Examen Final de EDOs ProblemasFecha: 12 de enero de 2012 Tiempo total: 2 horas y 20 minutos

1. Es un problema computacional, luego es crucial no cometer errores de calculo. Elapartado b.v) es opcional; no es necesario para llegar al diez. Esta inspirado en el docu-mento http://www.bibliotecapleyades.net/archivos pdf/brusselator.pdf 3

Sean a y b dos parametros positivos.

a) Consideramos el sistema lineal homogeneo 2D a coeficientes constantes x′ = Axdonde

A =

(b− 1 a−b −a

).

i) Estudiar la estabilidad del sistema lineal en funcion de a y b. Representar eldiagrama de bifurcaciones en el espacio de parametros (a, b) ∈ R2 : a, b > 0.

ii) Probar que el sistema lineal nunca puede ser una silla.

iii) ¿Cuando expande, preserva o contrae area este sistema lineal?

iv) ¿Cuando es un centro este sistema lineal? En esos casos, ¿cual es el periodode las soluciones? ¿Y cual es el sentido de giro de las trayectorias?

b) Consideramos el sistema no lineal 2D (llamado Brusselator) dado porx′1 = 1− (b+ 1)x1 + a(x1)

2x2x′2 = bx1 − a(x1)

2x2.

i) Calcular el unico punto de equilibrio del Brusselator.

ii) Estudiar la estabilidad del Brusselator en ese punto de equilibrio por el metodode linealizacion.

iii) Una isoclina es una curva formada por todos los puntos donde el campo devectores tiene una direccion fijada. Calcular y dibujar, pero solo en el primercuadrante, las isoclinas correspondientes a las direcciones horizontal y vertical:

C1 =

(x1, x2) ∈ R2+ : x′1 = 0

, C2 =

(x1, x2) ∈ R2

+ : x′2 = 0.

¿Cual corresponde a la direccion horizontal? ¿En que punto se intersecan?Estas isoclinas dividen el primer cuadrante en cuatro regiones. Dibujarlas yexplicar que se puede decir cuando una solucion x(t) = (x1(t), x2(t)) pertenecea cada una de ellas.

iv) Calcular y dibujar la region del primer cuadrante dada por

R =

(x1, x2) ∈ R2+ : x′1 + x′2 < 0

.

Sea x(t) = (x1(t), x2(t)) una solucion del sistema tal que x(0) ∈ R y seac = x1(0) + x2(0), luego

x(0) ∈ s :=

(x1, x2) ∈ R2 : x1 + x2 = c.

Sean Π+ =

(x1, x2) ∈ R2 : x1 + x2 > c

y Π− =

(x1, x2) ∈ R2 : x1 + x2 < c

los semiplanos separados por la recta s. ¿En que semiplano esta contenida lasolucion x(t) cuando t > 0, pero t ≈ 0? Justificar la respuesta.

v) Apartado extra opcional para valorar la intuicion, no se piden pruebas.Usar los apartados iii) y iv) para encontrar y dibujar una “region-trampa”T ⊂ R2

+ tal que ninguna solucion del sistema pueda salir de ella.(Indicacion: Su frontera esta formada por cinco segmentos, dos horizontales,dos verticales y otro contenido en una recta como s.)

Solucion: Escrita a mano en las siguientes paginas, pues contiene varios dibujos a color.

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2. La solucion del PVI x′ = Ax, x(0) = x0 es x(t) = eAtx0 y existen metodos paracalcular la matriz exponencial. Planteamos un problema similar, luego conviene recordarlas ideas usadas para la exponencial. Es un estudio teorico, justificad todos los pasos. 3

Consideramos el PVI lineal de segundo orden a coeficientes constantes

x′′ + Ω2x = 0, x(0) = x0, x′(0) = x1,

donde x ∈ Rn es la funcion incognita, Ω ∈ Mn(R), x0 ∈ Rn es la posicion inicial yx1 ∈ Rn es la velocidad inicial.

a) Las matrices coseno cos(Ωt) y seno sin(Ωt) asociadas a la matriz Ω son las seriesde potencias

cos(Ωt) =

∞∑k=0

(−1)kΩ2kt2k

(2k)!, sin(Ωt) =

∞∑k=0

(−1)kΩ2k+1t2k+1

(2k + 1)!.

i) Calcular las matrices coseno y seno asociadas a la matriz diagonal

D = diag(ω1, . . . , ωn).

ii) Probar que las series de potencias anteriores son absolutamente convergentesen R y uniformemente convergentes sobre compactos de R.

iii) Probar que la funcion

x(t) = cos(Ωt)x0 + Ω−1 sin(Ωt)x1

es una solucion del PVI.

iv) Probar que si S es invertible y J = S−1ΩS, entonces

cos(Ωt) = S cos(Jt)S−1, sin(Ωt) = S sin(Jt)S−1.

v) Probar que si Ω diagonaliza y sus VAPs son reales, entonces la solucion delapartado iii) esta acotada; es decir, existe una constante C > 0 tal que

|x(t)| ≤ C ∀t ∈ R.

b) Calcular una solucion del PVI cuando

Ω =

(3/2 1/21/2 3/2

), x0 =

(00

), x1 =

(1−1

).

Describir mediante algun dibujo el aspecto de la solucion obtenida.(Indicacion: Diagonalizar Ω y aplicar los resultados del apartado a).)

c) Usando la variable z = (x,x′) ∈ R2n, el PVI lineal de segundo orden se transformaen un PVI lineal de primer orden a coeficientes constantes de la forma

z′ = Az, z(0) = z0

donde A ∈M2n(R) y z0 ∈ R2n. Expresar la matriz A (respectivamente, el vectorz0) en funcion de la matriz Ω (respectivamente, los vectores x0 y x1). Deducirque el PVI de segundo orden tiene una unica solucion.

Solucion:

a) i) Observamos que las series del coseno y seno matriciales son las habituales series delcoseno y el seno cuando se substituye Ω por un numero real o complejo. Si tenemosuna matriz diagonal D = diag(ω1, . . . , ωn), entonces Dk = diag(ωk

1 , . . . , ωkn) y

cos(Dt) = diag(cos(ω1t), . . . , cos(ωnt)), sin(Dt) = diag(sin(ω1t), . . . , sin(ωnt)).

ii) Para ver que las series son absolutamente convergentes en R y uniformemente conver-gentes sobre compactos de R aplicaremos el criterio M de Weierstrass como hicimoscon la serie de la exponencial de matrices. Sea ‖·‖ una norma matricial multiplicativaarbitraria. Entonces∥∥∥∥∥

∞∑k=0

(−1)kΩ2kt2k

(2k)!

∥∥∥∥∥ ≤∞∑k=0

t2k

(2k)!‖Ω‖2k = cosh(‖Ωt‖) <∞, t ∈ R.

Por tanto, la serie es absolutamente convergente en R y uniformemente convergentesobre compactos de R. La demostracion del seno es analoga substituyendo cosh porsinh en la cota final.

iii) Las series de potencias anteriores convergen uniformemente sobre compactos, luegopodemos derivarlas termino a termino:

d

dtcos(Ωt) =

∞∑k=1

(−1)kΩ2kt2k−1

(2k − 1)!= −Ω

∞∑k=1

(−1)k−1Ω2k−1t2k−1

(2k − 1)!= −Ω sin(Ωt),

d

dtsin(Ωt) =

∞∑k=0

(−1)kΩ2k+1t2k

(2k)!= Ω

∞∑k=0

(−1)kΩ2kt2k

(2k)!= Ω cos(Ωt).

Por tanto, x′′(t) = −Ω2 cos(Ωt)x0 − Ω2 sin(Ωt)x1 = −Ω2x(t). Sea 0 la matriz nulan×n e Id la matriz identidad n×n. Tenemos las identidades cos(0) = Id y sin(0) = 0.Finalmente, usando las formulas para las derivadas de las matrices coseno y seno,vemos que

x(0) = cos(0)x0 + Ω−1 sin(0)x1 = x0, x′(0) = −Ω sin(0)x0 + cos(0)x1 = x1.

iv) Si J = S−1ΩS con S invertible, entonces Ωk = SJkS−1 para todo k ≥ 0, luego

cos(Ωt) =

∞∑k=0

(−1)kSJ2kS−1t2k

(2k)!= S

( ∞∑k=0

(−1)kJ2kt2k

(2k)!

)S−1 = S cos(Jt)S−1.

En la segunda igualdad, usando que la serie converge uniformemente sobre compactos,hemos sacado las matrices S y S−1 factor comun. El caso del seno se hace igual.

v) Estamos suponiendo que existe una matriz diagonal D = diag(ω1, . . . , ωn) ∈Mn(R)y un cambio de base S ∈Mn(R) tales que D = S−1ΩS. Usando el apartado anteriory el calculo del coseno y seno para matrices diagonales, vemos que

cos(Ωt) = S cos(Dt)S−1 = S diag(cos(ω1t), . . . , cos(ωnt))S−1,

sin(tΩ) = S sin(tD)S−1 = S diag(sin(ω1t), . . . , sin(ωnt))S−1.

Por tanto, todos los elementos de la matrices cos(Ωt) y sin(Ωt) son combinacioneslineales de cosenos y senos, respectivamente. Entonces todas las componentes dela solucion x(t) del apartado iii) son acotadas, pues son combinaciones lineales defunciones acotadas (senos y cosenos). Esto implica que x(t) es acotada en t ∈ R.

b) Como x0 = 0 solo hace falta calcular el seno de la matriz, pues la solucion es

x(t) = Ω−1 sin(Ωt)x1.

Los VAPs de la matriz Ω son ω1 = 1 y ω2 = 2. Los respectivos VEPs son v1 = (1,−1) yv2 = (1, 1). Por tanto, D = S−1ΩS, donde

D = diag(ω1, ω2) =

(1 00 2

), S =

(1 1−1 1

).

Aplicando los resultados del apartado a), vemos que

x(t) = Ω−1S sin(tD)S−1x1 =

(1 1/2−1 1/2

)(sin t 0

0 sin 2t

)(10

)=

(sin t− sin t

).

La curva t 7→ (x1(t),x2(t)) recorre periodicamente en el plano (x1,x2) el segmento queune los puntos (−1, 1) y (1,−1), sobreescribiendose constantemente.

c) Vamos a comprobar que

A =

(0 Id−Ω2 0

), z0 =

(x0

x1

).

Efectivamente, pues

z′ =

(xx′

)′=

(x′

x′′

)=

(x′

−Ω2x

)=

(0 Id−Ω2 0

)(xx′

)= Az,

y

z(0) =

(x(0)x′(0)

)=

(x0

x1

)= z0.

Sean x(t) y x(t) dos soluciones del PVI lineal de segundo orden dado al principio.Entonces, las funciones z(t) = (x(t),x′(t)) y z(t) = (x(t), x′(t)) son soluciones del PVIlineal de primer orden z′ = Az, z(0) = z0. Pero sabemos que este PVI lineal de primerorden tiene solucion unica, luego x(t) = x(t).

Examen Final de EDOs TeorıaFecha: 12 de enero de 2012 Tiempo: 40 minutos

[10 puntos]. Lo bueno, si breve, dos veces bueno. 3

1. Definir rigurosamente cuando x0 es punto de equilibrio estable de un sistema no linealx′ = f(x).

2. Enunciar el teorema de estabilidad de sistemas lineales homogeneos a coeficientes cons-tantes.

3. Un sistema lineal homogeneo tiene infinitas matrices fundamentales, pero solo una matrizprincipal en cada instante t0 ∈ R. ¿Por que es unica la matriz principal?

4. Los multiplicadores caracterısticos (o de Floquet) de un sistema lineal a coeficientes pe-riodicos se definen como los VAPs de una matriz de monodromıa del sistema, pero existeninfinitas matrices de monodromıa. ¿Por que es correcta, entonces, esta definicion?

5. Sea X(t) una matriz fundamental de un sistema homogeneo x′ = A(t)x, con A : I →Mn

funcion matricial continua. ¿Que debe cumplir una funcion vectorial u : I → Rn para que

xp(t) = X(t)u(t)

sea una solucion particular del sistema no homogeno x′ = A(t)x + b(t)? ¿Y que nombrerecibe este metodo de calculo de una solucion particular?

Solucion:

1. En primer lugar, x0 un punto de equilibrio del SNL x′ = f(x) cuando f(x0) = 0. Y ensegundo lugar, x0 es estable si y solo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que

‖x(0)− x0‖ ≤ δ =⇒ ‖x(t)− x0‖ ≤ ε ∀t > 0.

Aquı, x(t) denota a una trayectoria cualquiera del sistema.2. El teorema de estabilidad de SLs homogeneos a coeficientes constantes afirma que el

sistema x′ = Ax es:Inestable si y solo si tiene algun VAP de parte real positiva o no semi-simple de partereal nula.Atractor/repulsor si y solo si todos sus VAPs tienen parte real negativa/positiva.

3. Por definicion, X(t) es una matriz principal en el instante t0 del sistema lineal x′ = A(t)xsi y solo si es una solucion del PVI matricial

X ′ = A(t)X, X(t0) = Id.

Luego, aplicando el teorema de existencia y unicidad de soluciones de SLs, deducimos laexistencia y unicidad de la matriz principal.

4. Por un lado, sabemos que todas las matrices de monodromıa son conjugadas; es decir,esta relacionadas por cambios de base lineales. Por otro lado, recordamos un resultadode algebra lineal: dos matrices conjugadas tienen los mismos VAPs. La combinacion deambas observaciones implica que todas las matrices de monodromıa tienen los mismosVAPs, luego la definicion es correcta.

5. Debe cumplir la condicion X(t)u′(t) = b(t). Esta metodo recibe el nombre de formula devariacion de las constantes o formula de variacion de parametros.