estadística ldcfd 1. estadística ldcfd 2 medidas de tendencia central. en general, se llaman...

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LDCFD1

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LDCFD2

Medidas de tendencia central.

En general, se llaman medidas de la distribución a ciertos valores característicos que representan los aspectos más destacables de dicha distribución y facilitan su estudio.

Medidas de tendencia central.También llamadas medidas de posición o centralización, sirven para estudiar las características de los valores centrales de la distribución, atendiendo a distintos criterios.

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LDCFD3


Las medidas mas usuales son: La media aritmética o simplemente media, la mediana y la moda. Veamos su significado con un ejemplo:Supongamos se queremos describir de una forma breve y precisa los resultados obtenidos por un grupo de alumnos en cierto examen; diríamos:1. La nota media o el promedio de la clase es de 85.2. La mita de los alumnos han obtenido una nota inferior a 78.

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3. La nota que más veces se repite es el 89

Media aritmética (Promedio).Es la suma de todos los elementos de la serie dividida por el número total de ellos. En forma simbólica:

n

xx

n

ii

1

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Medidas de tendencia central.Ejercicio 1: Hallar la media aritmética (promedio) de los siguientes valores: 5, 7, 8, 10 y 15.Nota: Todos los ejercicios de este archivo son de práctica, no son de tarea.

Propiedades de la media ( ).1. La suma de las desviaciones de un conjunto de números respecto de su media es cero.2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números con respecto a cualquier otro número es mínima cuando ese otro número es precisamente la media.

x

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MedianaUna vez dispuestos todos los valores en forma ascendente o descendente, el valor central de esa serie, es la mediana. La mediana tiene el mismo número de valores a su izquierda que a su derecha.La mediana es el valor que ocupa el lugar

La mediana suele representarse con la letra m. Veamos distintas situaciones en los ejemplos.

2

1n

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MedianaLa mediana se prefiere utilizar cuando hay valores muy alejados de los demás y distorsionan el significado de la media. La mediana no se afectada por los valores extremos. Tiene el inconveniente que es más difícil de hacer operaciones aritméticas, la media es mucho más fácil para operar, por ello es más utilizada la media que la mediana.

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LDCFD8

Medidas de tendencia central.Ejemplo 1.Hallar la mediana de los siguientes valores: 11, 6, 26, 5, 23, 27, 9, 19, 15 Solución:Primero se ordenan los datos de menor a mayor (o viceversa), así: 5, 6, 9, 11, 15, 19, 23, 26, 27

Como se tienen nueve datos, entonces la mediana ocupa la posición

de la serie ordenada.La mediana es entonces el número 15 y se representa, así: m = 15. La mediana

52

192

1 n

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Medidas de tendencia central.Ejemplo 2.Hallar la mediana de los siguientes valores: 10, 5, 24, 21, 27, 7, 15, 20

Solución:Primero se ordenan los datos de menor a mayor (o viceversa), así: 5, 7, 10, 15, 20, 21, 24, 27Como se tienen nueve datos, entonces la mediana ocupa la posición

de la serie ordenada.La mediana está entre el 15 y 20, para esto se obtiene el punto

medio de estos valores, , así: m = 17.5.

5.42

182

1 n

5.172

2015

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Medidas de tendencia central.Ejemplo 3.Hallar la mediana de los siguientes valores: 3, 4, 4, 4, 6, 8

Solución:Los datos ya están ordenados, se tienen 6 datos, la posición de la mediana es:

es decir, la mediana está entre el segundo 4 y el tercer 4, el punto medio es

El valor de la mediana es: m = 4.

5.32

16

42

44

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Ejercicio 2.Hallar la mediana de los siguientes valores: 8, 5, 8, 10, 6, 12, 13, 9

Moda.La moda de un conjunto de datos es el valor que se presenta con mayor frecuencia, es decir, el que se repite un mayor número de veces. Puede ser en un mismo conjunto de datos existan varias modas.

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Medidas de tendencia central.Ejemplo 4. Del siguiente conjunto, 5, 3, 4, 7, 4, 2, 4, 5, 5, 3, 5, 6, 7, 8encuentre la moda.

Solución:

Cuando varios números se repiten y es difícil encontrarla rápidamente la moda, ordenamos los datos

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8

así, identificamos el valor que se repite más veces y en este caso es el 5, por lo que la moda es 5.

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Medidas de tendencia central.Ejercicio 3. Del siguiente conjunto, 12, 18, 11, 10 18, 13, 12, 17, 18, 12, 15, 14, 13, 18encuentre la moda.

Ejercicio 4. Del siguiente conjunto, 22, 16, 19, 30, 21, 19, 16, 22, 30, 24, 22, 19, 25encuentre la moda.

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Cálculo de la media para datos agrupados.Para calcular la media cuando los datos están agrupados, se utiliza las siguiente fórmula:

donde fi es la frecuencia de la clase i, mi es la marca de clase i, k es el número de clases y n es el número total de datos.

n

mfx

k

iii

1

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Ejemplo 5.Calcule la media del siguiente conjunto de datos agrupados.

Clase Frecuencia[10, 14) 1[14, 18) 7[18, 22) 10[22, 26) 16[26, 30) 9[30, 34) 6[34, 38) 1

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Medidas de tendencia central.Solución:Para encontrar la media para datos agrupados debemos primero encontrar las marcas de clase de cada clase. Las marcas de clase son: , m2=16, m3=20, m4= 24, m5= 28

m6=32 y m7= 36

Utilizando la fórmula para calcular la media para datos agrupados, se debe tener, las marcas de clase, la frecuencia y el número total de datos, se tienen los dos primeros falta el número total de datos(n), este se obtiene sumando las frecuencias de cada clase: n = 1+7+10+16+9+6+1 = 50

122

14101 m

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Medidas de tendencia central.Solución:

Así, la media para datos agrupados es:

76.23

50)36(1)32(6)28(9)24(16)20(10)16(7)12(1

x

x

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Cálculo de la mediana para datos agrupados.La mediana se calcula de la siguiente forma:1. Se calcula n/2.2. A la vista de las frecuencias acumuladas, se halla el intervalo que contiene a la mediana.3. Se calcula la frecuencia del intervalo que contiene a la mediana.4. Hallar el límite inferior de la clase que contiene a la mediana.5. Se halla la frecuencia de los valores que quedan

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por debajo de la clase que contiene a la mediana.6. Calcular la mediana con la siguiente fórmula:

l: Límite inferior del intervalo de la medianaI: Amplitud de la clase donde está la mediana.fM: Frecuencia del intervalo de la mediana.fi: Frecuencia acumulada de los valores inferiores al intervalo de la mediana.n: Número total de datos.

i

M

fn

f

Ilm

2

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Medidas de tendencia central.Ejemplo 6.Calcule la mediana del ejemplo 5.

Solución:Como son 50 datos, la mediana se encuentra en la posición

es decir, entre el dato 25 y el dato 26, este valor se encuentra en la cuarta clase, ya que, 1 + 7 +10 = 18 y 1+7+10+16 =34.

Obtengamos los elementos de la fórmula:l = límite inferior donde está la mediana = 22I = amplitud de la clase donde está la mediana = 26 -22 = 4

fM = frecuencia del intervalo de la mediana = 16

5.252

1502

1 n

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Medidas de tendencia central.Solución:

fi = frecuencia acumulada de los valores inferiores al intervalo de

la mediana = 18

n = número de total de datos = 50.

Así, el cálculo de la mediana para datos agrupados es entonces:

75.23

182

50164

222

m

fn

fI

lm iM

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Cuantiles.Constituyen una generalización del concepto de la mediana. Así como la mediana divide a un conjunto de datos en dos partes con el mismo número de elementos cada una, si la división se hace en cuatro partes, o en diez partes, o en cien partes, llegamos al concepto de cuantil. Hay principalmente, tres cuantiles importantes cuartiles, deciles y percentiles.

Cuartiles, deciles y percentiles.

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Cuartiles.Son 3 valores con las siguientes características:Q1: El primer cuartil es el valor de la variable por debajo del cual queda 1/4 de los elementos del conjunto de datos, esto es 25%.Q3: El tercer cuartil es el valor de la variable por debajo del cual quedan 3/4 de los elementos del conjunto de datos.Evidentemente el segundo cuartil coincide con la mediana.


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Las fórmulas para calcular los cuartiles son:primer cuartil

tercer cuartil

l: Límite inferior de la clase a la que pertenece el cuartil.I: Amplitud del intervalo.f: Frecuencia de clase donde se encuentra el cuartil.


if

n

f

IlQ

41

if

n

f

IlQ

4

32

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n: Total de elementos de la muestra.fi: Frecuencia acumulada de todos los valores inferiores a la clase que contiene al cuartil.

Ejercicio 5. Del siguiente conjunto de datos hallar el primer y el tercer cuartil.


Clase Frecuencia[20, 25) 5[25, 30) 9[30, 35) 14[35, 40) 20[40, 45) 26[45, 50) 18[50, 55) 7[55,60) 11

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Deciles.Si se divide al conjunto de datos en 10 partes iguales tendremos los deciles.D1: deja el 10% de los valores del conjunto de datos por debajo de él. Análogamente ocurre con los demás deciles.Las fórmulas para calcularlos son:


if

n

f

IlD

101

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Ejercicio 6.Encuentre el segundo y el séptimo decil de los datos ejercicio 5.

Percentiles.Hay 99 percentiles que se denotan por P1, P2, …,P99. Así P90, por ejemplo deja por debajo de él


if

n

f

IlD

10

99

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90 % de los elementos. La fórmula para realizar el cálculo del percentil 45, por ejemplo sería:

Ejercicio 7. Calcule los percentiles 8 y 73 de los datos del ejercicio 5.


if

n

f

IlP

100

4545

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Referencias

Garzo, F. & García, F. (1988). Estadística. McGraw Hill.

Downie, N.M. & Heath R. W. (1986). Métodos Estadísticos Aplicados. Editorial Harla. Quinta Edición.

Levin, J. (1979). Fundamentos de Estadística en la investigación Social. Editorial Harla. Segunda Edición.

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