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7/22/2019 ESTABILIDAD DE PEQUEA SEAL BETANCOURT.ppt

1/45

Estabilidad de sistemas

elctricos de potencia

Dr. R.O.J. Betancourt


2/45

El modelo dinmico elemental de

un SEP

Considere una generador elctrico suministrando

energa a un SEP.

Sistema

Elctrico

depotencia

Pe

Generador

Turbina

Pm


3/45

mTD

Coeficiente

de friccin

J

eT

Referencia Diagrama de

slido libre

X

2

2

dt

dJ

mT

eT

dt

dD

Anlisis dinmico


4/45

em TTdt

dJ

2

2

A partir del diagrama de slido libre la ecuacin de

movimiento puede determinarse a partir de la segunda

ley de newton para sistemas rotacionales.

La suma de pares es igual a la masa por la

aceleracin

Donde: J es el momento de inercia en kg-m2 del grupo turbo generador.

es el ngulo mecnico de la flecha con respecto a una referenciafija en radianes.

Tm

es el par mecnico producido por el primotor en N-m

Tees el par elctrico producido por el generador en N-m

Par acelarante

Positive- increase velocity

Negative- decrease velocity


5/45

Consideraciones

1.El par mecnico se asume constante ya que loscontroles de turbina no son sensibles ante

pequeos cambios en la velocidad de la

maquina.

2.No se asumen perdidas en la maquina por

friccin o ventilacin.

3.Un cambio en la potencia elctrica origina uncambio en la potencia acelarante y la maquina

se acelera cuando la potencia elctrica

disminuye y se desacelera cuando la potencia

elctrica aumenta.


6/45

La ecuacin anterior describe el valor del ngulo con

respecto al estator que es una referencia fija. Sin

embargo es conveniente medirla con respeto al rotor el

cual se asume esta girando a una velocidad constante,entonces se puede decir que

t0

Donde 0 es la velocidad del rotor de la maquina enradianes mecnicos por segundo y es el ngulo del

rotor con respecto a la velocidad sncrona. Ahora

derivando dos veces la expresin anterior se tiene que

dtd

dtd 0

2

2

2

2

dt

d

dt

d


7/45

Sustituyendo la ec anterior en la ec. De oscilacin se

tiene que

em TTdt

dJ 2

2

La ecuacin anterior puede ser expresada en trminos

de potencias, para ello multiplicamos toda la ec. por la

velocidad, y recordando que el producto de velocidad porpar mecnico da potencia entonces se tiene que

emem PPTT

dt

dJ

2

2

Donde: Pm

es la potencia en watts producida por el primotor

Pees la potencia elctrica en el entrehierro de la maquina en watts

Momento

angular o

inercia


8/45

em PP

dt

dM

2

2radseg-J

inerciadeconstante

1/2

segradmKg

JM

Conversin Unidades

1 N = 1 Kg m/s2

1 J = 1 N m

Dado que la energa cintica de la maquina esta dada en trminos del

momento de inercia

sincronvelocidadJoules2

02

1JEC

Por lo que puede expresarse en trminos de la constante de inercia

sincronvelocidadJoules02

1MEC


9/45

En las maquinas es mas comn dar como dato el valor de la energa

cintica con respecto a la potencia de la maquina, a esta constante se

le conoce como constante H

maq

C

S

EH

Sustituyendo el valor de Ec

maqS

M

H0

21

Y despejando el valor de M

0

2

maqHSM

MVA de la maquina

MJoules/rads


10/45

Sustituyendo la equivalencia anterior en la ecuacin de oscilacin se

tiene que

emmaq PPdt

dS

H

2

2

0

2

maq

em

S

PP

dt

dH

2

2

0

2

O bien

em PPdt

dH

2

2

0

2

En por unidad queda:


11/45

Esta ecuacin es de caractersticas no lineales y de segundo orden, la

cual puede escribirme como un sistema de dos ecuaciones

diferenciales no lineales de primer orden

em PPdt

dH

dt

d

0

0

2

Esta ecuacin se conoce como ecuacin de oscilacinde la maquina,

es la ecuacin fundamental que describe el comportamiento dinmico

de la maquina sncrona.


12/45

Comentarios de la ecuacin de

oscilacin

La ecuacin de oscilacin es de sumaimportancia ya que su solucin nos indicasi despus de una perturbacin en un

sistema de potencia, el SEP es estable ono.

Cuando Pm es menor que Pe, la maquinase desacelera.

Cuando Pm es mayor que Pe, la maquinase acelera.


13/45

Ecuacin para la potencia elctrica

ecuacin Pe()

Como se menciono, anteriormente la Pm se mantiene constante, yaque los gobernadores de velocidad no actan en el rango de tiempo

en que ocurren los fenmenos elctricos.

Por otra parte la potencia elctrica de la fuente, es la que esta

cambiando, la Pe puede determinarse si se asume que el generador

puede representarse por medio del siguiente circuito simplificado

Ei

jXdI

+

-

Pe

Vt

- -


14/45

A partir del circuito anterior, la corriente que aporta el generador sera:

d

i

jX

VtEI

'

0

Y la potencia elctrica ser

d

titte jX

VE

VIVP '

0

0Re*)(0Re

sin'

90

'

Re*0Re

d

it

d

itte

X

EV

X

EVIVP


15/45

Curva Potencia-Angulo de un

generador sincrono

0

2/

d

ti

X

VE

'

Potencia

elctrica

La potencia mxima

que puede entregar lafuente, se da cuando el

ngulo de la maquina

esta cercano a los 90.


16/45

Al sustituir el valor de la Peen la ecuacin de oscilacin se tiene que

sin'

2

0

0

d

itm

X

EVP

dt

dH

dt

d

Esta es la ecuacin de oscilacin que describe el

comportamiento dinmico del sistema maquina bus

infinito.

La ecuacin es de caractersticas no lineales, y unasolucin analtica no se ha podido determinar aun (esconsiderada aun como tema de investigacin reciente, vea los artculos de V. Vittal, A. R. Messina,

y R. Betancourt). Una solucin aproximada que se ha usado

mucho es la aproximacin lineal.

Ejemplo


17/45

)sin('

00 d

itee

X

EVPP

Linealizacin de la ecuacin de oscilacin

Con la idea de obtener una solucin aproximada de la ecuacin de oscilacin,

considere que el incrementa de su valor inicial en un pequeo incremento

0

Al realizar este pequeo incremento la potencia elctrica tambin cambia, este

cambio puede establecerse al sustituir el valor anterior en la ecuacin de

potencia

La cual, utilizando identidades trigonometrcas se transforma en

sincoscossin' 000 dit

eeX

EVPP


18/45

Si el incremento del ngulo es muy pequeo entonces se tiene que

sin

1cos

000 cossin'd

itee

X

EVPP

Entonces la potencia elctrica ser

La ecuacin de oscilacin se transforma en

002

02

0

cos'

sin'

)(2

d

it

d

itm

X

EV

X

EVP

dt

dH


19/45

Como inicialmente esta en reposo, es decir la velocidad es constante, entonces

la potencia mecnica es igual a la potencia elctrica con el ngulo inicial

002

2

0cos'sin'

2

d

it

zero

d

itmX

EV

X

EVPdt

dH

Entonces la ecuacin diferencial se transforma en

02

2

0

cos'

2

d

it

X

EV

dt

dH

Coeficiente de

sincronizacin depotencia

0 d

dPe

Esta ecuacin constituye una ecuacin diferencial de segundo orden lineal la

cual puede resolverse utilizando procedimientos convencionales.


20/45

La ecuacin diferencial anterior puede escribirse de otra forma

0cos'2 00

2

2

d

it

HX

EV

dt

d

La ecuacin anterior representa un tipo de ecuacin diferencial de la forma (ver libro

de ecuaciones diferenciales de Denis Zill). La cual es caracterstica de sistemas con movimiento

armnico simple y los cuales son caracterizados por ecuaciones diferenciales de

segundo orden de la forma02

2

2 x

dt

xdn

Cuya solucin esta dada por

tBtAtx nn sincos)( Velocidad angular

en rads/seg

2

nnf Frecuencia en

Hz

Dependen de las

condiciones

iniciales


21/45

Por ende, de la ecuacin de oscilacin linealizada se puede ver que el

incremento del ngulo en un valor pequeo, provocara que el desplazamiento

oscile con una velocidad angular

00 cos

'2

d

itn

HX

EV

Y la frecuencia de las oscilaciones sern

0

0 cos'22

1

d

it

n HX

EVf

Rads/seg

Hertz

Ejemplo


22/45

Observaciones de la ec. linealizada

1. La solucin de la ecuacin de oscilacin mediante la tcnicaanterior es valida solamente para cuando el sistema esta

siendo sometido a una variacin pequea en el ngulo.

2. Las oscilaciones son permanentes y no se amortiguan, esto es

debido a que no fue considerado la constante de

amortiguamiento D.

3. La frecuencia de las oscilaciones depende de los parmetros

de las maquinas.

4. Esta ecuacin no puede mostrar inestabilidad, ya que esta

conectada a un bus infinito el cual no muestra cambios en susvoltaje y ngulos, ante cualquier perturbacin.

5. La ecuacin linealizada solo es valida para niveles bajos de

transferencia de potencia.

6. En la practica, se analiza el comportamiento de un sistema con

una cantidad grande de maquinas.

A li i d il i i t lti


23/45

Anlisis de oscilaciones en un sistema multi-

maquina

RedElctrica

1Pe1

2Pe2

ngPeng..

.

1mP

2mP

ngmP

11

ngLngL jQP

22

ngLngL jQP

nlngLnlngL jQP

.

.

.

ng+1

ng+2

ng+nl


24/45

Ecuaciones de oscilacin

ngengm

ngng

em

em

PPdt

dH

PP

dt

dH

PPdtdH

2

2

0

222

22

0

2

112

12

0

1

2

2

2

Ecuaciones potencia ngulo para el sistema multi maquina


25/45

Ecuaciones potencia ngulo para el sistema multi-maquina

'1gdjX

'2gd

jX

' nggdjX

ngG

2G

1

2

ng flujosbusY

potenciadeFlujos

1G

2G

ngG

Y

Cargas

11

ngLngL jBG

22

ngLngL jBG

nlngLnlngL jBG

1ng

2ng

nlng


26/45

)2

1

1

2

1

1*

111

2

1*

11

2

1

*

1

1

1*1111 *

L

L

L

L

LLL

LLL

L

L

L

LLLLL

V

Qj

V

PjBGY

VYZ

V

Z

VVIVjQP

Si se asume un voltaje conocido en las cargas, entonces estas pueden ser

convertidas a admitancia, y as ser agregadas a la Ybus de flujos de potencia.

La relacin entre admitancia y potencia compleja esta dada por


27/45

La ecuaciones potencia-ngulo del sistema multi-maquina,

pueden determinarse a partir de la solucin de las ecuaciones

de flujos de potencia. Solo que en este caso, habra que

modificar Ybus de flujos, a fin de considerar que las

reactancias de los generadores estn presentes y que lascargas han sido convertidas a modelo de admitancia.

Bajo esta suposicin entonces el modelo de flujos es de la

forma*

kg

kg

kge

kge IEjQP

Las corrientes de los generadores estn relacionados con los

voltajes de los generadores, los voltajes en los nodos de carga

y la matriz Ybus por la relacin siguiente

bus

g

busY

nnng

gnggg

YY

YY

V

E

0

I

ngg

g

g

E

E

E

2

1

ngg

g

g

I

I

I

2

1


28/45

Donde

ggYEs la submatriz de Ybus de flujos, en la cual hay generadores

conectados, en este caso la reactancia del generador se suma

a la reactancia del transformador o lnea y se obtiene unaadmitancia propia nueva.

ngYEs la submatriz de Ybus de flujos, la cual contiene los

elementos que conecta un generador con el resto de la red. Los

elementos tendrn en mismo valor que los de la Ygg.

gnYEs la submatriz de Ybus de flujos, la cual contiene los

elementos que conecta a la red con los generadores. Esta seria

en si igual al valor de la Ygg respectiva y en si es igual a Yng

transpuesta.

nnY

Es la submatriz de Ybus de flujos, la cual contiene los

elementos que interconectan a la red, y que en las admitancias

propias, contienen las admitancias de los generadores y las

admitancias de las cargas.


29/45

Observe que las corrientes solamente aparecen en los generadores, esto

permite cierta facilidad en el calculo, ya que permite reducir la dimensin

del problema y utilizar solamente el vector de voltajes en los generadores

para el calculo de las potencias elctricas. La reduccin de la ecuacin de

corrientes puede obtenerse al realizar la reduccin de Kroncorrespondiente

bus

g

nnng

gnggg

YY

YY

V

E

0

I

gngnnbus YY EV 1

gngnngnggg YYYY EI 1

Reduccin

de Kron

Ybus

reducida


30/45

La ecuacin anterior en forma expandida es

ngngg

g

g

nnnnrednnrednnred

nnredredred

nnredredred

ngg

g

g

E

E

E

YYY

YYY

YYY

I

I

I

22

11

2211

2222222121

1112121111

2

1

Y la ecuacin potencia ngulo para los generadores ser:

) )

)

*

22

11

2211

2

2

22

22

21

21

1112121111

22

11

*

1

*

2

1

2

*

111

2

1

Re

ngngg

g

g

nnnnrednnrednnred

nn

redredred

nnredredred

ngngg

g

g

nggngg

gg

gg

ngeg

eg

eg

E

E

E

YYY

YYY

YYY

E

E

E

IE

IE

IE

P

P

P

O bien


31/45

O bien

ng

mkmmkkmredmgkgkeg

YEEP1

)cos(

Entonces las ecuaciones de oscilacin para el sistema multi-maquina

sern de la forma

ng

mnmmnnmredmgnggngm

nn

ng

mmmmredmggm

ng

mmmmredmggm

YEEPdt

dH

YEEPdt

dH

YEEPdt

dH

12

2

0

1222222

22

0

2

11111121

2

0

1

)cos(2

)cos(2

)cos(2


32/45

Estas ecuaciones de solucin forman un conjunto de ecuaciones

diferenciales no lineales acopladas entre si.

En general no hay una solucin analtica para ellas, pero pueden ser

resueltas utilizando rutinas de integracin numrica a fin de determinar el

comportamiento dinmico de las maquinas.

Otra forma de obtener una solucin es mediante la suposicin de que

todos los ngulos de las maquinas varan en forma muy pequea, esto

es

ngngng

0

2202

1101


33/45

ng

mnmmmnnnmredmgnggngenge

ng

mmmmmredmggege

ng

mmmmmredmggee

YEEPP

YEEPP

YEEPP

100

1202202222

1101101111

)cos(

)cos(

)cos(

La ecuacin anterior se puede simplificar al introducir la siguiente

identidad trigonomtrica

sinsincoscos)cos(


34/45

)

)

ng

m mkmkkmmk

mkkkkmmk

kmredmgkg

ng

mmkkmmkmkkmmkkmredmgkg

ng

mmkkmmkkmredmgkgkeke

YEE

YEE

YEEPP

1 00

00

10000

100

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos(

)sin()sin()cos()cos(

)cos(

Para el bus k-esimo

De nueva cuenta, si se asume que para pequeas variaciones del ngulo

sin

1cos

)

)

ng

m mkkmmk

mkkmmk

kmredmgkgkeke YEEPP

1 00

00

)sin(

1)cos(


35/45

) )

)

ng

mmngmmngngngmmngngmredmgngg

nn

ng

mmmmmmmredmgg

ng

m mmmmmmredmgg

YEEdt

dH

YEEdt

dH

YEEdt

dH

100002

2

0

1202022020222

22

0

2

1 101011010112

12

0

1

)sin()sin(2

)sin()sin(2

)sin()sin(2

Las ecuaciones de oscilacin para variaciones pequeas en los ngulos

se transforman en

En forma matricial


36/45

ng

mngmmngmredmgnggngngredngggngngngrednggg

ngngng

redng

gg

ng

mm

mmred

mggredgg

ngngredngggredgg

ng

mmmmredmgg

e

n

ng

e

ng

YEEYEEYEE

YEEYEEYEE

YEEYEEYEE

H

H

H

dt

d

dt

ddt

d

10022200212110011

202

0221

202

022

211

02

02121

101012112201012211

101011

0

0

2

0

1

2

1

2

2

2

22

2

12

)sin()sin()sin(

)sin()sin()sin(

)sin()sin()sin(

2

2

2

P

H

PH


37/45

K s

Matriz de coeficientes desincronizacin

En forma compacta

es PHK 1

Como puede verse este sistema matricial representa un conjunto de

ecuaciones diferenciales lineales homogneas de segundo orden la cualpuede resolverse utilizando mtodos convencionales. Utilizaremos el

mtodo de eigenvalores.

A fin de obtener una solucin, asuma que los estados o ngulos de las

maquinas estn relacionados con otro conjunto de estados ficticios a travsde la siguiente transformacin lineal

Donde Ues la matriz de los eigenvectores derechos de Ks

Uy


38/45

UyKyU sEntonces sustituyendo esta identidad en la ecuacin de oscilacin

linealizada se tiene que

Asumiendo que los eigenvectores son linealmente independientes, la

ecuacin anterior se transforma en

UyKUy s1

Dado que la operacin anterior, diagonaliza la matriz Ksentonces se tiene

que yy

Donde

ng

2

1Eigenvalores

o modos Ks


39/45

La ecuacin anterior se transforma en un sistema de ecuaciones

diferenciales lineales de segundo orden desacopladas

ngngng y

yy

y

yy

22

11

2

1

La solucin de la ecuacin anterior es sumamente simple

tCtC

tCtC

tCtC

ty

ty

ty

ngngngngng

sincos

sincos

sincos

)(

)(

)(

21

222221

112111

2

1


40/45

Y los estados o ngulos de las maquinas pueden obtenerse sustituyendo

esta solucin en

Entonces se tiene que las variaciones angulares sern de la forma

Uy

tCtC

tCtC

tCtC

uuu

uuu

uuu

ngngngngngngngng

ng

ng

ng

sincos

sincos

sincos

21

222221

112111

21

22221

11211

2

1


41/45

Como puede verse de la ecuacin anterior, las variaciones angulares estas

compuestas por superposicin de un conjunto de frecuencias, a cada

frecuencia se le conoce como:

Modo de oscilacin

Los modos tienen una frecuencia en Hz la cual es obtenida mediante la

parte imaginaria del eigenvalor

2kf


42/45

Forma del modo

)tCtC

u

u

u

ngng

112111

1

21

11

1

2

1

sincos

De la ecuacin para los ngulos se puede ver que si solo un modo

esta presente, las maquinas oscilan a la misma frecuencia pero con

magnitud y ngulo diferente. Por ejemplo para el modo 1 lasvariaciones de ngulo de las maquinas sern

Observe que las componentes del eigenvector derecho asociado almodo 1, determinan como es ponderada la solucin en el tiempo del

modo 1 en los ngulos y que la amplitud de la componente determina

cual maquina es mas afectada, y la fase determina que maquinas

estn oscilando en fase y cuales en contra fase.


43/45

Modo local

Si existen componentes del eigenvector derechocon valor dominante y mismo ngulo de fase o

muy cercano.

Modo inter-area

Si existen componentes del eigenvector derecho

con valor dominante y ngulos de fase entre

ellas de 180 grados

L


44/45

Contenido de frecuencias en una determinada maquina

Cada maquina tiene presente un cierto contenido de frecuencias, las

frecuencias con mayor impacto pueden ser determinadas a partir de la filacorrespondiente Las frecuencias presentes en una maquina pueden ser

determinadas a partir de la magnitud de las entradas de la fila

correspondiente de la matriz de eigenvectores derechos

tCtC

tCtCtCtC

uuu

uuuuuu

ngng

ngng

ngngngng

ng

ng

ng

sincos

sincossincos

21

222221

112111

21

22221

11211

2

1


45/45

Efecto maquina-modo

Dado que hay una relacin entre los ngulos de las maquinas y los modos

de oscilacin a travs de los eigenvectores derechos. Tambin existe unarelacin de los ngulos a los modos y esta dada por los eigevectores

izquierdos, esto es

ngngngngng

ng

ng

ng vvv

vvv

vvv

y

y

y

2

1

21

22221

11211

2

1

VUy 1

estabilidad de pequeÑa seÑal betancourt.ppt

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