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ESTUDIO DE LA HEMODINÁMICA GENERADA POR UN FLUJO PULSÁTIL EN UN
CONDUCTO VASCULAR SIMPLIFICADO
DIEGO ALEJANDRO ORTIZ NIÑO
Proyecto de grado para optar al título de Ingeniero Mecánico
Asesores
Elsa Maria Nieto Profesora Instructora
Juan Carlos Briceño Profesor Asociado
Ingeniería Mecánica
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MECANICA
BOGOTA, D.C.
2004
IM-2003-II-26
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Este proyecto se realizo dentro del marco de cooperactión entra Francia y Colombia, ECOS-NORD
Proyecto “Análisis Interactivo y Almacenamiento de Imágenes 3D” Código: C03S02
Proyecto cofinanciado por Colcienicas-Universidad de Los Andes- Hospital
Universitario San Ignacio “Estudio de la hemodinámica a través de una
estenosis de la bifurcación de la arteria carótida y su influencia en las
observaciones clínicas”
Código de Proyecto 1204-04-11887
Contrato 143-2002
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Tabla de Contenido
1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 7
2. OBJETIVOS....................................................................................................................... 10
2.1. Objetivo Principal ..................................................................................................... 10
2.2. Objetivos Específicos................................................................................................. 10
3. MARCO TEÓRICO............................................................................................................ 11
3.1. Fisiología del Sistema Circulatorio ........................................................................... 11 3.1.1. Generalidades ..................................................................................................... 11 3.1.2. Características del Flujo Pulsátil Fisiológico ....................................................... 13
3.2. Propiedades Reológicas de la Sangre........................................................................ 19 3.2.1. Modelos Viscosidad diferentes Fluidos .............................................................. 19 3.2.2. Propiedades Reológicas de la Sangre y el Papel de sus Constituyentes................. 23
3.3. Propiedades Mecánicas de la Pared Arterial............................................................ 29 3.3.1. Estructura y Composición de las Paredes Arteriales............................................. 29 3.3.2. Propiedades Mecánicas de los Componentes de la Pared Arterial ........................ 31 3.3.3. La Pared Arterial como Material Compuesto....................................................... 33
3.4. Modelaje por Elementos Finitos ............................................................................... 35 3.4.1. Ansys......................................................................................................................... 36 3.4.2. FLOTRAN................................................................................................................. 37
4. METODOLOGÍA ............................................................................................................... 43
4.1. Modelo de un Vaso Simplificado con Flujo Pulsátil ................................................. 43
4.2. Modelo con 20% de Estenosis ................................................................................... 46
4.3. Modelo con 40% de Estenosis......................................................................................... 48
5. RESULTADOS................................................................................................................... 50
5.1. Resultados del Modelo de Vaso Simplificado con Flujo Pulsátil ................................... 50
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5.2. Resultados del Modelo con 20% de Estenosis ................................................................ 52
5.3. Modelo con 40% de Estenosis......................................................................................... 61
6. ANÁLISIS DE RESULTADOS .......................................................................................... 69
6.1. Modelo de Vaso Simple con Flujo Pulsátil ............................................................... 69
6.2. Modelo de Cilindro con Estenosis del 20% y Flujo Pulsátil..................................... 69
6.3. Modelo de Cilindro con Estenosis del 40% y Flujo Pulsátil..................................... 76
7. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS .............................................................................. 79
8. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................ 82
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Índice de Ilustraciones
Ilustración 1 Esquema del sitema circulatorio. (Tomado de [1]. Sin permiso) ....................................... 13 Ilustración 2 Forma de la onda de presión arterial. (Tomado de [1] Sin permiso) .......................... 15 Ilustración 3 Ondas de presión y velocidad en varios puntos del árbol arterial ( Tomado [6]. Sin
permiso)............................................................................................................................... 16 Ilustración 4 Distribución de las fluctuaciones de velocidad a través del sistema
circulatorio(Tomado de [1] . Sin permiso) ............................................................................ 17 Ilustración 5 Reograma para los distintos tipos de flujo asumiendo presión y temperatura constantes.
(Tomado de [1] Sin permiso)................................................................................................ 22 Ilustración 6 Viscosidad en función del esfuerzo cortante para plasma puro y sangre con distintos
niveles de hematocrito. (Tomado de Tomado de [1]. Sin permiso) ........................................ 27 Ilustración 7 Pruebas de tensión realizadas a la pared arterial en función del estiramiento y la edad
(Tomado de [1]. Sin permiso) ............................................................................................... 33 Ilustración 8 Diagrama de presión – volumen para la aorta toráxica humana. los números superiores se refieren a la
edad de la aorta. (Tomado de [1]. Sin permiso).................................................................................. 34 Ilustración 9 Elemento Fluid 141.................................................................................................. 42 Ilustración 10 Elemento Fluid 142................................................................................................ 42 Ilustración 11 Geometría Vaso Simple ......................................................................................... 43 Ilustración 12 Carga dependiente del tiempo en forma de vector................................................... 44 Ilustración 13 Editor de Funciones ............................................................................................... 45 Ilustración 14 Velocidad de Entrada contra Tiempo...................................................................... 45 Ilustración 15 Geometría y dimensiones del modelo con una estenosis del 20%............................ 46 Ilustración 16 Geometría y dimensiones del modelo con estenosis al 40%.................................... 48 Ilustración 17 Ubicación muestras de perfiles de velocidad, en la geometría con una estenosis del
40% ..................................................................................................................................... 49 Ilustración 18 Velocidad en X Tiempo 0.5 (Vaso Simple) ............................................................ 50 Ilustración 19 Velocidad en X Tiempo 1 (Vaso Simple) ............................................................... 51 Ilustración 20 Velocidad en X Tiempo 1.5 (Vaso Simple) ............................................................ 51 Ilustración 21 Velocidad en X Tiempo 2 (Vaso Simple) ............................................................... 52 Ilustración 22 Presiones contra el Tiempo tomadas en el vaso Simple en tres puntos distintos, la
entrada al vaso, en la mitad del vaso y a la salida del mismo. ................................................ 53
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Ilustración 23 Presiones contra el Tiempo tomadas en el vaso con estenosis al 20% en tres puntos
distintos, la entrada al vaso, en la mitad de la estenosis y a la salida del mismo. .................... 53 Ilustración 24 Presiones en el Modelo con 20% de estenosis con una velocidad de entrada constante
de 90 cm/s............................................................................................................................ 54 Ilustración 25 Velocidad y Presión en la entrada para el Vaso Simple........................................... 55 Ilustración 26 Velocidad y Presión en la entrada para el Vaso con Estenosis al 20%..................... 55 Ilustración 27 Esfuerzos Cortantes Carga Constante 90 m/s.......................................................... 60 Ilustración 28 de los puntos e Ubicación de los puntos donde se tomaron las gráficas de presión
contra tiempo ....................................................................................................................... 60 Ilustración 29 Presiones contra tiempo en distintos lugares de la estenosis.................................... 61 Ilustración 30 Perfiles de velocidad en el punto entrada 1 ............................................................. 62 Ilustración 31 Perfiles de velocidad en el punto entrada 2 ............................................................. 62 Ilustración 32 Perfiles de velocidad en la estenosis ....................................................................... 63 Ilustración 33 Perfiles de velocidad en el punto salida 1 ............................................................... 63 Ilustración 34 Perfiles de velocidad en el punto salida 2 ............................................................... 64 Ilustración 35 Perfiles de presión para el modelo con 40% de estenosis en el punto “entrada 2” para
distintos tiempos. ................................................................................................................. 65 Ilustración 36 Perfiles de presión en el puntó denominado entrada dos para distintos tiempos ....... 67 Ilustración 37 Puntos correspondientes a los tiempos de muestra respecto a la onda de carga
original................................................................................................................................. 68 Ilustración 38 Tres muestras de las distribuciones de presión a la entrada, mitad y salida de un
segmento de arteria normal y uno que presenta estenosis, para diferentes niveles de actividad
vasomotora. (Tomado de [1]. Sin permiso) ........................................................................... 70 Ilustración 40 Representacion esquematica de una Estenosis (Tomado de [1]. Sin permiso).......... 77
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1. INTRODUCCIÓN
Las enfermedades cardiovasculares es la principal causa de muerte en países civilizados.
Particularmente en nuestro país la arteriosclerosis es la segundo causa de muerte después de la
violencia según el libro “La carga de la Enfermedad en Colombia”[3] del ministerio de Salud. Esto
ha motivado a que en los últimos años se hayan presentado grandes avances en el tema, sin embargo
todavía existe un vasto campo de conocimiento por explorar en esta área. Aun se desconoce a
plenitud la influencia de los patrones de flujo en la formación de la placa aterosclerótica y en el
desprendimiento de la misma, por lo tanto esta se ha convertido en un área interesante de
investigación. Un mayor conocimiento de la hemodinámica nos permitirá conocer y encontrar
posibles soluciones a problemas localizados como los que se presentan en la bifurcación de la
arteria carótida, sin embargo el estudio directo de los fenómenos fisiológicos se dificulta demasiado
por lo cual es importante buscar herramientas que permitan un estudio no invasivo y posterior
modelaje de los diferentes casos. El análisis por medio de elementos finitos es una técnica que ha
venido en auge en los últimos años debido a su poder a la hora de entregar resultados y a sus sólidos
fundamentos teóricos. Sin embargo puede llegar a ser un arma de doble filo si no se trabaja
apropiadamente, por lo cual hay que tener cuidado a lo hora de realizar el modelo, y al elegir e
implementar supuestos y aproximaciones al problema original ya que se puede estar afectando la
veracidad de los resultados obtenidos por medio de la simulación.
Realizar un modelo de algo tan complejo como lo es el sistema circulatorio requiere que se vaya
avanzado poco a poco a través de metas especificas en lugar de atacar de una vez el problema
general en un solo intento. Esta tesis se basa en los avances hechos por Andrés Gonzales en su tesis
de maestría titulada “Hemodinámica en la Bifurcación de la Arteria Carótida” en donde el planteaba
un modelo asumiendo paredes arteriales con módulo de elasticidad constante y condiciones de flujo
en la frontera de presión y/o velocidad constantes, sin embargo es importante hacer que estos
supuestos se aproximen mas a las condiciones fisiológicas para obtener modelos que reflejen mejor
la realidad y que puedan aportar más a una futura investigación sobre el tema.
Para poder realizar un modelo coherente con la realidad es necesario adquirir unos conocimientos
básicos acerca del funcionamiento del sistema circulatorio, saber cual es su función y sus
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características básicas es fundamental para poder establecer si los resultados obtenidos están en
realidad dentro de los rangos esperados. Es por esto que la primera parte del marco teórico consiste
en una aproximación a las generalidades del sistema circulatorio, enfocándose en las características
del flujo pulsátil fisiológico.
Al ser la sangre el fluido con el cual vamos a tratar es importante conocer sus características
reológicas, saber que supuestos se pueden aplicar y en que casos estos entregan una exactitud
aceptable. La sangre es un fluido complejo cuyas características varían entre las distintas personas
de acuerdo con los niveles de distintos componentes que cada uno presente, esto hace que sea
primordial entender el papel de cada componente en las propiedades reológicas de la sangre, ya que
así se puede saber que comportamiento esperar con base a la composición de sangre. Todo esto se
puede ver en el segundo capitulo del marco teórico en donde se ven las propiedades de la sangre
como fluido.
Aunque dentro del propósito de esta tesis no se encuentra el estudio del comportamiento
hemodinámico cuando se consideran las paredes como elásticas si se incluye una introducción a las
propiedades mecánicas de la pared arterial, lo cual puede servir de base a investigaciones futuras
acerca de la manera como se puede tratar la pared arterial como un material de ingeniería.
El manejo adecuado de las herramientas que nos permiten la simulación por medio de elementos
finitos es algo fundamental para lograr modelos sólidos y coherentes, en el capitulo cuarto del
marco teórico se de una breve introducción a Ansys y a la manea como su modulo de fluidos
FLOTRAN maneja los problemas de fluidos. Esta información se basa principalmente en los
manuales de referencia teórica de Ansys, en donde se puede encontrar una profundización al
respecto.
El propósito de esta tesis de pregrado es realizar un modelo computacional que tome en cuenta las
condiciones fisiológicas de flujo pulsátil en lujar de simplificaciones y que presente resultados
aplicables en la investigación de las enfermedades arteroescleróticas.
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2. OBJETIVOS
2.1. Objetivo Principal
El objetivo Principal de este trabajo es crear un modelo computacional para el estudio de la
hemodinámica en un conducto vascular simple cuando se presenta un flujo pulsátil.
2.2. Objetivos Específicos
- Establecer las propiedades de la sangre como fluido con el fin de poder modelarla
adecuadamente en un programa de elementos finitos.
- Identificar las propiedades físicas y mecánicas de la pared arterial las cuales se encuentran
en la bibliografía disponible.
- Caracterizar los parámetros del flujo (velocidades y presiones) y darles el formato adecuado
para poder establecerlos como condiciones de frontera en el modelaje computacional.
- Establecer las suposiciones necesarias para obtener un modelo dentro del alcance de este
proyecto.
- Realizar el análisis de elementos finitos del modelo.
- Elaborar una serie de sugerencias basadas en los resultados obtenidos y que sean de utilidad
para proyectos futuros sobre el tema.
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3. MARCO TEÓRICO
3.1. Fisiología del Sistema Circulatorio
3.1.1. Generalidades
El buen entendimiento del funcionamiento del sistema circulatorio es un punto clave a la hora de
realizar un modelo relacionado con el flujo arterial. La literatura disponible acerca del tema es
bastante extensa y especifica en sus contenidos, por lo que el objetivo de este capitulo no es tratar el
tema en su totalidad, ni con la profundidad requerida, sino explorar algunos aspectos básicos del
funcionamiento del sistema circulatorio los cuales son esenciales para establecer un modelo
coherente con la realidad. También el entendimiento de estos temas básicos nos proveerá los
criterios necesarios para discernir con mayor exactitud acerca de la validez de los supuestos que se
piensan utilizar en el trabajo.
La circulación en el cuerpo humano se puede dividir en dos sistemas principales, la circulación
pulmonar o menor y la circulación sistémica o mayor. La primera es la encargada de llevar la sangre
a los pulmones en donde se deshace del CO2 y adquiere oxigeno. Esta se inicia en el ventrículo
derecho y termina en la aurícula izquierda. La circulación sistemática comienza en el ventrículo
izquierdo y termina en la aurícula derecha, esta es la encargada de llevar la sangre a todos los
tejidos y órganos del cuerpo.
Debido a que la circulación sistemática es la mas significativa, nos vamos a enfocar en entender su
funcionamiento. Esta es la encargada de proveer a cada célula del cuerpo con el oxigeno, vitaminas,
hormonas y calor necesarios para su buen funcionamiento. También de recoger los productos de
desecho y el calor sobrante producido por las células. Para lograr esto deben estar coordinadas las
demandas de cada célula con lo proveído por el flujo sanguíneo. Como estos requerimientos varían
con el entorno(clima), la actividad física entre otras, por esto el sistema circulatorio necesita una
manera efectiva de controlarse, y así incrementar o disminuir el flujo de sangre para cada zona
especifica del cuerpo. Existen dos concepciones distintas acerca de cómo se da este control, la
primera establece que los grandes vasos sanguíneos son los encargados de este control; la segunda
afirma que son los capilares y vasos pequeños los encargados del control. La aproximación basada
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en el control de los vasos mayores es la asumida por la mayoría de los acercamientos por parte de
ingenieros al tema.
Se han establecido relaciones matemáticas para poder interpretar la resistencia de cada uno de los
vasos sanguíneos en función de sus propiedades geométricas y dee la viscosidad de la sangre. Esto
nos permite establecer cuales son los vasos que mas influyen en el flujo de sangre. La relación mas
utilizada es la que se deriva de las ecuaciones de Poiseuille:
πµ4
8r
LR =
En fisiología generalmente se utilizan las PRU (Peripheral Resístanse Units) para medir la
resistencia en los vasos sanguíneos. Una PRU es equivalente a la resistencia necesaria para hacer
fluir a una velocidad de 1cm3/min bajo una presión de 1 mmHg.
La siguiente clasificación de los vasos sanguíneos nos ayuda a darnos una idea de los distintos
tamaños y la diferencia entre ellos, también a establecer de una manera mas clara la jerarquía de los
vasos.
Tabla 1 Resistencia Relativa y Capacitancia de algunos vasos sanguíneos. Tomado de [1] Sin permiso.
Tipo de
Vaso
Diámetro
Interno
Promedio
Área seccional
total
Aproximada
Porcentaje en
Volumen de Sangre
Contenida
Capacitancia
Relativa
Resistencia
Relativa
Aorta 2.5 cm 4.5 cm2 3% 4.5% 4%
Arteria 0.4 cm 20 cm2 8% 12% 21%
Arteriola 30 µm 400 cm2 3%
14%
4.5% 27%
Capilar 6 µm 4500 cm2 4% 6% 41%
Venula 20 µm 4000 cm2 4% 6% 4%
Vena 0.5 cm 40 cm2 12% 18% 1.5%
Vena Cava 3 cm 18 cm2 33%
49%
49% 1.5%
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El establecimiento de los requerimientos promedios de sangre para cada órgano nos permite darnos
una idea aproximada de la jerarquía
3.1.2. Características del Flujo Pulsátil Fisiológico
3.1.2.1. Ciclo Cardiaco
El ciclo cardiaco comienza cuando la sangre rica en oxígeno abandona el ventrículo izquierdo, de
donde pasa a la aorta para luego distribuirse a través de las arterias, arteriolas y capilares en donde
intercambia nutrientes y desechos con los tejidos y órganos. Después de esto los capilares llevan la
sangre que ahora es rica en CO2 a las venas en donde por medio de la vena cava llegan a la aurícula
derecha del corazón. La sangre pasa entonces por la válvula tricúspide a el ventrículo izquierdo, en
donde comienza la circulación pulmonar que lleva la sangre a los pulmones, allí se presenta un
intercambio de CO2 por oxígeno y luego pasa a la aurícula izquierda, para finalmente volver al
ventrículo derecho al pasar por la válvula bicúspide o mitral.
Ilustración 1 Esquema del sitema circulatorio. (Tomado de [1]. Sin permiso)
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El ciclo cardiaco se divide en diástole y sístole. Antes de la sístole la presión en la aurícula
izquierda supera la presión en el ventrículo izquierdo, por lo que la válvula mitral se abre
permitiendo el flujo hacia el ventrículo, mientras esto sucede la válvula que conecta el ventrículo
con la aorta se mantiene cerrada, ya que la presión en la aorta es superior a la del ventrículo y la
válvula es de una sola vía. Después la presión en el ventrículo empieza a aumentar, por lo que se
cierra la válvula mitral, la válvula que conecta con la aorta se abre cuando la presión ventricular
supera a la arterial por lo que se presenta una eyección rápida de la sangre, al disminuir la presión se
cierra la válvula y se relaja el miocardio, en este punto empieza la diástole. En este momento
ambas válvulas se encuentran cerradas, y la presión empieza a caer debido a la relajación del
miocardio hasta que se iguala con la presión auricular, por lo que se vuelve a abrir la válvula mitral
comenzando un nuevo ciclo.
3.1.2.2. Propagación de las Ondas de Presión en el Sistema Circulatorio
Debido a la naturaleza pulsátil del ciclo cardiaco, ni la velocidad ni la presión son constantes a
través del tiempo, en lugar de esto se presentan en forma de ondas que viajan por el sistema
circulatorio permitiendo el flujo de la sangre por el mismo. Históricamente el estudio de la onda de
presión ha sido mas importante que el de la onda de velocidad, hasta 1970 la mayoría de lo métodos
que se habían hecho para determinar si el flujo presenta condiciones normales se basan en la
presión, esto se debe principalmente a que en ese momento era mas fácil tomar datos de presión que
de velocidad.
Las ondas de presión se originan en el ventrículo izquierdo, y cambian de forma a medida que
viajan por el sistema circulatorio. En la aorta presentan gran pulsatilidad, para luego irse
amortiguando al pasar a través de los diferentes vasos, hasta que finalmente en condiciones
normales las ondas están casi completamente amortiguadas al llegar a los capilares. El
amortiguamiento se debe principalmente a la viscosidad de la sangre y a la elasticidad de las
paredes, ya que son estos dos elementos los que dispersan la energía de la onda. En el cambio de
forma de la onda influyen también la geometría, la cual presenta un constante decrecimiento del
área seccional, asimismo el debido a las numerosas ramificaciones, las cuales generan un reflexión
de la onda, que al sobreponerse con la onda original la modifica.
Cuando la onda de presión llega a una discontinuidad parte de la onda es trasmitida de manera
directa, mientras que otra parte se refleja y se suma a la onda original, por lo que se puede presentar
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un aumento en la presión. La onda reflejada se vuelve a reflejar en las paredes, o en la misma
sangre y así hasta amortiguarse completamente. La superposición de ondas genera un pico que se
conoce con el nombre de incisura.
Ilustración 2 Forma de la onda de presión arterial. (Tomado de [1] Sin permiso)
La velocidad de trasmisión de la onda de presión varia en los distintos vasos, sin embargo los
valores mas aceptados son de 3 m/s en la aorta torácica y de 5 m/s en las arterias mas pequeñas, en
donde la proporción de colágeno es mayor [1]. Las arterias mas rígidas al igual que patologías como
la hipertensión, o la esclerosis aumentan la velocidad de propagación de la onda.
Otras causas de cambios en la forma de la onda de presión son la presión centrífuga, en las arterias
que se encuentran dobladas, o las vibraciones naturales que ocurren en distintas partes del sistema
circulatorio, especialmente en las regiones que presentan alguna estenosis. También la pulsación
secundaria debido a la respiración, y a la presión de los tejidos ajenos al sistema circulatorio, que
rodean las arterias.
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Ilustración 3 Ondas de presión y velocidad en varios puntos del árbol arterial ( Tomado [6]. Sin
permiso)
3.1.2.3. Ondas de Velocidad
La onda de velocidad es fásica en la mayor parte del árbol arterial , en la aorta el pico máximo es de
alrededor de 100 a 150 cm, sin embargo el valor que se utiliza mas comúnmente no es el pico, sino
la velocidad media la cual en la aorta es de 40 cm/s. La velocidad en los demás vasos del árbol
arterial puede ser calculada utilizando la ecuación de continuidad. Al igual que las ondas de presión,
las ondas de velocidad se van amortiguando a medida que llegan a los capilares, sin embargo al
pasar de los capilares a las venas vuelve a presentarse pulsatilidad, esto se debe principalmente al
efecto de succión que la aurícula derecha ejerce sobre el sistema de venas.
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Ilustración 4 Distribución de las fluctuaciones de velocidad a través del sistema circulatorio(Tomado de
[1] . Sin permiso)
3.1.2.4. Reflexión de Ondas
Como se mencionó anteriormente al llegar a una discontinuidad, parte de la onda es trasmitida y
parte reflejada. Para lograr hacer un análisis correcto de los resultados de un modelo computacional
que presenta flujo pulsátil es necesario entender primero el comportamiento que se ha deducido
analíticamente y teóricamente se espera que suceda. Por eso este capítulo se dedica a introducir los
fundamentos matemáticos que nos permiten predecir como se comportan las ondas de velocidad y
presión cuando se reflejan. El modelo aquí presentado corresponde al de Mones - Korteweg y fue
tomado del libro de Uri Dinnar [1], en el cual se puede encontrar un desarrollo más completo del
mismo. En él se establece las siguientes relaciones para la presión y la velocidad en función del
tiempo, y de la posición:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0021
0021
,
,
utcxutcxutxu
PtcxPtcxPtxP
o
o
+++−=
+++−=
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C0 corresponde a la velocidad de propagación de ambas ondas: velocidad y presión, a este término
se le conoce también con el nombre de Velocidad de Onda de Mones – Korteweg. Esta definido por
la siguiente ecuación:
Ecuación 1Velocidad de Propagación de las Ondas
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0 2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ρaEhC
En donde E corresponde al modulo de elasticidad de la pared, h al espesor de la pared, a el radio
del tubo y ρ la densidad del fluido.
Las ecuaciones para la presión y la velocidad sirven para ecuaciones viajando en ambas direcciones,
por lo que las ondas originadas por el ciclo cardiaco son las consideradas como positivas. Las ondas
negativas son producto de las reflexiones que se presentan en las distintas discontinuidades, las
cuales incluyen las ramificaciones (entre ellas la bifurcación de la arteria carótida), los cambios de
diámetro (como las estenosis o las coartaciones) o cambios en las propiedades de la pared arterial.
La linealidad de las ecuaciones permite trabajar de manera separada las partes dependiente e
independientes del tiempo. Si se asume además que los términos inerciales son bastante pequeños
respecto a los de aceleración instantánea se puede establecer lo siguiente:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]tcxptcxpc
txu
tcxptcxptxp
o
o
021
021
1,
,
+−−=
++−=
ρ
Con estas ecuaciones Dinnar afirma se puede llegar a dos conclusiones:
- Las ondas de presión incidente y reflejada se aumentan la una a la otra.
- A diferencia de las ondas de presión las ondas de velocidad incidente y reflejada presentan
un desfase de 180° por lo que estas tienden a cancelarse la una a la otra.
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Tanto la onda trasmitida como la onda reflejada terminan siendo ondas compuestas por la primera
onda incidente y sus subsecuentes reflexiones.
3.1.2.5. Cambios en la Presión en regiones con Estenosis
El angostamiento del área seccional o estenosis de los vasos sanguíneos es algo común en el sistema
circulatorio. Aunque existen varios casos en los cuales el angostamiento se debe al acumulamiento
de algún material con características diferentes a las de la pared arterial, normalmente este material
se ve cubierto por la capa endotelial del vaso, por lo cual se ha llegado al consenso general que
estos casos se pueden tratar como un simple angostamiento de la arteria, variando el espesor de
pared y las propiedades mecánicas.
Las estenosis son mas comunes con la edad y son una de las principales causas del enfermedades
como el infarto de miocardio, la trombosis cerebral entre otras bastante serias. Estas complicaciones
se deben en parte a que la estenosis produce un aumento de la presión sistólica, lo cual conlleva a
un desarrollo aun mayor de la arterosclerosis ya existente.
3.2. Propiedades Reológicas de la Sangre
3.2.1. Modelos Viscosidad diferentes Fluidos
Para poder describir el comportamiento reológico de la sangre es necesario introducir algunos
términos que se utilizaran de ahora en adelante y describen los fenómenos asociados con las
propiedades mecánicas de la sangre.
El primer concepto que es importante definir es el de viscosidad. Acerca de este se encuentran
distintas definiciones en la literatura, sin embargo en este proyecto de investigación se utilizó lo
definido por Dinnar: “Viscosidad es la propiedad del fluido que determina su resistencia a su propio
movimiento” [1]. Esta resistencia se debe a las fuerzas internas del fluido, entre ellas la de cohesión
y adhesión. Analíticamente la viscosidad es un parámetro que define la relación que va a haber
entre los esfuerzos cortantes y los gradientes de velocidad. La gráfica que muestra la relación entre
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estos dos parámetros se llama un reograma, cada tipo de fluidos esta definido por una curva
característica en su respectivo reograma.
Fluidos Newtonianos
En este caso la curva es una línea recta que pasa a través del origen. La relación esta dada por
medio de la siguiente ecuación:
dydu
µτ =
En donde los esfuerzos cortantes se considera función únicamente de la velocidad del fluido y de la
viscosidad, esta a su vez se establece como una constante respecto a la velocidad del fluido aunque
realmente varia al variar esta, también es dependiente de la temperatura y de la presión.
Fluidos de Bingham
También conocidos como los plásticos de Bingham. La curva vuelve a ser una recta sin embargo no
esta arranca desde el origen sino de un esfuerzo cortante mínimo. Esto implica que para se debe
sobrepasar este esfuerzo cortante mínimo para que se origine algún movimiento. A este esfuerzo
mínimo se le conoce con el nombre de esfuerzo de cedencia y se le asocia con el símbolo τ0. Por lo
tanto la relación entre los gradientes de velocidad y los esfuerzos cortantes esta dada por:
dyduK+= 0ττ
Fluidos de Casson
Este tipo de fluido tambien presenta un esfuerzo de cedencia τ0. Sin embargo el comportamiento en
lugar de ser lineal se encuentra dado por la siguiente relación:
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dyduK −+= 0ττ
por lo tanto la curva presentada en el reograma presenta incrementos decrecientes, por lo que se
llega a un punto de estabilidad en donde no importa cuanto se aumente el gradiente de velocidad los
esfuerzos cortantes generados no van a variar significativamente.
Fluidos Pseudoplásticos
En estos se asume que no existe un esfuerzo de cedencia, por lo que la curva tambien arranca desde
el origen. La relación es la siguiente:
n
dyduK ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=τ
Los fluidos Newtonianos son un caso especial de los fluidos Pseudoplásticos en el cual n = 1.
Valores de n menores a 1 hacen que se presente una curva con incrementos decrecientes, mientras
que valores de n superiores a 1 hacen que la curva tenga incrementos en su pendiente.
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Ilustración 5 Reograma para los distintos tipos de flujo asumiendo presión y temperatura constantes.
(Tomado de [1] Sin permiso)
Otras categorías de Fluidos
Generalmente, los fluidos pueden dividirse también entre aquellos cuyo comportamiento reológico
depende de la historia de las condiciones del flujo y aquellos que solo dependen de la situación
actual. A los primeros se les llama fluidos con memoria, y a los segundos sin memoria. La sangre
en particular es un fluido carente de memoria [1].
Usualmente los fluidos se dividen únicamente en dos categorías, Newtonianos y No-Newtonianos.
Muchas veces se asume que un fluido se comporta de manera Newtoniana aunque en realidad no lo
hace, esto se debe a que matemáticamente es mas fácil trabajar con fluidos Newtonianos, gracias a
esto se puede llegar a conclusiones que serian muy difíciles de alcanzar sin utilizar esta
simplificación.
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A medida que aumenta el gradiente de velocidad la relación entre la viscosidad de los fluidos de
Casson y Bingham sobre la viscosidad de los Newtonianos va aproximándose a uno, por lo que el
supuesto de que un fluido es newtoniano cuando no lo es se puede aplicar con cierta frecuencia.
3.2.2. Propiedades Reológicas de la Sangre y el Papel de sus
Constituyentes
Lo expuesto en este capitulo se basa principalmente en lo expuesto por Dinnar en el tercer capítulo
de su libro “Cardiovascular Fluid Dynamics”.
La sangre no es un fluido homogéneo sino un conjunto de partículas suspendidas en una solución
acuosa. Debido a esto el primer paso para comprender las propiedades reológicas de la sangre es
entender la forma como esta compuesta y como cada uno de estos componentes afecta sus
propiedades como fluido.
La sangre se compone principalmente de los siguientes elementos:
- Glóbulos rojos o eritrocitos
- Glóbulos blancos o leucocitos
- Plaquetas o trombocitos
- Plasma
Cada uno de estos elementos posee propiedades especiales que influyen en mayor o menor medida
en las propiedades de la sangre. Conocerlos mejor nos permitirá hacer los supuestos necesarios para
crear un modelo que sea coherente con la realidad sin entrar en complicaciones innecesarias.
Los glóbulos blancos son una gran cantidad de distintas células que se agrupan bajo este nombre
(Ver Tabla 1). Existen de 5000 a 8000 leucocitos por mililitro de sangre [9]. Alrededor del 25 al 35
por 100 de los leucocitos están constituidos por los llamados linfocitos, el resto lo forman los
granulocitos. Los granulocitos se forman en la médula ósea, mientras que los linfocitos lo hacen en
los ganglios linfáticos y en el bazo. Tienen una misión defensiva contra las bacterias y las células
destruidas por las reacciones inflamatorias, siendo capaces de engullirlas (fagocitosis) para formar
el pus. Debido a su relativo bajo numero respecto a los glóbulos rojos, sus contribuciones a las
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propiedades circulatorias son menores y por lo tanto sus efectos en las propiedades reológicas de la
sangre son generalmente despreciados. Esto suposición no aplica cuando se presenta alguna
patología que aumente su concentración.
Las plaquetas o trombocitos son incoloros y bastante pequeños en tamaño, su longitud promedio es
aproximadamente una tercera parte la longitud de los glóbulos blancos. Sin embargo son bastante
mas numerosos que estos, su concentración promedio es de 250.000 a 300.000 por mililitro de
sangre [9]. Las plaquetas se forman en la médula ósea y juegan un papel fundamental en el
mecanismo de coagulación de la sangre. Al romperse un vaso sanguíneo o al encontrarse la sangre
fuera de su seno habitual, las plaquetas se rompen con una extraordinaria facilidad, liberando una
sustancia activa que provoca la coagulación. Debido a su tamaño se considera usualmente que no
son importantes para el comportamiento reológico de la sangre. Sin embargo en condiciones
especiales, por ejemplo fuera de los vasos sanguíneos, o cuando forman trombos deben entrar a ser
consideradas en la creación de un modelo.
El plasma ocupa alrededor del 55 por 100 del volumen total de la sangre. Se trata de un liquido
incoloro con un 90 por 100 de agua, 7-8 por 100 de diversas proteínas, y el 2-3 por 100 restante de
sustancias tanto inorgánicas (potasio, calcio, sodio, magnesio), como de orgánicas (glucosa, urea,
etc.) [9]. El plasma se forma primordialmente en el hígado. Sus proteínas se caracterizan por poseer
importantes sistemas defensivos que complementan la acción de los glóbulos blancos. También
actúa como medio de transporte para las distintas células, vitaminas, hormonas y otros elementos
que se encuentran en la sangre. En condiciones normales posee una gravedad específica de 1.03
(densidad de 1030 kg/m3), una viscosidad de 1.2 cP y un pH que varia entre 7.3 y 7.5.
Los glóbulos rojos son células constituidas por una membrana muy fina que en su interior contiene
hemoglobina. La hemoglobina representa el 33% del peso de la célula [1]. La viscosidad de la
Hemoglobina es de 6.0 cP, lo cual es un factor de gran importancia a la hora de considerar la
deformabilidad de la célula, lo cual ocurre frecuentemente en la microcirculación. El diámetro
promedio de la célula es de 8 µm, lo cual es menor que le de algunos capilares por lo que la célula
es capaz de presentar grandes deformaciones. La concentración de glóbulos rojos por mililitro es de
4.8 x 106 en las mujeres y de 5.4 x 106 en los varones, las cuales son superiores en tres ordenes de
magnitud a las de lo los glóbulos blancos, es por esto que su influencia en el comportamiento
reológico de la sangre es notable. La concentración de glóbulos rojos por volumen en la sangre se
conoce como hematocrito, esta característica nos permite definir en parte el comportamiento
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mecánico de la sangre. El rango normal en los humanos es del 42 a 45 por 100. El hematocrito es el
indicador que se utiliza en varios modelos para definir si es posible asumir que la sangre se
comporta como fluido Newtoniano o no. Los glóbulos rojos se forman en la médula ósea y su
función principal es la de trasportar el oxigeno a todas las partes del cuerpo.π
Tabla 2 Rangos Normales de Concentraciones de Elementos Celulares en la Sangre Humana. (Tomado
de [1] Sin permiso)
Concentración
Promedio de
Células
Células/mililitro
Rango Normal
Aproximado
Células/mililitro
Longitud
Característica
µm
Porcentaje en
Volumen del
Total de las
Células %
Glóbulos
Blancos Totales
5000 - 8000 4000 – 11000 10φ 5
Neutrófilos 5400 3000 – 6000
Eosinófilos 270 150 – 300
Basófilos 60 0 – 100
Linfocitos 2370 1500- 4000
Monocitos 540 300 – 600
Glóbulos Rojos 1.9 x 8.0 91
Mujeres 4.8 x 106
Hombres 5.4 x 106
Plaquetas 300000 130000 - 400000 3φ 4
Los resultados obtenidos experimentalmente acerca del comportamiento de la sangre como fluido
no han sido homogéneos, por lo cual no se ha llegado a un acuerdo sobre la viscosidad de la sangre
ni se ha establecido una relación indubitable acerca de la dependencia de la viscosidad con los
esfuerzos cortantes. Incluso los distintos métodos utilizados para la medición han sido criticados por
los detractores que afirman que no son validas las mediciones de las propiedades de la sangre por
fuera de su entorno natural, ya que el comportamiento va a ser bastante distinto.
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Sin embargo hay dos fenómenos que sobre los que si hay un común acuerdo entre los
investigadores:
- A esfuerzos cortantes bajos, la viscosidad aparente se incrementa notablemente y es
necesario ejercer una pequeña fuerza para dar comienzo al flujo. Debido a este
comportamiento se podría pensar que el modelo que aplica es el del fluido de Binhgam.
- La viscosidad de la sangre disminuye a medida que se aumentan los esfuerzos cortantes,
por lo cual se podría considerar un modelo pseudoplástico.
Además, como se menciono anteriormente cuando esta sometida a esfuerzos cortantes grandes la
sangre puede ser considerada como un fluido Newtoniano. Debido a estos múltiples
comportamientos es difícil presentar una solución analítica única que describa el comportamiento
de la sangre dentro de todo el rango de condiciones que se presentan en el cuerpo humano, por lo
que los análisis se deben realizar de manera localizada conociendo las características que presenta la
sangre en esa ubicación especifica..
La viscosidad de la sangre depende de gran manera de sus componentes, gracias a esto
medicamentos que alteran su composición han sido de gran utilidad a la hora de modificar la
viscosidad de la sangre. Conocer la influencia de cada componente nos permite crear un mejor
modelo y definir bien su alcance.
Hematocrito
Como se menciono anteriormente, los glóbulos rojos son las células mas representativas de la
sangre en cuanto a su influencia en el comportamiento mecánico de la misma. El hematocrito suele
ser el indicador que se utiliza para establecer una relación entre el porcentaje en volumen de
glóbulos rojos y la viscosidad.
Los hematocrito normales son de 37 a 48 por 100 en la mujeres y de 42 a 52 por 100 en los
hombres. Cuando se presentan hematocrito dentro de este rango, acompañados de esfuerzos
cortantes altos se puede aproximar el comportamiento de la sangre al de un fluido Newtoniano. Sin
embargo a medida que el hematocrito aumenta el comportamiento de la sangre empieza a ser mas
similar al de un pseudoplástico, esto se debe a que al aumentar la concentración de partículas estas
tienden a colisionar mas. Existen modelos que intentan explicar el comportamiento en estas
condiciones, como los desarrollados por Einstein, Taylor y Bayliss, sin embargo ninguno a logrado
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completa aceptación. A medida que aumenta el esfuerzo cortante todos tienden hacia los mismos
valores de viscosidad, por lo que con esfuerzos cortantes lo suficientemente altos es posible retomar
la suposición de un comportamiento Newtoniano.
Ilustración 6 Viscosidad en función del esfuerzo cortante para plasma puro y sangre con distintos
niveles de hematocrito. (Tomado de Tomado de [1]. Sin permiso)
Plasma y Suero
La viscosidad del plasma depende principalmente de que tan alta sea la concentración de proteínas
dentro de este, y generalmente se incrementa a medida que la concentración se incrementa, a pesar
de esto es importante tener en cuenta que cada proteína tiene un efecto diferente en el
comportamiento reológico de la sangre, por lo que no se puede simplificar el comportamiento al
aumento en la concentración de proteínas sino que también hay que tener en cuenta que tipo de
proteínas se aumentaron.
La proteína que se encuentra en mayor concentración en la sangre es la albúmina, la cual representa
un 50 por 100 del total de las proteínas [1], sin embargo debido a su tamaño, el cual es bastante
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pequeño, su influencia en las propiedades reológicas es generalmente despreciado. En algunas
ocasiones el aumento en la albúmina va acompañado de una disminución en la concentración de
otra proteína, la globulina, lo cual según Mayer [11] produce una disminución en la viscosidad de la
sangre. La concentración promedio de globulina es del 40 al 45 por 100, pero debido a algunas
patologías, especialmente enfermedades del hígado, puede alcanzar valores que provocan que la
viscosidad se aumente en un 50 por 100. La proteína de mayor tamaño aunque también la de menor
concentración es el fibrogeno, esta debido a su tendencia a formar agregados es la mayor
importancia en el comportamiento reológico del plasma. Debido a esto se han creado expresiones
que permiten explicar el comportamiento del plasma en base a la concentración de fibrogeno a
bajos esfuerzos cortantes. Con esfuerzos cortantes altos la influencia entra a ser despreciable.
Suero es el nombre que se le da al plasma cuando le son removidas todas las proteínas. El suero no
presenta ningún esfuerzo de cedencia y su viscosidad es un 20 por 100 menor que la del plasma.
Sus propiedades reológicas no son significativas ya que lo que realmente importa es el
comportamiento del plasma como un todo y las proteínas juegan un papel muy importante en este
aspecto.
Propiedades Generales de la Sangre
Basados en las propiedades anteriormente vistas de los distintos componentes de la sangre se puede
hallar aproximaciones de las propiedades generales de la misma basándose en la composición para
cada caso en particular. También es posible establecer un rango de valores “normales” dentro de los
cuales se encuentra la sangre de la mayoría de las personas. en cuanto a la viscosidad esta varia
entre 3.5 a 4.5 centipoises. La viscosidad se puede considerar constante respecto a la velocidad,
aunque esto no sea cierto en algunos casos. Al encontrarse en un entorno como el cuerpo humano
en donde la temperatura se mantiene relativamente constante se puede despreciar la dependencia a
la temperatura. La gravedad específica tiene un valor entre 1.03 a 1.057. la sangre se puede
considerar como un fluido incompresible. En cuanto al modelo de viscosidad, se puede considerar
que la sangre es un fluido Newtoniano en los vasos mayores y uno pseudoplastico en los menores.
El siguiente cuadro resume las características anteriormente mencionadas.
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Tabla 3 Propiedades Reológicas de la Sangre
Viscosidad 3.5 a 4.5 centipoises
Gravedad Específica 1.03 a 1.057
Modelo Fluido Newtoniano en vasos mayores
Fluido Pseudoplástico en vasos menores
3.3. Propiedades Mecánicas de la Pared Arterial
Los vasos sanguíneos no se pueden considerar como simples conductos por donde fluye la sangre,
estos en verdad son conductos bastante complejos que reaccionan ante distintos estímulos,
modificando su forma, composición y propiedades mecánicas. Los vasos son capaces de responder
a cambios en el flujo que por ellos circula, es así como frente a un mayor flujo que aumente los
esfuerzos cortantes en la pared se presenta una vaso dilatación, cuando se presenta una disminución
del flujo, se responde con una vaso contracción. Sin embargo al prolongarse estos estímulos, las
respuestas pueden llegar a convertirse en patologías. En el caso especifico de la aterosclerosis, la
acumulación de placa origina una disminución en el diámetro del vaso, esta disminución se conoce
como estenosis, cuando se presenta esta estenosis los esfuerzos cortantes disminuyen de manera
permanente, por lo que se presenta un endurecimiento de la pared que no permite una asimilación
mas eficaz de las ondas presión y velocidad, esto conlleva a un aumento de los esfuerzos en la placa
estenoica lo cual puede llegar a causar su desprendimiento. Es por esto que es necesario poseer un
buen entendimiento de las propiedades de las paredes vasculares, y tener en cuenta sus
características en la creación de modelos mas complejos de las arterias.
3.3.1. Estructura y Composición de las Paredes Arteriales
Debido a la gran variedad de tamaños de arterias presentes en el cuerpo humano, estas se suelen
clasificar con base a su diámetro. Otra clasificación comúnmente usada es debido a su estructura.
Las grandes arterias, que van desde el corazón hasta las primeras ramificaciones se conoces como
las arterias elásticas, debido a su alto nivel de elastina. A medida que la distancia desde el corazón
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aumenta el porcentaje de células de músculo que forman la estructura de la arteria, por lo que
empiezan a llamarse arterias musculares. Esta es una clasificación simplificada, ya que lo que varia
no es únicamente la elastina o el porcentaje de células de músculo, las arterias poseen otros
componentes y las proporciones entre si varían de acuerdo con el tamaño del vaso y con la tarea
especifica que desempeña. Los principales componentes de la estructura arterial son el
recubrimiento endotelial, las fibras de colágeno, las fibras de elastina, y los músculos lisos.
El recubrimiento endotelial es la parte mas interna de la pared del vaso y es la que esta en contacto
con el flujo de sangre. Desde el punto de vista mecánico esta capa que varia de 0.1 a 0.5 µm [1] no
influye en las propiedades elásticas del vaso sanguíneo. Desde el punto de vista fisiológico su dos
principales funciones son permitir el paso de substancias como agua, electrolitos, azúcar y otros de
la sangre a los tejidos y no permitir la adhesión de distintos elementos a la pared arterial.
Las fibras de colágeno son una sustancia basada en proteínas que se encuentran en los vasos
sanguíneos en forma de fibras serpentinas. Debido a esta forma solo empiezan a afectar las
propiedades mecánicas de vaso sanguíneo después que ha existido cierto estiramiento. Se ha
encontrado que la cantidad de colágeno en los vasos sanguíneos aumenta con la edad.
Las fibras de elastina al igual que las de colágeno tienen una naturaleza basada en proteínas, sin
embargo a diferencia de las de colágeno presentas una baja resistencia al estiramiento, aunque si
una gran capacidad de estirarse, por lo que usualmente se les compara con cauchos. Hay una mayor
concentración de fibras de elastina en los vasos que presentan altas pulsaciones, lo cual nos ayudan
a entender la importancia de estas para proveer la resistencia circunferencial necesaria a los vasos
sanguíneos.
Los músculos lisos se presentan de dos maneras distintas en los vasos sanguíneos, longitudinales y
en forma serpentina alrededor del vaso, siendo esta ultima la mas importante, ya que es la encargada
de la vasoconstricción y de la vasodilatación, dependiendo si el músculo se contrae o se relaja. Este
mecanismo es de gran importancia para prever la perdida de sangre cuándo se presenta una
hemorragia, pues el músculo reduce el diámetro y de esta forma el flujo de sangre a través de la
arteria afectada.
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3.3.2. Propiedades Mecánicas de los Componentes de la
Pared Arterial
Es importante conocer mas a fondo las propiedades de los distintos componentes de la pared arterial
con el fin de definir cual es la forma correcta de tratar esta como material. También es necesario ver
como es la relación entre los distintos componentes, especialmente cuando están sometidos a alguna
carga. Como se vio anteriormente el recubrimiento endotelial no tiene una gran influencia en el
comportamiento mecánico de la parad arterial, por lo cual puede ser ignorado.
Las fibras de elastina son un material con propiedades similares a las del caucho, y es altamente
extensible. Cuando se le estira hasta un 60 por 100 mas de su longitud original presenta un
comportamiento similar al predicho por la ley de Hook, sin embargo para extensiones mayores
empieza a presentar un carácter que no es lineal [1]. El modulo de Young de las fibras de elastina
varia entre 3 x 106 a 6 x 106 dyn/cm2, con una extensión máxima del 300 por 100. Las fibras de
elastina juegan un papel importante a bajas presiones, y su función principal desde el punto de vista
estructural consiste en controlar los pequeños desplazamientos de la pared arterial debido a la
pulsación. Cuando la presión aumenta las fibras de elastina dejan de actuar y le ceden el paso a las
fibras de colágeno, las cuales le aportan una mayor rigidez a la pared evitando su expansión.
El colágeno se encuentra presente en gran cantidad de tejidos vivos, encada uno posee una
geometría que va de acuerdo con la función que desempeña. En los tendones se encuentra en fardos
paralelos que son bastante resistentes y de comportamiento inelástico, en cambio en el corazón esta
organizado en forma de placas delgadas lo cual le brinda unas propiedades altamente flexibles. En
las paredes arteriales el propósito del colágeno es mantener el vaso en constante tensión, lo cual
requiere una alta resistencia al estiramiento. A pesar de esto es importante que las fibras de
colágeno no interfieran en el estiramiento normal que se presenta debido a la pulsación, lo cual se
logra por medio de la forma serpentina de las fibras, lo que permite una cierta cantidad de
estiramiento radial y un estiramiento longitudinal casi nulo. Aunque la fibras están dispuestas para
soportar el estiramiento, uno mayor al 50 por 100 de la longitud de la fibra puede ocasionar daños
permanentes. El modulo de Young mas comúnmente usado para las fibras de colágeno es de 3 x 106
dyn/cm2 para un 100 por 100 de elongación.
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Los músculos juegan un papel mas importante en la geometría de la sección transversal de la pared
arterial que en su propiedades mecánicas. En estado pasivo actúan mas como un liquido viscoso que
como un sólido viscoelástico [12], por lo que su contribución a mantener tensionada la pared
arterial es muy pequeña. Sin embargo bajo estimulación puede variar el diámetro en un 10 a 20 por
100 en los vasos elásticos e incluso cerrar casi completamente los vasos musculares. El modulo de
Young en los músculos varia de 6 x 106 dyn/cm2 en el estado pasivo a 5 x 106 dyn/cm2, en el estado
activo. En ambos estados la extensión máxima alcanzado por el músculo liso es de alrededor del
300 por 100.
Como se puede apreciar a través de las propiedades de los distintos componentes cada una de las
composiciones de las paredes arteriales va a poseer propiedades muy especificas, las cuales están
dadas por su función y posición dentro del sistema circulatorio. Debido a esto es conveniente tratar
las paredes arteriales como un material compuesto, cuyas propiedades están definidas por las
distintas concentraciones de cada uno de estos elementos.
Tabla 4 Propiedades Elásticas de los Componentes de la Pared Arterial (Tomado de [1] Sin permiso)
Modulo de Young al 100%
de Elongación dyn/cm2
Esfuerzo Tensil
dyn/cm2
Extensión Máxima
%
Rango Valor
Normal
Rango Valor
Normal
Rango Valor
Normal
Fibras de
Colágeno
1x109-
3x109
2x109 5x107-
5x109
1 x 108 5 – 50 30
Fibras de
Elastina
3x109-
6x109
100 - 200 160
Músculo
Liso
Relajado 6x104 300
Contraído 1x105-
12x106
1x106 300
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3.3.3. La Pared Arterial como Material Compuesto
Debido a la forma como esta compuesta la pared arterial, la mayoría de los estudias se han enfocada
en estudiarla como un todo, en lugar de tratar cada uno de sus componentes por aparte. Las dos
pruebas que generalmente se aplican para en el estudio de las propiedades de la pared arterial son la
prueba clásica de esfuerzo – deformación y la de someter la arteria como cilindro a distintas
presiones internas.
Los resultados de la prueba de esfuerzo – deformación se realiza con segmentos extraídos de la
arteria,, por lo que los resultados dependen en gran manera de la forma en que fue cortado el
segmento. También influye la dirección de la carga aplicada, ya que esta puede ser aplicada de
manera radial o longitudinal, y cada una presenta sus propias características. Otro factor que afecta
el resultado de las pruebas es la manera como se acopla el espécimen a la maquina de pruebas.
Ilustración 7 Pruebas de tensión realizadas a la pared arterial en función del estiramiento y la edad
(Tomado de [1]. Sin permiso)
El otro tipo de prueba utilizada consiste en tomar un segmento de arteria y someterlo a una presión
interna variable, a medida que se hace esto se van tomando datos de deformación longitudinal y
axial, así como de esfuerzos en estas dos direcciones.
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Ilustración 8 Diagrama de presión – volumen para la aorta toráxica humana. los números superiores se refieren a
la edad de la aorta. (Tomado de [1]. Sin permiso)
Cada una de estas dos pruebas provee información diferente que nos aproxima a un mejor
entendimiento del comportamiento mecánico de los vasos sanguíneos. Y aunque la información
proveída por cada prueba es diferente y variable se pueden llegar a algunas conclusiones acerca del
funcionamiento elástico de las arterias, conclusiones que son coherentes con lo esperado en teoría
basado en las características de los componentes de la pared arterial.
Debido a que las fibras de colágeno presentan la forma serpentina teóricamente se esperaría que la
deformación inicial requiriera un esfuerzo bajo hasta el punto donde si se empiezan a estirar estas
fibras. Esto se pudo comprobar por medio de las pruebas, ya que el modulo de elasticidad inicial es
muy similar al de las fibras de elastina, por lo que son estas las únicas que están actuando, después
de cierta deformación cuando las fibras de colágeno entran en acción la pendiente de la gráfica se
aumenta por lo que el modulo es mayor, llegando a ser similar al de las fibras de colágeno. Como se
menciono anteriormente la proporción de colágeno en las paredes arteriales aumenta con la edad.
Esto también se puede apreciar en las gráficas, ya que el incremento en la pendiente se da en una
deformación mas baja a medida que aumenta la edad.
El comportamiento similar de ambas gráficas en cuanto a la influencia de cada componente nos
indica que es algo que si se puede generalizar, y no un error debido a la forma como se realizaron
las pruebas.
La relación entra la deformación longitudinal y la deformación transversal esta dada por el radio de
Poisson. Este radio depende de la composición del material, y como la mayor parte de la pared
arterial esta compuesta de agua (70 por 100)[1], se puede aproximar el radio al del agua, el cual es
de 0.5, el cual corresponde a un material incompresible.
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Otro efecto de gran importancia que generalmente es ignorado es que en condiciones naturales los
vasos sanguíneos están sujetos a sus alrededores, y que estos interactúan con el vaso causando que
las propiedades en cuanto a deformación y esfuerzos ejercidos varié. Este factor es de mayor
importancia en las venas ya que la presión interna es menor. En las arterias hay que considerar con
cuidado los alrededores para poder definir si afectan de manera apreciable las propiedades
mecánicas de la pared arterial.
Propiedades Generales de la Pared Arterial
Las propiedades de la pared arterial varían según el porcentaje de cada uno de los elementos que se
mencionaron anteriormente, sin embargo al igual que para la sangre se pueden establecer valores
que sirven como referencia de lo que es normal. El modulo de Young mas utilizado es el obtenido
cuando la arteria se carga de manera axial, este en las arterias superiores posee valores de alrededor
de 3x109 dyn/cm2 [2], sin embargo este varia bastante y depende de las condiciones especificas de
cada individuo. La pared arterial puede soportar presiones de hasta 200 mmHg.. El radio de Poisson
es de 0.5 y el modelo de material que mejor lo representa es un material anisotrópico ya que se
comporta de manera distinta al ser carga radialmente que al serlo axialmente. Al ser cargado se
comporta de manera lineal hasta cierto nivel de carga. Estos valores van a ser despreciados en el
desarrollo de este proyecto de grado, ya que el objetivo es el estudio del flujo pulsátil con paredes
vasculares rígidas lo cual implica un modulo de elasticidad que tiende a infinito. Sin embargo es
importante tenerlos en cuenta en la realización de futuros proyectos sobre este tema, los modelos se
pueden ir volviendo mas complejos teniendo en cuenta una o varias de estas características hasta
donde sea posible y conveniente implementarlas.
3.4. Modelaje por Elementos Finitos
Existe un gran numero de problemas de los cuales son demasiado complejos para poder obtener
soluciones analíticas, estas a menudo se logran tomando como base simplificaciones del problema
original y con todo y esto se requiere un gran manejo matemático, lo cual conlleva grandes
requisitos de tiempo y esfuerzo.
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La introducción de métodos numéricos para la solución de este tipo de problemas represento un
gran avance, lo cual se debió en gran parte también al desarrollo de herramientas de calculo como
los computadores que permitían la implementación de los algoritmos y proveían el poder de calculo
necesario para llegar a una solución.
Uno de los métodos mas comunes cuando se trabajan geometrías complicadas, que no se pueden
simplificar ni resolver por medio de métodos analíticos, es el método de modelaje por elementos
finitos (Finite Element Modeling FEM) . Este método consiste en dividir el dominio del problema
en un numero determinado de elementos (elementos finitos), a los cuales se les aplican las
ecuaciones que los gobiernan dependiendo del fenómeno que se este estudiado, las condiciones de
frontera para cada uno de estos elementos están dadas por los elementos vecinos. Es necesario
establecer unas condiciones de frontera generales, para los elementos que se encuentran en la
frontera del dominio.
Al encontrarse los elementos definidos por el enmallado, este empieza a jugar un papel fundamental
en la exactitud de los resultados. Por medio del método de elementos finitos se puede llegar a
resultados completamente erróneos si no se cuenta con un enmallado adecuado o con las
condiciones de frontera idóneas, por lo cual es necesario tener un conocimiento previo del tema
para así prever que se puede esperar de la solución de un problema especifico.
3.4.1. Ansys
El desarrollo de la informática ha sido un suceso de gran ayuda para la difusión del modelaje por
elementos finitos. Existen básicamente dos formas de afrontar un problema de elementos finitos por
medio de un computador: creando un algoritmo de solución propio o utilizando un software
disponible en el mercado.
La creación de un algoritmo propio presenta ventajas como la especialización del mismo, la certeza
acerca de la exactitud del código y de la aplicabilidad al caso especifico que se esta trabajando. sin
embargo es muy costoso en cuanto a tiempo de desarrollo, sobretodo si se tiene en cuenta que el
desarrollo de este no garantiza los resultados.
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Ansys es uno de los programas que se consideran dentro de la segundo opción, la de comprar algún
software disponible en el mercado. Este es un programa diseñado para una gran variedad de
problemas, originalmente sirve para resolver problemas estructurales, pero también dispone de
módulos que permiten la solución de otro tipo de problemas, entre ellos la solución dinámica de
fluidos.
Dentro de las ventajas de Ansys se encuentran su interfase gráfica, su fácil uso y las distintas formas
como se pueden visualizar los resultados obtenidos. Ansys cuanta con un preprocesador, que es en
donde se define la geometría, el enmallado y las cargas. Una unidad de solución y una de post-
procesamiento en donde se pueden graficar los resultados conseguidos.
La Universidad de los andes cuenta con la versión 7.0 de Ansys, la cual corre en plataforma Unix, y
que se encuentra instalada en el servidor Sie.
3.4.2. FLOTRAN
Flotran es la herramienta de Ansys que permite hallar la solución de problemas de dinámica de
fluidos. Un análisis Flotran típico contiene los siguientes pasos principales:
- Determinar el dominio del problema.
- Determinar el régimen de flujo.
- Crear el enmallado de elementos finitos.
- Aplicar las condiciones de frontera.
- Establecer los parámetros de análisis FLOTRAN.
- Resolver el problema.
- Examinar los resultados.
Las ecuaciones que gobiernan la dinámica de fluidos no son lineales, debido a esto el programa
debe realizar varias iteraciones por medio de las cuales se espera se aproxime a la solución real,
para esto se definen unos limites de convergencia, que hacen referencia al cambio entre la solución
obtenida en una iteración y la iteración inmediatamente anterior. Muchas veces no se alcanza el
criterio de convergencia en el numero de iteraciones exigidas, por lo cual se afirma que la solución
es divergente.
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Las ecuaciones sobre las cuales se basa la solución obtenida por Flotran son las ecuaciones de
continuidad y la de Navier –Stokes, en el caso de un fluido netamente laminar. En el caso de un
fluido turbulento utiliza además ecuaciones para resolver en función de la energía cinética
turbulenta y la disipación de energía turbulenta.
La ecuación de continuidad, es una forma de conservación de masa a través de un volumen de
control, por lo que se hace un balance másico dentro de este. La forma como se encuentra esta
ecuación en el “Manual de Referencia Teórica” de Ansys es la siguiente:
Ecuación 2 Ecuación de continuidad
En el caso de fluidos incomprensibles esta ecuación queda reducida al primer termino. La
deducción formal de esta formula al igual que las formulas de Navier – Stokes pueden ser
consultada en la mayoría de los libros de fluidos [1][5]. La forma en como se refieren a las
ecuaciones de Navier- Stokes para el eje X es la siguiente:
Ecuación 3 Ecuacion de Navir- Stokes para x
De igual manera se refiere respecto a las ecuaciones correspondientes a los otros dos ejes. Las
ecuaciones de Navier –Stokes son una variación de la segunda ley de Newton para fluidos, es por
esto que están descompuestas en componentes. Muchas veces por cuestiones de simetría se suele
trabajar con estas ecuaciones en coordenadas cilíndricas.
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39
Antes de iniciar un análisis por medio de Flotran es necesario definir que tipo de análisis se
requiere, ya que el programa así lo requiere puesto que cada tipo de análisis dispone de algoritmos
de solución diferentes. Entre los problemas que se pueden resolver por medio de Flotran
encontramos los siguientes:
- Laminar o turbulento
- Transiente o de estado estable
- Compresible o incompresible
- Térmico o adiabático
- Newtoniano o No-Newtoniano
- Transporte de múltiples especies
Debido a la naturaleza de este proyecto de grado, nos enfocaremos en explicar algunos principios de
los dos primeros temas, ya que estos son lo de mayor importancia a la hora de modelar un vaso que
presenta un flujo pulsátil.
3.4.2.1. Diferencias entre el flujo laminar y el flujo turbulento
Antes de solucionar un problema el usuario le debe especificar a Ansys si el resultado va a ser
laminar o turbulento, en principio esto parece ilógico, ya que la entrada forma parte de la solución
en si. Sin embargo esto se debe a que cada tipo de problema posee un algoritmo diferente, por lo
cual el usuario debe hacer una estimación basándose en el numero de Reynolds para hacer una
elección adecuada en este aspecto.
En caso de seleccionar un flujo laminar cuando en realidad es turbulento, lo mas probable es que la
solución se divergente, por lo que se debe repetir el análisis, gracias a esto es poco probable llegar a
resultados erróneos ya que de no utilizarse el modelo adecuado no se obtienen resultados.
Cuando se selecciona un flujo turbulento, siendo que en verdad es laminar, se va a llegar a una
solución en donde se esta sobreestimando la viscosidad del fluido, esto se debe al algoritmo de
solución que Ansys posee para la solución de flujos turbulentos. En este algoritmo lo que sucede es
que básicamente se tiene en cuenta el efecto de las fluctuaciones del flujo utilizando una viscosidad
incrementada, la cual se conoce como viscosidad efectiva, esta es igual a la suma de la viscosidad
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40
original mas la viscosidad turbulenta, la cual es hallada por medio de alguno de los modelos de
turbulencia de los cuales dispone el programa.
Ecuación 4 Viscosidad Efectiva
El programa dispone de seis modelos de turbulencia distintos, en la mayoría de los casos se puede
utilizar el modelo predeterminado, el cual es el Estándar k – Model, sin embargo hay que tener en
cuenta que este siempre tiende a aumentar el valor de la viscosidad por lo que los resultados pueden
estr algo sobre amortiguados, sin embargo la variación no es considerable, al no ser que se traten
fluidos a grandes velocidades, o geometría que presenten grandes exigencias (giros de 180º). Los
otros modelos disponibles son:
• Standard k-ε Model
• Zero Equation Model
• RNG - (Re-normalized Group Model)
• NKE - (New k-ε Model due to Shih)
• GIR - (Model due to Girimaji)
• SZL - (Shi, Zhu, Lumley Model)
La explicación sobre el sustento matemático de cada uno de estos se encuentra de manera detallada
en el manual de referencia teórica de Ansys[9], el cual se encuentra a través de la ayuda del
programa.
3.4.2.2. Estado Transiente
En el mismo punto del programa en donde toca decidir si el flujo es laminar o turbulento, es
necesario también decidir sobre si es transiente o de estado estable. Cuando se selecciona estado
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41
estable no hay mayor problema, ya que el programa no necesita mas parámetros para poder llegar a
una solución.
Cuando se esta trabajando con estado transiente es necesario definir los siguientes aspectos:
- Tamaño de los pasos de tiempo
- Criterios de terminación
- Periodo para el almacenamiento de los resultados en el archivo .rfl
Lo primero que se debe hacer es seleccionar el tamaño de los pasos. estos pueden ser determinados
por el usuario o por el programa, para esto Ansys dispone de tres criterios distintos por medio de los
cuales define el tamaño adecuado de los pasos de tiempo. el primero es advección, en el cual el
programa selecciona el paso de tiempo de mayor tamaño con tal de que ninguna partícula de flujo
pase completamente a través de un elemento finito en un solo paso de tiempo. Este es el único
criterio de Ansys que funciona para fluidos incompresibles. El segundo criterio consiste en definir
pasos del mayor tiempo posible con tal de que la onda de presión no pase completamente a través
de un elemento en un solo paso de tiempo. El tercer criterio aplica los dos anteriores y selecciona el
que presente los pasos de tiempo menores.
Hay dos formas de presentar el criterio de terminación de la solución, por numero de pasos o por
tiempo, cuando el tamaño de los pasos de tiempo es conocido se puede decir que ambos criterios
son equivalentes, ya que un tiempo define un numero de pasos y lo mismo de manera inversa. Sin
embargo cuando el tamaño de los pasos es desconocido se recomienda utilizar un tiempo para la
solución, ya que colocar cierto numero de pasos no garantiza que se llegue al tiempo requerido. Este
tiempo esta definido por las características mismas del problama, y por las cargas transientes
aplicadas en el mismo.
A medida que Ansys va solucionando el problema, va sacando los resultados a un archivo de
extensión .rfl, el cual es el que utiliza luego el programa durante el postprocesamiento. El usuario
define el numero de pasos entre la toma de datos para este archivo, un numero muy alto entre tomas
no permitirá un análisis adecuado de lo que sucede ya que se pueden estar ignorando cambios que
suceden en los tiempos que se dejan de muestrear, mientras que un numero muy alto aumenta el
tamaño del archivo y hace mas lenta la solución del problema. Por esto el usuario debe buscar un
punto intermedio de acuerdo con las características del problema y del equipo en donde se este
procesando la solución.
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42
3.4.2.3. Elementos disponibles
Flotran posee dos elementos para el modelaje de fluidos dinámicos, estos son el Fluid141 y el Fluid
142. Ambos poseen básicamente los mismos grados de libertad, y la diferencia radica en que el
primero se utiliza para análisis en dos dimensiones mientras que el segundo lo es para tres
dimensiones.
Los grados de libertad, que ambos poseen son: velocidad, presión, temperatura, energía cinética
turbulenta, disipación de energía turbulenta y fracciones másicas para hasta seis fluidos distintos.
El fluid 141 posee 4 nodos y se puede encontrar en forma cuadrilateral o triangular, lo mas
recomendable es enmallar siempre en forma cuadrilateral, ya que con esto se consigue mayor
precisión en los resultados, especialmente en las zonas donde se presentan grandes gradientes de
presión o velocidad. Sin embargo esto solo se logra enmallando de manera manual, y esto puede
llegar a ser muy complicado dependiendo de la geometría que se presente. El algoritmo de
enmallado libre siempre enmalla con elementos triangulares, ya que estos permiten un enmallado
mas fácil, pero debido a esto es necesario tener cuidado en las zonas criticas de la geometría,
asegurándose que el enmallado presente la finura necesaria.
Ilustración 9 Elemento Fluid 141
El elemento Fluid 142 presenta también dos formas, tetrahedral de cuatro nodos (en forma de
pirámide), o hexahadral de ocho nodos (en forma de ladrillo). nuevamente la segunda forma provee
mejores resultados que la primera. Pero el enmallado utilizando esta se dificulta aun más por estar
trabajando con geometrías en tres dimensiones, por lo que generalmente se utiliza el enmallado
libre que utiliza los elementos en forma piramidal.
Ilustración 10 Elemento Fluid 142
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43
4. METODOLOGÍA
Al iniciar este proyecto de grado era incierto que tan viable era manejar un flujo pulsátil en Ansys.
No se conocía ni la manera de implementarlo, ni la factibilidad de llegar a una solución. La base de
la cual se partió fue el modelo desarrollado por Andrés González [2] en el cual uno de los supuestos
que él asumió para simplificar el modelo era que el flujo era constante a través del tiempo. Debido a
esto, el trabajo inicial se enfoco en buscar la forma adecuada de implementar un flujo pulsátil en
Ansys.
4.1. Modelo de un Vaso Simplificado con Flujo Pulsátil
Para simplificar el trabajo se utilizó un modelo que consistía en un vaso simple de 12 cm de
longitud por 1 cm de diámetro.
Ilustración 11 Geometría Vaso Simple
Se utilizó esta geometría debido a la simplicidad de manejo que presentaba, al bajo tiempo de
procesamiento de una solución y la facilidad que brindaba a la hora de visualizar las soluciones.
Esto último de gran importancia, ya que era necesario estar seguros de que los resultados obtenidos
coincidían con los esperados y la solución para una geometría tan simple no dejaba lugar para dudas
acerca de la validez de los resultados.
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44
Ansys posee herramientas para la creacción de geometrías tanto en 2D como en 3D, su uso es
bastante complicado por lo que las geometrías complejas generalmente se importan de programas
de CAD en formatos como IGES o PARASOLID. Esta geometría al ser lo suficientemente sencilla
se pudo realizar utilizando las herramientas de Ansys por medio de la creación de un área. Como
primer elemento se eligió el Fluid 141, al no elegir otro elemento el programa considera los bordes
del área como las fronteras que limitan el flujo, estas van a ser rígidas e invariables, si se quiere
elaborar un modelo con paredes elásticas es necesario seleccionar aparte del fluid 141 otro elemento
para el cual se define un modulo de elasticidad así como otras características necesarias para el
desarrollo del modelo. Para que el programa sea capaz de resolver modelos que implican fluios en
movimiento es necesario activar el modulo de FLOTRAN en la sección de preferencias. Una vez se
tuvo la geometría se procedió a enmallarla, en este caso se pudo utilizar un enmallado libre ya que
por la sencillez de la geometría el enmallado logrado de esta forma es similar al que se lograría de
manera manual.
Después de haber definido y enmallado la geometría de prueba se procedió a buscar la manera de
aplicar una carga que fuera variable en el tiempo. Después de consultar los manuales de Ansys, y
ver algunos ejemplos presentados se encontró que existen dos maneras de establecer una carga
variable en el tiempo. la primera es a través de un vector, en donde se especifican ciertos valores
para cada tiempo deseado y Ansys interpola de manera lineal entre ellos para dar continuidad a la
carga.
Ilustración 12 Carga dependiente del tiempo en forma de vector
Una segunda manera de introducir la carga era por medio de un editor de ecuaciones que crea una
función dependiente del tiempo. Este funciona de una manera similar a una calculadora, y la
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45
función deseada se introduce en función del tiempo, el cual es reconocido por el programa por la
variable (TIME).
Ilustración 13 Editor de Funciones
Se decidió utilizar este último método para crear la carga dependiente del tiempo. Para esto se
utilizó la siguiente función la cual corresponde a la velocidad de entrada y se aplico en el extremo
derecho del modelo:
)(10 2 TIMExSenoV =
La gráfica de esta función es la siguiente:
0
2
4
6
8
10
12
0,03
0,24
0,45
0,66
0,87
1,08
1,29 1,5
1,71
1,92
2,13
2,34
2,55
2,76
2,97
3,18
3,39
Tiempo (s)
Velo
cida
d (m
/s)
Ilustración 14 Velocidad de Entrada contra Tiempo
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46
Una vez seleccionada e implementada la condición de entrada, se especificaron las demás
condiciones de frontera las cuales se basaron en las utilizadas en el ejemplo presentado en el tutorial
de CFD de Ansys, en el cual se utiliza una presión de 0 en la salida y velocidades de 0 en todas las
direcciones en la paredes laterales del cilindro. Por esta razón al graficar las presiones los valores
que se obtienen son presiones relativas al punto de salida. Este tipo de condiciones de frontera son
las que presentan una mayor probabilidad de convergencia de la solución. Por esta razón se
siguieron utilizando en el resto de modelos desarrollados.
Al utilizar el análisis de estado transiente es necesario definir el tamaño de los pasos de tiempo para
los cuales Ansys va a hallar la solución del problema. En este caso se utilizaron pasos de 0.05
segundos con el fin de obtener un alto numero de resultados que permiten tener mejores gráficas de
las respuestas. Una vez obtenidas estas se procedió a la realización de un modelo mas complejo
para realizar nuevas pruebas.
4.2. Modelo con 20% de Estenosis
Era importante contar con un modelo con una geometría mas complicada, ya que esto nos permitiría
estudiar el comportamiento de las ondas de velocidad y presión en el modelo. Lo ideal era tener
una geometría relativamente sencilla, que sin embargo presentara alguna discontinuidad, en donde
se reflejaran las ondas y se pudiera ver la coherencia o no del modelo con lo predicho teóricamente.
Con este fin se creo una geometría correspondiente a una estenosis del 20%, las dimensiones de
dicha geometría se presentan el la siguiente figura:
Ilustración 15 Geometría y dimensiones del modelo con una estenosis del 20%
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47
Los supuestos con los que se creó este modelo son: Paredes rígidas, flujo incompresible, y una onda
de velocidad de simplificada de tipo seno. Para las propiedades del fluido se utilizó una viscosidad
de 3.5 cP y una densidad de 1057 kg/m3. La longitud del modelo fue deliberadamente seleccionada
para ser igual a la del vaso simple ya que por medio de una comparación entre ambos se podría
demostrar parte de la teoría que expone Dinnar en su libro [1], la estenosis al 20% se escogió con
base en un ejemplo que presenta Dinnar en su libro, por lo cual se facilita la comparación y
validación de los resultados.
La forma en que se establecieron las condiciones de frontera fueron similares a las que se utilizaron
para establecer las del vaso simplificado, también lo fueron el tamaño de los pasos de tiempo y el
numero de estos. Para poder comparar los resultados entre los modelos se les aplico la misma carga
a ambos, la carga que se aplico consistió en una onda de tipo seno la cual variaba entre 10 cm/s a 90
cm/s. Luego de solucionar para ambos casos se utilizó el modulo de “TimeHist Postpro” de Ansys,
por medio del cual para cada una de las geometrías se graficaron las presiones en los mismos
puntos, a la entrada de la estenosis, en la mitad de la misma y en la salida de esta, todas estas
gráficas en función del tiempo. Las gráficas obtenidas se presentan en el capitulo de resultados.
Utilizando la misma geometría, se soluciono para una velocidad constante de 90 cm/s, la cual
equivale al pico de la onda utilizado en la respuesta de estado transiente. Para esta solución se
graficaron los esfuerzos cortantes en la estenosis y las presiones con el fin de compararlos con los
obtenidos de manera transiente en el tiempo correspondiente a la misma carga.
También se obtuvo las gráficas de presión contra tiempo en distintos ligares de las estenosis, esto
con el fin de observar en cual punto se presenta la mayor presión de pulso, la cual se encuentra
relacionada con el desprendimiento de placa aterosclerótica.
Con estas pruebas se concluyo el uso de este modelo. El nuevo objetivo ahora es ver si el modelo
cumple lo predicho en teoría en cuanto a la reflexión de ondas, para verificar esto se utilizó un
modelo con una estenosis mayor, con lo cual se esperaría tener una mayor reflexión, facilitando así
la visualización de los efectos de la estenosis en las ondas.
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48
4.3. Modelo con 40% de Estenosis
este modelo se creo de la misma manera que los dos anteriores, utilizando las herramientas de
Ansys para graficar la geometría, cuyas dimensiones se presentan a continuación:
Ilustración 16 Geometría y dimensiones del modelo con estenosis al 40%
La siguiente tabla resume los supuestos y características del modelo:
Tabla 5 Características del Modelo con 40% de Estenosis
Tipo de análisis Estado Transiente
Velocidad de Entrada Onda de tipo seno que varia
entre 10 a 90 cm/s
Paredes Vasculares Rígidas
Fluido Incompresible, Newtoniano
Viscosidad 3.5 cP
Densidad 1057 kg/m3
Condiciones de frontera Presión equivalente a 0 en la
salida
Velocidades iguales a 0 en las
paredes laterales
Los datos tomados en este modelo fueron los perfiles de velocidad y presión en distintos puntos,
fueron seleccionados con el fin de visualizar los distintos perfiles de velocidad y presión en función
del ancho del conducto, y se sobrepusieron las gráficas tomadas en distintos momentos para ver
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49
como cambian a través del tiempo. Los puntos en los cuales se tomaron los perfiles de velocidad
son estos:
Ilustración 17 Ubicación muestras de perfiles de velocidad, en la geometría con una estenosis del 40%
Los perfiles es otra de las formas por medio de las cuales Ansys permite visualizar los resultados
obtenidos, para hacer esto es necesario definirlos por medio de un nodo inicial y un nodo final,
luego se decide acerca del grado de libertad sobre el cual se quieren leer los datos del archivo de
resultados para este perfil en especial. Ansys permite graficar el mismo los perfiles o exportar los
datos, en este caso se exportaron los datos en formato txt y luego se copiaron y graficaron en Excel,
para así poder sobreponer todos los tiempos que nos interesaban.
Una vez graficados todos los perfiles se podían comparar estos tanto entre si como contra los
esperados en teoría y de esta forma realizar el análisis y llegar a conclusiones especificas sobre
estos aspectos.
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50
5. RESULTADOS
5.1. Resultados del Modelo de Vaso Simplificado con
Flujo Pulsátil
Valores de la velocidad en X para el vaso simple
Las siguientes gráficas representan las velocidades en X obtenidas tras solucionar el modelo en
distintos instantes de tiempo. La escala de colores presentada por Ansys tiene unidades de metros
por segundo. La onda de velocidad introducida como condición de frontera posee un máximo de 10
metros por segundo y un mínimo de 0 metros por segundo. En las graficas la velocidad máxima se
presenta en el tiempo 1.5 y su valor según la escala de colores se encuentra entre 9.757 a 10.976.
Ilustración 18 Velocidad en X Tiempo 0.5 (Vaso Simple)
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Ilustración 19 Velocidad en X Tiempo 1 (Vaso Simple)
Ilustración 20 Velocidad en X Tiempo 1.5 (Vaso Simple)
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52
Ilustración 21 Velocidad en X Tiempo 2 (Vaso Simple)
5.2. Resultados del Modelo con 20% de Estenosis
Presiones Contra Tiempo en Vaso Simple y en Vaso con 20% de Estenosis
Los resultados que se presentan a continuación consisten en una comparación entre la curvas de
presión obtenidas en distintos puntos para el modelo simplificado y el modelo con 20% de
estenosis. Las dimensiones de la grafica son presión contra tiempo. Las unidades de las presiones
son Pascales , debido a las condiciones de frontera las presiones son relativas respecto a la salida del
modelo. Para el modelo del vaso simplificado los valores máximos fueron 5 Pa en la entrada, 2.3 Pa
en la zona media y 0.4 Pa a la salida. En el modelo con 20% de Estenosis los valores máximos
fueron 6.2 Pa en la entrada antes de la estenosis, 1.5 Pa en la zona intermedia de la estenosis y 0.3
Pa a la salida de la estenosis.
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Ilustración 22 Presiones contra el Tiempo tomadas en el vaso Simple en tres puntos distintos, la entrada
al vaso, en la mitad del vaso y a la salida del mismo.
Ilustración 23 Presiones contra el Tiempo tomadas en el vaso con estenosis al 20% en tres puntos
distintos, la entrada al vaso, en la mitad de la estenosis y a la salida del mismo.
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54
Valores de las presiones en el vaso con estenosis al 20% con una carga constante de 90 cm/s
La siguiente gráfica presenta las presiones a la largo del modelo con un 20% de estenosis cuando se
realiza un análisis de estado estable con una velocidad de entrada de 90 cm/s, la cual equivale a la
velocidad pico de la onda utilizada en el análisis de estado transiente. Las unidades están en
Pascales y corresponden al gradiente de presión entre ese punto y la salida en donde esta la presión
de referencia equivalente a 0.
Ilustración 24 Presiones en el Modelo con 20% de estenosis con una velocidad de entrada constante de
90 cm/s
Comparación entre las Presiones y Velocidad en la entrada entre el Modelo del Vaso
Simplificado y el Modelo con 20% de Estenosis
En las gráficas a continuación se presenta las curvas de presión y velocidad contra el tiempo para la
entrada en ambos modelos. las unidades de tiempo son segundo, las de velocidad m/s y las de
presión Pascales. Para el modelo del vaso simplificado los valores máximos alcanzados son 0.9 m/s
y 0.55 Pa. Para el modelo con 20% de estenosis los valores máximos son 0.95 m/s y 0.57 Pa.
Ambas gráficas presentan el mismo desfase entre las curvas de velocidad y presión.
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Ilustración 25 Velocidad y Presión en la entrada para el Vaso Simple
Ilustración 26 Velocidad y Presión en la entrada para el Vaso con Estenosis al 20%
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Esfuerzo Cortantes en la Estenosis Para Distintos Tiempos
Las gráficas presentadas a continuación nos permiten visualizar los esfuerzos cortantes en la zona
correspondiente a la entrada a la estenosis, en este punto es donde se presentan los mayores
esfuerzos, sin embargo estos corresponden a los valores presentados con color amarillo en la escala
de colores, los esfuerzos correspondientes al color rojo se encuentran en la entrada al modelo, pero
estos no existen realmente y se presentan debido a la condición de frontera del modelo que restringe
a 0 la velocidad en las paredes, por lo que los mayores esfuerzos si son los presentados a
continuación. Estos se encuentran en Pascales. El mayor esfuerzo se encuentra en la gráfica
correspondiente al tiempo 0.4 en donde alcanza un valor entre 0.47 a 0.55 Pa.
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58
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59
Esfuerzo Cortantes en la Estenosis Para una Carga Constante de 90 cm/s
La siguiente gráfica nos muestra los esfuerzos cortantes en la misma región cuando el modelo esta
sometido a una velocidad de entrada constante de 90 cm/s, la cual es equivalente a la velocidad pico
de entrada del modelo de estado transiente. El mayor esfuerzo que se encuentra en la gráfica
presenta un valor entre 0.47 a 0.55 Pa. Este valor corresponde nuevamente al color amarillo en la
escala de colores ya que en este caso se vuelven a presentar esfuerzos cortantes que en realidad no
existen a la entrada del modelo. La magnitud y distribución de los esfuerzos son similares a los
máximos hallados en el análisis de estado transiente.
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Ilustración 27 Esfuerzos Cortantes Carga Constante 90 m/s
Ondas de Presión en la Estenosis
Las gráficas a continuación nos presentan las ondas de presión en distintos puntos a través de la
estenosis. La posición de los puntos donde se tomaron los datos esta presentada en la Ilustración 28,
en la ilustración 29 se pueden apreciar las ondas de presión en donde la correspondiente al punto 1
es la que presenta la mayor presión de pulso.
Ilustración 28 de los puntos e Ubicación de los puntos donde se tomaron las gráficas de presión contra
tiempo
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61
Ilustración 29 Presiones contra tiempo en distintos lugares de la estenosis
5.3. Modelo con 40% de Estenosis
Perfiles de Velocidad en el Modelo con Estenosis con 40%
Repetición Ilustración 17 Posiciones donde se tomaron los perfiles de velocidad en el modelo con 40%
de Estenosis
A continuación en las Ilustraciones 31 a 35 se presentan los perfiles obtenidos en los puntos arriba
mencionados, estos presentan velocidad en m/s contra ancho del vaso en m. Para cada punto están
superpuestos distintos tiempos hasta alcanzar dos periodos de la onda introducida como velocidad
de entrada.
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62
-2,00E-01
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,20E+00
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Posición respecto el ancho del vaso (m)
Velo
cida
d (m
/s)
Tiempo 0.5Tiempo 1.5Tiempo 2.5Tiempo 3.5Tiempo 4.5Tiempo 5.5Tiempo 6.5Tiempo 7.5Tiempo 8.5Tiempo 9.5Tiempo 10.5Tiempo 11.5Tiempo 12.5
Ilustración 30 Perfiles de velocidad en el punto entrada 1
-2,00E-01
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,20E+00
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Posición respecto el ancho del vaso (m)
Velo
cida
d (m
/s)
Tiempo 0.5Tiempo 1.5Tiempo 2.5Tiempo 3.5Tiempo 4.5Tiempo 5.5Tiempo 6.5Tiempo 7.5Tiempo 8.5Tiempo 9.5Tiempo 10.5Tiempo 11.5Tiempo 12.5
Ilustración 31 Perfiles de velocidad en el punto entrada 2
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63
p
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,20E+00
1,40E+00
1,60E+00
1,80E+00
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007
Posición respecto al ancho del vaso m)
Velo
cida
d (m
/s)
Tiempo 0.5
Tiempo 1.5
Tiempo 2.5
Tiempo3.5
Tiempo 4.5
Tiempo 5.5
Tiempo 6.5
Tiempo 7.5
Tiempo 8.5
Tiempo 9.5
Tiempo 10.5
Tiempo 11.5
Tiempo 12.5
Ilustración 32 Perfiles de velocidad en la estenosis
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Posición respecto al ancho del vaso (m)
Velo
cida
d (m
/s)
Tiempo 0.5Tiempo 1.5Tiempo 2.5Tiempo 3.5Tiempo 4.5Tiempo 5.5Tiempo 6.5Tiempo 7.5Tiempo 8.5Tiempo 9.5Tiempo 10.5Tiempo 11.5Tiempo 12.5
Ilustración 33 Perfiles de velocidad en el punto salida 1
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64
-2,00E-01
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,20E+00
1,40E+00
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Posición respecto al ancho del vaso (m)
Velo
cida
d (m
/s)
Tiempo 0.5Tiempo 1.5Tiempo 2.5Tiempo 3.5Tiempo 4.5Tiempo 5.5Tiempo 6.5Tiempo 7.5Tiempo 8.5Tiempo 9.5Tiempo 10.5Tiempo 11.5Tiempo 12.5
Ilustración 34 Perfiles de velocidad en el punto salida 2
Perfiles de Presión en el modelo con 40% de Estenosis en la Posición “Entrada 2”
Para el punto mostrado en la ilustración 30 como “Entrada 2” se graficaron también los perfiles de
presión, estos corresponden a las gráficas que se presentan a continuación las unidades en todas
estas gráficas son Pascales contra metros. Primero se presenta una gráfica general en donde se
encuentran todos los perfiles tomados en distintos tiempos y luego gráficas detalladas
correspondientes al perfil de cada uno de los tiempos. las presiones acá presentadas en Pascales
corresponden a la presión relativa respecto a la salida del modelo, ya que al crear este se definió que
una como una condición de frontera una presión de 0 a la salida del mismo. Al final se presenta una
gráfica en donde se puede ver a que parte de la onda de estrada corresponde cada instante de tiempo
para el cual se mostró un perfil de presión y velocidad, las unidades utilizadas en esta gráfica son
m/s contra s (velocidad contra tiempo).
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65
0
100
200
300
400
500
600
0 0,005 0,01 0,015
Posiciones respecto al ancho del vaso (m)
Pres
ión
Rel
ativ
a a
la S
alid
a (P
a)
Tiempo 0.5Tiempo 1.5Tiempo 2.5Tiempo 3.5Tiempo 4.5Tiempo 5.5Tiempo 6.5Tiempo 7.5Tiempo 8.5Tiempo 9.5Tiempo 10.5Tiempo 11.5Tiempo 12.5
Ilustración 35 Perfiles de presión para el modelo con 40% de estenosis en el punto “entrada 2” para
distintos tiempos.
Perfiles de Presión Individuales para cada Tiempo (Pascales contra metros)
Tiempo 0.5
478,25
478,3
478,35
478,4
478,45
478,5
478,55
478,6
478,65
478,7
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Tiempo 1.5
391,4
391,45
391,5
391,55
391,6
391,65
391,7
391,75
391,8
391,85
391,9
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
IM-2003-II-26
66
Tiempo 2.5
241,4
241,45
241,5
241,55
241,6
241,65
241,7
241,75
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Tiempo 3.5
47,845
47,85
47,855
47,86
47,865
47,87
47,875
47,88
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Tiempo 4.5
6,23
6,232
6,234
6,236
6,238
6,24
6,242
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Tiempo 5.5
67,812
67,813
67,814
67,815
67,816
67,817
67,818
67,819
67,82
67,821
67,822
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Tiempo 6.5
236,28
236,3
236,32
236,34
236,36
236,38
236,4
236,42
236,44
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Tiempo 7.5
388,85
388,9
388,95
389
389,05
389,1
389,15
389,2
389,25
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
IM-2003-II-26
67
Tiempo 8.5
305,65
305,7
305,75
305,8
305,85
305,9
305,95
306
306,05
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Tiempo 9.5
91,21
91,22
91,23
91,24
91,25
91,26
91,27
91,28
91,29
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Tiempo 10.5
3,568
3,57
3,572
3,574
3,576
3,578
3,58
3,582
3,584
3,586
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Tiempo 11.5
41,7835
41,784
41,7845
41,785
41,7855
41,786
41,7865
41,787
41,7875
41,788
41,7885
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Tiempo 12.5
178,6
178,61
178,62
178,63
178,64
178,65
178,66
178,67
178,68
178,69
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Ilustración 36 Perfiles de presión en el puntó denominado entrada dos para distintos tiempos
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68
Ilustración 37 Puntos correspondientes a los tiempos de muestra respecto a la onda de carga original.
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69
6. ANÁLISIS DE RESULTADOS
6.1. Modelo de Vaso Simple con Flujo Pulsátil El propósito de este modelo era verificar que las cargas que se estaban poniendo en el modelo
correspondieran con las que se querían imponer. Para esto se estableció como condición de frontera
la onda de velocidad mostrada en el capitulo 4.
)(10 2 TIMExSenoV =
Por lo que se espera el valor máximo de la velocidad se alcance en un tiempo aproxima a los 1.5
segundos, y el valor mínimo sea el que se presente en 0. Para verificar esto, se grafico la
componente de la velocidad en la dirección del eje X para los tiempo 0.5, 1, 1.5 y 2. En la escala de
las gráficas se puede apreciar que si se cumple lo esperado, ya que para cada tiempo la magnitud de
la velocidad presentada en la respuesta corresponde a la magnitud de la velocidad introducida como
entrada. Esto debe ser así ya que no existen discontinuidades que frenen el flujo de manera notable.
Se puede observar que la velocidad es máxima se alcanza en un tiempo de 1.5 segundos. y es de
alrededor de 10 m/s.
6.2. Modelo de Cilindro con Estenosis del 20% y Flujo
Pulsátil
Los supuestos que incluye este modelo son: Paredes rígidas, flujo incompresible, y una onda
simplificada. para las propiedades del fluido se utilizó una viscosidad de 3.5 cP y una densidad de
1057 kg/m3. La longitud del modelo fue deliberadamente seleccionada para ser igual a la del tubo
simple ya que por medio de una comparación entre ambos se podría demostrar parte de la teoría que
expone Dinnar en su libro [1]. Este modelo nos sirve para encontrar el comportamiento que
presentan las ondas de presión frente a la existencia de una estenosis y poderlo comparar con el que
se presenta en un conducto simple en donde no existe el angostamiento.
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70
Ilustración 38 Tres muestras de las distribuciones de presión a la entrada, mitad y salida de un
segmento de arteria normal y uno que presenta estenosis, para diferentes niveles de actividad
vasomotora. (Tomado de [1]. Sin permiso)
En la gráfica se puede apreciar que debido a la estenosis, la presión en la entrada a la misma
presenta un aumento para luego disminuir en los otros dos puntos de referencia. El corrimiento de la
gráfica representa la velocidad de propagación de la onda.
Para verificar esto se les aplicó la misma onda de velocidad como condición de entrada a ambos
modelos, el tubo simple y el tubo con estenosis, la onda que se aplicó consistió en una onda de
velocidad de tipo seno la cual variaba entre 10 cm/s a 90 cm/s. Luego de solucionar para ambos
casos se utilizó el modulo de “TimeHist Postpro” de Ansys, por medio del cual para cada una de
las geometrías se graficaron las presiones en los mismos puntos, a la entrada, en la mitad y en la
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71
salida en función del tiempo. Para facilitar la visualización se presentan nuevamente las
Ilustraciones 22 y 23. (Unidades: Pascales contra segundos)
Repetición Ilustración 22 Gráficas de presión contra tiempo en la entrada, mitad y salida para el
modelo del tubo simple
Repetición Ilustración 23 Gráficas de presión contra tiempo en la entrada, mitad y salida para el
modelo del tubo con estenosis
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72
Antes de analizar estas dos gráficas es necesario recordar que debido a las condiciones de frontera
del modelo, las presiones se dan en función de la presión de salida, la cual se considera como 0, por
lo que los valores acá encontrados son relativos y representan los gradientes a través del modelo. En
estas dos gráficas se puede observar lo siguiente respecto al comportamiento pronosticado por
Dinnar en su libro:
- La presión en la entrada aumento en el modelo que presenta la estenosis, lo cual coincide
con lo esperado teóricamente. La magnitud del aumento presentado el aumento presentado
es de alrededor del 25%.
- También al igual que lo predicho teóricamente las magnitudes de las ondas de presión en
los otros dos puntos disminuyen. la magnitud de esta disminución es de cerca del 30%
- Debido a las características del modelo (paredes rígidas, fluido incompresible), la onda se
trasmite casi de manera instantánea a través del modelo, por lo cual las curvas no presentan
el desfase esperado entre ellas, esto se puede ver claramente en la grafica de las curvas del
tubo simplificado. A pesar de la diferencia con el ejemplo presentado por Dinnar en su
libro, esto tambien esta predicho teóricamente, ya que la ecuación que define la velocidad
de trasmisión de la onda es la siguiente:
21
0 2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ρaEhC
En donde E es el modulo de elasticidad, debido a que el modelo consideraba las paredes
como rígidas este tiende a infinito por lo cual la velocidad de trasmisión de la onda también
tiende a infinito impidiendo que se presente un desfase.
- La presión en la estenosis presenta un desfase respecto a las otras dos presiones en el
segundo modelo, esto no esta explicado en el modelo teórico, y no coincide con lo que se
espera.
También es importante compara los resultados obtenidos con los que se obtendrían por medio de
una solución de estado estable, ya que si los resultados son similares, la solución de estado
transiente carecería de motivos para su desarrollo, ya que es mas costosa en cuanto a tiempo
computacional y equipos necesarios y no estaría presentando ventajas significativas respecto a la
respuesta en estado estable. Utilizando la misma geometría, se soluciono para una velocidad
constante de 90 cm/s, la cual equivale al pico de la onda utilizado en la respuesta de estado
transiente. Para esta carga se grafico las presiones en la geometría:
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Repetición Ilustración 24 Presiones frente a una velocidad constante de 90cm/s en un tubo con estenosis
Los números en la gráfica corresponden a los sitios en donde se encuentran los nodos para los
cuales se tomaron los datos presentados en las ilustraciones 25 y 26. Basados en la escala de
colores se puede observar que las presiones de la entrada las cuales se encuentran en la zona
amarrilla presentan una presión relativa entre 0.45 a 0.55 Pa. Estos valores son menores a los
valores pico obtenidos en el modelo de estado transiente, en donde este pico de la gráfica se
encuentra ligeramente por encima de los 0.6 Pa. Sin embargo este pico de presión no coincide con
el punto en donde la velocidad es la máxima, y si se observa en la gráfica 26 encontramos, que los
valores en el modelo de estado estable son equivalentes a los obtenidos en el modelo transiente. Si
se toma el tiempo 2 segundos en la gráfica 26 se aprecia que al trazar una línea vertical esta
atraviesa el pico de velocidad y los valores de presión por los que pasa corresponden con los
anteriormente mencionados. Por lo que se puede decir que en este especto el modelo transiente no
presenta una ventaja significativa respecto al de estado estable.
Repetición Ilustración 26 Velocidad y Presión en la entrada, para el modelo con estenosis
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74
Comparando esta gráfica con su equivalente en el modelo del tubo simple se puede ver que el
desfase entre ambas ondas no es causado por la estenosis.
Repetición Ilustración 25 Velocidad y Presión en la entrada, para el modelo de tubo simple
Los esfuerzos cortantes son de gran importancia en el desarrollo de las enfermedades
ateroscleróticas, por lo cual se graficaron los esfuerzos en un punto critico (inicio de la estenosis)
para varios tiempos y se compararon con la solución obtenida cuando se utiliza la velocidad
máxima en estado estable. En ninguna de las gráficas se aprecian esfuerzos máximos según la
escala presentada. esto se debe a que los esfuerzos cortantes máximos se ubican en la entrada del
modelo, sin embargo estos esfuerzos no son reales y obedecen a la forma como se plantearon las
condiciones de frontera (velocidad 0 en la paredes laterales).
A partir de las gráficas presentadas en las Ilustraciones mostradas en la sección de resultados
(Figura 26) se puede ver que los esfuerzos cortantes en el tiempo 0.4, los cuales coinciden con el
momento en el cual la velocidad es de 90 cm/s, coinciden con los esfuerzos alcanzados en la
solución de estado estable. Según la escala de colores en el caso de estado transiente estos
esfuerzos se encuentran en un rango de 0.03934 a 0.04721 Pa lo cual es muy cercano al rango
presentado en la solución de estado estable, el cual se ubica entre 0.03935 a 0.04722. Al no
presentarse una diferencia significativa entre ambos modelos, no se presenta una ventaja al utilizar
el modelo de estado transiente ya que es posible alcanzar los mismos resultados solucionando para
el punto critico de velocidad en estado estable, con lo cual se ahorra bastante tiempo de calculo.
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75
Este modelo se utilizo también para ver en que punto de la estenosis se presentaba una mayor
presión de pulso, ya que se ha encontrado que esta directamente relacionada con el desprendimiento
de placa aterosclerótica. En la gráfica se puede ver que la mayor presión de pulso (diferencia entre
el valor máximo y el mínimo de la onda de presión) se da en el punto 1, este corresponde a la
entrada de la estenosis y por lo tanto este sería el punto mas crítico para el desprendimiento de
placa.
Repetición Ilustración 28 Ubicación de los puntos donde se tomaron las gráficas de presión contra
tiempo
Repetición Ilustración 29 Presiones contra Tiempo en distintos puntos de la Estenosis
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76
6.3. Modelo de Cilindro con Estenosis del 40% y Flujo
Pulsátil A partir de estas gráficas se puede observar el desarrollo que va presentando el perfil del fluido a
medida que recorre el modelo. En la entrada 1 la forma del patrón solo obedece a las condiciones de
frontera originalmente expuestas, por lo que los perfiles tienden a registrar una velocidad constante
la cual solo diminuye al acercarse a las paredes para cumplir con la condición de velocidad igual a 0
sobre estas. Ya en el punto denominado entrada 2 , la estenosis empieza a influir en el
comportamiento del perfil, esto se puede ver en la disminución que se presenta en los puntos de 0 a
0.2 metros y de 0.8 a 1metro del ancho del vaso lo cual coincide con la magnitud de la estenosis
aplicada. En los demás puntos el comportamiento responde a la magnitud de la onda de velocidad
en ese momento, se puede observar que se presenta un aumento de la velocidad al pasar por la
estenosis, luego esta empieza a disminuir nuevamente para aproximarse a los valores originales de
velocidad que se presentaban antes de la estenosis.
En este caso no se presenta flujo revertido, sin embargo este se llega a presentar cuando se utilizan
distintas ondas de velocidad a la entrada, como ondas que ya presenten velocidades negativas u
ondas de apariencia mas similar a la onda fisiológica. El problema radica en que al utilizar estas
ondas de velocidad más extremas tal vez no se llegue a una solución convergente. lo mismo sucedía
cuando se intentó utilizar geometrías con estenosis más marcadas, los modelos nunca convergían o
para que lo hicieran era necesario un enmallado excesivamente fino, lo cual representaba tiempos
de solución larguísimos.
Los perfiles de presión se graficaron únicamente para el punto denominado entrada 2, ya que este es
el punto critico para verificar si el modelo cumple por lo expuesto por Dinnar [1], en donde afirma
que parte de la onda original es trasmitida directamente a través de la estenosis, mientras de otra
parte es reflejada, esta onda reflejada dependiendo de la frecuencia que presente se va a sumar o
restar de la onda original, por lo cual se esperaría que los perfiles de presión presentaran un
comportamiento acorde con esto.
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Ilustración 39 Representacion esquematica de una Estenosis (Tomado de [1]. Sin permiso)
En un principio se pensó que esto no se cumplía ya que al graficar los perfiles de presión para
distintos tiempos no se encontró efecto alguno en la forma de los perfiles para poder llegar a esta
conclusión. Esto se observa en la gráfica ilustración 36.
Sin embargo al mirar de manera mas detallada cada una de las graficas por separado se encontró
que el problema radica en la escala que se manejaba en la gráfica conjunta, ya que los valores de las
variaciones dentro de un mismo perfil eran demasiado pequeños como para poderse apreciar en una
gráfica con una escala tan grande. Por esta razón se graficaron de manera independiente los
resultados obtenidos para cada perfil, con lo cual cada uno poseía su propia escala, en la cual si es
posible observar la forma real del perfil. Todas estas gráficas se encuentra recopiladas en la
Ilustración 37.
En la mayoría de estas gráficas se pueden definir tres zonas, la primera que va desde el punto 0
hasta el punto 0.2 metros, la segunda del 0.2 al 0.8 metros y la tercera del 0.8 al punto 1 metro.
Estas zonas están definidas por la influencia de la estenosis en el perfil, por lo que la primera y la
tercera zona presentan un comportamiento similar. El comportamiento de la zona de la mitad se
podría considerar como el comportamiento medio, el cual sería el que presentaría todo el perfil de
no presentarse ninguna estenosis. Como se puede ver en algunos tiempos la presión en las zonas 1 y
IM-2003-II-26
78
2 es superior a la de la zona media, mientras que en otros es inferior. Para poder analizar esto se
graficó la ubicación de cada punto de tiempo sobre la onda de velocidad que fue introducida como
entrada. Por medio de esta gráfica (Ilustración 38) se puede ver que los puntos que se encuentran en
posiciones similares en la onda presentan perfiles de velocidad similares. Por lo que se puede
afirmar que estos perfiles presentan un comportamiento cíclico, que al parecer esta en fase con la
onda de velocidad de entrada. este fenómeno se le podría atribuir a la reflexión de las ondas en la
estenosis. Sin embargo la diferencia entre los distintos puntos de un mismo perfil no son
significativas, y en este caso en particular representan una variación entre el 0.1 al 0.5% respecto al
valor de la presión media del perfil.
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79
7. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS
Como se vio en los primeros capítulos, encontrar la solución analítica de un problema como el que
se presenta en un conducto vascular elástico ante la presencia de un flujo pulsátil es bastante
complicado, por lo que la utilización del modelaje por medio de elementos finitos se convierte en
una herramienta que de ser utilizada adecuadamente nos permite encontrar soluciones aproximadas
de una manera mas fácil y reproducible bajo distintas condiciones.
A través del desarrollo de este proyecto, se encontró que si es posible hacer un análisis de estado
transiente por medio del modulo de fluidos de Ansys Inc., se aprendieron a utilizar las dos maneras
de introducir cargas dependientes del tiempo al problema y se adquirió un conocimiento general
acerca de la manera de enfrentar un problema de este tipo y de las consideraciones a tener en cuenta
cuando se esta solucionando. De manera mas especifica se vio la importancia del enmallado para
obtener soluciones coherentes y convergentes. También la importancia de introducir las condiciones
de frontera de una manera acertada ya que de lo contrario la solución va a ser divergente.
El modelo actualmente presentado nos sirve para entender la influencia de la presencia de una
estenosis en el cambio en la forma y magnitud de las ondas de presión y de velocidad, por medio de
la visualización de los perfiles se puede encontrar si se esta presentando o no un flujo reversible y
en que parte se esta presentando exactamente. También es posible visualizar la magnitud de los
esfuerzos cortantes, las presiones y las velocidades en cualquier parte del modelo. Con un correcto
análisis estos datos permiten predecir como será la reacción del cuerpo frente a los esfuerzos a los
cuales esta sometido y cuales son los puntos críticos que se deben tener más en cuenta.
A partir de los distintos resultados obtenidos se pudo verificar la similitud entre el comportamiento
esperado en teoría y el comportamiento presentado por el modelo, esto fue especialmente claro en el
comportamiento esperado de la onda de presión a través de la estenosis, en donde se presentó el
incremento de presión esperado en la entrada. En otros resultados lo obtenido no coincide con lo
predicho teóricamente, como en el desfase entra las ondas de presión tomadas en los distintos
puntos, no coincide en comportamiento mas no en magnitud, como en el caso de los perfiles de
presión, en donde el efecto de las ondas reflejadas no presenta la magnitud esperada.
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80
A partir de estos resultados se puede prever cual será la reacción fisiológica ante las cargas a las
cuales están sometidas las arterias, en el caso especifico de las estenosis, en donde al presentarse la
presión aumenta de manera permanente en la parte correspondiente a la entrada, ante este estimulo
constante la arteria empieza a endurecerse también en esta zona, por lo que se esperaría se siga
aumentando la presión debido a este efecto. Es importante tener esto en cuenta ya que los modelos
no son capaces de reconocer que esto sucede y que se requiere un cambio en el modulo de
elasticidad en la paredes en esta zona donde se presentan mayores presiones y esfuerzos cortantes.
A la salida de la estenosis es donde se presentan los esfuerzo cortantes más bajos por lo que se
puede suponer es en este sentido hacia donde se va a extender la placa aterosclerótica. Como se vio
la mayor presión de pulso se presenta en la entrada a la estenosis por lo que es allí donde se espera
se presente el desprendimiento de placa.
Respecto a la diferencia de resultados entre un modelo en estado transiente y un modelo en estado
estable se puede concluir que bajo los supuestos utilizados como lo son paredes rígidas, sangre
como fluido newtoniano con viscosidad constante respecto a la velocidad y una onda de velocidad
de tipo sinusoidal a la entrada, la diferencia entre los resultados obtenidos para valores puntuales de
presión (tales como la presión máxima en cierto instante de tiempo bajo la entrada de velocidad
correspondiente) y los esfuerzos cortantes no varían de manera significativa entre ambos modelos,
por lo que para estos aspectos el esfuerzo en tiempo no se justifica. En cambio el modelo si es
justificable para observar el comportamiento de las ondas tanto de presión como de velocidad a lo
largo del modelo, también para identificar patrones en los perfiles de flujo, que tener en cuenta que
en una solución en estado transiente cada paso de tiempo requiere un nivel de procesamiento igual
al de una solución de estado estable, por lo que el aumento de tiempo de procesamiento entre un
modelo y otro es altamente significativo.
Si el proyecto se iniciara de nuevo habría algunos cambios en la forma como se trabajo en esta
ocasión, si se arranca desde el mismo punto la parte de conocimiento del programa es
indispensable, así como la fundamentación teórica, por lo que la primera parte del desarrollo del
proyecto no cambiaría. En cuanto a la validación de los modelos se realizarían más pruebas
cambiando cada una de las distintas variables como lo son velocidad de entrada, viscosidad de la
sangre, nivel de la estenosis, anchos del vaso para ver la sensibilidad de los resultados a cada una de
estas variables. Las ondas fisiológicas presentan un flujo revertido, por lo que trabajar con ondas
más reales también es un paso importante en el avance del estudio, una aproximación a ellas se
puede hacer mediante series de Fourier o polinomios de Taylor. También se podría trabajar con una
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81
geometría más compleja como lo es una bifurcación e incluso con una bifurcación que presente
estenosis, ya que estas al poseer más discontinuidades presentan nuevos elementos que nos
permitirían entender la influencia de otras variables, como el grado de apertura de la bifurcación, o
la diferencia de presiones entre cada una de las salidas. Estos modelos son mas complejos de
realizar por razones de convergencia y del tiempo requerido para que Ansys los resuelva.
Como estudio posterior seria conveniente estudiar los mismos datos aquí observados en un modelo
que presente paredes elásticas y flujo pulsátil, ya que la influencia de estas en la reflexión de las
ondas puede ser significativa debido a su capacidad de absorber y disipar las ondas de presión y de
velocidad, también sería interesante trabajar con un modelo que presente un módulo de elasticidad
distinto en la estenosis que en el resto de la arteria, ya que esto también influye en la forma como se
desarrollan y reflejan las distintas ondas. Con cada uno de estos modelos se iría avanzando a un
mejor entendimiento del comportamiento hemodinámico para geometrías especificas.
IM-2003-II-26
82
8. BIBLIOGRAFÍA
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