I.E.S. MELCHOR DE MACANAZ D. MATEMÁTICAS

TEMA 2: CONTINUIDAD

1º) Estudiar la continuidad de la función f(x) = . Si en algún

punto es discontinua, indicar que tipo de discontinuidad hay.

Solución:

X2 – x – 2 = 0 ; x = -1 y x = 2 Dom (f) = R -

Si x -1, 2 f(x) continua por ser cociente de funciones continuas y el denominador

no se anula.

Si x = 2 f(2) = no existe , entonces f(x) no es continua en x = 2

f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = 2

Si x = -1 f(-1) = no existe, entonces f(x) es discontinua en x = -1

f(x) tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito

2º) Sea la función f: [-1, 3] R definida por f(x) = .

a) Define la función f(x)

b) ¿Es continua en [-1, 3]?

c) Representa la función f(x)

d) ¿Se puede afirmar que la función f(x) alcanza sus extremos

absolutos en el intervalo [-1, 3]?. En caso afirmativo, calcula dichos

extremos.

Solución

a) f(x) = =

b)

Si x 2 f(x) continua para x [-1, 3] funciones polinómicas

Si x = 2 f(2) = 0

f(2) = 0 = Entonce f(x) continua en x = 2

Por tanto f(x) es continua en [-1, 3] JLHQ

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c)

c) Si f(x) es continua en [-1, 3] , entonces por el Teorema de Weierstrass ,

alcanza el máximo y mínimo absoluto en el intervalo [-1, 3]

Máximo absoluto = 5 , cuando x = 3

Mínimo absoluto = 0, cuando x = 2

3º) a) Interpretación geométrica del Teorema de Bolzano.

b) Calcula el valor de “a” para que la función

f(x) = cumpla el teorema de Bolzano en el

intervalo [-1, 1]

Solución:

a) En la Teoría.

b) x 0 f(x) es continua , x2 +ax + 2 función continua (f. polinómica) y

e2x + 1 f. continua (f. exponencial)

Si x = 0 f(0) = 2

f(0) = 2 = Entonces f(x) continua em x = 0

Por tanto f(x) es continua em todo R

Si f(x) continua en [-1, 1]

f(-1) = 1 –a + 2 = 3 – a Para que se cumpla el teorema de Bolzano 3 – a < 0, a

f(1) = e2 + 1 > 0

Para que se cumpla el teorema de Bolzano 3 – a < 0, entonces a > 3

Entonces el Teorema de Bolzano, afirma que tal que f(c) = 0.

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4º) a) Calcula el valor de k para que sea continua la función en x =

1:

g(x) =

c) Demostrar que las gráficas de las funciones f(x) = 3 sen x y

g(x) = e-x cos x se cortan el algún punto.

Solución:

a) k para que f(x) sea continua en x = 1

f(1) = k

f(x) continua en x = 1 si f(1) = k =

Por tanto tiene que ser k = ½ para que (x) sea continua en x = 1

b) Sea la función h(x) = f(x) – g(x) = 3 sen x - e-x cos x

h(x) en continua en todo R por ser diferencia de funciones continuas.

h(0) = - 1 < 0

h( = 3 > 0

h(x) continua en el intervalo [0,

Entonces por el teorema de Bolzano tal que h(c) = 0.

Por tanto f(c) = g(c) , y queda demostrado que existe al menos un punto

donde las gráficas de las funciones f(x) y g(x) se cortan.

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