esquema

Matemáticas

1.º Bachillerato9. Funciones, límites y continuidadMatemáticas

1.º BachilleratoFunciones, límites y continuidad

ESQUEMA

Matemáticas



R

Para que sea aplicación ha de cumplir dos condiciones:• Todo elemento de D ha de tener imagen.• Esta imagen ha de ser única.

Funciones reales: Definición

Una función real de variable real es una aplicación de un conjunto D R, en el conjunto R.

R

• 4• 5,29• 25

RecorridoDominio

• 2 • 2 • 5

f(x) = x2

f(2) = 4

f(2,3) = 5,29

f(5) = 25

2 2,3

5

Matemáticas



Superficie del rectángulo inscrito en la circunferencia

2R

S = x . y

x2 + y2 = (2R)2

S = x 4R2 - x2 }90º

x

x

yx D = (0, 2R)2R

Funciones definidas por fórmula

Matemáticas



Funciones definidas por su gráfica

Un cardiograma normal de un joven de 20 años

Matemáticas



Tiempo t (min) 0 1 2 3 4 5 Temperatura T (ºC) 20 24 28 32 36 40

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t (tiempo)

T (

tem

para

tura

)T = 4t + 20

2.5

30

Interpolación T(2.5) = 4 . 2.5 + 20 = 30ºC

6.5

Extrapolación T(6.5) = 4 . 6.5 + 20 = 46

46

Funciones definidas por tablas

Matemáticas



- 2 - 1 1 2- 0.5

0.5

1

1.5

2

X

Y

D = [-2, 2]

f(D) =

[0, 2 ]

f(1) = 3

(1, 3 )

Entrada Ley de

asociación Salida

x f f(x) D = [-2, 2] f(x) = 4 - x2 Recorrido: f([-2 2]) = [0, 2]

3

Funciones reales: Dominio y recorrido

y = f(x) = 4 - x2

Matemáticas



Función compuesta

La función h1(x) = sen 2x es la composición de dos funciones: • g(x) = 2x = t • f(t) = sen t

x 2x = t sen t = sen 2x

R Rg

Rf

x sen 2x

h1(x) = f(g(x)) = f(2x) = sen 2x

g(x) = 2x

f(t) = sen t

Salida 2xEntrada x

Entrada t= 2xSalida

sen t = sen 2x

h2(x) = f(g(x))

Matemáticas



La composición de funciones no es conmutativa

Función h2(x) = g(f(x))• f(x) = sen x = t• g(t) = 2 t

x sen x = t g(t) = 2 sen t = 2 sen x

R Rf

Rg

x 2 sen x

h2(x) = g(f(x)) = g(sen x) = 2 sen x

f(x) = sen x

f(t) = 2t

Salida sen xEntrada x

Entrada t= sen xSalida

2 t = 2 sen x

h2(x) = g(f(x))

Matemáticas



- 4 - 2 2 4

- 4

- 2

2

4y =

1 x

Asíntotas verticales

x = 0 es asíntota vertical ya que

x 0+lim

1 x = +

x 0–lim

1 x = –

- 4 - 2 2 4X

- 1

1

2

3

4

Y

y = 1

x2

x = 0 es asíntota vertical ya que

x 0+lim

1 x2 = +

x 0–lim

1 x2 = +

X=0X=0

Matemáticas



y = 1 es asíntota horizontal hacia la derecha ya que x +lim

ex – 1ex + 1 = 1

y = -1 es asíntota horizontal hacia la izquierda ya que x -lim

ex – 1ex + 1 = - 1

Asíntotas horizontales

- 4 - 2 2 4X

- 1.5

- 1

- 0.5

0.5

1

1.5

Y

y =ex – 1ex + 1

Matemáticas



- 20 - 10 10 20

X

- 20

- 15

- 10

- 5

5

10

Y

• La pendiente de la asíntota oblicua y las pendientes de las tangentes a la curva tienden a coincidir para x+

m = tg

•[f(x) – (mx + n)] 0 para x +

f(x) – (mx + n)

m = x +lim f '(x)

y = mx + n

n = x +lim [f (x) - mx]

Asíntotas oblicuas

Matemáticas



Continuidad. Puntos de discontinuidad

Una función f es continua en un punto p de su dominio si se cumple que x plim f(x) = f(p)

Si no existe el límite o es diferente de f(p) se dice que f es discontinua

• (p, f(p))

p

f(p)

p p

Discontinua en p:

x plim f(x) f(p)

Continua en p:

x plim f(x) = f(p)

Discontinua en p:

No existe x plim f(x)

Una función es continua en un intervalo I = (a, b) si I está en el dominio de f y f es continua en todos los puntos del intervalo I

Matemáticas



Discontinuidad evitable

(2) 2f

2lim ( ) 1x

f x

2lim ( ) 1x

f x

} 2lim ( ) 1x

f x

x=2 discontinuidad evitable

2(2) lim ( )

xf f x

Matemáticas



Discontinuidad inevitable: Salto finito

(1) 2f

1lim ( ) 2x

f x

1lim ( ) 3x

f x

x=1 salto finito

1 1lim ( ) lim ( )x x

f x f x

Matemáticas



Gráfica de la función f (x) = x+1 si x 0x - 1 si x > 0

x + 1 si x 0 x - 1 si x >0

X

Y

1

-1

-1

1

x 0+lim f(x) =

x 0+lim (x - 1) = -1

x 0-lim f(x) =

x 0-lim (x + 1) = 1

f(0) = 1

f(x) no es continua en el punto xo = 0

Continuidad en un punto

IMAGEN FINAL

Matemáticas



Discontinuidad inevitable: Salto infinito

(1) 2f

1lim ( ) 2x

f x

1lim ( )x

f x

x=1 salto infinito

1

lim ( )x

f x

Matemáticas



f(x) = x2 9 4,4 4,04 4,004 …. 4

x 1 1,9 1,99 1,999 …. 2–

f(x) = x2 1 3,6 3,96 3,996 …. 4

En la medida en que x toma valores cada vez más próximos a “a”, ¿a quién se acerca f(x)?

x 2-lim x2 = 4

x 3 2,1 2,01 2,001 …. 2+

x 2+lim x2 = 4

x 1 1,9 1,99 1,999 …. 2-

x 2-lim Ent(x) = 1

x 3 2,1 2,01 2,001 …. 2+

x 2+lim Ent(x) = 2

Límites de funciones en un punto

f(x) = Ent(x) 1 1 1 1 …. 1

f(x) = Ent(x) 3 2 2 2 …. 2

Matemáticas



- 4 - 2 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

y = x + 1x – 1

xlim

x + 1x – 1 = +

Significado del límite infinito de una función para x a

Matemáticas



x 1 10 100 1000 …. +

x 1 10 100 1000 …. +

x -1 -10 -100 -1000 …. -

f(x) = x2 1 100 10000 1000000 …. +

f(x) = x + 1

x 2 1,1 1,01 1,001 …. 1

En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x)?

xlim x2 = +

x -lim x2 = +

x +lim

x + 1x = 1

En la medida en que x se hace muy grande, con valores negativos ¿a quién se acerca f(x)?

x -1 -10 -100 -1000 …. -

x - lim

x + 1x = 1

Límites de funciones en el infinito

f(x) = x2 1 100 10000 1000000 …. +

f(x) = x + 1

x 0 0,9 0,99 0,999 …. 1

Matemáticas



- 4 - 2 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

y = x + 1x – 1

x +lim x + 1x – 1 = 1

Significado geométrico del límite finito de una función, para

x +

Matemáticas



xlim

x + 1x – 1 =

xlim

x + 1x – 1 =

xlim

x + 1x – 1 = +

xlim

x + 1x – 1 = –

xlim

x + 1x – 1 =

xlim

1 + 1x

1 – 1x

= 1

Indet k0

Indet

No hay indeterminación

42 = 2

Cálculo de límites (I)

Matemáticas



xlim

x2 – 1x – 1 =

x lim

x + 1x – 1 =

x lim

1 + 1x

1 – 1x

= 1

Indet 00

Indet

xlim

(x – 1)(x + 1)x – 1 = 2

Cálculo de límites (II)

Matemáticas



xlim

1 + 1x

1 =

xlim

x1 – 1 – x

= 2

Indet 00

xlim

x(1 + 1 – x)(1 – 1 – x) (1 + 1 – x)

=xlim ( 1 + 1 – x) =

xlim

x2 + x

x =

Indet

1

x lim

x2 + x

x =

Indet

xlim

1 – 1x

–1 = –1xlim

x2 – x

–x =

Cálculo de límites (III)

Matemáticas



1 2 3 4 5 …. n ….NR

f(1) = a1 f(2) = a2 f(3) = a3 f(4) = a4 f(5) = a5 …. f(n) = an ….

1 2 3 4 …. n …. a1 a2= a1 + d a3= a2 + d a4= a3 + d …. an= an-1 + d ….

1 2 3 4 …. n …. a1 a2= a1 . r a3= a2 . r a4= a3 . r …. an= an-1 . r ….

Sucesión aritmética

Sucesión geométrica

Término general: f(n) = a +(n-1).d

Término general: f(n) = a .rn

Sucesiones de números reales

Matemáticas



an = 1n 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 …. 0

En la medida en que n toma valores cada vez mayores, ¿a quién se acerca an?

n 10 100 1000 10000 100000 …. + lim

1 n = 0

n 10 100 10000 1000000 …. +

lim 2n n+1 = 2

n 1 10 100 1000 …. + lim (n2 + 1)= +

n 1 10 100 1000 …. + lim (-n2 + 1)= -

Límites de sucesiones

an = 2n

n+1 1,33.. 1,98… 1,999… 1,9999.. …. 2

an = n2+1 2 101 10001 1000001 …. +

an = -n2+1 0 -99 -9999 -999999 …. -

Matemáticas



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

a20

Funciones: límites y continuidadRepresentación de los términos de la sucesión

an = 1/n

a1

a2

a3 a50 a96

IMAGEN FINAL

Matemáticas



1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

2,1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

a20

Funciones: límites y continuidad

Representación de los términos de la sucesión an = 2n/(n + 1)

a1

a2

a3

a50a96

IMAGEN FINAL

Matemáticas



0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Funciones: límites y continuidadRepresentación de los términos de la sucesión an =

n2 + 1

a20

a50 a90

a5

IMAGEN FINAL

Matemáticas



-10001

-9501

-9001

-8501

-8001

-7501

-7001

-6501

-6001

-5501

-5001

-4501

-4001

-3501

-3001

-2501

-2001

-1501

-1001

-501

-1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Funciones: límites y continuidadRepresentación de los términos de la sucesión an =

-n2 + 1

a20

a50a90

a5

IMAGEN FINAL

Matemáticas



-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

a10


Representación de los términos de la sucesión an = (-1)n . n2

a1a44

a23

Esta sucesión no tiene límite

IMAGEN FINAL

Matemáticas



n 10 100 1000 10000 100000 …. +

1 + 1n

n

2,5937424601

2,704813829422

2,716923932236 2,718145926825 2,718268237192 …. e

lim

1 + 1n

n= e

El número e

Matemáticas



2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

a20

Representación de los términos de la sucesión an = (1+1/n)n

a1

a2

a3

a50a96

Matemáticas



Estudio del

x 0

lim sen x

x . Se pone la calculadora en modo Rad para construir las siguientes tablas.

x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,0000001sen x

x0,998334166468 0,999983333416 0,999999833333 0,999999998333 0,99999999998 0,999999999999

x - 0’1 - 0’01 - 0’001 - 0’0001 - 0’00001 - 0’0000001sen x

x0,998334166468 0,999983333416 0,999999833333 0,999999998333 0,99999999998 0,999999999999

Los resultados sugieren que x 0+lim

sen xx =1

Los resultados sugieren que x 0-lim

sen xx =1

En consecuencia: x 0lim

sen xx =1

Límites de funciones trigonométricas

Matemáticas




El x 0lim

sen xx geométricamente

10 5 5 10

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

• La función no está definida en 0.

• Pero está definida en las proximidades del punto 0

IMAGEN FINAL

esquema

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