examen resuelto-2ºbach-tema 2: continuidad
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I.E.S. MELCHOR DE MACANAZ D. MATEMÁTICAS
TEMA 2: CONTINUIDAD
1º) Estudiar la continuidad de la función f(x) = . Si en algún
punto es discontinua, indicar que tipo de discontinuidad hay.
Solución:
X2 – x – 2 = 0 ; x = -1 y x = 2 Dom (f) = R -
Si x -1, 2 f(x) continua por ser cociente de funciones continuas y el denominador
no se anula.
Si x = 2 f(2) = no existe , entonces f(x) no es continua en x = 2
f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = 2
Si x = -1 f(-1) = no existe, entonces f(x) es discontinua en x = -1
f(x) tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito
2º) Sea la función f: [-1, 3] R definida por f(x) = .
a) Define la función f(x)
b) ¿Es continua en [-1, 3]?
c) Representa la función f(x)
d) ¿Se puede afirmar que la función f(x) alcanza sus extremos
absolutos en el intervalo [-1, 3]?. En caso afirmativo, calcula dichos
extremos.
Solución
a) f(x) = =
b)
Si x 2 f(x) continua para x [-1, 3] funciones polinómicas
Si x = 2 f(2) = 0
f(2) = 0 = Entonce f(x) continua en x = 2
Por tanto f(x) es continua en [-1, 3] JLHQ
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I.E.S. MELCHOR DE MACANAZ D. MATEMÁTICAS
c)
c) Si f(x) es continua en [-1, 3] , entonces por el Teorema de Weierstrass ,
alcanza el máximo y mínimo absoluto en el intervalo [-1, 3]
Máximo absoluto = 5 , cuando x = 3
Mínimo absoluto = 0, cuando x = 2
3º) a) Interpretación geométrica del Teorema de Bolzano.
b) Calcula el valor de “a” para que la función
f(x) = cumpla el teorema de Bolzano en el
intervalo [-1, 1]
Solución:
a) En la Teoría.
b) x 0 f(x) es continua , x2 +ax + 2 función continua (f. polinómica) y
e2x + 1 f. continua (f. exponencial)
Si x = 0 f(0) = 2
f(0) = 2 = Entonces f(x) continua em x = 0
Por tanto f(x) es continua em todo R
Si f(x) continua en [-1, 1]
f(-1) = 1 –a + 2 = 3 – a Para que se cumpla el teorema de Bolzano 3 – a < 0, a
f(1) = e2 + 1 > 0
Para que se cumpla el teorema de Bolzano 3 – a < 0, entonces a > 3
Entonces el Teorema de Bolzano, afirma que tal que f(c) = 0.
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JLHQ
I.E.S. MELCHOR DE MACANAZ D. MATEMÁTICAS
4º) a) Calcula el valor de k para que sea continua la función en x =
1:
g(x) =
c) Demostrar que las gráficas de las funciones f(x) = 3 sen x y
g(x) = e-x cos x se cortan el algún punto.
Solución:
a) k para que f(x) sea continua en x = 1
f(1) = k
f(x) continua en x = 1 si f(1) = k =
Por tanto tiene que ser k = ½ para que (x) sea continua en x = 1
b) Sea la función h(x) = f(x) – g(x) = 3 sen x - e-x cos x
h(x) en continua en todo R por ser diferencia de funciones continuas.
h(0) = - 1 < 0
h( = 3 > 0
h(x) continua en el intervalo [0,
Entonces por el teorema de Bolzano tal que h(c) = 0.
Por tanto f(c) = g(c) , y queda demostrado que existe al menos un punto
donde las gráficas de las funciones f(x) y g(x) se cortan.
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