RESEA HISTRICA DE LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

En la historia de la humanidad siempre han existido una gran variedad de situaciones problemticas, las cuales han exigido una forma de solucionarlas. En matemtica se sigui la siguiente trayectoria:

Posterior a Descartes se contina la investigacin para poder establecer estrategias y procesos para la resolucin de problemas

ESTRATEGIAS Y RECOMENDACIONES METODOLGICAS GENERALES. MATERIALES. SUGERENCIAS DE ACTIVIDADES.Existe una gran cantidad de situaciones problemticas, las cuales se pueden resolver haciendo uso de algunas estrategias, para ello se debe tener en cuenta las formas de presentacin de los problemas y contemplar sus principios bsicos; adems de ello, se debe considerar EL CONOCIMIENTO DURANTE LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS.a) Conocimiento declarativoEs el conocimiento que est referido a los hechos, es una de las dos maneras en que se almacena la informacin en la memoria a largo plazo. El conocimiento declarativo es informacin consistente de hechos, conceptos o ideas conocidas conscientemente y que se pueden almacenar como proposiciones. Segn Monereo, puede comunicarse o declararse a travs del lenguaje verbal. Segn Marzano, el primer paso en el aprendizaje de conocimiento declarativo del alguna rea de contenido es agregar lo que no se sabe a lo conocido acerca del contenido. Segn Marzano, es construir significado: agregar lo que sabes a lo que ests aprendiendo.

b) Conocimiento procedimentalEl conocimiento procedimental es el conocimiento relacionado con cosas que sabemos hacer pero no conscientemente, como por ejemplo montar en bicicleta o hablar nuestra lengua. En este conocimiento podemos distinguir dos procedimientos.

Algortmicos HeursticosProcedimiento algortmico.- la sucesin de acciones que hay que realizar se halla planificada y su correcta ejecucin lleva a una solucin segura del problema o de la tarea segn Monereo.

Ejemplo: dividir, pegar un botn, despejar una incgnita

Procedimientos heursticos.- Presenta cierto grado de variabilidad, su ejecucin no garantiza resultado.

Ejemplo:

Planificar una entrevista

Reducir el espacio de un problema complejo a la identificacin de sus principales elementos ms fcilmente manipulables.

c) Conocimiento condicionalEste conocimiento requiere de un uso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental del que ya se dispone, para ir ms all en un proceso que permita al estudiante la generacin de un tercer tipo de conocimiento, denominado condicional, en el que "el alumno construye para la ocasin o reactualiza parcialmente si las circunstancias tienen elementos parecidos a los de otra situacin en la que se utiliz eficazmente una estrategia" (Monereo). Este conocimiento es posible cuando el estudiante desarrolla un sistema de regulacin y lo utiliza de manera consciente, reflexiva y eficaz, lo cual supone, entre otras cosas: Un constante ajuste de la actividad cognitiva del sujeto a los cambios y variaciones que presentan las diversas situaciones problemticas que se le plantean. La decisin de cules conocimientos declarativos y procedimentales hay que recuperar y cmo hay que utilizarlos para dar respuesta a una situacin especfica. El control del proceso que implica planificar las acciones a realizar, llevarlas a cabo y evaluar la pertinencia de las mismas en trminos de si se logr alcanzar mediante ellas el objetivo deseado.ESTRATEGIAS ESPECFICAS DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS Las estrategias para resolver problemas se refieren a las operaciones mentales utilizadas por los estudiantes para pensar sobre la representacin de las metas y los datos, con el fin de transformarlos en metas y obtener una solucin. Las estrategias para la resolucin de problemas incluyen los mtodos heursticos, los algoritmos y los procesos de pensamiento divergente. Nosotros abordaremos el primer punto.

Entonces Qu es la Heurstica?

Se denomina heurstica a la capacidad de un sistema para realizar de forma inmediata innovaciones positivas para sus fines. La capacidad heurstica es un rasgo caracterstico de los humanos, desde cuyo punto de vista puede describirse como el arte y la ciencia del descubrimiento y de la invencin o de resolver problemas mediante la creatividad y el pensamiento lateral o pensamiento divergente.

La popularizacin del concepto se debe al matemtico Polya, con su libro How to solve it (Cmo resolverlo) habiendo estudiado tantas pruebas matemticas desde su juventud, quera saber cmo los matemticos llegan a ellas. El libro contiene la clase de recetas heursticas que trataba de ensear a sus alumnos de matemticas.

En psicologa la heurstica se relaciona con la creatividad y se ha propuesto que sea aquella regla sencilla y eficiente para orientar la toma de decisiones y para explicar en un plano prctico cmo las personas llegan a un juicio o solucionan un problema. Usualmente una heurstica opera cuando un problema es complejo o el problema trae informacin incompleta. En general, una heurstica puede considerarse como un atajo a los procesos mentales activos y, por lo tanto, es una medida que ahorra o conserva recursos mentales. Las heursticas funcionan efectivamente en la mayora de las circunstancias, sin embargo, tambin pueden conducir a errores sistemticos en la toma de decisiones o el desarrollo de juicios. La ideacin de soluciones heursticas frecuentemente arranca de un razonamiento por analoga.

Estrategias heursticas

Las estrategias heursticas para la resolucin de problemas, estn basadas en la experiencia previa con problemas similares. Estas estrategias indican las vas o posibles enfoques a seguir para alcanzar una solucin.

De acuerdo con Monero y otros (1995) las estrategias heursticas son acciones que comportan un cierto grado de variabilidad y su ejecucin no garantiza la consecucin de un resultado ptimo como, por ejemplo, reducir el espacio de un problema complejo a la identificacin de sus principales elementos.

Dentro de las estrategias heursticas ms generales se pueden mencionar las siguientes:

a) Buscar patronesCompleta las siguientes series:

a. 5 ; 7 ; 9; .......

b. 3 ; 6 ; 12 ; 24 ...

c. 1 ; 4 ; 9 ; .......d. 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 b) GeneralizarObserva el siguiente patrn y explica por qu se cumple:

32 22= 3+2;42-32 = 4+3;52 42= 5+4 ....

c) Particularizar la situacinEn una tienda de remates te ofrecen un descuento del 12%, pero al mismo tiempo tienes que pagar el impuesto general a las ventas (18%). Qu preferiras que calculasen primero, el descuento o el impuesto?

Particularicemos para algunos casos: Si el artculo vale 100 soles, y elijo el descuento primero, termino pagando: .....

Ahora, si elijo pagar el impuesto primero entonces termino pagando: ...

d) Razonar lgicamenteRosa, Alejandro y Bruno tienen cada uno un juguete: una bicicleta, un par de patines y una pelota (pero no necesariamente en ese orden).

Rosa compr chocolates con el de la bicicleta.

Bruno pidi prestada la bicicleta y fue a la tienda con la persona duea de la pelota.

A quin le corresponde cada juguete?

e) Suponer el problema resueltoEncuentra un tringulo rectngulo, cuyos lados estn en progresin aritmtica de razn cuatro.

Supongamos el problema resuelto: dibujemos el tringulo rectngulo y hagmosle cumplir las caractersticas pedidas.

f) Plantear una ecuacin

En un saln de una universidad hay 40 alumnos. Un padre de familia recibe la siguiente informacin, el promedio final del curso de Matemtica es 14. Adems el promedio de los desaprobados es 08 y el de los aprobados es 16. Con esta informacin puede saber el padre cuntos alumnos desaprobaron el curso?g) Empezar por el final

En una partida de pker entre Alberto, Bernardo y Carlos el perdedor dobla el dinero de cada uno de los otros dos. Despus de tres juegos cada participante ha perdido una vez y todos terminan con 24 soles. Alberto perdi el primer juego, Bernardo el segundo y Carlos el tercero Con cunto dinero empez cada uno?

Comenzando por el estado final, podremos retroceder en el tiempo para averiguar lo que ocurri al inicio, presentaremos la solucin en forma tabular:

AlbertoBernardoCarlos

Inicio

Despus del 1er juego

Despus del 2do juego

Despus del 3er juego

h) Establecer submetasSi la poblacin actual del Per es de 26 millones de habitantes, y se sabe que la tasa de crecimiento es de un 5% anual, en cunto tiempo se duplicar la poblacin?

La primera meta que habr que conquistar, es hallar una frmula que modele el comportamiento de la poblacin, y slo despus de formada la igualaremos a 52 millones. Si bien aqu la incgnita es el tiempo, nosotros buscamos en su lugar la relacin entre el tiempo y el nmero de habitantes.

RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Iniciamos la resolucin de problemas leyendo respuestas dadas por nias y nios al preguntarles que hacen para resolverlos:a. Mercedes de 5 aos dice; Me pongo lo que me dicen en la cabeza, entonces me lo imagino, veo lo que est pasando y entonces ya lo s

b. Guiliana de 6 aos dice; Lo pienso, hasta que lo encuentro

c. Luchita de 6 aos dice; Pienso, busco en mi cabeza y..ya me sale

d. Marlene de 4 aos dice; Me callo, entonces no veo nada, lo veo todo oscuro y entonces ya me sale la respuesta Las respuestas simples y validas, basadas en la experiencia personal de estos nios y nias nos dan la orientacin para, pensar, visualizar, imaginar, buscar soluciones actividades que han sido sistematizadas por algunos matemticos que Lise Poirier Proulx propone en su obra La rsolution de problmes en enseignement. Veamos el siguiente cuadro:

ETAPASPolya

1965Carkhuff

1978Brandsford y Stein

1987Andre

1986Schoenfeld

1989Halpern

1989

REPRESENTACIN DEL PROBLEMA Comprende el problema Explora el problema

Comprende el problema

Define el problema Identifica

Define y representa el problema Reconoce el problema.

Describe el problema.

Analiza el problema Lee el problema

Analiza el problema Comprende la naturaleza del problema

(preparacin o familiarizacin)

ELABORACIN DE LA SOLUCIN DEL PROBLEMA Concibe un plan

Ejecuta el plan

Evala la solucin obtenida Define el objetivo

Desarrolla soluciones posibles

Clasifica la jerarqua de valores

Escoge el medio de accin. Aplica. Evala las diferentes estrategias Explora diferentes estrategias

Acta.

Ordena. Concibe un escenario de resolucin

Evala la eficacia de soluciones privilegiadas

Pone en accin la solucin elegida.

Aplica nuevas soluciones si es necesario.

Explora las posibles soluciones

Planifica una o varias estrategias de solucin

Aplica las soluciones

Verifica la solucin con los datos iniciales Produce la solucin

(Produccin)

Evala la solucin

(juicio o evaluacin)

LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS SEGN POLYA

Vamos a trabajar el modelo de proceso de resolucin de problemas segn George Polya.El modelo de Polya nos presenta cuatro pasos para resolver problemas. Estos son:1er. paso: Entender el problema

Polya propone una serie de preguntas, convenientemente formuladas para dirigir el proceso de comprensin del problema

1. Entiendes lo que dice?

2. Puedes replantear el problema en tus propias palabras?

3. Distingues cules son los datos?

4. Sabes a qu quieres llegar?

5. Hay suficiente informacin?

6. Hay informacin extraa?

7. Es este problema similar a otro que hayas resuelto anteriormente?

2do paso: Configurar un plan

Puedes usar algunas de estas estrategias:

1. Ensayo y Error

2. Usar una variable

3. Buscar un patrn

4. Hacer una lista

5. Resolver un problema similar ms simple

6. Hacer una figura

7. Hacer un diagrama

8. Usar razonamiento directo o indirecto

9. Usar las propiedades de los nmeros

10. Resolver un problema equivalente

11. Trabajar hacia atrs

12. Resolver mediante una ecuacin

13. Buscar una frmula

14. Usar un modelo

3er. paso: Ejecutar un plan 1. Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma accin te sugiera tomar un nuevo curso.

2. Concdete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes xito solicita una sugerencia o deja el problema por un momento.

3. No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al xito.

4to paso: Visin retrospectivaComprobar y examinar la solucin obtenida.

1. Es tu solucin correcta? satisface lo establecido en el problema?

2. Puedes hallar una solucin ms sencilla? Puedes verlo de golpe?

3. Puedes llevar tu solucin hacia un caso general?

La formacin de conceptos matemticos requiere de participantes que empleen un pensamiento mvil, reversible y estructurado, es decir: capaces de encontrar distintos caminos, rodeos, asociaciones, para llegar a una solucin; capaces de retornar despus de un cambio al punto de partida, reconociendo la transformacin que anula la realizada previamente; capaz de seguir todo concepto en una red donde se distingan las relaciones de inclusin entre unas ideas y atrs.

Aplicando ese mismo procedimiento tratemos ahora de resolver un problema simple.

Ejemplo 1: Los carneros del pastorHaba un pastor que haba ido a la escuela hasta el 1 grado y slo se acordaba de contar hasta el 10. Todas las tardes cantaba sus carneros y para saber si estaban completos las agrupaba de 4 en 4 y de 5 en 5, y siempre le sobraba uno Pero si las agrupaba de 7 en 7 no le sobraba y ninguno. Si el rebao no llegaba a los 60 carneros Cuntas carneros tena?

1er. paso. Entender el problemaEntiendes lo que dice?

El anlisis concienzudo del problema nos llevar a encontrar los datos principales:

El rebao. estaba compuesto de una cantidad menor a 60 y mltiplo de 7

Si al total de carneros se le resta 1; resulta un mltiplo de 4

Si al total de carneros se le resta 1, resulta un mltiplo de 5

Puedes replantear el problema con tus palabras?

-Si puedo:

Si un pastor agrupa a sus carneros de 4 en 4 o de 5 en 5 le sobra un carnero, pero si los agrupa de 7 en 7 no sobra ninguno. Si se sabe que son menos de 60, Cuntos tendr en total?

Replantear un problema .significa un grado de comprensin y de inferencia mayor; es haber entendido no slo lo que me piden, sino el razonamiento que posiblemente us quien creo el problema.

Distingues cules son los datos?

Menos de 60 carneros

Nmero de carneros mltiplo de 7

Nmero de carneros, mltiplo de 4 si le resto 1.

Nmero de carneros mltiplo.de 5 si le resto 1

Sabes a qu quieres llegar?

Debo hallar un nmero que cumpla con las cuatro condiciones anteriores.

Esta pregunta nos enfrenta al objetivo, algunos estudiantes se lanzan a la resolucin de un problema sin comprender claramente que es lo que buscan y van resolviendo mientras leen, aunque para algunas resulte viable este procedimiento, comnmente se culmina en el fracaso y el estudiante debe regresar nuevamente al principio.

Hay suficiente informacin?

- Si, porque si quitara una de las condiciones dadas, es posible que encuentre ms de una solucin.

Si se logra separar la informacin necesaria de la que no Io es, entonces el alumno estar analizando correctamente. Es decir entender el problema en cada una de sus partes.

Hay informacin extraa?

-Saber que el pastor solo haba ido al primer grado es irrelevante.

Este problema es similar a alguno que hayas resuelto antes?

Depender del trabajo previo realizado por el docente o de la informacin que posea el alumno. Si la respuesta es afirmativa, el .alumno estar ms cerca de la solucin.

Este primer paso, entender el problema, se da a nivel mental y en un tiempo, muy corto, dependiendo en gran medida del estado mental, de la persona que se enfrenta a tratar de solucionar el problema. De hecho, para un estudiante de 5 o 6 grado puede ser un problema encontrar la relacin entre los mltiplos de 4, 5 y 7, mientras que para un docente este problema slo es un ejercicio rutinario.

2do paso Concebir un planDeterminar de antemano un procedimiento a aplicar, ayuda a planificar cada paso que se da, reduciendo al minino las posibilidades de fracaso. Puedes usar alguna estrategia como las planteadas al principio tal vez, establecer la tuya, Por ejemplo:

PLAN A.- Resolucin aritmtica:

Al entender el problema, qued claro que usando las tablas de multiplicar del 7, del 4 y del 5 en simultneo, el problema ya estaba casi resuelto, (en tu procedimiento puede haber alguna forma de acortar el proceso), as:

El problema dice: si se forman grupos de 4 en 4 y de 5 en 5 siempre sobra 1, eso significa que debemos buscar un nmero mltiplo de 7 menor que 60; que fuera una unidad mayor que cualquier mltiplo comn a 4 y 5.

3er paso Ejecutar el plan7 X 2 = 144 X 2 = 85 X 2 = 10

7 X 3 = 214 X 3 = 125 X 3 = 15

7 X 4 = 284 X 4 = 165 X 4 = 20

7 X 5 = 354 X 5 = 205 X 5 = 25

7 X 6 = 424 X 6 = 245 X 6 = 30

7 X 7 = 494 X 7 = 285 X 7 = 35

7 X 8 = 564 X 8 = 325 X 8 = 40

4 X 9 = 365 X 9 = 45

4 X 10 = 405 X 10 = 50

4 X 11 = 445 X 11 = 55

4 X 12 = 48

4 X 13 = 52

4 X 14 = 56

Solucin: EL PASTOR TENA 21 CARNEROS

PLAN B:

Mucho ms fcil, resulta hallar el M.C.M. (Mnimo comn mltiplo) de 4 y 5 y adicionarle 1, esta simple operacin terminar por darnos el mltiplo de 7 que cumple las condiciones dadas en el problema. Entre este procedimiento y el anterior se da una gran diferencia por la capacidad de abstraccin necesaria, que se logra luego de mucho trabajo en problemas matemticos.

4 5 2

2M.C.M. = 2 X 2 X 5 = 20

5

20 + 1 = 21

7 X 3 = 21

Solucin: EL PASTOR TENA 21 CARNEROS.

Si no ests progresando mucho no vaciles en volver al principio y asegurarte que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisin es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensin del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de la solucin.

Es en este momento cuando entra a tallar los mecanismos de regulacin mental y la habilidad para superar los bloqueos. El estudiante al aplicar su estrategia, puede observar que esta no lo lleva a la solucin entonces tendr que decidir entre seguir por el mismo camino o volver a la fase anterior y elegir una estrategia distinta:

Esto ltimo es bastante difcil para aquellos que no tienen experiencia en resolver problemas, pues los mecanismos de control del proceso son muchas veces bloqueados desde las aulas escolares. Casi siempre ocurre porque los profesores de matemtica al presentar un problema, lo hacen acompandolo de una solucin que para el estudiante se convierte en la estrategia nica.

PLAN C.- Representacin grfica del problema;

Colocamos 59 carneros (representando a los menos de 60 carneros), y vamos formando grupos de 7 en 7, luego usando un color diferente; agrupamos de 5 en 5 y finalmente hacemos lo mismo con los grupos de 4 en 4; cuando lleguemos al punto donde me sobre una carnero de un grupo de 7 entonces habr encontrado mi solucin

Solucin: EL PASTOR TENA 21 CARNEROS

4to paso Visin retrospectivaEs tu solucin correcta?

Si, es la correcta ya que fue comprobada al ser resuelto el problema de tres formas diferentes.

Despus de comprobar nuestra propuesta, analizamos, si existen -otros medios posibles que me acorten el proceso; de hecho, luego de conocer la solucin se encontrarn muchos medios alternos, lo importante aqu es que este anlisis nos permitir mejorar nuestra performance en el futuro

Adviertes una solucin ms sencilla?

Seguramente se encontrarn otras formas planteadas entre los alumno?. Comnmente los problemas se anuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. As, para resolver un problema; uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa smbolos matemticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta.

La retrospectiva permite que el alumno revise como 'pens inicialmente, como encamin una estrategia; como efectu los clculos; .en fin, todo el camino recorrido para obtener la solucin." Este proceso cuidadoso es un excelente ejercicio de aprendizaje y, sirve para detectar y corregir posibles errores.

La estructura del proceso de la solucin de problemas depende en primer, trmino del carcter del problema mismo y; por supuesto; de cuales sean los conocimientos y habilidades que posee el sujeto que resuelva el problema.

Las etapas anteriores no estn separadas; una de la otra, sino que se entrelazan. El orden de las etapas tambin puede variar en ocasiones. No todas las etapas son obligatorias, esta en dependencia de las exigencias del problema y de la preparacin de los estudiantes para enfrentar su resolucin

Finalmente a partir del problema resuelto, puedes plantear otro similar?

Ejemplo 2: El justo pagoCierta vez, estaban dos pastores tranquilamente en la montaa, cuando se les acerc un forastero que andaba perdido por all. Empezaron a charlar y, sin darse cuenta, se les hizo la hora de comer. EI forastero no llevaba comida, pero los pastores, muy amables le invitaron gustosamente.

Uno de los pastores, Antonio, saco de su mochila 6 quesos y el otro, Paco, puso los 3 que llevaba consigo, todos los quesos eran del mismo tamao y peso. Entre los tres se comieron los 9 quesos. Una vez terminada la comida, el forastero se despidi agradeciendo por el almuerzo y para compensarles les entreg las 9 monedas que llevaba consigo, y les pidi que se las repartieran por la comida. Cmo debern repartirse las 9 monedas?

Recuerdas los nombres de los cuatro pasos?

1er. paso

Antonio dio 6 quesos

Paco dio 3 quesos

Los nueve quesos fueron repartidos entre tres.

Lo que significa que debo repartir las monedas en funcin de lo que cada pastor invito al forastero.

2do pasoTrataremos de resolver usando una grfica donde repartiremos entre los tres comensales los nueve quesos que se sirvieron.

3er. paso Veamos:

Si el primer pastor, Antonio, entreg 6 quesos y el segundo 3 quesos.

ANTONIO 6 QUESOS

PACO 3 QUESOS

TOTAL 9 QUESOS

9 DIVIDIDO POR 3 = 3

ANTONIOFORASTERO PACO

Entonces cada uno comi tres quesos, es decir que fue Antonio quien le dio al forastero los 3 quesos que este comi, mientras que Paco no le dio ningn queso.

As, diremos que no hay que repartir las monedas del forastero, las nueve sern para Antonio.

4to pasoDe primera impresin los desprevenidos descubren que el problema es muy simple si el primer pastor dio 6 y el otro 3, y tenemos 9 monedas por repartir, entonces cada uno recibir tantas monedas como quesos haya dado, es decir Antonio recibir 6 monedas y Paco 3, pero como ya vimos, NO ES AS.

Habrn otras formas de solucionar este problema?

En definitiva, si, ello depender de la cantidad de informacin que manejen los alumnos.

Puedes plantear un problema parecido al anterior?

Si puedo, pero esta vez lo llamar de otro modo, al concluir la resolucin, durante el cuarto paso comprenders porque le doy este nombre.

ETAPAS EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS SEGN SCHOENFELD

Allan Schoenfeld es un matemtico norteamericano quien, terminando de estudiar Matemtica pura, se encontr con el primer libro de Polya. Su lectura le entusiasm y le hizo preguntarse por qu nadie le haba enseado ese texto cuando estudiaba. En su opinin, le habra servido de mucho; por eso, se dio a la tarea de preguntar a los miembros de la Facultad de Matemticas las razones de esa ausencia. Debe destacarse que el trabajo de Polya fue una sntesis de ideas que l tena, pensamientos que sistematiz, no realiz investigacin de campo con estudiantes propiamente. La trascendencia del trabajo de Polya radica en hacer evidente la importancia de resolver problemas como medio de crear conocimiento en matemticas y sus posibilidades en el aprendizaje de esta disciplina.

Schoenfeld public su libro Mathematical Problem Solving en 1985, basado en trabajos realizados en los aos 80 en l aborda la resolucin de problemas en el sentido de simular la actividad matemtica dentro del aula lo que identifica como el desarrollo de un microcosmos matemtico en el aula; llegando a la conclusin que cuando se tiene o se quiere trabajar en la resolucin de problemas como una estrategia didctica hay que tener en cuenta situaciones ms all de las heursticas; de lo contrario no funciona, no tanto porque las heursticas no sirvan, sino porque hay que tomar en cuenta otros factores o dimensiones que veremos a continuacin:Los recursos; son los conocimientos previos que posee el individuo; se refiere, entre otros, a conceptos, frmulas, algoritmos, y, en general, todas las nociones que se considere necesario saber para enfrentarse a un determinado problema. Obviamente, en cuanto a los recursos, uno de los aspectos importantes es que el profesor debe estar claro sobre cules son las herramientas con las que cuenta el alumno que aprende.

Las circunstancias estereotpicas; dice que provocan respuestas estereotpicas. Por ejemplo, a alguien le ponen a resolver un problema, entonces, quien lo trata de resolver simplemente dice: aqu tengo que aplicar una frmula; esa sera una respuesta estereotpica ante un problema, llegar a esa frmula no es necesariamente fcil, pero el procedimiento de resolucin se da de manera casi automtica.

Los recursos errados; el estudiante tiene un almacn de recursos, pero algunos pueden ser errados; por ejemplo, alguna frmula o procedimiento mal aprendido o que l cree que se usan en alguna situacin pero resulta que no es as. Algo muy importante es que muchas veces el profesor pone un problema y dice que es muy fcil, lo dice porque tiene aos de manejar el tema y pierde la perspectiva de la dificultad que, tal vez, incluso para l, tuvo en alguna ocasin anterior. Hay que tener claro que lo que para unos es fcil, no necesariamente lo es para todos.

Estos factores se deben tener en cuenta; adems Schoenfeld, utiliza el vocablo control refirindose a la forma en que el alumno usa la informacin que posee al resolver un problema distribucin de recursos e incluye las decisiones importantes que se toman acerca de qu hacer en un problema. El control incluye tomar decisiones respecto al plan utilizado, la seleccin de metas o submetas, monitoreo de soluciones y su evolucin, adems de la revisin o abandono del plan basado en una evaluacin.

Un problema tiene: un estado inicial; reglas de transformacin; condiciones terminales.

Al resolver un problema, el espacio de bsqueda de solucin es bastante amplio. Desde el estadio inicial hasta la meta existen varias estrategias heursticas posibles que pueden ser utilizadas, y por cada una de ellas existen potenciales obstculos que vencer, lo que nos lleva a tomar decisiones respecto a cules de ellos queremos enfrentar recordando que por cada obstculo seleccionado surgirn otros.Cuando una persona empieza a resolver un problema, algunas estrategias heursticas pueden parecerle tiles mientras que otras no. Algunas tiles pueden parecerle no tiles. Si la persona selecciona una estrategia inapropiada y trabaja con ella, excluyendo otras posibilidades, entonces fracasar en su intento por resolver el problema. Por lo tanto no es suficiente dominar estrategias heursticas para tener xito, se debe incorporar la enseanza de estrategias meta-cognitivas de gestin, planificacin, regulacin y evaluacin de los procesos implicados en la resolucin del problema para la obtencin de mejores resultados. La habilidad para monitorear y evaluar todo el proceso es igualmente importante.Actividades que pueden desarrollar las habilidades de las personas para el control Tomar videos durante las actividades de resolucin de problemas. El video luego se pasa a los estudiantes para que vean qu es lo que han hecho, porque, en general, resuelven un problema y, al final, se les olvida qu fue lo que hicieron. Algo que Plya mencionaba, tambin: el docente debe tomar las equivocaciones como modelo; es decir, poner un problema en la pizarra, tratar de resolverlo (an cuando sepa la solucin), escoger una estrategia que sabe que no va a llevar a un trmino y ver en qu momento se decide que esa no lleva a ninguna parte y se opta por otra. El profesor resuelve problemas como modelo, y, posteriormente, debe discutir las soluciones con todo el grupo para que cada uno aporte ideas. Es muy importante cerciorarse si los estudiantes entienden el vocabulario utilizado en la redaccin de un ejercicio o de un problema; se debe hacer preguntas orientadoras y evaluar mtodos sugeridos por los mismos estudiantes. Tambin propone que se resuelvan problemas en pequeos grupos, en un ambiente de trabajo colaborativo; esto para potenciar el desarrollo de habilidades relacionadas con alguna materia, y, as, que cada uno pueda aprender sobre la forma en que los dems controlan su trabajo.

Ejemplo 1: El dibujo de un tringulo

Dibuja un tringulo de lados 17, 8 y 5 centmetros.

Solucin

1er paso. Anlisis y comprensin del problema.

Se realizan una serie de preguntas para poder realizar uno de los principales pasos en el cual se encuentran presentes los recursos del estudiante.

1. Entiendes lo que dice? 2. Distingues cules son los datos?

3. Sabes a qu quieres llegar?

4. Hay suficiente informacin?

5. Hay informacin extraa?

2do paso. Disear un planSe sigue un proceso similar a Polya pero Schoenfeld indica que se debe revisar las diversas estrategias relacionadas con el problema, aqu los recursos y las circunstancias se relacionan para poder determinarla.

3er paso. Explorar las soluciones.

Se revisan las diversas soluciones encontradas, sean correctas o incorrectas, revisando los procesos

4to paso. Verificar las soluciones

Luego de explorar y realizar una serie de dibujos, se llega a la conclusin que no es posible poder dibujarlo, porque uno de los lados es mayor que la suma de los otros dos.Ejemplo 2: Sin tiempo para estudiar"Pero no tengo tiempo para la estudiar", le explicaba Eddie a su profesor. "Duermo ocho horas diarias que, sumadas, dan 122 das por ao, suponiendo que cada da es de 24 horas. No hay clases los sbados ni los domingos, que suman 104 das por ao. Tenemos 60 das de vacaciones de verano. Necesito tres horas diarias para comer... esto es ms de 45 das al ao. Y necesito al menos dos horas diarias de recreacin... que suman ms de 30 das al ao."

Eddie escribi estas cifras mientras hablaba, despus sum todos los das. La suma daba 361.

Sueo (8 horas diarias) 122

Sbados y domingos 104

Vacaciones de verano 60

Comidas (3 horas diarias) 45

Recreacin (2 horas diarias) 30 Total 361 das

Puedes explicar dnde est el error?

SolucinLa trampa de las cifras de Eddie es que las categoras de tiempo se superponen de modo que los mismos perodos de tiempo se cuentan ms de una vez. Para dar un ejemplo, durante su perodo de vacaciones de 60 das tambin comi y durmi. El tiempo de comer y dormir se cuenta en el periodo de vacaciones y tambin aparte, en el tiempo insumido para comer y dormir durante todo el ao.

La falacia de superponer categoras es muy comn en las estadsticas, especialmente en el caso de las estadsticas mdicas. Podemos leer que en ciertas. Comunidades, el 30 por ciento de las personas tienen una deficiencia de vitamina A, e1 30 por ciento tiene deficiencia de vitamina B, y e1 30 por ciento tiene deficiencia de vitamina C. Si a partir de esto sacamos la conclusin de que slo el 10 por ciento de la poblacin no tiene deficiencia de estas tres vitaminas, habremos realizado el mismo razonamiento defectuoso que Eddie utiliz en su charla con el profesor: Es posible que e1 30 por ciento de la poblacin tenga deficiencias de las tres vitaminas, lo que dejara a1 70 por ciento de la poblacin en la categora de los que no tienen ninguna deficiencia.

COMPARANDO LAS PROPUESTAS

Luego de haber ver las dos propuestas para la resolucin de problemas, se presenta el siguiente resumen

Estrategias grfico esquemticas de resolucin de problemas.

Los criptogramas, lneas u otras figuras sobre las que hay que colocar nmeros cumpliendo unas determinadas condiciones, aquellos en los que se dan unas pistas para que a partir de ellas se determine el nmero o nmeros que las cumplen, problemas grficos en los que una vez representadas algunas condiciones establecidas en el enunciado de la situacin problemtica presentada.

Ejemplo 1Observa la balanza y deduce el peso de la jarra Ejemplo 2Observa el dibujo y despus vuelve a decir lo mismo pero de otra manera:La nia es Doris y el nio es Andrs- Doris es ms alta que Andrs.

Andrs es.........................................................

- Andrs tiene menos aos que Doris.

Doris tiene..................................................

- Andrs est delante de Doris.

Doris est...........................

Ejemplo 3

Dada la situacin presentada crea un problema.

Materiales. Bloques en base diez (permiten comprender y captar la estructura del sistema decimal desde un punto de vista tanto perceptivo como relacional).

Redes para armar figuras geomtricas (permiten la lgica y deduccin). Tabla pitagrica (3 bsico, permite el trabajo de combinaciones multiplicativas bsicas).

Fracciones (estimula los procesos de observacin y descubrimiento de relaciones matemticas).

Metro bacos; fundamentado en el principio de valor posicional de los sistemas de numeracin, es un buen material para representar numerales decimales, unidades, decenas o centenas. Facilita clculos sencillos, sumas, restas y multiplicaciones.

Tablas: la ejercitacin a partir de tablas favorece el desarrollo de habilidades cognitivas de anlisis, pues implica que los alumnos y alumnas perciban los datos y los relacionen para obtener informacin nueva.

Grficos: La interpretacin de grficos promueve en los alumnos y alumnas la habilidad de analizar la informacin, es decir, distinguir la funcionalidad de sus constituyentes para despejar la incgnita planteada. Los grficos son frecuentemente utilizados como contexto para la ejercitacin.

Recta numrica: Es la representacin grfica de un con junto de nmeros dados que se ubican sobre una recta arbitraria de izquierda a derecha en orden ascendente. Permite visualizar el orden de los nmeros e ilustrar operaciones bsicas.

Pictogramas: signos de los sistemas alfabticos basados en dibujos significativos. Comnmente se utilizan figuras geomtricas.

Representaciones grficas de diversos tipos de agrupamientos (cajas, paquetes, pilas, bolsas). Facilitan relaciones que son indudablemente motivadoras y significativas para el nio, porque estn basadas en experiencia con materiales concretos. Ej: trabajo del concepto de fracciones y conjunto de fracciones.

Crucigramas: Otorgan un sentido ldico a la ejercitacin con operatoria.

Mapas conceptuales: permiten desarrollar habilidades de pensamiento de orden superior, al integrar contenidos y presentarlos en un formato distinto. Tangramas: Es una suerte de rompecabezas chino, compuesto por siete piezas que permiten infinitas combinaciones. Se utiliza para introducir conceptos de geometra plana y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales de los nios, pues permite ligar de manera ldica la manipulacin concreta de materiales con la formacin de ideas abstractas.

BIBLIOGRAFA DE GUZMN, M. 2000. Tendencias innovadoras en educacin matemtica. Separata. Madrid, Espaa.

De Guzmn, Miguel. 1984. Juegos matemticos en la enseanza. Santa Cruz de Tenerife. Facultad de Matemticas de la Universidad Complutense. Artculo publicado en: "Actas de las IV Jornadas sobre Aprendizaje y Enseanza de las Matemticas.

EDUTEKA. Matemtica interactiva. www.eduteka.org, recuperado el 06/01/10 MINEDU. Propuesta Minedu. www.comenius.usach.cl, recuperado 25/01/10Lester (1994) Corrobora la importancia de los aspectos metacognitivos desarrollados por Shoenfeld

Shoenfeld (1992) Da los siguientes aspectos para la resolucin de problemas:

El conocimiento de base

Las estrategias especficas de resolucin de problemas

Los aspectos metacognitivos

Los aspectos afectivos y el sistema de creencias

La comunidad donde se realiza la prctica

Polya, (1887 1985) Matemtico y pedagogo Propone en 1925 un pensamiento creativo, da importancia a la resolucin de problemas. Realiza un estudio introspectivo del mtodo cartesiano y propone cuatro fases:

Comprensin del problema

Concepcin de un plan

Ejecucin del plan

Visin retrospectiva sealando lo ms importante.

No fue tomado en cuenta sino hasta la dcada de los 80

Bolzano (1781 1813) Recopila y divulga los modos de resolucin de los hombres de talento

J.Hadamard (1865 1963) Contina la obra de Poncair e intenta explicar los fenmenos que ocurren en el cerebro humano durante la resolucin de problemas, lo explica desde el campo de la psicologa de la matemtica.

H. Poncair

(1854 1912)

Anlisis de la creacin de conceptos matemticos.

Lagrange (1736 1813) Resolucin de ecuaciones numricas promoviendo como recurso las ecuaciones numricas simples.

Siglo XVIII el suizo Euler (1707 1783) Propone estrategias generales para la resolucin de problemas. Resolvi el problema de los puentes de Koenigsberg (actualmente Kaliningrado, Prusia, la ciudad fue parcialmente destruida).

Rene Descartes (1596 1650)

Pienso luego existo

Cree que el hombre puede llegar al conocimiento por la deduccin, basado en afirmaciones, alcanzables por la va intuitiva.

poca moderna

La sociedad demanda a la escuela que sea terico prctico, surge el espritu utilitario

Que lo que aprende les permita desarrollarse en la sociedad

En Europa

Se incrementan los intercambios comerciales y se hacen necesarios la construccin de naves, aparecen as lo ingenieros y contadores.

Resolvan problemas prcticos

En el mundo rabe

Al Juarismi siglo IX primer libro de algebra.

Al Batani da Indicaciones para resolver un problema.

Edad media

En la India

Se da la solucin de ecuaciones de segundo grado.

Se inician las aplicaciones de los problemas a la prctica.

Scrates

La matemtica es el instrumento para la formacin intelectual

Matemtica mente bien hecha

En la antigedad

Platn en su obra La Repblica

Si se quiere desarrollar la inteligencia es preciso proceder como se hace en la geometra, por medio de problemas.

ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

MDULO: MATEMTICA SESIN 13 SEMESTRE: II - 2010

Error

Reglas para la direccin del espritu, publicado en msterdam 1701 despus de su muerte. En esta obra explica cmo cualquier persona podr pensar como l y cmo podr resolver problemas siguiendo su mtodo. Propone:

Fase 1: Reducir cualquier problema algebraico a la resolucin de una ecuacin simple.

Fase 2: Reducir cualquier problema matemtico a un problema algebraico.

Fase 3: Reducir cualquier problema a un problema matemtico.

Adems explica, la importancia de la ejercitacin, en la bsqueda de de relaciones entre proposiciones simples y en el empleo de las facultades: inteligencia, imaginacin sentidos, memoria.

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