examenes análisis i

8/16/2019 Examenes Análisis I

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Ejercicios Resueltos deMatemáticas I

Cristian Wilckens

Abril 2000


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Indice

1 Pruebas Primer Semestre 1999 71.1 Matematicas I - Prueba No1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Matemáticas I - Prueba No 2 forma 1 . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Matemáticas I - Prueba No 2 forma 2 . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Matemáticas I - Prueba Global . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Gúıas de Ejercicios año 1999 132.1 Gúıa número 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Gúıa número 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Gúıa número 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Gúıa número 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Gúıa número 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Gúıa número 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Gúıa número 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8 Gúıa número 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9 Gúıa número 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.10 Gúıa número 10 (Ejercicios Propuestos) . . . . . . . . . . . . . 31

3 Soluciones de las Pruebas 353.1 Solucíon Prueba 1 MatI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Solución Prueba 2 forma 1, Matemáticas I . . . . . . 403.3 Solución Prueba 2 forma 2, Matemáticas I . . . . . . 453.4 Solucíon Prueba Global -MatI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Soluciones de las Gúıas 534.1 Solucíon Gúıa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Solucíon Gúıa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3 Solucíon Gúıa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

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4 INDICE

4.4 Solucíon Gúıa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.5 Solucíon Gúıa 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.6 Solucíon Gúıa 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.7 Solucíon Gúıa 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.8 Solucíon Gúıa 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.9 Solucíon Gúıa 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140


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Figuras

3.1 Gráfico de f (x) = x2 + 2x − 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Gráfico de f (x) = x2 − 6x + 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 Gráfico de f (x) = x

5

5 − 7x3

3 + 12x . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1 Gráfico de f (x) = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2 Gráfico de f (x) =

√ x x ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3 Gráfico de f (x) =√

x2 − 4 x ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . 1074.4 Gráfico de f (x) =

√ x2 + 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.5 Gráfico de f (x) = x3 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.6 Gráfico de f (x) = sin(2x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.7 Gráfico de f (x) = cos(x) + 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.8 Gráfico de f (x) = 2cos(x) − π2 ≤ x ≤ π2 . . . . . . . . . . . 1154.9 Gráfico def (x) = 4sin(x) 0

≤ x

≤ π . . . . . . . . . . . . . . 116

4.10 Gráfico de f (x) = | sin(x)| 0 ≤ x ≤ 2π . . . . . . . . . . . . . 116

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6 FIGURAS


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Caṕıtulo 1

Pruebas Primer Semestre 1999

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8 CAP ́ITULO 1. PRUEBAS PRIMER SEMESTRE 1999

1.1 Matematicas I - Prueba No1

1. Resuelva las siguientes inecuaciones

(a) | 3x + 4 | + | x − 4 |≥ 20(b) (x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10

2. (a) Calcule

nk=1

(7 + 5k)

(b) Demuestre por inducción:

ni=1

(3 + 4k) = 2n2 + 5n

3. (a) Encuentre el valor de

1999i=1

1

i + 3 − 1

i + 4

(b) En el desarrollo de (1 + 3x2)19, calcule el coeficiente de x6.


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1.2. MATEM ́ATICAS I - PRUEBA N O 2 FORMA 1 9

1.2 Matemáticas I - Prueba No 2 forma 1

1. Sea f : R → R la función cuadrática definida por f (x) = x2 + 2x − 3(a) Determine el conjunto de imágenes de f (Ind: Un gráfico le será

de gran utilidad).

(b) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta

(c) Encuentre el intervalo más grande I, de números positivos, en quef es inyectiva

(d) Calcule f −1(x) para x ∈ J = f (I )2. Un observador ve un globo aerostático, que se eleva verticalmente, bajo

un ángulo de elevación de 30o después de 2 minutos, el ángulo de ele-vación es de 60o. En un principio la distancia entre el observador y elglobo era de 200 metros.

(a) ¿A que distancia está el observador del punto de lanzamiento delglobo?

(b) Si los ojos del observador están a 1,7 metros del suelo, ¿a quealtura se encuentra el globo al cabo de los dos minutos?

3. Resuelva la ecuación trigonométrica

12 − sin x

cos x = 0

en el intervalo [−π, 5π]

4. Dados los números complejos z 1 =√ 22 + i

√ 22 y z 2 =

√ 32 +

i2

(a) Escriba z 1 y z 2 en forma polar o trigonométrica

(b) Encuentre z1z2

(c) Calcule (z1z2

)8


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1.3 Matemáticas I - Prueba No 2 forma 2

1. Sea f : R → R la función cuadrática definida por f (x) = x2 − 6x + 8(a) Determine el conjunto de imágenes de f (Ind: Un gráfico le será

de gran utilidad).

(b) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta

(c) Encuentre el intervalo más grande I, de números positivos, en quef es inyectiva

(d) Calcule f −1(x) para x ∈ J = f (I )2. Resuelva la ecuación trigonométrica

1

2 − cos x

sin x = 0

en el intervalo [−π, 5π]

3. Dados los números complejos z 1 = 12 + i

√ 32 y z 2 =

√ 22 + i

√ 22

(a) Escriba z 1 y z 2 en forma polar o trigonométrica

(b) Encuentre z1z2

(c) Calcule ( z1z2 )8

4. Un observador ve un globo aerostático, que se eleva verticalmente, bajoun ángulo de elevación de 30o después de 2 minutos, el ángulo de ele-vación es de 60o. En un principio la distancia entre el observador y elglobo era de 300 metros.

(a) ¿A que distancia está el observador del punto de lanzamiento delglobo?

(b) Si los ojos del observador están a 1,6 metros del suelo, ¿a quealtura se encuentra el globo al cabo de los dos minutos?


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1.4. MATEM ́ATICAS I - PRUEBA GLOBAL 11

1.4 Matemáticas I - Prueba Global

1. Calcule los siguientes ĺımites:

(a) limx→0

1 − cos xx2 (b) limx→1

1x+5

− 16

x − 1

2. (a) Encuentre la derivada de la función

f (x) = tan(5x2 cos x)

(b) Encuentre la ecuación de la recta tangente, en el punto de abscisax = 1, al gráfico de

f (x) = 3x5 − 35x3 + 180x3. (a) Dada la función definida por la fórmula

f (x) = x5

5 − 7x

3

3 + 12x

encuentre los puntos cŕıticos de f , los intervalos de crecimiento yde decrecimiento de f . Grafique la función f .

(b) ¿Para que valores de x, es f (x) = 0?

Nota:√

3 ≈ 1, 73.

4. Una caja cerrada de seccíon cuadrada, de lado x, tiene un área de 100cm2.

(a) Exprese el volumen V como función de la variable x

(b) Encuentre las dimensiones de la caja de volumen máximo


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Caṕıtulo 2

Gúıas de Ejercicios año 1999

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14 CAP ́ITULO 2. GU ́IAS DE EJERCICIOS A ˜ NO 1999

2.1 Gúıa número 1

1. Por inducción demuestre que para todo número natural n se cumple:

(a) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2

(b) 1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) = n(3n−1)2

(c) 2 + 5 + 13 + · · · + (2n−1 + 3n−1) = 2n − 1 + 3n−12(d) 13 + 23 + · · · + (n − 1)3 < n4

4


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2.1. GU ́IA N ́UMERO 1 15

3. Observe que

1 − 12

= 1

21 − 1

2

1 − 1

3

=

1

31 − 1

2

1 − 1

3

1 − 1

4

=

1

4

Deduzca una ley general y demuéstrela por inducción.

4. Usando propiedades de las sumatorias demuestre las fórmulas:

(a)n

i=1

i = n(n + 1)

2

Sugerencia, considere la sumatoria n

i=1[i2 − (i + 1)2]

(b)n

i=1

i2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

Sugerencia, considere la sumatoria n

i=1[i3 − (i + 1)3]

Calcule además n

i=1 i3; n

i=1 i4; n

i=1 i5

5. Calcule y pruebe su respuesta usando inducción

(a)n

i=1

1

i + 1 − 1

i

(b)n

i=1

1

i + 2 − 1

i

Para esta última parte considere la siguiente igualdad:

1

i + 2 − 1

i =

1

i + 2 − 1

i + 1

+

1

i + 1 − 1

i


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1. Pruebe que

(n + 2)!

n! = n2 + 3n + 2

2. Evalue 4! + 7! ; (4 + 7)!

3. Calcule

(a)

9

4

+

9

3

(b)

50

10

−

49

9

4. Probar que para todo n natural se tiene

n

0

−

n

1

+

n

2

+ · · · + (−1)n

n

n

= 0

5. Usando el binomio de Newton, encuentre el desarrollo de (1 + x)n paratodo real x tal que x ≥ −1

6. Calcule y simplifique

(a) (2x3 + 1x2 )3

(b) (y4 − 1y5 )2(c) (2a + 5b)8

(d) (3a − 1a)5

7. Sea x > −1. Pruebe que (1 + x)n ≥ 1 + nx ∀n ∈ N (Desigualdad deBernouilli). Sugerencia: Inducción sobre n.

8. Sean p, q números racionales q > 0 y n número natural. Pruebe

(a) ( p +√

q )n = a + b√

q con a y b números racionales

(b) ( p − √ q )n = a − b√ q


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9. Calcular

(a)i=ni=0

ni

= 2n (b)

i=ni=0

in

i

= n2n−1

10. Calcular

(a)l=nl=0

k=lk=0

2k

(b)n= pn=0

l=nl=0

k=lk=0

2k

(c)n=mn=1

i=ni=1

i

11. Escribir usando śımbolo(s) y n sumandos(a) 1 + 6 + 36 + 216 + 1296 + · · ·(b) 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + · · · (el 1 aparece n veces)

12. Calcular (x1 + x2 + x3)3

Identifique la expresión usando coeficientes binomiales.

Idem para (x1 + x2 + x3)4


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1. (a) a > 0 ⇒ a−1 > 0(b) a < 0 ⇒ a−1 0 ⇔ (a > 0 y b > 0) ó (a < 0 y b 04. a, b ∈ R, a < b ⇒ a < a+b

2 < b

5. (a) 0 ≤ a ≤ b , 0 ≤ x ≤ y ⇒ ax ≤ by(b) 0 < a < b

⇒ b−1 < a−1

(c) x > 0 ⇒ x + 1x ≥ 26. Sean a, b reales positivos. Pruebe:

(a) ab + b

a ≥ 2

(b)1a +

1b

(a + b) ≥ 4

(c) a + b = 1 ⇒ a2 + b2 ≥ 127. Resuelva las siguientes desigualdades:

(a) x2 + x > 2(b) 2x+1x+2 0(d) (3x − 8)(3x + 8) 0(l) (x−1)(x+2)(x−2) > 0

(m) 1 − x+2x−3 > 6


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8. Resuelva las siguientes desigualdades

(a) |2x + 3| ≤ 6(b) |3 − 2x| 4

(e) |x + 2| + |x − 3| > 12(f) |2x − 1| + |x − 3| > 9(g) |3x − 2| − |x − 7|


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1. Demuestre que para todo x ∈ R, existe n ∈ N tal que n > x2. Encuentre el dominio de las siguientes funciones reales

(a) f (x) = 1x−1

(b) f (x) =√

x + 8

(c) y =

1x

x > 05 x = 02x x 3−3x x ≤ 3(l) f (x) = x√

x2−x−20

3. Dadas las funciones f 1(x) = √

x , f 2(x) = 2x2 + 3x + 5 y f 3(x) =

1x ,

evalue

(a) f i(5) i = 1, 2, 3

(b) f i(x + h) − f i(x) h > 0(c) f i(x+h)−f i(x)

h(d) f i(b

2) con b ∈ R4. Dada la función f (x) = x2. Note que f : R → R no es inyectiva.

Encuentre 3 subconjuntos de R, Di i = 1, 2, 3 tal que f : Di → Res inyectiva. ¿Existe un dominio D formado por números positivos ynegativos tal que f : D → R es inyectiva?

5. Pruebe que la funcíon f (x) = √

x es inyectiva en su dominio natural.


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(b) f (x) =√

x2 − 4 x ≥ 2

(c) f (x) = 3

√ x − 18. Dadas f (x) = 18x − 3 y g(x) = x3. Encuentre

(a) (f −1 ◦ g−1)(x)(b) (f −1 ◦ f −1)(t)(c) (g−1 ◦ f −1)(a)

9. Encuentre las raices de

(a) p(x) = x4 + x

(b) h(x) = x(4 − x2)(c) f (x) = x3 − 6x2 + 3x + 10 sabiendo que 2 es ráız ¿Cuáles son

reales?

10. Divida los polinomios h(x) y p(x) encontrando q (x) y r(x)

(a) h(x) = x4 + 3x3 + 2 y p(x) = x2 + 3x − 2(b) h(x) = x5 + 5x − 1 y p(x) = x3 + 2x − 3(c) h(x) = x4 + 1 y p(x) = x − 2(d) h(x) = x4 + 1 y p(x) = x2 + 2x + 2


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6. Encuentre todos los valores reales x tales que

(a) sin(x) = 0

(b) cos(x) = 0

(c) sin(x) = −1(d) cos(x) = −1

7. Encuentre los valores x, 0 ≤ x ≤ 2π para los cuales

(a) sin(x) = 12

(b) cos(x) = 1√ 2

(c) sin(x) =√ 32

(d) cos(x) = 12


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1. Calcular los suiguientes ĺımites (si existen)

(a) limx→−1

3

x + 2

(b) limx→0

1/(x + 1) − 1x

(c) limx→2 |x − 2|

(d) limx→3

√ x + 1 − 2

x − 3(e) lim

x→2

√ x2 + 5x + 3

(f) limx→0

√ 2 + x − √ 2

x

(g) limh→0

(1 + h)3 − 1h

(h) limx→4−

√ x − 2

x − 4

(i) limx→1

x2 + x − 2x2 − 1

(j) limx→0

1/x + 4 − 1/4x

(k) limx→a

1

x a = 0

2. Calcular los siguientes ĺımites (si existen)

(a) limx→2 f (x)

para

f (x) =

3 x ≤ 20 x > 2

(b) limx→3 g(x)

para

g(x) =

x − 2 x ≤ 3−x2 + 8x − 14 x > 3

3. Use la identidad

√ x − √ a = |x − a|√

x +√

a para demostrar que lim

x→a√

x =√

a

4. Calcular el ĺımite l y hallar δ > 0 tal que |f (x) − l|


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(i) limx

→0+

√ x sin

1

x(j) lim

x→0sin(2x)

x cos(3x)

(k) limx

→2+

2 − x√ 4

−4x + x2

(l) limx→0

sin(3x)

sin(2x)

9. Discuta la continuidad de la función compuesta h(x) = f (g(x)) para

(a) f (x) = 1√ x g(x) = x − 1(b) f (x) = 1x g(x) =

1x−1

(c) f (x) = 1√ x g(x) = 1x

10. Encuentre las discontinuidades de las funciones dadas. Si son evitables,encuentre una función f̄ tal que dom(f ) = dom( f̄ ) y f̄ sea continua enesos puntos.

(a) f (x) = x − 1

x2 + x − 2(b) f (x) =

|x + 2|x + 2

(c) f (x) = x

x2 + 1

(d) f (x) = x2

+ 1 x

≤ 2

3 − x x > 211. Dar un ejemplo de una función f que no sea continua en ningún punto

pero tal que |f | sea continua en todos los puntos.


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1. Pruebe que la función f (x) = x1/3 es continua en x = 0 y no diferen-ciable en x = 0

2. Calcular la derivada de la función f (x) = 3x(x2 − 2x) en x = 23. Encuentre la derivada de las siguientes funciones

(a) f (x) = sin(x) + 1

2x − 1

3x2

(b) f (x) = x2

x − sin(x)

(c) f (x) = 1/x − 2/x22/x3 − 3/x4

(d) f (x) = 2x5 + 4x

cos(x)

(e) f (x) = 1√

x +

√ x + tan(x) +

1

tan(x)

4. Encuentre las dos intersecciones con el eje X de la gráfica de f (x) =x2 − 3x + 2 y probar que f (x) = 0 en algún punto entre ellas.

5. Encuentre la ecuación de la tangente a la gráfica de f en el puntoespecificado

(a) f (x) = x3 + 1√

x en (5, f (5))

(b) f (x) =√

x2 + 7 en (2, f (2))

6. Encuentre la primera y segunda derivada de las siguientes funciones

(a) f (x) = 3√

3x3 + 4x

(b) f (x) = cos(28x)

(c) f (x) = x2

√ 9 − x2

(d) f (x) = 2sin(x) + 1√ x(e) f (x) = 2(x2 − 1)5(f) f (x) = 1(x3−3x)2


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7. Dada f encuentre f para

(a) f (x) = tan(10x) + sin3(x)

(b) f (x) = arcsin(x) + 1sec2(x) + 4√

x3 + 5x

(c) f (x) = arccos(5x) + tan2(4x) + cos5(8x)x2


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(d) f (x) = xx+1

9. La concentración C de cierto producto qúımico en la sangre, t horasdespués de ser inyectado en el tejido muscular viene dado por

C (t) = 3t

27 + t3

¿Cuándo es máxima la concentración?

10. Al nacer un bebé perderá peso normalmente durante unos pocos d́ıasy después comenzará a ganarlo. Un modelo para el peso medio W de

los bebés durante las 2 primeras semanas de vida es P (t) = 0.015t2 −0.18t + 3.3. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento deP

11. Calcular las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un ćırculo deradio r

12. Una página rectangular ha de contener 96[cm2] de texto. Los márgenessuperior e inferior tienen 3[cm] de ancho y los laterales 2[cm] ¿Qúedimensiones de la página minimizarán la cantidad de papel requerida?

13. Considere la función f (x) = √ x en el intervalo [1, 9]. Dibuje. Calcularel valor c ∈]1, 9[ para el cual se cumple f (c) = f (9)−f (1)

9−1 y encuentre laecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c, f (c)).

14. Dada f (x) = 2x5/3 − 5x4/3. Calcule f (x) y f (x). Encuentre si los haypuntos cŕıticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos ymı́nimos. Intersecciones de f (x) con los ejes coordenados. Dibuje.

15. Solucione el problema anterior para

(a) f (x) = x√ x2 + 2 f (x) = 2(x2 + 2)3/2

f (x) = −6x

(x2 + 2)5/2


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2.10. GU ́IA N ́UMERO 10 (EJERCICIOS PROPUESTOS) 33

(b) f (x) = 2(x2 + 9)√

x2

− 4f (x) =

20x

(x2

−4)2

f (x) = −20(3x2 + 4)

(x2 − 4)3

16. Pruebe que el punto t tal que f (t) = 0 está en el punto medio de losextremos locales de f para f (x) = x(x − 6)2

17. Haga una análisis de la gráfica de

(a) f (x) = x4 − 12x3 + 48x2 − 64x(b) f (x) = x4

−4x3


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35/149

Caṕıtulo 3

Soluciones de las Pruebas

35


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37/149

3.1. SOLUCI ́ON PRUEBA 1 MATI 37

Entonces la solución será:

S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = (−∞, −5] ∪ [5, ∞) (3.7)(b) Resolvamos (x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10

Para ello encontremos los ceros de la desigualdad

(x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10x2 + x − 12 ≤ 2x2 − 5x − 10

0 ≤ x2 − 6x + 2 (3.8)Ahora usando que la solución de una ecuación cuadrática es

x1/2 = −b

±

√ b2

−4ac

2a (3.9)

Usando esto en la ecuación (8) obtenemos

x1/2 = 6 ± √ 36 − 8

2 =

6 ± √ 282

= 6 ± 2√ 7

2 = 3 ±

√ 7(3.10)

Por lo tanto tenemos

0 ≤ (x − (3 +√

7))(x − (3 −√

7)) (3.11)

Por lo tanto la solución seŕıa

S = (

−∞, 3

−

√ 7]

∪[3 +

√ 7,

∞) (3.12)

2. (a) Calcular

nk=1

(7 + 5k) =n

k=1

7 +n

k=1

5k

= 7n

k=1

+5n

k=1

k

= 7n + 5n(n + 1)

2

= 7n + 5n2

2

+ 5n

2=

5n2 + 5n + 14n

2

= 5n2 + 19n

2 (3.13)


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38 CAP ́ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS

(b) Demostrar por induccciónn

i=1

(3 + 4k) = 2n2 + 5n (3.14)

Para demostrar por inducción debemos ver si se cumple para n = 1y luego suponemos que es válido para n = k y demostramos quees válido para n = k + 1

Para n = 11

i=1

(3 + 4k) ?= 2 + 5

3 + 4 ?= 7

7 = 7 √ Ahora, suponemos que es válido para n = k y demostramos paran = k + 1

Válido para n = k

ki=1

(3 + 4k) = 2k2 + 5k

Demostremos para n = k + 1

k+1

i=1(3 + 4k) ?= 2(k + 1)

2 + 5(k + 1)

ki=1

(3 + 4k)

+(3 + 4(k + 1)) ?= 2(k + 1)

2 + 5(k + 1)

2k2 + 5k + 3 + 4k + 4 ?= (k + 1)(2(k + 1) + 5)

2k2 + 9k + 7 ?= (k + 1)(2k + 7)?=

2k2 + 7k + 2k + 7

2k2 + 9k + 7 = 2k2 + 9k + 7 √

(3.15)

Por lo tanto demostramos por inducción la fórmula (3.14)

3. Para calcular esta suma debemos darnos cuenta que es una sumatelescópica, por lo tanto tenemos que

1999i=1

1

i + 3 − 1

i + 4

=

1

1 + 3 − 1

1999 + 4 =

1

4 − 1

2003


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3.1. SOLUCI ́ON PRUEBA 1 MATI 39

= 2003 − 4

8012 =

1999

8012 (3.16)

4. Par encontrar el coeficiente que acompaña a x6 primero debemos cono-cer cuales son los coeficientes del Binomio de Newton.

(a + b)n = an +

n

1

an−1b + · · · +

n

n − 1

abn−1 + bn (3.17)

Usando el coeficiente que necesitamos para obtener x6, obtenemos

19

3 (3x2)3 =

19

3 33x6 (3.18)

= 19!

3!(19 − 3)!33x6

= 19!

3!16!33x6

= 19 · 18 · 17 · 16!

3!16! 33x6

= 19 · 18 · 17

3 · 2 33x6

= 19 · 17 · 34x6 = 26163x6 (3.19)

Por lo tanto el coeficiente que acompaña a x6 es 26163


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3.2 Solución Prueba 2 forma 1, Matemáticas I

0

20

40

60

80

100

−15 −10 −5 0 5 10

Eje y

Eje x

Gráfico de f (x) = x2 + 2x − 3

Figura 3.1: Gráfico de f (x) = x2 + 2x − 3

1. Sea f : R

→ R la función cuadrática definida por f (x) = x2 + 2x

−3

(a) Determine el conjunto de imágenes de f (un gráfico le será de granutilidad).

De el gráfico vemos que las ráıces son

f (x) = (x + 3)(x − 1) (3.20)y por lo tanto es fácil ver que I m(f ) = [−4, +∞).

(b) Es f inyectiva? Justifique su respuesta

Es fácil ver que f no es inyectiva pues f (−3) = f (1) = 0, es decir,dos elementos del dominio de f tienen la misma imágen.

Una solución más general es ver lo siguiente. Suponemos quef (a) = f (b) ⇒ a = bDemostrar f (a) = f (b), significa que a2 + 2a − 3 = b2 + 2b − 3resolviendo queda


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Para encontrar la altura final ( H̄ ) tenemos que

tan(60) = DH̄

⇒ H̄ = Dtan(60)

H̄ = D

1√ 3

H̄ = 100

√ 3

1√ 3

H̄ = 300[m] (3.24)

Luego, la altura al suelo es 300 + 1, 7 = 301, 7[m]

3. Reolver

1

2 − sin x

cos x = 0 (3.25)

El producto de dos números natirales es igual a cero si cada uno de losnúmeros es igual a cero. Por lo tanto, tenemos que

cos x = 0 o bien 1

2 − sin x (3.26)

Pero cos(x) = 0 si x ∈ {−3π2 , −π2 , π2 , 3π2 , 5π2 , 7π2 , 9π2 , etc.}Luego, los valores que se encuentran en el intervalo pedido son

x ∈

− π2

, π

2, 3π

2 ,

5π

2 ,

7π

2 ,

9π

2

(3.27)

Ahora hay que ver las soluciones de sin(x) = 12 , estos valores son

x ∈

− 2π3

, π3

, 4π3

, 7π3

, 10π3

, 13π3

(3.28)

4. Sean z 1 =√ 22 + i

√ 22 y z 2 =

√ 32 +

i2


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3.2. SOLUCI ÓN PRUEBA 2 FORMA 1, MATEM ́ATICAS I 43

(a) Para escribir estos números en forma polar o trigonométrica es

necesario conocer el ángulo y el módulo de estos complejos.

|z 1| = √ 2

2

2+√

2

2

2

=

2

4 +

2

4

=

1

2 +

1

2

=√

1

|z 1| = 1 (3.29)

|z 2| = √ 3

2

2+

1

2

2

=

3

4 +

1

4

=√

1

|z 2| = 1 (3.30)

Para conocer los ángulos demeboms calcular:

Para z 1 vemos que el ángulo θ1 es

tan(θ1) =22√ 32

= 1 (3.31)

Luego el ángulo θ1 = π4

Para z 2 vemos que el ángulo θ2 es

tan(θ2) =12√ 32

= 1√

3(3.32)

Luego el ángulo θ2 = π6


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Entonces los complejos se pueden escribir como

z 1 = cosπ

4

+ i sin

π4

= ei

π

4 (3.33)

z 2 = cos

π

6

+ i sin

π

6

= ei

π

6 (3.34)

(b) Encontrar z1z2La forma polar es la mejor forma para ver la divisi ón, entoncestenemos que

z 1z 2 =

eiπ

4

eiπ6

= ei(π

4 −π

6)

= ei(3π−2π

12 )

= ei( π

12) (3.35)

(c) Calcular (z1z2 )8

Como ya calculamos z1z2 entonces obtenemos usando nuevamentela forma polar lo siguiente

z 1z 2

8=

ei

π

12

8= ei8

π

12

= ei2π

3 (3.36)


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3.3 Solución Prueba 2 forma 2, Matemáticas I

−100

10

20

30

40

50

60

70

80

−10 −5 0 5 10 15

Eje y

Eje x

Gráfico de f (x) = x2 − 6x + 8

Figura 3.2: Gráfico de f (x) = x2 − 6x + 8

1. Sea f : R → R la función cuadrática definida por f (x) = x2 − 6x + 8

(a) Determine el conjunto de imágenes de f (un gráfico le será de granutilidad).

De el gráfico vemos que las ráıces son

f (x) = (x − 4)(x − 2) (3.37)y por lo tanto es fácil ver que I m(f ) = {x ∈ R|x ∈ [−1, +∞)}.

(b) Es f inyectiva? Justifique su respuesta

Es fácil ver que f no es inyectiva pues f (2) = f (4) = 0, es decir,dos elementos del dominio de f tienen la misma imágen, lo cualimplica que no es inyectiva.

(c) Encontrar el intervalo más grande I, de números positivos, en quef es inyectiva.

Igual que la respuesta anterior, una función f es inyectiva en unintervalo si f es creciente o decreciente en ese intervalo. Luego, elconjunto de números positivos más grande es [3, ∞).


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|z 2| = √ 2

2

2+√ 2

2

2

=

1

4 +

3

4

=√

1

|z 2| = 1 (3.43)Luego, los ángulos para estos complejos son

θ1 = arctan √ 32

12

= arctan(

√ 3)

θ1 = π

6 (3.44)

θ2 = arctan

√ 22√ 22

= arctan(1)

θ2 =

π

4 (3.45)

Luego, las formas polares y complejas son:

z 1 = cos

π

6

+ i sin

π

6

= ei

π

6 (3.46)

z 2 = cos

π

4

+ i sin

π

4

= ei

π

4 (3.47)

(b) Calcular z1z2 , para ello utilizamos la forma polar

z 1

z 2 =

eiπ

6

eiπ4

= ei(π

6 −π

4)

= ei(2π−3π

12 )

= e−i( π

12) (3.48)


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(c) Calculemos ahora ( z1z2 )8

z 1z 2

8=

e−i

π

12

8

= e−i8 π

12

= e−i2π

3 (3.49)

4. (a) Sea D la distancia que está el observador del punto de lanzamientodel globo, entonces tenemos

sin(30) = D300

⇒ D = 300 sin(30)

D =

√ 3

2 300

D = 150√

3 (3.50)

(b) Para ver la altura del globo a los 2 minutos tenemos que

tan(60) = D

H̄ (3.51)

donde ¯H es la altura desconocida.

Luego

H̄ = D

tan(60) =

150√

313

= 150 · 3 = 450 (3.52)

Ahora a esta altura debemos agregarle la altura de los ojos delobservador que es 1, 6[m], por lo tanto la altura ser 451, 6[m].


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3.4. SOLUCI ́ON PRUEBA GLOBAL -MATI 49

3.4 Solución Prueba Global -MatI

1. Calcular

(a)

limx→0

1 − cos xx2

= limx→0

1 − cos xx2

· 1 + cos(x)1 + cos(x)

= limx→0

sin2(x)

x2 · 1

1 + cos(x)

= limx

→0

sin2(x)

x2 · lim

x

→0

1

1 + cos(x)

limx→0

1 − cos xx2

= 1 · 11 + 1

= 1

2 (3.53)

(b)

limx→1

1x+5

− 16

x − 1 = limx→16−(x+5)6(x+5)

x − 1= lim

x→1

6−x−56(x+5)

x − 1

= limx→1 −x + 1

6(x + 5)(x − 1)= lim

x→1−(x − 1)

6(x + 5)(x − 1)= lim

x→1−1

6(x + 5) =

−16(1 + 5)

= − 136

(3.54)

2. (a) Para calcular la derivada de esta función debemos usar la regla dela cadena, por lo que obtenemos

f (x) =

tan(5x2 cos(x))

= sec2(5x2 cos(x)) · 5x2 cos(x)= sec2(5x2 cos(x)) ·

10x cos(x) + 5x2(− sin(x))

f (x) = sec2(5x2 cos(x)) ·

10x cos(x) − 5x2 sin(x)

(3.55)


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(b) Para encontrar la recta tangente que pasa por el punto x = 1

debemos primero derivar f (x)f (x) = 15x4 − 105x2 + 180 (3.56)

A continuación debemos evaluar f (x) y f (x) en x0 = 1

y0 = f (x0) = 15 − 105 + 180 = 148 (3.57)m = f (x0) = 15 − 105 + 180 = 90 (3.58)

Por lo tanto la recta tangente que pasa por x = 1 será

y = y0 + m(x − x0) = 148 + 90(x − 1) = 90x + 58 (3.59)

3. (a) Para este ejercicio, debemos primero encontrar los puntos cŕıticosde f (x). Para ello debemos derivar e igualar a cero.

f (x) = x4 − 7x2 + 12 (3.60)

f (x) = 0 ⇒ x4 − 7x2 + 12 = 0(x2 − 3)(x2 − 4) = 0 (3.61)

⇒ x2 − 3 = 0 ∧ x2 − 4 = 0x2 = 3 x2 = 4

x = ±√ 3 x = ±2 (3.62)Ahora, debemos saber si la función es creciente o decreciente. Paraello usaremos los puntos cŕıticos, viendo si la primera derivada espositiva o negativa.

En el intervalo (−∞, −2] ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es crecienteEn el intervalo [−2, −√ 3] ⇒ f (x) 0 ⇒ f (x) es crecienteEn el intervalo [

√ 3, 2]

⇒ f (x) < 0

⇒ f (x) es decreciente

En el intervalo [2, ∞) ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente


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3.4. SOLUCI ́ON PRUEBA GLOBAL -MATI 51

Un gráfico de la función serı́a:

-150

-100

-50

0

50

100

150

-6 -4 -2 0 2 4 6

Eje y

Eje x

Gráfico de x5

5 − 7x3

3 + 12x

Figura 3.3: Gráfico de f (x) = x5

5 − 7x3

3 + 12x

(b) El único valor para que f (x) = 0 es x = 0, los demás puntos queaparecen como soluciones son números complejos.

4. (a) Para este ejercicio debemos usar dos ecuaciones que nos relacionenel volumen de la figura y el área.

Sabemos que el volumen de una caja cerrada de sección cuadradaserá:

V = yx2 (3.63)

Además de la condición de que el área de la caja es 100 cm2

obtenemos

2x2

+ 4xy = 100 (3.64)

De la ecuación (3.64) despejando y obtenemos

y = 50 − x2

2x (3.65)


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Reemplazando (3.65) en (3.63) obtenemos la expresión del Volu-

men V como función de xV = x2

50 − x2x2

= 50x − x3

2 = 25x − x

3

2 (3.66)

(b) Para encontrar las dimensiones de la caja de volumen máximodebemos derivar la ecuación (3.66) e igualarla a cero para encon-trar algún máximo o mı́nimo:

V (x) = 25 − 3x2

2

V (x) = 0 ⇒ 25 − 3x2

2 = 0 (3.67)

⇒ 3x22

= 25

x2 = 50

3

x =

50

3 (3.68)

Reemplazando (3.68) en (3.65) obtenemos para y

y = 50 − 503

2 503=

50

3 (3.69)


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54 CAP ́ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU ́IAS

4.1 Solución Gúıa 1

1. (a) Demostrar por inducción que 1+ 3 +5 + · · ·+ (2n − 1) = n2. Paraello debemos ver si es válido para n = 1

2 · 1 − 1 ?= 121 = 1

√ (4.1)

Suponemos que es válido para n = k y demostremos entonces quees válido para n = k + 1.

1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + 2(k + 1) − 1 ?=

(k + 1)2

1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) +(2k + 1) ?= (k + 1)

2

k2 + 2k + 1 ?= (k + 1)2

(k + 1)2 = (k + 1)2 √

Por lo tanto hemos demostrado que 1+3+5+ · · ·+ (2n − 1) = n2(b) Por demostrar que

1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) = n(3n − 1)2

(4.2)

Veamos si es válida para n = 1

1 ?

=

1(3

·1

−1)

2

1 ?=

1 · 22

1 ?= 1 √

(4.3)

Ahora, supones que (4.2) es válida para n = k y demostraremosque es válida para n = k + 1

1 + · · · + (3k − 2)

+3(k + 1) − 2 ?=

(k + 1)(3(k + 1) − 1)2

k(3k

−1)

2 + (3k + 1)

?

=

(k + 1)(3k + 2)

23k2 − k + 6k + 2

2?=

(k + 1)(3k + 2)

23k2 + 5k + 2

2?=

(k + 1)(3k + 2)

2


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4.1. SOLUCI ́ON GU ́IA 1 55

(k + 1)(3k + 2)

2?=

(k + 1)(3k + 2)

2

√

Por lo tanto hemos demostrado (4.2).

(c) Por demostrar que

2 + 5 + 13 + · · · + (2n−1 + 3n−1) = 2n − 1 + 3n − 1

2 (4.4)

Veamos que es válido para n = 1

21−1 + 31−1 ?=

21 − 1 + 31 − 1

2 (4.5)

20 + 30 ?= 2

−1 +

3 − 1

22 ?=

1 + 1

2 = 2 √

Suponemos que (4.4) es válida para n = k, demostraremos que esválida para n = k + 1

2 + · · · + 2k−1 + 3k−1 +2k + 3k ?= 2k+1 − 1 + 3k+1 − 1

2

2k − 1 + 3k − 1

2 + 2k + 3k ?= 2

k+1 − 1 + 3k+1 − 1

2

2 · 2k + 3 3k

2 − 1 − 12 ?= 2k+1 − 1 + 3k+1

− 122k+1 − 1 + 3

k+1 − 12

= 2k+1 − 1 + 3k+1 − 1

2√


(d) Demostrar por induccíon

13 + 23 + · · · + (n − 1)3


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Suponemos que (4.6) es válida para n = k, esto es

13 + 23 + · · · + (k − 1)3


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k4 + 4k3 + 12k2 + 12k + 4

4 < 13 + · · · + k3 + (k + 1)3

k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1

4 +

+6k2 + 8k + 3

4 < 13 + · · · + k3 + (k + 1)3

(k + 1)4

4 + algo positivo < 13 + · · · + k3 + (k + 1)3

(k + 1)4

4 < 13 + · · · + k3 + (k + 1)3

(4.16)

Por lo que hemos demostrado la segunda desigualdad y con ellodemostramos (4.6)

(e) Demostrar por induccíon

1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) = n3

(n + 1)(n + 2) (4.17)

Verifiquemos si el válido para n = 1,

1 · 2 ?=1

3(1 + 1)(1 + 2)

2 ?=1

3 · 2 · 3

2 = 2 √ (4.18)Supongamos que (4.17) es válida para n = k, esto es

1 · 2 + 2 · 3 + · · · + k(k + 1) = k3

(k + 1)(k + 2) (4.19)

Probemos a continuación para n = k + 1, por lo que debemosdemostrar que

1 · 2 + · · · + k(k + 1)

+

+(k + 1)(k + 2) ?

=

k + 1

3 (k + 2)(k + 3)k

3(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2) ?=

k + 1

3 (k + 2)(k + 3)

(k + 1)(k + 2)k

3 + 1

?=

k + 1

3 (k + 2)(k + 3)


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1 − 4 + · · · + (−1)k+1k2 = (−1)k+1 k(k + 1)2

(4.25)

Ahora demostraremos para n = k + 1, esto es

1 − 4 + · · · + (−1)k+1k2++(−1)k+2(k + 1)2 ?

= (−1)k+2 (k + 1)(k + 2)

2

(−1)k+1k(k + 1)2

+

+(−1)k+2(k + 1)2 ?=

(−1)k+2 (k + 1)(k + 2)2

(−

1)k+1k2 − (k + 1) ?

=

(−1)k+1(k + 1)−k − 2

2

?=

(−1)k+2 (k + 1)(k + 2)2

= (−1)k+2 (k + 1)(k + 2)2

√

(4.26)

(h) Demostrar por induccíon que

1

1 · 2 + 1

2 · 3 + · · · 1

n(n + 1) =

n

n + 1 (4.27)

Verifiquemos para n = 1, esto es

1

1 · 2?=

1

1 + 11

2 =

1

2

√ (4.28)

Suponemos que es válido para n = k, esto es

1

1 · 2 + 1

2 · 3 + · · · 1

k(k + 1) =

k

k + 1 (4.29)

Demostremos a continuación para n = k + 1, esto es

11 · 2 +

12 · 3 + · · ·

1n(n + 1) +

1(k + 1)(k + 2)

= k + 1k + 2

k

k + 1 +

1

(k + 1)(k + 2)?=

k + 1

k + 2


60/149


61/149



(j) Por demostrar que n2

+ n es divisible por 2Veamos si es válido para n = 1

n2 + n = 12 + 1 = 2 √

(4.31)

Suponemos que es válido para n = k y demostraremos paran = k + 1

Que sea válido para n = k significa que k2 + k = 2α conα: número cualquiera

Debemos demostrar para n = k + 1 esto es que

(k + 1)2 + (k + 1) = 2β β : número cualquiera

(k + 1)2 + (k + 1) ?= 2β

k2 + 2k + 1 + k + 1 ?= 2β

k2 + k +2k + 2 ?= 2β 2α + 2k + 2 ?= 2β

2(α + k + 1 ) ?= 2β 2β = 2β

√

Por lo tanto hemos demostrado que n2 + n es divisible por 2.(k) Por demostrar que

(a + b)n = ȧ + bn ȧ multiplo de a (4.32)

Verifiquemos para n = 1, esto es, ⇒ (a + b)1 = a + b = ȧ + b √ Lo cual se cumple.

Suponemos válido para n = k, esto significa que (a + b)k = ȧ + bk


(a + b)k+1 = (a + b)k

(a + b) (4.33)

= (ȧ + bk)(a + b) (4.34)= (ȧa + ȧb + abk + bk+1

Como ȧ es multiplo de a ⇒ ȧ = αa= αa2 + αab + abk + bk+1


62/149


= a(αa + αb + bk

entero) + bk+1

= ȧ + bk+1 (4.35)

Por lo tanto queda demostrado (4.32).

(l) Por demostrar que n3 + 2n es divisible por 3

Verifiquemos que es válido para n = 1

13 + 2 · 1 = 1 + 2 = 3 · 1 (4.36)Por lo tanto es divisible por 3.

Supongamos la divisibilidad para n = k . O sea, debemos probarque k3 + 2k es divisible por 3, esto es que

k3 + 2k = 3α α : entero cualquiera (4.37)

Por demostrar para n = k + 1, o sea ver que

(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3β β : entero cualquiera (4.38)

sea divisible por 3

(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k + 1)3 + 2k + 2

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 2k + 2

= k3 + 2k +3k2 + 3k + 3= 3α + 3k2 + 3k + 3

= 3 (α + k2 + k + 1) β

(4.39)

Por lo tanto n3 + 2n es divisible por 3

(m) Por demostrar que

n5 − n es divisible por 5 (4.40)Verifiquemos que es válido para n = 1, tenemos que

15 − 1 = 0 no es divisible por 5 (4.41)Veamos ahora para n = 2,esto es

25 − 2 = 32 − 2 = 30 = 5 · 6 divisible por 5 (4.42)


63/149


Supongamos la divisibilidad para n = k, o sea, k5 − k es divisible

por 5. Esto lo podemos expresar comok5 − k = 5α α : entero cualquiera (4.43)

Demostremos la divisibilidad por 5 para n = k + 1, esto es

(k + 1)5 − (k + 1) = 5β β : entero cualquiera (4.44)

(k + 1)5 − (k + 1) = (k + 1)5 − k − 1= k5 + 5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k − k= k5

−k +5k

4 + 10k3 + 10k2 + 5k

= 5α + 5(k4 + 2k3 + 2k2 + k)

= 5(α + k4 + 2k3 + 2k2 + k β

) (4.45)


(n) Por demostrar que

32n+2 − 2n+1 divisible por 7 (4.46)Verifiquemos que es válido para n = 1

3

2+2

− 21+1

= 3

4

− 22

= 81 − 4 = 77 = 7 · 11 (4.47)Que es divisible por 7.

Suponemos que es válido para n = k, esto es

32k+2 − 2k+1 = 7α α : entero cualquiera (4.48)Demostremos para n = k + 1, eso es

32(k+1)+2 − 2(k+1)+1 = 7β β : entero cualquiera32k+4 − 2k+2 = 7β (4.49)

De (4.48) tenemos que

32k+2 − 2k+1 = 7α32k+2 − 2k · 2 = 7α

32k+2 − 7α = 2k · 2 ⇒ 2k = 32k+2 − 7α

2 (4.50)


64/149


En (4.49) reemplazamos (4.50) y obtenemos

32k+4 − 2k · 22 = 32k+4 − 22 32k+2 − 7α2

= 32k+4 − 2 · 32k+2 − 2 · 7α= 32k · 34 − 2 · 32k · 32 − 2α7= 32k(34 − 2 · 32) − 2 · 7α= 32k(81 − 18) − 2 · 7α= 32k(56) − 2 · 7α= 32k(7 · 9) − 2 · 7α= 7(32k · 32 − 2α β

)


(o) Por demostrar que

xn − 1 divisible por x − 1 (4.51)Veamos que es válido para n = 1

x1 − 1 es divisible por x − 1 √ (4.52)Suponemos válido para n = k lo que implica

xk − 1 = α(x − 1) (4.53)xk − 1

α = x − 1

xk − 1α

+ 1 = x (4.54)


xk+1 − 1 = xk · x − 1= xkx

k − 1α

+ 1− 1=

x2k − xk + αxk − αα

= x2k + (α − 1)xk − α

α


65/149


= (xk + α)(xk − 1)

α=

(xk + α) · α(x − 1)α

= (x − 1)(xk + α) (4.55)(p) Demostrar que

x2n − 1 es divisible por x + 1 (4.56)Veamos que (4.56) sea válido para n = 1, obtenemos que

x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) es divisible por x + 1 (4.57)Suponemos que (4.56) es válida para n = k, esto es

x2k

−1 = (x + 1)α (4.58)

Demostremos que (4.56) es válido para n = k + 1, eso es equiva-lente a demostrar que

x2(k+1) − 1 = (x + 1)β (4.59)

x2(k+1) − 1 = x2k+2 − 1= x2kx2 − 1= (x2k − 1)x2 − 1 + x2= (x2k − 1)x2 + (x + 1)(x − 1)= ((x + 1)α)x2 + (x + 1)(x − 1)= (x + 1) (αx2 + x − 1)

β

(4.60)

2. (a) Demostremos que S k ⇒ S k+1S k : 1 + 2 + · · · + k = k

2 + k − 62

S k+1 : 1 + 2 + · · · + (k + 1) ?=(k + 1)2 + (k + 1) − 6

2k2 + k

−6

2 + (k + 1)

?

=

k2 + 2k + 1 + k + 1

−6

2k2 + k − 6 + 2k + 2

2?=

k2 + 3k − 42

k2 + 3k − 42

= k2 + 3k − 4

2

√


66/149


(b) Demostrar que S n no es válida ∀n ∈ N

1 + 2 + · · · + n = n2

+ n − 62

(4.61)

Por las propiedades de las sumatorias vista en clases sabemos quen

i=1

i = n(n + 1)

2 (4.62)

Por lo tanto reemplazando (4.62) en (4.61) obtenemos

n2 + n

2

?

=

n2 + n − 62

→← (4.63)Por lo tanto S n no es válido

∀n

∈ N

3. Deduzcamos una ley general1 − 1

2

1 − 1

3

1 − 1

4

· · ·

1 − 1

1 + n

=

1

1 + n (4.64)

Ahora demostremosla por inducción:

Veamos si es válida para n = 1

1 − 12

?

=

1

2

√ (4.65)

Suponemos que es válida para n = k y demostraremos que también loes para n = k + 1

Para n = k + 1 tenemos que1 − 1

2

· · ·

1 − 1

1 + k

1 − 1

1 + (k + 1)

?=

1

1 + (k + 1) 1

1 + k

1 − 1

2 + k

?=

1

2 + k

1

1 + kk + 1

2 + k ?=

1

2 + k 1

2 + k

?=

1

2 + k

√



67/149


4. (a) Usemos la sugerencia

ni=1

(i2 − (i + 1)2) = 1 − 22 + · · · + n2 − (n + 1)2

ni=1

(i2 − (i2 + 2i + 1)) = 1 − (n + 1)2

ni=1

−(2i + 1) = 1 − (n + 1)2

−n

i=1

(2i + 1) = 1 − (n + 1)2

−2n

i=1i −

ni=1

1 = 1 − (n + 1)2

2n

i=1

i + n = (n + 1)2 − 1

2n

i=1

i = (n + 1)2 − 1 − n

2n

i=1

i = n2 + 2n + 1 − 1 − n

2n

i=1i = n2 + n

ni=1

i = n(n + 1)

2 (4.66)

(b) Para este ejercicio también usaremos la sugerencia

ni=1

i3 − (i + 1)3 = 13 − (n + 1)3

n

i=1i3 −

n

i=1(i + 1)3 = 1 − (n + 1)3

−n

i=1

3i2 −n

i=1

3i −n

i=1

1 = 1 − (n + 1)3

3n

i=1

i2 + 3n

i=1

i +n

i=1

1 = (n + 1)3 − 1


68/149


3n

i=1i2 = (n + 1)3 − 1 − 3

n

i=1i −

n

i=11

3n

i=1

i2 = (n + 1)3 − 1 − 3n(n + 1)2

− n

3n

i=1

i2 = (n + 1)3 − (n + 1)

−3n(n + 1)2

3n

i=1

i2 = (n + 1)

(n + 1)2 − 1 − 3n

2

3

ni=1

i2

= (n + 1)n2 + 2n − 3n2 3

ni=1

i2 = n(n + 1)

n + 2 − 3

2

3n

i=1

i2 = n(n + 1)

n +

1

2

3n

i=1

i2 = n(n + 1)

2

2n + 1

n

i=1i2 =

n(n + 1)(2n + 1)

6 (4.67)

Por lo tanto hemos demostrado lo que se nos pidió.

El cálculo de

i3,

i4,

i5, quedan como ejercicios propuestos.

5. Calcular y probar por inducción

(a)n

i=1

1

i + 1 − 1

i

(4.68)

Primero, calculemos esta suma. Para ello, vemos que la suma esuna suma telescópica y por lo tanto obtenemos

ni=1

1

i + 1 − 1

i

=

1

2 − 1

+

1

3 − 1

2

+ · · · +

+

1

n − 1

n − 1

+

1

n + 1 − 1

n


69/149


70/149


1−

(k + 2)

k + 2?= −

(k + 1)

k + 2

−(k + 1)k + 2

?=

−(k + 1)k + 2

√ (4.71)

Por lo tanto hemos demostrado por inducción (4.69).

(b)n

i=1

1

i + 2 − 1

i

(4.72)

Primero, calculemos esta suma. Para ello, vemos que la suma esuna suma telescópica y por lo tanto obtenemos

ni=1

1

i + 2 − 1

i

=

ni=1

1

i + 2 − 1

i + 1

+

+n

i=1

1

i + 1 − 1

i

=n

i=1

1

i + 2 − 1

i + 1

+ − n

n + 1

=

1

3 − 1

2

+ · · ·

· · · + 1

n + 2 − 1

n + 1

− n

n + 1

=

− 1

2 +

1

n + 2

− n

n + 1

= −(n + 2) + 2

2(n + 2) − n

n + 1

= − n2(n + 2)

− nn + 1

= −n(n + 1) + n(n + 2)2(n + 1)(n + 2)

= − 2n2 + 3n

2(n + 1)(n + 2) (4.73)


71/149


La demostración por inducción se deja propuesta. Se debe seguir

el mismo procedimieto que en la parte a).


72/149


73/149


(b)

5010

−49

9

=

50!

40!10! − 49!

40!9!

= 49!

40!9!

50

10 − 1

= 49!

40!9!

50 − 10

10

= 49!

40!9!

40

10

= 2054455634

·4 = 8217822536 (4.79)

4. Demostar que para todo n natural

n

0

−

n

1

+

n

2

+ · · · + (−1)n

n

n

= 0 (4.80)

Demostración

n

0

−

n

1

+

n

2

+ · · · + (−1)n

n

n

=

ni=0

n

i

(−1)i

=n

i=0

ni

(−1)i · 1i−n

Por Binomio de Newton = ((−1) + 1)n= 0n = 0 (4.81)

5. Encontrar el desarrollo de (1 + x)n para todo x ≥ −1Para este ejercicio usaremos el teorema del Binomio de Newton, por lotanto tenemos que

(1 + x)n =n

i=0

ni

1n−ixi

=

n

0

+

n

1

x +

n

2

x2 + · · · +

n

n

xn (4.82)


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75/149


76/149


Demostremos a continuación para n = k + 1, esto es demostremos que

(1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x (4.87)

Demostración

(1 + x)k+1 = (1 + x)k (1 + x)= (1 + kx)(1 + x)

= 1 + kx + x + kx2

= 1 + (k + 1)x + k2

Pero kx2

≥ 0 = 1 + (k + 1)x + k2 > 1 + (k + 1)x (4.88)

Por lo tanto probamos que

(1 + x)n ≥ 1 + nx (4.89)

8. Sean p y q números racionales, con q > 0 y n natural. Probar

(a) ( p +√

q )n = a + b√

q a,b racionales (4.90)

Demostraremos esto de dos formas distintas

Primero, usando Binomio de Newton

( p +√

q )n =n

k=0

pn−k(√

q )k

=

n

0

p +

n

1

pn−1(

√ q )1 +

n

2

pn−2(

√ q )2 +

+

n

3

pn−3(

√ q )3 + · · · +

n

n

(√

q )n

=

n

0

pn +

n

2

pn−2(

√ q )2 + · · ·

a

+

+

n

1

pn

√ q +

n

3

pn−3(

√ q )3 + · · ·

= a +

n

1

pn

√ q +

n

3

pn−3q 2

√ q + · · ·


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Observación, como

(√ q )2 j+1 = (√ q )2 j√ q = q j√ q (4.91)y q j es un número racional tenemos entonces que

( p +√

q )n = a +

n

1

pn

√ q +

n

3

pn−3q 2

√ q + · · ·

= a +√

q

n

1

pn +

n

3

pn−3q 2 + · · ·

b

= a + b√

q con a,b racionales (4.92)

La segunda forma es utilizando inducción sobre n

Para ello primero debemos verificar para n = 1, o sea,

( p +√

q )1 = p +√

q (4.93)

Entonces si a = p y b = 1 se cumple la igualdad.

Suponemos válido para n = k, esto es, suponemos que

( p +√

q )k = a + b√

q (4.94)

es válido para a, b

∈ Q.

Demostremos para n = k + 1, o sea, demostremos que

( p +√

q )k+1 = c + d√

q (4.95)

con c, d ∈ Q, entonces tenemos

( p +√

q )k+1 = ( p +√

q )k( p +√

q )

= (a + b√

q )( p +√

q )

= ap + a√

q + bp√

q + b(√

q )2

= ap + (a + bp)√ q + bq = ap + bq

c

+ (a + bp) d

√ q

= c + d√

q (4.96)


78/149


(b) ( p − √ q )n = a − b√ q (4.97)

Esta igualdad la demostraremos unicamente por inducción sobren. Para ello primero debemos verificar para n = 1, esto es

( p − √ q )1 = p − √ q (4.98)si a = p y b = 1 se cumple la igualdad.

Suponemos válido para n = k, esto es, suponemos que

( p − √ q )k = a − b√ q (4.99)es válido para a, b ∈ Q.Demostremos para n = k + 1, o sea, demostremos que

( p − √ q )k+1 = c − d√ q (4.100)con c, d ∈ Q, entonces tenemos

( p − √ q )k+1 = ( p − √ q )k( p − √ q )= (a − b√ q )( p − √ q )= ap − a√ q − bp√ q + b(√ q )2= ap − (a + bp)√ q + bq = (ap + bq )

c −(a + bp)

d

√ q

= c + d√

q (4.101)

La otra forma de demostrarlo se deja como ejercicio propuesto.

9. Calcular

(a)i=ni=0

n

i

= 2n

i=ni=0

ni

=

i=ni=0

ni

1n−i · 1i

= (1 + 1)n

= 2n (4.102)


79/149


(b)i=n

i=0 in

i = n2n−1

Una posible forma de calcular es

n2n−1 = n(1 + 1)n−1

=n−1k=0

n

n − 1

k

=n−1k=0

n (n − 1)!

k!(n − 1 − k)!

=n−1

k=0n!

k!(n

−(k + 1))!

=n−1k=0

(k + 1) n!

(k + 1)!(n − (k + 1))!

=n−1k=0

(k + 1)

n

k + 1

Si i = k + 1

=n

i=1

i

n

i

n2n−1 =n

i=0

i

n

i

(4.103)

10. Calcular

(a)l=nl=0

k=lk=0

2k

Para calcular esto, debemos darnos cuenta que debemos usar lasuma de una serie geométrica.

Tenemos entonces que

l=nl=0

k=lk=0

2k

=l=nl=0

2l+1 − 1

2 − 1

=l=nl=0

2l+1 − l=nl=0

1

= 2l=nl=0

2l − (n + 1)


80/149


= 22n+1 − 1

2−

1 − (n + 1)

= 2n+2 − 2 − n − 1= 2n+2 − n − 3 (4.104)

(b)n= pn=0

l=nl=0

k=lk=0

2k

Debemos usar el resultado del ejercicio anterior, por lo tanto ten-emos que

l=n

l=0

k=l

k=02k

= 2n+2 − n − 3 (4.105)

Reemplazando esto en la suma que queremos calcular obtenemos

n= pn=0

l=nl=0

k=lk=0

2k =n= pn=0

2n+2 − n − 3

= 22n= pn=0

2n −n= pn=0

n − 3n= pn=0

1

= 222 p+1 − 1

2

−1

− p( p + 1)2

− 3( p + 1)

= 2 p+2 − 4 − ( p + 1) p2

+ 3= 2 p+2 − 4( p + 1)( p + 6)

2 (4.106)

(c)n=mn=1

i=ni=1

i

Por la suma de una serie aritmética tenemos que

n=m

n=1i=n

i=1i =

n=m

n=1n(n + 1)

2

=n=mn=1

n22

+ n

2

= 1

2

n=mn=1

n2 + 1

2

n=mn=1

n


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= 1

2

m(m + 1)(2m + 1)

6 +

1

2

m(m + 1)

2

= m(m + 1)(2m + 1)

12 +

m(m + 1)

4 (4.107)

11. (a) 1 + 6 + 36 + 216 + 1296 + · · · =n

i=1

6i (4.108)

(b)

1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·= n · 1 + (n − 1) · 2 + · · · + 1 · n=

n

k=1

(n−

k + 1)k (4.109)


82/149



1. Demostrar que

(a) Si a > 0 ⇒ a−1 > 0Para ello sea a > 0 eso implica que a2 > 0 entonces tenemos que

a > 0 / : a2

a−1 > 0 (4.110)

(b) Si a 0Para este caso a 0, lo que implica que

a < 0 / : a2

a−1 < 0 (4.111)

2. Demostrar que ab > 0 ⇔ (a > 0 y b > 0) ó (a 0 ⇒ ab > 0Si a > 0 y b 0 ⇒ a2 > 0Ademas si a 0Por lo tanto para cualquier a distinto de 0 tenemos lo que se ped́ıa.

4. Sea a < b. Entonces

a < b / + a

2a < a + b / : 2

a < a + b

2 (4.112)

a < b / + b

a + b < 2b / : 2

a + b

2 < b (4.113)


83/149


84/149


a2 + b2

ab ≥ 2

a

b +

b

a ≥ 2 (4.119)

(b) Demostrar1

a +

1

b

(a + b) ≥ 4 (4.120)

1

b

+ 1

a(a + b)

≥ 4

a + b

ab (a + b) ≥ 4

(a + b)(a + b) ≥ 4ab(a + b)2 ≥ 4ab

a2 + 2ab + b2 ≥ 4aba2 − 2ab + b2 ≥ 0

(a − b)2 ≥ 0 (4.121)

Demostracion

(a − b)2 ≥ 0a2 − 2ab + b2 ≥ 0a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab

(a + b)2 ≥ 4ab(a + b)(a + b) ≥ 4ab

a + b

ab (a + b) ≥ 4

1

b

+ 1

a(a + b)

≥ 4 (4.122)

(c) Demostrar

a + b = 1 ⇒ a2 + b2 ≥ 12

(4.123)


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Demostracion

(a − b)2 ≥ 0a2 − 2ab + b2 ≥ 0

a2 + b2 ≥ 2ab2a2 + 2b2 ≥ a2 + 2ab + b2

2(a2 + b2) ≥ a2 + 2ab + b2

a2 + b2 ≥ a2 + 2ab + b2

2

a2 + b2 ≥ (a + b)2

2 =

1

2 Ya que a + b = 1 (4.124)

7. Resolver las siguientes desigualdades

(a) x2 + x > 2

x2 + x > 2

x2 + x − 2 > 0(x + 2)(x − 1) > 0 (4.125)

Los puntos cŕıticos de esta desigualdad son x = 1 y x = −2 .Por lo tanto

Si x 0

Si −2 < x 0

Por lo tanto el conjunto de soluciones es

S = (−∞, −2) ∪ (1, ∞)


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(b) 2x+1x+2 0Los puntos crı́ticos de esta desigualdad son x =

−1 y x = 2 .

Por lo tantoSi x 0


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Si −1 < x 0


S = (−∞, −1) ∪ (2, ∞)(d) (3x

−8)(3x + 8) < 0

Los puntos cŕıticos de esta desigualdad son x = 83

y x = −83

.

Por lo tanto

Si x 0

Si −83 < x <

83

(3x + 8)

+(3x − 8)

− 83

(3x + 8) +

(3x − 8) +

> 0


S =

− 8

3, 8

3

(e) 4x + 1 < 2x

4x + 1 < 2x

2x + 1 < 0

2x < −1x < −1

2 (4.127)


88/149


(f) x2 + 2x ≤ 3

x2 + 2x ≤ 3x2 + 2x − 3 ≤ 0

(x + 3)(x − 1) ≤ 0 (4.128)Los puntos crı́ticos de esta desigualdad son x = −3 y x = 1 .Por lo tanto

Si x ≤ −3(x + 3)

−(x − 1)

−≥ 0

Si

−3

≤ x

≤ 1

(x + 3) +

(x − 1) −

≤ 0

Si x ≥ 1(x + 3)

+

(x − 1) +

≥ 0


S = (−3, 1)(g) −3


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Calculemos los puntos cŕıticos

37 − 15x = 015x = 37

x = 37

15 (4.131)

7 − 3x = 03x = 7

x = 7

3 (4.132)

Si x ≤ 73

+

37 −15x

7 − 3x +

≥ 0

Si 73 ≤ x ≤ 37

15

+ 37 − 15x

7 − 3x −

≤ 0

Si x ≥ 3715

− 37 − 15x

7 − 3x −

≥ 0


S =7

3, 37

15

(i) 1

2x+1 > 3

1

2x + 1 > 3

1

2x + 1 − 3 > 0

1 − 3(2x + 1)2x + 1

> 0


90/149


−6x + 1 − 32x + 1

> 0

−6x − 22x + 1

> 0 (4.133)

Calculemos los puntos cŕıticos

−6x − 2 = 06x = −2

x = −13

(4.134)

2x + 1 = 0

2x = −1x = −1

2 (4.135)

Si x 0(x − 4)(x + 2) > 0 (4.136)


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Los puntos cŕıticos de esta desigualdad son x = −2 y x = 4 .

Por lo tantoSi x 0

Si −2 < x 0


S = (−∞, −2) ∪ (4, ∞)(k) (x + 2)(x − 3)(x + 5)

Los puntos cŕıticos son x = −2 , x = 3 y x = −5Si x


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(l) (x−1)(x+2)x−2 > 0

Los puntos cŕıticos son x = −2 , x = 1 y x = 2Si x 6

1−

6−

x + 2

x − 3 > 0

−5 − x + 2x − 3 > 0

−5(x − 3) − (x + 2)x − 3 > 0


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−5x + 15 − x − 2x

−3

> 0

−6x + 13x − 3 > 0 (4.137)

Los puntos cŕıticos serán entonces x = 3 y x = 136

Si x < 136+

−6x + 13x − 3

−

3

− −6x + 13

x − 3 +


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(b) |3 − 2x| < 5

|3 − 2x| 4

−4 > x + 7 > 4−11 > x > −3 (4.141)

(e) |x + 2| + |x − 3| > 12 (4.142)Primero debemos encontrar los puntos cŕıticos de (4.142)

x + 2 = 0

x = −2 (4.143)x − 3 = 0

x = 3 (4.144)

Si x ≤ −2−(x + 2) + (−(x − 3)) > 12

−x − 2 − x + 3 > 12

−2x + 1 > 12

−2x > 11x < −11

2 (4.145)

Si −2 ≤ x ≤ 3


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x + 2 + (−(x − 3)) > 12−6 > 12 →← (4.146)

Si x ≥ 3x + 2 + x − 3 > 12

2x − 1 > 122x > 13

x > 13

2 (4.147)

Por lo tanto la solución será

S =

− ∞, −112

∪13

2 , ∞

(4.148)

(f) |2x − 1| + |x − 3| > 9 (4.149)Primero debemos encontrar los puntos crı́ticos de (4.149)

2x − 1 = 02x = 1

x =

1

2 (4.150)

x − 3 = 0

x = 3 (4.151)

Si x < 12

−(2x − 1) + (x − 3) > 9−2x + 1 + x − 3 > 9

−x − 2 > 9−x > 11

x < −11 (4.152)

Si 12 ≤ x ≤ 3

2x − 1 + (−(x − 3)) > 92x − 1 − x + 3 > 9


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x + 2 > 9

x > 11 →← (4.153)Si x ≥ 3

2x − 1 + x − 3 > 93x − 4 > 9

3x > 13

x > 13

3 (4.154)


S = − ∞, −11 ∪ 133 , ∞ (4.155)(g) |2x − 1| + |x − 3| > 9 (4.156)

Primero debemos encontrar los puntos cŕıticos de (4.156)

3x − 2 = 03x = 2

x = 2

3 (4.157)

x − 7 = 0x = 7 (4.158)

Si x < 23

−(3x − 2) − (−(x − 7)) < 6−3x + 2 + x − 7 < 6

−2x − 5 < 6−2x > 11

x < −11 (4.159)

Si 23 ≤ x ≤ 7

3x − 2 − (−(x − 7)) < 63x − 2 + x − 7 < 6

4x − 9 < 6


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4x < 15

x < 15

4 (4.160)

Si x ≥ 73x − 2 − (x − 7) < 6

3x − 2 − x + 7 < 62x + 5 < 6

2x < 1

x < 1

2 →← (4.161)


S =

− ∞, −11

∪2

3, 15

4

(4.162)


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99/149


(a) f i(5) i = 1, 2, 3 Calculemos

f 1(5) = √ 5 = 2.2360679775 (4.166)f 2(5) = 2 · 52 + 3 · 5 + 4 = 50 + 15 + 4 = 69 (4.167)f 3(5) =

1

5 = 0.2 (4.168)

(b) f i(x + h) − f i(x) h > 0f 1(x + h) − f 1(x) =

√ x + h − √ x (4.169)

f 2(x + h) − f 2(x) = 2(x + h)2 + 3(x + h) + 5

−2x2 + 3x + 5= 2x2 + 4xh + 2h2 + 3x

+3h + 5 − 2x2 − 3x − 5= 4xh + 2h2 + 3h

= h(4x + 3 + 2h) (4.170)

f 3(x + h) − f 3(x) = 1x + h

− 1x

= x − (x + h)

x(x + h)

= −hx(x + h)

(4.171)

(c) f i(x+h)−f i(x)h Para los númeradores usaremos (4.169), (4.170),(4.171).

Por lo tanto obtenemos

f 1(x + h) − f 1(x)h

=

√ x + h − √ x

h (4.172)

f 2(x + h) − f 2(x)h

= h(4x + 3 + 2h)

h= 4x + 3 + 2h (4.173)


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f 3(x + h) − f 3(x)h

=

−hx(x+h)

h=

−1x(x + h)

(4.174)

(d) f i(b2) con b ∈ R

f 1(b2) =

√ b2 = b (4.175)

f 2(b2) = 2b2 + 3b + 5 (4.176)

f 3(b2) = 1b2

(4.177)

4. Para encontrar los 3 subconjuntos donde f (x) sea inyectiva, primerodebemos ver si f es inyectiva a no.

Si f (x) = f (y) entonces ⇒ x = yx2 = y2

x = ±√ y (4.178)

Por lo tanto no es inyectiva

Si hacemos un gráfico de f (x) podremos encontrar los 3 subconjuntosen donde f sea inyectiva.

D1 = R− (4.179)

D2 = R+ (4.180)

D3 = (1, ∞) (4.181)

¿Existe un dominio D formado por números positivos y negativos talque f : D → R inyectiva?No, porque no existe un intervalo formado por números positivos ynegativos tal que f sea inyectiva.


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5. Para este ejercicio debemos saber cual es el dominio natural de

f (x) = √ x.DomN(f ) = {x ∈ R|x ≥ 0}.Probemos ahora que f es inyectiva. Supongamos que f (x) = f (y) paraalgún x e y . Y veamos que x = y.

√ x =

√ y /()2

⇒ x = y (4.182)

Por lo tanto la función f es inyectiva en su dominio natural.


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1. Debemos encontrar el Area como funciń de x. Para ello tenemos comodato el perı́metro de un rectángulo que es

P = 2x + 2y = 200 (4.183)

x + y = 100

y = 100 − x (4.184)

Además el área de una rectángulo es A = x · y, reemplazando (4.184)obtenemos

A(x) = x · y = x(100 − x) (4.185)

A(x) = 100x − x2 (4.186)

2. Como el lado de la pieza cuadrada es 16[cm2] si recortamos cuadradosiguales de lado x de cada esquina podemos expresar el volumen enfunción de x.

V (x) = (16 − 2x)2x (4.187)= (256 − 64x + 4x2)x

V (x) = 4x3 − 64x2 + 256x (4.188)

3. La ecuación del ćırculo es:

y =√

16 − x2 (4.189)

Si tomamos como x la distancia entre el eje Y y la circunferencia.Además tomamos como y la distancia entre el eje X y la circunferenciaobtenemos que el área será

A

2 = x · y = x

√ 16 − x2 (4.190)


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Por lo tanto el área total de en función de x será

A(x) = 2x√ 16 − x2 (4.191)

4. Sabemos que el área A = 100[cm2]

Además sabemos que

2x2 + 4xy = 200

x2 + 2xy = 100

2xy = 100 − x2

y = 100 − x2

2x

(4.192)

Por otro lado sabemos que el volumen lo podemos expreasar como

V (x) = x2 · y (4.193)V (x) = x2

100 − x22x

(4.194)

= x

2(100 − x2)

= 50x − x3

2 (4.195)

5. Dadas f (x) = 2x − 3 y g(x) = √ x + 1. Encontrar(a) Dom(f ),Dom(g)

Dom(f ) = {x ∈ R} (4.196)Dom(g) = {x ∈ R|x ≥ −1} (4.197)

(b) f + g

f (x) + g(x) = 2x − 3 + √ x + 1 (4.198)

El dominio será Dom(f + g) = {x ∈ R|x ≥ −1}(c) f · g

f (x) · g(x) = √ x + 1(2x − 3) (4.199)El dominio será Dom(f · g) = {x ∈ R|x ≥ −1}


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(d) f ◦ g

f (x) ◦ g(x) = 2(√ x + 1) − 3 (4.200)El dominio será Dom(f ◦ g) = {x ∈ R|x ≥ −1}

(e) g ◦ f g(x) ◦ f (x) =

(2x − 3) + 1 = √ 2x − 2 (4.201)

El dominio será Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R|x ≥ −1}6. Determinar si las funciones son inversas una de la otra.

(a) f (x) = 2x + 3

g(x) = x + 32 (4.202)

f (x) = y = 2x + 3

2x = y − 3x =

y − 32

(4.203)

Comparando (4.202) con (4.203) vemos que no son iguales. Porlo tanto f no es inversa de g y viceversa.

(b) f (x) =

√ x − 4 g(x) = x

2

+ 4 x ≥ 0

f (x) = y =√

x − 4y2 = x − 4

y2 + 4 = x = g(y) (4.204)

Por lo tanto hemos encontrado la inversa y es igual a g(x)

(c) f (x) = 1 − x3 g(x) = 3√ 1 − x

f (x) = y = 1 − x3

y − 1 = −x31 − y = x3

3

1 − y = x = g(y) (4.205)


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(d) f (x) = x−2 , x > 0 g(x) = x−1

2 x > 0

f (x) = y = x−2

y = 1

x2

yx2 = 1

x2 = 1

y

x = 1√

y

x = y−1

2

= g(y) (4.206)Por lo tanto g(y) = g(x), entonces las funciones son inversas unade la otra.

(e) f (x) = 1x2+1

g(x) =

1−xx

en ]12

, 1[

f (x) = y = 1

x2 + 1

(x2 + 1) = 1

y

x2 = 1y − 1

x2 = 1 − y

y

x =

1 − y

y = g(y) (4.207)

Por lo tanto hemos encontrado la inversa que además es igual a laentregada.

7. Encontrar la inversa y graficar f y f −1

(a) f (x) = x2 x ≥ 0f (x) = y = x2√

2 = x = f −1(y) (4.208)


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0

2

4

6

8

10

12

14

16

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figura 4.1: Gráfico de f (x) = x2

Por lo tanto f −1(x) = √

x

Los gráficos son las figuras (4.1) y (4.2)

(b) f (x) =√

x2 − 4 x ≥ 2f (x) = y =

√ x2 − 4

y2 = x2 − 4y2 + 4 = x2 y2 + 4 = x (4.209)

Por lo tanto f −1(x) =√

x2 + 4

Los gráficos son las figuras (4.3) y (4.4)(c) f (x) = 3

√ x − 1

f (x) = y = 3√

x − 1y3 = x − 1


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0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Figura 4.2: Gráfico de f (x) = √

x x ≥ 0

0

5

10

15

20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Figura 4.3: Gráfico de f (x) =√

x2 − 4 x ≥ 2

y3 + 1 = x = f −1(y) (4.210)


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2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Figura 4.4: Gráfico de f (x) =√

x2 + 4

Por lo tanto f −1(x) = x3 + 1

-150

-100

-50

0

50

100

150

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figura 4.5: Gráfico de f (x) = x3 + 1


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El gráfico lo vemos en la figura (4.5).

8. f (x) = 18x − 3 g(x) = x3 Debemos primero determinar f −1(x) yg−1(x).

Calculemos f −1(x)

f (x) = y = 1

8x − 3

y + 3 = 1

8x

8(y + 3) = x = f −1(y) (4.211)

Ahora calculemos g−1(x)

g(x) = y = x3

3√

y = y = g−1(y) (4.212)

(a) (f −1 ◦ g−1)(x)f −1(g−1)(x) = 8( 3

√ x + 3) (4.213)

(b) (f −1 ◦ f −1)(t)

f

−1(f

−1)(t) = 8(8(x + 3) + 3) = 8(8x + 27) (4.214)

(c) (g−1 ◦ f −1)(a)g−1(f −1)(a) = 3

8(x + 3) = 2 3

√ x + 3 (4.215)

9. Econtrar las ráıces de los siguientes polinomios

(a) p(x) = x4 + x Como el polinomio es de grado 4 debemos encontrar4 ráıces. La primera ráız la obtenemos factorizando por x

x4

+ x = x(x3

+ 1) = 0 ⇒ x1 = 0 (4.216)x2 = −1 (4.217)

Ahora que tenemos dos ráıces, dividiremos x3 + 1 por x + 1 paraobtener las demás raı́ces.


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x3 + 1 : x + 1 = x2 − x + 1−(x3 + x2)

−x2 + 1−(−x2 − x)

x + 1

−(x + 1)0

Por lo tanto debemos encontrar las ráıces de x2

− x + 1 Para estousaremos la fórmula para resolver ecuaciones de segundo orden.

x1/2 = −b ± √ b2 − 4ac

2a (4.218)

Para nuestra ecuación a = 1 b = −1 c = 1. Por lo tantoobtenemos que

x3/4 = 1 ± √ 1 − 4

2 =

1 ± √ −32

= 1

2 ± i

√ 3

2 (4.219)

Por lo que las ráıces son

x1 = 0 (4.220)

x2 = −1 (4.221)

x3 = 1

2 + i

√ 3

2 (4.222)

x4 = 1

2 − i

√ 3

2 (4.223)

(b) Usando el mismo procedimiento esta vez para h(x) = x(4 − x2)obtenemos

x(4 − x2) = 0 ⇒ x1 = 0 (4.224)x2 = 2 ⇒ x2 = 2 x3 = −2 (4.225)

Por lo que obtuvimos las tres ráıces.


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(c) Como sabemos que x1 = 2 es una ráız, para obtener las demás

debemos dividir f (x) por x − 2.x3 − 6x2 + 3x + 10 : x − 2 = x2 − 4x − 5

−(x3 − 2x2)−4x2 + 3x + 10−(−4x2 + 8x)

−5x + 10−(−5x + 10)

0

Para obtener las ráıces usamos (4.218) y nos da

x1/2 = 4 ± √ 16 + 20

2 =

4 ± 62

= 2 ± 3 (4.226)Por lo que las ráıces serán

x1 = 2 (4.227)

x2 = 2 + 3 = 5 (4.228)

x3 = 2 − 3 = −1 (4.229)10. Dividir h(x) y p(x) encontrando q (x) y r(x)

(a) h(x) = x4 + 3x3 + 3 p(x) = x2 + 3x − 2x4 + 3x3 + 3 : x2 + 3x − 2 = x2 + 2 = q (x)

−(x4 + 3x3 − 2x2)2x2 + 2

−(2x2 + 6x − 4)−6x + 6 = r(x)

Por lo tanto hemos encontrado q (x) = x2 + 2 y r(x) = 6 − 6x

(b) h(x) = x5

+ 5x − 1 p(x) = x3

+ 2x − 3x5 + 5x − 1 : x3 + 2x − 3 = x2 − 2 = q (x)

−(x5 + 2x3 − 3x2)−2x3 + 3x2 + 5x − 1


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−(−2x3 − 2x + 6)

3x2

+ 7x − 7 = r(x)Por lo tanto hemos encontrado q (x) = x2−2 y r(x) = 3x2 + 7x−7

(c) h(x) = x4 + 1 p(x) = x − 2x4 + 1 : x − 2 = x3 + 2x2 + 4x + 8 = q (x)

−(x4 − 2x3)2x3 + 1

−(2x3 − 4x2)4x2 + 1

−(4x2 − 8x)8x + 1

−(8x − 16)17 = r(x)

Por lo tanto hemos encontrado q (x) = x2−2 y r(x) = 3x2 + 7x−7(d) h(x) = x4 + 1 p(x) = x2 + 2x + 2

x4 + 1 : x2 + 2x + 2 = x2 − 2x + 4 = q (x)−(x4 + 2x3 + 2x)

−2x3 + 2x + 1−(−2x3 − 4x2 − 2x)

4x2 + 4x + 1

−(4x2 +

examenes análisis i

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