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ESTADO SÓLIDOSegundo Módulo: Los cristales

Curso de Pregrado en FísicaCurso CNF-422

Prof.a titular Doris Giratá, Ph.D.

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/

Instituto de Física

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

Medellín, ColombiaAgosto de 2010

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/

Tabla de Contenido de los cristales

1. Redes cristalina y recíproca 1

1.1. Los cristales y las redes de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Las celdillas unitarias y de Wigner-Seitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. La red cristalina R y la base atómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Planos atómicos y los índices de Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5. Red recíproca K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. Cinco redes de Bravais en 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. Las catorce redes de Bravais en 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8. Grupo de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.9. Teorema de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2. Determinación de estructuras cristalinas 37

2.1. La ley de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2. Teoría de difracción clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3. Condición de Laue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4. Factor de forma y estructura geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3. *Simetría puntual de los cristales 47

3.1. *Elementos y operaciones puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. *Simetrías de las redes en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3. *Grupos puntuales en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

. Bibliografía de los cristales 59

I

1Redes cristalina y recíproca

Inicialmente, los sólidos se caracterizaban por su forma externa, se analizaban los ángulos desus caras y de esta manera se clasificaron las rocas y los minerales dando lugar a la cristalo-grafía. Posteriormente, con el apoyo de la teoría de los grupos se establecieron las relacionesque hay entre la forma externa y la simetría asociados a los cristales. En 1848, Bravais demostróque hay 14 redes cristalográficas no equivalentes, que es el número de redes que se identificanpor medio de la teoría de grupos y permite la relación entre las simetrías externas observadasen los cristales y las redes cristalográficas, estas redes llevan el nombre de Redes de Bravais. Acontinuación estudiaremos los conceptos básicos que permiten estudiar los sólidos cristalinoso cristales que están formados por átomos y para describirlos es necesario definir las Redesde Bravais, la Red Cristalina, la celdilla unitaria o convencional, la base atómica, los planosatómicos determinados por los índices de Miller y la Red Recíproca o dual asociada a la RedCristalina, ambas son redes de Bravais.

Los cristales se pueden estudiar desde el punto de vista de las simetrías por medio de lateoría de grupos. Los resultados experimentales de difracción de Rayos X, neutrones o elec-trones permiten determinar las estructuras cristalinas y la solución de la ecuación de Schrö-dinger es posible debido a las simplificaciones que se hacen al considerar las simetrías de lossistemas cristalinos.

La motivación para estudiar los cristales se debe a que la comprensión del comportamien-to de los sólidos sería prácticamente imposible si los elementos químicos más estables no seforman como cristales. La naturaleza ofrece cerca de 100 elementos químicos que se pueden

2 1. Redes cristalina y recíproca Doris Giratá

cristalizar a medida que la temperatura disminuye, excepto el Helio cuyos isótopos He3 y He4,presentan una fase superfluida a bajas temperaturas. A temperatura ambiente, la mayoría delos elementos químicos son sólidos excepto el Hidrógeno (H), Nitrógeno (N), Oxígeno (O),Fluor (F), y el Cloro (Cl) y los gases nobles que son gases y el Mercurio (Hg), y el Bromo (Br),que son líquidos.

1.1. Los cristales y las redes de Bravais

Un cristal es un conjunto de átomos, iones o moléculas (que se representan por círculos decolores) que se repite de manera perfecta e indefinida. En la figura (1.1) se muestran cristalesde una, dos y tres dimensiones formados por átomos iguales dibujados como círculos verdes. Sise asigna un punto a cada átomo que se denomina base atómica, entonces al extraer los átomosse obtiene lo que se conoce como una red cristalina; y es tal que al volver a asignar cada átomoa cada punto de la red cristalina se obtiene de nuevo el cristal.

= +

= +Red cristalina Base atómicaCristal de una dimensión

= +

= +Cristal de dos dimensiones Red cristalina Base atómica

+=

= +Red cristalina Base atómicaCristal de tres dimensiones

Figura 1.1. Cristales con un átomo por punto de red.

En la figura (1.2) se muestran cristales de una, dos y tres dimensiones formados por átomosdiferentes que se representan por círculos verdes y azules. En estos casos, hay dos átomos queforman la base atómica, es tal que al asignarle a estos dos átomos un punto matemático y alextraer estos puntos se reconoce la red cristalina; y al colocar de nuevo ese conjunto de átomosde la base atómica en la red cristalina se reproduce el cristal.

Estado Sólido 1.1. Los cristales y las redes de Bravais 3

= +Red cristalina Base atómicaCristal de una dimensión

= +

= +

= +Cristal de dos dimensiones Red cristalina Base atómica

Red cristalina Base atómicaCristal de tres dimensiones

= +

Figura 1.2. Cristales con dos átomos por punto de red.

Se concluye, que si cada base atómica se ubica en el espacio de igual manera con respecto acada punto de red se reproduce el cristal. Por lo tanto, el cristal se define como una red cristalinamás una base atómica.

Cristal = Red Cristalina + Base Atómica

Una red de Bravais de dimensión d = 1, 2 o 3 es un conjunto de puntos separados por vectoresde traslación de esta red R definidos como:

R =

d∑

i=1

niai ; ni = 0,±1,±2,±3, . . . ∈ Z (1.1)

Esta definición es clave, los vectores de traslación de una red de Bravais R son el punto departida para definir las redes cristalina y recíproca, las celdillas unitarias o convencionales, lasceldillas primitivas y la de Wigner Seitz, estos conceptos y definiciones se presentan a conti-nuación:

- A partir de un punto que se denominará origen, si se aplican de manera adecuada sucesi-vas operaciones de traslación R, se crean nuevos puntos y así se genera la red de Bravais;el punto inicial puede estar ubicado en cualquier lugar del espacio, ver figura (1.3).

- Dos puntos de una red de Bravais dada están separados por un vector R definido entérminos de un conjunto de vectores fundamentales de la red cristalina ai escogidos de


0 0

Figura 1.3. Operaciones de traslación aplicada a un punto y a una celdilla.

acuerdo con la ecuación (1.1). Los vectores ai son vectores linealmente independientescomo se muestra en la figura (1.3).

Esta celdilla es primitiva porque a cada paralelepípedo se le asocia un punto de la redcristalina ya que cada punto de los vertices esta compartido por ocho celdillas vecinas iguales.

1.2. Las celdillas unitarias y de Wigner-Seitz

Escogidos los vectores fundamentales ai de una red de Bravais éstos definen su celdilla unitariao convencional. En una, dos o tres dimensiones las celdillas unitarias corresponden a la longi-tud, el área del paralelogramo o el volumen del paralelepípedo respectivamente, que formanestos vectores fundamentales ai de la red de Bravais, tal que:

- La elección de celdilla no es única, hay muchas maneras de escogerlas.

- Una celdilla unitaria es primitiva si tiene un solo punto de la red por cada celdilla primi-tiva. Una celdilla no primitiva tiene una longitud, área o volumen que es múltiplo enterode la longitud, área o volumen respectivamente de una celdilla primitiva y contienen unun número entero de puntos de la red.

- Un conjunto de puntos es una red de Bravais si es posible asignarle algún conjunto devectores fundamentales que definan una red primitiva. Por lo tanto, a todas las redes deBravais se les puede asignar una celdilla primitiva, ya que los vectores fundamentalesai determinan por definición la longitud, el área del paralelogramo o el volumen delparalelepípedo que ellos conforman.

- Una celdilla unitaria que se repite apropiadamente por operaciones de traslación de lared reproduce la red de Bravais.

En la figura (1.4) se muestra la representación de un cristal en tres dimensiones, al ladoizquierdo se observa el modelo de las esferas duras, que se logra aumentado el tamaño de cadabola hasta que se toquen entre sí, en el centro se observa una representación puntual, en el quelos átomos se colocaron en cada punto de la red. A la derecha, se representa la red cristalina y

Estado Sólido 1.2. Las celdillas unitarias y de Wigner-Seitz 5

a

cb

CristalRed cristalina yceldilla unitaria

Figura 1.4. Diferentes representaciones de un cristal de tres dimensiones

la celdilla unitaria asociada a ella y los vectores fundamentales con la magnitud de cada unode ellos.

Celdilla de Wigner-Seitz

Un cristal se representa por su red cristalina o la celdilla unitaria mas la base atómica, loscuales se definen al escoger los vectores fundamentales, cuya elección no es única. Una manerade construir una celdilla primitiva que sea única es por medio de la propuesta de Wigner ySeitz, cuya construcción se explica a continuación y se dibuja para una red bidimensional en lafigura (1.5):

Figura 1.5. Construcción de la celdilla de Wigner-Seitz.

1. Se elige un punto de la red de Bravais que se denomina el origen O y se une por mediode líneas con los puntos de la red vecinos.

2. Después se dibujan líneas (o planos en 3 dimensiones) perpendiculares que corten exac-tamente en el punto medio de las líneas que unen los puntos más próximos.


3. La longitud, el área o el volumen en una, dos o tres dimensiones respectivamente ence-rrado por las líneas o planos que se interceptan es la celdilla de Wigner-Seitz, el punto dela red está dentro de esta área que mínima.

Para una red de Bravais, la celdilla de Wigner Seitz es: única, primitiva e involucra la sime-tría del sistema cristalino al que pertenece. Hay muchas maneras de elegir una celdilla unitaria,esta necesariamente no es primitiva, en la figura 1.6 se muestran cinco celdillas numeradas delas cuales las marcadas como 1, 2, 3 y 5 son unitarias o convencionales se determinan por elparalelogramo formado por diferentes vectores fundamentales.

2

3

5

1

4

Figura 1.6. Celdillas unitarias y primitivas.

La celdilla numerada con el número 4 es también una celdilla pero está construida de acuer-do con los criterios propuestos por Wigner-Seitz y por supuesto que el punto de la red estádentro de esta área que mínima e igual a las de las otras celdillas primitivas 1, 2 y 3. El áreade la quinta es el doble que el de las anteriores y tiene dos puntos de red asociado a la cel-dilla unitaria por lo tanto no es primitiva. Tanto el paralelogramo formado por los vectoresfundamentales como la celdilla de Wigner Seitz (azul) de la figura (1.7) son dos celdillas prim-itivas y llenan completamente el cristal sin dejar espacios vacíos si se aplica adecuadamenteoperaciones de traslación.

En figura (1.8) se muestra la celdilla de de Wigner-Seitz y la definida por los vectores funda-mentales, que son primitivos para una red hexagonal tal que a = b y γ = 120o. Se observa quela mínima área posible son triángulos como si fuese posible definir una Red Triangular, peroésta no cumple la definición de una red de Bravais dada en la ecuación (1.3).

Sumando las área triangulares correspondiente a este paralelogramo y al de la celdilla deWigner-Seitz, se observa que ambas tienen la misma área y la misma simetría.

1.3. La red cristalina R y la base atómica

Un cristal está en el espacio real o de los átomos,R de la ecuación (1.1) define una Red Cristalinatal que, a cada punto de la red cristalina se le asocia una base atómica, como se observó en las

Estado Sólido 1.3. La red cristalina R y la base atómica 7

Figura 1.7. Celdillas primitiva y de Wigner-Seitz.

Figura 1.8. Celdillas de Wigner-Seitz y unitaria para una red hexagonal.

figuras (1.1) y (1.2) se encuentra que:

Una Red Cristalina de una Dimensión se puede generar mediante los vectores de traslacióndados por la ecuación (1.1) para d = 1 y queda determinada de manera única por el vectorfundamental a1. Sin embargo, hay muchas maneras de asignar los puntos de red a un cristalen una dimensión, como se observa en la figura (1.9) en el que se puede asignar un punto dered a cada átomo ubicado en una línea recta y separado la misma distancia, se muestran tresmaneras de asignar los puntos de red; es preferible en el caso de haya un átomo asociado a unpunto de la red cristalina colocarlo en el centro de cada átomo o sea que la posición de cadaátomo medido con respecto a cada punto de red sea cero.

(a) en el centro del átomo,

(b) en la mitad entre dos átomos y

(c) para un valor arbitrario d < a.


(a) (b) (c)

a a a

d

Figura 1.9. Cristal en una dimensión, un átomo por punto de la red.

Para los tres casos, en una dimensión se obtiene una misma red cristalina y por lo tantosu celdilla unitaria también lo es, su longitud es igual al vector fundamental |a1| = a, comose observa en la figura (1.10). En un cristal de una dimensión sólo se puede construir una redcristalina compuesta por puntos en una línea recta separados una distancia a que es la longitudde su celdilla unitaria, que es primitiva. Los vectores de traslación son:

R = na : nax y n ∈ Z (1.2)

a

Figura 1.10. Red cristalina y celdilla en una dimensión.

Para dos o tres dimensiones hay muchas posibilidades de elegir la celdilla unitaria, dependede los vectores fundamentales escogidos de la red cristalina asociada al cristal que se estudie.En la figura (1.11 ) se presentan dos redes, una en dos y otra de tres dimensiones. En el casode la red de dos dimensiones se muestran tres posibles pares de vectores fundamentales y sedenominan como a1, a2; a′1, a

′2 y a

′′1, a

′′2. Para la red de tres dimensiones se dibujaron tres pares

de vectores: a1, a2, a3; a′1, a′2, a

′3 y a

′′1, a

′′2, a

′′3.

a1

a2

a2’

a1’

a2’’

a1’’

a2’

a1’

a2’’

a1’’

a2a1

a3

a3’

a3’’

Figura 1.11. Vectores fundamentales en redes de dos y tres dimensiones.

Una Red Cristalina de Dos dimensiones se puede generar mediante los vectores de traslacióndados por la ecuación (1.1) para d = 2 y queda determinada por los vectores fundamentalesa1 y a2:

R = n1a1 + n2a2 : n1, n2 ∈ Z (1.3)


En dos dimensiones, la celdilla unitaria es el área del paralelogramo aC definido por losvectores fundamentales a1 y a2 de magnitudes a y b respectivamente y ángulo γ entre ellos:

aC = |a1 × a2| = ab sin γ (1.4)

En la figura (1.12) se muestran las celdillas de la red de dos dimensiones correspondientes alos vectores fundamentales de la figura (1.11 ); las áreas de los paralelogramos formados por losvectores fundamentales a1,a2 y a

′′1,a

′′2 son iguales, a cada una de estas dos celdillas se le asocia

un punto de la red, ya que cada punto de los vertices esta compartido por cuatro celdillasvecinas iguales. El paralelogramo formado por los vectores fundamentales a′1,a

′2 tiene el doble

del área que los dos anteriores, a cada celdilla de este tipo se le asocian dos puntos de red, unode los vertices y otro punto que está dentro de la celdilla.

| |=aa1

| ’|=a’a1

| ’’|=a’’a1

| |=ba2

| ’|=b’a2

| ’’|=b’’a2

g

g’’

g’

Figura 1.12. Celdillas unitarias o convencionales de una red cristalina 2-D.

Las tres celdillas son unitarias o convencionales, pero las dos primeras además son primiti-vas, ya que tienen un punto de la red asociado a la celdilla.

Una Red Cristalina de Tres dimensiones se genera mediante los vectores de traslación dadospor la ecuación (1.1) para d = 3 y queda determinada por los vectores fundamentales a1, a2 y a3mediante la ecuación:

R = n1a1 + n2a2 + n3a3; n1, n2, n3 ∈ Z (1.5)

En la figura (1.13) se muestra una red cristalina de tres dimensiones, la celdilla unitaria entres dimensiones es el volumen del paralelepípedo vc definido por los vectores fundamentalesa1, a2 y a3 con magnitudes a, b y c respectivamente y los ángulos α, β γ entre los vectores a2 ya3, a1 y a3 y a1 y a2 respectivamente.

vc = |a1 · a2 × a3| (1.6)

Hay solamente 5 y 14 redes de Bravais no equivalentes en dos y tres dimensiones respecti-vamente asociadas de 4 y 7 sistemas cristalográficos, como se observan en las figuras (1.29) y


a2a1

a3

b a

g

|a2|=b| |=aa1

| |=ca3

Figura 1.13. Celdilla unitaria o convencional de una red cristalina 3-D.

(1.31) que son invariantes ante los grupos puntuales. Esto es debido a que las simetrías com-patibles con la definición de una red de Bravais dada por la ecuación (1.1) son limitadas hayun número de finito de redes de Bravais que son el resultado de la simetría puntual y estos seagrupan en sistemas cristalográficas.

Cada sistema cristalográfico tiene un punto de simetría que es fijo, planos de reflexión yejes de rotación. La teoría de los grupos es una herramienta matemática que trata acerca de lassimetrías y los invariantes. En la mecánica clásica la simetría de los sistemas físicos lleva a lasleyes de conservación y en la mecánica cuántica la invariancia es un concepto clave para sucomprensión y el desarrollo de la teoría, por ejemplo para entender conceptos como el momen-to angular y espín.

La base atómica

Un cristal perfecto se define por medio de una red cristalina o su correspondiente celdilla uni-taria tal que a cada punto de la red cristalina o celdilla primitiva se le asocie una base atómica

que es un conjunto de átomos, iones o moléculas que debe conservar:

- su composición

- sus diferentes posiciones con respecto a cada punto de la red y

- su orientación en el espacio y la simetría.

La posición de cada átomo, ion o molécula α asociados a cada punto de la red cristalina oa su celdilla unitaria se denota por ρα(R); si la base atómica está conformada por p átomos,entonces α = 1, 2, · · · , p. Los vectores de la base atómica ρα(R) son medidos con respecto aun punto de la red cristalina ubicado en el punto R o a la celdilla asociada a ese punto y seescriben como:

ρα(R) = xαa1 + yαa2 + zαa3

= ρα Sii: 0 ≤ xα, yα, zα ≤ 1 (1.7)


xα, yα, zα son las proyecciones del vector ρα en las direcciones de los vectores fundamen-tales a1, a2, a3 respectivamente, medidos con respecto a cualquier punto de la red cristalina.Se debe cumplir la condición 0 ≤ xα, yα, zα ≤ 1 para garantizar que todos los átomos de labase atómica descrita estén en la misma celdilla unitaria, y en este caso se escriben como ρα yaque no es necesario especificar a que celdilla pertenecen. A continuación se presentan algunosejemplos que permiten entender los conceptos de base atómica y subredes:

- Para un cristal en una dimensión con dos átomos iguales separados una distancia arbi-traria d y a−d, tal que d < a, los puntos de la red cristalina se pueden asignar con respectoa los átomos de diferente manera y producen la misma red cristalina de acuerdo con laecuación (1.2) y la figura (1.15); tal que dos puntos de red adyacentes están separados unadistancia a, llamada constante o parámetro de red.

aa

d

d

a

d

a-da

d

a

(a) (a)

(b) (b)

d

Asignación de los puntos de redRed cristalina

Base atómica

CRISTAL

Figura 1.14. Cristal con dos átomos iguales por punto de red.

Las coordenadas de la base atómica con respecto a un punto de la red cristalina para cadacaso son: (a) x1 = 0, x2 = d y (b) x1 = 0 y x2 = a− d.

- El siguiente ejemplo muestra que para cristales de más una dimensión y más de un áto-mo por celdilla se aumenta el número de posibilidades de escoger redes de Bravais. Parael cristal en dos dimensión con dos átomos diferentes separados se pueden encontrarmuchas celdillas que permitan mediante operaciones de traslación construir el cristal sise asigna la base atómica que está en cada una de ellas. Hay muchas posibilidades deescoger una red cristalina o sea de elegir los vectores fundamentales de la red cristali-na. En la figura (1.15) se muestran varias posibilidades de escoger las celdillas unitarias,por conveniencia los puntos de la red cristalina se colocan en el centro de algunos de losátomos representados por círculos grandes blancos o pequeños negros. Las celdillas dibu-jadas con líneas punteadas de color azul tienen una base atómica con el menor númerode átomos que uno negro y otro blanco. Las áreas punteadas de color rojo tienen una baseatómica con dos átomos negros y dos blancos y base atómica de las áreas punteadas decolor verde tienen cuatro átomos negros y dos blancos.


Figura 1.15. Cristal bidimensional con dos átomos diferentes por punto de red.

a

2rr

a

a

a

(b)(a) (c) (d)

Figura 1.16. Un cristal hexagonal y tres celdillas primitivas diferentes.

- Un cristal hexagonal en dos dimensiones, tiene átomos iguales que están ubicados en elhexágono y en el centro del mismo, en la figura (1.16) se observan 3 celdilla unitariasdiferentes llenando el hexágono, para determinar la red cristalina se debe escoger sólouna de ellas. También, se observa que este tipo de cristal tendría un conjunto de celdillastriangulares, el problema es que éstas no forman una red de Bravais.

- Para un conjunto de átomos ubicados en hexágonos, pero ninguno en el centro de él,como se observa en la figura (1.17), similar a un panal de abejas, no es posible encontraruna red de Bravais para el conjunto de puntos ubicados de esa manera; y cada celdillatenga un punto de la red. A este ordenamiento de puntos se le conoce como Red Honey,pero no es una red de Bravais. Una manera de encontrar una celdilla primitiva es asociara cada punto de la red cristalina dos átomos. Se observan dos celdillas: la azul que tieneun átomo en cada vértice y otro adentro y la verde que tiene los dos átomos ubicadosdentro de la celdilla.

- Para el cristal de dos dimensiones formado por átomos diferentes que se representan concírculos verdes y azules de la figura (1.18), cada uno forma una subred cuadrada de ladoa que se interpenetran y están ubicados cada punto respecto a un punto de red de la otrasubred en el centro: Los vectores a1 = ax y a2 = ay definen una celdilla primitiva que esun cuadrado lado a y area a2. Las posiciones del átomo verde está en el origen 0, 0 y elazul en el centro del cuadrado ubicado en a/2, a/2.

- Para el cristal de dos dimensiones con átomos iguales representados por círculos verdes


Figura 1.17. Conjunto de puntos que no es una red de Bravais.

0

y

x

Figura 1.18. Cristal con dos átomos diferentes por punto de red.

en la figura (1.19) se le pueden asociar dos redes cristalinas una primitiva y otra no prim-itiva que tiene una base atómica con dos átomos diferentes con celdillas dibujadas enverde y azul respectivamente.

Figura 1.19. Para un cristal se pueden elegir dos celdillas diferentes.

Para ambos casos al aplicar las operaciones de traslación adecuadas a cada celdilla consu base atómica correspondiente, se puede reproducir completamente el cristal. Las dosceldillas tienen la forma de un cuadrado, tal que el area azul es dos veces la del áreaverde; tal que el lado es

√2 veces el lado del cuadrado verde.


- En la figura (1.20) se observa que una misma red puede producir tres cristales diferentesdependiendo de la base atómica. Si a la red bidimensional se le asignan tres tipos debase atómica por punto de red cristalina: un átomo, o dos átomos iguales o dos átomosdiferentes se encuentran una distribución atómica espacial diferente para cada caso.

= Cristales

Red cristalina

+Base

atómica

Figura 1.20. Una red cristalina y diferentes bases atómicas.

- En la figura (1.21) se representa un cristal con varios átomos diferentes por celdilla uni-taria, en (a) uno está ubicado en los vertices del cubo y el segundo en el centro del cubo.Los cristales (b) y (c) se obtienen a partir de (a) y se le adicionan átomos diferentes en loscentros de las caras o en el centros de los de cada una de las aristas del cubo respectiva-mente.

(b)(a) (c)

Figura 1.21. Cristal tridimensional con varios átomos por celdilla primitiva.

- En la figura 1.22 se observa que cuatro subredes cúbicas cuya celdilla primitiva es uncubo, si se interpenetran unas con otras, tal que un punto de red esté en el centro dealguna de las caras de otro cubo, se obtiene como resultado una red cuya celdilla es uncubo que no es primitivo porque tiene puntos en los vertices y en los centros de las caras.

Estado Sólido 1.4. Planos atómicos y los índices de Miller 15

1

1´

22´

3

3´

1

1´

22´

3

3´ x

z

y

Figura 1.22. Cuatro subredes cúbicas conforman una red cúbica centrada en las caras.

1.4. Planos atómicos y los índices de Miller

Para hacer la caracterización estructural de los cristales, los conceptos de red cristalina y deceldillas unitarias o convencionales, de estas la más útil es la celdilla de Wigner-Seitz y losplanos cristalinos son muy importantes. En la figura (1.23) se identifican en (a) para una redbidimensional se muestran varias familias de líneas cristalinas dibujadas en verde, rojo, azul ynegro y una familia de planos en (b) para una red tridimensional.

(b)(a)

Figura 1.23. Planos y líneas atómicas en 2 y 3 dimensiones.

Un plano con intersecciones con los tres ejes fundamentales en n1a1, n2a2 y n3a3 como elde la figura (1.24) se identifica como el plano cristalino (hkℓ) que se determina por medio delos índices de Miller hkℓ que se calculan de la siguiente manera:

- a partir de los recíprocos de los números enteros n1, n2 y n3:

1

n1,

1

n2,

1

n3

- se calcula el menor conjunto de números enteros que se denominan los indices de Millerhkℓ (que corresponden a triada de enteros mas pequeños con la misma razón r).


n a1 1

n a3 3

n a2 2

Figura 1.24. Planos atómico que tiene interceptos en n1a1, n2a2 y n3a3.

n1n2n3

n1r,

n1n2n3

n2r,

n1n2n3

n3r → h, k, ℓ

por lo tanto los valores de los indices de Miller en función de los interceptos con los ejes delos vectores fundamentales de la red cristalina y la razón común r de sus tres recíprocosson:

h = n2n3r, k = n1n3r, ℓ = n1n2r (1.8)

La notación para los planos cristalográficos es (hkℓ) y de la familia de planos paralelos aéstos es {hkℓ}. Si alguno de los interceptos está en la dirección negativa entonces el índice deMiller se denota con un signo negativo encima del número. Un plano con interceptos con losejes en las direcciones de los vectores fundamentales de la red cristalina 1, 3, 6 con recíprocos1, 1/3, 1/6 entonces la triada de menores valores de números enteros son 6, 2, 1 que correspon-den a los índices de Miller y el plano se llama (621). Si alguno de los interceptos es negativo−1, 3, 6 entonces el plano es (621) y si el intercepto está en el infinito el índice de Miller corre-spondiente es 0.

En la figura (1.25) se muestran los planos cristalinos con interceptos con los ejes funda-mentales en (a) 1,∞,∞ que corresponde al plano (100), con intercepciones en (b) 1, 1,∞ quecorresponde al plano (110) e intercepciones (c) y (d) en 111 y 221 que corresponde a los planos(111) y (112) respectivamente.

(a) (b) (d)(c)

Figura 1.25. Planos atómicos (100), (110), (111) y (112).

Estado Sólido 1.5. Red recíproca K 17

El plano cristalino (hkℓ) se puede identificar por la normal N al plano de las tres intersec-ciones con los ejes fundamentales de la red cristalina en (n1a1, n2a2 y n3a3) como se observaen la figura (1.24), teniendo en cuenta que el vector que resulta del producto vectorial de dosvectores del plano es perpendicular a cada uno ellos, se pueden elegir los vectores n2a2 − n1a1

y n3a3 − n1a1 tal que:

N = (n2a2 − n1a1)× (n3a3 − n1a1)

= n2n3a2 × a3 − n1n3a1 × a3 − n1n3a1 × a3

reemplazando los valores de hkℓ desde (1.8), el vector normal a los planos (hkℓ) en funciónde los indices de Miller y de los vectores fundamentales de la red cristalina se escriben como:

N =1

r(h a2 × a3 + k a3 × a1 + ℓ a1 × a2). (1.9)

La notación de los indices de Miller es utilizada en el estudio de los Espectros de Difrac-ción de electrones, neutrones y Rayos X con un cristal ya que permite identificar los planoscristalinos.

1.5. Red recíproca K

La red recíproca o dual asociada a una red cristalina es una consecuencia de la simetría trasla-cional de funciones que describen cantidades físicas que tienen la periodicidad de la red cristali-na R, como la densidad de electrones η(r), la energía cinética T que es − ~

2

2m∇2 y la energíapotencial U(r) = U(r+R) son funciones periódicas con la periodicidad de la red cristalina. Sedefine un operador de traslación TR que transforma un vector r en otro r+R y al actuar sobreuna función cualquiera que sea función de la posición f(r) se cumpla que:

TRr = r+R TRf(r) = f(r+R) (1.10)

Si estas funciones de la posición son periódicas o sea invariantes ante una transformaciónde traslación se cumple que f(r) = f(r + R), o sea que son invariantes traslacionales. Por lotanto, f(r) se pueden escribir como una serie de Fourier.

f(r) = f(r+R) =∑

K

fKeiK·r

eiK·r es una onda plana que debe escogerse de tal manera que se cumpla la ecuación (1.10)y fK es la transformada de Fourier de f(r) y se escribe como:

fK =1

vc

∫

celda

f(r)eiK·rd3r (1.11)


vc es el volumen de la celdilla de la red cristalina y se calcula como (1.6). En el espacio deFourier se cumplen las siguientes relaciones:

vc(2π3)

∫

ZB

d3keik·(R−R′) = δR,R′

1

vc

∫

celda

d3reir·(K−K′) = δK,K′ (1.12)

f(r+R) también se puede escribir como serie de Fourier:

f(r+R) =∑

K

fKeiK·(r+R) (1.13)

Esta ecuación es igual a (1.11), esto implica que:

f(r+R) =∑

K

fKeiK·reiK·R =∑

K

fKeiK·r = f(r) (1.14)

Esto es posible si y solamente si, todo vector K de la serie de Fourier cumple que eiK·R =

1. El conjunto de vectores K definen una red de Bravais en el espacio recíproco, dual o deFourier, son vectores de onda y se pueden calcular a partir de los vectores de traslación de lared cristalina de acuerdo con la relación:

eiK·R = 1 que se cumple si K ·R = 2π × (entero) ∀ R y K (1.15)

Los vectores K se pueden escribir de acuerdo con (1.1) para los vectores fundamentales dela red recíproca bi ya que la red recíproca es una red de Bravais como:

K =3

∑

j=1

hjbj; hj = 0,±1,±2,±3, . . . ∈ Z (1.16)

Los valores de h1, h2, h3 son números enteros y la relación entre los proyecciones de losvectores fundamentales de las redes duales ni y hi del espacio cristalino y recíproco respecti-vamente es:

K ·R = 2π(n1h1 + n2h2 + n3h3) = 2π × (entero) (1.17)

y la relación entre los vectores fundamentales de las redes cristalina y recíproca ai y bi es:

ai · bj = 2πδij (1.18)

Los vectores bj eligen tal que se cumpla la relación (1.18), así:


b1 = 2πa2 × a3

a1 · a2 × a3

b2 = = 2πa3 × a1

a1 · a2 × a3

b3 = 2πa1 × a2

a1 · a2 × a3(1.19)

Los vectores fundamentales de la red recíproca en una y dos dimensiones se hallan aplican-do directamente la relación (1.18). También para dos dimensiones se pueden calcular b1 y b2

usando (1.19) llamando a3 = z (z es un vector unitario en la dirección normal del plano de lared cristalina si se elige como xy). vc es el volumen de la celdilla de la red cristalina que es iguala |a1 · a2 × a3| de acuerdo con (1.6).

Propiedades de los vectores K

Los vectores de traslación de la red recíproca K definidos en término de los vectores funda-mentales de la red recíproca en la ecuación (1.17) tienen las siguientes propiedades:

- Los vectores K generan la red recíproca. Como una red recíproca es una red de Bravais,a partir de un punto que se denominará origen en el espacio de Fourier , si se aplican demanera sucesivas operaciones de traslación R, se crean nuevos puntos y así se genera lared de recíproca. Por lo tanto, dos puntos de una red recíproca dada están separados porun vector K definido en términos de un conjunto de vectores fundamentales de la redcristalina bi calculados de acuerdo con la ecuación (1.19) y son linealmente independi-entes.

- Los vectores fundamentales de la red recíproca bj definidos en (1.19) se pueden reescribiren una sola ecuación como:

bi = 2π

∏

i εijkaj × ak

vc(1.20)

para el caso de vectores ai que sean de mano derecha vc = a1 · a2 × a3, no es necesariohallar el valor absoluto como en (1.6).

- El volumen de la celdilla de la red recíproca vr es inverso al volumen de la celdilla de lared cristalina vc dado por (1.6):

vr = b1 · (b2 × b3) =(2π)3

vc(1.21)

La red recíproca de la recíproca es la red cristalina.


- Transformación de traslación en espacio recíproco . De igual manera que se define unoperador de traslación TR para una red cristalina de acuerdo con (1.10), se puede definirun operador de traslación TK para una red recíproca que transforme un vector de ondak en el espacio de Fourier en otro k+K y actúa sobre una función del vector de onda talque:

TKk = k+K TKf(k) = f(k+K).

- Comparando la expresión para el vector normal al plano cristalino (hkℓ) dado en (1.9) conla de los vectores de traslación de la red recíproca K en (1.16) y de sus vectores fundamen-tales definidos en (1.19) se concluye que los números enteros h1, h2 y h3 corresponden alos indices de Miller hkℓ. Por lo tanto, cada vector fundamental de traslación de la redrecíproca K es paralelo a la normal N del conjunto de planos cristalinos paralelos {hkℓ}para los indices de Miller h, k, ℓ correspondientes, ver figura (1.26). El vector unitario enla dirección normal del plano (hkℓ) en términos del vector fundamental de traslación dela red recíproca K se escribe como:

n =K

|K| K = hb1 + kb2 + ℓb3 (1.22)

Khkl

Figura 1.26. Planos atómicos definidos por K.

Por lo tanto, todos los vectores que pertenecen al mismo plano generado por un vec-tor K fijo, son paralelos a la normal de un plano cristalográfico (hkℓ) de acuerdo con ladefinición de planos dados por los indices de Miller.

- La distancia entre los planos cristalinos paralelos {hkℓ} se muestra en la figura (1.26), sedenote como dhkℓ y corresponde a la proyección en la dirección normal a estos planos decada uno de los vectores de traslación de la red cristalina R que une dos puntos de redque están en dos planos cristalinos diferentes del conjunto {hkℓ}, tal que:

dhkℓ = R · n = R · K

|K| =2π

|K| × (número entero) (1.23)

hay infinitos planos que cumplen esta ecuación que relaciona los dos espacios real (dondeestán los átomos) y de Fourier donde están las redes cristalina y recíproca respectiva-mente.


- A la celdilla de Wigner-Seitz en el espacio recíproco se le denomina Primera Zona deBrillouin (PZB), con el fin de calcularla para una red en una dimensión se hallan las redescristalina y recíproca generados por los vectores R = na y K = hb respectivamente,donde n y h son números enteros, a = ax y b se calcula de acuerdo con la relación (1.18),tal que:

a · b = 2π ⇒ b =2π

ax (1.24)

En la figura (1.27) se observan las redes cristalina y recíproca donde se resalta la zona azulque es la celdilla de Wigner-Seitz en el espacio recíproco que corresponde a la PrimeraZona de Brillouin que son los vectores de onda k en el espacio de Fourier limitados por:

− π

a< k ≤ π

a(1.25)

a

b

0

Red cristalina lineal

Red recíproca lineal

Primera zona de Brillouin

k

x

-p/a p/a

Figura 1.27. Red cristalina, recíproca y PZB para un cristal en 1-D.

- Basados en el procedimiento para construir la celdilla de Wigner-Seitz se pueden definirotras Zonas de Brillouin para una red recíproca, esto se consigue si el punto O elegido seune con los siguientes puntos vecinos a los ya utilizados para dibujar la Primera Zona deBrillouin y se trazan nuevas líneas o planos perpendiculares que corten exactamente enel punto medio de las líneas que unen los siguientes vecinos, todas las líneas y planos seprolongan hasta donde sea necesario para que se puedan construir las siguientes zonasde Brillouin aplicando sucesivamente el procedimiento usado para dibujar la PZB y sedenominan Segunda, Tercera, . . ., etc. Zonas de Brillouin, como se observa en la figura(1.28). La longitud (en una dimensión), área (en dos dimensiones) o volumen (en tresdimensiones) de cualquier Zona de Brillouin es igual al de la celdilla primitiva y tienenla misma longitud, área o volumen que la PZB.


Figura 1.28. Las tres primeras zonas de Brillouin de una red rectangular.

1.6. Cinco redes de Bravais en 2-D

En dos dimensiones hay cinco redes de Bravais no equivalentes que se determinan por los vec-tores fundamentales a1 y a2, asociadas a 4 sistemas cristalográficos:

Sistema cristalino Tipos de redes Longitud vectores Ángulos

Oblicua P a 6= b γ 6= 90o o γ 6= 120o

Hexagonal P a = b γ = 120o

Cuadrada P a = b γ = 90o

Rectangular P,C a 6= b γ = 90o

Cada sistema tiene una red primitiva, porque al dibujar el paralelogramo formado por losvectores fundamentales dibujados para cada una de ellas en la figura (1.29), hay un solo puntoasociado a cada uno de ellos, ya que cada punto de la red esta compartido por cuatro celdi-llas vecinas. Al adicionar un punto en el centro de la celdilla primitiva de las redes (oblicua ,hexagonal y cuadrada) se transforma en mismas redes. Por ejemplo, para una red cuadrada, laceldilla primitiva de la red cuadrada centrada es un cuadrado de lado a/

√2, por lo tanto esta

red es también cuadrada.El sistema rectangular tiene dos redes asociadas a él, una definida por los vectores funda-

mentales que determinan una celdilla primitiva en forma de rectángulo llamada rectangular yotra red la rectangular centrada que es una red rectangular a la que se adiciona un punto dered en el centro de cada rectángulo. Para la red rectangular centrada se tiene que: el rectánguloes una celdilla unitaria pero no es una celdilla primitiva, ya que hay dos puntos asociado a

Estado Sólido 1.7. Las catorce redes de Bravais en 3-D 23

1. Oblicua 2. Hexagonal 3. Cuadrada

4. Rectangular 5. Rómbica

Figura 1.29. Cinco redes de Bravais en 2-D.

cada rectángulo, aunque conserva la simetría del rectángulo. Por lo tanto, la red rectangularcentrada pertenece al sistema cristalográfico Rectangular.

La celdilla primitiva es un rombo de lado a = b, γ 6= 90o o γ 6= 120o, y que se conoce comored rómbica.

1.7. Las catorce redes de Bravais en 3-D

Hay muchas maneras de elegir los vectores fundamentales de una red cristalina, aunque en to-tal hay solo 14 redes de Bravais distribuidas en 7 sistemas cristalográficos en el que se incluyeuna red primitiva y otras no equivalentes que surgen de adicionar punto de red a la celdi-lla primitiva. Un cristal se determina si se logra encontrar alguna celdilla que sea primitiva;sin embargo a veces se usan las celdillas no primitivas si ellas muestran la simetría de la redcristalina. En la figura (1.30) se muestran las estructuras cristalinas de los elementos químicosen la tabla periódica donde se observa que ellos cristalizan en alguno de los sistemas cristalo-gráficos:

Las redes de un mismo sistema cristalográfico tiene los mismos elementos de simetría pun-tuales y tienen una celdilla primitiva llamada P , esto significa que los puntos de la red única-mente están en los vértices del paralelepípedo formado por los vectores fundamentales y tieneun punto de red por celdilla. ¿Que redes de Bravais surgen al adicionar puntos a una primitiva?La simetría de las redes que pertenecen a un sistema cristalino no cambia al adicionar puntosen diferentes sitios de la celda primitiva. Dependiendo del lugar donde se ubiquen los puntos


Parámetros de red: a (A)

Nombreo

oc (A)

Símbolo TemperaturacristalizaciónGrupo

AcActinio

5.31

ThTorio

5.08

PaProtactinio3.923.24

UUranio

NpNeptunio

PuPlutonio

AmAmericio

CmCurio

BkBerkelio

CfCalifornio

EsEinsteinio

FmFermio

MdMendelevio

NoNobelio

LaLantano5.30

CeCerio5.16

hcp3.65, 5.93

hcp3.65, 5.93

hcp3.75, 6.07

PrPrasodimio

5.16

4.89

NdNeodimio3.665.90

PmPromecio

SmSamario

3 at/c.u.

EuEuropio

4.61

GdGadolinio

3.565.80

TbTerbio3.605.70

DyDisprosio

3.595.65

HoHolmio3.585.62

ErErbio3.555.59

TmThulio3.545.56

YbYterbio

5.48

Fr 87Francio

--- ------

RaRadio

CsCesio

6.045

BaBario

5.02

LuLutecio3.505.55

HfHalfnio

TaTantalo

3.30

WTungsteno

3.16

ReRhenium

2.764.46

OsOsmio

2.744.32

IrIridio

3.84

PtPlatino

3.92

AuOro

4.08

HgMercurio

2.99 (71 )o

Thallium3.465.53

fcc 4.84bcc3.88

PbPlomo

4.95

BiBismuto4.75(57 )o

PoPolonio

3.34

AtAstatine

---

---

--- --------- ---------

RnRadon

---

RbRubidio

5.585

SrEstroncio

6.08

YYtrio

ZrZirconio

NbNiobium

3.30

MoMolibdeno

3.15

TcTechnecio

RuRutenio

RhRodio

3.80

PdPaladio

3.89

AgPlata

4.09

CdCadmio Indio

3.244.94

3.254.95

Sn ( )a

Estaño6.49Gris

Tet-5.823.17Blanco4 at/c.u.

SbAntimonio

4.50 (58 )2at/c.u.

o

TeTelurio4.455.91

IIodo

I2

XeXenon

6.20

KPotassio

5.225

CaCalcio

5.58

ScEscandio

TiTitanio

VVanadio

3.03

CrCromo2.88

MnManganeso

3.773.53

FeHierrro

2.87

CoCobalto

NiNiquel3.52

CuCobre

3.61

ZnZinc Gallium

9.0 (23 )o

GeGermanio

5.658

AsArsenico

4.13 (5.4 )2 at/c. u.

o

SeSelenio

BrBromo

KrKrypton

5.72

NaSodio

4.29

MgMagnesio

VIIIIIB IVB VB VIB VIIB IB IIB

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Aluminio

4.05

SiSilicio

5.430

PFosforo

S Azufre ClCloro

ArArgón

5.26

Li 78K

3.491

BeLitio Berilio

Tl

In

Ga

Al

BBoro

CCarbono3.567

Grafito2.46,6.70

NNitrógeno

5.648at/c. u.

10.4724.5

b=12.9128 at/c.u.

3.3110.5

Negro

cubico7.17

Blanco

3.476.1810.97

4.82(102 )

16

o

at c. u./

6.67, b=8.724.48, 8 at/c.u.

4.79, b=8.729.78, 8 at/c. u.

4.726.66

b=5.874 at/c. u.

6.24, b=8.264.48, 8 at/c.u.

4.517.83

b=0.001a

OOxigeno

FFluor

5.50, 3.287.28

NeNeón

4.46

H 4K

58K

5K

4K

4.2K

4K3K 53K4K

123K

113K

2K

P=26 atm

5K

49K

5K

5K

5K

Hidrógeno

3.756.49

Molécu-las, H2

2.293.58

2.714.28

2.664.95

2.985.62

3.215.21

3.315.27

3.655.73

3.235.15

3.205.06

2.744.40

2.954.68

2.514.07

fcc3.55

fcc3.68

fcc4.16

fcc3.59

hcp2.72, 443

fcc4.54

HeHelio3.575.83

Peri

od

o

7

6

5

4

3

2

1

17

IIA

IA

1

2 15

18

IIIA IVA

13 14 16

VA VIA VIIA

VIIIA

Hexagonal compacta MonoclínicaCúbica centrada en las carasDiamante Romboédrica

Hexagonal OrtorrombicaCúbica centrada en el cuerpoSimple cúbica Tetragonal

5.503.82

4.364.93

3at/c.u.cadena espiral

3at/c.u.cadena espiral

8.74, 5.0350 at/c. u.

hcp3.67, 5.92

Figura 1.30. Estructuras cristalinas de los elementos químicos

adicionales a la red primitiva P se nombran las redes, tal que:

A. Si se adicionan puntos en los centros de los planos definidas por a2 y a3 y paralelos aellos, ubicados en A(0, 12 ,

12) .

B. Si los puntos se adicionan en los centros de la caras formada por los ejes a1 y a3 y paralelosa ellos, ubicados en B(12 , 0,

12).

C. Se le adiciona puntos en los centros del plano determinado por los ejes a1 y a2 y paralelosa ellos, ubicados en C(12 ,

12 , 0).

I. Su nombre viene del término en alemán Innerzentrierte que significa centrada en el cuer-po. Esta red se obtiene al adicionar un punto en el centro de la celdilla ubicado en I(12 ,

12 ,

12 ).

F. Significa red centrada en las caras, se obtiene al adicionar a la red primitiva puntos en loscentros de todas las caras

F(1

2,1

2, 0), (0,

1

2,1

2), (

1

2, 0,

1

2).

Es muy importante entender que las redes A, B, C, I y F no son las primitivas del sistemacristalográfico, aunque los vectores fundamentales de sus redes primitivas forman celdillas noprimitivas, es necesario encontrar vectores fundamentales que definan una celdilla primitivapara esas nuevas redes, para garantizar que son redes de Bravais.


Hay siete sistemas cristalográfico que se agrupan en catorce redes no equivalentes distribui-dos en una red P en los sistemas hexagonal, romboédrico y triclínico; dos en los sistemas tetrag-onal y monoclínico; 3 cúbicas y 4 ortorrómbicas. En la tabla se observan las longitudes de losvectores fundamentales |a1| = a, |a2| = b, |a3| = c y de los ángulos entre ellos: α, β y γ paracada sistema cristalográfico.

1.Triclínica (P) 2.Monoclínica (P y A).

3.Ortorrombica (P, A, I y F)

4.Tetragonal (P e I). 5. Trigonal (P) 6.Hexagonal (P).

7. cúbica (P, I y F)

Figura 1.31. Siete sistemas cristalográficos y 14 redes de Bravais en 3-D.


Sistema cristalino Tipo de red Longitud ÁngulosTriclínica P a 6= b 6= c α 6= β 6= γ

Monoclínica P, A a 6= b 6= c α = γ = 90o 6= β

Ortorrómbica P, C, I, F a 6= b 6= c α = β = γ = 90o

Tetragonal P, I a = b 6= c α = β = γ = 90o

Romboédrica o trigonal P a = b = c α = β = γ < 120o, 6= 90o

Hexagonal P a = b 6= c α = β = 90o γ = 120o

Cúbica P, I, F a = b = c α = β = γ = 90o

Para hallar el número de puntos de red que corresponde a una celdilla se debe tener encuenta que los vértices pertenecen a ocho celdillas diferentes y las caras a dos celdillas. Unaceldilla centrada F contiene: 6× 1

2 + 8× 18 = 4 puntos por celdilla P. Una red centrada en A, B,

o C contiene tiene 2 × 12 + 8 × 1

8 = 2 puntos de red por celdilla P. A continuación se describenalgunas características de las redes en tres dimensiones:

1. La red triclínica es la que tiene menor simetría, el paralelepípedo formado por los vec-tores fundamentales tiene una forma cualquiera, se dice que es triplemente inclinado porello se denomina triclínico y el único elemento de simetría es un centro de simetría. Losminerales como la Turquesa y la Rodonite tienen redes triclínicas.

2. La característica especial de la red trigonal es la presencia de un eje de rotación ternarioo un eje de inversión ternario. La red hexagonal fundamental es la presencia de un eje derotación de orden 6 o un eje de inversión de orden 6. Para mayor precisión, generalmentese introduce un cuarto eje i, coplanario con a y b, que forma un ángulo de 120o con cadauno de ellos.

3. Los índices de Miller para la red hexagonal tienen la particularidad que usan un cuartoíndice como (hkiℓ), el valor de i se determina como h + k y se sitúa en el plano a1a2 y a120 de cada uno de estos ejes; teniendo en cuenta que los vectores fundamentales son:

a1 =

√3

2ax+

a

2y ; a2 = −

√3

2ax+

a

2y ; a3 = cz; c > a

4. En el sistema monoclínico, la celdilla P es un paralelepípedo de base rectangular forma-dos por redes planas rectangulares. El sistema monoclínico tiene dos redes la P y la debase centrada, tal que las redes monoclínicas de base centrada A y C son equivalentes; lomismo que Las redes I y cualquiera de las A, B o C. Por eso se considera sólo dos ellas enel sistema monoclínico: P e I o P y A.

La centrada en B se transforma en una P con la mitad del volumen, los nuevos vectoresa′1,a

′2,a

′3: a′1 =

12 (a1 − a3) a

′2 = a2 a

′3 =

12(a1 + a3).


La centrada en I se transforma en una monoclínica centrada en C con nuevos vectoresa′′1,a

′′2 ,a

′′3 : a′′1 = 1

2 (a1 + a3) a′′2 = a2 a

′′3 = −a3.

La centrada en F se transforma en una monoclínica centrada en C con nuevos vectoresa′′′1 ,a

′′′2 ,a

′′′3 : a′′′1 = a3 a

′′′2 = a2 a

′′′3 = 1

2(a1 + a3).

5. La celdilla de la red ortorrómbica primitiva P es un prisma recto de base rectangular. Lostres planos fundamentales, (100), (010) y (001), más los planos diagonales del prisma, sonredes planas rectangulares. Las redes ortorrómbicas centradas se obtienen si se centranlas redes planas rectangulares (100), (010) y (001) y se simbolizan por redes A, B y C.Morfológicamente estas redes son iguales y se denominan red rómbica de base centradaC. Además se tienen las redes no equivalentes F e I.

6. Los vectores fundamentales primitivas de una red tetragonal son a1 = ax; a2 = ay; a3 =

cz; c > a. La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada. La familia deplanos (001) son de una red plana cuadrada, mientras que (100) y (010) son rectangu-lares e idénticos entre sí. Red tetragonal centrada, I. Al ser iguales por simetría, los planos(100) y (010) no pueden centrarse independientemente, ni tampoco pueden hacerlo si-multáneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma fa-milia. Sin embargo, los planos diagonales, que son también redes rectangulares, puedencentrarse dando origen a la red tetragonal centrada en el interior I.

7. El sistema cúbico tiene una celdilla unitaria que es un cubo con puntos en los vertices delcubo, es primitiva P y se denomina red cúbica simple. El sistema cúbico es el que tienemayor simetría de los siete sistemas cristalográficos. Si se colocan puntos en los verticesdel cubo se tiene la red simple cubica, adicionando a estos puntos otro en el centro delcubo se tiene la red cúbica centrada en el cuerpo I (denominación del término en alemánInnerzentrierte con ese significado), y si los puntos de adicionan en el centro de las carasse tiene la red cúbica centrada en las caras F (del término en inglés Face o cara).

Los vectores fundamentales de la red simple cúbica son:

a1 = ax, a2 = ay, a3 = az

b1 =2π

ax, b2 =

2π

ay, b3 =

2π

az (1.26)

La red recíproca de una red cúbica simple o P es otra red cúbica simple en el espaciorecíproco, cuya celdilla es un cubo de lado 2π/a. El Polonio es único elemento metálicoque cristaliza como un simple cúbico, con seis enlaces por átomo. Ellos definen un cubode volumen a3 que contiene un punto de red por cubo, cada uno de los puntos de losvertices están compartidos por ocho cubos vecinos (8 vertices × 1

8 ). Estos vectores fun-damentales y el cubo definen una red primitiva para la red que tiene solamente puntos


en los vertices. El cubo ya no es una celdilla primitiva para las redes cúbicas I y F. Losvectores fundamentales de la red cristalina cúbica centrada en el cuerpo I que definenuna celdilla primitiva son los dibujados en la figura (1.32) y de la red recíproca son:

a′1 =

a

2(x+ y − z) b

′1 =

4π

a(x+ y)

a′2 =

a

2(−x+ y + z) b

′2 =

4π

a(y + z)

a′3 =

a

2(x− y + z) b

′3 =

4π

a(x+ z) (1.27)

X

Y

Z

Simple cúbico (P)

aa

Cúbico centradoen el cuerpo (I)

Cúbico centradoen las caras (F)

a

Figura 1.32. Sistema cúbico. Se observan las celdillas primitivas.

La red recíproca de una red cúbica centrada en el cuerpo I es una red cúbica centrada enlas caras F. En el espacio recíproco, el lado del cubo es 4π/a.

Los vectores fundamentales de la red cúbica centrada en las caras F, utilizando los ejescoordenados dibujados en la figura (1.32) son:

a′′1 =

a

2(x+ y) b

′′1 =

4π

a(x+ y − z)

a′′2 =

a

2(y + z) b

′′2 =

4π

a(−x+ y + z)

a′3 =

a

2(x+ z) b

′′3 =

4π

a(x− y + z) (1.28)

La red recíproca de una red cúbica centrada en las caras F es una red cúbica centrada enel cuerpo I. En el espacio recíproco, el lado del cubo es 4π/a.

Primera zona de Brillouin para Redes Cúbicas

En la figura (1.33) se observan la primera zona de Brillouin para las las redes cúbicassimple P, centradas en el cubo I y en las caras F.

Estado Sólido 1.8. Grupo de traslación 29

PZB cubica centradaen las caras

PZB cubica centradaen el cuerpo

PZB-cubica simple

4 / ap 4 / ap2 ap/

Figura 1.33. Primera zona de Brillouin del sistema cúbico

Cristales iónicos tipo CsCl y NaCl

Las sales del tipo de Cloruro de Cesio (CsCl) tiene dos átomos por celdilla una en unode los vertices y otra en el centro del cubo; por lo tanto, el cristal del CsCl es el resultadode dos subredes cúbicas P. Los cristales iónicos tipo NaCl, cristalizan en la forma de unared cúbica centrada en la caras, en el que un átomo está en un punto de esta red F, porejemplo Na y el otro Cl, en el centro del cubo formando otro red F. Por lo tanto, el cristaldel NaCl es el resultado de dos subredes cúbicas F.

Figura 1.34. Cristales iónicos tipo CsCl y NaCl.

1.8. Grupo de traslación

Las transformaciones de simetría de traslación se pueden definir para las redes cristalina TR yrecíproca TK que se determinan por medio de los vectores de traslación R y K:

R =3

∑

i

niai K = hb1 + kb2 + ℓb3 (1.29)

n1, n2, n3 y los indices de Miller hkℓ son números enteros. TR actúa sobre un vector en elespacio real o cristalino r y lo convierte en otro vector r′ = r+R y TK que actúa sobre un vectoren el espacio recíproco o de Fourier k y lo convierte en otro vector k′ = k+K tal que:

TRr = r+R TKk = k+K (1.30)


Cuando r está ubicado en un punto de la red cristalina r = R′ o cuando k está ubicado en

un punto de la red recíproca k = K′ se pueden crear los otros puntos de la red cristalina o red

cristalina realizando las siguientes operaciones de traslación:

TRR′ = R

′ +R = R′′ TKK

′ = K′ +K = K

′′ (1.31)

se obtiene un conjunto de elementos {R} y {K} en el espacio cristalino y recíproco tal que sise aplican adecuadamente a partir de un punto se construye cualquiera de las redes cristalinasy recíprocas respectivamente. La transformación de simetría de traslación TR o TK tambiénpuede actuar sobre una función del espacio real f(r) o sobre un vector de onda k en el espaciorecíproco respectivamente y los convierten en:

TRf(r) = f(r+R) TKf(k) = f(k+K).

La teoría de grupos matemáticamente, un grupo de espacio es un grupo de simetría o tipo degrupo de simetría de n-dimensionales estructuras con traslación simetría en direcciones inde-pendientes n, tales como, para n = 3, un cristal. Sólo se incluyen grupos de simetría discretosen la jerarquía; infinitamente, es decir, se excluye la estructura de la multa o la homogeneidaden uno o más direcciones. Esto proviene de la necesidad de describir discretos conjuntos de’puntos’(es decir, los átomos o iones en un cristal), a diferencia de medios de comunicacióncontinua (véase la simetría de física por este último caso). Consulte los artículos Bravais reticu-lados, cristales y traducción (geometría) para un debate más a fondo. Un grupo es un conjuntode elementos relacionados por medio de operaciones que debe cumplir las siguientes reglas:combinación, asociativa, existencia de la identidad y de inverso. Los conjuntos de elementos{R} y {K} definidos en (1.31) en el espacio cristalino y recíproco cumple las reglas para sergrupo y tienen las siguientes características:

- Los vectores de traslación R y recíproca K de (1.29) generan las redes cristalina y recíp-roca respectivamente.

- Los vectores fundamentales {ai} y {bi} definen las celdillas unitarias en el espacio crista-lino y recíproco respectivamente. En la figura (1.35) se observa una red cristalina en dosdimensiones en donde se muestran los vectores fundamentales de la red, los vectores detraslación de la y una celdilla unitaria.

- Los vectores fundamentales de la red recíproca {bi} se hallan a partir de los vectores {ai}por medio de las relaciones (1.19).

- Cualquier par de puntos de una red cristalina o recíproca está unido por los vectores R oK definidos desde sus vectores fundamentales.

Estado Sólido 1.8. Grupo de traslación 31

a1

a2

1

Figura 1.35. Vectores fundamentales, de traslación y celdilla unitaria

Los conjuntos de elementos {R} y {K} al aplicar transformación de traslación de (1.31)cumplen:

1. La Regla de combinación: Dos elementos del grupo se combinan de tal manera que seobtiene otro elemento del grupo:

TRR1 = R1 +R = R2

TKK1 = K1 +K = K2

2. La Regla asociativa: R, R1, R2, R3 y K, K1, K2, K3 son elementos de los grupos {R}y {K} respectivamente que cumplen con la regla asociativa bajo la tal que:

TR[(R1 +R2) +R3] = TR[R1 + (R2 +R3)]

= R1 +R2 +R3 +R

TK[(K1 +K2) +K3] = TK[K1 + (K2 +K3)]

= K1 +K2 +K3 +K

3. Existencia de la identidad: R = 0 y K = 0 corresponde al elemento identidad para losconjuntos de elementos {R} y {K} ya que:

TR=0(R′) = R

′ TK=0(K′) = K

′

4. Existencia de inverso: En todo conjunto de elementos de {R} los valores de n1, n2, n3) ∈Z, existe (−n1,−n2,−n3) que es el inverso; lo mismo ocurre para el conjunto de elementosde {K} para los índices de Miller.

Por lo tanto, los conjuntos de elementos {R} y {K} son grupos. Además, cumplen la siguientepropiedad de conmutación:


TR[R1 +R2] = TR[R2 +R1]

TK[K1 +K2] = TK[K2 +K1]

Los grupos de traslación de las redes cristalina y recíproca son abelianos o conmutativos.

1.9. Teorema de Bloch

Con el fin de estudiar las autofunciones Ψ(r) de una partícula y los autovalores E de un Hamil-toniano que es invariante ante transformaciones de traslación de la red cristalina R:

TRH(r) = H(r+R) = H(r) (1.32)

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es:

HΨ(r) = EΨ(r) (1.33)

Al aplicar la transformación de traslación se obtiene:

TRH(r)Ψ(r) = H(r+R)Ψ(r+R)

= H(r)Ψ(r+R)

= H(r)TRΨ(r)

Por lo tanto los operadores TR y H(r) cumplen que:

TRH(r) = H(r)TR (1.34)

Esto implica que el Hamiltoniano H(r) y el operador de traslación TR conmutan:

[H, TR] = 0

Esto significa que hay un conjunto de autofunciones comunes para H y el conjunto deoperadores de traslación de la red cristalina TR y este operador no depende explícitamente deltiempo.

Ψ(r) es simultáneamente autofunción de H y de TR, ∀R

La ecuación de autovalores de las traslaciones es:

TRΨ(r) = c(R)Ψ(r) (1.35)

De la ecuación de autovalores de la energía (1.33) los autovalores de la energía son E y dela ecuación (1.35) los autovalores de las operaciones de traslación son c(R).

Estado Sólido 1.9. Teorema de Bloch 33

Los operadores de traslación pueden ser el resultado de dos o mas traslaciones de modoque, cuando dos operadores de traslación son aplicados sucesivamente es una nueva operaciónde traslación y puede interpretarse en términos de la traslación compuesta. Si se realizan trasla-ciones sucesivas, estos operadores de traslación conmutan entre si y cumplen que:

[TR, TR′ ] = 0

TRTR′ = TR+R′

Por lo tanto, sus autovalores cumplen la relación:

c(R)c(R′) = c(R+R′) (1.36)

La norma de la función de onda Ψ∗(r)Ψ(r) no cambia al aplicar operaciones de traslación:

TR (Ψ∗(r)Ψ(r)) = Ψ∗(r)Ψ(r) (1.37)

Teniendo en cuenta esta condición de invariancia de la norma ante traslaciones se puedehallar los autovalores del operador de traslación, así:

TR (Ψ∗(r)Ψ(r)) = Ψ∗(r+R)Ψ(r+R)

= TRΨ∗(r)TRΨ(r)

Teniendo en cuenta la ecuación de autovalores (1.35) se tiene que:

TR (Ψ∗(r)Ψ(r)) = c∗(R)Ψ∗(r)c(R)Ψ(r)

= c∗(R)c(R)Ψ∗(r)Ψ(r)

= |c(R)|2Ψ∗(r)Ψ(r)

= Ψ∗(r)Ψ(r) (1.38)

Por lo tanto:|c(R)|2 = 1 ⇒ c(R) = eiϕ(R) ∀R (1.39)

De (1.36) y (1.39) se obtiene:

c(R)c(R′

) = c(R+R′

) = eiϕ(R)eiϕ(R′) = ei[ϕ(R)+ϕ(R′)]

∴ ϕ(R+R′) = ϕ(R) + ϕ(R′)

Por lo tanto la fase debe ser una función lineal de R y se escoge como:

ϕ(R) = k.R ⇒ c(R) = eik.R (1.40)


k es un parámetro y la ecuación de autovalores para los operadores de traslación (1.35)teniendo encuentra el valor de c(R) de (1.40) es:

TRΨ(r) = Ψ(r+R) = eik·RΨ(r) (1.41)

que es la condición de Bloch.Las traslaciones a lo largo de cada uno de los ejes de los vectores fundamentales de la red

cristalina ai, son:

c(ai) = eik·ai

Las funciones de onda que cumplen la condición de Bloch son simultáneamente autofun-ciones de la energía y de los operadores de traslación de la red cristalina. Aunque la condiciónde Bloch se encontró para estados no degenerados también se cumple para estados degenera-dos de la energía.

Condiciones de frontera de Born-von Karman

Para determinar los valores permitidos de k se aplican las condiciones de frontera periódicas ode Born-von Karman a lo largo de los ejes fundamentales de la red cristalina, que se expresancomo:

Ψ(r+Niai) = Ψ(r)

Ni es el número de puntos de la red cristalina a lo largo del vector fundamental ai, tal que lalongitud lineal a lo largo de ese eje es Li = Niai. De la definición de los operadores de traslaciónde la red cristalina, las condiciones de frontera periódicas se escriben como:

(

Tai

)Ni

Ψ(r) = Ψ(r+Niai)

= Ψ(r)

= (c(ai))Ni Ψ(r)

Esta condición da los valores de los autovalores de los operadores de traslación y a su vezde los valores permitidos de k:

c(ai)Ni = eik·Niai = 1 (1.42)

El vector de onda k es un parámetro que describe un estado cuántico del cristal y se puedenexpresar en términos de los vectores fundamentales de la red recíproca bi y si se tiene en cuentala restricción de las condiciones de frontera periódicas de (1.42) y que d es la dimensión delcristal se encuentran los valores permitidos de k:

k =

d∑

i=1

xibi ⇒ k =

d∑

i=1

mi

Nibi mi ∈ Z (1.43)

Estado Sólido 1.9. Teorema de Bloch 35

Un cristal de volumen V es tal que a lo largo de cada uno de los ejes fundamentales de lared cristalina ai hay Ni puntos de la red, al dibujar los valores permitidos de k a lo largo decada uno de los vectores fundamentales de la red recíproca, se encuentra que entre dos puntosde la red recíproca a lo largo del eje bi hay Ni punto de red.

Reducción a las zonas de Brillouin

Las funciones de onda que cumplen la condición de Bloch (1.41) se conocen como estados deBloch y se escriben como:

Ψk(r+R) = eik·RΨk(r) = TRΨk(r) (1.44)

Si en esta ecuación se cambia k por k+K se tiene que:

TKΨk(r+R) = Ψk+K(r+R) = ei(k+K)·RΨk+K(r) (1.45)

De la definición del espacio dual eiK·R = 1 se concluye que:

Ψk+K(r+R) = e−ik.RΨk+K(r)

que se puede escribir como:

TR

(

TKΨk(r)

)

= e−ik.R(

TKΨk(r)

)

(1.46)

Esto significa que los autovalores de los operadores de traslación del conjunto de autofun-ciones {T

KΨk(r)} es e−ik.R para todos los estados de Bloch con vector de onda k + K, o sea

para un vector de onda k y para cualquier otro vector de onda desplazado de éste algún vectorde traslación en la red recíproca K, por lo tanto todos los estados del conjunto de estados deBloch {T

KΨk(r)} son equivalentes.

Para describir los estados de Bloch que cumplen con la condición de Bloch expresada en(1.46), es necesario conocer los valores de k que son linealmente independientes, son aquellosque no están relacionados entre si por medio de un vector de traslación de la red recíproca K yestos vectores están ubicados en la primera zona de Brillouin que corresponde a la celdilla deWigner-Seitz en la red recíproca, como se estudiará en las clases de electrones y fonones.

Lo anterior implica que los vectores de onda k de los estados de Bloch siempre se puedenconfinar a la primera zona de Brillouin, que es una celdilla primitiva de la red recíproca yhay N (Si hay Ni puntos de red en la dirección bi entonces N = N1N2N3 ) estados de Blochlinealmente independientes. Todo vector de onda k

′ fuera de la primera zona de Brillouin sepuede escribir como k

′ = k+K, donde k está en la primera zona de Brillouin.Para cada k en la primera zona de Brillouin hay un conjunto de soluciones que se pueden

enumerar por medio de un número entero positivo, como n = 1, 2, 3, 4, . . . y los posibles estadosde un electrón en el cristal deben describirse con el vector de onda de Bloch k y el índice de


la banda n y los autoestados y autovalores de la energía de Bloch se escriben como Ψn,k(r) yEn(k) respectivamente. Si el índice de la banda n es fijo se cumple la condición de periodicidadpara Ψn,k(r) de (1.46) se expresa como:

Ψn,k(r) = Ψn,k+K(r) con el índice de banda n fijo. (1.47)

Para los autovalores de la energía de Bloch En(k) para un índice de la banda n fijo quecumple la condición de periodicidad para Ψn,k(r) de (1.47) se debe tener en cuenta la invarian-cia del Hamiltoniano bajo traslaciones que para los estados de Bloch se escribe como:

HΨn,k(r) = En(k)Ψn,k(r) (1.48)

Al cambiar k por k+K y considerando la condición de periodicidad para Ψn,k(r) de (1.47):

HΨn,k+K(r) = En(k+K)Ψn,k+K(r)

= En(k+K)Ψn,k(r) (1.49)

Comparando (1.48) y (1.49) se observa que el autovalor En(k) y En(k+K) tienen el mismoautoestado de Bloch para un valor fijo del índice de la banda n. Por lo tanto,

En(k) = En(k+K) con el índice de banda n fijo. (1.50)

Por lo tanto, en un cristal con N celdillas primitivas o puntos de la red cristalina, si n esfijo la energía En(k) tiene N valores casi continuos que forman una banda llamada n, de allíel nombre de índice de la banda. También, el número de valores de k en la primera zona deBrillouin es N .

2Determinación de estructuras cristalinas

El fenómeno de difracción en un cristal se puede producir cuando inciden ondas o partícu-las con longitud de onda del orden de las distancias interatómicas (Å= 10−10m), como es elcaso de las ondas electromagnéticas en el rango de los Rayos X, electrones o neutrones conuna energía que no destruya el cristal. La difracción de los Rayos X sobre un cristal se puedeestudiar de acuerdo con dos descripciones: considerando la interferencia constructiva de lasondas difundidas desde un arreglo geométrico propuesto por W. L. Bragg en 1913 que lleva ala Ley de Bragg y la formulación clásica de Max von Laue dada 1912 que considera el efectode la radiación electromagnética en los electrones de los átomos del cristal que pueden emitirradiación y se produce dispersión coherente, que para interferencia constructiva establece laCondición de Laue, resultado que es equivalente a la Ley de Bragg.

Para realizar una Caracterización Estructural de un cristal con una base de átomos de másde un átomo es necesario considerar además del factor de forma atómica, el Factor Geométri-co de Estructura, esto permite determinar el tamaño de la celdilla, la posición de los núcleosy la distribución de los electrones en cada celdilla; este análisis se puede realizar en una am-plia gama de materiales como metales, semiconductores, minerales, fluidos, material orgánico,polímeros, plásticos, productos farmacéuticos, recubrimientos de capa fina, cerámicas, entreotros. Esta caracterización es indispensable para el control de calidad de materiales a nivel deinvestigación y de la industria.

La energía de los Rayos X, neutrones y electrones se relaciona con la longitud de onda ydepende del tipo de interacción:

38 2. Determinación de estructuras cristalinas Doris Giratá

- Los Rayos X se producen por la desaceleración de electrones en un blanco metálico yla excitación de los electrones internos del blanco que produce este último genera unespectro de líneas cuya longitud de onda depende del blanco, así: el cobre Cu, la línea Kα

a 1, 541 Å y la línea Kβ a 1, 392 Å; el hierro Fe, la línea Kα a 1, 9 Å y la línea Kβ a 1, 737;el molibdeno Mo, la línea Kα a 0, 709 Å y la línea Kβ a 0, 632 y el cromo Cr, la línea Kα a2, 294 Å y línea Kβ a 2, 085 Å.

La técnica consiste en hacer incidir rayos X sobre la muestra y en el detector se mide laintensidad relativa de los rayos X dispersados con respecto a los incidentes como unafunción del ángulo de desviación entre el rayo incidente y el dispersado, a esta curva sele llama difractograma de Rayos X. La energía de Rayos X es E = pc, en donde p es elmomentum y en términos del vector de onda k es p = ~k y la c es la velocidad de la luz,entonces la longitud de onda λ es del orden de Å si la energía está entre 10 y 50 KeV

(1 eV = 1, 60 × 10−19J) tal que una expresión general viene dado por:

E = pc = ~kc k =2π

λ⇒ λ(Å) =

hc

E=

12,4

E(keV )

- Los neutrones no tienen carga pero si tienen espín, su energía cinética de los neutronesestá relacionada con la longitud de onda con la relación:

E =h2

2Mnλ2λ =

h√2MnE

→ λ(Å) =0,28

√

E(eV )

la masa del neutrón Mn = 1, 675 × 10−24gr. La interacción de los neutrones es con losnúcleos de los los átomos del cristal, la difracción de neutrones es muy útil para el estudiode cristales no magnéticos, debido a la interacción de los espines de los neutrones con losátomos magnéticos del cristal.

- La técnica de difracción de baja energía de los electrones, Low-Energy Electron Diffrac-tion, LEED se usa para estudiar superficies o películas delgadas, porque los electrones nopenetran mucho dentro del cristal,

E =h2

2meλ2λ =

h√2meE

→ λ(Å) =12

√

E(eV )

la masa del electrón me = 0,911× 10−27gr.

2.1. La ley de Bragg

En 1913, Bragg demostró que la Difracción de rayos X en los sólidos se puede explicar muyfácilmente si éstos se consideran como redes de difracción, tal que condiciones:

Estado Sólido 2.2. Teoría de difracción clásica 39

- Al llegar la onda incidente, de longitud de onda λ sobre los planos paralelos semiplatea-dos, formando un ángulo θ con ellos se emiten ondas que forman el mismo ángulo queel incidente, condición similar a la ley de reflexión, ver figura (2.1). Los rayos incidente ydifractado están en el mismo plano que la normal a los planos cristalinos.

q q

q q

k´k

d Sen qd S

enq

d

k´k

2q

q

Cristal

Figura 2.1. Rayos X inciden sobre planos cristalinos.

- Las ondas reflejadas se superponen y ocurre interferencia constructiva cuando la difer-encia de caminos entre los rayos que difractan de los diferentes planos paralelos es unnúmero entero de longitudes de onda, tal que:

2d sin θ = nλ (2.1)

esta expresión se conoce como ley de Bragg, d es la distancia entre planos.

2.2. Teoría de difracción clásica

La formulación propuesta por von Laue para estudiar la difracción de Rayos X por un cristaldifiere de la de Bragg en que éste no supone el cristal compuesto por planos paralelos y unareflexión especular en cada uno de ellos, sino que considera el efecto de la onda monocromáticade radiación electromagnética cuando incide sobre un electrón de carga e y masa m, tal que loselectrones que pertenecen a átomos distribuidos en el cristal con respecto a los puntos de redde Bravais pueden ser acelerada y emitir radiación.

Esta radiación podrá ser emitida en otras direcciones diferentes a la onda plana, pero paramovimientos no relativísticos de los electrones la radiación reflejada tiene la misma frecuenciade la radiación incidente. Este proceso de dispersión debe ser coherente y se analiza teniendoen cuenta la teoría de difracción; debido a las posiciones de los electrones dentro del cristal sepueden observar máximos de interferencia en aquellas direcciones en los cuales se producen.

Laue considera que en el proceso de radiación no pierde se energía, la densidad de elec-trones describe la distribución espacial de los centros dispersores en el cristal y usa la aproxi-mación clásica, la dispersión es isotrópica, es decir la intensidad difundida por cada átomo esindependiente de la dirección del espacio; aplica el principio de Huygens-Fresnel que establece


que cada punto en un instante dado, actúa como una fuente de ondas secundarias esféricas, dela misma frecuencia de la onda original. La amplitud del rayo dispersado, en cualquier puntomás adelante, es la superposición de todas estas ondas considerando sus amplitudes y fasesrelativas y que las ondas esféricas dispersadas no se dispersan mas de una vez.

k

r

k’

Cristal0

Figura 2.2. Dispersión de Rayos X por electrones en el cristal.

Si las distancias entre la muestra y la fuente es muy grande comparada con las distanciasinteratómicas, entonces las ondas incidentes, de rayos X, se consideran como ondas planasincidentes, además de monocromáticas. En la figura (2.3) se muestra un esquema del sistemaa considerar, como d ≫ r, la radiación incidente de longitud de onda λ puede se describirsepor la función de onda ξ(r, t) como se tienen ondas electromagnéticas, Rayos X, ξ representa elcampo eléctrico, tal que:

ξ(r, t) = ξoei(k·r−ωt+ϕo) . (2.2)

ϕo es la fase del origen, O, con respecto al cual se mide el vector posición de los electrones,k es el vector de onda de la onda incidente, ω es la frecuencia angular, tal que:

|k| = 2π

λω =

2πc

λ

La dispersión de electrones producen una onda secundaria esférica, tal que los frentes deonda son esferas centradas en cada electrón, como si fuese una partícula puntual.

Si la concentración de electrones es n(r) , en un elemento de volumen d3r dentro del cristalse tiene un número de electrones n(r)d3r medido con respecto a 0, si la dispersión es elástica elvector de onda que llega al detector es |k′| = |k| y la amplitud de la onda dispersada que llegaal detector, ξD(d′) se puede expresar como:

ξD(d′) ∝ ξ(r, t)n(r)

eik|d′−r|

|d′ − r| (2.3)

Estado Sólido 2.2. Teoría de difracción clásica 41

DetectorF D

FuenteRayos X

d

O

d´

d´-r

k´

kr

d r3

Figura 2.3. Dispersión de Rayos X por electrones en elemento de volumen d3r.

|d′ − r|2 = (d′)2 − 2rd′ cos(d′, r) + r2 ⇒ |d′ − r|d′

=

(

1− 2( r

d′

)

cos(d′, r) +( r

d′

)2)

1

2

En la zona de radiación lejana d′ ≫ r, se hace una expansión en una serie de Taylor:

|d′ − r| = d′(

1− r

d′cos(d′, r) + · · ·

)

(2.4)

Reemplazando la ecuación (2.4) en el exponente de la onda dispersada en la ecuación (2.3),el cambio de fase se expresa como:

k|d′ − r| = kd′ − kr cos(d′, r) en donde r(k cos(d′, r)) = k′ · r (2.5)

La distancia en el denominador se aproxima como |d′ − r| = d′, sustituyendo estos resulta-dos y la expresión para ξ(r, t) desde a ecuación (2.2) en (2.3), la onda dispersada es:

ξD(d′) ∝ ξo

d′ei(kd

′−ωt) n(r) e−i(k′−k)·r (2.6)

En una celdilla unitaria la intensidad dispersada, ID ∝ |ξD|2

ID ∝∣

∣

∣

∣

ξod′

∣

∣

∣

∣

2 ∣∣

∣

∣

∫

vc

d3r n(r) e−i(k′−k)·r

∣

∣

∣

∣

2

(2.7)

En la intensidad de la onda dispersada la información de la fase compleja se pierde y corres-ponde al cuadrado de del valor absoluto de la transformada de Fourier de la densidad de loscentros dispersores, de acuerdo con la ecuación (2.7), llamando ∆k = k

′ − k.

n(∆k) =

∫

vc

d3r n(r) e−i∆k·r (2.8)

Las medidas que se obtienen son de la intensidad relativa de la onda dispersada con re-specto a la incidente y para todos los ángulos de dispersion, para poder conocer n(r), se puedehacer desde su transformada de Fourier:

I(∆k)

Io(∆k)∝ |n(∆k)|2 ; n(∆k) = n∆ke

iθ∆k


Por lo tanto, se necesita conocer la parte real y la parte imaginaria, del I(∆k) y no se tiene lainformación de la fase relativa, o no se tiene suficiente información para obtener un único n(r)

desde la trasformada de Fourier.

Dispersión de estructuras periódicas

Si el electrón está en un cristal, la amplitud de la onda que llega al detector, dada por la ecuación(2.6), es tal que el vector posición r = r

′ +R de los electrones debe escribirse relacionado conlos átomos cuyas posiciones se ubican con respecto a un punto de red en el cristal (para el casode un cristal con un átomo por celdilla primitiva).

En la figura (2.4a), se observan los vectores posición en el caso en que el cristal esta confor-mado por átomos iguales y un átomo asociado a cada punto de red, los átomos se representanpor círculos verdes.

D

D

O

r

r’

R

d r3

O

r

ra

r’

R

d r3

(a) (b)

Figura 2.4. Los electrones, centros dispersores dentro del cristal

Escribiendo r en términos de R y r′ de acuerdo con la figura (2.4a), la amplitud de la onda

dispersada de la ecuación (2.6), se reescribe como:

ξD(d′) ∝ ξo

d′ei(k·d

′−ωt)e−i(k′−k)·R

∫

d3r′ n(r′) e−i(k′−k)·r′ (2.9)

Sumando sobre todos los puntos de red, se encuentra la onda dispersada por el cristal,medida en el detector, teniendo en cuenta que:

ξod′

∑

R

ei(k·d′−ωt) es el mismo para todos los puntos de red (2.10)

entonces,

ξcristalD (d′) ∝ e−i(k′−k)·R

∫

d3r′ n(r′) e−i(k′−k)·r′ (2.11)

Estado Sólido 2.3. Condición de Laue 43

La densidad de electrones en un cristal es una función periódica con la periodicidad de lared cristalina, tal que:

n(r) = n(r+R) en donde R =

d∑

i=1

niai (2.12)

d es la dimensión, ai son los vectores fundamentales de traslación y ni ∈ Z. Entonces, n(r)se puede escribir como una serie de Fourier

n(r) =∑

K

nKeiK·r (2.13)

nK es la transformada de Fourier de n(r), K es un vector de traslación de la red recíprocadado en (1.22) y (hkℓ) denota los planos cristalográficos dados por los indices de Miller quecortan a los ejes a, b y c a una distancia con respecto al origen de a/h, b/k y c/l respectivamente.

nK =1

vc

∫

vc

d3r n(r)eiK·r (2.14)

vc es el volumen de la celdilla primitiva. Esto implica que los coeficientes de Fourier de n(r)

se eligen desde un conjunto discreto de números h, k, ℓ.

2.3. Condición de Laue

Del análisis anterior se hallo la amplitud de la onda dispersada por el cristal ξcristalD (d′), dadopor la ecuación (2.11), para el caso en que se tiene interferencia constructiva, se debe cumplir:

∆φ = 2πn, con n un número entero y ∆φ = R ·∆k = (n1a1 + n2a2 + n3a3) ·∆k

Que se conoce como condición de Laue, es tal que para cada vector fundamental de la redcristalina R se escribe como:

a1 ·∆k = 2πh, a2 ·∆k = 2πk ya3 ·∆k = 2πℓ → Condición de Laue (2.15)

Que en término de los vectores fundamentales de la red recíproca se escribe como:

∆k = K (2.16)

Las relaciones entre los vectores de onda incidente y dispersado con el vector de traslaciónde la red recíproca se observan en las figuras (2.5), en donde el vector K es perpendicular alplano definido por los índices de Miller hkℓ. Aplicando la condición de Laue, expresión (2.16),la amplitud de la onda dispersada que llega al detector, ξD(R′) de la ecuación (2.11), se escribecomo:


q

2qq

k´k

k|Dk|=K

2qq

q

k´

k

A

B

C0

Dk K=

Cristal

Figura 2.5. Condición de Laue ∆k = K

ξcristalD (d′) ∝ e−iK·R

∫

d3r′ n(r′) e−iK·r′ (2.17)

Teniendo en cuenta que e−iK·R = 1 y si se define el factor de forma atómico fα(K), querepresenta el poder dispersor de cada átomo como:

fα(K) =

∫

d3r n(r) e−iK·r (2.18)

que es la transformada de Fourier de la densidad de electrones en el cristal. Si hay N átomosen el cristal ξcristalD (d′) para el máximo de interferencia se escribe como:

ξcristalD (K) ∝ Nfα(K) (2.19)

2.4. Factor de forma y estructura geométrico

Para el caso en que el cristal tiene una base atómica con átomos diferentes asociados a cadapunto de red, la amplitud de la onda dispersada por los electrones que llega al detector, dadapor la ecuación (2.6), se debe expresar con respecto al vector posición de los electrones r =

R+ rα + r′, como se observa en la figura (2.4b). La posición del átomo α es rα definida en (1.7),

denota las posiciones de los átomos de la base atómica si α = 1, 2, · · · , p medidas con respectoa algún punto de la red cristalina tal que:

rα = xαa1 + yαa2 + zαa3 Sii: 0 ≤ xα, yα, zα ≤ 1 (2.20)

xα, yα, zα son las proyecciones del vector rα en las direcciones de los vectores fundamen-tales a1, a2, a3 respectivamente, medidos con respecto a cada punto de la red. Para el caso deinterferencia constructiva ∆k = K la onda dispersada es:

ξD(R′) ∝

p∑

i=1

fα(K)e−iK·rα (2.21)

Definiendo el factor geométrico de estructura como:

Estado Sólido 2.4. Factor de forma y estructura geométrico 45

SK =∑

α

fα(K)eiK·rα (2.22)

K · rα = (hb1 + kb2 + ℓb3)(xαa1 + yαa2 + zαa3) = 2π(hxα + kyα + ℓzα)

entonces,

Shkℓ =∑

α

fαei2π(hxj+kyj+ℓzj) (2.23)

La relación de la intensidad total de la onda dispersada por el cristal con respecto a la ondaincidente está dada por la siguiente expresión:

IhkℓIo

∝ S∗hkℓShkℓ (2.24)

La existencia de una base atómica, con más de un átomo por punto de red cristalina, implicaque dependiendo del valor del factor de estructura geométrico SK la intensidad se convierta encero donde había un máximo de interferencia debido a la existencia de otros planos atómicosque no se tuvieron en cuenta en la condición de Laue. Entonces hay un conjunto de valores hkℓpara los cuales Shkℓ = 0 y se extingue la onda que llega al detector.

Potencial periódico, base atómica con p átomos

Otro caso en el que la información de la base atómica está incluida en el factor de estructuraatómico es el potencial promedio de los átomos en un cristal en la aproximación de estados mo-noelectrónicos, este potencial U(r) es periódico y se puede escribir como una serie de Fourier:

U(r) = U(r+R) =∑

K

UKeiK·r (2.25)

A cada celdilla primitiva se le asocia una base atómica con p átomos diferentes, entoncesU(r) se puede construir como una suma de potenciales atómicos individuales de φ(r−R− rα)

para cada átomo α = 1, 2, · · · , p, ubicados en ρα y medidos con respecto a un punto de la redcristalina, entonces:

U(r) =∑

R

p∑

α

φ(r−R− ρα) (2.26)

La transformada de Fourier UK para el potencial (2.26) evaluado en la celda primitiva devolumen v es:


UK =1

v

∫

v

d3 r e−iK·rU(r)

=1

v

∫

celdillad3 r e−iK·r

∑

R

∑

α

φ(r−R− ρα)

=1

v

∫

todo el espaciod3r e−iK·r

∑

α

φ(r− ρα) (2.27)

φK es la transformada de Fourier del potencial atómico φ(r) que se escribe como:

φK =1

v

∫

todo el espaciod3 r e−iK·rφ(r) (2.28)

y es similar al factor de forma atómico fα(K) de (2.18) utilizado para determinar estructurascristalinas por medio de difracción de Rayos X en un cristal y representa el poder dispersor decada átomo, en este caso la contribución de cada átomo en ρα es φ(r − ρα); también se puededefinir el factor de estructura geométrico similar a (2.22) como:

SK ≡ 1

v

∑

α

φKe−iK·ρα (2.29)

Por lo tanto, la transformada de Fourier UK se escribe como:

UK = S∗K (2.30)

al reemplazar el valor de la transformada de Fourier en el potencial periódico U(r) de (2.25)queda incluida la información de los átomos en el factor de estructura SK de acuerdo con (2.29).

3*Simetría puntual de los cristales

En este capítulo se estudian las transformaciones de simetría puntuales aplicados a las redescristalina y recíproca, se define el conjunto de elementos relacionados con las operaciones de si-metría y las reglas básicas establecidas en la teoría de los grupos con relación a los grupos pun-tuales. Un grupo puntual es un conjunto de operaciones de simetría, como rotaciones alrededorde un eje o reflexiones definidas para las redes cristalinas que transforman la celdilla conven-cional o unitaria en si misma. Estas operaciones son llamadas puntuales porque aplicados aalgún punto en el espacio lo dejan fijo. Hay 32 grupos asociados a los siete sistemas cristalográ-ficos distribuidos en catorce redes de Bravais no equivalentes en tres dimensiones.

Al asociar una base atómica a cada punto de la red cristalina se incrementa el número deoperaciones de simetría y es tal que la simetría de esta base está relacionada con la simetría de lared de Bravais del cristal y surgen los grupos mas generales que describen los cristales llamadosgrupos espaciales, que se describen mediante combinaciones de operaciones de traslación ypuntuales. Hay 230 grupos espaciales asociados a las redes de Bravais en tres dimensiones.

3.1. *Elementos y operaciones puntuales

Los elementos de simetría puntuales deben ser compatibles con la definición de la red deBravais y son llamados así porque deja algún punto inmóvil del objeto de estudio o sea sintraslación son:

- Identidad. La identidad se denota como E es Er = r

48 3. *Simetría puntual de los cristales Doris Giratá

- Centro de inversión. La inversión I es Ir = −r Existe un centro de inversión si paracada vector r, medido desde el centro de simetría existe otro vector −r; todas las redes deBravais tienen un centro de inversión.

- Planos de reflexión m o σ. Un plano de reflexión refleja parte del objeto de manera idén-tica a través de un plano. Un plano de reflexión o especular, tal que puntos de la red quequedan a un lado del plano se refleja en puntos idénticos del otro lado. La existencia deestos planos, a veces se puede evidenciar en la forma externa de los cristales.

- Ejes de rotación Cn o n. Un eje de rotación de orden n es un eje que cuando se realizauna rotación al cristal de 360o/n, en el sentido contrario a las manecillas del reloj lo dejainvariante (donde n = 1, 2, 3, 4, 6, de orden 2 o binario, de orden 3 o ternario, de orden 4

o cuaternario y de orden 6 o senario). Existe un eje de rotación de orden n, si al rotar lared alrededor de ese eje que pasa por el centro de simetría un ángulo ϕ = 2π

nla red se

transforma si misma y que sea compatible con la simetría de traslación sólo se puedentener ejes de rotación de orden n = 1, 2, 3, 4 y 6. De acuerdo con la demostración dadapor Buerger se tiene:

• a partir de un punto de red en A, ubicado en RA se construye una red de Bravaisaplicando vectores de traslación, el punto A′ se obtiene desde A como: RA′ = RA +

ai, tal que ai = aai, separados una distancia a, que corresponde al vector mas cortode los tres vectores fundamentales.

- En la figura 3.1 además de A y A′, situados sobre la línea AA′ se observan otrospuntos de red B y B′ ubicados en el plano perpendicular al eje de rotación.

- En una linea BB′, se supone que los puntos de red B y B′ están separados unadistancia BB′ = b.

Figura 3.1. Operaciones de rotación de las redes de Bravais

• Se supone que hay un eje de rotación de orden n que pasa por los puntos A y A′, talque los puntos B y B′ se obtienen por medio de una rotación de ϕ = ±2π

n, entonces

la recta BB′ debe ser paralela a AA′ b es un múltiplo entero de a, o sea b = ma y m

es un número entero.

Estado Sólido 3.1. *Elementos y operaciones puntuales 49

b = a+ 2a| cosϕ| = ma entonces | cosϕ| =∣

∣

∣

∣

m− 1

2

∣

∣

∣

∣

≤ 1

que se cumple para los valores m = 3, 2, 1, 0,−1.

• Por lo tanto, los ejes de rotación compatibles con la definición de la red de Bravaisson:

ϕ =2π

nde orden n = 1, 2, 3, 4 y 6 (3.1)

Llamados ejes monario, binario, ternario, cuaternario y senario respectivamente.

Los elementos de rotación de orden n sobre las celdillas unitarias de las redes cristalinasconforma un grupo cíclico. Una operación de rotación transforma las posiciones de la cel-dilla del tal manera que aparezca exactamente igual como estaba antes de la operación,siempre se llega a posiciones equivalentes. No hay otros elementos de rotación que losdados en la ecuación (3.1) que cumpla con la definición de una red Bravais, que al repe-tirse apropiadamente en el espacio reproduzca el cristal sin solaparse ni dejar intersticios.Las áreas del lado izquierdo y derecho de la figura (3.2) son invariantes bajo la rotaciónde de orden 5 y 7 respectivamente, pero no son celdillas unitarias que cumplan con ladefinición de red de Bravais, ellas no llena el espacio (para el pentágono) o sus áreas sesuperponen (heptágono).

Figura 3.2. Áreas invariantes ante rotaciones de orden 5 y 7.

Una base atómica aislada si puede tener ejes de orden 5 o los cuasicristales que no cumplencon la simetría de traslación que definen las redes de Bravais, estos presentan una simetríapentagonal local.

- Si se aplica una sola transformación de simetría se tiene una operación simple. Si se com-binan varias transformaciones de simetría se tiene una operación compuesta, se puedecombinar operaciones de rotación, reflexión o inversión dando lugar a los ejes de rotaciónimpropios:

• Un eje de rotorreflexión significa que se realizan dos operaciones de simetría, pri-mero una rotación de 360o/n y después una reflexión en un plano perpendicular aese eje.


• Grupos Rotación-inversión n, Sn o iCn. Es una operación compuesta, es una rotaciónseguida de una operación de inversión, también son grupos cíclicos; consiste en dosoperaciones de simetría, primero una rotación de 360o/n y después una inversión através de un punto en el eje.

Los diferentes elementos de simetría simples o compuestas se pueden combinar y producenlas 32 clases cristalinas, cada clase corresponde a un sistema único de operaciones de simetría.

Simetrías del cuadrado

Para entender estas transformaciones se analizan algunos elementos de simetrías puntuales deun cuadrado. En la figura (3.3) se observan: el centro de simetría C, un punto de coordenadas(x, y) medido con respecto a C, los vertices del cuadrado numerados el 1 al 4 y los ejes dereflexión en la dirección de los ejes X, Y y XY nombrados como AA∗, BB∗ y 1 − 3 respecti-vamente. Al realizar alguna operación de simetría: rotación, reflexión, identidad e inversión, ouna combinación de ellas las posiciones de los vertices del cuadrado se reubican y el cuadradose transforman en si mismo.

1

2(x,y)

3

4

X

Y

A*A

B*

B

C

(x,y,z)1

2

3

4

5

6

7

8

XC

Y

Z

X*

Z*

Y*

Figura 3.3. Simetrías del cuadrado y cubo

La identidad E y la inversión I son operaciones tal que E es una transformación queno cambia las coordenadas de un punto no cambia operación que no cambia las posiciones delos vertices punto (x, y) → (x, y) e I es una transformación que cambia las coordenadas por suinverso aditivo, el punto (x, y) → (−x,−y), tal que:

Ef(x, y) = f(x, y) If(x, y) = f(−x,−y)

La reflexión σ corresponde a la simetría de espejo respecto a un eje, para AA∗ se tiene lareflexión σAA∗ , para BB∗ es la reflexión σBB∗ tal que:

σAA∗f(x, y) = f(−x, y) σBB∗f(x, y) = f(x,−y)

Estado Sólido 3.1. *Elementos y operaciones puntuales 51

los puntos de 1 a 4 del cuadrado de la figura (3.3) cambian sus posiciones dependiendo de latransformación que se haga al cuadrado:

E =

[

1 2 3 4

1 2 3 4

]

I =

[

1 2 3 4

3 4 1 2

]

σBB∗ =

[

1 2 3 4

2 1 4 3

]

σAA∗ =

[

1 2 3 4

4 3 2 1

]

Una reflexión alrededor de un eje tal que x = y:

σ1−3f(x, y) = f(y, x) σ1−3 =

[

1 2 3 4

3 4 1 2

]

Una Rotación alrededor de un eje perpendicular al plano X − Y corresponde a rotacionesde:

π

2, π ,

3π

2, 2π

Las operaciones compuestas:

de inversión-reflexión (x, y) → (−y,−x)

inversión-rotación (x, y) → (−y, x).

Simetrías del cubo

Un cubo tiene un total de 48 elementos de simetría que transforman al cubo en si mismo alaplicar las rotaciones o reflexiones. La figura (3.4) muestra los ejes de rotación y planos dereflexión que pasa por el centro de simetría C (centro del cubo) y dejan invariante el cubo.

- 24 elementos de simetría corresponden a la identidad y las rotaciones:

E, 3C2, 6C4, 6C ′2, 8C3

Ejes de rotación alrededor de los ejes x, y o z, de las diagonales del cubo y de las diago-nales de la caras del cubo.

- Los otros 24 elementos de simetría se generan aplicando a cada uno de esos elementos eloperador de inversión y se obtienen:

I, 3IC2, 6IC4, 6IC ′2, 8IC3

Los elementos del grupo de simetrías del cubo se hallan observando como cambian lasposiciones de los vertices del cubo numerados de 1 a 8 o un punto de coordenadas (x, y, z)


Figura 3.4. Ejes de rotación y planos de reflexión del cubo.

(medida con respecto C) transformando el cubo en si mismo. La identidad E no cambia lascoordenadas (x, y, z).

Ef(x, y, z) = f(x, y, z) E =

[

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

]

La inversión I cambia las coordenadas (x, y, z) por su inverso aditivo (−x,−y,−z).

If(x, y, z) = f(−x,−y,−z) I =

[

1 2 3 4 5 6 7 8

7 8 5 6 3 4 1 2

]

Un elemento del grupo de rotación de π del eje ZCZ∗ se representa como:

C2(+π) =

[

1 2 3 4 5 6 7 8

3 4 1 2 7 8 5 6

]

que es igual al de una rotación de −π, por lo tanto hay solo 3 ejes binarios que se nombrancomo 3C2 alrededor de los ejes x, y o z. Esta equivalencia no sucede para los elementos desimetría de rotaciones π/2 y −π/2 que alrededor del eje ZCZ∗ se representan como:

C4(+π

2) =

[

1 2 3 4 5 6 7 8

4 1 2 3 8 5 6 7

]

Estado Sólido 3.2. *Simetrías de las redes en dos dimensiones 53

C4(+π

2) =

[

1 2 3 4 5 6 7 8

2 3 4 1 6 7 8 5

]

Equivalente a reflexiones u operaciones simultaneas de rotaciones y reflexiones:

- IC2 corresponde a reflexiones en los planos perpendiculares a los ejes x, y o z, IC ′2

reflexiones en los planos paralelos a las caras diagonales.

- En cambio IC4 e IC3 producen simultáneamente rotaciones y reflexiones.

IC4 es una rotación de π/2 alrededor de los ejes x, y o z y reflexiones en los planosperpendiculares a estos ejes

IC3 son rotaciones de ±2π/3 alrededor de los ejes diagonales del cubo y reflexiones enlos planos perpendiculares a estos ejes.

IC4(+π

2) =

[

1 2 3 4 5 6 7 8

6 7 8 5 2 3 4 1

]

Que es equivalente a una rotación de −π2 alrededor del eje ZCZ∗ y una reflexión en el plano

perpendicular a este eje.

3.2. *Simetrías de las redes en dos dimensiones

Las simetrías de las redes en dos dimensiones se muestran en la figura (3.5) y corresponden a:

1. La red oblicua, a 6= b, γ 6= 90o, 120o, tiene la mínima simetría generada por vectores funda-mentales primitivos en dos dimensiones, cuatro ejes de rotación de orden 2 (rotación de180o), dos de estos ejes son independientes de la celdilla primitiva elegida.

2. La red rectangular, a 6= b, γ = 90o, tiene los mismos ejes de rotación de la red oblicua mas4 líneas de reflexión.

La red rectangular centrada es la rectangular con puntos adicionales en el centro de la cel-dilla unitaria forma un rectángulo, la celdilla primitiva es un rombo de lado a = b, γ 6=90o, 120o, se conoce como red rómbica, tiene dos líneas de reflexión. La red rectangularcentrada tiene la misma simetría de la red rectangular.

3. La red hexagonal, a = b, γ = 120o, tiene un eje de rotación de orden seis (rotación de 60o),se adicionan dos ejes de rotación de orden tres o rotación de 120o.

4. La red cuadrada, a = b, γ = 90o, presenta un eje de rotación de orden 4 (rotación de 90o)que pasa por el centro del cuadrado y es la celdilla primitiva.


HexagonalOblicua Cuadrado

RectangularRectangular

CentradaLinea de reflexión

Ejes de rotación de orden:

3 6

2 4

Figura 3.5. Simetrías de las redes en dos dimensiones

3.3. *Grupos puntuales en tres dimensiones

La clase de un grupo se determina del conjunto de elementos conjugados de un grupo. Si Ai esel conjugado de Aj y Aj es el conjugado de Ak si para todo elemento Am y An del grupo:

Ai = AmAjA−1m Aj = AnAkA

−1n

además, Ai es el conjugado de Ak, debido a que

Ai = (AmAn)Ak(AmAn)−1

y AmAn es un elemento del grupo. El conjunto de elementos conjugados forman un grupo.El elemento identidad forma una clase.

De la definición de la clase de un grupo se obtienen los 32 grupos cristalográficos tal que:hay 14 redes cristalina y recíproca no equivalentes en tres dimensiones en siete sistemas crista-lográficos: triclínica (T), monoclínica (M), ortorrómbica (O), tetragonal (Te), hexagonal (H), trig-onal (Tr) y cúbica (C).

Cada sistema cristalográfico tiene una celdilla primitiva y tiene una mínima simetría carac-terística que prevalece cuando se le adicionan mas puntos a la celdilla primitiva. Hay dos con-venciones que se usan para describir los elementos de los 32 grupos puntuales: la de Hermann-Mauguin o Internacional y la de Schönflies y depende de como se nombran los grupos a partirde operaciones compuestas. Schönflies (S) usa combinación de rotación-reflexión y la interna-cional (I) de rotación e inversión:

1. Hermann-Mauguin o notación internacional (I) que describe los grupos espaciales de unared cristalina, se usa en cristalografía. En esta notación:

n = 1, 2, 3, 4, 6 denota un eje de rotación propia de orden n.

Estado Sólido 3.3. *Grupos puntuales en tres dimensiones 55

m es un plano de reflexión.

nm

es un plano perpendicular a un eje n.

nm indica n planos verticales que contienen al eje

n es un eje de rotación-inversión de orden n.

2. Schönflies que se utiliza en espectroscopía y describe la simetría de una molécula. En estanotación:

Cn denota una rotación propia de orden n.

Sn denota una operación compuesta por rotación e inversión.

Cnh denota una operación compuesta por rotación y planos de reflexión horizontal.

Cnv denota una operación compuesta por rotación y planos de reflexión.

Dn compuesta por rotación y una rotación de π alrededor del eje de rotación.

Dnh denota una operación formada por los elementos del grupo Dn y un plano hor-izontal.

Dnd formado por los elementos del grupo Dn y planos de reflexión verticales.

Los cinco grupos cúbicos Oh, O u octaedral, Td, T y Th.

Grupos con un sólo elemento de simetría

No. S I Elementos de simetría Estructura

1 C1 1 Rotación de 360o, eje monario Tetragonal

2 C2 2 Rotación de 180o, eje binario Monoclínica

3 C3 3 Rotación de 120o, eje ternario Trigonal

4 C4 4 Rotación de 90o, eje cuaternario Tetragonal

5 C6 6 Rotación de 60o, eje ternario Hexagonal

6 S2 1 Eje monario e inversión Tetragonal

o centro de inversión

7 C1h 2 = m Eje binario e inversión Monoclínica

o plano de simetría

8 S6 3 Eje ternario e inversión Trigonal

9 S4 4 Eje cuaternario e inversión Tetragonal

10 C3h 6 = 3

mEje senario e inversión Hexagonal

o eje ternario y plano de reflexión ⊥


Grupos con varios ejes de rotación


11 D2 222 3 ejes binarios en planos Ortorrómbica

perpendiculares entre sí

12 D3 32 1 eje ternario y 3 binarios Tetragonal

en planos ⊥13 D4 422 1 eje cuaternario y 2 binarios Tetragonal

en planos perpendiculares

14 D6 622 1 eje senarios y 3 binarios Hexagonal

a 120o, plano ⊥ al senario

15 T 23 4 ejes ternarios y 3 binarios Cúbica

16 O 432 3 ejes cuaternarios y 4 ternarios Cúbica

y 6 binarios

Grupos con un eje de orden par y plano de reflexión


17 C2h2

mRotación de orden 2 y plano de simetría ⊥ Monoclínica

18 C4h4

meje orden 4 y plano de simetría ⊥ Tetragonal

19 C6h6

meje orden 6 y plano de simetría ⊥ Hexagonal

Grupos con un eje y un plano de simetría que contiene el eje


20 C2v 2mm Eje binario y dos planos* Ortorrómbica

21 C3v 3m Eje ternario y tres planos* Trigonal

22 C4v 4mm Eje cuaternario y cuatro planos* Tetragonal

23 C6v 6mm eje orden 6 y seis planos* Hexagonal

* planos de simetría que se cortan en el eje de rotación.

Estado Sólido 3.3. *Grupos puntuales en tres dimensiones 57

Grupos con varios ejes de rotación, de inversión y planos de simetría


24 D2d 42m eje cuartenario de inversión, 2 Tetragonal

binarios y 2 planos de simetría

25 Td 43m 3 ejes cuaternarios de inversión y 4 Cúbica

ternarios y 6 planos de simetría

26 D3h 62m Eje senario de inversión, Hexagonal

3 ejes binarios y 3 planos de simetría

Grupos con tres ejes de rotación y centro de simetría


27 D2h mmm 3 ejes binarios y 3 planos ⊥ Ortorrómbica2

m

2

m

2

m

28 D3d 3m 1 eje ternario, 3 binarios, 3 planos ⊥ Trigonal

y un centro de simetría

29 D4h 4/mmm 1 eje cuaternario, un plano ⊥, 4 binarios, Tetragonal4

m

2

m

2

m4 planos ⊥y centro de simetría

30 D6h 6/mmm 1 eje senario, 1 plano ⊥, 6 ejes binarios Hexagonal6

m

2

m

2

m6 planos ⊥ y centro de simetría

31 Th m3 4 ejes ternarios, 3 binarios, Cúbica2

m3 3 planos ⊥y centro de simetría

32 Oh m3m 3 ejes cuaternarios, 3 planos ⊥ Cúbica4

m3 2

m4 ejes ternarios, 6 binarios

6 planos ⊥ y centro de simetría

Los 32 grupos puntuales en la notación de Hermann-Mauguin o internacional (I) y de Schoen-flies compatibles la definición de una red de Bravais distribuidos en los siete sistemas cristali-nos son:

Notación Internacional

Sistema Cristalográfico Grupo

Triclínico 1, 1

Monoclínico 2, m, 2/m

Ortorrómbico mm2, 222, mmm

Tetragonal 4, 4, 4/m, 4mm, 42m, 422, 4/mmm

Hexagonal 6, 6, 6/m, , 6m2, 622, 6/mmm

Romboédrica 3, 3, 3m, 3m, 32

Cúbica 23, m3, 43m, 432, m3m


Notación Schoenflies

Sistema Cristalográfico Grupo

Triclínico C1, S2

Monoclínico C2, C1h, C2h

Ortorrómbico C2v, D2, D2h

Tetragonal C4, S4, C4h, C4v, D2d, D4, D4h

Hexagonal C6, C3h, C6h, C6v, D3h, D6, D6h

Romboédrica C3, S6, C3v, D3d, D3

Cúbica T, Th, Td, O, Oh

Grupos espaciales

Si se tienen en cuenta los 32 grupos puntuales y las 14 redes cristalina se encuentran 230grupos espaciales con la simetría de traslación. Estos 230 grupos espaciales están en las tablasinternacionales de Rayos X, que es una de las maneras de determinar la estructura cristali-na. Los grupos espaciales en tres dimensiones y dependen de las diferentes formas en que sepueden distribuir los átomos en las catorce redes que pertenecen a los siete sistemas cristalo-gráficos que se generan, el cristal consiste de una red mas una base de átomos.

Grupo de espacio de un cristal es una descripción de la simetría del cristal. Los grupos deespacio en tres dimensiones están hechos de combinaciones de los grupos de punto cristalino32 con las reticulados Bravais 14 que pertenecen a uno de los sistemas de red cristalina 7. Elresultado es un grupo de espacio que alguna combinación de la simetría traslación de una celdade la unidad incluyendo de la red cristalina centrar y las operaciones de simetría del Grupo depunto de reflexión, rotación y rotación inadecuado (también llamado rotoinversion). Ademásuno debe considerar el eje de tornillo y deslizan las operaciones de simetría de plano. Estos sedenominan las operaciones de simetría compuestos y son combinaciones de una rotación o lareflexión con una traducción menos que el tamaño de celda de la unidad. La combinación detodas estas operaciones de simetría da como resultado un total de 230 grupos espacio únicodescribiendo todos simetrías de cristal posible.

Estado Sólido Bibliografía de los cristales 59

Bibliografía de los cristales

[1] KITTEL C. : Introduction to Solid State Physics. Editorial John Wiley, New YorK. Octavaedición, 2005.

[2] N. W. ASHCROFT, N. D. MERMIN: Solid State Physics. W.B. Saunders Company (text usedin graduate-level course), 1976.

[3] ROGALSKI M. C. Y S. B. PALMER: Solid State Physics, Gordon and Breach Science Publis-ers, 2000.

[4] IBACH H. AND LUTH H.: Solid State Physics, an introduction to theory and experimental,Editorial Springer Verlag, Berlin,1991.

[5] J. M. ZIMAN: Principles of the Theory of Solids, Editorial Cambridge University Press, 1974.

[6] BROWN F. C. : Física de los Sólidos. Editorial Reverté, Barcelona, 1974.

[7] BURN G. : Solid State Physics. Academia Press, inc, 1990.

[8] SACH M. : Solid State Theory. Mac Graw- Hill Book Company, 1963.

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