COLEGIO RETAMAR 1º DE Bachillerato. Matemáticas

EXAMEN Nº 04 DE EVALUACIÓN

Alumno: Nº Grupo: 1º Hoja 1. Fecha: 26 de noviembre, 2014

1. Sabiendo que ���� � �, �� y que ���� � �, ��, y aplicando las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin uti lizar la calculadora (1 p.)

���� � � log�30/2� � log�10 � 3/2� � log 10 � log 3 � log 2 � 1 � 0,477 � 0,301� 1,176

����, � � log�9/2� � log 9 � log 2 � log�3�� � log 2 � 2 log 3 � log 2 � 0,653

2. Resuelve la siguiente ecuación (1 p.) � � �� � ! Si hacemos el cambio de variable 3" � # obtenemos: #$ � #� � 6 � 0 que es una ecuación bicuadrada. Si resolvemos esta ecuación llegamos a

#� � 1 % √1 � 242

que nos da 2 soluciones: #'� � �2 ⇒ #' ∉ * y #�� � 3 ⇒ #� � %3,- de donde podemos desechar la solución negativa, por no pertenecer a .. Deshaciendo el cambio de variable llegamos a: 3"- � #� � 3'/� Es decir: / � 1/2

3. Resuelve la siguiente inecuación (1 p.)

│ � �│ � � 1 � ⇒ Tenemos que dividir el problema en dos supuestos: Si │/ � 2| 3 0 ⇒ |/ � 2| � / � 2 y, por tanto, tenemos: / � 2 � 3/ 1 2 ⇒ �2/ � 2 1 2 ⇒ �2/ 1 4 ⇒ / 3 �2 Si │/ � 2| 1 0 ⇒ |/ � 2| � 2 � / y, por tanto, tenemos: 2 � / � 3/ 1 2 ⇒ 2 � 4/ 1 2 ⇒ �4/ 1 0 ⇒ / 3 0 Es decir, la inecuación propuesta la cumplirá donde ambos conjuntos (��2,�∞� e �0, �∞�) se intersecten, es decir, cualquier número tal que / ∈ �0,�∞�

NotaNotaNotaNota

4. Calcula el rédito al que Nicolás y Marcos han depo sitado 20 000 € a interés simple durante 3 años si, una vez retenido el 18% de Hacie nda, los intereses generados son de 2460 €. (1 p.)

Los intereses generados vienen dados por la expresión: 6 � 789:�1� donde 89, en este caso, es el resultado de aplicar 2 porcentajes encadenados: 89 � 8 � 8;<=>?@A< Por lo tanto,

6 � 7:8 � 8;<=>?@A< ⇒ 8 � 67:8;<=>?@A< � 0,05

El rédito al que se han depositado los 20.000€ es del 5%

5. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utiliz ando el método de Gauss. (1,5 p.)

� B � �C � �� � B � C � � � �B � C � �

Vamos a resolver este sistema poniéndolo primero en forma matricial

D 1 �1 2 32 �1 1 4�1 2 �1 �1E � �FG → 2FG � F�� � D1 �1 2 32 �1 1 40 3 �1 2E � �F� → 2F' � F�� �� D1 �1 2 30 �1 3 20 3 �1 2E � �FG → FG � 3F�� � D1 �1 2 30 �1 3 20 0 8 8 E ⇒

⇒ 8# � 8 ⇒ # � 1

Por lo tanto, �J � 3# � 2 ⇒ �J � 3 � 2 ⇒ J � 1

y, finalmente, / � J � 2# � 3 ⇒ / � 1 � 2 � 3 ⇒ / � 2

Es decir, �/, J, #� � �2,1,1�

6. Calcula los siguientes límites (1,5 p.):

�KL →MN O� � P � � � Q � lim"→MN TU2/ � √4/� � 3/VU2/ � √4/� � 3/VU2/ � √4/� � 3/V W �

� lim"→MNX4/� � 4/� � 3/2/ � √4/� � 3/Y � lim"→MN Z 3/2/ � √4/� � 3/[ � lim"→MN\] 32 � ^4 � G"_

` � 34

�KL →MNX� � � � � � � Y � lim"→MN X2/�/ � 1� � 3/� � 3// � 1 Y � lim"→MN X2/� � 2/ � 3/� � 3// � 1 Y �

� lim"→MN X�/� � 5// � 1 Y � lim"→MN X�/� � 5// � 1 Y � �∞

7. Dada la siguiente función:

a� � � � � � � �

a. Estudia sus asíntotas (1 p.) b. Represéntala cualitativamente. (0,5 p.)

Como su dominio es: bcde � ∀/. � g1h es muy probable que presente una asíntota vertical en / � 1, para ello debemos hacer los límites cuando / → 1%.

lim"→'i/� � 2/ � 1/ � 1 � lim"→'i

�/ � 1��/ � 1 � �∞

lim"→'j/� � 2/ � 1/ � 1 � lim"→'j

�/ � 1��/ � 1 � �∞

Es decir, presenta una discontinuidad inevitable en / � 1 y, por tanto, tiene una asíntota vertical en dicho punto. Como el grado del numerador es mayor, en 1 unidad, que el del denominador, va a tener una asíntota oblicua del tipo J � d/ � k. La pendiente, d, la vamos a hallar por medio de:

d � lim"→MNe�/�/ � lim"→MN

/� � 2/ � 1/� � / � lim"→MN/�/� � 1

La ordenada en el origen, en cambio, será:

k � lim"→MNX/� � 2/ � 1/ � 1 � /Y � lim"→MNX/� � 2/ � 1 � /� � // � 1 Y � lim"→MN Z3/ � 1/ � 1 [ � 3

Por lo tanto, la asíntota vertical corresponderá a la recta: J � / � 2 Con estos datos, podemos dibujar cualitativamente la recta tal y como se muestra a continuación.

8. Dada la función B � a� �, representada abajo a la izquierda. Observa las si guientes gráficas:

¿Qué transformaciones se han hecho sobre la función de la izquierda? Describe esas transformaciones matemáticamente a partir de l a gráfica de B � a� �(1 p.). Podemos observar varias cosas: por una parte, una función que no presentaba ningún tipo de simetría, después de la transformación presenta simetría de tipo par, lo que nos indica que se ha hecho e�/� → e�|/|�. Por otro lado, que la parte de e�/� que se encuentra, originalmente en l0,2m con un mínimo en dicho intervalo, se encuentra después de la transformación, con un máximo. Como la parte de la función comprendida en �2, �∞� sigue teniendo la misma pendiente antes y después de la transformación, eso quiere decir que se ha hecho e�/� → |e�/�|. Pero, además, se ha elevado la función 2 unidades hacia arriba, por lo tanto, la transformación hecha es: J � e�/� → J � |e�|/|�| � 2 Formulario de matemática financiera 6 � 7 � 8 � :

n � 7 O1 � 8kQ@o p. r. s � tO1 � 8kQ@ � 1u � 100

n � v O1 � w@Q tO1 � w@Q@o � 1uw@

v � b O1 � w@Q@o 8O1 � w@Q@o � 1

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