proyecto estadistica ejercicios unideg

UNIDEG

PLANTEL COMONFORT

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA II

ANGELINA PEREZ ARVIZU

PRUEBA DE HIPOTESIS

BALDERAS RAMIREZ ALFREDO

FRANCO ALVAREZ MA. DE LOS ANGELES

JORDAN RAMIREZ CARMEN

LAGUNA HERNANDEZ CAROLINA

ROJAS AVILEZ ERIKA DEL CARMEN

GARCIA OLVERA MIGUEL ANGEL

MENDEZ VELAZQUE FRANCISCO XAVIER

MONCADA REA PABLO DE JESUS

PEÑA ZARATE MARIANA

REYES LOPEZ MA. GUADALUPE

TOVAR LOPEZ LUIS GUADALUPE

VILLEGAS OLVERA LUIS SANTIAGO

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES Y TELEMATICA

INGENIERIA INDUSTRIAL

Introducción

Prueba de Hipótesis

Hipótesis: proposición sobre algún parámetro donde se requiere que se tome una

decisión sobre aceptar o rechazar.

Una hipótesis estadística: Prepocicion o supuesto sobre los parámetros de 1 o

más poblaciones.

H0=Hipótesis nula (pensar que no hay diferencia).

H1=Hipótesis alternativa (Pensar que si hay diferencia).

H0=Afirmación sobre 1 o más características de poblaciones (hipótesis nula).

H1=Es la afirmación contraria de H0 es generalmente la hipótesis a investigar

(hipótesis alternativa).

Error tipo 1: Rechazo de la hipótesis nula H0 cuando esta es verdadera.

Error tipo 2: Aceptacion de la hipótesis nula cuando esta es falsa.

1.- Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año

pasado muestra una vida promedio de 71.8 años, suponga que la desviación

estándar poblacional es de 8.9 años, queremos probar si la media hoy en día es

mayor a 70 años con base a esta muestra. La muestra parecería indicar que es

así, pero cuál es la probabilidad de que la media de la muestra, no refleje la

verdadera media de la población. Utilizar un nivel de significancia de 0.05.

Datos Planteamiento de hipótesis Tipo de curva

Calculo de Zc

n= 100

=71.8

S=8.9

µ=70

Ho µ ≤ 70

H1 µ > 70

α= 0.05

Planteamiento de

hipótesis con respecto a

Zc

Acepto = Ho Zc ≤ 1.64

Rechazo = H1 Zc ≥ 1.64

√

=

√

= 2.022

Regla de decisión y decisión

Acepto = Ho 2.022 ≤ 1.64

Rechazo = H1 2.022 ≥ 1.64

Conclusión

µ > 70

La media el día de hoy es mayor que 70 años

2.- Una empresa Eléctrica fabrica baterías de celular que tienen una duración que

se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 h y una

desviación estándar de 40. Si una muestra de 30 baterías tiene una duración

promedio de 788 h, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la

duración media no es 800? Utilice un nivel de significancia de 0.04

Datos Planteamiento de hipótesis Tipo de curva

Calculo de Zc

n= 30

=788 hrs

S=40 hrs

µ=800 hrs

Ho µ = 800

H1 µ ≠ 800

=

=0.02

Planteamiento de hipótesis con

respecto a Zc

Acepto = Ho -2.05 ≤ Zc ≤ 2.05

Rechazo = H1 Zc > 2.05

Zc ≤ -2.05

√

=

√

= -1.64

Regla de decisión y

decisión

Acepto = Ho -2.05 ≤ - 1.64

≤ 2.05

Rechazo = H1 - 1.64 > 2.05

- 1.64 ≤ -

2.05 Rechazo Ho y Acepto

H1

Conclusión

M = 800, es decir la media no ha cambiado

3.- Suponga una variable aleatoria x para designar el precio promedio de un pasajero de avión, que se interesa en conocer los pesos promedio de todos los pasajeros, como hay limitaciones de tiempo y dinero para sacarlos a todos, se toma una muestra de 36 de la cual se obtiene una media de 160 libras, suponga además que la distribución de los pasajeros tiene una distribución normal con desviación estándar de 30 y un nivel de significancia de 0.05.

¿Se puede concluir que el peso promedio de los pasajeros es menor a 170 libras?

Datos:

=170 libras

= 30

= 160

n = 36

= 0.05

Planteamiento de hipótesis. Tipo de curva

Ho; 170

H1; <170

Planteamiento de hipótesis con respecto a Zc

Rechazo Ho Zc -1.64

Acepto Ho Zc > -1.64

Calculo de Zc

( )

√

=

√

Regla de decisión

Rechazo Ho -2 -1.64 (Si cumple)

Acepto H1 -2 > -1.64

Conclusión

(El peso promedio de los pasajeros del avión es menor a ´ 170 libras.)

4.- El vicepresidente a cargo de las ventas de una corporación afirma que los vendedores tienen un promedio no mayor de 15 prospectos de ventas por semanas y el desearía aumentar esta cifra. Se seleccionan 36 vendedores al azar para verificar su afirmación y registrar el número de contacto en una semana, seleccionando de forma aleatoria. De los resultados de la muestra se obtuvo una media de 17 prospectos y una varianza de 9.

¿Contradice los hechos la afirmación del vicepresidente? Suponga un nivel de significancia de 0.005.

Datos:

= 15

= 9

= 17

n = 36

= 0.005

Planteamiento de hipótesis. Tipo de curva

Rechazo Ho Zc > -1.64

Acepto Ho Zc -1.64


Rechazo Ho Zc < 15

Acepto Ho Zc 15

1. ( )

√

=

√

Regla de decisión

Rechazo Ho 1.33 < -2.57

Acepto Ho 1.33 -2.57 (Si cumple)

Conclusión

-2.57

No tiene razón el vicepresidente.

5.- Una propietaria de la empresa editora en Palo Alto, California, afirma que su

negocio ha mejorado, se piensa que los ingresos diarios son superiores a los $500

dólares del año pasado. Una muestra de 256 días revela una media de $520

dólares y una desviación típica de $80.70 dólares, a nivel de significancia del 1%.

¿Tiene razón la propietaria?

Curva:

Hipótesis:

Ho 500

H1 > 500

Planteamiento: Calcular Zc:

Acepto Ho Zc 2.32

√

√

Rechazo Ho Zc > 2.32

Sustitución:

Acepto Ho 3.96 2.32

Rechazo Ho 3.96 > 2.32

Decisión

Rechazo Ho y Acepto H1

> 500

Datos:

n = 256

X = 520

= 500

= 80.70

Nivel de confianza = 1%

= 0.01 o .99

Valor de Z en tablas = 2.32

Conclusión: La propietaria tiene razón.

6.- Un número de 1993 de la revista “Muy interesante” decía que la gente tardaba

34 horas en promedio en aprender un nuevo programa informático. Está

respaldada esta información a nivel del 10% si 35 personas emplean una media

de 48.58 horas con una desviación típica de 19.7 horas.

Curva:

Hipótesis:

Ho =

34

H1 ≠

34

Planteamiento: Calcular Zc:

Acepto Ho -1.64 Zc 1.64

√

√

Rechazo Ho Zc - 1.64

Ho Zc > 1.64

Sustitución: Decisión

Acepto Ho -1.64 1.97 1.64 Rechazo Ho y Acepto H1 H1 ≠ 34

Rechazo Ho 1.97 -1.64

Ho 1.97 > 1.64

Datos:

n = 35

X = 40.58

= 34

= 19.7

Nivel de confianza = 10%

= 0.10 o .90

Valor de Z en las tablas = 1.64

Conclusión: La información no está respaldada.

7.- Un informe reciente publicado en la revista fort establecía que el mas del 65% de los

titulados universitarios dejan su primer trabajo antes de los dos años, un estudio

realizado por dos profesores de gestión empresarial de la universidad de colorado

encontró que 352 de 488 recién egresados que fueron entrevistados se mantuvieron en

su primer empleo menos de dos años. Al nivel de 3% respaldan estos datos el estudio

del futuro.

Datos:

n= 488

po = 0.65

p^ = 352/488 = 0.7213

= 0.033= 1.88 por lo tanto es igual a -1.88

Planteamiento de hipótesis Tipo de curva

H0 po > 0.65

H1 po ≤ 0.65


Acepto H0 zc > -1.88

Rechazo H0 zc ≤ -1.88

Calculo de Zc

√ ))

ZC = 0.7213 - 0.65 = 0.0713 = 3.30

. (0.65 (1 – 0.65) 0.02159

. 488


H0 3.30 > -1.88 (Si cumple)

H1 3.30 ≤ -1.88

Conclusión: La proporción de estudiantes abandonan el primer trabajo a los dos años

por lo tanto la información obtenida no se puede respaldar.

0.03 -1.88

8.- Cuando un proceso de producción funciona correctamente produce frascos de

shampoo con un peso promedio de 200 gr, una muestra aleatoria de una remesa

presento los siguientes pesos 214 gr 197 gr 197 gr 206 gr 208 gr 201 gr 197 gr 203 gr y

209 gr asumiendo que la distribución de los datos es normal pruebe con un nivel de

confianza del 95 % si el proceso está funcionando correctamente.

Datos

n = 9

x = 214 gr 197 gr 197 gr 206 gr 208 gr 201 gr 197 gr 203 gr y 209 gr/ 9 = 1832/9

=203.55

√ ) ) ) ) )

) ) ) )

√

S = 5.775

α = 1-0.95 = 0.5/2 =0.025 (se localiza en valor en la tabla de la t-student, ya que se

trata de una muestra menor de 30) Tstudent .025, =2.3060 =0.025 /2 = 0.0125 Tstudent=

3.3554

Planteamiento de hipótesis

H0 ≠ 200

H1 = 200


Acepto H0 -3.3554 ≥ Zc ≥ 3.3554

Rechazo H0 Zc -3.3554; Zc 3.3554

Tipo de curva

Calculo de Zc

( )

√

Zc = 203.55 - 200 = 1.8441

√

Regla de decisión

Acepto H0 -3.3554 ≥ 1.8441 ≥ 3.3554

Rechazo H0 1.8441 -3.3554; 1.8441 3.3554

Decisión

Acepto H1, Rechazo H0, por lo tanto:

=200

Conclusión

De acuerdo a los resultados obtenidos se puede decir que el proceso funciona correctamente.

9.- John afirma que los propietarios de sus coches usados pueden recorrer una

media de 10 mil millas como mínima sin necesidad de ninguna reparación

importante con el objeto de determinar la honestidad de John se elijen 100

clientes y se encuentra que recorrieron una media de 9112 millas sin

reparaciones con una desviación típica de 207.si resulta que los coches usados de

John den una media de 10000 millas como mínimo sin averías, usted está

dispuesto a comprar su próximo choche. Si quiere estar seguro al 99% de que

John no miente como podría contrastar su información.

Datos

n=100

X=9112

∞=0.01

S=207

μ =10000

Z=2.32


H0= μ ≤10000

H1= μ >10000


Acepto H0 Zc ≤ 10000

Rechazo H0 Zc > 10000

Calculo de Zc

Zc =

√

Zc =

√

Zc= -42.8


Acepto H0 -42.8 ≤ 10000

Rechazo H0 -42.8 > 10000

μ ≤10000

Conclusión

Los coches usados de John necesitan alguna reparación antes de las 10000

millas de recorrido.

0.01

10.-Se desea comprobar si la cantidad de dinero que un estudiante gasta en

promedio es igual a 87 pesos diarios seleccionando una muestra al azar de 49

estudiantes se encuentra que la media es de 85 pesos diarios, teniendo una

desviación típica 7.25 pesos con un coeficiente de confianza de 95%.

Datos

n=49

X=85

∞=95% = 0.05

S= 7.25

μ = 87

Z= 1.96


H0= μ =87

H1= μ ≠87


Acepto H0 -1.96 ≤ Zc ≤ 1.96

Rechazo H0 Zc > 1.96

Rechazo H0 Zc ≤ 1.96

Calculo de Zc

Zc =

√

Zc =

√

Zc= - 1.94

Regla de Decisión y decisión

Acepto H0 -1.96 ≤ -1.94 ≤ 1.96

Rechazo H0 - 1.94 > 1.96

Rechazo H0 - 1.94 ≤ 1.96

μ = 87

Conclusión

El promedio del gasto de los estudiantes es igual a 87

11.- Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en aplicaciones de motores automovilísticos, el cliente requiere que la fracción de defectuosos, en uno de los pasos de manufactura críticos, no sea mayor que 0.05 y que el fabricante demuestre esta categoría del proceso de fabricación con este

nivel de calidad, utilizando = 0.05, el fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 200 dispositivos y en cada 4 de ellos encontró que son defectuosos. El fabricante puede demostrar la calidad del proceso.

Datos:

n= 200 dispositivos

= 4/200 =0.02

P0= 0.05

= 0.05 (se localiza en la tabla de z para la normal)= 1.64

Planteamiento de hipótesis: Tipo de curva:

H0 0.05

H1 0.05

Establecimiento de hipótesis con respecto a ZC

Acepto P0 ZC 0.05

Rechazo P0 ZC 0.05

Calculo de Zc

√ ))

ZC = 0.02 - 0.05 = - 0.03 = - 1.95

(0.05 (1 – 0.05) 0.015 . 200

Regla de decisión

Acepto -1.64 -1.95 (Si cumple)

Rechazo -1.64 -1.95

1.64

Decisión


P0 0.05

Conclusión

De acuerdo a lo obtenido se puede decir que, la proporción de semiconductores defectuosos es menor a 0.05 lo cual es lo que pide el cliente, por lo tanto se puede deducir que el fabricante puede demostrar que la calidad del proceso es buena.

12.- Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en el 70% de todas las casas que se construyen. ¿estaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas muestra que 8 de 15 casas tienen instalas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de 0.10

Datos:

n= 15 casas

= 8/15 =0.53

P0= 0.70

= 0.10 = 0.05 (se divide en 2 al tratarse de una curva bilateral y se localiza en la „ 2 tabla de z de la t-student ya que es una muestra es menor a 30) =± 1.76


H0 = .70

H1 ≠ .70

Establecimiento de hipótesis con respecto a ZC

Acepto H0 -1.76 ≤ ZC ≤ 1.76

Rechazo H1 ZC ≤ -1.76; ZC 1.76

0.05

-1.76 1.76

0.05

Calculo de Zc

√ ))

ZC = 0.53 - 0.70 = - 0.17 = - 1.43

. (0.70 (1 – 0.70) 0.118

. 15

Regla de decisión

Acepto H0 -1.76 ≤ -1.43 ≤ 1.76

Rechazo H1 -1.43 ≤ -1.76; -1.43 1.76

Decisión


P0 = 0.05

Conclusión

De acuerdo a lo obtenido se puede decir que, la proporción de bombas de calor instalas es igual a 0.70 lo cual es lo que afirma el constructor, por lo tanto se puede deducir que el constructor tiene razón en su afirmación.

13.- Un diseñador de productos está interesado en reducir el tiempo de secado de una pintura tapa poros se prueban 2 formulas de pinturas; la formula 1 tiene el contenido químico estándar y la formula 2 tiene un nuevo ingrediente secante que debe reducir el tiempo de secado. De la experiencia se sabe que la desviación estándar del tiempo de secado es de 8 minutos y esta variabilidad inherente, no debe verse afectado por la adicción del nuevo ingrediente. Se pintan 10 especímenes con la formula 1 y otros 10 con la fórmula 2. Los 2 tiempos promedios de secado son de 121 y 112 minutos respectivamente ¿a qué conclusiones puede llegar el diseñador del producto sobre la eficiencia del nuevo

ingrediente, utilizando =0.05?

1. Problema de diferencia de medias

datos

8 8

µ 0 0

0.05 0.05

121 112

N 10 10

Planteamiento de hipótesis

2. Calculo de Zc

( ) )

√

√

= ) )

√

√

3. Acepto H0Zc< 2.26 sustituyendo 2.51<2.26

Rechazo H0Zc> 2.26 sustituyendo 2.51>2.26 (Si cumple)

Decisión

Rechazo H0 y acepto H1 la diferencia de la media >0

Conclusión: se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la adición del nuevo ingrediente a la pintura si disminuye de manera significativa el tiempo promedio de secado.

14.- Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de 16.0 onzas. Las distribuciones de los volúmenes de llenado pueden suponerse

normales, con desviaciones estándar 1= 0.020 y 2 = 0.025 onzas. Un miembro del grupo de ingeniería de calidad sospecha que el volumen neto de llenado de ambas máquinas es el mismo, sin importar si éste es o no de 16 onzas. De cada máquina se toma una muestra aleatoria de 10 botellas. ¿Se encuentra el ingeniero

en lo correcto? Utilice =0.05

Maquina 1 Maquina 2

16.03 16.01 16.02 16.03

16.04 15.96 15.97 16.04

16.05 15.98 15.96 16.02

16.05 16.02 16.01 16.01

16.02 15.99 15.99 16.00

datos

0.020 0.025

µ 0 0

0.05 0.05

16.015 16.005

n 10 10

2.26

3. Planteamiento de hipótesis

4.

Acepto H0 -2.82 ≤ Zc ≤ 2.82

Rechazo H0Zc> 2.26; H0Zc≤ 2.26

Calculo de Zc

( ) )

√

√

= ) )

√

√

Acepto H0 -2.82 ≤ 0.988 ≤ 2.82 (Si cumple)

Decisión

Rechazo H0 0.988> 2.26; H0 0.988≤ 2.26

Conclusión

Aceptamos H1 y rechazamos H0 y por lo tanto se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que las dos máquinas tienen en promedio la misma cantidad de llenado.

2.82

2.82

15.- Existen dos tipos de plástico apropiados para su uso por un fabricante de

componentes electrónicos. La tensión de ruptura de ese plástico es un parámetro

importante. Se sabe que 1= 2= 1.0 psi. De una muestra aleatoria de tamaño 10 y

12 para cada plástico respectivamente, se tiene una media de 162.5 para el

plástico 1 y de 155 para el plástico 2. La compañía no adoptará el plástico 1 a

menos que la tensión de ruptura de éste exceda a la del plástico 2 al menos por

10 psi. Con base a la información contenida en la muestra, ¿la compañía deberá

Datos Planteamiento de hipótesis

Tipo de curva

Calculo de Zc

N1= 10

1=162.5 psi

1=1 psi

α=0.05

Ho µ 1- µ 2 ≤ 10

H1 µ 1- µ 2 > 10

Plantear hipótesis con

respecto a Zc

Acepto Ho Zc ≤ 2.2622

Rechazo H1 Zc > 2.2622

) )

√

=

)

√

=

= -5.84

¿

N2= 12

2=155 psi

2=1 psi

α=0.05


Acepto Ho -5.84≤ 2.2622

Rechazo H1 -5.84 > 2.2622

Conclusión

No es recomendable utilizar el

plástico 1

16.- Se tomara el voto entre los residentes de una cuidad y el condado circulante para determinar si se debe construir la planta química propuesta. El lugar de construcción está dentro de los límites de la ciudad y por esta razón muchos votantes del condado consideran que la propuesta pasara debido a la proporción de votantes que favorecen la construcción. Para determinar si hay una diferencia significativa en la proporción de votantes de la cuidad y votantes del condado que favorecen la propuesta, se realiza una encuesta. Si 120 de 200 votantes de la ciudad favorecen la propuesta y 240 de 500 residentes del condado también lo hacen, ¿estaría de acuerdo en que la proporción de votantes de la ciudad que favorecen la propuesta es más alto que la proporción de votantes del condado? Utilice un nivel de significancia de 0.025

Datos:

Votantes de la cuidad

P1 = 120/200 = 0.6

Q1 = 1- 0.6 = 0.4

N1 = 200

= 0.025

P1 - P2 = 0

Votantes del condado

P2 = 240/500 = 0.48

Q2 = 1- 0.48 = 0.52

N2 = 500

= 0.025 (se localiza en la tabla de la normal) = 1.96

P1 - P2 = 0

Establecimiento de hipótesis: Tipo de curva

H0 P1 – P2 ≤ 0

H1 P1 - P2 0

Establecimiento de hipótesis con respecto a Zc

0.025

1.96

Rechazo Ho Zc 1.96

Acepto Ho Zc > 1.96

Calculo de Zc

) )

√ (

))

Zc = 0.6 - 0,48 - (0) . = 2-91

[(0.6 x 0.4) + (0.48 x 0.52)]

200 500

Regla de decisión

Rechazo Ho 2.91 1.96

Acepto Ho 2.91 > 1.96 (Si cumple)

Decisión

Acepto H1, rechazo H0, por lo tanto:

P1 – P2 0

Conclusión

De acuerdo a lo obtenido se puede decir que, la diferencia de proporciones de votantes de la cuidad es mayor a cero (0) lo cual es lo que se requiere demostrar, por lo tanto se puede deducir que la proporción de votantes de la ciudad es mayor a la proporción de votantes del condado que favorecen la propuesta de la construcción de la plata química.

Procedimiento 2

Datos:

Votantes de la cuidad

P = 0.51 (se obtiene de manera general con la siguiente fórmula:

Q = 0.49 (se calcula de manera general: 1- 0.51 = 0.49)

= 120 + 240 =0.51)

200 + 500

N1 = 200

= 0.025

P1 - P2 = 0

Votantes del condado

P = 0.51

Q = 0.49

N2 = 500

= 0.025 (se localiza en la tabla de la normal) = 1.96

P1 - P2 = 0

Establecimiento de hipótesis: Tipo de curva

H0 P1 – P2 ≤ 0

H1 P1 - P2 0

Establecimiento de hipótesis con respecto a Zc

Rechazo Ho Zc 1.96

Acepto Ho Zc > 1.96

Calculo de Zc

) )

√

Zc= (0.60 - 0.48) – (0) = 2.86

[(0.51x 0.49) (1/200 +1/500)

Regla de decisión

Rechazo Ho 2.86 1.96

Acepto Ho 2.86 > 1.96 (si cumple)

0.025

1.96

Decisión

Acepto H1, rechazo H0, por lo tanto:

P1 – P2 0

Conclusión

De acuerdo a lo obtenido se puede decir que, la diferencia de proporciones de votantes de la cuidad es mayor a cero (0) lo cual es lo que se requiere demostrar, por lo tanto se puede deducir que la proporción de votantes de la ciudad es mayor a la proporción de votantes del condado que favorecen la propuesta de la construcción de la plata química.

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