esquemas. tema 7. la teoría de la valoración por arbitraje. · efectos sobre los precios ......

Documentación académica. Ref: sq1001001

Esquemas Análisis de Inversiones Financieras

Teoría

Ignacio Requejo Puerto Dpto. Administración y Economía de la Empresa. Universidad de Salamanca. www.irequejo.es E‐mail: [email protected] Página 1

Tema 7: La teoría de valoración por arbitraje

Índice 1. Introducción

2. El principio de arbitraje

3. Modelo de un factor

3.1. La cartera de arbitraje 3.2. La posición del inversor

4. Efectos sobre los precios

4.1. Ilustración gráfica 4.2. Interpretación de ecuación de precios de la APT

5. Modelo de factores múltiples

5.1. Identificación de los factores



Teoría


6. El CAPM como un caso particular de la APT

6.1. Fortalezas y debilidades de la APT 6.2. Diferencias y similitudes entre la APT y el CAPM

7. Un ejemplo de la APT

8. English corner

8.1. Arbitrage 8.2. Efficient Market Hypothesis 8.3. Arbitrage Pricing Theory (APT)

Bibliografía básica

Sharpe, W.F.; Alexander, G.J. y Bailey, J.V. (1995):

Investments. Prentice Hall International, New Jersey.

Bibliografía complementaria

Bishop, M. (2009): Economics. An A–Z Guide. The

Economist, London.



Teoría


Brealey, R.A. y Myers, S.C. (2003): Principios de finanzas corporativas. McGraw‐Hill, Madrid.

Constantinides, G.M.; Harris, M. y Stulz, R.M. (2003): Handbook of the Economics of Finance. Volume 1B Financial Markets and Asset Pricing. Elsevier, Amsterdam.

Fabozzi, F.J. (1995): Investment Management. Prentice Hall International, New Jersey.

Gómez‐Bezares, F. (2006): Gestión de carteras. Eficiencia, teoría de cartera, CAMP, APT. Editorial Desclée de Brouwer, Bilbao.

Hillier, D.; Ross, S.; Westerfield, R.; Jaffe, J. y Jordan, B. (2010): Corporate Finance. European Edition. McGraw‐Hill, Maidenhead.

Keown, A.J.; Petty, J.W.; Scott, D.F. y Martin, J.D. (1999): Introducción a las finanzas. La práctica y la lógica de la administración financiera. Prentice Hall, Madrid.



Teoría


Martín Marín, J.L. y Trujillo Ponce, A. (2004): Manual de mercados financieros. Thomson, Madrid.

Suárez Suárez, A.S. (2005): Decisiones óptimas de inversión y financiación en la empresa. Ediciones Pirámide, Madrid.



Teoría


1. Introducción

Nociones previas CAPM: Modelo de equilibrio de activos financieros.

Rentabilidad esperada de i = f (sensibilidad de i a cambios en rentabilidad de cartera de mercado)

BETA: Medida relativa de sensibilidad de rentabilidad de i a cambios en rentabilidad de cartera de mercado. Matemáticamente: Beta = covarianza del título con la cartera del mercado dividida por la varianza de la cartera del mercado.

Otros modelos de valoración de activos financieros:

Teoría de Valoración por Arbitraje (en inglés, “Arbitrage Pricing Theory” o APT)

Ross, S.A. (1976): “The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing”, Journal of Economic Theory, Vol. 13, pp. 341–360.



Teoría


Teoría de Valoración por Arbitraje o APT

→ La APT requiere un menor número de supuestos de

partida → Supuesto fundamental: cuando se le ofrece a un

inversor la oportunidad de incrementar la rentabilidad de su cartera sin aumentar el riesgo, tratará de explotarla mediante carteras de arbitraje

→ Principio fundamental: en un mercado de títulos que

funciona correctamente no deberían existir oportunidades de arbitraje



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2. El principio de arbitraje

Ejemplo de arbitraje → Mundial de Fútbol de Sudáfrica: Reventa de entradas a

precios superiores a los oficiales → Sr. X vende una entrada por 400€ → Sr. Y compra una entrada por 500€ → Oportunidad de arbitraje: Beneficio de 100€

Elementos y gráfico de un caso de arbitraje → 2 mercados: Carrefour y eBay → 1 bien: DVD de la película “Espartaco” → Arbitrajista

1. Desembolso = 0 Requisitos del arbitraje 2. Riesgo = 0

3. Beneficio > 0




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Representación gráfica de un caso de arbitraje

2 MERCADOS

1er mercado demanda bien => eBay – entre 25€ y 30€.

2o mercado oferta bien=> Carrefour – 10€.

Bien = DVD de “Espartaco”.

Arbitrajista

1er Contrato: arbitrajista vende DVDs por eBay a un precio de entre 25€ y 30€; y con este dinero

2o Contrato: compra bien en Carrefour a un precio de 10€ y entrega DVDs a compradores de eBay.

Desembolso = 0 Riesgo = 0 Beneficio = entre 15€ y 20€ por DVD.



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Oportunidades de arbitraje son transitorias

En el ejemplo anterior, podría suceder uno de los 3 escenarios siguientes: 1. En Carrefour se acaban las copias del DVD de

“Espartaco” 2. Carrefour aumenta el precio de las copias restantes al

notar el incremento en la demanda 3. La oferta de DVDs de “Espartaco” se dispara en eBay, lo

que hace que el precio de los DVDs baje



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Definición de arbitraje

Ganancia de un beneficio sin riesgo al aprovechar un diferencial en la valoración de un mismo título o activo físico en dos mercados. Implica venta de un activo a un precio relativamente alto y compra simultánea del mismo título (o equivalente) a un precio relativamente bajo Puesto que beneficios derivados del arbitraje están libres de riesgo, todo inversor tiene incentivos para aprovechar oportunidades de arbitraje Sólo hace falta que un número reducido de “arbitrajistas” explote situaciones de arbitraje para que, mediante sus acciones de compra y venta, elimine oportunidades de beneficio



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3. Modelo de un factor → Punto de partida de la APT: rentabilidad de un título

relacionada con un número desconocido de factores desconocidos.

→ Supongamos que sólo existe 1 factor: tasa de

incremento esperada en la producción industrial. Entonces, rentabilidad de los títulos será:

ri = ai + biF1 + ei

donde:

ri = rentabilidad del título i F1 = valor del factor ei = término de error bi = sensibilidad del título i al factor



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Modelo de un factor: ejemplo

Supongamos un inversor que posee 3 títulos; el valor de mercado de sus posiciones en cada título de 4.000.000€ Por lo tanto, riqueza del inversor = W0 = 12.000.000€ Rentabilidades esperadas y sensibilidades de los títulos:

i i bi

Título 1 15% 0,9 Título 2 21% 3,0 Título 3 12% 1,8

→ ¿Representan estas i y bi una situación de equilibrio? → Si no es así, ¿qué les va a suceder a los precios de los

títulos y a las i para restablecer el equilibrio?



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3.1. La cartera de arbitraje ¿Qué es una cartera de arbitraje? Debe cumplir 3 condiciones 1. No requiere fondos adicionales del inversor.

Sea Xi el cambio en las posiciones del inversor en el título i, el 1er requisito de una cartera de arbitraje es:

X1 + X2 + X3 = 0 (Ecuación 1)

2. No tiene sensibilidad a ningún factor. Dado que la

sensibilidad de una cartera a un factor es la media ponderada de las sensibilidades de los títulos a dicho factor, entonces: b1X1 + b2X2 + b3X3 = 0; o en nuestro caso particular:

0,9X1 + 3,0X2 + 1,8X3 = 0 (Ecuación 2)



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Cualquier cartera que cumpla las ecuaciones (1) y (2) es una candidata posible. Como existen tres incógnitas (X1, X2 y X3) y sólo dos ecuaciones, las combinaciones de valores para X1, X2 y X3 que satisfacen estas dos ecuaciones son infinitas.

Consideremos de forma arbitraria: X1 = 0,1. Ahora, nos encontramos ante dos ecuaciones con dos incógnitas:

0,1 + X2 + X3 = 0

0,09 + 3,0X2 + 1,8X3 = 0

Solución a este sistema de ecuaciones:

X1 = 0,1 X2 = 0,075 X3 = –0,175



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3. La rentabilidad esperada de una cartera de arbitraje

debe ser positiva; es decir: X1 1 + X2 2 + X3 3 > 0; o en nuestro caso particular:

15X1 + 21X2 + 12X3 > 0 (Ecuación 3)

Utilizando solución del sistema de ecuaciones anterior:

(15 x 0,1) + (21 x 0.075) + (12 x –0,175) = 0,975% > 0

Cartera de arbitraje identificada: Compra 1.200.000€ (X1W0 = 0,1 x 12.000.000€) de 1 Compra 900.000€ (X2W0 = 0,075 x 12.000.000€) de 2 Venta 2.100.000€ (X3W0 = –0,175 x 12.000.000€) de 3

Esta cartera de arbitraje:

→ No requiere inversión adicional de fondos → No presenta riesgo a ningún factor → Tiene una rentabilidad esperada positiva



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3.2. La posición del inversor ¿Cómo varía la posición del inversor al adquirir la cartera de arbitraje?

Peso de los títulos en la cartera → Por ej.: Peso del título 1 en la nueva cartera = 0,33

(cartera antigua) + 0,1 (cartera de arbitraje) = 0,43 → Importe (€) invertido en título 1 = 5.200.000€ =

4.000.000€ + 1.200.000€ → Esto es, peso del título 1 en nueva cartera = 0,43 =

5.200.000€ / 12.000.000€ (como habíamos visto)

Rentabilidad esperada de la nueva cartera → Suma de rentabilidades esperadas de cartera antigua y

de arbitraje = 16,975% = 16% + 0,975%



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→ También podemos calcularla con pesos de cada título

en nueva cartera y rentabil. esperadas de los títulos = 16,975% [= (0,43 x 15%) + (0,41 x 21%) + (0,16 x 12%)]

Sensibilidad de la nueva cartera al factor

→ Suma de las sensibilidades de las carteras antigua y de

arbitraje 1,9 = (1,9 + 0,0) → También se calcula como: 1,9 = (0,43 x 0,9) + (0,41 x

3,0) + (0,16 x 1,8)

¿Y qué sucede con el riesgo de la nueva cartera? → Supongamos: desv. típica de cartera antigua = 11% → Única fuente de riesgo en cartera de arbitraje será el

riesgo que no depende del factor; por lo tanto, riesgo de cartera nueva diferirá sólo por cambios en riesgo que no depende del factor

→ Por lo tanto, riesgo de la cartera nueva ≈ 11%



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(APT ignora riesgo que no depende de los factores, lo que implica que cartera de arbitraje es lo suficientemente diversificada como para tener riesgo no dependiente del factor insignificante)

Resumen de la nueva posición del inversor

Efecto de la cartera de arbitraje en la posición del inversor

Carteraantigua

+Cartera de arbitraje

= Carteranueva

Pesos

X1 0,333 0,100 0,433X2 0,333 0,075 0,408X3 0,333 –0,175 0,158

Características

p 16,000% 0,975% 16,975%bp 1,900 0,000 1,900σp 11,000% pequeño ≈ 11,000%



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4. Efectos sobre los precios → Consecuencias de comprar títulos 1 y 2 y vender título

3: cambios en precios de mercado y rentabilidades esperadas

Título Precio Rentabilidad esperada

1 ↑ ↓ 2 ↑ ↓ 3 ↓ ↑

Ecuación de la rentabilidad esperada de un título:

1

= Rentabilidad esperada

P01 = Precio esperado al final del período = Precio actual del título



Teoría


Ecuación de valoración de activos de la APT

Caso particular: rentabilidad esperada depende de 1 factor Operaciones de compra y venta de títulos continuarán hasta que posibilidades de arbitraje desaparezcan; llegado este punto, existirá una relación lineal entre rentabilidades esperadas y sensibilidades:

y son constantes En equilibrio, existirá una relación lineal entre rentabilidades esperadas y sensibilidades.



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En nuestro ejemplo, posible equilibrio: 8 y 4 y la ecuación de valoración de activos sería:

8 4 Rentabilidades esperadas de equilibrio:

8 4 0,9 11,6%8 4 3,0 20,0%8 4 1,8 15,2%

Título Rentabilidad

previa Rentabilidad en

equilibrio 1 15% 11,6% 2 21% 20% 3 12% 15,2%

Conclusión: Rentabilidad esperada de cualquier título en equilibrio es función lineal de la sensibilidad del título al factor bi.



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4.1. Ilustración gráfica

Ecuación de valoración de activos de la APT

S

B

λ0

bB = bSbi

λ1

Línea de valoración de activos de la APT



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Cualquier título con sensibilidad al factor y rentabilidad esperada tales que estén fuera de la recta de equilibrio no estará correctamente valorado según la APT y ofrecerá oportunidad de arbitraje Ej.: título B; compra de títulos B y venta simultánea de títulos S. 1. Venta de títulos S para financiar posición larga en el

título B => no son necesarios fondos adicionales 2. Dado que títulos B y S tienen misma sensibilidad al

factor => cartera sin sensibilidad al factor 3. Rentabilidad esperada de cartera de arbitraje > 0

(rentabil. esperada título B > rentabil. esperada título S) Resultado de la operación: Compra de títulos B hace que su precio ↑ y su rentabilidad esperada ↓ hasta situarse en la línea de valoración de activos de la APT



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4.2. Interpretación de la ecuación de valoración de títulos de la APT

→ λ0 = Rentabilidad del activo libre de riesgo

Si existe un activo libre de riesgo, su tasa de rentabilidad será constante y no tendrá sensibilidad al factor. Es decir, donde bi = 0. También sabemos que , lo que implica λ0 = rf. Por lo tanto:

→ λ1 = Exceso de rentabilidad esperada o prima de riesgo

Para entender el valor de λ1, partimos de una cartera con sensibilidad = 1 y sin sensibilidad al resto de factores (p*). Es decir, bp* = 1,0. Por consiguiente:

&



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Empleando la notación :

Si sustituimos en la ecuación de valoración de títulos de la APT el coeficiente λ , obtenemos: 1

En nuestro ejemplo:

→ rf = 8% → λ1 = 1 – rf = 4%

En consecuencia, rentabilidad esperada de la cartera con una sensibilidad unitaria al factor es 1 = 12%.

→ Para generalizar ecuación de la APT, hay que analizar

caso en que rentabil. de títulos depende más factores.



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5. Modelo de factores múltiples Caso de k factores (F1, F2,…, Fk) => cada título tendrá k sensibilidades (b , b ,…, b ), tales que: i1 i2 ik

Ecuación de valoración de títulos:

Como λ0 = rentabilidad del activo libre de riesgo y j = rentabilidad esperada de cartera de títulos con sensibilidad unitaria al factor j y cero sensibilidades a demás factores:

.

Conclusión: Rentabil. esperada de un título = rentabilidad del activo libre de riesgo + k primas de riesgo que dependen de sensibilidades del título a los k factores.



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5.1. Identificación de los factores La APT no determina ni número ni cuáles son los factores. Se ha estimado que hay entre 3 y 5 factores.

Chen, Roll y Ross: 1. Tasa de crecimiento de la producción industrial 2. Tasa de inflación (real y prevista) 3. Diferencial entre tipos de interés a l/p y c/p 4. Diferencial entre bonos low‐grade y high‐grade Berry, Burmeister y McElroy identifican 5 factores:

→ 3 últimos de Chen, Roll y Ross y 1. Tasa de cto. de ventas agregadas en la economía 2. Tasa de rentabilidad del S&P 500

Salomon Brothers se refiere a 5 factores: 1. Inflación 2. Tasa de cto. del producto nacional bruto (PNB) 3. Tipo de interés 4. Tipo de cambio en los precios del petróleo 5. Tasa de crecimiento en el gasto en defensa



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Conclusión: los 3 grupos de factores presentan características comunes: 1. Contienen algún indicador de actividad económica

agregada (Ej.: producción industrial, ventas agregadas, PNB)

2. Incluyen la inflación 3. Contienen algún factor de tipo de interés Si los precios de las acciones ≈ valor descontado de los dividendos futuros, estos factores tienen sentido. Los dividendos futuros estarán relacionados con: actividad económica agregada; y tasa de descuento empleada para determinar el valor actual estará relacionada con inflación y tipos de interés.



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6. El CAPM como un caso particular de la APT El CAPM puede considerarse un modelo de valoración de títulos de un solo factor = cartera del mercado.

1 se corresponderá con rentabil. esperada de cartera del mercado y bi será beta del título i medida en términos relativos con respecto a cartera del mercado.

(APT)

(CAPM)

donde:

Coeficiente beta = medida relativa de sensibilidad de la rentabil. de un título a cambios en la rentabil. de cartera del mercado.



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6.1. Fortalezas y debilidades de la APT

Fortalezas → Proporciona descripción razonable de rentabilidad y

riesgo → Los factores son razonables → No hay que medir cartera de mercado de forma

correcta

Debilidades → No dice qué factores deben tenerse en cuenta → Los factores pueden cambiar con el tiempo → Estimación de modelos de factores múltiples requiere

mayor volumen de información



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6.2. Diferencias y similitudes entre la APT y el CAPM

Diferencias → La APT no requiere supuestos de partida sobre

utilidad de los inversores ni sobre distribución de rentabilidad de acciones

→ En la APT, el número de títulos es próximo a infinito → La APT se basa en modelo factorial de rentabilidades y

en argumento del “arbitraje”; mientras que el CAPM se basa en preferencias de cartera y en argumentos de equilibrio

Similitudes → En la APT, las expectativas de los inversores son

homogéneas (al igual que en el CAPM) → Los mercados de capitales son perfectos; es decir,

existe competencia perfecta, no hay costes de transacción,… (al igual que en el CAPM)



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7. Un ejemplo de la APT APT proporcionará buena estimación de rentabilidades esperadas si podemos: 1. Identificar lista corta de factores macroeconómicos 2. Medir prima de riesgo esperada de cada factor 3. Medir sensibilidad de cada acción a esos factores Elton, Gruber y Mei abordaron estas cuestiones y estimaron coste del capital propio de 9 empresas de servicios públicos de Nueva York.



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Primer paso: Identificar factores macroeconómicos

Elton, Gruber y Mei identificaron 5 factores:

Factor Medido por

Diferencial de rentabilidad

Rentabilidad de obligaciones del gobierno a l/p menos rentabilidad de letras del Tesoro a 30 días.

Tasa de interés Cambio en la rentabilidad de las letras del Tesoro.

Tipo de cambio Cambio en el valor del dólar con relación a una cesta de monedas.

PIB real Cambio en la previsión del PIB real. Inflación Cambio en la previsión de inflación.

Elton, Gruber y Mei incluyeron un sexto factor: porcentaje de rentabilidad del mercado que no se podía explicar con los 5 primeros factores.



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Segundo paso: Estimar prima de riesgo de factores

Algunas acciones están más expuestas que otras a un factor en particular; por lo que podemos estimar sensibilidad de una muestra de acciones a cada factor y medir cuánta rentabilidad extra han recibido los inversores por asumir el riego de ese factor:

Factor (b) ( factor–rf) [b( factor–rf)]

Dif. de rentabilidad 1,04 5,10 5,30

Tasa de interés –2,25 –0,61 1,37

Tipo de cambio 0,70 –0,59 –0,41

PIB 0,17 0,49 0,08

Inflación –0,18 –0,83 0,15

Mercado 0,32 6,36 2,04

Total 8,53%



Teoría


Tercer paso: Estimar sensibilidad de los factores

Según la APT, la prima por riesgo de un título depende de la sensibilidad al riesgo de cada factor (b) y la prima por riesgo esperada para cada factor ( factor–rf). En este caso hay seis factores, así que:

.

Primera columna = factores de riesgo Segunda columna = prima por riesgo Tercera columna = producto de columnas anteriores.

Prima por riesgo esperada = r – rf = 8,53% Rentabilidad de letras del Tesoro a 1 = 7%; así que: Rentabilidad esperada = Tasa de interés libre de riesgo +

Prima por riesgo esperada= 7 + 8,53 = 15,53%



Teoría


Otros factores propuestos en la literatura

Fama y French sugirieron 3 factores diferentes:

Factores de Fama y French

1. Factor del mercado

Rentabilidad de cartera de mercado menos tipo de interés libre de riesgo

2. Factor tamaño Diferencia entre rentabilidad de las acciones de pequeñas y grandes empresas

3. Factor ratio valor contable/valor de mercado

Diferencia entre rentabilidad de las acciones con un alto ratio valor contable/valor de mercado y acciones con bajo ratio valor contable/valor de mercado



Teoría


8. English corner

8.1. Arbitrage → Buying an asset in one market and simultaneously

selling an identical asset at a higher price. → Sometimes these will be identical assets in different

markets: e.g., shares in a company listed on both the London Stock Exchange and New York Stock Exchange.

→ Often the assets being arbitraged will be identical in a

more complicated way: e.g., different sorts of financial securities that are each exposed to identical risks.

→ According to the efficient market hypothesis, arbitrage

is possible only when there is inefficiency in the market – and arbitrage is a process that makes markets more efficient.



Teoría


→ Some kinds of arbitrage are completely risk‐free – this

is pure arbitrage. For instance, if euros are available more cheaply in dollars in London than in New York, arbitrageurs (also known as arbs) can make a risk‐free profit by buying euros in London and selling an identical amount of them in New York.

→ Opportunities for pure arbitrage have become rare in

recent years, partly because of the globalization of financial markets. Among other things, this has reduced opportunities for regulatory arbitrage, which takes advantage of differences in financial regulations between countries.

→ Today, most of what is called arbitrage, much of it done

by hedge funds, involves assets that have some similarities but are not identical. This is not pure arbitrage and, on occasions, it can be extremely risky.



Teoría


8.2. Efficient Market Hypothesis → You can’t beat the market. The efficient market

hypothesis says that the price of financial asset reflects all the information available and responds only to unexpected news. Thus prices can be regarded as optimal estimates of true investment value at all times.

→ It is impossible for investors to predict whether the

price will move up or down (future price movements are likely to follow a random walk), so on average an investor is unlikely to beat the market.

→ This belief underpins Arbitrage Pricing Theory (APT),

the Capital Asset Pricing Model (CAPM) and concepts such as beta.



Teoría


→ The hypothesis had few critics among financial

economists during the 1960s and 1970s, but it has come under increasing attack since then and intensified during the global economic crisis that began in 2007.

→ The fact that financial prices were far more volatile

than appeared to be justified by new information, and that financial bubbles sometimes formed, led economists to question the theory.

• Behavioural economics has challenged one of the

main sources of market efficiency, the idea that all investors are fully rational homo economicus.

• Some economists have noted that information gathering is a costly process, so it is unlikely that all available information will be reflected in prices.

• Others have pointed to the fact that arbitrage can become more costly, and thus less likely, the further away from fundamentals prices move.




Teoría

→ Although no consensus has been reached on which

markets, if any, are efficient, the efficient market hypothesis is useful is judging the relative efficiency of one market compared with another.

8.3. Arbitrage Pricing Theory (APT) → This is one of the two influential economic theories of

how assets are priced in the financial markets. The other is the Capital Asset Pricing Model (CAPM).

→ APT says that the price of a financial asset reflects a

few key risks factors, such as the expected rate of interest and how the price of the asset changes relatively to the price of a portfolio of assets.

→ If the price of an asset happens to diverge from what

the theory says it should be, arbitrage by investors should bring it back into line.

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