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ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA PRIMARIA

Perspectivas para la enseñanza de la Matemática

Clase 4

Aportes de la Didáctica de la Matemática

para pensar la enseñanza. La clase, los problemas y su gestión

Estimadas y estimados colegas, iniciamos esta clase planteándonos algunas preguntas:

¿Cómo elegir un problema que permita arribar a los conocimientos que

queremos enseñar? ¿Qué procedimientos usarían nuestros alumnos para

hacerlo? ¿Cómo seguir con la clase?

Sabemos que la enseñanza implica anticipación. Cuando elegimos un problema para nuestra

clase de Matemática pensamos en los conocimientos que queremos enseñar, la escena de

nuestros alumnos resolviendo sus dificultades, sus posibles producciones, nuestras

intervenciones, las conclusiones matemáticas que podríamos obtener; sólo entonces

decidimos si lo incluimos o no en nuestra planificación. En esta clase presentaremos nuevas

nociones didácticas que contribuirán a elaborar una anticipación de la clase más ajustada.

Continuando con los aportes de las investigaciones didácticas, nos ocuparemos en esta

oportunidad de esbozar condiciones para la elección de los problemas y para su

funcionamiento en la clase, tomando en particular algunos conceptos de la teoría de

situaciones didácticas de Guy Brousseau y otros de trabajos de Regine Douady y Nicolas

Balacheff.

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Los problemas en la clase, las situaciones

Brousseau elabora una modelización del funcionamiento del conocimiento matemático en la

clase, incluyendo una descripción del conjunto de prácticas de un alumno tal como las

imagina:

“Una buena reproducción por parte del alumno de la actividad matemática

exige que éste intervenga en esa actividad, lo cual significa que formule

enunciados y pruebe proposiciones, que construya modelos, lenguajes,

conceptos y teorías, que los ponga a prueba e intercambie con otros, que

reconozca los que están conformes con la cultura matemática y que tome los

que son útiles para continuar su actividad”.

También describe la enseñanza vinculada con las situaciones-problema que se deben

proponer:

“… el profesor debe hacer posible que los alumnos desarrollen la actividad

señalada, imaginando y proponiendo a sus alumnos situaciones matemáticas

que ellos puedan vivir y les impliquen resolver problemas en los cuales los

conocimientos que quiere enseñar sean la mejor solución para dichos

La teoría de situaciones didácticas aparece en 1986 en un texto que trata de presentar

los fundamentos y métodos de la didáctica de la Matemática y se convierte en un aporte

central en el campo del conocimiento en construcción.

“La teoría aparece como un medio privilegiado para comprender lo que

hacen los profesores y los alumnos y también para producir problemas

adaptados a los saberes y a los alumnos”. (Brousseau, 1999)

Esta teoría está sustentada en la misma concepción constructivista del aprendizaje que

vimos en otros investigadores en la clase anterior y plantea lo siguiente:

“El alumno aprende adaptándose al medio que es una fuente de

contradicciones, desequilibrios, dificultades, un poco como lo hace la

sociedad humana.”(Brousseau, 1986)

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problemas, con la condición adicional de que dichos conocimientos sean

construibles por el alumno.”

Al estudiar la clase, Brousseau analiza ciertas regularidades implícitas en la relación de los

alumnos y el profesor con los conocimientos. Estas reglas determinan un cierto contrato que

regula las interacciones y las denomina contrato didáctico.

Las reglas y cláusulas que en el aula se ponen en funcionamiento al interactuar frente a un

conocimiento específico definen, a la vez, lo que cada uno puede hacer y el significado de

sus actuaciones en relación con ese conocimiento. Dice al respecto P. Sadovsky:

“El contrato didáctico que subyace al funcionamiento de los objetos

matemáticos está regido por reglas de naturaleza muy diferente que se

refieren tanto a los conceptos (las funciones siempre se definen a través de

fórmulas, las relaciones crecientes siempre son de proporcionalidad directa,

una ecuación tiene solución única, etc.) como a las normas que comandan los

modos de abordar los problemas (no se puede atribuir valores a las variables

de manera arbitraria, los problemas siempre tienen solución, etc.)“ .

(Sadovsky, 2005: 40)

Un ejemplo de regla que ha funcionado durante mucho tiempo en la escuela primaria es la

que dice qué hay que hacer para resolver un problema: “si te dan un enunciado con

números, tenés que hacer una cuenta con ellos, el resultado es la respuesta a la pregunta y

la solución es única”. En este caso, vemos que la idea de problema está referida a los

clásicos enunciados con información numérica. Hoy tenemos la expectativa de ir trabajando

en la escuela con los problemas numéricos, enriqueciendo la posibilidad de hacer un

tratamiento de la información de modo que esta regla se modifique, presentando

enunciados con datos de más o de menos, con preguntas que no requieran cálculos para ser

respondidas y con otras que no se puedan responder con la información proporcionada.

Estas reglas aparecen en el marco de la clase cuando el profesor o los alumnos actúan

“rompiendo” estos implícitos y, en ese caso, tiene sentido hablar explícitamente de ellas

para aceptarlas, rechazarlas o establecer sus límites. Por ejemplo, explicitando, cuando eso

ocurra, que “el problema tiene más de una respuesta” o “en el problema del pago del taxi, a

más kilómetros recorridos se paga más pero no es de proporcionalidad directa”.

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Al establecer unas condiciones para que el aprendizaje funcione como una construcción de

conocimientos, Brousseau define una situación didáctica como una situación construida

con el fin de que unos alumnos aprendan un saber determinado. Está constituida por todos

los elementos que componen el medio con el que los alumnos van a interactuar, incluyendo

el problema a resolver, los elementos materiales (si fuera el caso) y, según cómo se decida,

un grupo de compañeros. Brousseau define de esta manera a una situación didáctica:

“Un conjunto de relaciones establecidas explícita o implícitamente entre un

alumno y un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende

eventualmente instrumentos u otros objetos) y un sistema educativo

(representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos

se apropien de un saber constituido o en vías de constitución.” (Brousseau,

citado en Galvez, citado en Panizza1, 1994)

En este sentido, Brousseau denomina situación adidáctica al momento en el que el

alumno se encuentra solo frente a la resolución del problema sin que el maestro intervenga

en cuestiones relativas al saber que se quiere que él produzca para arribar a una respuesta

ante la situación planteada. Precisamente, si el alumno ha de construir conocimientos, es

fundamental concebir una fase en la que sea necesaria la aparición del saber y que esa

necesidad esté determinada por las condiciones que ofrece la misma situación sin que el

docente intervenga.

Dice, tomando palabras de Berthelot y Salin:

“El término de situación adidáctica designa toda situación que, por una parte

no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en práctica de

los conocimientos o del saber que se pretende y que, por la otra, sanciona

las decisiones que toma el alumno (buenas o malas) sin la intervención del

maestro en lo que concierne al saber que se pone en juego” . (Panizza, 1992)

En el artículo citado de Panizza (págs. 63/66) se analizan tres aspectos de la noción de

situación adidáctica que permiten profundizar su comprensión: el conocimiento a construir

1 Ver el apartado 3.1. de la lectura recomendada: “Conceptos básicos de la teoría de situaciones didácticas” Mabel

Panizza, 2003.

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en la situación debe ser necesario para su resolución; el maestro no debe intervenir en

relación con ese conocimiento; y el medio con el que el alumno interactúa debe marcarle de

algún modo si las decisiones que tomó al resolver son o no adecuadas.

Para poder avanzar con otras nociones, también potentes para analizar propuestas de

enseñanza, retomemos el caso dela Srta Cristina:

Cristina quiere presentar un problema que permita a los alumnos elaborar estrategias para

sumar fracciones. Encuentra en el Cuaderno para el aula de 5to. (pág. 104) un juego para

trabajar con sumas de fracciones: “Escoba del 1”: sumas que dan 1. El material para el juego

son naipes con fracciones representadas en rectángulos: 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, y 1/9.

Para seguir pensando

¿En qué sentido un juego se considera un problema para los alumnos? ¿Anticipan

que se puede dar un momento adidáctico durante su desarrollo?

En los Cuadernos para el aula (p. 19) se explica la relación entre juego y problema:

“Jugar permite ´entrar en el juego´ de la disciplina matemática, pues se

eligen arbitrariamente unos puntos de partida y unas reglas que todos los

participantes acuerdan y se comprometen a respetar. Luego, se usan

estrategias que anticipan el resultado de las acciones, se toman decisiones

durante el juego y se realizan acuerdos frente a las discusiones.”

La pregunta de Cristina sobre los conocimientos que necesitan sus alumnos para poder

jugar remite a la necesidad de pensar en las diferentes alternativas de jugadas y analizar

qué necesitan saber los chicos para cada una. Por ejemplo, si saben fracciones

equivalentes, esto es, 2/6 = 1/3, van a relacionar rápidamente que con dos cartas de 1/6

forman 1/3. En otro caso podrán descubrir esa equivalencia comprobándola gráficamente en

el contexto del juego. Si bien se espera que los alumnos y alumnas conozcan la relación

entre el entero y cada fracción unitaria -por ejemplo, que una parte es ¼ si con 4 de esas

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partes se forma el entero-, si esto no ocurriese, una primera exploración con las cartas les

permitiría arribar a esta idea.

Por otro lado, las sumas que se pueden obtener dependen de los valores de las cartas y por

eso es posible modificarlas según el repertorio de sumas que se quiera abordar.

En el caso del juego que encontró Cristina, los números de las cartas pueden tener los

valores planteados u otros según las sumas sobre las que el maestro quiere que se trabaje.

Por ejemplo, se podría jugar con cartas que tengan también doceavos, quintos y décimos o

incluyendo algunas que no tengan numerador 1. También se podría jugar a que la “escoba”

fuera del 2 si, por ejemplo, se quisiese luego analizar los sumandos en relación con la

unidad y hacer cálculos aproximados.

Por otra parte, también podrían variar las representaciones de las fracciones que se usan en

las cartas, con o sin divisiones, o con otra forma para el entero. En estos casos varía la

posibilidad de comprobar efectivamente si la reunión de las partes corresponde o no al

entero.

Este análisis nos permite incorporar otra noción fundamental de la teoría, la de variable

didáctica. En el artículo oportunamente citado de Panizza, su autora arriba a su siguiente

definición:

“Algunas de esas condiciones (de la situación) que pueden variar a voluntad

del docente y que constituyen una variable didáctica cuando, según los

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valores que toman, modifican las estrategias de resolución y en

consecuencia, el conocimiento necesario para resolver la situación.”

En su teoría, Brousseau distingue tres tipos de situaciones, cuya descripción tomamos del

texto de Panizza:

“Situaciones de acción: el alumno debe actuar sobre un medio (material o

simbólico), la situación requiere solamente la puesta en acto de

conocimientos implícitos.

Situaciones de formulación: un alumno (o un grupo de alumnos) emisor debe

formular explícitamente un mensaje destinado a otro alumno (o un grupo de

alumnos) receptor, que debe actuar (sobre un medio material o simbólico),

de acuerdo con el conocimiento contenido en el mensaje.

Situaciones de validación: dos alumnos (o grupos de alumnos) deben

enunciar aserciones y ponerse de acuerdo sobre la verdad o falsedad de

ellas. Las afirmaciones propuestas por cada grupo son sometidas a la

consideración de otro grupo, que debe tener la capacidad de ´sancionarlas´,

es decir, ser capaz de aceptarlas, rechazarlas, pedir pruebas, oponer otras

aserciones." (Panizza, págs. 66/7, 2003)

En relación con estas formas de interacción decimos en los Cuadernos para el aula:

“Los niños podrán realizar diferentes tareas. En algunas ocasiones,

trabajarán usando los conocimientos matemáticos de manera implícita, sin

nombrarlos ni escribirlos, por ejemplo, al medir, construir, decidir cómo jugar

o contar. En otras, utilizarán los conocimientos matemáticos de manera

explícita: tendrán que describir cómo midieron o contaron, qué instrumentos

usaron para construir y qué hicieron en cada paso, o producirán un

instructivo para que otro construya una figura o realice un cálculo, explicarán

por qué decidieron utilizar un procedimiento u otro, cómo pueden comprobar

que un resultado es adecuado. También darán razones para convencer a otro

compañero de que los números encontrados o las figuras dibujadas cumplen

con las condiciones del problema; tendrán que argumentar sobre si un

procedimiento es o no correcto, o en qué casos una afirmación es verdadera.

“Al anticipar el desarrollo de la clase y prever las condiciones necesarias para

que ocurran las interacciones que nos interesan, diseñamos una situación

problemática a propósito del conocimiento que queremos enseñar. Esta

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situación incluye un conjunto de elementos y relaciones que estarán

presentes en la clase: el problema, los materiales, una cierta organización

del grupo, un desarrollo con momentos para diferentes intercambios. Al

planificar, también anticipamos los diferentes procedimientos y las

representaciones que podrán usar los alumnos, nuestras preguntas y las

conclusiones posibles.” (Cuadernos para el aula, Matemática 3, pág.16)

El avance de la clase y su gestión

Consideremos ahora que hemos elegido un problema para presentar a nuestros alumnos de

primaria o que estamos anticipando con los futuros maestros el desarrollo de la clase.

Recurramos para ello al trabajo de Regine Douady, quien plantea que para proponer una

enseñanza diferente y que los alumnos construyan el sentido de los conocimientos

matemáticos que utilizan, es necesario organizar la enseñanza de otro modo:

“La actividad principal en matemáticas, en el marco escolar, o en los centros

de investigación profesional, consiste en resolver problemas, en plantear

cuestiones. (…) El investigador (matemático) puede declarar resuelto un

problema si puede justificar sus declaraciones según un sistema de validación

propio de las matemáticas. En este camino, crea conceptos que juegan el

papel de instrumentos para resolver problemas. Cuando pasa a la comunidad

científica, el concepto es descontextualizado para que pueda servir

nuevamente. Se convierte, así, en objeto de saber, (…) un objeto cultural

que tiene su lugar en una construcción más amplia que es la del

conocimiento inteligente en un momento dado, reconocido socialmente”.

Douady señala que en la escuela los alumnos pueden recorrer el mismo camino cuando

están frente a un problema que les permite aprender algo nuevo. La actividad comienza

cuando el docente propone el problema a los alumnos y consigue que ellos asuman la

responsabilidad de resolverlo, esto es, cuando hace la devolución del problema a los

alumnos y ellos comienzan a resolverlo superando una serie de dificultades y readecuando

estrategias y medios:

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“…utilizando en sus procedimientos objetos matemáticos conocidos como

instrumentos explícitos y luego encuentran dificultades, sea porque su

estrategia es muy costosa (en cantidad de operaciones, en incertidumbre

sobre el resultado) o porque no funciona más y entonces se orientan a buscar

otros medios mejor adaptados a su situación.”

El alumno puede, entonces, poner en marcha implícitamente nuevos conocimientos.

Luego, cuando el maestro analiza las producciones de sus alumnos, identifica en ese

conocimiento implícito “lo que es nuevo”, y organiza un espacio de debate sobre lo

producido con el propósito de contribuir a darle forma convencional, lo que será registrado a

modo de conclusión matemática de la clase. Realiza la institucionalización de ese

conocimiento en forma explícita, como objeto, y entonces puede pasar a funcionar como

instrumento, “para un nuevo ciclo de la dialéctica instrumento-objeto”.

Para profundizar en estas nociones de la teoría de situaciones didácticas les

recomendamos leer M. Panizza, “Conceptos básicos de la teoría de

situaciones”, en Enseñar matemática en el nivel inicial y primer ciclo de la

EGB, Paidós, págs. 59-71, febrero 2003.

La puesta en común

La organización del espacio de debate sobre lo producido al resolver un problema implica

una puesta en común de los trabajos realizados. En este debate es fundamental que el

maestro organice el intercambio entre los alumnos. Este es un momento necesario en el

proceso de construcción de conocimientos, pues implica para los alumnos nuevas

interacciones.

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Al respecto, en el artículo de Quaranta y Wolman, “Discusiones en la clase de matemática”,

se analiza qué se discute en las puestas en común, para qué incluir espacios de discusión y

cómo organizarlos.

La validación de lo realizado

Una instancia que es parte del trabajo del alumno y apunta al avance en su autonomía

respecto del control de lo realizado, es la de validación de sus producciones. Si pensamos

en una clase con un momento de funcionamiento adidáctico en el que el alumno que

resuelve asume la responsabilidad matemática de lo que hace, podemos considerar que

puede dar cuenta de su respuesta a lo preguntado, es decir puede dar razones de por qué

considera que lo realizado vale.

Así como el matemático investigador puede declarar resuelto un problema si puede justificar

sus declaraciones según “un sistema de validación propio de las matemáticas”, el alumno

debería poder explicar su respuesta según el sistema de validación propio de la clase.

Al respecto, en 1987, Balacheff diferencia la noción de prueba de la de demostración para

poner de relieve la importancia de la dimensión social en los procesos de

validación planteando lo siguiente:

“Llamamos prueba a una explicación aceptada por una comunidad dada en un

momento dado. Esta decisión puede ser el objeto de un debate cuya

significación es la exigencia de determinar un sistema de validación común a

los interlocutores.

“En el seno de la comunidad matemática pueden ser aceptadas como prueba

sólo las explicaciones que adoptan una forma particular. Ellas son una serie

de enunciados organizados siguiendo reglas determinadas, (…) un enunciado

es conocido y tomado como verdadero o bien es deducido de aquellos que lo

preceden con la ayuda de una regla de deducción tomada de un conjunto de

reglas bien definido. Llamamos demostraciones a estas pruebas”. (Balacheff,

N., págs. 3 y 4, 1987)

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Asimismo, Balacheff -para poder dar cuenta de las diversas explicaciones que formulan los

alumnos al ser consultados sobre sus producciones- estudia las pruebas y propone hacer

una distinción entre pruebas pragmáticas e intelectuales. Esta distinción está dada por tres

elementos que tomamos para caracterizar las pruebas pragmáticas:

La posibilidad de recurrir a experimentar en la situación singular a la que se

refiere: “el acceso posible o no a la experiencia constituye una característica

de la situación que va a jugar un rol central en el funcionamiento de esta

dialéctica de la validación”.

El lenguaje en el que se expresa: “la acción explicitada por este lenguaje

lleva la marca del tiempo y de la duración, la marca de aquél que actúa y del

contexto de su acción”.

"Si los saberes en los que se apoya el alumno son fundamentalmente saber-

hacer (Vergnaud, 1984) o saberes conceptualizados, si las pruebas

pragmáticas se apoyan sobre los saberes prácticos esencialmente

comprometidos en la acción, las pruebas intelectuales requieren que estos

conocimientos puedan ser tomados como objeto de reflexión o de debate."

(Balacheff, N., págs., 8 y 9, 1987)

El pasaje de uno a otro tipo de prueba está dado por la posibilidad de considerar la situación

singular como situación genérica.

La distinción de Balacheff tiene sentido de ser tomada en cuenta en la escuela primaria pues

durante su transcurso y con las particularidades de cada contenido de enseñanza, es

importante conocer las pruebas de tipo pragmático que suelen utilizar los alumnos en los

primeros grados para pensar cómo hacerlas evolucionar en los últimos grados hacia otras

más generales, independizadas de la acción en un contexto, con un lenguaje más propio de

la Matemática.

Hasta aquí, hemos presentado nociones de una teoría que modeliza unas condiciones y unos

modos de funcionamiento del conocimiento que, en tanto modelos, no es esperable que

ocurran efectivamente en las clases. Sin embargo, muchas de las situaciones estudiadas por

los investigadores han sido inspiradoras de propuestas adaptadas para promover instancias

de producción y validación de conocimientos en la clase, instancias que permitan a los

alumnos apropiarse de conocimientos más disponibles y con control de lo que hacen.

Para cerrar esta clase les proponemos volver sobre las preguntas iniciales pensando en su

relación con los desarrollos leídos y avanzar con respuestas generales que serán

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particularizadas en los próximos módulos para conocimientos matemáticos específicos. En

este sentido, si bien el estudio de la teoría de situaciones requerirá, para su profundización,

de nuevos abordajes, consideramos que es importante iniciar la comprensión de sus

nociones básicas por el gran potencial que tienen para analizar las condiciones en la clase

de Matemática y generar la posibilidad de que todos los alumnos puedan hacer Matemática,

con la diversidad de conocimientos de partida que ello supone.

ACTIVIDADES

Las actividades propuestas para la Clase 4 son las siguientes:

1- Continuar interviniendo en el Foro obligatorio de su grupo “El trabajo con ‘los

otros’ en el aula: una manera de generar progresos en el

aprendizaje” analizando en un registro de clase las interacciones en una clase de

Matemática, del niño con el problema, con el maestro y con sus pares.

2- Continuar participando en el Foro optativo “Discusiones en la clase de

Matemática”

LECTURAS

Foro de Consultas

Este foro estará abierto durante toda la cursada, aquí podrán hacer todo

tipo de preguntas sobre las clases, las actividades, los trabajos prácticos y

final y en general, sobre cualquier temática en la que necesiten ayuda y que

no estén encuadrados en los otros foros habilitados para cada clase.

Recuerden: el foro es un punto de encuentro que posibilita socializar las

dudas y, de esta manera, aprender con otros y de otros.

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Obligatorias

Quaranta, M. y Wolman S. “Discusiones en las clases de matemática. Qué,

para qué y cómo se discute”, en Enseñar matemática en el nivel inicial

y primer ciclo de la EGB, Paidós, 2003.

Complementarias

Panizza, M. “Conceptos básicos de la teoría de situaciones”, en Enseñar

matemática en el nivel inicial y primer ciclo de la EGB, Paidós, 2003.

La lectura de este artículo contribuye fuertemente a la comprensión de muchas

de las nociones que hemos dado en esta clase, en particular el sentido de dos de

los roles centrales del maestro: hacer la devolución del problema al grupo e

institucionalizar el conocimiento producido durante la clase.

BIBLIOGRAFÍA

Agrasar, M. Crippa, A. Chara, S. y Chemello, G. (2010) “Ciclo de formación en

enseñanza de la Matemática en el Nivel Primario”, Dirección de gestión educativa,

Ministerio de Educación de la Nación.

Balacheff, N. (1987) “Procesos de prueba y situaciones de validación”, Educational

Studies in Mathematics Nro. 18, págs. 147-176.

Brousseau, Guy (1986) “Fundamentos y métodos de la Didáctica de la

matemática”, Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 7, n. 2,

Universidad de Bordeaux, págs. 33-115.

Brousseau, Guy“Los diferentes roles del maestro” en Parra, C y Saiz, I

(1994) Didáctica de la matemática. Aportes y reflexiones. Paidós.

Cuadernos para el Aula. Matemática 5, Ministerio de Educación Ciencia y

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Tecnología de la Nación, 2007.

Douady, Regine (S/F) Relación enseñanza-aprendizaje. Dialéctica instrumento-

objeto, juego de marcos. Cuaderno de Didáctica de la Matemática Nº 3.

Sadovsky, Patricia, “La teoría de situaciones didácticas. Un marco para pensar y

actuar la enseñanza de la Matemática”, en Reflexiones teóricas para la

educación matemática, Alagia, Bressan, Sadovsky (autores) (2005) Ediciones

del Zorzal.

Cómo citar este texto:

Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 04: Aportes de la Didáctica de la

Matemática para pensar la enseñanza. La clase, los problemas y su gestión. Módulo:

Perspectivas para la enseñanza de la Matemática. Especialización Docente de Nivel

Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria. Buenos Aires:

Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.

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