capitulo i (edos)
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UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil
INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES es una rama muy importante de las matemáticas, pues proporciona el medio para las formulaciones matemáticas y soluciones de múltiples fenómenos de la ciencia y la ingeniería (ya sean económico, biológicos, físico, químicos, etc.) con la finalidad de comprender mejor el comportamiento de la naturaleza y mundo que nos rodea.
Un objeto se libera desde una altura determinada (por encima del nivel del suelo) y cae bajo la fuerza de
la gravedad. (en este caso supondremos que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre el objeto, y que
esta fuerza es constante).
Otros modelos más generales considerarían otras fuerzas, como la resistencia del aire.
Podemos aplicar al objeto que cae la 2ª Ley de Newton, la cual establece que la masa de un objeto por su
aceleración es igual a la fuerza total que actúa sobre él.
Esto lleva a la siguiente ecuación:
Sea una función que representa la altura del objeto en el tiempo . Luego al derivar la función
altura, obtenemos la velocidad con que el objeto cae en un instante . Finalmente al derivar por
segunda vez obtenemos la aceleración con el objeto cae en un instante .
Por notación utilizamos ; luego al reemplazar la aceleración en la ecuación ( 1 ) obtenemos
la siguiente ecuación diferencial:
Definamos ahora una Ecuación Diferencial
Definición.- Una ECUACION DIFERENCIAL es una ecuación que contiene derivadas de una función desconocida o variable dependiente con respecto a una o más variables independientes.
Ejemplos.
1.- 6.-
2.- 7. -
3.- 8.-
4.- 9.-
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5.- 10.-
NOTASiempre que un modelo matemático implique la “razón de cambio de una variable con respecto de otra”, es probable que aparezca una ECUACION DIFERENCIAL.
Ejemplos:
1.- ; Modelo del aprendizaje de una tarea en este caso la función incógnita
representa el nivel de habilidad del estudiante como función del tiempo, las constantes
dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.
2.- ; modelo sencillo de la forma de un tsunami o maremoto, es la altura de
la ola en función de su posición relativa a un punto determinado en alta mar.
3.- Se estima que dentro de meses la población de cierta ciudad cambiará a una razón de
personas por mes; la razón de cambio de la población queda escrita de la forma , por lo tanto la
ecuación diferencial que describe este fenómeno es:
4.- Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de minutos es metros
por minuto; debido a que la velocidad es la razón de cambio de la distancia con respecto del tiempo
, entonces la ecuación diferencial que describe este fenómeno será:
5.- ; ecuación de calor de una barra delgada
Para comenzar nuestro estudio de las Ecuaciones Diferenciales necesitamos cierta terminología común. Si
una ecuación implica la derivada de una variable con respecto de otra, entonces la primera se llama
variable dependiente y la segunda variable independiente.
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en ORDINARIAS y PARCIALES:
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a) Una ecuación diferencial que solo tiene derivadas ordinarias de una variable dependiente con respecto a una sola variable independiente se llama ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA. (EDO).
Ejemplo:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), se representan:
ó
Donde indica la relación de é , de igual manera sus derivadas.
b) ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP), se llama así a las ecuaciones diferenciales que implican derivadas parciales de una variable dependiente con respecto a mas de una variable independiente.
Ejemplos:
1.- , Ecuación Diferencial de Laplace.
2.- , Ecuación Diferencial de la Onda
3.- , Ecuación Diferencial Térmica Unidimensional
4.- , Ecuación Diferencial Bidimensional de Poisson
5.- , Ecuación Diferencial de la Onda Unidimensional.
6.- , Ecuación Diferencial del Calor
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ORDEN Y GRADO DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
- El ORDEN de una Ecuación Diferencial Ordinaria es el mayor orden de la derivada que aparece en la ecuación.
- El GRADO de una Ecuación Diferencial Ordinaria es el exponente de la derivada de mayor orden.
Ejemplos Explicativos
1.- , Orden:
Grado:
2.- , Orden:
Grado:
3.- , Orden:
Grado:
4.- , Orden:
Grado:
5.- , Orden:
Grado:Ejemplos para el aula
1.- Orden:
Grado:
2. Orden:
Grado:
3. Orden:
Grado:
4. Orden:
Grado:
5. Orden:
Grado:
6. Orden:
Grado:
7. Orden:
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Grado:
8. Orden:
Grado:
9. Orden:
Grado:
10. Orden:
Grado:
ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL
Una Ecuación Diferencial Ordinaria es Lineal si su variable dependiente y sus derivadas sólo aparecen en combinaciones aditivas de sus primeras potencias
Una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal (EDOL) se representa como
donde , son funciones que dependen sólo de la variable
independiente .
Si una EDO no es lineal, entonces se conoce como ecuación no lineal.
Ejemplos
Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias en lineales o no lineales
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
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9.
10.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA
Recordemos que nuestro objetivo, ahora, es determinar la solución de una ecuación diferencial, en particular, de una Ecuación Diferencial Ordinaria EDO.
Consideremos la Ecuación Diferencial Ordinaria en su forma general:
- Solución Explícita: Se denomina solución explícita de una EDO a toda función de valor real, definida en un intervalo I, tal que satisfaga idénticamente la EDO
- Solución Implícita: Diremos que una relación es una solución implícita de la EDO en el intervalo I, si define una o mas soluciones explícitas en I
Ejemplos Explicativos1. Demuestre que es una solución explícita de
2. Mostrar que , donde es una constante arbitraria proporciona una familia de soluciones
implícitas de la ecuación .
3.- Demuestre que es una solución explícita de
4.- Demostrar que es solución implícita de
5.- Demuestre que es una solución implícita de en
Ejemplos para el Aula
1.- Demuestre que es una solución explícita para todo real de:
2.- Pruebe que es solución de
3.- Pruebe que es una solución explícita de
4.- Demuestre que es una solución explícita de
5.- Demuestre que es una solución explícita de
6.- Demuestre que es una solución explícita de
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7- Probar que es una solución implícita de en
8.- Demostrar que es solución implícita de
9.- Demostrar que es solución implícita de
10. Demostrar que , es solución implícita de
PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
Por un problema con valores iniciales para una ecuación diferencial de orden :
Se debe entender: “Hallar una solución de la EDO en un intervalo I, que satisfaga en , las condiciones iniciales:”
Donde y son constantes dadas.
Ejemplos Explicativos
1.- Mostrar que es una solución del problema con valores iniciales
2.- Verifique que la función es una solución de para cualquier
. Determine de modo que se satisfagan las siguientes condiciones iniciales.
3.- Verifique si la función es una solución del problema con valor inicial
Ejemplos para el Aula
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1.- Verifique que la función es una solución del problema con valor inicial
2.- Verifique que la función es una solución del problema con valor inicial
3.- Verifique que la función es una solución del problema con valor inicial
4.- Determine el valor de para que la función sea una solución de la ecuación dada
5.- Verifique que la función es una solución de para cualquier
. Determine de modo que se satisfagan las siguientes condiciones iniciales.
HOJA DE PRÁCTICA 1
I.- Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales, proporcionar el orden, grado, además identificar sus variables independientes y dependientes:
1.- 11.-
2.- 12.-
3.- 13.-
4.- 14.-
5.- 15.-
6.- 16.-
7.- 17.-
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8.- 18.-
9.- 19.-
10.- 20.-
II.- Verificar si las siguientes funciones son solucione de las ecuaciones diferenciales que los acompaña:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.- 6.-
7.-
8.- ,
9.-
10.-
11.- 12.- 13.-
14.-
15.-
16.- 17.-
18.- Pruebe que es una solución explícita de
19.- , hallar el valor de para que la función sea solución de
20.- Hallar el valor de para que la función sea solución de
III Dadas las funciones analizar si es solución del PVI dado
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1.- Verifique que la función es una solución de para
cualquier elección de las constantes . Determine de modo que se satisfagan las
siguientes condiciones iniciales.
2.- es solución del PVI:
IV.- En los siguientes problemas escriba una ecuación diferencial que se ajuste a la descripción.
1. La velocidad en el instante de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta es proporcional a la
cuarta potencia de su posición .
2. La población de una ciudad aumenta a una velocidad proporcional al producto de la población y la
diferencia entre la población y 100 000
3. Se estima que dentro de meses la población de cierta ciudad cambiará a una razón de personas
por mes. Determinar la ecuación diferencial que describe este fenómeno.
4. Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de minutos es metros por
minuto Determinar la ecuación diferencial que describe el desplazamiento del objeto.
5. La razón a la que las personas oyen hablar acerca de un nuevo aumento en los alimentos en un país es
proporcional al número de personas que no ha oído hablar al respecto.
6. La razón a la que se propaga una epidemia en una comunidad es conjuntamente proporcional a la cantidad de
residentes que han sido infectados y al número de residentes propenso a la enfermedad que no han sido
infectados. Expresar la ecuación diferencial que modela el fenómeno.
7. El modelo de Mitsherlich, es un modelo útil de producción agrícola, especifica que el tamaño de un
cultivo cambia de modo que la razón de cambio es proporcional a , donde es el tamaño máximo
del cultivo. Escribir esta relación como una ecuación diferencial.
8. La razón de cambio de masa de una partícula en un instante es proporcional al cociente entre la cantidad de
masa presente y la cantidad de masa inicial.
9. La razón de cambio de una población en el instante es proporcional al cuadrado de la población en el
instante
10. Después de aplicar los frenos, la aceleración de un automóvil disminuye una razón constante de 10 .
Determinar la ecuación diferencial que describe este fenómeno
11. La razón de cambio de la producción de cierto artículo es proporcional a la diferencia de la producción en ese
instante y la producción inicial.
12. La razón de cambio de la masa de sal en el instante es proporcional al cuadrado de la masa de sal
presente en el instante .
13. . La variación de cantidad de sal x que hay en un recipiente en relación al tiempo es igual a la a la cantidad
de sal que entra en el recipiente menos la cantidad de sal que sale.
14. El ritmo de crecimiento de una población de bacterias es proporcional a su población en ese instante.
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METODOS DE SOLUCION DE UNA EDOI.- METODO DE SEPARACION DE VARIABLES:
Definición.- Una ecuación diferencial ordinaria , se llama Ecuación Diferencial de
Variables Separables, si se puede expresar como el producto de dos funciones
que solo depende de y que solo depende de .
En otras palabras una EDO de Primer Orden es Separable si se puede escribir de la forma:
Si la EDO de primer orden y de primer grado se puede expresar de la forma:
Donde es una función que depende solo de y solo de , entonces la solución general de la ecuación diferencial se obtienen por integración directa:
Donde es la constante de integración.
Ejemplos ExplicativosResolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.
2.
3.
4.
5.
Ejemplos de Aula
1.- 6.-
2.- 7.-
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3.- 8.-
4.- 9.-
5.- 10.-
II.- REDUCCION A VARIABLES SEPARABLES
Las ecuaciones diferenciales de la forma:
donde son constantes no se pueden resolver por variables separables.Para resolver esta ecuación, hacemos el cambio:
,de donde tenemos que:
Y al remplazar en la ecuación diferencial, ésta se convierte en una EDO de variables separables.
Ejemplos ExplicativosResolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.
2.
3.
4.
5.-
Ejemplos de Aula
1.- 5.-
2.- 6.-
3.- 7.-
4.- 8.-
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III. ECUACIONES HOMOGENEAS
Definición. Una función se llama homogénea de grado respecto a las variables e , si para todo , se tiene:
Ejemplos Explicativos
1. es homogénea?
2. es homogénea? 3.- es homogénea?
Ejemplos de aula
1.- es homogénea?
2.- es homogénea?
3.- es homogénea?
4.- , es homogénea?
5.- es homogénea?
Definición: Una ecuación diferencial es homogénea, si al expresarlo de la
forma , y son homogéneas del mismo grado.
Ejemplos 1.-La ecuación diferencial es homogénea?
2. es homogénea?
3.
4. , es homogénea?
5. es homogénea?
TeoremaDocentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz
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Si es una ecuación diferencial homogénea, entonces el cambio de variable , transforma a la ecuación diferencial homogénea en una ecuación diferencial separable con variables y .
Demostración:
Como es homogénea, entonces se puede escribir , si
hacemos el cambio , esto en la ecuación diferencial homogénea dada:
, es decir
Luego:
Por lo tanto:
, es una ecuación diferencial separable.
La solución se determina integrando directamente la E DOS,
, si hacemos , , se tiene que la solución a la
EDOS será:
Ejemplos Explicativos
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.
2.-
3.- 4.- 5.-
Ejemplos para el aula
1.- 5.-
2.- 6.-
3.- 7.-
4.- 8.-
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HOJA DE PRÁCTICA 4
I.- Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales:
1) 16)
2) 17)
3) 18) ,
4) 19)
5) 20)
6) 21)
7) 22)
8) 23)
9) 24)
10) 25)
11) 26)
12) 27)
13) 28)
14) 29)
15) 30)
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS
Definición: La ecuación diferencial se dice que es exacta en una
región , si existe una función tal que:
Luego la solución general, tiene la forma ; donde es una constante.
Teorema:
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Si y son continuas en . Entonces la ecuación diferencial
es exacta en si y sólo si
Ejemplos Explicativos
Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Ejemplos de Aula Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas:1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Teorema
Si es exacta, entonces existe una función , tal que:
y
¿COMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA?
ALGORITMO
1º Verificar que la ecuación diferencial ordinaria dada es exacta
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2º Como es exacta, verifica: , luego integramos con respecto a para obtener
.
3º Derivamos la función , obtenida, con respecto a .
4º Al derivar obtenemos , y como la ecuación diferencial dada es exacta esto debe ser igual
a , luego igualamos a con este último resultado.
5º Finalmente integramos con respecto a para obtener la función ; de esta manera la
solución está dada en forma implícita por
Ejemplos Explicativos
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
Ejemplos de Aula Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial: SoluciónEn primer lugar debemos verificar si la ecuación es exacta, para esto identificamos las funciones
y , luego las derivamosDocentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz
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Como podemos ver la ecuación no es exacta, motivo por el cual necesitamos de otra técnica para poder solucionar la ecuación, la cual estudiaremos a continuación
FACTOR DE INTEGRACIÓN
Si la ecuación diferencial ; no es exacta, es posible a veces elegir una función tal que si multiplicamos todos los términos de la ecuación por está función, ésta se convierte en una ecuación diferencial exacta. La solución general de la ecuación así obtenida coincide con la solución general de la ecuación inicial.A la función , se le conoce como factor integrante de la ecuación
Es decir:
Cumple con el criterio de exactitud
Al realizar las derivadas parciales obtenemos las siguientes ecuaciones
De donde obtenemos una ecuación en derivadas parciales para hallar la función integrante:
MÉTODO PARA HALLAR FACTORES INTEGRANTES
Dada la ecuación
a) En forma particular si la función , es una función que depende sólo de la variable independiente , podemos utilizar la ecuación (*) para determinar la función integrante .
Si la siguiente expresión esta expresada sólo términos de la variable
independiente , entonces es un factor integrante para la ecuación (1).
b)En forma particular si la función , es una función que sólo depende de la variable dependiente , podemos utilizar la ecuación (*) para determinar la función integrante .
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Si la siguiente expresión está expresada sólo en términos de la variable
dependiente , entonces es un factor integrante para la ecuación (1).
c) Si la función tiene la forma ; éste método se emplea generalmente cuando los términos de y de la ecuación diferencial (1) son expresiones algebraicas.
PROCEDIMIENTO: Si la ecuación (1) no es exacta y si se desea encontrar un factor integrante de la forma , multiplicamos la ecuación por
luego aplicando la condición de exactitud
Como ésta igualdad es una identidad se procede a igualar los coeficientes de los términos semejantes con la finalidad de encontrar los valores de las constantes las cuales hacen exacta a la ecuación. Una vez hallado el factor integrante, multiplicamos a la ecuación (1), con dicho factor integrante para finalmente utilizar el método de solución de una ecuación exacta.
OBSERVACIÓN: Hay muchas ecuaciones diferenciales que no quedan cubiertas con estos
casos, aunque para ellas exista un factor integrante. Sin embargo, la principal dificultad consiste
en hallar una fórmula explícita para estos factores integrantes, que en general dependerán de e
.
Ejemplo 1:
Resolver la ecuación
Solución
En el ejemplo 4.6, se probó que está ecuación no era exacta, debido a que
En este caso debemos encontrar su factor integrante:
a) En primer lugar comprobamos si la expresión , depende sólo de .
En efecto:
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podemos ver que está expresado sólo en términos de . Por lo tanto la ecuación tiene un factor integrante de la forma .Paso siguiente determinamos el factor integrante:
Ahora multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante , obteniendo la siguiente ecuación
Donde:
Debido a que esta nueva ecuación es exacta podemos utilizar el método para resolver ecuaciones exactas.
a) Calculamos la siguiente integral
b) Derivamos parcialmente respecto a la variable , y sustituimos
c) Ahora Integramos
d) Finalmente la solución de la ecuación diferencial es
Ejemplo 2:Resolver la ecuación SoluciónVerificamos si la ecuación es exacta
Por lo tanto la ecuación no es exacta debido a que En este caso debemos encontrar su factor integrante
a) En primer lugar comprobamos si la expresión , depende sólo de .
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En efecto:
podemos ver que está expresado sólo en términos de . Por lo tanto la ecuación tiene un factor integrante de la forma .Paso siguiente determinamos el factor integrante:
Ahora multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante , obteniendo la siguiente ecuación
Donde:
Debido a que esta nueva ecuación es exacta podemos utilizar el método para resolver ecuaciones exactas. Al analizar las funciones que vamos a integrar, podemos notar que nos será mucho más fácil integrar la función que la función , por tal motivo empleamos el siguiente método de solución
a) Calculamos la siguiente integral
b) Derivamos parcialmente respecto a la variable , y sustituimos
c) Ahora Integramos
Finalmente la solución de la ecuación diferencial es
Ejemplo 3:Resolver la ecuación SoluciónVerificamos si la ecuación es exacta
Por lo tanto la ecuación no es exacta debido a que En este caso debemos encontrar su factor integrante
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a) En primer lugar comprobamos si la expresión , depende sólo de .
En efecto:
podemos ver que no se puede expresar sólo en términos de . Por lo tanto la ecuación no tiene un factor integrante de la forma .
b) En segundo lugar comprobamos si la función , depende sólo de .
En efecto:
podemos ver que queda expresado sólo en términos de . Por lo tanto la ecuación tiene un factor integrante de la forma .El siguiente paso es determinar el factor integrante:
Ahora multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante , obteniendo la siguiente ecuación
Donde:
Debido a que esta nueva ecuación es exacta podemos utilizar el método para resolver ecuaciones exactas.
a) Calculamos la siguiente integral
b) Derivamos parcialmente respecto a la variable , y sustituimos
c) Ahora Integramos
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d) Finalmente la solución de la ecuación diferencial es
Ejemplo 4:Resolver la ecuación diferencial: SoluciónVerificamos si la ecuación es exacta
Por lo tanto la ecuación no es exacta debido a que En este caso debemos encontrar su factor integrante
a) En primer lugar comprobamos si la expresión , depende sólo de .
En efecto:
podemos ver que no se puede expresar sólo en términos de . Por lo tanto la ecuación no tiene un factor integrante de la forma .
b) En segundo lugar comprobamos si la función , depende sólo de .
En efecto:
podemos ver que queda expresado sólo en términos de . Por lo tanto la ecuación tiene un factor integrante de la forma .El siguiente paso es determinar el factor integrante:
Ahora multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante , obteniendo la
siguiente ecuación
Donde:
Debido a que esta nueva ecuación es exacta podemos utilizar el método para resolver ecuaciones exactas.
a) Calculamos la siguiente integral
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)(csc),( gdttF )(csc),( gtyxF
b) Derivamos parcialmente respecto a la variable , y sustituimos
c) Ahora Integramos
Finalmente la solución de la ecuación diferencial es
Ejemplo 5:Resolver la ecuación diferencial .SoluciónVerificamos si la ecuación es exacta
Por lo tanto la ecuación no es exacta debido a que En este caso debemos encontrar su factor integrante
a) En Primer lugar comprobamos si la expresión , depende sólo de .
En efecto:
podemos ver que no se puede expresar sólo en términos de . Por lo tanto la ecuación no tiene un factor integrante de la forma .
b) En segundo lugar comprobamos si la expresión , depende sólo de .
En efecto:
podemos ver que no se puede expresar sólo en términos de . Por lo tanto la ecuación no tiene un factor integrante de la forma .
c) Finalmente examinaremos si ésta ecuación admite un factor integrante de la forma , entonces multiplicamos todos los términos de la ecuación por el factor
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Por la condición de exactitud se debe cumplir
Luego
Igualando los coeficientes de los términos semejantes tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Por consiguiente, la ecuación admite un factor integrante de la forma .Ahora multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante , obteniendo la siguiente ecuación
Donde:
Debido a que esta nueva ecuación es exacta podemos utilizar el método para resolver ecuaciones exactas.
a) Calculamos la siguiente integral
b) Derivamos parcialmente respecto a la variable , y sustituimos
c) Ahora Integramos
d) Finalmente la solución de la ecuación diferencial es
HOJA DE PRÁCTICA 5
I. Resolver las siguientes ecuaciones exactas
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
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II. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
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22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES
DE PRIMER ORDENUn tipo de ecuación diferencial de primer orden que aparece con frecuencia en las
aplicaciones es la ecuación lineal..
Definición: La ecuación diferencial de la forma:
, ………………… (1)
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donde y son funciones continuas de , se llama “ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN”
Observaciones:1º Si , la ecuación (1) recibe el nombre de Ecuación Diferencial Lineal
Homogénea, y su solución está dada por:
2º Si , la ecuación (1) recibe el nombre de Ecuación Diferencial Lineal no
Homogénea, y su solución está dada por:
Ejemplos Explicativos
Determinar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:
1.- 2.-
3.- 4.- 5.-
Ejemplos de Aula Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas:
1.- 2.-
3.- 4.- 5.-
ECUACIÓN DE BERNOULLI
La ecuación diferencial de Bernoulli, es de la forma
, …………………….(2)
Para desarrollar esta ecuación la transformamos en una ecuación diferencial lineal de
primer orden, siguiendo los siguientes pasos:
1º Multiplicar la ecuación diferencial ordinaria (2) por :
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2º Multiplicamos por
3º Hacemos el cambio:
4º Remplazamos el cambio de variable en la ecuación diferencial ordinaria
La nueva ecuación diferencial, será una ecuación diferencial lineal de primer orden.
Ejemplos ExplicativosResolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:
1.-
2.-
3.-
Ejemplos de Aula
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
HOJA DE PRÁCTICA 6
I.- Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales: 1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
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6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
11.-
12.-
13.-14.-15.- 16.-17.- 18.-19.-
20.-
II.- Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales:
1. 15.-
2. 16.
3. 17.
4. 18.
5. 19.
6. 20.
7. 21.
8. 22.
9. 23.
10. 24.
Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil
11. 25.-
12.
13.
14.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR HOMOGENEAS CON COEFICIENTES
CONSTANTES
Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden con coeficientes
constantes son de la forma:
donde son constantes
Busquemos la solución de la ecuación en forma de exponencial:
Remplazando en el EDO, tenemos:
…… Polinomio Característico
El problema ahora es hallar las raíces del polinomio característico , de donde se pueden considerar los siguientes casos:
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CASO 1Si las raíces son reales y diferentes, el sistema fundamental de
soluciones esta dado por:
Luego, la solución general está dada por:
;
donde son constantes arbitrarias.
CASO 2Si las raíces son reales e iguales y las raices restantes
son reales y diferentes, el sistema fundamental de soluciones esta dado por:
Luego, la solución general está dada por:
;
donde son constantes arbitrarias.
CASO 3Cuando una de las raíces de son complejas, es decir:
y son reales y diferentes, tenemos:
Luego, la solución general está dada por:
;
donde son constantes arbitrarias.
Ejemplos Explicativos1.- 2.-
3.- 4.-5.- 6.- Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz
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Ejemplos de Aula 1.- 2.-
3.- 4.-5.- 6.-
7.- 8.-
9.- 10.-
HOJADE PRÁCTICA 7
I.- Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales:
1. 21.-
2. 22.-
3. 23.-
4. 24.-
5. 25.-
6. 26.-
7. 27.-
8. 28.-
9. 29.-
10. 30.-
11.
12.Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz
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13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEFINICIÓN: Sea una función en . La Transformada de Laplace de es la función definida mediante la integral:
El dominio de está formado por todos los valores de para los que la integral
existe.
Denotaremos a la transformada de Laplace de como:
Como tratamos con una integral impropia, tenemos que:
Ejemplo ExplicativosHallar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:
1
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
Observación:Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz
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Puesto que la Trasformada de Laplace es una integral, cumplirá con las propiedades
básicas de la integral:
PRINCIPALES TRANSFORMADAS DE LAPLACE
1
Ejemplos ExplicativosHallar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Ejemplos de AulaHallar la Transformada de LAplace de las siguientes funciones:
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1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. TRASLACIÓN: Si la transformada de Laplace existe para
, entonces para
2. DERIVADA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE: Sea
y suponga que es continua por partes en , y de orden
exponencial . Entonces para se cumple:
Ejemplos Explicativos:
Hallar la transformada de Laplace de:
1.- 2.-
3.- 4.-
5.-
Ejemplos para el aula:Hallar la transformada de Laplace de:
1.- 2.-
3.- 4.-
5.-
HOJADE PRÁCTICA 8
I.- Hallar las siguientes Transformadas de Laplace :
15. 19.-
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16. 20.-
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
Habiendo estudiado, ya, el caso de hallar la transformada de Laplace de la función
es decir hallar . Ahora consideraremos el problema inverso, es decir, el de hallar la
función )(tf conociendo su transformada de Laplace . Es decir buscamos una
Transformada Inversa para la transformada de Laplace.
Ejemplos:
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1. Si , hallar
2. Si , hallar )(tf
3. Hallar )(tf , si
4. Hallar )(tf , si
5. Hallar )(tf , si
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
1.- Sean las transformadas de Laplace de las funciones y
entonces:
2.- TRASLACIÓN:A) Si
B) Si
C) Si
Ejemplos
1.- , hallar
2.- , hallar
3.- , hallar )(tf
4.- , hallar )(tf
5.- , hallar )(tf
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MÉTODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES PARA HALLAR LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
La función racional , donde y son polinomios donde el grado del
polinomio es menor que el grado del polinomio , tiene un desarrollo en
fracciones parciales cuya forma se basa en los factores lineales y cuadráticos de .
Podemos considerar tres casos.
1. FACTORES LINEALES NO REPETIDOSSi se puede factorizar como un producto de factores lineales distintos, es decir
Entonces el desarrollo en fracciones parciales tiene la forma
2. FACTORES LINEALES REPETIDOSSea un factor lineal de )(sQ y supongamos que éste factor se repite veces, es
decir tenemos . Entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales que
corresponde al término , es el siguiente
3. FACTORES CUADRÁTICOSSea un factor cuadrático de )(sQ que no se puede reducir a factores
lineales con coeficientes reales. Supongamos que éste factor se repite m veces, es decir
tenemos . Entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales que
corresponde al término 22)( s , es el siguiente
Pero es más conveniente expresar en la forma así tendremos
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EJEMPLO
1.- Determinar
2.- Determinar
3.- Determinar
4. Determinar
5.- Determinar
6.- Determinar
7.- Determinar
8.- Determinar
9.- Determinar
10.- Determinar
HOJA DE PRÁCTICA 9
Hallar la transformada inversa de:
1.- 16.-
2.- 17.-
3.- 18.-
4.- 19.-
5.- 20.-
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6.- 21.-
7.- 22.-
8.- 23.-
9.- 24.-
10.- 25.-
11.- 26.-
12.- 27.-
13.- 28.-
14.- 29.-
15.- 30.-
SOLUCION DE UNA EDO APLICANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada de Transformada
Laplace Inversa de Laplace
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA ( )i) ii)
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EDO SOLUCION
PROBLEMAALGEBRAICO
SOLUCIONALGEBRAICASOLUCION
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iii)
Generalizando:
Ejemplos:1)
2) ,
3)
4)
5)
6)
7)
HOJA DE PRÁCTICA 10
Con ayuda de la Transformada de Laplace, resolver los siguientes problemas de valor inicial:
1.- , 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- , 7.- 8.-
9.-
10. 11. 12.- 13.- , 14.- , 15.- 16.- 17.-18.-
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19.-20.-21.-
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