Los documentos que encontrará en las páginassiguientes exponen el enfoque didáctico asociadoal desarrollo de cada una de las unidades dellibro del alumno.

En ellas se analizan también las dificultades quepueden encontrar los estudiantes al trabajar loscontenidos propuestos.

PLANTEAMIENTO DIDÁCTICODE LAS UNIDADESV

Los contenidos de esta unidad son, prácticamente en su totalidad, conocidos porlos alumnos y las alumnas. Se revisan y se profundiza en ellos, poniendo el énfasis,fundamentalmente, en los aspectos procedimentales básicos para la formación ma-temática del alumnado.

En esta unidad predominan los contenidos procedimentales frente a los conceptua-les. Estos últimos se limitan, casi exclusivamente, a los distintos tipos de números ya su proceso de aparición. En consecuencia, la gran cantidad de procedimientos quese trabajan en la unidad (representación de números en la recta real, manejo de lanotación científica, uso de los radicales...) precisan que el alumno o la alumna asu-man un papel eminentemente activo en el proceso de aprendizaje.

Se ha optado por evitar las dificultades excesivas, prefiriendo un aprendizaje efecti-vo de contenidos sencillos, pero importantes y básicos.

Posiblemente, sea este el momento oportuno para comenzar a hacer un uso casi sis-temático de la calculadora, aunque siempre de forma racional. Se debe hacer hinca-pié, tanto en indicaciones para el manejo de la calculadora como en las situacionesen las que conviene usarla y para qué (como elemento comprobador, para buscaraproximaciones a ciertos resultados, para evitar cálculos tediosos...).

La principal razón de ser de esta unidad de repaso es la cantidad de dudas y dificul-tades que arrastra gran parte del alumnado cuando alcanza este nivel. Siendo así, launidad puede servir como revisión y repaso de toda una serie de conocimientos queserán sumamente importantes a lo largo del aprendizaje matemático posterior.

El manejo diestro de los intervalos en Á, de los radicales y de los logaritmos es bá-sico para estos estudiantes de Ciencias.

Consideramos que la presentación de algunos irracionales relevantes y, en particu-lar, del número áureo, es especialmente interesante. Permite una introducción de losnúmeros reales que, por razones históricas y estéticas, nos parece motivadora y ade-cuada para este nivel.

NÚMEROSREALES1

Esta unidad sirve de puente entre la somera idea de las sucesiones que puedan traerlos alumnos, adquirida en 3.º curso de ESO al estudiar las progresiones, y el trata-miento algo más formal que tendrán en 2.º de Bachillerato, en donde se prestará es-pecial atención al estudio de los límites (concepto y cálculo).

Las sucesiones se tratan con poca profundidad, dándoles un carácter más culturalque técnico. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci con alguna de sus muchas ver-siones (número de parejas de conejos en una curiosa escalada de fertilidad, rectán-gulos cuyas dimensiones se parecen cada vez más a la del rectángulo áureo, tratadoen la unidad anterior).

Tras un escueto repaso de las progresiones aritméticas y geométricas se estudianbrevemente las sucesiones de potencias, especialmente las de los cuadrados y la delos cubos, con las fórmulas para sumar sus primeros términos.

Es claro que, a este nivel, la introducción del concepto del límite debe apoyarse so-bre la idea intuitiva de acercamiento de los valores de la sucesión a un cierto núme-ro. (Para los matemáticos de varios siglos, incluidos entre ellos genios eminentes, es-ta fue idea más que suficiente para su quehacer bien riguroso y efectivo). Larepresentación gráfica de algunas sucesiones sirve para asentar y mejorar esta ideaintuitiva de límite absolutamente suficiente para estos alumnos.

La calculadora se introduce en el contexto de las sucesiones de modo muy natural.Es una práctica bien aconsejable enfrentarse al cálculo del límite de una sucesión,haciendo una conjetura sobre si la sucesión lo tendrá o no y, en caso de que lo ten-ga, cuál será. Experimentar con la calculadora nos puede proporcionar de modo rá-pido y fácil la elaboración, así como la confirmación, de conjeturas.

SUCESIONES2

Es cierto que casi todos los contenidos de la unidad son conocidos por los estudian-tes, pero a la mayoría de estos les viene muy bien hacer un repaso sistemático de es-tos procedimientos. Además, encuentran grandes dificultades cuando son ellos quie-nes deben plantear las ecuaciones de un problema. Por esta razón, y por el carácterinstrumental de la materia, básico para todo estudio matemático superior, queda jus-tificado que se le vuelva a prestar atención hasta llegar a un verdadero dominio deestos contenidos.

En estos niveles, más que explicaciones teóricas de conceptos, que ya conocen, loque precisan los alumnos y las alumnas es ejercitarse en el uso de estas técnicas. Porello, deben asumir el protagonismo de su aprendizaje y realizar los ejercicios que seplantean a lo largo de la unidad. En este proceso les serán de gran ayuda, para acla-rar sus dudas, los “ejercicios resueltos” que se les ofrecen.

La amplísima oferta de ejercicios y problemas que figura al final de la unidad permi-tirá al profesor o a la profesora seleccionar propuestas acordes con las necesidadesde cada estudiante.

Las dificultades que con tanta frecuencia tienen los alumnos y las alumnas para tra-ducir al lenguaje algebraico son debidas, en parte, a la falta de entrenamiento en laresolución de los correspondientes problemas aritméticos.

Los problemas que se exponen en las hojas introductorias tienen la peculiaridad delo curioso del enunciado, junto con la singularidad del método de resolución. Bienes cierto que su resolución conlleva cierta dificultad, pero las indicaciones aportadasdejan los problemas prácticamente resueltos. Creemos que los dos problemas pre-sentados pueden animar a los estudiantes a confiar en sus conocimientos previos y adarse cuenta de que, reflexionando y usando lo que ya saben, pueden resolvercuestiones que a primera vista parecen muy complicadas.

El tratamiento del método de Gauss, presente en los nuevos programas oficiales,puede consistir en una aproximación al mismo, que se abordará con gran detalle enel curso próximo. Por ello, solo se tratan sistemas de tres ecuaciones con tres incóg-nitas. En ellas se practica la esencia del método y se prepara a los alumnos para elcurso próximo.

ÁLGEBRA3

Esta unidad constituye una extensión natural del bloque de trigonometría correspon-diente al cuarto curso de la ESO. Por eso conviene comenzar con un recordatorio derelaciones básicas en los triángulos rectángulos:

– El teorema de Pitágoras, para relacionar los tres lados.

– La suma de los ángulos de un triángulo es de 180°.

– Las razones trigonométricas, para relacionar lados y ángulos.

Creemos que, junto con los resultados anteriores, el alumno debería memorizar (esdecir, aplicar automáticamente después de entenderlos con claridad) los siguientes:

– Proyección de un segmento: A'B' = AB cos α.

– Altura de un triángulo: h = a sen α.

– El área de un triángulo: A = (1/2) a b sen α.

La destreza en la resolución de triángulos rectángulos y lo que ello implica (quéqueremos relacionar, qué fórmula proporciona...) nos lleva a la resolución de trián-gulos oblicuángulos. Este paso se realiza de forma natural si, antes de entrar en losteoremas de los senos y del coseno, se aprende a aplicar la estrategia de la altura:utilizando únicamente las herramientas anteriores, se pueden resolver triángulosoblicuángulos sin más que trazar una de las alturas.

Creemos que sería muy interesante que los alumnos supieran resolver triánguloscualesquiera siguiendo este método antes de aprender a manejar los teoremas quese aprenden en los apartados siguientes, los cuales, en definitiva, se obtienen apli-cando la estrategia de la altura de un triángulo cualquiera.

Las fórmulas –o grupos de fórmulas– que forman el teorema de los senos y el teo-rema del coseno, sirven para la resolución de triángulos cualesquiera de maneraautomática. Es importante que el alumno, antes de aplicarlos, sea muy conscientede cuáles son los cuatro elementos que relacionan cada una de las igualdades, pa-ra, así, acudir a la que necesita para resolver cada problema concreto. Por ejem-plo:

Conocemos los dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, es decir, a, b, A, yqueremos conocer el ángulo formado por a y b, es decir, C .

Para ello, empezamos por hallar el ángulo B (el teroema de los senos relaciona a,b, A y B). Una vez conocido B , hallaremos C, así:

C = 180° – (A + B)

La representación gráfica de cada modelo de triángulo que se resuelve teórica oprácticamente, además de ser imprescindible para razonar geométricamente, ayu-da a entender por qué en algunas situaciones hay dos soluciones o no hay solu-ción.

El buen manejo de la calculadora es también crucial en todo este proceso.

RESOLUCIÓNDE TRIÁNGULOS4

A diferencia de otros manuales de estos niveles, en donde grados y radianes se utili-zan simultáneamente desde los primeros momentos, aquí solo se introduce el radiánpara que sirva de base a las funciones trigonométricas. El motivo es claro: para todotipo de aplicaciones (astronomía, topografía, etc.) los ángulos se miden en grados,minutos y segundos sexagesimales. El radián solo tiene razón de ser como mediopara describir las funciones trigonométricas, pues de este modo se cumple queD(sen x) = cos x y D(cos x) = – sen x. Aunque esto todavía no pueden saberlo, losalumnos y las alumnas sí deben saber que el radián solo es útil para generar las fun-ciones circulares. Con este fin, resulta muy útil la construcción gráfica de la funciónseno, con la que se aprecia claramente el significado del radián.

Consideramos fundamental que el alumno se vaya familiarizando con las medidasen radianes de los ángulos de 0°, 30°, 45°, 60° y 90° y los ángulos asociados a ellos,así como sus razones trigonométricas.

La extensión periódica de las funciones trigonométricas es fácil conceptualmente (elseno de un ángulo que se obtiene partiendo de α y dando varias vueltas completases, obviamente, igual al seno de α).

La obtención de las fórmulas trigonométricas resulta fácil partiendo de la siguientefórmula:

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β

La demostración de la fórmula anterior, tal como viene en el libro, es clásica y difícil.Pero puede ser sustituida por esta otra, que es como un puzle (después de copiar yrecortar, se pueden recomponer con las piezas una u otra de las figuras).

La resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas es un buen ejercicio para re-pasar y darles sentido a las propiedades de las funciones trigonométricas y al signifi-cado de ecuación.

2

33

1

2

4

4

1

cos α

cos α

sen α

sen β

sen α

cos β

β

β

α

β

β

α

α

α

cos β

sen β

sen (α + β)

cos βcos α

sen β sen

α

ROMBO DE LADO UNIDAD

ÁREA = sen (α + β)sen α cos β + cos α sen β

FUNCIONESY FÓRMULASTRIGONOMÉTRICAS5

La necesidad de los números complejos surge del deseo de resolver cierto tipo deecuaciones cuadráticas. Este argumento (deseo de resolver cierto tipo de ecuacio-nes) motiva el paso de los numeros reales a “algo que va más allá”.

Siguiendo con esta línea, conviene hacer propuestas sencillas a los alumnos, comola siguiente, para que así se familiaricen con los números complejos:

“Llama i a √__–1, considera las expresiones a + bi como números que pueden

operarse como los reales y, cuando lo necesites, ten en cuenta que i2 = –1”.

De este modo, podrán efectuar sumas, restas y multiplicaciones de forma natural,llegando siempre a un resultado de la forma a + bi.

Para la división se requiere un pequeño empujón adicional:

“Expresa el denominador de la forma a + bi y multiplica numerador y denomi-nador por a – bi ”.

De este modo, los estudiantes pueden abordar, por sí solos, las operaciones aritmé-ticas entre complejos puestos en forma binómica.

A partir de aquí, se continúa con la representación gráfica, la expresión de los nú-meros en forma polar, el paso de forma binómica a polar, y viceversa, y sorprende lasencillez de las operaciones producto, cociente y potenciación cuando los númerosque intervienen están puestos en forma polar.

La radicación presenta mayores dificultades, pero enriquece notablemente el pano-rama de operaciones en el campo complejo. La representación gráfica de las raícesresulta hermosa y simplificadora.

Para resolver ecuaciones o sistemas en el campo complejo es útil, nuevamente, larecomendación de que los estudiantes actúen como si estuviesen en el campo delos números reales y, cuando lo necesiten, tengan en cuenta que i2 = –1. Por lo de-más, se aplican aquí todos los consejos válidos para resolver ecuaciones y sistemasen Á:

az2 + bz + c = 0 → z =

Como sabemos, si b2

– 4ac ≠ 0, hay dos raíces cuadradas de b2

– 4ac y, por tanto,hay dos soluciones de la ecuación.

Hay otro tipo de ecuaciones: las que proceden de problemas en los que se re-quiere calcular los valores que han de tomar ciertos parámetros para que el resul-tado de unas operaciones sea un complejo con ciertas características. Para resol-ver este tipo de problemas, solo se requiere saber operar y recordar que doscomplejos puestos en forma binómica son iguales si coinciden sus partes reales ytambién sus partes imaginarias.

– b ± √b2 – 4ac

2a

NÚMEROSCOMPLEJOS6

En esta unidad nos dedicaremos, en exclusiva, a los vectores, dejando para la si-guiente su utilización en la geometría analítica del plano.

Para el aprendizaje de las operaciones con vectores y su significado, es muy forma-tivo su manejo gráfico en tramas cuadriculadas y de otros tipos (triangulares, hexa-gonales...).

El trabajo con las operaciones con vectores (suma, producto por un número) da lugara la búsqueda de una combinación lineal de dos o más vectores cuyo resultado seaotro vector dado. Es importante que el alumnado vea, de forma práctica, la multipli-cidad de posibilidades que hay cuando los vectores componentes son más de dos, yla unicidad de resultados cuando los vectores de partida son solo dos.

Hemos procurado que la versión que aquí se ofrece de base sea de lo más sencilla:dos vectores con los cuales se puede poner cualquier otro como combinación linealde ellos (es decir, dos vectores con distintas direcciones).

El alumno debe familiarizarse con el producto escalar de vectores y con algunas desus propiedades, especialmente la que permite caracterizar la perpendicularidad y laobtención del módulo de un vector y el coseno de un ángulo. Además, es conve-niente que reflexionen sobre el hecho de que con esta operación se controlan, porprimera vez, las relaciones métricas entre vectores (perpendicularidad, ángulo, mó-dulo).

VECTORES7

Los vectores son una magnífica herramienta para el manejo de la geometría analítica:

– Resultan muy útiles para la obtención de puntos que cumplan ciertas propieda-des: punto medio de un segmento, punto simétrico de otro respecto de un terce-ro, cuarto punto de un paralelogramo del que se conocen tres... Profundizando enesa línea, se puede obtener, por ejemplo, el baricentro de un triángulo.

– La ecuación vectorial de una recta es una forma sencilla y clara de describirla. Apartir de ella se obtienen las ecuaciones paramétricas, que, en definitiva, consistenen la descripción vectorial mediante coordenadas. Y de estas se pasa a la ecua-ción implícita, que ya es habitual para estos estudiantes.

No obstante, es necesario que los alumnos afiancen sus destrezas en el manejo de lasdistintas expresiones de la recta sin ligarlas a los vectores, pues la introducción de es-tos nuevos elementos puede entrar en conflicto con las expresiones que ya se cono-cían de años atrás (pendiente, ordenada en el origen, punto-pendiente...). En definiti-va, conviene tener cautela para evitar que la introducción de los vectores, en lugar demejorar las destrezas en el manejo de rectas, entorpezcan las que ya se poseían.

GEOMETRÍA ANALÍTICA.PROBLEMAS AFINESY MÉTRICOS8

El aprendizaje de las cónicas puede tener mucho de cultural y de lúdico. En ese sen-tido, hemos repartido algunas pinceladas en los márgenes y en distintos apartados.

En el aspecto puramente geométrico (es decir, geometría no analítica) puede sacár-sele partido a la idea inicial: las cónicas como resultado de intersecar un plano conuna superficie cónica. Además de las cuatro familias de cónicas nos encontraremos—al situar el plano a todas sus posible posiciones— con puntos, rectas, pares derectas... Como el profesor ya sabe, en este contexto se les acostumbra a llamar cóni-

cas degeneradas.

Creemos especialmente interesante enfatizar en problemas de lugares geométricos,especialmente aquellos que, de antemano, se desconoce la figura que van a formar.Por ejemplo:

– Puntos cuya suma de cuadrados de distancias a dos puntos fijos es constante (setrata de una circunferencia).

– Puntos cuya diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos es constante(se trata de una recta perpendicular al segmento que une los puntos).

El siguiente razonamiento permite generar problemas de lugares geométricos rela-cionados con las cónicas:

Sabemos que una parábola es el lugar geométrico de los puntos, P, cuya distancia auno fijo, foco, F, coincide con su distancia a una recta fija, directriz d. Es decir:

dist (P, F ) = dist (P, d)

Esta expresión se puede poner así:

dist (P, F ) = 1

dist (P, d)

Cabe preguntarse ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano que cum-plen la condición

dist (P, F ) = K siendo K > 0 y K ≠ 1

dist (P, d)

La respuesta es muy interesante: si 0 < K < 1, el lugar geométrico es una elipse,

y si K > 1, es una hipérbola

y, en ambos casos, K es su excentricidad.

La propiedad puede expresarse en forma general así: el lugar geométrico de lospuntos P que cumplen la condición

dist (P, F ) = K > 0 es una cónica de excentricidad igual a K.

dist (P, d)

LUGARES GEOMÉTRICOS.CÓNICAS9

Si tomamos como foco F (c, 0), como generatriz y como constante ,se obtiene:

Por tanto:

Operando:

Simplificando se llega a:

(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2) (*)

• Si K < 1, es c < a. Llamamos a2 – c2 = b2 y de (*) se obtiene, tras sustituir y sim-plificar:

que es la ecuación de una elipse de focos (–c, 0) y (c, 0) y cuya suma de distan-cias, constante, es 2a.

• Si K > 1, es c > a. Llamamos c2 – a2 = b2 y de (*) se obtiene, tras sustituir y sim-plificar:

que es la ecuación de una hipérbola de focos (–c, 0) y (c, 0) y cuya diferenciade distancias, constante, es 2a.

• Observese que si K = 1, en este caso es c = a y, por tanto, el foco sería F (a, 0) yla directriz

Es decir, el foco está en la directriz. Por tanto, en lugar de una parábola se obtieneuna recta perpendicular a d por el punto F (el eje Y: x = 0). Naturalmente, esto esdebido a la forma en que se han escogido el foco, la directriz y la constante, con elfin de que, cuando K ≠ 1, resultasen las ecuaciones canónicas de elipse o hipér-bola.

x

a

aa= =

2

x

a

y

b

2

2

2

21− =

x

a

y

b

2

2

2

21+ =

(x2 – 2xc + c2 + y2)a2 = c2 1x2 – –––2a2

c x + ––

a4

c22

( )x c y

xa

c

c

a

− +

−

=2 2

2

dist P d xa

c( , ) = −

2

dist P F x c y( , ) ( )= − +2 2

x

a

c=

2

K

c

a=

La propiedad anterior permite generar problemas interesantes y sencillos del si-guiente modo:

Si hacemos, por ejemplo, a = 5 y c = 3, obtenemos F (3, 0), d: x = , K = .

Y se le puede proponer al alumno el siguiente problema:

Halla el lugar geométrico de los puntos, P, cuyo cociente de distancias al pun-

to A(3, 0) y la recta r: x = es igual a . Es decir: = .

Reconoce la figura resultante, dibújala y describe sus elementos.

El alumno, si opera correctamente, llegará a la ecuación:

+ = 1

que debe reconocer como la elipse de focos (3, 0) y (–3, 0), de semiejes 5 y 4 y ex-

centricidad = 0,6.35

y 2

16x 2

25

35

dist (P, A)dist (P, r)

35

253

35

253

Para iniciarnos en el Análisis es imprescindible hacer una puesta al día de lo que defunciones se aprendió en la ESO.

Se empieza recordando los conceptos básicos: función, dominio, recorrido. Y a con-tinuación se repasan una serie de familias de funciones (lineales, cuadráticas, deproporcionalidad inversa, radicales, exponenciales, logarítmicas), se aprenden otrasnuevas (las funciones arco, inversas de las trigonométricas) y se obtienen funcionesrelacionadas con otras mediante pequeñas modificaciones de sus expresiones analí-ticas: f (x) + k, – f (x), f (– x), f (x + a), |f (x)|, así como funciones definidas me-diante “trozos” de otras conocidas. Con todo ello, se pretende aportar y consolidarun bagaje de conocimientos básicos que implican una notable familiaridad con lasfunciones de más uso, lo cual es interesante por sí mismo y, además, resultará indis-pensable para poder construir los conceptos básicos del análisis que se verán a con-tinuación: límites y derivadas.

– Merece una atención especial la parábola, su identificación a partir de la expre-sión analítica y la representación a partir de un vértice.

– Las funciones de proporcionalidad inversa y las radicales aportan peculiaridadesen sus dominios de definición y en sus ramas infinitas.

– El dominio de las técnicas por las que se transforma la gráfica de una función alefectuar pequeñas modificaciones en su expresión analítica amplía la gama defunciones reconocibles a simple vista y ayuda a destacar las características esen-ciales de la gráfica.

– La destreza en la representación e interpretación de funciones definidas “a trozos”permitirá la expresión de multitud de funciones ligadas al mundo real y aportará,más adelante, un soporte para la comprensión de las ideas de límite y continui-dad.

– Las funciones exponenciales y logarítmicas se repasan muy brevemente. No obs-tante, nos pareció importante dejar claro (y lo hemos hecho mediante un ejemploresuelto con calculadora) que una función exponencial (a x, a > 1) supera a una

potencia l (x n) por pequeño que sea a y por grande que sea n, y que una

función logarítmica (logax, a > 1) es superada por una función raíz (n

√ x) por pe-queño que sea a y por grande que sea n.

– La definición de las funciones arco debe ser motivo de que las funciones trigono-métricas (que fueron estudiadas en trigonometría) se repasen dentro del ámbitode las funciones. Si el alumno comprende que la función arc sen podría ser de-finida tomando un tramo decreciente, en vez del tramo creciente por el que se haoptado, entenderá, en su momento, por qué en su derivada aparece un doble sig-no [D (arc sen x) = ±1/√ 1 − x2] y por qué optamos por el signo +. Algo similarcabría decir de la función arc cos x.

FUNCIONESELEMENTALES10

La idea gráfica, tanto de continuidad y discontinuidad como de los distintos tipos delímites y ramas infinitas, es sencilla y clara. El paso de la idea gráfica a la obtenciónde métodos analíticos por los que se reconozcan estas características de las funcio-nes a partir de sus expresiones analíticas es el contenido fundamental de esta uni-dad.

El estudiante debe ser consciente del proceso seguido:

– Si la función se nos da gráficamente, apreciamos en ella una serie de característi-cas: continuidad, discontinuidades y sus tipos, límites en un punto y su relacióncon la continuidad, límites en el infinito y ramas infinitas.

– Estas evidencias gráficas dan lugar a métodos analíticos con los que se puede ob-tener información sobre dichas características a partir de la expresión analítica dela función.

¿Con qué fin seguimos ese proceso? Pues, si es fácil apreciar tales características so-bre la gráfica, ¿para qué ir a buscarlas en las expresiones analíticas, donde resulta di-fícil y laborioso hallarlas? Aunque la respuesta es obvia, debemos subrayarla: habi-tualmente, las funciones se nos dan analítica y no gráficamente.

Destacamos como especialmente importantes estas consideraciones didácticas:

– El resultado que afirma “Todas las funciones definidas por sus expresiones analíti-cas elementales (es decir, todas las que conocemos hasta ahora) son continuas entodos los puntos en los que están definidas”. nos permite obtener como obviosinfinidad de límites en los que no existe indeterminación.

– El interés de recurrir a la calculadora para dilucidar el signo en los siguientes ca-sos: algunos límites infinitos cuando x → a por la derecha o por la izquierda, oel signo de la diferencia entre una función y su asíntota, para situar respecto a es-ta la rama infinita.

– «El protagonismo de una función polinómica, cuando x → + ∞ o x → – ∞, lodesempeña su término de mayor grado». Esta sencilla afirmación resulta suma-mente fecunda para el cálculo de límites en el infinito en los que intervengan ex-presiones polinómicas. Es deseable que los estudiantes lo entiendan a la perfec-ción, y automaticen su uso. Y, en lo posible, lo hagan extensivo a otro tipo defunciones.

– Puesto que en este nivel solo veremos asíntotas oblicuas en funciones racionales,hemos considerado que basta con aprender la obtención de estas mediante el cál-culo algebraico del cociente P (x) : Q (x).

No es en los procesos matemáticos donde suelen hallarse las mayores dificultades delos estudiantes, sino en la correcta interpretación de los mismos y el papel que desem-peñan en la representación gráfica de funciones. Una forma de ir suavizando esta difi-cultad es, creemos, interpretar gráficamente todo resultado analítico que se obtenga.

LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD Y RAMASINFINITAS11

El desarrollo de esta unidad desde el apartado 12.1 al 12.5 es, por completo, tradi-cional: se exponen los elementos teóricos y prácticos necesarios para que el alum-nado domine los conceptos de derivada de una función en un punto y de funciónderivada, para que aprenda las reglas de derivación, etc. Hemos de destacar, no obs-tante, dos aspectos del desarrollo de esta unidad: la representación de funciones po-linómicas y racionales y la entrada a la unidad: “Reflexiona y resuelve”.

Representación de funciones

Este curso tiene carácter terminal. Es decir, buena parte de los alumnos y las alum-nas que lo sigan no harán el segundo curso. Esto obliga a que las herramientas quese aprendan aquí se utilicen aquí mismo (la típica frase “esto ya lo utilizarás másadelante” puede carecer de sentido, pues, para muchos de los estudiantes). Por ellodebemos aprovechar los conocimientos adquiridos sobre límites (continuidad, ramasinfinitas) y derivadas para afrontar el fin principal para el que se aprenden: la repre-sentación de funciones. Se dan los pasos necesarios para representar sistemática-mente dos grandes familias de funciones: polinómicas y racionales. Su aprendizajeserá fundamental para los que acaben aquí sus estudios de matemáticas y básico pa-ra los que continúen el curso próximo.

Interpretación de la tangencia de funciones en cinemática

Cuando en una película del Oeste un forajido va a asaltar un tren, pone su caballo algalope junto a una de las puertas y, solo cuando sus velocidades coinciden, salta asu interior. ¡Esto lo saben todos los alumnos! Pues bien, esta es la idea básica de losejercicios con los que se comienza la unidad.

Las identidades de velocidades en estos ejercicios se manifiestan en las tangenciasde sus gráficas. En definitiva, en la coincidencia de sus derivadas. (De manera quecuando el forajido corre en la dirección del tren buscando una de sus puertas, estáintentando, ¡quién lo diría!, que la derivada de la función que describe el movimien-to de su caballo coincida con la derivada del movimiento del tren).

Además de estas actividades puede ser muy útil comenzar la unidad con esta otra:

Sobre un papel cuadriculado y en unos ejes coordenados se dibuja una gráfica. Enuno de sus puntos de abscisa a se traza la recta tangente. Se halla su pendiente, m,tomando como referencia la cuadrícula. Pondremos: f ' (a) = m.

Es decir, antes de dar ninguna definición de derivada, se identifica, de forma prácti-ca, la derivada de una función en un punto con la pendiente de la recta tangente asu gráfica en ese punto. La realización de varios ejercicios como este sirve para queel alumno sepa adónde se dirige cuando da los pasos para hallar la derivada me-diante el límite cociente incremental.

INICIACIÓN AL CÁLCULODE DERIVADAS.APLICACIONES12

La visión intuitiva es básica para un buen aprendizaje de las distribuciones bidimen-sionales:

– A cada individuo de una población estadística se le asocian dos valores corres-pondientes a dos variables, x, y. Consideradas como coordenadas, dan lugar aun punto (x, y) en un diagrama de ejes cartesianos. El conjunto de todos lospuntos correspondientes a la totalidad de los individuos (nube de puntos) permi-te visualizar la relación entre las dos variables: correlación.

– La forma de la nube de puntos informa sobre el tipo de correlación: más o menosfuerte, positiva o negativa.

– La recta que se amolda a la nube de puntos, recta de regresión, marca la tenden-cia en la variación de una variable respecto a la otra.

Con los problemas que se proponen para empezar se pretende hacer ver en qué con-siste la correlación, que puede ser positiva o negativa, y que a partir de la nube de pun-tos se visualizan muchos matices de esa relación. El primer apartado insiste en esa líneapor la que, a partir de la percepción gráfica de la correlación, se llega a las ideas clave ya la nomenclatura básica. En adelante, se matematiza el proceso: se obtienen fórmulaspara medir la correlación y para obtener la recta de regresión.

Para el cálculo de los parámetros, es fundamental el buen manejo de la calculadoraen el modo LR. Debe intentarse que el alumnado lo consiga sin que deje de tener cla-ro lo que obtiene en cada momento. Sugerimos la siguiente forma de proceder en lapresentación tanto de ejercicios propuestos para casa como en los exámenes:

– A partir de la tabla de valores para las dos variables, el alumno rellenará, hacien-do los cálculos correspondientes, las primeras filas (una, dos, tres a lo sumo). Esla forma de demostrar que lo sabe hacer.

– Después, preguntando a la calculadora, pondrá la suma de las distintas columnas.Para el cálculo de los parámetros, se pone la fórmula correspondiente y se susti-tuyen las expresiones por los valores situados en la tabla.

x i yi xi2 yi

2 xi yi

x1 y1 ... ... ...

x2 y2 ... ... ...

… … … … …

x i yi xi2 yi

2 xi yi

x1 y1 ... ... ...

x2 y2 ... ... ...

... ... ... ... ...

∑ x ∑ y ∑ x 2 ∑ y 2 ∑ x y

DISTRIBUCIONESBIDIMENSIONALES13

En definitiva, aunque el valor de cada parámetro lo aporta la calculadora, el alumnodebe mostrar que lo sabe obtener y exponer los pasos necesarios para ello.Las tablas de doble entrada se muestran como curiosidad y se acompañan con laforma de representar gráficamente la distribución en estos casos, así como su trata-miento con la calculadora. No obstante, este contenido queda fuera de lo que sepretende en este curso.

En las páginas introductorias se propone calcular la probabilidad de un suceso (queuna moneda toque raya al caer sobre una cuadrícula) para que se obtenga por doscaminos distintos:

– Mediante experimentación (se dan datos para que el estudiante solo realice la ex-periencia si tiene una expresa curiosidad por hacerlo).

– Mediante un cálculo matemático (casos favorables partido por casos posibles).

Creemos importante que el alumno de este nivel sepa que la probabilidad real de unsuceso solo se puede averiguar mediante experimentación. La ley de Laplace (o lageneralización de la misma que se realiza en la resolución de este problema) es so-lo aplicable a casos ideales. Cuando la aplicamos a dados, monedas, naipes, urnas,estamos suponiendo que son correctos, es decir, ideales.

En los primeros apartados se fundamenta teóricamente el cálculo de probabilidades:algebra de sucesos (14.1), estudio de las leyes de la probabilidad inspiradas en laspropiedades de las frecuencias relativas (14.2).

Los mejores alumnos podrán demostrar axiomáticamente la cadena de teoremas quese enuncian (T1 a T7).

La probabilidad condicionada, con su aplicación a las tablas de contingencia, suce-sos dependientes e independientes, la fórmula de la probabilidad total y la fórmulade Bayes completan el recorrido teórico de esta unidad.

Lo más importante de la misma, creemos, es la resolución de problemas de probabi-lidad por el método que sea, con tal de que se haga de manera comprensiva. Paraello, hay gran cantidad de problemas resueltos y propuestos, tanto a lo largo del de-sarrollo teórico como al final de este.

Hay muchos problemas de probabilidad, de apariencia muy compleja, que quedannotablemente simplificados si la experiencia global se considera descompuesta enuna secuencia de experiencias sencillas cuyas probabilidades son muy fáciles de ob-tener. Para ello, resulta muy útil el diagrama en árbol, cuyo uso permite resolver confacilidad problemas que, en principio, parecen muy complicados.

De este modo se llega, incluso, a resolver razonadamente, de forma intuitiva, los tí-picos problemas de probabilidades “a priori” sin conocer siquiera la fórmula de Ba-yes. Si se sigue este proceso, la formalización o no de la fórmula correspondientedependerá del deseo de cerrar teóricamente la unidad, pero no de la necesidad dela fórmula para resolver los problemas.

CÁLCULO DEPROBABILIDADES14

Para el estudio de las distribuciones de probabilidad, son básicos los siguientes co-nocimientos:

– Ideas claras de las distribuciones estadísticas. (1)

– Cálculo de probabilidades en experiencias compuestas. (2)

– Números combinatorios. (3)

(1) Aunque en la Educación Secundaria Obligatoria se dedica una suficiente atención alas distribuciones estadísticas, ahora puede estar muy olvidado. Por eso, hemosconsiderado imprescindible comenzar con un repaso de lo más importante de ellas.Ponemos el énfasis en el distinto tratamiento que se les da a las distribuciones esta-dísticas de variable discreta, en las que a cada valor de la variable se le asigna unafrecuencia (gráficamente, una barra), y las distribuciones de variable continua (o devariable discreta con muchos valores agrupados en intervalos), donde la frecuenciase asigna a un intervalo (gráficamente, un rectángulo cuya área es proporcional a lafrecuencia). Se repasa el cálculo de los parámetros.

(2) Se ha visto a fondo en la unidad anterior.

(3) Se vio en 4.º de ESO, y se repasa aquí, con la terminología (mn ).En los epígrafes 15.2 y 15.4 se presentan las distribuciones de probabilidad compa-rándolas con las distribuciones estadísticas o distribuciones de frecuencias.

Debe quedar claro que en las distribuciones de probabilidad de variable discreta laprobabilidad asignada a cada valor se representa por la altura de una barra, mientrasque en las de variable continua la probabilidad en un intervalo se representa me-diante el área contenida bajo la curva en el intervalo correspondiente, al igual quesucede en las distribuciones de frecuencia correspondientes.

También es importante entender las definiciones de los parámetros µ y σ en una dis-tribución de probabilidad de variable discreta como idealización de los correspon-dientes parámetros en las distribuciones estadísticas, pasando de las frecuencias rela-tivas fi/N a las probabilidades, pi.

Para comprender las distribuciones de probabilidad de variable continua, resulta efi-caz la presentación de distribuciones que encierran exactamente 100 cuadraditos ypropicia que se asimile que lo que importa en estas distribuciones es el área bajo lacurva en el intervalo correspondiente. Para eso están los problemas recogidos en elsubepígrafe Tiempos de espera.

La posibilidad del paso de una binomial B (n, p) a una normal N (np, znpq) se ha-ce evidente con las gráficas que se muestran en el libro. Para el cálculo de probabi-lidades en este caso, es imprescindible recordar que a valores puntuales en la bino-mial, x = k, le corresponden intervalos en la normal, x' ∈ [k – 0,5; k + 0,5].

DISTRIBUCIONESDE PROBABILIDAD15