Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica

INTSIPP

Docente.

ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ.

ESTADISTICA

La "estadística es el estudio de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir y analizar datos y para hacer inferencias científicas partiendo de tales datos".

IMPORTANCIA

La estadística es muy importante en casi cualquier área profesional, esto incluye las áreas de Informática, matemáticas y economía. Esta te permite:1) Determinar los futuros problemas antes que ocurran, al establecer límites tolerables en los procesos productivos.2) Determinar si un lote de producción cumples los requisitos mínimos de calidad con solo tomar una muestra significativa.3) Conocer el estado actual de la producción al hacer cambios comparándolo con los procesos sin cambios.4) Evaluar probables nuevos procedimientos, y su impacto en la produccióny muchas otras cosas más dependiendo de tu imaginación y en lo que lo vas a aplicar.

CLASIFICACIÓN

Se agrupa en 2 grandes áreas: estadística descriptiva y estadística inferencial, que desempeñan funciones distintivas, pero complementarias en el análisis.Es importante que todo profesional que utilice la estadística como herramienta auxiliar de trabajo, posea un mínimo de conocimientos y habilidades prácticas en aquellas técnicas que le facilitarán el buen desarrollo de esta actividad.

Estadística Descriptiva.

La estadística descriptiva comprende las técnicas que se emplean para resumir y describir datos numéricos. Son sencillas desde el punto de vista matemático y su análisis se limita a los datos coleccionados sin inferir en un grupo mayor. El estudio de los datos se realiza con representaciones gráficas, tablas, medidas de posición y dispersión.

Estadística Inferencial.

El problema crucial de la estadística inferencial es llegar a proposición es acerca de la población a partir de la observación efectuada en muestras bajo condiciones de incertidumbre. Ésta comprende las técnicas que aplicadas en una muestra sometida a observación, permiten la toman de decisiones sobre una población o proceso

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estadístico. En otras palabras, es el proceso de hacer predicciones acerca de un todo basado en la información de una muestra. La inferencia se preocupa de la precisión de los estadígrafos descriptivos ya que estos se vinculan inductivamente con el valor poblacional.

USOS MÁS FRECUENTES

Conocer el porcentaje   de la población que necesita agua. Conocer el porcentaje de población que tiene diabetes Conocer el porcentaje de personas que utilizan tomate para preparar sus

comidas Conocer el porcentaje de personas mexicanas que consumen tortilla. Conocer el porcentaje de protección social que se asigna en   áfrica. Conocer e interpretar el porcentaje de personas que tienen microempresas en

el Ecuador. Conocer el porcentaje de niños desnutridos en el país. Conocer el porcentaje de estudiantes que tienen conocimiento de ingles

VARIABLES

Una variable es una característica que al ser medida en diferentes individuos es susceptible de adoptar diferentes individuos es susceptible de adoptar diferentes valores.

TIPOS DE VARIABLES

Variables cualitativas

Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son politómicas cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir:

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa: La variable puede tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, grave.

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Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden como por ejemplo los colores.

Variables cuantitativas

Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables cuantitativas además pueden ser:

Variable discreta : Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5).

Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo la masa (2,3 kg, 2,4 kg, 2,5 kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), o el salario. Solamente se está limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría permiten que siempre exista un valor entre dos variables.

MUESTRA

La mayoría de los estudios estadísticos, se realizan no sobre la población, sino sobre un subconjunto o una parte de ella, llamado muestra, partiendo del supuesto de que este subconjunto presenta el mismo comportamiento y características que la población. En general el tamaño de la muestra es mucho menor al tamaño de la población. Los valores o índices que se concluyen de una muestra se llaman estadígrafos y estos mediante métodos inferenciales o probabilísticos, se aproximan a los parámetros poblacionales.

POBLACION

Es el conjunto de todos los elementos que presentan una característica común determinada, observable y medible. Por ejemplo, si el elemento es una persona, se puede estudiar las características edad, peso, nacionalidad, sexo, etc. Los elementos que integran una población pueden corresponder a personas, objetos o grupos (por ejemplo, familias, fábricas, empresas, etc). Las características de la población se resumen en valores llamados parámetros

NIVELES DE MEDICIÓN

Nivel Nominal: Es el nivel más bajo de medición en cuanto a suministro de ecuaciones, las observaciones solo se pueden contar o clasificar (no hay un

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orden lógico de las categorías). Las categorías son mutuamente excluyentes y exhaustivas.

Nivel Ordinal: Las observaciones mantienen un orden, las categorías de datos están ordenadas de acuerdo a las características.

Nivel de Intervalo: Tiene todas las características del nivel ordinal, pero además la diferencial entre dos valores tienen un tamaño constante, el cero es solo un número en escala, es decir, no representa la ausencia de la condición.

Nivel de Proporción o Razón: Es el nivel más alto, tiene todas las características del nivel de intervalo, pero además el cero tiene significado y la relación entre dos números tiene sentido.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada datosu frecuencia correspondiente.

Tipos de frecuencia

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

Se representa por fi.

f 1+ f 2+ f 3+………f n=N

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

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Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Frecuencia acumulada

La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

Se representa por Fi.

Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS

El diagrama "tallo y hojas" permite obtener simultáneamente una distribución de frecuencias de la variable y su representación gráfica. Para construirlo basta separar en cada dato el último dígito de la derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras restantes (que formará el tallo).

TALLO HOJA

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1 3,6,7,4,4,3,9,1,8,6,8,3,9,4,70 8,92 5,2,6,5,4,7,1,83 1,0,2,0

TALLO HOJA0 8,91 1,3,3,3,4,4,4,6,6,6,7,7,8,8,9,02 1,2,4,5,5,6,7,83 0,0,1,2

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

Es un gráfico de líneas que se usa para presentar las frecuencias absolutas de los valores de una distribución en el cual la altura del punto asociado a un valor de las variables es proporcional a la frecuencia de dicho valor.

POLÍGONO DE FRECUENCIASACUMULADA U OJIVA.

Es un gráfico acumulativo, el cual es muy útil cuando se quiere representar el rango porcentual de cada valor en una distribución de frecuencias.

En los gráficos las barras se encuentran juntas y en la tabla los números poseen en el primer miembro un corchete y en el segundo un paréntesis

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HISTOGRAMA

es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.

Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores.

Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.

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Diagrama de barras

Un diagrama de barras, también conocido como diagrama de columnas, es una forma de representar gráficamente un conjunto de datos o valores y está conformado por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores representados. Los gráficos de barras son usados para comparar dos o más valores. Las barras pueden orientarse vertical u horizontalmente.

Gráfico circular

Los gráficos circulares, también llamados gráficos de pastel o gráficas de 360 grados, son recursos estadísticosque se utilizan para representar porcentajes y proporciones. El número de elementos comparados dentro de un gráfico circular puede ser de más de 5, y los segmentos se ordenan de mayor a menor, iniciando con el más amplio a partir de las 12, como en un reloj.

Una manera fácil de identificar los segmentos es sombreando de claro a oscuro, donde el de mayor tamaño es el más claro y el de menor tamaño, el más oscuro.

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MEDIA ARITMÉTICA

Es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos X es el símbolo de la media aritmética.

Mientras que la media aritmética a menudo se utiliza para informar de tendencias centrales , no es una estadística robusta , lo que significa que está muy influido por los valores atípicos . Cabe destacar que para distribuciones asimétricas , la media aritmética no puede concordar con la propia noción de "medio", y las estadísticas robustas, tales como la mediana puede ser una mejor descripción de la tendencia central.

Ejemplo:

Los pesos de 6 niños son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg

Hallar el peso medio.

x=84+91+72+68+87+786

= 80 kg.

MEDIANA

La mediana, representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

En teoría de la probabilidad y estadísticas , una mediana de un conjunto de valores ( borrador , población , distribución de probabilidad ) es un valor tal que el número m de los valores del conjunto mayor que o igual que m es el número de valores m o menos. Intuitivamente, podemos decir que la mediana es el punto medio de la serie , se divide en dos mitades. Esta es una característica posiciónde la serie.

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Ejemplo:

Encontrar la mediana para los siguientes datos

3 – 4 – 1 – 2 – 3 – 4 – 3 – 3 – 1 – 5 - 5

Ordenar los datos1 – 1 – 2 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4 – 4 – 5 - 5

Localizar el valor que divide en 2 partes iguales el número de datos.1 – 1 – 2 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4 – 4 – 5 - 5

La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado.

MODA

La moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos. Hablaremos de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

Ejemplo:

0 – 2 – 5 – 7 – 15 – 0 – 2 – 5 – 7 - 154 – 6 – 8 – 15 – 1 – 4 – 6 – 12 – 19 - 3

Calcular la moda:Moda: 15 por ser el número más frecuente de errores.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA ARITMETICA PARA DATOS NO AGRUPADOSMedida de tendencia central usualmente llamada promedio, se define como la división de la suma de todos los valores entre el número de datos. Su fórmula es:

Propiedades

Las principales propiedades de la media aritmética son:3

Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos. Su valor es único para una serie de datos dada.

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Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado

acompañarla de una medida de dispersión.La media aritmética( muestral)Esencialmente, la media muestra es el mismo parámetro que el anterior, aunque el adjetivo "muestral" se aplica a aquellas situaciones en las que la media aritmética se calcula para un subconjunto de la población objeto de estudio.

X= simboliza la media aritmética calculada para una muestra.

n= es el número de valores que toma la variable, en estudio, en la muestra.

∑= Sumatoria

Xi= es cada uno de los valores que toma la variable en la muestra o en la población.Z

NIÑO NOTA1 6.02 5.43 3.14 7.05 6.1

·Primero, se suman las notas: 6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6

Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos: 27,6/5=5,52

MEDIA POBLACIONAL

∑ Media Poblacional=μ=∑ X

N

= sumatoriaµ = mediaN = número de elementosX = valores o datos

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

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A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada. Si   es un conjunto de datos o media muestral y   son números reales positivos, llamados "pesos" o factores de ponderación, se define la media ponderada relativa a esos pesos como:

Es un caso especial de la media aritmética. Se presenta cuando hay varias observaciones del mismo valor que pueden

ocurrir si los datos se han agrupado en una distribución de frecuencias. Consiste en multiplicar cada observación por el número de veces que aparece

MEDIA GEOMETRICA (datos no agrupados)

La media geométrica siempre va a ser menor o igual que la media aritmética, jamás la media geométrica es mayor que la media aritmética.

No se consideran valores negativos. Sirve para encontrar el promedio de porcentajes, la razón,índices,o tasas de

crecimiento.

Ejemplo:

Las ganancias obtenidas por una constructora en 4 proyectos recientes fueron : 3% ; 4%; 2%; 6%. ¿Cuál es la media geométrica de la ganacia?

MG=∜ 3.4 .2.6

MG =4√144 MG= 3.46%

AUMENTO PORCENTUAL PROMEDIO EN UN PERIODO DETERMINADO

Esta fórmula sirve para ver el aumento porcentual en un determinado período.

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MG = n√ VALOR AL FINAL DEL PERIODO

VALOR AL INICIO DEL PERIODO−1

Suponga que una población de Alaska en 1990, era de 2 personas y en el 2010 de 56 personas. ¿cuál fue la tasa de interés de incremento porcentual anual promedio para el periodo.

MG=20√ 562

- 1

MG=20√28 - 1

MG = 1,18-1=0,18×100= 18%

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS

MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS Al calcular la media para datos agrupados, se supone que las observaciones en cada clase son iguales al punto medio de la clase.

MEDIANA

La extensión para el cálculo de la mediana en el caso de datos agrupados es realiza a

continuación:

 L= límite inferior de la clase donde está ubicada la mediana. n=numero de términos.FA= frecuencia absoluta acumulada ( del intervalo anterior a la clase donde está la mediana)f= frecuencia absoluta del intervalo donde se ubica la mediana.i= amplitud del intervalo.

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Una muestra de la producción diaria de transmisores del receptor de comunicación marca Scott electronics se organizó en la distribución que sigue. Calcule la mediana de la producción diaria.

Produccióndiaria

f Xm f.x f.A

80-90 2 85 425 590-100 9 95 855 14

100-110 20 105 2100 34110-120 8 115 920 42120-130 6 125 750 48130-140 2 135 270 50

50 660 5320

Me= 100+502

−14.10

20

Me= 100+25-14 . 1020

Me= 100+11 . 1020

Me= 100+5,5= 105,5

LA MODA es la observación que ocurre con mayor frecuencia, por lo que es necesario identificar la clase modal, esta se localiza encontrando la clase que tenga más frecuencia.

Medidas de dispersión

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Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la mediana media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la mediana media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (Varianza).1

AMPLITUD DE LA VARIANZA

El rango es la diferencia  entre el mayor  y el menor de los datos de una distribución estadística.

AV= VM-Vm

DESVIACIÓN MEDIA POBLACIONAL

La desviación respecto a la media  es la diferencia  entre cada valor  de la variable estadística y la media aritmética.La desviación media  es la media aritmética  de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

VARIANZA POBLACIONAL

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones

respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por   .

PROPIEDADES DE LA VARIANZA

1 La varianza será siempre un valor positivo o cero , en el caso de que las

puntuaciones sean iguales.

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2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza

no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por

un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de

dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus

respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

DESVIACIÓN ESTÁNDAR POBLACIONAL

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza .Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación típica  se representa por σ .

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PROPIEDADES DE DESVIACIÓN ESTÁNDAR

1 La desviación típica  será siempre un valor positivo o cero , en el caso de que las puntuaciones sean iguales.2 Si a todos los valores  de la variable se les suma  un número  la desviación típica no varía .3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica  queda multiplicada  por dicho número.4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.

LA VARIANZA MUESTRAL

Se puede definir como el "casi promedio" de los cuadrados de las desviaciones de los datos con respecto a la media muestral. Su fórmula matemática para el caso de datos referentes a una muestra es:

El almacén JML de la ciudad de Machala contrato s pasantes de contabilidad el año pasado, sus sueldos mensuales fueron $253,60; $244,80; $252,60;$219,70 y $274,30.

a) Calcule la media de la población.

b) Determine la varianza.c) Obtenga la desviación estándar poblacional.d) La oficina de JML en piñas contrato 6 pasantes. Su sueldo mensual

promedio fue de $262,30 y la desviación estándar $25 compare ambos grupos.

Sueldos mensuales x-u (x-u) (x-u)2

253,60 8,60 8,60 73,96224,80 -20,20 20,20 408,04252,60 7,60 7,60 57,76219,70 -25,30 25,30 640,09274,30 29,30 29,30 858,49

0 91 2038,34

Av= VM- Vm= 274,30 – 219,70= 54,6

a)U= £x= 1225 = 245

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N 5B)G2 =£(X-U)2= 2038,3

N 5

G= 407,67

C) G=√407 .67

G= 20,19

DESVIACION ESTANDAR MUESTRAL

FORMULA DIRECTA

S2=∑ X2−¿¿¿¿¿

DESVIACION ESTANDAR PARA DATOS AGRUPADOS

S=√∑ f x2−¿¿ ¿¿¿¿

AMPLITUD DE LA VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS

Av= Ls – Li

Limite Límite Superior Inferior

Los tiempos de uso de una muestra de roca de un cuarto de pulgada por alquiler disponible en CollRental, INC.

e) Calcule la amplitud de varianzaf) Evalue la desviación estándar muestral

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g) Determine

Tiempo frecuencia Xm Fx X2 Fx2

2-4 2 3 6 9 184-6 5 5 25 29 1256-8 10 7 70 49 490

8-10 4 9 36 81 32410-12 2 11 22 121 242

35 159 285 1199

Av= Ls-LiAv= 12 – 2 Av= 10

S= √∑ f x2−¿¿ ¿¿¿¿

1199_ (159)2

S= 23

23-1

1199-1099,17S= 22

S=√ 4,54

S=2,13

S2= 4,54

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NIVEL DE MEDICION

Los datos que hemos tomado de la gasolinera EL AGUADOR son de nivel nominal, porque solo clasifica los datos.

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

1623 1569 1655 1641 1770 1629 1619 1563 1563 1694 1568 1477

1578 1553 1734 1639 1621 1590 1670 1464 1664 1589 1646 1528

1603 1594 1681 1574 1640 1533 1570 1490 1545 1735 1640 1495

1510 1610 1805 1795 1630 1640 1680 1795 1830 1665 1715 1635

1728 1750 1725 1737 1793 1857 1955 1887 1895 1750 1630 1821

CALCULO DEL NÚMERO DE INTERVALOS

2k≥ #26 = 60

64 > 60

K=6

AMPLITUD DEL INTERVALO

i≥ H−LK

i≥1895−14646

i≥4316

i≥71.83

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i = 72

CUADRO DE FRECUENCIAS

DETALLE Xm f F f% F% fr Fr1464 1536 1500 7 7 11.67 11.66 0.16 0.161536 1608 1572 13 20 21.66 33.33 0.22 0.331608 1680 1644 18 38 30 63.33 0.30 0.631680 1752 1716 11 49 18.33 81.66 0.18 0.811752 1824 1788 6 55 10 91.66 0.10 0.911824 1896 1860 5 60 8.34 100 0.08 1.00

60 100 1.00DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA

TALLO HOJA162 3 9 1156 9 3 3 8165 5164 1 6 0 0 0177 0161 9 0169 4147 7157 0 8 4155 3173 4 5 7163 9 0 5 0159 0 4167 0146 4166 4 5158 9152 8160 3168 1 0153 3149 0 5154 5

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151 0180 5179 5 5 3183 0171 5172 8 5175 0 0185 7195 5188 7189 5182 1

FORMA ORDENADA DEL DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA

TALLO HOJA146 4147 7149 0 5151 0152 8153 3154 5155 3156 3 3 8 9157 0 4 8158 9159 0 4160 3161 0 9162 1 3 9163 0 0 5 9164 0 0 0 1 6165 5166 4 5

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167 0168 0 1169 4171 5172 5 8173 4 5 7175 0 0177 0179 3 5 5180 5182 1183 0185 7188 7189 5195 5

POLÍGONO DE FRECUENCIA

1500 1572 1644 1716 1788 18600

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

POLIGONO DE FRECUENCIA

FREC

UEN

CIA

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HISTOGRAMA

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

HISTOGRAMA

CLASES

FREC

UEN

CIAS

POLÍGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA U OJIVA

1464 1536 1608 1680 1752 18240

10

20

30

40

50

60

70

POLIGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA U OJIVA

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DIAGRAMA DE BARRAS

1464 1536 1608 1680 1752 18240

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

DIAGRAMA DE BARRAS

DIAGRAMA CIRCULAR

7

13

18

11

6

5

Ventas de Gasolina Extra

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MEDIA ARITMETICA

X̅>=∑ x

n

X̅>=1623+1569+1655+1641+1770+1629+1619+1563+1563+1694+1568+1477 …………… ..

60

X̅>=99585

60

X̅>= 1659.75

LA MEDIANA

1464 1477 1490 1495 1510 1528 1533 1545 1553 1563 1563 1568

1569 1570 1574 1578 1589 1590 1594 1603 1610 1619 1621 1623

1629 1630 1630 1635 1639 1640 1640 1640 1641 1646 1655 1664

1665 1670 1680 1681 1694 1715 1725 1728 1734 1735 1737 1750

1750 1770 1793 1795 1795 1805 1821 1830 1857 1887 1895 1955

Mediana = 1640+1640

2

Mediana = 1640

LA MODA

La moda es 1640

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 27

MEDIA GEOMETRICA

MG=n√ x1 . x 2 . x 3 ………….

MG=3√1623∗1569∗1655

MG=3√4214,435.985

MG=161.53

PARA DATOS AGRUPADOS

DATOS f X̅m fx FA1464 1536 7 1500 10500 71536 1608 13 1572 20436 201608 1680 18 1644 29592 381680 1752 11 1716 18876 491752 1834 6 1788 10728 551834 1896 5 1860 9300 60

60 99.432

MEDIA ARITMATICAPARA DATOS AGRUPADOS

X̅

X̅

X̅= 1.657,2

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 28

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

MODA

Moda=1808+16802

Moda = 1644

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 29

DESVIACION ESTANDAR POBLACIONAL

CLIENTES x-u l x-u l l x- u l 2

1464 -195,75 195,75 38318,061477 -182,75 182,75 33397,561490 -169,75 169,75 28815,061495 -164,75 164,75 27142,561510 -149,75 149,75 22425,061528 -131,75 131,75 17358,061533 -126,75 126,75 16065,561545 -114,75 114,75 13167,561553 -106,75 106,75 11395,561563 -96,75 96,75 9360,561563 -96,75 96,75 9360,561568 -91,75 91,75 8418,061569 -90,75 90,75 8235,561570 -89,75 89,75 8055,061574 -85,75 85,75 7353,061578 -81,75 81,75 6683,061589 -70,75 70,75 5005,561590 -69,75 69,75 4865,061594 -65,75 65,75 4323,061603 -56,75 56,75 3220,561610 -49,75 49,75 2475,061619 -40,75 40,75 1660,56

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 30

1621 -38,75 38,75 1501,561623 -36,75 36,75 1350,561629 -30,75 30,75 945,561630 -29,75 29,75 885,061630 -29,75 29,75 885,061635 -24,75 24,75 612,561639 -20,75 20,75 430,561640 -19,75 19,75 390,061640 -19,75 19,75 390,061640 -19,75 19,75 390,061641 -18,75 18,75 351,561646 -13,75 13,75 189,061655 -4,75 4,75 22,561664 4,25 4,25 18,061665 5,25 5,25 27,561670 10,25 10,25 105,061680 20,25 20,25 410,061681 21,25 21,25 451,561694 34,25 34,25 1173,061715 55,25 55,25 3052,561725 65,25 65,25 4257,561728 68,25 68,25 4658,061734 74,25 74,25 5513,061735 75,25 75,25 5662,561737 77,25 77,25 5967,561750 90,25 90,25 8145,061750 90,25 90,25 8145,061770 110,25 110,25 12155,061793 133,25 133,25 17755,561795 135,25 135,25 18292,561795 135,25 135,25 18292,561805 145,25 145,25 21097,561821 161,25 161,25 26001,561830 170,25 170,25 28985,061857 197,25 197,25 38907,561887 227,25 227,25 51642,561895 235,25 235,25 55342,561955 295,25 295,25 87172,56

99585 0,00 5274,5 718677,25

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 31

AMPLITUD DE VARIACION: MEDIA POBLACIONAL:

Av= VM-Vm u=∑ X

U

AV =1955-1464 u=99585/60

AV= 491 u= 1659,75

VARIANZA POBLACIONAL

σ2=∑ ¿¿¿

σ2 = 718677,25

60

σ2= 11977,95

σ= √11977,95

σ= 109,44

DESVIACION ESTANDAR POBLACIONAL

σ= √ Σ¿¿¿

σ=√ 718677,2560

σ=√11977,95

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 32

σ= 109,44

CUADRO PARA SACAR LAS VARIANZA MUESTRAL

CLIENTES X- (X- )2 X2

1464 -195,75 38318,06 21432961477 -182,75 33397,56 21815291490 -169,75 28815,06 22201001495 -164,75 27142,56 22350251510 -149,75 22425,06 22801001528 -131,75 17358,06 23347841533 -126,75 16065,56 23500891545 -114,75 13167,56 23870251553 -106,75 11395,56 24118091563 -96,75 9360,56 24429691563 -96,75 9360,56 24429691568 -91,75 8418,06 24586241569 -90,75 8235,56 24617611570 -89,75 8055,06 24649001574 -85,75 7353,06 24774761578 -81,75 6683,06 24900841589 -70,75 5005,56 25249211590 -69,75 4865,06 25281001594 -65,75 4323,06 25408361603 -56,75 3220,56 25696091610 -49,75 2475,06 25921001619 -40,75 1660,56 26211611621 -38,75 1501,56 26276411623 -36,75 1350,56 26341291629 -30,75 945,56 26536411630 -29,75 885,06 26569001630 -29,75 885,06 26569001635 -24,75 612,56 26732251639 -20,75 430,56 2686321

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 33

1640 -19,75 390,06 26896001640 -19,75 390,06 26896001640 -19,75 390,06 26896001641 -18,75 351,56 26928811646 -13,75 189,06 27093161655 -4,75 22,56 27390251664 4,25 18,06 27688961665 5,25 27,56 27722251670 10,25 105,06 27889001680 20,25 410,06 28224001681 21,25 451,56 28257611694 34,25 1173,06 28696361715 55,25 3052,56 29412251725 65,25 4257,56 29756251728 68,25 4658,06 29859841734 74,25 5513,06 30067561735 75,25 5662,56 30102251737 77,25 5967,56 30171691750 90,25 8145,06 30625001750 90,25 8145,06 30625001770 110,25 12155,06 31329001793 133,25 17755,56 32148491795 135,25 18292,56 32220251795 135,25 18292,56 32220251805 145,25 21097,56 32580251821 161,25 26001,56 33160411830 170,25 28985,06 33489001857 197,25 38907,56 34484491887 227,25 51642,56 35607691895 235,25 55342,56 35910251955 295,25 87172,56 3822025

99585 0,00 718677,25 166004881,00

VALOR DE LA MEDIA ARITMETICA:

= 1659,75

VARIANZA MUESTRAL (DESVIACIONES)

S2= ∑ ¿¿¿

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 34

S2=718677.25

59

S2= 12180,97

DESVIACION ESTANDAR MUESTRAL

S= √∑ ¿¿¿¿

S= √ 718677.2560−1

S= √ 718677.2559

S= √12180,97

S= 110,37

FÓRMULA DIRECTA

S2= ∑ X2−¿¿¿¿¿

S2=166004881−¿¿¿

S2=166004881−165286203,759

S2=718677,2559

S2= 12180.97

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 35

DESVIACION ESTANDAR PARA DATOS AGRUPADOS

DETALLE X̅m f X2 fx F.x2

1464 1536 1500 7 2250.000 10.500 15.7501536 1608 1572 13 2471.184 20.436 32125.3921608 1680 1644 18 2702.736 29.592 48649.2481680 1752 1716 11 2944.656 18.876 32391.2161752 1824 1788 6 3196.944 10.728 19181.6641824 1896 1860 5 3459.600 9.300 17.298

10.080

60 17.025,12

99.432 132.380,568

AMPLITUD DE VARIACION

AV= ls – li

AV = 1896 - 1464

AV = 432

FORMULA DE DESVIACION ESTÁNDAR

(∑fx) 2 S=∑fx2 - n

n -1

(99 .432) 2 S= 132.380,568 - 60

60-1

9886.722624S= 132.380,568 - 60

59

S= 132.380,568 - 164.7787104 59

S= 132.215,7893

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 36

59

S= 2,240.945581

S= 47.33862674

S2 = (47.33862674)2

S2 = 2.240945582 Varianza muestral

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 37

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 38

UBICACION DE LA GASOLINERA EL AGUADOR

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 39

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 40

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 41

Ing- Rafael Sandino Salcedo Muñoz. Docente de Estadistica Página 42