EstadísticaEstadística

Clase 3

Intervalos de confianza

LIS: (X Z(1- /2) / √ n ; X Z(1- /2) / √ n)

error estándarcoeficiente de confianzaestimador

Intervalo de confianza

Está compuesto por:

El error estándar

Es posible tener cierto control sobre el intervalo manejando el tamaño de la muestra ya que es la variable sobre la que se

puede intervenir en el error.

LIS: (X - Z(1- /2) / √ n ; X + Z(1- /2) / √ n)

+ n => - ( / √ n) => - IC

Entonces, si:

- n => + ( / √ n) => + IC

Intervalo de confianza

El coeficiente de confianza

LIS: (X - Z(1- /2) / √ n ; X + Z(1- /2) / √ n)

El coeficiente de confianza depende del nivel de significancia : “representa la probabilidad de que el parámetro no sea considerado en el intervalo”.

Entonces, si:

+ => - Z(1 – /2) => - IC

- => + Z(1 – /2) => + IC

¿Por qué?

es el nivel de significancia, es decir, a medida que aumenta la probabilidad de que el parámetro buscado quede fuera del

intervalo que se intenta construir el valor de Z disminuye, por lo tanto, disminuye la probabilidad de que el intervalo contenga al

verdadero valor y disminuye el intervalo.

Ejemplo

Longitud del intervalo

La longitud está dada por:

L = 2 z ( / √ n)

Es decir, al aumentar el nivel de confianza (y disminuye el nivel de significancia) aumenta la longitud del intervalo.

La longitud del intervalo es una medida de precisión del intervalo.

Entonces, para que algún intervalo sea considerado de interés el nivel de confianza debe ser alto y por ello los niveles de confianza

que reportan utilidad son a partir del 90%.

Con media normal y varianza conocida

LIS: (X - Z(1- /2) / √ n ; X + Z(1- /2) / √ n)

Permite estimar, con cierto grado de certeza, que el verdadero

valor de esté incluido en él.

Intervalo de confianza

Ejemplo

Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos dio un contenido promedio de nicotina de 3,0 milígramos. Supongamos que la distribución es normal con desviación igual a 1,0 milígramos.

a.-) Obtener e interpretar un intervalo con el 95 % de confianza para el verdadero promedio de nicotina.

b.-) El fabricante garantiza que el contenido promedio de nicotina es de 2,9 milígramos, ¿Qué se puede concluir?

Solución

x = contenido promedio de nicotina

X = 3,0

= 5% = 0,05

Z (1 – 0.05/2) = Z 0,975 = 1.96

= 1,0

n= 36

Sea:

LIS: (X - Z(1- /2) / √ n ; X + Z(1- /2) / √ n)

LIS : [3,0 – 1,96 (1 / √36) ; 3,0 + 1,96 (1 / √36)]

LIS : [2,67 ; 3,33]

Es decir, tenemos una certeza del 95% de que el verdadero valor promedio de la nicotina se encuentra entre 2,67 y 3,33.

Si el fabricante garantiza 2,9 milígramos de nicotina por cigarrillo. Existe evidencia para corroborar los datos entregados, por lo

tanto no se puede entregar el valor dado de fábrica.

Intervalo de confianza

Con media normal y varianza desconocida

LIS: [X - t(n – 1; 1 – /2 ) (s / √ n) ; X + t(n – 1; 1 – a/2 ) (s / √ n)]

s = desviación estándar muestral

(n – 1) = grados de libertad

t(n – 1); (1 – /2) = valor tabla

Donde:

Ejemplo

Los siguientes son los registros de las mediciones del tiempo (en minutos) que tardaron 15 operarios para familiarizarse con el manejo de una máquina moderna recientemente adquirida por la empresa: 3,4; 2,8; 4,4; 2,5; 3,3; 4;0; 4,8; 2,9; 5,6; 5,2; 3,7; 3,0; 3,6; 2,8; 4,8.

a.-) Construir e interpretar un intervalo con un 95% de confianza para el verdadero tiempo promedio empleado.

b.- ) El instructor afirma que el tiempo promedio empleado está por sobre los 5 minutos, ¿qué se puede afirmar?.

Solución

x = tiempo promedio

X = 3,8

= 5% = 0,05

t (16 - 2; 1 - 0.05/2 ) = t 0,975 = 2,145

= 0,971

n= 15

LIS: [X - t(n – 1; 1 – /2 ) (s / √ n) ; X + t(n – 1; 1 – a/2 ) (s / √ n)]

LIS: [3,8 – 2,145 (0,971 / √ 15) ; 3,8 + 2,145 (0,971 / √ 15)]

LIS: [3,26 ; 4,34]

Se puede afirmar con un 95% de certeza que se necesitan entre 3,26 y 4,34 minutos para que los operarios puedan familiarizarse con la máquina.

Hay evidencia que permite cuestionar la afirmación del supervisor puesto que los 5 minutos están fuera del intervalo.