estudiantes para maestros: reflexiones sobre la

ESTUDIANTES PARA MAESTROS: REFLEXIONES SOBRE LA INSTRUCCIÓN EN LOS NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS

José María Gairín SallánUniversidad de Zaragoza

RESUMEN: Los estudiantes para Maestros tienen importantes dificultadesde comprensión de los números racionales. Buena parte de estas dificultadesestán producidas por las decisiones didácticas que se tomaron en el procesoinstructivo de estos estudiantes, proceso en el que se priorizó el significado dela fracción como relación entre la parte y el todo.

Caracterizar este tipo de dificultades, así como las peculiaridades del cono-cimiento de los Maestros en formación, constituye la primera parte de este tra-bajo.

En la segunda parte se ofrecen alternativas didácticas que ayuden a losfuturos Maestros a superar las dificultades mencionadas: el trabajo con elmodelo medida les permite reelaborar sus conocimientos sobre el sistema delos números racionales positivos, mientras que el trabajo con el modelocociente les permite fortalecer las conexiones entre las notaciones fracciona-ria y decimal.

ABSTRACT: Future Primary Education teachers find it extremely difficult tounderstand rational numbers. The difficulties they have to face are mainly dueto a previous learning process, a process which used to consider better to learnthe meaning of fractions as being related to the part and the whole.

The first part of this paper is focused on the study of such difficulties andalso on the special characteristics of the knowledge adquired by these futureteachers.

In the second part alternative methods are proposed in order to help thesefuture teachers to overcome the above mentioned difficulties: Working with ameasure model allows them to re-elaborate their knowledge of the positiverational number system, whereas working with a quotient model allows themto reinforce the connections between fraction and decimal notations.

PALABRAS CLAVE: Aprendizaje, matemáticas, enseñanza superior, estu-diante universitario.

KEYWORDS: Learning, mathematics, higher education, university student.

CONTEXTOS EDUCATIVOS, 6-7 (2003-2004), 235-260

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INTRODUCCIÓNComo formadores de Maestros estamos interesados, con carácter general, en estu-

diar las dificultades de comprensión que tienen estos estudiantes sobre los distintossignificados que componen el concepto de número racional y también sobre suestructura como sistema o conjunto de entes, relaciones y operaciones (Hiebert,1993).

Igualmente estamos interesados en estudiar alternativas didácticas que permitanponer de manifiesto las dificultades de comprensión detectadas en los futurosMaestros, con la finalidad de evitar el riesgo de retroalimentar los errores de los esco-lares como consecuencia de las dificultades de comprensión de sus profesores. Unavez superado este primer nivel se podrá continuar con la formación didáctica de losestudiantes para Maestro haciendo que reflexionen sobre el proceso de adquisiciónde los conocimientos matemáticos (Brown, 1993; Sowder, Philipp, Flores ySchappelle, 1995).

El punto de partida de este artículo lo constituyen una serie de fenómenos adver-tidos en las producciones de los Maestros en formación; estos fenómenos son con-secuencia de un proceso instructivo en el que se prima el significado de la fraccióncomo relación parte-todo, y en el que las expresiones decimales se presentan comoentes abstractos, como números no medida. Se completa así una primera parte deltrabajo en la que se dan respuestas a cuestiones relacionadas con el proceso de ense-ñanza-aprendizaje de los números racionales: ¿cuáles son las características de losconocimientos matemáticos que utilizan? y ¿qué dificultades de comprensión sedetectan en las producciones de los Maestros en formación?

En la segunda parte del trabajo, y con la intención de mejorar la formación de losfuturos Maestros, ofrecemos una propuesta educativa para incrementar la compren-sión de los números racionales que tienen estos estudiantes; los puntos básicos deesta propuesta son la concreción de un modelo en el que significar tanto a las frac-ciones como a las expresiones decimales, conceptualizar a las fracciones y a lasexpresiones decimales como expresiones de cantidades de magnitud, posibilitar quelos estudiantes reelaboren su mapa conceptual sobre los números racionales positi-vos y establecer vías de conexión entre las notaciones fraccionaria y decimal.

1. Conocimientos previos de los Maestros en formaciónDesde nuestra preocupación por ayudar a los estudiantes a superar sus dificulta-

des de comprensión de los números racionales nos propusimos analizar las concep-ciones que tienen los futuros Maestros en aspectos muy concretos: significados de lasfracciones y de las expresiones decimales, significado de las relaciones de orden yde la densidad respecto del orden, y conexiones entre las representaciones fraccio-naria y decimal.

Con esta finalidad realizamos, en el curso 1997-98, una encuesta entre los estu-diantes de 2º curso de la Diplomatura de Maestro (Especialidad de EducaciónPrimaria) de la Universidad de Zaragoza. La encuesta se realizó en la primera sesióndel curso, antes de comenzar el desarrollo de la asignatura. Las respuestas, por tanto,indican las concepciones previas de los alumnos sobre los números racionales. Seencuestó a 47 estudiantes, de cuyas respuestas sobre los númeroa racionales señala-

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mos las características más sobresalientes, acompañadas de los datos que han per-mitido tal caracterización (Gairín, 1999):

Característica 1. Los estudiantes para Maestro tienen un significado casi exclusi-vo de la fracción como relación parte-todo; además, este significado se asocia a unmodelo físico.

Pregunta: Escribe todo lo que entiendes cuando ves el símbolo 5/7Respuestas: como primera respuesta el 59% de los estudiantes hacen una lec-

tura de los símbolos (fracción, número racional, o cinco séptimos); mientras queel 32% de ellos responde como relación parte-todo (parte tomada de una tarta,de una barra de helado, ..); y el 9% de las respuestas son erróneas. Como segun-da respuesta aparece la relación parte-todo (45%), el 9% mencionan la fraccióncomo cociente (dividir el numerador entre denominador), y el resto contienennombres o errores. Ninguna de las respuestas menciona los significados de medi-da, operador o razón.

Característica 2. La notación decimal se reconoce exclusivamente con significa-do numérico, no se asocia a cantidades de magnitud ni se sustenta en el uso demodelos.

Pregunta: Escribe todo lo que entiendes cuando ves el símbolo 2’04Respuestas: el 53% de las respuestas contiene exclusivamente los términos

número decimal o número racional; otro 32% recurren al sistema de numeración(2 unidades y 4 centésimas); el 13% contiene respuestas descriptivas de amplioespectro (número positivo, número compuesto de unidades y decenas...); el restode las respuestas son erróneas. En ninguna de las respuestas dadas se hace refe-rencias a modelos físicos similares a los utilizados en las fracciones.

Característica 3. La relación entre las notaciones fraccionaria y decimal se esta-blece de forma exclusiva mediante procesos algorítmicos.

Pregunta: Escribe distintas formas de justificar que los números 0,375 y 3/8son iguales

Respuestas: el 74% utiliza como justificación el algoritmo de la división delnumerador entre el denominador, mientras que un 11% lo justifica mediante laescritura como fracción del decimal; el resto de las respuestas son erróneas o eva-sivas (con una regla de tres o con expresiones algebraicas):

3 0,375 . 8 x 0,375 . 80,375. x = ––– . x , luego –––––––––– = ––– ; ––––––––– = 1

8 3 x 3

Característica 4. Las relaciones de orden entre fracciones no se justifican enmodelos, simplemente se utilizan técnicas de cálculo.

Pregunta: Escribe distintas formas de justificar que la fracción 3/5 es mayorque 4/7


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Respuestas: el orden entre fracciones se establece a través de su representa-ción decimal (47%) o por la búsqueda de fracciones equivalentes con igual deno-minador (34%). Es significativo el 17% de respuestas erróneas que aparecen:Partimos de la base que si tenemos una unidad y si la dividimos en 5 partes igua-les, éstas serán mayores que si las dividimos en 7.

Característica 5. Solamente la tercera parte de los estudiantes establece relacio-nes de orden entre números decimales aplicando el principio del valor posicional.

Pregunta: Escribe distintas formas de justificar que el número 0,468 es mayorque 0,35

Respuestas: el 36%, utiliza la técnica de “observar el primer decimal”; en el13% de las respuestas los decimales se transforman en naturales (multiplicandopor 1000 los dos decimales); el 13% de las respuestas convierten los decimalesen fracciones y comparan las fracciones; en el 18% de las respuestas se utilizanargumentos numéricos (restar o dividir los números a comparar, buscar el máspróximo a 0 o a 1). Resulta llamativo que el 9% de los alumnos no de respuestaalguna y que para el 11% de los encuestados no haya que justificar la “eviden-cia”.

Característica 6. Los estudiantes para Maestro no admiten la densidad respectodel orden de los números racionales; la topología del conjunto de los números racio-nales es la misma que la de los números naturales

Pregunta: Escribe los números siguientes a los que se dan:

1a) 2,3; b) 0,567; c) 1,222... d) –– e) -2 f) 0,9999 ...

2

Respuesta: en todos los casos los estudiantes han señalado el número siguien-te al propuesto con argumentos como los siguientes:

- Con números decimales la respuesta mayoritaria es la de considerar comonúmero natural a la parte decimal: el siguiente de 2,3 es 2,4 (66% de las res-puestas), el siguiente de 0,567 es 0,568 (85% de las respuestas).

- Con números periódicos las respuestas surgen de considerar como un núme-ro natural a una parte del periodo: el siguiente a 1,222... es 1,23 (34% de las res-puestas), 1,3 (26% de las respuestas), o 1,223 (19% de las respuestas).

- En el caso de las fracciones la tendencia mayoritaria es la de actuar sobre eldenominador: el siguiente a 1/2 es 1 (entendiendo que 1=1/1; 36% de las res-puestas); también son destacables las respuestas obtenidas desde la conversión delas fracciones en decimales: la fracción siguiente a 1/2 es 3/5 (26% de las res-puestas; entendiendo que el proceso ha sido 1/2=0,5; el siguiente de 0,5 es 0,6,por tanto, la fracción siguiente a 1/2 es 3/5=0,6).

- En el caso de números enteros casi la totalidad de los estudiantes no con-templan la posibilidad de interpretarlos como números racionales; pero conside-rados como números enteros hay un porcentaje significativo de respuestas (21%)que mantienen el orden de los naturales: el siguiente de -2 es -3


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Estos resultados vienen a confirmar los de otros estudios acerca de los conoci-mientos de los estudiantes para Maestros sobre los números racionales (Llinares,Sánchez y García, 1994; Llinares y Sánchez, 1996; Philippou y Christou, 1994; Pintoy Tall, 1996; Post, Harel, Behr y Lesh, 1991; Simón, 1993), así como la constataciónde que tales resultados vienen determinados por la instrucción recibida por los alum-nos (Gairín, 1999):

- los estudiantes priorizan, de forma casi exclusiva, el significado de la fraccióncomo relación parte-todo;

- las expresiones decimales no se significan en el contexto de las magnitudesmedibles;

- las fracciones y las expresiones decimales se conciben como tópicos desco-nectados;

- las relaciones de orden solamente se justifican desde las manipulaciones denúmeros abstractos;

- la traslación de significados desde los números naturales a los números racio-nales obstaculiza la conceptualización de la densidad respecto del orden delos números racionales.

2. Las producciones de los estudiantes para MaestrosSeñaladas las características del conocimiento de los futuros Maestros sobre el

número racional positivo nuestra hipótesis es que buena parte de estas concepcionesy errores tiene su origen en obstáculos didácticos, en las dificultades y errores que seoriginan como consecuencia del modo en que se presentan los conceptos matemá-ticos (Brousseau, 1983). Más concretamente sostenemos que el origen de muchas delas dificultades de comprensión de estos estudiantes hay que situarlo en un procesoeducativo que priorizó el conocimiento de la fracción sustentado en el significadoparte-todo (Gairín, 1999, pág. 6).

Nos proponemos hacer una reflexión sobre ocho fenómenos relacionados con lacomprensión de los Números Racionales y que hemos detectado en nuestra activi-dad docente con Maestros en formación. Resulta pertinente hacer esta reflexión por-que ello nos va a permitir establecer alternativas didácticas que ayuden a los estu-diantes a superar sus dificultades de comprensión. Y esta tarea es prioritaria en la for-mación de educadores matemáticos puesto que en las actuaciones de los futuros pro-fesores se manifiestan sus creencias y concepciones sobre la naturaleza de la mate-mática, sobre su enseñanza y sobre su aprendizaje, aspectos que condicionan laenseñanza que impartirán y, consecuentemente, lo que aprenderán sus alumnos(Ball, 1993; Thompson y Thompson, 1996; Llinares y Sánchez, 1996)

Nuestro interés, por tanto, se centra en destacar aquellos fenómenos de com-prensión que reflejan las limitaciones, dificultades y errores que aparecen cuandoestos estudiantes resuelven tareas relacionadas con el currículum de EducaciónPrimaria; estos fenómenos se describen tal y como los presentan los estudiantes paraMaestro (Gairín, 1999).


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Fenómeno 1: El significado de la fracción es un conocimiento inestable.Ejemplo a: Se propone a los estudiantes la cuestión siguiente:

¿Qué fracción representa la parte sombreada de la figura?

Figura 1

La respuesta de los alumnos no es unánime: para unos es 5/4 y para otros es 5/8.Es más, ninguno de los alumnos que da una de las respuestas es capaz de rebatir laotra respuesta.

Ejemplo b: Se propone a los estudiantes justificar cuál de las fracciones 3/4 y 6/5es la mayor

Estudiante A: Represento las dos fracciones sobre una misma unidad, porque delo contrario no puedo compararlas (muestra el siguiente dibujo):

Figura 2

Vemos que, ante la necesidad de controlar un aspecto de la tarea, el alumno haconvertido la fracción 6/5 en la fracción 5/6, lo que implica un cambio sustancial enel significado de la fracción. Ejemplos como estos sustentan nuestra idea de que el significado de la fracción como relación parte-todo es menos estable de lo que sepresuponía, pues puede modificarse sustancialmente en función de las exigencias de la tarea. Este fenómeno ha de evitarse ampliando el significado parte-todo conotros significados del número racional

Fenómeno 2: Las ideas están fuertemente influenciadas por la percepción visual.Ejemplo: comparar las fracciones 3/5 y 4/7, justificando los resultados obtenidos.Estudiante B: después de haber representado las dos fracciones, no puedo estar

seguro de cuál de las partes rayadas es la más grande (aporta este dibujo):

Figura 3


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Este estudiante representa las dos fracciones a comparar sobre “todos” iguales,pero la comparación no puede justificarse más que con la percepción visual de lasáreas destacadas, que solo es posible si son manifiestamente distinguibles. Vemos,por tanto, que el razonamiento de éste alumno queda limitado a la percepción vi-sual, y que tal forma de actuación es útil en muchos casos, pero resulta inoperanteal trabajar con fracciones muy próximas. En la formación de Maestros este fenóme-no hay que evitarlo pues los educadores matemáticos han de ser tecnólogos, han deconocer las técnicas y también las razones de su existencia; de lo contrario en la for-mación de los escolares se priorizará el uso de las técnicas.

Fenómeno 3: Se tiende a sustituir los conceptos por alguna de las técnicas aso-ciadas.

Ejemplo: ¿Son equivalentes las fracciones 5/12 y 10/24?, ¿por qué?.Estudiante C: si que son equivalentes porque al multiplicar (o dividir) el numera-

dor y el denominador de una fracción por un mismo número se obtiene la otra frac-ción equivalente.

Ahora bien, ¿qué ocurre si se les plantea la siguiente situación?

Pues ocurre que se encuentra en un dilema que no sabe resolver: de una parte,acaba de reconocer que las fracciones 5/12 y 10/24 son equivalentes pero, de otraparte, observa que Pedro retira 5 bombones mientras que Ana retira 10 bombones.Este ejemplo nos permiten afirmar que éste alumno entiende que conocer el con-cepto de equivalencia de fracciones significa conocer la técnica de comprobación dedicho concepto y no las formas distintas de expresar la misma cantidad de magnitud.Entendemos que el conocimiento matemático abarca tanto el dominio de los con-ceptos como el de las técnicas asociadas, y que ésta idea deben mantenerla en sustareas profesionales; de lo contrario, sus alumnos recibirán una instrucción parcial.

Fenómeno 4: Los conocimientos de los estudiantes sobre los números racionalessuelen estar limitados al uso de reglas.

Ejemplo: Justifica el algoritmo de la suma con las fracciones 2/3 y 4/5.Estudiante D: Es necesario representar las fracciones sobre las misma unidad.

Figura 4


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Pedro retira 5 bombones de una caja de 12, retira 5/12 de la caja. Ana retira 10 bombones de una caja de 24, retira 10/24 de la caja.

¿Son equivalentes 5/12 y 10/24?

Veo que representan el mismo trozo pero luego a la hora de sumarlo no sabríacómo hacerlo; porque aquí una parte equivale a 4 trocitos de un tamaño y aquíesta otra equivale a 2 trocitos de otro tamaño... Pero es que no se, no lo se hacer.

Este tipo de respuestas ponen de manifiesto que éste estudiantes utiliza procedi-mientos de cálculo que no están conceptualmente justificados, simplemente sonhechos aprendidos; el conocimiento sobre los algoritmos no incluye su fundamenta-ción, simplemente le preocupa su funcionamiento y el buen uso que se haga delmismo. El avance y extensión de las calculadoras lleva a enfatizar la instrucción tantoen los conceptos como en las técnicas. Consecuentemente la formación de los futu-ros Maestros demanda conocer los distintos conceptos sobre los números racionales,así como conocer las razones matemáticas que soportan las distintas técnicas.

Fenómeno 5: La descontextualización de la medida obstaculiza la resolución deproblemas.

Ejemplo: De una cesta de manzanas se retiran todas menos siete; quedan 43 man-zanas. ¿Cuántas había?

Estudiante E: El problema está mal planteado puesto que 1/2 - 7 es negativo.

Entendemos que este tipo de respuestas procede de una concepción de las frac-ciones como números no medida, como entes abstractos alejados del mundo de lasmagnitudes; en consecuencia la esencia de la información se limita al valor numéri-co y no a la cantidad de medida a que se refiere. Los problemas constituyen unamplio campo de hechos físicos que se modelizan con los números racionales. Estoshechos están indudablemente unidos al campo de las magnitudes medibles y, enconsecuencia, el controlar la magnitud con la que se trabaja y la unidad de medidautilizada resultan esenciales para alcanzar la modelización correcta.

Fenómeno 6: El orden entre expresiones decimales está fuertemente influencia-do por el orden entre números naturales.

Ejemplo: Encuentra todos las expresiones decimales situadas entre 4’27 y 4’28justificando la respuesta

Estudiante F: entre 4’27 y 4’28 no hay ningún número porque en el primer casoes 27, 27, 27... y en el segundo 28, 28, 28... y no se puede poner ningún número enmedio porque detrás del 27 va el 28

La no modelización de las expresiones decimales, el que el estudiante no dis-ponga de un soporte físico en el que sustentar sus argumentaciones sobre objetos delmundo real, limita la conceptualización de las expresiones decimales periódicascomo pares de números enteros separados por una coma; y desde esta situación semanipulan los entes numéricos de acuerdo con reglas conocidas y sin considerar ladistinta naturaleza de los números. En la actuación de este estudiante se observa quela estructura topológica de los números naturales se traslada a otro conjunto numé-rico, lo que constituye un obstáculo para alcanzar una correcta comprensión de ladensidad respecto del orden de los números racionales.


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Ciertamente los alumnos no suelen cometer errores si trabajan con expresionesdecimales con un número finito de cifras. Ahora bien, en la preparación de los futu-ros Maestros es importante proponer tareas en las que haya que trabajar el orden conexpresiones periódicas, pues ello favorecerá sus conocimientos sobre la naturalezadel orden en los números racionales, así como sobre las peculiaridades de la densi-dad respecto al orden.

Fenómeno 7: En el cálculo con números periódicos se crean algoritmos a partirde los que conocen de los números naturales y de los números decimales.

Ejemplo: Señalamos algunas técnicas utilizadas por estudiantes al operar connúmeros periódicos:

- Sumar como números decimales y poner de periodo tantas cifras como las delsumando con más cifras en el periodo: 0’3814 + 9’629 = 10’0104

- Multiplicar como números decimales y poner como cifras del periodo la suma de las cifras de los periodos: 4’2 x 0’543 = 2’2806

- Utilizar el algoritmo de la división extendiendo el número de cifras del perio-do hasta que aparece un 0 en el resto; el cociente es un número decimal

3’0686868... : 3 = 1’0228956

Puesto que los estudiantes consideran a las expresiones decimales como entesabstractos, suelen readaptar los algoritmos de cálculo de números decimales paraoperar los números periódicos; pero esta readaptación no pueden justificarla nidesde la caracterización de los operandos como cantidades de magnitud, ni desde elconocimiento de los algoritmos que utilizan. En consecuencia, los estudiantes utili-zan algoritmos inadecuados de cálculo con números periódicos, pero tienen limita-ciones para evaluar la correcta aplicación de los mismos o para detectar el origen desus errores. Es importante, para la formación de Maestros, que conozcan situacionespara las que no existen (o son muy complejos) algoritmos de cálculo; de este modoles podremos ayudar a contextualizar las operaciones en el mundo de las magnitu-des, así como a controlar el sentido que tienen las técnicas de cálculo y la viabilidadde las mismas en distintas situaciones.

Fenómeno 8: Los números periódicos dificultan la formulación de situacionesproblemáticas coherentes.

Ejemplo a: Enuncia un problema que se resuelva con la operación 0’3814 + 9’629 Estudiante G: Un corredor lleva una velocidad constante de 0’3814 y un compa-

ñero una velocidad constante de 9’629 ; se quieren sumar las velocidades para luegoobtener la media.

Ejemplo b: Enuncia un problema que se resuelva con la operación 6’137 : 6Estudiante H: Un corredor lleva una velocidad constante de 6’137 para recorrer

6 kilómetros, ¿cuál es la velocidad en cada uno de los kilómetros?

Una dilatada experiencia como aprendices de matemáticas parece perfilar unadinámica de resolución de problemas en la que el énfasis se sitúa en la realización


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correcta de los cálculos, sin preocuparse de las peculiaridades de las magnitudes alas que se refieren, ni al contexto en el que sitúan dichas magnitudes. Poner a losestudiantes para Maestro ante la formulación de problemas es una actividad intere-sante por cuanto les exige pensar en los números periódicos como cantidades demagnitud, también les exige controlar las peculiaridades de las magnitudes con lasque trabajan, así como establecer relaciones coherentes entre cantidades de distintasmagnitudes.

PROPUESTAS PARA LA FORMACIÓN INICIAL DE MAESTROSCaracterizados los conocimientos previos sobre los Números Racionales y anali-

zadas sus consecuencias en las producciones de futuros Maestros, queremos ofrecervías para diseñar tareas instructivas que mejoren la formación inicial de estos profe-sionales docentes: utilizar un mismo modelo para conceptualizar a las expresionesfraccionaria y decimal; significar a la fracción como cociente partitivo; fortalecer lasconexiones entre las notaciones fraccionaria y decimal; y posibilitar que los estu-diantes reelaboren su mapa conceptual sobre los números racionales. Sobre estosaspectos, y sobre la metodología a utilizar nos extendemos en los siguientes aparta-dos.

1. Caracterizar un modelo para el aprendizaje de los números racionales positivosPara que el proceso de construcción del conocimiento en el ámbito escolar sea

efectivo es preciso disponer de un medio físico y natural que sirva para la formaciónde conceptos y que sirva también como área de aplicación de los mismos; así, a par-tir de la imagen y combinando pensamiento con experiencia, la formación de ideassobre los números racionales positivos aparece conectada.

En el caso de los estudiantes para Maestro cabe pensar que estos deberían tenerdesarrollada una gran capacidad de abstracción, que no necesitan de modelos fí-sicos sobre los que construir ideas matemáticas; sin embargo, nuestra experienciacomo docentes indica que esta situación no es general, que hay un importante núme-ro de estudiantes con serias dificultades para razonar sobre ideas abstractas; es más,en el caso de las fracciones el significado queda fuertemente vinculado al modelo enque se concibió, de tal manera que la mayoría de estos estudiantes siguen mencio-nando las tartas o las barras de helado para expresar sus ideas sobre fracciones.

Utilizamos el término modelo para designar un entorno físico con variables biendefinidas, estable frente a interacciones con el mundo exterior, y que permite lasacciones de los sujetos (Gairín, 2001). En esta noción de modelo tienen cabida ideassimilares que reciben distintas denominaciones: así ocurre con los ModelosConcretos de Gagatsis y Patronis (1990), que se definen como objetos tridimensio-nales con los que se representan ideas matemáticas; o en el caso de las ExperienciasBásicas de Lesh, Post y Behr (1987) que se interpretan como manipulaciones dehechos reales y sucesos que sirven de contexto general para resolver situaciones pro-blemáticas.

• Desde la posición del aprendiz, el empleo de modelos tienen gran utilidad enla construcción del conocimiento matemático, por cuanto que: - permiten la aprehensión sensorial de hechos y relaciones matemáticasmediante la manipulación de objetos físicos o la simulación de acciones;


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- facilitan la construcción o interpretación de los sistemas de representaciónque comunican los resultados producidos al actuar sobre los objetos;- facilitan la comprensión de las relaciones sintácticas y semánticas de los sis-temas de representación empleados; - sirven como apoyo y contraste de la certeza o falsedad de las relaciones sim-bólicas que se establecen a través de los sistemas de representación;- facilitan la resolución de situaciones problemáticas cuando éstas se formu-lan en términos de los objetos del modelo.

• Desde la posición del profesor el modelo constituye la herramienta que seofrece al alumno con una clara intencionalidad educativa: proporcionarle unentorno físico sobre el que pueda actuar y reflexionar para que, mediante estainteracción, avance en la construcción del conocimiento cuyo aprendizaje sepromueve. Por tanto, la propia intencionalidad del recurso didáctico obliga alprofesor a diseñar y establecer el modelo que permita hacer explícitos aquellosaspectos que considera relevantes del concepto matemático que se quierenenseñar; en consecuencia, el modelo que propone el profesor viene condicio-nado por sus conocimientos sobre el concepto matemático objeto de la ins-trucción. En suma, corresponde al profesor tomar, cuando menos, dos cautelasen la elección del modelo: de una parte, analizar los aspectos del conceptoque explicita el modelo y los que oculta u obstaculiza; y, de otra parte, cómotransmitir al alumno una caracterización precisa del modelo que destaque losaspectos relevantes de los objetos, la acciones que se pueden realizar y lascaracterísticas del resultado que se han de considerar.

Nos pronunciamos por un proceso instructivo en el que el modelo juega un papelesencial tanto para el que enseña como para el que aprende y, en consecuencia, lacaracterización del modelo constituye un aspecto básico en el diseño de la instruc-ción. En el caso de los números racionales los modelos para el aprendizaje vienendefinidos por cuatro variables (Gairín, 2001): una magnitud medible, unos objetos enlos que se puedan medir cantidades de las magnitudes consideradas, unas accionessobre los objetos que provocan modificaciones en la cantidad de magnitud y una téc-nica para realizar las acciones.

Una vez definido el modelo, hay que comunicar los resultados de las accionesrealizadas en el mismo. Surge así la noción de sistema de representación como elmodo de expresar y simbolizar determinadas estructuras numéricas mediante unossignos, unas reglas y unos enunciados (Castro, Rico, Romero, 1997); la notación frac-cionaria y la notación decimal son los dos sistemas de representación más usualesen el caso de los números racionales. Entendemos que el uso y gestión de sistemasde representación desempeña un papel central en la comprensión de las ideas mate-máticas, puesto que un análisis profundo de las características sintácticas y semánti-cas que subyacen en el sistema de representación utilizado fortalece la comprensiónde las mencionadas ideas matemáticas.

Queda así caracterizado un proceso instructivo en el que el modelo constituye elmedio para la construcción de ideas matemáticas, en el que la comunicación de esasideas implica la construcción de sistemas de representación estrechamente relacio-


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nados con el modelo (al menos en su fase inicial), y en el que la evaluación semán-tica de expresiones formuladas con los sistemas de representación se facilita a travésdel modelo (Lesh, 1997; Gairín, 1999).

2. Significar la fracción como medidaUna parte importante de las dificultades y errores de los estudiantes hay que

situarla en un conocimiento casi exclusivo de la fracción como relación parte-todo,significado que se introduce como recurso didáctico (Escolano y Gairín, 2004): pen-samos que el origen del significado parte-todo habría que situarlo en la práctica edu-cativa, habría que ubicarlo entre los recursos didácticos creados por necesidades delproceso de la enseñanza y del aprendizaje de las matemática.

Además, puesto que la génesis histórica del número racional hay que situarla enel contexto de la medida y de la razón de medidas, abandonamos la idea de parte-todo y situamos la instrucción sobre el número racional en la medida de cantidadesde magnitud que no contienen un número entero de veces la unidad de medida. Deéste modo, el número racional surge del fraccionamiento de la unidad de medida,del uso de una nueva unidad de medida que es un submúltiplo de la unidad inicial;el número racional expresa la cantidad de veces que se ha utilizado una, o varias,subunidades cuyos tamaños también aparecen de forma explícita.

Por otra parte, al situarnos en el contexto de la medida potenciamos la rupturacon la idea de número, limitada al número natural, que tienen los estudiantes paraMaestro, puesto que se encuentran con situaciones en las que los naturales se mues-tran ineficaces, situaciones que sugieran la necesidad de construir un nuevo sistemade números. Esta idea de número racional asociada a la medida está presente en lasmás antiguas culturas y ha formado parte de la instrucción sobre éste tipo de números:

Cuando se trata de apreciar cantidades menores que aquella que se tomapor unidad, nos vemos en la necesidad de dividir dicha unidad en ciertonúmero de partes iguales, y referir la cantidad que se va a medir a una de estaspartes, dando origen de este modo a las fracciones o quebrados ordinarios, alas fracciones decimales o a los números complejos... Vemos, pues, que lasfracciones o quebrados tienen su origen o resultan de la medición de una can-tidad con una unidad mayor que aquella; lo cual se consigue dividiendo launidad en un cierto número de partes iguales, y viendo las veces que una deestas partes está contenida en la cantidad que se quiere medir.

(Sánchez Vidal, B., 1866, pp. 122-123)

3. Reelaborar el mapa conceptual de los estudiantes sobre los números racionalesA la instrucción sobre el conjunto de los números racionales se le concede gran

importancia en los currícula españoles de matemáticas y buena parte de la respon-sabilidad del proceso de enseñanza-aprendizaje recae en los Maestros, para cuyodesarrollo profesional resulta fundamental el fortalecer sus conocimientos sobre esteconjunto numérico.

La consecución de este objetivo exige que los estudiantes para Maestro reelabo-ren su mapa conceptual sobre los números racionales, que reflexionen sobre la natu-raleza y funciones de estos números, que comprendan las diferencias y similitudes


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entre estos números y los números naturales, y que reflexionen sobre el significadoy sobre el papel que juegan cada tipo de número. Deben entender que la unidadconstituye el elemento básico del recuento en los números naturales, mientras queen los números racionales la unidad cumple dos funciones muy diferenciadas: poruna parte, es la unidad divisible que constituye el elemento esencial para la compa-ración de números; y, por otra parte, considerado como elemento unidad u operadorunidad, constituye la base conceptual para la formación del inverso de la multipli-cación (Kieren, 1993).

Desde estas consideraciones, nuestra propuesta didáctica presenta las siguientespeculiaridades:

1. Puesto que existe una relación entre el modelo de aprendizaje utilizado y lanoción de fracción que se promueve en quien lo utiliza, proponemos el mode-lo definido por las siguientes variables (Gairín, 2001):• Las magnitudes son longitud y superficie.• Los objetos son tiras de papel (longitud) y polígonos de cartón (superficie).• La acción que se propone es la de medir.• La técnica de medida consiste en una sola partición de la unidad, en la

creación de una única subunidad de medida. El tamaño de esta subunidady el número entero de subunidades que contiene la cantidad a medir sonlos elementos necesarios para comunicar el resultado de la medida.

2. La fracción m/n se presenta como el resultado de una medida, como la expre-sión del número m de subunidades -de tamaño 1/n de unidad-, que corres-ponde a la cantidad de magnitud medida. De este modo, la fracción queda asociada a la medida de cantidades de mag-nitud realizadas con una técnica determinada, lo que nos va a permitir:• Presentar una ruptura entre los números naturales y los racionales a partir

de sus diferentes usos. Contar y medir son acciones de diferente naturale-za que demandan técnicas diferenciadas y, en consecuencia, sistemas derepresentación distintos.

• Potenciar un aprendizaje activo, puesto que es el propio estudiante quientiene que decidir la elección de la subunidad de medida necesaria paraefectuar la medida.

• Introducir la idea del fraccionamiento de la unidad en un número de par-tes iguales, idea que se hace necesaria por cuanto la unidad de medida nocabe un número entero de veces en la cantidad a medir.

• Introducir, de forma natural, las fracciones con numeradores mayores,menores o iguales que el denominador, sin más que proponer la medida decantidades mayores, menores o iguales a la unidad.

• Posibilitar la introducción de las notaciones fraccionaria y decimal de losnúmeros racionales positivos mediante la utilización de dos técnicas demedida distintas: medir con una sola subunidad, medir en una sola fase; omedir con subunidades de la unidad o de partes de la unidad, medir envarias fases.


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• Justificar las relaciones de equivalencia y de orden entre fraccionesmediante la comparación de cantidades de magnitud.

• Dar significado a las operaciones entre fracciones desde el trabajo con can-tidades de magnitud y justificar los correspondientes algoritmos de cálcu-lo.

3. La equivalencia de fracciones es un aspecto esencial para establecer relacio-nes y operaciones entre fracciones, así como para construir el cuerpo de losnúmero racionales (Llinares y Sánchez, 1988, pp. 117):La importancia de la equivalencia de fracciones se debe al papel clave quejuega en diversos aspectos: en la relación de orden, en el desarrollo de losalgoritmos de la suma y resta de fracciones de denominador diferentes. En unnivel más elevado, la conceptualización del número racional como clases deequivalencia de fracciones...Atendiendo a esta importancia, en el proceso instructivo ponemos especialcuidado en que los alumnos expresen la idea de equivalencia de fracciones, yponemos de manifiesto que tal noción no debe sustituirse por alguna de lastécnicas de verificación o construcción de fracciones equivalentes. Esas técni-cas aparecen en el momento en que los estudiantes tienen que verificar laigualdad de dos cantidades de magnitud expresadas de formas distintas, serála necesidad de utilizar una subunidad común la que conducirá a la justifica-ción del correspondiente algoritmo.

4. Las relaciones de orden entre fracciones necesitan de la noción de equivalen-cia, pues ello permite comparar cantidades de magnitud medidas con lamisma subunidad de medida. Este recurso de creación de subunidades permi-te avanzar la idea de densidad respecto del orden; en efecto, la búsqueda defracciones intercaladas entre otras dos dadas permite que los alumnos conci-ban ideas numéricas distintas a las de los números naturales: no tiene sentidomencionar términos como siguiente o anterior a una fracción, entre dos frac-ciones existen otras infinitas, los números fraccionarios no permiten el recuen-to, etc.

5. Los conceptos de suma y resta de fracciones positivas están asociados a laagregación o disgregación de cantidades de una misma magnitud. Los corres-pondientes algoritmos de cálculo se justifican por la necesidad de medirambas cantidades con la misma subunidad y, por tanto, por la necesidad deoperar con fracciones equivalentes.

6. El sentido de la multiplicación de fracciones se puede, y se debe, abordardesde una doble perspectiva: la de operador y la de producto de cantidadesde magnitud. • Como operador se originan dos situaciones bien diferenciadas: si el opera-

dor es un número natural la multiplicación tiene el significado de suma reiterada de cantidades de magnitud; y si el operador es una fracción el


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sentido es el de transformación de una cantidad de magnitud, el de partede parte de una cantidad.

• Como producto de dos cantidades de magnitud hay que analizar previa-mente las peculiaridades de las magnitudes intervinientes y las de la magnitud resultante. De este modo, encontramos, de una parte, que elresultado expresa alguna de las magnitudes que caracterizan los datos y, deotra parte, encontramos situaciones en las que el resultado se refiere a unamagnitud distinta de las contenidas en los datos.

El algoritmo de la multiplicación de fracciones se puede construir a partir delos dos significados. En nuestro caso optamos por construir dicho algoritmo apartir de la noción de producto de longitudes, y se construye como expresiónde la medida de la superficie rectangular que viene determinada por ladoscuyas longitudes sean igual a los factores. De este modo, el denominador delresultado, producto de los denominadores, expresa el tamaño de la subunidadde medida que se necesita para medir la superficie; mientras que el nume-rador del resultado indica el número de veces que está incluida dichasubunidad en la superficie a medir. En esta construcción resultan de granayuda las representaciones gráficas.

7. El sentido de la división de fracciones se construye desde las nociones de multiplicación: como operador inverso o como la cantidad de magnitud quemultiplicada por otra cantidad conocida nos produce una nueva cantidad demagnitud conocida. El correspondiente algoritmo se construye desde la determinación de la longi-tud de una de las dimensiones de un rectángulo del que se conoce la superfi-cie y la otra dimensión. En esta construcción resultan de vital importancia lasrepresentaciones gráficas, tal y como puede verse en Gairín (2000).

4. Dar significado a la fracción como cociente partitivoPara incrementar la comprensión de los números racionales los Maestros en for-

mación deben fortalecer sus conocimientos sobre los diferentes significados de lafracción y conectar estos con la concepción dominante de relación parte-todo(Novillis y Larson, 1980). De no ser así, se producirán importantes deficiencias ensu formación: Si los estudiantes aprenden solamente la interpretación de la fraccióncomo relación parte-todo, tienen serias limitaciones para una sólida comprensión delas fracciones (Kerslake,1986).

En nuestra propuesta contemplamos que la fracción también se signifique comocociente partitivo, entendido como la medida de la cantidad de magnitud resultantede la disgregación de una cantidad inicial de magnitud en varias cantidades iguales;significado que ya se detecta en las fracciones egipcias surgidas en el contexto de laresolución de problemas de reparto. Por tanto, entendemos la fracción como resul-tado de una acción realizada por el sujeto y no con un sentido de relaciones opera-torias numéricas, como cociente indicado; significado que es frecuente en manualesescolares actuales y no tan actuales: la fracción se entiende como la división indica-da del numerador por el denominador, cuyo cociente es el quebrado (Sánchez Vidal,B., 1866, pág. 124-125).


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Para dar significado a la fracción como cociente partitivo sugerimos un modelodefinido por los siguientes valores de las variables (Gairín, 1999):

• Los objetos que se consideran son tortillas españolas de igual superficie, deforma circular e igual radio; son objetos habituales en la vida de los estudian-tes y sobre los que realizan fraccionamientos en sectores circulares.

• La magnitud elegida es la superficie porque la igualdad de cantidades desuperficie se controla por la igualdad de los ángulos de los sectores; igualdadque puede comprobarse por percepción visual o con el transportador de ángu-los.

• La acción que se realiza sobre los objetos es la de hacer repartos igualitarios,la de disgregar unidades de magnitud en un número entero de partes de igualtamaño.

• La técnica para efectuar la acción es la de hacerlo en una sola fase: las uni-dades se fraccionan en tantas partes iguales como participantes, a cada uno delos cuales se les entrega una parte de cada una de las unidades a repartir.

Para cuantificar el resultado del reparto, para expresar la cantidad de magnitud deuna cualquiera de las particiones efectuadas hay que utilizar el sistema de represen-tación fraccionario m/n, que indica la cantidad (formada por m subunidades detamaño 1/n) de magnitud que recibe cada uno de n los participantes entre los que sereparten m unidades de magnitud.

• Desde la fracción con significado de cociente partitivo los futuros Maestrospueden reelaborar el sentido de las relaciones y operaciones entre fraccionesdesde una nueva concepción. Así, por ejemplo, las fracciones a/b y c/d sonequivalentes si representan el mismo resultado del reparto, si los participantesen dos repartos reciben la misma cantidad de magnitud, lo que exige quec=na y d=nb

• Razonar sobre la existencia de infinitas fracciones comprendidas entre otrasdos posibilita el sentido de la densidad respecto del orden, que es una ideaesencial para la comprensión de la estructura topológica del conjunto de losnúmeros racionales (Giménez, 1991; Post et al, 1991). Desde el significado defracción como cociente, este razonamiento puede hacerse por vías diferentes:

a c––– –––

a c a b d c- Justificar que si ––– > –––, se cumple que ––– > –––––––– > –––

b d b 2 d

Basta observar que los términos extremos indican los resultados de dosrepartos diferentes, las cantidades distintas que corresponden a dos indivi-duos que han participado en repartos distintos; mientras que el términocentral expresa que esos individuos se juntan y se vuelven a repartir igua-litariamente las cantidades que les correspondían anteriormente: para queambos reciban la misma cantidad, esta cantidad debe ser menor que a/b ydebe ser mayor que c/d.


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A partir de la desigualdad anterior, dadas dos fracciones desiguales elalumno siempre podrá encontrar otras infinitas fracciones intermedias.

a c a a + c c- Justificar que si –– > ––, se cumple que –– > –––––– > ––

b d b b + d d

Hay que tener en cuenta que a/b es el resultado de repartir a unidades entreb participantes; que la cantidad recibida en ese reparto, a/b, es mayor quela recibida en el reparto de c unidades entre d individuos; y que al hacerun sólo reparto, (a+c) unidades entre (b+d) individuos, los participantesreciben menor cantidad que en el reparto a/b, pero mayor que en el repar-to c/d.A partir de la desigualdad anterior, dadas dos fracciones desiguales siem-pre se pueden encontrar otras infinitas fracciones intermedias.

a c ad bc- Si –– > ––, se construyen fracciones equivalentes –––– > –––– que repre-

b d bd bdsentan resultados de repartos con igual número de participantes; por tanto,todas las fracciones de la forma

n ad n bc–––– , siendo ad > n > bc, cumplen que –––– > –––– > ––––bd bd bd bd

5. Conceptualizar las expresiones decimales como cantidades de magnitudExiste un reconocimiento generalizado a la labor de Simón Stevin, como intro-

ductor de la notación decimal en Europa, aun cuando, como señala Boyer (1986, pág402), es claro que no fue ni el inventor ni el primero que utilizó las fracciones deci-males pues estas tenían una larga historia en Mesopotamia, en la antigua China, enla Arabia medieval y en la Europa renacentista. El trabajo de Stevin enfatiza las ven-tajas de un recurso técnico que facilita la escritura y los cálculos con fracciones, aun-que debajo de la notación decimal se esconden conceptos relacionados con el sis-tema de numeración decimal y con el significado de las fracciones que han tardadosiglos en ser entendidos y utilizados por la humanidad.

La construcción formal del conjunto de los números decimales positivos se puedehacer como extensión de los números naturales añadiendo un elemento d, tal que10d = 1, obteniendo un conjunto engendrado por todas las potencias de d, por susproductos y por sus sumas. También se puede construir el conjunto de los númerosdecimales positivos como extensión de los números enteros buscando las solucionesde la ecuación 10n. x = a, siendo a un número entero y n un número natural.(Brousseau, 1993). Sin embargo, la tendencia de los manuales escolares es la deconstruir las fracciones decimales positivas como una restricción de los númerosracionales, considerando solamente aquellos números racionales que pueden expre-sarse mediante una fracción decimal, y una vez construido el conjunto de las frac-ciones decimales se introduce el convenio que permite pasar de las fracciones deci-males a la notación decimal.

Ahora bien, bajo esta técnica se oculta una relación entre fracciones ordinarias yfracciones decimales que, históricamente, no fue sencilla de establecer y que tuvo


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dificultades de aceptación: Desde luego se comprende que empleando la ley deci-mal en las divisiones y subdivisiones de la unidad, no siempre se podrá expresarexactamente el valor de las cantidades que apreciadas por quebrados ordinariospodría hacerse con exactitud... (Sánchez Vidal, B., 1866, pág. 158-159).

Los currícula oficiales actuales obligan a la instrucción sobre la escritura decimalde las fracciones. Esta tarea presenta dificultades importantes, dificultades que pue-den justificar una práctica educativa que soslaye la incidencia en los aspectos con-ceptuales y que potencie los aspectos normativos sobre su utilización. Desde estesupuesto resulta plausible que los alumnos generalicen el significado de las repre-sentaciones simbólicas para números naturales a fracciones, y viceversa (Marck,1995); que el orden de los números naturales interfiera el orden de las fraccionesdecimales, (Resnick, et al, 1989); o que los estudiantes tiendan a aplicar reglas de losnúmeros naturales para comparar las fracciones decimales (Owens y Super, 1993).

En los manuales escolares se presentan las expresiones decimales a partir de frac-ciones significadas como relación parte-todo; en estas condiciones la mayor parte del conocimiento se percibe por medio de representaciones gráficas: en las repre-sentaciones gráficas el alumno debe reconocer las unidades fraccionarias decimales,establecer relaciones de las unidades fraccionarias y la unidad, y conocer y aplicarlas normas de escritura de la notación decimal. Además, el alumno debe modificarlas técnicas de fraccionamiento utilizadas en el trabajo con fracciones ordinariaspues ahora se exigen dos modificaciones: de una parte, los fraccionamientos no sólose realizan sobre la unidad, también hay que hacerlos sobre partes de la unidad; deotra parte, los fraccionamientos no se hacen en el número de partes que decida elestudiante, ahora solamente se admiten fraccionamientos en 10 partes iguales.

Nuestra propuesta (Gairín, 2001b) es la de presentar las expresiones decimalescomo un sistema de representación surgido desde el mismo modelo en que se signi-ficaron las fracciones como cocientes partitivos. En este sentido se propone unasecuencia instructiva que contemple los siguientes aspectos:

a) Utilizar como técnica el reparto por fases, con fraccionamientos siempre en 10partes iguales y otorgando en cada fase la mayor cantidad posible de magni-tud; vamos a ilustrar esta técnica con el reparto de 3 tortillas entre 4 personasFase 1: dar a cada individuo unidades enteras, tortillas completas: es imposi-ble porque hay más individuos que tortillas. En la primera fase cada individuorecibe 0 unidades.Fase 2: hay que fraccionar cada tortilla en 10 partes iguales; aparecen 30 par-tes de tamaño 1/10 de tortilla; el número máximo de estas partes que puederecibir cada uno de los 4 participantes es 7. En esta fase cada participante reci-be 7 partes de tamaño 1/10 de tortilla y quedan 2 partes, de tamaño 1/10 detortilla, por repartir.Fase 3: un nuevo fraccionamiento en 10 partes iguales produce 20 partes detamaño 1/100 de tortilla; el número máximo de partes que puede recibir cadaindividuo es 5; se entregan a cada participante 5 partes de tamaño 1/100 detortilla y no queda ninguna parte por repartir. El reparto ha concluido.El resultado del reparto, la cantidad de tortilla que recibe cada uno de los par-ticipantes, es 0 tortillas completas, 7 partes de tamaño 1/10 de tortilla y 5 par-tes de tamaño 1/100 de tortilla.


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b) Poner de manifiesto que el resultado del reparto viene caracterizado por lasuma de partes de tamaños que son potencias de 1/10 de unidad. En el ejem-plo anterior podríamos indicar el resultado como 0 + 7(1/10) + 5(1/100) torti-llas.

c) Facilitar la escritura del resultado teniendo en cuenta las características denuestro sistema de numeración: atendiendo al valor posicional y a la suma decantidades representadas por cada una de las cifras de las expresiones deci-males, el resultado anterior 0 + 7(1/10) + 5(1/100) se puede simbolizar como0,75.

d) Incidir en el significado de las expresiones decimales positivas como repre-sentaciones de cantidades de magnitud resultantes de la suma de los valoresque representan cada una de las cifras de dichas expresiones.

e) Conectar la práctica del fraccionamiento antes descrito con el algoritmo de ladivisión de números enteros, incidiendo en el significado del dividendo comonúmero de unidades a repartir, del divisor como número de participantes y delcociente como resultado del reparto. Reflexionar sobre el paralelismo de lasacciones realizadas en el reparto y de las técnicas implicadas en el algoritmode la división.

6. Fortalecer las conexiones entre las notaciones fraccionaria y decimalLas notaciones fraccionaria y decimal son sistemas simbólicos paralelos que

representan los mismos conceptos; aunque para el alumno es una idea difícil de asi-milar el que cualquier concepto, especialmente un número, pueda tener más de unsímbolo (Owens y Super, 1993). Por tanto, para incrementar la comprensión de losnúmeros racionales hay que fortalecer conceptualmente las conexiones entre lasnotaciones fraccionaria y decimal: “Enseñar fracciones y decimales como tópicosseparados sin proporcionar a los estudiantes oportunidades para establecer conexio-nes, empequeñece su desarrollo para la plena comprensión de los números raciona-les” (Sowder, 1995).

La secuencia instructiva habitual en el sistema educativo español contempla quelos números decimales se estudien a partir de las fracciones, reproduciendo el pro-ceso histórico que se produjo en Europa. Puesto que la fracción admite distintos sig-nificados conviene analizar las conexiones que desde cada uno de ellos se puedenestablecer con la notación decimal:

- Desde el significado de relación parte-todo son débiles las conexiones entrelas notaciones fraccionaria y decimal por cuanto el estudiante asocia la frac-ción a una parte de la unidad compuesta por partes alícuotas de la misma,mientras que las expresiones decimales exigen interpretar la fracción comoagregación de partes de unidad de diferentes tamaños.

- Desde el significado de la fracción como resultado de la medida de magnitu-des se puede abordar la conexión entre las notaciones fraccionaria y decimal,pero se encuentran dificultades técnicas inherentes a la continuidad de lamedida, salvo que la instrucción se cimentase en la participación pasiva de losestudiantes (limitar su trabajo a la observación de representaciones gráficas),supuesto que se aleja de nuestras intenciones educativas. Este significado dela fracción es más adecuado para conectar la aritmética con la geometría y elespacio.


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- Desde el significado de razón encontramos dificultades para utilizar un mismomodelo en el que asentar los significado de fracción y de expresión decimal,puesto que hay que justificar la transformación de dos cantidades de magni-tud en una sola magnitud de naturaleza diferente a las anteriores; además, estatransformación implica un fraccionamiento que tampoco se justifica con faci-lidad, sobre todo si está implicada la medida de contar. Sí que es un signifi-cado adecuado para conectar la lógica del razonamiento proporcional con lalógica de las magnitudes intensivas.

- Desechamos utilizar el significado de la fracción como operador porque si seutiliza un modelo con objetos discretos no se puede efectuar el fracciona-miento de los mismos; porque si el modelo utilizan magnitudes continuas haydificultades con la continuidad de la medida; y porque si se utilizan númerossin medida no se produce una conexión entre los significados de fracción y deexpresión decimal. Los operadores sí que facilitan la instrucción sobre el signi-ficado del inverso de la multiplicación y sobre la composición de aplicaciones.

Se ha postulado porque la secuencia instructiva contemple significar a las frac-ciones como cocientes partitivos en un modelo determinado desde el que se pueden,como se ha señalado, establecer conexiones entre las notaciones fraccionaria y deci-mal de los números racionales positivos. Defendemos la pertinencia de la propuestaformulada por las razones siguientes:

- La acción de repartir por fases permite concebir la fracción como agregaciónde cantidades de magnitud de diferentes tamaños; se ofrece una nueva pers-pectiva de las fracciones que, desde la interpretación como relación parte-todo, solamente se contemplan como adición de partes alícuotas del “todo”.

- El modelo físico en el que se ha significado la fracción como cociente partiti-vo posibilita la significación de las expresiones decimales como otra forma derepresentar cantidades de magnitud resultantes de un mismo reparto.

- La construcción del conocimiento sobre las fracciones y sobre las expresionesdecimales se hace desde las reflexiones mentales efectuadas sobre las repre-sentaciones gráficas.

- La instrucción exige la participación activa de quien aprende puesto que laacción de repartir exige de una permanente toma de decisiones por parte delaprendiz: decidir sobre la necesidad de fraccionar, decidir las cantidades quecorresponden a cada participante, decidir si hay que finalizar el reparto, etc.

7. Utilizar una metodología adecuadaNuestro propósito es el de ofrecer a los futuros profesores oportunidades para

explorar, conjeturar, comprobar y reflexionar sobre el sentido de los números racio-nales contemplados desde un significado diferente: las notaciones fraccionaria ydecimal expresan cantidades de magnitud resultantes de repartos igualitarios. Seofrece una nueva perspectiva de los números racionales desde la que ayudaremos asuperar la actual situación en la que muchos profesores en ejercicio tienen dificulta-des con cuestiones conceptuales y procedimentales de los números racionales y noson capaces de resolver problemas más que de modo procedimental (Post, Harel,Behr y Lesh, 1991).


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Atendiendo a las recientes investigaciones sobre psicología del aprendizaje, nosproponemos situar al estudiante para Maestro como agente principal en la construc-ción de sus conocimientos, que en las sesiones de clase se prioricen los trabajos indi-viduales: “Las presentaciones claras por si mismas son inadecuadas para sustituir loserrores por ideas claras. Lo que los estudiantes construyen por si mismos, aunquepueda ser inadecuado, está con frecuencia lo suficientemente arraigado como parano ser erradicado con una explicación seguida de unos pocos ejercicios” (NationalResearch Council, 1989, pág. 60).

Teniendo en cuenta que los estudiantes para Maestro tienen conocimientos pre-vios sobre los números racionales, debemos dar oportunidades para que estos estu-diantes exploren y razonen desde sus conocimientos personales tanto sobre los con-ceptos como sobre los procedimientos; para ello, hay que hacer propuestas que lesfuercen a poner en evidencia los errores adquiridos en experiencias previas y a cons-truir nuevos conocimientos sobre las relaciones y conexiones que subyacen en esteconjunto numérico; posteriormente deben reflexionar sobre el nuevo conocimientoy la forma en que lo han adquirido (Sowder, Bezuk y Sowder, 1993).

Nuestra propuesta es utilizar una metodología en la que prime el trabajoindividual de los estudiantes, puesto que una presentación formal de la materia espe-cífica y el trabajo formal con números no anima a los estudiantes a preocuparse dela reconstrucción de su “concepto imagen” desde la definición de número racional(Pinto y Tall, 1996, pág. 151). Estos trabajos individuales deben contener situacionesproblemáticas que tengan sentido para ellos y que sean generadoras de conflictosque favorezcan el sentido del número y no habilidades rutinarias y reglas para suaplicación: “es a través de la resolución de problemas como un concepto cualquie-ra adquiere sentido para un alumno. Este proceso de elaboración pragmática es esen-cial para la psicología y la didáctica, como es esencial para la historia de las cien-cias” (Vergnaud, 1990, pág. 135).

Posteriormente, una vez que los estudiantes hayan resuelto sus tareas individua-les, se propone una discusión colectiva sistemática desde la que se institucionalicenlos conocimientos matemáticos. Por ello debemos fomentar un “aprendizaje inten-cionado” (Scardamalia et al., 1989), o aprendizaje en el que la construcción delconocimiento sea un proceso abierto y que los estudiantes tomen responsabilidadessobre el mismo; hay que favorecer un clima de trabajo en el que los estudiantes pue-dan examinar sus propios errores, que tengan oportunidades para el diálogo, que elclima de la clase esté libre de presiones externas y que los estudiantes acepten quela comprensión de los Números Racionales exige de un esfuerzo personal importan-te y de un tiempo amplio para la acomodación de los nuevos conocimientos con losque ya tenían (Hatano e Inagaki, citados por Sowder et al, 1995, pág. 258).

A modo de balanceDesde el curso 98/99 esta propuesta didáctica sobre el número racional está

incorporada como parte de la asignatura “El currículo de Matemáticas en EducaciónPrimaria”, de 8 créditos. A lo largo de estos años se han detectado potencialidades ylimitaciones de la propuesta que han aconsejado introducir las modificaciones quese señalan para mejorar la comprensión de los futuros Maestros sobre los númerosracionales positivos:


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1. Incrementar la presencia de materiales manipulativos en el aula. Hemos detectado que los estudiantes ofrecen una gran resistencia a ampliar elsignificado de la fracción desde su conocimiento como relación parte-todo. Enla resolución de tareas en las que hay que trabajar con otros significados,como medida o cociente, los alumnos tienden a trabajar con el significadoparte-todo, lo que obstaculiza la correcta resolución de dichas tareas. Con laintención de ayudarles a superar este obstáculo hemos incrementado la pre-sencia de objetos físicos en el aula de manera que, si el alumno lo necesita,pueda construir ideas sobre los otros significados de la fracción a partir de laobservación de la realidad.

2. Potenciar la construcción de conceptos.Una dilatada experiencia como aprendices ha situado a nuestros alumnos enla creencia de que el conocimiento de los números racionales se limita al usode técnicas. En cada uno de los modelos de aprendizaje se proponen tareassobre los diferentes significados tanto de los números racionales, como de lasrelaciones y operaciones entre ellos. Además, también se proponen tareas dejustificar un mismo resultado matemático en los modelos medida y cociente,destacando las diferencias existentes en los argumentos utilizados en cada unode dichos modelos.

3. Incrementar el trabajo con números periódicos.El modelo medida obstaculiza la conceptualización de ideas sobre númerosperiódicos pues la realización física del proceso de medida conlleva la ideade un número finito de pasos, no se concibe la medida como un proceso infi-nito. Si bien los alumnos admiten la existencia de números muy pequeños,tales situación se desvanece cuando aparece el número medida, pues el alum-no se resiste a admitir el trabajo con cantidades de magnitud muy pequeñas.Nos encontramos, por tanto, con alumnos que no consiguen superar el obstá-culo epistemológico que constituyen el infinito actual y el infinito potencial,puesto que trabajamos con esquemas de pensamiento construidos a partir dela experiencia práctica y adaptados a objetos y procesos finitos. Aun cuandoeste conflicto no es fácil de solucionar (Romero, 1995), hemos optado porincrementar el número de tareas, tanto de orden como de cálculo, en las queintervienen números periódicos, con la finalidad de que el alumno tengamayor número de oportunidades para modificar sus esquemas mentales.

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estudiantes para maestros: reflexiones sobre la

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