Universidad Peruana los AndesFacultad de IngenieraCarrera Profesional de Ingeniera CivilFUERZASPROBLEMA 1:Sobre un cuerpo acta una fuerzaF=43.3i+25jNproduciendo un desplazamiento der=25im. Determina el trabajo realizado por la fuerza.Qu ocurrira si el desplazamiento fueser=25i+25j?

SolucinPara determinar el trabajo encada uno de los casos realizamos el producto escalar de la fuerza por eldesplazamiento: Se trata simplemente de aplicar la definicin de trabajo realizado por una fuerza constante que produce un desplazamiento rectilneo.W=Fr=(43.3i+25j)(25i)=1082.53JDetengmonos por un momento en este punto antes de continuar. Si te fijas bien, el resultado es el mismo que en el caso del ejercicio "Trabajo Realizado por Fuerza a Partir del ngulo y del Desplazamiento" en su tercer apartado. Efectivamente,el vector fuerza, que aqu nos dan segn sus componentes, es el mismo que el del ejercicio sealado, slo que en aquel caso nos daban su mdulo y el ngulo que formaba con la horizontal. Como puedes observar en la figura, se puede pasar de una representacin a otra sin problema pero el resultado final debe ser el mismo.

En relacin a la segunda pregunta, recalculamos el trabajo con el nuevo vector desplazamiento:W=Fr=(43.3i+25j)(25i+25j)=1707.5J

PROBLEMA 2:

2. Si el ngulo con el que un objeto rebota es el mismo con el que incide, con respecto a un eje perpendicular a la superficie de impacto. Cul de los siguientes vectores representara mejor al vector V2 - V1?, donde V2 es la velocidad con que rebota de la superficie II.

PROBLEMA 3:

1. Calcule el mdulo de la resultante (en N) de dos fuerza de 4N y 8N respectivamente y que forma un ngulo de 60.

PROBLEMA 4:Determine el coseno del ngulo que forman dos vectores de igual magnitud, si su resultante vale la mitad de ellos.

PROBLEMA 5:Dos fuerzas de igual modulo y que forman un ngulo de 60 entre si, tiene una resultante de 403N. calcule el modulo de dichas fuerzas.

PROBLEMA 6:Calcule el modulo del vector resultante.

PROBLEMA 7:Los mdulos de los vectores y son 4u y 3u respectivamente. Calcule el mximo valor de la operacin |2+ 3|.

PROBLEMA 8:Segn la figura, halle ||, si A=8 y B=6.

PROBLEMA 9:

La resultante de los 4 vectores mostrados tiene un modulo de:

PROBLEMA 10:

El vector suma de los vectores colocados en el hexgono regular es:

PROBLEMA 11:Se muestra un rectngulo ABCD, el modulo de la resultante de sumar los vectores+++ es: (en cm)

PROBLEMA 12

Ser correcto afirmar que los dos sistemas mostrados son equivalentes?

Universidad Peruana los AndesFacultad de IngenieraCarrera Profesional de Ingeniera Civil

Esttica del Cuerpo RgidoIng. Washington Crdova Bonifacio80

Solucin

Para que ambos sistemas, sean equivalentes, las fuerzas del sistema I debieron estar orientadas tal como se muestra en la figura 1.2, que lo denominaremos como Sistema III, cuyo valor de la resultante lo determinamos por la ley del paralelogramo.

R III

7 2 242

25N

Fig. 1.2

En consecuencia, los sistemas I y II no son equivalentes, a pesar que la resultante del sistema I tiene la misma direccin y sentido que la fuerza nica del sistema II.

PROBLEMA 13 :

Si P 76kN y Q 52kN , determine en forma analtica la resultante de P y Q

Fig. 1.3Solucin:

Calculamos el ngulo que forma el vector P con la vertical y el ngulo que forma el vector Q con la horizontal. arctg 16 26,56o 32

arctg 12 26,56o 24

Fig. 1.4De esta manera, el ngulo que forman los vectores P y Q es resultante se calcular por la frmula:

2.26,56 90 143,12o

y la

R P 2 Q2 2PQ cos

762 522 2.76.52.cos143,12o

46,45kN

Para determinar el ngulo que forma la resultante con Q, aplicamos la ley de senos (figura 1.5):

R P

79,09 sen36,88o

senGULO:52,53

PRODUCTOVECTORIAL

PRODUCTO VECTORIALEJEMPLO: 1El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante

Dando como resultado:

EJEMPLO: 2Calcular el producto vectorial de los vectores = (1, 2, 3) y = (1, 1, 2).

EJEMPLO: 3Dados los vectores y, hallar el producto vectorial de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a y.

El producto vectorial de es ortogonal a los vectores y. EJEMPLO: 4Dados los vectores y, hallar el rea del paralelogramo que tiene por lados los vectores y

EJEMPLO: 5Determinar el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos A (1, 1, 3), B (2, 1, 5) y C (3, 3, 1).

EJEMPLO: 6 Siendo y calcular el vector

EJEMPLO: 7 Encontrar el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos

Formamos los vectores y (podran ser cualquiera dos formados con estos puntos)

Sera el rea del paralelogramo Es entonces el rea del tringulo EJEMPLO: 8

Encontrar el volumen del paraleleppedo cuyos lados estn conformados por los vectores El producto triple escalar en valor absoluto, en cualquier combinacin no dar el volumen Volumen

Utilizando desarrollo de determinantes por cofactores de la primera fila es fcil ver que: con los vectores EJEMPLO: 9Si tenemos encontrar el producto cruz entre ellos:

EJEMPLO: 10Si tenemos encontrar el producto cruz entre ellos:

EJEMPLO: 11Si tenemos encontrar el producto cruz entre ellos:

EJEMPLO: 12Encuentre 3 puntos en el plano P, Q y R, para la siguiente ecuacin y encuentre

Propongamos los siguientes puntos que satisfacen la igualdad de la ecuacin: .Encontramos el vector...Encontramos el vector ..Ahora calculamos .Recordando que....

EJEMPLO: 13Encuentre 3 puntos en el plano M, N y O, para la siguiente ecuacin y encuentre

Propongamos los siguientes puntos que satisfacen la igualdad de la ecuacin: .Encontramos el vector...Encontramos el vector ..Ahora calculamos .Recordando que....

EJEMPLO: 14Si tenemos encontrar el producto cruz entre ellos:Para ver de mejor manera el prximo paso lo podemos ver de esta forma

- EJEMPLO: 15Si tenemos encontrar el producto cruz entre ellos:Para ver de mejor manera el prximo paso lo podemos ver de esta forma

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

PROBLEMA 2:

1.Una fuerza le proporciona a la masa de 2,5 Kg. una aceleracin de 1,2 m/s2. Calcular la magnitud de dicha fuerza en Newton y dinas.Datosm = 2,5 Kg.a =1,2 m/s2.F =? (N y dyn)

SolucinNtese que losdatosaparecen en un mismosistemade unidades (M.K.S.)Para calcular la fuerza usamos la ecuacin de la segunda ley de Newton:Sustituyendovalorestenemos:Como nos piden que lo expresemos en dinas, bastar con multiplicar por 105, luego:

PROBLEMA 3:

Qu aceleracin adquirir un cuerpo de 0,5 Kg. cuando sobre l acta una fuerza de 200000 dinas?Datosa =?m = 2,5 Kg.F = 200000 dynSolucinLa masa est dada en M.K.S., en cambio la fuerza est dada en c.g.s.Para trabajar con M.K.S. debemos transformar la fuerza a la unida M.K.S. de esa magnitud (N)La ecuacin de la segunda ley de Newton viene dada por:Despejandoatenemos:Sustituyendo sus valores se tiene:

PROBLEMA 4:

Un cuerpo pesa en la tierra 60 Kp. Cul ser a su peso en la luna, donde la gravedad es 1,6 m/s2?DatosPT= 60 Kp = 588 NPL =?gL = 1,6 m/s2SolucinPara calcular el peso en la luna usamos la ecuacinComo no conocemos la masa, la calculamos por la ecuacin: que al despejarmtenemos:Esta masa es constante en cualquier parte, por lo que podemos usarla en la ecuacin (I):

PROBLEMA 5:

Un ascensor pesa 400 Kp. Qu fuerza debe ejercer el cable hacia arriba para que suba con una aceleracin de 5 m/s2? Suponiendo nulo el roce y la masa del ascensor es de 400 Kg.SolucinComo puede verse en la figura 7, sobre el ascensor actan dos fuerzas: la fuerza F de traccin del cable y la fuerza P del peso, dirigida hacia abajo.La fuerza resultante que acta sobre el ascensor es F PAplicando la ecuacin de la segunda ley de Newton tenemos:

Al transformar 400 Kp a N nos queda que:400 Kp = 400( 9,8 N = 3920 NSustituyendo los valores deP,myase tiene:F 3920 N = 400 Kg. ( 0,5 m/s2F 3920 N = 200 NSi despejamos F tenemos:F = 200 N + 3920 NF = 4120 NPROBLEMA 6:

Un carrito con su carga tiene una masa de 25 Kg. Cuando sobre l acta, horizontalmente, una fuerza de 80 N adquiere una aceleracin de 0,5 m/s2. Qu magnitud tiene la fuerza de rozamiento Fr que se opone al avance del carrito?SolucinEn la figura 8 se muestran las condiciones del problemaLa fuerza F, que acta hacia la derecha, es contrarrestada por la fuerza de roce Fr, que acta hacia la izquierda. De esta forma se obtiene una resultante F Fr que es la fuerza que produce el movimiento.Si aplicamos la segunda ley de Newton se tiene:SustituyendoF,myapor sus valores nos queda80 N Fr = 25 Kg. ( 0,5 m/s280 N Fr = 12,5 NSi despejamos Fr nos queda:Fr = 80 N 12,5 NFr = 67,5 N

PROBLEMA 8:

Cul es la fuerza necesaria para que un mvil de 1500 Kg., partiendo de reposo adquiera una rapidez de 2 m/s2 en 12 s?DatosF =?m = 1500 Kg.Vo = 0Vf = 2 m/s2t = 12 sSolucinComo las unidades estn todas en el sistema M.K.S. no necesitamos hacer transformaciones.La fuerza que nos piden la obtenemos de la ecuacin de la segunda ley de Newton:De esa ecuacin conocemos la masa, pero desconocemos la aceleracin. Esta podemos obtenerla a travs de la ecuacin

Porque parti de reposo.SustituyendoVfytpor sus valores tenemos:Si sustituimos el valor deay demen la ecuacin (I) tenemos que:

PROBLEMA 9:Calcular la masa de un cuerpo, que estando de reposo se le aplica una fuerza de 150 N durante 30 s, permitindole recorrer 10 m. Qu rapidez tendr al cabo de ese tiempo?

Datosm =?Vo = 0F = 150 Nt = 30 sx = 10 mVf =?SolucinComo nos piden la masa, despejamos la segunda la segunda ley de Newton:Como no se conoce la aceleracin y nos dan la distancia que recorre partiendo de reposo, usamos la ecuacin de la distancia en funcin del tiempo y despejamos (a)Sustituyendo valores tenemos:

Sustituyendo los valores de X y t en (II) tenemos:Sustituyendo a y F por sus valores en (I):

PROBLEMA 10:

Consideramos un cuerpo con un masa m = 2 Kg. que est en reposo sobre un plano horizontal, como el indicado en la figura 17. a) Haz un diagrama de cuerpo libre. b) Calcular la fuerza con que el plano reacciona contra el bloque.Solucina)Las fuerzas que actan sobre el bloque estn representadas en la figura 18, donde se elije un eje de coordenadas cuyo origen es el centro del cuerpo, mostrndose las fuerzas verticales: el pesoy la normalEl peso del cuerpo, direccin vertical y sentido hacia abajo.Normal, fuerza que el plano ejerce sobre el bloque.Al diagrama as mostrado se le llamadiagrama de cuerpo libre.b)Para calcular la fuerza que el plano ejerce sobre el bloque aplicamos la segunda ley de Newton:Comoacta hacia arriba yacta hacia abajo, la resultante viene dada en mdulo por N P, que al aplicar la segunda ley de Newton escribimos:N P = m . aComo en la direccin vertical no hay movimiento entonces la aceleracin es cero (a = 0), luegoN P = 0N = PN = m . g (porque P = m ( g)Sustituyendo los valores de m y g se tiene:N = 2 Kg . 9,8 m/s2N = 19,6 NEsta es la fuerza con que el plano reacciona sobre el bloque.

PROBLEMA 11

En la figura 19 se muestran dos masas M1 = 3 Kg. y M2 = 5 Kg. colgando de los extremos de un hilo que pasa por la garganta de una polea a) Hacer un diagrama de las fuerzas que actan b) Calcular la tensin del hilo y la aceleracin con que se mueve el sistema.Solucina)Obsrvese la figura 20(a), la cual representa el diagrama del cuerpo libre para el cuerpo de masa M1.Es la tensin del hilo, actuando hacia arriba.El peso del cuerpo de masa M1.En la figura 20(b) se muestra el diagrama de cuerpo libre para el cuerpo de masa M2.Es la tensin del hilo, actuando hacia arriba.El peso del cuerpo de masa M2.b)Como el cuerpo de masa M1 sube, la tensin T es mayor que P, por lo que podemos escribir en mdulo la segunda ley de Newton as:T P1 = M1 . a. (A)Como el cuerpo de masa M2 baja, el peso P2 es mayor que T, pudindose escribir en mdulo la segunda ley de Newton as:P2 T = M2 . a. (B)Despajando T de la ecuacin (A) nos queda que:T = M1 . a + P1Sustituyendo sta expresin en (B) tenemos:P2 (M1 . a + P1) = M2 . aP2 P1 = M2 . a + M1 . aSacandoacomo factor comn:P2 P1 = a . (M2 + M1)Despejando nos queda:(C)Calculemos por separado P1 y P2P1 = M1 . g = 3 Kg . 9,8 m/s2P1 = 29,4 NP2 = M2 . g = 5 Kg. . 9,8 m/s2P2 = 49 NSustituyendo todos los valores conocidos en la expresin (C) nos queda que:La tensin la obtenemos sustituyendo en la expresin:T = M1 . a + P1T = 3 Kg . 2,45 m/s2 + 29,4 NT = 7,35 N + 29,4 NT = 36,4 NLuegoy T = 36,4 N

PROBLEMA 12

En la figura 21 se muestran dos bloques de masa M2 = 2 Kg. que arrastra sobre el plano horizontal al cuerpo de masa M1 = 7 Kg. Calcular la aceleracin del sistema y tensin de la cuerda.SolucinAntes debemos hacer un diagrama del cuerpo libre.Para el bloque horizontal se muestra la figura 21(a) y para el bloque vertical el diagrama de la figura 21(b).Horizontalmente se desplaza hacia la derecha y la nica fuerza que acta es la tensin, por lo que puede escribirse de acuerdo con la segunda ley de Newton que:T = M1 . a.... (I)En el bloque de masa M2, se lleva a cabo un movimiento vertical hacia abajo, pudindose escribir que:P2 T = M2 . a. (II)Sustituyendo T de la ecuacin (I) en (II) se tiene:P2 M1 . a = M2 ( aTransponiendo trminos se tiene que:P2 = M2 . a + M1 ( aSacandoacomo factor comn:P2 = a . (M2 + M1)Despejando nos queda:Sustituyendo todos los valores conocidos en la expresin (C) nos queda que:La tensin de la cuerda la obtenemos sustituyendo en la expresin:T = M1 . a = 2Kg. ( 2,17 m/s2T = 4,34 N

PROBLEMA 13

Hallar la fuerza con que se atraen dos masas de 5,5 ( 1024 Kg. y 7,3 ( 1022 Kg. separados por una distancia de 3,8 ( 108 m.SolucinF = ?M1 = 5,5 . 1024 Kg.M2 = 7,3 . 1022 Kg.d = 3,8 . 108 mPara calcular la fuerza de atraccin entre las masas M1 y M2, sustituimos en la frmula de la cuarta ley de Newton el valor de cada una de ellas, as como los valores deG, y de la distanciad:Quedando la frmula como sigue:

PROBLEMA 14

Calcular la masa de un cuerpo, si fuerza de atraccin entre dos masas es de 1,8 ( 10-2 N y la masa de una de ellas 0,6 ( 102 Kg., y las separa una distancia de 0,2 ( 10-1 m.SolucinF = 1,8 ( 10-2 NM1 = 0,6 ( 102 Kg.M2 =?d = 0,2 ( 10-1 mDespejando M2 de la frmula de la cuarta ley de Newton tenemosSustituyendo en la frmula los valores tenemos:

MOMENTO PARABOLICO DE CAIDA LIBRE

MOVIMIENTO PARABLICO DE CADA LIBRE1.

2.

3.

4. 5.

6. 7. 8.

9. 10.

11.

12.

13.

14.

15.

EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA

EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA

PROBLEMA 1:

PROBLEMA 2:

PROBLEMA 3:

PROBLEMA 4:

PROBLEMA 5:

PROBLEMA 6:

Un pasillo mecnico de un aeropuerto, se mueve respecto de unos ejes situados en el suelo a una velocidad de 1,5m/s. Si un joven corre por el mismo a una velocidad de 3m/s y en el mismo sentido, cunto valen la velocidad de arrastre, la relativa y la absoluta?.Solucin:La velocidad de arrastre es la del pasillo mecnico, es decir la de los ejes en O', fig.3.

YYVO =1,5 i m / s

r

VoLa velocidad relativa es la que

vlleva el joven respecto de los ejes

OOXmviles en O.

Xvr=3i m / s

ZZ

La velocidad absoluta.

Fig.3vr = V + vr = 1,5 i + 3ir = 4,5 ir m / s

O

Comprubese que cuando el joven corra por el pasillo en sentido contrario, la velocidad absoluta es de 1,5 i m / s .

PROBLEMA 7:

Dos automovilistas A y B se desplazan por una carretera con las siguientes velocidades vA = 120 km/h y vB = 100 km/h. Determnese la velocidad relativa: a) cuando viajan en el mismo sentido y b) cuando lo hacen en sentidos contrarios.

Solucin:

a) Cuando viajan en el mismo sentido

vrA vrB

Las velocidades vrA y vB son respectos de los ejes en O(x,j,z) fijos en tierra, sin embargo lo que se pide es una velocidad relativa.

Para calcular la velocidad de B respecto de A, debemos considerar en A los ejes mviles O(x, y, z) y considerar a la velocidad de ste vA como si fuera la velocidad de arrastre. Sillamamos con vrB , A a la velocidad relativa de B respecto de A, resulta de aplicar la ecuacin [2].

vr relativa = vr absolutaVarrastrerrr

rrr

= 100 i 120 i =20 i km / h

vB,A= vBvA

Para el conductor B, la velocidad relativa es vA , By por las mismas razones.

vrA,B = vrA vrB = 120 i 100 ir = 20 ir km / h

b) Cuando viajan en sentidos contrarios, es ahora vrB =100 ikm / h

vAvB

La velocidad de B respecto de A, vale.

vrrelativa = vr absolutaVarrastrerrr

rrr

== 100 i 120 i=220 i km / h

vB,AvBvA

La velocidad de A respecto de B, vale: vrA,B = vrA vrB = 120 i ( 100 ir ) =220 ir km / h

Sustituyendo en la primera:srr

x i + y j= ( x0 VO t )i+ ( y o vo t ) j

Igualando las componentes resulta:x = xo VO t ;y = yo vo t

Y la ecuacin de la trayectoria de las gotas de lluvia para el observador en el automvil, se obtiene eliminando el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores.

y = yo vo xo + vo x = C + vo x

VO VO VO

Que es la ecuacin de una lnea recta de pendientevo. El ngulo que forma la trayectoria de

V

O

las gotas de lluvia con la horizontal es =arc tgvoypara el conductor llueve sesgado.

VO

b) La velocidad respecto del automovilista que est en movimiento es una velocidad relativa vr

vr= VrO + vro = VO ir vo rj

Considerando que las gotas de lluvia caen a una velocidad de 23 km/h y que el automvil lleva una velocidad de 90 km/h. El ngulo con el que cae la lluvia para el conductor es de 14,3 y la velocidad de la lluvia vr = 25 i 6,4 rj m / s . El mdulo de esta velocidad es 25,8 m/s = 93 km/h.

PROBLEMA 8:

PROBLEMA 9:

Determinar la aceleracin absoluta de un satlite que gira en el Ecuador terrestre, a una altura r' respecto del centro de la Tierra y con una velocidad constante respecto de sta v, en el mismo sentido de la rotacin terrestre, fig.12.

Solucin:

Se tomarn unos ejes unidos a la Tierra y con origen en su centro, sern los ejes mviles O puesto que han de girar con ella con velocidad angular constante T .

Los ejes que permiten determinar el movimiento absoluto estarn fuera de la Tierra, para que no estn afectados por su rotacin. El problema requiere varias aproximaciones para poder ser abordado, as que no se tendrn en cuenta el efecto de arrastre, producido por el movimiento de traslacin de la Tierra en su trayectoria elptica alrededor del Sol, ni el de ste alrededor del centro de nuestra Galaxia. En consecuencia tenemos que tomar:

aO =0Adems al ser la velocidad de rotacin de la Tierra constante r=Cte;d=0

Tdt

Sustituyendo estas dos condiciones en la ecuacin cinemtica de aceleraciones [5] resulta.a = rrrrr

Y( r )+ 2 v+ a

rTLa aceleracin centrpetarrrr

ac= ( r)

y la de Coriolis arCOR = 2r vr se dibujan en

rarcla fig.12.

vrOXPara determinar la aceleracin relativase debe

aCOR

Zrrecordar que estamos considerando el movimiento

Ydel satlite con relacin a la Tierra y con velocidad

constante v.Sin es un vector unitario en la

direccin radial y cuyo sentido es hacia el centro

OXde la TierraO,entonceslaaceleracinrelativa

tiene que ser de la forma:

Zrv2r

Fig.12a = rn

Como todos los vectores a multiplicar vectorialmente son perpendiculares entre s, resulta muy fcil determinar sus mdulos.Observando la figura y teniendo en cuenta el vector unitarionantes definido, se puede

expresar la aceleracin absoluta:

r2r+2r+v 2r2r + 2v +v2 r

a = r nv nr n=rn

En el caso particular de una rbita geoestacionaria, v = 0 y la aceleracin absoluta ar =2 r nr.

PROBLEMA 10:

Un ciclista que viaja con una velocidad de 50 km/h recibe viento de frente de 18 km/h, qu distancia recorrer en 1200 s?.Datos:vciclista= 50 km/hvviento= 18 km/ht = 1200 s

vr= vciclista- vvientovr= 50 km/h - 18 km/hvr= 32 km/h = (32 km/h).(1000 m/km).(1 h/3600 s) = 8,89 m/sv = x/tx = v.tx = (8,89 m/s).(1200 s)x = 10666,7 m

PROBLEMA 11:

Una lancha cruza el ro en forma perpendicular a la corriente con una velocidad de 12 m/s. Si la velocidad de la corriente de agua es de 4 m/s, cul es la velocidad de la lancha respecto de la orilla?.Datos:vlancha= 12 m/svrio= 4 m/sPor la accin de la corriente del rio la lancha se mueve siguiendo una diagonal.

EQUILIBRIO EN EL PLANO

PROBLEMA 1:

PROBLEMA 3

PROBLEMA 4

PROBLEMA 5 :

PROBLEMA 6:

TEMA:MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO

MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTOPROBLEMA 1

Una placa rectangular delgada est sostenida por los soportes de bisagra en A y B

y por dos cables PQ y RS, cuyas tensiones son 200N y 300N, respectivamente.

a) Determinar el momento de la fuerza ejercida por el cable PQ respecto al punto A

b) Determinar el ngulo que forma el cable RS con la lnea RT

Solucin:

a) La fuerza en el cable PQ lo denotamos como P y en forma vectorial es:

P 200 PQ

200 0,4i 0,3 j 0,8k 200 0,4i 0,3 j 0,8kPQ (0,4) 2 0,32 (0,8) 2

0,89

P 84,8i 63,6 j 169,6k

Para el momento, respecto a A, elegimos un vector rAP

pertenece a la lnea de accin PQ)

rAP 0,8k

que va desde A hasta P (punto queLuego:

M A ( P ) rAP xP

i 0 84,8

j063,6

k0,8 169,6

0 i63,6

0,8 169,6

0 j 84,8

0,8 169,6

0 k 84,8

063,6MA( P) 50,88i 67,84 j (N.m)

Fig. 1.24

b) Determinamos los vectores rRS , rRT y calculamos el ngulo que forman dichos vectores

rRS 0,4i j 0,8k

rRT 0,4i 0,8k

cos

RS . RT

RS . RT

0,4i j 0,8k . 0,4i 0,8k 0,667RS RT

0,42 12 (0,8) 2

0,42 (0,8) 2

arccos(0,667) 48,16o

PROBLEMA 2

Una placa rectangular est sostenida por dos mnsulas en A y B y por un cableCD; sabiendo que el momento de la tensin respecto al punto A es determinar el mdulo de la tensin en N.

7,68i 28,8 j 28,8k

(N.m),

Solucin:

La fuerza en el cable CD lo denotamos como P y en forma vectorial es:P P. CD CD

P. 0,3i 0,24 j 0,32k (0,6i 0,48 j 0,64k)P(0,3) 2 0,242 (0,32) 2

Para el momento respecto a A, elegimos un vector rAC que va desde A hasta el punto C (punto que pertenece a la lnea de accin CD)rAC 0,3i 0,08k

Luego:

M A rAC xP

i 0,3 0,6P

j00,48P

k0,08 0,64P

0 i0,48P

0,08 0,64P

0,3 j 0,6P

0,08 0,64P

0,3 k 0,6P

00,48P

MA 0,0384Pi 0,144Pj 0,144Pk

De donde:

P 200N

PROBLEMA 3

La puerta batiente se mantiene en la posicin mostrada en la figura, por medio de dos cables AB y AC y, adems, por las bisagras mostradas. Si las tensiones en los cables son T1 30lb y T2 90lb . Determinar:a)La magnitud de la fuerza resultante

b) El momento de la fuerza tensional T1 respecto al punto C

Solucin:

Fig. 1.26

a) Determinamos las coordenadas de los puntos A, B y C, de acuerdo a la figura 1.27

A (2; 0; 4)

B (5; 2,819; 1,026) C (0; 2,819; 1,026)

Luego:

Fig. 1.27

BA

3i 2,819 j 2,974k 0,591i 0,555 j 0,585k(3) 2 (2,819) 2 2,9742T1 T1. BA 30.(0,591i 0,555 j 0,585k) 17,73i 16,65 j 17,55k

CA

2i 2,819 j 2,974k 0,438i 0,618 j 0,652k22 (2,819) 2 2,9742T2 T2 .CA 90.(0,438i 0,618 j 0,652k) 39,42i 55,62 j 58,68k

En consecuencia: R T1 T2 21,69i 72,27 j 76,23k

La magnitud de la fuerza resultante:R 21,692 (72,27) 2 76,232

107,26lb

b) Para el momento respecto a C, elegimos un vector rCB que va desde C hasta B (punto que pertenece a la lnea de accin de la tensin T1 )rCB 5i

M C rCB xT1

i5 17,73

j0 16,65

k017,55

M C i

0 16,65

017,55

5 j 17,73

017,55

5 k 17,73

0 16,65

87,75 j 83,25k (lb.pie)

PROBLEMA 4: Si las magnitudes de las fuerzas determinar:a) Los momentos de P y Q respecto a los puntos O y C

P 100N

y Q 250N

(figura 1.28),

b) Las distancias perpendiculares entre los puntos O y C y las fuerzas P y Q Solucin:En este caso es conveniente utilizar la forma vectorial:

P 100 AB 100 0,5i 0,6 j 0,36k 58,1i 69,8 j 41,9k

(N)AB

0,860

Q 250 DB 250 0,5i 0,36k 202,9i 146,1k

(N)DB

0,616

Fig. 1.28

Para el caso de los momentos respecto al punto O, elegimos un vector

rOB que va del punto O hasta

B (punto que pertenece a la lnea de accin de los vectores P y Q) y para el caso de los momentos respecto al punto C, elegimos el vector rCB que va del punto C hasta el punto B, escribindolos enforma vectorial:

rOB 0,36k

(m)

rCB 0,6 j (m)

Ahora, determinamos los valores de los momentos respecto a los puntos O y C, posteriormente las distancias requeridas.a) El momento de P respecto al punto O ser:

M O( P ) rOB xP

i 0 58,1

j0 69,8

k0,36 25,1i 20,9 j (N.m)41,9

El momento de P respecto al punto C es:

M C( P ) rCB xP

i 0 58,1

j 0,6 69,8

k041,9

25,1i 34,9k

(N.m)

El momento de Q respecto al punto O ser:

M O(Q) rOB xQ

i 0 202,9

j k0 0,360 146,1

73,0 j (N.m)

El momento de Q respecto al punto C es:

M C(Q) rCB xQ

i 0 202,9

j 0,60

k0146,1

87,7i 121,7k

(N.m)b) La distancia perpendicular del punto O a la lnea de accin de P puede determinarse por:

d OP

M O( P ) P

25,12 (20,9) 2100

0,327m

La distancia perpendicular del punto C a la lnea de accin de P es:

d CP

M C( P ) P

(25,1) 2 (34,9) 2100

0,430m

La distancia perpendicular del punto O a la lnea de accin de Q puede determinarse por:

d OQ

M O ( Q ) Q

(73,0) 2250

0,292m

La distancia perpendicular del punto C a la lnea de accin de Q es:

d CQ

M C( Q) Q

(87,7) 2 (121,7) 2250

0,600m

PROBLEMA 5:Si el momento combinado de las dos fuerzas, cada una de magnitud

respecto al punto H es cero. Se pide:

a) Determinar la distancia d que localiza a H

b) Determinar el ngulo que forman las lneas EC y EB

Solucin:

Fig. 1.29

a) Calculamos los momentos respecto al punto H

PEC

P1

100. EC EC

100. 3 j 3k 70,71j 70,71k32 (3) 2

rHC d.i

i j kP

0 0 d 0

d 0H rHC xP1 dM1

0

070,71

0 70,71

i70,71

j 70,71 0

k 70,71 0

70,71P1 70,71dj 70,71dkMH

PEB

P2

100. EB EB

100. 3i 3 j 3k 57,73i 57,73 j 57,73k32 32 (3) 2

rHB (3 d).i

iH rHB xP2 (3 d)MP2

57,73

j057,73

k0 57,73

0 i57,73

0 57,73

(3 d) j57,73

0 57,73

(3 d) k57,73

057,73

(3 d).(57,73) j (57,73).(3 d)k

Luego, por condicin del problema:

M P1 M P2 0H H

70,71d (3 d).(57,73) 0 d 1,348mb) Determinamos el ngulo que forman las lneas EC y EB

rEC

rEB

3j 3k

3i 3j 3k

cos .

EC . EB

3 j 3k . 3i 3 j 3k 9 9 0,8165EC EB

EC EB 18 27

18. 27

arccos(0,8165) 35,26o

PROBLEMA 6: Determinar el momento de la fuerza de 50kN respecto al punto A (figura 1.30). a) Usar el mtodo vectorial.b) Usar el mtodo escalar colocando las componentes rectangulares de la fuerza en los puntos B, C y D.

Fig. 1.30Solucin:

a) Escribimos la fuerza en forma vectorial, escogiendo el punto D como inicio del eje de coordenadas en el plano XY, pudiendo apreciar que el rectngulo es de 0,6m x 0,8m, es decir, el ngulo ADB es 37 o .F 50 cos 37o i 50sen37o j 40i 30 j (kN)

Elegimos el vector r del punto A al punto D, por facilidad de clculo, siendo:

r rAD 0,3i

(m)

Usando la forma de determinante para el producto cruz, el momento respecto al punto A es:

i jM A rxF rAD xF 0,3 040 30

k0 k(0,3)(30) 9k0

(kN.m)

La magnitud de M A es 9kN.m y la direccin de M A es en la direccin de Z negativo, que por la regla de la mano derecha significa que el momento respecto al punto A es horario.b) En este problema el clculo escalar es tan conveniente como el mtodo vectorial, porque las distancias perpendiculares entre A y cada una de las componentes de fuerza (figura 1.31) pueden determinarse por inspeccin.

Fig. 1.31

Como primer caso, analizamos cuando las componentes estn colocadas en el punto B:

MA (30)(0,5) (40)(0,6) 9kN.m (sentido horario)

Luego, analizamos el caso cuando las componentes estn colocadas en el punto C:

MA (30)(0,1) (40)(0,3) 9kN.m (sentido horario)

Finalmente, analizamos el caso cuando las componentes han sido colocadas en el punto D:

MA (30)(0,3) 9kN.m (sentido horario)

Como se puede apreciar, los resultados son los mismos, lo que implica que si tenemos un sistema coordenado, lgicamente es mucho ms fcil aplicar el mtodo escalar, descomponiendo la fuerza en sus componentes rectangulares y aplicarlo en cualquier punto de la lnea de accin de la fuerza, que los resultados sern los mismos, como se ha demostrado en este problema.PROBLEMA 7: En la siguiente figura, considerando que el peso W de la barra es de 100kg, evaluar el momento de giro en el punto A.

Fig. 1.3426

Solucin:

Fig. 1.32Como se sabe, la ubicacin del peso debe ser en la parte media de la barra, calculando las distancias respectivas, que se muestran en la figura 1.33,a y 1.33,b

Evaluamos el momento en el apoyo A

Fig. 1.33

MA 150.(3,04) 220.(2,28) 100.(1,14) 1071,6kg.m

El sentido es horario por ser negativo

PROBLEMA 8:

Determinar la relacin a/b, sabiendo que el momento en la base A del poste es nulo.

Solucin:

Como el momento respecto a un punto es fuerza x distancia, aplicamos este concepto al presente problema.MA 9F.(b) 2F.(2b) 10F.(1,5b) 6F.(a) 8F.(1,5a) 4F.(2a) 28Fb 26Fa

Por condicin del problema:Fig. 1.3627

De donde:

28Fb 26Fa 0

a 1,077 b

PROBLEMA 9:

La fuerza F acta sobre las tenazas del brazo de robot. Los momentos de Frespecto a los puntos A y B son de 120N.m y 60N.m respectivamente, ambos en sentido antihorario. Determinar F y el ngulo

Solucin:

Fig. 1.35

Efectuamos los momentos respecto a los puntos A y B, descomponiendo la fuerza F y calculando por geometra las distancias: PUNT O A :

PUNT O B :

F cos .(1561,23) Fsen.(150) 120000

F cos .(1041,62) Fsen.(450) 60000

28

PROBLEMA 10:Se coloca una tuerca con una llave como se muestra en la figura. Si el brazo r es igual a 30 cm y el torque de apriete recomendado para la tuerca es de 30 Nm, cul debe ser el valor de la fuerza F aplicada?.

r F

Solucin:

t = r x F = 0,3 m x F = 30 NmDespejando:

0,3 m x F = 30 Nm

2

F = 30 Nm0,3 m

F = 100 NPROBLEMA 11:Una viga uniforme de longitud L sostiene bloques con masas m1 y m2 en dos posiciones, como se ve en la figura. La viga se sustenta sobre dos apoyos puntuales.Para qu valor de X (en metros) estar balanceada la viga en P tal que la fuerza de reaccin en O es cero?.

Datos:L = 7 m d = 1 mm1 = 2,5 kg m2 = 9 kg

Esquematicemos las cargas

Torque en el punto P: t = 0 t = m1.g.(L/2 + d) - m2.g.x = 0 m1.g.(L/2 + d) = m2.g.x

Cancelando gm1.(L/2 + d) = m2.x despejando x:m1.(L/2 + d) = x

2,5 . (7/2 + 1) = x9

1,25 m = x

CENTRO DE GRAVEDAD

CENTRO DE GRAVEDAD

MOMENTO DE INERCIAPROBLEMA 1

PROBLEMA 2

PROBLEMA 3

PROBLEMA 4

PROBLEMA 5

PROBLEMA 6

PROBLEMA 7

PROBLEMA 8

PROBLEMA 9

PROBLEMA 10

Esttica del Cuerpo RgidoIng. Washington Crdova Bonifacio