.- En una boda hay 350 invitados entre familiares de la novia, familiares del novio (no hay familiares de ambos) y amigos. Por cada once familiares hay tres amigos. Los familiares de la novia superan en 25 a los familiares del novio.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) ¿Cuántos familiares de la novia, familiares del novio y amigos hay en la boda?

Solución x familiares de la novia y familiares del novio z amigos Sistema:

3503

1125

x y zz

x yx y

x 150, y 125, z 75

PRUEBA B 1.- Una entidad bancaria concede tres tipos de créditos: para vivienda, para industria y personales. Se sabe que el 30% de los créditos que concede son para vivienda, el 50% para industria y el 20% restante son personales. Han resultado impagados el 5% de los créditos para vivienda, el 7% de los créditos para industria y el 12% de los créditos para consumo. Se pide:

a) Representar la situación mediante un diagrama en árbol. b) Seleccionado un crédito al azar, calcular la probabilidad de que se pague. c) Un determinado crédito ha resultado impagado. Calcular la probabilidad de que sea un crédito

de vivienda. Solución a) b)

( ) ( | )· ( ) ( | )· ( ) ( | )· ( )0.95·0.3 0.93·0.5 0.88·0.2 0.926

P Pag P Pag V P V P Pag I P I P Pag Per P Per

c) | · 0.05·0.3( | ) 0.2027

( ) 0.074P IMP V P V

P V IMPP IMP

2.- En su propaganda, un fabricante asegura que las bombillas que fabrica tienen una duración media de al menos 1600 horas. A fin de contrastar este dato, se tomó una muestra aleatoria de 100 bombillas, obteniéndose una duración media de 1570 horas, con una desviación típica de 120 horas.

a) Plantear el contraste, para decidir si se acepta la información del fabricante. b) ¿Puede aceptarse la información del fabricante con un nivel de significación del 4%?

W

Per

V

Imp

( ) 0.3P V

( ) 0.2P Per

(Imp | ) 0.05P V

I ( ) 0.5P I

( | ) 0.95P Pag V Pag

Imp (Imp | ) 0.07P I

( | ) 0.93P Pag I Pag

Imp (Imp | ) 0.12P Per

( | ) 0.88P Pag Per Pag

c) Si la misma información muestral se hubiese obtenido de una muestra de 40 bombillas, ¿se aceptaría la información del fabricante con un nivel de significación del 4%?

Solución a)

Contraste: 0 0 0

1 0 1

: : 1600: : 1600

H HH H

b) 0.04100; 1570; 120; 0.04; 1.75n X z z

Región Crítica 01201600 1.75 1579100

x zn

01570 1579Como X Se rechaza H c)

0.0440; 1570; 120; 0.04; 1.75n X z z

Región Crítica 01201600 1.75 1566.8

40x z

n

01570 1566.8Como X Se acepta H 3.- En un Instituto de Enseñanza Secundaria hay matriculados 800 alumnos. Se seleccionó una muestra aleatoria del 15% de los alumnos, y se les preguntó si utilizaban la cafetería del instituto. Contestaron negativamente un total de 24 alumnos.

a) Con una confianza del 99%., estima en qué intervalo se encuentra la proporción de alumnos que utilizan la cafetería del instituto.

b) Con una confianza del 99%, ¿cuál es el error máximo cometido con la estimación que nos da la muestra?

c) ¿Qué tamaño muestral hubiese sido necesario tomar para estimar dicha proporción con un error menor del 6% con una confianza del 99%?

Solución: a)

El intervalo de confianza para la proporción poblacional, p, de portadores es:

2 2


15 24ˆ800 120; 0.2100 120

n p , / 2 0.0050.01; 0.005; 2.572

z z ,

el intervalo es igual a:

0.2 0.8 0.2 0.80.2 2.57 ,0.2 2.57 0.2 0.0938 0.1061,0.2938120 120

b) El error máximo es 0.0938, es decir del 9.38% c)

/ 2 0,005

2 2/ 2

2

0,01 0,005 2.572

ˆ ˆ·(1 ) 2.57ˆ ˆ·(1 ) 0.2 0.8 293.55 2940.06

z z


4.- El número de personas, en miles, afectadas por una enfermedad infecciosa, viene dado por la función:

2

2500( )25tf t

t

, donde t es el tiempo transcurrido en días desde que se inició el contagio.

a) ¿En qué día se tiene el máximo número de enfermos? ¿Cuántos son éstos? b) ¿Sería correcto afirmar que la enfermedad se irá extinguiendo con el transcurso del tiempo?

Justifícalo razonadamente. c) ¿Cuál es la tasa de cambio (nota: tasa de cambio = derivada) del número de personas

afectadas correspondiente al décimo día? Solución a)

2 2

2 22 2

212

222

2500( 25) 2500 (2 ) 2500 62500'( )25 25

52500 62500'( ) 0 0 2500 62500 05 ( )25

t t t tf tt t

ttf t tt Se descartat

b)

2

2500lim ( ) lim 025t t

tf tt

ya que es un cociente de polinomios y el grado del numerador es

menor que el grado del denominador. c)

2 2

2 22 2

2500 62500 2500·10 62500'( ) ; '(10) 1225 10 25

tf t ft

5.- Una empresa tiene que contratar personal. Por cada joven contratado recibe una ayuda mensual de 200 euros y por cada adulto pagará 350 euros a la seguridad social. Tiene que contratar como mínimo 10 adultos. En total no puede contratar más de 100 trabajadores y el número de jóvenes tiene que ser como máximo el triple de adultos. ¿Cuántos jóvenes y cuántos adultos debe contratar para que su gasto mensual sea mínimo? Solución

350 200. : 100

330

, 0

Min A Js a J A

J AAJ A

(25,75) 350 25 200 75 6250(10,30) 350 10 200 30 2500(100,30) 350 100 200 30 35000

fff


FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD


PRUEBA A 1.- Los responsables de Asuntos Sociales afirman que el porcentaje de personas mayores de 65 años dependientes es, como máximo, del 20 %. Si en una muestra de 225 personas mayores de 65 años hay 54 que son dependientes.

a) ¿Se puede aceptar tal afirmación con un nivel de significación del 3%? b) ¿Y con un nivel de significación del 10%?

Solución: a)

0

1

: 0.2: 0.2

H pH p

0.0354ˆ225; 0.24; 0.03; 1.88225

n p z z


1 0.2 0.8ˆ ˆ ˆ0.2 1.88 0.25013225

p pp p z p p

n

Como ˆ 0.24p no se rechaza 0H , con un nivel de significación del 3%. b) 0.10.1, 1.28z


1 0.2 0.8ˆ ˆ ˆ0.2 1.28 0.23413225

p pp p z p p

n

Como ˆ 0.24p se rechaza 0H , con un nivel de significación del 10%. 2.- Se sabe que el 65% de los accidentes de tráfico que se producen durante la noche de los sábados se deben a la ingesta excesiva de alcohol, el 25% se deben a la imprudencia del conductor y el resto a otras causas, (fallo mecánico…etc.). En estos accidentes, el resultado es nefasto el 30% de las veces en el primer caso, el 20% en el segundo y el 5% en el tercero. a) Calcular la probabilidad de que uno de estos accidentes no tenga resultado nefasto. b) Si se produce un accidente sin resultado nefasto, calcular la probabilidad de que la causa de dicho accidente sea la ingesta excesiva de alcohol. Solución Sean A El accidente se debe a la ingesta de alcohol B El accidente se debe a imprudencia del conductor C El accidente se debe a otras causas RN El accidente tiene resultado nefasto. Evidentemente 0.65p A ,

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B).


0.25p B

0.1p C

/ 0.3p RN A , / 0.2p RN B y / 0.05p RN C . a) / / / 0.65 0.3 0.25 0.2 0.1 0.05 0.24p RN p RN A p A p RN B p B p RN C p C

0.75cp RN

b)

/ 0.7·0.65/ 0.60660.75

cc

c

p RN A p Ap A RN

p RN

3.- A un niño, que nació a comienzos del 2010, su padrino le ingresó en el banco 3000 euros que van a convertirse en una cantidad que varía con el tiempo, t (en años desde el nacimiento), según la función 3000 1.2 tC t

a) Demostrar razonadamente que la función es creciente. b) ¿Cuánto dinero habrá a comienzos de 2020? ¿Y cuando el recién nacido cumpla 18 años? c) ¿Cuántos años hay que dejar el dinero invertido para que se convierta en 6000 euros?

Solución a) 3000 1.2 ln 1.2tC t . Esta derivada es positiva para cualquier t ya que ln 1.2 0 . Por tanto, la función es creciente. b) 1010 3000 1.2 18575.21C euros, 1818 3000 1.2 79869.99C euros.

c) ln 23000 1.2 6000, 3.8

ln 1.2tC t t

4.- En un barco se transportan 400 vehículos (coches, camiones y motos). Por cada dos motos hay cinco camiones. Los coches representan las 9/7 partes de los otros vehículos.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) ¿Cuántos vehículos de cada tipo transporta el barco?

Solución x coches y camiones z motos Sistema:

4005297

x y zyz

x y z

Resultado: x 225, y 125, z 50

PRUEBA B

1.- Una compañía aérea afirma que al menos el 60% de sus aviones llegan a su destino a la hora prevista. Para contrastarlo se han observado 200 vuelos de dicha compañía aérea, de los cuales 106 llegan a la hora prevista.

a) Con un nivel de significación del 5% ¿se puede aceptar la afirmación dada por la compañía? b) Si sólo se hubiesen observado 100 vuelos, de los cuales 53 llegaron a la hora prevista, tomando

un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la afirmación dada por la compañía? Solución: a)

0

1

0.05

0 00

: 0.6 106ˆ200 0.53: 0.6 200

Nivel de significación = 0.05 1.645Región de aceptación:

(1 ) 0.6·0.4, 0.6 1.645 , 0.5430,200

ˆ 0.53 0.5430, , se rechaz

H pn p

H pz z

p pp zn

Como p

0a H

Por lo tanto se rechaza la afirmación de la compañía aérea. Es decir, los vuelos que llegan puntuales son menos del 60%. b)

0

1

0.05

0 00

: 0.6 53ˆ100 0.53: 0.6 100

Nivel de significación = 0.05 1.645Región de aceptación:

(1 ) 0.6·0.4, 0.6 1.645 , 0.5194,100

ˆ 0.53 0.5194, se acepta

H pn p

H pz z

p pp zn

Como p H

0

2.- La duración de un tipo de pilas tiene una distribución normal de media 9 horas y de desviación típica 1.2 horas.

a) Se toma una muestra aleatoria de 16 pilas ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media sea menos de 8.5 horas?

b) Se toma una muestra aleatoria de 80 pilas ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 45 pilas duren más de 9 horas?

Solución: a) La duración de una pila es: , 9,1.2X N N

La duración media de 16 pilas es: 161.2, 9, 9,0.316

X N N Nn

1616

9 8.5 98.5 1.66 0.04850.3 0.3

XP X P P Z

b) Que una pila dure más de 9 horas tiene probabilidad 0.5, para cualquier pila. W = nº de pilas de duran más de 9 horas en 80 pilas; 0,1,2,...,80W

(80,0.5)W B Se pide: 45P W Como · 80·0.5 40 5 ·(1 ) 80·(1 0.5) 40 5n p y n p . Una probabilidad sobre W se puede aproximar por una probabilidad sobre ' ( · , · ·(1 )) 40,4.472W N n p n p p N Entonces:

' 40 45 4045 ' 45 ( 1.12) 0.13144.472 4.472

WP W P W P P Z

3.- Se quiere fabricar una caja con tapa, que tenga el máximo volumen y que sea el doble de larga que de ancha. Se dispone de 30 m2 de chapa.

a) Plantear la función a maximizar b) Plantear la condición a la que está sujeta la función a maximizar. c) ¿Qué medidas de ancho, largo y alto debe tener la caja?

Solución:

a) Los lados de la caja son: x (ancho), 2x (largo), y (alto) La función a maximizar es (ancho) (largo) (alto): 2·2 · 2x x y x y

b) La condición a la que está sujeta la función es la superficie total sea de 30 m2 La superficie de la base de la caja es: 2(2 ) 2x x x La superficie de la tapa de la caja es: 2(2 ) 2x x x La superficie de los cuatro laterales es: 2( ) 2(2 · ) 6xy x y xy

Que la superficie total sea 30 m2 es: 24 6 30x xy c) Se quiere entonces:

2

2

2. : 4 6 30

Max x ys a x xy

Despejando en la restricción 230 4

6xy

x

; sustituyendo en la función a maximizar

es: 2

2 330 4 4( ) 2 106 3

xg x x x xx

2 2 5'( ) 10 4 '( ) 0 10 4 02

g x x g x x x

5 5 5''( ) 8 '' 8 0 es un máximo.2 2 2

g x x g x

2

5 Ancho2

52 2 10 Largo2

30 4 10 2 Alto6 3 5

x

x

xyx

4.- Una empresa debe tener, como máximo, 140 trabajadores de dos tipos: transportistas y empleados de almacén. Por cada transportista debe haber como máximo 4 empleados de almacén y estos últimos deben ser, a lo sumo, 80. Por cada transportista, la empresa recibe una subvención de 1200€ y, por cada empleado de almacén, una subvención de 1800€.

a) ¿Se cumplen las condiciones anteriores con 30 transportistas y 70 empleados de almacén? b) ¿Cuál es el número óptimo de transportistas y empleados de almacén para obtener la mayor

subvención posible? Solución a) Si b)

(60,80) 1200 60 1800 80 216000(20,80) 1200 20 1800 80 168000(140,0) 1200 140 1800 0 168000

fff

1200 1800. : 140

480

, 0

Max x ys a x y

y xyx y


FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD

CURSO 2009 - 2010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS

PRUEBA A

1.- Un nuevo operador telefónico quiere lanzar en la ciudad una nueva línea de ADSL. Realiza una encuesta entre 520 familias de la ciudad, de las cuales 150 contestan que se cambiarían al nuevo operador. a) ¿En qué intervalo se encuentra la proporción de familias que cambiaría de operador, con una confianza del 97%? b) Haciendo uso de la información muestral inicial, ¿qué tamaño muestral sería necesario para estimar la proporción de familias que se cambiarían de operador, con un error menor del 2% y una confianza del 95%? Solución:

a) 0.0152

150ˆ520 ; 0.288 ; 0.03 2.17520

n p Z Z

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 ) 0.288·0.712 0.288·0.712ˆ , 0.288 2.17 ,0.288 2.17520 520

0.288 0.043,0.288 0.043 0.245,0.331

p p p pp Z p Zn n

La proporción de familias que se cambiaría está entre el 24.5% y el 33.1%

b) 0.0252

·(1 ) , 0.05, 1.96p pE Z Zn

2

2

0.288·0.711 1.96 ·0.288·0.7121.96 0.02, 1969.35 19700.02

n nn

Por lo tanto son necesarias, al menos, 1970 familias.

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B). - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 puntos.

2.- En una piscifactoría, dedicada a la cría de salmones, se elige una muestra de 50 ejemplares adultos para la que el peso medio muestral es de 3500 gr con una desviación típica de 750 gr. a) Calcular el intervalo de confianza para el peso medio de los salmones adultos con un nivel de confianza del 97%. b) Con un nivel de confianza del 98%, determinar el número mínimo de salmones que se han de elegir para estimar el peso medio con un error menor de 100gr. Solución:

a)

2 2

750 750, 3500 2.17 , 3500 2.1750 50

3500 230.16 3269.84, 3730.16

X z X zn n

b)

2

2 2

750 7502.33 2.33 100 2.33100

305.376 306

E Z Z nn n

n n

3.- La producción (en toneladas) del plátano en Canarias depende de la climatología de las islas, según la función 2( ) (32 )( 1)P t t t , 10t , siendo t la temperatura en grados.

a) ¿Cuál es la temperatura óptima para la producción máxima del plátano en Canarias y qué producción se obtiene?

b) ¿A qué temperatura no hay cosecha? c) Con temperaturas entre 15 y 25 grados, ¿a qué temperatura es mínima la

producción? Solución: a)

3 2 2

2

( ) 30 63 32 '( ) 3 60 6321

'( ) 0 3 60 63 01 ( )

''( ) 6 60 ''(21) 6·21 60 66 0 ( ) tiene un máximo en 21

P t t t t P t t tt

P t t tt Se descarta

P t t P P t t

Si t = 21 P(21)= 5324 toneladas.

b) 2( ) (32 )( 1) P t t t

1 ( )

( ) 032

t se descartaP t

t

A 32 grados la producción es cero. c) Al no tener algún mínimo local en el intervalo, el mínimo se alcanza en algún extremo del intervalo.

2(15) (32 15)(15 1) 1792P , la producción es menor a 15 grados. 2(25) (32 25)(25 1) 4732P

4.- Una agencia de viajes vende un total de 450 billetes de avión para viajar a las Islas Canarias, a la Península y al extranjero. Los billetes a la Península son la mitad del resto y por cada tres billetes para las Islas se vende uno para el extranjero.

a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos billetes ha vendido la agencia para cada uno de los tres destinos.

b) Resolver el problema. Solución: a)

450

213

I P EI EP

EI

b)

450 450 150 2252 0 3 150

23 0 450 751

43

I P E I P E P II EP I E P I E P

E I P EE EI

PRUEBA B

1.- Hemos tomado una muestra aleatoria de 80 conejos en un criadero industrial. Se ha encontrado que 21 de ellos presentaban una enfermedad que, probablemente, adquirían a través del pienso con que se les alimentaba. Sabemos que la población de conejos en el criadero es de 12000 unidades.

a) Determinar, con una confianza del 92%, entre qué valores se encuentra el número de conejos enfermos.

b) Haciendo uso de la información muestral inicial, ¿qué número de conejos será necesario estudiar para estimar la proporción de conejos enfermos con un error menor del 7% y con una confianza del 92%?

Solución: a) El intervalo de confianza para la proporción poblacional, p , de enfermos es:

2 2


Como 21ˆ 0.262580

p , / 2 0.040.08; 0.04; 1.752

z z , el intervalo es igual a:

0.2625 0.7375 0.2625 0.73750.2625 1.75 ,0.2625 1.7580 80

0.2625 0.086 0.1764,0.3485

Luego con una confianza del 92%, el número de conejos enfermos es un valor del intervalo: 12000·0.1764,12000·0.3485 [2116.8,4182] [2116,4182] b)

Solución:

/ 2 0.04

2/ 2

22

0.08; 0.04; 1.752

ˆ ˆ·(1 ) ˆ ˆ·(1 )

1.75 0.2625 0.7375 120.996 1210.07

z z

p p zz E n p pn E

n n

2.- Los precios de un producto se distribuyen según una normal de desviación típica 15. Se ha tomado una muestra de los precios de dicho producto en 9 comercios elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios:

195, 208, 238, 212, 199, 206, 225, 201,215 a) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el precio

medio es como máximo de 200€? b) Determine el intervalo de confianza, al 90 %, para el precio medio de

este producto Solución: a)

0

1

: 200: 200

HH

0.059; 211; 15, 0.05; 1.64n X z

Región de rechazo:

015, 200 1.96 , 209.8,

9z

n

Como 211 209.8,X , se rechaza 0H con un nivel de significación del 5%.

b)

0.059; 211; 15, 0.1; 0.05; 1.642

n X z

2 2

15 15, 211 1.64 , 211 1.64 202.8, 219.29 9

X z X zn n

3.- Un granjero tiene un cerdo de 150 kg., cuya alimentación le supone un gasto de 36 u.m./día (u.m. unidades monetarias). El cerdo engorda 3 kg/día. En este momento podría venderlo a 120 u.m./kg, pero está bajando el precio por kilo a razón de 2u.m. por día.

a) En cuanto venderá el cerdo si espera 14 días. b) ¿Cuánto tiempo deberá esperar el granjero para vender el cerdo, con

objeto de obtener el máximo beneficio? Solución: a)

2( ) 150 3 120 2 6 60 18000

(14) 150 3 14 120 2 14 17664

I x x x x x

I

b) '( ) 12 60'( ) 0 12 60 0 5

I x xI x x x días

4.- Una factoría fabrica dos tipos de artículos A y B. Para su elaboración se requieren dos máquinas M1 y M2. El artículo A necesita 1 hora de la máquina M1 y 2 horas de la máquina M2. El artículo B necesita 1 hora de cada una de las máquinas. Las máquinas M1 y M2 están en funcionamiento a lo sumo 40 y 50 horas a la semana, respectivamente. Hay que fabricar al menos 2 unidades de B. Por cada unidad del artículo A se obtiene un beneficio de 200€ y por cada uno de B 90€.

a) ¿Cuántas unidades de A y B deben fabricarse semanalmente para obtener el máximo beneficio?

b) Para obtener el máximo beneficio, ¿las dos máquinas han trabajado el máximo de horas semanales?

Solución a)

(10,30) 200 10 90 30 4700(24,2) 200 24 90 2 4980(0,40) 200 0 90 40 3600

fff

b)

No, la máquina 1 sólo ha trabajado 24 de las 40 que esta disponible a la semana. No, la máquina 2 sólo ha trabajado 2 de las 50 que esta disponible a la semana.

200 90. : 40

2 502

, 0

Max A Bs a A B

A BBA B


L.O.E


PRUEBA A 1. En una gran empresa el 55% son hombres. Entre los hombres, son fijos el 30% y el resto temporales. Entre las mujeres, son fijas el 60% y el resto temporales.

a) Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado. b) ¿Qué proporción de fijos y temporales tiene la empresa? c) Construir el árbol de probabilidades ramificando primero por tipo de contrato y luego por sexo.

2. En 169 poblaciones distintas en el territorio nacional, se ha encuestado a agentes inmobiliarios sobre el precio de la vivienda, resultando que el precio medio por metro cuadrado es de 1764 euros, con una desviación típica de 258 euros.

a) Estimar el precio medio poblacional con un 97% de confianza. b) ¿De qué tamaño tendría que ser la muestra para hacer dicha estimación con un error menor de 30

euros, con una confianza del 97%?

3. El nivel de audiencia de un canal de televisión, que retransmite un partido durante dos horas, sigue la función:

( )21( ) 60 7200

180y f x x x

−= = − −

Donde x = tiempo en minutos desde el comienzo de retransmisión, f(x) = porcentaje de personas que conectan con el canal.

a) ¿Qué porcentaje de personas están viendo este canal nada más empezar la retransmisión? ¿Y transcurrida una hora y media?

b) Calcular el momento de máxima audiencia. Determinar el porcentaje de personas que ven dicho canal en ese momento.

c) Si en el momento de máxima audiencia estaban viendo la televisión 3 millones de personas, ¿cuántas estaban viendo este canal?

4. El costo de los tres objetos A, B y C es el 150% del costo conjunto de A y B y el doble del costo conjunto de A y C. Si C cuesta el doble que A:

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones b) ¿Cuánto cuesta cada objeto?

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B).


PRUEBA B

1. En la zona comercial de la ciudad se sabe que el 54 % de las compras realizadas se pagan con tarjeta de crédito. En un día cualquiera se realizan 250 compras.

a) ¿Cuál es el número esperado de las que no han sido pagadas con tarjeta de crédito? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hayan sido pagadas con tarjeta de crédito entre 130 y 145? c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 115 no se paguen con tarjeta de crédito?

2. Una multinacional asegura que sus empresas franquicias arrojan normalmente un beneficio de media de, al menos, 1.8 millones de euros anuales, con una desviación típica de 0.26 millones de euros. Para contrastar estos datos, se realiza un estudio a 36 franquicias de esta empresa, obteniéndose una media de 1.7 millones de euros de beneficios.

a) Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la afirmación de la multinacional? b) ¿Qué podemos decir si el nivel de significación es del 0.5%?

3. Los costes de fabricación del nuevo ordenador súper rápido vienen dados por la función C(x)= x2 + 40x + 30000, siendo x el número de ordenadores fabricados. Si cada ordenador se vende por 490 €, determinar:

a) La función de beneficios. b) ¿Cuántos ordenadores se deben vender para que los beneficios sean máximos? c) ¿A cuánto ascienden los beneficios máximos?

4. Para fabricar robots de juguete se dispone de 120 microchips y 180 conectores. Para cada modelo Robonet, que da un beneficio por unidad de 75€ y del que se deben fabricar al menos 5 unidades, se necesitan 3 microchips y 4 conectores. Para cada modelo Robotic, que da un beneficio por unidad de 90€ y del que se deben fabricar al menos 6 unidades, se necesitan 5 microchips y 8 conectores.

a) ¿Cuántos robots de cada tipo deben fabricarse para que los beneficios sean máximos? b) En la producción óptima ¿cuántos microchips y conectores sobraron?

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