estudios generalesvirtual.senati.edu.pe/pub/cd_pt/89001295_matematica_01...los directores zonales y...

Estudios

Generales

CÓDIGO: 89001295

SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL

Matemática P.T.

Parte 01

DIRECCIÓN NACIONAL

GERENCIA ACADÉMICA

MATEMÁTICA P.T. PARTE 01

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO 2

MATERIAL DIDÁCTICO ESCRITO

CICLO : ESTUDIOS GENERALES

CURSO : MATEMÁTICA BÁSICA P.T. PARTE 01

Con la finalidad de uniformizar el desarrollo de la formación profesional en el Ciclo de

Estudios Generales a nivel nacional y dando la apertura de un mejoramiento continuo,

se autoriza la APLICACIÓN Y DIFUSIÓN del material didáctico escrito referido a

MATEMÁTICA BÁSICA P.T. PARTE 01

Los Directores Zonales y Jefes de Centros de Formación Profesional son los

responsables de su difusión y aplicación oportuna.

AUTORIZACIÓN Y DIFUSIÓN

DOCUMENTO APROBADO POR EL

GERENTE ACADÉMICO DEL SENATI

N° de Páginas:….............188.…...........…..

Firma: ………………………………….…..

Lic. Jorge Chávez Escobar

Fecha: …………………………...……….



INDICE

UNIDAD 01. Números Naturales .............................................................................. 4

UNIDAD 02. MCM y MCD ....................................................................................... 43

UNIDAD 03. NUMEROS RACIONALES: FRACCIONES ................................................ 73

UNIDAD 04. FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN .......... 88

UNIDAD 05. Números Decimales .......................................................................... 112

UNIDAD 06. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN ......................................................... 145

UNIDAD 07. TRIGONOMETRÍA BÁSICA ................................................................. 172



UNIDAD 01

NÚMEROS NATURALES



1.1. Número Natural.

Definición. Un número natural es

cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3...

que se pueden usar para contar los

elementos de un conjunto. Reciben ese

nombre porque fueron los primeros que

utilizó el ser humano para contar

objetos de la naturaleza.

Numeral. Los numerales "1, 2, 3, 4, 5,..." son numerales arábicos, diferentes de los

numerales romanos "I, II, III, IV, V,..." pero ambos representan los mismos

números.

Incluso los mismos símbolos a veces pueden representar números distintos: 11 es

el tres binario pero el once decimal.

1.2. Lectura y escritura de números naturales.

En la escritura de un número natural se debe tener en cuenta que la cifra forma un

orden, cada tres órdenes forman una clase y por cada dos clases, forman un

período.

http://es.wikipedia.org/wiki/Numerable

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_decimal



ENTE

RO

S 4

° P

erío

do

8° Clase

24° Orden Centenas de millar de trillón.

23° Orden Decenas de millar de trillón.

22° Orden Unidades de millar de trillón.

7° Clase

21° Orden Centenas de trillón.

20° Orden Decenas de trillón.

19° Orden Unidades de trillón. 3

° P

erío

do

6° Clase

18° Orden Centenas de millar de billón.

17° Orden Decenas de millar de billón.

16° Orden Unidades de millar de billón.

5° Clase

15° Orden Centenas de billón.

14° Orden Decenas de billón.

13° Orden Unidades de billón.

2°

Per

íod

o 4° Clase

12° Orden Centenas de millar de millón.

11° Orden Decenas de millar de millón.

10° Orden Unidades de millar de millón.

3° Clase

9° Orden Centenas de millón.

8° Orden Decenas de millón.

7° Orden Unidades de millón.

1°

Per

íod

o 2° Clase

6° Orden Centenas de millar.

5° Orden Decenas de millar.

4° Orden Unidades de millar.

1° Clase

3° Orden Centenas simples.

2° Orden Decenas simples.

1° Orden Unidades simples.

Para facilitar la escritura y la lectura las cifras se agrupan de tres en tres a partir de

la derecha, separando dichos grupos por espacios en blanco y sin usar ningún otro

símbolo así el número de la tabla siguiente se escribe:

79 142 031 789 358.

TRILLONES BILLONES MILLONES UNIDADES

MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD

C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U

24º 23º 22º 21º 20º 19º 18º 17º 16º 15º 14º 13º 12º 11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º

7 9 1 4 2 0 3 1 7 8 9 3 5 8

Y se lee: “Setenta y nueve billones, ciento cuarenta y dos mil treinta y un millones,

setecientos ochenta y nueve mil, trescientos cincuenta y ocho unidades.”



Aplicaciones:

1: Aún recordando, se realizarán los ejercicios siguientes:

Escribir cómo se lee cada número:

a) 4 121..................................................................................................................

b) 20 305................................................................................................................

c) 2 000……...........................................................................................................

d) d) 5 001 008......................................................................................................

2: Leer y escribir con cifras cada número:

a) Tres mil cinco...................................................................................................

b) Cien mil cuarenta y dos..................................................................................

c) Un millón trescientos mil................................................................................

d) Dieciocho millones tres mil uno........................................................................

e) Seis millones quince mil....................................................................................

f) Doscientos tres millones cuatro mil uno……....................................................

3: ¿Qué número está formado por 14D, 134UM, 14DM, 19CM?

a) 2480014 b) 2040814 c) 2174140 d) 2304014 e) 2048014

4: Se tiene 2C, 3UM, 7DM, 4U, 6D., dicho número es:

a) 73 264 b) 74 326 c) 72 364 d) 76 324 e) 24 763

5: ¿Cuántas Centenas hay en 75 CM; 4 DM; 16 UM?

a) 75 560 b) 75 326 c) 72 364 d) 76 560 e) 74 560

6: ¿Cuántas Decenas forman Dos Millares?

a) 20 b) 200 c) 2000 d) 2 e) 0,2

7. ¿Cómo se puede escribir el producto de: 345x11?

a) 30CM 79D 5U b) 31C 69D 5U c) 37D 95U d) 30C 71D 5U e) NA



1.3. Operaciones en el conjunto de números naturales.

1.3.1. Adición.

Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama suma de a y b la cual se

denota (a + b) al número natural S, tal que a + b = S.

Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de

números naturales (a; b) su suma a + b.

Ejemplo 1:

15 + 17 = 32 Ejemplo 2:

7 + 8 + 13 = 28 Aplicación 1:

Si: a + b + c = 15, hallar: abc + bca + cab

Rpta: 1665

Aplicación 2:

Hallar la suma de todos los números de tres cifras del sistema decimal.

Rpta: 494550

Suma notables:

I) Suma de los “n” primeros números naturales.

S = 1+2+3+4+ ....+n 2

)1n(nS

Ejemplo:

1 + 2 + 3 + 4 + …..…. + 25

3252

12525S

Sumandos Suma

n = 25



II) Suma de los “n“ primeros impares.

S = 1 + 3 + 5 + …….... + n

2

2

1nS

Ejemplo:

1 + 3 + 5+ 7 + …..…. + 39 4002

139S

2

III) Suma de los “n” primeros pares.

S = 2 + 4 + 6 + …... + 2n 1nnS

Ejemplo:

2 + 4 + 6 + 8 + …..…. + 20 11011010S

1.3.2. Sustracción.

Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama diferencia de a y b la cual

se denota (a - b) al número natural D, tal que a - b = D.

Se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos pares

de números naturales (a; b) su diferencia a - b.

Ejemplo 1: 235 - 140 = 95 Aplicación 1: Si, a4b - 3c5 = 418; Hallar: a + b – c

Rpta: 6

Propiedades de la sustracción:

1. Si se suma o resta un mismo número natural al MINUENDO y al SUSTRAENDO,

la diferencia NO SE ALTERA.

MINUENDO ( M )

SUSTRAENDO ( S )

DIFERENCIA ( D )

n = 39

n = 10



2. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL MINUENDO, la

DIFERENCIA queda aumentada o disminuida en esa misma cantidad.

3. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL SUSTRAENDO, la

DIFERENCIA queda disminuida o aumentada en esa misma cantidad.

4. La suma del SUSTRAENDO y la DIFERENCIA es igual al MINUENDO.

S + D = M

5. la suma de los TRES TÉRMINOS de la sustracción es igual al DOBLE DEL

MINUENDO.

M + S + D = 2M

Aplicación 1:

La diferencia de dos números es 305, si al menor se le quita 20 y al mayor se le

aumenta 85 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 410

Aplicación 2:

La diferencia de dos números es 157, si al menor se le aumenta 48 y al mayor se le

quita 31 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 78

Aplicación 3:

La suma de términos de una sustracción es 478 ¿Cuánto es el minuendo?

Rpta. : 239

1.3.3. Multiplicación.

Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama producto de a y b la cual

se denota a.b al número natural P, tal que a.b = P.

Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos

pares de números naturales (a; b) su producto a.b.

Ejemplo 1:

18 x 15 = 270

Multiplicando Multiplicador Producto



Ejemplo 2:

Aplicación 1:

El producto de dos factores es 29016, si se aumenta 112 unidades al multiplicando,

el producto total aumenta en 13888 unidades ¿Hallar la suma de cifras del

multiplicador? Rpta. 7.

Aplicación 2:

El producto de dos factores es 74495, si se aumenta en 23 unidades al

multiplicador, el producto total aumenta en 5405 ¿Hallar la suma de cifras del

multiplicador? Rpta. 11.

Potenciación. Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces.

an = a x a x a x .………a = P Potencia de exponente cero: a0 = 1 siempre que a ≠ 0 Nota: 00 = no está definido. Ejercicio mental: Resolver las siguientes operaciones mentalmente.

23 = ….. 34 = ….. 112 = ….. 162 = …..

33 = ….. 54 = ….. 122 = ….. 172 = …..

43 = ….. 25 = ….. 132 = ….. 182 = …..

53 = ….. (14+17)0 = ….. 142 = ….. 192 = …..

24 = ….. (2X3 – 6)0 = …. 152 = ….. 202 = …..

“n” veces a

Elementos de la potenciación, donde: a: es la base n: es el exponente P: es la potencia perfecta de

grado n.

7 3 4 x

4 6

4 4 0 4

2 9 3 6

3 3 7 6 4

Multiplicando

Multiplicador

Productos parciales

Producto final

7 3 4 x 6

7 3 4 x 4



1.3.4. División. Definición. Dados dos números naturales a y b ≠ 0, se llama cociente de a y b, se

denota b

a , al número natural c, si existe, tal que a = b.c.

Se denomina “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de

números naturales (a; b) su cociente b

a.

Elementos de una división: Dividir 104 entre 11 Además: 104 = 11. (9) + 5 Clases de división:

Exacta (residuo = 0).

Inexacta (residuo ≠ 0).

En donde : 9 + 2 = 11

r(defecto) + r(exceso) = divisor

104 11

99 9

5

Dividendo (D) Divisor (d)

Residuo (r)

Cociente (q)

Algoritmo de la división

28 7

0 4

D d

0 q

28 = 7. (4) D = d.q

75 = 11.(6) + 9

75 11

9 6

75 11

2 7

75 = 11.(7) - 2

Defecto: Exceso:

Residuo por defecto Residuo por exceso



En general: Propiedades de la división:

Si: r = 0, la división es exacta.

Algoritmo de la división: D = d. (q) + r

Residuo máximo : r(máx) = ( d - 1 )

Residuo mínimo : r(min) = 1

r(defecto) + r(exceso) = divisor

residuo < divisor

Si se multiplica o divide el DIVIDENDO (D) y el DIVISOR (d) por un mismo

número natural distinto de cero, el COCIENTE NO SE ALTERA, pero el

RESIDUO queda MULTIPLICADO o DIVIDIDO por dicho número natural.

Aplicación 1:

El cociente de una división inexacta es 61, se suman 800 unidades al dividendo y

se repite la división, siendo el cociente 50 más que el anterior y sin alterar el

residuo ¿Cuál es el divisor de la división?

Rpta.: 16

Aplicación 2:

El cociente de una división inexacta es 63, se suman 750 unidades al dividendo y

se repite la división, siendo el cociente 6 más que el anterior y el residuo disminuye

en 42. ¿Hallar la suma de las cifras del divisor?

Rpta: 6

Defecto: Exceso:

D d

r q

D d

r* q + 1

D = d.(q) + r D = d.(q + 1) - r*

D d

r q

D.k d.k

r.k q



1.3.5. Radicación.

Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que dados

dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer número llamado raíz,

donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Así se tiene:

Resolver los siguientes ejercicios:

64 3 8 4 16 1600

81 3 64 4 81 3 27000

144 3 125 4 625 4 810000

169 3 1000 4 1210 3 278

1.3.6. OPERACIONES COMBINADAS.

Para resolver operaciones combinadas, se resuelven teniendo en cuenta los

signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves, etc.)

Ejemplo:

63338

= 6335

= 6315

= 618

= 3

Si una operación combinada no tiene signos de agrupación se resolverá en el

siguiente orden :

TÉRMINOS DE LA

RADICACIÓN

KRRK nn



o Primero: La potenciación o radicación.

o Segundo: La multiplicación o división (en el orden en que aparecen) “de

izquierda a derecha”

o Tercero: Adición o Sustracción.

Ejemplo:

32 : 8 + 6 x 5 = Observar, con atención, las operaciones indicadas.

4 + 30 = Fueron efectuados: la división (32:8) y la multiplicación (6 x 5).

34 = Finalmente, fue efectuada la suma (4 + 30).

Resolver la expresión:

45 x 5 + 36 ÷ 6 - 8 x 0 =

La respuesta debe haber sido 231; sino, corregir lo que hizo. No olvidar que

cero veces cualquier numeral es cero.

7 + 3 x (40 – 9 x 4 ) – 23 = Observar paréntesis.

= 7 + 3 x ( 40 – 36 ) – 23 = Fue efectuada la multiplicación contenida en los paréntesis (9 x4).

= 7 + 3 x 4 – 23 = También fue hecha la resta: (40 – 36)

= 7 + 3 x 4 – 8 = Fue efectuada la potencia 23.

= 7 + 12 – 8 = Fue realizada la multiplicación: (3 x 4)

= 19 – 8 = Se realizó la suma ( 7 + 12 )

= 11 Finalmente, fue hecha la resta: (19 – 8)

EJERCICOS

Resolver las siguientes operaciones combinadas:

OPERACIÓN COMBINADA RESPUESTA

( 70 – 8 x 4 ) x 3 – 32 + 35 : 7 =

6 x 8 + 13 - 9 =

250 x 2 + 32 + 4 x 5 – 6 + 73 =

12 x 22 + 32 x 42 + 52 =



PROBLEMAS SOBRE CORTES Y ESTACAS.

Ejemplo:

Se tiene un rollo de alambre que mide 100 m ¿Cuántos pedazos de alambre de 5

m se podrán obtener?

20m 5

m 100pedazos de Nº pedazos de 5 m c/u

Número de cortes Número de estacas

LÍNEA ABIERTA

Nº cortes = 1unitaria Longitud

total Longitud Nº estacas = 1

unitaria Longitud

total Longitud

LÍNEA CERRADA

Nº cortes = unitaria Longitud

total Longitud Nº estacas = unitaria Longitud

total Longitud

Ejemplo (LINEA ABIERTA):

1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse en una avenida de 200 m de longitud, si

cada árbol están separados 50 m?

2. Se tiene una soga de 200 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios

realizar para obtener trozos de 50 m?

unitaria Longitud

Total Longitudpartes

50 m 50 m 50 m 50 m

200 m

Nº árboles = 150

200

= 4 + 1

= 5 árboles

(estacas)

50 m 50 m 50 m 50 m

200 m

Nº cortes = 150

200

= 4 - 1

= 3 cortes

1º 2º 3º

CORTES



Ejemplo (LINEA CERRADA): 1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse alrededor de un parque cuyo perímetro es

200 m y los árboles deben estar separados 50 m?

2. Se tiene un anillo metálico de 20 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios

realizar, para obtener trozos de 5 m?

Nº de cortes = 5

20 = 4 cortes

50 m

50 m 50 m

50 m Perímetro = 200 m

(Longitud total)

Nº de árboles = 50

200 = 4 árboles

(estacas)

5 m 5 m

5 m 5 m

1º 3º

2º

4º cortes

Número de = Número - 1

Cortes de partes

Número de = Número - 1

espacios de puntos

LÍNEA ABIERTA



PROBLEMAS:

1. Una barra de acero de 196” de longitud se divide en trozos de 1”, en donde

cada corte pierde 64

1 ”. ¿Cuántos trozos se obtiene?

a) 193 b) 235 c) 195 d) 425 e) 194

2. Dividir una barra de Hierro 8

"110 en 5 partes iguales perdiendo en cada corte

32

1 “¿Qué longitud tendrá cada parte?

a) 3” b) 5” c) 2” d) 4” e) 1” 3. Dividir una barra de bronce de 120m en trozos iguales de 35 cm., perdiendo en

cada corte de 0,05m ¿Cuántos trozos se obtiene y cuánto material sobra?

a) 342; 30cm b) 142; 30cm c) 342; 20cm d) 352; 30cm e) 12; 30cm

4. Dividir una barra de cobre 8

"110 en trozos iguales de 2”, se pierde en cada

corte 32

1 ”. ¿Cuántos cortes se obtiene?

a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 e) 1 1.4. PLANTEO DE ECUACIONES. Planteo de una ecuación es TRADUCIR el lenguaje común a lenguaje matemático,

por ello es que debe detenerse a reflexionar sobre algunos aspectos de este

lenguaje.

El Lenguaje matemático es un lenguaje universal. Es además, un lenguaje conciso,

preciso, con reglas que no sufren excepciones.

El lenguaje matemático está conformado por diversos símbolos. A través de la

combinación de estos se puede representar diversidad de situaciones

SUSCEPTIBLES de ser representados matemáticamente; esto quiere decir que no

todo aquello que pasa diariamente puede ser representado en forma matemática.

Por ejemplo, la expresión: Esmeralda está alegre, no puede representarse de la

manera mencionada; en cambio la expresión: El dinero de Esmeralda es la

cuarta parte de lo que posee Johana, sí es susceptible de ser representado

matemáticamente. En resumen: el lenguaje matemático es para ser usado

fundamentalmente en todo aquello que sea MEDIBLE y CUANTIFICABLE.



Ejemplo:

¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre, si al multiplicarlo por cuatro, añadirle 18, y

dividir dicha suma entre 19 se obtiene 2 como resultado?

¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre? x

si al multiplicarlo por cuatro 4x

añadirle 18 4x + 18

y dividir dicha suma entre 19 19

184 x

se obtiene

19

184x

2 como resultado? 219

184

x

Resolviendo la ecuación:

219

184

x

)19.(2184 x

18384 x

204 x 5x

TEORÍA ADICIONAL:

Operaciones fundamentales con fracciones:

a. Conversión de un número mixto a Fracción: D

NDE

D

NE

b. Suma de Fracciones:

usqMCMM

tuMrsMpqM

u

t

s

r

q

p

,,

c. Número natural.

d. Ejemplos: 2 y 5 son números naturales.

÷

x

=



Pero para problemas, ejercicios el alumno debe recordar que elementos y/o partes

tiene el número natural, porque las computadoras cuando hacen las operaciones

de sumar y restar, multiplicar y dividir tienen en consideración.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

NOTA. Si se da cuenta; que es útil saber que un número natural tiene todas estas

partes o elementos; potencia +1, signo positivo, la coma a la derecha que

representa el número decimal, puede estar dividido entre el valor UNO positivo, a la

derecha de la coma redondear con CEROS y al último parte variable elevado a la

potencia CERO que equivale a uno.

En esta época, siglo 21, aún las computadoras lo ven así para poder operar sumas,

restas, multiplicar y/o dividir.

e. Reducción de fracción de fracciones : Ejemplos:

a. 8

1

24

1

64

13

1

64

3

6

4

3

b. 5,4

2

14

2

9

41

63

6

41

3

6

4

3

c. 5,72

17

2

15

42

203

20

42

3

Es importante esta teoría base para hacer

las 4 operaciones de fracciones.

( ,,, )

+ 5+1,000 x b0 =

5

+1

Exponente +1

Se completa con ceros la parte decimal

Parte variable

El denominador es +1

Signo +

+ 2+1

,000 x a0 =

2

+1

La coma divide la parte entera de la parte decimal.

cb

da

d

cb

a



Problemas que tengan relación Parte – Todo: Ejemplos: Son fundamentales; por el ORDEN de las palabras?

*¿Qué parte de 27 es 9? 9 / 27 <> 1 / 3

*¿Qué fracción de b es c? c / b

*¿M representa que fracción de N? M / N

*¿Q que fracción representa respecto de P? Q / P

*¿Qué fracción es 24 respecto de 60? 24 / 60 <> 2 / 5

*¿Qué fracción es “a” respecto de “b”? a / b

*¿Qué fracción de “b” respecto de “a”? b / a

*¿Qué parte de representa 11 de 33? 11 / 32 <> 1 / 3

ENUNCIADOS VS EXPRESIÓN MATEMÁTICA:

Enunciados Expresión Matemática

Forma verbal Forma Simbólica

1) La suma de 2 números consecutivos más 3. 31 xx

2) Yo tengo 20 más que tú Yo: 20 + x

Lo que tengo = 20 más lo que tú tienes Tu: x

3) A es el doble de B A = 2B

A es 2 veces B A = 2K

B es la mitad de A B = K

A tiene una vez más de lo que posee B B = K ; A = 2K

Cantidad de partes iguales

que se han tomado.

Cantidad de partes iguales

en que se han dividido a la unidad

f = Qué Fracción

o

Qué Parte



4) A es 2 veces más que B ó A = 3B A = 3X

A es 2 veces mayor que B B = X

5) A es a B como 3 es a 5 ó 5

3

B

A

La relación entre A y B es 3/5 ó A = 3k

A y B están en la razón de 3 a 5 ó B = 5k

A es a 3 como B es a 5

6) El cuadrado de la suma de 2 números 2yx

7) La suma de los cuadrados de 2 números 22 yx

8) El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20 204 y

Tengo : y

9) El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20 204 y

Tengo : y

10) A excede a B en 4 ó 4 BA

A es mayor que B en 4 ó 4 xA

El exceso de A sobre B es 4 xB

11) Tres menos 2 veces un número X x23

12) Tres menos de 2 veces un número X 32 x

13) El producto de 5 números consecutivos es m. mxxxx 421 ó

maaaaa 2112

14)

Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules. 4

3

A

R

kR 3 ; kA 4



1.4.1. ECUACIONES DE 1ER GRADO.

Ecuación: La ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se

verifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas.

Propiedades de las ecuaciones:

1. Si se suma o resta a los dos miembros de una ecuación una cantidad constante,

la ecuación que se obtiene es EQUIVALENTE a la primera.

2. Si se multiplica o divide a los dos miembros de una ecuación por una cantidad

constante diferente de cero, la ecuación que se obtiene es EQUIVALENTE a la

primera.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X

Solución: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X

2X + 3X + 1X = 140 – 20 6X = 120

X = 120 / 6 X = 20

Ejemplos de aplicación: Resolver las siguientes ecuaciones mostrando el procedimiento:

1. 414 xx

2. 631209740 xx

3. )3(2)5(5)12(4)1(3 xxxx

4. xx

2

1

21

5. 24

3

5

2

4

1 xx

6. 65

22

3

2

xx



7. 2)12(3

12)1(

2

1 xx

8.

303

1

7

554

3

2

xxxx

9. 463

25

2

3

2

1

xxx

10. 12261142313 xx

PROBLEMAS DE APLICACIÓN:

Los problemas que aquí se plantean son resolubles a través de ecuaciones de

primer grado. Es importante leer el problema 2 o 3 veces hasta comprenderlo,

hacer el planteamiento y resolver.

1. Los alumnos del ciclo de Estudios Generales contrataron un autobús para seguir

a su equipo de fútbol. Si el autobús se hubiera llenado, cada uno habría pagado

S/. 9.00; pero quedaron 12 asientos vacíos y el viaje costó S/. 13.00 ¿Cuántos

asientos tenía el autobús?

2. La suma de tres números pares consecutivos es 60. Hallar esos números.

3. Un ciclista sale por una carretera a 25 Km./h. 30 minutos después sale otro en

su persecución a una velocidad de 30 Km./h. ¿Cuánto tiempo tardará en

alcanzarle?

Comprobando respuestas:

1. El autobús tenía 39 asientos.

2. Los números son 18, 20 y 22.

3. El ciclista tardará 2h y 30 minutos.



SISTEMAS DE ECUACIONES.

En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más

ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar

un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del

sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que se reemplaza

en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN.

Método de Sustitución:

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones

cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a

continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser

sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la se

ha despejado. En ese instante, se tendrá un sistema con una ecuación y una

incógnita menos que el inicial, en la que se podrá seguir aplicando este método

reiteradamente.

Por ejemplo, suponiendo que se quiere resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, se selecciona la incógnita por ser la de menor

coeficiente y que posiblemente facilite más las operaciones, y se despeja,

obteniendo la siguiente ecuación:

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra

ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

http://es.wikipedia.org/wiki/Contradicci%C3%B3n



Al resolver la ecuación se obtiene el resultado , y si ahora se substituye esta

incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales se obtendrá ,

con lo que el sistema queda ya resuelto.

Método de Igualación.

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de

sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a

continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución,

si se despeja la incógnita en ambas ecuaciones queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda,

por lo que se puede afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y se puede obtener el

valor de la incógnita x, y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las

ecuaciones originales, obtener el valor de la y, que además ya se encuentra

despejada.

Método de Reducción. Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo

pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El

procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste

en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de

manera que se obtengan dos ecuaciones en la que una misma incógnita

aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman

ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha

incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de

resolución es simple.

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n



Por ejemplo, en el sistema

no se tiene más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la

incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación queda así:

Si se suma esta ecuación a la segunda del sistema original, se obtiene una nueva

ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, da

directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en

cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que

el valor de es igual a 3

17.

Ejercicios de Aplicación:

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando los tres métodos.

1) 52

152

yx

yx 2)

6843

4

yx

yx

3) 1132

514

ba

ba 4)

01135

03427

nm

nm

5) yx

yx

9397

35

6) 121

8)2()2(

xyx

yxyx

7)

32172

25127

yxy

xxy 8)

4314

5,102743

yx

yxyx

-4x - 6y = -10

5x + 6y = 4

x = - 6

+



1.4.2. ECUACIONES DE 2DO GRADO. Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma.

02 cbxax . Donde no se anula a

Si se observan los coeficientes b y c, se pueden clasificar en incompletas si se

anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

Número de soluciones:

Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o

valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una

identidad.

Se denomina discriminante acb 42 , en función del signo del discriminante se

conocerá el número de soluciones de la ecuación, así:

Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.

Si el discriminante es 0 hay una solución.

Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.

Ejemplo de Aplicación 1:

¿Cuántas raíces tiene la ecuación 0898 2 xx ?

a) Ninguna solución b) Una solución: x =

c) Dos soluciones: x1 = ; x2 = Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0. Si b=0 la ecuación queda ax2+c=0, despejando se llega:

Ejemplos:




La ecuación 092 x

a) No tiene solución b) Tiene una solución x =

c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 = Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c=0.

Si c=0 la ecuación queda ax2+bx=0.

Sacando factor común se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que

x=0; ax + b = 0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a.

Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las

soluciones es x=0

Ejemplo:


Resolver la ecuación

Soluciones x1= x2= Ecuación de segundo grado completa.

Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no nulos.

Para resolver estas ecuaciones se aplica la fórmula:



Ejemplo:


La ecuación 0962 xx

a) No tiene solución b) Tiene una solución x =

c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 = PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE 2DO GRADO. 1. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 70 m y su

área es 286m2.

El lado mayor mide m y el menor m

2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad

del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo?

La edad del padre es años y la del hijo años 3. Un deportista caminó 40 km en un cierto número de horas. Si hubiese caminado

3 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer la misma distancia.

¿Cuántas horas ha estado caminando?

El deportista ha caminado horas 4. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 35 años la edad

del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo?

La edad del padre es años y la del hijo años



5. Una persona compró cierto número de objetos por 360 euros. Podría haber

comprado 3 objetos más, si cada uno hubiese costado 4 euros menos.

¿Cuántos objetos compró?¿Cuánto costó cada objeto?

Compró objetos a un precio de euros 6. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 50 m y su

área es 144m2.

El lado mayor mide m y el menor m

Comprobando respuestas:

1) El lado mayor mide 22 m y el lado menor mide 13 m

2) La edad del padre es 36 años y la del hijo 6 años

3) Ha estado caminando 8 horas

4) La edad del padre es 49 años y la del hijo 7 años

5) 15 objetos y cada uno costo 24 euros

6) El lado mayor mide 16 m y el lado menor 9 m

Resolver:

1. José compró una maquina por S/. 250, una sierra circular por S/. 198, y un par

de calculadoras por S/. 320. ¿Con cuánto se queda si tenía S/ 1 000?.

Rpta. S/. 232

2. Se gastó S/. 58 en cuadernos y S/ .135 en libros ¿Cuánto tenía si aún se

tiene el doble de la cantidad que se gastó?

Rpta. S/. 579

3. En un almacén hay dos docenas y media de cajas rojas y dos decenas

y media de cajas blancas ¿Cuántas cajas rojas hay demás?

Rpta. 5 cajas

4. Luís compró una computadora en S/. 5 150, dando una cuota inicial de S/.

830 y el resto en 8 letras de cambio iguales. ¿Cuál es el valor de cada

letra?

Rpta. S/. 540

5. Mi padre cumplió 48 años en 1970. ¿En qué año nació?

Rpta. 1922



6. En una división el cociente es de 17, el resto es 8 y el divisor es el triple

del residuo. ¿Cuál es el dividendo?

Rpta. 416

7. Si una docena de cuadernos cuesta S/. 177. ¿Cuántos cuadernos se podrán

comprar con S/ 78?

Rpta. 8 cuadernos

8. Se dio un cheque de S/. 200, para pagar 9 metros de alambre, se recibió

de vuelto S/ 20. ¿Cuánto se pagó por el metro de alambre?

Rpta. S/. 20

9. María compró 20 docenas de bombones, para repartir igualmente entre los 75

alumnos del jardín de la infancia, de su colegio. ¿Cuántos bombones recibió

cada uno si aún sobran 15 bombones?

Rpta. 3 bombones

10. Con S/. 2 340 se podrán comprar 4 casacas ó 9 camisas. ¿Cuál es la

diferencia de precio entre una casaca y una camisa ?

Rpta. S/. 325

11. Un tarugo de 300 milímetros fue cortado en 2 pedazos .Si uno de los

pedazos tenía 128 milímetros, ¿Cuánto medía el otro? (Se desprecia la

pérdida de corte).

Rpta. 172 mm

12. Un aprendiz hizo 58 tornillos en una semana y 49 tornillos en otra, en total, 29

estaban con defecto ¿Cuántos tornillos perfectos entregados al final?

Rpta. 78 tornillos

13. En cierta fábrica hay 10 máquinas .Cada Máquina produce 30 piezas por

hora. ¿Cuál es la producción de esa fábrica en 8 horas?

Rpta. 2 400 piezas

14. El divisor y el residuo de una división son respectivamente 48 y 36. Si se

multiplica al dividendo por 25 y se efectúa nuevamente la división, el



cociente queda multiplicado por 26 y el resido no se altera. ¿Cuál fue el

dividendo inicial?

Rpta. 900

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Si reparto mis S/. 250 entre mis hijos, sólo me queda S/. 2; pero si

accidentalmente 4 de ellos desapareciesen, me sobraría S/. 126; ¿Cuántos

hijos tengo?

A) 10 B)1 C)6 D)4 E)8

2) Un número es tantas veces 8 como el doble de las veces que 144

contiene a dicho número. Calcular el doble del número.

A) 96 B) 48 C) 24 D) 12 E) 192

3) Andrés sube hasta el 5° piso de un edificio, luego baja al 2° y vuelve a

subir al 4° piso .Si entre piso y piso las escaleras tienen 12 peldaños

¿Cuántos peldaños ha subido en total Andrés?

A)60 B)90 C)72 D)84 E)108

4) Un tren eléctrico de 200 m de largo , demora 2 segundos en pasar frente a

una persona y 1 minuto en pasar por un túnel. Hallar la longitud del túnel.

A)5 000 m B)6 000 m C)5 800 m D)3 800 m E)4 500m

5) En una compra un cliente se equivoca al pagar y abona S/.24 más de lo

que debía, costándole así cada artículo S/.2 más de lo normal. ¿Cuántos

artículos compró?

A)10 B)8 C)12 D)16 E)20

6) Un tren de 200 m de longitud viaja a 50m/s .¿Cuánto demora en pasar un

túnel de 500 m?

A)35 s B)14 s C)10 s D)16 s E)12 s



7) En una jaula donde hay conejos y gallinas pueden contarse 132 cabezas y

420 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

A)10 y 25 B)54 y 78 C)98 y 34 D)13 y 22 E)200 y 32

8) Un obrero, gana diariamente S/.5 más que otro. Después de trabajar cada

uno el mismo número de días , el primero recibe S/.143 y el segundo

S/.88.¿Cuánto gana por cada día el obrero peor pagado?

A)S/.11 B)S/13 C)S/.5 D)S/.12 E)S/.8

9) Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro de 54

monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe

intercambiarse (el mismo número) para que ambos montones adquieran el

mismo peso.

A)14 B)15 C)16 D)17 E)18

10) ¿Cuál es el mayor número del cual , al dividirlo entre 83 , se obtiene como

residuo un número que es el triple del cociente contenido? Dar como

respuesta la suma de cifras de dicho número.

A)9 B)10 C)8 D)7 E)6

SOLUCIÓN

1) C/U : S/ .x Sobrarían: S/.x + S/.x + S/.x + S/.x + 2 = 126

8 31

2250 º

31 x 126 2 4x

hijosdeN Clave: E

2) Sea “ x” el numero , entonces :

96 2(48) : es número del doble El

48 x

304 2 x144

28

2

x

x

Clave: A



3) * Cuando asciende al 5to piso sube: 12 x 4 = 48 peldaños

* Cuando desciende hasta el 2do piso baja: 12 x 4 = 36 peldaños

* Cuando asciende hasta el 4to piso sube: 12 x 2 = 24 peldaños

* Finalmente, lo que ha subido en total será:

48 + 24 = 72 peldaños Clave: C

4)

Clave: C

5) pagar debía que lo : n x a Sea

Costo por Nº de artículos cada artículo

Luego a x n + 24, lo que pagó.

12 n 2 a n

24

n

an

artículo cada costó que lo 24

n

na

artículos 12 Compro Clave: C

6) túnel + tren = para que pase por el túnel

500 + 200 =700

s 14

sm 50

m 700t Clave: B

7) Nº de cabezas = 132 Suponiendo que los 132 son conejos patas 528 x4132

Se observa un exceso de patas de 108

veces 54 2 108 , para convertir ese exceso en gallinas

Finalmente: Número de gallinas: 54

Número de conejos: 132 – 54 = 78 Clave: B

m 800 5 X

600 200 x 60s

200 2

s



8) 1er obrero = S/.143 recibe S/.55 más que el 2do

2do obrero = S/. 88 Nº de días trabajados será: S/.55 S/.5 = 11

1er obrero = S/.143 11 = S/.13

2do obrero = S/. 88 11 = S/.8 Clave: E

9) Peso 1er montón = 84(10) = 840 g

Peso 2do montón = 54(25) = 1 350 g

Peso total = 840 + 1 350 = 2 190 g

Al intercambiar el mismo número de monedas, cada montón debe pesar: 2190 2 = 1095g

Una moneda del 2do montón aumenta al 1er montón en:

25 – 10 = 15g

Luego, para que aumente: 1095- 840 = 255g

Se debe intercambiar: 255 15 = 17 monedas Clave: D

10) Sea N el número, entonces:

N 83 3q q

2786 27 " q"

para obtiene se N número mayor El

27,6 q q 86 N

83 3q 383

xN

qqN

N = 2322

Clave: A

92232 cifrasdeSuma



PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I

TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES I. Ejercicios: 1. Resolver x:

a) 6 + x = 18 b) 18 - x = 14 c) x - 6 = 24

d) b + x = 18 e) d - x = 14 f) x - 3 = 24

g) b + x = a h) d - x = c i) x - e = a

2.

a) 14 = 7 + x b) 10 = x + 14 c) 1 = 6 - x

d) m = 7 + x e) r = x + 4 f) z = 6 - x

g) m = k + x h) r = x + v i) z = 1 - x

3. Resolver cada una de las letras:

a) a + b = c b) k - d = v c) 1 + m = - d

d) l1 + l 2 = L e) g1 + g2 = G f) F1 + F 2 = F3

g) R1 = R – R2 h) C2 = C – C2 i) t = t1 + t2

4. a) a + b = 86 b) c - t = - 65 c) F - G = 80

d) 684 - G = 65 + K e) 456 + H = Z - 65 f) W - 45 = 32 + 14

g) -24 + F = 36 + x h) V – 18 = - 42 + L i) -16 + W = Z + 36

5. Un cuarto tiene una longitud de 4,25 m. Otro cuarto es 1,12 m. más corto.

¿Qué longitud tiene éste?

6. Los tres lados de un triangulo tiene una longitud total de 318 mm. Calcular la

base cuando los otros dos lados tienen una longitud de 114 mm y 62 mm

respectivamente.

7. Antes de comenzar un viaje, el cuentakilómetros de un automóvil marca

312,4 km. Terminado el viaje indica 618,7 km. ¿Cuántos kilómetros se ha

viajado?



.TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES II.

1. Resolver x:

a) 3x = 24 b) 9x = 36 c) 56 = 7x d) 3x = A

e) 9x = F f) 56 = F . x g) b . x = A h) p . x = F

2.

a) 0,3 x = 3 4

b) 9x = 36 4 c) 51 = 17x

3 d) 0,2 x = A

e) 9x = R 4 f) 51 = G . x

L g) B . x = A h) Q . x = R

4

3. Hay que cortar un hierro plano de 1,85m de longitud en una relación de 2:3.

Calcular las longitudes parciales.

4. La altura de una tuerca hexagonal es de 28,8 mm. Esta dimensión es 8/10 del

diámetro del tornillo. ¿Qué tamaño tiene el diámetro?

5. Un trecho es 12 m más largo que otro; la suma de ambos es de 48m ¿Cuál es

la longitud de los trechos?



PROBLEMAS DE REFUERZO NIVEL II

1. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces

el resto, y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto. ¿Cuál

es el cociente de dicha división?

A)26 B)15 C)5 D)10 E)20

2. El cociente de una división inexacta es 61 .Se suman 800 unidades al

dividendo y se repite la división , siendo el cociente 50 más que el

anterior y sin alterarse el residuo ¿Cuál es el divisor de la división?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32

3. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos , si les daba S/.5 a

cada uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3 a cada uno , le sobraría

S/.70.¿Con cuánto de dinero contaba esa persona?

A) S/. 200 B) S/. 220 C) S/. 250 D) S/. 280 E) S/. 310

4. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta

S/.1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de

personas .¿Cuántos participaron en la compra?

A) 18 B) 36 C) 6 D) 12 E) 20

5. Un padre compra entradas para sus hijos, si paga las entradas de 14

soles le falta para tres de ellos , pero si paga las de 7 soles le alcanza

para todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos hijos tiene?

A)5 B)6 C)7 D) 8 E)9



6. Calcular : 842510051032116 xx

A)2 B)3 C)4 D)8 E)10

7. El producto de 2 factores es 29 016; si se aumenta 112 unidades al

multiplicando, el producto total aumenta en 13 888 unidades Hallar la suma

de cifras del multiplicador.

A)5 B)6 C)7 D)10 E)11

8. Hallar la suma de las cifras del producto 27xabc .Si los productos

parciales suman 4 851.

A)18 B)20 C) 22 D) 23 E)24

9. El cociente de dos números es 45,su resta es 3 435 y el residuo de su

división es 3 ,Calcular la suma de los dígitos de los dos números .

A) 20 B)23 C)25 D)27 E)29

10. Si la diferencia entre el dividendo y el residuo de una división es 3

510.Calcular el divisor si el cociente es 45.

A)45 B)65 C)68 D)47 E)78

11. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces

el resto, y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto. ¿Cuál

es el cociente de dicha división?

A)26 B)15 C)5 D)10 E)20

12. El cociente de una división inexacta es 61 .Se suman 800 unidades al

dividendo y se repite la división , siendo el cociente 50 mas que el

anterior y sin alterarse el residuo ¿Cuál es el divisor de la división?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32



13. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos , si les daba S/.5 a

cada uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3 a cada uno , le sobraría

S/.70.¿Con cuánto de dinero contaba esa persona?

A) S/.200 B) S/.220 C) S/.250 D) S/.280 E) S/.310

14. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta

S/.1200.El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de

personas .¿Cuántas personas participaron en la compra?

A) 18 B) 36 C) 6 D) 12 E) 20

15. Un padre compra entradas para sus hijos, si paga las entradas de 14

soles le falta para tres de ellos , pero si paga las de 7 soles le alcanza

para todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos hijos tiene?

A)5 B)6 C)7 D) 8 E)9

16. Esmeralda gasta cada día la mitad de lo que tiene , más 2 soles .Si

luego de cuatro días se quedó sin dinero. ¿Cuánto tenia al inicio?

A) S/. 30 B) S/. 28 C) S/. 60 D) S/. 40 E) S/. 50

17. Un recipiente lleno de vino cuesta S/ 700, si se saca 80 litros, vale

solamente S/140. ¿Cuál es la capacidad del recipiente? A) 1 401 B) 1 081 C) 1 001 E) 2 001

18. Un espectáculo público cubre sus gastos con las entradas de 30 adultos

más 70 niños o de 42 adultos más 18 niños. Si entraron solo niños

.¿Con cuántas entradas cubrirá sus gastos?

A)216 B) 200 C)160 D)178 E)232



19. En SENATI existe un santo que hace el milagro de duplicar el dinero; pero

con la condición que deje 8 soles de limosna .Si al cabo de 3 milagros

Rossmery salió sin dinero .¿Cuánto dinero tuvo al ingresar?

A) S/.8 B) S/.9 C) S/.7 D) S/.14 E) S/.10


ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO. 43

UNIDAD 02

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)



2. NÚMEROS ENTEROS.

Los números enteros se pueden clasificar en:

Números enteros negativos Z - = 1;2;3......

El cero y Números enteros positivos Z+ = ;.........4;3;2;1

2.1. DIVISIBILIDAD. Un número entero A es divisible por otro numero entero positivo B si al

dividirlos, el cociente resulta exacto.

Si A B 0 k

entonces “A es divisible por B ó B es un divisor de A “ además,

por ser una división exacta se cumple que : A = B . k donde k es un

número entero , entonces también se dice que “ A es un múltiplo de B “

Ej.

1) ¿20 es divisible por 4?

Sí, porque: 20 4 0 5 luego, se cumple que : * 20 es divisible por 4. * 4 es un divisor de 20. * 4 es un factor de 20. * 20 es un múltiplo de 4. 2) ¿0 es divisible por 3? Sí es, porque: 0 3 0 0 luego, se cumple que : * 0 es divisible por 3. * 3 es un divisor de 0.

* 3 es un factor de 0. * 0 es un múltiplo de 3. 3) ¿- 42 es divisible por 7? Sí es, porque: - 42 7 0 - 6 luego, se cumple que : * - 42 es divisible por 7. * 7 es un divisor de – 42. * 7 es un factor de - 42. * - 42 es un múltiplo de 7. 4) 15 no es divisible por 0. (V) (F) Verdadero, porque por

definición el divisor debe ser diferente de cero.



5) 36 no es divisible por - 9 (V) (F) Verdadero, porque el divisor

debe ser positivo.

Ej. Hallar todos los divisores de: 8 y 18 D( 8 ) : 1 ; 2 ; 4 y 8 D( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18

2.2. MULTIPLICIDAD.

Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B, si se

cumple que A = B . K donde K es un número entero.

Ej. Responder las siguientes preguntas.

1) ¿15 es múltiplo de 3?

Sí, porque 15 = 3 5 y 5 es un número entero.

2) ¿- 12 es múltiplo de 4?

Sí, porque - 12 = 4 - 3 y - 3 es un número entero.

3) ¿Cero es múltiplo de 5?

Sí, porque 0 = 5 0 y 0 es un entero.

4) ¿5 es múltiplo de cero?

No, porque 5 = 0 K, no hay ningún número entero que multiplicado por cero nos de 5.

5) ¿8 es múltiplo de - 2?

No, porque por definición un número entero no puede ser múltiplo de un entero negativo.

Si un número A es múltiplo de B, su notación será:



A = B.K donde K es un número entero ó A = 0B y se leerá “A es

múltiplo de B “.

Ej. 1) 20 = 0

5 ó 20 = 5.K

2) 18 = 0

3 ó 18 = 3.K

3) 0 = 0

2 ó 0 = 2.K

donde , para todos los casos K = 0;1;2;3;4;………..

Ej. Hallar los múltiplos de 3 y de 5.

Eso se escribirá 3K y 5K, entonces:

M ( 3 ) : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ……..

M ( 5 ) : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; ………

Relación entre un múltiplo y un divisor:

Ej. Entre 24 y 6

múltiplo

24 6

divisor

Ej. Entre 9 y 27.

divisor

9 27

múltiplo



Cuando un número no es divisible por otro.

Si un número entero A no es divisible por otro número entero positivo B ,

entonces , eso se puede expresar de dos maneras :

A = 0

B + rd ó A = 0

B - re

Donde rd y re son los residuos por defecto y por exceso respectivamente de

la división de A entre B, además, recordar que:

rd + re = divisor

Ejemplo:

1) 15 no es divisible por 2 porque

15 2

1 7

Entonces:

15 = 0

2 + 1

ó 1 + 1 = 2

15 = 0

2 - 1


26 7

5 3

Entonces:

26 = 0

7 + 5

ó 5 + 2 = 7

15 = 0

7 - 2


23 5

3 4

Entonces:

23 = 0

5 + 3

ó 3 + 2 = 5

15 = 0

5 - 2


520 12

4 43

Entonces:

520 = 0

12 + 4

ó 4 + 8 = 12

520 = 0

12 - 8



PROPIEDADES:

1) La cantidad de divisores de un número es una cantidad limitada.

2) La cantidad de múltiplos de un número es una cantidad ilimitada.

3) El menor divisor de un número es la unidad y el mayor, el mismo número.

4) El cero es divisible por todo número entero positivo.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.

Divisibilidad por 2n.

Para que un número sea divisible por 2n, las últimas “n” cifras del número

debe ser divisible por 2n, o terminar en “n” ceros.

Divisibilidad por 21 = 2:

Para que un número sea divisible por 2, la última cifra del número debe ser

divisible por 2, o terminar en un cero.

Ejemplos.

a) 2 064 es divisible por 2 porque la última cifra del número es 4 y 4 es

divisible por 2.

b) 30 650 es divisible por 2 porque su última cifra, cero, es divisible por 2.

c) 357 no es divisible por 2 porque su última cifra 7 no es divisible por 2.

Divisibilidad por 22 = 4:

Para que un número sea divisible por 4, las dos últimas cifras del número debe

ser divisible por 4, o terminar en dos ceros.

Ejemplos.

a) 78 124 es divisible por 4 porque las dos últimas cifras del número es 24 y

24 es divisible por 4.

b) 30 600 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros, y cero es

divisible por 4.



c) 7 518 no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 18 no es divisible

por 4.

Divisibilidad por 23 = 8.

Para que un número sea divisible por 8, las tres últimas cifras del número

debe ser divisible por 8, o terminar en tres ceros.

Ejemplos.

a) 78 136 es divisible por 8 porque las tres últimas cifras del número es 136 y


b) 78 000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros, y cero

es divisible por 8.

c) 7 222 no es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras 222 no es

divisible por 8.

Divisibilidad por 5n.

Para que un número sea divisible por 5n, las “n” últimas cifras del número

debe de ser múltiplo de 5n, o terminar en “n” ceros.


Para que un número sea divisible por 5, la última cifra del número debe ser

múltiplo de 5, o terminar en un cero.

Ejemplos.

a) 2 060 es divisible por 5 porque la última cifra del número es 0 y 0 es

divisible por 5.

b) 30 685 es divisible por 5 porque su última cifra es 5 y 5 es divisible por 5.

c) 357 no es divisible por 5 porque su última cifra 7 no es divisible por 5,

además 7 = 05 + 2, entonces al dividir 357 entre 5, obtendremos como

residuo 2.




Para que un número sea divisible por 25, las dos últimas cifras del número

debe ser múltiplo de 25, o terminar en dos ceros.

Ejemplos.

a) 2 700 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras del número son

ceros.

b) 30 675 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras es 75 y 75 es

divisible por 25.

c) 257 088 no es divisible por 25 porque sus dos últimas cifras 88 no es

divisible por 25, además 88 = 0

25 + 13, entonces al dividir 257 088 entre

25, se obtendrá como residuo 13.

Divisibilidad por 3.

Un número será divisible por 3 cuando la suma de las cifras del número dé un

número que es divisible por 3.

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 3.

1) 2 358, 2 + 3 + 5 + 8 = 18 y 18 = 03 por lo tanto, si es divisible por 3.

2) 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 3.

Además, 13 = 03 + 1 lo que significa que al dividir 283 entre 3 el

residuo debe ser 1.

3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 3, además, 17 = 03 + 2 lo

que significa que al dividir 57 014 entre 3 , se obtiene como residuo 2.


Un número será divisible por 9 cuando la suma de las cifras del número nos

dé un número que es divisible por 9.

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 9.



1) 9 558, 9 + 5 + 5 + 8 = 27 y 27 =

0

9 por lo tanto, sÍ es divisible por 9.

2) 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 9, además 13 = 0

9 + 4 lo

que significa que al dividir 283 entre 9 el residuo es 4.

3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 9, además, 17 = 0

9 + 8 lo que significa que al dividir 57 014 ÷ 9, se obtiene como residuo 8.


Un numeral es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (de la

derecha hacia la izquierda) por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; …. y luego

realizar la suma, este resulte divisible entre 7, por ejemplo (0; ±7; ±14; ±21 …)

Ejemplos.

Verificar si los siguientes números son divisibles por 7 , en caso contrario

hallar su residuo1).

1) 3 738

8x1 + 3x3 + 7x2 - 3x1 = 28 y

28 = 07 , si es.

3) 99 148

8x1 + 4x3 + 1x2 - 9x1 - 9x3 = -14

y -14 = 07 , si es .

2) 35 266

6x1 + 6x3 + 2x2 - 5x1 - 3x3 = 14 y

14 = 07 , si es.

4) 264

4x1 + 6x3 + 2x2 = 26 y 26 = 07 + 5

no es , y su residuo es igual a 5


Para que un número sea divisible por 11, se debe de cumplir que la suma de

las cifras de lugar impar menos la suma de las cifras de lugar par, nos dé un

número que sea divisible por 11, por ejemplo (0; ±11; ±22; ±33;…)

a b c d e f g = 0

7 g + 3f + 2e – d – 3c – 2b + a = 0

7

1 2 3 1 2 3 1

+ +



Para el número:

Ejemplos: Verificar si los siguientes números son divisibles por 11.

1) 539

9 + 5 – 3 = 11 = 0

11 , entonces


4) 8 074

4 + 0 – 7 – 8 = -11 = 0

11 , entonces

8 074 es divisible por 11.

2) 5379

9 + 3 – 7 - 5 = 0 = 0

11 , entonces

5 379 es divisible por 11

5) 7 364

4 + 3 – 6 – 7 = -6 ≠ 0

11 , entonces

7 364 no es divisible por 11 ya que al dividir 7 364 entre 11 dejará como residuo por exceso 6 y por defecto será 5

7 364 = 0

11 - 6 = 0

11 + 5

3) 381 909

9 + 9 + 8 – 0 – 1 – 3 = 22 = 0

11 ,

Entonces 381 909 es 0

11

6) 579

9 + 5 – 7 = 7 ≠ 0

11 entonces 579 no es divisible por 11. El residuo por defecto es 7 y por exceso es 4.


Un número será divisible por 6, si es divisible por 2 y 3 a la vez.

Ejemplos.

a) 11 028 es divisible por 6 porque 11 028 es divisible por 2 y por 3 a la vez.

b) 3152 es divisible por 2, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible

por 6.

a b c d e f g

Lugares impares

Lugares pares

(g + e + c + a) – (f + d + b) = 0

11




Un número será divisible por 12, si es divisible por 3 y 4 a la vez

Ejemplos.

a) 11 028 es divisible por 12 porque 11 028 es divisible por 4 y por 3 a la vez.

b) 3152 es divisible por 4, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible por 12.


Un número será divisible por 10, si su última cifra es cero.

Ejemplos.

a) 11 720 es divisible por 10 por que 11 720 termina en cero.

b) 3102 no es divisible por 10, por que su última cifra no termina en cero.

PRÁCTICA

Marcar con un aspa (X), si el número N de la columna izquierda es divisible

por alguno de los números de la fila horizontal superior.

Número N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

324 X X X X X X

570

1 120

3 240

1 540

20 310

1 120

8 690

9 372 189



2.3. OTRA FORMA DE CLASIFICAR LOS NÚMEROS ENTEROS.

Los números enteros, también se pueden clasificar según la cantidad

de divisores que tenga el número como:

a) NÚMEROS SIMPLES.

Son aquellos que tienen uno o dos divisores como máximo.

Ej. Son números simples:

1) 1, D ( 1 ) : 1

2) 5, D ( 5 ) : 1 y 5

3) 11, D ( 11 ) : 1 y 11

b) NÚMEROS PRIMOS.

Son aquellos que tienen exactamente dos divisores, que son la

unidad y el mismo número.

Ej.

1) D( 2 ) : 1 y 2 , entonces 2 es primo.

2) D( 11 ) : 1 y 11 , entonces 11 es primo.

NOTA: “El menor número primo es 2”

c) NÚMEROS COMPUESTOS.

Son aquellos que tienen dos o más divisores.

Ej.

1) D (6): 1, 2, 3 y 6 entonces 6 es un número compuesto.

2) D (9): 1, 3 y 9 entonces 9 es un número compuesto.

NÚMEROS PRIMOS MENORES A 200.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 123, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, . . . .



1) ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 50?

Están los: 31; 37; 41; 43 y 47. Hay 5.

2) ¿Cuántos números primos menores a 23 existen?

Menores a 23 son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 y 19. Hay 8.

3) La suma de todos los números primos menores a 19 es 77.

(V) (F)

La suma de los números primos menores a 19 es:

2+3+5+7+11+13+17 = 58

2.4. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO

O NO.

1) Hallar la raíz cuadrada en forma aproximada del número.

2) Dividir al número entre todos los números primos menores a la

raíz hallada , si todos los cocientes resultan inexactos entonces el

número será primo, en caso que uno de los cocientes resulte exacto

entonces el número no será primo .

Ej. Verificar si 97 es primo.

Paso 1 : 97 9,…. es 9 y algo más , ese algo más , no se considera

y se trabaja con 9. A esto se refiere el método como “extraer

la raíz cuadrada en forma aproximada “.

Paso 2 : dividir a 97 entre los números primos menores a la raíz hallada : 2 ; 3 ; 5 y 7, en todos los casos , las divisiones son inexactas por lo que se concluye que 97 es primo .

Ej. Verificar si 163 es primo.

Paso 1 : 163 12,… es 12 y algo más, se trabaja sólo con 12.

Paso 2 : divide a 163 entre todos los números primos menores a 12 , que son : 2 , 3 , 5 , 7 y 11 , en todos los casos el cociente es inexacto por lo que concluye que 163 es primo .



Ej. 91 no es primo. (V) (F) Solución:

Paso 1 : 91 en forma aproximada es 9.

Paso 2 : Números primos menores a 9: 2; 3; 5 y 7. 91 es divisible por 7 por lo tanto, no es primo. Ej. 247 es primo. (V) (F) Solución:

Paso 1: 247 en forma aproximada es 15. Paso 2: Números primos menores a 15: 2; 3; 5; 11 y 13. 247 no es divisible por : 2 ; 3 ; 5 ; 7 y 11 pero sí es divisible por

13, entonces 247 no es primo. 2.5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI). Dos o más números son PESI si solo tienen como único divisor común

la unidad.

Ej. Verificar si 4 y 9 son PESI.

Solución. D (4): 1 ; 2 y 4 D (9): 1 ; 3 y 9 Como se puede observar, el único divisor común que tienen es la unidad,

por lo tanto , se concluye que 4 y 9 son PESI.

Ej. Verificar si 6; 14 y 25 son PESI.

Solución.

D (6) : 1 ; 2; 3 y 6.

D (14) : 1 ; 2; 7 y 14.

D (25) : 1 ; 5 y 25

Se puede observar que el único divisor común que tienen los tres números

es la unidad, por lo que se concluye que los 3 números son PESI.



Ej. 15; 12 y 18 son PESI. (V) (F)

Solución.

D ( 15 ) : 1 ; 3 ; 5 y 15. D ( 12 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 y 12. D ( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18. Como los tres números tienen 2 divisores comunes entonces no son PESI. 2.6. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES

PRIMOS O DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA.

Todo número se puede descomponer como producto de sus factores

primos, elevados a exponentes que son números enteros positivos.

Para un número N, descompuesto en sus factores primos, se tiene:

N = Aa x Bb x Cc x Dd

Donde A , B , C y D son los factores o divisores primos de N y a , b , c

y d , son los exponentes de los factores primos .

Ej. Descomponer en sus factores primos los números: 1) 90 2) 120

90 2 120 2

45 3 60 2

15 3 30 2

5 5 15 3

1 5 5

1

90 = 232

5 120 = 23

35



2.7. CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO N (CD(N)).

Para hallar la cantidad de divisores de un número, se hallará la

descomposición del número en sus factores primos.

Para la descomposición del número N = Adcba

DCB se cumple, que

la cantidad de divisores de N será :

CD ( N ) = 1111 dcba

donde: a ; b ; c y d son los exponentes de los factores primos del número.

También la cantidad de divisores se puede con las siguientes fórmulas:

CD = 1 + CDprimos + CDcompuestos

ó CD = CDsimples + CDcompuestos

Ej. ¿Cuántos divisores tiene 60? Solución.

Como 60 = 2 532

entonces CD (60) = 111112 = 12.

Ej. Hallar la cantidad de divisores de 1 008. Solución.

Como 1 008 = 24

32

7 entonces CD (1 008) = (4+1)(2+1)(1+1) = 30. SUMA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO N (SD (N)). Dada la descomposición de un número N en sus factores primos: N = Aa

BbCc

Dd , entonces :

SD (N) =1

11

1

11

1

11

1

11

D

dD

C

cC

B

bB

A

aA



Ej. Hallar la suma de todos los divisores de 60. Solución.

Como 60 = 22

35 entonces

SD (60) = 15

15

13

13

12

12223

x = 746 = 168.

Ej. Hallar la suma de todos los divisores de 504. Solución.

Como 504 = 23

32

7 entonces,

SD (504) = 17

17

13

13

12

12234

= 15137 = 1 365.

PROBLEMAS RESUELTOS. Problema 1. ¿Cuántos divisores primos tiene 700? Solución.

Descomponiendo 700 en sus factores primos se tiene que 700 = 22 5

2 7

y sus divisores primos serán: 2; 5 y 7 por lo que tendrá 3.

Problema 2. Hallar la suma de todos los divisores primos de 644. Solución.

Descomponiendo en sus factores primos se tiene que 644 =22

7

23 entonces la suma de sus divisores primos será 2+7+23 = 32.

Problema 3. ¿Cuántos divisores pares tiene 252? Solución.

Los números pares se caracterizar por ser divisibles por 2, por lo tanto

de la descomposición del número en sus factores primos, se extrae el factor 2.

.252 = 2 7322 = 2 732

2 , entonces,

CD pares = 111211 = 12



Problema 4. ¿Cuántos divisores impares tiene 360? Solución.

Como los números pares se caracterizan por ser múltiplos de 2 entonces

de la descomposición de 360 en sus factores primos, se va a eliminar el

factor 2 elevado a su mayor exponente , de esta manera los divisores que

resulten serán divisibles por cualquier otro número , menos por 2 .

360 = 2 5323 = 2

3

( 32

5) entonces la cantidad de divisores

impares será igual a la cantidad de divisores del número que está entre

paréntesis .

CD( 360 )

impares = (2+1)(1+1) = 6 .

Problema 5. ¿Cuántos divisores impares tiene 1404?

Solución. 1404 = 22 3

3 13 = 2

2

(33 13), entonces CD

impares= (3+1)(1+1)= 8.

PROBLEMAS PROPUESTOS. 1. De las siguientes afirmaciones :

I 3 es divisor de - 18

II - 4 es un divisor de 12

III 20 es un divisor de 5

IV 72 es un múltiplo de 9

V 4 es un múltiplo de 12

VI 8 no es múltiplo de cero

¿Cuáles son falsas?

A) I, III y VI B) II, III y V C) III y V D) II y III E) III , V y VI

2. Del siguiente grupo de números : 53 ; 91 ; 187 ; 209 ; 163 y 71 ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor número primo? A) 118 B) 134 C) 72 D)110

3. Calcular la suma de los números primos comprendidos entre 40 y 50. A)84 B)90 C)93 D)131 E)120



4. Calcular la suma de todos los divisores primos de 120. A) 3 B) 16 C) 10 D) 8 E)12

5. ¿Cuántos divisores no primos tiene 24? A) 1 B) 2 C) 8 D) 6 E) 4

2.8. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD).

De un grupo de números enteros, el MCD de éstos es el mayor de

los divisores comunes.

Ej. Hallar el MCD de 12 y 18.

D( 12 ): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 D( 18) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 El mayor de los divisores comunes es 6, por lo tanto, el MCD = 6.

Si se hallan los divisores del MCD, D(6): 1;2;3;6 y justamente éstos son

los divisores comunes de 12 y 18 , por lo tanto, los divisores comunes de

un grupo de números son los divisores del MCD.

Los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del

MCD de dichos números.

Propiedades:

1) El MCD está contenido en los números.

2) De un grupo de números, cada uno de ellos, es un múltiplo del MCD.



2.9. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM). De un grupo de números, el MCM, es el menor de los múltiplos comunes. Ej. Hallar el MCM de 4 y 6. M ( 4 ) : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ;….. M ( 6 ) : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ,…………. Se ve que de todos los múltiplos comunes , el menor de todos es 12 ,

por lo tanto el MCM ( 4 y 6 ) = 12 .

Si se hallan los múltiplos del MCM, se tendrá, M ( 12 ) = 12 , 24 , 36 , …

que justamente son los múltiplos comunes , entonces , los múltiplos

comunes de un grupo de números son los múltiplos del MCM de dichos

números .

Métodos para calcular el MCD y MCM. 1) Por descomposición simultanea.

Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 24.

18 - 24 2 18 - 24 2 9 12 3 9 12 3 3 4 3 4 3 1 4 4 1 1 mcd = 23= 6 mcm = 2334= 72 2) Por descomposición de los números en sus factores primos.

El MCD será igual al producto de los factores primos comunes ,

elevados a su menor exponente , y el MCM será igual al producto de

los factores primos comunes y no comunes , elevados a su mayor

exponente.

Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 60.

Descomponiendo los números en sus factores primos, se tiene:

18 = 2x32

y 60 = 2 532

. Luego se aplica la propiedad.



MCD = 2x3 = 6 y MCM = 2 52

32

= 180.

3) Por divisiones sucesivas.

Este método sólo se aplicará para calcular el MCD de dos números.

Ej. Calcular el MCD de 144 y 56.

MCD=8

Ej. Calcular el MCD de 480 y 572.

MCD = 4. Propiedades.

1) El producto de dos números es igual al producto de su MCM por su

MCD.

Ej. Para los números 6 y 9 su MCD = 3 y su MCM = 18 entonces

se cumple que 6 9 es igual que 3 x 18.

2) Si dos números son PESI, su MCD es igual a 1 y su MCM es igual

al producto de dichos números .

Ej. Los números 4 y 9 son PESI por lo tanto su MCD = 1 y su

MCM = 4 x 9 = 36.

3) Si un número está contenido dentro de otro entonces el MCD de

dichos números será el menor de los números.

Ej. Para los números 12 y 48. El MCD = 12 y 12 es justamente el

menor de los números.

Cocientes 2 1 1 3

144 56 32 24 8

residuos 32 24 8 0

cocientes

1

5

4

1

1

2

572 480

92

20

12

8

4

residuos

92

20

12

8

4

0



4) Si un grupo de números es multiplicado o dividido por una cantidad

entonces su MCD ó MCM también quedará multiplicado o

dividido por esta misma cantidad.

Ej. Para los números 8; 12 y 20 su MCD = 4 y su MCM = 120.

Si a los números se dividen entre 2 se tendrá 4; 6 y 10 y su nuevo

MCD será igual a 2 y su MCM = 60.

5) Si un número N es:

a0

N b0

c0

entonces N = mcm( a ; b ; c ) , ó si :

a0

r

N b0

r

c0

r

entonces N = mcm( a ; b ; c ) r Ej. Si un número N es divisible por 2; 3 y 4 entonces ¿Por cuánto es

divisible?

Solución.

Por propiedad, N = 0

)4;3;2(MCM = 0

12

Ej.

¿Cuál es el menor número que es: 30

+2; 70

- 5 y 60

- 4?

Solución.

Ese número N que se busca debe de ser:



0

3 + 2

N 70

- 5 = 70

+ 2

60

- 4 = 60

+ 2

Por lo tanto, por propiedad se sabe que:

N = 3;7;6mcm0

+ 2 = 420

+ 2,

como se pide el menor valor, este sería 44.

PROBLEMAS RESUELTOS. Problema 1.

¿Cuántos divisores comunes tienen: 14, 28 y 42?

Solución.

Por teoría, se sabe que la cantidad de divisores comunes de un grupo

de números es igual a la cantidad de divisores del MCD de dichos

números.

Por lo tanto, MCD (14; 28; 42) = 14

D (14): 1, 2, 7 y 14 Entonces tendrán 4 divisores comunes. Problema 2.

¿Cuál es la menor longitud que debe tener un tubo de acero , si se

desea obtener un número exacto de pedazos de : 24 , 15 ó 12 cm ?

Solución.

La longitud del tubo debe ser un múltiplo de cada u no de los pedazos

para obtener una cantidad exacta de cada uno. De todos los múltiplos

comunes queremos el menor.

Longitud del tubo = MCM ( 24 ; 15 ; 12 ) = 120 cm.



Problema 3.

¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarios para

construir un cuadrado?

Solución. Sea X el valor de la medida del lado del cuadrado.

X X De la figura, se observa que la medida de x debe ser un múltiplo común

de 34 y de 18, pero de todos los múltiplos comunes se necesita el menor

porque se quiere emplear la menor cantidad de losetas, por eso es que :

X = mcm (34; 18) = 306

La cantidad de losetas es igual a:

34

306 x

18

306 = 153

Problema 4.

De una plancha de metal de 96 m de largo y 72 m de ancho, se desea

obtener el menor número de pedazos de forma cuadrada, sin que sobre

material. ¿Cuántos pedazos se obtendrán?

Solución. Sea X: longitud del lado del pedazo de forma cuadrada.

96 cm 72 cm Para dividir la plancha en pedazos de forma cuadrada, el valor de X debe

de ser un divisor común de 96 y 72. Como se quiere la menor cantidad

34cm

18 cm

X

X



de pedazos entonces el valor de X debe de ser el mayor posible, por

esto que :

X = MCD (96; 72) = 24 cm El número de pedazos que se obtendrán será:

# pedazos = 24

96 x

24

72 = 4 x 3 = 12

Problema 5 Tres ciclistas A, B y C parten juntos desde un mismo punto en una pista

circular con velocidades constantes. A da una vuelta en 3 min. , B en 3 min. y

medio , y C en 4 min.. Cuando los tres se junten nuevamente, ¿Cuántas

vueltas habrá dado el ciclista A ?

Solución.

Transformando las medidas a segundos A : 3 min = 180 s B : 3 min y medio = 210 s C : 4 min = 240 s El tiempo que debe transcurrir para que un ciclista vuelva a pasar nuevamente por el punto de partida será un múltiplo de los tiempos empleado en dar una vuelta . Para que los tres ciclistas vuelvan a pasar por el punto de partida , el tiempo a transcurrir será un múltiplo común de los 3 tiempos dados . # vueltas que habrá dado el

ciclista A = 180

5040 = 28.

PARTIDA



PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I

1. A una fiesta asistieron 400 personas entre hombres y mujeres. De las

mujeres, se conoce que la sexta parte tiene cabello largo, los 3/8 usan

aretes y que los 5/11 son rubias. ¿Cuántos varones asistieron a la

reunión?

a) 118 b) 132 c) 136 d) 164 e) 220

2. ¿Cuántos múltiplos de 7 existen entre 180 y 300?

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

3. Hallar el mayor de 2 números tales que su M.C.D. sea 36 y su M.C.M.

sea 5148

a) 143 b) 396 c) 468 d) 684 e) 639

4. Si x2x.53N , tiene 15 divisores, hallar N.

a) 2000 b) 2075 c) 3196 d) 2025 e) 2184

5. Si 5.412By12.45A nn , hallar “n” para que su MCM presente 90

divisores.

a) 5 b) 2 c) 8 d) 6 e) 3

6. En una Institución Educativa se cuentan menos de 700 estudiantes pero

más de 600. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en

12, siempre sobran 5; pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguno.

¿Cuántos alumnos eran?

a) 600 b) 605 c) 660 d) 671 e) 796

7. En una fábrica laboran 150 personas y repartidas en dos turnos, de día y

de noche. Si los que trabajan de día se les agrupara de 10 en 10, de 12

en 12 o de 20 en 20, siempre sobrarían 6, pero si se les agrupara de 18

en 18 no sobraría ninguno. ¿Cuántas personas trabajan en el turno de la

noche?



a) 20 b) 24 c) 32 d) 126 e) 36

8. El número de páginas de un libro está comprendido entre 400 y 500. Si

se cuentan de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y

de 7 en 7 sobran 6. ¿Calcular el número de páginas del libro?

a) 417 b) 419 c) 420 d) 463 e) 472

9. ¿Cuál es la menor capacidad de un depósito que se puede llenar con

tres caños que vierten 24; 42 y 15 litros por minuto?

a) 420 l b) 480 l c) 640 l d) 840 l e) 960 l

10. ¿Cuál es el menor número de trozos que se puede obtener dividiendo 3

varillas de medidas: 540 cm; 480 cm y 360 cm, sin desperdiciar material.

a) 60 b) 23 c) 24 d) 12 e) 30

11. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadrados de igual medida en que

podemos dividir un terreno de forma rectangular cuyo largo mide 1680 m

y su ancho 700 m?

a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 90

12. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencia de 42 s y 54 s. Si

a las 20 h 15 min se encienden simultáneamente, ¿A qué hora volverán

a encenderse nuevamente juntos?

a) 21 h b) 20 h 21 s c) 21h 18 s d) 22 h e) 20 h 21 min 18s

13. Si se tiene que llenar 4 cilindros de 72; 24; 56 y 120 litros de capacidad,

¿Cuál es la máxima capacidad de un balde que permite llenarlos

exactamente?

a) 8 l b) 15 l c) 17 l d) 4,5 l e) 9 l

14. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son: 24 cm de largo, 12 cm de

ancho y 10 cm de altura. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios para formar

el menor cubo compacto?



a) 600 b) 400 c) 550 d) 580 e) 500

15. Una caja mide 82 cm de largo, 46 cm de ancho y 32 cm de alto; esta caja

se quiere llenar de cajitas cúbicas y de la mayor arista posible, ¿Cuántas

cajitas cúbicas entrarían?

a) 30 176 b) 15 088 c) 16 745 d) 13 272 e) 15 176

16. ¿Cuál es la menor cantidad de losetas cuadradas, sin partir ninguna, se

necesita para cubrir un patio cuyo largo mide 744 cm y el ancho 528 cm?

a) 745 b) 826 c) 682 d) 724 e) 842



PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II

1. Hallar la suma de las cifras del menor número que tenga como

divisores: 4; 9 y 12.

A) 6 B) 8 C) 10 D) 9 E) 5

2. El MCM de dos números es 48. Si el producto de los mismos es 864.

¿Cuál es su MCD?

A) 20 B) 15 C) 25 D) 18 E) 9

3. Un número A es el triple de otro B y su MCD es igual a 27. Hallar la

suma de A más B.

A) 27 B) 71 C) 89 D)108 E) 40

4. El MCD de los números 36K; 54K y 90K es 1620. Hallar el menor de los

números.

A) 900 B) 720 C)3 600 D)3 240 E) 2 400

5. Se tiene 3 varillas de cobre cuyas longitudes son 3 780; 3 360 y 2 520

cm. Se quiere dividirlas en trozos de igual medida y de la mayor

longitud posible, ¿Cuántos cortes fueron necesarios hacer en la varilla

de menor longitud.

A) 6 B) 5 C) 4 D) 420 E) 8

6. Calcular el menor número de cuadrados iguales en las que se puede

dividir una plancha de madera rectangular de dimensiones 360 cm por

210 cm.

A) 30 B)19 C) 84 D) 48 E) 30

7. Se quiere llenar 4 cilindros de capacidades: 50; 75; 100 y 80 litros

respectivamente. ¿Cuál será la mayor capacidad que puede tener un

balde de tal manera que pueda llenar los cilindros en una cantidad

exacta de veces?



A)10 lt B)5 lt C)8 lt D)25lt E) 12 lt

8. Un terreno rectangular de medidas 255m por 225 m se quiere dividir en

el menor número de parcelas cuadradas e iguales. Si se va a colocar

una estaca en cada vértice de las parcelas, ¿Cuántas estacas se

necesitarán?

A) 255 B) 288 C) 300 D) 260 E) 280

9. Se tiene 90 galletas, 54 chocolates y 150 bombones. Se desea

envasarlas en la menor cantidad de bolsas y que contengan la misma

cantidad de cada artículo. ¿Cuántas bolsas más habrá de bombones

que de chocolates?

A) 16 B) 6 C) 9 D) 25 E) 34

10. En un taller de carpintería, el total de los salarios es S/ 525 y en otro S/

810, recibiendo cada trabajador el mismo salario. ¿Cuántos

trabajadores hay en cada taller si el salario es el mayor posible?

A) 45 y 35 B) 54 y 53 C)15 y 35 D) 54 y 35 E) 30 y 40



UNIDAD 03

NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES



3. FRACCIÓN.

3.1. FRACCIÓN: Elementos.

Se llama fracción a un número racional a/b donde: a Z, b Z, b 0, å b

- Numero racional (Q) es aquel que se puede expresar como el cociente de

dos números enteros con denominador diferente de cero.

- Una fracción racional también se llama quebrado, número fraccionario o

fracción.

- Toda fracción tiene 3 signos.

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES:

El numerador indica las partes iguales que se han tomado de la unidad.

El denominador indica el total de partes en que se ha divido a la unidad.

S = ¼ S =

10

3

b

aFracción =

Numerador Denominador



Ejemplo Aplicativo: Del gráfico que se muestra: a) ¿Qué fracción es la parte sombreada?

Fsombrada= Total

sombrada.Parte Fsombrada=

k8

k3 =

8

3

b) ¿Qué fracción es la parte no sombreada?

Fno sombrada= Total

sombrada.no.Parte Fno sombrada=

k8

k5 =

8

5

c) ¿Que fracción es la parte sombreada de la no sombreada?

Fsombrada de la no sombrada = sombrada.no.Parte

sombrada.Parte Fsombrada=

k5

k3 =

5

3

d) ¿Que fracción de la sombreada es la parte no somberada?

Fno sombrada de la sombrada = sombrada.Parte

sombrada.no.Parte Fsombrada=

k3

k5 =

3

5

S = 4

5 S = 1/12

k

k

k

k k

k

k

k Parte sombreada = 3k

Parte no sombrada = 5k

Total = 8k

denominador

denominador



3.2. CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES.

1) POR COMPARACION DE SUS TÉRMINOS. .

Fraccion Propia: el numerador es menor de que el denominador. El valor

de una fracción propia es menor que la unidad.

ba1b

a Ejemplos: ,...

3

2,

23

17,

7

5,

3

1

Fracción Impropia:. El numerador es mayor de que el denominador. El

valor de una fracción propia es mayor que la unidad.

ba1b

a Ejemplos: ,...

3

11,

9

14,

3

4,

2

7

2) POR SUS DENOMINADORES.

Fracción Ordinaria ó común: Es aquella cuyo denominador es diferente

a una potencia de 10.

b

a= es ordinaria, si: b 10

n ,...

23

52,

25

17,

7

5,

5

1

Fracción Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.

b

a= es decimal, si: b = 10

n ,...

10000

57,

1000

12,

100

5,

10

1

3) DE ACUERDO A LA COMPARACIÓN DE LOS DENOMINADORES DE VARIAS FRACCIONES.

Fracciones Homogéneas: Igual denominador.

,...3

2,

3

17,

3

5,

3

1

Fracciones Heterogéneas: Diferente denominador.

,...3

1,

9

4,

5

4,

2

7



4) DE ACUERDO A LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS.

Fracción irreductible. b

a= es irreducible, si a y b son PESI.

Fracción reductible. b

a= es reductible, si a y b tiene divisores

comunes a parte de la unidad. 5) FRACCIÓN EQUIVALENTE. Son aquellas fracciones que tiene el mismo

valor pero sus términos son diferentes. Su representación gráfica es por

ejemplo:

3.3. CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA A NÚMERO MIXTO Y DE UN NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN IMPROPIA.

De Fracción a número mixto: b

a =

b

pn ; donde ; p < b

Ejemplo: convertir 5

17 a número mixto

Primero dividir 17 entre 5.

2

1

4

2

6

3

8

4

17 5

2 3 Parte Entera

denominador

numerador 5

23



De un número mixto a fracción:

nb

pbn

b

p

. =

b

a (Fracción Impropia) ; p < b

Ejemplo: convertir 5

23

a fracción.

3.4. MCM Y MCD DE FRACCIONES.

MCD );;(

);;(;;

fdbMCM

ecaMCD

f

e

d

c

b

a

MCM );;(

);;(;;

fdbMCD

ecaMCM

f

e

d

c

b

a

Nota: donde las fracciones

f

e;

d

c;

b

a, deben ser fracciones irreductible “si no lo

son, se tienen que simplificar”. Ejemplo: Hallar el MCD y el MCM de 6/21 y 15/20. 1º. Simplificar 6/21 y 15/20, hasta obtener fracciones irreductibles, se obtiene

2/7 y 3/4.

2º. Hallar el MCD y el MCM de las fracciones ya simplificadas:

MCD 28

1

)4;7(MCM

)3;2(MCD

4

3;

7

2

MCM 61

6

)4;7(MCD

)3;2(MCM

4

3;

7

2

x

= +

5

23

5

17



3.5. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. Simplificar una fracción significa transformarla en otra EQUIVALENTE y, a la

vez, IRREDUCTIBLE.

Al simplificar una fracción hasta hacerla irreductible, es cuando a sus términos

(numerador y denominador) se dividen entre su MCD.

Ejemplo: ¿Simplificar la fracción 24/180? Solución:

1º Forma: Dividir sucesivamente los términos de la fracción por los divisores

comunes hasta lograr una fracción irreducible.

Pasos: Dividir ambos términos por 2, nuevamente por 2 y sigue por 3.

2º Forma: Dividir al numerador y denominador entre su MCD:

15

2

12180

1224

)180;24(MCD180

)180;24(MCD24

180

24

3.5.1. PROPIEDADES:

1.

Ejemplo:

Simplificar: 777

333

777

333 =

7

3

Porque: 777

333=

1117

1113

=

7

3

180

2412

90

6

45

2

2

15

= 15

b

a

bbb

aaa



2.

Ejemplo:

Simplificar: 3737

1212

3737

1212 =

37

12

Porque: 3737

1212 =

10137

10112

; se elimina 101 y queda

37

12

3.6. FRACCIONES EQUIVALENTES.

Cuando los dos o más fracciones representan un mismo valor.

....20

8

30

12

10

4

5

2

....3,2,1k,bk

ak

b

a donde

3.7. HOMOGENIZACIÓN DE DENOMINADORES DE FRACCIONES.

Para reducir varias fracciones al mínimo común denominador:

1. Reducir a su más simple expresión.

2. Calcular el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores.

3. Dividir el M.C.M. por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido

se multiplica con cada numerador correspondiente.

Ejemplo: Homogenizar los denominadores de las fracciones: 6

4 ;

10

5 ;

8

6

Solución: Para homogenizar, reducir dichas fracciones a su más simple expresión:

6

4;

10

5 ;

8

6 ; < >

3

2 ;

2

1 ;

4

3

cd

ab

cdcd

abab



Ahora, se calcula el M.C.M. de los denominadores: M.C.M. (3, 2, 4) = 12.

Luego, se divide el M.C.M. entre cada uno de sus denominadores, el resultado

de cada uno se multiplica por sus numeradores correspondiente, obteniendo:

12

8 ;

12

6 ;

12

9

Esquemáticamente:

3.8. COMPARACIÓN DE FRACCIONES.

Al comparar dos fracciones de diferentes signos, mayor es la fracción

positiva y menor la fracción negativa.

Ejemplo: 7

2>

2

3

Al comparar dos o más fracciones positivas de igual denominador, será

mayor el que tenga mayor numerador y el menor será el que tenga menor

numerador.

Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:

3

1 ;

3

8 ;

3

7 ;

3

2

Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene: 3

8 ;

3

7 ;

3

2 ;

3

1

Al comparar dos o más fracciones positivas de igual numerador, será

mayor el que tenga menor denominador y el menor será el que tenga mayor

denominador.


13

7 ;

9

7 ;

2

7 ;

3

7

Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene: 2

7 ;

3

7 ;

9

7 ;

13

7

12

9 ;

12

6 ;

12

8

4

3 ;

2

1 ;

3

2

MCM (3, 2, 4 ) = 12



Al comparar dos o más fracciones de diferentes denominadores se

procederá a homogenizar los denominadores y se luego se procederá como

en el caso anterior.


6

5 ;

9

1 ;

2

3 ;

3

7

Solución: Primero se homogenizan denominadores (MCM).

Ordenando de menor a mayor se obtiene:

18

81 ;

18

42 ;

18

27 ;

18

15 que son las fracciones equivalentes a

9

1 ;

3

7 ;

2

3 ;

6

5 respectivamente.

Al comparar dos fracciones de diferentes denominadores se procederá

realizando el producto cruzado. Y se comparan los productos obtenidos.

Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:9

7 y

8

5

Solución:

Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:8

5 y

5

4

Solución:

MCM (3, 2, 9, 6) = 18 6

5 ;

9

1 ;

2

3 ;

3

7

18

15 ;

18

81 ;

18

27 ;

18

42

Fracciones

Equivalentes

Fracciones

Homogéneas

8

5

9

7

56 45 > Entonces

8

5

9

7>

25 32 < Entonces

< 8

5

5

4

8

5

5

4



EJERCICIOS NIVEL I

1. Completar:

24

8

3 h.

32

4

1 g.

12

16

3 f.

128

8

5

16

3 d.

8

1 c.

32

8

5 b.

.e

64

8

16

12

4

3.a

2. Reducir a un mismo denominador (homogenizar denominadores):

Respuesta 4

1 ;

16

5 ;

Respuesta 4

3 ;

Respuesta 8

5 ;

8

3.c

2

1.b

8

5;

8

2

4

1.a

3. Completar los espacios vacíos adecuadamente:

a) Dadas varias fracciones de igual denominador es mayor la que

tiene…......................…......... numerador

b) Dadas varias fracciones de igual numerador, es mayor la que

tiene…........................…......denominador

4. Colocar los signos > ó < como en los ejemplos: a. 5/8 < 7/8 b. 3/8 1/ 8 c. 3/4 5/4 d. 1/4 5/4

e. 3/7 < 3/5 f. 1/2 1/3 g. 2/5 > 2/7 h. 4/5 4/6 5. Reducir a un mismo denominador las siguientes fracciones; y colocarlas en

el orden solicitado:

3/4 ; 5/8 ; 1/16; 3/8 --- < ---- < ----- ---- (Orden Creciente)

4/5 ; 2/3 ; 7/12 ; 3/4 --- >---- > ---- > ----(Orden decreciente)

6. Completar los espacios en blanco:



a. Simplificar una fracción es encontrar otra cuyos términos

sean…................................. que los de la primera.

b. Para simplificar una fracción basta dividir ambos términos por un mismo

número diferente de cero y diferente de

….................................................................

c. Cuando el numerador y denominador son primos entre sí, una fracción

…...................... ser simplificada.

d. La fracción propia con denominador 64, tendrá como mayor numerador

posible …...........................................

e. Las fracciones de términos diferentes, que representan un mismo número,

son llamadas fracciones …............................................

A continuación se puede comparar las respuestas.

4. b. > c < d. < f. < h. >

5. a. 1/16 < 6/16 <10/16 < 12/16 R. 1/16 < 3/8 <5/8 < 3/4

b. 48/60 > 45/60 > 40/60 > 35/60 R. 4/5 >3/4 > 2/3 > 7/12

6. a. más simples b. uno. c. no puede d. 63 e. equivalentes

7. Reducir a su menor expresión, las siguientes fracciones (simplificar):

4

2=

128

96 =

64

48=

16

8=

15

12=

128

120=

32

24=

20

15=

9

6=

128

100=

32

4 =

18

15=

8

40=

64

60=

100

25=



8. Colocar falso (F) o verdadero (V) a. 4/5 > 3/5 ( ) b. 3 > 15/3 ( ) c. 2/5 < 3/7 ( ) d 1/3 < 34/72 ( ) e. 2/5 > 2/7 ( ) d. 7/8 > 6/7 ( )

9. Completar las siguientes clases de equivalencias, hasta con cinco

elementos (cinco fracciones equivalentes):

a. 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12 b. 2/3 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----- c. 3/8 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----- d. 3/4 = ----- = ----- = ----- = ----- = -----

Tratar de corregir 7, 8, 9 con las respuestas siguientes: 7. =1/2 = 3/4 = 3/4 =1/2 = 4/5 =60/64 =3/4 = 3/4 = 2/3 =25/32 = 1/8 =5/6 =5 = 15/16 = ¼ 8. a. (V) b. (F) c. (V) d. (V) e . (V) 9. a) 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12

b) 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 12/18

c) 3/8 = 6/16 = 9/24 = 12/32 = 15/40 = 18/48

d) 3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/16 = 15/20 = 18/24

10. Marcar con (X) las fracciones irreductibles:

2/3 ( X ) 3/5 ( ) 4/8 ( ) 4/6 ( ) 7/8 ( ) 5/6 ( X ) 1/3 ( ) 6/2 ( ) 4/12 ( ) 9/10( )



EJERCICIOS PROPUESTOS NIVEL II

1. Distribuir en el cuadro las fracciones en orden creciente: a. 1/4; 1/32; 1/16; 1/128; 1/2;1/8;1/64 b 15/16; 5/16; 11/16; 9/16; 1/16;3/16;7/16 c. 3/4; 5/16; 7/8; 1/2; 15/32; 5/64; 1/128

A

B

C

2. Al simplificar una fracción se obtuvo 1/7. Sabiendo que la suma de los

términos es 40, Calcular la diferencia de los mismos.

A.30 B.15 C.8 D.1 E.13

3. ¿Cuántas fracciones propias tienen denominador 32 y son mayores que

1/6?

A.3 B.15 C 2 D. 4 E.13

4. ¿Cuántas son las fracciones irreductibles con denominador 10

comprendidos entre 1/2 y 4/3?

A.30 B.5 C 8 D. 4 E.13

5. ¿Cuántas fracciones propias y irreductibles de denominador 720 existen? A.192 B.13 C.24 D.15 E.2

6. ¿Qué fracción representa el área no sombreada?

A. 5/7 B.3/4 C.4/7 D.3 E.1/4



7. Simplificar las fracciones:

9240 / 6930 y 4158 / 43 68

Rpta: 4/3; 99/104 8. Un cartero dejo en una oficina 1/6 de las cartas que llevaba; en un banco;

2/9 del resto y todavía tiene 70 cartas para repartir. ¿Cuántas cartas le

dieron para repartir?

A. 10 B.108 C.23 D.25 E.19

9. Una piscina está llena hasta sus 2/3 partes. Si sacara 2100 litros quedará

llena hasta sus 3/8 ¿Cuánto falta para llenarla?

A. 2400 B.2700 C.234 D.1235 E. 1300

10. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Se extrae 15 litros

de mezcla ¿Cuántos litros de leche salen?

A.13 B. 15 C. 10 D.14 E.5

11. Qué fracción representa el área sombreada en el cuadrado?

A. 5/16 B. 3/13 C.1/5 D. 3/5 E. 2/3



UNIDAD 04

FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN



4.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES: a) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEA. Observar el siguiente gráfico:

Para sumar o restar fracciones homogéneas se procede operando los

numeradores y se escribe el mismo denominador:

Ejemplo:

Efectuar: 13

9

13

37258

13

3

13

7

13

2

13

5

13

8

Si son números mixtos, se opera la parte entera y después la parte fraccionaria.

Ejemplo:

Efectuar: 13

17

13

5271483

13

54

13

2

13

78

13

13

b) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS. Para sumar o restar fracciones de diferentes denominadores se busca

transformarlas a otras equivalentes, de tal forman que todas tengan el mismo

denominador y se procede de la forma anteriormente vista.

Considerando los siguientes casos:

La parte sombreada es:

6

4

6

3

6

1

6

3

6

1

b

dca

b

d

b

c

b

a

c

gebfda

c

gf

c

ed

c

ba



1. DENOMINADORES MÚLTIPLOS DE OTROS. Ejemplo 1. Efectuar: Ejemplo 2. Efectuar:

12

28

12

14115

12

14

12

1

12

15

26

27

12

1

34

35

6

7

12

1

4

5

2. MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM).

Se seguirá el siguiente procedimiento:

Primero: Hallar el MCM de los denominadores y se escribe como DENOMINADOR

del resultado.

Segundo: Dividir el MCM por cada denominador y el cociente se multiplica por cada

numerador; luego efectuar la suma de estos resultados.

Ejemplo 1. Efectuar:

3. REGLA DE PRODUCTO CRUZADO. Regla práctica para operar con dos fracciones de términos pequeños. Ejemplo 1. Efectuar: Ejemplo 2: Efectuar

Multiplicar por un factor a ambos términos de la

fracción, tal que los denominadores sean iguales.

8

1

8

643

8

6

8

4

8

3

24

23

42

41

8

3

4

3

2

1

8

3

¡Fracciones Equivalentes!

24

13

240

130

240

569096

30

7

8

3

5

2

MCM(5;8;30) = 240

=

40

2524

85

5583

8

5

5

3

17

3

7

2

7

2

17

334 21

119

13



EJERCICIOS I. Resolver con el método de “Denominadores múltiplos de otros”.

a) 12

5

6

7 b)

10

3

60

7

c) 3

1

5

2

45

41 d)

16

7

8

5

4

3

2

1

II. Resolver con el método de “Mínimo Común Múltiplo”.

a) 5

4

4

1

2

1

10

3

b) 5

1

4

1

3

1

2

1

c) 8

7

6

5

4

3

III. Resuelve con el método de “Producto Cruzado”.

a) 3

2

9

5 b)

5

3

3

5 c)

2

9

7

5

d) 3

1

2

1 e)

2

1

8

3 f)

12

1

13

1



4.2. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES:

Se tiene que tener en cuenta que primero se resuelven las operaciones que se

encuentran al interior de los signos de agrupación.

Ejemplo: resolver la siguiente operación:

También, se puede resolver eliminando primero los signos de agrupación.

60

87

60

2012153040

3

1

5

1

4

1

2

1

3

2

3

1

5

1

4

1

2

1

3

2

3

1

5

1

4

1

2

1

3

2

EJERCICIO

Efectuar las siguientes operaciones combinadas de adición y sustracción.

1.

5

1

2

1

5

1

7

2

6

1 =

2.

2

3

5

21

3

2

6

12

5

13 =

3.

7

11

2

5

3

1

2

12

7

11 =

4.

6

5

2

1

4

3

8

3

6

5

3

1 =

5.

2

4

3

7

52

7

5

2

1 =

60

87

60

47

3

2

3

1

20

1

2

1

3

2

3

1

5

1

4

1

2

1

3

2



4.3. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE FRACCIONES:

Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los

denominadores entre sí.

db

ca

d

c

b

a

Ejemplos:

a) 63

10

79

25

7

2

9

5

b)

Para elevar una fracción a cualquier potencia, se eleva cada uno de los términos

de la fracción, al exponente indicado.

n

nn

b

a

b

a

Ejemplos:

a) 49

4

7

2

7

22

22

b)

81

1

3

1

3

14

44

EJERCICIO

1. Escribir en el casillero en blanco el producto de las fracciones que se indican:

X 5

3 4

1 7

5 3

2 9

4

21

57

76 7

4

21

2. Multiplicar:

35

2

7109

362

7

3

10

6

9

2

3

3 5



a) 53

12 =

3

355

3

7 b)

3

254 c)

5

11

4

13

d) 4

15

3

2 e)

2

12

5

3 f)

3

11

2

11

3. Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas:

n

b

a

Al cuadrado Al cubo A la cuarta

2

1

8

1

2

3

5

2

5

3

4. La palabra “de”, “del", “de los” es una orden que indica que se debe multiplicar.

Teniendo en cuenta este criterio, resolver los siguientes problemas:

a) Hallar los 3/5 de 20 b) ¿Hallar la mitad de los 2/3 de 24?

c) ¿Hallar lo 2/7 de los 7/8 de los 5/2 de 400 soles?

d) ¿Hallar los 2/9 de la mitad de 45 kg?.

e) ¿Los 3/5 de que número es 120?

f) ¿La mitad de 80 es los ¾ de los 2/3 de que número?

4.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES.

Para dividir fracciones, se multiplica a la fracción dividendo por la fracción divisor

invertida.

Ejemplo:

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

Fracción inversa



a) 9

8

33

42

3

4

3

2

4

3

5

2

b)

2

1

143

37

14

3

3

7

3

14

3

12

Una división de fracciones también se puede presentar como una fracción de

fracción:

cb

da

d

cb

a

Ejemplo:

a) 16

7

224

37

3

224

7

b)

5

7

120

47

4120

7

EJERCICIOS 1. Escribir en el casillero en blanco el cociente de las fracciones que se indican:

53

41

75

32

94

21

57

76 7

9

2. Escribir la expresión más simple equivalente a:

a)

4

13

1

2

1

= b)

23

14

5

2

4

34

1

5

1

c)

24

1

3

1

2

1

4

1

d)

30

72

1

3

1

5

2

=

Producto de extremos

Producto de medios



e)

28

3

1

35

65

19

7

3

7

10

5

2

= f) 3

2

1

2

3

1

1

114

12

1

7

1

=

4.5. RADICACIÓN DE FRACCIONES:

Para extraer una raíz a una fracción, se extrae la raíz indicada a cada término de la

fracción.

n

n

n

b

a

b

a

Ejemplo:

a) 5

1

125

1

125

13

3

3 b) 11

8

121

64

121

64

EJERCICIO

1. Encontrar las fracciones que elevadas al cuadrado reproducen las respectivas

fracciones dadas.

a) 25

162

b)

9

12

c)

25

362

d) 64

492

e)

81

42

f)

49

1002

g) 100

12

h)

81

162

i)

121

252

2. Hallar la raíz en cada caso:

a) 3

8

27 b) 3

8

1 c) 3

1000

8



d) 25

16 e) 5

243

32 f) 4

625

16

g) 49

36 h) 3

125

27 i) 4

1000

81

4.6. OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES.

1.

2

41

61

10

3

3

76

1

5

6

=

2.

3

31

1

51

1

31

1

21

1

91

1

=

3. 7

1411

135

21

121

81

81

612

31

21

=

4.

6

1

4

13

1

2

1

8

1

1

=

5.

1

56

93

2

1

6

14

1

3

7

4

32

1

4

3

=



6.

5

7

3

1

5

3

13

2

1

5

2

1

=

7.

211

9

1

36

25

781

716

Comprobar respuestas:

Pregunta Nº 1 2 3 4 5 6 7

Respuesta 1 -4 1 4 1 1 85

PROBLEMAS APLICATIVOS La pulgada (en inglés inch) es una unidad de longitud antropométrica que equivalía a

la longitud de un pulgar.

Equivalencia:

1 pulgada = 2,54 cm.

1 pulgada = 25,4 mm

1 pie = 12 pulgadas

1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas Ejemplo:

8

"73 Representa tres pulgadas y siete octavos de pulgada.

Las comillas (“) simbolizan la pulgada, una comilla ( ´ ) simboliza un pie.

32 Representa dos pies y 3 pulgadas.

1” representa una PULGADA

1´ representa un PIE

http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_ingl%C3%A9s

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_de_medida

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_dimensional

http://es.wikipedia.org/wiki/Pulgar_%28dedo%29



La pulgada es una unidad de medida del Sistema Inglés que se aplica en nuestro

país principalmente en las especificaciones de materiales y de productos de uso

industrial.

GRADUACIONES de la REGLA EN PULGADAS.

Las graduaciones de la escala son hechas, dividiéndose la pulgada en 2; 4; 8; 16; …

2n, partes iguales, existiendo en algunos casos escalas hasta con 128 divisiones

(27= 128).

Si se divide una pulgada en dos

partes iguales, cada parte es

1/2 pulgada.

Si se divide una pulgada en

cuatro partes iguales, cada

parte es 1/4 pulgada.


ocho partes iguales, cada parte

es 1/8 pulgada.


dieciséis partes iguales, cada

parte es 1/16 pulgada.


treinta y dos partes iguales,

cada parte es 1/32 pulgada.



A continuación surgirá en los ejercicios con fracciones, la representación de la

pulgada, pie, yarda.

Con la ayuda del instructor realizar las lecturas de las siguientes medidas, la regla

esta graduada en pulgadas.



Escribir en el siguiente cuadro las lecturas realizadas:

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

Lectu

ra

8

71

Realizar las siguientes operaciones con las lecturas efectuadas:

a) + - =

b) x =

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-A

1. Determinar la cota “Y” en la pieza representada.

2. Calcular “X” en la pieza.

10 07

03 02 01

01 02 03 04 05 06 07

08 09 10 11 12 13 14

a) 17

49 ”

b) 16

17 ”

c) 316

1 “

d) 46

14”

e)

a) 432

31 ”

b) 332

31 ”

c) 64

12 ”

d) 332

13 ”

c)

d)

e)



3. Determinar la longitud C del tornillo, dibujado.

4. ¿Cuánto mide el diámetro externo de la arandela? 5. Completar el cuadro conforme las indicaciones del dibujo.

D c D

1” 8

"5

4

"3

32

"15

64

"35

32

311

16

"1

64

9

a) 616

11 ”

b) 532

1 ”

c) 16

3 ”

d) 6”

a) 1

85 ”

b) 17

3 ”

c) 25

3 ”

d) 1”

e)



6. Un agujero de diámetro 8

"7 debe ser agrandado en

32

"5 más. ¿Cuál será el

nuevo diámetro?

a) 132

4 ” b) 132

1 ” c) 2” d) 2 641 ” e) 3/4”

7. Una barra de bronce tiene 2

"132 de longitud, de la cuál cuatro pedazos miden,

respectivamente 2

"16 ,

16

"138 ,

16

"910 y

4

"15 . Despreciando por pérdida de corte,

¿Calcule que pedazo de la barra fue utilizado?

a) 318

1 ” b) 315

2 ” c) 3116

1 ” d) 38

1 ” e) 8

1 ”

8. Una barra de hierro mide 2632

"25, si se divide en partes iguales de 2

32

"1 y se

pierde en cada corte 32

"1 ¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta

material? a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18

9. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener 18

trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de

cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra)

a) 1¾” b) 1½” c) 22½” d) 2” e) 1¼” Calcular la medida del diámetro interno de la arandela, representada.

a) 4

1 ”

b) 3

1 ”

c) 7

2 ”

d) 1/2”

21

21

21

e)



10. Determinar las dimensiones A, B, C, y D , dar como respuesta A + B + C – D.

11. Una barra de cobre mide 2632

"25, si se divide en partes iguales de 2

32

"1 y se

pierde en cada corte 32

"1 ¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta

material?

a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18 12. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener 18

trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de

cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra).

a) 1¾” b) 1½” c) 2½” d) 2” e) 1¼”

13. Dividir una barra de aluminio 8

"110 en 5 partes iguales perdiendo en cada corte

32

1 “¿Qué longitud tendrá cada parte?

a) 1 32

7 ” b) 1” c) 2 32

5 ” d) 16

7 ” e) 4

3 ”

14. Calcular la distancia X, en la siguiente plancha:

a) 3”

b) 2”

c) 1”

d) 4”

e) 5”

a) 124

1 ”

b) 134

1 ”

c) 122

1 ”

d) 128

1 ”



Nota: Por lo general, al interior de al interior de las máquinas, motores, piezas, etc.,

los agujeros son equidistantes y simétricos.

15. Calcular la distancia “x” si las siguientes son equivalentes: 16. Calcular “a” en la siguiente placa

17. La longitud de la circunferencia puede ser calculada, aproximadamente,

multiplicando su diámetro por ( = 3.14 = 7

13 ). Siendo así, completar el

cuadro siguiente, conforme el ejemplo.

DIÁMETRO CÁLCULOS LONGITUD

DE CIRCUNFERENCIA

2

13

"

117

22

2

7

7

13

2

13

"

11”

8

11

"

7

67

1pie 2pulg

Lc = D Donde:

r : radio de la circunferencia

D : Diámetro de la circunferencia

7

22 3,14 Lc = r2 .

a) 19 ½”

b) 13”

c) 14”

d) 13 ¼”

e) 7 1/8”

a) 2 1/64”

b) 2 1/32”

c) 2 3/64”

d) 3 ½”

e) 3 1/64”



18. Completar el cuadro, usando:

Lc = D D = 2.r

LC = Longitud de

circunferencia Cálculos D = diámetro r = radio

4

35

"

88

731

88

161

22

7

4

23

7

13:

4

35

"

x 88

731

"

176

161"

2

12

"

6

515

"

4

3"

4

1"

19. ¿Cuántas vueltas tendrá que girar una rueda, para recorrer 19,80 m, si el radio

de la rueda es de 21 cm?

Fórmula:

Distancia recorrida = Numero de vueltas x Longitud de la circunferencia

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 5 20. Las resistencias de una conexión en paralelo son R1 = 15 ohmios, R2 = 12

ohmios, R3 = 9 ohmios. Calcular la resistencia total.

a) 347

29 b) 3

47

39 c) 1 d)

47

39 e) 4

47

39

“Al dar una vuelta la rueda, esta se desplaza aproximadamente 3.14

veces la longitud del diámetro, sobre una superficie recta.”

D

LC

La circunferencia ha girado una vuelta completa



Fórmula: n321t R

1

R

1

R

1

R

1

R

1 . . .

21. Susana tiene S/. 120 y pierde 3 veces consecutivas ½; 1/3 y 1/4 de lo que le iba

quedando, ¿Con cuánto se queda?

Solución:

30234

12023120

2

1

3

2

4

3

Se tiene al inicio Se pierde 1/2 queda 1/2 Se pierde 1/3 queda 2/3 R. Se quedó con S/. 30.

Se pierde 1/4 queda 3/4

Donde: Rt: Resistencia Total

R1 = 15

R1 = 12

R1 = 9

A B



PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-B



PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II 1. Dos tercios de los docentes de nuestro instituto son mujeres. Doce de los

instructores varones son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son

casados. ¿Cuál es el número de docentes?

a) 70 b) 120 c) 60 d) 56 e) 90

2. Al tesorero de una sección de 1° grado le falta 1/9 del dinero que se le confió.

¿Qué parte de lo que le queda restituirá lo perdido.

a)1/8 b) 1/3 c)1/6 d)1/7 e)1/9

3. Cada día una persona escribe en un cuaderno 1/3 de las hojas en blanco más

dos hojas; si después de tres días consecutivos le quedan aun 18 hojas en

blanco, ¿Cuántas hojas ha escrito dicha persona?

a) 56 b) 57 c) 55 d) 54 e) 75

4. Cada vez que un profesor entra al salón deja la mitad de las hojas que posee y

8 hojas más. Si entra sucesivamente a 3 salones y al final se queda con 61

hojas, ¿Cuál es la cantidad de hojas que tenía al entrar al primer salón?

a) 800 b) 500 c) 600 d) 400 e) 700

5. De los dos caños que fluyen a un tanque, uno sólo lo puede llenar en 6 horas, y

el otro sólo lo puede llenar en 8 horas. Si abrimos los dos caños a la vez,

estando el tanque vacío, ¿En qué tiempo se llenará dicho tanque?

a) 3 1/7 h b) 3 2/7 h c) 3 3/7 h d) 2 ½ e) 3 1/4

6. Un estanque tiene 2 llaves y un desagüe. La primera lo puede llenar en 12

horas y la segunda en 4 horas; estando lleno el desagüe lo vacía en 6 horas,

¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vacío se abren las tres

llaves a la vez?

a) 8h b) 7h c) 6h d) 5h e) 4h



7. Una pelota pierde un quinto de su altura en cada rebote que da. Si se deja caer

desde 1,25 m de altura ¿qué altura alcanzará después del tercer rebote?

a) 50cm b) 64 cm c) 24cm d) 62cm e) 72 cm

8. Si se deja caer una pelota desde cierta altura, ¿Cuál es esta altura, sabiendo

que después del cuarto rebote se eleva 32 cm y que en cada rebote se eleva

2/3 de la altura anterior?

a) 81cm b) 162cm c) 324cm d) 62cm e) 72cm

9. ¿Cuál es el número por el que hay que dividir 18 para obtener 3 1/3?

a) 5 1/5 b) 5 7/9 c) 5 2/5 d) 5 1/9 e) 5 1/3

10. Me deben los 3/7 de S/. 252. Si me pagan 1/9 de S/. 252, ¿Cuánto me deben?

a) S/.80 b) S/.100 c) S/.120 d) S/.140 e) S/.125

11. Se llena un recipiente de 3 litros con 2 litros de alcohol y el resto con agua. Se

utiliza una tercera parte de la mezcla y se reemplaza con agua, luego se utiliza

la cuarta parte de la mezcla y se reemplaza con agua. ¿Cuánto de alcohol

queda en el recipiente?

a) 7/12 litro b) 1 c) 2/3 d) nada e) 1/2

12. En una mezcla alcohólica de 20 litros de alcohol con 10 litros de agua, se

extrae 15 litros de la mezcla y se reemplaza por agua, luego se extrae 6 litros

de la nueva mezcla y se vuelve a reemplazar por agua. ¿Cuántos litros de

alcohol queda al final?

a) 8 b) 10 c) 9 d) 5 e) 6

13. Un comerciante compró un cierto número de computadoras y el precio que

pagó por c/u era la cuarta parte del número de computadoras que compró. Si

gastó S/ 30976.00 ¿Cuántos computadoras compró?

a) 176 b) 88 c) 253 d) 352 e) 264



14. Un barril con cal pesa 3720 kg, cuando contiene 5/8 de su capacidad pesa

95/124 del peso anterior. Hallar el peso del barril vacía?

a) 2100 b) 1400 c) 1000 d) 7000 e)2400



UNIDAD 05

NÚMEROS DECIMALES



5.1. NÚMERO DECIMAL.

Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal, que se obtiene al

dividir el numerador por el denominador.

Ejemplos:

(1) 37508

3, Resulta de dividir 3 entre 8.

(2) .....,44409

4 Resulta de dividir 4 entre 9.

(3) ....,233030

7 Resulta de dividir 7 entre 30.

5.2. TABLERO POSICIONAL DE CIFRAS DE UN NÚMERO

DECIMAL.

PARTE ENTERA PARTE DECIMAL

Cente

nas d

e M

illar

Decenas d

e M

illar

Unid

ades d

e M

illar

Cente

nas

Decenas

Unid

ades

décim

os

centé

sim

os

milé

sim

os

Décim

os d

e m

ilésim

os

o d

iezm

ilésim

os

Centé

sim

os d

e m

ilésim

os

o c

ien

milé

sim

os

Mill

onésim

o

7 1 , 0 7 3 9

La parte decimal tiene las siguientes órdenes, contadas de izquierda a derecha a

partir del coma decimal:

1° Orden decimal décimos.

2° Orden decimal centésimos.

3° Orden decimal milésimos.

etc.



5.3. LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES.

La lectura de un número decimal, se efectúa del siguiente modo: Se lee la parte

entera cuando existe y luego el número formado por las cifras de la parte

decimal, expresando el nombre del orden de la última cifra.

Los ejemplos siguientes esclarecerán cómo hacer la lectura de un número

decimal. Completar:

a) 12,7 doce enteros y siete décimos o doce unidades y siete décimos.

b) 3,125 tres ......................... y ciento veinticinco .......................................

c) 0,000 4 ........................ diez milésimos.

d) 3,1416 ..................y mil cuatrocientos ...................... décimos de milésimos.

e) 8,30 ocho ......................... y....................................................................

f) 12,005 ...........................................................................................................

5.3.1. ESCRITURA DE UN NÚMERO DECIMAL:

Se escribe la parte entera si hubiera, en seguida la coma decimal y luego la parte

decimal teniendo cuidado de colocar las cifras en el orden que le corresponde.

Observemos los ejemplos:

(1) Quince enteros y veintiséis milésimos : 15,26

(2) Seis enteros y veintitrés diez milésimos : 6,002 3

Cuando no hay parte entera, ésta se representa por cero (0).

(1) 12 milésimos : 0,012

(2) 50 millonésimo : 0,000 050

Completar:

(1) Quince enteros y seis centésimos : .............................................

(2) Cuatro centésimos : .............................................

(3) Tres enteros y veinte centésimos de milésimos : ........................

(4) Veinticinco milésimos : ..............................................



Escribir como se lee, observando el ejemplo, y asociar las UNIDADES.

(1) 3,7 chapas ................ 3 chapas y 7 décimos (de chapas)

(2) 0,50 soles ........................................................................

(3) 5,4 metros ........................................................................

(4) 2,5 pulgadas ....................................................................

(5) 3,175 centímetros ............................................................

(6) 8,0025 segundos .............................................................

Observar cómo se pueden resolver los siguientes problemas:

(1) ¿Cuántos milésimos hay en 54 centésimos? Representación

Literaria

1000

x =

100

54 Representación

Matemática

Despejando “x”: x = 540 “Rpta: hay 540 milésimos en 54 centésimos”

(2) ¿Cuántos centésimos de décimos hay en 20000 diezmilésimos de

centésimos?

100

x .

10

1 =

10000

20000 .

100

1

x = 20

Rpta: Existen 20 centésimos de décimos en 20000 diezmilésimos de

centésimos.

(3) ¿Cuántos milésimos hay en 2,4 centésimos?

(4) ¿Cuántos cienmillonésimos de centésimos hay en 4,52

diezmilésimos?

(5) ¿Cuántos décimos de centésimos de milésimos hay en 240000

diezmillonésimos de milésimo?



5.4. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS DECIMALES:

1º. Un número decimal no ve alterado su valor si se le añade o suprime CEROS

A SU DERECHA.

Ejemplos: 4,8 = 4,80

(1) 4,8 = 4,800 000 0

(2) 312,240 000 00 = 312,24

(3) 7,500 0 = 7,50

2º. Si a un número decimal le corremos la coma decimal a la derecha un o más

lugares, para que su valor no se altere debemos dividir por la unidad seguida

de tantos ceros como lugares se corrió el coma decimal.

Ejemplos:

(1) 0,253 100

3252530

,,

210

3252530

,,

2103252530 ,,

(2) 0,000002 10000

0200000020

,,

410

0200000020

,,

4100200000020 ,,

(3) 0,0075 = 41075

2 lugares

Potencia de 10 con exponente negativo

2 lugares

4 lugares

Potencia de 10

4 lugares

4 lugares Potencia de 10

4 lugares



EJERCICIOS:

(1) 0,007 = 7 x 10.....

(2) 0,00016 = 16 x 10.....

(3) 0,000064 = 64 x 10.....

(4) 0,0025 = 250 x 10.....

(5) 0,06 = 6000 x 10.....

3º. Si a un número decimal, se le corre el coma decimal a la izquierda uno o

más lugares, para que su valor no se altere, se debe multiplicar por la unidad

seguida de tantos ceros como lugares se corrió la coma decimal.

Ejemplos:

(1) 70002,5 = 10000000257 ,

= 410000257 ,

(2) 2000 = 10002

= 3102

(3) 50000000 = 61050

EJERCICIOS:

(1) 8302,5 = 83,025 x 10.....

(2) 160,5 = 0,1605 x 10.....

(3) 6400000000= 6,4 x 10.....

4 lugares

Potencia de 10 con exponente positivo

4 lugares

3 lugares

Potencia de 10 con exponente positivo

3 lugares

6 lugares



(4) 25000000000 = 25 x 10.....

(5) 3200000000000 = 32 x 10.....

5.5. COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

1º. Si dos números decimales son de signo diferente, será menor el de signo

negativo sin mayor discusión por su ubicación en la recta numérica.

Ejemplo: Entre los números –16,257 y +2,3 es menor el primero por ser

negativo.

2º. Si dos números decimales son de igual signo, se procede del siguiente

modo: se iguala el número decimal con ceros, para luego eliminar la coma

decimal y comparar como si fueran números enteros.

Ejemplos:

(1) Comparar 3,2 con 3,574

Como el primer número tiene sólo un decimal, se le agrega DOS CEROS

para que ambos números dados tengan tres decimales cada uno:

3,200 3,574

Ahora, se elimina la coma decimal en ambos números:

3 200 3 574

Como 3200 es menor que 3574, entonces:

3,2 3,574

(2) Comparar -2,31 con - 2,310 000

Por propiedad de números decimales, podemos suprimir ceros a la derecha

del segundo número dado:

Entonces ambos números quedarán así:

-2,31 = -2,31



5.6. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES:

NÚMERO DECIMAL EXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad

limitada de cifras decimales.

Ejemplos: 0,25 ; 2,75 ; 1,2

- Una fracción da lugar a un NÚMERO DECIMAL EXACTO si en el

denominador aparecen sólo factores que son potencias de 2 ó de 5 ó de

ambos (la fracción tiene que ser irreductible).

Ejemplos:

(1) La fracción 32

17 ¿Equivale a un número decimal exacto?

La fracción debe ser irreductible 32

17

Descomponiendo el denominador: 52

17

32

17

Entonces 32

17 da origen a un número decimal exacto:

32

17 = 0,53125

(2) La fracción 375


Potencia de 2

NÚMERO DECIMAL

NÚMERO DECIMAL RACIONAL

PERIÓDICO PURO

PERIÓDICO MIXTO

NÚMERO DECIMAL IRRACIONAL.-

NÚMERO DECIMAL EXACTO

NÚMERO DECIMAL INEXACTO

(Se pueden escribir como

Fracción; tienen Generatriz)

(tienen Período)

Números decimales inexactos que no tienen período; resultan

de las raíces inexactas.

Ejemplo: 2 = 1,414213562373095 . . . .

= 3,1415926535897932 . . .




8

375

24

Se descompone el denominador: 35

8

125

8

Entonces 375


375

24 = 0,064

(3) La fracción 80



13


13

80

134

Entonces 80


80

13 = 0,1625

¿Se puede saber cuántas cifras decimales tendrá el número

decimal resultante antes de efectuar la división?

Sí; bastará con saber cuál es el mayor exponente de 2 ó 5 en el

denominador de la fracción irreductible.

Ejemplo:


13

80

134

Entonces 80

13 al convertirlo en número decimal, tendrá solamente 4

cifras decimales. Comprobar con 500

2071.

NÚMERO DECIMAL INEXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad

ilimitada de cifras decimales.

A. DECIMAL PERÍÒDICO PURO: Es aquel en cuya parte decimal aparece una o

un grupo de cifras llamado período que se repite indefinidamente a partir de

la coma decimal.

Ejemplo: 0,27272...... = 0,27

Potencia de 5

Potencia de 2 y 5

Potencia de 2 y 5. El mayor exponente es 4

PERÍODO (2 cifras)



¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por un

DECIMAL PERIÓDICO PURO?

1º. Se simplifica la fracción hasta que sea irreductible.

2º. Descomponer el denominador en sus factores primos.

3º. El número decimal correspondiente será periódico puro si los factores

del denominador son distintos a 2 y 5.

Por ejemplo: 1/7; 2/3; 5/63

B. DECIMAL PERIÒDICO MIXTO: Es aquel cuyo período empieza luego de una

cifra o grupo de cifras después del coma decimal. A esta cifra o grupo de

cifras se denomina parte no periódica.

Ejemplo: 0,7312512512........ = 0,73125

¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por un

DECIMAL PERIÓDICO PURO?

1º. Simplificar la fracción hasta que sea irreductible.

2º. Descomponer el denominador en sus factores primos.

3º. El número decimal correspondiente será periódico mixto si los factores

del denominador son 2 ó 5 ó ambos, además de otros factores primos

distintos de 2 y 5.

Por Ejemplo: 2/15 ; 6/35 ; 5/24

5.7. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL.

Todo número decimal racional tiene su equivalente en forma de fracción. La

fracción que genera un número decimal se llama FRACCIÓN GENERATRIZ.

A. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO:

1º. Se escribe como numerador todo el número sin el coma decimal.

2º. Se escribe como denominador la unidad seguida de tantos ceros como

cifras tenga la parte decimal

Parte No Periódica

Parte Periódica



Ejemplos:

a) 0,75 = 100

75

b) 2,058 = 1000

2058

B. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO :

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA

PARTE ENTERA NULA :

1º. En el numerador escribimos el período.

2º. En el denominador se escribe tantos nueves como cifras tenga el

período.

Ejemplo:

a) 0,54 = 99

54 =

11

6

b) 0,1 = 9

1

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA

PARTE ENTERA DISTINTA DE CERO:

1º. Se desdobla la parte entera de la decimal, así:

3,54 = 3 + 0,54

2º. Escribir la fracción generatriz de la parte decimal :

3,54 = 3 + 99

54

3º. Finalmente, volver a sumar, pero ahora como una suma de

fracciones:

3,54 = 3 + 99

54

= 3 + 11

6

= 11

39

2 cifras decimales

2 ceros

3 cifras decimales

3 ceros

2 CIFRAS 2 NUEVES



C. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO:

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NULA:

1º. En el numerador de la fracción generatriz, escribimos el número

decimal sin el coma y se resta la PARTE NO PERIÓDICA.

2º. En el denominador, escribimos tantos nueves como cifras tenga el

PERIÓDO seguido de tantos ceros como cifras tenga la PARTE

NO PERIÓDICA.

Ejemplos:

(1) 0,235 = 990

2235

0,235 = 990

233

(2) 0,372 = 900

37372

0,372 = . . . Completar.

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NO

NULA :

Se procede a desdoblar la parte entera de la decimal.

Ejemplo:

3,254 = 3 + 0,254

3,254 = 3 + 900

25254

3,254 = 3 + 900

229

3,254 = 900

2999

2 cifras 2 nueves

1 cifra 1 cero



5.8. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

Si se trata de decimales exactos, se busca que tenga la misma cantidad de cifras

en la parte decimal completando con ceros.

Al sumar o restar, se escribe un número bajo el otro cuidando que la coma

decimal esté alineada para luego proceder a operar como si se trataran de

números enteros.

En el resultado, se vuelve a escribir la coma decimal en la misma línea vertical

que las demás.

Ejemplos:

(1) Efectuar: 0,3 12,78 3,2057

Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:

0,3000

12,7800

3,2057

16,2857

(2) Efectuar: 78,13 9,087

Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:

78,130

9,087

69,043

Si se trata de decimales inexactos, se opera con sus fracciones generatrices:

Ejemplos:

(1) Efectuar: 0,3 2,5 1,6

Se efectúa como si fueran enteros :

La coma conserva el lugar de los demás

Efectuando como si fueran enteros :

La coma conserva el lugar de los demás



Solución: Se van a reemplazar los decimales periódicos puros por sus fracciones

generatrices:

= 9

61

9

52

9

3

= 9

143

= ....,55549

41

Respuesta: 0,3 2,5 1,6 = 4,5

(2) Efectuar: 31,62 - 7,36

Solución: Reemplazar los decimales periódicos mixtos por sus fracciones

generatrices:

=

90

3367

90

66231

Suprimiendo los paréntesis = 90

337

90

5631

= 90

2324

= 90

2183 = 24,25 =24,2555…

5.8.1. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

DE DECIMALES.

Viendo un ejemplo:

Efectuar: 2202501011350251 ,,,,,,

Eliminando paréntesis = 2202501011350251 ,,,,,,

Suprimiendo corchetes = 2202501011350251 ,,,,,,

Suprimiendo llaves = 2202501011350251 ,,,,,,

Se suman los positivos y negativos por separado:

= 0250502210113251 ,,,,,,

= 16,65 – 0,525

= 16,125



Ahora, resolver los siguientes ejercicios de reforzamiento:

(1) 1525407625518 ,,,,,

A) 41,75 B) 31,75 C) 41,57 D) 75,41 E) 75,31

(2) 12750400320080 ,,,,,

A) 2,75 B) 3,50 C) 1,578 D) 2,498 E) 5,310

(3) 1020850238502010 ,,,,,,,

A) 4,6 B) 3,50 C) - 1,5 D) 2,4 E) - 3,2

(4) ...,...,...,..., 330221110220

A) 2/9 B) –11/9 C) –5/9 D) 1 E) 2

(5) ...,,...,,...,, 44075022050330250

A) 11/18 B) –11/18 C) 7/9 D) 12/7 E) 1

(6) 3 décimos 85 milésimos + 458 centésimos

A) 4,965 centésimos B) 496,5 milésimos C) 49,65 centésimos

D) 496,5 centésimos E) 49,65 milésimos

(7) 75 décimos – 457 milésimos + 32 centésimos

A) 7363 centésimos B) 7363 milésimos C) 736,3 décimos

D) 73,63 centésimos E) 736,3 milésimos

(8) 200 décimos de centésimos + 40000 diezmilésimos de centésimos

A) 0,24 B) 2,4 C) 1,5 D) 4,24 E) 3,2

(9) Elio le dice a Oswaldo; si me dieras S/. 3,75 ambos tendríamos la misma cantidad de dinero. Si entre los dos tiene S/. 42,50 ¿Cuánto dinero tiene Oswaldo?

A) S/ 12,50 B) S/ 38,75 C) S/. 25,00 D) S/ 40,00 E) S/ 35,50

Comprobar respuestas: 1A 2D 3E 4B 5A 6D 7B 8A 9C



5.9. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE NÚMEROS

DECIMALES.

5.9.1. Multiplicación y División por potencias de 10.

Para multiplicar por potencias de base 10, basta correr la coma decimal hacia la

derecha tantas órdenes como ceros tenga la potencia, y para dividir basta correr

la coma decimal para la izquierda.

Observar que correr la coma decimal para la derecha, equivale a multiplicar ó

aumentar el valor, en tanto que, para la izquierda equivale a dividir o disminuir el

valor:

Ejemplo 1:

Para multiplicar 47,235 por 100, esto es, por 102. Basta correr la coma decimal

dos órdenes hacia la derecha.

Entonces: 47,235 x 100 = 4723,5 El valor relativo de 7 pasó ser 700 Corre 2 espacios a la derecha

Además: 38,31152 x 1000 = 38311,52 8 pasa a ser 8000 Corre 3 espacios a la derecha

Completar a simple vista:

a) 0,2356 x 1000 = _______

b) 0,7568565 x 100000 = ______

c) 0,012021 x 100000 = ______

d) 1,2 x 1000 = ________

e) 0,26 x 102 = ________

f) 0,000005 x 105 = ________

g) 2,58 x 104 = ________

h) 10,3 x 103 = ________

i) 0,5 x 105 = ___________



Verificar los resultados y corregir, si es necesario:

a) 235,6

b) 75685,65

c) 1202,1

d) 1200

e) 26

f) 0,5

g) 25800

h) 10300

i) 50000

Ejemplo 2:

Para Dividir 47,235 entre 1000 esto es 103 basta correr la coma decimal tres

órdenes hacia la izquierda.

Así: 13,235 1000 = 0,013235 El valor relativo de 13 enteros pasa a ser

0,013 (trece milésimos).

“Corre 3 espacios a la izquierda”

O también: 352,7 100 = 3,527 El valor relativo de 300 pasa a ser 3. “Corre 2 espacios a la izquierda”

Completar a simple vista, según el ejemplo:

a) 385,2 100 = 3,852

b) 2500 10000 =

c) 2335,8 100000 =

d) 25000000 105 =

e) 3,20 104 =

f) 3002,4 107 =

g) 30000000 109 =

Verificar la respuesta:

b) 0,25

c) 0,023358

d) 250

e) 0,00032

f) 0,00030024

g) 0,03



5.9.2. Multiplicación Por Números Diferentes de Potencias de 10.

Recordar que la multiplicación es una suma indicada de sumandos iguales,

entonces 6,33 puede efectuarse como sigue:

3,6 + Complete el ejercicio: 0,175 + x

3,6 3,6 x 0,175 3,6 3

10,8 10,8

Por tanto, para multiplicar números decimales:

Ejemplos:

a) 5 x 1,41 = 7,05

b) 1,732 x 5 = 8,660 8,66

c) 0,012 x 1,2 = 0,0144

d) 1,25 x 1,4 = 1,750 1,75

Observar cómo se forman los resultados en los dos últimos ejemplos:

0,012 3 órdenes decimales 1,25 2 órdenes decimales

1,2 1 orden decimal 1,4 1 ..........................

24 500 12 125

0,0144 4 ordenes decimales 1,750 ...............................

Resolver los siguientes ejercicios: 23,12 x 24,786 x 0,0048 x 0,14 2,5 3,9 Rpta: 3,2368 Rpta: 61,965 Rpta: 0,01872

Se multiplican los números como si fuesen enteros, y en el producto se separan tantos decimales, como tengan los

factores.



Observar el primer ejemplo y escribir la respuesta (a simple vista) de los ejercicios

de reforzamiento que continúan.

0,35 x 0,2 x 0,0006 = 420 Se multiplica como si fuesen números enteros 2 cd + 1 cd + 4 cd = 7 cd Se completa con ceros, las cifras decimales que

faltan.

= 0,0000420

= 0,000042

a) 0,005 x 0,06 =

b) 0,15 x 0,05 =

c) 5 x 0,0054 =

d) 2,48 x 0,005 =

e) 0,5 x 0,624 =

f) 3,20 x 0,5 =

g) 3,4 x 0, 11 =

h) 2,5 x 1,1

i) 0,071 x 0,011

j) 1,2 x 1,1 x 0,01 =

k) 0,03 x 0,002 x 0,1 =

l) 4 x 0.02 x 0,1 x 0,05 =

Comprobar las respuestas: a) 0,00030 b) 0,0075 c) 0,0270 d) 0,01240 e) 0,3120 f) 1,60

g) 0,374 h) 2,75 i) 0,000781 j) 0,0132 k) 0,000006 l) 0,00040

5.9.3. Potenciación de Números Decimales. Por definición de potenciación, se sabe que:

(0.2)3 = (0.2) (0.2) (0.2) = 0.008

Se puede hallar la potencia de algunos números decimales mentalmente de una

forma práctica, por ejemplo:

(0,03)4 = 0.00000081



Resolver mentalmente las potenciaciones que se muestran en el cuadro

siguiente:

1. (0.003)2 = 2. (0.07)2 = 3. (0.2)5 =

4. (0.05)3 = 5. (0.012)2 = 6. (0.13)2 =

5.10. DIVISIÓN POR NÚMEROS DIFERENTES DE POTENCIAS DE 10.

Suponiendo que se tienen 13 caramelos para repartir entre 5 niños. El cálculo

será:

13 5

2 caramelos para cada niño 3 sobrando 3 caramelos

Propiedad:

Si al dividendo y al divisor se multiplica por cualquier número entero “K”, y se

repite la división, el cociente no se altera, sigue siendo el mismo, pero el

verdadero residuo varía quedando multiplicado por el número “K”.

Comprobando, multiplicar al dividendo y al divisor del ejemplo anterior por 4 y

volver a dividir:

52 20

2 El cociente no varía 12 el residuo quedó multiplicado por 4

Comprobando otra vez la propiedad, multiplicando al dividiendo y al divisor por

100, y volviendo a dividir:

1300 500

2 El cociente no varía 300 el residuo quedó multiplicado por 100

2 cifras decimales

(0,03)4 = 0.00000081 Multiplicar la cantidad de cifras

decimales por el exponente.

8 cifras decimales =

Hallar la potencia de la cifra

significativa: 34 = 81



Esta propiedad permite convertir a DIVISOR ENTERO al hacer operaciones con

números decimales.

Tomando por ejemplo, la división 39,276 0,5. Observar que el divisor se

convierte en un número entero, multiplicando en este caso por 10 al dividendo y

al divisor (recordar que al multiplicar por una potencia de diez a un número

decimal, se corre el coma decimal hacia la derecha) quedando así:

3 9 2 , 7 6 5

0 4 2 7 8 , 5 5 Cociente

0 0 2 7 0 0 0 2 5

0 0 0 , 0 1 0,01 es el Residuo falso (quedó multiplicado

por 10)

El verdadero residuo es 0,01 10 = 0,001.

Respuesta: Al dividir 39,276 0,5 se obtiene Cociente: 78,55 Residuo: 0,001 Comprobando, utilizando el Algoritmo de la división: Dividendo = divisor x cociente + residuo

39,276 = 0,5 x 78,55 + 0,001

Desarrollar los siguientes cálculos como comprobación: 78,55 x + 0,5

Luego, se llega a la conclusión que para dividir decimales con coma decimal en el

divisor, se sigue la siguiente regla:

Se convierte el divisor a entero, multiplicando por una potencia de 10. Se compensa esto multiplicando el dividendo con el mismo número (Potencia de 10). El verdadero residuo se obtendrá dividiendo el falso residuo entre el

mismo número (Potencia de 10).



Realizar la división de 38,49 entre 0,6 y confirmar el resultado como se hizo con el

ejemplo anterior.

EJERCICIOS:

1. Convertir en enteros los divisores, como el ejemplo:

a) 4,6 0,02 460 2

b) 1,45 0,5

c) 8 0,001

d) 4 1,25

e) 1,2 4,325

f) 4,82 1,4

g) 6,247 21,34

2. Dividir siguientes ejercicios, hasta llegar a obtener los cocientes en milésimos

y además indicar cual es el verdadero residuo.

0,32 0,13 = 3 2 , 1 3

0 6 0 2 , 4 6 1 Cociente

0 0 8 0

0 0 0 2 0 8 9 9

0 0 , 0 0 7 Falso residuo = 0,007

Verdadero Residuo = 0,007 100 = 0,00007

a) 0,17 15 =

b) 0,1 0,03 =

c) 0,325 0,19 =

d) 25,0087 3,02 =

Corregir los ejercicios 1 y 2:


1. b) 14,5 5

c) 8000 1

d) 400 25

e) 1200 4325

f) 48,2 14

g) 624,7 21,34

2. a) Cociente = 0,011 Residuo = 0,005

b) Cociente = 3,333

Residuo = 0,00001

c) Cociente = 1,710

Residuo = 0,0001

d) Cociente = 8,281 Residuo = 0,00008 EJERCICIOS: 3. Calcular la distancia “x” de la pieza.

4. Halla la medida de la distancia de “x”.

x 5,7 m

x

x

x

2,15 m

3,015 m


5. En la Figura “O” y “P” son puntos medios de AB y CD respectivamente.

Calcular el valor de “x”.

Comprobando respuesta de los ejercicios 3; 4 y 5:

3. 1,9

4. 0,865

5. 1,95

5.11. RADICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. Definición de una radicación: Reconociendo qué números decimales tienen raíz exacta a simple vista.

Por ejemplo, hallar la raíz cúbica de 0,000064: 3 000064,0

Primero, analizar si la cifra significativa del

número decimal tiene raíz exacta.

Bien, ahora se tiene que contar la cantidad de

cifras decimales. Esta debe ser múltiplo o

divisible por el índice radical.

Si cumple estas dos condiciones, entonces se puede afirmar con seguridad que el

número 0,000064 tiene raíz cúbica exacta.

Esa raíz exacta se obtendrá a simple vista de la siguiente manera:

A B

C D

O

P

x

6,24 7,02

15,6

3 000064,0

4643

3 000064,0

6 cifras decimales y es divisible

por el índice radical que es 3

nnn a b b a

n : índice radical a : radicando b : raíz


Hallar la raíz de la parte significativa.

Dividir la cantidad de cifras decimales, entre el índice radical, este cociente

indicará la cantidad de cifras decimales que debe tener la raíz.

Ejemplo, hallar: 4 06250,00000000

EJERCICIOS

I. Completar el siguiente cuadro a simple vista, no usar calculadora.

¿Tiene raíz

exacta?

Si tiene raíz exacta, ¿Cuál

es?

¿Tiene raíz exacta?

Si tiene raíz exacta, ¿Cuál

es?

1,44 sí 1,2 3 0,000008

0,0625 3 0,125

0,000049 3 0,027

1,21 3 0,0001

0,00000036 4 0,00000081

0,00009 5 0,00001

II. Resolver las siguientes operaciones combinadas con números decimales

1. 8

3 0,360,0270,09

Rpta: 0

2.

0,5

0,000010,1250,008 533

Rpta: 1,2

3. 4000,95 0,00000001 - 0,0270,000064 436

6 cifras decimales

0,04 0,0000643

2 cifras decimales

4643

12 cifras decimales 56254

0,005 06250,000000004

3 cifras decimales


Rpta: 2

4. 0,0001- 0,000000250,000004

Rpta: 0,2

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una rueda de 0,12 m de longitud

¿Cuántas vueltas dará al recorrer

1,80 m?

Solución: Fórmula: (Lc : Longitud circunferencia)

Distancia recorrida = # vueltas x Lc.

1,80 m = # vueltas.(0,12 m)

15 = # de vueltas

2. Para comprar 20 tornillos faltarían 8

céntimos de sol, si se compran 15

tornillos, sobraría S/. 0,12. ¿Cuánto

vale cada tornillo en soles?

Solución: Se tiene : T Precio de cada tornillo : P

20P = T + 0,08 15P = T - 0,12

5P = 0,20 P = 0,04

3. ¿En cuántos ochentavos es mayor

0,32 que 0,1325?

Solución:

15 x

)80.(0,1875 x

0,1325 - 0,3280

x

4. Un frasco con aceite vale S/. 4,75 y

el aceite vale S/. 3,75 más que el

frasco; entonces el precio del frasco

es:

Solución: Frasco : F Perfume : P

F + P = 4,75 P - F = 3,75 2F = 1 F = 0,50

Restar miembro a

miembro.

Restando miembro

a miembro.


5. Efectuar:

333266697

3555243555924E

,...,

...,...,

Solución:

100

900E

= 3

6. En el dibujo hallar a - b + c

Solución:

3R = 19,50 R = 6,50 a = 21,75 - 2R = 21,75 - 13 = 8,75 b = 2R = 13 c = 2R + 3,25 = 13 + 3,25 = 16,25 a - b + c = 8,75 - 13 + 16,25

a - b + c = 12 mm

7. Guido da a un mendigo tantas veces

15 centavos como soles llevaba en

la billetera. Si aún le queda

S/. 170.00 ¿Cuánto llevaba en la

billetera?

Solución: Soles que llevaba en la billetera : x

x - 0,15 x = 170 0,85x = 170 x = 200

8. Se compran 200 alfileres a S/. 5 el

ciento; se echan a perder 20 y los

restantes los vendo a S/. 0,84 la

docena. ¿Cuánto se gana?

Solución: Quedan por vender 180 alfileres que es igual a : 180/12 = 15 docenas Se vendió: 15 Docenas x 0,84 = S/. 12,60 Se Invirtió: S/. 10 por los dos cientos. Ganancia: S/.12,60 - S/. 10,00 = S/. 2,60

9. Andrés vendió 60,80 kg de hortalizas

por S/.160,72 sabiendo que en los

40 primeros kg ha ganado S/. 0,60

por kg y en los restantes ha perdido

S/.0,35 por kg ¿Cuál fue el precio de

compra?

Solución: En los 40 kg., ganó = 40.(0,60) = S/. 24 En el resto : 60,80 - 40 = 20,80 Kg perdió = 20,80.(0,35) = 7,28 Ganancia liquida: 24 – 7,28 = S/. 16,72

P. de Compra = P. de Venta - Ganancia P. de Compra = 160,72 - 16,72 = S/.144

10. ¿Qué fracción de 6,025 es 1,205?

Solución:

Fracción = 025,6

205,1 = 1/5

3,25 mm

21,75 mm

19,50 mm

a

c

b

R

R


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1. Tres cajas contienen diferentes artículos. La primera con segunda pesan 76,58

Kg., la segunda con la tercera 90,751 Kg. y la primera con tercera pesan

86,175 Kg. ¿Cuánto pesa la segunda caja?

a) 40,84 Kg. b) 50,17 Kg. c) 40,578 Kg .d) 42,57 Kg e) 48,25 Kg.

2. Un depósito de 425,43 litros de capacidad, se puede llenar con dos caños .La

primera vierte 25,23 litros en 3min. y la segunda 31,3 litros en 5min. Si trabajan

los dos juntos, ¿en cuánto tiempo podrán llenar el depósito?

a) 27min b) 28min c) 29min d) 30min e) 8min

3. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34m. De un extremo a otro de un

terreno da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno?

a) 60,254 m b) 62,558 m c) 54,058 m d) 56,915 m e) 52,128 m

4. Después de comprar 12 cuadernos, me sobran S/. 4,2 y para comprar otro

cuaderno, me falta S/1,3. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?

a) S/. 70,20 b) S/. 72,28 c)S/.73 d) S/. 71,20 e) S/. 70

5. El precio del pasaje adulto en S/. 1,20y del medio pasaje es S/. 0,70. Si la

recaudación fue S/. 18,60, además se observa que por cada niño que subió,

subieron 2 adultos. Calcule el número de pasajeros.

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

6. ¿Cuántos centésimos hay en 6 decimos?

a) 0,6 b) 60 c) 600 d) 0,06 e) 6000

7. Si Juan vende todos sus helados a S/. 1,50 cada uno, le faltaría S/. 15 para

comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/. 2 cada uno

le sobrarían S/. 30. ¿Cuánto cuesta un par de zapatos?

a) S/. 125 b) S/. 100 c) S/. 75 d) S/. 150 e) S/. 162


8. Si vendo cada lápiz a S/. 0,70 gano S/. 1,2 pero si vendo a S/. 0,5 perdería S/.

0,6. ¿Cuántos lápices tengo?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

9. De una barra de 520cm de longitud se quiere cortar la mayor cantidad de

pedazos de 32cm. Si el ancho de la sierra de corte es de 0,25cm. ¿Cuánto

sobrará de la barra en cm?

a) 4 b) 4,52 c) 3,75 d) 4,25 e) 2,28

10. En el recorrido de un micro se observo que en total Viajaron 63 personas

entre adultos y universitarios. Si el pasaje de un adulto es S/. 1,25 y el de un

Universitarios S/.0,75. ¿Cuántos adultos viajaron, si en total se recaudó S/.

64,75?

a) 28 b) 53 c) 35 d) 45 e) 42

11. Si tiene 5 cajas y en cada caja hay 2,5 docenas de paquetes de medio ciento

de lápices cada uno. Si en total se pagó s/.9 975. ¿A cómo tiene que vender

cada ciento de lápices para ganar S/. 0,65 en cada lápiz?

a) 140 b) 192 c) 190 d) 198 e) 178

12. Calcular la suma de cifras de M.

Si:

611

22521025040M

,

,,,

a) 14 b) 11 c) 10 d) 19 e) 9

13. Se tiene un recipiente que contiene vino y agua, en el cual 0,4 de su

capacidad es agua Si luego se extraen 100 litros del recipiente, ¿cuántos

litros de vino se extrajo?

a) 50 b) 65 c) 70 d) 50 e) 60


L

r R

13,6m

2

52

0000040

00200060

,

,,

35218T ,

2636910

,,

14. En el gráfico, hallar “L”, si r = 2,6 m

a) 12,40 m b) 14,20 m c) 11,84 m d) 15,30 m e) 13,64 m

15. Efectuar la siguiente operación.

a) 21072 b) 1 c) 41036 d) 41063 , e) 21018

16. Si la raíz cuadrada de “T” es “M”, hallar la raíz cuadrada de “M” a) 1, 3 b) 1,2 c) 1,7 d) 1,01 e) 1,4 17. Hallar el valor de “E”

31380375032E

,,,,

a) 0,72 b) 0,50 c) 0,60 d) 0,55 e) 0,333… 18. Hallar el decimal equivalente a: a) 6,4 b) 12 c) 8 d) 8,25 e) 5,444…

19. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34m. De un extremo a otro de

un terreno da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno?

a) 60,254 m b) 62,558 m c) 54,058 m d) 56,915 m e) 52,128 m

20. Después de comprar 12 cuadernos, me sobran S/. 4,2 y para comprar otro

cuaderno, me falta S/1,3. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?

a) S/. 70,20 b) S/. 72,28 c)S/.73 d) S/. 71,20 e) S/. 70


21. El precio del pasaje adulto en S/. 1,20y del medio pasaje es S/. 0,70. Si la

recaudación fue S/. 18,60, además se observa que por cada niño que subió,

subieron 2 adultos. Calcule el número de pasajeros.

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

22. ¿Cuántos centésimos hay en 6 decimos?

a) 0,6 b) 60 c) 600 d) 0,06 e) 6000

23. Si Juan vende todos sus helados a S/. 1,50 cada uno, le faltaría S/. 15 para

comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/. 2 cada

uno le sobrarían S/. 30. ¿Cuánto cuesta un par de zapatos?

a) S/. 125 b) S/. 100 c) S/. 75 d) S/. 150 e) S/. 162

24. Si vendo cada lápiz a S/. 0,70 gano S/. 1,2 pero si vendo a S/. 0,5 perdería

S/. 0,6. ¿Cuántos lápices tengo?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

25. De una barra de 520cm de longitud se quiere cortar la mayor cantidad de

pedazos de 32cm. Si el ancho de la sierra de corte es de 0,25cm. ¿Cuánto

sobrará de la barra en cm?

a) 4 b) 4,52 c) 3,75 d) 4,25 e) 2,28

26. Calcular la suma de cifras de M.

Si:

611

22521025040M

,

,,,

a) 14 b) 11 c) 10 d) 19 e) 9

27. Se tiene un recipiente que contiene vino y agua, en el cual 0,4 de su

capacidad es agua Si luego se extraen 100 litros del recipiente, ¿cuántos

litros de vino se extrajo?

a) 50 b) 65 c) 70 d) 50 e) 60

28. En el gráfico, hallar “L”, si r = 2,6 m L

r R

8,4 m


2

52

0000040

00200060

,

,,

35218T ,

2636910

,,

a) 12,40 m b) 14,20 m c) 11,84 m d) 15,30 m e) 13,64 m

29. Efectuar la siguiente operación.

a) 21072 b) 1 c) 41036 d) 41063 , e) 21018

30. Si la raíz cuadrada de “T” es “M”, halle la raíz cuadrada de “M”

a) 1, 3 b) 1,2 c) 1,7 d) 1,01 e) 1,4 31. Hallar el valor de “E”

31380375032E

,,,,

a) 0,72 b) 0,50 c) 0,60 d) 0,55 e) 0,333…

32. Hallar el decimal equivalente a:

a) 6,4 b) 12 c) 8 d) 8,25 e) 5,444…

33. Pierdo s/.19 al vender 95 pelotas a s/.9,65 cada una. ¿Cuál es el precio de

compra de una gruesa de pelotas?

a) S/.1418,40 b) S/.1400 c) S/. 985 d) S/.1280 e) S/. 1346



1. Doce pernos cuestan S/. 1,20; si se venden 4 pernos por S/0,50 ¿Cuántas docenas de pernos hay que vender para ganar S/. 2,40? A) 12 B) 10 C) 8 D) 18 E) 24

2. Efectuar :

1

55504441

31414031448B

...,...,

...,...,

A) 1/2 B) 2/3 C) 4 D) 1/4 E) 2

3. Se vio una muestra de bronce que pesaba 4,55 kg, contenía 3,18 kg de cobre y 1,37 kg de zinc. ¿En 500 kg de bronce cuánto cobre habrá? (Nota: la razón de cobre a bronce será constante en cualquier cantidad de bronce) A) 300 kg B) 250 kg C) 324 kg D) 349 kg E) 180 kg

4. En una tienda hay arroz de dos calidades cuyos precios son S/. 2,00 y S/. 1,50 el kg. ¿Cuántos kg de arroz de mayor precio se deben poner para obtener una mezcla de 50 kg de arroz de S/ 1,80 el Kg? A) 30 kg B) 25 kg C) 32 kg

D) 49 kg E) 18 kg

5. Se quiere formar un cubo sólido con ladrillos cuyas dimensiones sean 0,12m; 0,10m; y 0,18m. ¿Calcule el menor número de ladrillos? A) 3000 B) 2500 C) 3240 D) 2700 E) 2800

6. ¿Cuántas de las siguientes fracciones generan números decimales inexactos periódicos mixtos?

47

43

16

5

30

301

41

17

900

9

60

23;;;;;

A) 1/2 B) 2 C) 4 D) 3 E) 1

7. Hallar 3

R, si:

),)(,)(,(

),)(,)(,(

00701500020

2520000500280R

A) 1,20 B) 2,50 C) 1,50 D) 0,80 E) 0,50



UNIDAD 06

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN



6.1. POTENCIACIÓN. Es la operación que consiste en repetir número llamado base, tantas veces como

factor, como lo indica otro llamado exponente, denominando al resultado de esta

operación potencia.

Ejemplos:

a. 625555554 b. 2733333

c. 7771 d. 322222225

e. 27

8

3

2

3

2

3

2

3

23

f. 125,05,05,05,05,0

3

6.2. SIGNOS DE LA POTENCIACIÓN. El signo de la potencia dependerá del exponente y del signo de la base.

a. PositivoPositivo impar o Par

b. PositivoNegativo Par

c. NegativoNegativo Impar

Ejemplos:

a. (+2)4 = +16 b. (+2)5 = +32

c. (-2)4 = +16 d. (-3)2 = +9

e. (-2)5 = -32 f. (-3)3 = -27

g. 81

16

3

24

h.

64

1

4

13

NOTA: Observar el siguiente ejemplo:

81 - 3333 - 3- 4 “El exponente solo afecta al número 3”, mientras que:

P bn

b : base

n : exponente

P : potencia

P b....bbb bn

“n” veces



81 3333 - 3-4

“El exponente afecta al signo y al número 3”

Por lo tanto: -34 ≠ (-3)4

6.2.1. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

PROPIEDAD NOTACIÓN EJEMPLO

Exponente cero

a0 = 1; (a ≠ 0)

00 = Indeterminado

a) 177 00

b) 0

2173 Indeterminado

Producto de potencias de igual base

an x am = an+m 83535

222x2

Cociente de potencias de igual base

m-n

m

n

aa

a

538

3

8

222

2

Exponente negativo

n

n

n

a

1

a

1a

n

nnn

a

b

a

b

b

a

22

3

4

4

3

Potencia de un producto nnn

baba 44 444 x25x25

Potencia de un cociente n

nn

b

a

b

a

2

22

4

3

4

3

Potencia de una potencia bccb aa 15x5353

222

Exponente de exponente

cc bb aa 9x333 222

2

Potencia de la unidad 1n = 1 a) 18 = 1 b) 115 = 1



EJERCICIOS Completar el número que falta en el casillero correspondiente:

1) (-5)3 = 2) (+7)2 = 3) (-1)715 =

4) (-10)3 = 5) (-9)2 = 6) (-4)3 =

7) (+5)3 = 8) (+1)17 = 9) (-7)3 =

10) (-4)4 = 11) (-1)13 = 12) -113 =

13) (-1)80 = 14) -180 = 15) (-5+5)3 ─ 3 =

16)

3

5

2

= 17)

3

5

2

= 18)

3

3

2 =

19)

4

5

2

= 20)

4

5

2

= 21)

4

3

2 =

Completar los casilleros para que se verifique las siguientes igualdades

1) 77777327

2)

17

17

1717373

125250

3) 33279278583

4)

882137

5)

19

13

19

1369

6) 1313..5.3.2.

7) 5..2..35233.564

8) 3.0.58.

57.77.20.19253

9) 15153155615915



10) 9987..........9.

9517

11) 15535312.27.3.9.4.

12)

2

7

7

28

3.

13)

2

5

3

14) 2

13

15)

11111111

3

11

11

7

7

5

5

3

=

Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas:

n

b

a

Al cuadrado Al cubo A la cuarta

2

1

3

2

2

1

2

3

5

2



6.3. RADICACIÓN. La RADICACION es una operación inversa de la potenciación.

En la potenciación se vio que:

23 = 2 x 2 x 2 = 8.

Al factor 2 que se repite (BASE) se llama raíz cúbica de 8. Simbólicamente se

tiene:

3 8 = 3 32 =2

Si 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

Se dice que 2 es la raíz ………………de 16.

La notación será:

....................164

O que es lo mismo, raíz cuarta de 16 es 2.

Al trabajo de sacar raíz se denomina RADICACIÓN, que es una operación

inversa de la POTENCIACIÓN.

OBSERVACIONES:

A LA RAIZ TERCERA se le llama también RAIZ CÚBICA.

A LA RAIZ SEGUNDA se le llama RAIZ CUADRADA.

Así mismo:

23 = 8 3 8 = 2 (se lee RAÍZ CÚBICA DE OCHO)

15 = 1 5 = 1 (se lee RAÍZ……………………………………………… )

32 = 9 2 = 3 ( se lee……………………………………………………)

51 = 5 …...= 5 (se lee RAÍZ PRIMERA DE CINCO RAIZ……………

Ver los nombres de los términos de la radicación



Luego:

La radicación es la operación que asocia al par ordenado (b;n), con b |R y n

|N, un número real (si existe) llamado raíz enésima de b, que se denota n b

Radicación: |R x |N* |R

(b, n) n b = a an = b

Donde:

Si b> 0, entonces a > 0

Si b >0 entonces a< 0 (si existe)

Ejemplos:

a) 3,0027,03

b) 36 = no existe en el conjunto de números reales (R)

ALGORITMO DE UNA RAÍZ CUADRADA.

Se va a hacer un ejemplo paso a paso para mostrar cómo se hace. Suponiendo que se quiere hallar la raíz cuadrada de 59074

En primer lugar se separan las cifras de dos en dos empezando de derecha a

izquierda así:

5.90.74 Buscando un número cuyo cuadrado sea 5 o menor que 5, que será 2. Se escribimos el 2 en la caja de la derecha:

Se eleva 2 al cuadrado, que da 4 y se le resta al 5, quedando 1:



Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 90, separando la última cifra de la

derecha, o sea el cero.

Se pone el doble de 2 debajo, o sea un 4:

Y se divide 19 entre 4 que cabe a 4. Se añade ese 4 a la derecha del otro 4 y se

multiplica por 4 el 44:

Se resta 190 menos 176 y se escribe debajo del 190, subiendo ya el 4 a la

derecha del 2:

Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 74, separando la última cifra de la

derecha:



Se baja el doble de 24, o sea 48 y se divide 147 entre 48:

Como esa división cabe a 3, se añade un 3 a la derecha del 48 y se multiplica 483

por 3:

Se resta 1474 menos 1449, quedando 25 de resto:

De tal forma que: 59074252432 “Donde 25 es el residuo de la radicación.” Si el número del que se quiere hallar la raíz es decimal la separación de las cifras

de dos en dos se hace desde la coma hacia la derecha y hacia la izquierda.

Si en la raíz cuadrada anterior se quiere sacar decimales, se bajan dos ceros a la

derecha del 25, se pone una coma después del 243 y se sigue el mismo

procedimiento.



EJERCICIOS.

Calcular la raíz cuadrada de los siguientes números e indicar su raíz cuadrada, el

residuo y realizar su comprobación.

Número Raíz cuadrada Residuo Comprobación

58708 242 144 14424258708 2

99500

734449

1522756

RAIZ CUADRADA POR DESCOMPOSICIÓN EN SUS FACTORES PRIMOS.

Se va a hallar la raíz cuadrada de 435 600, empleando el método descomposición

en sus factores primos.

Primero. Descomponer en sus factores primos el número 435600.

2224 11532435600

Segundo. Extraer la raíz cuadrada de 435600, utilizando la propiedad de

radicales (Raíz de una multiplicación indicada).

660115321153211532435600 222242224

Entonces 660435600

Otro ejemplo: Hallar la raíz cúbica de 216000.

60532532216000 23 3363



EJERCICIOS

Calcular la raíz que se indica en cada caso (ver cuadro), utilizar le método de

descomposición de factores primos.

Número Procedimiento Respuesta

3 2744 1472722744 3 333 14

7744

4 50625

18225

6.3.1. SIGNOS DE LA RADICACIÓN.

SIGNOS DE LA RADICACIÓN EJEMPLOS

a) Impar o Par

1) 381 4

2) 232 5

3) 11 724

4) 11 725

b) - Impar

1) 464 3

2) 11 547

c) Par No existe en el conjunto

de números reales (R)

1) 4 16 No existe en R.

2) 540 1 No existe en R.



6.3.2. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN.

PROPIEDAD NOTACIÓN EJEMPLOS

Raíz de un Producto

nnn b.aab

1) 1243 333 642764x27

2) 30103 4444 1000811000081810000

Raíz de un Cociente .

n

n

n

b

a

b

a

1) 10

16

10000

256

10000

2564

4

4

2) 77

30

117

65

12149

3625

12149

3625

Raíz de una Potencia

nbb

a aa nn b

1) 4 ) (2 2 2

33 2 88

2) 27333 335105

35 105 ¡Se simplifica el exponente

fraccionario!

3) 255125125125 2233 215 10 ¡ Se simplifica el

índice radical con el exponente!

4) 5

56

5

78

5

492

5

492

5

72 23

6 6

6 36 18

66

318

Raíz de una raíz

n.mn a.a m

1) 204 5 77

2) 7777 132 328 4 32

3)

169

6

169

23

13

83

13

83

13

832

31

120 240

120 40120 120

3 8240

40120

5



Consecuencia de las propiedades anteriormente mencionadas

n m baba mnn

1) 63 233 525858

2)

623

168116811681 44

n nn baba

1) 753535 2

2) 33 33 80102102

p.m.nn m p cba xx.x

c ).p b m . a (

x

Ejemplo:

6

13

12

26

232

22)333(

3 233 2222248.8

32

6.3.3. RADICALES HOMOGENEOS Y RADICALES

SEMEJANTES.

Radicales Homogéneos. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice

radical.

Ejemplos:

a) 7 ; 8 ; 65 ; 5

23 “Todos son raíces cuadradas”

b) 3 25 ; 5

33

; 3 7 ; 3 5 “Todos son raíces cúbicas”

Radicales Semejantes. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical

y la misma cantidad subradical.

Ejemplos:

a) 7 ; 5

73; 72 “Todos son raíces cuadradas de siete”

x + x +



b) 3 25 ; 5

23

; 3 2 ; 3 24 “Todos son raíces cúbicas de dos”

6.3.4. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES.

Consiste en transformar un radical en otro equivalente, cuyo radicando debe tener

factores cuyos exponente no deben ser mayores que el índice de la raíz.

Ejemplos:

1) Simplificar 720

Se descompone 720 en sus factores primos: 532720 24

Algunos factores tienen exponentes divisibles por el índice radical; se procede a extraer esos factores:

512532532720 224

2) Simplificar 3 17280

Se descompone 8640 en sus factores primos: 53217280 37

Algunos factores tienen exponentes mayores que el índice radical, se descomponen de tal forma que tengan exponentes divisibles por el índice radical.

3

32

33 33 6

3 363

1012

5232

5232

532217280

3) Simplificar 50

Se puede simplificar a simple vista algunos radicales, esto dependerá mucho de la habilidad del ejecutor, observar con cuidado:

252 25 2 25 50

Se buscan 2 números cuyo producto sea 50 y uno de ellos debe tener raíz cuadrada exacta.



3) Simplificar 327

2282472167327 2167

EJERCICIOS

Simplificar los siguientes radicales:

a) 3 7 27 332333 63 6 1449277277277

b) 3 875

c) 3 54

d) 5 12500

e) 5 1080

f) 7 1920

6.3.5. OPERACIONES CON RADICALES.

ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES.

Se podrán sumar y restar radicales, si estos son semejantes. Algunos ejemplos:

1) Efectuar: 2428223

2624813

2428223

Sumar y restar sólo los coeficientes.

2) Efectuar: 6356852 33

6115

6368552

6356852

3

33

33

Se suman y restan solo los radicales semejantes.



2) Efectuar: 3250223

Se tiene que simplificar cada radical, para poder sumar (obteniéndose radicales

semejantes):

2924210233250223

MULTIPLICACION DE RADICALES.

Si los radicales son homogéneos se multiplicará los coeficientes y los radicandos.

n dbcadcba nn

Ejemplos:

1) Multiplicar: 333 742352

33333 7024725432742352

2) Multiplicar: 55 37

34

5

3

5555 1235

934

7

3

5

33

7

34

5

3

DIVISIÓN DE RADICALES.

Si los radicales son homogéneos se dividen los coeficientes y los radicandos.

n. dbcadcba nn

Ejemplos:

1) Dividir: 33612 24312 3633612

2) Dividir: 3

3

3672

7224 33

3

3

23

1

36

72

72

24

3672

7224



6.3.6. RACIONALIZACIÓN DE RADICALES.

Cuando se tienen fracciones con radicales en el denominador conviene obtener

fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este

proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el

denominador, el proceso es diferente.

Se pueden dar varios casos:

CASO I:

Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada.

En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz

cuadrada.

Por ejemplo, si se quiere racionalizar el denominador de la fracción 2

5, se

multiplicará numerador y denominador por 2

2

25

2

25

22

25

2

52

Otro ejemplo. Racionalizar 18

32

Si antes de racionalizar se extraen los factores que se puedan en el radical del

denominador, se tiene:

2

2 3 2 3 2 3

18 3 22.3

Ahora basta multiplicar numerador y denominador por 2 para eliminar la raíz del

denominador:

3

6

23

62

223

232

23

32

También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por 18

2 3 2 3. 18 2 54 54

18 918 18. 18



Y ahora se extraen factores de la raíz del numerador y se simplifica.

3

6

9

323

9

32

9

54 3

, como se ve da el mismo resultado.

CASO II:

Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en

los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el

conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y

viceversa.

Por ejemplo35

7

, multiplicar numerador y denominador por 35

7 5 37

5 3 5 3 5 3

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una

diferencia, o sea una expresión del tipo 22 bababa

2 2

7 5 3 7 5 3 7 5 3 7 5 37

5 3 25 3 5 3 5 3 5 3

Otro ejemplo:73

2

, ahora multiplicar numerador y denominador por 73

2 3 7 2 3 7 2 3 723 7

9 7 23 7 3 7 3 7

CASO III:

Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, “n”, se

multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice “n” que complete una

potencia de exponente “n”.

Por ejemplo: 3 25

1



Se factoriza el radicando del denominador: 3 23

5

1

25

1 y como 553 3 , se va a

multiplicar numerador y denominador por 3 5 para completar la potencia de 5:

3 3 3

3 3 3 32 2 33

1 1 5 5 5

525 5 5 5 5

Otro ejemplo: 4 2

2,

Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego

basta multiplicar por 4 32

4 4 43 3 34 3

4 4 43 44

2 2 2 2 2 2 22

22 2 2 2



EJERCICIOS NIVEL I

1. Extraer la raíz de: a) 2916 b) 45796 c) 2401 d) 63,845 e) 0,8436 2. Valor de potencias:

a) (-3)2 = b) (-2)2 + 24 = c) (-4)2 - (-3)2 = d) (-4)3 -2(-4)3 = 3. Suma y resta de potencias:

a) 2. 32 + 4.32 = b) 4.33 – 2.33 = c) 2. (-4)2 - 52 = d) (-4)3 +33 -2(-4)3 = 4. Multiplicación de potencias con bases iguales:

a) 2. 22 .22.2 2 = b) 3.33 . 3.33 = c) 4. 42 . 42 = d) 2b.23 .2 3 .2b3 = 5. Multiplicación de potencias con exponentes iguales:

a) 42 .32.5 2 = b) 23. (0,3)3 = c) 2. 33. 43 = d) 2b3.3b3 .5b 3 = 6. Potencias con exponentes negativos:

a) 5 -2 = b) 2-3. 3-2= c) 2-3. 3-2. 4-3 = d) -2-3 +( -3)-3 = 7. División de potencias con bases iguales:

a) 25 :22 = b) 33 : 31 = c) 46 : 42 = d) 6n4x5 : 2n4 x3 8. División de potencias con exponentes iguales:

a) 45 :25 = b) 63 : 33 = c) 166 : 46 = d) 6n5x3 : 2n5 x3 9. Multiplicación y división de potencias:

a)5.3.2

5.4.2 2

b) 5.3.2

5.6.42

c) b6.b4.b3

b5.b3.b23

5

d) d9.b5.16

d6.b7.b802

10. Potencia de potencias:

a) 23.5 b) (3-4)-2 c) (-2-3)-2 d) (2-2.2-4.32.5-3)-2 11. Potencia de sumas:

a) (2+3).(2+3) b) (1+6).(1+6) c) (3a-1)2 = d) (3-2b).(3+2b) = 12. Conversión en factores de potencias:

a) 4-4a+a2 b) 25 + 30b +9b2 c) x2 +8x + 15 d) (25-c2)/ (5+c)



EXTRACCIÓN DE RAÍCES PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-A

1. Extraer la raíz de:

a) 2916 b) 45796 c) 8,2944 d) 4,53 e) 2401

f) 88,36 g) 6,3504 h) 7,569 i) 63,845 j) 0,8436

2. Un pivote excéntrico se ha de forjar con un corte transversal cuadrado de

15,9 cm2 ¿Qué longitud tienen los lados?

3. La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 15,9

cm2. Calcular el diámetro de la cadena.

4. La sección transversal de un vástago de émbolo se tiene que agrandar en un

12,7%, es decir 360 mm2 ¿Qué longitud tendrá el diámetro del vástago de

émbolo?

5. La sección transversal interior de una instalación de transporte es de 45,6

cm2. ¿Qué longitud tiene el diámetro interior del tubo?



PROBLEMAS DE RAÍZ CUADRADA NIVEL I-A

Problema 1.- VER FIGURA

Un punzón perforador con corte transversal cuadrado tiene 2025 mm2 de

superficie. Calcular la longitud de los lados

a) 45 mm b) 17 mm c) 15 mm d) 24 mm e) 35 mm Problema 2.- VER FIGURA

La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 176,715mm2

Calcular el diámetro de la cadena.

a) 5 mm b) 7 mm c) 15 mm d) 12 mm e) 13 mm Problema 3.- VER FIGURA

La sección transversal de una costura de garganta (cordón de soldadura) de 45o

es de 16 mm2. Calcular la longitud de los catetos.

a) 5,65 mm b) 7,1 mm c) 1,5 mm d) 1,25 mm e) 1,36 mm




1. Determinar la suma de cifras del menor número tal que al agregarle sus tres

cuartas partes se obtenga un cubo perfecto.

a) 1 b) 16 c) 8 c) 27 d) 9 e) 25

2. ¿Cuántos números cuadrados perfectos hay entre 1521 y 15878?

a) 10 b) 87 c) 98 c) 27 d) 39 e) 55

3. Un terreno cuadrado se divide en pequeños lotes cuadrados todos iguales. Si

se desea colocar un árbol en cada vértice de los cuadrados; se emplea 261

árboles más cuando los cuadrados son 2 m de lado, que cuando son de 4 m.

¿Hallar el lado del terreno?

a) 36 b) 17 c) 48 c) 27 d) 39 e) 35

4. En el centro de un terreno que tiene la forma de un cuadrado, se ha

construido un almacén cuyas esquinas forman una superficie de 49 m2 con las

esquinas de los límites de la propiedad. Si el almacén ocupa una extensión de

361 m2. ¿Cuál es el área de toda la propiedad?

a) 1089 m2 b) 1024 m2 c) 2420 m2 d) 1280 m2 e) 1325 m2

5. Un terreno esta sembrado con árboles equidistantes entre sí. Se sabe que en

el interior hay 476 árboles más que en el perímetro, ¿Cuántos árboles hay en

total?

a) 625 b) 676 c) 576 d) 729 e) 616

6. Hallar el residuo de extraer la raíz cuadrada de 13,5742

a) 318 b) 0,1 c) 0,318 d) 0,0318 e) 4,5742

7. Reducir: 231898

3283502

a) 12 b) 6/7 c) 12/7 d) 5/7 e) 6



8. Señale el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las proposiciones:

I. 0x ; 1x.xn22n

II. 282- 51

52

.

III. 9

1273

n2 nn .

IV. xx

nn 2

2

a) VVFV b) FVVF c) VVVV d) VFVV e) FFFV

9. Efectuar: 5 45 4 133133 E .

a) 5 3 b) 10 3 c) 5 9 d) 1 e) -1

10. Efectuar: 7

2

2

2

7

3

2

1

7

3

a) 9/7 b) 7 c) 1 d) 2/7 e) 8

11. Efectuar: 6

3232

a) 16 b) 64 c) 8 d) 128 e) 256

12. : a equiv ale 273

2108

a) 3

1319 b) 333 c) –2 d) 2726 e) 1084

13. El Factor racionalizante de : 5 64813

7, es a b hallar a + b :

a) 17 b) 37 c) 12 d) 784 e) 1

14. Simplificar : 3510

7512

1085416

61224

..

..

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Efectuar: 3333 2505416

a) 256 b) 216 c) 212 d) 144 e) 128



16. Efectuar: 5,2.4,06,08,0 32323232 E

a) 4 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III

1. El cuadrado de la raíz cúbica de: 0,296296... es:

5,0)4,0)3,0)2,0)1,0)

edcba

2. ¿A que es igual la diferencia de 2 números consecutivos elevados al cubo?

a) 3n+1 b) 3n² + 1 c) 3n² + 3n d) 3n(n+1 )+ 1 e) 3 3. Al multiplicar un número por 3, 5 y 7 se obtienen tres números cuyo producto

es 230 685. Calcular dicho número.

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 4. ¿Cuál de las expresiones es Mayor?

),(edcba 10 3)10

3)

3

1)16,0

5

4)027,0)

5. Resolver la siguiente expresión: )²05,02,0(

)²05,02,0(

6. Resolver: 13

1815

7118

5.3

225.75.45

225)250)125)25)15) edcba

7. Resolver:

3

2

2

3

3

2

2

3

2)1)2)3)5) edcba



2

122

23.8

1)7)6)5)2) edcba

)5

15)(

2

12)(

10

110(.9

5,4)4)6,3)7,2)5,1) edcba

)2,192

963(2458020.10

63)32

7)5

2

15)38)510) edcba

223 006,0008,0006.0.11 QP

Pe)QQd)PPc)QQb)PQa)P 5 2

22..2529.12 BAHallarBA

450)2700)8100)270)810) edcba

)2

12()

2

11(.13

2e) 2d)3 23 c) 3b)2 2a)1

32

32.

32

32.14

10)8)6)4)1) edcba



)

3

11

2()

13

22

3(.15

1)16)6)3)2) edcba

16. Hallar x : xx 22 43 2781

3)2/1)2)1)8/1) edcba



UNIDAD 07

TRIGONOMETRÍA BÁSICA



7.1. SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES.

Los diferentes sistemas de medidas angulares, usan como unidad de medida

alguna fracción del ángulo de una vuelta.

Principales sistema de medidas angulares:

* Sistema Sexagesimal (inglés) : Sº

* Sistema Centesimal (francés) : Cg

* Sistema Radial o Circular : R rad

7.1.1. SISTEMA SEXAGESIMAL ( S ). La UNIDAD de medida es el Grado Sexagesimal (1º) que es la 360 ava. Parte

del ángulo de una vuelta.

El ángulo de una vuelta mide 360º

Los submúltiplos del Grado Sexagesimal son el Minuto Sexagesimal (1) y el

Segundo Sexagesimal (1), donde:

1º equivale a 60

1 equivale a 60

1º equivale a (60x60) ó 3600

7.1.2. SISTEMA CENTESIMAL ( C ).

La UNIDAD de medida es el Grado Centesimal (1g) que es la 400 ava. Parte del

ángulo de una vuelta.

El ángulo de una vuelta mide 400g

Los submúltiplos del Grado Centesimal son el Minuto Centesimal (1m) y el

Segundo Centesimal (1s), donde:

90

180



1g equivale a 100m

1m equivale a 100s

1g equivale a (100x100)s ó 10000s

7.1.3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR ( R ).

La UNIDAD de medida es el Radián (rad.) El radián es la unidad de medida de

un ángulo central en un círculo cuya longitud del radio (R) es igual a la longitud

del arco de la circunferencia (L) que subtiende dicho ángulo.

El ángulo de una vuelta mide 2 rad.

7.1.4. RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS.

Sea un angulo donde:

S representa la medida de en grados Sexagesimales.

C representa la medida de en grados Centesimales.

R representa la medida de en Radianes.

Donde la fórmula de Conversión es:

R

200

C

180

S

100g

200g

R

L

rad2

rad

“Si L R entonces la medida del , es igual

a un radián o simplemente 1 rad.”



Observaciones:

S, C y R no representan submúltiplos (minutos ni segundos).

Para convertir grados sexagesimales a centesimales o viceversa se emplea

sólo: 200

C

180

S ; simplificando se obtiene:

10

C

9

S

Donde: Otras equivalencias importantes:

Ejemplos:

1) Convertir 45 a grados centesimales.

Como S = 45, remplazar en la siguiente fórmula:

9

S.10C

g509

º45.10C

2) Convertir 125g a radianes.

Como C = 125g, remplazar en la siguiente fórmula:

200

CR

200

125R

rad

8

5R

3) Convertir 5

3 radianes a grados sexagesimales.

Como R = 5

3rad, remplazar en la siguiente fórmula:

R

180

S

5

3

180

S

5

3180S º108S

10

9.CS

9

10.SC

9 = 10g

27 = 50m

81 = 250s

180 = rad

200g = rad



OTRA FORMA:

Multiplicar la medida dada por un FACTOR DE CONVERSIÓN que está

conformado por una fracción equivalente a la unidad.

En el denominador de tal fracción se escribe la unidad a eliminar y en el

numerador la unidad que se busca.

Por ejemplo para convertir 5

3rad a grados sexagesimales se hará de la siguiente

manera:

rad.

º180

5

rad.31

5

rad.3

Se ha reemplazado la unidad por la fracción (FACTOR DE CONVERSION)

sabiendo que: 180 = rad.

Luego : º1085

º1803

rad.

º180

5

rad.3rad

5

3

4) Convertir 0,621 a segundos centesimales.

Solución:

Se va a emplear en una sola línea tres FACTORES DE CONVERSIÓN.

No olvidar que:

s

m

s

g

mg

69001

100

1

100

º9

10º621,0º621,0

5) Convertir 7500s a minutos sexagesimales.

5́,4060

1́

250

8175007500

"s

"ss

9=10g 1g=100m 1m=100s

Recordar que:

81” = 250s 1´ = 60”



EJERCICIOS 1. Completar el siguiente cuadro en el sistema de medidas angulares pedido:

N SEXAGESIMAL ( Sº ) CENTESIMAL ( Cg ) RADIAL ( R rad )

1 30º

2 60º

3 90º

4 45º

5 27º

6 53º

7 16º

8 74º

9 8º

10 91 1/9g

11 16 2/3g

12 83 1/3g

13 25g

14 75g

15 20 5/9g

16 79 4/9g

17 29 4/9g

18 127

360

19 2

3

20 5

4

21 27

36



1. SOLUCIÓN DE LAS APLICACIONES

N SEXAGESIMAL ( Sº ) CENTESIMAL ( Cg ) RADIAL ( R rad )

1 30º 33 1/3g 1 rad 6

2 60º 66 2/3g 1 rad 3

3 90º 100g 1 rad 2

4 45º 50g 1 rad 4

5 27º 41 219g 37 rad 180

6 53º 58 8/9g 53 rad 180

7 16º 17 7/9g 4 rad 45

8 74º 82 2/9g 37 rad 90

9 8º 8 8/9g 2 rad 45

10 82º 91 1/9g 41 rad 90

11 15º 16 2/3g 1 rad 12

12 75º 83 1/3g 5 rad 12

13 22,5º 25g 1 rad 8

14 67,5º 75g 3 rad 8

15 18,5º 20 5/9g 37 rad 360

16 71,5º 79 4/9g 143 rad 360

17 26,5º 29 4/9g 53 rad 360

18 63,5º 70 5/9g 127 rad 360

19 120º 133 1/3g 2 rad 3

20 225º 250g 5 rad 4

21 135º 150g 3 rad 4



7.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS.

Son las fracciones que se forman con las longitudes de los lados de un triángulo

rectángulo respecto a un ángulo agudo.

En el triángulo rectángulo que se muestra, los

catetos son los lados a y b; la hipotenusa es c,

además:

Cateto opuesto de es “a”

Cateto adyacente de es “b”

Cateto opuesto de es “b”

Cateto adyacente de es “a”

Las razones trigonométricas que se pueden formar respecto al ángulo “” serian:

Hipotenusa

opuesto Cateto

c

a Seno

opuesto Cateto

adyacente Cateto

a

b Cotangente

Hipotenusa

adyacente Cateto

c

b Coseno

adyacente Cateto

Hipotenusa

b

c Secante

adyacente Cateto

opuesto Cateto

b

a Tangente

opuesto Cateto

Hipotenusa

a

c Cosecante

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES.

b

a

c

30º

60º 2k k

k 3

37º

53º 5k 3k

4k

45º k 2 k

k

45º

16º

74º 25k 7k

24k

8º

82º 10k k 2

27 k

15º

75º 4k

( 26 )k

( 26 )k



TABLA DE VALORES DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

F.T. 8º 15º 16º 37/2º 53/2º 30º 37º 45º 53º 60º

Sen 10

2

4

26

25

7

10

1

5

1 1

2 3 5 2

1

4 5 2

3

Cos 10

27

4

26

25

24

10

3

5

2

2

3

4 5 2

1

3 5

1 2

Tng 7

1

26

26

24

7

3

1

1 2 3

1 3

4 1 1

4 3 1

3

Ctg 1

7

26

26

7

24

1

3

2 1 1

3

4 3

1 1

3 4 3

1

Sec 27

10

26

4

24

25

3

10

2

5

3

2 5

4 1

2

5 3

2 1

Csc 2

10

26

4

7

25

1

10

1

5

2 1

5 3 1

2

5 4 3

2

7.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES.

Si un ángulo en posición normal hace coincidir su lado final con alguno de los

semiejes del sistema de coordenadas, tal ángulo se llama CUADRANTAL.

Estos ángulos en una primera vuelta son 0º; 90º; 180º; 270º; 360º. Las razones

trigonométricas de estos ángulos cuadrantales se muestran en la siguiente

tabla:

ND: “No definido”

sen cos tg cotg sec cosec

0º ó 360º 0 1 0 ND 1 ND

90º 1 0 ND 0 ND 1

180º 0 -1 0 ND -1 ND

270º -1 0 ND 0 ND -1

10 k k

3k

37º 2

k

2k

5 k

53º 2

75

4k

15

k

0

90

180

360



Ejemplos de aplicación: Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones:

1. º53cos

º16cos6º45cos2 2 =

5

3

25

246

2

12

2

=

5

3

25

144

2

12

=

5

35

121

=

5

35

17

= 3

17

2. 322

3sec3

6ctg5

= 3 22 º60sec3º30ctg5 = 3 22

2335

= 3 4335 = 3 27

= 3 7.4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de sus lados y ángulos a

partir de dos datos, uno de los cuales debe ser lado.

Para resolver triángulos rectángulos se pueden presentar dos casos:

I. Los datos conocidos son: dos lados.

II. Los dos datos conocidos son: un lado y un ángulo agudo.

Ejemplos:

1. Resolver el triángulo que se muestra continuación:

Solución: Como datos se tienen la medida de dos lados, “este problema corresponde al caso I.”

Para hallar el tercer lado “a”, se aplica el Teorema de Pitágoras.

28 m

35 m

a

β



Razón Trigonométrica de

21a

441a

441a

2835a

3528a

2

222

222

El ángulo se halla estableciendo una razón trigonométrica que relacione

lados conocidos.

º37β

""

;

53º - 90º

:tanto lo por ,"" de ocomplement el es

53ºα :Entonces 5

4Cos53 el Pero ;

5

4

35

28Cosα o

2. Resolver el triángulo que se muestra continuación:

Solución: Como datos se tienen la medida de un ángulo agudo y un lado, “este problema corresponde al caso II.”

Hallando β, que es el complemento de 16

β = 90 - 16

β = 74

Se calcula “a”: tomando una razón trigonométrica de 16, que relacione el dato con la incógnita.

)( RT conocido Lado

odesconocid Lado

cm 14 a

25

7

cm 50

a

16º sen cm 50

a

Se calcula “b” en forma similar que el caso anterior, pero esta vez conviene

trabajar con la razón trigonométrica coseno de 16.

b

50cm

a

16

β

b

50cm

a

16

β



cm 48 a

25

24

cm 50

a

16º Cos cm 50

b

7.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE SENOS. “En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de

los ángulos opuestos”

Ejemplo: 1. Resolver el triángulo que se muestra continuación: Solución: Resolver el triángulo consiste en hallar la medida de sus lados y sus ángulos internos. Se tiene que hallar las

medidas de “L”, “β” y “”.

Primero hallar el valor de “” aplicando la ley de senos:

30º : Entonces ; 2

1

70

37º Sen70

θ Sen

70m

37º Sen

84m

Sen

84

5

3

Sen

84Sen

b

50cm

a

16

β

β

a b

c

Sen

c

Sen

b

Sen

a

37º

β

70 m

84 m

L

37º

30

113

70 m

84 m

L



Ahora hallar el valor de “β”: 37º + 30º + β = 180º

β = 113º Aplicando la Ley de senos para calcular el valor de “L”:

m 128,87 L : Entonces

Tablas) (Por 0,9205 67º Sen ;

2

1

0,9205m 70

30º Sen

67º Senm 70 L

Cuadrante) I (Reducción Sen67º113º Sen :Pero

30º Sen

113º Senm 70 L

30º Sen

70m

113º Sen

L

7.6. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE COSENOS.

“En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es

igual a la suma de los cuadrado de las longitudes de los otros dos lados, menos el

doble producto de ellos, multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre

ellos”.

2ab.Cosθbac 222 Ejemplo: 1. Hallar la medida del lado “x” Solución:

cos37º201222012x 222

5

4480400144x2

384544x2

m. 104 160x

a

b

c

37º

20 m

12 m

x



PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1. Sobre un cuerpo actúa una fuerza vertical de 10 N hacia arriba, una fuerza

hacia la izquierda de 15 N. ¿Qué ángulo forma la resultante con la horizontal?

a) 18,1°

b) 33,7°

c) 25°

d) 27,5°

e) 20,8°

2. Un cuerpo que pesa 100kg fuerza, sube un plano inclinado de 37° ¿Hallar la

normal en N?

a) 298

b) 537

c) 706

d) 593

e) 785

3. Convertir 5° a radiantes.

a) 8

b) 7

c) 6

d) 3

e) 36

4. Convertir 0.5 radiantes a grados sexagesimales:

a) 35°

b) 44,1°

c) 50°

d) 28,64°

e) 39°

5. Hallar el valor de 2 radiantes en grados:

a) 77° 47´ 45 ´´

b) 57° 37´ 45 ´´

c) 27° 17´ 25 ´´

d) 114° 35´ 29 ´´

e) 58° 17´ 45 ´´

6. Encontrar el valor del cos , si el 5.0sen a) 0.78

b) 0.86

c) 0.5

d) 0.63

e) 0.83



7. Hallar el valor de la tan , si la 4sec . a) 0.31

b) 0.20

c) 0,25

d) 0.34

e) 0.60

8. Se observa un árbol a una distancia de 25m, con una ángulo de elevación de

53° ¿Cuál es la altura del árbol?

a) 85m

b) 33m

c) 125m

d) 37m

e) 29m

9. Se observa desde lo alto de un edificio de altura 20m a un auto, con un ángulo

de depresión de 37°. Si el auto de aleja del edificio a una velocidad de

15m/seg ¿A qué distancia del edificio se encontrará el auto en 2 segundos?

a) 75m

b) 57m

c) 115m

d) 50m

e) 250m

10. ¿A qué es equivalente 5

4 rad?

a) 130°

b) 124°

c) 136°

d) 124°

e) 164°

11. Expresar 150° en radianes.

a) rad 54

b) rad 45

c) rad 34

d) rad 65

e) rad 6

12. En un triangulo rectángulo, el perímetro es 90 cm y el coseno de uno de los

ángulos agudos es 12/13. Hallar la longitud de su hipotenusa.

a) 13

b) 26

c) 39

d) 52

e) 65



13. En un triangulo rectángulo la hipotenusa mide el triple del cateto menor.

Calcular la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo

a) 2

b) 22

c) 23

d) 2

e) 4

14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que:

SenCsenACalcularMA ..12

5cot

a) 3/13

b) 5/13

c) 7/13

d) 9/13

e) 11/13

15. Si Tg . Hallar. Sen ( Es un ángulo agudo)

a) 2

2 b)

2

23 c)

4

2 d)

8

2 e) 2




1. Hallar “ x”

a) 4

b) 4 2

c) 4 3

d) 4 6

e) 6

2. Hallar AF si AM= 2 5

a) 3.873

b) 7.746

c) 5

d) 3

5

e) 10

3. Hallar (X + Y):

a) 35

b) 30

c) 40

d) 20

e) 25

4. Hallar R:

a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

5. Hallar R:

a) 70,0

b) 43,6

c) 28,2

d) 35,0

e) 90,0

52

estudios generalesvirtual.senati.edu.pe/pub/cd_pt/89001295_matematica_01...los directores zonales y...

Documents