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ii

Estudio de la emisión de un sistema depuntos cuánticos interactuantes

inmersos en una microcavidad óptica.

Milton Smit Linares Melo

Cod: 01835387

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de ciencias

Departamento de Física

Bogotá D.C.

iii

Estudio de la emisión de un sistema de puntoscuánticos interactuantes inmersos en una

microcavidad óptica.

Milton Smit Linares Melo

Trabajo de Grado presentado para optar al título de

Magister en Ciencias-Física

Director: Herbert Vinck Posada. Doctor en Física

Grupo de Óptica e Información Cuántica

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de ciencias

Departamento de FísicaBogotá D.C.

24 de junio de 2015

Índice general

Resumen XIII

Introducción XV

1. Marco teórico 11.1. Heteroestructuras semiconductoras . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Nanoestructuras semiconductoras . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Formas de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Técnica de crecimiento por Epitaxia de Haces Moleculares(MBE). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. Técnica de epitaxia de gotas (DE) (Control de frecuenciade emisión y densidad de QD) . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Punto Cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1. Emisores de fotones individuales . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Interacción Von Foerster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Acople luz-materia en microcavidades . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1. Modelo de Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6. Fotoluminiscencia (PL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7. Función de correlacíon de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Modelo teórico 192.1. Hamiltoniano del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2. Ecuación Maestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3. Planteamiento analítico general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1. Hamiltoniano General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2. Elementos de matriz Hamiltonianos generales . . . . . . . 252.3.3. Dinámica general del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.4. Ecuación maestra general . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.5. Elementos generales de la Ecuación maestra . . . . . . . . 29

3. Resultados 333.1. Aplicación a un sistema en particular . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1. Sistema de puntos cuánticos interactuantes . . . . . . . . 33

v

vi ÍNDICE GENERAL

3.1.2. Sistema de puntos cuánticos interactuantes en una micro-cavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.3. Dinámica del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Cálculo de la función de correlación de segundo orden en � = 0 . 443.3. Resultados y Análisis Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.1. Resultados Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.2. Resultados Disipativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.3. Espectros de Emisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Conclusiones 69

Índice de �guras

1.1. Estructuras con distinta dimensionalidad: pozo cuántico (QW)2D, hilo cuántico (QWR) 1D y punto cuántico (QD) 0D. Tomadoy editado de la referencia [19]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. a) Esquema de los tres modos de crecimiento: Frank-Van der Mer-we (FvdM), Volmer-Weber (VW) y Stranski-Krastanov (SK). b)Imagen de una isla de Ge depositado en un sustrato de Si medi-ante el método (SK), con sus dimensiones típicas. Tomado de lareferencia [19] y [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. a) Descripción esquemática del crecimiento por MBE de un com-puesto III-V. b) Esquema de proceso de fabricación de puntoscuánticos: En el paso 1; muestra de sustrato de GaAs. En el paso2; una capa de InAs es depositada. En el paso 3; esta capa ha al-canzado su espesor crítico resultando en la formación de un puntocuántico en el paso 4. En el paso 5; una capa de nivelación ha sidocrecida para enterrar los puntos cuánticos. c) Capas apiladas depuntos cuánticos de InAs de 18 nm de espesor. j MBE del IMM-CSIC / Universidad de Cádiz. Tomado y editado de las referen-cias: [21], [18] y http://www.elmundo.es/elmundo/2011/09/16/nanotecnologia/1316190035.html . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Esquema del proceso de nanodrilling de la gota de Ga. Tomado yeditado de la referencia [23] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Distintas muestras de puntos cuánticos que permiten apreciar lasdimensiones típicas de los sistemas (30 a 50 nm de diámetro y 5 a10 nm de altura). Tomadas de: http://nanostructure.usc.edu/ re-search/qd.shtml, http://www.centronast.com/archives/51, http://www.fotonik.dtu.dk/english /Research/Nanophotonics/Nanodev/Quantum-dots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6. Diagrama de los niveles de energía para los estados molecularesrelacionados con el modelo básico de Foerster. Los Estados do-nantes de la izquierda se acoplan mediante FRET a los estadosaceptadores a la derecha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

vii

viii ÍNDICE DE FIGURAS

1.7. Esquema de un sistema de dos niveles interactuando con un fotónde una microcavidad óptica para el JCM. Tomado y editado de:http://en.wikipedia.org/wiki/Jaynes%E2%80%93Cummings_ mod-el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8. Representación de los procesos que tienen lugar durante un eventode luminiscencia: excitación, relajación y recombinación. Tomadode referencia [21] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9. Clasi�cación de los tipos de luz y sus principales característicasde acuerdo a los valores que toma la función de correlación desegundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10. Principio de funcionamiento de un interferómetro de intensidaden comparación con la de un interferómetro de Michelson. A laizquierda (interferómetro de Michelson), se hace una mediciónde coherencia espacial de primer orden, asociada con el promedioestadístico de las fuentes puntuales individuales. Líneas de retar-do se utilizan para cancelar el camino diferencia d1 y asegurar lacoherencia temporal. A la derecha (interferómetro de intensidad),se hace una medición de coherencia espacial de segundo orden,asociada con el promedio estadístico de las correlaciones entre lospares de fuentes puntuales. (Tomado de: http://www.aanda.org/articles/aa/full_html/2009/45/aa11739-09/aa11739-09.html) . . 17

2.1. Relación entre el sistema físico (muestra de puntos cuánticos) yel modelo planteado (con�guraciones abierta o en línea, cerradao en triángulo y punto central). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. a) Representación de un punto cuántico. Tomado y editado dehttp://www.onlineinvestingai.com/blog/whats-the-spin-on-quantum-dots/ b) Representación de un sistema de dos niveles que permitemodelar el punto cuántico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Esquema de las con�guraciones de puntos cuánticos a estudiar(en las �las el número de QD constituyentes y en las columnaslas posibles con�guraciones). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4. Escalera de estados del sistema de puntos cuánticos interactu-antes inmersos en una microcavidad óptica: Se muestra mediantequé mecanismos el sistema puede pasar por cada uno de los esta-dos del mismo, entre variedad cero y dos ( g: constante de inter-acción radiación materia, gij : constante de interacción Foersterentre puntos, Pi: tasa de bombeo de cada punto cuántico, i: tasade emisión espontanea de cada punto cuántico, �: tasa de pérdidaa través de espejos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1. Representación de un sistema de tres puntos cuánticos en con-�guración abierta (en línea). Cada esfera representa un puntocuántico y cada línea la interacción entre el par de puntos. . . . . 34

ÍNDICE DE FIGURAS ix

3.2. Representación de un sistema de tres puntos cuánticos en con�g-uración cerrada (en triángulo). Cada esfera representa un puntocuántico y cada línea la interacción entre el par de puntos. . . . . 37

3.3. Representación de un sistema de tres puntos cuántico en con�g-uración cerrada (en triángulo) constituidos como medios activosde una microcavidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4. Casos a tratar de acuerdo a la con�guración de parámetros delsistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5. Evolución poblaciones Caso A: Hamiltoniano - Abierto - Mole-cular - Resonante (en azul). Función de correlación de segundoorden (en negro). Parámetros: g12 = g23 = 10 meV , g31 = 0,g = 1 meV , !c = 995 meV = !x, P = = � = 0. Y la condicióninicial es: �1111;1111: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6. Evolución poblaciones Caso C: Hamiltoniano - Abierto - Nomolecular - Resonante (en azul). Función de correlación de segun-do orden (en negro). Parámetros: g12 = g23 = 1 meV , g31 = 0,g = 1 meV , !c = 995 meV = !x, P = = � = 0. Y la condicióninicial es: �1111;1111: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.7. Evolución poblaciones Caso E: Hamiltoniano - Abierto - Molec-ular - No resonante (en azul). Función de correlación de segundoorden (en negro). Parámetros: g12 = g23 = 10 meV , g31 = 0,g = 1 meV , �! = 5 meV , P = = � = 0. Y la condición iniciales: �1111;1111: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.8. Evolución poblaciones Caso B: Hamiltoniano - Cerrado - Mole-cular - Resonante (en azul). Función de correlación de segundoorden (en rojo). Parámetros: g12 = g23 = g31 = 10 meV , g = 1meV , !c = 995 meV = !x, P = = � = 0. Y la condicióninicial es: �1111;1111: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.9. Evolución poblaciones Caso D: Hamiltoniano - Cerrado - Nomolecular - Resonante (en azul). Función de correlación de se-gundo orden (en rojo). Parámetros: g12 = g23 = g31 = 1 meV;g = 1 meV , !c = 995 meV = !x, P = = � = 0. Y la condicióninicial es: �1111;1111: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.10. Evolución poblaciones Caso F: Hamiltoniano - Cerrado - Molec-ular - No resonante (en azul). Función de correlación de segundoorden (en rojo). Parámetros: g12 = g23 = g31 = 10 meV , g = 1meV , �! = 5 meV , P = = � = 0. Y la condición inicial es:�1111;1111: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.11. Evolución poblaciones Caso A: Disipativo - Abierto - Molecular- Resonante (en azul), con su respectivo valor de estado esta-cionario (línea punteada). Función de correlación de segundo or-den (en negro). Parámetros: g12 = g23 = 10 meV , g31 = 0, g = 1meV , !c = 995 meV = !x, P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05meV . Y la condición inicial es: �1000;1000. . . . . . . . . . . . . . 56

x ÍNDICE DE FIGURAS

3.12. Evolución poblaciones Caso C: Disipativo - Abierto - No mole-cular - Resonante (en azul), con su respectivo valor de estadoestacionario (línea punteada). Función de correlación de segundoorden (en negro). Parámetros: g12 = g23 = 1meV , g31 = 0, g = 1meV , !c = 995 meV = !x, P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05meV . Y la condición inicial es: �1000;1000: . . . . . . . . . . . . . 57

3.13. Evolución poblaciones Caso E: Disipativo - Abierto - Molecular- No resonante (en azul), con su respectivo valor de estado esta-cionario (línea punteada). Función de correlación de segundo or-den (en negro). Parámetros: g12 = g23 = 10 meV , g31 = 0, g = 1meV , �! = 5 meV , P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05 meV . Y lacondición inicial es: �1000;1000: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.14. Evolución poblaciones Caso B: Disipativo - Cerrado - Molecular- Resonante (en azul), con su respectivo valor de estado esta-cionario (línea punteada). Función de correlación de segundo or-den (en rojo). Parámetros: g12 = g23 = g31 = 10 meV , g = 1meV , !c = 995 meV = !x, P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05meV . Y la condición inicial es: �1000;1000. . . . . . . . . . . . . . 60

3.15. Evolución poblaciones Caso D: Disipativo - Cerrado - No mole-cular - Resonante (en azul), con su respectivo valor de estadoestacionario (línea punteada). Función de correlación de segundoorden (en rojo). Parámetros: g12 = g23 = g31 = 1 meV , g = 1meV , !c = 995 meV = !x, P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05meV . Y la condición inicial es: �1000;1000: . . . . . . . . . . . . . 61

3.16. Evolución poblaciones Caso F: Disipativo - Cerrado - Molecu-lar - No resonante (en azul), con su respectivo valor de estadoestacionario (línea punteada). Función de correlación de segundoorden (en rojo). Parámetros: g12 = g23 = g31 = 10 meV , g = 1meV , �! = 5 meV , P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05 meV . Y lacondición inicial es: �1000;1000: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.17. Espectros de emisión Caso A (con�guración abierta - molecular).Parámetros: g12 = g23 = 10 meV; g31 = 0 meV , g = 1 meV ,� = :::;�3; 0;+3; :::, P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05 meV . . . . 65

3.18. Espectros de emisión Caso C (con�guración abierta - no molec-ular). Parámetros: g12 = g23 = 1 meV; g31 = 0meV , g = 1 meV ,� = :::;�3; 0;+3; :::, P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05 meV . . . . 66

3.19. Espectros de emisión Caso B (con�guración cerrada - molecular).Parámetros: g12 = g23 = g31 = 10 meV; g = 1 meV , � =:::;�3; 0;+3; :::, P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05 meV . . . . . . . 67

3.20. Espectros de emisión Caso D (con�guración cerrada - no mole-cular). Parámetros: g12 = g23 = g31 = 1 meV , g = 1 meV ,� = :::;�3; 0;+3; :::, P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05 meV . . . . 68

ÍNDICE DE FIGURAS xi

3.21. Izquierda: Comparación de la evolución de poblaciones más apre-ciables para la con�guración abierta y cerrada (Caso A y CasoB): Hamiltoniano - Molecular - Resonante. Parámetros: g12 =g23 = 10 meV , gA31 = 0 y g

B31 = 10 meV , g = 1 meV , !c = !x,

P = = � = 0. Derecha: Comparación de las funciones de cor-relación de segundo orden para dichos casos. . . . . . . . . . . . . 70

3.22. Funciones de correlación de segundo orden. Arriba: sistemas Hamil-tonianos. Abajo: sistemas Disipativos. . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.23. Secuencias de espectros de emisión para cada caso. . . . . . . . . 74

xii ÍNDICE DE FIGURAS

Resumen

En este trabajo se realiza el estudio de la emisión de un sistema de puntoscuánticos interactuantes e inmersos en una microcavidad óptica, empleando unmodelo que describe a los puntos cuánticos como sistemas de dos niveles que seacoplan entre si vía interacción de Von Foerster, y también se acoplan a los mo-dos de la cavidad. Especí�camente, se calcula la dinámica tanto hamiltonianacomo disipativa, para sistemas de microcavidad-puntos cuánticos con diferentescon�guraciones espaciales, dadas por la disposición de la cadena de interacción.Además, son obtenidas las funciones de correlación de segundo orden y los corre-spondientes espectros de emisión. Encontrando desarrollos analíticos generalespara el estudio de los sistemas de interés, además se establece que dicha con-�guración espacial es un factor importante en el manejo de la emisión de estossistemas, como lo muestran las diferencias en las dinámicas de poblaciones, en lasfunciones de correlación de segundo orden y los espectros de emisión obtenidosal variar este parámetro.

xiii

xiv RESUMEN

Introducción

Actualmente es fácil apreciar como los diferentes adelantos y desarrollostecnológicos en diferentes campos, tales como los relacionados con las telecomu-nicaciones, la medicina, el transporte y la computación entre otros, dependende los desarrollos a nivel teórico e instrumental de cada una de las áreas deestudio e investigación en las que se ha dividido la ciencia de acuerdo a propósi-tos y �nes especí�cos. Particularmente, en esta ocasión haciendo referencia a laimportancia e in�uencia que la teoría cuántica presenta en la vida diaria me-diante los diferentes y múltiples aportes de cada una de las disciplinas que lacomponen [1]. Así, la óptica cuántica y la física del estado sólido han llegadoa un nivel de desarrollo en que una serie de problemas físicos señala que susfuturos avances exigen nuevos conceptos y no solamente la optimización de losconceptos actuales. Además, la actualidad en estos ámbitos de estudio requieremás que solamente una continuada miniaturización de los dispositivos o elemen-tos empleados, es decir que resultan trascendentes aspectos como la fabricación,el estudio y la aplicación de estructuras moleculares, interfaces internas y su-per�cies con dimensiones cuánticas [2], [3]. Por consiguiente, el estudio de lainteracción entre la radiación y la materia a bajas energías o pequeñas escalasse constituye actualmente en un campo de trabajo muy interesante y promete-dor [4], [5], ya que la comprensión de esta clase de sistemas abre las posibilidadesa aplicaciones tales como la manipulación de la información y la computación anivel cuántico [6], [7].

De modo que el estudio teórico y experimental de los sistemas de microcavidadesy puntos cuánticos ha venido incrementándose en las últimas décadas, debidoa los avances en las técnicas de crecimiento y control de las heteroestructurassemiconductoras [2], permitiendo fabricar microcavidades ópticas e insertar enellas medios activos tales como puntos cuánticos [8]. Con lo que se ha posibilitadoel estudio de la interacción entre excitaciones de la materia (excitones) [9] y laluz [10].

Sistemas como estos, en los cuales se consideran puntos cuánticos semiconduc-tores insertados en microcavidades ópticas, están siendo abordados muy intensa-mente tanto desde el punto de vista teórico como experimental [11], [12] debidoa sus potenciales e interesantes aplicaciones, ya que estos dispositivos pueden

xv

xvi INTRODUCCIÓN

ser utilizados como fuentes que emiten fotones uno a uno [9], [13], permitir laproducción de pares de fotones entrelazados [14], facilitar la construcción deláseres con características muy favorables respecto a los convencionales (bajovalor de umbral de excitación y sin inversión de población), entre otras.

Así que apuntando hacia un interés particular, en cuanto al estudio y desarrolloen el campo de la óptica e información cuántica se hace necesario la compren-sión y manipulación de sistemas físicos propios de este campo. Estos sistemasse constituyen en nano estructuras que son conocidas como puntos cuánticos1 ,que se caracterizan por presentar espectros de energía discretos de forma similarque los atómos, los cuales generalmente se encuentran en muestras de altas den-sidades2 y por consiguiente muy cercanos entre sí, debido a lo que interactúanentre ellos vía intercambio de excitones [15], es decir, los electrones que se en-cuentran en la banda de conducción y los respectivos huecos que se encuentranen la banda de valencia.

Es por lo anterior que en este trabajo se pretende investigar sobre las caracterís-ticas de sistemas de dichas nano estructuras o puntos cuánticos, particularmentemediante el estudio de la in�uencia que pueda llegar a tener la distribución ge-ométrica o con�guración espacial de diferentes sistemas de puntos cuánticoscon�nados en microcavidades ópticas, mediante la interacción a primeros veci-nos de Von Forster [16], [12]. Es decir, que se pretende identi�car la in�uenciaque la con�guración espacial del sistema tiene en la luz emitida por el mismo[10]. Entonces, especí�camente se plantea el siguiente problema.

El interés de este trabajo se centra en realizar el estudio y análisis de comolas diferentes distribuciones o con�guraciones espaciales3 de puntos cuánticosdispuestos en una microcavidad óptica y bajo interacción de Von Foerster [17],afectan las propiedades estadísticas de la luz emitida [10], [18], a través del cál-culo de la función de correlación de segundo orden y los espectros de emisiónpara distintos casos, con el �n de identi�car y establecer características de es-tos sistemas que permitan avanzar en su comprensión, y por qué no, con ellodar indicios para su posterior manipulación y empleo en posibles aplicacionestecnológicas.

1Un punto cuántico es un sistema físico de dimensiones muy reducidas, de modo que unapartícula, como un electrón, quede con�nada dentro del sistema.

2La densidad de QDs por unidad de super�cie puede variar desde 1011QDs/cm 2 has-ta densidades tan bajas como 108 QDs/cm 2 en función de las condiciones de crecimiento:temperatura de substrato, velocidad de crecimiento, cantidad de material depositado.

3De forma analítica las distribuciones espaciales de las muestras de puntos cuánticos sondispuestas mediante la interacción Foerster.

Capítulo 1

Marco teórico

1.1. Heteroestructuras semiconductoras

Los progresivos y rápidos avances tecnológicos en el campo de los disposi-tivos electrónicos empleados en múltiples aplicaciones han llevado al estudio yfabricación de nanoestructuras semiconductoras en las que los efectos del con-�namiento cuántico ofrece prometedoras propiedades para estos dispositivos,ya que se han descubierto posibles aplicaciones para estas nanoestructuras, enparticular para los puntos cuánticos, como fuente de fotones individuales. Lainclusión de puntos cuánticos en microcavidades ópticas permite la emisión máse�caz y direccional de los fotones individuales, además de la oportunidad deestudiar nuevos fenómenos cuánticos relacionados con la interacción entre luzy materia. Un requisito imprescindible en estos experimentos es asegurar unacoplamiento efectivo entre los modos de la cavidad y la emisión de un puntocuántico individual [19].

Por todo esto se han requerido técnicas de crecimiento que permita controlar as-pectos como la longitud de onda de emisión de los puntos cuánticos, que se rela-ciona directamente con el tamaño de los mismos, y también su posicionamiento,debido a que para la inclusión de uno o pocos puntos cuánticos en una cavidadóptica se requieren muestras de bajas densidades. Siendo la densidad super�cialuna de las propiedades más importantes de los conjuntos de puntos cuánticosya que dependiendo del tipo de aplicación convendrá trabajar con conjuntos dealta o baja densidad. Así, para su introducción en la zona activa de un laser,son requeridas densidades de 1010QDs/cm2 , sin embargo los experimentos demicro-fotoluminiscencia son mucho más sencillos si se trabaja con conjuntos de108 QDs/cm2 .

Una heteroestructura es una disposición de capas alternadas de distintos materi-ales semiconductores siguiendo un orden preestablecido, estas presentan muchas

1

2 CAPÍTULO 1. MARCO TEÓRICO

ventajas, como el control de las zonas de con�namiento de los portadores de car-ga y también la posibilidad de fabricación de estructuras que emitan o absorbanluz en las longitudes de onda deseadas. A la hora de crecer una heteroestructuraes muy importante controlar el parámetro de red de los distintos materiales quese quieren utilizar, porque de esto dependerán muchas propiedades del disposi-tivo.

En el crecimiento epitaxial de las heteroestructuras pueden ser empleados ma-teriales con el mismo paramento de red que el de los materiales que sirven comosustrato, comúnmente (Si, GaAs, InP, GaP, GaSb, ZnSe). Pero debido al re-querimiento de dispositivos que absorban y emitan a ciertas longitudes de ondao frecuencia, se ha empezado a emplear materiales con distinto parametro dered que el de los sustratos [19].

1.1.1. Nanoestructuras semiconductoras

Los efectos cuánticos de una nanoestructura empiezan a ser apreciables cuan-do el tamaño de al menos una de sus dimensiones se reduce a un espesor delorden de la longitud de onda de De Broglie del electrón. La longitud de ondade De Broglie (�), depende de la masa efectiva (m�) de los portadores y de latemperatura (T ) como se muestra en la ecuación (1.1).

� =h

p=

~p3m�kBT

(1.1)

Para el caso del electrón en el semiconductor InAs, cuya masa efectiva es 0;023m0 (m0 masa del electrón libre), los efectos cuánticos podrían observarse paraespesores inferiores a 100 nm para una temperatura de 100K o 50nm paratemperatura ambiente.

El con�namiento cuántico se realiza rodeando la nanoestructura de materiales degap mayor, de modo que los portadores queden con�nados en la nanoestructura.El pozo cuántico fue la primera heteroestructura estudiada con con�namien-to cuántico. Posteriormente, creció el interés por heteroestructuras con con�-namiento cuántico en más de una dimensión, como los hilos cuánticos y lospuntos cuánticos [19]. El pozo cuántico (QW) es una estructura dos dimension-al que con�na el movimiento de los portadores en una dirección, un hilo cuántico(QWR) es una estructura uno dimensional que con�na el movimiento de los por-tadores en dos dimensiones y un punto cuántico (QD) es una estructura cerodimensional que con�na en las tres dimensiones espaciales. En la �gura (1.1) sepresentan las características de dimensionalidad y con�namiento de cada unade estas estructuras.

1.2. FORMAS DE CRECIMIENTO 3

Figura 1.1: Estructuras con distinta dimensionalidad: pozo cuántico (QW) 2D,hilo cuántico (QWR) 1D y punto cuántico (QD) 0D. Tomado y editado de lareferencia [19].

1.2. Formas de crecimiento

En el caso de crecimiento epitaxial de heteroestructuras, se han determi-nado tres modos de crecimiento epitaxial [20]. El crecimiento capa a capa, oFrank-Van der Merwe (FvdM), en el que el crecimiento es bidimensional, nucle-ando una capa sobre la anterior y formando una super�cie plana; el crecimientoVolmer-Weber (VW), en el que sucede lo contrario, es decir, no tiene lugarun crecimiento bidimensional sino que se forman islas tridimensionales, y elcrecimiento Stranski-Krastanov (SK) que es una situación intermedia a las dosanteriores. En la �gura (1.2) se presenta un esquema de los distintos modos decrecimiento1 .

Figura 1.2: a) Esquema de los tres modos de crecimiento: Frank-Van der Merwe(FvdM), Volmer-Weber (VW) y Stranski-Krastanov (SK). b) Imagen de unaisla de Ge depositado en un sustrato de Si mediante el método (SK), con susdimensiones típicas. Tomado de la referencia [19] y [3].

1La información al respecto de las tres técnicas de crecimiento puede ser ampliada en lareferencia [3]


El modo de crecimiento Stranski-Krastanov es un caso especial del tipo de crec-imiento FvdM, que tiene lugar cuando el material de la capa que crece epitaxi-almente tiene un parámetro de red diferente al del sustrato. Inicialmente la capacrece de forma plana, con un parámetro de red igual al del sustrato, pero conuna fuerte deformación en sus enlaces químicos. La energía del sistema aumentacon el espesor depositado en forma de energía elástica, hasta alcanzar un valorcrítico. A partir de este espesor crítico, la energía acumulada es tal que aparecenmecanismos de relajación de energía en la capa, bien mediante procesos plás-ticos produciendo dislocaciones, o de forma elástica aumentando la super�ciecon la formación de núcleos tridimensionales coherentes con el substrato (suparámetro de red en el plano de crecimiento es el mismo que el del substrato).Estos núcleos tridimensionales, formados espontáneamente mediante el mecanis-mo descrito, tienen dimensiones nanométricas y se denominan nanoestructurasauto-ensambladas y cuando se rodean de un material semiconductor de gapmayor aparecen efectos cuánticos de con�namiento de portadores.

1.2.1. Técnica de crecimiento por Epitaxia de Haces Mole-culares (MBE).

El desarrollo del MBE data del inicio de la década de 1970, cuando surgiócomo medio para el crecimiento de capas epitaxiales2 de compuestos semicon-ductores de alta pureza. Desde entonces ha evolucionado hasta convertirse enuna técnica generalizada para el crecimiento tanto de compuestos semiconduc-tores III � V 3 como de otro tipo de materiales. Mediante crecimiento MBE sepueden conseguir epitaxias de alta calidad caracterizadas por intercaras abrup-tas y un alto grado de control sobre el espesor, el dopado y la composición delas muestras crecidas. Este grado de control convierte al MBE en una valiosaherramienta para el desarrollo de dispositivos electrónicos y optoeléctronicos asícomo para el diseño de nuevos materiales [21].

Esta técnica consiste en calentar los metales o semiconductores en una atmós-fera de ultra alto vacío, haciendo que se evaporen, es decir, se convierten en gas.Estos elementos gaseosos se condensan en un cristal de semiconductor (silicio,arseniuro de galio...), donde pueden reaccionar uno con otro formando com-puestos cristalinos de alta pureza. El hecho de que el InAs tenga una bandaprohibida más pequeña que el GaAs hace que aparezca un potencial de con�-namiento de electrones y huecos en el interior de estos puntos cuánticos. Como

2EPITAXIA: es el crecimiento ordenado de una capa monocristalina que mantiene unarelación de�nida con respecto al substrato cristalino inferior.

3Hace referencia al grupo de la tabla periódica en que se encuentran ubicados dichos ele-mentos. Por ejemplo: el Ga y el In en el grupo tres y el As en el grupo cinco

1.2. FORMAS DE CRECIMIENTO 5

Figura 1.3: a) Descripción esquemática del crecimiento por MBE de un com-puesto III-V. b) Esquema de proceso de fabricación de puntos cuánticos: Enel paso 1; muestra de sustrato de GaAs. En el paso 2; una capa de InAses depositada. En el paso 3; esta capa ha alcanzado su espesor crítico re-sultando en la formación de un punto cuántico en el paso 4. En el paso 5;una capa de nivelación ha sido crecida para enterrar los puntos cuánticos.c) Capas apiladas de puntos cuánticos de InAs de 18 nm de espesor. j MBEdel IMM-CSIC / Universidad de Cádiz. Tomado y editado de las referen-cias: [21], [18] y http://www.elmundo.es/elmundo/2011/09/16/ nanotecnolo-gia/1316190035.html

se muestra en la �gura (1.3b) en este proceso de crecimiento una capa cristalinade InAs es crecida epitaxialmente por MBE (molecular beam epitaxy) sobre unsustrato con constante de red ligeramente diferente. Esta falta de coincidenciaen las contantes de red causará una tensión en la super�cie de la interfaz, queaumentará en la medida en que el material depositado aumente. Para un espesorcrítico del material depositado, esta tensión dará lugar a la formación de islaspequeñas (puntos cuánticos) sobre una capa húmeda (wetting layer), compuestabásicamente del material depositado. El hecho de que el material puede relajarmejor en islas poco tensas que en películas muy tensas hace que se favorezca laformación de estas islas. La ganancia en energía elástica compensa el costo deenergía debido al aumento de la super�cie. Las islas se distribuyen al azar en laparte superior de la capa húmeda. El tamaño y la densidad de las islas se puedediseñar variando los parámetros de crecimiento tales como la temperatura y lavelocidad de depósito. Después que las islas son formadas, se hace crecer unacapa de nivelación para enterrar los puntos cuánticos [18].

Esta técnica se ha desarrollado hasta el punto de ser, actualmente, la más �abley versátil para fabricar nanoestructuras semiconductoras de alto rendimiento.


La vista de una estructura generada mediante esta técnica se presenta en la�gura (1.3).

Las principales ventajas de fabricar un material con esta técnica son: en primerainstancia el alto grado de precisión en la fabricación del material permite crearmateriales de gran perfección, con muy pocos defectos. Por otra parte, este altonivel de control en el crecimiento permite desarrollar estrategias para fabricarnanoestructuras en donde los electrones están con�nados en el espacio. Porejemplo, en los pozos cuánticos los electrones sólo se pueden mover en un plano.En un punto cuántico los electrones están con�nados en las tres direcciones delespacio.

1.2.2. Técnica de epitaxia de gotas (DE) (Control de fre-cuencia de emisión y densidad de QD)

Esta es una técnica alternativa al crecimiento de nanoestructuras para sis-temas con el mismo parámetro de red que consiste en depositar, en condicionesde alto vacío, temperatura del sustrato y velocidad de deposición adecuadas,elementos del grupo III, como Ga, sobre una super�cie de GaAs o AlGaAs enausencia de elementos del grupo V . Este proceso produce la formación de go-tas metálicas de dimensiones nanométricas. Después, estas gotas son expuestasa un �ujo de elemento V , convirtiéndose las gotas de Ga en nanocristales deGaAs. Depositando Ga a temperaturas de sustrato elevadas (500�C), la forma-ción de gotitas metálicas da lugar a la formación de nanoagujeros en super�ciesde GaAs, los cuales actúan como centros de nucleación preferente para la forma-ción de nanopartículas de otro material, por ejemplo InAs. Esto permite despuéscontrolar la posición de los puntos cuánticos o moléculas, con bajas densidades.

La formación de nanoagujeros tiene lugar mediante un proceso llamado nan-odrilling. Se produce como consecuencia de la deposición de una gota metálicasobre un sustrato metálico o semiconductor [22]. Las gotas de Ga formadas so-bre el sustrato de GaAs disuelven el sustrato mediante la difusión de arsénicohacia la gota metálica. Este proceso depende de la temperatura del sustrato. Laposterior exposición de las gotas de Ga a atmósfera de arsénico conduce a laformación de nano-cristales de GaAs a partir de las gotas de Ga metálicas. Si ladeposición de las gotas metálicas y su cristalización se realiza a temperaturas delsustrato (Ts � 500�C), el proceso de disolución y su posterior cristalización dejala super�cie con una distribución de nanoagujeros donde previamente estabanlas gotas de Ga. El tamaño de los nanoagujeros depende de Ts.

Sin embargo, en cuanto se suministra �ujo de As, la cristalización se vuelve elproceso predominante debido a que es un proceso más rápido que el nanodrilling

1.3. PUNTO CUÁNTICO 7

Figura 1.4: Esquema del proceso de nanodrilling de la gota de Ga. Tomado yeditado de la referencia [23]

y se detiene la formación de los nanoagujeros. En la �gura (1.4) se esquematizael proceso.

Como se dijo anteriormente, una vez que se fabrican los nanoagujeros, se puedenobtener puntos cuánticos depositando In en presencia de arsénico, ya que se for-ma InAs preferentemente en los nanoagujeros de la super�cie. La cantidad de Indepositada determinará el tamaño de las nanoestructuras de InAs, independi-entemente de su densidad, que está exclusivamente controlada por la densidadde nanoagujeros (o la densidad de gotas de Ga de las que proceden) [24]. Porlo tanto, el método de la epitaxia de gotas se vislumbra como un método muyprometedor, ya que primordialmente permite controlar la densidad de éstas paraintentar aislar la emisión de un solo punto. La baja densidad de puntos cuánti-cos en las muestras crecidas permite medir no sólo las propiedades de emisiónde los puntos cuánticos, sino también las propiedades de emisión de un puntocuántico individual.

1.3. Punto Cuántico

Tras haber surgido como curiosidad cientí�ca hace apenas 10 años, los pun-tos cuánticos4 se han posicionado como bloques de construcción para una in-dustria nanoelectrónica del futuro. Los puntos cuánticos se forman como estruc-tura material en sistemas metálicos, y contienen un pequeño pero bien de�nidonúmero de electrones. Este número puede ser controlado a través de campos

4Son estructuras denominadas 0-D ya que todas sus dimensiones están a escala nanométri-ca. El tamaño de dicha estructura juega un papel crucial, ya que es el que determina los nivelesde energía y por tanto la longitud de onda de la emisión de dichos niveles cuando se produceuna recombinación a través de dichos niveles.


electroestáticos, modi�cándolo entre cero y cientos de electrones. La presenciade un espectro de energías eléctricas discretas en los puntos cuánticos es únicoen todos los sistemas en estado sólido (de ahí su sobrenombre �átomos arti�-ciales�).

Como se ha mencionado con anterioridad las principales características que lla-man la atención de los puntos cuánticos son la capacidad de con�namiento delos portadores de carga y su relación tamaño-longitud de onda.

Con�namiento: En los puntos cuánticos, partículas como los electrones es-tán obligadas a permanecer atrapadas, con�nadas en las tres dimensiones. Enconcreto, los electrones se disponen en el punto como en un único átomo, de ahíel apodo átomos arti�ciales. Y de ahí, también, el que la materia estructuradaen puntos cuánticos tenga propiedades que pueden ser controladas a voluntad.Para que haya con�namiento los puntos cuánticos deben de tener un tamañocomparable al radio del excitón de Bohr, que es del orden de 10 nm en la mayoríade los semiconductores.

Relación tamaño - longitud de onda: Al ser iluminados, los puntos cuánticosreemiten luz en una longitud de onda muy especí�ca y que depende del tamañodel punto cuántico. Cuanto más pequeños sean los puntos, menor es la longitudde onda y más acusadas las propiedades cuánticas de la luz que emiten. Detal forma que pueden diseñarse puntos cuánticos con un tamaño determinadodependiendo de la longitud de onda que se necesite. Como la separación de losniveles depende del tamaño del punto cuántico y la luz emitida es debido a lastransiciones entre estos niveles, entonces se puede controlar la longitud de ondade la luz que se emite con el tamaño de los puntos cuánticos.

Un punto cuántico escualquier nanoestructura quecon�ne en las tres dimen-siones el movimiento delelectrón.

Un punto cuántico, generalmente es una nanoestructura semiconductora quecon�na el movimiento, en las tres direcciones espaciales, de los electrones dela banda de conducción, los huecos de la banda de valencia, o excitones [7](pares de enlaces de electrones en la banda de conducción y huecos de banda devalencia). Estas estructuras cristalinas a nanoescala pueden transformar la luz,presentando una mayor �exibilidad que otros materiales �uorescentes, lo que loshace apropiados para utilizarlos en construcciones a nanoescala de aplicacionescomputacionales donde la luz es utilizada para procesar la información [6].

Una de las propiedades más interesantes de los puntos cuánticos es que, alser iluminados, reemiten luz en una longitud de onda muy especí�ca y quedepende del tamaño de este. Cuanto más pequeños sean los puntos, menor es lalongitud de onda y más notables las propiedades cuánticas de la luz que emiten.Hay una gran variedad de implementaciones de puntos cuánticos, partiendo decompuestos químicos y técnicas físicas muy diferentes. A tal punto que algunas

1.3. PUNTO CUÁNTICO 9

Figura 1.5: Distintas muestras de puntos cuánticos que permiten apreciarlas dimensiones típicas de los sistemas (30 a 50 nm de diámetro y 5 a 10nm de altura). Tomadas de: http://nanostructure.usc.edu/ research/qd.shtml,http://www.centronast.com/archives/51, http:// www.fotonik.dtu.dk/english/Research/Nanophotonics/Nanodev/ Quantum-dots

compañías (Quantum Dots Corp) ya poseen patentes para la producción depuntos cuánticos.

La fabricación de puntos cuánticos con auto ensamble hace uso de sistemas mate-riales epitaxiales, que presentan un desacople de las constantes de red. Mediantealgunos procedimientos, átomos del material depositado llegan a la super�cielimpia de un sustrato, donde por procesos de difusión super�cial forman unacapa monoatómica epitaxial. Debido a la balanza energética (super�cial, inter-facial, elástica), los átomos forman un arreglo que minimiza la suma de estasenergías. La energía de tensión elástica crece en forma cuadrática con el espe-sor de la capa con el efecto que se forman islas de tamaño nanométrico, queminimizan el total de la energía. Para lo que se elige como material depositadoun semiconductor con una energía de gap menor que la del sustrato. Una vezformada la isla, se deposita otro semiconductor con un gap energético mayorque el de las islas. De tal forma las islas se convierten en puntos cuánticos conpotencial electrostático mayor en las tres direcciones del espacio.

De modo general, para el manejo de puntos cuánticos es necesario tener encuenta que en la teoría de sólidos, se denomina banda de valencia al más altode los intervalos de energías electrónicas (o bandas) que se encuentra ocupado


por electrones en el cero absoluto. En semiconductores y aislantes aparece unabanda prohibida o gap por encima de la banda de valencia, seguida de unabanda de conducción a energías aún mayores. En los metales, por el contrario,no hay ningún intervalo de energías prohibidas entre las bandas de valencia yde conducción.

1.3.1. Emisores de fotones individuales

Las transiciones ópticas que se dan en un punto cuántico entre la bandade valencia y la banda de conducción pueden ocurrir solo a energías discretasde forma análoga a como en el caso de los átomos. La interacción coulombianaentre un electrón y un hueco que se encuentran con�nados en el espacio da lugara que dicho par pueda ser descrito como una cuasi partícula denominada comoexcitón [7], [19]. De modo que la recombinación de un electrón, de la bandade valencia, y un hueco, de la banda de conducción, produce la emisión de unfotón. Entonces, para que se vuelva a dar la emisión de otro fotón es necesaria laformación de otro excitón. Así que la emisión de fotones en los puntos cuánticosse produce uno a uno tal como en los átomos.

En los puntos cuánticos los electrones y huecos pueden ser generados medianteestimulación eléctrica u óptica (luz) que excite a los electrones llevándolos de labanda de valencia a la banda de conducción. Sin embargo, para generar fuentesde fotones individuales es necesario contar con muestras de baja densidad depuntos cuánticos y controlar su tamaño de manera que se pueda conseguir aislarun único punto cuántico con emisión especí�ca [25].

1.4. Interacción Von Foerster

El proceso de transferencia de energía de resonancia (FRET) implica latransferencia de energía no radiante de un donante, que absorbe un fotón dela luz incidente, a un aceptor que no se acopla directamente a la luz incidente.La detección de la �uorescencia del aceptor es por lo tanto un indicador simplede la actividad de FRET[16].

El acoplamiento Foerster5 es la transferencia de energía de resonancia entre ex-citones que se hallan en puntos cuánticos adyacentes muy cercanos [17]. Aquí,

5Se puede ampliar información al respecto en: http://en.wikipedia.org/wiki/F %C3 %B6rster_coupling#cite_note-1

1.5. ACOPLE LUZ-MATERIA EN MICROCAVIDADES 11

Figura 1.6: Diagrama de los niveles de energía para los estados moleculares rela-cionados con el modelo básico de Foerster. Los Estados donantes de la izquierdase acoplan mediante FRET a los estados aceptadores a la derecha.

un átomo excitado puede transferir su excitación a un átomo aceptor vecino, através de un fotón virtual intermedio [15]. También se ha demostrado que estemismo mecanismo es el responsable de la transferencia de excitones entre puntoscuánticos, como es de interés particular en este caso. La primera observación dela transferencia de energía fue hecha por Cario y Franck (1922) en sus experi-mentos clásicos en la �uorescencia sensibilizada de átomos en la fase de vapor.Especí�camente el vapor compuesto de una mezcla de mercurio y talio, al serirradiado con la luz de la línea de resonancia del mercurio, se observa el espectrode emisión de los dos átomos. Puesto que los átomos de talio no absorben la luzde excitación, pueden excitarse de manera indirecta mediante una transferenciade excitación de átomos de mercurio.

De modo que el control de la transferencia de energía Foerster abriría muchasposibilidades interesantes para controlar la dinámica de excitación y funcionali-dad óptica a escala nanométrica. Donde una forma de lograr esto es mediante elcontrol de las posiciones relativas de los átomos, moléculas o puntos cuánticos,en nuestro caso, que llevan las excitaciones.

1.5. Acople luz-materia en microcavidades

Al constituir sistemas de puntos cuánticos como los medios activos en unamicrocavidad óptica, y dado que, como ya se ha expresado, estos presentancon�namiento electrónico en las tres direcciones espaciales, se dan estados exci-tados discretos. Colocando dichos puntos cuánticos en una microcavidad se lograobtener un acoplamiento entre los modos excitónicos de los puntos cuánticos ylos modos fotónicos de la microcavidad. Obteniéndose así una manifestacióndirecta y explícita de la interacción luz-materia.


Para que los modos de la cavidad estén en condición de acople fuerte con unsolo modo del punto cuántico, la cavidad también debe mantener un solo modoaislado, de lo contrario el mecanismo de fuga no reversible de la excitación de losmodos de la microcavidad llevará a un decaimiento exponencial de la energía enlugar de oscilaciones de Rabi. Una manera de lograr esto, es mediante el uso demicrocavidades semiconductoras cero dimensionales. En general, estas cavidadesestán formadas por dos espejos planos de Bragg que encierran una cavidad delongitud del orden m�=2 (� es la longitud de onda de la luz con�nada).

1.5.1. Modelo de Jaynes-Cummings

El modelo de Jaynes-Cummings (JCM) es un modelo teórico de la ópticacuántica. En él se describe el sistema de un átomo de dos niveles interactuandocon un modo cuantizádo de una cavidad óptica. El JCM es de gran interésen la física atómica, óptica cuántica, y circuitos de información cuántica deestado sólido, tanto experimentalmente como teóricamente. En la �gura (1.7)se presenta una representación del sistema correspondiente a este modelo y enla ecuación (1.3) se presenta la forma analítica del mismo.

Figura 1.7: Esquema de un sistema de dos niveles interactuando con unfotón de una microcavidad óptica para el JCM. Tomado y editado de:http://en.wikipedia.org/wiki/Jaynes%E2%80%93Cummings_ model

bHJC = bHcampo + bH�atomo + bHinteracci�on (1.2)

bHJC = ~!Cbayba+ ~!Xb�yb� + ~g �bayb� + bab�y� (1.3)

1.6. FOTOLUMINISCENCIA (PL) 13

Este es un modelo mecánico cuántico completamente soluble de un átomo en uncampo, se utilizó por primera vez (en 1963) para examinar los aspectos clásicosde la emisión espontánea y revelar la existencia de oscilaciones de Rabi en lasprobabilidades de excitación atómicas para campos con energía bien de�nida (oel número de fotones). Para los campos que tienen una distribución estadísticadel número de fotones las oscilaciones colapsan a un valor constante espera-do. En 1980 se descubrió que con condiciones iniciales apropiadas (por ejemplo,un campo casi clásico), las oscilaciones de Rabi eventualmente colapsan y reviv-en repetidamente en un patrón complicado. La existencia de estos avivamientos,presentes en las soluciones analíticas del JCM, proporcionó evidencia directa delcarácter discreto de las excitaciones del campo (fotones) y por lo tanto de la ver-dadera naturaleza cuántica de la radiación. Estudios posteriores revelaron otraspropiedades no clásicas del campo, tales como una tendencia de los fotones a noagruparse (antibunch). En los últimos años se ha descubierto que durante losintervalos de las oscilaciones de Rabi existe el átomo y el campo en un estadode superposición macroscópica (un gato de Schrodinger). Este descubrimientoofrece la oportunidad de utilizar el JCM para dilucidar las propiedades básicasde correlación cuántica (enrredamiento) y explorar aún más la relación entrela física clásica y la cuántica. La simplicidad relativa del JCM y la facilidadcon que se puede extender a través de expresiones analíticas o cálculo numéricomotiva la atención para su empleo en diferentes estudios, como lo demuestra laabundancia de publicaciones al respecto [26].

1.6. Fotoluminiscencia (PL)

En general, la fotoluminiscencia6 es la manera en la que se logra obtener lainformación que permite estudiar los sistemas de interés. En los semiconduc-tores que se encuentran en estado de excitación se puede observar la emisión deradiación electromagnética, es decir, de luminiscencia. En el caso de la fotolu-miniscencia (�Photoluminescence�, PL) la causa de la excitación es la energíaabsorbida de la luz. La detección de los fotones emitidos por la muestra trasla recombinación radiativa de pares electrón-hueco permite obtener informaciónacerca de la calidad de la muestra y sus niveles energéticos [21].

En puntos cuánticos autoensamblados de InAs introducidos en GaAs es posiblemedir el espectro de absorción y emisión de un único punto cuántico. En elproceso de absorción, los fotones son absorbidos en el interior del punto cuánticoformando excitaciones par electrón-hueco (excitones). En el proceso de emisión,por el contrario, un excitón que fue creado por la excitación de un láser enel interior del punto cuántico, luego de un tiempo de vida media se recombinaradiativamente emitiendo un fotón, que es medido luego. Este proceso es llamadofotoluminiscencia [18].

6La información al respecto puede ser ampliada en la referencia [21].


En los experimentos de PL generalmente se escogen fuentes de luz láser co-mo excitación. La energía de los fotones dispensados por la fuente láser va ade�nir dos aspectos muy importantes en un experimento de PL: la longitud depenetración óptica y las condiciones (resonante o no resonante) de excitación.

Al iluminar un semiconductor, los electrones adquieren energía su�ciente comopara saltar hacia la banda de conducción, dejando en la banda de valencia suscorrespondientes huecos. Estos pares electrón-hueco se generaran a la llama-da longitud de penetración óptica, inversamente proporcional al coe�ciente deabsorción del material para la longitud de onda de excitación escogida.

Si la energía de excitación es mayor que la de los niveles de recombinación setendrán condiciones de excitación no resonante. Los pares electrón-hueco fo-togenerados disiparan la energía cinética adquirida en forma de fonones(termalización) para acabar recombinándose. Si la energía de excitación esequivalente a la energía de las transiciones radiativas, entonces se tendrán condi-ciones de excitación resonante.

Figura 1.8: Representación de los procesos que tienen lugar durante un eventode luminiscencia: excitación, relajación y recombinación. Tomado de referencia[21]

En la �gura (1.8) se resume el proceso de excitación, generación de un parelectrón hueco y posterior recombinación durante un experimento de PL, eneste caso en un punto cuántico. Los portadores relajan su exceso de energíabuscando el estado de menor energía disponible. En el ejemplo lo encuentranen los niveles energéticos discretos de un punto cuántico de InAs/GaAs. Esteproceso se produce en tiempos del orden de los picosegundos. La interacciónde Coulomb entre electrón y hueco da lugar a la formación de un excitón, elcual al encontrarse con�nado en la nanoestructura se recombina en un tiempodel orden de los nanosegundos, dando lugar a un fotón de energía determinada

1.7. FUNCIÓN DE CORRELACÍON DE SEGUNDO ORDEN 15

por el tamaño, forma y composición del punto cuántico [21]. De modo que alcontar con diferentes sistemas de puntos, dichos fotones emitidos serán los quepermitan el estudio y caracterización de los sistemas que ocupan nuestro interés.

1.7. Función de correlacíon de segundo orden

Clásicamente, la coherencia de la luz describe su estabilidad, distinguién-dose las coherencias espacial y temporal. La primera de ellas interviene en losdispositivos de interferencia, como los interferómetros de Michelson, y viene de-terminada por la dispersión angular con que la radiación alcanza el dispositivo.En tanto que, la coherencia temporal de un haz de luz se cuanti�ca por el tiempode coherencia � c o, equivalentemente, por la longitud de coherencia Lc = c� c.El tiempo de coherencia proporciona el intervalo de tiempo durante el cual lafase de un tren de ondas se mantiene constante.

Mientras que g(1)(�) cuanti�ca las �uctuaciones temporales del campo eléctricoE, la de segundo orden cuanti�ca las �uctuaciones temporales de la intensidadde la radiación I. La determinación de la función de coherencia de primer ordeninforma sobre la coherencia de la luz, y sobre su distribución espectral, pero noproporciona información sobre la correspondiente estadística fotónica. Es decir,en vez de involucrar la correlación entre las intensidades de los campos E , pasaa considerar las correlaciones entre las intensidades I _ jEj2 , salvando así lasdi�cultades que involucraba la formación de la �gura interferencial que requeríael diseño de Michelson.

Interferómetro HBT: Hanbury-Brown y Twiss propusieron en 1954-56 unnuevo dispositivo experimental para solventar las di�cultades del interferómetroestelar de Michelson, cuyo fundamento teórico puede resumirse: en vez de medirla función de coherencia de primer orden, g(1), determinar la de segundo orden,g(2).

g(2)(�) =hE�(t)E�(t+ �)E(t+ �)E(t)iD

jE(t)j2EDjE(t+ �)j2

E =hI(t)I(t+ �)ihI(t)i hI(t+ �)i (1.4)

Para lo cual, los detectores miden la intensidad de los haces de radiación víala absorción de fotones, es decir, atenuándolos. Supuesto un detector idealmonoatómico, en el que la dimensión atómica característica es mucho menor que


Figura 1.9: Clasi�cación de los tipos de luz y sus principales características deacuerdo a los valores que toma la función de correlación de segundo orden.

la longitud de onda de la radiación, la absorción de luz produce la ionizacióny subsiguiente emisión de un fotoelectrón y el contaje de estos electrones deionización dará cuenta de las propiedades estadísticas de la radiación.

La funcion de correlacion de segundo orden (g(2)(t; � = 0)) es una mag-nitud muy interesante porque se puede utilizar como indicador de la posiblecoherencia del estado del sistema. Además, enfatizando en las propiedades delos modos de la cavidad al dejar de lado la emisión de modos con fugas, lafunción de correlación de segundo orden adquiere una forma muy simple en ellímite estacionario [27]:

g(2)(t; � = 0) =

baybaybaba�hbaybai2 (1.5)

g(2) toma valores diferentes en función de las estadísticas del estado de fotones:g(2) = 2 para estados caóticos, g(2) = 1 para los estados que tienen una dis-tribución de poisson en n, y g(2) < 1 para sistemas no clásicos que tienen unadistribución sub poissoniana [27], como se precisa en la �gura (1.9).

1.7. FUNCIÓN DE CORRELACÍON DE SEGUNDO ORDEN 17

Figura 1.10: Principio de funcionamiento de un interferómetro de intensidaden comparación con la de un interferómetro de Michelson. A la izquierda (in-terferómetro de Michelson), se hace una medición de coherencia espacial deprimer orden, asociada con el promedio estadístico de las fuentes puntuales in-dividuales. Líneas de retardo se utilizan para cancelar el camino diferencia d1y asegurar la coherencia temporal. A la derecha (interferómetro de intensidad),se hace una medición de coherencia espacial de segundo orden, asociada con elpromedio estadístico de las correlaciones entre los pares de fuentes puntuales.(Tomado de: http://www.aanda.org/ articles/aa/full_html/2009/45/aa11739-09/aa11739-09.html)

Capítulo 2

Modelo teórico

Para iniciar comprendiendo como el sistema físico se relaciona con el modeloque se plantea, en la �gura (2.1) se presenta una relación esquemática entre unamuestra de puntos cuánticos y los diferentes sistemas que se pueden presentardada la distribución espacial de dicha muestra. Con lo que se plantea elsiguiente modelo teórico, con el �n de indagar sobre la in�uencia que puedallegar a tener las diferentes disposiciones geométricas de puntos cuánticos enun sistema caracterizado mediante la interacción de Von Foerster a primerosvecinos. La cual tiene lugar cuando se presenta una alta densidad de puntoscuánticos que como consecuencia se encuentran muy cercanos entre sí, de talforma que comparten electrones. Se procede a plantear los Hamiltonianos paraocho casos de diferente número de puntos cuánticos y sus posibles disposiciones,a cada uno de los cuales se les calcula los correspondientes elementos de matrizde modo general. Posteriormente, se plantea la ecuación maestra para cada unode los casos estudiados y de igual manera se calculan los elementos de matrizde modo general.

Una vez realizado este trabajo se procede a programar las expresiones obtenidaspara los elementos de matriz tanto de los Hamiltonianos como los de las ecua-ciones maestras correspondientes a cada uno de los diferentes casos abordados.Con lo que se logran apreciar las diferencias en los resultados obtenidos paracada sistema estudiado.

19

20 CAPÍTULO 2. MODELO TEÓRICO

Figura 2.1: Relación entre el sistema físico (muestra de puntos cuánticos) y elmodelo planteado (con�guraciones abierta o en línea, cerrada o en triángulo ypunto central).

2.1. Hamiltoniano del sistema

Desde una perspectiva analítica general del estudio, se plantea para la clasede sistemas de interés un modelo Hamiltoniano basado en la interacción radiación-materia y el modelo de Jaynes-Cummings. Así, que procediendo de forma similara la referencia [28] en la cual se presenta un estudio sobre el acoplamiento fuerteentre la radiación y la materia en un sistema de dos puntos cuánticos, que estánen interacción mutua e interactúan con un solo modo de la luz con�nada en unacavidad. Se procede a plantear un modelo que contenga elementos correspon-dientes a: el campo electromagnético de la microcavidad, los puntos cuánticosinmersos en la misma y las correspondientes interacciones de sistemas de puntoscuánticos y de campo con los mismos. Por tanto, en las ecuaciones (2.1 y 2.2)se presenta la forma del Hamiltoniano que se plantea y en la �gura (2.3) semuestra un esquema de los sistemas a estudiar.

bH = bHcampo + bHpc + bHinteracci�onc�pc

+ bHinteracci�onpc

(2.1)

2.2. ECUACIÓN MAESTRA 21

Figura 2.2: a) Representación de un punto cuántico. Tomado y editadode http://www.onlineinvestingai.com/blog/whats-the-spin-on-quantum-dots/ b)Representación de un sistema de dos niveles que permite modelar el punto cuán-tico.

bH = ~!Cbayba+ 2Xi=1

~!Xb�yib�i + ~gi �bayb�i + bab�yi�!+ g1;2(b�y1b�2 + b�y2b�1) (2.2)

Donde !C es la frecuencia del modo de la cavidad, !X es la frecuencia de lospuntos cuánticos o energía de transición entre los niveles energéticos de los mis-mos, gi;j es la constante de interacción Foerster, que representa el intercambioresonante de energía entre puntos cuánticos, gi es la constante de interacciónradiación-materia, que describe la interacción dipolar entre los puntos y el modode luz, (bay y ba ) son los operadores de creación y destrucción de fotón y (b�y yb�) son los operadores de creación y destrucción de excitón.2.2. Ecuación Maestra

Por otro lado, al contemplar la interacción entre el sistema y el entorno sepresentan procesos tales como: (I) procesos de emisión espontanea. (II) procesosde pérdidas de fotones a través de los espejos de la cavidad. (III) procesosde bombeo (suministro de energía al sistema). Además para hacer tratable elsistema se considera que la interacción entre el sistema y el entorno es débily que la dinámica de dicho entrono es sin memoria, es decir la aproximaciónde Born-Markov. De acuerdo a lo anterior la evolución del sistema se obtienemediante la dinámica de las poblaciones y las coherencias de la matriz densidad.La cual para este caso está dada por la ecuación maestra (2.3).


Figura 2.3: Esquema de las con�guraciones de puntos cuánticos a estudiar (enlas �las el número de QD constituyentes y en las columnas las posibles con�gu-raciones).

�b� = i

~[b�; bH] + L� + LP + L (2.3)

con los mecanismos disipativos L�; LP ; L dados por:

L� =�

2

2Xi=1

(2baib�bayi � bayibaib�� b�bayibai) (2.4)

LP =P

2

2Xi=1

(2b�yib�b�i � b�ib�yib�� b�b�ib�yi ) (2.5)

L =

2

2Xi=1

(2b�ib�b�yi � b�yib�ib�� b�b�yib�i) (2.6)

2.3. PLANTEAMIENTO ANALÍTICO GENERAL 23

donde P es la tasa de bombeo, es la tasa de emisión espontanea y � es la tasade perdida a través de los espejos.

Una vez planteado el modelo teórico se procedió a aplicarlo al estudio de varioscasos, con el �n de identi�car y obtener un planteamiento analítico general-izado para el estudio de los sistemas de interés. Dicha generalización analíticase presenta a continuación como uno de los primeros resultados de este trabajo.

2.3. Planteamiento analítico general

A continuación se presenta el resultado de haber abordado y realizado losdesarrollos correspondientes a diferentes sistemas con progresivos grados de com-plejidad en su estudio. A saber, en principio, sistemas de diferente número depuntos cuánticos interactuantes (2, 3, 4, 5), sin y con mecanismos disipativos.Posteriormente, sistemas de puntos cuánticos interactuantes inmersos en unamicrocavidad óptica, sin y con mecanismos disipativos. De modo que, como re-sultado de dichos desarrollos, se presenta a continuación la generalización de lasexpresiones empleadas para el estudio de los sistemas de interés1 .

2.3.1. Hamiltoniano General

Siguiendo una estructura similar a la planteada en la ecuación (2.2), el Hamil-toniano total del sistema de puntos cuánticos (QD) interactuantes inmersos enuna microcavidad es:

bH = bH0 + bHI

con

bH0 = bHC + bHPC

y para los términos de interacción:

1Sistemas de microcavidad-puntos cuánticos.


bHI = bHIPC�PC + bHIC�PCse tiene

bH = bHC + bHPC + bHIPC�PC + bHIC�PCdonde bHC es el término correspondiente a la energía del campo electromagnético,bHPC es el término correspondiente a la energía de los puntos cuánticos, bHIPC�PCes el término correspondiente a la interacción entre puntos cuánticos y bHIC�PC esel término correspondiente a la interacción del campo con los puntos cuánticos(interacción radiación-materia). Dada esta estructura se procede a de�nir, deforma generalizada, cada componente del Hamiltoniano del sistema.

bHC = ~!Cbayba (2.7)

bHPC = ~!X Nm�axXi=1

b�yib�i (2.8)

para los términos Hamiltonianos de interacción

bHIPC�PC = gNm�ax;1(b�yNm�axb�1+b�y1b�Nm�ax

)+

Nm�ax�1Xi=1

gi;i+1(b�yib�i+1+b�yi+1b�i) (2.9)

donde el primer término de la ecuación (2.9)�gNm�ax;1(b�yNm�ax

b�1 + b�y1b�Nm�ax)�es

el que de�ne si la con�guración del sistema es abierta o cerrada. Es decir quesi gNm�ax;1 = 0; el sistema es abierto, en tanto que si gNm�ax;1 6= 0; el sistema serácerrado.

bHIC�PC = ~Nm�axXi=1

gi

�bayb�i + bab�yi� (2.10)


De modo que se obtiene una expresión general para el Hamiltoniano total de unsistema de múltiples puntos cuánticos interactuantes e inmersos en una micro-cavidad.

bH = ~!Cbayba+ ~!X Nm�axXi=1

b�yib�i + gNm�ax;1(b�yNm�axb�1 + b�y1b�Nm�ax

) (2.11)

+

Nm�ax�1Xi=1

gi;i+1(b�yib�i+1 + b�yi+1b�i) + ~Nm�axXi=1

gi

�bayb�i + bab�yi�

2.3.2. Elementos de matriz Hamiltonianos generales

Una vez teniendo de�nida una expresión general para el Hamiltoniano deesta clase de sistemas, se procede a calcular una expresión general para loselementos de matriz del mismo. Para lo que se de�ne una base de estados de laforma:

hM j = hn; �1; �2; �3; :::; �ij (2.12)

jM 0i = jn0; �01; �02; �03; :::�0ii

En esta base se describe el número de fotones en la primera posición del ket y lapresencia o no de un excitón en cada uno de los puntos cuánticos que componenel sistema particular en las siguientes posiciones del ket. Así, j2; 1; 0; 1i corre-sponderá a un estado con dos fotones, un excitón en el primer punto cuántico,ningún excitón en el segundo punto cuántico y un excitón en el tercer puntocuántico. De modo que la posición correspondiente a los fotones podrá tenercualquier numero entero positivo, en tanto que las posiciones correspondientesa los puntos cuánticos solo podrán ser 0 o 1, indicando que el punto se encuentraen el estado base o excitado respectivamente (presencia o no del excitón).

Realizando la generalización por partes para cada compone del Hamiltoniano( bHC ; bHPC ; bHIPC�PC ; bHIC�PC )� Para bHC


hM j bHC jM 0i = hM j�~!Cbayba� jM 0i

HC MM 0 = ~!Cn0�n;n0Nm�axYi=1

��i;�0i (2.13)

� Para bHPC

hM j bHPC jM 0i = hM j�~!X

XNm�ax

i=1b�yib�i� jM 0i

HPC MM 0 = ~!X�n;n0Nm�axXj=1

0@ Nm�axYi=1;i 6=j

��i;�0i

1A ��j ;1��0j ;1 (2.14)

� Para bHIPC�PChM j bHIPC�PC jM 0i =

hM j [gNm�ax;1(b�yNm�axb�1 + b�y1b�Nm�ax

) +XNm�ax�1

i=1gi;i+1(b�yib�i+1 + b�yi+1b�i)] jM 0i

HIPC�PC MM 0 = ~gNm�ax;1�n;n0Nm�ax�1Yi=2

��i;�0i

��1;0��01;1��Nm�ax ;1��0Nm�ax ;0

+��1;1��01;0��Nm�ax ;0��0Nm�ax ;1

!(2.15)

+~Nm�ax�1Xi=1

gi;i+1�n;n0Nm�axYj=1

j 6=i;j 6=i+1

��j ;�0j

��i;1��0i;0��i+1;0��0i+1;1+��i;0��0i;1��i+1;1��0i+1;0

�

� Para bHIC�PC


hM j bHIC�PC jM 0i = hM j [~XNm�ax

i=1gi

�bayb�i + bab�yi�] jM 0i

HIC�PC MM 0 = ~Nm�axXi=1

gi

Nm�axYj=1j 6=i

��j ;�0j

�pn0 + 1�n;n0+1��i;0��0i;1 +

pn0�n;n0�1��i;1��0i;0

�(2.16)

Así, �nalmente se compone la expresión general que permite calcular los ele-mentos de matriz Hamiltonianos para el tipo de sistemas de interés:

H MM 0 = ~!Cn0�n;n0Nm�axYi=1

��i;�0i + ~!X�n;n0Nm�axXj=1

0@ Nm�axYi=1;i 6=j

��i;�0i

1A ��j ;1��0j ;1(2.17)

+~gNm�ax;1�n;n0Nm�ax�1Yi=2

��i;�0i(��1;0��01;1��Nm�ax ;1��0Nm�ax ;0+ ��1;1��01;0��Nm�ax ;0��0Nm�ax ;1

)

+~Nm�ax�1Xi=1

gi;i+1�n;n0Nm�axYj=1

j 6=i;j 6=i+1

��j ;�0j (��i;1��0i;0��i+1;0��0i+1;1 + ��i;0��0i;1��i+1;1��0i+1;0)

+~Nm�axXi=1

gi

Nm�axYj=1j 6=i

��j ;�0j

�pn0 + 1�n;n0+1��i;0��0i;1 +

pn0�n;n0�1��i;1��0i;0

�

2.3.3. Dinámica general del sistema

Para obtener la dinámica de un sistema de puntos cuánticos interactuantese inmersos en una microcavidad es empleada la ecuación maestra. De modo quese plantea una expresión general para la ecuación maestra al igual que para suselementos de matriz correspondientes. En la �gura (2.4) se muestra, como esla dinámica del sistema mediante la presentación de la denominada escalera deestados, en la cual se muestra como son los procesos que se dan en el sistema.


Figura 2.4: Escalera de estados del sistema de puntos cuánticos interactuantesinmersos en una microcavidad óptica: Se muestra mediante qué mecanismosel sistema puede pasar por cada uno de los estados del mismo, entre variedadcero y dos ( g: constante de interacción radiación materia, gij : constante deinteracción Foerster entre puntos, Pi: tasa de bombeo de cada punto cuántico, i: tasa de emisión espontanea de cada punto cuántico, �: tasa de pérdida através de espejos).

2.3.4. Ecuación maestra general

La cual en su forma general depende directamente de la forma del Hamilto-niano del sistema particular a estudiar. Que para este caso corresponde al queda cuenta general (ecuación 2.11) de los sistemas de interés. Reduciéndose así acualquier caso particular de un número especí�co de puntos cuánticos interac-tuantes en con�guración abierta o cerrada e inmersos o no en una microcavidadóptica. Se tiene en general para la ecuación maestra:

�b� = i

~[b�; bH] + L� + LP + L (2.18)

con los mecanismos disipativos L�; LP ; L dados por:

L� =�

2

NXi=1

(2baib�bayi � bayibaib�� b�bayibai) (2.19)


LP =P

2

NXi=1

(2b�yib�b�i � b�ib�yib�� b�b�ib�yi ) (2.20)

L =

2

NXi=1

(2b�ib�b�yi � b�yib�ib�� b�b�yib�i) (2.21)

donde P es la tasa de bombeo, es la tasa de emisión espontanea y � es la tasade perdida a través de los espejos.

2.3.5. Elementos generales de la Ecuación maestra

Se procede calculando la expresión por partes de acuerdo a la forma delHamiltoniano y también para los términos disipativos como sigue:

� Para el término del campo electromagnético

hM j i~ (b�~!Cbayba� ~!Cbaybab�) jM 0i

�b�C MM 0 = i!C(n0 � n)b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax (2.22)

� Para el término de puntos cuánticos

hM j i~ (b�~!XXNm�ax

i=1b�yib�i � ~!XXNm�ax

i=1b�yib�ib�) jM 0i

�b�PC MM 0 = i!X

Nm�axXi=1

(b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;10i;:::;�0Nm�ax ��0i;1 (2.23)�b�n;�1;:::;1i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax ��i;1)


� Para el término de interacción de puntos cuánticos

hM j i~ (b�gNm�ax;1(b�yNm�axb�1 + b�y1b�Nm�ax

) + b�XNm�ax�1

i=1gi;i+1(b�yib�i+1 + b�yi+1b�i)

�gNm�ax;1(b�yNm�axb�1 + b�y1b�Nm�ax

)b��XNm�ax�1

i=1gi;i+1(b�yib�i+1 + b�yi+1b�i)b�) jM 0i

�b�PC�PC MM 0 =i

~(gNm�ax;1(b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0;001;:::;�0i;:::;10Nm�ax ��01;1��0Nm�ax ;0

(2.24)

+b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0;101;:::;�0i;:::;00Nm�ax ��01;0��0Nm�ax ;1�b�n;11;:::;�i;:::;0Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax ��1;0��Nm�ax ;1�b�n;01;:::;�i;:::;1Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax ��1;1��Nm�ax ;0)

+

Nm�ax�1Xi=1

gi;i+1(b�n;�1;:::;�i;�i+1;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;10i;00i+1;:::;10Nm�ax ��0i;0��0i+1;1+b�n;�1;:::;�i;�i+1;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;00i;10i+1;:::;10Nm�ax ��0i;1��0i+1;0)

�Nm�ax�1Xi=1

gi;i+1(b�n;�1;:::;0i;1i+1;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;�0i+1;:::;�0Nm�ax ��i;1��i+1;0+b�n;�1;:::;1i;0i+1;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;�0i+1;:::;�0Nm�ax ��i;0��i+1;1))

� Para el término de interacción radiación materia

hM j i~ (b�~XNm�ax

i=1gi

�bayb�i + bab�yi�� ~XNm�ax

i=1gi

�bayb�i + bab�yi�b�) jM 0i

�b�C�PC MM 0 = i

Nm�axXi=1

gi(pn0 + 1b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0+1;�01;:::;00i;:::;�0Nm�ax ��0i;1

(2.25)

+pn0b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0�1;�01;:::;10i;:::;�0Nm�ax ��0i;0

�pnb�n�1;�1;:::;1i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax ��i;0

+pn+ 1b�n+1;�1;:::;0i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax ��i;1)


Y agregando los términos correspondientes a los mecanismos disipativos, secon�gura �nalmente una expresión general para los elementos de matriz de laecuación maestra.


�b�MM 0 = i!C(n0 � n)b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax (2.26)

+i!X

Nm�axXi=1

(b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;10i;:::;�0Nm�ax ��0i;1�b�n;�1;:::;1i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax ��i;1)

+i

~(gNm�ax;1(b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0;001;:::;�0i;:::;10Nm�ax ��01;1��0Nm�ax ;0+b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0;101;:::;�0i;:::;00Nm�ax ��01;0��0Nm�ax ;1�b�n;11;:::;�i;:::;0Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax ��1;0��Nm�ax ;1�b�n;01;:::;�i;:::;1Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax ��1;1��Nm�ax ;0)

+

Nm�ax�1Xi=1

gi;i+1(b�n;�1;:::;�i;�i+1;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;10i;00i+1;:::;10Nm�ax ��0i;0��0i+1;1+b�n;�1;:::;�i;�i+1;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;00i;10i+1;:::;10Nm�ax ��0i;1��0i+1;0)

�Nm�ax�1Xi=1

gi;i+1(b�n;�1;:::;0i;1i+1;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;�0i+1;:::;�0Nm�ax ��i;1��i+1;0+b�n;�1;:::;1i;0i+1;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;�0i+1;:::;�0Nm�ax ��i;0��i+1;1))+i

Nm�axXi=1

gi(pn0 + 1b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0+1;�01;:::;00i;:::;�0Nm�ax ��0i;1

+pn0b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0�1;�01;:::;10i;:::;�0Nm�ax ��0i;0

�pnb�n�1;�1;:::;1i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax ��i;0

+pn+ 1b�n+1;�1;:::;0i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax ��i;1)

+P

2

Nm�axXi=1

(2b�n;�1;:::;0i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;00i;:::;�0Nm�ax ��i;1��0i;1�b�n;�1;:::;0i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax ��i;0 � b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;00i;:::;�0Nm�ax ��0i;0)

+

2

Nm�axXi=1

(2b�n;�1;:::;1i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;10i;:::;�0Nm�ax ��i;0��0i;0�b�n;�1;:::;1i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax ��i;1 � b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;10i;:::;�0Nm�ax ��0i;1)

+�

2

Nm�axXi=1

(2pn+ 1

pn0 + 1b�n+1;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0+1;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax

�(n+ n0)b�n;�1;:::;�i;:::;�Nm�ax ;n0;�01;:::;�0i;:::;�0Nm�ax

Capítulo 3

Resultados

3.1. Aplicación a un sistema en particular

Con el �n de explicitar como se realiza el desarrollo progresivo para un casoespecí�co y representativo se considerará un sistema de tres puntos cuánticos.

3.1.1. Sistema de puntos cuánticos interactuantes

Se comienza por tratar únicamente el sistema de puntos en interacción mu-tua, el cual presenta dos posibles con�guraciones espaciales de acuerdo a lospares de interacciones consideradas. Estas con�guraciones serán denominadascomo abierta y cerrada, las que especí�camente de acuerdo a la representaciónpropuesta para este número de puntos serán llamadas en línea y en triángulo,tal como se aprecia en las �guras 3.1 y 3.2. De esta manera se procede a abordarcada una de estas con�guraciones.

Caso 1: Tres puntos cuánticos en línea

En este caso se cuenta con un sistema compuesto por tres puntos cuánticosdispuestos en línea recta. De modo que se presentan dos posibles interacciones,la primera entre los puntos 1 y 2 y la segunda entre los puntos 2 y 3, como serepresenta en la �gura 3.1.

33

34 CAPÍTULO 3. RESULTADOS

Figura 3.1: Representación de un sistema de tres puntos cuánticos en con�gu-ración abierta (en línea). Cada esfera representa un punto cuántico y cada líneala interacción entre el par de puntos.

Se tiene de manera explícita para el Hamiltoniano

bH1 = bH0 + bHIcon

bH0 = ~!X(b�y1b�1 + b�y2b�2 + b�y3b�3)bHI = ~g1(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g2(b�y2b�3 + b�y3b�2)

y generando una desintonización mediante el cambio de la frecuencia corre-spondiente al primer punto cuántico, el Hamiltoniano del sistema ( bH1) es:bH1 = (~!1b�y1b�1+~!2b�y2b�2+~!3b�y3b�3)+~g12(b�y1b�2+b�y2b�1)+~g23(b�y2b�3+b�y3b�2)Los elementos de matriz para el Hamiltoniano del sistema vienen dados por:

hM j bH1 jM 0i = hM j [(~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3)+~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2)] jM 0i

bH1MM 0 = (~!1��1;1��01;1 ��2;�02��3;�03+~!2��1;�01��2;1��02;1 ��3;�03 + ~!3��1;�01 ��2;�02��3;1��03;1)+~g12(��1;1��01;0��2;0��02;1��3;�03 + ��1;0��01;1��2;1��02;0��3;�03)+~g23(��1;�01 ��2;1��02;0��3;0��03;1 + ��1;�01��2;0��02;1��3;1��03;0)

3.1. APLICACIÓN A UN SISTEMA EN PARTICULAR 35

Explícitamente la matriz para el Hamiltoniano total del sistema ( bH1 = bH0+ bHI)es:

bH1 = ~

0BBBBBBBBBB@

0 0 0 0 0 0 0 00 !1 g12 0 0 0 0 00 g12 !2 g23 0 0 0 00 0 g23 !3 0 0 0 00 0 0 0 !1 + !2 g23 0 00 0 0 0 g23 !1 + !3 g12 00 0 0 0 0 g12 !2 + !3 00 0 0 0 0 0 0 !1 + !2 + !3

1CCCCCCCCCCA

Recurriendo a las ecuaciones (2.18, 2.20 y 2.21) se tiene explícitamente para laecuación maestra de este caso

�b�1 =i

~fb�[(~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3) + ~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2)]

�[(~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3) + ~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2)]b�g+P

2(2b�y1b�b�1 � b�1b�y1b�� b�b�1b�y1 + 2b�y2b�b�2 � b�2b�y2b�� b�b�2b�y2 + 2b�y3b�b�3 � b�3b�y3b�� b�b�3b�y3)

+

2(2b�1b�b�y1 � b�y1b�1b�� b�b�y1b�1 + 2b�2b�b�y2 � b�y2b�2b�� b�b�y2b�2 + 2b�3b�b�y3 � b�y3b�3b�� b�b�y3b�3)

Cuyos elementos de matriz están dados por


�b�1MM 0 =i

~f[(~!1b��1;�2;�3;1;�02;�03��01;1 (3.1)

+~!2b��1;�2;�3;�01;1;�03��02;1 + ~!3b��1;�2;�3;�01;�02;1��03;1)+~g12(b��1;�2;�3;1;0;�03��01;0��02;1 + b��1;�2;�3;0;1;�03��01;1��02;0)+~g23(b��1;�2;�3;�01;1;0��02;0��03;1 + b��1;�2;�3;�01;0;1��02;1��03;0)

�[(~!1b�1;�2;�3;�01;�02;�03��1;1+~!2b��1;1;�3;�01;�02;�03��2;1 + ~!3b��1;�2;1;�01;�02;�03��3;1)

+~g12(b�0;1;�3;�01;�02;�03��1;1��2;0 + b�1;0;�3;�01;�02;�03��1;0��2;1)+~g23(b��1;0;1;�01;�02;�03��2;1��3;0 + b��1;1;0;�01;�02;�03��2;0��3;1)]g

+P

2(2b�0;�2;�3;0;�02;�03��1;1��01;1

�b�0;�2;�3;�01;�02;�03��1;0 � b��1;�2;�3;0;�02;�03��01;0+2b��1;0;�3;�01;0;�03��2;1��02;1

�b��1;0;�3;�01;�02;�03��2;0 � b��1;�2;�3;�01;0;�03��02;0+2b��1;�2;0;�01;�02;0��3;1��03;1

�b��1;�2;0;�01;�02;�03��3;0 � b��1;�2;�3;�01;�02;0��03;0)+

2(2b�1;�2;�3;1;�02;�03��1;0��01;0

�b�1;�2;�3;�01;�02;�03��1;1 � b��1;�2;�3;1;�02;�03��01;1+2b��1;1;�3;�01;1;�03��2;0��02;0

�b��1;1;�3;�01;�02;�03��2;1 � b��1;�2;�3;�01;1;�03��02;1+2b��1;�2;1;�01;�02;1��3;0��03;0

�b��1;�2;1;�01;�02;�03��3;1 � b��1;�2;�3;�01;�02;1��03;1)

Caso 2: Tres puntos cuánticos en triángulo

En este caso se cuenta con un sistema compuesto por tres puntos cuánticosdispuestos en un triángulo. De modo que se presentan tres posibles interacciones,la primera entre los puntos 1 y 2, la segunda entre los puntos 2 y 3 y la terceraentre los puntos 3 y 1, como se representa en la �gura (3.2).


Figura 3.2: Representación de un sistema de tres puntos cuánticos en con�gu-ración cerrada (en triángulo). Cada esfera representa un punto cuántico y cadalínea la interacción entre el par de puntos.

Se tiene de manera explícita para el Hamiltoniano

bH2 = bH0 + bHIcon bH0 = ~!(b�y1b�1 + b�y2b�2 + b�y3b�3)bHI = ~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2) + ~g31(b�y3b�1 + b�y1b�3)y generando una desintonización mediante el cambio de la frecuencia corre-spondiente al primer punto cuántico, el Hamiltoniano del sistema ( bH2) es:bH2 = (~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3) + ~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 +b�y3b�2) + ~g31(b�y3b�1 + b�y1b�3)

Los elementos de matriz para el Hamiltoniano del sistema vienen dados por

hM j bH2 jM 0i = hM j [(~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3)+~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2) + ~g31(b�y3b�1 + b�y1b�3)] jM 0i

bH2MM 0 = (~!1��1;1��01;1 ��2;�02��3;�03+~!2��1;�01��2;1��02;1 ��3;�03 + ~!3��1;�01 ��2;�02��3;1��03;1)+~g12(��1;1��01;0��2;0��02;1��3;�03 + ��1;0��01;1��2;1��02;0��3;�03)+~g23(��1;�01 ��2;1��02;0��3;0��03;1 + ��1;�01��2;0��02;1��3;1��03;0)+~g31(��1;0��01;1��2;�02 ��3;1��03;0 + ��1;1��01;0��2;�02 ��3;0��03;1)


Explícitamente la matriz para el Hamiltoniano total del sistema ( bH2 = bH0+ bHI)es:

bH2 = ~

0BBBBBBBBBB@

0 0 0 0 0 0 0 00 !1 g12 g31 0 0 0 00 g12 !2 g23 0 0 0 00 g31 g23 !3 0 0 0 00 0 0 0 !1 + !2 g23 g31 00 0 0 0 g23 !1 + !3 g12 00 0 0 0 g31 g12 !2 + !3 00 0 0 0 0 0 0 !1 + !2 + !3

1CCCCCCCCCCA

Recurriendo a las ecuaciones (2.18, 2.20 y 2.21) se tiene explícitamente para laecuación maestra de este caso

�b�2 =i

~fb�[(~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3)

+~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2) + ~g31(b�y3b�1 + b�y1b�3)]�[(~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3)+~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2) + ~g31(b�y3b�1 + b�y1b�3)]b�g+P

2(2b�y1b�b�1 � b�1b�y1b�� b�b�1b�y1 + 2b�y2b�b�2 � b�2b�y2b�� b�b�2b�y2

+2b�y3b�b�3 � b�3b�y3b�� b�b�3b�y3)+

2(2b�1b�b�y1 � b�y1b�1b�� b�b�y1b�1 + 2b�2b�b�y2 � b�y2b�2b�� b�b�y2b�2

+2b�3b�b�y3 � b�y3b�3b�� b�b�y3b�3)

Los elementos de matriz para la ecuación maestra están dados por:


�b�2MM 0 =i

~f[(~!1b��1;�2;�3;1;�02;�03��01;1 (3.2)

+~!2b��1;�2;�3;�01;1;�03��02;1 + ~!3b��1;�2;�3;�01;�02;1��03;1)+~g12(b��1;�2;�3;1;0;�03��01;0��02;1 + b��1;�2;�3;0;1;�03��01;1��02;0)+~g23(b��1;�2;�3;�01;1;0��02;0��03;1 + b��1;�2;�3;�01;0;1��02;1��03;0)+~g31(b��1;�2;�3;0;�02;1��01;1��03;0 + b��1;�2;�3;1;�02;0��01;0��03;1)]

�[(~!1b�1;�2;�3;�01;�02;�03��1;1+~!2b��1;1;�3;�01;�02;�03��2;1 + ~!3b��1;�2;1;�01;�02;�03��3;1)

+~g12(b�0;1;�3;�01;�02;�03��1;1��2;0 + b�1;0;�3;�01;�02;�03��1;0��2;1)+~g23(b��1;0;1;�01;�02;�03��2;1��3;0 + b��1;1;0;�01;�02;�03��2;0��3;1)+~g31(b�1;�2;0;�01;�02;�03��1;0��3;1 + b�0;�2;1;�01;�02;�03��1;1��3;0)]g

+P

2(2b�0;�2;�3;0;�02;�03��1;1��01;1 � b�0;�2;�3;�01;�02;�03��1;0 � b��1;�2;�3;0;�02;�03��01;0

+2b��1;0;�3;�01;0;�03��2;1��02;1 � b��1;0;�3;�01;�02;�03��2;0 � b��1;�2;�3;�01;0;�03��02;0+2b��1;�2;0;�01;�02;0��3;1��03;1 � b��1;�2;0;�01;�02;�03��3;0 � b��1;�2;�3;�01;�02;0��03;0)+

2(2b�1;�2;�3;1;�02;�03��1;0��01;0 � b�1;�2;�3;�01;�02;�03��1;1 � b��1;�2;�3;1;�02;�03��01;1

+2b��1;1;�3;�01;1;�03��2;0��02;0 � b��1;1;�3;�01;�02;�03��2;1 � b��1;�2;�3;�01;1;�03��02;1+2b��1;�2;1;�01;�02;1��3;0��03;0 � b��1;�2;1;�01;�02;�03��3;1 � b��1;�2;�3;�01;�02;1��03;1)

3.1.2. Sistema de puntos cuánticos interactuantes en unamicrocavidad

Ahora se procede a disponer los sistemas anteriores (caso 1 y 2) como mediosactivos de una microcavidad óptica, es decir que se agrega la interacción conla luz. Teniendo de este modo un sistema de microcavidad-puntos cuánticos, elcual es representado en la �gura (3.3).

Con bay, ba y b�yi , b�i como los operadores de creación y destrucción de fotón yexcitón (radiación y materia) respectivamente, se tiene para el Hamiltoniano

bH = bH0 + bHI


Figura 3.3: Representación de un sistema de tres puntos cuántico en con�gu-ración cerrada (en triángulo) constituidos como medios activos de una micro-cavidad.

con

bH0 = ~!bayba+ ~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3bHI = ~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2) + ~g31(b�y3b�1 + b�y1b�3)

+~g(bayb�1 + bab�y1) + ~g(bayb�2 + bab�y2) + ~g(bayb�3 + bab�y3)Las !i corresponde a la frecuencia de resonancia de cada uno de los puntoscuánticos que constituyen el sistema. De modo que si i 6= i se generara unadesintonización entre los puntos cuánticos que componen el sistema y ! es fre-cuencia del fotón. En tanto que las gij son las constantes de interacción Foersterentre cada par de puntos cuánticos y g es la constante de interacción entre elfotón y cada punto cuántico del sistema (se asume la misma para cada puntocuántico con el fotón).

bH = (~!bayba+ ~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3)+~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2) + ~g31(b�y3b�1 + b�y1b�3)+~g(bayb�1 + bab�y1) + ~g(bayb�2 + bab�y2) + ~g(bayb�3 + bab�y3)


Los elementos de matriz para el Hamiltoniano del sistema vienen dados por:

hM j bH jM 0i = hM j [(~!bayba+ ~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3)+~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2) + ~g31(b�y3b�1 + b�y1b�3)+~g(bayb�1 + bab�y1) + ~g(bayb�2 + bab�y2) + ~g(bayb�3 + bab�y3)] jM 0i

bHMM 0 = (~!n0�n;n0��1;�01��2;�02��3;�03 + ~!1�n;n0��1;1��01;1��2;�02��3;�03+~!2�n;n0��1;�01��2;1��02;1��3;�03 + ~!3�n;n0��1;�01��2;�02��3;1��03;1)+~g12(�n;n0��1;1��01;0��2;0��02;1��3;�03 + �n;n0��1;0��01;1��2;1��02;0��3;�03)+~g23(�n;n0��1;�01��2;1��02;0��3;0��03;1 + �n;n0��1;�01��2;0��02;1��3;1��03;0)+~g31(�n;n0��1;0��01;1��2;�02��3;1��03;0 + �n;n0��1;1��01;0��2;�02��3;0��03;1)

+~g(pn0 + 1�n;n0+1��1;0��01;1��2;�02��3;�03 +

pn0�n;n0�1��1;1��01;0��2;�02��3;�03)

+~g(pn0 + 1�n;n0+1��1;�01��2;0��02;1��3;�03 +

pn0�n;n0�1��1;�01��2;1��02;0��3;�03)

+~g(pn0 + 1�n;n0+1��1;�01��2;�02��3;0��03;1 +

pn0�n;n0�1��1;�01��2;�02��3;1��03;0)

Una vez teniendo de�nido el Hamiltoniano del sistema se procede a calcular ladinámica del sistema mediante el empleo de la ecuación maestra.

3.1.3. Dinámica del sistema

Empleando nuevamente las ecuaciones (2.18, 2.20, 2.21 y además 2.19) dondeP es la tasa de bombeo, es la tasa de emisión espontanea y � es la tasa depérdida a través de los espejos, se prosigue así:

Dinámica Hamiltoniana

Considerando inicialmente la dinámica hamiltoniana del sistema, es decirsin mecanismos disipativos (P = 0, = 0 y � = 0), se tiene para la ecuaciónmaestra de manera explícita:


�b� = i

~[b�; bH]

�b� =i

~fb�[(~!bayba+ ~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3)

+~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2) + ~g31(b�y3b�1 + b�y1b�3)+~g(bayb�1 + bab�y1) + ~g(bayb�2 + bab�y2) + ~g(bayb�3 + bab�y3)]�[(~!bayba+ ~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3)+~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2) + ~g31(b�y3b�1 + b�y1b�3)+~g(bayb�1 + bab�y1) + ~g(bayb�2 + bab�y2) + ~g(bayb�3 + bab�y3)]b�g

Los elementos de matriz para la dinámica hamiltoniana están dados por:

�b�MM 0 =i

~f(~!n0 b�n;�1;�2;�3;n0;�01;�02;�03 + ~!1 b�n;�1;�2;�3;n0;1;�02;�03 ��01;1 (3.3)

+~!2 b�n;�1;�2;�3;n0;�01;1;�03 ��02;1 + ~!3 b�n;�1;�2;�3;n0;�01;�02;1 ��03;1)+~g12(b�n;�1;�2;�3;n0;1;0;�03 ��01;0��02;1 + b�n;�1;�2;�3;n0;0;1;�03 ��01;1��02;0)+~g23(b�n;�1;�2;�3;n0;�01;1;0 ��02;0��03;1 + b�n;�1;�2;�3;n0;�01;0;1 ��02;1��03;0)+~g31(b�n;�1;�2;�3;n0;0;�02;1 ��01;1��03;0 + b�n;�1;�2;�3;n0;1;�02;0 ��01;0��03;1)

+~g(pn0 + 1b�n;�1;�2;�3;n0+1;0;�02;�03 ��01;1 +pn0b�n;�1;�2;�3;n0�1;1;�02;�03 ��01;0)

+~g(pn0 + 1b�n;�1;�2;�3;n0+1;�01;0;�03 ��02;1 +pn0b�n;�1;�2;�3;n0�1;�01;1;�03 ��02;0)

+~g(pn0 + 1b�n;�1;�2;�3;n0+1;�01;�02;0 ��03;1 +pn0b�n;�1;�2;�3;n0�1;�01;�02;1 ��03;0)�(~!n b�n;�1;�2;�3;n0;�01;�02;�03 + ~!1 b�n;1;�2;�3;n0;�01;�02;�03 ��1;1

+~!2 b�n;�1;1;�3;n0;�01;�02;�03 ��2;1 + ~!3 b�n;�1;�2;1;n0;�01;�02;�03 ��3;1)�~g12(b�n;0;1;�3;n0;�01;�02;�03 ��1;1��2;0 + b�n;1;0;�3;n0;�01;�02;�03��1;0��2;1)�~g23(b�n;�1;0;1;n0;�01;�02;�03 ��2;1��3;0 + b�n;�1;1;0;n0;�01;�02;�03 ��2;0��3;1)�~g31(b�n;1;�2;0;n0;�01;�02;�03 ��1;0��3;1 + b�n;0;�2;1;n0;�01;�02;�03 ��1;1��3;0)

�~g(pnb�n�1;1;�2;�3;n0;�01;�02;�03��1;0 +pn+ 1b�n+1;0;�2;�3;n0;�01;�02;�03��1;1)

�~g(pnb�n�1;�1;1;�3;n0;�01;�02;�03��2;0 +pn+ 1b�n+1;�1;0;�3;n0;�01;�02;�03��2;1)

�~g(pnb�n�1;�1;�2;1;n0;�01;�02;�03 ��3;0 +pn+ 1b�n+1;�1;�2;0;n0;�01;�02;�03 ��3;1)g


Dinámica Disipativa

Ahora considerando la dinámica total del sistema, es decir con mecanismosdisipativos, se tiene para la ecuación maestra de manera explícita:

�b� =i

~fb�[(~!bayba+ ~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3)

+~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2) + ~g31(b�y3b�1 + b�y1b�3)+~g(bayb�1 + bab�y1) + ~g(bayb�2 + bab�y2) + ~g(bayb�3 + bab�y3)]�[(~!bayba+ ~!1b�y1b�1 + ~!2b�y2b�2 + ~!3b�y3b�3)+~g12(b�y1b�2 + b�y2b�1) + ~g23(b�y2b�3 + b�y3b�2) + ~g31(b�y3b�1 + b�y1b�3)+~g(bayb�1 + bab�y1) + ~g(bayb�2 + bab�y2) + ~g(bayb�3 + bab�y3)]b�g+P

2(2b�y1b�b�1 � b�1b�y1b�� b�b�1b�y1 + 2b�y2b�b�2 � b�2b�y2b�� b�b�2b�y2

+2b�y3b�b�3 � b�3b�y3b�� b�b�3b�y3)+

2(2b�1b�b�y1 � b�y1b�1b�� b�b�y1b�1 + 2b�2b�b�y2 � b�y2b�2b�� b�b�y2b�2

+2b�3b�b�y3 � b�y3b�3b�� b�b�y3b�3)+�

2(2bab�bay � baybab�� b�bayba)

Los elementos de matriz para la dinámica total están dados por:


�b�MM 0 =i

~f[(~!n0b�n;�1;�2;�3;n0;�01;�02;�03 + ~!1b�n;�1;�2;�3;n0;1;�02;�03 ��01;1 (3.4)

+~!2 b�n;�1;�2;�3;n0;�01;1;�03 ��02;1 + ~!3 b�n;�1;�2;�3;n0;�01;�02;1 ��03;1)+~g12(b�n;�1;�2;�3;n0;1;0;�03 ��01;0��02;1 + b�n;�1;�2;�3;n0;0;1;�03 ��01;1��02;0)+~g23(b�n;�1;�2;�3;n0;�01;1;0 ��02;0��03;1 + b�n;�1;�2;�3;n0;�01;0;1 ��02;1��03;0)+~g31(b�n;�1;�2;�3;n0;0;�02;1 ��01;1��03;0 + b�n;�1;�2;�3;n0;1;�02;0 ��01;0��03;1)

+~g(pn0 + 1b�n;�1;�2;�3;n0+1;0;�02;�03 ��01;1 +pn0b�n;�1;�2;�3;n0�1;1;�02;�03 ��01;0)

+~g(pn0 + 1b�n;�1;�2;�3;n0+1;�01;0;�03 ��02;1 +pn0b�n;�1;�2;�3;n0�1;�01;1;�03 ��02;0)

+~g(pn0 + 1b�n;�1;�2;�3;n0+1;�01;�02;0 ��03;1 +pn0b�n;�1;�2;�3;n0�1;�01;�02;1 ��03;0)]�[(~!n b�n;�1;�2;�3;n0;�01;�02;�03 + ~!1 b�n;1;�2;�3;n0;�01;�02;�03 ��1;1+~!2 b�n;�1;1;�3;n0;�01;�02;�03 ��2;1 + ~!3 b�n;�1;�2;1;n0;�01;�02;�03 ��3;1)+~g12(b�n;0;1;�3;n0;�01;�02;�03 ��1;1��2;0 + b�n;1;0;�3;n0;�01;�02;�03��1;0��2;1)+~g23(b�n;�1;0;1;n0;�01;�02;�03 ��2;1��3;0 + b�n;�1;1;0;n0;�01;�02;�03 ��2;0��3;1)+~g31(b�n;1;�2;0;n0;�01;�02;�03 ��1;0��3;1 + b�n;0;�2;1;n0;�01;�02;�03 ��1;1��3;0)

+~g(pnb�n�1;1;�2;�3;n0;�01;�02;�03��1;0 +pn+ 1b�n+1;0;�2;�3;n0;�01;�02;�03��1;1)

+~g(pnb�n�1;�1;1;�3;n0;�01;�02;�03��2;0 +pn+ 1b�n+1;�1;0;�3;n0;�01;�02;�03��2;1)

+~g(pnb�n�1;�1;�2;1;n0;�01;�02;�03 ��3;0 +pn+ 1b�n+1;�1;�2;0;n0;�01;�02;�03 ��3;1)]g

+P

2(2b�n;0;�2;�3;n0;0;�02;�03 ��1;1��01;1 � b�n;0;�2;�3;n0;�01;�02;�03 ��1;0 � b�n;�1;�2;�3;n0;0;�02;�03 ��01;0

+2b�n;�1;0;�3;n0;�01;0;�03 ��2;1��02;1 � b�n;�1;0;�3;n0;�01;�02;�03 ��2;0 � b�n;�1;�2;�3;n0;�01;0;�03 ��02;0+2b�n;�1;�2;0;n0;�01;�02;0 ��3;1��03;1 � b�n;�1;�2;0;n0;�01;�02;�03 ��3;0 � b�n;�1;�2;�3;n0;�01;�02;0 ��03;0)+

2(2b�n;1;�2;�3;n0;1;�02;�03 ��1;0��01;0 � b�n;1;�2;�3;n0;�01;�02;�03 ��1;1 � b�n;�1;�2;�3;n0;1;�02;�03 ��01;1

+2b�n;�1;1;�3;n0;�01;1;�03 ��2;0��02;0 � b�n;�1;1;�3;n0;�01;�02;�03 ��2;1 � b�n;�1;�2;�3;n0;�01;1;�03 ��02;1+2b�n;�1;�2;1;n0;�01;�02;1 ��3;0��03;0 � b�n;�1;�2;1;n0;�01;�02;�03 ��3;1 � b�n;�1;�2;�3;n0;�01;�02;1 ��03;1)+�

2(2pn+ 1

pn0 + 1 b�n+1;�1;�2;�3;n0+1;�01;�02;�03 � n b�n;�1;�2;�3;n0;�01;�02;�03 � n0 b�n;�1;�2;�3;n0;�01;�02;�03)

3.2. Cálculo de la función de correlación de se-gundo orden en � = 0

Complementando el estudio al respecto de los sistemas ópticos planteados,se procede con el cálculo de la función de correlación de segundo orden, la cual

3.2. CÁLCULODE LA FUNCIÓN DE CORRELACIÓN DE SEGUNDOORDEN EN � = 045

permitirá apreciar como es la luz que emite el sistema bajo ciertas condiciones.A continuación se realiza el desarrollo de manera explícita.

g2 =

baybaybaba�hbaybai2

g2 =Tr�b�baybaybaba

[Tr fb�baybag]2

g2 =

Pn

P�1

P�2

P�3hn; �1; �2; �3jb�baybaybaba jn; �1; �2; �3i�P

n

P�1

P�2

P�3hn; �1; �2; �3jbayba jn; �1; �2; �3i�2

g2 =

Pn

P�1

P�2

P�3n(n� 1)b�n;�1;�2;�3;n;�1;�2;�3hP

n

P�1

P�2

P�3nb�n;�1;�2;�3;n;�1;�2;�3 i2

Como el Hamiltoniano conserva la variedad de excitación, [ bH; bNex] = 0 conbNex = bayba + b�y1b�1 + b�y2b�2 + b�y3b�3 entonces los estados para una variedad deexcitación K serán:

jK � 3; 1; 1; 1i ; jK � 2; 1; 1; 0i ; jK � 2; 1; 0; 1i ; jK � 2; 0; 1; 1i ;jK � 1; 1; 0; 0i ; jK � 1; 0; 1; 0i ; jK � 1; 0; 0; 1i ; jK; 0; 0; 0i

De modo que si la condición inicial en este sistema comienza en solo estosestados, la función de correlación explícitamente será:


g2 =

(K � 3)(K � 4)b�K�3;1;1;1;K�3;1;1;1+(K � 2)(K � 3)[b�K�2;1;1;0;K�2;1;1;0 + b�K�2;1;0;1;K�2;1;0;1 + b�K�2;0;1;1;K�2;0;1;1]+(K � 1)(K � 2)[b�K�1;1;0;0;K�1;1;0;0 + b�K�1;0;1;0;K�1;0;1;0 + b�K�1;0;0;1;K�1;0;0;1]

+K(K � 1)b�K;0;0;0;K;0;0;0[(K � 3)b�K�3;1;1;1;K�3;1;1;1

+(K � 2)[b�K�2;1;1;0;K�2;1;1;0 + b�K�2;1;0;1;K�2;1;0;1 + b�K�2;0;1;1;K�2;0;1;1]+(K � 1)[b�K�1;1;0;0;K�1;1;0;0 + b�K�1;0;1;0;K�1;0;1;0 + b�K�1;0;0;1;K�1;0;0;1]

+Kb�K;0;0;0;K;0;0;0]2

Los resultados analíticos obtenidos anteriormente permiten proceder a realizarun análisis numérico mediante la programación computacional de las expresionesobtenidas tanto para los Hamiltonianos, la ecuación maestra y la función decorrelación de segundo orden de los sistemas abordados.

3.3. Resultados y Análisis Numéricos

En este apartado se estudian dos aspectos importantes para los sistemas deinterés, estos son la dinámica de los estados del sistema y la evolución temporalde la función de correlación de segundo orden que permitirá apreciar como es laluz emitida por el sistema en términos de la estadística de fotones emitidos enel tiempo. En la obtención de estos resultados se tuvieron en cuenta parámetrostípicos de puntos cuánticos auto ensamblados e inmersos en microcavidadessemiconductoras.

Para efectuar este análisis se procede a realizar una variación sistemática delos principales parámetros contemplados en el modelo planteado. Los cualesson: Principalmente, la con�guración espacial de los puntos cuánticos (abierta ycerrada) de�nida por las constantes de interacción Foerster (gij). La proporciónentre estas constantes y la constante de interacción radiación-materia (g), quede�ne si el sistema es considerado como molecular (g < gij) o no (g � gij). Ladiferencia entre la frecuencia de los puntos cuánticos (!x) y la del campo (!c),es decir, si el sistema se encuentra en resonancia (!x = !c) o no (!x 6= !c).Finalmente, todas estas variaciones se tendrán en cuenta tanto para sistemasHamiltonianos (P; ; � = 0) como disipativos (P; ; � 6= 0). En la tabla (3.4) semuestran los casos contemplados de acuerdo a la variación de dichos parámetros.

3.3. RESULTADOS Y ANÁLISIS NUMÉRICOS 47

Figura 3.4: Casos a tratar de acuerdo a la con�guración de parámetros del sis-tema

3.3.1. Resultados Hamiltonianos

A continuación se contemplarán cada uno de los caso que se muestran enla tabla (3.4), particularmente en un régimen Hamiltoniano, es decir especí�-camente que la tasa de bombeo es nula, no se considera emisión espontánea yademás se supone que no hay pérdida a través de los espejos que constituyen lamicrocavidad (P = = � = 0).

Sistemas abiertos

� Caso AH

En la �gura (3.5) se muestra en general cómo evolucionan las ocupacionesde los estados del sistema de microcavidad-puntos cuánticos, cuando la con-�guración espacial es abierta (en línea), la interacción entre los puntos es másfuerte que entre la luz y los mismos, y la frecuencia del campo es la mismaque la de los puntos cuánticos. Es decir, se tiene un Caso (AH)1 . En generalse ha seleccionado una muestra de las ocupaciones más apreciables o de valoresmayores. Además, también se da una vista de cómo es la función de correlaciónde segundo orden para este caso.

Se aprecia que hay dos poblaciones que son dominantes, las correspondientes alos estados j1111i y j4000i, es decir, el de un fotón y tres excitones y el de cuatrofotones y ningún excitón respectivamente. El comportamiento de estas ocupa-ciones resulta ser cíclico con una amplitud y periodo bien de�nidos. De acuerdoa los valores que toman estas poblaciones se deduce que para este caso el sistemapermanece predominantemente en estos dos estados (especí�camente con una

1H hace referencia a que es Hamiltoniano


Figura 3.5: Evolución poblaciones Caso A: Hamiltoniano - Abierto - Molecular- Resonante (en azul). Función de correlación de segundo orden (en negro).Parámetros: g12 = g23 = 10 meV , g31 = 0, g = 1 meV , !c = 995 meV = !x,P = = � = 0. Y la condición inicial es: �1111;1111:

mayor prevalencia en el estado j1111i), indicando así un intercambio energéticocíclico entre materia y radiación (pasando repetidamente del estado j1111i alj4000i). Por otro lado, la función de correlación también presenta característicassimilares con periodo y amplitud bien de�nidos, cuyo valor oscila entre valoresmuy cercanos a cero y por debajo de uno (entre 0.1 y 0.9 aproximadamente),indicando así el predominio de un carácter no clásico (cuántico) de la luz conuna distribución estadística de fotones sub-poissoniana, que se acerca y se alejaperiódicamente al límite clásico de un estado de luz cuasi-clásica con distribu-ción estadística poissoniana, es decir, a un estado térmico coherente. Donde elno agrupamiento de fotones o antibunching puede caracterizar este caso.

� Caso CH


Figura 3.6: Evolución poblaciones Caso C: Hamiltoniano - Abierto - Nomolecular - Resonante (en azul). Función de correlación de segundo orden (ennegro). Parámetros: g12 = g23 = 1 meV , g31 = 0, g = 1 meV , !c = 995meV = !x, P = = � = 0. Y la condición inicial es: �1111;1111:

En la �gura (3.6) se muestra en general cómo evolucionan las ocupacionesde los estados del sistema de microcavidad puntos cuánticos, cuando la con�gu-ración espacial es abierta (en línea), la interacción entre los puntos es comparablecon la interacción del campo con los puntos, y la frecuencia del campo es la mis-ma que la de los puntos cuánticos. Es decir que se tiene un Caso (CH). Además,también se da una vista de cómo es la función de correlación de segundo ordenbajo la con�guración de parámetros que de�nen este caso.

Para esta situación, también se aprecia que hay dos poblaciones más notoriasque corresponden nuevamente a los estados dominantes j1111i y j4000i. El com-portamiento de todas las ocupaciones para este caso no es bien de�nido, perode forma similar al caso anterior, los mayores valores de ocupación corre-sponden a dichos estados dominantes (el de un fotón con tres excitones y el decuatro fotones y ningún excitón), sugiriendo una mayor interacción energéticano periódica en el tiempo entre los mismos. Además, la función de correlaciónde segundo orden no oscila periódicamente sino que en promedio toma un valor


cercano a uno (0.8 aproximadamente), mostrando que la luz emitida tiende aun carácter cuasi-clásico con distribución sub-poissoniana de numero de fotonesy con tendencia a un tipo de luz coherente con numero de fotones distribuidospoissonianamente.

� Caso EH

Figura 3.7: Evolución poblaciones Caso E: Hamiltoniano - Abierto - Molecular- No resonante (en azul). Función de correlación de segundo orden (en negro).Parámetros: g12 = g23 = 10 meV , g31 = 0, g = 1 meV , �! = 5 meV , P = =� = 0. Y la condición inicial es: �1111;1111:

La �gura (3.7) muestra en general cómo evolucionan las ocupaciones de losestados del sistema de microcavidad puntos cuánticos, cuando la con�guraciónespacial es abierta (en línea), la interacción entre los puntos es mayor que lainteracción entre estos y el campo, y además la frecuencia de los puntos y elcampo es ligeramente distinta. De acuerdo a la tabla de casos, se presenta unCaso (EH), para el que también se presenta una vista de la función de correlaciónde segundo orden.


Es apreciable que nuevamente la mayor ocupación corresponde a la condicióninicial j1111i, en tanto que ahora la segunda ocupación más alta correspondeal estado de dos fotones y las excitaciones de los dos puntos externos j2101i,indicando que para este conjunto de parámetros el sistema privilegia la perma-nencia en estos dos estados. En tanto que la función de correlación presenta unaforma distinta a las anteriores, alcanzando por momentos valores mínimos muycercanos a cero, y valores máximos alrededor de (0.65). Con lo que en este casopredomina un tipo de luz cuántica con tendencia a la incoherencia, donde ladistribución de fotones será sub-poissoniana, y además estos podrían tender alanti agrupamiento o antibunching.

Sistemas cerrados

� Caso BH

Figura 3.8: Evolución poblaciones Caso B: Hamiltoniano - Cerrado - Molecu-lar - Resonante (en azul). Función de correlación de segundo orden (en rojo).Parámetros: g12 = g23 = g31 = 10 meV , g = 1 meV , !c = 995 meV = !x,P = = � = 0. Y la condición inicial es: �1111;1111:


Para este caso, en la �gura (3.7) se muestra en general cómo evolucionanlas ocupaciones de los estados del sistema de microcavidad puntos cuánticos,cuando la con�guración espacial es cerrada (en triángulo), la interacción entrelos puntos es más fuerte que la interacción entre estos y el campo, y ademásambos tienen la misma frecuencia. De acuerdo a la tabla de casos, se presenta unCaso (BH), para el que también se presenta una vista de la función de correlaciónde segundo orden.

De manera similar al Caso (AH), en este caso se aprecia que hay dos pobla-ciones que son dominantes, las correspondientes a los estados j1111i y j4000i, esdecir, el de un fotón con tres excitones y el de cuatro fotones y ningún excitónrespectivamente. El comportamiento de estas ocupaciones resulta ser cíclico conuna amplitud y periodo bien de�nidos, pero diferentes a los del Caso (AH). Demodo que aunque tomando valores ligeramente diferentes, la dinámica de laspoblaciones es muy similar al caso de iguales parámetros pero en con�guraciónabierta. Por otro lado, la función de correlación también presenta característicassimilares con periodo y amplitud bien de�nidos pero diferentes a los del casoen comparación. Entonces, también hay predominio de un carácter no clásico(cuántico) de la luz con una distribución estadística de fotones sub-poissoniana,que se acerca y se aleja periódicamente al límite clásico, es decir, a un estado deluz cuasi-clásica con distribución estadística poissoniana denominado como tér-mico y coherente. Con lo que además se podría decir que este caso propenderápor no agrupamiento o antibunching de fotones.

� Caso DH

En la �gura (3.9) se muestra la evolución de las ocupaciones de los estadosdel sistema de microcavidad puntos cuánticos, cuando la con�guración espaciales cerrada (en triángulo), la interacción entre los puntos es comparable con lainteracción del campo con los puntos, y las frecuencias del campo y los puntoscuánticos es igual. Es decir que se tiene un Caso (DH). Además, también seda una vista de cómo es la función de correlación de segundo orden bajo lacon�guración de parámetros que de�nen este caso.

Para este caso, también se ve que hay dos poblaciones más notorias que corre-sponden nuevamente a los estados de un fotón con tres excitones j1111i y cuatrofotones y ningún excitón j4000i. El comportamiento de todas las ocupacioneses bastante irregular en el tiempo, pero nuevamente se destaca el domino de laspoblaciones correspondientes al estado inicial y el de solo excitación material.Lo cual nuevamente indica que con estas condiciones el sistema tiende a privile-giar la permanencia en estos dos estados particulares, asemejándose mucho a ladinámica expuesta cuando el sistema es abierto. En cuanto a la función de cor-relación de segundo, esta también presenta un aspecto muy similar al del casocon iguales parámetros pero abierto, ya que no oscila periódicamente sino que en


Figura 3.9: Evolución poblaciones Caso D: Hamiltoniano - Cerrado - No mole-cular - Resonante (en azul). Función de correlación de segundo orden (en rojo).Parámetros: g12 = g23 = g31 = 1 meV; g = 1 meV , !c = 995 meV = !x,P = = � = 0. Y la condición inicial es: �1111;1111:

promedio toma un valor cercano a uno (aproximadamente 0.8), mostrando quela luz emitida tiende a un carácter cuasi-clásico con distribución sub-poissonianade numero de fotones y para algunos tiempos su valor se acerca mucho a cero,indicando una leve tendencia a un tipo de luz incoherente con posibilidad de noagrupamiento de fotones, es decir una tendencia a ser menos clásica.

� Caso FH

La �gura (3.10) muestra cómo evolucionan las ocupaciones de los estados delsistema de microcavidad puntos cuánticos, cuando la con�guración espacial escerrada (en triángulo), la interacción entre los puntos es mayor que la interacciónentre estos y el campo, y además la frecuencia de los puntos y el campo es


Figura 3.10: Evolución poblaciones Caso F: Hamiltoniano - Cerrado - Molecular- No resonante (en azul). Función de correlación de segundo orden (en rojo).Parámetros: g12 = g23 = g31 = 10 meV , g = 1 meV , �! = 5 meV , P = =� = 0. Y la condición inicial es: �1111;1111:

ligeramente distinta. De modo que se presenta el Caso (FH), para el que tambiénse presenta una vista de la función de correlación de segundo orden, que presentaun aspecto muy diferente al del caso con iguales parámetros pero abierto.

Se observa que ahora no hay dos sino una ocupación mayormente dominantecorrespondiente al estado inicial j1111i, de una excitación de luz y una de mate-ria por cada punto. Entendiendo así que para esta con�guración de parámetros,el sistema tiende a permanecer en el estado inicial. Además, se logra ver unacierta simetría en el comportamiento seguido por las poblaciones de los estadosque involucran, tanto tres excitaciones de radiación y solo una excitación de ma-teria, como los que involucran dos excitaciones de radiación y dos de materia.Lo cual se debe a la posibilidad de interacción del punto central con los puntosextremos y también a la interacción entre los puntos extremos. Por otro lado, esnotable que los valores que toma la función de correlación de segundo orden sonmucho menores que en el caso de con�guración abierta con iguales parámetros.Lo cual favorece un tipo de luz incoherente, con posible anti agrupamiento defotones y distribución sub poissoniana de los mismos. Presentándose así un tipo


de luz notablemente cuántica para este caso.

3.3.2. Resultados Disipativos

En seguida, se contemplarán nuevamente cada uno de los casos que se mues-tran en la tabla (3.4), pero para un régimen Disipativo, es decir especí�camenteque el sistema será bombeado con una tasa P , también se considera que hayperdidas a través de los espejos de la microcavidad en una tasa � y dado quela tasa de emisión espontanea es muy pequeña en comparación con los otrosparámetros disipativos, esta se considera nula. Además, debido a los mecanismosdisipativos presentes, los posibles estados del sistema aumentan considerable-mente, por consiguiente se ha seleccionado una muestra de las ocupaciones másnotorias que permitan apreciar como es la dinámica del sistema en general.

Sistemas abiertos

� Caso AD

En la �gura (3.11) se muestra en general cómo evolucionan algunas de lasocupaciones de los estados del sistema de microcavidad puntos cuánticos, cuan-do la con�guración espacial es abierta (en línea), la interacción entre los puntoses más fuerte que entre la luz y los mismos, la frecuencia del campo es la mis-ma que la de los puntos cuánticos y también, se encuentran activados algunosmecanismos disipativos. Es decir que se tiene un Caso (AD)2 . Además, tambiénse da una vista de cómo es la función de correlación de segundo orden paradicho caso.

Se aprecia que hay dos estados que inicialmente alcanzan valores de ocupaciónmuy altos que luego decaen rápidamente y por el contrario los valores de ocu-pación para los demás estados tienden a aumentar. Debido a que se cuenta conuna mayor tasa de perdida, que de suministro energético para el sistema (�>P ),se presenta una rápida desocupación del estado inicial j1000i, con una rápidaocupación parcial del estado de variedad cero j0000i, el cual alcanza su máximomuy rápidamente en casi el total de la población volviendo a desocuparse progre-sivamente hasta llegar a su valor de estado estacionario, ligeramente por debajode 0.1. Por otro lado se observa como los estados de variedad uno y puramenteexcitónicos, comienzan a poblarse progresivamente siguiendo un comportamien-to muy similar entre si y llegando a estabilizarse en valores alrededor de 0.28. En

2D: hace referencia a que es Disipativo.Clasi�cación de acuerdo a la tabla (3.4)


Figura 3.11: Evolución poblaciones Caso A: Disipativo - Abierto - Molecular- Resonante (en azul), con su respectivo valor de estado estacionario (líneapunteada). Función de correlación de segundo orden (en negro). Parámetros:g12 = g23 = 10 meV , g31 = 0, g = 1 meV , !c = 995 meV = !x, P = 0.001meV , = 0, � = 0.05 meV . Y la condición inicial es: �1000;1000.

tanto que los estados correspondientes a la variedad dos, con excitación fotónicay excitónica, también siguen un patrón de evolución muy similar entre sí, ini-cialmente despoblándose para luego alcanzar un valor de ocupación alrededor de0.01. Con lo cual se aprecia que los estados de variedad de excitación uno son losmás signi�cativamente poblados y que la probabilidad en el sistema particularse conserva, dados los valores de las poblaciones en el estado estacionario.

De acuerdo a la dinámica de poblaciones obtenida, se destaca en general queel sistema parte de ser puramente fotónico para terminar siendo prácticamenteexcitónico, como lo muestran los valores de estado estacionario alcanzados. Encuanto a la función de correlación de segundo orden, esta parte de cero amen-tando rápidamente hasta un máximo valor de cuatro, para luego llegar pro-gresivamente a su valor �nal en dos. Indicando que inicialmente la luz cambiadrásticamente sus propiedades, comenzando por ser incoherente, luego coher-ente, después caótica e incluso tipo squeezed, para terminar siendo totalmente


caótica con una distribución estadística de fotones gaussiana que podría presen-tar agrupamiento de fotones (bunching).

� Caso CD

Figura 3.12: Evolución poblaciones Caso C: Disipativo - Abierto - No molecular- Resonante (en azul), con su respectivo valor de estado estacionario (líneapunteada). Función de correlación de segundo orden (en negro). Parámetros:g12 = g23 = 1 meV , g31 = 0, g = 1 meV , !c = 995 meV = !x, P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05 meV . Y la condición inicial es: �1000;1000:

En la �gura (3.12) se muestra en general cómo evolucionan las ocupacionesde los estados del sistema de microcavidad puntos cuánticos, cuando la con�gu-ración espacial es abierta (en línea), la interacción entre los puntos es comparablecon la interacción del campo con los puntos, la frecuencia del campo es la mis-ma que la de los puntos cuánticos y también, se encuentran activados algunosmecanismos disipativos. Presentándose de esta manera un Caso (CD) de acuer-do a la tabla de clasi�cación. Además, también se da una vista de cómo es la


función de correlación de segundo orden bajo la con�guración de parámetrosque de�nen este caso.

En este caso se aprecia como el estado inicial j1000i, correspondiente a unaexcitación de radiación y ninguna de materia, es despoblado rápidamente al-canzando un valor terminal cercano a cero. En tanto que el estado de variedadde excitación nula (j0000i) es rápidamente poblado alcanzando el mayor valorde ocupación luego de estabilizarse. Además de este, los otros estados con unvalor de ocupación relevante son los correspondientes a los de variedad uno consolo excitación de materia, es decir, de un excitón en alguno de los puntos cuán-ticos. Con lo que se aprecia que bajo esta con�guración de parámetros el sistematiende a perder energía en tanto su variedad de excitación tiende a la disminu-ción, como se percibe al comparar las probabilidades para el estado inicial y elestado de variedad nula. En cuanto a la función de correlación de segundo orden,es posible ver como en principio su valor cambia entre cero y tres, indicando uncambio sustancial en las propiedades de la luz, pasando por regímenes menosy más clásicos (coherente, incoherente y caótico). Finalmente, el valor tiendeprogresivamente a 3.5 donde se estabiliza, indicando así la presencia de un clarofenómeno no clásico de luz tipo squeezed o comprimido.

� Caso ED

La �gura (3.13) muestra en general cómo evolucionan las ocupaciones de losestados del sistema de microcavidad puntos cuánticos, cuando la con�guraciónespacial es abierta (en línea), la interacción entre los puntos es mayor que lainteracción entre estos y el campo, la frecuencia de los puntos y el campo esligeramente distinta y además hay parámetros disipativos presentes. De acuerdoa la tabla de casos, se presenta un Caso (ED), para el que también se presentauna vista de la función de correlación de segundo orden.

En esta ocasión se nota como nuevamente el estado inicial j1000i, es despobladorápidamente alcanzando un valor terminal muy cercano a cero. En contraste,el estado de variedad de excitación nula es rápidamente poblado y nuevamentedesocupado, alcanzando un valor relativamente bajo. Por el contrario los esta-dos de variedades uno y dos tienden a ser ocupados progresivamente. Siendomayor el valor de ocupación para los de variedad uno que para los de variedaddos. Con lo que se podría decir que, bajo esta con�guración de parámetros, elsistema procura conservar la variedad de excitación. En cuanto a la función decorrelación de segundo orden, es posible ver como en principio su valor crese decero a ocho, indicando nuevamente un cambio sustancial en las propiedades dela luz. Para �nalmente, estabilizarse en un valor secano a tres, que implica unestado de luz no clásico tipo squeezed o comprimido.


Figura 3.13: Evolución poblaciones Caso E: Disipativo - Abierto - Molecular -No resonante (en azul), con su respectivo valor de estado estacionario (líneapunteada). Función de correlación de segundo orden (en negro). Parámetros:g12 = g23 = 10 meV , g31 = 0, g = 1 meV , �! = 5 meV , P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05 meV . Y la condición inicial es: �1000;1000:

Sistemas Cerrados

� Caso BD

Para este caso, en la �gura (3.14) se muestra en general cómo evolucionanlas ocupaciones de los estados del sistema de microcavidad puntos cuánticos,cuando la con�guración espacial es cerrada (en triángulo), la interacción entrelos puntos es más fuerte que la interacción entre estos y el campo, ambos tienenla misma frecuencia y también, se contemplan algunos mecanismos disipativos.Lo que dispone un Caso (BD), para el que también se presenta una vista de lafunción de correlación de segundo orden.

De manera similar al Caso (AD) de iguales parámetros pero en con�guraciónabierta, se aprecia que hay dos estados que inicialmente alcanzan valores de


Figura 3.14: Evolución poblaciones Caso B: Disipativo - Cerrado - Molecular- Resonante (en azul), con su respectivo valor de estado estacionario (líneapunteada). Función de correlación de segundo orden (en rojo). Parámetros:g12 = g23 = g31 = 10 meV , g = 1 meV , !c = 995 meV = !x, P = 0.001meV , = 0, � = 0.05 meV . Y la condición inicial es: �1000;1000.

ocupación muy altos que luego decaen rápidamente y por el contrario los val-ores de ocupación para los demás estados tienden a aumentar. Debido a quese cuenta con una mayor tasa de perdida, que de suministro energético para elsistema (�>P ), se presenta una rápida desocupación del estado inicial j1000i,con una rápida ocupación parcial del estado de variedad cero j0000i, el cualalcanza su máximo muy rápidamente en casi el total de la población volviendoa desocuparse progresivamente hasta llegar a su valor de estado estacionario,aproximadamente en 0.05. Por otro lado, se observa como los estados de var-iedad uno y puramente excitónicos, comienzan a poblarse progresivamente conuna evolución similar entre si y llegando a estabilizarse en valores alrededor de0.3. En tanto que los estados correspondientes a la variedad dos, con excitaciónfotónica y exitónica, también siguen un patrón de evolución muy similar entresí, alcanzando un valor de ocupación alrededor de 0.01. Con lo cual se apreciaque los estados de variedad de excitación uno son los más signi�cativamente


poblados y que la probabilidad en el sistema particular se conserva, dados losvalores de las poblaciones en el estado estacionario.

En cuanto a la función de correlación de segundo orden, esta parte de ceroamentando rápidamente hasta un máximo valor de 3.5, para luego llegar pro-gresivamente a su valor �nal en 2. Indicando que inicialmente la luz cambiadrásticamente sus propiedades, comenzando por ser incoherente, luego coher-ente, después caótica e incluso comprimida, para terminar siendo totalmentecaótica con un a distribución estadística de fotones gaussiana que puede presen-tar agrupamiento de fotones (bunching).

� Caso DD

Figura 3.15: Evolución poblaciones Caso D: Disipativo - Cerrado - No molecu-lar - Resonante (en azul), con su respectivo valor de estado estacionario (líneapunteada). Función de correlación de segundo orden (en rojo). Parámetros:g12 = g23 = g31 = 1 meV , g = 1 meV , !c = 995 meV = !x, P = 0.001meV , = 0, � = 0.05 meV . Y la condición inicial es: �1000;1000:


En la �gura (3.15) se muestra en general cómo evolucionan las ocupacionesde los estados del sistema de microcavidad puntos cuánticos, cuando la con-�guración espacial es cerrada (en triángulo), la interacción entre los puntos escomparable con la interacción del campo con los puntos, la frecuencia del campoes la misma que la de los puntos cuánticos y también, se encuentran activadosalgunos mecanismos disipativos. Presentándose de esta manera un Caso (DD) deacuerdo a la tabla de clasi�cación. Además, también se da una vista de cómo esla función de correlación de segundo orden bajo la con�guración de parámetrosque de�nen este caso.

En este caso se aprecia como el estado inicial j1000i, correspondiente a unaexcitación de radiación y ninguna de materia, es despoblado rápidamente al-canzando un valor terminal muy próximo a cero. En tanto que el estado devariedad de excitación nula (j0000i) es rápidamente poblado para luego desocu-parse progresivamente alcanzando uno de los principales valores de ocupaciónluego de estabilizarse. Los otros estados con un relevante valor de ocupación sonlos correspondientes a variedad uno con solo excitación material, es decir, de unexcitón en alguno de los puntos cuánticos. Con lo que se aprecia que bajo estacon�guración de parámetros el sistema podría tender a conservar su variedad deexcitación pasando de fotónico a excitónico, aunque en principio su variedad deexcitación decrezca como lo muestra la evolución del estado de excitación nula.En cuanto a la función de correlación de segundo orden, es posible ver como enprincipio se presenta un cambio notable en las propiedades de la luz al cambiarsu valor entre cero y cuatro, pasando así por regímenes menos y más clásicos(coherente, incoherente y caótico). Pero de manera similar al caso abierto coniguales parámetros, el valor tiende progresivamente a 3.5 donde se estabiliza,indicando también la manifestación de un claro fenómeno no clásico de luz tiposqueezed o comprimido.

� Caso FD

La �gura (3.16) muestra en general cómo evolucionan las ocupaciones de losestados del sistema de microcavidad puntos cuánticos, cuando la con�guraciónespacial es cerrada (en triángulo), la interacción entre los puntos es mayor quela interacción entre estos y el campo, la frecuencia de los puntos y el campo esligeramente distinta y además hay parámetros disipativos presentes. De acuerdoa la tabla de casos, se presenta un Caso (FD), para el que también se presentauna vista de la función de correlación de segundo orden.

En esta ocasión se nota como nuevamente el estado inicial j1000i, es despobla-do rápidamente alcanzando un valor �nal muy cercano a cero. En contraste,el estado de variedad de excitación nula es rápidamente poblado y nuevamentedesocupado, llegando a un valor muy pequeño. Por el contrario los estados devariedades uno y dos tienden progresivamente a alcanzar valores de ocupación


Figura 3.16: Evolución poblaciones Caso F: Disipativo - Cerrado - Molecular -No resonante (en azul), con su respectivo valor de estado estacionario (líneapunteada). Función de correlación de segundo orden (en rojo). Parámetros:g12 = g23 = g31 = 10 meV , g = 1 meV , �! = 5 meV , P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05 meV . Y la condición inicial es: �1000;1000:

importantes, siguiendo entre si evoluciones muy similares. Destacando que in-teresantemente, el sistema tiene la posibilidad de incrementar su variedad deexcitación, como lo muestra el incremento y valor de la población en el estadoestacionario correspondiente al estado (j0111i) de variedad tres. En cuanto ala función de correlación de segundo orden, es posible ver como en principio suvalor crese de cero a cuatro, sugiriendo un notable cambio en las propiedades dela luz. Para concluir estabilizarse en un valor cercano a dos, implicando un esta-do de luz caótico con distribución estadística de fotones gaussiana que podríanpresentar agrupamiento.


3.3.3. Espectros de Emisión

Teniendo en cuenta los casos de�nidos de acuerdo a las diferentes con-�guraciones de parámetros de la tabla (3.4). Se procede a mostrar los espectrosde emisión obtenidos para cada uno de los mencionados casos. Estos resultadosse obtuvieron nuevamente mediante análisis numérico de los desarrollos analíti-cos al respecto. De modo que con el �n de apreciar semejanzas y contrastesentre los regímenes hamiltoniano y disipativo, se presentan los espectros deemisión (obtenidos al contemplar factores disipativos) con sus respectivas rela-ciones de dispersión de energía (obtenidas cuando el sistema es hamiltoniano).Los patrones de cada uno de los espectros obtenidos para los diferentes juegosde parámetros que constituyen cada caso estudiado, permitirán caracterizar elacople de radiación materia mediante las transiciones involucradas.

De modo que mediante la obtención y presentación de unas secuencias de es-pectros emisivos de un mismo caso para diferentes valores de desintonía (� =!x�!c), que para este caso se de�ne �jando la frecuencia de los puntos cuánti-cos (!x) y variando la frecuencia de la cavidad (!c). Lográndose de esta maneraapreciar el acople o desacople entre los diferentes estados del sistema mediantela presencia de los cruces y anti cruces presentes en dichos espectros. Lo cualpuede ser contrastado con las respectivas relaciones de dispersión Hamiltoni-anas, ya que los parámetros disipativos contemplados son tales que permitenque el sistema recuerde su comportamiento cuando no hay presencia de elemen-tos disipativos.

Espectros de sistemas en con�guración abierta

En la �gura (3.17) se muestra una secuencia de espectros emisivos paradiferentes valores de desintonia del caso A, que constituye un sistema en con-�guración abierta y denominado molecular de acuerdo a los valores que tomanlas constantes de interacción de materia Foerster y las proporciones de las con-stantes de interacción entre la materia (excitones) y la radiación (fotón). Esposible observar las semejanzas cualitativas entre la relación de dispersión hamil-tonianas y el espectro disipativo de emisión (inset y �gura 3.17 respectivamente).

De modo que se presentan cuatro valores para las autoenergías que se correspon-den con igual número de auto estados del sistema, indicando la no presencia dedegeneramiento energético. A medida que cambia (�), el primer estado vestido(superior) es inicialmente excitónico y termina por ser fotónico, en contraste,el cuarto estado vestido (inferior) inicia siendo fotónico y �naliza siendo ex-citónico. Con lo que se evidencia un anti cruce entre dichos autoestados quepone de mani�esto el acoplamiento o interacción entre los mismos. En cuanto


Figura 3.17: Espectros de emisión Caso A (con�guración abierta - molecu-lar). Parámetros: g12 = g23 = 10 meV; g31 = 0 meV , g = 1 meV , � =:::;�3; 0;+3; :::, P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05 meV .

a los dos autoestados intermedios (segundo y tercero), se tiene que estos sonpuramente excitónicos y por tanto se cruzan con el autoestado inferior, mani-festando el no acoplamiento entre estos. Así, se tiene que los estados vestidosexteriores (superior e inferior) son una mezcla de excitón y fotón en el senti-do en que son una superposición no factorizable o enredada de estado fotónicoy excitónico. Entonces, se destaca como el comportamiento anteriormente de-scrito es notablemente similar en la relación de dispersión hamiltoniana y en elespectro de emisión disipativo, tal como era de esperarse ya que los parámetrosdisipativos son adecuados para abrir el sistema sin borrar su comportamientohamiltoniano.

Ahora, en la �gura (3.18) se muestra una secuencia de espectros emisivos paradiferentes valores de desintonia del caso C, que constituye un sistema en con�g-uración abierta y denominado no molecular de acuerdo a los valores que tomanlas constantes de interacción de materia Foerster y las proporciones de las con-stantes de interacción entre la materia (excitones) y la radiación (fotón). Esposible apreciar las semejanzas entre la relación de dispersión hamiltonianas yel espectro disipativo de emisión (inset y �gura 3.18 respectivamente).

Así que se evidencian cuatro valores para las autoenergías que se correspon-den con igual número de auto estados del sistema, indicando nuevamente la nopresencia de degeneramiento energético. A medida que cambia (�), el primer es-tado vestido (superior) comienza siendo excitónico y �naliza siendo fotónico, en


Figura 3.18: Espectros de emisión Caso C (con�guración abierta - no molecular).Parámetros: g12 = g23 = 1 meV; g31 = 0meV , g = 1 meV , � = :::;�3; 0;+3; :::,P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05 meV .

tanto que el cuarto estado vestido (inferior) es fotónico al principio y excitónicoal �nal. Con lo que también se evidencia un anti cruce entre dichos autoes-tados que pone de mani�esto el acoplamiento entre los mismos. En cuanto alsegundo y el tercer autoestado (intermedios), se tiene que estos son puramenteexcitónicos y por tanto se cruzan con el autoestado inferior, manifestando elno acoplamiento entre estos. Por tanto, los estados vestidos exteriores (superi-or e inferior) son una mezcla de excitón y fotón. Entonces, se destaca como elcomportamiento anteriormente descrito es notablemente similar en la relaciónde dispersión hamiltoniana y en el espectro de emisión disipativo, tal como losparámetros disipativos empleados lo sugieren.

En contraste para los dos casos anteriores, molecular y no molecular respectiva-mente, se aprecia un comportamiento similar. Ya que solo cambia la separaciónenergética de los estados del sistema a razón de la proporción entre las contantesde interacción de materia y de radiación materia.

Espectros de sistemas en con�guración cerrada

En la �gura (3.19) se muestra una secuencia de espectros emisivos paradiferentes valores de desintonia del caso B, que constituye un sistema en con-�guración cerrada y catalogado como molecular de acuerdo a los valores quetoman las constantes de interacción de materia Foerster y las proporciones de


Figura 3.19: Espectros de emisión Caso B (con�guración cerrada - molecular).Parámetros: g12 = g23 = g31 = 10 meV; g = 1 meV , � = :::;�3; 0;+3; :::, P =0.001 meV , = 0, � = 0.05 meV .

las constantes de interacción entre la materia (excitones) y la radiación (fotón).Es posible observar las semejanzas cualitativas entre la relación de dispersiónhamiltonianas y el espectro disipativo de emisión (inset y �gura 3.19 respecti-vamente).

De modo que se presentan tres valores para las autoenergías que se correspon-den con igual número de auto estados del sistema, indicando la presencia dedegeneramiento energético. A medida que cambia (�), el primer estado vestido(superior) es inicialmente excitónico y termina por ser fotónico, en contraste, eltercer estado vestido (inferior) inicia siendo fotónico y �naliza siendo excitónico.Evidenciando el anti cruce entre dichos autoestados que pone de mani�esto elacoplamiento o interacción entre los mismos. En cuanto al autoestado interme-dio (segundo), se tiene que este es puramente excitónico y por tanto se cruzancon el autoestado inferior, manifestando el no acoplamiento entre ellos. Así setiene que los estados vestidos exteriores (superior e inferior) son una mezcla deexcitón y fotón una superposición de estado fotónico y excitónico. Nuevamenteeste comportamiento resulta similar en la relación de dispersión hamiltonianay en el espectro de emisión disipativo, tal como era de esperarse ya que losparámetros disipativos fueron dispuestos para abrir el sistema sin borrar sucomportamiento hamiltoniano.

Ahora, en la �gura (3.20) se muestra una secuencia de espectros emisivos paradiferentes valores de desintonia del caso D, que constituye un sistema en con�g-uración abierta y denominado no molecular de acuerdo a los valores que toman


Figura 3.20: Espectros de emisión Caso D (con�guración cerrada - no molecu-lar). Parámetros: g12 = g23 = g31 = 1 meV , g = 1 meV , � = :::;�3; 0;+3; :::,P = 0.001 meV , = 0, � = 0.05 meV .

las constantes de interacción de materia Foerster y las proporciones de las con-stantes de interacción entre la materia (excitones) y la radiación (fotón). Esposible apreciar las semejanzas entre la relación de dispersión hamiltonianas yel espectro disipativo de emisión (inset y �gura 3.20 respectivamente).

Así que se evidencian tres valores para las autoenergías que se correspondencon igual número de auto estados del sistema, indicando la presencia de de-generamiento energético. A medida que cambia (�), el primer estado vestido(superior) comienza siendo excitónico y �naliza siendo fotónico, en tanto queel tercer estado vestido (inferior) es fotónico al principio y excitónico al �nal.Con lo que también se evidencia un anti cruce entre dichos autoestados quepone de mani�esto el acoplamiento entre los mismos. En cuanto al autoestado(intermedio), se tiene que este es puramente excitónico y por tanto se cruza conel autoestado inferior, manifestando el no acoplamiento entre estos. Por tanto,los estados vestidos exteriores (superior e inferior) son una mezcla de excitón yfotón. Entonces, se destaca como el comportamiento anteriormente descrito esnotablemente similar en la relación de dispersión hamiltoniana y en el espectrode emisión disipativo, tal como los parámetros disipativos empleados lo sugieren.

En contraste para los anteriores casos de con�guracion cerrada, molecular yno molecular respectivamente, se aprecia un comportamiento similar. Ya quesolo cambia la separación energética de los estados del sistema a razón de laproporción entre las contantes de interacción de materia y de radiación materia.

Conclusiones

En procura de llevar a cabo los diferentes propósitos de este trabajo, enel capítulo inicial se ha presentado una selección de la principal informacióno marco teórico que ha permitido dar inicio a este estudio. Con lo cual, enel segundo capítulo se procedió a plantear el modelo teórico en relación conel sistema físico de puntos cuánticos embebidos en una microcavidad óptica.Con lo que en concordancia con los objetivos propuestos para este trabajo, seconstruyó en principio la dinámica hamiltoniana y disipativa para sistemas deN puntos cuánticos interactuantes mediante interacción de Foerster para dis-tintos arreglos geométrico de las muestras y posteriormente esta dinámica esextendida al acoplar dichos sistemas a un campo de luz correspondiente a unamicrocavidad óptica. Los desarrollos analíticos generales al respecto han sidoconsignados en el segundo capítulo, en tanto que en el tercer capítulo son apli-cados dichos desarrollos a casos particulares de los diferentes sistemas de in-terés. Donde además, son presentados los resultados y análisis numéricos, parasistemas con y sin disipación en con�guraciones abierta y cerrada, que derivande los desarrollos teóricos y analíticos, mediante el abordaje sistemático de losdistintos regímenes de operación en función de los parámetros propios del mod-elo planteado, como se dispone en la tabla (3.4). Se culmina con la presentacióny análisis de los diferentes espectros de emisión obtenidos para cada uno delos casos dispuestos. Dado lo anterior se procede a caracterizar las propiedadesdel sistema de microcavidad-puntos cuánticos mediante el análisis de los difer-entes observables macroscópicos que fueron calculados, obteniendo las siguientesconclusiones.

Una vez estudiados y analizados cada uno de los casos propuestos (de acuerdo alas diferentes con�guraciones de parámetros tenidos en cuenta dentro del modeloplanteado), se prosigue a concluir con la comparación de los resultados obtenidospara los casos más relevantes, teniendo como principal punto de referencia, lasdos posibles con�guraciones espaciales de las muestras de puntos cuánticos o enotra palabras, como es la cadena de interacción de los medios activos que con-stituyen el sistema de microcavidad-puntos cuánticos, con el �n de identi�carcomo es directamente la in�uencia de dicha con�guración espacial en el compor-tamiento de los sistemas. Para ello se tendrán en cuenta tanto la dinámica delas poblaciones más apreciables o representativas, como la evolución de las fun-

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70 CONCLUSIONES

ciones de correlación de segundo orden y también las secuencias de espectros deemisión para los sistemas de cada caso estudiado en circunstancias conservativas(hamiltoniano) como disipativas. De modo que, se presentaran comparacionesde los resultados obtenidos para cada uno de los casos que modi�can el sistemade microcavidad-puntos cuánticos de acuerdo a las diferentes con�guraciones deparámetros, permitiendo destacar las principales características y conclusionesal respecto.

Inicialmente, en la �gura (3.21) se contempla la evolución tanto de las pobla-ciones más representativas como de las funciones de correlación de segundo ordencorrespondientes a los sistemas de con�guración tanto abierta como cerra-da, que son hamiltonianos, moleculares y resonantes (casos AH y BH). Desdeuna perspectiva descriptiva, se logra apreciar el pequeño pero importante con-traste en la dinámica tanto de las ocupaciones más notorias como de la funciónde correlación de segundo orden para las dos con�guraciones (abierta y cerra-da) de estos casos. De modo que para el sistema tanto abierto como cerradola ocupación del estado inicial y la del estado de solo excitación de luz (quecorresponden a las mayores ocupaciones) oscilan periódicamente en el tiempocon una amplitud y longitud de onda constantes, pero diferentes para cuandola con�guración es cerrada o abierta.

Figura 3.21: Izquierda: Comparación de la evolución de poblaciones más aprecia-bles para la con�guración abierta y cerrada (Caso A y Caso B): Hamiltoniano- Molecular - Resonante. Parámetros: g12 = g23 = 10 meV , gA31 = 0 y g

B31 = 10

meV , g = 1 meV , !c = !x, P = = � = 0. Derecha: Comparación de lasfunciones de correlación de segundo orden para dichos casos.

Explícitamente, se tiene que la amplitud de oscilación es mayor en tanto que lalongitud de oscilación es menor cuando la con�guración del sistema es abierta, ycorrespondientemente la amplitud de oscilación es menor en tanto que la longi-tud de oscilación es mayor cuando la con�guración del sistema es cerrada. Siendoesto valido para las ocupaciones de los dos estados representativos. Ahora, encuanto a las funciones de correlación de segundo orden se observa que bajo esta

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con�guración de parámetros, la evolución también es oscilante con amplitud ylongitud de oscilación �jas, pero diferentes para cada con�guración. Especí�ca-mente, la amplitud de oscilación es mayor y la longitud de oscilación es menorpara la con�guración abierta y correspondientemente la amplitud de oscilaciónes menor en tanto que la longitud de oscilación es mayor cuando el sistema secon�gura como cerrado. En síntesis, se podría llegar a establecer las siguientesrelaciones: (AA > AC , LA < LC) para las ocupaciones y (AA > AC , LA < LC)para las funciones de correlación de segundo orden en sistemas hamiltonianos,donde A y L re�eren a las amplitudes y longitudes de oscilación respectiva-mente y los superíndices (A; C) hacen referencia a las con�guraciones abiertay cerrada. Se ha enfatizado en la revisión de este par de casos ya que esta con-�guración de parámetros genera este típico comportamiento de sistemas de dosniveles en los que prácticamente la totalidad de la población se reparte para dosestados particulares. Lo cual muestra contundentemente que la con�guraciónespacial del sistema, es decir abrir o cerrar la cadena de interacción entre lospuntos cuánticos, si altera notablemente el comportamiento del mismo, es decirsu dinámica, tal como se ve en la �gura (3.21) y se describe anteriormente.

También las propiedades de la luz emitida por estos sistemas se ven afectadascomo lo muestran las diferencias entre las funciones de correlación de segun-do orden calculadas para cada con�guración del sistema. Ya que si bien losvalores de esta función oscilan periódicamente para los dos casos, indicando eldevenir entre, un tipo de luz no clásica caracterizada por ser incoherente condistribución de fotones sub poissoniana (valores cercanos a cero), y un tipo deluz más clásica caracterizada por ser coherente con número de fotones distribui-dos poissonianamente (valores cercanos a uno). No lo hacen en igual proporción(distintos valores máximos y mínimos alcanzados en cada caso), ni en igualestiempos (desfase temporal en la evolución).

Dada esta muestra, puede ser veri�cada de igual modo la in�uencia que lacon�guración abierta o cerrada del sistema (como es la cadena de interacción delos puntos cuánticos), tienen en la dinámica de las poblaciones para cada unode los casos abordados y analizados en el capítulo anterior.

Ahora, centrando la atención en las funciones de correlación de segundoorden obtenidas para todos los casos abordados, en la �gura (3.22) se presentaespecí�camente la evolución de estas para cada par de caso cuyos parámetros soniguales pero en con�guración abierta y cerrada. En la parte superior aparecenlas funciones de correlación de segundo orden para cuando los sistemas sonconservativos, es decir hamiltonianos, y en la parte inferior para cuando lossistemas son disipativos o abiertos al entorno. De modo que se logra apreciarcomo la presencia o no de disipación cambia el comportamiento de la función,especí�camente esta es oscilante y no tiende a un valor de�nido cuando lossistemas son conservativos. En contraste, cuando los sistemas son disipativos lafunción de correlación de segundo orden, oscila inicialmente y luego tiende a

72 CONCLUSIONES

estabilizarse en un valor constante que dependerá de los parámetros que de�nencada caso.

Figura 3.22: Funciones de correlación de segundo orden. Arriba: sistemas Hamil-tonianos. Abajo: sistemas Disipativos.

Así, la disipación se destaca como un parámetro muy importante e in�uyenteen las características de la luz propia de cada caso. Ya que para todas las grá�casde sistemas hamiltonianos (superiores), aunque la evolución es distinta, los val-ores que toma corresponden siempre a un intervalo entre cero y uno. Indicandoque se presenta constante variación entre un tipo de luz no clásica caracteri-zada por ser incoherente con distribución de fotones sub poissoniana (valorescercanos a cero), y un tipo de luz más clásica caracterizada por ser coherentecon número de fotones distribuidos poissonianamente (valores cercanos a uno).En contraste, cuando hay presencia de disipación (gra�cas inferiores), los val-ores que toma la función de correlación inicialmente varían en un intervalo muygrande (entre cero y ocho), sugiriendo un cambio drástico en las característicasde la luz para estos casos disipativos. Y �nalmente estos valores tienden a es-tabilizase por encima de dos, sugiriendo la presencia de luz caótica y tambiéntipo squeezed. Siendo los diferentes parámetros que con�guran cada caso y ladisposición espacial de los medios activos (abierta y cerrada) los que permiten

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ajustar en cierta medida (ya que hay tendencia al mismo valor en el estado esta-cionario) dichas características de luminiscencia de los sistemas. Es decir, quecomo era de esperarse, la disipación es la responsable de que los sistemas pasende ser más cuánticos a más clásicos. Como lo muestran los valores promedio yde tendencia que toma la función de correlación de segundo orden para los casoshamiltonianos (por debajo de uno) y disipativos (próximos o superiores a dos).

Ahora, es posible precisar más puntos comparativos en la �gura (3.22): al revis-ar la primera y segunda columna, y teniendo presente que la primera re�ere acasos moleculares y la segunda a casos no moleculares, se tiene que esta propor-ción entre constantes de interacción entre materia y entre radiación con materia(molécula y no molécula) cambian los valores de evolución y por tanto de ten-dencia para la función g(2), indicando diferencias en los tipos de luz producida.Pero en general en cada entrada de estas dos columnas los comportamientos delos sistemas abiertos y cerrados (líneas de color negro y rojo respectivamente)son muy similares en cuanto a evolución y tendencia. En tanto que al apreciar latercera columna, que corresponde a sistemas fuera de la resonancia, es notorioque se magni�ca la diferencia entre las con�guraciones abiertas y cerradas yaque su evolución y promedio (en régimen hamiltoniano) o tendencia (en régimendisipativo) son notoriamente diferentes. De modo que aparte de la con�guración(abierta o cerrada), la desintonía (� 6= 0) también es un factor importante en laspropiedades de la luz para los sistemas, al intensi�car las diferencias apreciadas.

De acuerdo a los resultados obtenidos en cuanto a los espectros de emisiónpara los diferentes casos tratados y que son presentados comparativamente enla �gura (3.23). Pueden ser destacadas varias conclusiones:

Por un lado, al contrastar los espectros emisivos con su respectiva relación dedispersión hamiltoniana, se encuentra concordancia en el comportamiento deestos, indicando así que el régimen de parámetros que de�nen cada caso y sudisipación resultan adecuados, ya que permiten abrir el sistema a la interaccióncon el entorno sin que este olvide su comportamiento hamiltoniano. En cuantoa lo que se aprecia de manera general que siempre aparecen dos estados vestidos(el superior y el inferior) que se acoplan, dada la presencia del anticruce entreestos. Donde el estado vestido superior es inicialmente excitónico y terminapor ser fotónico, en contraste, el estado vestido inferior inicia siendo fotónicoy �naliza siendo excitónico, dándose así el anticruce. Además, en cuanto a los(el) autoestados (autoestado) intermedios (intermedio), se tiene que estos (este)son (es) puramente excitónicos (excitónico) y por tanto se cruzan (cruza) con elautoestado inferior, manifestando el no acoplamiento entre los mismos. Siendoasí que los estados vestidos exteriores (superior e inferior) son una mezcla deexcitón y fotón en el sentido en que son una superposición no factorizable oenredada de estado fotónico y excitónico. (Esto es para cada uno de los cuatroespectros de la �gura (3.23)).

74 CONCLUSIONES

Figura 3.23: Secuencias de espectros de emisión para cada caso.

Por otro lado, se tiene que para los sistemas en con�guración abierta no sepresenta degeneración en los valores de las autoenergías de los constituyentesdel sistema, ya que se obtienen cuatro picos de emisión de diferentes intensidadespara cada valor de �. En tanto que para los sistemas en con�guración cerradasi se presentan degeneramientos energéticos, ya que se obtienen tres picos deemisión en los espectros para cada valor de �. En concreto, la presencia dedegeneración energética o no puede ser atribuida a la igualdad o diferenciade las constantes de interacción Foerster, especí�camente cuando el valor deestas es distinto o nulo, como en el caso de con�guraciones abiertas o cerradasde los sistemas, así, abrir o cerrar la cadena de interacción entre los puntosimplica restringir las frecuencias de emisión del sistema. (Esto es comparandolos espectros superiores con los inferiores de la �gura (3.23)).

Otra conclusión se puede dar en términos de cómo es la proporción entre lasconstantes de interacción de materia y las de radiación-materia. Ya que de dichaproporción depende la separación entre los valores de las autoenergías y los picosde emisión, para el caso hamiltoniano y disipativo respectivamente. Modi�cán-dose así los valores de energía y desintonía (�) para los cuales se presenta elacoplamiento (cruce) o no (anticruce) entre los estados vestidos del sistema.Además, esta proporción entre contantes de acoplamiento también permite con-trolar las intensidades de emisión, obteniendo mayores intensidades para situa-ciones moleculares y por el contrario, menores intensidades para situacionesno moleculares. (Esto es comparando los espectros de la derecha con los de laizquierda de la �gura (3.23)).

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Así, se ha llevado a cabo el estudio de un sistema de puntos cuánticos in-teractuantes e inmersos en una microcavidad óptica mediante el empleo de lainteracción tipo Von Foerster, que corresponde al principal objetivo propuestoen este trabajo. Donde se ha encontrado que uno de los principales parámetrosde control para esta clase de sistemas es el acoplamiento Foerster, representadoen la proporción de dichas constantes o anulación de algunas de las mismas. Yaque como se mostró anteriormente, la variación en la cadena de interacción delos puntos cuánticos (controlada por las constantes Foerster) y la proporción queestas toman respecto a las demás constantes de interacción del sistema, afectadirectamente tanto la dinámica de las poblaciones, como las características de laluz que es emitida. Características que fueron determinadas mediante el cálculode las funciones de correlación de segundo orden y los espectros de emisión.

Gracias a los resultados obtenidos a nivel analítico y numérico, tales como la gen-eralización de las expresiones necesarias, su programación y análisis, permitendar un paso más halla en el conocimiento de esta clase de sistemas ópticos.Contribuyendo de esta manera al progreso en esta rama de estudio.

76 CONCLUSIONES

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