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NOTAS DE

ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

Temas:

Introducción a la Estadística

Frecuencias y distribuciones

Docente: Oscar F. Giovannini

(Estas notas están ajustadas al desarrollo del temario de la materia del año 2.016)

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INDICE

Visión de la materia Estadística y Probabilidad ................................................................. 3

ESTADISTICA ................................................................................................................... 4

Conceptos básicos de Estadística .................................................................................... 4

Definición de Estadística ............................................................................................ 4

Grandes divisiones de la Estadística ........................................................................... 4

Datos estadísticos ........................................................................................................ 5

Categorías de los datos estadísticos ............................................................................ 5

Población – Universo - Muestra ................................................................................. 6

Calidad de los resultados de poblaciones y muestras ................................................. 8

Clasificación, tabulación y descripción de los resultados ............................................... 8

Frecuencias y distribuciones ..................................................................................... 10

Frecuencia absoluta (ni) ............................................................................................ 12

Frecuencia relativa (hi) .............................................................................................. 12

Ejemplo de aplicación de frecuencias absolutas y relativas ..................................... 12

Concepto de frecuencias acumuladas (Ni, Hi) .......................................................... 13

Gráficos de distribución de frecuencias ........................................................................ 15

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Visión de la materia Estadística y Probabilidad

Esta materia contiene conceptos básicos de estadística, probabilidad e índices.

Al abordar la estadística veremos métodos que nos permitirán analizar y

relacionar datos a fin de interpretar hechos de la realidad, en múltiples campos: social,

económico, político, biológico, psicológico, físico, etc.

La probabilidad servirá para ubicarnos en el campo de la aproximación de

resultados, ya que a partir del análisis de una fracción de la realidad intentaremos

proyectar esos resultados al todo.

Mediante el estudio de índices podremos ver la evolución de variables en el

tiempo (principalmente las económicas).

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ESTADISTICA

Conceptos básicos de Estadística

La denominación Estadística proviene de la palabra estado por cuanto desde la

antigüedad los soberanos, gobernantes y políticos se interesaron en tener información

sobre el número de habitantes, edades, sexos, oficios, bienes, etc. que contaban en sus

dominios.

Los datos estadísticos obtenidos de muestras, observaciones, experimentos o de

cualquier conjunto de mediciones suelen ser tan numerosos que no tienen ninguna

utilidad salvo que sean condensados o resumidos a expresiones simples y organizadas. La

Estadística se ocupa de ordenarlos, organizarlos, clasificarlos, sistematizarlos a fin que se

pueda obtener una visión resumida de los hechos en estudio.

Por eso en Estadística veremos un conjunto de teorías y métodos que han sido

desarrollados para tratar acerca de la recolección, el análisis y la descripción de datos que

nos permitan extraer conclusiones útiles.

Definición de Estadística

Estadística es la rama de la matemática que se ocupa de reunir, organizar y

analizar datos numéricos con la finalidad de proporcionar información útil para tomar

decisiones. La Estadística tiene aplicación en todas las disciplinas científicas: biológicas,

sociales, políticas, físicas, ingeniería, etc.

Grandes divisiones de la Estadística

La Estadística se divide en dos grandes ramas:

Estadística descriptiva – Describe solamente las características principales de los

datos reunidos. Estudia los datos coleccionados sin hacer generalizaciones. Muestra los

hechos tal cuales son.

Inferencia estadística – Es el proceso de utilizar los datos resumidos de las

muestras y observaciones para obtener conclusiones extendidas a toda la población de la

cual se extrajeron dichos datos. (Nota: la inferencia estadística también es denominada

estadística inferencial). Utiliza como importante herramienta el cálculo de probabilidades.

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Datos estadísticos

No cualquier información numérica puede ser considerada un dato estadístico.

Para cumplir con este requisito debe ser un conjunto (o conjuntos) que presente

relaciones significativas. .Los datos estadísticos deben ser números que puedan ser

comparados, analizados e interpretados. Por lo tanto, un dato estadístico es cada uno de

los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico.

Ejemplo: El peso de una sola persona no serviría; no permite comparación. En

cambio, el peso de 100 personas de un cierto grupo puede ser, porque permite

comparación.

Categorías de los datos estadísticos

Los datos estadísticos pueden ser agrupados en dos categorías:

a) Cuantitativos o también variables cuantitativas (simplificadamente: variables).

Son aquellos datos que arrojan respuestas numéricas; pueden ser obtenidos ya sea

mediante conteo de unidades o por medición de una magnitud. Ejemplos; pesos,

longitudes, volúmenes, unidades. A su vez una variable cuantitativa puede ser discreta o

continua.

Discreta – son respuestas numéricas que surgen de un proceso de conteo unidad

por unidad. Ejemplo: el número bultos contenidos en un despacho. Continua – son

respuestas numéricas que surgen de un proceso de medición. La variable puede asumir

cualquier valor numérico. Ejemplos de variables continuas son; temperatura, humedad,

peso, tiempo; etc.

b) Cualitativos, también llamados variables cualitativas o atributos. Son aquellos

que arrojan respuestas categóricas y se describen por palabras. Ejemplos: nacionalidad,

estado civil, sexo, cumplir con una especificación, nivel de agrado de un alimento, etc. A

menudo cada respuesta se la puede asociar a un valor numérico: posee el atributo, 1; no lo

posee, 0.

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Población – Universo - Muestra

La fuente de la cual se obtienen los datos estadísticos se denomina población o

universo. (Nótese que se arrastra el término población haciendo referencia al concepto de

habitantes de un estado). Si vamos a intentar obtener información estadística de los

alumnos de nuestro profesorado, entonces la población o universo del problema serán

todos los alumnos de dicho profesorado.

Una muestra es la parte de la población que se ha seleccionado para el análisis. Es

una colección de información parcial (o incompleta) de esa población. Por lo general se

trabaja con muestras debido a que suele ser menos costosa y más expeditiva la

recolección de datos de solo una parte del total. Generalmente, no justifica

económicamente el trabajar con poblaciones. Hay ocasiones en que es materialmente

imposible recolectar datos de toda una población y por lo tanto solo queda la posibilidad

de hacer el análisis con porciones o muestras. Toda vez que se trabaja con muestras, los

resultados del examen de éstas se extienden (o proyectan) a toda la población mediante

procesos de inferencia estadística.

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Es necesario tener presente que en la operación de la toma de muestras se deben

seguir fielmente procedimientos adecuados que garanticen la representatividad de las

muestras respecto a la población o universo. En otras palabras, las muestras

representativas son aquellas de las cuales se espera que guarden similitud con la

población de la cual han sido extraídas. Más adelante en otros capítulos de nuestro

estudio veremos las técnicas de muestreo para obtener muestras representativas

El ejemplo que sigue nos pone en evidencia que los valores obtenidos de una

población pueden diferir de los que se obtienen de una muestra. Sea una población de 120

alumnos que han rendido un examen, cuyos resultados se encuentran resumidos en esta

tabla.

6 4 7 6 5 9 7 8 6 8 6 8

8 6 7 8 8 6 5 9 10 4 6 9

4 8 5 5 9 8 8 4 5 6 8 4

6 7 4 8 4 5 8 6 7 8 4 6

8 9 6 9 5 8 4 7 9 8 8 4

7 6 8 4 6 9 6 8 4 5 9 4

9 8 7 6 7 4 7 4 6 8 4 5

5 5 9 7 4 5 8 6 7 9 6 5

10 9 4 8 4 5 4 8 8 4 7 5

10 6 6 7 8 8 4 7 5 6 8 4

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El promedio de las notas de la población es 6,500. Ahora bien, si quisiéramos tener una

idea de conjunto examinando una muestra aleatoria de nada más que 12 elementos

(hemos elegido al azar los números 5, 6, 8, 7, 4, 10, 9, 10, 4, 6, 5 y 8), habríamos

obtenido un promedio igual a 6,833. Si hubiéramos tomado otra muestra, probablemente

habríamos obtenido un resultado diferente. Al trabajar con muestras tendremos una

aproximación a la realidad; puesto que es evidente que siempre estará presente algún

margen de error. No obstante esto, la economía de esfuerzos que significa trabajar sobre

una muestra para obtener conclusiones acerca de una población compensa el margen de

error, el cual por otra parte podrá acotarse a un nivel previamente establecido.

Calidad de los resultados de poblaciones y muestras

Las conclusiones que se obtienen de una población son exactas; en cambio las que

se obtienen de una muestra para generalizar a una población son aproximadas. En

Estadística y Probabilidad existen procedimientos que permiten valorar y acotar el grado

de aproximación ajustándolo a cualquier necesidad operativa. Es obvio que cuanto mayor

sea la muestra en proporción a la población, más ajustado será el resultado que se

obtenga. Los estadísticos calculan ese nivel de aproximación y por eso es que cuando se

dan a conocer encuestas políticas, dicen que el candidato A tiene una preferencia del 42%

con un error estadístico (o sea el nivel de aproximación) de ± 3%.

Clasificación, tabulación y descripción de los resultados

La clasificación, tabulación y descripción de los resultados es la parte central de la

estadística descriptiva. Se refiere a la organización y descripción de los datos recopilados

a los fines de facilitar su interpretación y análisis.

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Cuando los datos son pocos, bastará presentar la información mediante una

exposición escrita (presentación literal).Siendo numerosos los datos, se los deberá

presentar, ordenar y resumir sistemáticamente, utilizándose al efecto tablas, gráficos y

diagramas.

El ordenamiento, clasificación y resumen de la información es lo que nos permite

extraer conclusiones útiles. Frente a un conjunto numeroso de datos, y para evitar que tal

numerosidad impida la visión de conjunto es que se han ideado medidas de resumen

descriptivas, es decir valores resumidos representativos del total de datos. Ejemplos de

tales medidas representativas son los promedios y las desviaciones de un conjunto de

datos. Si se nos permitiera utilizar una analogía casera, podríamos decir que estos valores

representativos son un “concentrado” de información obtenido a partir del conjunto

inicial de datos.

Las medidas o descripciones resumidas de conjunto que se usan son los

estadígrafos (para describir las muestras) y los parámetros (para describir las

poblaciones).

Se tiene entonces:

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En el ejemplo de los 120 alumnos que rindieron examen: el promedio 6,500 es un

parámetro (proviene de una población). El promedio 6,833 es un estadígrafo porque

proviene de una muestra.

Frecuencias y distribuciones

Cuando son numerosos los datos estadísticos es necesario agrupar valores

ordenándolos y clasificándolos para facilitar el análisis. Este ordenamiento puede ser

ascendente o descendente. Cuando en el agrupamiento se especifica el número de veces

que está repetido un valor se está aplicando el concepto de frecuencia absoluta (ni). Dicho

agrupamiento pasa a ser una distribución de frecuencias. También se dice que es una

serie de valores agrupados.

Mediante la utilización de una distribución de frecuencias la información de todo

el conjunto puede ser presentada en forma breve y compacta.

Al construir las distribuciones de frecuencias

los datos se condensan y simplifican. Esto

facilita la interpretación de los datos

La base de cualquier estudio estadístico es la distribución de frecuencias.

Veamos cómo se construye una distribución de frecuencias. Inicialmente los datos

están todos desordenados, como lo comprobamos en la figura siguiente.

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Si ahora simplemente ordenamos los valores en escala ascendente y apilamos los

repetidos obtenemos una distribución de frecuencias.

Ordenados y clasificados los datos de esta manera alcanzamos a ver las

características del conjunto.

Tomamos de nuevo el ejemplo de los 120 alumnos y ordenando obtenemos la

siguiente información:

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Variable

(Nota)

Veces que se repite La frecuencia ni es:

4 23 23

5 16 16

6 22 22

7 15 15

8 28 28

9 13 13

10 3 3

Frecuencia absoluta (ni)

La frecuencia absoluta nos indica la cantidad de veces que se repite el valor de la

variable dentro del total de datos recolectado. Adoptamos la notación ni. Observamos

que la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al número de datos recolectados.

La frecuencia absoluta no brinda por sí sola ninguna idea de magnitud relativa o

de prevalencia de datos dentro del conjunto de observaciones. Para tener valores que nos

expresen magnitudes relativas es necesario desarrollar el concepto de frecuencia relativa.

Frecuencia relativa (hi)

Frecuencia relativa (hi) es el cociente entre la frecuencia absoluta de un dato y el

número total de observaciones n. Su símbolo es hi, luego: hi = ni/n En una serie de datos,

la suma de todas las frecuencias relativas es 1.

El concepto de frecuencia relativa nos informa cuantitativamente que proporción

del total le corresponde a cada valor de la variable. Opcionalmente se las puede expresar

con valores porcentuales, multiplicando cada frecuencia relativa por el valor 100.

Ejemplo de aplicación de frecuencias absolutas y relativas

Sea un grupo de n = 25 alumnos cuyas notas de un parcial fueron:

10 8 8 9 10

5 5 6 6 4

7 7 10 7 5

9 10 8 7 6

6 7 7 4 5

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En primer lugar ordenamos en forma ascendente los valores:

4 4 5 5 5

5 6 6 6 6

7 7 7 7 7

7 8 8 8 9

9 10 10 10 10

Luego podremos construir la tabla de distribución de frecuencias absolutas y

relativas.

Nota ni hi hi en %

4 2 2/25= 0,080 08,00

5 4 4/25= 0,160 16,00

6 4 4/25= 0,160 16,00

7 6 6/25= 0,240 24,00

8 3 3/25= 0,120 12,00

9 2 2/25= 0,080 08,00

10 4 4/25= 0,160 16,00

Del análisis de la tabla así construida podemos extraer algunas conclusiones, tales

como:

El rango de las notas obtenidas es 4 – 10

La nota 6 es la que más veces se repitió, por lo tanto tiene la mayor

frecuencia

La nota 6 fue obtenida por el 24 por ciento de los alumnos.

Concepto de frecuencias acumuladas (Ni, Hi)

En el concepto de frecuencias acumuladas se distinguen:

Frecuencia acumulada absoluta (Ni)

Frecuencia acumulada relativa (Hi)

Una frecuencia acumulada absoluta se define como la suma de la frecuencia

absoluta de ese dato más las frecuencias absolutas de todos los datos inferiores al que se

considera. Ejemplo (ver tabla de frecuencias en esta misma página), la frecuencia

acumulada absoluta para la nota 6 es la suma de las frecuencias absolutas de 6,5 y 4; el

resultado es 10.

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El concepto de frecuencia acumulada absoluta nos permite responder a esta

pregunta: ¿cuántos alumnos han obtenido nota 6 o inferior? La respuesta es la frecuencia

acumulada absoluta de la nota 6, o sea 10 alumnos.

La frecuencia acumulada relativa es un concepto análogo al de la acumulada

absoluta; la lógica de su formación es la misma que para aquella.

Si nos preguntamos qué fracción de alumnos obtuvo nota 6 o inferior, la respuesta

la tenemos leyendo la frecuencia acumulada relativa del dato 6: o sea 0,400.

A tener en cuenta: el concepto de frecuencias acumuladas no puede aplicarse a

variables cualitativas, ya que estas no tienen un orden numérico predeterminado.

Nota ni Ni hi Hi hi en %

4 2 2 2/25= 0,080 0,080 08,00

5 4 6 4/25= 0,160 0,240 16,00

6 4 10 4/25= 0,160 0,400 16,00

7 6 16 6/25= 0,240 0,640 24,00

8 3 19 3/25= 0,120 0.760 12,00

9 2 21 2/25= 0,080 0,084 08,00

10 4 25 4/25= 0,160 1,000 16,00

Frec. Acumulada Absoluta (hi)

Frec. Acumulada Relativa (Hi)

Tabla de distribución de frecuencias; muestra como se reparten o distribuyen las frecuencias según la serie de datos.

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Gráficos de distribución de frecuencias

La representación gráfica tiene la ventaja de transmitir la información contenida

en una tabla de frecuencias de un modo casi instantáneo, expresando mucho con poco.

Confeccionamos una representación gráfica de distribución de frecuencias

llevando sobre el eje horizontal la variable considerada (notas de un examen, estatura de

personas, rinde de un cultivo, tipo de infracciones de tránsito, etc.). De hecho que la

variable a considerar puede ser cuantitativa o cualitativa. Sobre el eje vertical ponemos la

cantidad de veces (frecuencia) que se repite cada dato.

Los gráficos de distribución de frecuencias se podrán confeccionar con barras o

columnas, con líneas quebradas, con sectores o tortas; dependiendo del tipo de

información que se quiera transmitir. A continuación veremos algunos de estos gráficos;

más adelante en nuestro curso desarrollaremos un capitulo completo del tema gráficos

estadísticos.

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Estos gráficos son versiones de una misma tabla de frecuencias. La elección del

tipo de gráfico responderá al criterio del analista, que buscará que la información sea bien

entendida e impactante. Los gráficos siempre se acompañan de títulos breves y

representativos de los hechos

Los gráficos de frecuencia se pueden construir con todo tipo de variables:

cuantitativas discretas, cuantitativas continuas y cualitativas. El ejemplo de los candidatos

corresponde a variables cualitativas, .con las cuales solo se pueden determinar

frecuencias absolutas y relativas (ni, hi).