espindola

kurt göDeL. Obras completas. Edición de Jesús Mosterín, Colec-ción »Ensayo«, Alianza Editorial, Madrid, 2006, 452 pp, € 25.40, ISBN: 978-84-206-4773-9.

Recibido: 22/VIII/2011Revisado: 3/X/2011

Aprobado: 22/X/2011

Si hay alguna persona en el campo de la lógica matemática del siglo XX cuya lucidez sirvió para avanzar con pasos gigantescos y extender de una manera sin precedentes el estado del conoci-miento sobre el tema, esa persona es sin duda Kurt Gödel. Y es tan valioso el contenido de sus escritos y tan profundas las implicacio-nes que ellos destilan, que corresponde a sus herederos la respon-sabilidad de acuñar el gran tesoro que nos ha legado a través de un tratado sistemático y organizado. Asumir esta responsabilidad es nada menos la tarea que se ha encomendado Jesús Mosterín al encargarse de la edición de las Obras completas de Gödel.

Se trata en este caso de la segunda edición, que aparece luego de conocerse en 1986 el primer volumen de Kurt Gödel: Collected works, preparado por un equipo a cargo de Solomon Feferman. Se corrigen aquí algunas erratas de la primera edición y se recogen también escritos previamente omitidos, de los que Mosterín ha to-mado conocimiento a través de la correspondencia con un editor del mencionado equipo (se trata principalmente de unos artículos geométricos poco conocidos y otros breves escritos). Cabe destacar que la primera edición de las Obras completas fue en realidad la primera en aparecer, en cualquier idioma, después de exhaustivos trabajos de traducción y preparación que culminaron en 1980, ape-nas dos años después de la muerte de Gödel. Es completamente natural, pues, que dicha edición sea susceptible de futuros perfec-cionamientos y agregados, sobre todo teniendo en cuenta que a menudo la clasificación y recopilación de nuevos escritos descu-biertos suele llevar varios años de trabajo. Los nuevos textos que aquí se incluyen no sólo enriquecen las Obras completas, sino que

[Analítica, Año 5, N.º 5, Lima, 2011; pp. 127-141]

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k. göDeL, obras ComPLetas

proporcionan una refrescante mirada al matemático detrás del ló-gico. Por ejemplo, uno se entera con grata sorpresa de las contri-buciones de Gödel a problemas geométricos, como los planteados durante la discusión de un programa reformista de Karl Menger (del cual Gödel fue alumno) tendientes a la simplificación de la geometría diferencial. También se aprende lo productiva que re-sultó la constante creatividad de Gödel, como señala Mosterín, al acceder a sus contribuciones a la teoría de la relatividad de Eins-tein, las cuales son tanto de índole técnico como filosófico. Todos los artículos de Gödel que en esta obra aparecen vienen acompa-ñados de introducciones a cargo de Mosterín, retomando la idea original de la primera edición, y que cumplen diversas tareas. Por un lado contextualizan el trabajo comentado en su ámbito históri-co, lo que permite situar al lector en el tiempo y el espacio corres-pondientes. En otras ocasiones, presentan un resumen de las ideas que Gödel desarrolla en ellos y que sirve como guía al lector que se adentra por primera vez en sus escritos originales. A menudo el estilo de Gödel, que apela a una exposición concisa pero a la vez con mucho contenido a digerir, dificultaría demasiado la lec-tura de no contar con el panorama que Mosterín ofrece gentilmen-te al lector desprevenido. Resulta más loable todavía que además de comprender y añadir introducciones a los artículos de Gödel, Mosterín se ha tomado el trabajo de traducir muchos de ellos al español (especialmente los originales en alemán). Se ocupó, ade-más, de actualizar la terminología y ordenar, junto a sus colabora-dores, los escritos originales, volviéndolos accesibles no sólo por una cuestión idiomática (dado que la traducción y ordenación de estos trabajos facilita sus futuras referencias y agiliza, de ese modo, la lectura) sino porque parte de la terminología y signos lógicos usados por Gödel son distintos de los usados actualmente (cosa que es natural, dado que sus trabajos iniciaban líneas de investi-gación retomadas y continuadas por otros lógicos y matemáticos). Al respecto, un detalle llamativo de la traducción, que este rese-ñador menciona aquí sólo como curiosidad, es el uso del término “euklídeo” (sic) que aparece repetidas veces, y que no parece, por

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reseñaDo Por Christian esPínDoLa

tanto, que pueda confundirse con el resto de los (menores) errores tipográficos, sobre todo teniendo en cuenta que el correspondiente vocablo en alemán aún conserva la “k” de la raíz griega, y que es justamente el alemán la lengua en que se encontraban muchos de los artículos de Gödel que Mosterín se ocupó de traducir.

En el aspecto general, tal vez la única carencia de esta obra que se merezca destacar sea la ausencia de los escritos inéditos de Gödel, que sí aparecieron en cambio en el tercer volumen de los Collected Works, en 1995 (pero que no estaban disponibles al salir esta segunda edición, por lo que de ningún modo puede atribuirse a un defecto en la preparación de Mosterín de este trabajo). Para aquel lector ávido de intentar penetrar en la mente del lógico, re-sulta sumamente atractiva la posibilidad de disponer de aquellos escritos que, por diferentes motivos, no han sido publicados sino póstumamente.

Especialmente relevantes son las notas de distintas conferen-cias a las que Gödel fue invitado como expositor, así como una se-rie de distintas versiones de un trabajo acerca de la filosofía de Ru-dolf Carnap, que le fueron encargados por el propio Paul Schilpp, editor de la conocida colección The library of living philosophers. Para dar una idea de la variedad de escritos inéditos, puede men-cionarse dos de ellos que resultan particularmente llamativos: el primero se trata de unos trabajos acerca de la hipótesis del conti-nuo, enviados por Gödel para su publicación, que contenían (como él mismo reconoció más tarde) serios errores. Tal es la genialidad de Gödel que finalmente estos trabajos han salido a la luz, pues la porción correcta que allí se encuentran es aún aprovechable. El segundo caso es un breve escrito donde exponía Gödel una prueba ontológica de la existencia de Dios a partir de determinados axio-mas, y de la que no le interesaba más que la coherencia lógica del razonamiento. De hecho, se sabe que se oponía a que tal prueba fuese publicada por su (justo) temor a que fuese malinterpretada como ejemplo de sus creencias religiosas. A menudo ocurre que la personalidad de alguien puede caracterizarse por aquello que omi-te divulgar más que por lo que divulga, y en ese sentido sería sin

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duda revelador disponer de alguna nota introductoria de Mosterín acerca de estos dos escritos, pues un profundo conocimiento acer-ca de Gödel y su obra, magistralmente demostrado en esta segun-da edición, no hace más que acrecentar el interés por saber lo que acaso tenga para señalar al respecto. Debe insistirse, sin embargo, en que tal carencia no opaca en absoluto el nivel y la importancia de esta obra, pues su vastedad y su alcance suponen ya un panora-ma sumamente enriquecedor, y su estudio constituye de por sí una empresa increíblemente fructífera e indudablemente gratificante.

Es justamente para ilustrar este último punto que la intención de este reseñador es, en lo que sigue, focalizar la atención en tres de las más importantes y célebres contribuciones de Gödel aquí tratadas: el teorema de completitud de la lógica clásica de primer orden, los teoremas de incompletitud para determinados sistemas axiomáticos y la prueba de la consistencia del axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo. Cada uno de estos logros habría bastado, por sí solo, para asegurar a Gödel el reconocimien-to generalizado, al haber desarrollado estos temas con el aporte de técnicas radicalmente nuevas que abrirían paso al posterior creci-miento de la disciplina y marcarían el rumbo de la lógica del siglo XX. Por consiguiente, aquel lector que recorra en detalle el trata-miento de estos tres hitos fundamentales a través de los escritos de su propio autor, con la guía que Mosterín provee a través de notas introductorias, habrá logrado vislumbrar el plan propuesto por Gödel para sus correspondientes demostraciones y revivir en carne propia el hilo mental de su argumento original, en su esta-do más puro. Esta experiencia es altamente recomendable incluso para quien ya tiene conocimientos al respecto, por varios moti-vos. En primer lugar proporciona un enfoque mucho más amplio y abarcativo que da pie a la realización de análisis comparativos. En segundo lugar, las demostraciones clásicas que aparecieron con posterioridad, si bien más simples, resultan (en opinión de este re-señador) algo más frías y, en algunos casos, desmotivadas. Pero tal vez la experiencia más excitante que se adquiere leyendo directa-mente a Gödel es la posibilidad de transportarse en el tiempo a un

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contexto histórico, descripto con precisión por Mosterín en sus no-tas introductorias, en el que la significación de estos resultados es percibida con mucha más sorpresa, dado que son presentados por primera vez en la historia de la lógica. Por ejemplo, si bien en la ac-tualidad autores como W. Lawvere tienden a relativizar el carácter casi místico atribuido al teorema de incompletitud de Gödel al en-cuadrarlo dentro de las consecuencias de argumentos sencillos en teoría de categorías, lo cierto es que esto es posible sólo después de décadas desde la primera publicación de este resultado, mientras la lógica matemática y los fundamentos han ido tomando forma y se han esclarecido diversos puntos gracias al aporte de varios au-tores. En su momento, sin embargo, tal teorema significó un pro-fundo golpe al programa de Hilbert, como bien explica Mosterín, y el impacto psicológico fue notablemente superior.Para aquellos que no vivieron ese momento, estas páginas proveen, pues, la po-sibilidad de realizar un excitante viaje en el tiempo y deleitarse con la aventura del pensamiento, apreciando los teoremas de Gödel tal como fueron dados a conocer a sus contemporáneos.

El primer artículo recopilado en estas Obras completas (y el primero publicado por Gödel) se trata nada menos que de su tesis doctoral, reescrita y enviada para publicación. Allí obtiene Gödel uno de los resultados más famosos en lógica matemática: el teo-rema de completitud para la lógica clásica de primer orden. Este logro generaliza resultados previos sobre la completitud del cál-culo conectivo a una clase más amplia de fórmula que incluyen cuantificadores (las fórmulas de la lógica de primer orden, consi-deradas primero sin identidad y generalizadas luego en el mismo artículo). En términos modernos, el teorema afirma que una deter-minada fómula que sea válida en todos los modelos de la lógica clásica es necesariamente deducible a partir de los axiomas lógicos y reglas de inferencia previamente especificados. De este modo, se establece una importante conexión entre las verdades semánticas y la demostrabilidad sintáctica, al tiempo que se asegura que los axiomas mencionados son de hecho suficientes para deducir todas las posibles fórmulas válidas. Es fácil comprobar que el camino in-

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verso, es decir la propiedad de la lógica según la cual toda fórmula deducible es válida en todos los modelos (lo que se conoce como correctitud del cálculo lógico), es en efecto cierta (procediendo, por ejemplo, por inducción en la complejidad de la fórmula); pero la completitud es considerablemente más complicada de probar. Gödel incluso generaliza el resultado a conjuntos numerables de fórmulas, y prueba además que los axiomas del cálculo lógico son independientes (y que por tanto ninguno es superfluo). Lo notable del tratamiento dado por Gödel es que de la prueba de esta genera-lización, como bien señala Mosterín, se deduce como corolario in-mediato el teorema de Löwenheim-Skolem, puesto que la prueba de Gödel es de naturaleza semántica, al proceder en ella a construir un modelo numerable que hacen verdaderas un cierto conjunto de fórmulas satisfacibles. Más aún, lo que en realidad obtiene Gödel es el teorema de compacidad para el caso de numerables fórmulas, de donde se deduce luego lo anterior. Al mencionar los trabajos de Löwenheim y Skolem en la introducción, quizás corresponde-ría aclarar que la ”demostración” dada por Löwenheim contenía vacíos que luego Skolem se ocupó de llenar, pero de todos modos Mosterín prefiere concentrarse en el enfoque gödeliano del asun-to más que en la contribución de estos dos lógicos. Lo que sí es evidente, en cualquier caso, es que la prueba de Gödel es inmen-samente rica en contenido, puesto que las ideas que aquí se desa-rrollan tocan los puntos más importantes de la lógica de primer orden: el teorema de completitud, el teorema de compacidad y el teorema de Löwenheim-Skolem. Naturalmente no los prueba Gö-del en toda su generalidad (dado que hoy se sabe que en los tres casos pueden considerarse teorías dadas por conjuntos de fórmu-las con cardinalidad arbitraria), pero es sumamente sorprendente ver desarrollados en un mismo texto argumentos y consideracio-nes propios de una rama de la lógica matemática que se encontra-ba aún en formación.

Uno de los detalles notables que refuerzan la afirmación anterior (y que habría sido difícil detectar de no ser por las notas al pie de página de Mosterín) es justamente el empleo en el artículo original de la palabra alemana “Erfüllungssystem”, que significa literalmente

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“sistema satisfactorio”, y que Mosterín prefiere, acertadamente, traducir como ”modelo”. Esta observación viene a demostrar que para ese momento la teoría de modelos no disponía del desarrollo sistemático que posee en la actualidad, aunque esencialmente la idea de modelo como estructura que verifica determinados axiomas está presente a lo largo de todo el artículo. Este tipo de detalles vuelven aún más valiosas las introducciones de Mosterín, que no sólo marcan los lineamientos generales a tener en cuenta por quien se introduce en estas páginas por primera vez, sino que establece puntos de apoyo para un análisis comparativo entre el trabajo de Gödel y la literatura existente en su época. Quizás habría sido interesante incluir en la introducción algún comentario adicional acerca del uso que hace Gödel, en su prueba, del argumento conocido como “Lema de König”, argumento que constituye un principio de elección y es independiente de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Hoy se sabe que una prueba del teorema de completitud para el caso de teorías numerables puede prescindir de tales tipos de argumentos y puede ser expresada enteramente dentro de dicha teoría de conjuntos, mientras que para la prueba del caso general (donde la cardinalidad es arbitraria) no sucede lo mismo, ya que tal caso resulta equivalente al teorema del ideal primo, otro tipo de principio de elección. Pero es cierto también que aquel lector interesado en el rol del axioma de elección en este tipo de teoremas metamatemáticos, y que haya seguido el artículo con la guía introductoria, podrá sacar sus propias conclusiones al respecto.

El siguiente de los artículos a los que este reseñador se ha pro-puesto circunscribirse es uno de los más conocidos, profundos y sobrecogedores trabajos jamás realizados, y que ha ejercido sin duda una gran influencia en el pensamiento de lógicos y filósofos del siglo XX. Se trata de la demostración de Gödel de dos resul-tados sorprendentes y abrumadores: los teoremas de incomple-titud. Debido a la enorme complejidad y la sutileza extrema de esta demostración, Mosterín ha sabido realizar una introducción correspondiente acorde a las exigencias que supone seguir el ra-zonamiento gödeliano, que tan intrincado se torna en este artículo.

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La primera dificultad con la que el lector se topa al intentar seguir la lectura del mismo es el peligro de la confusión entre los niveles teóricos y metateóricos en esta prueba. Debido a la necesidad de vincular estos dos niveles, por cuestiones intrínsecas de la demos-tración, se hace absolutamente necesario comprender con claridad la distinción entre ambos para poder apreciar los más sutiles de-talles. Mosterín se ocupa, justamente, de ofrecer una magnífica in-troducción cuya sola lectura resulta ya un apasionante preludio a lo que luego vendrá, describiendo punto por punto las ideas esen-ciales de la prueba y exponiéndolas en su justo contexto histórico. Comienza Mosterín por definir los conceptos básicos asociados a sistemas formales, en particular la completitud y la consisten-cia, y explica cómo los resultados de Gödel pueden resumirse en dos importantes descubrimientos. El primero es la prueba de que aquellos sistemas axiomáticos con ciertas propiedades razonables (entre los que se encontraban el de Principia Mathematica, el de la aritmética de Peano y el sistema axiomático para la teoría de conjuntos) eran inherentemente incompletos, y por tanto siempre admitirían sentencias indecidibles sobre cuya demostrabilidad o refutabilidad no podían pronunciarse. El segundo es un resultado que el propio Gödel reconoce como sorprendente, según el cual la consistencia de un sistema axiomático no puede ser formalmente probada con métodos del propio sistema. Este último resultado re-presenta, según plantea Mosterín, un duro revés para el programa formalista de Hilbert, y en ese sentido se expresa argumentando que si bien es posible obtener pruebas de consistencia de un cier-to sistema usando métodos de otros sistemas más potentes, tales pruebas serían “de dudosa utilidad”. Al respecto hay un acalorado debate, que tiene lugar precisamente debido, por un lado, a las di-ferencias entre lo que cada matemático acepta como principios de-ductivos válidos en el razonamiento metamatemático, y por otro lado, a la especulación acerca de posibles pruebas de consistencia con métodos finitarios distintos de los que ocurrirían dentro de un sistema axiomático dado. Así, mientras hay quienes no dudan de la consistencia de la teoría de conjuntos clásica (más precisamente el sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel), existe una corriente

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contrapuesta que invoca una filosofía finitista y hasta ultrafinitista, y que advierte de las posibles inconsistencias resultantes de consi-derar conjuntos infinitos. Sin tomar partido por uno u otro bando, lo cierto es que el resultado de Gödel excluye definitivamente la posibilidad de exhibir una prueba de consistencia de la teoría de conjuntos arriba mencionada usando solamente consideraciones elementales de la aritmética de los números naturales. En efecto, la aritmética de Peano constituye un subsistema de la teoría de Zermelo-Fraenkel, y por tanto, de existir tal prueba se estaría vio-lando la conclusión de este resultado de Gödel.

Mosterín comenta también la estructura general del artículo, que comienza con una introducción donde Gödel describe some-ramente su plan de prueba, sigue con el núcleo central del artículo (y el más complejo también), continúa con la exposición de conse-cuencias del teorema de incompletitud en la aritmética y la lógica, y finaliza con el llamado “segundo teorema de incompletitud de Gödel”, que es justamente el mencionado en el párrafo anterior y que se ocupa de la cuestión de la consistencia. Es en el núcleo del artículo donde introduce Gödel su ya conocido proceso mediante el cual codifica la metateoría usando la propia aritmética, un pro-ceso autorreferencial que le permite obtener consecuencias meta-matemáticas a través de manipulaciones puramente matemáticas. Una vez introducida esta codificación y probados algunos resulta-dos relativos al carácter algorítmico de ciertas funciones numéri-cas, procede Gödel a listar una secuencia de funciones de este tipo, cada una construida a partir de las anteriores (y teniendo cuidado que verifiquen ciertas propiedades de computabilidad) que le per-mite introducir paso a paso dentro de la teoría (usando su codifi-cación), una cantidad de nociones metateóricas relevantes, como los conceptos de variable, sentencia, fórmula, axioma, inferencia inmediata y deducción. Es sumamente interesante observar como, nivel a nivel, aumenta la complejidad de las funciones allí defini-das a medida que aumenta también la complejidad del concepto metateórico que quiere plasmar dentro de la teoría. Y aunque esta escalera de definiciones está aquí realizada para el caso particular del sistema axiomático de los Principia (lo que a menudo obliga a

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agregar nuevos escalones para tener en cuenta la adecuación a la teoría de tipos allí expuesta), resulta claro que tal procedimiento puede adaptarse igualmente bien a otros sistemas axiomáticos que contengan la mínima cantidad necesaria de aritmética para lograr que la codificación de la metateoría sea exitosa, y cuyos axiomas satisfagan ciertas condiciones razonables de recursión. El punto clave de la demostración es la observación (que aparece allí como teorema V) de que las codificaciones de las nociones metateóricas emulan correctamente dichas nociones (en tanto satisfagan tam-bién ciertas condiciones de recursión), de manera que al conside-rar una determinada fórmula de la teoría, interpretarla en el nivel metateórico y plasmarla nuevamente en el plano teórico a través de la codificación gödeliana, se obtiene una nueva fórmula cuya validez o refutabilidad es compatible (es decir, se deduce) de la va-lidez o refutabilidad de la fórmula original. Esto permite finalmen-te el paso al teorema VI donde prueba Gödel la incompletitud del sistema axiomático de los Principia, construyendo para ello una sentencia que resulta ser indecidible. Tanto Gödel como Mosterín vinculan esta sentencia con las conocidas antinomias semánticas (tales como las paradojas de Richard o la paradoja de Epiméni-des), antinomias que, en un contexto cuidadosamente planifica-do y donde la distinción entre los planos teóricos y metateóricos es bien precisa, de pronto dejan de serlo. Y tal como se ocupa de aclarar Gödel en el artículo, la prueba de la incompletitud resulta intuicionísticamente del todo aceptable, lo que ha facilitado, según comenta Mosterín, su rápida y general aceptación.

Inmediatamente después de demostrar el primer teorema de incompletitud, pasa Gödel a continuación a explotarlo y a extraer de él diversas consecuencias. Muestra, por ejemplo, que en los sis-temas formales considerados puede ingeniárselas para producir una sentencia indecidible que resulte ser una sentencia aritmética (es decir, que sea definible a partir de fórmulas que sólo usen las nociones aritméticas elementales, y que correspondan por tanto con una determinada afirmación de la teoría de números). Resul-ta curioso, por ejemplo, el uso que hace Gödel en esta parte del “Teorema Chino del Resto” (p. 79-80), una grata sorpresa sin duda,

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dado que generalmente Gödel no aparece asociado a este tipo de áreas. Como segunda consecuencia prueba también que la lógica pura de predicados de primer orden posee igualmente problemas indecidibles, lo que logra a través de una correspondencia entre las relaciones recursivas y la satisfacibilidad de las fórmulas de la lógica pura. Todo esto adelanta Mosterín en su introducción, per-mitiendo al lector prepararse para la lectura del artículo original. Y si bien ha evitado hasta aquí realizar comentarios sobre la relación entre verdad y demostrabilidad (cosa que le llevaría demasiado lejos y podría resultar incluso confusa para una primeralectura), sí se ha ocupado en cambio de aclarar cuestiones técnicas como la hipótesis de la consistencia del sistema en la prueba del teore-ma de incompletitud, haciendo notar que puede reemplazarse por la mera consistencia, como demostraría más tarde B. Rosser (“An informal exposition of proofs of Gödel’s Theorems and Church’s Theorem”, Journal of Symbolic Logic 1939, 4(2): 53-60.).

En las Obras completas se encuentra también la exposición que Gödel realizó de estos fenómenos de indecidibilidad durante un cursillo en Princeton. Debe notarse lo acertado de la decisión editorial de incluir también estas notas, pues si bien la temática tratada es la misma, los resultados son aquí ampliados. Esto permite un estudio comparativo de la evolución de las ideas de Gödel durante los tres años desde la publicación de sus teoremas de incompletitud, correspondientemente pormenorizada en la introducción de Mosterín. De este modo aparecen, por ejemplo, más detalles en las pruebas, que antes habían sido sólo sucintamente esbozadas (aunque tales detalles nunca van más allá de los límites de la concisión de Gödel), así como interesantes secciones nuevas. Dos de estas secciones llaman la atención aquí: una donde expone Gödel consideraciones acerca de la relación de los argumentos aquí utilizados con las paradojas, junto con algunas reflexiones sobre el concepto de verdad desarrolladas en forma paralela a las de Tarski (las cuales le eran, en ese momento, desconocidas). La otra es una maravillosa sección donde retoma Gödel las sentencias aritméticas indecidibles de ciertos sistemas,

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cuya existencia ya había demostrado, y muestra ahora que son equivalentes a una cierta afirmación acerca de las soluciones de una ecuación diofántica.

Un punto final al que alude Mosterín en su resumen es la rela-ción entre los sistemas formales y las máquinas de Turing. Gödel había propuesto identificar ambos conceptos en una posdata a este escrito, que Mosterín interpreta lúcidamente. Señala al lector, por ejemplo, cómo Gödel se cuida de comparar las limitaciones de los sistemas formales con las limitaciones de la razón humana. Esta observación es particularmente esclarecedora, sobre todo teniendo en cuenta las subsiguientes malinterpretaciones y extrapolaciones desmesuradas de los resultados de Gödel en ámbitos donde no resultan aplicables.

El último de los artículos especialmente mencionados en esta reseña (y no por ello menos relevante) trata de la respuesta positiva que dio finalmente Gödel a la cuestión de la consistencia relativa del axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo con respecto a los axiomas de la teoría de conjuntos. Luego del anuncio hecho por Gödel en 1938, en el que comunicaba que se encontraba en posesión de una prueba de consistencia relativa, siguieron dos artículos; el primero con un esbozo informal de la prueba, y el se-gundo con su formalización correcta y los detalles completos. Mos-terín compara ambos artículos y señala también que los sistemas axiomáticos para las teorías de conjuntos consideradas en cada caso son diferentes. Así, en el primer artículo se adoptan los sis-temas axiomáticos de Zermelo y de Zermel-Fraenkel (donde este último resulta de aquel por el añadido del axioma de sustitución), mientras que el segundo artículo detalla la prueba utilizando para ello la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG), excluyendo por supuesto el axioma de elección. La diferencia prin-cipal entreNBG y la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es que aquella permite la noción ontológica de clase propia que ésta excluye, y mientras aquella admite una axiomatización finita, que como cuenta Mosterín es debida a Bernays, ésta no puede prescin-dir de los axioma- esquemas que suponen infinitas instancias.

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Las pruebas de consistencia relativa venían a echar por tierra los rumores acerca del carácter sospechoso del axioma de elección, cuyo papel en la teoría de conjuntos encendía con frecuencia ardientes discusiones. Resultados como la paradoja de Banach-Tarski, cuya prueba descansa de manera esencial en el axioma de elección, acrecentaban aún más la suspicacia y la confusión, al tiempo que polarizaba los matemáticos dividiéndolos entre defensores y detractores de tal axioma. Sólo fue posible desterrar la idea errónea de que el axioma de elección producía resultados contradictorios una vez que Gödel probó que en realidad, de producirse una inconsistencia, ésta no sería causada por el mismo sino que ya debería encontrarse latente en la teoría formada por el resto de los axiomas. Es bastante notable, por otro lado, que sea la misma prueba la que acabaría por responder, aunque más no fuera parcialmente, la pregunta acerca de la verosimilitud de la hipótesis del continuo, problema éste que tanto tiempo le había consumido a Cantor y que, como bien remarca Mosterín, se encontraba en el primer puesto de la lista de los desafíos matemáticos para el siglo XX que había anunciado Hilbert en el congreso mundial de matemáticos de 1900.

El método empleado por Gödel para la prueba fue la construc-ción de un modelo interno de la teoría de conjuntos considerada en cada caso, que satisficiera no sólo los axiomas de dicha teoría, sino también el axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo. De esta manera quedaría probado que de haber alguna contradicción generada a partir del agregado de estos dos axio-mas, dicha contradicción tendría ya que producirse en el seno de la teoría de conjuntos, lo que establecería su consistencia relativa. La idea central de Gödel para la construcción de dicho modelo se encuentra ya cabalmente explicada en la introducción de Moste-rín, que logra extraer la esencia motivadora de la demostración en pocos párrafos. El núcleo de la cuestión consiste justamente en intentar establecer por qué motivo fallarían los dos axiomas cuya consistencia relativa quiere probarse. Concluye Mosterín que tal dificultad debería radicar en la complejidad de la jerarquía conjun-tista, que pronto excede la intuición que de ella podemos tener. De

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esta precisa observación se comprende que al simplificar un poco esa jerarquía y restringirse sólo a aquellos conjuntos que pudieran construirse o definirse de alguna manera a especificar, se estaría en condiciones de someter a prueba la validez de estos dos axiomas. Y en efecto, Gödel define los conjuntos constructibles mediante una iteración transfinita similar a la que define la jerarquía conjuntista, pero teniendo en cuenta las restricciones mencionadas. El resto de la prueba consiste en utilizar como modelo interno subconjuntos suficientemente grandes en esta nueva jerarquía (una vez probado que efectivamente satisfacen los axiomas de la teoría de conjuntos considerada), probar luego que tal modelo interno verifica la afir-mación de que todos los conjuntos que en ese universo puedan existir son efectivamente constructibles, y mostrar finalmente que de esta última afirmación se desprenden como corolarios la vali-dez del axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo dentro de tal modelo. Nótese, sin embargo, que el segundo paso requiere relativizar todas las nociones al modelo interno conside-rado, lo que supone un cierto trabajo técnico ineludible y justifica en parte lo extenso de la prueba.

Por último, relata Mosterín de qué manera las respuestas parciales de Gödel acerca del estado de estos dos axiomas fueron finalmente completadas gracias al trabajo de P. Cohen, quien vendría a demostrar en 1963 que la negación de ambos axiomas resulta también consistente con el resto de los axiomas de la teoría de conjuntos (“The independece of the continuum hypothesis I”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 50(6):1143-1148.). Esto convierte dichos axiomas en proposiciones indecidibles dentro de los sistemas axiomáticos considerados, por lo que proporcionan ejemplos concretos de la clase de tales proposiciones. Queda también aclarado por Mosterín el motivo por el que el nombre de Gödel ha quedado asociado a la teoría de conjuntos NBG. Tal vez un detalle que podría resultar interesante comentar, aunque no se encuentra aquí, es la descripción del aporte preciso de cada uno de los tres matemáticos involucrados en este sistema axiomático; por ejemplo, en la versión original de von Neumann de tal sistema se encuentra el axioma

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de limitación de tamaño, que resulta tan seductor como poderoso, tanto por su simplicidad estética como por el hecho de que de él se desprenden los axiomas de sustitución, especificación y de elección global (Bernays prefiere en cambio distinguir entre los distintos propósitos de estos tres axiomas, a la vez que descubre la manera de evitar axiomas-esquema). Pero sería injusto pretender que estos u otros detalles sean incluidos en las descripciones de Mosterín, quien ya bastante logra al poder presentar cada uno de los trabajos de Gödel desde el punto de vista de quien ha recorrido exhaustivamente su obra. Merece, pues, considerarse digno de elogio tanto por la claridad expositiva y argumentativa como por el increíble esfuerzo invertido en la preparación de esta obra.

Para resumir, queda claro a lo largo de todo el libro que el tra-tamiento de Gödel resalta lo novedoso de sus métodos y lo brillan-te de su plan de ataque, a la vez que pone en evidencia su asom-brosa destreza técnica, que le ha permitido caminar al filo de la paradoja, ver la luz y salir ileso. Y queda claro también que de no haber sido por Jesús Mosterín, no sería posible disfrutar del exqui-sito universo de Kurt Gödel, al que con tanta generosidad y maes-tría nos ha facilitado ingresar. Es el deseo de este reseñador que todo aquel lector interesado pueda disponer del material ofrecido por Mosterín en las Obras completas, y teniendo en cuenta que se trata de la edición más actualizada existente en idioma español, sepa apreciarla en su justa medida, al constituir un orgullo para la comunidad hispanoparlante el poder contar con ella.

Christian EspíndolaDepartamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, Ciudad Universitaria, Pabellón I, C1428E-GA, Buenos Aires, Argentina.Correo electrónico: [email protected].

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