República Bolivariana De VenezuelaMinisterio Del Poder Popular para la Educación Universitaria

Universidad Politécnica Territorial Del Estado PortuguesaJuan de Jesús MontillaAcarigua- Portuguesa

ESTADISTICA

Participantes:Rossana García. 20.811.770

Eduardo Mendoza. 18.843.288Gabriela Arape. 20.644554

Sección: 257

Estadística Central o Medidas de Tendencia Central

Las medidas de tendencia central nos van a servir para elaborar la problemática de la correlación y la teoría de las muestras. También tienen una utilidad práctica, pues sirven para resumir la información presentada en cuadros y poder relacionar y comparar entre sí, de una manera sencilla, un conjunto de distribuciones y frecuencias.

Una vez que se han reunidos y ordenados los datos en una tabla de distribución de frecuencias, se puede hacer el análisis estadístico, y el primer paso para ello consiste en determinar el valor que caracteriza mejor toda la distribución. La tarea de la reducción de las observaciones consiste en presentar, en lugar de toda la distribución, solamente unas pocas características que indiquen los aspectos fundamentales de una distribución de frecuencias.

Para elegir el criterio o tipo de tendencia central que se utilice, tendremos en cuenta cual de entre ellas se adapta mas convenientemente a la distribución en estudio, ya sea por su forma o por su nivel de medición.

El conjunto de datos de una serie estadística es, por lo general demasiado extenso para proporcionar una visión global sobre la misma, y su agrupamiento en una tabla no es suficiente. Por lo que se hace necesario encontrar un valor representativo de la serie que, además de reflejar el carácter del conjunto de las observaciones, sea susceptible de integrarlos a posteriores procesos en el estudio estadístico. A este valor se le llama promedio y debe reflejar la tendencia que tengan las observaciones; por eso se le llama también “MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL” o “MEDIDAS DE CENTRALIZACION”. Existen muchos promedios, pero en la práctica se ha destacado principalmente el uso de la Media Aritmética, la Media Ponderada, la Media Geométrica, la Media Armónica, la Mediana, la Moda y la media Cuadrática.

Las Medidas De Tendencia Central, nos facilitan apreciar la forma como los datos o elementos de la muestra se agrupan hacia el centro de la misma, es decir, cuan disperso o cuan concentrados se hallan.

Principales Medidas De Tendencias Central

Entre las principales medidas de tendencia central tenemos las siguientes:

Media Aritmética (X) Mediana (Med) Moda o Modo (Mo) Medida Cuadrática (R.M.S) Media Geométrica (Mg) Media Armónica (Ma) Media Aritmética Ponderada Cuartil, Decil, Percentil

Cada una de ellas ofrecen características particulares, suficiente para hacerlas, más o menos, convenientes para cada muestra particular en estudio; de acuerdo a los fines que se persiguen con tal estudio estadístico.

Las medidas de tendencia central, se van a aplicar tanto para datos agrupados como para datos no agrupados. Primeramente vamos a trabajar con datos no agrupados.

Datos No Agrupados

Media Aritmética (X):Se representa mediante el símbolo X (Equis Barrada) y viene a ser el

cociente de dividir la sumatoria de los elementos entre el número de ellos.Es decir que la media aritmética es igual a la suma de todos los elementos o datos que componen la muestra, dividida entre el número de ellos mismos.

X= X1+_____X2+_____X3+……. +Xn

X: __Xi____ N

La media aritmética es la medida central más comúnmente empleada por la facilidad de su comprensión. En el lenguaje corriente se le puede llamar promedio, tanto en estadística, como en matemática, se interpreta del mismo modo.

Ejemplo:

1.-Las calificaciones en una evaluación sobre 100 puntos fueron: 60, 55, 70, 70,85 y 80. Luego, X = 420 = 70. (La calificación media es 70 puntos.)

Nota: Las puntuaciones extremas afectan o modifican la media, a saber: En los grupos de valores 1,3,5,5,5,6 y 1,3,5,5,5,110 las medias son 4.2 en el primer grupo y 21.5 en el segundo. Estos dos grupos no tienen la misma media, por lo tanto, En un conjunto de valores donde existen valores muy extremos, no se debe calcular la media

2.- Si en los días laborables de la primera semana del mes de enero se perdieron 9,7,7,6,5, y 8 Kg del producto elaborado por una empresa y, en la misma empresa en la segunda semana que hubo un día feriado, se perdieron 7,6,5,7, y 5 Kg. ¿ cuál es el promedio de perdida diaria? R= 6.545454Kg.

3.- Una empresa de distribución de mercancía funciona con 10 camiones y que durante los últimos seis meses han reunido los datos en una tabla que muestra el número de camiones que han estado fuera de servicio debido a alguna falla ¿Hallar la media aritmética de los camiones que han estado fuera de servicio? R= 8.8

Camiones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Días fuera de servicio

7 23 4 8 2 12 6 13 9 4

Mediana_(Med):La mediana en un valor único de un conjunto de datos que mide al elemento

central en los datos, este único elemento es el más cercano a la mitad o el mas central en el conjunto de numero. De esta manera la mitad de los elementos quedan por encima de ese punto y la otra mitad.

La mediana es el valor que divide a una serie ordenada en dos grupos de igual número de valores; se puede ordenar en forma ascendente o descendente. Si el conjunto de datos está constituido por un número impar de elementos o valores, el elemento que se encuentra en la mitad del arreglo es la mediana. Si el conjunto de datos es el promedio de los dos elementos que ocupan las posiciones centrales.

Ejemplo:

1.- 6, 11, 9, 12, 13, 10, 20, 15,17. Al ordenarlos se obtiene: 6,9,10,11,12,13,15,17,20. La mediana es 12. Md=12

9, 10, 12, 11, 3, 6, 20, 17, 13,15. Al ordenarlos se obtiene: 3, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17,20. La mediana es el promedio entre 11 y 12, por haber dos valores centrales. Md= 11.5

Nota: Una característica de la mediana es su insensibilidad hacia los valores extremos. Así, en el conjunto de valores: 2, 3, 8, 11,48la Md= 8; esto es verdad aún y cuando hay un valor extremo de 48. Si cambiamos éste valor por 98 la mediana seguiría siendo la misma. Esta característica de la mediana la hace muy útil para la descripción de la tendencia central en ciertos tipos de distribuciones en las cuales la media es una medida inaceptable de tendencia central, debido a su sensibilidad hacia las calificaciones extremas.

2.-Se desea saber la mediana de los sueldos de los siete jugadores venezolanos que militan en los equipos de la liga americanas. R= 4.8mil/bs.

jugador 1 2 3 4 5 6 7

salarios millones

4.2 4.3 4.7 4.8 5.0 5.1 9.0

3.- Se desea saber la mediana de los pacientes tratados en una sala de emergencia durante 8 días consecutivos. R= 39.0

días 1 2 3 4 5 6 7 8

Número de pacientes

86 49 43 52 30 31 35 11

Moda_(Mo):Es una medida de tendencia central diferente de la media, pero parecida a la

mediana, ya que no se calcula por métodos ordinarios de aritmética.Al igual que en el caso de la mediana, se debe proceder a organizar previamente los

datos en forma ascendente o descendente e identificar cual es el valor que mas repite en la serie.

La moda es aquel valor o numero que ocurre con mayor frecuencia, es decir es aquel valor que más se repite en un conjunto de datos.

Una distribución puede tener más de una moda, y en este caso se llama distribución: Multimodal o Bimodal.

Ejemplo:1.- 1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,5,6,8. La cifra 3 aparece cuatro veces lo cual es más frecuente que otro valor; por lo cual el valor modal o modo es 3. (Mo=3)

1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,6,7,8. Las cifras 2 y 4 aparecen cuatro veces. Luego Mo= 2, (Bimodal) Cuando aparecen tres o más veces se denomina Multimodal.

2.- A continuación se muestran las respuestas dadas por doce familias consultadas, con respecto al número de miembros que constituyen las mismas. ¿Hallar la moda? R= 3.0

Números de familias 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Respuestas dadas 7 4 3 8 3 5 3 9 4 3 6 5

Datos Agrupados

Media Aritmética:Se representa mediante el símbolo de X (equis barrada). Con frecuencias los datos

agrupados publicados están a nuestra disposición en la forma de una distribución de frecuencias. Buena razón para analizar el cálculo de descripciones estadísticas de datos agrupados.

Cuando se trabaja con datos agrupados en Tablas de Frecuencias, se utiliza el centro de clase (C.C) como valor de (X), ya que se supone que dentro de cada clase las observaciones se distribuyen uniformemente alrededor del punto medio (Xi), y la media aritmética se calcula mediante la siguiente fórmula:

X= X1_x_f1_+__X2_x_f2_+…+ _Xn x_fn F1+f2 +…. + fn

N_ N° de valores o datos (n)z fi=I=1Xi= Centro de Clase o punto medioFi= frecuencia absoluta

Ejemplo:

Pasos para calcular la media aritmética, usando éste método:

1.- Se elabora una columna con los puntos medios xi de cada clase. 2.- En otra columna se escribe el producto entre las frecuencias y el punto medio de cada clase (fi.xi) 3.- Se obtiene la sumatoria de los valores de la columna fi.xi 4.- Se reemplazan los valores obtenidos en la fórmula siguiente:

EJEMPLO:

CLASE fi xi fi xi

66-68 1 67 67 63-65 2 64 128 60-62 4 61 244 57-59 4 58 232 x= 2246 54-56 5 55 275 44 51-53 7 52 364 x = 51.05 48-50 8 49 392 45-47 5 46 230 42-44 3 43 129 39-41 2 40 80 36-38 1 37 37 33-35 2 34 68

N=44 Efixi = 2246

Mediana (Med):

A menudo, se tiene acceso a los datos únicamente después de que han sido agrupados en una distribución de frecuencias o porque al interesado le conviene presentarlos de esa forma

Para los datos agrupados, la mediana se calcula según la siguiente fórmula:

Med=Li (n/2 –Fia) *I.C Fi

n/2 = N° de datos /2

Li= límite inferior de la clase, donde cae la mediana.Fia= frecuencia Absoluta acumulada de las clases inferiores a la clase que incluye la mediana.Fi= frecuencia absoluta de la clase que incluye la mediana.I.C= intervalo de clase donde cae la clase medianal.

Ejemplo:

1.- Se anexa a la tabla dada una columna fa de frecuencias acumuladas.

2.- Se divide entre 2 el número total de casos, obteniendo N/2.Es decir, se determina el número de casos que han de estar por debajo y por encima de la mediana.(En la tabla del ejemplo que usaremos, N=38 por lo tanto N/2= 38/2= 19. Luego, la mediana es el valor que deja 19 observaciones tanto por debajo como por encima de él.

3.- Se identifica en la columna fa, un valor que sea igual o inmediato superior a N/2; En ésta clase está la mediana.(En la tabla del ejemplo dado, en la columna fa, el valor 24 es inmediato superior a 19 por lo cual, la clase 90-94 contiene a la mediana.)

4.- Se identifica la frecuencia acumulada fa de la clase anterior a la que contiene a la mediana. (En el ejemplo, 14 es la frecuencia acumulada de la clase 85-89 que precede a90-94 que contiene a la mediana.)

5.- Se identifica la frecuencia fi de la clase que contiene a la mediana. En el ejemplo ésta es 10.

6.- Se identifica el límite real inferior de la clase que contiene a la mediana. En el ejemplo, éste es 89.5.

7.- Se reemplazan éstos valores en la fórmula

EJEMPLO: CLASE fi fa 95-99 14 38 90-94 10 24 85-89 6 14 Md = 89.5 + 2.5 80-84 4 8 75-79 2 4 Md = 92 70-74 2 2

N=38 Interpretación: Por encima y por debajo de 92, se encuentra el 50% de los casos, es decir, 19.

Moda_(Mo):

Es una distribución de frecuencias se denomina moda al valor de la variable cuya frecuencia es máxima.

Un valor más preciso de la moda para datos agrupados, se obtiene con la siguiente fórmula:

Mo= Li+ ( ∆i ) * I.C (∆i + ∆s)

Li= límite inferior de la clase modal∆i= frecuencia de la clase modal, menos la frecuencia de la clase anterior.∆s= frecuencia de la clase modal, menos la frecuencia de la clase posterior.I.C= intervalo de la clase modal.

Ejemplo:

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

  fi

[60, 63) 5

[63, 66) 18

[66, 69) 42

[69, 72) 27

[72, 75) 8

  100

Percentil:

Es una de las llamadas medidas de posición no central (cuartiles, deciles, quintiles, percentiles, etc.) que se puede describir como una forma de comparación de resultados, por ello es un concepto ampliamente utilizado en campos como la estadística o el análisis de datos. El percentil es un número de 0 a 100 que está muy relacionado con el porcentaje pero que no es el porcentaje en sí. Para un conjunto de datos, el percentil para un valor dado indica el porcentaje de datos que son igual o menores que dicho valor; en otras palabras, nos dice dónde se posiciona una muestra respecto al total.

El concepto es más sencillo de entender con unos ejemplos:

Ejemplo 1: Tenemos un conjunto de datos consistente en la nota de cada uno de los alumnos de una clase. Si un alumno tiene un 9,5 y está en el P85 (percentil 85), significa que el 85% de los alumnos tiene un 9,5 o menos.

Ejemplo 2: Tenemos unas muestra con los sueldos de 10.000 trabajadores. ¿Cuál sería el percentil 60? El P60 sería aquel sueldo por debajo del cual estaría el 60% de los trabajadores, es decir, si ordenamos los trabajadores desde el que cobra menos hasta el cobra más, el P60 sería el sueldo del trabajador número 6.000 (60% de 10.000).

Ejemplo 3: Si medimos el tiempo que tarda cada uno de los atletas de una competición en recorrer una cierta distancia. ¿Cuánto tiempo tardan en recorrer esta distancia el 45% de los corredores? La respuesta es el percentil 45. La idea es simple, encontrar un porcentaje a partir del cual los valores son iguales o están por debajo.