ESTADÍSTICA APLICADA A LA INVESTIGACIÓN EDUCATIVA

Curso 55

Autores

Dr. C. Miguel Cruz Ramírez Profesor del Instituto Superior Pedagógico

“José de la Luz y Caballero” Holguín

Dr. C. Alipio Omar Pérez Jacinto

Profesor del Instituto Superior Pedagógico “Rubén Martínez Villena”

La Habana

Dr. C. Miguel Escalona Reyes Asistente

Profesor del Instituto Superior Pedagógico “José de la Luz y Caballero”

Holguín

Dr. C. Raúl Hernández Heredia Profesor del Instituto Superior Pedagógico

“Raúl Gómez García” Guantánamo

Edición: Dr. C. María Julia Moreno Castañeda

Corrección: Lic. José Luis Leyva Labrada.

Diseño y composición: MSc. Nelson Piñero Alonso

© sobre la presente edición, sello editor Educación Cubana. Ministerio de Educación, 2009

ISBN 978-959-18-0463-1

Sello Editor EDUCACIÓN CUBANA Dirección de Ciencia y Técnica Avenida 3ra # 1408 esquina a 16. Miramar, Playa. Ciudad de La Habana. Cuba. Teléfono: (53-7) 202-2259

ÍNDICE

Introducción / 1

Variables más comunes / 3

Escalas de medición / 10

Construcción de tablas y gráficos / 20

Técnicas sociométricas/ 48

Diagramas, flujogramas y organigramas / 57

Descripción numérica de los resultados / 68

Análisis de la relación entre dos variables cuantitativas / 93

Bibliografía /109

1

Introducción En la actualidad resulta significativa la aplicación de los recursos estadísticos y computacionales en las investigaciones avanzadas en Ciencias de la Educación. El saber científico crece a velocidades antes inimaginables, a la vez que las investigaciones educacionales exigen mayor concreción y combinación de los procedimientos cuantitativos y cualitativos. En este curso se exponen algunas de las potencialidades que brinda la Estadística Descriptiva para la interpretación de datos empíricos, resaltando el valor heurístico que le es concomitante.

El uso descriptivo de datos aparece con frecuencia en el procesamiento de instrumentos, tales como entrevistas, encuestas y pruebas pedagógicas. La interpretación de los resultados favorece una correcta formulación de problemas e hipótesis; también sienta las bases para el análisis experimental, lo cual es contenido básico de la Estadística Inferencial.

No obstante, los senderos trillados de los métodos cuantitativos enfrentan peligros de todo tipo, especialmente en el ámbito de las investigaciones educacionales. La Estadística Descriptiva está más alejada del positivismo, pues su valor heurístico le permite servir de fuente argumentativa e insertarse en el discurso de la investigación cualitativa.

El curso ha sido pensado, especialmente, para los docentes que realizan investigaciones relacionadas con la Pedagogía, la Dirección Científica Educacional, la aplicación de las Tecnologías de la Informática y las Comunicaciones (TIC), entre otras ramas de las Ciencias de la Educación. Puede ser especialmente útil para estudiantes de maestría y doctorado de cualquier rama de las Ciencias Sociales.

Los cursistas encontrarán una explicación pormenorizada sobre la aplicabilidad de todo el contenido; así como ejemplos bien diversos que fueron tomados de investigaciones reales, aunque matizados por ciertas adaptaciones y modificaciones con fines didácticos.

2

La primera versión de este curso se experimentó en la docencia de la Maestría en Ciencias de la Educación en la provincia oriental de Holguín. La idea original correspondió al Comité Académico, el cual diagnosticó la imperiosidad de acercar los contenidos relacionados con la estadística a las necesidades investigativas de los docentes. Como suele ocurrir, se partió de un manuscrito preliminar, el cual se había empleado en la docencia del Doctorado Curricular del Instituto Superior Pedagógico de Holguín. Aquel libro en ciernes tenía diversas carencias, incluso deficiencias de orden didáctico. Más adelante, tomando en consideración las recomendaciones y observaciones de muchos colegas, se conformó un libro titulado El procesamiento de la información en las investigaciones educacionales. De este texto han sido tomados los capítulos 2-5, con el fin de conformar el material del presente curso pre-evento.

3

VARIABLES MÁS COMUNES

La información educacional emerge de fuentes disímiles; por ejemplo, de encuestas, de entrevistas, de dispositivos de evaluación como las pruebas pedagógicas, de la revisión de documentos, entre otras. Los datos regularmente son muchos y la información tiende a ser confusa. Por este motivo, es necesario organizar todos los datos, a fin de poder hacer un uso efectivo de ellos.

Un aspecto esencial para el manejo de datos consiste en el establecimiento de variables, las cuales tienen su propia naturaleza, en dependencia de las características de la información que se recoge. Por ejemplo, el director de una escuela podría tener una lista con los subtotales de estudiantes con dificultades académicas, de cada grupo. Estas cantidades son números naturales, pero no es permisible la realización tácita de cualquier operación aritmética, tal y como se haría con dichos números ordinariamente.

En efecto, tiene sentido sumar, pues la suma constituye el total de estudiantes con problemas académicos de toda la escuela. En cierta medida tiene sentido restarle a una cantidad mayor otra menor, lo cual permitiría comparar dos grupos en cuanto a resultados docentes. Sin embargo, esto no es tan simple, pues las diferencias absolutas en ocasiones no ofrecen una buena medida. Por este motivo, se trabaja con porcentajes, a partir de las matrículas de los grupos a comparar. En este mismo conjunto de datos, es común promediar todos los subtotales; sin embargo, es embarazoso interpretar un resultado con decimales, como podría ser el de 3,56 alumnos.

De la misma manera, puede ocurrir que las calificaciones de tres estudiantes sean: 0,00; 40,00 y 80,00, respectivamente. No es posible deducir de aquí que el conocimiento del primero es nulo, ni que el tercero tiene el doble de la cantidad de conocimientos que el segundo. Evidentemente, la definición de las variables constituye un asunto de suma importancia en cualquier investigación. En general, una variable se refiere a cualquier fenómeno, considerado en función de una de sus características que al manifestarse puede tomar distintos valores.

4

Para hacer un uso efectivo de las variables es necesario organizarlas según criterios prefijados. Esto ha originado una amplia diversidad de clasificaciones y tipologías en la literatura. Por ejemplo, en los diseños experimentales es posible identificar variables independientes, dependientes, moderadoras, intervinientes y de control (extrañas). En la figura 1 se ilustra una clasificación, adecuada para las investigaciones educacionales.

VARIABLES

CUANTITATIVAS CUALITATIVAS

Fig. 1 Clasificación de variables

La clasificación anterior toma como criterio la naturaleza de los datos, y tiene gran importancia para la selección de los métodos estadísticos a emplear, durante el procesamiento de la información. En general, las distintas clasificaciones entran en conexión; por ejemplo, una variable independiente puede ser también discreta. A continuación, esta clasificación se explica y ejemplifica con más detalles.

Variables Nominales: Se trata de un tipo de variable, donde cada clase o categoría tiene el mismo nivel de jerarquía. El cambio de valor para este tipo de variable significa un cambio de cualidad; no es posible ordenar sus diferentes clases o categorías, ni siquiera considerar una superior o inferior a las demás. Otro rasgo distintivo consiste en la carencia de sentido para cualquier operación aritmética; o sea, para la suma, la resta, la multiplicación, la división y la potenciación.

DISCRETAS CONTINUAS ORDINALESNOMINALES

5

Ejemplos:

1. El sexo de una persona, que tiene dos valores posibles: Femenino o Masculino (F o M). Este tipo de dato puede provenir de la revisión de expedientes acumulativos, que es un caso particular de revisión de documentos; de los datos solicitados en el encabezamiento de una encuesta; etcétera. Regularmente, al introducir este tipo de dato en un paquete computacional, se asignan 0 y 1 a los valores de la variable, según sean F o M, respectivamente. De cualquier manera, aquí tampoco tiene sentido comparar los valores 0 y 1, ni siquiera realizar operaciones aritméticas con ellos. En general se prefiere trabajar con números y no con palabras, para facilitar el procesamiento estadístico. La variable Sexo, al tomar dos únicos valores, es un tipo especial de variable dicotómica.

2. La variable nombre(s) de los estudiantes, que a pesar de poder ordenarse alfabéticamente según los apellidos, tal orden sólo tiene un valor de orientación en cualquier registro de asistencia y evaluación, pero nada tiene que ver con definir un orden comparativo en la variable misma. Para comprender esto mejor, nótese que tiene sentido observar un incremento en la promoción de cierta escuela desde 1997 hasta 2007, pero es absurdo considerar “un aumento del índice académico desde Cruz hasta Ramírez”. Los nombres, por su naturaleza, siempre tienen el mismo nivel de jerarquía.

3. La asignatura, que puede tomar diversos valores como Historia, Español, Química, Geografía y Biología. Es evidente que cada asignatura puede tener mayor o menor preferencia, o bien mayor o menor porcentaje de promoción, lo cual podría constituir un criterio para organizarlas. Sin embargo, esto no sería respecto a la naturaleza de la variable en sí, sino a la de otra variable apareada (preferencia y promoción).

4. El temperamento, que puede ser predominantemente Colérico, Flemático, Melancólico, o Sanguíneo. Naturalmente que en la personalidad es posible encontrar un temperamento predominante entre estos cuatro; pero no tiene sentido darle

6

preferencia a ninguno de ellos, en virtud de la diversidad humana.

Variables Ordinales: A diferencia de las anteriores, existe un orden preestablecido para cada clase o categoría, donde el tránsito de un valor a otro significa un salto de calidad. Sus categorías pueden compararse como cualitativamente superiores o inferiores. En este tipo de variable no tiene sentido definir una distancia entre los diferentes valores; por ese motivo, nuevamente un rasgo esencial consiste en que no es posible realizar operaciones aritméticas.

Ejemplos:

1. La evaluación del Componente educativo, en secundaria básica, se expresa de manera cualitativa en las categorías de Insuficiente (I), Regular (R), Bien (B), Muy Bien (MB) y Excelente (E). (Ministerio de Educación, Resolución 226/03, Resuelvo Octavo).

2. El rendimiento académico, que puede ser Bajo, Medio y Alto.

3. La evaluación de un software educativo, donde a menudo se utilizan las categorías de Innecesario, Opcional, Complementario, Necesario, e Imprescindible.

4. En el Reglamento para el trabajo docente y metodológico en la Educación Superior, las calificaciones se expresan mediante los símbolos 2, 3, 4 y 5 (Ministerio de Educación Superior, Resolución 210/07, Artículos 152-153, p. 225). A pesar de emplear números, cada uno de ellos expresa una cualidad: Mal, Regular, Bien y Excelente, respectivamente. Aunque 4 es el doble de 2, no puede decirse que una calificación es el doble de la otra; no obstante está claro que todas las calificaciones son comparables, o sea 2 < 3 < 4 < 5. También es evidente que en un examen de tres preguntas, cuyos resultados fueron 3, 5 y 5, la calificación no es la simple suma 3 + 5 + 5 = 13, ni siquiera el promedio de estos números. El profesor deberá emitir una calificación, tomando como base un juicio cualitativo. En dependencia de la importancia de la primera pregunta, así como de la gravedad de los errores cometidos, la calificación final será de 3 ó 4. Algunas veces los

7

profesores emplean categorías como 4+ ó 5–. Esto es una muestra de falta de criterios precisos para diferenciar el 4 del 5. Existe una discusión muy particular, sobre el asunto de promediar calificaciones como estas. Naturalmente que un resultado podría ser, por ejemplo, 4,25 en un índice general. Este número no pertenece al conjunto de valores de la variable. La explicación de esto se dará más adelante.

Variables Discretas: Son aquellas que sólo pueden tomar un número finito o numerable de valores reales diferentes. Tiene sentido realizar operaciones aritméticas con ellas, siempre y cuando los resultados puedan ser interpretados adecuadamente. Al igual que las variables anteriores, no admiten valores intermedios entre dos valores cualesquiera.

Ejemplos:

1. La evaluación del Componente instructivo en secundaria básica se expresa en una escala de 10 puntos, del 1 como categoría mínima al 10 como categoría máxima, para todas las asignaturas del currículo (Ministerio de Educación, Resolución 226/03, Resuelvo Séptimo).

2. La matrícula de una escuela, donde se utilizan los números naturales sin tener que precisar necesariamente un valor máximo. Son usuales para las aulas de las escuelas cubanas los valores 15, 30 y 45. Los números de la primera decena no son usuales, aunque aparecen en pequeñas escuelas rurales y en aulas multigrado. En esta variable tiene sentido la noción de proporción, pues una matrícula de 45 estudiantes es el triple de otra de 15. No es posible encontrar un puntaje entre cualquier pareja consecutiva. Así, entre un total de 18 estudiantes y otro de 19, no existe ningún total posible. La división con resto tiene sentido; por ejemplo, si se desean formar cinco equipos para organizar un seminario, la cantidad de miembros no será equitativa, a menos que la matrícula del grupo deje resto cero en la división por cinco.

3. El puntaje de una competencia de conocimientos. Por ejemplo, en las Olimpiadas Internacionales de Matemática se utilizan

8

ocho valores: 0, 1,… 6 y 7. De esta manera, si el puntaje en las seis preguntas fue de 2, 7, 7, 0, 5, y 1, tiene sentido decir que se han acumulado 2 + 7 + 7 + 0 + 5 + 1 = 22 puntos, lo cual significa que este puntaje es el doble de otro de 11 puntos.

4. La edad, para la cual se utilizan números naturales, donde 0 significa que aún no se ha cumplido el primer año de vida. Regularmente no tiene sentido hablar de una cantidad fraccionaria de años, a menos que el investigador desee precisarla con exactitud de meses y días.

5. La fuerza, como capacidad física condicional, siempre que esta sea medida por el número de repeticiones realizadas; por ejemplo, en los abdominales y en las planchas.

Variables Continuas: Son aquellas que pueden tomar cualquier valor en un intervalo de números reales. A diferencia de las anteriores, estas variables tienen una naturaleza densa, o sea, entre dos valores cualesquiera siempre es posible hallar otro y, por ende, infinitos valores.

Ejemplos:

1. La calificación de un examen parcial; con el empleo de las notas usuales de la escuela cubana. En la escala ordinaria de 0 a 100, constituye un convenio el redondeo a dos lugares decimales. De esta manera, entre 78,12 y 78,13 no es posible considerar una tercera calificación. De hecho, como la variable es continua, existen infinitas calificaciones intermedias, pero es el convenio asumido quien las reduce a uno de esos dos números, por exceso o por defecto. Algunos autores clasifican esta variable como discreta, alegando que en su dominio solo existen 1001 valores posibles (0,00; 0,01; 0,02; …; 99,99 y 100). Desde esta perspectiva no tendría caso establecer diferencias entre los índices generales de dos estudiantes que empatan por redondeo. Por ejemplo, a pesar de que 98,335 < 98,344, ambas calificaciones se reducen a 98,34.

2. El tiempo, medido en fracciones de segundos o minutos, para estudiar el desarrollo de determinadas destrezas en un

9

ambiente de aprendizaje; en fracciones de horas, para contabilizar el tiempo semanal dedicado al estudio independiente; etcétera. Naturalmente, si se decide tomar el número de horas completas, la variable sería discreta. En este caso se comprende que los valores han sido redondeados, eliminando las cifras decimales.

3. Variables antropométricas, como estatura y peso, medidas en cm. y Kg. respectivamente.

4. Capacidades físicas condicionales, como rapidez, y resistencia medidas en escalas de tiempo. Nuevamente la fuerza puede servir de ejemplo, pero especialmente en los casos de salto hacia arriba u horizontal, medidos en unidades de longitud. Todas estas variables son de uso muy común en la asignatura de Educación Física.

Es necesario aclarar algunos aspectos relacionados con la terminología empleada. Las variables discretas y continuas son ordenables por su naturaleza cuantitativa. Sin embargo, como es frecuente en la literatura, se reserva el término “ordinal” para el tipo de variable cualitativa antes explicado. En lo adelante, cuando se exija que una variable sea al menos ordinal, se estará refiriendo a la existencia de un orden en sentido general, o sea, a las ordinales, las discretas y las continuas.

Se podría pensar que en algunos casos existen pocas diferencias entre las variables discretas y continuas. Por ejemplo, cuando se mide la estatura con una cinta métrica ordinaria, la cantidad de valores (marcas) que esta posee es finita. Sin embargo, esto solo tiene que ver con el nivel de precisión del instrumento utilizado, y no con la naturaleza del dato que se maneja. No cabe dudas de que la estatura de una persona puede alcanzar cualquier valor, entre dos valores posibles, aunque sea imposible medirla con toda exactitud, debido a la insuficiente precisión del instrumento empleado.

Las variables son el corazón de la metodología cuantitativa. En cambio, la investigación cualitativa utiliza el concepto de categorías analíticas, las cuales no necesariamente se definen

10

apriorísticamente. Según la investigadora mexicana Silvia Villaseñor (2002, p. 42):

“Las categorías analíticas son ideas, conceptos, áreas de cambio que nos interesa investigar y que nos facilitarán realizar un análisis e interpretación de lo encontrado en el proceso de investigación. Son conceptos abarcadores, que a diferencia de las variables, no nos obligan a mirar únicamente los aspectos previstos de antemano”.

Para cuantificar es necesario detener imaginariamente el campo de investigación, tal y como si se capturara su imagen. De esta manera es posible definir procedimientos de medición y, de ser posible, refinar las medidas. A modo de símil, esto es como si dicha imagen se pudiera ampliar para desentrañar sus detalles. Sin embargo, por el sendero cualitativo se opta por tomar dicha imagen en movimiento, lo cual facilita la interpretación de las relaciones más complejas.

ESCALAS DE MEDICIÓN

Como se ha podido observar, la escala es un asunto de suma importancia para la medición de las variables. Por ejemplo, atendiendo a la escala, las continuas se subdividen en variables de intervalo y de razón. La escala de intervalo se caracteriza por la invariabilidad de las longitudes de dos intervalos cualesquiera, bajo un cambio de escala del tipo y = ax + b. En el caso de las escalas de razón ocurre algo similar, pero respecto a la transformación y = ax. La diferencia más notable entre ambas escalas consiste en que en la primera el cero es relativo, mientras que en la segunda este es absoluto. El conocimiento de ambas escalas es esencial para determinar los métodos estadísticos a aplicar durante cualquier diseño experimental.

Existe un ejemplo formidable en el mundo físico, relativo a la variable Temperatura. Las escalas Celsius y Fahrenheit son de intervalo, y sus ceros fueron concebidos de forma relativa, a partir del punto de congelación del agua y de una disolución saturada de sal común en agua, respectivamente. La transformación ºF = 9/5 ºC + 32 expresa una relación lineal entre ambas escalas. Por su parte,

11

la escala Kelvin es de razón pues considera la existencia de un cero absoluto (aproximadamente -273 °C), inalcanzable por la muerte térmica del universo. En la asignatura de Educación Física es frecuente trabajar con escalas de razón como estatura y rapidez, que no pueden ser negativas.

Tradicionalmente, las mayores dificultades surgen a la hora de prefijar una escala para variables cualitativas multifactoriales. La categorización de estas variables es un proceso complejo, capaz de presentar no pocos obstáculos. Sin embargo, desde el punto de vista metodológico, con frecuencia no es posible trabajar con indefinidas formas de una variable, pues la práctica no lo permite.

Por ejemplo, la inteligencia tiene un carácter altamente complejo y multifactorial; pero esto no impide el establecimiento de cortes que delimiten estratos distintivos. El problema reside, precisamente, en dónde hacer el corte. La respuesta más trivial: “donde resulte conveniente”, no soluciona el problema. Algunas convenciones sobre el lugar y la denominación de los estratos no se han realizado, o bien no son universales.

En el caso particular de la inteligencia, algunos psicólogos neopositivistas occidentales la reducen a un solo indicador: el coeficiente de inteligencia (IQ, del alemán Intelligenz-Quotient). Se trata de la razón entre la edad mental y la edad cronológica, multiplicada por 100. Los test que se usan proponen tareas muy variadas, con diferentes niveles, y están dirigidos a evaluar todas las funciones intelectuales importantes.

Por ejemplo, si alguien resolviera la cantidad de problemas que el promedio de niños de nueve años consigue resolver, tendrá la edad mental de un niño de nueve años, sin importar su edad cronológica. Si la persona fuese un niño de nueve años, su cociente IQ será normal (9/9 x 100 = 100). Ahora bien, si el niño tuviera seis años, significa que su cociente es alto (9/6 x 100 = 150), y que se encuentra muy adelantado para su edad cronológica. Por el contrario, si tuviera doce años, tendrá un cociente bajo (9/12 x 100 = 75). Cerca del 70% de las personas presentan cocientes intelectuales entre 85 y 115; y solamente una de cada doscientas personas tiene un número superior a 140 o menor que 60.

12

Es necesario señalar que el cálculo del IQ reduce la inteligencia a la habilidad mental, estableciendo una escala continua. Aunque este

En la literatura, el IQ también ha sido dividido en estratos. En la figura 2 se muestra la politomía más difundida. Aún así, algunos autores dividen las escalas superior e inferior en nuevos estratos. Por ejemplo, la superdotación puede subdividirse en genialidad (145-164), alta genialidad (165-179), mayor genialidad (180-200), e inmensa genialidad (+200).

70%

+160

55 70 85 100 115 130 145

Insu

ficie

ncia

m

enta

l (2,

3%)

Inte

ligen

cia

débi

l (13

,6%

)

Gra

n in

telig

enci

a (1

3,6%

)

Inte

ligen

cia

supe

rior (

2,1%

)

Sup

erdo

tado

s (0

,13%

)

Med

ia a

lta

(34,

1%)

Med

ia b

aja

(34,

1%)

Fig. 2 Politomía más difundida

Se estima que Einstein, al igual que la mayoría de los premios Nóbel, debía sobrepasar los 160. El record de más de 200 solo se estima para unas dos docenas de personas en la historia de la humanidad. Tal es el caso de William James Sidis (1898-1944), quien asesoraba a profesores de Harvard en espacios de cuatro dimensiones, a la edad de 11 años, y fue profesor de matemáticas en la Universidad Rice a los 14 años. Dominaba fácilmente más idiomas que el record mundial de aquel entonces, alrededor de 40. Según el libro Guinness world records, el record mundial está en manos de Marilyn vos Savant (n. 1946), columnista, escritora, conferencista y dramaturga estadounidense, con IQ = 228.

13

n que esto no es así pues, según ellos, un IQ

rimer lugar, las categorías deben ser mutuamente

tudio y particularmente

procedimiento es bastante práctico, reduce drásticamente una variable cualitativa altamente compleja y multifactorial a un número real (siempre racional), lo cual tiende a ser poco confiable. Nótese, por ejemplo, que dos personas pueden tener igual IQ; sin embargo, es absurdo suponer que sus niveles de inteligencia sean exactamente iguales.

Es oportuno señalar que la variable IQ posee una escala de razón. Algunos autores alegade 150 no puede ser el doble de otro de 75, ya que la inteligencia expresada por el primero no es el doble de la del segundo. Este planteamiento no tiene fundamento, pues una cosa es la variable Inteligencia y otra la variable IQ. El hecho de que se trate de identificar el nivel de inteligencia con el valor de este coeficiente, lleva a algunos investigadores a tales razonamientos infundados. Un IQ de 150 es el doble de otro de 75, pero eso no quiere decir (y aquí está la falsa inferencia) que la inteligencia del primero duplique la del segundo.

El establecimiento de categorías debe reunir tres condiciones básicas. En pexcluyentes, de manera que la pertenencia a cualquiera de ellas sea exclusiva. Si se han determinado los indicadores de medida, el objeto que se mide debe pertenecer únicamente a una categoría de la escala. En segundo lugar, la división debe ser exhaustiva, o sea, tendrá en cuenta todos y cada uno de los casos que se puedan dar. Finalmente, las categorías deben precisarse lo suficiente, como para ser medidas. Esto significa que deben definirse operativamente, a través de indicadores de más fácil medición.

Una investigación empírica será tanto más empírica cuando se definan, con más claridad, los términos del eslas variables. Llevar la concreción a un extremo restringe la validez externa, a pesar de que incrementa su validez interna. La mayoría de los investigadores se inclinan por buscar una mediación; un punto medio entre las demandas de la validez interna para más concreción, y las de la externa para más generalización. En el caso de la variable Inteligencia, la reducción al cálculo del IQ es un ejemplo de concreción extrema.

14

alas como las gráficas y las verbales. Tipos

Las es fieren a estadios, c sp to que

Además de las variables numéricas, en la práctica educativa son frecuentes otras escespeciales de escalas gráficas se apoyan en el contraste de antónimos en los extremos, y se denominan escalas de diferencial semántico. Ellas fueron desarrolladas por Charles Egerton Osgood (1916-1991) y por eso también llevan su nombre. He aquí un ejemplo cuyo objetivo consiste en indagar sobre el estado de opinión de un colectivo de estudiantes, respecto a una actividad extraescolar.

Evalúe la actividad marcando con una equis (X) de acuerdo a su opinión:

Breve Extensa

calas verbalesategorías,

suelen ser más desccaracterísticas esenci

riptivas, y se reales, u otro a ec

sirva para diferenciar escalas de actitud. Estas escalas suelen ser poco rigurosas en cuanto a exhaustividad, a partir de que su empleo presupone una idea poco precisa del fenómeno objeto de estudio. En ocasiones, la formulación de algunas categorías imbrica cierto solapamiento, fallando también el presupuesto de ser mutuamente excluyentes. En el siguiente ejemplo las categorías son excluyentes, pero no es razonable asegurar que sean exhaustivas.

Amena Tediosa

Interesante Banal

Entretenida Aburrida

Inefectiva

Organizada ada

Agradable

Creativa Rutinaria

Efectiva

Desorganiz

Desagradable

15

Usted estudia… (Marque con una equis):

Analizar la conducta de desatención de un niño es mucho más complejo todavía. Por este motivo, es necesario apoyarse en un conjunto de descripciones no del todo excluyentes, ni siquiera del todo exhaustivas, tal y como se ilustra a continuación.

Marque con una equis (X) las características que observa en su niño(a):

• Tiene gran dificultad para concentrarse sobre detalles; comete errores de omisión en las tareas.

• Tiene que hacer un gran esfuerzo para permanecer atento en forma prolongada en las tareas o juegos.

• Con frecuencia parece no escuchar cuando otros le hablan.

• Tiene dificultades para comprender las tareas que se le dan y no las concreta ni en la escuela ni en la casa.

• Tiene dificultades en organizar las tareas o actividades debidas o pendientes.

• Demora, evita o rechaza con frecuencia tareas en la escuela o en la casa, las cuales exigen un prolongado esfuerzo intelectual.

• Pierde con frecuencia los objetos que serán necesarios para las tareas o actividades en la escuela o en la casa (por ejemplo: juguetes, lápices, libros, o indicaciones).

• Atiende en forma superficial a estímulos exteriores.

Siempre

La mayoría de las veces

Algunas veces

Casi nunca

Nunca

16

olvidadizo.

Con frecu estas formas de medición se combinan en los instrumen lmente en las encuestas y en las guías de observaci a evaluación anterior podría aparecer:

La conduc reseñada:

En escaEstnortporMeamede esta

La desfresetiendonunacons

• Es en lo cotidiano extremadamente

enciatos, especiaón. Por ejemplo, tras l

ta anteriormente

De persentoAtteclas

l

a

d

Se da en él:

Es:

iperactividad,

-Deficit-Hyperactivity Disorders (ADHD), según la ión DSM IV - 1994.

slas tip ctitud hacia cierto aspecto.

ea ual las fundamentó he

surement of Attitudes (1932). En ellas las respuestas se dan

las ción de análisis dí

es s polaridades, desde un extremo avrven de cinco a siete categorías de evaluación. He aquí un ejemplo, de

uid

esta manera, por ejemplo, si estos trastornos en la atención son istentes y/o ligados a trastornos de impulsividad-h

Esporádica

nces puede estarse diagnosticando un niño con el síndrome ntionificac

a investigaciones educacionales también es frecuente encontrar o Likert, dirigidas a evaluar la a

s escalas deben su nombre al psicólogo y estadístico mericano Rensis Likert (1903-1981), el c

primera vez en su tesis doctoral A Technique for t

iante una escala numérica, a la cual se le atribuyen propiedades escalas de intervalo, permitiendo la realizasticos más complejos.

cala tiene siempre doorable hasta otro favorable, con una posición intermedia ada para respuestas indecisas. Casi siempre estas escalas

se persigue medir el índice de satisfacción del alumnado de niversidad. El investigador elabora un instrumento, donde

era cinco indicadores básicos:

Habitual Periódica

Con gran intensidad Normalmente Con poca fuerza

17

Proceso de enseñanza-aprendizaje.

ncuestado una escala tipo iker mo la que apar ue corresponde al uin in uenta con se racterizar el

so d -aprendizaje. La escala de actitud admite cinco ategoría reciente, sponde a espuestas mayormente indecisas. Las categorías son las siguientes:

rdo

Organización de la enseñanza. Instalaciones e infraestructuras para el proceso

formativo. Plan de estudios y su estructura. Acceso y atención al alumnado.

Para cada uno de ellos se presenta al eL t co ece a continuación, qqproce

to dicador y c is descriptores para cae enseñanza

c s en orden c donde la intermedia correr

1 = Nada de acuerdo 2 = Poco de acuerdo 3 = Ni de acuerdo ni en desacuerdo 4 = Bastante de acuerdo 5 = Totalmente de acue

Tabla 1 Descriptores y escala de actitud

1 2 3 4 5 Los métodos de enseñanza favorecen una implicación activa del estudiante.

Adecuados procedimientos y criterios de evaluación.

La bibliografía básica es inaccesible. La atención a las diferencias individuales es inadecuada.

Existen suficientes opciones para la realización de las prácticas profesionales.

El cumplimiento de las tutorías por los docentes es incorrecto.

Como pudo observarse, en la tabla 1, tres indicadores han sido redactados en forma negativa, por el uso de los adjetivos “inaccesible”, “inadecuada” e “incorrecto”. El propio Likert ya había recomendado que aproximadamente la mitad se redactara así, para evitar efectos psicológicos indeseables como la pérdida de la

18

concentración lor de escala se toma simétricamenmarca el 4 se y así sucesivamente.

Puede otarse uida inmediatamente por la escala d rmente, como si en realida fuer ránsito de escala

una o se utilizan números naturales desde 2 hasta era universitaria, cuando la cantidad de califi nces se calcula el índice gene es posible en escalas continuas. Parti e un “2” persiste en calidad de suspenso y el cá e un convenio establecido, donde utilidad.

La tificar el ranking de los ind or cierto objeto. Es a, por decidir si es más fav una persona u otra, de modo que o s co an de for métodos de enseñanza fav implicación activa del estudiante), e to no da una idea mu

Mu e marcan actitudes dif o l m gn ud iferencia. Este problema ya había sido analizado antes del trabajo

de Likert, cuando en 1928 el norteamericano Louis Leon Thurstone

. Para estos indicadores el vate; o sea, si el encuestado marca el 5 se toma el 1, si toma el 2,

n tit que la escala de actitud es susiscreta, la cual es procesada ulterio

d a una escala de intervalo. El tcualitativa ⇒ discreta ⇒ intervalo es más un problema filosófico que matemático. En la práctica, este procedimiento es bastante efectivo cuando la cantidad de instrumentos aplicados es suficientemente grande.

En las calificaciones de la Educación Superior, tal y como se señaló anteriormente, ocurre algo similar. Inicialmente se califica siguiendo

escala cualitativa, per 5. Finalizada la carr

caciones es bastante grande, entoral (promedio), lo cualcularmente, la existencia d

lculo no puede ejecutarse. Se trata d la práctica ha hecho ver su inobjetable

s escalas tipo Likert permiten idenividuos, en términos generales de preferencia p

to sólo provee información limitadorable para n e posible

mparar con efectividad. Por ejemplo, si dos individuos evalúma idéntica la primera categoría (losorecen una sy precisa del “nivel de igualdad” en su actitud.

cho más complicado es el caso en querentes, pues no es posible precisar tampoc a a it de esta

d

(1887-1955) desarrolló una escala que lleva su nombre, para medir actitudes hacia la religión. La complejidad y el costo elevado de la construcción de estas escalas hizo que fueran relegadas por las de Likert, cuya mayor sencillez para producir resultados similares que las de Thurstone, las colmaron de popularidad hasta el día de hoy.

19

indiferencia hacia la

dor busca un criterio firme sobre determinado aspecto,

s

modelo, etcétera,

Es oportuno retomar el asunto de la paridad del número de categorías, cuando estas son ordinales. Optar por posiciones intermedias puede ser el reflejo de una encuesta, y no precisamente hacia el aspecto que se evalúa. Si el número de categorías es par, el encuestado se vería en la disyuntiva de seleccionar una categoría, de la primera o de la segunda mitad.

Esto significa que no tiene una alternativa intermedia, sino dos polaridades: negativa y positiva. Tales situaciones dependen del contenido de lo que se pregunta; por ejemplo, cuando el investigaevitando posiciones neutrales o indecisas.

Algunos estudios han cuestionado el uso de categorías centrales, porque estas pueden atraer a las personas que las seleccionan por razones diferentes a su posición respecto a la actitud medida. Investigaciones recientes sobre este tema han revelado que, casi un 50% de los sujetos que responden mediante categorías centrales, lo hace por razones diferentes a la de estar en el punto medio de la variable medida.

Otros estudios han mostrado que, incluso los sujetos con nivelemedios en la variable, tienen una probabilidad muy pequeña de contestar utilizando la categoría central, y es más probable que respondan utilizando otras categorías adyacentes. Así pues, existen argumentos para plantear que la utilidad de la categoría de respuesta central está seriamente cuestionada.

Por otra parte, en la medida que existan más categorías, mayor será el nivel de precisión que se alcance. Cuando un investigador decida evaluar determinado procedimiento, estrategia, puede establecer una escala de orden cualitativo.

A continuación, un estudio piloto revelará si es necesario o no refinar la escala; incluso si este refinamiento debe hacerse entre determinadas categorías específicas. Para establecer el tipo de variable, debe suponerse que los valores de la misma han sido fijados, una vez que sus puntajes se refinaron lo suficiente.

20

ción de un conjunto numeroso de datos. La

imensión interna; así

ible distinguir con

Retomando la escala Likert del ejemplo anterior, es posible refinarla utilizando otras categorías como:

1 = Completamente en desacuerdo.

2 = Bastante en desacuerdo.

3 = Algo en desacuerdo.

4 = Indeciso.

5 = Algo de acuerdo.

6 = Bastante de acuerdo.

7 = Completamente de acuerdo.

CONSTRUCCIÓN DE TABLAS Y GRÁFICOS

La tabulación de los datos es una etapa necesaria para sintetizar la información, principalmente cuando ésta es amplia y diversa. Regularmente, instrumentos como la entrevista o la encuesta facilitan la obtenconstrucción de tablas y gráficos permite que el investigador compare, descubra regularidades, formule hipótesis, llegue a conclusiones, y sea capaz de trasmitir sus resultados a otros investigadores (socialización del conocimiento científico).

Un ejemplo muy común en las investigaciones educacionales resulta de tabular fortalezas y debilidades, desde una dcomo oportunidades y amenazas, desde otra externa. La construcción de una matriz FODA no es otra cosa que graficar la intercepción de estos dos tipos de dimensiones, cruzándolas horizontal y verticalmente. De esta manera es posclaridad cuatro zonas, cuya intercepción facilita el diseño de estrategias tipo Mini-Maxi, que reduzcan al mínimo la influencia de las debilidades y aumenten al máximo el aprovechamiento de las oportunidades. Se deben desestimar los caminos autosuficientes y pesimistas, donde se sobredimensionan las fortalezas y las amenazas respectivamente. (Ver tabla 2)

21

S AMENAZAS

Tabla 2 Matriz FODA

OPORTUNIDADEFORTALEZAS Zona De Poder Zona De Protección DEBILIDADES Zona De Freno Zona De Conflicto

Estos ti rices son de gran utilidad para los profesores g iagnóstico detecta falta de unidad del grupo de a to de esta debilidad podría atenuarse a s que brinda la comunidad, como la e a el recreo, la promoción cultural, el tr

Un ejemplo de gráfico se obtiene al retomar la escala Osgood del capítulo ante parecen las parejas de antónimos (escala nominal de adjetivos), es posible

pos de matuías. Si un ddolescentes, el efecprovechando oportunidadexistencia de espacios parabajo voluntario, entre otros.

rior. Desestimando el orden en que a

percatarse de las diferencias existentes entre dos grupos de encuestados. Efectivamente, en el grupo A se observa un consenso general de opiniones; mientras que en el B estas son dispares. En cada caso se han representado sólo seis encuestados, seleccionados al azar de cada grupo. (Ver figura 3).

22

Fig. 3 Ejemplos de gráficos

A continuación se profundizará en la construcción de tablas y gráficos, los cuales son esenciales para la síntesis de la información científica y también para la formulación de hipótesis. Los gráficos

Breve Extensa

Amena Tediosa

Interesante Banal

Entretenida Aburrida

Creativa Rutinaria

Efectiva Inefectiva

Organizada Desorganizada

Desagradable Agradable

Grupo B

X+4S Exten

a T

Interesante Banal

Organizada Desorganizada

sa

Amen ediosa

Entretenida Aburrida

Creativa Rutinaria

Efectiva Inefectiva

Desagradable Agradable

Grupo A

23

lbergan, tras la visualización de los datos, un extraordinario valor heurístico. La explicación girará, principalmente, en torno a la información deve

a

nida del siguiente fragmento de encuesta.

Estimado(

Para el de os de su amable colaboraci

1. Asignatura

2. Años de ex

3. Eficacia

4. Grado ido en su desarrollo profesional

Muy Alto ____ Alto ____ ____ Bajo ____ Nulo ____

(…)

a) profesor(a):

sarrollo de nón. Por favo

uestra investigación r, conteste las siguien

requerimtes preguntas:

que imparte: _______________

periencia profesional: ____

en el curso anterior: ____ (en %)

de influencia que su experie (marque una de las c

ncia ha ejercategorías):

Medio

Como puede o es para cuatro variables. La primera de ellas es nominal, la segunda discreta, la tercera continua y porta cuatro datos así que d de datos sería de 800, evid da de síntesis.

En su versión más das tienen dos columnas de va. He aquí la tabla 3 strumento anterior.

bservarse, se obtienen valor

la cuarta e ser aplica

ordinal. Cada instrumdo a 200 docentes e

ento al total

enciándose la necesidad de organizarlos en búsque

simple, las tablas menciona frecuencias: una absoluta y otra relati

correspondiente a la primera pregunta del in

24

Tabla 3 Primera pregunta del instrumento

Frecuencia Asignatura que imparte Absoluta Relativa

Historia 32 0,160 Español Matemática 23

34 0,170 0,115

0,115 0,135 0,085

Otras 4 0,020 1,000

Biología 19 0,095 Física 21 0,105Geografía 23 Inglés 27 Química 17

Σ 200

Esta tabla tiene sus especificidades. En primer lugar, las categorías de la variable son nueve, con la peculiaridad de que la última de e

as”) es muy útil cuando la tabulación descubre elementos cuya frecuencia absoluta es muy pequeña respecto a las demás, y la

(200) y sirve como forma de control. La segunda columna expresa el valor absoluto dividido entre el total.

Por ejemplo, para la asignatura de Historia, 32 dividido por 200 es igual a 0,160. La suma de todos los números de esta segunda columna siempre da 1, lo cual también sirve para verificar la exactitud del cálculo. En este caso, es justo precisar que si se realizan redondeos, el resultado no será necesariamente exacto. Por

llas no representa una asignatura en particular. Esta denominación(“Otr

integración queda sujeta a la decisión del investigador. Está claro que inicialmente el investigador no posee información sobre cuáles son las asignaturas que imparten sus encuestados. En la medida que estas aparezcan, van siendo contabilizadas hasta agotar todas las encuestas; para ello suelen aplicarse métodos prácticos como el tarjado.

La segunda columna contiene la cantidad de veces que cada una de las asignaturas apareció, en las respuestas de la primera pregunta. La suma final indica, naturalmente, la cantidad de encuestas aplicadas

25

otra parte, si erecha en la segunda columna, se obtiene inmediatamente el porcentaje que cada una de las frecuencias absolutas representa respecto al total; en e 16,0%.

Utiliz crosoft® Excel (en l te, preferiblemente supe posible construir est tablas asigna úmeros natu diferentes asignaturas. En la medida en que estas van ndo en los instrumento licados, se va uyendo una a de datos.

A co se hace uso de la función “Histograma”, la cual apar l complemento “Análisi datos…”. Est o debe ser sde el menú de “Herramientas”. La frecuencia relativa se calcula fácilmente a partir de la suma total de frecuencias absolutas. Se recomienda analizar la hoja “Asignatura” del libro

que aparecen, evidenciándose que las más frecuentes tras

se corre la coma dos lugares hacia la d

l caso de Historia sería

ando Mi o a ndela 2002 orior) es as ndo nrales a las aparecie s ap constrcolumn

ntinuaciónece en e s de e últiminstalado de

“anexo.xls”, en el cual han sido construidos la mayoría de los gráficos de este material.

Un hecho muy importante consiste en que el orden de las filas no tiene sentido para este tipo de tabla de frecuencias. Esto ocurre debido a la naturaleza de la variable, la cual no está ordenada por ser nominal. Si bien la lectura de los datos ofrece una idea de los resultados obtenidos, la visualización resulta más oportuna. Excel brinda la posibilidad de construir diversos tipos de gráficos, tales como los de barra, que ilustran muy bien el comportamiento de estos datos. En la figura 4 las asignaturas han sido dispuestas en el orden enla aplicación del instrumento fueron Historia y Español.

26

30

35

40

10

15

20

25

0

5

Histori

a

Españ

ol

Matemáti

ca

Biolog

íaFísi

ca

Geogra

fíaIng

lés

Química

Otras

Fig. 4 Gráfico de barras

Otro tipo de gráfico de uso común es el circular o de pastel, como el que se muestra en la figura 5. Regularmente se utiliza para comparar porcentajes, pudiendo separar uno de los sectores para resaltar determinado caso especial, tal como ocurre con la asignatura de Español que presenta la mayor frecuencia. No es recomendable utilizar los gráficos circulares cuando existen muchas categorías, o bien cuando algunas de ellas son desproporcionadamente menores que las otras.

Historia15%

Química9%

Otras2%

Matemática12%Biología

10%

Física11%

Inglés13%

Geografía12%

Español16%

Fig. 5 Gráfico circular o de pastel

27

En ocasiones algunos datos son tan desproporcionados que ni siquiera los diagramas de barras suministran una buena visualización, incluso cambiando de escala. Por ejemplo, la representación de los datos 40, 2, 5, 9, 12, 1, 10, 6, 11, 9, tiene la desventaja de que el número 40 es bastante grande respecto a los demás. Muchas veces la solución de este problema está en manos de la flexibilidad del investigador.

Por ejemplo, los números anteriores corresponden a la cantidad de estudiantes que han solicitado carreras pedagógicas, de 10 escuelas seleccionadas al azar. Ocurre que el número 40 corresponde a un IPVCE, el cual es un centro provincial de elevada matrícula, mientras que los números restantes corresponden a institutos preuniversitarios. El investigador puede resolver este problema redefiniendo las categorías. Por ejemplo, agrupando los valores por municipios y centros provinciales, y no precisamente por escu

Es frecuente encontrar ues de preguntas del

tablas y gráficos, la segunda pregunta de la encuesta permite ilustrar otras ideas. La variable “Años de experiencia profesional”, a diferencia de la primera pregunta, tiene muchas categorías. Lo ordinario podría ser escribir una lista vertical de números naturales (comenzando por 0 que significa “recién graduado”), hasta llegar al valor máximo encontrado. Probablemente, al aplicar la técnica del tarjado, muchos números se queden sin marcar, o bien las frecuencias absolutas sean muy pocas.

Para resolver este problema, el investigador puede agrupar los valores de la variable en intervalos, lo cual es análogo a la idea antes expuesta sobre el número 40 en el IPVCE. Los intervalos pueden ser prede ador, aunque la

elas.

cuestionarios con bloqtipo Sí / No / No sé, lo que comporta el uso reiterado de una variable nominal tricotómica. En casos como estos, donde la cantidad de categorías es pequeña y además fija, es útil el empleo de diagramas de columnas apiladas. Cuando las preguntas en bloque se relacionan entre sí, el investigador puede arribar a importantes conclusiones. Véase un ejemplo en la hoja de cálculo “Cuestionario” del archivo “anexo.xls”.

Para continuar el análisis de la construcción de

finidos por el propio investig

28

que 46 profesores tienen entre 10 y

Estadística ha desarrollado procedimientos muy poderosos para prefijar la cantidad y longitud de estos intervalos (Regla de Sturges).

Como la variable se refiere a los años, pueden servir de base los quinquenios sin completar (0-4, 5-9,…). Esta estrategia tiene el inconveniente de que se pierde precisión en la información. Por ejemplo, en la tabla 4 de frecuencias que sigue pueden verse los resultados. Obviamente se sabe14 años de experiencia, pero no es posible precisar mediante esta tabla cuántos tienen 10, 11, 12, 13 y 14, exactamente. Es muy conveniente que el investigador conserve los instrumentos aplicados, pues durante el transcurso de la investigación podría necesitar la precisión de algunos datos.

Frecuencia Años de experiencia Absoluta

Absoluta Relativa

Relativa acumulada acumulada

0-4 4 4 0,020 0,020 5-9 19 23 0,095 0,115 10-14 46 69 0,230 0,345 15-19 62 131 0,310 0,655 20-24 50 181 0,250 0,905 25-29 14 195 0,070 0,975 30 o más 5 200 0,025 1,000

Σ 200 1,000

Esta nueva tabla procede de la hoja “Años” del archivo “anexo.xls”. Su obtención requiere del establecimiento de una matriz de datos y otra de intervalos, para aplicar la función matricial =Frecuencia (datos; grupos). Esta tabla se diferencia esencialmente de la anterior. Si bien la ausencia de orden impedía analizar la monotonía “desde Historia hasta Otras”, aquí es posible distinguir incrementos, estabilidades o decrementos. Esto justifica la introducción de dos nuevas columnas, donde se expresan las frecuencias acumuladas (absoluta y relativa).

Puede observarse que es posible asociar la frecuencia relativa acumulada a los porcentajes. La lectura de estos valores es muy útil; por ejemplo, en la última columna el 0,905 significa que el 90,5% de

29

sores encuestados. En ambos casos, los valores relativos permiten acotar el tama gráfico. Por este motiv frecuencias relat das mucho más a men a

los encuestados tiene menos de 25 años de experiencia (un total de 181, según la columna de frecuencia absoluta acumulada). Más adelante se profundizará todavía más en el cálculo del tanto por ciento.

Es útil observar que, en estas dos nuevas columnas de frecuencias acumuladas, los últimos números siempre coinciden con los totales de las frecuencias ordinarias (en este caso, 200 y 1,000, respectivamente); nuevamente esto sirve para comprobar los cálculos.

En los figuras 6 y 7 subsiguientes se muestran sendas frecuencias relativas, ordinaria y acumulada, correspondientes a los años de experiencia de los 200 profe

ño de cadao, las

udo que lasivas son emplea

bsolutas.

0,150,0,0,0,

20253035

0,000,050,10

0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30 omás

Fig. 6 Frecuencias relativas

30

0,345

1,0000,975

0,9050,8

1,0

0,655

0,4

0,6

0,0200,115

0,0

0,2

0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30 omás

Fig. 7 Frecuencias ordinarias y acumuladas

Puede observarse la estructura acampanada del diagrama de barras. Esta disposición es típica de las distribuciones normales, las cuales pueden estudiarse en la mayoría de los libros de Estadística. Tiene sentido ahora decir que la cantidad de profesores aumenta en la medida que la variable se acerca al quinquenio incompleto 15-19; y que disminuye a partir de este. Por tanto la variable es monótona por intervalos.

En el diagrama de frecuencias relativas acumuladas puede observarse un crecimiento continuo, pues todos los incrementos son positivos quinquenio por quinquenio. Este tipo de gráfico también es muy importante, especialmente en las distribuciones normales. Por su estructura, constituye un caso particular de los gráficos “poligonales”.

La longitud de los intervalos prefijados en la tabla de frecuencia incide directamente en el grado de precisión de la variable. Para tener una idea de la pérdida de exactitud, a continuación se muestra en la figura 8 el diagrama de barras, correspondiente a la frecuencia

31

relativa tomada año por año, partiendo de cero hasta llegar al valor máximo (en este caso 41 años). De todas formas, a pesar de las irregularidades persiste la estructura acampanada.

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 3

Fig. 8 Diagrama de barras

El investigador realizó este estudio para analizar el grado de influencia que un docente le concede a su experiencia, en la medida que esta aumenta. Esto no es muy confiable aquí, debido al desbalance que

2 34

existe entre los diferentes intervalos; lo ideal es que

ra preferible definir primero los estratos de la

hubiesen sido equitativos. Problemas de este tipo pueden evitarse realizando un adecuado diseño, antes de la aplicación del instrumento.

En realidad, el investigador realizó un muestreo aleatorio simple, pero el azar no le ayudó en relación al balance de años de experiencia. Epoblación (intervalos de años acumulados), y tomar después las muestras aleatoriamente de cada uno de ellos. Esta forma de proceder se denomina muestreo estratificado. Los datos, así como fueron recogidos, pueden servir para analizar el grado de influencia

32

otable poder de visualización, pero regularmente pierden exactitud en la información que aportan. Cuando los datos no son muy numerosos es posible construir un tipo de gráfico creado por el matemático norteamericano John Wilder Tukey (1915-2000) en 1977. Se trata de los diagramas de tallos y hojas (stem and leaf), que podrían ser considerados como un estadio intermedio entre la tabla de frecuencias y el propio gráfico.

Los diagramas de tallos y hojas resultan muy útiles cuando los datos que se consideran tienen dos o tres cifras significativas. Se construyen trazando una línea vertical a la izquierda de la cual se coloca la primera cifra significativa (tallo), y a la derecha de esa cifra se colocan por su orden todas las posibles últimas cifras significativas (hojas), tantas veces como aparezcan en los datos.

Estos diagramas tienen las ventajas de facilitar la identificación inmediata de cada puntuación individual, y de “convertirse” en gráficos si se hacen girar un ángulo recto en sentido antihorario. Los pasos para la constru tallos y hojas son los

r cada hoja junto al tallo correspondiente de forma

promedio, que los docentes de la población conceden a su experiencia profesional.

Los diagramas de barras o columnas tienen un n

cción de un diagrama desiguientes:

Identificar los valores máximo y mínimo del conjunto de datos.

Decidir el número más apropiado de tallos distintos.

Listar todos los tallos distintos en una columna ordenada de forma creciente.

Representacreciente.

33

os por un equipo estudiantil de basketball, Para ejemplificar este procedimiento, a continuación se presenta el número de tantos anotaddurante un campeonato municipal organizado por los profesores de Educación Física:

85 83 94 80 73 92 68 79 89 86 88 82 80 91 85 79 89 65 84 78

Los valores mínimo y máximo son 65 y 94, respectivamente. Por este motivo, pueden tomarse las siguientes decenas como tallos: 6, 7, 8 y 9. A continuación se construyen las hojas a la derecha de las decenas, colocando las unidades en orden creciente. Este proceso resulta más sencillo si antes se ordenan los datos de menor a mayor. El diagrama resultante es el siguiente:

6 5 8 7 3 8 9 9 8 0 0 2 3 4 5 5 6 8 9 9 9 1 2 4

Aunque el diagrama visualiza todos los datos, la existencia de pocos valores para los tallos proporciona escasos detalles. Una manera de solucionar este problema consiste en dividir cada tallo en dos o más clases. Por ejemplo:

6 5 8 7 3 7 8 9 9 8 0 0 2 3 4 8 5 5 6 8 9 9 9 1 2 4

Para cada valor del tallo (decenas), la primera clase contiene las observaciones con hojas entre 0 y 4 unidades, mientras que la segunda contiene hojas entre 5 y 9. En este diagrama se observa una marcada tendencia a anotar alrededor de 85 puntos. Más adelante, cuando se analicen las medidas de tendencia central, el asunto de la concentración de los datos cobrará mayor rigor

34

imiento deportivo.

2 1 0 0

conceptual. A continuación se muestra este diagrama ampliado con hojas a la izquierda, donde figuran los resultados de ese mismo equipo en la temporada anterior. Puede observarse, en general, una mejoría en su rend

6 9 7 7 6 5 8

4 3 0 0 0 7 3 8 6 6 5 7 8 9 9

2 2 1 8 0 0 2 3 4 4 8 5 5 6 8 9 9 9 1 2 4

Excel no construye estos tipos de gráficos. En el archivo “anexo.xls” ha sido habilitada una macro, de manera que en la hoja “Tallos_y_Hojas” es posible construir diagramas de tallos y hojas relativamente sencillos. Para una construcción más avanzada es necesario hacer o aquetes estadísticos como el SPSS (Statistical Packag f el cual es sumamente útil para las investig o ciológicas, psicológicas, educacionales, entre otras.

do la tercera pregunta del fragmento de

ctivo observar que inicialmente el investigador había f los intervalos de veinte en veinte, a fin de identificar las distintas categorías. Los resultados tabulados fueron los que se m st la tabla 5 siguiente:

us de pe or Social Sciences),

aci nes so

De manera similar a como se construyen las tablas de frecuencias para variables discretas, es posible hacerlo en el caso de lascontinuas. Retomanencuesta, es muy instru

pre ijado

ue ran en

35

Tabla 5 Resultados

FRECUENCIA PORCENTAJE DE EFICACIA ABSOLUTA

[0,00; 20,00] 0 (20,00; 40,00] (40,00; 60,00(60,00; 80,00] (80,00; 100]

(…)

Σ 200

0 5 ]

73 122

En la primera columna apar intervalos consecutivos de

s, y reconsiderar las tres primeras. De esta manera

ecen cinco igual longitud (20). El símbolo de paréntesis significa que el número no está contenido en el intervalo, mientras que el símbolo de corchete significa que sí lo está. Como puede observarse, la inmensa mayoría de las observaciones se concentran en las dos últimas categorías. Por otra parte, una revisión más precisa de las encuestas arroja que, de los cinco porcentajes más bajos, tres se encuentran entre 40,00 y 50,00; mientras que los dos restantes se ubican entre 50,00 y 60,00. En este caso, resulta conveniente refinar las dos últimas categoríase obtiene una nueva tabla de frecuencias, donde la información aportada resulta útil por su mayor precisión. Puede observarse que el 40 no está contenido en el conjunto de porcentajes de eficacia.

36

Tabla 6 Frecuencias

Frecuencia Porcentade ef luta

Aacumulada

Relativa Relativa

acumulada

je icacia Abso

bsoluta

(4050

3 0,015 0,015 ,00;

3 ,00]

(5060,00]

2 5 0,010 0,025

(60,00; 21 26 0,105 0,130

,00;

70,00] (70,00; 80,00]

44 70 0,220 0,350

(80,00; 90,00]

93 163 0,465 0,815

(90,00; 100] 37 200 0,185 1,000 Σ 200 1,000

En el caso de variables continuas las tablas se complementan con una columna adicional, en la cual se colocan números denominados “marcas de clase”; estos sirven para identificar las diferentes clases. Por lo regular, se toma el valor central de cada intervalo, el cual constituye la semisuma de los valores extremos. Por ejemplo, la semisuma de 60,00 y 70,00 es 65,00. En la tabla 7 siguiente abreviada se ilustran todas las marcas de clase. Se conoce, por ejemplo, que un total de 37 profesores tienen resultados superiores al 90% de eficacia; sin embargo, también puede estimarse que 37 profesores tienen aproximadamente un 95,00%, con un margen de error de ±2,5%.

37

Ta

ecuencia

bla 7 Marcas de clase

FrPorcentaje de eficacia

Marca de clase bsoA luta

(40,00-50,00] 45,0 3 0% (50 55,00% 2 (60 0] 65,00% 21 (70 75,00% 44 (80 0] 85,00% 93 (90 95,00% 37

(…)

200

,00-60,00] ,00-70,0,00-80,00] ,00-90,0,00-100]

Σ

Los d bulados en tablas de frecuencia, para variables contin ueden ser visualizados med diagr muy sim e ba . En es so, la naturaleza co de la variab ime ráfico caracterí istinti es al representar las diferentes categorías se barre todo el dominio en el

oporcionales a las alturas de los rectángulos del histograma, pues el área se obtiene multiplicando la base por la altura. En este caso, cada altura da idea de la densidad o concentración de los datos en torno a la marca de clase. El área total del histograma es uno cuando expresa frecuencias relativas, y su forma es similar al de frecuencias absolutas. En cambio, el aspecto del histograma se ve afectado por la elección del punto donde comienza el primer intervalo y por la longitud de los intervalos.

atos tauas, p iante amas

ilares a los dle impr

rras te cauna

ntinua va, pule al g stica d

eje de las abscisas. De esta manera, las barras se juntan y el gráfico resultante se denomina “histograma”.

El histograma es un gráfico para la distribución de una variable continua que representa las frecuencias mediante áreas, y constituye una herramienta científica desde hace siglos. Galileo en 1632 hizo uso de ellos para describir la distribución de errores en observaciones astronómicas. Sin embargo, su denominación fue acuñada por el matemático inglés Karl Pearson (1857-1936) en un trabajo de 1894.

Si en las distribuciones se toman clases de igual longitud, las frecuencias son pr

38

Un caso extremo en la intervalos sería tomar solamente uno y entonces el histograma se convertiría en un rectángulo que no aporta información útil s riable. Otra opción extrema, const más intervalos q podría conduc es con a o que el gráfico tam a en el e las obs vaciones. En la última tab ado inve construyó seis intervalos, lo cual con antidad ia entre los casos extr ; pero no óptima.

Existen diferentes recom es para determinar el número de intervalos. Una regla utilizada frecuentem e consiste en tomar el entero más próximo a la raíz del número de observaciones. En

o es un valor recomendado

elección del número de

obre la vaue datos,ruyendo

lo sumo un dato, de modir a claspoco ayudarí estudio d erla el mencion stigadorstituye una c intermed emos

es la cantidad

endacionent

general, se puede comenzar con una cantidad pequeña de intervalos y, a partir de cada histograma, decidir si se aumenta su número para obtener más información de la variable.

A continuación se ilustran en la figura 9 los histogramas correspondientes a las frecuencias relativas de 6 y 14 intervalos, ambas sobre el dominio (40; 100]. El primero expresa la elección del investigador, mientras que el segund(√200 ≈ 14,1421 ≈ 14).

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,00

45,00

55,00

65,00

75,00

85,00

95,00

Fig. 9 Histogramas frecuencias relativas de 6

39

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

42,14

50,71

59,29 6 3 7

67,8

76,4

85,00

93,5

la longitud de la base.

iene aproximadamente 4,2857 unidades de longitud (60/14 ≈ 4,2857), la altura se calculó de la siguiente manera: 0,205/4,2857 ≈ 0,0478 ≈ 0,048.

Al igual que el diagrama de barras, el histograma ayuda a poner de relieve rasgos importantes de la variable que pueden apreciarse visualmente; en particular, es inmediato comprobar si la distribución es simétrica alrededor de algún eje vertical o si existen picos o máximos locales. Partiendo del histograma es posible mejorar todavía más el poder de visualización, construyendo el correspondiente polígono de frecuencias.

El polígono de frecuencia de la distribución de tograma; se obtiene uniendo mediante segmentos los centros de las bases superiores de cada rectángulo. Para cerrar la figura se unen los extremos de la línea quebrada con las marcas de lo que serían la clase anterior a la primera y la posterior a la última, tomando

Fig. 10 Histogramas frecuencias relativas de 14

Como las longitudes de los intervalos son iguales en cada histograma, los rectángulos se construyen tomando por altura el cociente de la frecuencia relativa respecto a Por ejemplo, el mayor rectángulo del primer histograma tiene altura igual a 0,047 unidades, que se obtiene dividiendo la frecuencia relativa correspondiente entre la longitud de la base (0,465/10 = 0,0465 ≈ 0,047). En el segundo histograma la mayor frecuencia corresponde al undécimo intervalo, con un valor de 0,205. Por este motivo, como la base t

s es una representación gráfica frecuencias que resulta equivalente al his

40

frecuencias nulas. Con esta construcción el área correspondiente entre la poligonal y el eje de las abscisas es igual al área del conjunto de rectángulos que forman el histograma. Verificar esto constituye un sencillo ejercicio de planimetría.

A continuación se ilustra en la figura 11 el polígono de frecuencias correspondiente al segundo de los histogramas anteriores. Como puede observarse la forma del gráfico ofrece una idea mucho mejor del comportamiento de la variable. No es menos cierto que se aprecian varios picos o máximos locales, sin embargo no son comparables con el máximo absoluto sobre la oncena marca de clase (0,048 sobre 8 la variable cr alcanzando

5,00). En términos descriptivos puede afirmarse queece lentamente sobre el intervalo (40; 85],

finalmente su valor máximo, mientras que a continuación decrece súbitamente en el intervalo (85; 100]. También puede decirse que existe una marcada asimetría a la izquierda (una cola), respecto a la vertical discontinua que pasa por 85,00.

0,000

0,010

0,020

37,86

46,43

55,00

63,57

72,14

80,71

89,29

97,86

0,030

0,040

0,050

0,060

Fig. 11 Polígono de frecuencias

Estos comportamientos asimétricos son frecuentes cuando la variable describe calificaciones relativas al aprendizaje. El número 60 actualmente constituye el punto limítrofe que define el aprobado, de manera que se establece una demarcación entre lo más frecuente (aprobado) y lo menos frecuente (suspenso). Así, es de esperar que

41

Fig. 12 Variable Porcentaje de eficacia

La construcción de ojivas también exige que el investigador tome decisiones sobre el gráfico anterior se

la mayoría de las frecuencias se acumulen a la derecha de 60. En general, un grupo alcanza niveles bajo, medio o alto de aprendizaje, en la medida que el eje de simetría se desplaza de izquierda a derecha.

Una observación inmediata sugiere indagar qué porcentaje de estudiantes se encuentra suspenso, qué porcentaje sobrepasa determinado puntaje, etcétera. Para resolver este problema se utilizan los gráficos de frecuencias relativas acumuladas, expresadas en términos de tanto por ciento. A continuación puede observarse la figura 12 correspondiente a la variable Porcentaje de eficacia, cuya construcción se describe en la hoja “Eficacia” del archivo “anexo.xls”. Estos gráficos se denominan ojivas porcentuales y en el siguiente puede observarse que los datos que no superan el 85% de eficacia constituyen el 70% del total. Por este motivo un 30% de los profesores sobrepasan el 85% de eficacia.

0%

20%

40%

60%

80%

37,86

42,14

46,43

50,71

55,00

59,29

63,57

67,86

72,14

76,43

80,71

85,00

89,29

93,57

97,86

102,1

4

100%

dominio de definición. En el han mantenido las dos nuevas marcas de clase inicial y final (37,86 y 102,14). Puede observarse un comportamiento aproximadamente constante en las imágenes de las marcas de clase superiores a 97,86, e inferiores a 37,86.

42

n al dominio de definición de los datos. El investigador

iento simultáneo de las calificaciones de dos estudiantes de secundaria básica, en las comprobaciones sistemáticas del componente instructivo de Matemática. Si bien, como tendencia, Luisa ha mejorado sus calificaciones desde el primer hasta el décimo examen, Mario ha sido inestable, con tendencia hacia calificaciones bajas.

Como ya se ha explicado, tanto en la construcción de histogramas como de ojivas, es útil definir dos nuevas marcas de clase. Un problema frecuente ocurre cuando estas nuevas preimágenes no pertenecedebe reconocer esto, como ocurre con el valor inalcanzable de 102,14 del gráfico anterior, para entonces obrar en consecuencia.

Un estudio similar donde las preimágenes representen los índices generales de una carrera universitaria puede reconocer valores superiores a 5, ya que esto sirve de modelo para analizar los índices incrementados por exámenes de premio. De todas formas, los valores inferiores a 2 no tienen sentido, como no tienen sentido valores negativos o superiores a 100 en la escuela media cubana.

Los gráficos poligonales también son efectivos para comparar la monotonía de una variable en uno o más sujetos. Por ejemplo, en el caso siguiente se ilustra el comportam

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Comprobaciones

123456789

10

Cal

ifica

cion

es

LuisaMario

los diagramas de barras con los poligonales; los casos más conocidos se denominan “diagramas de

En muchas ocasiones es conveniente reforzar la potencia visual de los gráficos, combinando

43

la

as

Pareto”. El nombre de Pareto fue dado por una de las figuras más importantes en el control de calidad y administración moderna, el rumano-norteamericano Joseph Moses Juran (1904-1997), en honor al economista italiano Vilfredo Pareto (1848-1923).

Resulta muy interesante destacar el hecho de que Juran aplicó este concepto a la calidad, obteniéndose lo que hoy se conoce como Regla 80/20. De acuerdo a esta regla, si se tiene un problema con muchas causas, puede afirmarse que el 20% de ellas resuelve el 80% del problema, mientras que el 80% restante solo resuelve el 20% del problema. Por lo tanto, el análisis basado en un diagrama de Pareto, separa los “pocos esenciales” de los “muchos triviales”.

A continuación se expone un ejemplo de aplicación de los diagramde Pareto, en el campo de las Ciencias de la Educación, especialmente en el estudio de la calidad. En efecto, un director ha solicitado la cantidad de estudiantes suspensos por asignatura, con el objetivo de diseñar un plan de acción, a fin de mejorar este importante indicador. A continuación aparece una tabla donde se relacionan los datos que solicitó el director.

ASIGNATURAS SUSPENSOS Historia 23 Geografía 5 Biología 7 Química 3 Español 31 Inglés 2 Educación Física 1 Matemática 65 Física 11

Este es un caso típico de variable nominal con otra cuantitativa apareada, de manera que es posible un ordenamiento conforme a esa segunda variable. Reordenando en forma desce ndente, deacuerdo a la cantidad de suspensos, es posible construir un diagrama de Pareto como el que aparece a continuación. Excel no permite una construcción exactamente como esta de forma directa,

44

así que es necesario realizar algunas maniobras como se explica en la hoja “Pareto” del archivo “anexo.xls”.

20 %

40 %

60 %

80 %

Matemáti

ca

Españ

ol

Histori

aFísi

ca

Biolog

ía

Geogra

fía

Química

Inglés

Educa

ción F

ísica

0 %

100 %

Como puede obse t ática, Español e Historia comprend ados. Esto sirvió de base para el una estrategia de trabajo con estas asignaturas prio eforzando el trabajo metodológico, estableciendo horarios de consulta para la atención a diferencias individuales, dis actividades qu estudio, potenciando las r interdisciplinarias, entre otras acciones. Aunque esta estr ximadam e la Regla 80/20, el director también ación de acciones pedagógicas concretas para r restantes problemas, como ejemplo

de atenci diversidad.

rvarse, las asigna del 80% d

uras de Mateme los desaproben cerca

diseño de rizadas, r

eñando e motiven suelacionesategia sigue apro indicó la realiz

ent

esolveón a la

r los genuino

Los diagramas de Pareto suelen ser útiles para realizar discriminaciones, cuando se buscan las causas de un problema. Por ejemplo, tres investigadores deseaban determinar las principales causas que influían en los problemas ortográficos de varios grupos de estudiantes. Aplicaron un estudio Delphi a tres rondas, en busca de una estabilidad respecto al criterio de 15 expertos, sobre el

45

e las causas eran de tres tipos, principalmente.

El siguiente gráfico se denomina “diagrama de Ishikawa” (o de “espina de pescado”), y muestra con claridad la dinámica causa-efecto. Este tipo de diagrama debe su nombre a un teórico de la administración de empresas y experto en control de calidad, el japonés Kaoru Ishikawa (1915-1989). Como puede apreciarse, tres causas principales inciden sobre los problemas ortográficos: de origen pedagógico, psicológico, y lingüístico y sociocultural. A su vez, cada una de estas fuentes puede ser explicada por problemáticas más específicas.

verdadero origen de las dificultades. Después de la primera ronda, la tabulación de los resultados mostró qu

En la segunda ronda del estudio Delphi los investigadores presentaron los resultados anteriores, para que los expertos circularan las causas que consideraban verdaderamente esenciales.

PROBLEMAS ORTOGRÁFICOS

A1. Insuficiente preparación de los docentes

A2. Enfoque normativo y tradicionalista

A3. Actividades y tareas ortográficas poco motivadoras

A4. Ausencia de una concepción interdisciplinaria

C2. Subestimación y poco respeto por la Lengua Materna

C3. Poco hábito por la lectura y la escritura

B1. Insuficiente trabajo con la memoria visual, auditiva, semántica y motora

B2. Deficiencias en la percepción, observación y escucha

Causas Lingüísticas y Socioculturales Causas Pedagógicas

C1. Modelos lingüísticos desfavorables en la familia y

en la comunidad

B3. Problemas de concentración, y establecimiento de relaciones

Causas Psicológicas

46

e Ishikawa. Después de tabular los

No era obligatorio que seleccionaran aspectos de cada conjunto, sino que podían hacerlo independientemente de la clasificación que se mostraba en el diagrama dresultados, los investigadores obtuvieron la siguiente tabla de frecuencias:

FRECUENCIA

CAUSAS

ABSOLUTA (total de

expertos que consideran

ABSOLUTA RELATIVA (respecto al

total de esta causa esencial)

expertos)

A1 10 0,667 A 0,067

15 1,000 114 0,933 3 130 0,000 2

85

2 1A3 A4 B1 B2

2 0,133

5 1,000

B3 C1

0,200 0,867

C2 C3 1Σ

0,800

Es signifi amente igual a las anteriores. Por a columna de frecuencias absolutas no s, o sea, ainstrumentos apl ntido sumar los resultados de las frecuencias relativas. La razón consiste en el hecho de que la cantidad d ara cada sujeto. Sin embargo sirve para calcular el promedio de causas seleccio no de ellos. En este

cativo que esta tabla no es exactejemplo, el total de l

es igual al total de expertoicados; tampoco tiene se

la cantidad de

e ítems (causas) marcados no es igual p, la suma de frecuencias absolutas

nadas, por cada ucaso, 85/15 ≈ 5,67; de donde se deduce que cada sujeto circuló, aproximadamente, unas cinco o seis causas.

47

lo cual significaría la preferencia de nueve o más xpertos. Es importante subrayar la necesidad de determinar

apriorísticamente este valor, ya sea tomándolo de otras investigaciones, o bien de argum vos respecto a la naturaleza del problema. hac riori, pues el conocimiento d lta cid o subjetivo de los investigadore aso l 6 nto de corte, de la última columna se obt las pr s serían: A1, A4, B1, B2, C1 y C3.

Al calcular el porc je de pref cia para una determinada causa, se aísla el aná , centránd o en la individual. Los investigadores d eron seguir otro cam n otra lógica. Exigieron a prior ección las princ causas que, de conjunto, formab el 60% d s seleccio specto al total absoluto (85). Es í donde e grama de Pareto juega su papel discriminador; e a c es el siguiente:

Una forma de determinar las principales causas podría consistir en exigir, a priori, un determinado porcentaje de selección. Por ejemplo, los investigadores pudieron fijar desde un inicio el 60% de preferencia, como porcentaje mínimo para cada aspecto seleccionado;e

entos cualitatiEs erróneo erlo a poste

ir en el juicie los resus. En c

dos puede in de prefijar eendría que

0% como puincipales causa

enta erenlisis ol causa ecidi ino, coi la sel de ipales an e la nes, re aqu l dian efecto, el diagram orrespondiente

48

dividuales, conforme a las reflexiones anteriores. Después de haber sido ordenadas descendentemente, la poligonal muestra que las cuatro primeras, de conjunto, superan el 60% del puntaje total. Por tanto, los investigadores debieron seleccionar A4, B1, B2 y C1 en ese mismo orden. Así, el problema no consistió realmente en determinar las causas de mayor frecuencia, sino el

Como puede observarse, las cinco primeras barras corresponden a las principales causas que superan (por primera vez) el 60% de las preferencias in

conjunto de causas de mayor frecuencia. En este caso, el 60% sirvió como punto de corte.

TÉCNICAS SOCIOMÉTRICAS

Una de las técnicas sociométricas más aplicadas en el ámbito pedagógico es el sociograma; aquí también es esencial la visualización de la información. Con el sociograma se logra una imagen precisa de las relaciones informales existentes en el seno de los grupos; relaciones que frecuentemente permanecen ocultas, o poco visibles, para quienes trabajan en entornos grupales. Una de

A4 B1 B2 C1 C3 A1 B3 A3 A2 C20%

20%

40%

60%

80%

100%

49

sus grandes ventajas reside en la sencillez de las observaciones y de los datos iniciales, necesarios para conseguir los índices cuantitativos que expresan la naturaleza e intensidad de las relaciones. De esta manera, se pueden conocer las redes informales de comunicación y atracción interpersonales que explican, por ejemplo, por qué un grupo escolar responde con entusiasmo en las tareas de clase, mientras otro reacciona frente a las mismas actividades con apatía u hostilidad.

El fundador de la Sociometría fue el eminente psiquiatra rumano-norteamericano Jacob Levy Moreno (1889-1974). Él desarrolló en Viena, en 1932, los sociogramas de tipo reticulares; mientras que la creación de los psicogramas (sociogramas del blanco) corresponde a una de sus discípulas más sobresalientes, la psicóloga canadiense Mary Louise Northway (1909-1987), quien también divulgó la Sociometría en el contexto educativo.

El procesamiento de la información por medio del sociograma proporciona una noción inmediata e intuitiva de la situación de cada sujeto dentro del grupo, el grado de cohesión del grupo, y la existencia de parejas, cadenas, islas, y polarizadores de primer grado o estrellas. Estos últimos son aquellos individuos que reciben el mayor número de selecciones.

La técnica parte de un test sociométrico, donde se inquiere sobre las relaciones establecidas en grupos pequeños, clásicamente según cuatro dimensiones: aceptación, rechazo, expectativa de aceptación y expectativa de rechazo. He aquí un ejemplo, donde se indaga sobre las dos primeras dimensiones, después de haber creado un adecuado rapport:

50

(…) Estimado(a) estudiante:

El presente cuestionario es muy importante para el trabajo pedagógico de tus profesores. Por favor, contesta cada una de las siguientes preguntas.

Nota: Los resultados de este cuestionario son CONFIDENCIALES.

atriz correspondiente han sido

1. ¿Con cuáles compañeros del grupo te gustaría ir de paseo? ¿Con cuáles no?

2. ¿Con cuáles compañeros del grupo te gustaría estudiar? ¿Con cuáles no?

3. ¿A cuáles compañeros del grupo confiarías tus problemas personales y les pedirías consejos?

Los resultados se recogen en una tabla, denominada “matriz sociométrica”. He aquí la tabulación de los datos obtenidos en la primera pregunta, después de la aplicación del test a un grupo de veinte estudiantes. En la mrepresentadas las aceptaciones con el signo “+”, y los rechazos con el signo “–”. Cada uno de los sujetos aparece simbolizado por un número, desde el 01 hasta el 20.

51

Recepción

Emisión

01 02 03 04 05 06 0 1 7 1 l e

Rechazos emitidos

7 08 09 10 11 2 13 14 15 16 1 8 19 20 E eccimiti

onesdas

01 0 + + + 302 1 – 003 + 1 – + + 304 0 + 105 + + + 1 – 306 1 + – 107 + + + 0 308 0 009 + + + 0 310 + 0 111 – + 1 1 12 + + + 3 0 13 0 0 14 + – 1 1 15 + + + 3 0 16 + – 1 1 17 0 0 18 0 0 19 – + 1 1 20 – + 1 1

Elecciones recibidas

3 1 3 0 0 2 3 2 4 1 0 1 ∑ = 29 0 3 1 0 0 3 1 1

Rechazos recibidos

0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 1 ∑ = 9

52

Aun ue las dos últimas filas y columnas revelan información valiosa sob el estatus de cada individuo, la visualización de estos datos por m ación. En efecto, a continuación cada relación aparece repr ntada por líneas que indican las diferentes actitudes intergrupales, positivas y negativas. Las acept ontinuos y los rec zos con trazos discontinuos, de forma que la flecha comienza en el que elige y culmina en el elegido. Si una elección es mutua se trazan con los rechazos mu os.

01

0203

05

07

08

09

10 1112

13

14

15

16

17

18

19

04

20

06

qre

edio de un sociograma aporta más informese

aciones se indican con flechas de trazos cha

flechas con doble sentido; igual ocurre tu

53

existencia de ocho parejas positivas y dos negativas. especto a la existencia de parejas, es justo señalar que en la matriz ueden ser detectables por simetría respecto a la diagonal principal,

pero esto resulta ba oso.

Para concluir, a continuación se representa el sociograma correspondiente a la tercera pregunta del test. En las relaciones solo aparecen líneas continuas, pues la pregunta solo se refería a aceptaciones.

Tal y como sugería el examen de la matriz sociométrica, el sujeto 08 es fuertemente rechazado, mientras que el 03 y el 14 gozan de gran aceptación (estrellas). Sin embargo, hay algo que no era fácil notar en la matriz y que salta ahora a la vista. Los sujetos 01, 07, 09 y 15 aparentaban popularidad, por tener cada uno tres elecciones. El diagrama reticular demuestra que entre ellos existe una interconexión cerrada (clique) y aislada; se trata de una isla. También es posible observar otros hechos, como el aislamiento de los sujetos 13 y 18, la existencia de varias cadenas (como 11-12-14-06), y laRp

stante trabaj

54

Es significativo que, respecto a la relación de aceptación, exista una notable reducción de la densidad de las elecciones, y que el número de parejas haya aumentado significativamente. Esto se debe a la intimidad, pues los individuos regularmente son selectivos para confiar sus problemas personales. Como puede observarse, la isla se mantiene, como muestra de que estos tipos de configuraciones tienden a ser persistentes. La interacción objeto de estudio se adapta adecuadamente a las relaciones entre dos personas, en las cuales los miembros de la díada se convierten en confidentes.

Por otra parte, también puede observarse la desaparición de las estrellas, la notable disminución de las cadenas y el incremento de las islas. El individuo 03, que antes gozaba de alta popularidad, pasa

01

0206

11

07

08

09

20

0414

10

05

15

13 19

18

12 17

03 16

55

a ser ignorado, a pesar de que emite dos selecciones. Estos fenómenos son comunes en los s gramas, y ponen de ma o las diferentes expectativas de interacción que generan los diferentes grupos juveniles.

En general, los sociogramas facilitan la identificación de relaciones y tipos sociométrico Las relaciones más frecuentes son los cliques y las cadenas, mientras que los tipos sociométricos más comunes son las estrellas (populares o líderes), los entrañables (normales), los aislados (olvidados, ignorados o desatendidos) y los rechazados (excluidos o marginados). La siguiente tabla se utiliza con frecuencia para identificar lo pos sociomé os. La es cualitativa inal (bajo-normal-alto) debe ser definida por el investigador, a partir de indicadores relacionados con la naturaleza de las relaciones sociales que se estudian.

ESTATUS DE ELECCIÓN

ESTATUS DE RECHAZO

ocio nifiest

s.

s ti tric cala ord

ESTRELLAS Alto Bajo o Normal ENTRAÑABLES Normal Bajo o NormaAISLADOS Bajo Bajo o Normal

CHAZADOS Bajo o Normal Alto

l

RE

na estructura que sirve de complemento para el sociograma es el Upsicograma. Se trata de una visualización concebida en forma de círculos concéntricos, donde el círculo central constituye el conjunto de mayor aceptación; así sucesivamente los círculos van aumentando en diámetro y, a la vez, disminuyendo en cuanto a nivel de aceptación. Desde el punto de vista individual, es posible realizar estudios de casos, analizando las relaciones particulares de un solo individuo. He aquí las relaciones establecidas entre el individuo 14 y el resto del grupo, respecto a salir o no de paseo.

56

r grado forma sus propios círculos.

sociogramas pueden complicarse todavía más, aportando como consecuencia más información. Una manera de hacerlo consiste en identificar los individuos masculinos de los femeninos, empleando para ello diversos símbolos como círculos y cuadrados. Otra forma

Puede observarse que las relaciones de selección se establecen desde el grupo hacia el sujeto 14, mientras que este solo selecciona a 06. Por otra parte, las conexiones se establecen con individuos de diversos niveles de popularidad. Llama la atención que 14 ignora a 03, de manera que ambos polarizadores de prime

Los

06

12

20

Ninguna selección

Una selección

Dos selecciones

Tres selecciones

Cuatro selecciones

05

14

08

57

consiste en indicar el ordenamiento de las preferencias y los rechazos, asignando una escala discreta para ponderar la intensidad de las relaciones. Otra manera consiste en partir noprefe azos, sino también de las expectativas que tiene cada individuo sobre quiénes lo elegirían o rechazarían.

En general, los modelos matemáticos asociados a estas esientan sus bases en la Teoría de Grafos y han sido desarrollados con mucha profundidad. Actualmente los sociogramas se aplican en campos lejanos de los pequeños grupos, como en análisis de relacio empresariales, para lo cual han sido desarrollados software muy avanzados. Para las investigaciones educacionales han sido desarrolladas muchas apl iones, como “Socgram” que posee licencia pública GNU y puede descargarse de la dirección www.adit.co.uk/downloads/socgram.zip

solo de las rencias y rech

structuras

nes

icac

.

DIAGRAMA, FLUJOGRAMA Y ORGANIGRAMA

A continuación se examinará brevemente un conjunto de diagramas de amplio uso en las Ciencias de la Educación. Al igual que en los otrora mencionados diagramas de Ishikawa, no existe para ellos una teoría matemáti stematizada que exija nociones más profusas que la Lógica o ría de Conjuntos.

Los investigadores deben seleccionar con sumo cuidado el diagrama que mejor transmita las ideas que necesita puntualizar. Muchas veces aparecen esquemas en los informes de investigación que, lejos de sintetizar la esencia de una idea, confunden al lector. El uso coherente y riguroso de los diagramas constituye un requisito

ca si la Teo

indispensable en cualquier investigación.

Diagramas de Venn: Fueron ideados por el matemático y lógico británico John Venn (1834-1923). Consisten en la superposición de varias regiones casi siempre circulares, para ilustrar la pertenencia exclusiva o inclusiva de elementos o características de varios conjuntos. En las investigaciones educacionales los conjuntos pueden representar áreas del conocimiento, dimensiones de un objeto, estratos sociales, componentes de un proceso, entre otros aspectos.

58

El desarrollo inte través del

s muy complejos como los

El ejemplo más difundido entre los educadores cubanos, consiste en el solapamiento de tres círculos para representar la interacción de tres esferas básicas de formación de la personalidad: la afectiva, la cognitiva y la motivacional.

Afectiva Cognitiva

Motivacional

gral de la personalidad puede ilustrarse a triángulo curvilíneo central, donde confluyen todos los círculos simultáneamente. Particularmente, el llamado componente inductor o esfera afectivo-motivacional, puede visualizarse mediante el eclipse formado entre los círculos correspondientes. Esta zona sirve para explicar la interacción de procesointereses, motivos, emociones y sentimientos.

Diagramas de Gantt: Fueron ideados por el ingeniero mecánico norteamericano Henry Lawrence Gantt (1861-1919), durante sus investigaciones de administración científica. Consisten en sencillos cronogramas de barras que ilustran la duración y confluencia en el tiempo de varias tareas, etapas, acciones y, en general, de cualquier

nte ejemplo se ilustra la disposición en el tiempo del plan de estudios de un diplomado básico para la formación doctoral,

conjunto de actividades planificadas. En las investigaciones educacionales son útiles para representar el plan de estudios generado por un diseño curricular, la disposición de las etapas de una estrategia de intervención, las acciones y operaciones desarrolladas por un sujeto al resolver un problema (episodios gráficos o diagramas de Shöenfeld), la gestión de un proyecto, entre otros.

En el siguie

59

desarrollado por el Centro de Estudios en Ciencias de la Educación “José de la Luz y Caballero” (CEDU), durante el curso escolar 2006-2007.

sep-06

oct-0

6

nov-0

6dic

-06

ene-07

feb-07

mar-07

abr-0

7

may-07

jun-07

Exámenes de ingreso

Cursos obligatorios

Elaboración de la tesina

Cursos opcionales

Actividades complementarias

Defensa de la tesina

Estos tipos de gráficos no se construyen automáticamente en Excel. No obstante, maniobrando un poco con los gráficos de barras apiladas es posible una buena visualización (véase la hoja de cálculo “Gantt” en el archivo “anexo.xls”).

Diagramas piramidales: Son útiles para ilustrar relaciones basadas en la estructura de los objetos. Algunas veces se representa una pirámide en perspectiva; otras veces se dibuja sencillamente una

o. En Psicología es conocida la “pirámide de necesidades” de Abraham Maslow (1908-1970), en cuya base se colocan las

cara, construyendo un triángulo con la base hacia arriba o hacia abajo. Las pirámides se truncan en secciones, donde la jerarquía aumenta desde el vértice hasta la base.

En el diseño curricular de las carreras universitarias es común utilizar una pirámide truncada para comparar los componentes académico y práctico. En la asignatura de Biología es común hablar de la “pirámide trófica” que es un modo de representar las relaciones tróficas de un ecosistema, donde cada eslabón o nivel trófico se representa tomando las secciones de una pirámide. En la base se ubican los productores primarios, luego los consumidores primarios, y así sucesivamente hasta llegar a los predadores del ecosistema analizad

60

bro The e-learning fieldbook, Nick Van Dam (n. 1961) resume los estudios empíricos realizados sobre las tasas de retención, memorización y aprendizaje de los alumnos en las modalidades de e-Learning tras realizar un curso on-line. En su diagrama, Van Dam utiliza la pirámide de retención surgida en los años 60 con los estudios de David Dale, sobre la efectividad de distintos medios y canales de comunicación. He aquí el Online Learning Continuum de Van Dam:

necesidades fisiológicas, luego las de seguridad, las de aceptación social, las de autoestima, y culmina con las de autorrealización. A continuación se muestra una pirámide muy utilizada en Informática Educativa.

En su li

61

Las relaciones existentes entre los diferentes medios tecnológicos y la pirámide de retención, revelan que no puede esperarse mucho de un programa de educación a distancia basado exclusivamente en correos electrónicos. El aprender haciendo es el ideal de un software educativo, de manera que en los guionistas recae una responsabilidad extraordinaria. Un buen guión con una programación deficiente puede ser mejorado, pero un mal guión solo puede aspirar a versiones modernas del frío conductismo.

de lo que dice o 70%

90% de lo que hace

escribe

50% de lo que ve y oye

Simulaciones Juegos on-line

30% de lo que ve

10% de lo que lee

e-reading e-learning

Bajo Alto Nivel de diseño instruccional

Interacción on-line síncrona (aula virtual)

imágenes, animaciones) Guías de autoestudio ilustradas Presentaciones portátiles o similares on-line sin locuciones

e-mail e-document e-whitepaper

Interacción asíncrona (foros, listas, e-mail) Trabajos colaborativos

e-cursos basados en vídeo

e-cursos con elementos ilustrativos (esquemas,

62

Por otra parte, los porcentajes expresados en la pirámide no deben interpretarse de manera literal, por cuanto el proc no se r de una c de elementos. Esto ya se trató anteriormente cuando se analizó la relación entre el IQ y la inteligencia. Los valores porcentuales más bien ex e las diferentes l conocimie rse que las dife consecutivas es del 20%, sin que e afirmaciones descabelladas como: “un show ivale a un libro s emilios” (cic).

Flujogramas:

eso de retencióneduce a la simple memorización antidad finita

presan un orden entrnto. Puede observa

siempre

formas de interiorizar erencias entre las etapassto sirva para sostenerde Power Point equ

electrónico y do

Son diags símbolos han sido

ramas que mue tmicos de un proceso. Su estandarizados por las normas ISO 5807. Por ejemplo, las flechuna tarea representan un evento o proce s símbolos más comunes suna condición. Normalmente el formación entra por arriba y sale por debajo si la condición se cumple, o sale por un lado si la con e cumple. Tambi lizan otros símbolos como el rectá dondeado y el círculo.

Los procesos algorítmicos no son comunes en las Ciencias de la Educación. Sin embargo, son útiles en la enseñanza de la Matemática (en la situación típica SICA o “serie de indicaciones con carácter algorít n la enseñanza de la ción (programación sobre cualqu a modelación de procesos de Direcció jemplo se modela el algor e aplicación de una guía de entrevista.

stran los detalles algorí

as indican el sentido y trayectoria de de información. Los rectángulos o de un proceso

. Por su parte, loso determinado y son lo rombos se utilizan para representar flujo de in

dición no sngulo re

én se uti

mico”), e Computaier superlenguaje), en l

n Científica, entre otros. En el siguiente eitmo d

63

Se trata de un caso típico de instrumento dirigido a un estrato social amplio. El primer cuestionario ha sido diseñado para sujetos familiarizados con el aspecto indicado en el rombo, el segundo para aquellos que lo desconocen, y el tercero aborda cuestiones comunes a ambos casos.

Organigramas: De amplio uso para mostrar relaciones jerárquicas de dependencia y subordinación. Muestran con rapidez los canales de dirección, así como los vínculos y relaciones conceptuales. Son comunes en los estudios relacionados con las estructuras de dirección, ejecución y asesoría; en la organización del trabajo en las diferentes instituciones; en los mapas conceptuales de un currículo; entre otros.

Existen diversas clasificaciones de los organigramas. Por ejemplo, atendiendo a su forma se subdividen en verticales, horizontales, mixtos y de bloques. En el siguiente ejemplo se ilustra un

Presentación

Datos Generales

Cuestionario 2

Cuestionario 1

Cuestionario 3

¿Conoce…?

SI

NO

Agradecimiento

64

organigrama mixto, pues contiene conexiones dispuestas vertical y horizontalmente. y relaciones describen con inmediatez la estructura de un complejo CDIP (Centro de Documentación e Información Pedagógica).

.

Los componentes

CDIP

Administración Registro de la Información

Localización y transferencia de la información

Recursos Humanos y Estadística

Mantenimiento

Coordinación

Biblioteca

HemerotecaMedioteca

Normas Documentos

ArchivosEducación

Informática

Personal de Maestranza

A diferencia del flujograma, puede observarse que no se describe un proceso de entrada-salida, sino la estructura jerárquica de diversos componentes. Regularmente no se utilizan flechas y se sobreentiende que las relaciones de dependencia fluyen de arriba hacia abajo. Por ejemplo, la Biblioteca y la Hemeroteca son componentes del Registro de la Información, pero no se supedita una a la otra

65

DIAGRAMA UTILIDAD EJEMPLO

Para concluir este tópico se exponen tres diagramas muy sencillos, pero también útiles y de uso común.

Radial Mostrar las derivaciones de un elemento fundamental.

Cí un con

continuo. Círculo eming para la mejora continua de la calidad (W ards Deming, ).

clico Mostrarprocesociclo

PDCA de Dilliam Edw

1900-1993Circular Mostrar

necesarios

los pasos

para lograr un objetivo, para llegar a un fin.

VALORES

Éticos

Científicos

Filosóficos

Jurídicos líticos Po

Estéticos

Religiosos

Plan

Act

PDCA

Check

Do

Información Conocimiento

Datos

Sabiduría

66

ión. Regularmente, las ideas se ustran por medio de un esquema compuesto por los componentes y

laciones esenciales del modelo. Es erróneo identificar al modelo e ráfica, la cual regu no es capaz de

itir to a que este entraña.

Una de las p s más comunes consiste en d buen esquema, d que por sí mismo sea capaz de revelar los elementos e a te ob nven de las partes constitutivas, disponiéndolas en un orden lógico y en un espacio relativamente económico. Al desplegar las diferentes saetas, es necesario que los traz cep l tipo y grosor de las flechas sirve para distinguir la jerarquía de las

iones. En general, lo esqu

1. Autoe tivos, 2. Sintét3. Funcionales, 4. Sencillos, 5. Ilustrativos, 6. Coherentes, 7. Lógicos, 8. Compatibles (por ej

El siguiente esquema sinte de una tesis doctoral , 20 ). e

adquiere el o de formación de competencias es en el técnico me ec nica Industrial, media ctica preprofesion

Las investigaciones avanzadas en Ciencias de la Educación utilizan con frecuencia el método de modelacillas recon su repr sentación g larmente transm da la riquez

roblemáticae modo senciales. Par

iseñar un

lograr es jetivo es co iente partir

os se inter ten poco. E

conex s emas deben ser:

xplicaicos,

emplo, con las normas ISO).

tiza el aporte teórico(Alonso 07, p. 41

procesdio en Mal.

S muestra el carácter direccional quelaboral

á nte la prá

67

que si las denominaciones de los componentes sido encerradas en óvalos, el esquema habría resultado

ás engorroso. Encerrar estos elementos en rectángulos sería contraproducente, pues estéticamente no conviene mezclar rectángulos dentro de óvalos. Tal como reza un antiguo apotegma latino, la sencillez es el sello de la verdad (Simplex sigillum veri).

DIMENSIÓN TECNOLÓGICA

Técnica Problema Profesional

Método Tecnológico

Tarea

Tecnológica

Desempeño Laboral Eficiencia

Económica

Efecto Social

DIMENSIÓN PEDAGÓGICA

DIMENSIÓN SOCIOECONÓMICA

La disposición de los óvalos en cascada suscita una idea de cambio de dimensión, cuyo tránsito queda aclarado por medio de las flechas de bloques. Las flechas pequeñas (conectores) muestran las relaciones circulares de los componentes, intra e interdimensión. Puede notarse hubiesenm

68

s por medio de gráficos no es suficiente para una descripción precisa de los mismos. Por su parte, la des numérica con a poderosa herramienta, durante el a e los datos. A ión se exponen algunos aspectos básicos, desde el uso de razones y proporciones, hasta el cálculo de estadígrafos, todos ellos de mucha ut igaciones educacionales.

El trabajo co proporciones cons un aspecto esencial en la práctica inve tigativa. Es usual enf problemas donde la descripción de los resultados implica el cálculo de una ejemplo, “de una matrícula de 219 estudiantes, aprolas tres cuartas partes alca dos índices de calid é significa esto?

Para calcular de cuántos estudiantes se trata, es necesario multiplicar la razón por el total: ¾ (219) = 164,25. Como este resultado no tiene sentido, o sea, no existe una parte decimal de estudiantes, es necesario también redonde 164. De esta manera, aproximadamente 164 estudiantes alcanzaron tales índices.

Debe recordarse que al truncar el número, el redondeo puede ser por defecto o por exceso. Cuando la primera cifra de la parte

es convenientes; por ejemplo:

DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DE LOS RESULTADOS

La ilustración de los dato

cripción nálisis d

stituye un continuac

ilidad en las invest

n razones y tituyes rentarse a

razón; por ximadamente

¿nzan eleva ad”. Qu

ar: 164,25 ≈

truncada es 0, 1, 2, 3, ó 4, se redondea por defecto, manteniendo intacta la parte no truncada (así ocurrió en el caso anterior). Cuando la primera cifra de la parte truncada es 5, 6, 7, 8, ó 9, se redondea por exceso, incrementando en una unidad la parte no truncada.

Con frecuencia, también es necesario enfrentar el problema inverso. En efecto, el investigador sabe que de una matrícula de 219 estudiantes, 164 alcanzaron elevados índices de calidad. ¿Cómo obtener una fracción sencilla que exprese esta idea de manera razonablemente aproximada? Una manera de proceder consiste en dividir la parte entre el todo, y realizar algunas transformacion

.43

15541553

219164

TodoParteFracción ≈

−⋅−⋅

===

69

En realid y nada generalizab que

ad, el método anterior es muy artificioso le. La Matemática posee una poderosa herramienta

resuelve esta problemática, denominada Teoría de las Fracciones Continuas, pero su análisis supera los límites de esta monografía. En la práctica es conveniente trabajar con algunas fracciones sencillas, tales como las del siguiente recuadro, donde los valores de las fracciones han sido redondeados hasta cuatro cifras decimales:

10 = 0,1000 18 = 0,3750 3

10 = 0,7000 7

91 ≈ 0,1111 5

2 = 0,4000 75 ≈ 0,7143

81 = 0,1250 7

3 ≈ 0,4286 43 = 0,7500

71 ≈ 0,1429 9

4 ≈ 0,4444 97 ≈ 0,7778

≈ 0,1667 61

21 = 0,5000 5

4 = 0,8000

51 = 0,2000 9

5 ≈ 0,5556 65 ≈ 0,8333

92 ≈ 0,2222 7

4 ≈ 0,5714 76 ≈ 0,8571

72 ≈ 0,2357 5

3 = 0,6000 87 = 0,8750

41 = 0,2500 8

5 = 0,6250 98 ≈ 0,8889

31 ≈ 0,3333 3

2 ≈ 0,6667 109 = 0,9000

Como puede apreciarse, la tabla se limita a fracciones propias con denominador menor o igual que 10; por este motivo no brinda una gran precisión. Para el caso anterior,

.4

75,07489,0219

=≈≈

Respecto a las proporciones, es común encontrar en los informes de investigación algunos datos, tales como “en la muestra seleccionada las cantidades de niñas(os), adolescentes y jóvenes, estaban en la relación 1:3:2, aproximadamente”. Esto significa que, por cada niña(o), existen tres adolesc

3164

entes y dos jóvenes, con cierto margen de error. Por ejemplo, en una muestra de tamaño 600, 100 niñas(os), 300 adolescentes y 200 jóvenes, están en esa relación. En la práctica los datos se manejan de forma aproximada, pues es

70

bastante difícil que las proporciones se den de manera exacta. Con bastante precisión, puede afirmarse que 98 niñas(os), 305 adolescentes y 195 jóvenes, están en la relación 1:3:2.

En exámenes constituidos por preguntas de elección múltiple, es usual la aplicación de la fórmula:

10pdetotal.o regunN

preguntasporfalsosítems.Noón ⋅=

donde el criteri e ap 5 pun e observarse que existe un ico e epció fórmula. El factor 10 permi la de -10 a al es bastante cómod ción toma ominador el máximo puntaj supo e cada pregunta aporta un punto. El nume tituy del t crementa el puntaje. La di e es ntre el total favorable de respuestas corr fra mere plicación. En efecto, la frac apar num nstituye un sustraendo esp al p tenu o el número de ítems falsos ta e

Por ejemplo, en un e guntas co stas de lección múltiple, donde cada pregunta tiene cinco ítems (uno

puntean, por tanto, la calificación será:

tas

sincorrectarespuestas.Nocorrectasrespuestas.No −Calificaci

o clásico d robado es tos. Puedsentido lógte trabajar con

n la conc la esca

n de dicha 10, la cu

a. La frac principal como dene posible, niendo qurador consferencia s

e la partetablece e

odo que in

ectas y otra cción que ce una exción que ece en el erador coecial, el cupor pregun

uede ser as grande.

ado cuand

xamen de quince pre n respueeverdadero y cuatro falsos), un resultado posible podría ser: nueve preguntas contestadas correctamente, tres incorrectamente y tres sin contestar. Las preguntas sin contestar no

.5,51015

4ónCalificaci =⋅=

Las relaciones analizadas están íntimamente vinculadas a los conceptos de proporcionalidad directa e inversa. Cuando las cantidades aumentan simultáneamente, de manera que su cociente es constante, se dice que son directamente proporcionales. Por el contrario, si al aumentar una disminuye la otra y viceversa, de

39 −

71

de elección

el comprendido entre 0,25 y 0,35. Una vez aplicado el examen, se ordenan las calificaciones y se forman dos subgrupos: uno fuerte, formado por el 27% superior; y otro débil, formado por el 27% inferior. La fórmula para el cálculodel índice de discriminación es la siguiente:

manera que el producto es constante, entonces se dice que son inversamente proporcionales.

Para evaluar la calidad de un examen con preguntasmúltiple, se utiliza un índice de discriminación que oscila entre -1 y 1, considerándose un buen índice

N)DF(2ID −⋅

= ,

donde F es el número de respuestas correctas del grupo fuerte, D el número de respuestas correctas del grupo débil, y N el número total de estudiantes de ambos subgrupos. En esta fórmula, el valor 2/N es constante, pues la cantidad de examinados se fija a priori. Por tanto, el valor del índice de discriminación y el valor de la diferencia F-D, son directamente proporcionales.

Como ejemplo de proporcionalidad inversa puede tomarse el cálculo del coeficiente C, de cohesión de un grupo. En efecto, una vez aplicado un sociograma y determinado el número n de islas, este coeficiente se calcula según la fórmula:

.n1

1C+

=

Es evidente que el producto C·(1+n) es constante, de manera que C y 1+n son inversamente proporcionales. Por este motivo, la fórmula expresa que el coeficiente C decrece en la medida que aumenta el número n de islas. En el primer sociograma del capítulo anterior, se tiene que n = 1, de donde C = ½; mientras que en el segundo, como

el total de elecciones recíprocas y N el total de sujetos. En la

n = 3, se tiene C = ¼. Por este motivo, puede afirmarse que el grupo está más cohesionado para las actividades recreativas, que para el intercambio sincero en una relación estrecha de amistad.

Esta no es la única manera de describir la cohesión del grupo. Algunos autores utilizan para ello el índice IC = NER / N, donde NER es

72

nceptos de razón y proporción. Los siguiente tabla se ilustran otros índices sociométricos, cuyas fórmulas se basan en los codenominadores N-1 y N(N-1) se refieren, respectivamente, al total de sujetos salvo el individuo analizado y al total de relaciones binarias salvo la de un individuo consigo mismo.

ÍNDICES FÓRMULA DESCRIPCIÓN

Popularidad 1N

NPop E

−=

N = número de elecciones E

recibidas

Antipatía 1N

NAnt R

−=

NR = número de rechazos recibidos

IND

IVI

Estatus

DU

AL

1N)NN()NN(ES RPREPE

−+−+

=

NEP = número de elecciones percibidas NRP = número de rechazos percibidos

Disociación )1N(N

NID RR

−= NRR = número de rechazos

recíprocos

Coherencia EE

ER

NNIC =

ER

elecciones recíprocas N

N = número de

EE = número de elecciones emitidas

GR

UP

AL

Intensidad

1NNNIS REEE

−+

=

NEE = número de elecciones emitidas NRE = número de rechazos emitidos

e P

Un caso especial de trabajo con proporciones lo constituye el tanto por ciento, pues permite formarse una idea de la relación real de la parte respecto al todo. La experiencia ha demostrado que el número 100 es bastante cómodo para efectuar las comparaciones. Existen tres conceptos implicados en cualquier cálculo del tanto por ciento: el todo, que se denomina “valor base” y se denota por B; la parte, que se denomina “valor porcentual” y se denota por P; y el “porcentaje”, que es la parte de 100 que expresa la razón drespecto a B, se denota por p y se expresa en %. La fórmula que relaciona estos tres conceptos es la siguiente:

73

.100

pBP=

De aquí se deduce la existencia de tres problemas posibles, consistentes en el cálculo de uno de los valores, conociendo los otros dos. En todos los casos, el cálculo se realiza aplicando la conocida

egla de tres”. Como ya se vio en las tablas de frecuencias, los valo ivos se calcu do las frec utas (valores porcentuales) entre el total (valor b

c ha con el cálculo de porcenta o también se ncionó anteriormente. He aquí un ejemplo más.

FRECUENCIA

“rres relat laban dividien uencias absol

ase). Esto guarda unajes, comrela

meión estrec

MATRÍCULA ABSOLUTA

ABSOLUTARELATIV

PORCENTAJEA

Niñas 16 0,533 53,3%

Niños 14 0,467 30 1,000 %

46,7% 100Σ

servarse, 30 es el alor base, y 14 stituyen los respectivos porcentuales. Po cada centaje se calcula multiplicando cruzado endo el

resultado B. Esto es equivalente dividir luego la coma gares hacia la derecha.

os conceptos de razón, proporción y tanto por ciento no son suficientes para una descripción satisfactoria de los datos utilizados

Comconpor

o puede ob v mientras que 16 r regla de tres,100·P y dividi

P por B y correrpor dos lu

a

L

comúnmente. El resumen de la información puede hacerse de forma sencilla y precisa, utilizando valores numéricos que den idea de la ubicación o del centro de los datos (medidas de tendencia central); usando cantidades que informen de la concentración de las observaciones alrededor de dicho centro (medidas de dispersión); y mediante números que reflejen otros rasgos de la distribución, como asimetría y apuntamiento. Para estos fines la Estadística ha creado múltiples herramientas, donde las más elementales son los estadígrafos.

74

En primer lugar aparecen los estadígrafos de tendencia central, siendo muy conocidas la moda, la med na y la media. La moda es el (o los) dato(s) de mayor frecuencia absoluta, y se denota por M .

por qué de observaciones

presente varias modas p bido a que el fenómeno estudia p flu tintas poblaciones. En este caso, es conv erminar los estratos y llevar a ca udios paralelos en cada uno, lo cual permitirá una mayor com ón del fe eno.

Ejemplo:

ente recuadro aparecen las asignaturas por las cuales un

iao

Esta definición es aplicable a cualquier tipo de variable, incluyendo las cualitativas. Cuando hay una sola moda, la distribución se llama unimodal; si hay dos, se llama bimodal; si hay tres, trimodal; y si hay más de tres, plurimodal.

La moda presenta varios inconvenientes como medida descriptiva, destacando entre ellos que no todos los valores observados intervienen en su cálculo; además, la moda ni siquiera tiene existir. En ocasiones, el hecho de que un conjunto

uede ser dedo se haya producido or la con

eniente detencia de dis

bo estprensi nóm

En el siguigrupo de estudiantes mostró mayor interés. Cada estudiante aparece representado por sus iniciales, y al lado figura su asignatura preferida.

LOG → Geografía MRT → Geografía YTL → Historia PTS → Geografía JCT → Física YLA → Español ECP → Geografía APS → Inglés PTR → Historia YDA → Historia LRC → Química MCR → Geografía JMS → Inglés YRR → Historia LGH → Geografía AFG → Geografía YHH → Inglés YPC → Matemática YLM → Geografía YBL → Geografía YHV → Geografía MLO → Español MCV → Química THV → Matemática AAF → Español YUA → Geografía

75

Una tabla de frecuencias absolutas permite identificar inmediatamente la moda:

ASIGNATURA PREFERIDA

FRECUENCIA ABSOLUTA

Geografía 11 Historia 4 Física 1 Química 2 Inglés 3 Español 3 Matemática 2

Σ 26

De un total de once asignaturas, siete están en la preferencia de los estudiantes, siendo Geografía la más preferida; o sea, la moda. Aquí la moda resulta útil, pues la frecuencia absoluta correspondiente es

yor que las restantes. La moda es ineficaz cuando supera

La median r Me ctuar su cálculo e c o im l r lo que necesariam q an s las a z que han sido ord d mp a endente, se razona de l ie m

a) Si la id de s im n a el valor cent

b) Si la da e ar, semisuma de lo or e

Es necesar ar u ) e puede tomarse c ie al os o rales, y no precisame s su ste a siempre es única. U r d nder u na es una

edida de tendencia central, consiste en observar lo siguiente: la

mucho maligeramente al resto de los valores, y también cuando algún dato tiene una frecuencia notable, pero sin llegar a igualar la moda. Por ejemplo, si la asignatura de Historia hubiese tenido una frecuencia absoluta de 10, no sería moda, pero debería ser tenida en cuenta.

a, por sus pre

parte, seiso

denota prdenar pr

oero

, y para efedatos, poos

ente ued excluida vari bles nominales. Una veena os, por eje

anera: lo de m nera asc

a sigu nte

cant ad datos e par, ento ces se tomral. canti d d datos es p entonces se toma las val es c ntrales.

io acl ar q e el caso (b s de uso corriente, peroualqu r v or entre l dos val res centnte la emi ma. Por e motivo, l mediana no

na fo ma e compre mejor q e la mediam

76

s en cantidad. Puede afirmarse también que los valores que superan a la mediana no son mayoría, y que los valores inferiores a s

Ejemplo:

Los años de experiencia de los profes s del claustro de una escuela aparecen re el recuadro siguiente:

12 24 32 11 2 21 18 33 7 21 24 22 34 3 11

mediana es un valor tal, que las observaciones inferiores y superiores a ella son iguale

ella tampoco lo on.

orecogidos en

6 13 8 8 31 18 29 18 41 7 14 14 21 31 33 25 30

Se trata de 32 docentes, donde la más el solo tiene 2 años de xperiencia, mientras que el más experimentado acumula 41 años.

novePara determinar la mediana primero se ordenan los datos:

2 3 6 7 7 8 8 11 11 12 13 14 14 18 18 18

21 21 21 22 24 24 25 29 30 31 31 32 33 33 34 41

El total de datos es par (32), de manera que se procede como se explicó en (b). Puede observarse que el último valor de los primeros 16 números y el primer valor de los restantes 16, constituyen los valores centrales. Su semisuma es ½(18 + 21) = 19,5, por lo que la

Una característica distintiva de la mediana consiste en que ella es bassi los res números hubieran sido 29, 34 y 44 (en lugar de 33,A pesa sencillo, la mediana es muy

mediana es 19,5 ≈ 20 años de experiencia. Existen infinitos valores reales entre 18 y 21 que sirven como mediana; en cambio, la propia naturaleza de la variable suscita la elección de 19 ó 20, como valores más representativos.

tante estable ante ciertas variaciones de los datos. Por ejemplo, últimos t

34 y 41, respectivamente), el valor de la mediana no cambiaría. r de que su cálculo es rápido y

complicada matemáticamente para la inferencia estadística. Entre sus propiedades también se destaca el hecho de que si dos muestras tienen medianas Me′ y Me″, puede afirmarse que el conjunto unificado de ambas tiene mediana Me, con Me′ ≤ Me ≤ Me″. Además, en

77

lementos, cabe preguntarse entido hallar también la mediana de cada uno de estos

de la m d p e a l” s e a r ;

la gu i rc c t y denota pterminología, la mediana original constituye el “segundo cuartil”, y

nstituyen s de tendencia central del conjunto orig

ser acione n d as de posición, a exQ2 G i e p e servar el s if o cu il

porcentajes. Las flechas que parten de cada cuartil indican la división

distribuciones unimodales, la mediana está siempre entre la media y la moda; incluso más cerca de la media.

En vista de que la mediana divide el conjunto de observaciones en dos subconjuntos de igual cantidad de esi tiene ssubconjuntos. Esta división genera tres valores: la mediana original y otras dos que, de conjunto, dividen el total de observaciones en cuatro partes con el 25% de las observaciones. La medianaprimera itad se enomina “ rim r cu rti , y e d not po Q1 la de se nda m tad, “te er uar il”, se or Q3. Con esta

se denota por Q2. Por su propia definición, los cuartiles no tienen por qué ser únicos.

Es necesario precisar que el conjunto de cuartiles no comedidalas ob

inal, o sea, de todas cepciv s; e realida son medid ón

de . ráf cament se ued ob ign icad de los art es. Si X1, X2,…, X10, son diez datos observados, entonces, suponiendo que en orden ascendente se denotaran por X1′, X2′,…, X10′, resultaría:

Como puede observarse, los tres cuartiles dividen el conjunto en cuatro partes, donde cada una tiene dos elementos; sin embargo, el 25% de 10 es 2,5 ≈ 3. Esta inexactitud va disminuyendo en la medida que aumenta la cantidad de datos.

Para los gráficos de frecuencia acumulada, los cuartiles tienen una interpretación muy especial, la cual aparece ilustrada a continuación. Efectivamente, he aquí un diagrama de frecuencia acumulada, donde los valores relativos han sido multiplicados por 100 para indicar

X1′ X2′ X3′ X4′ X5′ X6′ X7′ X8′ X9′ X10′

Q1 Q3 Q2 = Me

78

s abscisas de igual manera.

sistencia y promoción, como indicadores de gran importancia para

l promedio se calcula sumando todos los valores observados X1, X2, , X , y dividiendo luego el resultado entre la cantidad total; o sea, eg f

del eje de frecuencias en cuatro partes iguales, lo cual no quiere decir que los cuartiles dividan el eje de la

Por su naturaleza intuitiva, la media o promedio es la medida de tendencia central más frecuente y conocida por todos; su uso es amplio en todas las investigaciones. Por ejemplo, en el ámbito educacional resulta cotidiano el análisis de los promedios de ala emulación escolar.

E… N

ún las órmula:

NXXXX N21

__ +++=

K.

or debería optar por la

En el ejemplo anterior se obtiene (12 + 24 +… + 33)/32 = 622/32 = 19,4375 ≈ 19 años. En realidad, los años se cuentan utilizando valores naturales, por lo que el investigadeliminación de la parte decimal. A diferencia de la mediana, el promedio se caracteriza por ser sensible a determinados cambios en los datos. Por ejemplo, si al rectificar los años de experiencia se descubriera que, en vez de 41 era 4, entonces se obtendría como promedio el número 18,28125 ≈ 18 años. En cambio, si el

Q1 0

25

50

75

100

% F

recu

enci

a A

cum

ulad

a

VariableQ2 Q3

79

El promedio también se caracteriza por su cálculo rápido y sencillo; por su fácil interpretación, como una especie de “centro de gravedad” de las observaciones; y por su amplia aplicación en la inferencia estadística. Si se conocen las medias de dos muestras de tamaño dado, entonces es posible calcular la media del conjunto unificado de ambas muestras. Esto no era posible en la mediana, la cual solo se podía estimar. La fórmula para calcular exactamente el valor de la media, en este caso, es la siguiente:

decremento de ciertos datos se compensa con el incremento de otros, entonces el promedio permanece invariable.

21

2

__

21

__

1__

nnXnXnX

+⋅+⋅

= .

Aquí y son las medias de las muestras de tamaño n n2, 1

__X 2

__X 1 y

respectivamente. En general, esta fórmula puede extenderse a cualquier cantidad finita k de muestras, mediante la siguiente fórmula:

k21

k

__

k2

__

21

__

1__ XnXnXnX ⋅++⋅+⋅=

K.

nnn +++ K

ar “pesos” a los datos, en dependencia de la importancia que estos tienen. Si la variable asume los valores X1, X2, …, XN, y cada una de ellas tiene los pesos W1, W2, …, WN ∈ N*, respectivamente, entonces la media ponderada se calcula según la

Un tipo de media poco usual, pero bastante útil en las investigaciones, es la media ponderada. Este promedio especial consiste en asign

fórmula:

N21

NN2211p

__

WWWXWXWXWX

+++⋅++⋅+⋅

=K

K.

Es fácil observar que el promedio ordinario es un caso especial de media ponderada, donde a cada valor se le asigna 1 como peso. Nótese, por ejemplo, que si W1 = W2 = … = WN = 1, entonces en el denominador W + W + … + W = 1 + 1 + … + 1 = N. 1 2 N

80

de una muestra

ayor según lo sea el tamaño Wi del estrato. La unión de todos ellos conforma una nueva muestra (estratificada), mediante la cual el investigador puede describir mejor determinados hechos y fenómenos.

La media ponderada encuentra una aplicación natural en el promedio

s trabajos de control un peso de 2, y al examen final un peso de 4. Los números 1, 2 y 4 no son arbitrarios; es común utilizar potencias consecutivas de igual base, por la naturaleza exponencial de los niveles de importancia de cada tipo de evaluación. En este

Para una mejor aprehensión de esta fórmula es conveniente notar que cada Xi puede interpretarse como el promediode tamaño Wi, siendo todas las muestras disjuntas (si elementos comunes). El siguiente diagrama ilustra la idea anterior:

Cada muestra constituye un estrato de promedio Xi, cuyo peso será menor o m

… 3, X3)(WN, XN)

(W1, X1)(W2, X2)

(W

de varias calificaciones, donde la importancia de cada una de ellas es variable. Por ejemplo, si en una investigación se desea medir el rendimiento académico de un(a) estudiante y se dispone de sus calificaciones en preguntas escritas, trabajos de control parcial, y examen final, entonces es posible asignar pesos a cada una de estos tipos de calificaciones. Por ejemplo, a las preguntas escritas un peso de 1, a lo

caso, la base que se ha elegido es 2, tomándose 20 = 1, 21 = 2, y 22 = 4.

81

Para fijar las ideas, si en las preguntas escritas obtuvo 5, 4, 4, 3, 5 y 3; en los trabajos de control, 4 y 3; y en el examen final 4, entonces:

.486,31454443242315131414151__

422111111Xp ≈≈=

++++++++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

=

Naturalmente que en ocasiones es necesario hacer algunas adaptaciones, sobre de determinados convenios. Si la calificación 2 significa “suspenso” en el sen l, es conveniente sustituir el 2 por 0, pues se trata de dos puntos que no representan un puntaje real, lo cual tiene q con la escala que se está utilizando.

La media ponderad p tilizarse en concursos de conocimientos. Por ejemplo, en cierto concurso de Biología se estableció que la puntuación de la prueba teórica se contaba una ez, la de la práctica de laboratorio dos veces, y la de la práctica de

que marca cada categoría. En la siguiente tabla se ilustran los resultados de la actitud de 100 encuestados hacia cierto

la basetido usua

ue ver

uede ua también

vcampo tres veces. El cálculo del rating consistía en la correspondiente ponderación de los tres resultados. También este tipo de media puede aplicarse en la descripción de los resultados de una escala tipo Likert, tomando como ponderaciones la cantidad de encuestados

aspecto, donde 1 significa “nada de acuerdo”, y así sucesivamente hasta llegar a 5, que significa “totalmente de acuerdo”.

CATEGORÍAS 1 2 3 4 5

TOTAL DE ENCUESTADOS

9 12 17 39 23 100

Los subtotales por columnas han sido calculados después de tomar los valores simétricos, en aquellos valores redactados en forma negativa. La media ponderada puede servir como indicador de medida, para cuantificar el grado de aceptación del aspecto en cuestión. En este caso, su valor es:

82

.455,3100355

23391712952343931721219Xp

__≈==

++++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

=

Por tanto, puede concluirse que los encuestados tienden a estar bastante de acuerdo con el citado aspecto. Si las categoríaestuvieran más refinadas, entonces el investigador podría contar con

papel esencial. Ya anteriormente se analizó la mediana

n la práctica, el cálculo de los cuantiles se efectúa sobre datos agrupados. El inte ue contiene a l r%) es el prime uencia absoluta acum ad r que (r/100)N el número de observaciones. efectuar el álculo se utiliza la siguiente fórmula, apr ximada p rpolación

lineal:

s

una medida más precisa para su estudio. De todas formas, el problema del refinamiento en una escala tipo Likert enfrenta problemas de orden práctico que frenan el incremento del número de categorías; incluso se recomienda no exceder las siete.

Junto a las medidas de tendencia central, las de posición también juegan un como un tipo de cuartil, pero ella es una medida de tendencia central mientras que los cuartiles no lo son. Los cuartiles son un tipo de medida de posición y constituyen un tipo especial de cuantil.

Los cuantiles son valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Los más usados son los cuartiles, los deciles y los percentiles. Tal como se analizó, los cuartiles son tres y dividen la distribución de frecuencias en cuatro partes iguales; de igual manera ocurre con los deciles y los percentiles. Estos últimos son, respectivamente, 9 y 99, dividiendo las observaciones en sendos conjuntos de 10 y 100 partes. Los deciles se denotan por D1, D2, …, D9, y los percentiles por P1, P2, …, P99.

Ervalo de clase q Cr (cuantil a

a es igual o mayoro cuya frec ul, siendo N Para

or intec o

)ll(f

FN100

r

lC i1ii

1i

ir −−

+≈ +

−

,

83

donde (li; li+1] es el intervalo que contiene a Cr, fi es su frecuencia absoluta y Fi-1 es la frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior.

Particularmente, las fórmulas para el cálculo de los cuartiles son las siguientes:

)ll(f

FNlCQ i1ii

1i41

i251 −−

+≈= +− ,

)ll(f

lCMQ i1ii

i25e2 −FN 1i

12 −

+≈== + , −

)ll(f

FNlCQ i1i

i

1i43

i753 −−

+≈= +− .

A modo de ejemplo, a continuación se presenta una tabla de frecuencias con las calificaciones obtenidas por los estudiantes de un preuniversitario en su examen de Historia, con vista al ingreso en la Educación Superior.

FRECUENCIA CALIFICACIÓN

MARCA DE

CLASE ABSOLUTA ABSOLUTA

ACUMULADA (0; 10] 5 0 0 (10; 20] 15 1 1 (20; 30] 25 2 3 (30; 40] 35 1 4 (40; 50] 45 3 7 (50; 60] 55 5 12 (60; 70] 65 25 37 (70; 80] 75 45 82 (80; 90] 85 52 134 (90; 100] 95 27 161

Σ 161

84

de las fórmulas anteriores. En efecto, el intervalo

i

lo es (70; 80], de modo que li = 70, li+1 = 80, fi = 45 y Fi-1 = 37; por tanto,

Como puede observarse, los datos aparecen agrupados. Ahora es posible calcular un valor aproximado de la mediana, utilizando la segunda “mediano” (que contiene la mediana) es el primero cuya frecuencia absoluta acumulada F es igual o mayor que ½N = ½(161) = 80,5. Este interva

7,79)7080(45

375,8070Me ≈−−

+≈ .

Para el cálculo del promedio de un conjunto de datos agrupados es factible utilizar una especie de ponderación, donde los valores promediados son las marcas de clase y los p os las frecuencias absolutas. En el caso anterior resulta:

es

6,77161

124952710

952715150X__

≈=++

⋅++⋅+⋅=

K

K.

Puede observarse la relativa cercanía que existe entre el promedio y la mediana. Es oportuno señalar que el cálculo anterior contiene un umerador compuesto por una suma de productos. Frecuentemente

no se dispone de una computadora, pero sí de una calculadora digit m ersonas uso de los boto RC lcu a s se obtiene fácilmente, com los botones M la siguiente manera:

1. Se l primer ducto y se esiona M+.

2. El iento an r se repite para cada pr y así va ándose t las sumas parciales.

3. Se el botón C para vis r la suma l.

Frecuen los edu res utiliz el promedi omo una medida esultado in embar la experie pone de manifie o no es ciente par rmarse una idea precisa del conjunto de datos. Por ejemplo, el o de afirmar que se ha

grado una calificación promedio de 85 puntos en ciertos exámenes no dice mucho. Tal vez la inmensa mayoría de las calificaciones

n

al. En este caso, nes M+, M- y M

uchas p. El cábinando

desconocen el lo de la sum de producto

+ y MRC de

efectúa e pro pr

procedim terio oducton visualiz odas

presiona MR ualiza tota

temente, cado an o cde sus r s; s go, ncia

sto que est sufi a fo hech

lo

de, entonces existirían elevadas calificaciones junto a otras muy bajas, probablemente con suspensos. Esto pone de manifiesto que el problema de medir el grado de dispersión es un aspecto útil y necesario en la descripción numérica de los datos.

favor de complementar el promedio con un valor numérico, que exprese la variabilidad de los datos alrededor suyo.

Una promediar

estén cercanas a 85, pero también es posible que una buena parte se disperse hacia arriba y hacia abajo. Esto último significa que los valores extremos se compensan, de manera que surge la incertidumbre de cuán alejadas están las notas de este promedio. Si la dispersión de los datos fuera pequeña, entonces en el grupo predominarían los aprobados cercanos a 85. Si, por el contrario, la dispersión fuera gran

En la siguiente figura se presentan dos conjuntos de datos muy distintos, pero con la misma media. Como puede verse, la diferencia no radica siquiera en su simetría, sino en su concentración. Este ejemplo refuerza los argumentos a

_ X

XX6X3X1X4

X6X3X1X+4 X5

forma la

donde N eembargo, diferencias de evitar e

X2

natural de conss desviaciones de

,XX1 −

s la cantidad dse puede demsiempre se compesta anulación co

__

X2

85

_ X

truir una medida de dispersión sería la media:

,XX,,XX N2 −− K

e observaciones de la variable; sin ostrar matemáticamente que estas nsan y la suma se anula. Una manera

nsiste en elevar dichas diferencias al

____

86

cuadrado. La raíz cuadrada del promedio de estos cuadrados recibe el nombre de “desviación típica” y se representa por:

.N

)XX(S

N

1i

2__

i∑=

de

−=

La desviación típica toma valores no negativos y mide la dispersión: a mayor (menor) desviación típica, mayor (menor) dispersión de los datos con respecto a su media. Su cuadrado recibe el nombre“varianza” y se denota por S². La varianza se utiliza en operaciones matemáticas, pues al evitar la raíz cuadrada tiene propiedades aritméticas más cómodas. Puede demostrarse matemáticamente que existe una fórmula más sencilla para el cálculo de S. En efecto, también se cumple que:

.XN

XS

2__

N

1i

2i

−=∑=

Esta otra fórmula tiene la ventaja de que, si se conoce el promedio, se suman simplemente los cuadrados as observaciones, evitando

s incómodas diferencias. Además, casi siempre que un investigador esea calcular la desviación típica, por lo regular ya ha calculado rimero p e .

Estas ulas sirven para estudiar l ispersión de los da población. Por este motivo se utilizan los términos de desviación pica y varianza poblacional. La Estadística fundamenta con mucho

casos la única diferencia radica en sustituir el denominador N por su antecesor N-1.

Otro aspecto de elevada significación práctica consiste en calcular la

como medida de concentración. Este resultado establece que, para

de lladp el rom dio

a dfórm tos en la

tírigor la conveniencia de utilizar otras fórmulas para la desviación típica y la variancia muestral. En estos

cantidad de datos que están alrededor de la media, tomando como límite una cierta cantidad de veces la desviación típica, por defecto y por exceso. La regla del matemático ruso Pafnuty Lvóvich Chebyshev (1821-1894) permite otra interpretación de la desviación típica,

como mínimo: cualquier conjunto de datos, la proporción de observaciones que dista menos de m desviaciones típicas de la media es

.m11 2−

Si se elige m=2 entonces se tiene como re do 1-¼ = ¾ = 0,75,

sultade modo que en el intervalo comprendido entre el promedio disminuido en dos desviaciones típicas y el promedio aumentado en dos desviaciones típicas, se acumula al menos el 75% de los datos. El siguiente gráfico muestra la Regla de Chebyshev para los intervalos más sencillos.

He aquí un ejemplo donde se combina el análisis del promedio y la desviación típica. En la siguiente tabla aparecen las calificaciones de una estudiante en las asignaturas de décimo grado, junto a los criterios evaluativos de los profesores.

ASIGNATURA CALIFICACIÓN CRITERIO Historia 75 3 Español 87 4 Matemática 74 3 Inglés 99 5 Cultura Política 96 5 Química 90 4 Física 88 3 Biología 90 5 Geografía 91 5 Educación Física 92 4

s

s

s

X–4S _

X–3S _

X–2S _

X–S _

X _

X+S _

X+2S _

X+3S _ X

_ X+4S

al menos el 75 % de los dato

al menos el 88 % de los dato

al menos el 93 % de los dato

87

88

obtiene, respectivamente:

El cálculo del promedio es extensible tanto a la variable CALIFICACIÓN, como a la variable CRITERIO. En estos casos se

,2,8810

9291908899699748775XCALIF

__=

0 +++++++++=

.1,410

4553455343XCRIT

__=

+++++++++=

Ahora es posible calcular ambas desviaciones típicas, por medio de la segunda fórmula:

,64,72 ≈,8 2810

9291908890969927487+752

S222

C+++++

2 + + 222 +2

ALIF= −

.83,01,410

43 2222

CRIT ≈−+++

=

egún estos datos, es posible sintetizar la información sobre el

×7,64, esto es, superiores a 2,92. Existe incertidumbre sobre el otro cuarto de las calificaciones,

el cual queda fuera de este margen. Surge la inquietud de si tiene o no asignatu den lificaciones inferiores a untos.

Con mayor posib ecir que el 93% de las notas están en el rango ± 4×7,64, a, superiores 57,64 puntos. Por tanto, la in nida romedio y de ación típica) aporta bastante in n, pero siempre queda un margen de error. Casos como e deben ompensarse n informaciones complemen mo la c dad de asign as suspensas, el valor máxim tre as.

n relación a los datos obtenidos sobre la variable CRITERIO, llama la atención el hecho de que su desviación típica es mucho menor que la de la variable CALIFICACIÓN. Esto podría sugerir que la primera

534553 ++++++ 222222 24 5S

Sestado de la estudiante. En primer lugar, respecto a sus notas, puede afirmarse que su calificación promedio es de 88,2, con una desviación típica de 7,64. Por tanto, las tres cuartas partes de las calificaciones están en el rango 88,2 ± 27

ras suspensas tro de este cuarto, o sea, calos 60 p

precisión es le d 88,2 o se a

formación obte (p sviformació

ste,tarias, c

c coo anti atur

o y mínimo, en otr

E

89

Pearson introdujo una medida para observaciones no negativas denominada “coeficiente de variación media”, que no depende del tamaño de los datos ni tampoco unidades de medida. Su obtención es posible siempre que la media no sea cero; he aquí su fórmula de cálculo:

variable está “más dispersa” que la segunda; sin embargo, esto solo tiene sentido de forma absoluta a partir del tamaño de los datos. Para facilitar el análisis,

de sus

__X

SCV = .

Cuando la media se anula, CV sencillamente no tiene sentido. Este coeficiente no es invariante ante cambios de origen. Es decir, si a los resultados de una medida se le suma una cantidad positiva, B > 0,para tener Y = X + B, entonces CVY < CVX. Asimismo, CV es invariante a cambios de escala. Por ejemplo el coeficiente de variación de una variable medida en metros es una cantidad adimensional que no cambia si la medición se realiza en centímetros.

Como los datos son no negativos la desviación típica no supera al promedio. Por tal motivo, para datos mayores o iguales que cero (con promedio no nulo), de la fórmula se deduce que 0 ≤ CV ≤ 1. Así, mientras más cercano de cero esté CV, menor dispersión existirá; y mientras más cerca de la unidad, mayor dispersión. En el ejemplo anterior se tiene que:

,09,064,7SCV CALIFCALIF ≈≈=

2,88XCALIF

__

.20,01,4

83,0

X

SCVCRIT

__CRIT

CRIT ≈≈=

Por este motivo, el comportamiento de la variable CRITERIO era solo ilusorio. En realidad, la variable CALIFICACIÓN tiene menos dispersión, desde el punto de vista relativo.

Existe una medida de dispersión denominada MEDA (mediana de las desviaciones absolutas), para expresar la variabilidad de las

90

mientras que valores pequeños aparecen en conjuntos de datos concentrados alrededor de la mediana.

Otra medida de dispersión de amplio uso en psicometría, así como

observaciones alrededor de la mediana. Su cálculo es sencillo y consiste en hallar la mediana de los siguientes valores absolutos:

|X1 – Me|, |X2 – Me|, …, |XN – Me|.

Su uso es mucho menos frecuente, pero constituye un efectivo complemento de la mediana. Valores grandes de la MEDA corresponden a observaciones dispersas,

en el procesamiento del criterio de expertos es la “desviación cuartílica”. Se denomina “rango intercuartílico” a la diferencia entre el tercer y el primer cuartil, o sea:

RI = Q3 – Q1.

La desviación cuartílica es la mitad de este rango:

2En ambos casos es útil introducir los análogos del coeficiente de variación de Pearson: el rango intercuartílico relativo y el la desviación cuartílica relativa. Para ello basta con dividir RI y DC por el valor absoluto de M

QQ 13 −=DC .

e = Q2. Las fórmulas respectivas son:

||−

=e

13r M

QQRI ,

||−

=e

r MQQDC

213 .

Para concluir este capítulo se retorna nuevamente a la

der descriptivo, también

representación gráfica de los datos, pero utilizando recursos nuevos. Un tipo de gráfico que ha alcanzado un elevado nivel de generalización, por su sencillez y elevado pofue ideado por Tukey: se trata de los diagramas de cajas y bigotes (boxplots).

91

na se identifica media de esta caja. Un “bigote” (línea) se el valor

, de manera que los bigotes nunca resulten

en Excel para construir estos diagramas. Como puede los tres grupos tienen aproximadamente un rango de

dos restantes. La estrechez de la caja del grupo C revela una considerable concentración de los datos por encima e los 75 puntos. De esta manera, puede afirmarse que los resultados del grupo C son

La mitad central de los datos, que va desde el primer hasta el tercer cuartil, se representa mediante una “caja” (rectángulo). La media

nte una barra horizontal dentro extiende desde el tercer cuartil hasta

máximo y otro desde el primer cuartil hasta el valor mínimo. Para conjuntos grandes de datos las líneas se pueden extender hasta los percentiles P5 y P95, respectivamente.

Esta definición es bastante práctica cuando el rango de datos no es muy grandeexcesivamente grandes. A continuación se utilizan tres diagramas de cajas y bigotes para comparar los índices generales de tres grupos de estudiantes. En la hoja “Tukey” del archivo “anexo.xls” se explica detalladamente como maniobrar

observarse, datos de igual longitud. Sin embargo,

los resultados del grupo B son inferiores a los

d

superiores a los del grupo A y estos, a su vez, superiores a los del B.

100

0

Grupo A Grupo B Grupo C

Cuando el rango de datos es grande se corre el riesgo de que los valores máx

25

50

75

imo o mínimo sean extremos. Si la dispersión es grande el problema es insignificante, pero si los datos están concentrados el

92

datos dudosamente alejados y con asteriscos los alejados.

diagrama puede causar confusión. Por ejemplo, en el gráfico anterior pudo ocurrir que el bigote inferior del grupo C fue generado por unos pocos datos inferiores a 50, mientras no existía ninguno entre 50 y 75. Para enmendar este problema Tukey hizo una precisión sobre la construcción de los bigotes.

En primer lugar, él clasificó los datos alejados de la caja de la siguiente manera:

1. Dudosamente alejados (suspected outliers), cuando su distancia hasta el cuartil más cercano sobrepasa 1,5 veces el largo de la caja, o sea, el rango intercuartílico RI.

2. Alejados (outliers), cuando esta distancia sobrepasa 3·RI.

Partiendo de esta clasificación, Tukey propuso extender cada bigote hasta los últimos datos cuyas distancias a la caja no sobrepasaran 1,5·RI. Excel no construye estos diagramas tan sofisticados, a menos que se le incorpore una macro programada al efecto. A continuación se ilustra un diagrama de esta naturaleza, el cual fue construido utilizando SPSS. Puede observarse el comportamiento de un conjunto de datos, referidos a las matrículas de 300 facultades obrero-campesinas. Con pequeños círculos han sido identificados los

93

s por un onjunto de pares (X; Y), donde cada componente asume valores

respectivos de cada variable. La yuxtaposición en pares no es fortuita, sino adscrita a cierta regla. Por ejemplo, la dupla (Xi; Yi) puede ser el par de calificaciones obtenidas por el estudiante i; también puede representar los índices de asistencia y puntualidad de una escuela en el día i; etcétera.

Los pares formados pueden representarse con facilidad en una tabla. He aquí un fruto del ingenio del psicólogo hispano-venezolano José Peinado Altable (1909-1995). En 1942 Peinado acuñó el constructo “Índice de Regularidad de Aprendizaje” (IRA), como complemento del IQ en el estudio de alumnos con necesidades educativas especiales.

El proceso de resolución de un problema puede conducir a errores; lo más natural consiste en que el número de estos disminuya tras la

ANÁLISIS DE LA RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES CUANTITATIVAS

Un problema frecuente en las investigaciones consiste en indagar la relación existente entre dos variables apareadas; definidac

Matrícula

300,00

250,00

200,00

150,00

100,00

50,00

0,00

Dudosamente alejados

Alejados

1,5·RI

3·RI Tercer cuartil

MedianaRI

Primer cuartil

94

repetición del ejercicio de resolución. Cabe preguntarse si tal disminución es lenta o rápida, si es brusca o suave, etcétera. En uno de sus experimentos Peinado utilizó el Te berinto Manual, del psicólogo sueco André Rey (1906-1965). Después de esclarecer el problema y propiciar la familiarización de los sujetos, contabilizó los errores cometidos en cada ensayo antes de dar por terminada la tarea. En este caso, al aprendizaje lo daba por concluido si en dos repeticiones sucesivas el sujeto resolvía rror. He aquí un ejemplo

Ensayo (Xi) 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

st del La

el problema sin e(hipotético).

4

Errores (Yi) 17 12 8 12 10 9 7 5 4 2 0 0 2 4

La representación de estos pares (Xi; Yi) en un sistema de coordenadas cartesianas permite visualizar del sujeto. Peinado formuló la hipótesis de que, para sujetos normales, entre ambas variables existe una relación dada por la ecuación XY = K, donde el valor de K coincide siempre con el valor de Y en e primer ensayo. De esta manera, la curva teórica que sirve de modelo es una

completar 17ensayos.

la actuación

l

hipérbola equilátera.

En el siguiente gráfico se muestran los resultados del ejemplo anterior mediante una línea poligonal, junto a la curva teórica XY = 17. Como en la experiencia real es imposible cometer fracciones de error, se suspende la curva en el decimoséptimo ensayo. Puede observarse que el aprendizaje fue lento, incluso con regresiones. Por otra parte, aunque el experimento culmina con dos ensayos exitosos, se asume que en los ensayos subsiguientes (no realizados) tampoco se cometen errores hasta

95

0

24

68

10

1214

1618

Erro

res Comportamiento Real

Comportamiento Teórico

1 3 5 7

s s

9 11 13 15 17

En ayo

2 cuando se esperaba Y = 17/4 = 4,25 ≈

Los valores teóricos sirven para pronosticar los resultados esperados. En este caso, como en el primer ensayo se cometieron 17 errores, entonces se espera que en el tercer ensayo se cometan Y = 17/3 ≈ 5,67 ≈ 6 errores. El valor real para el tercer ensayo fue de 8 errores, por encima del valor teórico esperado. Además, también se espera un número menor de errores en el cuarto intento, pero la realidad fue bien distinta: 14 errores. Evidentemente se trata de un sujeto con dificultades en su autoaprendizaje.

Contrastando los valores reales con los teóricos, Peinado definió el IRA como la suma de las diferencias entre ellos. En la siguiente tabla aparecen todos los cálculos, obteniéndose IRA ≈ 33,53, el cual es mucho mayor que cero y revela una marcada lentitud en el aprendizaje.

96

ERROR

ENSAYO REAL TEÓRICO

DIFERENCIA

1 17 17,000 0,00 2 12 8,500 3,50 3 8 5,667 2,33 4 12 4,250 7,75 5 10 3,400 6,60 6 9 2,833 6,17 7 7 2,429 4,57 8 5 2,125 2,88 9 4 1,889 2,11 10 2 1,700 0,30 11 4 1,545 2,45 12 2 1,417 0,58 13 0 1,308 -1,31 14 0 1,214 -1,21 15 0 1,133 -1,13 16 0 1,063 -1,06 17 0 1,000 -1,00

IRA 33,53

Es necesario señalar que Peinado también aprovechó el

que la hipérbola constituye un modelo ideal. De la misma forma, para otras relaciones entre dos variables existen modelos matemáticos más o menos complejos. Por ejemplo, para explicar el comportamiento del olvido sirve de modelo una función de decrecimiento exponencial. La curva del olvido ilustra la pérdida de retentiva con el tiempo. Un concepto relacionado es la intensidad del recuerdo, que indica cuánto se mantiene un contenido en el cerebro. Cuanto más intenso sea un recuerdo, más tiempo se mantiene. Un gráfico típico de la curva del olvido muestra que normalmente en unos días o semanas se olvida la mitad de lo

comportamiento de las poligonales para descubrir problemas de aprendizaje. Ya en el gráfico se pudieron observar picos como síntoma de regresiones, pero también suelen aparecer mesetas como manifestación de desatención y otros trastornos.

Es importante puntualizar

97

prendido, a no ser que se repase. Una aproximación matemática a va de la memoria está d la siguiente fórmula: R = e − t /

S, donde R es l a, S idad ecuerdo y t el tiempo transcurrido.

En el siguiente gr co s stra un ejemplo, donde el eje de las abscisas represen 15 d s d los c se comprobó la cantidad de datos ecord s por un individuo, mientras que las ordenadas muestr los res vos re o al total posible. Puede observarse que a la sema había olvidado más del 50% de los datos, mientras que en s últim ías logró recordar alrededor del 12%, con una tend paren ijar esta cantidad. La curva trazada por Excel (línea de tendencia exponencial) tiene un coeficiente igual a 1,0342, muy o a la unidad; mientras que 0,1476 es el recíproco de S 8. De esta manera, puede aceptarse con bas e ap a ue la función R = e − t / 6,78 es un buen model atem tico la cu oria del experimento realiz .

ala cur ada por

la intensa retentiv relativa del r

áfi e iluta ía urante uales r adoan valo relati spect

na yalos tre os dencia a te a f

cercan≈ 6,7

tant roxim ción qo m á de rva de memado

0,6

0,8

1

y = 1,0342e-0,1476x

0

0,2

0,4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

La relación más sencilla y de amplia aplicación en la Estadística es la correlación lineal. En la siguiente tabla aparece representado un estudio bibliométrico, desarrollado en CDIP.

Durante 120 días se controló la cantidad de obras científicas (X) y humanísticas (Y), solicitadas por los usuarios.

98

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

X 40 37 35 37 17 11 24 29 21 30 0 22 7 18 1 12 24 17 11 20

Y 251 260 294 324 166 137 92 104 126 175 69 157 37 89 122 93 181 120 126 175

Día 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

X 3 0 0 5 20 0 7 3 15 12 21 26 28 10 20 21 4 29 27 28

Y 59 61 80 101 171 70 120 72 47 7 8 26 226 255 203 45 140 204 25 19 00 79

Día 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

X 12 15 34 43 16 22 22 27 30 27 7 24 8 21 28 17 30 19 2 29 29

Y 130 170 158 188 160 120 201 245 275 88 6 1134 30 174 170 98 225 145 19 39 144

Día 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

X 40 38 21 31 27 19 30 26 26 20 0 13 24 29 30 11 33 17 4 20 2

Y 225 178 176 213 302 101 125 271 224 77 6 1122 160 136 171 180 305 125 28 11 28

Día 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

X 5 18 11 1 14 22 29 21 27 50 0 39 35 32 30 33 20 12 4 38 31

Y 27 105 89 67 79 230 263 266 167 191 0 1224 211 248 258 196 91 103 17 37 176

Día 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

X 18 34 14 33 13 30 6 19 16 1 24 46 20 33 38 27 30 3 2 3 14

Y 82 180 155 208 117 221 34 221 247 6 169 263 84 142 310 274 156 45 7 75 90

Si carteEn entero

se representan estas duplas en un sistema de coordenadas sianas, se forma una especie de “nube de puntos” (scatterplot).

de 22, mientras que promedio litera a anística fue de 156. Trazando ma de coordenad s m q e e inados por estos pun

s aproxel

imados el prode

medio detur

texthu

os científicos fue m

sobre la nube de puntos un nuevo sisteatos

, , e

del

res

aul

netad

rao

qes

ue el

los ejesi

ste

:

u d n determguien

Cien

a

cias

Hum

anid

des

II I

III

156

Como pu cuadrante. T c to presa e la cantidad d a la cantidad de obras de i o s a ción exponencial establecida o (t) de la curva expo te último gráfico el crecimiento es más proporciona Por m función lineal con explicar la relación en r e

El siguiente g fico h sido onstr o en E el (véase la hoja de cálculo “Re por la ecuación

∧

se obtien s, y constituye el mejor mo elo li al. El símb o “^ sobre la letra Y sirve para diferenciarla de los valores observados. Este símbolo se usa muy a

IV

22

ede obal

servarse, la ien

nube ex

se concentra en el I y IIIomportam un crecimiento d

e obras de humanidades, cuando aumentc en

entre la intensidad del cias. Alg imil r oc

rurec

rióue

erd

n o (

laR)

re y

la el tiemp

nencial de memoria. Sin el.

mbargoes

, ete

n esotivo, una

stituye un excelente modelo matemático para t e X

rá

Y.

a c uid xcgresión_1” del libro “anexo.xls”). La recta definida

28,56X⋅55,4Y +=

e a partd

ir ne

del método deol

mínimo”

s cuad

rado

menudo en Estadística y se lee “Indian House”, pero es más familiar decir sencillamente “Y techo”.

Y = 4,55 X + 56,28R2 = 0,4989

0

50

100

150

200

250

300

350

0 10 20 30 40 50 60

Ciencias

Hum

anid

ades

^

aproximado para la cantidad de obras

n un error relativo del 8,2% (suponiendo 170 el valor exacto) pero este razonamiento no tiene en cuenta para nada el comportamiento de la variable X. De existir una fuerte correlación, a los valores cercanos a X deben corresponder valores cercanos a Y.

La recta anterior es un ejemplo típico de recta de regresión, pues permite predecir Y a partir de los valores de X. Por ejemplo, si X = 25 (textos científicos), se espera que la cantidad de obras humanística sea:

17003,17028,562555,4Y ≈=+⋅=∧

.

Si se consulta nuevamente la tabla puede observarse que nunca se extrajeron exactamente 25 textos científicos. La forma más cruda de encontrar un valorhumanísticas, consiste en estimarlo calculando el promedio de los subtotales extraídos. En este caso se obtiene aproximadamente 156 obras, co

En general, la aplicación del método de mínimos cuadrados sobre un conjunto finito de pares (Xi; Yi) conduce a la función

100

101

BAXY +=∧

,

como el mejor modelo lineal que explica Y por medio de X. En este caso, las constantes A y B se calculan de la siguiente manera:

2X

XY

SSA = ,

____XAYA −= ,

donde SXY es la covarianza entre ambas variables (una especie de varianza conjunta) que se calcula utilizando cualquiera de las siguientes fórmulas

____ii

__

i

__

iXY YX

NYX

N)YY)(XX(

S −=−−

= ∑∑ ,

siendo N la cantidad de observaciones (Xi; Yi).

correlación y regresión. Uno de estos trabajos fue “Natural Inheritance” (1889), donde introdujo la L de la Regresión Universal: “Cada peculiaridad en un hombre es compartida por sus

s,

, se espera que su hijo mida ½(200) + 85 = 185 cm (alto, pero no tanto como el

La idea original del concepto de regresión lineal se comparte entre dos amigos: Galton y Pearson. Francis Galton (1822-1911) fue estadístico, aventurero y primo de Charles Darwin. Sus estudios de la relación entre la estatura de los hijos y sus padres les llevaron a los conceptos de

ey

descendientes, pero en media, en un grado menor” (regresión a la media). El trabajo de Galton se centraba en la descripción de los rasgos físicos de los descendientes (una variable) a partir de los de sus padres (otra variable).

Pearson, junto a su amigo de Galton, fue un seguidor entusiasta de la Teoría de la Evolución. Creyó encontrar, en la correlación, el instrumento adecuado para convertir la Medicina y las Ciencias Sociales en ciencias tan respetadas como la Física y la Química. Él realizó un estudio con más de 1000 registros de grupos familiareobservando una relación del tipo: altura del hijo ≈ ½ altura del padre + 85 cm. De esta manera, si el padre mide 200 cm

102

padre: regresa a la media). Si el padre mide 120 cm, entonces presumiblemente su hijo tenga una estatura de ½(120) + 85 = 145

y III cuadrante suscita la idea de una función lineal de monotonía creciente. Lo mismo sucedería si e a aglomeración se hubiese distribuido en el II y IV cuadrante, pero con monotonía decreciente. En determinados casos la concentración en torno al centro de gravedad, no sugiere necesariam te una correlación lineal;

problema Pearson introdujo un coeficiente de correlación lineal que lleva su nombre y se denota por R. La fórmula de cálculo es la siguiente:

cm (bajo, pero no tanto como el padre: regresa a la media).

Como se vio más arriba, la aglomeración de puntos en el I

st

de puntos en

especialmente cuando son abundantes los puntos en más de dos cuadrantes.

Para solucionar este

YX

XY

SSR = ,

S

donde SX y SY son las desviaciones típicas de las variables X e Y, respectivamente; mientras que SXY es la covarianza entre ambas variables. La diferencia entre regresión y correlación es que en el cálculo de la correlación ambas variables se tratan simétricamente, mientras que en la regresión, no. En la regresión se trata de poner la variable dependiente en función de los valores de la independiente. En consecuencia, si se intercambia el papel de las variables cambiará también la ecuación de regresión, porque la recta se adapta a las unidades de la variable que se desea predecir.

Excel es capaz de calcular R automáticamente, haciendo uso de la función = COEF. DE CORREL (matriz1; matriz2). He aquí las principales propiedades de R:

1. Siempre es un número real del intervalo [-1;1], o sea, -1 ≤ R ≤ 1.

2. Si R = 1, existe dependencia lineal directa exacta entre X e Y.

103

a demuestra que R² es la proporción de error que se

se aproxime R² a 1, mayor es la bondad s lo haga a cero, menor será esta. En

el último gráfico, junto a la ecuación de la recta de regresión, Excel incrustó también el valor de R² que se denomina “coeficiente de determinación”. En ese caso R² ≈ 0,499, de manera que la bondad

tá determinado, entre zas y la presencia de

sarrolle.

Cuasegu los elementos estudiados son homogéneos reslos casos más frecuentes de heterogeneidad. En el primero hay un

3. Si R = -1, existe dependencia lineal inversa exacta entre X e Y.

4. Si R = 0, no existe dependencia lineal entre X e Y.

5. Cuanto más se aproxime R a -1 o a 1, más dependencia lineal existe entre X e Y; y cuanto más se aproxime R a 0, menos dependencia lineal existe entre X e Y.

6. Si R > 0, al aumentar la variable X, aumenta la variable Y.

7. Si R < 0, al aumentar la variable X, disminuye la variable Y.

La Matemáticelimina de YS cuando se pronostica Y mediante la recta de regresión mínimo cuadrática, en vez de pronosticarlo mediante la media. De esta manera, cuanto más del ajuste lineal; y mientras má

2

de ajuste lineal es relativamente baja. Por tanto, la predicción o pronóstico utilizando la ecuación no es tan efectiva como se quisiera.

El valor de R es aproximadamente 0,7063 y esto podría aparentar una fuerte correlación lineal; sin embargo, es el valor de R² quien significa que se ha eliminado solo un 49,9% de error al pronosticar Y mediante la recta de regresión mínimo cuadrática, e vez de hacerlo utilizando la media. Una pregunta latente consiste en determinar un punto de corte para R², que sirva de umbral para decidir si el ajuste es bueno. Este problema es muy complejo y esotras cosas, por la homogeneidad de las variandatos atípicos. Hasta aquí solo es factible recomendar el uso combinado del gráfico, del valor de R², y de la experiencia derivada del estudio particular que se de

ando se estudia la relación entre dos variables es importante rarse de que

pecto a dichas variables. Por ejemplo, la siguiente figura ilustra

104

datvalor d ², como se verá más adelante.

o atípico (o discordante con el resto) que afecta sensiblemente el e R

16

y = 0,3194x + 5,30398

10

12

14

R2 = 0,11426

0

2

0 5 10 15 20

4

P

y = 0,4209x + 60,685R2 = 0,2343

40

60

80

100120

140

160

180

200

A

B

0

20

0 50 100 150 200

En el segundo caso aparece otro tipo de heterogeneidad. Puede observarse que el valor de R² es muy pequeño. Sin embargo, si se calcula el coeficiente de correlación para las nubes A y B separadamente, se encuentra que dentro de cada subgrupo existe una correlación fuerte.

La conclusión fundamental de estas reflexiones revela que un coeficiente de correlación es el resumen de la relación presente en un gráfico de dispersión. Conviene, por tanto, asegurarse mirando el gráfico que el coeficiente es un buen resumen del mismo. Tratar de interpretar el valor de R² sin haber construido previamente el gráfico puede ser peligroso. En la siguiente figura aparece un análisis

105

distinto, donde se ha desestimado el punto P y se han procesado las nubes A y B independientemente.

y = 1,0606x + 2,2254R2 = 0,9243

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 5 10 15

y = 1,37x + 26,153R2 = 0,8255

y = 1,2618x - 80,345R2 = 0,72220

20406080

100120140160180200

0 50 100 150 200

A

B

Es necesario agregar que si bien un valor de R² cercano a cero indica muy baja correlación lineal, esto no significa ausencia de correlación. Probablemente las variables X e Y alberguen alguna correlación no lineal, como es el caso de la correlación logarítmica (véase un ejemplo en la hoja de cálculo “Regresión_2” del libro “anexo.xls”).

resultados de la otra. La verdadera causa puede estar en una tercera

Por otra parte, un coeficiente de correlación alto entre dos variables indica que toman valores relacionados entre sí en los elementos observados, pero no permite concluir la existencia de ninguna relación causal de una variable respecto a otra. Por ejemplo, una correlación alta entre las calificaciones de dos asignaturas no indica necesariamente que los resultados de una dependan de los

106

udio, entre otras. La presencia de correlaciones espurias puede conducir a la formulación de hipótesis baldías. El investigador debe saber reconocerlas para no invertir tiempo y esfuerzo en análisis inútiles.

Otro aspecto a tener en cuenta para el cálculo de R² consiste en el tamaño N de las observaciones. En la siguiente figura se muestra un ejemplo ilustrativo. Si el investigador hubiese seleccionado el subconjunto encerrado por la circunferencia, entonces R² estaría cercano a cero. En cambio, una mejor selección de la muestra como lo es toda la nube de puntos, revela una mejor correlación lineal.

variable, como la homogeneidad en la calidad de la docencia, la cantidad de horas dedicadas al est

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 20 40 60 80 100 120

Tanto la variable X como la variable Y generan, independientemente, sendas tablas de frecuencias. Sin embargo, su apareo motiva un

or

procedimiento para el agrupamiento de los datos, en lo que se conoce como tabla de doble entrada. Efectivamente, para los datos anteriores es posible definir una partición en intervalos para cada variable y luego contar la cantidad de días en que las componentes de (X; Y) pertenecen, respectivamente, a cada par de intervalos. Pejemplo, de acuerdo a la siguiente tabla de doble entrada, la cantidad de días donde se extrajeron de 0 a 10 obras científicas y de 25 a 75 obras humanísticas, es 15.

107

Y X [0; 10]

[11; 20]

[21; 30]

[31; 40]

[41; 50] Σ

[25; 75] 15 1 16

[76; 125] 4 19 7 30

[126; 175] 11 14 4 29

[176; 225] 2 11 9 2 24

[226; 275] 1 10 3 1 15

[276; 325] 1 5 6 Σ 19 34 43 21 3 120

Como puede observarse, las sumas de la última fila y de la última columna, constituyen las frecuencias absolutas de X e Y por separado. Estas sumas se denominan “frecuencias marginales” y totalizan el número de observaciones (N = 120).

Cada variable dividida en intervalos, con su respectiva frecuencia marginal, es susceptible de ser representada en un diagrama de barras. Incluso, si hubiesen sido continuas generarían por separado sendos histogramas. Estos análisis independientes no son tan útiles cuando la esencia del estudio reside en el propio apareamiento de las variables. Por tal motivo, es necesario imaginar la construcción de un gráfico de columnas en el espacio de tres dimension s. e

En el siguiente gráfico se ilustra una representación gráfica de los datos agrupados en la tabla de doble entrada. Como puede observarse, si bien las columnas se concentran en torno a la diagonal principal, existe tendencia a formar una especie de campana tridimensional. En el archivo “anexo.xls” se explica la construcción de este gráfico en Excel (véase nuevamente la hoja de cálculo “Regresión_1”).

108

[25; 7

5]

[76; 1

25]

[126;

175]

[176;

225]

[226;

275]

6; 32

5]

[27

[0; 10][11; 20]

[21; 30][31; 40]

[41; 50]

0

5

15

10

20

109

Bibliografía

ALONSO, L. A. (2007). La formación de competencias laborales en los estudiantes de técnico medio en Mecánica Industrial a través del período de prácticas pre-profesionales. Tesis doctoral no publicada. Holguín: Instituto Superior Pedagógico de Holguín “José de la Luz y Caballero”.

ARSHAM, H. (on-line). Excel for statistical data analysis (disponible en http://www.mirrorservice.org/sites/home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/excel/excel.htm).

ARCE, C. (1994). Construcción de escalas psicológicas. Madrid: Síntesis.

ARY, D.; Cheser, L. and Razavieh, A. (1990). Introduction to research in education. The Dryden Press: Holt, Rinehart and Winston, Inc.

AKER, F. B. (2001). The basics of Item Response Theory. ERIC Clearinghouse on Assessment and Evaluation, University of Maryland, College Park, MD (disponible en http://edres.org/irt/baker/final.pdf

B

).

BAUZA, C. N. y Sistachs, V. (2004). Estadística. Teoría básica y ejercicios. La Habana: Félix Varela.

BROWN, J. D. (1995). Understanding research in second Language learning: A teacher’s guide to statistics and research design. Cambridge: Cambridge University Press.

CRUZ, M. (2007). El método Delphi en las investigaciones educacionales. Memorias de Pedagogía’ 07 (CD-ROM). La Habana: MINED.

CRUZ, M. y Campano, A. E. (2007). El procesamiento de la información en las investigaciones educacionales. La Habana: Educación Cubana.

CRYER, J. D. (2002). Problems with using Microsoft Excel for statistics. Proceedings of the 2001 Joint Statistical Meetings,

110

y of Iowa (disponible en utk.edu/scc/ExcelStatProbs.pdf

Universithttp://oit. ).

CUNHA, L. M. (2000). Dossiê IV – Estatística com Excel. Oporto: Projecto ALEA (disponible en http://alea.ine.pt/html/statofic/html/dossier/doc/Dossier4.PDF).

N, W. J. y Massey, F. J. (1980). Introducción al análisis estadístico. La Habana: ER.

DIXO

GAR icada a la educación y ciencias

GIBB D. (1971). Nonparametric statistical inference. New

GLASychology, Third Edition. Boston: Allyn & Bacon.

GOO

. Forum: Qualitative Social

FRIEDRICH, W. (1988). Métodos de la investigación social marxista-leninista. La Habana: Editorial de Ciencias Sociales.

CÍA, V. (1966). Estadística aplhumanas. Madrid: Rilap.

ONS, J. York: McGraw-Hill.

S, G. V. & Hopkins, K. D. (1996). Statistical methods in education & ps

GUERRA, C. et al. (1987): Estadística. La Habana: Pueblo y Educación.

DE, W. J. y Hato, P. K. (1971): Métodos de investigación social. La Habana: Ciencias Sociales.

KLEINING, G. & Witt, H. (2001): Discovery as basic methodology of qualitative and quantitative researchResearch, 2(1) (disponible en http://www.qualitative-research.net/fqs-texte/1-01/1-01kleiningwitt-e.htm).

Z-BARAJAS, E.; LÓPEZ, E. (1991): PedaLÓPE gogía experimental I.

MATA :ctrónica de Metodología Aplicada, 8(1), 1-

Madrid: Universidad Nacional de Educación a Distancia. S, A. (2003) Historical origins of statistics applied to pedagogy. Revista Ele23 (disponible en www.psico.uniovi.es/rema/v8n1/matas.pdf).

ÍN, J. (2000): EsMAR tadística aplicada a las ciencias de la

MCGTrillas.

documentación. Murcia: Diego Marín Librero-Editor.

UIGAN, F. J. (1978): Psicología experimental. México, D. F.:

111

MELIrano (disponible en

Á, J. L. (1990): La construcción de la psicometría como ciencia teórica y aplicada. Valencia: Cristóbal Serwww.uv.es/psicometria).

Á, J. L. (1991): Métodos de escalamiento unidireccional. Valencia: Cristóbal Serrano Villalba.

MELI

2 epública de Cuba, No. 40, Año CV, MINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR (2007): Resolución No.

10/07. Gaceta Oficial de la Rpp. 209-232 (disponible en http://www.gacetaoficial.cu/pdf/ano_2007/extraordinaria/GO_X_040_2007.zip).

NORTHWAY, M. L. & Weld, L. (1974): Sociometric testing: A guide for teachers. Toronto: University of Toronto Press.

dos de investigación pedagógica (pp. 119-

PACE, L. A. (2006)

PELÁEZ, T , J. Ma. (2000): El “Índice de Regularidad de

el País Vasco (disponible en

ORLOV, Y. M. (1975): El coloquio y la encuesta como métodos de investigación. Méto156). La Habana: Pueblo y Educación.

: Introductory statistics: A cognitive learningapproach. Anderson University: TwoPaces LLC.

. y RománAprendizaje” de Peinado Altable. Psicodidáctica, No. 010, Victoria-Gasteiz: Universidad d

www.redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/175/17501009.pdf).

, D. Y ROMO, J. (2003): Introducción a la estadística para las ciencias sociales. Madrid: McGraw Hill.

PEÑA

aciones

PERE drid: Universidad

PÉREZ, O. A. (2006): Esquema conceptual, referencial y operativo sobre los modelos estadísticos en las investigeducativas. Tesis doctoral no publicada. La Habana: Instituto Superior Pedagógico “Enrique José Varona”.

Z, R. (1991) : Pedagogía experimental. MaNacional de Educación a Distancia.

POTTEL, H. (2001): Statistical flaws in Excel (disponible en http://www.mis.coventry.ac.uk/~nhunt/pottel.pdf).

112

SIMO ie expérimentale. Toulouse: Privat.

Sta

VAN : The e-learning fieldbook. NY: McGraw-Hill.

Nota

SARRAMONA, J. (1980): Investigación y estadística aplicada a la educación. Barcelona: CEAC.

N, J. (1972) : La pédagog

SIEGEL, S. (1956): Nonparametric statistics for the behavioral sciences. New York: McGraw-Hill.

SPIEGEL, M. (1975) : Estadística. La Habana: Pueblo y Educación.

ke, R. E. (1995): The art of case study research. Thousand Oaks, CA: Sage Publications.

DAM, N. (2003)

VILLASEÑOR, S. (2002): La investigación de impacto en proyectos de desarrollo: Una propuesta participativa. Jalisco: IMDEC.

WAINERMAN, C. H. (1976): Escalas de medición en ciencias sociales. Buenos Aires: Nueva Visión.

ZIV, A. Y DIEM, J. (1980): Psicopedagogía experimental. Madrid: Cincel-Kapelusz.

: Todos las hipervínculos a Internet fueron comprobados el 5 de se

ptiembre de 2008.