estadistica distancia- jhon luna

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL CHOCO

DIEGO LUIS CORDOBA

FACULTAD DE HUMANIDADES Y ARTES

PROGRAMA DE TRABAJO SOCIAL

MODALIDAD A DISTANCIA

MODULO DE ELEMENTOS DE ESTADSTICA Y NOCIONES DE

PROBABILIDADES

Elabor:

Economista: JOHN ENRIQUE LUNA RENGIFO

Quibd ChocMayo de 2009

MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO

CONTENIDO

TEMA Pagina

PRIMERA PARTE

Historiaimportanciaconceptos

UNIDAD NUMERO UNO:

1. El mtodo estadstico.1.1. Etapas del mtodo estadstico.1.1.1. Planteamiento del problema.1.1.2. Fijacin de los objetivos.1.1.3. Las hiptesis.1.1.4. Unidad de observacin y de medida.1.1.5. Determinacin de la poblacin y de la muestra.1.1.6. Recoleccin de la informacin.1.1.7. Critica, clasificacin y ordenacin de la informacin.1.1.8. Tabulacin de la informacin.1.1.9. Presentacin de la informacin.1.1.10. Anlisis de la informacin.1.1.11. Publicacin de los resultados.1.2. Tcnicas de recoleccin de la informacin.1.2.1. Medicin.

-La observacin.-La entrevista.-La encuesta.-Auto evaluacin.


UNIDAD NUMERO DOS: LAS FRECUENCIAS.

2. Las Frecuencias2.1. Distribuciones de frecuencias.2.1.1.Distribucin de frecuencias simples.2.2. Propiedades de las frecuencias.2.3. Distribucin de frecuencias por intervalos.2.4. Representacin grafica.2.4.1.Tipos de graficas.2.4.1.1.Histogramas de frecuencias.2.4.1.2. Grficos de barras2.4.1.3. Grficos circulares2.5. Histogramas de frecuencias.

- Auto evaluacin.

UNIDAD NUMERO TRES:

3. Mediadas de tendencia central.3.1. Media aritmtica.3.1.1 Propiedades de la media aritmtica.3.2. La mediana.3.3. La moda.3.4. Medidas de posicin -percentiles-3.4.1. Cuartiles.

- Representacin grafica.- Calculo matemtico.

3.4.2. Quintiles.- Representacin grafica.- Calculo matemtico.

3.4.3. Deciles y centiles.- auto evaluacin.

UNIDAD NUMERO CUATRO

4. Medidas de dispersin.4.1. Rango o recorrido.


4.2. Desviacin media.4.3. Varianza y desviacin estndar.4.4. Coeficiente de variabilidad.

- Auto evaluacin.

SEGUNDA PARTE

UNIDAD NUMERO CINCO

5. Introduccin a las probabilidades.5.1 Introduccin.5.2. Escala de probabilidades.5.3. Espacio muestral de un experimento.5.4. Tcnicas de conteo.5.4.1.Permutaciones y combinaciones.

- Auto evaluacin.-

UNIDAD NUMERO SEIS:

6. Distribuciones de muestreo aleatorio.6.1. Marco muestral.6.2. Encuesta preliminar o piloto.6.3 La muestra.6.4. Metodos de muestreo aleatorio.6.5. Tamao de la muestra.6.5.1. Calculo del tamao de la muestra.

- Auto evaluacin.

UNIDAD NUMRO SIETE.

7. Prueba de hiptesis.7.1. La hiptesis.


7.1.1. Hiptesis estadstica.7.1.2. Hiptesis nula.7.1.3. Hiptesis alternativa.7.2. Clases de pruebas.7.2.1. La prueba normal de medias poblacionales.7.2.2. Nivel de significacin.7.2.3. Procedimiento para la prueba de hiptesis.7.3. Prueba del Chi- cuadrado.7.3.1. Tabla de contingencia

- Auto evaluacin.

UNIDAD NUMERO OCHO.

8. Anlisis de regresin y correlacin lineal.8.1. Regresin lineal simple.8.2 Calculo de los coeficientes.8.2.1. Procedimiento para el calculo de los coeficientes.

- Auto evaluacin.

UNIDAD NMERO NUEVE.

9. Tasas e ndices.9.1. Las tasas.9.2. Numero ndice.9.2.1. ndices simples.9.2.2. Usos frecuentes de los ndices.

- Auto evaluacin.10. Terminologa.11. Referencias bibliogrficas.


ESTADSTICA

GENERALIDADES.

HISTORIA.

La palabra stadistik proviene de la palabra italiana statista que

significa estadstica, utilizada por primera vez por Gottfried

Achenwall (1719 1772), posteriormente un profesor introdujo el

termino estadstica a Inglaterra; su uso fue popularizado por Sir

John Sinclair en su obra Statistical Account of Scotland (1791-

1799) (Informe estadstico sobre Escocia), no obstante, mucho

antes la gente ya registraba datos.

El Viejo testamento contiene informe sobre levantamiento de

censos; la estadstica gubernamental en Babilonia, Egipto y Roma

tambin lo demuestra. Por el ao de 1806, Guillermo el

Conquistador, orden la publicacin del Domesday Book, que era

un registro de la propiedad, extensin y valor de las tierras de

Inglaterra, lo que se constituy en el primer registro estadstico de

Inglaterra.


IMPORTANCIA.

La estadstica se comporta como una ciencia auxiliar a todas las

ciencias, ms si se tiene en cuenta que diariamente desde la

posicin u oficio a que estemos dedicados nos vemos en la

necesidad de tomar decisiones bajo incertidumbre.

Para qu la Estadstica: los conceptos y las tcnicas de la estadstica se utilizan para la planeacin, el control, la direccin e

interpretacin de resultados de una actividad.

Al resumir algunos de los aspectos que indican la importancia de la

estadstica podramos mencionar:

a. Permite conocer la realidad de una observacin o fenmeno.

b. Ayuda a determinar lo tpico o normal de la observacin.

c. Indica los cambios que se generan en el fenmeno observado.

d. Relaciona dos o ms fenmenos.

e. Permite determinar las causas que dan origen al fenmeno.

f. Realiza estimativos sobre el comportamiento de un fenmeno.

g. Facilita la obtencin de conclusiones a nivel muestral

aplicables a toda la poblacin.


Es un error buscar relacin directa entre la estadstica y los

nmeros nicamente, pues no es solamente eso, ciertamente, la

generalidad de la estadstica, indica cifras bsicamente relativas;

asesinatos, robos, ventas, exportaciones, importaciones, abortos,

nacimientos, defunciones, etc., por lo tanto, es bsico el

conocimiento de las operaciones elementales y las propiedades de

los signos.

CONCEPTOS

Por lo anterior, es normal encontrar diferentes conceptos sobre

estadstica segn el autor, o la idea a representar.

Uno de los ms elementales dice, que la estadstica es la

agrupacin de datos ordenados en forma sistemtica en cuadros

o grficos.

Conjunto de tcnicas que a partir de la observacin de diferentes

fenmenos, posibilitan hacer conclusiones.

Segn el interes, que nos ocupe en su uso, asi debemos

aprovechar alguna de las siguientes subdivisiones:

a. ESTADSTICA DESCRIPTIVA. Describe cuantitativamente una serie de personas, lugares o cosas.


b. ESTADSTICA INFERENCIAL. Se ocupa de dar informacin para sacar conclusiones acerca de un grupo de

personas lugares o cosas, a partir de un anlisis puntual o

muestral.

c. TEORIA DECISORIAL, es utilizada especialmente por los administradores para tomar decisiones en condiciones de

incertidumbre: cuando por ejemplo, un fabricante de

aparatos de sonido no puede especificar precisamente la

demanda de sus productos o cuando en una escuela se

deben asignar grupos y crear horarios sin tener el

conocimiento preciso del numero de estudiantes que

entraran en un grado determinado.


UNIDAD NMERO UNO

1. EL METODO ESTADSTICO

El mtodo estadstico es utilizado frecuentemente en las

investigaciones sociales, parte de la observacin de un fenmeno

permitiendo la libertad del fenmeno y su registro para su anlisis

final.

1.1 ETAPAS DEL METODO ESTADSTICO.

Las etapas del mtodo estadstico se pueden numerar a criterio del

investigador, no obstante, debe incluir los siguientes actividades.

Planteamiento del problema.

Fijacin de los objetivos.

Formulacin de la hiptesis.

Definicin de la unidad de medida y de observacin.

Determinacin de la poblacin y el tamao de la muestra.

Sistema de recoleccin de la informacin.

Critica, clasificacin y ordenacin de la informacin.

Tabulacin de la informacin.


Presentacin de la informacin.

Anlisis de la informacin.

Publicacin de los resultados.

1.1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

Cuando decidimos realizar una investigacin, debemos iniciar con

pi firme, por ello, se debe hacer claridad sobre el qu y el porqu

se desea estudiar algn fenmeno.

Para andar por caminos menos riesgosos, se hace necesario

realizar una exhaustiva revisin bibliogrfica, para conocer los

resultados de investigaciones similares que nos permita ubicar

nuestra propuesta de manera histrica y terica.

1.1.2 FIJACIN DE LOS OBJETIVOS.

Una vez hemos determinado con claridad que vamos a investigar,

es necesario establecer nuestro alcance, es decir, cual o cuales

son nuestros objetivos, los cuales deben ser escritos con claridad

lejos de ambigedades; en los objetivos se hace necesario

diferenciar entre objetivos generales y objetivos especficos. De

igual manera se establecen las metas que deben ser cuantificables.


1.1.3 LAS HIPTESIS.Segn la informacin o conocimiento sobre el fenmeno a

investigar por parte del investigador, se podrn establecer las

hiptesis buscando con ellas predecir de una manera provisional lo

que pueda llegar a suceder, como se trata de una hiptesis

estadstica, debe tener la posibilidad de ser probada y si es del

caso rechazada.

La hiptesis formulada debe estar relacionada con la media, la

proporcin, la varianza, etc., y con la posibilidad de ser rechazarla

si es del caso, por ello se habla de hiptesis nula y la contraria a

ella hiptesis alternativa.

1.1.4 UNIDAD DE OBSERVACIN Y DE MEDIDA.

La unidad de observacin esta constituida por todos y cada uno de

los elementos que hacen parte de la poblacin que previamente se

ha definido, indicando sus caractersticas.

La unidad de medida se determina de acuerdo a las caractersticas

de la unidad de observacin, por ello, debe definirse tambin

previamente.


1.1.5 DETERMINACIN DE LA POBLACIN Y LA MUESTRA.

Estadsticamente, en la poblacin a estudiar debe determinarse la

posibilidad de manejo, para ello, pensemos que en algunos casos

desconocemos cuantos elementos existen en la poblacin, esta

poblacin la vamos a considerar como infinita independientemente que su numero sea pequeo; mientras que

puede darse el caso de una poblacin muy grande, pero que

sabemos con precisin cuantos elementos la componen, a esta

poblacin nos referiremos como una poblacin finita.

El estudio de todos los elementos de la poblacin se convertira en

un censo, que por lo dems, es costoso en trminos de recursos

financieros, demorados en el tiempo y a veces innecesarios.

El estudio en una muestra permite hacer inferencia a toda la

poblacin a la cual pertenece; la muestra debe tener principalmente

dos caractersticas; de una parte debe ser representativa y de otra

debe ser optima, para ello, existen mtodos segn sea la poblacin

finita o infinita y adems se refiera a una proporcin o una variable.


Lo que si debe quedar desde ya claro es que esta debe ser

aleatoria o al azar, esto es, que todos los elementos tengan la

misma oportunidad de ser seleccionados y participar en ella, para

que la muestra sea optima.

1.1.6 RECOLECCION DE LA INFORMACIN.

La recoleccin de la informacin generalmente se inicia luego de

haber realizado una prueba piloto o prueba de campo, que permita

validar los cuestionarios establecidos para tal fin. Esta prueba

tambin sirve como medio para obtener de manera aproximada la

variabilidad de la poblacin, lo que posteriormente permite el

clculo exacto del tamao de la muestra, adems se establecen los

tiempos promedios de aplicacin que suelen ser de alguna utilidad.

1.1.7 CRITICA CLASIFICACION Y ORDENACIN DE LA INFORMACIN.

Una vez se ha recopilado toda la informacin, debe ser sometida a

una depuracin que permita detectar falsedades, por ello, esta

etapa es conveniente entregarla a una persona que tenga

conocimiento de la poblacin.


Luego de la critica o depuracin, se debe ordenar el material

depurado e iniciar la clasificacin y ordenacin de las diferentes

variables consultadas con la ayuda de hojas auxiliares (este trabajo

se puede realizar mediante tcnicas sistematizadas).

1.1.8 TABULACION DE LA INFORMACIN.

Tabular o entablar la informacin consiste en organizar toda la

informacin respecto una o ms variables, estas tablas constarn

de un titulo, las columnas y filas necesarias que contengan los

diferentes tems y la cuantificacin de los resultados; debe anotarse

adems, la fuente de informacin respectiva

1.1.9 PRESENTACIN DE LA INFORMACIN.

La lectura de la informacin es de mayor claridad cuando se

presenta en cuadros, tablas y grficos, ello permite un mejor

anlisis, por lo tanto, debe tenerse muy en cuenta quien o quienes

son los destinatarios de la informacin que se presenta.

1.1.10 ANLISIS DE LA INFORMACIN.


El anlisis es el fundamento final de la investigacin, conlleva a la

inferencia a manera de conclusiones.

1.1.11 PUBLICACIN DE LA INFORMACIN.

Es una etapa de mucha importancia, adems de que sirve una

investigacin sino se ha de publicar?; de otra parte, seguramente

muchas personas o investigadores estarn a esperas de los

resultados.

1.2 TCNICAS DE RECOLECCION DE INFORMACION

1.2.1 MEDICION: Medir algo es determinar cuantas veces una cierta unidad de medida, que se denomina patrn de medida cabe

en el objeto que se mide.

Este concepto es aplicable tanto a las medidas fsicas como a las

conceptuales; no obstante, para las medidas conceptuales no

existen patrones definidos, por lo tanto es tarea de quien realiza la

investigacin construir o adaptar uno previamente.


La medicin desde el punto de vista estadstico, busca describir,

categorizar y evaluar la calidad de las mediciones y mejorar su

utilizacin.

En los procesos de investigacin social, y en especial en la

medicin, es necesario definir conceptos, niveles y variables

(aleatoria, continua, discreta, cualitativa, cuantitativa).

La informacin tiene diferentes fuentes de obtencin, en trminos

generales, puede ser primaria o secundaria.

La informacin es primaria, cuando el investigador la obtiene directamente a travs del contacto inmediato con el objeto de

anlisis.

La informacin es secundaria, cuando el investigador la recoge a partir de investigaciones anteriores con propsitos

diferentes, generalmente no se entra en contacto directo con el

objeto de anlisis.

Si por ejemplo, se requiere conocer la situacin nutricional del un

grupo escolar, como parte de la informacin necesaria para

determinar las causas de la desercin escolar en una determinada

poblacin, es posible obtener esta informacin de los archivos que


llevan la trabajadoras sociales de cada institucin; esta se

constituye en informacin secundaria. Pero si quien realiza la

investigacin decide, disear sus propios instrumentos (encuestas

por ejemplo), determinar la poblacin, y aplicarlos a la poblacin o

muestra, estamos hablando de una informacin primaria.

Es comn en los procesos de investigacin la utilizacin de

informacin mixta.

Cuando se trata de informacin primaria, las principales tcnicas de

recoleccin de informacin son:

a. La observacin.

b. La entrevista.

c. La encuesta.

a. LA OBSERVACIN. Puede ser participante, la cual se realiza de manera permanente y al azar, se observan los

diferentes hechos de un grupo de personas. Cuando la

observacin es estructurada, se presenta menor libertad para escoger los hechos que se suceden y que constituyen el

contenido de la observacin, ya que el investigador sabe

previamente cuales son los aspectos relevantes para su

propsito.


La observacin se constituye en una herramienta de investigacin,

si se logra en ella por lo menos:

Que sirva a un problema de investigacin, antes planteado.

Que se realice un planeamiento previo y sistemtico.

Que se lleven con claridad y de manera sistemtica los

registros.

Que las observaciones sean sometidas a validacin y control.

Por lo tanto, debe responder a:

1. Que se deber observar.

2. Cual es la relacin entre el observador y lo observado.

3. Cuales observaciones deben ser observadas.

4. Cuales procedimientos se tendrn en cuenta que garanticen la

seguridad de las observaciones.

b. LA ENTREVISTA: Es la tcnica apropiada cuando se requiere de testimonios y reportes verbales de un grupo de personas que

saben de ciertos acontecimientos; se concibe como la conversacin

que sostienen dos personas, y que se lleva a cabo a iniciativa del

entrevistador con el objetivo de obtener informacin necesaria para

la investigacin que realiza.


Las principales caractersticas que constituyen una entrevista son:

Alto grado de flexibilidad.

Alta cobertura desde el punto de vista poblacional.

Permite asegurar la validez de las respuestas.

Las preguntas que se realizan en una entrevista son de diferente

tipo as:

Preguntas de hechos.

- Cul es su profesin?

- Cunto tiempo lleva viviendo en esta comunidad?

Preguntas sobre opiniones y creencias.

- Qu opinin tiene usted de la actual poltica de

gobierno?

- Cul considera el mejor candidato para las prximas

elecciones?

Preguntas sobre estndares o patrones de accin.

- Tiene usted dificultades para hacer amigos?

- Cmo considera se puede mejorar el rendimiento del

grupo?

Preguntas sobre sentimientos.


- Cmo asimila usted los resultados electorales?

- Se siente usted aislado(a) por sus compaeros (as)?

Preguntas de control.

- Cuales son las personas mas influyentes en esta

comunidad?

- A quien considera usted como lder en su barrio?

Preguntas cerradas o de respuesta fija.

- Como es el rendimiento del grupo en general:

Bueno ( ) Regular ( ) Aceptable ( ) Malo ( )

- Sus ingresos mensuales son en SMLV: Menos de uno ( )

Dos ( ) Tres ( ) mas de tres ( ).

Preguntas abiertas o de respuesta libre.

- Qu piensa usted del curso de estadstica.

- Porqu piensa retirarse de la universidad.

Las entrevistas generalmente pueden ser estructuradas o no estructuradas, en el primer caso, las preguntas, son presentadas con exactitud en las palabras y orden a todos los


entrevistados, normalmente no se tiene la oportunidad de hacer

preguntas por fuera de las programadas a no ser de clarificacin.

En las no estructuradas, las preguntas no estn predeterminadas,

se hace con el fin de permitir al entrevistado mayor espontaneidad

y profundidad en sus respuestas

c. LA ENCUESTA: Es el instrumento de mayor utilizacin como tcnica para la recoleccin de informacin primaria, especialmente

en las ciencias sociales. En general se pude decir que la encuesta

es una tcnica para la obtencin de informacin primaria, a partir

de un nmero representativo de individuos de una poblacin

(muestra), y que sirve para hacer una proyeccin sobre la

poblacin total.

Existen diferentes tipos de encuestas segn sean los propsitos de

ella, y bsicamente son:

Experimental; cuando la verificacin de la hiptesis se puede efectuar mediante la manipulacin de variables

independientes constitutivas del anlisis, esto por ejemplo,

cuando se precisa informacin sobre la dieta alimenticia de

las mujeres gestantes en los programas de gobierno.


De evaluacin programtica. Su diseo parte de factores con algn antecedente en cuanto al manejo por parte de

organismos de accin social, se busca la aplicacin

inmediata, para la modificacin o cambio del estado de las

cosas. As, si se quiere conocer como incide la armona de

este grupo independientemente de lo heterogneo que es,

en el rendimiento general, la encuesta a aplicar ser de

este tipo.

Puede tambin ser aplicada para conocer los efectos de una

campaa contra la prostitucin o la drogadiccin en un grupo de

centros educativos.

De diagnstico. Este tipo se preocupa por la bsqueda del como varios actores contribuyen a la determinacin de un

fenmeno determinado. Con este diseo se puede

averiguar sobre los efectos de los movimientos sociales

hacia una determinada poblacin, en la disminucin de la

oferta de trabajo, etc.

De carcter predictivo. Como lo indica su nombre se ocupa no de la explicacin sino de estimar futuro del

comportamiento de algo. Un caso tpico puede ser la

encuesta que se aplica en la poblacin de Nuqu, para


conocer los efectos en la demanda de los servicios

pblicos con el incremento poblacional como consecuencia

de la construccin de la va Animas Nuqu.

De anlisis secundario. Cuando la investigacin se basa en encuestas anteriores con propsitos diferentes. Sea el

caso de tomar la informacin contenida en un estudio

realizado por la UTCH, para conocer el sentido de

pertenencia por sexo hacia la universidad, y utilizarla para

determinar la poblacin estudiantil por sexo y edad.

El paso siguiente es el anlisis de la informacin, el cual se clarifica

en unidad posterior.


AUTOEVALUACION.

1. Para que sirve la informacin estadstica? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Enuncie las etapas del mtodo estadstico. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Para que se utiliza el mtodo estadstico. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Que es una hiptesis? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


5. Cuando se considera que una poblacin es finita? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6. Cuales son las principales fuentes de informacin? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Cuando una poblacin es infinita? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8. Enuncia las tcnicas de recoleccin de informacin primaria. ____________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Cuales son las caractersticas que debe tener una entrevista. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


10. enumere los tipos de encuesta que usted conoce?. __________

UNIDAD NMERO DOS:

2. FRECUENCIAS

2.1 DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS.

Agotadas las etapas vistas en la unidad anterior, podemos decir,

que la informacin esta ordenada en tablas entendibles, pues estn

ordenadas y clasificadas, decimos entonces, que hemos realizado

una distribucin de frecuencias. Es decir, la distribucin de

frecuencias, es un mtodo para organizar y resumir los datos.

Antes de entrar a precisar lo referente a la distribucin de

frecuencias, es conveniente detenernos en determinar una

simbologa que nos permita realizar todo lo relacionado con su

estudio estadstico, no sin antes advertir, que no existe una

notacin nica, por ello, es conveniente antes de abordar un texto

especifico, determinar la que en el se utiliza.

n = Tamao de la muestra


N = tamao de la poblacin

Xi = identificacin por cada valor observado.

Yi = identificacin por cada valor observado

fa = frecuencias absolutas.

fr = frecuencia relativa.

FA = frecuencia absoluta acumulada.FR = frecuencia relativa acumulada.

Yc = marca de clase, en la variable continua.

m = el numero de valores de la variable yi, tambin

se considera como el numero de intervalos o

marcas de clase en la variable continua.

2.1.1 DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS SIMPLES.

Vamos a abordar este tema valindonos de un ejemplo.

Supongamos que en una investigacin realizada sobre una

poblacin 2340 estudiantes de un colegio de bachillerato, se

seleccionaron de manera aleatoria a 65 de ellos a los cuales se les

midi su coeficiente intelectual (CI), con el siguiente resultado.

N = 2340n = 65


X1 = 80 X2 = 84 X3 = 80 X4 = 110

X....... X65 = 109

TABLA N 1

COEFICIENTE INTELECTUAL DE 65 ALUMNOS DE UN COLEGIO DE BACHILLERATO.

80 84 80 110 109 125 122 110 96 90 88 82 84

90 92 80 102 100 96 110 80 125 100 102 84 90

84 90 100 122 109 106 96 102 84 90 98 90 92

100 125 80 90 88 122 110 92 90 102 109 80 88

102 110 80 106 96 109 88 84 100 90 125 82 109

Para elaborar la tabla siguiente tomemos antes los valores que

toma la variable; de una vez hagmoslo de menor a mayor, e

identifiquemos las veces que se repite la observacin, esto es, la

frecuencia.


CI CONTEO REPETICIN80 IIII II 7

82 II 2

84 IIII I 6

88 IIII 4

90 IIII IIII 9

92 III 3

96 IIII 4

98 I 1

100 IIII 5

102 IIII 5

106 II 2

109 IIII 5

110 IIII 5

122 III 3

125 IIII 4


Podemos elaborar ahora, con la informacin anterior, una tabla de

frecuencias, donde se identifiquen, las frecuencias absolutas,

las relativas y las acumuladas; de otra parte debemos observar

en esta tabla lo referente a las propiedades de las frecuencias

que enunciaremos en paginas posteriores.

TABLA N 2DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Yi fa fr FA FR80 7 0.108 7 0.10882 2 0.031 9 0.13984 6 0.092 15 0.23188 4 0.062 19 0.29390 9 0.138 28 0.43192 3 0.046 31 0.47796 4 0.062 35 0.53998 1 0.015 36 0.554

100 5 0.077 41 0.631102 5 0.077 46 0.708106 2 0.031 48 0.739109 5 0.077 53 0.816110 5 0.077 58 0.893122 3 0.046 61 0.939125 4 0.062 65 1.00

65 1.00 - -


De la tabla anterior, en especial de las columnas referidas a las

frecuencias relativas (fr) y las frecuencias relativas acumuladas

(FR), podemos indicar algunos elementos importantes, como:

Solamente, el 6.2% de los estudiantes presenta el mximo

puntaje del CI, que es de 125 puntos.

El puntaje mnimo que es de 80 puntos lo presentan nicamente

el 10.8%.

El 44.7 tiene un CI igual o superior a 100 puntos.

2.2 PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIAS

1. Las frecuencias absolutas (fa), son siempre valores enteros.

2. La suma de las frecuencias absolutas (fa), es igual a la

muestra (n).

3. Las frecuencias relativas (fr), son siempre valores

fraccionarios entre 0 y 1.

4. La suma de las frecuencias relativas (fr),es siempre igual a

1.

5. El ltimo valor de las frecuencias absolutas acumuladas

(FA), es igual a la muestra.

6. El ltimo valor de las frecuencias relativas acumuladas (FR),

es siempre igual a 1.


2.3 DISTRIBUCIN DE LAS FRECUENCIAS POR INTERVALOS

En muchos casos nos encontramos con un gran numero de

observaciones de difcil agrupamiento en razn a que la distribucin

es muy amplia, a veces con frecuencias pequeas (unitarias); la

construccin de una tabla con estas caractersticas no ofrece

mayor utilidad en el anlisis.

Cuando esto sucede, es conveniente acudir a la construccin de

una tabla con datos agrupados en intervalos, lo cual notaremos con

la letra m.

El cuantos intervalos se han de construir, depende del investigador,

lo mismo que la amplitud de ellos, no obstante, los estudiosos del

tema aconsejan un nmero no inferior a 5 ni mayor a 15

Existe una formula bastante utilizada para ello donde: m = 1+3.3 log n

El procedimiento a seguir al menos el ms aconsejado- para

establecer los intervalos en una tabla de frecuencias es el

siguiente:


1. Determinar los valores mnimo y mximo de las

observaciones.

2. Establecer la diferencia entre ambas, la cual llamaremos

rango o recorrido, que denotaremos como R3. Determinar el nmero de intervalos de la manera como se

sugiri anteriormente.

Determinar la amplitud (C) del intervalo, mediante: C = R/m.4. Establecer la diferencia en que ha sido alterado el

recorrido.

5. Distribuir adecuadamente la cantidad de alteracin.

Para lograr lo anterior se sugiere dividir esa diferencia entre

dos, y el resultado se le resta al valor mnimo, y el sobrante o

faltante, se le suma a la observacin mxima, para de esta

manera obtener los lmites inferior y superior de la tabla.

6. Construir los intervalos, determinar las marcas de clases y

agrupar las frecuencias.


Tomemos como ejemplo el caso de las estaturas (Cm) de un grupo

de 50 alumnos de un colegio, cuyos registros son los siguientes:

Tabla N 3

ESTATURA EN CENTMETRO DE UN GRUPO DE CINCUENTA ESTUDIANTES

155 162 153 158 161 153 154

155 156 157 160 162 169 152

155 154 158 155 153 154 152

155 152 153 154 155 162 168

163 166 165 160 168 169 153

154 153 160 157 154 169 154

158 166 158 157 162 156 158

162

Estatura CONTEO REPETICIN

155 IIIIII 6

162 IIII 5

153 IIIIII 6


158 IIII 5

161 I 1

154 IIIIIII 7

156 II 2

157 III 3

160 III 3

169 III 3

152 III 3

168 II 2

163 I 1

166 II 2

165 I 1

1b. Observacin mnima = 152; observacin mxima = 169.

2b. Diferencia entre las dos observaciones 169 152= 17 luego R

= 17

3c. Numero de intervalos: m = 1+3.3 log.n; m = 1 +3.3 log50, luego

m=7

4d. La amplitud C= R/m 17/7; luego C = 3.4 Aprox. =4,

5e. Lo cual aumenta el recorrido en 11 ya que 4X7 = 28, luego

entonces, 11/2 = 5.5,


6f. Este numero se le resta al limite inferior, asi entonces 152 5.5

=146,5; el faltante para este caso es, 0,5;cifra que le sumaremos al

limite superior, el cual queda 169+5.5 = 174,5.

7g. Procedemos entonces a la construccin de los intervalos,

determinacin las marcas de clases y, a la agrupacin de las

frecuencias.

Con el ejemplo anterior, podemos construir una tabla de

distribucin de esas frecuencias quedando como sigue:

Tabla N 4DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS DE LA ESTATURA EN

CENTMETROS DE UN GRUPO DE 50 ESTUDIANTES

Yi-1 - yi Yi fa fr FA FR146.5 150.5 148.5 0 0 0 0.0150.6 154.5 152.5 16 0.32 16 0.32154.6 158.5 156.5 16 0.32 32 0.64158.6 162.5 160.5 9 0.18 41 0.82162.6 - 166.5 159.5 4 0.08 45 0.90166.6 - 170.5 168.5 5 0.10 50 1.00170.6 - 174.5 172.5 0 0 50 1.00 - 50 1.00 - -

2.4 REPRESENTACION GRAFICA


Los resultados obtenidos suelen representarse adems de las

tablas y cuadros, en graficas que permiten una mejor lectura y

anlisis.

Una grafica o diagrama es un dibujo complementario de una tabla o

cuadro, que facilita el anlisis estadstico de una serie de variables

que en ella se relacionan.

Las graficas deben contener:

Un titulo, que debe ser claro y concreto, en el cual se dice que

se relaciona adems de indicar cuando y donde se realizaron las

observaciones.

Un cuerpo, que es el grafico en si el cual puede ser de diferentes

formas, segn la informacin que se relaciona o el pblico que

ha de recibir la informacin.

Unas notas adicionales que permite dar mayor claridad en lo

referente a las escalas utilizadas en cada eje, asi como los

crditos a quien suministro la informacin.

Si los grficos no se utilizan correctamente, se pude con ellos antes

de aclarar la informacin, distorsionarla.

2.4.1 TIPOS DE GRAFICOS:


Los grficos ms comunes utilizados en la presentacin de la

informacin estadstica son:

2.4.1.1 Grficos de lneas. Su mayor utilidad es cuando se quiere

mostrar el comportamiento de una variable cuantitativa a travs

del tiempo, estn formados por segmentos de lneas rectas

unidos entre si; cada segmento registra la variacin de la variable

en un determinado tiempo. En el eje de las ordenadas, se

marcan los puntos segn la escala seleccionada, que debe ser

iguales si se trata de una escala aritmtica; las distancias deben

ser iguales en ambos ejes; en el eje de la variable se divide en

unidades de tiempo.

Veamos: en la Universidad Tecnolgica del Choc Diego Lus

Crdoba, durante los aos 2001 al 2006, las matriculas en los

diferentes programas a distancias variaron como se muestra en

el cuadro siguiente:

Tabla N 5MATRICULAS EN LOS PROGRAMAS A DISTANCIA DE LA

UTCH2001 - 2006

Aos Variacin porcentual


2001 9.02002 15.02003 10.02004 16.02005 22.52006 27.0

La representacin grafica de la anterior informacin mediante el

grafico de lneas ser de la siguiente manera.

Grfica N 1VARIACIN POCENTUAL DE MATRICULAS DE

ESDTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA EN LA UTCH 2001 - 2006

30

25

20

15

100 2001 2002 2003 2004 2005 2006

El grafico de lneas puede ser compuesto, es decir, dos lneas cuando se tienen dos variables; agreguemos al caso anterior la


variacin de las matriculas en la modalidad presencial, con el 15, el

20, el 23, el 25, el 20 y 35 por ciento respectivamente, con el y

tendramos entonces:

Grfico N 2

VARIACIN POCENTUAL DE MATRICULAS DE ESDTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA Y

PRESENCIAL EN LA UTCH 2001 - 2006

30

25

20

15

10

5

0 2001 2002 2003 2004 2005 2006

2.4.1.2 Grficos de barras. Se elabora mediante la utilizacin de barras rectangulares de ancho igual y con la misma distancia de

separacin entre una y otra: es aconsejable cuando se trata de


distancia: presencial:

variables cualitativas, o algn comportamiento de la variable en

periodos cortos, tambin puede ser simple o compuesto.

Para el caso de barras simples, tomemos por ejemplo, la

informacin sobre el nmero de hijos de las (as) participantes de un

curso de estadstica.

Tabla N 6

NUMERO DE HIJOS(AS) DE LOS(AS) PARTICIPANTES DE UN CURSO DE ESTADSTICA

Grafico N 3NUMERO DE HIJOS(AS) DE LOS(AS) PARTICIPANTES DE UN

CURSO DE ESTADSTICA

10

8

6

4

2

0


Numero de hijos frecuencia0 11 32 53 74 2

5 o mas 1

F R E C U E N C I A S

0 1 2 3 4 5y/o, mas

Podemos relacionar ahora, la preferencia entre el bsquetbol, el

ftbol, la natacin y el voleibol, entre un grupo de hombres y

mujeres, con el resultado siguiente:

Tabla N 7

PREFERENCIA POR ALGUNOS DEPORTES SEGN EL SEXO

DEPORTE / SEXO

HOMBRES MUJERES TOTAL

N % N % N %Bsquetbol 6 31.6 13 68.4 19 100.0

Ftbol 15 78.9 4 21.1 19 100.0

Natacin 11 57.9 8 42.1 19 100.0

voleibol 8 42.1 11 57.9 19 100.0


Numero de hijos

Grafico N 4PREFERENCIA POR ALGUNOS DEPORTES SEGN EL SEXO

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 Bsquetbol Ftbol Natacin Voleibol


Hombres

Mujeres Total

2.4.1.3 Grficos circulares. Se conoce tambin como grficos de pastel debido a su forma, consistente en una circunferencia

dividida en sectores, su mayor utilidad es en tipos de variables

cualitativas, en especial con porcentajes o cifras absolutas de

pocas observaciones en lo posible que no supere 5 observaciones

Si por ejemplo, sabemos que el estado civil de los participantes en

un curso de estadsticas es el siguiente: 5 casados(as); 8

solteros(as); 6 unin libre, la representacin grafica ser la

siguiente:

Tabla N 8

ESTADO CIVIL DE LOS ASISTENTES A UN CURSO DE STADSTICA

ESTADO CIVIL NUMERO PORCENTAJECASADOS 5 26.3

SOLTEROS 8 42.1UNION LIBRE 6 31.6


ESTADO CIVIL DE LOS ASISTENTES A UN CURSO DE STADSTICA

2.5. HISTOGRAMAS DE FRECUENCIAS

Los histogramas de frecuencias tambin son representaciones

graficas, son diagramas de frecuencias unidimensionales en un

plano cartesiano generalmente compuestos por rectngulos de

reas proporcionales a las respectivas frecuencias ubicando los

intervalos de la variable en el eje horizontal (abscisas); y en el eje

vertical (ordenadas) las frecuencias de cada clase.


Unin libre 31.6%

Solteros (as) 42.1%)

Casados(as) 26.3%

Casados(as)

En sntesis, los rectngulos indican en la base la amplitud de cada

intervalo y en las alturas las frecuencias.

Grafica N 6HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS DE LA ESTATURA EN

CENTMETROS DE UN GRUPO DE 50 ESTUDIANTES

0 146 150 154 158 162 166 170 174


20 1

8

16

14

12

10

8

6

4

2

0

F

r

e

c

u

e

n

c

i

a

s

Estatura en centmetros de los estudiantes

AUTOEVALUACION.

1. Para que sirve la distribucin de frecuencias. ____________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

______

2. Enuncie las propiedades de las frecuencias. _______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

____________________

3. Como se determina la amplitud de un intervalo?. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________


4. Que es el rango o recorrido?. _________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Cuantos intervalos se aconseja construir en una tabla de distribucin de frecuencias?. __________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________6. Que es una marca de clase?.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________7. Mediante que formula obtiene usted el nmero de

intervalos.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Cuales son las principales graficas que se utilizan en la estadstica. ________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________9. En que tipo de variable se aconseja la grafica de

lneas.________________________________________________________________________________________________________________________________________


_______________________________________________________

10. En que tipo de variable se aconseja la grafica de pastel._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

UNIDAD NMERO TRES

3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Se conocen tambin con el nombre de medidas de posicin, y son

las que nos permiten determinar la posicin de un valor respecto a

un conjunto de datos, el cual consideramos como valor

representativo de las observaciones realizadas.

El anlisis de las mediadas de posicin es conveniente realizarlo

unido a los resultados de las medidas de dispersin que veremos

en un capitulo posterior.


Entre las principales medidas de tendencia central podemos

considerar las siguientes:

Media aritmtica.

Mediana

Modo o moda.

Media geomtrica.

Media armnica

Media cuadrtica.

Media cbica.

Centro o recorrido

Cuartiles, deciles y percentiles.

Antes de seguir adelante, es conveniente detenernos de manera

muy rpida para conocer un concepto de mucha utilidad es esta

unidad, y es el referido a las desviaciones.

DESVIACIONES (Z). Las desviaciones son las diferencias que se presentan entre los valores de la variable y un punto fijo, que

puede ser la media aritmtica o un origen de trabajo.

3.1 MEDIA ARITMTICA ( X )


Concepto. La media aritmtica matemticamente es definida como la suma de todos lo valores observados dividida entre el numero

total de observaciones.

Calculo. Su calculo es muy sencillo; veamos el siguiente ejemplo: si un pescador asegura que pesca diariamente unos 37 kilos de

sierra, debemos creerle aunque sepamos que algn da de la

semana no pesca nada, lo que sucede es que algunos das pesca

mas de 37 kilos y as compensa aquellos de baja cantidad, de

acuerdo a la explicacin anterior sobre el concepto, veamos:

Tabla N 9DIAS DE PESCA TOTAL kilosLunes 75

Martes 42

Mircoles 0

Jueves 42

Viernes 37

Sbado 42

Domingo 0

Lunes 75

Martes 42

Mircoles 30

Jueves 29


Viernes 29

Sbado 38

X = Xi/n

Las observaciones, es decir, lo obtenido en cada da de pesca, se

representan:

X1 = 75 X2 = 42 X3 = 0 X4 = 42

X5 = 37 X6 = 42 X7 = 0 X8 = 75

X9 = 42 X10 = 30 X11 = 29 X12 = 29

X13 = 38

X = 75+42+0+42+37+42+0+75+42+30+29+29+38 = 481 13 13

luego X = 37

EL anterior ejemplo muestra el clculo de la media aritmtica

cuando se trata de datos simples, es decir, sin agrupar.

Si los datos estn agrupados procedemos de la siguiente manera:


Digamos que al pescador del ejemplo anterior se le hizo

seguimiento durante varios das y se obtuvo:

Agrupemos los datos de las observaciones del pescador reseadas

en un ejemplo anterior y las ubicamos en la siguiente tabla.

Tabla N 10

KILOS DE SIERRA CAPTURADOS POR UN PESCADOR

Cantidad Klg. Frecuencia (fa)0 2

29 230 137 138 142 475 2

13

X = Yifa n


X = 0(2)+29(2)+30(1)+37(1)+38(1)+42(4)+75(2) __________________________________________ =

13

0+58+30+37+38+168+150 481 = 13

13

luego X = 37

3.1.1 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMTICA.

La media aritmtica tiene ciertas propiedades que permiten con

mayor facilidad la solucin de algunos problemas; las principales

son:

La suma de las desviaciones respecto a la media aritmtica es

siempre igual a cero (0).

Para la comprobacin sigamos con el ejemplo del pescador.

OBSERVACIONES MEDIA ARITMTICADESVIACIONES

Xi X Zi

75 37 3842 37 5


0 37 -3742 37 537 37 042 37 50 37 -3775 37 3842 37 530 37 -729 37 -829 37 -838 37 1

_____Suma 0

En datos agrupados tendremos:

Tabla N 11

DATOS AGRUPADOS DE LAS OBSERVACIONES DE PESCA

Yi fi yifa ZI Zi fa0 2 0 -37 -74

29 2 58 -8 -1630 1 30 -7 -737 1 37 0 038 1 38 1 142 4 168 5 2075 2 150 38 76

13 481 0


La media de una muestra es igual a la media ponderada de las

submuestras, tomndose como ponderacin los tamaos de

esas submuestras.

Comprobacin:

Muestra submuestra 1. submuestra 2Xi fi Xi fi0 2 029 2 5830 1 3037 1 3738 1 3842 4 16875 2 150

481


Xi fi Xi fi37 1 3738 1 3842 4 16875 2 150

8 393Xi fi Xi fi0 2 029 2 5830 1 30

5 88

Xt = 37 X1 =17.6 X2 = 49.1

La media aritmtica de las dos submuestras de manera conjunta ser igual a:

Xt = X1(f1) +X2(f2) Xt = 17.6(5) + 49.1(8) n1+n2 ; 5+8

Xt = 88+392.8 Xt = 37 13

La media aritmtica de una constante por una variable, es igual

al producto de la constante por la media aritmtica de la

variable.

Sea la constante K = 3

Variable sola variable por K


kXi fi kXi fi0 2 0

87 2 17490 1 90

111 1 111114 1 114126 4 504225 2 450

13 1443

Xi fi Xi fi0 2 0

29 2 5830 1 3037 1 3738 1 3842 4 16875 2 150

13 481

La media aritmtica de una constante mas una variable, es igual

a la constante ms la media aritmtica de la variable.

Comprobacin:

Sea la constante K = 3

Variable sola variable + K


Xi fi Xi fi0 2 0

29 2 5830 1 3037 1 3738 1 3842 4 16875 2 150

13 481

K+Xi fi kXi fi3 2 6

32 2 6433 1 3340 1 4041 1 4145 4 18078 2 156

13 520

X = 481 = 37x3 =111 13 X = 1443 = 111

13

La suma de los cuadrados de las desviaciones es mnima,

cuando dichas desviaciones se toman respecto a la media

aritmtica.

Comprobacin: tomemos la informacin que hemos venido trabajando de manera parcial, y adems tomemos otros dos

parmetros, por ejemplo, asumamos los parmetros P = 30, y

T = 50, ambos diferentes de la media.

Tabla N 12CALCULO DE LOS CUADRADOS DE LAS DESVIACIONES DE

LA MEDIA Y DE OTROS PARMETROS.

X X Z Z2

Para-metro

PDesv.

Respectoa p

P2

Para-metro

T

Desv. Respecto a T

T2

75 37 38 1444 30 45 2025 50 25 62542 37 5 25 30 12 144 50 -8 640 37 -37 1369 30 -30 900 50 -50 2500

42 37 5 25 30 12 144 50 -8 6437 37 0 0 30 7 49 50 -13 169


X = 481/13 = 37+3 =40 X = 520/13 = 40

42 37 5 25 30 12 144 50 -8 640 37 -37 1369 30 -30 900 50 -50 2500

75 37 38 1444 30 45 2025 50 25 62542 37 5 25 30 12 144 50 -8 6430 37 -7 49 30 0 0 50 -20 40029 37 -8 64 30 -1 1 50 -21 44129 37 -8 64 30 -1 1 50 -21 44138 37 1 1 30 8 64 50 -12 144

5904 6541 8101

Son obvios los resultados.

OTRO METODOS PARA EL CALCULO DE LA MEDIA ARITMTICA

a. Se calcula mediante la utilizacin de las desviaciones con

respecto al origen de trabajo.

b. De las observaciones: 36 42 50 58 66 72 80

86; y adems, tiene las siguientes frecuencias absolutas: 8,

12, 10, 4, 8, 14, 6, 9.

En primer trmino obtengamos la media aritmtica de la manera

convencional como se explico anteriormente:

Tabla Numero 13


DISPOSICIN DE LA INFORMACIN PARA EL CALCULO DE LA MEDIA

Yi fa Yifa

36 8 28842 12 50450 10 50058 4 232

66 8 52872 14 100880 6 48086 9 774

71 4314

Y = 4314/71 = 60.8

Partamos de la misma informacin:

Se tienen las observaciones: 36 42 50 58 66 72 80

86; y adems, tiene las siguientes frecuencias absolutas: 8,

12, 10, 4, 8, 14, 6, 9.

El procedimiento es el siguiente:

Denotamos a Zi como las desviaciones respecto a un origen de

trabajo.

Teniendo en cuenta que el numero de datos (observaciones es par,

se toma uno de los dos valores centrales; cuando es impar se toma


el dato central, todo lo anterior, con el fin de simplificar las

operaciones.

Asi: Zi = Yi - OtAhora, tomemos la observacin 58 como nuestro origen de trabajo,

para as calcular a Zi

Tabla N 14INFORMACIN PARA EL CLCULO DE LA MEDIA

ARITMTICA

Yi fa Zi Zifa36 8 -22 -17642 12 -16 -19250 10 -8 -8058 4 0 066 8 8 6472 14 14 19680 6 22 13286 9 28 252

Sum. 71 - 196

La media aritmtica ser: Y = Ot + Sum ZiFa / n

= 58 + 196 / 71 luego la media aritmtica Y = 60.76NOTA: en el clculo de la media aritmtica, debe tenerse en cuenta

la existencia de valores extremos (altos o bajos), para que el

anlisis no se distorsione.


3.2 LA MEDIANA. (Me).

CONCEPTO. Se define como aquel valor que supera a no ms de la mitad de las observaciones y que a su vez es superado por no

ms de la mitad de las observaciones; la mediana es un valor

central.

CALCULO. Para su clculo se tiene en cuenta si el nmero de observaciones es una cifra par o impar ya sea en datos agrupados

o no agrupados.

Si se trata de datos NO AGRUPADOS en un numero impar de observaciones, debemos ordenar los datos de menor a mayor, o de

mayor a menor.

Tomemos las siguientes observaciones: X1 = 4; X2 = 2; X3 = 10;

X4 = 12; X5 = 8; X6 = 20; X7 = 15.

Si los ordenamos de menor a mayor tenemos:

2 4 8 10 12 15 20; luego, Me = 10

Tambin podemos calcular la Me como n+1/2; asi para el caso

anterior tendremos que n = 7, luego:


Me = 7+1/2 = 4, lo que indica que la mediana corresponde a la

observacin nmero cuatro, correspondiente al valor de 10.

Cuando el numero de observaciones es una cifra par la mediana es igual al promedio aritmtico de las dos observaciones centrales,

es decir, a la suma de sus valores dividido entre dos.

Si X1 = 4; X2 = 16; X3 = 6; X4 = 10; X5 = 18 X6 = 14

Me = 4 6 10 14 16 18

Me = 10+14/2 = 24/2 = 12.

Cuando se trata de datos AGRUPADOS, el clculo se realiza

mediante la formula:

n/2 FA (i-1)Me = LI + __________________ C; donde:

fa

LI = limite inferior del intervalo mediano, (donde se encuentra la

posicin n/2)

n = numero de observaciones

FA = frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano.


fa = frecuencia del intervalo mediano.

C = amplitud del intervalo.

Sean las siguientes observaciones

Tabla N 15

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA DE LOS CI DE 50 ESTUDIANTES

Yi-1 - yi Ya fa fr FA FR146.5 150.5 148.5 0 0 0 0.0150.6 154.5 152.5 16 0.32 16 0.32154.6 158.5 156.5 16 0.32 32 0.64158.6 162.5 160.5 9 0.18 41 0.82162.6 - 166.5 159.5 4 0.08 45 0.90166.6 - 170.5 168.5 5 0.10 50 1.00170.6 - 174.5 172.5 0 0 50 1.00Sumatoria - 50 1.00

50/2 32

Me = 158.6 + __________________ 4; = 155.49

9

Lo anterior indica que el 50% obtuvo menos de 155.49 puntos y

que el 50% obtuvo ms de 155.49 puntos.

3.3 MODA. (MO)


Concepto. La moda o modo es valor de la variable con mayor frecuencia; puede presentarse mas de una observacin con el

mismo numero de frecuencia, es decir, varias modas, asi

estaramos hablando de multimodal, o con dos modas, bimodal.

Si tomamos el ejemplo anterior, encontramos que se trata de

una distribucin bimodal, ya que se presentan dos

observaciones agrupadas con una frecuencia de 16, esta es la

moda; bimodal para este caso.

Tabla N 16DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA DE LOS CI DE 50

ESTUDIANTES

Yi-1 - yi Yi fa fr FA FR146.5 150.5 148.5 0 0 0 0.0150.6 154.5 152.5 16 0.32 16 0.32154.6 158.5 156.5 16 0.32 32 0.64158.6 162.5 160.5 9 0.18 41 0.82162.6 - 166.5 159.5 4 0.08 45 0.90166.6 - 170.5 168.5 5 0.10 50 1.00170.6 - 174.5 172.5 0 0 50 1.00Sumatoria - 50 1.00

3.4 MEDIDAS DE POSICIN (PERCENTILES)


3.4.1 CUARTILES. Llamados tambin cuartillas, son valores posicionales que dividen la informacin en cuatro partes iguales, el

primer cuartil deja el 25% de la informacin por debajo de l, y el

75% por encima, el segundo cuartil, al igual que la mediana, divide

la informacin en dos partes iguales, y por ultimo el tercer cuartil

deja el 75% por debajo de si, y el 25% por encima.

REPRESENTACIN GRAFICA.

Q1 Q2 Q3

0% 25% 50% 75% 100%

Se necesita calcular tres Cuartiles, el cuarto resulta por residuo.

Su formula es la siguiente:

kn/4 FA (i-1)Qk = LI + __________________ C; donde:

fa

k = orden del cuartil: (1,2,3)

LI = limite inferior del intervalo, donde se encuentra el cuartil

n = numero de observaciones


FA (i-1) = frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior al que

contiene el cuartil.

Fa = frecuencia del intervalo que contiene el cuartil.C = amplitud de los intervalos.

Tabla N 17

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA DE LOS CI DE 50 ESTUDIANTES

Yi-1 - yi Yi fa fr FA FR146.5 150.5 148.5 0 0 0 0.0150.6 154.5 152.5 16 0.32 16 0.32154.6 158.5 156.5 16 0.32 32 0.64 Q1158.6 162.5 160.5 9 0.18 41 0.82 Q2162.6 - 166.5 159.5 4 0.08 45 0.90 Q3166.6 - 170.5 168.5 5 0.10 50 1.00170.6 - 174.5 172.5 0 0 50 1.00Sumatoria - 50 1.00

CALCULO MATEMTICO.

Primer cuartil: Q1 = 154.5 + 1(50)/4 16 x 4 = 153.6

16


Interpretacin del resultado: el 25% de los alumnos obtuvieron

menos de 153.6 puntos; mientras que en un 75% su puntaje fue

superior a 153.6.

Segundo cuartil: recordemos que debe ser igual a la medianaluego: Q2 = 158.5 + 2(50)/4 32 x 4 = 155.4

9Interpretacin del resultado: el 50% de los estudiantes obtienen

menos de 155.4 puntos de CI, mientras el otro 50% obtuvo un

puntaje mayor a 155.4.

Tercer cuartil: Q1 = 162.5 + 3(50)/4 41 x 4 = 159

4

Interpretacin del resultado: el 75% de los estudiantes obtuvo

menos de 159 puntos, mientras que en el 25% su puntaje fue

superior.

3.4.2 QUINTILES. Llamados tambin quintillas, dividen la informacin en cinco partes iguales, agrupadas en porcentajes

de 20, 40, 60, y 80%, lo cual indica que se deben calcular

cuatro (4) parmetros.

REPRESENTACIN GRAFICA.


Q1 Q2 Q3 Q4 Q5

0% 20% 40% 60% 80% 100%

CALCULO MATEMTICO:

El calculo matemtico se realiza con la formula anterior, cambiando

el parmetro que divide a kn; para el caso anterior fue cuatro

(4), ahora ser cinco (5).

Tabla N 18DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA DE LOS CI DE 50

ESTUDIANTESYi-1 - yi Yc fa fr FA FR146.5 150.5 148.5 0 0 0 0.0150.6 154.5 152.5 16 0.32 16 0.32154.6 158.5 156.5 16 0.32 32 0.64 Q1158.6 162.5 160.5 9 0.18 41 0.82 Q2162.6 - 166.5 159.5 4 0.08 45 0.90 Q3166.6 - 170.5 168.5 5 0.10 50 1.00170.6 - 174.5 172.5 0 0 50 1.00Sumatoria - 50 1.00

3.4.3 DECILES Y CENTILES. Similar a los casos anteriores, la informacin se divide en 10 partes iguales para los deciles y en

cien para los centiles.


En trminos generales, el calculo de cualquier percentil, se realiza mediante:

Qk = LI + kn/r FA (i-1) xC

faDonde:

LI = limite inferior del intervalo que contiene el percentil. k = orden

del percentil.

FA (i-1 = frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior al que

contiene el percentil.

n = numero de observaciones.

C = amplitud de los intervalos.

r = numero de partes en que se divide la informacin.

fi = frecuencia del intervalo que contiene el percentil.


AUTOEVALUACION.

1. Haga un listado de los promedios que usted conoce___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Que son las desviaciones. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Si la media de 75 artculos es de 52.6 galones, y la de 25 artculos es de 48.4 galones, encuentre la media de los 100 artculos.

4. La suma de las desviaciones es igual a cero cuando se toman con respecto a la media aritmtica? ________

5. Un grupo de valores puede tener mas de una media aritmtica? ___

6. Para calcular las marcas de clase, se suma el lmite inferior al suprior y se divide por dos? ______

7. enuncie y explique una de las propiedades de la media aritmtica.__________________________________________________________________________________________


__________________________________________________________________________________________________

8. D un ejemplo de observacin multimodal._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Que son los cuartiles: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. Que relacin existe entre la mediana y el segundo cuartil

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________


UNIDAD NMERO CUATRO

4. MEDIDAS DE DISPERSIN

CONCEPTO. Llamados tambin estadgrafos de dispersin, determinan como se agrupan o dispersan los datos alrededor de un

promedio.

4.1 RANGO O RECORRIDO. ( R ) Es la mas sencilla de todas, y solamente tiene en cuenta los valores extremos de los datos.

R = Xi mximo Xi mnimo.

Sean las observaciones: 28, 38. 70, 96, 48

R = 96 28 = 68

R = 68

4.2 DESVIACIN MEDIA (DM). Sirve para medir la distancia absoluta promedio entre cada uno de los datos (observaciones) y el


parmetro caracterstico de la informacin; que generalmente es la

media aritmtica.

m

CALCULO DM = Xi X fa 1

n

Xi = diferentes valores de la variable X. fa = numero de veces que se repite la observacin Xi

X = media aritmtica de la informacin.

n = tamao de la muestra.

m = numero de agrupamientos o intervalos.

Sea el ejemplo consignado en la tabla nmero 18, datos de los

cuales ya se conoce que la media aritmtica e igual 60.76

Tabla N 19CALCULO DE LA DESVIACIN MEDIA

Xi fa Xi - X Xi X fa

36 8 24.76 198.0842 12 18.76 225.12


50 10 10.76 107.6058 4 2.76 11.0466 8 5.24 41.9272 14 11.24 157.3680 6 19.24 115.4486 9 25.24 227.16 71

4.3 VARIANZA. (S2) Y LA DESVIACIN TPICA O ESTNDAR. (S).CONCEPTO. Es de las ms utilizadas entre las medidas de dispersin, y se define como la media aritmtica de los cuadrados

de las desviaciones respecto a su media. La desviacin tpica (S), es la raz cuadrada de la varianza.

CALCULO. Existen varias formulas para realizar su clculo, entre ellas tenemos:

Para datos sin agrupar:

Xi2 n X2

S2 = ; S2 = Xi2 X2 n n

Ejemplos:

Sean las observaciones sin agrupar: X1 = 8, X2 = 6, X3 = 11,

X4 = 9, X5 = 14, X6 = 10, X7 = 5


Donde, X = 8+6+11+9+14+10+5 = 63/7 = 97

Xi2 = 82+62+112+92+142+102+52 = 623

Adems, n = 7; X2 = 81

Luego: S2 = 623 7(81) = 623 567 = 8 7 7

Tambin podemos calcular la varianza mediante la segunda

formula asi:

S2 = 623/7 81 = 89 81 = 8

Habamos anotado que la desviacin estndar S, es la raz

cuadrada de la varianza; luego para nuestro ejemplo tendremos:

S = S2 luego, S = 8 ; S = 2.8

4.4 COEFICIENTE DE VARIABILIDAD. (CV). O de variacin tiene en cuenta el valor de la media aritmtica, para establecer un

numero relativo; nos permite comparar varios datos que estn

expresados en diferentes unidades, y se define como la relacin

entre la desviacin tpica sobre la media aritmtica multiplicada por

cien.


CV = S/X. 100

Tomando la informacin del ejemplo anterior, cuando se calcul la

varianza, podemos ahora determinar le coeficiente de variabilidad

CV

CV = 2.8/9X100 CV = 31.1%

Nota: este resultado lo podemos analizar mas adelante cuando

tengamos el CV, de los datos agrupados.

Calculo de la varianza para datos agrupados:

S2 = ( Yi - Y )2 fa, o tambin, S = Y2fa - Y2

n n

con la informacin del ejemplo del pescador que hemos venido

analizando construyamos una tabla segn las necesidades,

recordando que la media aritmtica es igual a 37, en razn a que:

Y = 481/13 de donde: Y = 37

Yi fa Yi - Y (y y )2 (Yi Y)2fa Yi fa Y2 Y2fa

0 2 -37 1369 2738 0 0 029 2 -8 64 128 58 841 168230 1 -7 49 49 30 900 90037 1 0 0 0 37 1369 136938 1 1 1 1 38 1444 1444


42 4 5 25 100 168 1764 705675 2 38 1444 2888 150 5625 11250

13 5904 481 23701

Ahora podemos aplicar las formulas correspondientes, y

encontramos que:

a) S2 = 5904/13 = 454.2

b) S2 = 23701/13 372 S2 = 1823.2 1369 = 454.2

igualmente, S = 454.2 S = 21.3

ahora, CV = 21.3/37X100 CV = 57.6%

De los resultados anteriores podemos deducir, que en los datos

sin agrupar hay menos dispersin de la informacin por cuanto

los valores extremos son poco significativos; dicho de otra

manera, en el segundo caso (datos agrupados) hay valores

extremos distantes de la media aritmtica.


AUTOEVALUACION.

1. Enuncie las principales medidas de tendencia central. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Que concepto tiene usted de la media aritmtica. _________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Enuncie tres propiedades de la media aritmtica. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Explique un concepto de mediana._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Que concepto dara usted sobre la moda.__________________________________________________________________________________________________________________

6. Que son los cuartiles.__________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Que son las mediadas de dispersin. ___________________


__________________________________________________________________________________________________

8. Que utilidad tiene la desviacin media. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Como se define la varianza. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. Que utilidad tiene en estadstica el coeficiente de variabilidad. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


SEGUNDA PARTE(Estadstica II)


UNIDAD NUMERO CINCO

5. INTRODUCCIN A LAS PROBABILIDADES

5.1 INTRODUCCIN.

Si nosotros furamos chinos, propondra dejar de lado esta unidad,

pues ellos consideran que las probabilidades son exclusivamente

de Dios.

El concepto de probabilidad se pude interpretar sin necesidad de definirlo, pero teniendo en cuenta que nos sirve con mucha claridad

para expresar el grado de creencia sobre la ocurrencia de un

suceso. Las probabilidades guardan relacin con la teora de los

conjuntos, de mucha importancia en la estadstica inferencial.

Un concepto generalizado sobre probabilidad dice que: es la

medida del grado de confianza que se tiene de que ocurra el

acontecimiento en el prximo ensayo.


5.2 ESCALA DE PROBABILIDADES

1 certeza absoluta

Hecho verosmil

0,5

Hecho inverosmil Imposibilidad absoluta

0

Consecuente con el concepto de probabilidad, entendemos que

existen eventos de los cuales tenemos dudas, es decir, no

podemos asegurar con certeza; de all, que dudamos al lanzar

nuestro juicio, no obstante, existen situaciones en las cuales

estamos seguros de algo antes del suceso.

Analicemos y comentemos cada una de las situaciones que

contiene el grafico.

a. Hecho cierto. Cuando son favorables todos los casos posibles. Ganar la lotera si he comprado todos los billetes.


b. Hecho verosmil. Cuando el suceso es susceptible de realizarse, pero los casos favorables son menores que la

unidad, pero mayores de 0,5, por ejemplo, ganar la lotera

si he comprado mas de la mitad de los billetes.

c. Hecho inverosmil. Cuando el suceso es susceptible de realizarse, pero los casos favorables son menores de 0,5,

sin que lleguen a ser cero. Ganar la lotera si he comprado

menos de la mitad de los billetes.

d. Hecho imposible. Cuando no existe posibilidad alguna de casos favorables. Ganar la lotera si no he comprado ni un

billete.

El calculo elemental de la probabilidad, desde el punto de vista clsico, es:

Numero de casos favorables p =

Numero de casos posibles

Como resultado de la formula anterior, y concordante con el grafico,

tenemos que la probabilidad p, siempre estar entre 0 y 1, es decir, p menor que 1 pero mayor que 0.

El caso tpico del lanzamiento de una moneda normal, siempre

debe caer o bien cara, o bien sello; y cada probabilidad equivale a

= 0,5


De lo anterior tambin se deduce, que la suma de probabilidades

de un mismo evento es igual a la unidad.

5.3 ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO. (U)

El espacio muestral de un experimento, se puede representar en

forma de cuadricula o a travs del diagrama del rbol.

a. Experimento uno . Lanzamiento de una moneda, lo natural es esperar obtener cara o sello.

U = c, s

U = ,

b. Experimento dos . Lanzamiento de dos monedas.

U = cc, cs, sc, ss

U = , , ,

c

csc diagrama del rbol


s s

c. Experimento tres. Lanzamiento de un dado correcto.

U = 1, 2, 3, 4, 5, 6

U = , , , , ,

d. Experimento cuatro . Una familia con tres hijos.

Casos posibles

U HHH HHM HMH HMM MHH MHM MMH MMM

1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8


H H M

H H

M M

H H

M M

M H

M

Ejemplo; cual es la probabilidad de que los hijos de una familia

sean todos hombres?

P = CF/ CP

U = HHH HMH HMM HHM MMM MHM MMH MHH

Luego P = 1/8

5.4 TCNICAS DE CONTEO.

Las tcnicas de conteo son de utilidad cuando en la prctica se hace casi imposible contar fsicamente el numero de ocurrencias de


un evento, lo que obliga a la bsqueda de un mtodo corto, rpido

y seguro. De las ms utilizadas vamos a tomar, las permutaciones

y las combinaciones.

5.5 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.

Las permutaciones ( Pn nPn ) son tcnicas de conteo, que consisten, en ordenar o hacer arreglos de todos los elementos de

un conjunto.

Calculo: Pn = n!, y se lee como permutaciones de n elementos tomados de n en n; asi una permutacin es igual a n! (ene factorial), donde n equivale a numero de elementos a ordenar.

Por definicin, 0! Es igual a uno.

Desarrollo del factorial. 4! = 4x3x2x1 = 248! =8x7x6x5x4x3x2x1 =40.320.

Ejemplos.

1. De cuantas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra CARO.


Veamos: como la palabra consta de cuatro (4) letras, Pn =4!

Luego, P = 4x3x2x1 = 24; comprobemos:

CARO CAOR CROA CRAO COAR CORA

ACOR ACRO AROC ARCO AORC AOCR

RACO ROCA RCAO ROAC RAOC RCOA

OCRA ORCA OACR OARC OCAR ORAC

2. Se desea ordenar en una fila a los siguientes alumnos: LUISA, JUAN, PEDRO, MARTHA y JOSEFA; de cuantas formas diferentes

se hacer?.

La solucin ser: n Pn = n!

5P5 = 5! 5X4X3X2X1 = 120

2. Alguien quiere colgar 6 cuadros en lnea recta sobre una

pared de su biblioteca; de cuantas maneras lo puede hacer?

nPn = n!6P6 = 6! 6x5x4x3x2x1 =720

Las combinaciones, ( nCr son arreglos de elementos sin importar el orden en que se dispongan, tambin es un arreglo de

cierto numero de elementos tomados de un conjunto de ene


elementos en tal forma que el orden en que se dispongan no

importa.

Ejemplos:

1. Un club que tiene 12 miembros , va a elegir, presidente,

vicepresidente, secretario y tesorero; cuantas planchas

diferentes podr organizar para ocupar esos cargos?.

Tenemos: nCr = n! r! ( n r )!

12C4 = 12! = 12! = 4! ( 12 4 )! 4! X 8!

12X11X10X9X8! = 11880/24 = 495

4X3X2X1X8!

2. cuantos comits diferentes se pueden organizar de un grupo

de 8 personas, si el comit lo conforman solamente cinco?.

8 C5 = 8! 8X7X6X5! 5! ( 8 5)! 8 C5 = 5! X 3X2X1 = 56


AUTOEVALUACION.

1. De cuantas maneras puede formarse un comit de 5

personas teniendo un total de nueve?

2. Que es un espacio muestral? _________________________

_________________________________________________

_________________________________________________

_________________________________________________

3. Que es un experimento? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Que diferencia hay entre permutaciones y combinaciones? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. La probabilidad de la ocurrencia de un evento debe ser mayor

o iguala cero y menor que uno? _____

6. De cuantas maneras puede formar una familia de 5 hijos, si

desea que dos sean nias y tres nios?

7. Determine el valor de : 7!; 8!; 5!; 3! Por 4!; 5! Mas 6!


8. Exprese por medio del diagrama del rbol, el lanzamiento de

una moneda tres veces.

9. Porque son importantes las tcnicas de conteo?

_________________________________________________

_________________________________________________

_________________________________________________

_________________________________________________

_________________________________________________

10. Describa el espacio muestral del lanzamiento de dos dados:


UNIDAD NMERO SEIS

6. DISTRIBUCIONES DE MUESTREO ALEATORIO

A manera de complemento a lo explicado en la primera parte,

abordemos este tema en lo concerniente a la parte terica, de

manera tal que permita clarificar esta importante herramienta en los

procesos investigativos.

Es posible afirmar que una de las principales tareas de la

estadstica es la de realizar inferencias acerca de una poblacin

objetivo, con base en los resultados obtenidos a travs de una

muestra.

Recordemos que poblacin o universo lo definimos como un

conjunto de elementos; y que un elemento o unidad puede ser una

persona, una familia, una empresa, un rbol, objeto o animal.

Cuando se realiza una investigacin, es pertinente estudiar las

caractersticas de los elementos que sirven como base en el

estudio, estas caractersticas pueden ser, cualitativas (atributos),

que se expresan por palabras: alto, poco, grande, bueno, etc. o

cuantitativas (variables), que pueden ser expresadas en forma


numrica: dos, cero, cinco, siete, etc., y pueden adems ser

medidas.

6.1 Marco muestral. Se refiere a un listado actualizado y revisado que contiene todos los elementos constitutivos de la

poblacin objeto de la investigacin.

6.2 Encuesta preliminar o piloto. Es aquella recomendad

estadistica distancia- jhon luna

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