eubis pereira machado , damásio fernandes j únior , … · 2014. 9. 20. · tor fitting,...

SINTESE DE UM FILTRO INVERSO - VECTOR FITTING VERSUS

LEVENBERG-MARQUARDT

Eubis Pereira Machado∗, Damasio Fernandes Junior†, Washington Luiz Araujo Neves†

∗Colegiado de Engenharia Eletrica da Universidade Federal do Vale do Sao Francisco

Av. Antonio Carlos Magalhaes, 510, Santo Antonio, Juazeiro-BA, Brasil

†Departamento de Engenharia Eletrica da Universidade Federal de Campina Grande

Av. Aprıgio Veloso, 882, Bairro Universitario, Campina Grande-PB, Brasil

Emails: [email protected], [email protected], [email protected]

Abstract— This work presents the inverse filters identification for amplitude and phase capacitive voltagetransformers correction. The identification occurs through the synthesis of rational functions using a strategy forstartup Levenberg-Marquardt method which, because it is Newton type method, requires good initial conditionsto ensure an appropriate solution on the parameters to be identified. With regard to vector fitting, one of themost successful methods for systems identification based on rational functions, the Levenberg-Marquardt method,when initialized by Levy algorithm in conjunction with a pre-conditioning technique, provides best results.

Keywords— Inverse filters, Levenberg-Marquardt, vector fitting.

Resumo— Este trabalho apresenta a identificacao de filtros inversos destinados a correcao de amplitude efase de transformadores de potencial capacitivos. A identificacao ocorre atraves da sıntese de funcoes racionaisutilizando-se uma estrategia de inicializacao do metodo de Levenberg-Marquardt que, por se tratar de um metodotipo Newton, requer boas condicoes iniciais para assegurar uma solucao apropriada nos parametros a seremidentificados. Relativamente ao vector fitting, um dos metodos mais bem sucedidos na identificacao de sistemascom base em funcoes racionais, o metodo de Levenberg-Marquardt, quando inicializado pelo algoritmo de Levyem conjunto com uma estrategia de pre-condicionamento, fornece melhores resultados.

Palavras-chave— Filtros inversos, Levenberg-Marquardt, vector fitting.

1 Introducao

Os transformadores de potencial capacitivos(TPC) sao transdutores de tensao instalados nossistemas eletricos de potencia (SEP) com o pro-posito de reduzir o nıvel de tensao a valores ade-quados aos instrumentos de medicao, protecao econtrole de modo que haja uma relacao fixa en-tre os valores instantaneos dos sinais de tensao desaıda e de entrada, com diferencas de fase despre-zıveis entre as mesmas. Nao obstante, os TPCnao apresentam uma largura de banda bem defi-nida o que pode afetar o desempenho da protecaode distancia (Machado et al., 2014) e dos algorit-mos que utilizam os sinais de tensao para detectar,classificar, e analisar a grande variedade de pertur-bacoes a que os sistemas eletricos sao submetidos(Carvalho and Carneiro Jr., 2006).

Em Machado et al. (2014) foi desenvolvidauma metodologia para correcao dos transitoriosde baixa frequencia de TPC a partir da filtragemdigital da tensao secundaria. Uma das dificulda-des para implementacao da tecnica esta associ-ada a obtencao de filtros inversos de baixa ordempara descrever os dados de resposta em frequen-cia de referencia, sobretudo, quando o processo deidentificacao leva em consideracao a resposta emfrequencia dos filtros anti-aliasing presentes nosIED (Intelligent Electronic Device). A presencados filtros anti-aliasing tem por objetivo evitar asobreposicao de espectros durante a amostragemdos sinais. Nao obstante, os dados de oscilogra-

fia podem nao retratar com fidelidade a tensao dosistema, haja visto que os sinais de tensao podemestar corrompidos pelo erro de relacao de trans-formacao dos TPC, bem como pelo atraso de fasee atenuacao do ganho proporcionados pelos filtrosanti-aliasing. Logo, a fim de eliminar essas distor-coes, a identificacao do filtro inverso deve levar emconsideracao a resposta do TPC e do anti-aliasing.

O vector fitting proposto por Gustavsen andSemlyen (1999) e reportado na literatura como ummetodo de referencia na identificacao de sistemascom base em funcoes racionais. Nao obstante, nopresente trabalho, verifica-se que o metodo podefalhar durante a identificacao de filtros inversosque se destinam a corrigir a distorcao de ampli-tude e fase de TPC. Como alternativa ao vec-

tor fitting, implementa-se uma versao do metodode Levenberg-Marquardt (LM) que, apesar de sermais lento, apresenta, em geral, uma melhor pre-cisao (Knockaert et al., 2009). Por outro lado, porser um metodo do tipo Newton, faz-se necessariouma boa estimativa inicial para assegurar uma so-lucao apropriada nos parametros a serem identifi-cados. Nesse sentido, apresenta-se uma versao doalgoritmo de Levy (1959) que, em conjunto comuma estrategia de pre-condicionamento, fornece asestimativas iniciais que serao utilizadas como pa-rametros de entrada do metodo de LM. A estabili-dade para estudos do domınio do tempo e forcadapor meio da restricao de polos, cabendo ao algo-ritmo de LM o refinamento das estimativas iniciaissob condicoes de restricao de desigualdade.

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

1298

2 Identificacao de Sistemas a Partir da

Sıntese de Funcoes Racionais

A partir dos dados de resposta em frequencia deum sistema fısico, e possıvel obter um modelo ma-tematico baseado no ajuste de funcoes racionais nodomınio s, para sistemas contınuos e no domınioz−1 para sistemas discretos. Ainda que o modelo

matematico nao forneca a funcao de transferenciado sistema fısico em estudo, ele deve fornecer comprecisao suas caracterısticas dinamicas. A princı-pio, a funcao de transferencia de um sistema podeser modelada por uma funcao racional do tipo:

H(γv,x) =a0 + a1γv + . . .+ anγ

nv

1 + b1γv + . . .+ bmγmv

, (1)

sendo γv = jωv para identificacao na frequenciaanalogica e γv = z

−1 = e−jΩv para identificacao

na frequencia discreta, em que 1 ≤ v ≤ npt e x =[xa xb]

T o vetor de parametros a ser determinado:

xa = [a0 a1 · · · an]T

(2)

xb = [b1 b2 · · · bm]T . (3)

De modo geral, o vetor x pode ser obtido por meioda tecnica dos quadrados mınimos nao lineares,cuja funcao objetivo pode ser expressa por:

F (x) =1

2

npt∑

v=1

(hv −H(γv;x))2=

1

2

npt∑

v=1

(Rv(x))2,

(4)sendo hv o v-esimo ponto da resposta em frequen-cia de referencia. Por ser nao linear em x, a mini-mizacao da funcao objetivo e realizada por meio demetodos numericos (Dennis and Schnabel, 1996).

Usando o metodo de Newton para minimizarF (x), o vetor x na k -esima iteracao vale:

x(k+1) = x(k) + p(k). (5)

Sendo p(k) a direcao de busca que satisfaz:

∇2F (x(k))p(k) = −∇F (x(k)) . (6)

O gradiente e a Hessiana de F (x) sao dados, res-pectivamente, por (Dennis and Schnabel, 1996):

∇F (x(k)) = J(x(k))TR(x(k)) (7)

∇2F (x(k)) = J(x(k))T J(x(k)) +

npt∑

v=1

Rv(x(k))R′′

v (x(k)) .

(8)

Nessas equacoes,R(x(k)) ∈ ℜnpt×1 e o vetor de re-

sıduos, ao passo que J(x(k)) ∈ ℜnpt×(n+m−1) e de-

finido como jacobiano e contem as derivadas parci-ais de primeira ordem da funcao residual Rv(x

(k)),isto e:

J(x(k)) =

∂R1(x(k))

∂x1· · ·

∂R1(x(k))

∂xn+m−1

.... . .

...∂Rnpt(x

(k))∂x1

. . .∂Rnpt(x

(k))∂xn+m−1

.

(9)

Analisando a Equacao (8), observa-se que o me-todo de Newton apresenta a inconveniencia do cal-culo das segundas derivadas do vetor de resıduos.Alem disso, o metodo apresenta convergencia lo-cal e, portanto, para garantir que o processo itera-tivo convirja para um ponto estacionario da fun-cao objetivo, e necessario que a estimativa inicialx(k)

|k=0 esteja proxima da solucao (Rao, 2009).Com intuito de eliminar o calculo das segun-

das derivadas da funcao objetivo para computara matriz Hessiana, Karl Friedrich Gauss (1777-1855) sugeriu que a parte das segundas derivadasda funcao objetivo fosse ignorada. Assim, a dire-cao de busca p(k) passa a ser a solucao da equacao:

[

J(x(k))T J(x(k))]

p(k) = −∇F (x(k)) . (10)

O metodo iterativo com essa direcao de busca econhecido como metodo de Gauss-Newton. Estemetodo supera a inconveniencia do calculo das de-rivadas de segunda ordem dos resıduos, contudo,assim como o metodo de Newton, apresenta carac-terısticas de convergencia local e pode nao conver-gir em problemas com grandes resıduos.

Levenberg (1944) e mais tarde Marquardt(1963) sugeriram a Equacao (11) como modifi-cacao do metodo de Gauss-Newton para torna-lo global e superar problemas de convergencia(Dennis and Schnabel, 1996; Rao, 2009).

[

J(x(k))TJ(x(k)) + µ(k)I]

p(k) = −∇F (x(k)) .

(11)Em (11), I ∈ ℜ

(n+m−1)×(n+m−1) e a matriz iden-tidade e µ

(k)≥ 0 e um parametro definido na

k -esima iteracao o qual proporciona os seguintesefeitos:

1. Para todo µ(k)

> 0, a matriz Hessiana deF (x) e positivo definida, o que assegura quep(k) esta na direcao descendente de F (x);

2. Para grandes valores de µ(k), p(k) =

−∇F (x(k))

µ(k) e um pequeno passo na direcao de

busca definida pelo gradiente, aproximando-se do metodo do maximo declive descendenteou metodo do gradiente;

3. Se µ(k) e muito pequeno, entao o metodo

iguala-se ao metodo de Gauss-Newton que ebom quando a iteracao atual esta proxima dasolucao otima x∗.

O problema dos quadrados mınimos nao line-ares geralmente e mal condicionado se a faixa defrequencia e larga ou quando as funcoes de trans-ferencias requerem um numero elevado de polos.Visando superar essas inconveniencias, estrategiascomo utilizacao de polinomios ortogonais (Rolainet al., 1994) e funcoes base ortonormais (Ninnessand Gustafsson, 1997; Ades and da Silveira, 2002)tem sido investigadas. Neste ultimo caso, a funcao


1299

racional e expressa por uma combinacao linear defuncoes que sao numericamente estaveis:

H(γ,x) =

n∑

v=0

λvGv(γ) . (12)

Em (12), o escalar λv ∈ ℜ enquanto Gv(γ)corresponde a um conjunto de funcoes racio-nais que formam uma base ortonormal. As ba-ses comummente utilizadas sao as de Laguerre(Wulhynek, 2002; Campello et al., 2007), deKautz (da Rosa, 2005), as ortonormais genera-lizadas (Ninness and Gustafsson, 1997; de Vriesand Van den Hof, 1998) e as bases formadas porconjunto geradores otimizados (Ades and da Sil-veira, 2002; Wulhynek, 2002). Sem duvida, umadas motivacoes para o uso de base de funcoes or-tonormais e que a solucao do problema sempre ealcancada por meio do incremento do numero defuncoes base. Por outro lado, essa metodologiade identificacao enfrenta alguns problemas: a se-lecao dos polos que definem a base das funcoes eo numero elevado de funcoes base para represen-tacao dos sistemas. De modo geral, quanto maisproximo o polo estiver da dinamica dominante dosistema, menor sera a quantidade de funcoes basepara aproximar o sistema com uma dada precisao(Campello et al., 2007). Apesar do ajuste sempreser possıvel por meio do incremento do numerofuncoes base, o modelo resultante e de ordem ele-vada podendo inviabilizar a sıntese de filtros digi-tais para os fins de processamento em tempo real.

Gustavsen and Semlyen (1999) desenvolveramum metodo de ajuste a partir de expansoes emfracoes parciais que culminou numa melhoria docondicionamento numerico da matriz da aproxi-macao linear dos quadrados mınimos nao lineares.No vector fitting, a funcao racional com γ = s eescrita na forma:

H(s) ∼=

m∑

i=1

ci

s− pi

+ d+ hs = h

∏m+1i=1 (s− zi)∏m

i=1(s− pi).

(13)Os resıduos ci, os polos pi e os zeros zi podem serreais ou pares complexos conjugados, enquanto d

e h sao reais. Embora essa equacao seja nao li-near nos polos, o vector fitting resolve o problemada determinacao dos resıduos e polos sequencial-mente, como um problema linear em dois estagios.No primeiro estagio, estimativas iniciais dos polos,pi, devem ser fornecidas. Com estes polos, duasfuncoes sao construıdas:

σ(s) =m∑

i=1

ci

s− pi

+ 1 =

∏m

i=1(s− zi)∏m

i=1(s− pi)(14)

p(s) =

m∑

i=1

ci

s− pi

+ d+ sh = h

∏m+1i=1 (s− zi)∏m

i=1(s− pi),

(15)

cujos resıduos ci, ci para i = 1, 2, . . . ,m e os para-metros d e h devem ser determinados. Nota-se que

σ(s) e p(s) diferem apenas quanto ao polinomio donumerador, apresentando o mesmo denominadorconhecido. Ainda no primeiro estagio do ajusteimpoem-se (Gustavsen and Semlyen, 1999):

σ(s)H(s) ≈ p(s)(

m∑

i=1

ci

s− pi

+ 1

)

H(s) ≈

m∑

i=1

ci

s− pi

+ d+ sh .

(16)

Rearranjando (16) e substituindo-se s = jωv paratodos os npt pontos de H(s), obtem-se um sis-tema sobredeterminado de equacoes lineares nasvariaveis ci, ci, d e h, isto e, um problema dos qua-drados mınimos lineares. Com os resıduos com-putados, a fase seguinte do algoritmo e definidapela obtencao dos zeros aproximados zi de σ(s),os quais correspondem aos autovalores do sistema(Gustavsen, 2006):

A− bcT, (17)

em que A e b sao, respectivamente, a matriz doscoeficientes e o vetor independente dos quadra-dos mınimos lineares definido em (16). Analisandoesta equacao na forma de divisao,

p(s)

σ(s)= h

∏m+1i=1 (s− zi)∏m

i=1(s− zi)≈ H(s) . (18)

Portanto, os zeros de σ(s) fornecem os polos ajus-tados da funcao racional H(s). Contudo, paraum ajuste mais preciso pode ser necessario rea-locar os polos de H(s) realizando mais iteracoes.Conforme Hendrickx and Dhaene (2006), o pro-cesso iterativo de realocacao dos polos de H(s) eessencialmente uma reformulacao do SK iteration

usando fracoes parciais. Na segunda etapa do al-goritmo, tendo obtido os polos aproximados dafuncao H(s) na primeira etapa, procura-se os seusdemais parametros ci, d e h a partir da imposicao:

H(s) ≈

m∑

i=1

ci

s− pi

+ d+ hs . (19)

Observa-se que a Equacao (19) e linear nos pa-rametros ci, d e h. Assim, com os polos pi es-timados na primeira fase do algoritmo, resolve-seoutro problema dos quadrados mınimos linearespara obter os parametros de interesse.

Diferentemente do LM, em que a sıntese defuncoes racionais e apenas uma aplicacao parti-cular, o vector fitting foi concebido especialmentepara tal finalidade. Sem duvida, alem de ter suaeficiencia ja validada mediante um grande numerode publicacoes nas mais diversas areas de estu-dos, um dos fatores que levaram a popularizacaodo metodo e a interface do codigo fonte que pro-porciona flexibilidade durante o ajuste de funcoesracionais contendo dezenas e ate centenas de po-los. Contudo, conforme Knockaert et al. (2009),


1300

o vector fitting ainda nao tem sido bem aceitona comunidade de identificacao de sistemas emdetrimento da convergencia do processo iterativode realocacao dos polos, que se trata de um pro-blema ainda nao resolvido na literatura. De fato,como a maioria dos metodos iterativos, o vector

fitting pode apresentar problemas de convergen-cia (Lefteriu and Antoulas, 2013), ou mesmo naoapresenta a solucao otima sob a otica do numerode polos necessarios para representar uma deter-minada resposta em frequencia.

3 Proposta para Inicializacao dos

Metodos Tipo Newton

O metodo de LM e um dos metodos mais bem su-cedidos na identificacao sistemas. Contudo, porser um metodo do tipo Newton, requer uma boaestimativa inicial para se ter sucesso no processoiterativo. Nesta secao e apresentada uma ver-sao do algoritmo de Levy (1959) que, em con-junto com uma tecnica de pre-condicionamento,fornece as estimativas iniciais que serao utiliza-das como parametros de entrada do metodo deLM. Para assegurar que H(γv,x) seja estavel nodomınio do tempo, as restricoes aplicadas aoscoeficientes polinomiais devem obedecer algumasparametrizacoes regidas pelo teorema de Khari-tonov (Minnichelli et al., 1989), o que dificultaa implementacao. Apesar de existirem traba-lhos devotados para estabilizacao de sistemas pre-viamente identificados como instaveis (D’haeneet al., 2006; Balogh and Pintelon, 2008), por sim-plicidade, optou-se por solucionar a aproximacaolinear dos quadrados mınimos nao lineares atra-ves da fatoracao QR sem restricoes e introduzirno segundo estagio do ajuste, a ser realizado pelometodo de LM, condicoes de contorno para a ob-tencao de funcoes estaveis no domınio do tempo.

3.1 Computacao das Estimativas Iniciais

Considerando, a priori, que H(γv,x) representaadequadamente os dados experimentais, o vetorde resıduo e aproximadamente nulo, isto e,

R(x) = hv −a0 + a1γv + . . .+ anγ

nv

1 + b1γv + . . .+ bmγmv

≈ 0 . (20)

Logo,

a0 + a1γv + . . .+ anγnv

1 + b1γv + . . .+ bmγmv

= hv , (21)

para todo 1 ≤ v ≤ npt.

Reescrevendo (21) para identificacao nafrequencia analogica, γv = jωv, tem-se:

ar(ωv) + jai(ωv)

1 + br(ωv) + jbi(ωv)= hv . (22)

Em que,

ar(ωv) = a0 − a2ω2v + a4ω

4v − a6ω

6v + · · ·

ai(ωv) = a1ωv − a3ω3v + a5ω

5v − a7ω

7v + · · ·

br(ωv) = −b2ω2v + b4ω

4v − b6ω

6v + b8ω

8v − · · ·

bi(ωv) = b1ωv − b3ω3v + b5ω

5v − b7ω

7v + · · · .

(23)

A partir de (22), pode-se escrever:

ar(ωv) + jai(ωv) = hv [1 + br(ωv) + jbi(ωv)] . (24)

Substituindo hv = αv + jβv em (24) e possıveldefinir duas equacoes com coeficientes reais quepodem ser expressas por:

ar(ωv)− αvbr(ωv) + βvbi(ωv) = αv

ai(ωv)− αvbi(ωv)− βvbr(ωv) = βv .

(25)

Incorporando (23) em (25), tem-se o seguinte sis-tema linear sobreterminado:

[

s11 s12s21 s22

]

︸︷︷︸

A

[

xa

xb

]

︸︷︷︸

x

=

[

α

β

]

︸︷︷︸

b

(26)

cujos elementos da v − esima linha e j − esima

coluna das submatrizes s11, s12, s21 e s22 podemser expressos conforme (27), ao passo que A ∈

ℜ2v×(n+m−1), x ∈ ℜ

(n+m−1) e b ∈ ℜ2v.

3.2 Pre-Condicionamento da Aproximacao

A partir da lei de formacao da matriz dos coefici-entes da aproximacao linear dos quadrados mıni-mos nao lineares, Equacao (27), observa-se que ascolunas da matriz A possuem diferentes potenciasde ωv, o que torna o sistema mal condicionado.Nesse sentido, independentemente do metodo aser utilizado para solucionar o sistema linear, me-todo direto ou iterativo, e recomendavel utilizartecnicas de pre-condicionamento a fim de se obterum sistema equivalente melhor condicionado. Noque tange aos metodos iterativos, diversas estra-tegias de pre-condicionamento tem sido avaliadascom a finalidade de melhorar o condicionamentoe, consequentemente, acelerar o processo de con-vergencia da solucao (Paz, 2012). Nos metodosde solucao direta, o pre-condicionamento e maissimples e consiste basicamente em equilibrar (es-calonar) as linhas ou colunas antes de inicializar afatoracao do sistema.

As colunas da matriz dos coeficientes podemser equilibradas a partir da insercao de uma ma-triz diagonal DC ∈ ℜ

(n+m−1)×(n+m−1), tal que osistema equivalente

ADCD−1C x = b ⇔ Ax = b (28)

seja melhor condicionado. A solucao do sistematransformado para o espaco original, isto e, sem


1301

s11 =[

1 0 − ω2v 0 . . . sen

(

j

π

2

)

ω(j−1)v

]

s12 =[

βvωv αvω2v − βvω

3v − αvω

4v . . . sen

(

j

π

2

)

ωjvβv − cos

(

j

π

2

)

ωjvαv

]

s21 =[

0 ωv 0 − ω3v . . . − cos

(

j

π

2

)

ω(j−1)v

]

s22 =[

−αvωv βvω2v αvω

3v − βvω

4v . . . − sen

(

j

π

2

)

ωjvαv − cos

(

j

π

2

)

ωjvβv

]

.

(27)

escalonamento das colunas, pode ser obtida pormeio da equacao:

D−1C x = x . (29)

Sob a otica dos quadrados mınimos, a solucao dosistema sobredeterminado escalonado por coluna einvariante para qualquer matriz DC nao singular.

Uma pratica comum para melhorar o condici-onamento durante a identificacao de sistemas nodomınio da frequencia e a normalizacao da faixade frequencia envolvida no ajuste (Pintelon andKollar, 2005). Embora seja utilizada na literaturade forma heurıstica, no presente trabalho tem-severificado que a normalizacao da frequencia podeser interpretada como um escalonamento das co-lunas de A por meio da matriz:

DC = diag

(

11

ωb

· · ·

1

ω(n−1)b

1

ωb

1

ω2b

· · ·

1

ωmb

)

.

(30)Em que, ωb =

ωv,max+ωv,min

2 ou ωb =medianω1, ω2, . . . , ωv.

Apesar da frequencia discreta ser normali-zada, isto e, −π ≤ Ω ≤ π, a identificacao emz−1 tambem pode apresentar problemas de mal

condicionamento. Nesse sentido, como uma al-ternativa ao metodo de normalizacao da frequen-cia (Pintelon and Kollar, 2005) e visando me-lhorar o condicionamento da aproximacao lineardos quadrados mınimos nao lineares, tanto em s

quanto em z−1, utilizou-se uma matriz de pre-

condicionamento do tipo diagonal cujos elementossao a norma-p da j-esima coluna de A, isto e,

DCij=

(

2v∑

i=1

|aij |p

)

1p

, com j = 1, . . . , n+m−1.

(31)Definindo-se κ(A) como o numero de condicao daaproximacao linear dos quadrados mınimos naolineares (Equacao (26)), a aproximacao e compu-tacionalmente solucionavel se:

log10κ(A) ≪ d , (32)

sendo d o numero de dıgitos significativos usadosnos calculos (Pintelon and Kollar, 2005). A tı-tulo de exemplo, apresenta-se na Figura 1 o com-portamento do numero de condicao da matriz A

05

1015

20

0

5

10

15

200

20

40

60

80

100

Ordem do numeradorOrdem do denominador

log

10(k

(A))

(a)

05

1015

20

0

5

10

15

200

10

20

30

40


log 10

(k(A

))

(b)

05

1015

20

0

5

10

15

200

5

10

15

20


log

10(k

(A))

(c)

Figura 1 – Numero de condicao do sistema daaproximacao linear dos quadrados mınimos naolineares. (a) sem pre-condicionamento. (b) Nor-malizacao da frequencia. (c) Normalizacao dascolunas com p = 2.

durante a identificacao de um filtro inverso, cu-jas frequencias estao compreendidas entre 10Hz e1kHz. Observa-se que, mesmo para funcoes racio-nais de segunda ordem, e praticamente impossıvelutilizar a aproximacao linear dos quadrados mı-nimos nao lineares sem fazer uso de recurso depre-condicionamento. Apesar da normalizacao dafrequencia analogica melhorar o condicionamento,ela pode ser insuficiente para viabilizar o uso daaproximacao linear dos quadrados mınimos nao li-neares. Relativamente aos resultados exibidos naFigura 1, observa-se a obtencao de um sistema me-


1302

lhor condicionado quando se usa a normalizacaodas colunas segundo a norma p = 2.

De modo analogo ao escalonamento das colu-nas, as linhas tambem podem ser equilibradas pormeio da insercao de uma matriz DL na Equacao(28), obtendo-se:

DLADC︸︷︷︸

A

D−1C x = DLb ⇔ Ax = b . (33)

Embora as equacoes sejam matematicamenteequivalentes, pode ser verificado que, sob a oticados quadrados mınimos, a solucao do sistema so-bredeterminado escalonado por linha depende daescolha da matriz DL. Conforme Strang (2011),ao multiplicar pela esquerda ambos os lados daigualdade de um sistema sobreterminado por umamatriz nao nula, gera-se um problema de quadra-dos mınimos ponderados. Nesse sentido, DL cor-responde a uma matriz de pesos ou ponderacao.

4 Sıntese de Filtros Inversos - Vector

Fitting versus Levenberg-Marquardt

Atraves de simulacoes numericas, esta secao apre-senta algumas comparacoes entre RVF (RelaxedVector Fitting) o qual consiste de uma versao apri-morada do vector fitting (Gustavsen, 2006) e ometodo de LM, que e um dos metodos mais bemsucedidos na solucao do quadrados mınimos naolineares. Por se tratar de um metodo tipo New-ton, o LM requer uma boa estimativa inicial paraassegurar uma solucao plausıvel. Neste sentido,nas simulacoes numericas apresentadas, o LM foiinicializado por meio de estimativas iniciais cujametodologia de obtencao foi delineada na secao 3.

Os filtros inversos devem processar em tempo

real a resposta oriunda do secundario dos TPCe disponibilizar um sinal de tensao o mais fielpossıvel para os equipamentos de medicao e pro-tecao do SEP. Nesse contexto, funcoes racionaisde ordem elevada nao devem ser candidatas aoprototipo analogico de tais filtros, pois, sob aperspectiva de implementacao em hardware, po-dem demandar um elevado processamento paraoperacoes em tempo real e serem mais suscetı-veis aos erros de quantizacao. Os dados da res-posta em frequencia de tres TPC, a saber: 138kV (Kojovic et al., 1994), 230 kV (IEEE POWERSYSTEM RELAYING COMMITTEE, 2004) e500 kV (Pajuelo et al., 2010) foram convoluıdoscom resposta de um filtro anti-aliasing do tipoButterworth de 3a ordem com frequencia de cortede 180 Hz e utilizados para sıntese de filtros inver-sos por meio do RVF e do LM.

Nas Figuras 2, 3 e 4 apresentam-se a sıntesedo ganho e da fase dos filtros inversos associadosaos TPC de 138, 230 e 500 kV, respectivamente.Uma vez que a rotina computacional que imple-menta o metodo LM determina de forma auto-matica a ordem das funcoes, os filtros dos TPC

de 138, 230 e 500 kV foram identificados comosendo de ordem seis, oito e oito, respectivamente.Essas mesmas ordens foram consideras como re-ferencia nos experimentos realizados com o RVF.Alem disso, considerando-se apenas funcoes racio-nais estritamente proprias, os parametros d e h doRVF nao entraram no processo de sıntese dos fil-tros inversos. A partir da identificacao dos filtros,percebe-se que o LM exibe os melhores resultados.Contudo, nao foi possıvel realizar um ajuste idea-lizado para todas as respostas em frequencia sobinvestigacao. A dificuldade na obtencao de umajuste mais preciso esta associada a correcao dospolos instaveis, geralmente associados ao metodode computacao das estimativas iniciais do LM.

101

102

103

101

102

103

104

105

Frequência (Hz)

Ga

nh

o(

)P

U

Referência

LM

RVF

(a)

101

102

103

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Frequência (Hz)

Fa

se

(gra

us

)

Referência

LM

RVF

(b)

Figura 2 – Identificacao do filtro inverso para oTPC de 138 kV. (a) Ganho. (b) Fase.

Na Figura 5 e apresentado o comportamentodinamico de algumas variaveis de controle do me-todo de LM implementado. Em todas as simula-coes numericas apresentadas, percebeu-se que, apartir de um determinado numero de iteracoes, oparametro de controle µk aumenta de forma exces-siva na tentativa manter a aproximacao da matrizHessiana de F (x(k)) definida positiva. No algo-ritmo do LM, valores elevados de µk proporcio-nam um pequeno passo na direcao de busca de-finida pelo gradiente, sinalizando que a solucaootima pode estar longe da solucao atual e, por-tanto, que a rotina computacional deve ser finali-zada. No caso do TPC de 138 kV (Figura 5(a)),observa-se uma certa instabilidade na funcao ob-jetivo e no parametro µk. Apesar deste parametroassumir valores relativamente pequenos, tornandoo LM equivalente ao metodo de Gauss-Newton,pode ser necessario um numero elevado de itera-coes para obtencao de resultados plausıveis.


1303

101

102

103

10-1

100

101

102

103

Frequência (Hz)

Ga

nh

o(

)P

U

Referência

LM

RVF

(a)

101

102

103

-100

0

100

200

300

400

Frequência (Hz)

Fa

se

(gra

us

)

Referência

LM

RVF

(b)


101

102

103

10-1

100

101

102

103

104

Frequência (Hz)

Ga

nh

o(

)P

U

Referência

LM

RVF

(a)

101

102

103

-200

-100

0

100

200

300

400

Frequência (Hz)

Fa

se

(gra

us

)

Referência

LM

RVF

(b)


5 Conclusoes

Como alternativa ao vector fitting, durante a iden-tificacao de filtros inversos de baixa ordem que sedestinam a correcao das distorcoes de amplitudee de fase de transformadores de potencial capa-citivos, foi apresentada uma versao do algoritmode Levy que, em conjunto com uma estrategiade pre-condicionamento, forneceu as estimativasiniciais necessarias para um bom desempenho dometodo de Levenberg-Marquardt. Apesar de serum dos metodos mais bem sucedidos na area deidentificacao de sistemas, o metodo de Levenberg-

0 200 400 600 800 100010

-10

10-5

100

105

1010

k (Iterações)

ÑF(xk) F(x

k) m

k

(a)

0 20 40 60 80 100 120 14010

-20

10-10

100

1010

1020

k (Iterações)

ÑF(xk) F(x

k) m

k

(b)

0 50 100 150 200 250 30010

-15

10-10

10-5

100

105

1010

k (Iterações)

ÑF(xk) F(x

k) m

k

(c)

Figura 5 – Comportamento do vetor gradiente(∇F (xk)), da funcao objetivo (F (xk)) e do para-metro de controle (µk) do algoritmo de LM du-rante a sıntese dos filtros inversos. (a) TPC de138 kV. (b) TPC de 230 kV. (c) TPC de 500 kV.

Marquardt trata-se de um metodo do tipo Newtonque, portanto, requer uma boa estimativa inicialpara assegurar uma solucao apropriada nos para-metros a serem identificados.

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