ESPACIOS MÉTRICOS

por Jorge F. Yazlle

Curso de ExtensiónFacultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional de Salta

Junio de 2011

El desarrollo de la teoría de funciones y sucesiones que se vio en los cursos de AnálisisMatemático I y II sirve bien cuando el objeto de estudio es una función a valores reales, definidaen un subconjunto de R (o, un poquito más en general, cuando la función va de Rm en Rn).Sabemos bien lo que significa un proceso de límite de una función de ésas, o la convergencia desucesiones o series numéricas. Sin embargo, es frecuente, en el desarrollo de ciencias que tienenque ver con la Matemática, toparse con conjuntos no numéricos (piénsese, por ejemplo, en elconjunto de todas las imágenes que pueden aparecer en la pantalla de una computadora, o enel conjunto de todas las funciones reales continuas del intervalo [0, 1]) y estudiar sucesiones yfunciones cuyos dominio y/o codominio son esos “conjuntos raros”. Un caso emblemático es el delos fractales, en donde, en la pantalla de una PC, va apareciendo una seguidilla de imágenes que“converge” a una cierta figura. Pero, ¿qué quiere decir “converge”? ¿Habrá una teoría general deconvergencia de sucesiones de elementos que no son números? ¿Habrá alguna teoría de límite,o de integración, para funciones no numéricas? Resulta que la teoría de límite de funciones ysucesiones puede ser extendida a conjuntos más extravagantes que el de los números reales,a condición de dotar a esos conjuntos de una estructura que capture conceptos parecidos alos que se usan en el conjunto de los números reales para estudiar los procesos de límite, y degeneralizar de algún modo los resultados que se conocen sobre los reales. Más concretamente, ladefinición de límites, por ejemplo, depende crucialmente de la función módulo, que da una ideani más ni menos que de la distancia a la que se encuentran dos números reales sobre la rectareal. ¿Y qué propiedades tiene esa manera de medir distancias? Después de mucho discutirlo,los matemáticos se dieron cuenta de que todas las propiedades de la misma podían deducirsea partir de unos cuantos axiomas: la distancia entre dos puntos es un número no negativo(|x − y| ≥ 0), la distancia desde un punto a sí mismo es 0 (|x − x| = 0), la distancia desdeun punto a otro punto distinto es estrictamente positiva(x 6= y ⇒ |x − y| > 0), la distanciaes la misma de ida que de vuelta (|x − y| = |y − x|), y el viaje puede hacerse más largo sipasamos por un tercer punto (|x− y| ≤ |x− z|+ |z− y|). Resulta entonces que si a un conjuntocualquiera le definimos una manera de medir distancias (entre puntos del conjunto) que satisfagaesos axiomas, podremos hablar de límites de sucesiones y de funciones, de continuidad, etc., einvestigar sus propiedades. Ése es el propósito de este curso.

1. Preliminares

Primero estableceremos una serie de notaciones referidas a la teoría general de conjuntos yde funciones, y de supremos e ínfimos, que serán muy útiles en el desarrollo del curso.

1.1. Conjuntos

Suponemos ya conocido el concepto de conjunto, y las notaciones y definiciones básicas deeste campo (pertenencia, inclusión, igualdad, unión, intersección, complemento, etc.).

1

Sean U un conjunto (universal) e I un conjunto (de índices) cualesquiera. Supongamos quepara cada i ∈ I se tiene definido un subconjunto Ai ⊂ U . Denotamos por Aii∈I a la colecciónde todos estos conjuntos. La unión de todos los Ai es el conjunto

⋃

i∈I

Ai = x ∈ U : ∃i ∈ I : x ∈ Ai

La intersección de todos los Ai es el conjunto⋂

i∈I

Ai = x ∈ U : ∀i ∈ I : x ∈ Ai

Se cumplen las leyes distributivas y las leyes de De Morgan para uniones e intersecciones:

1. B ∪⋂i∈I Ai =⋂

i∈I (B ∪ Ai) B ∩⋃i∈I Ai =⋃

i∈I (B ∩ Ai)

2.(⋃

i∈I Ai

)c=⋂

i∈I Aci

(⋂

i∈I Ai

)c=⋃

i∈I Aci

1.2. Funciones

Suponemos ya conocido el concepto de función, y las notaciones y definiciones básicas deeste campo (inyectividad, sobreyectividad, composición, inversa, etc.).

Si f es una función de X en Y , A ⊂ X y B ⊂ Y , denotamos por f(A) al conjunto de todoslos elementos de Y que son imagen por f de algún elemento de A, y por f−1(B) al conjunto detodos los elementos de X cuya imagen por f pertenece a B. Formalmente:

f(A) = y ∈ Y : ∃x ∈ A : y = f(x) f−1(B) = x ∈ X : f(x) ∈ B

Sea f una función de X en Y , A y E subconjuntos de X, B y F subconjuntos de Y , I unconjunto arbitrario de índices, Aii∈I una familia de subconjuntos de X, Bii∈I una familiade subconjuntos de Y . Se satisfacen las siguientes propiedades:

1. A ⊂ E ⇒ f(A) ⊂ f(E)

2. B ⊂ F ⇒ f−1(B) ⊂ f−1(F )

3. Si f es inyectiva, f(Ac) ⊂ f(A)c. Si f es sobreyectiva, f(Ac) ⊃ f(A)c. Luego, para fbiyectiva, es f(Ac) = f(A)c.

4. f−1(B)c = f−1(Bc)

5. f (f−1(B)) ⊂ B (si f es sobreyectiva, vale la igualdad).

6. A ⊂ f−1 (f(A)) (si f es inyectiva, vale la igualdad).

7. f(⋃

i∈I Ai

)

=⋃

i∈I f(Ai)

8. f(⋂

i∈I Ai

)

⊂ ⋂i∈I f(Ai) (si f es inyectiva, vale la igualdad).

9. f−1(⋃

i∈I Bi

)

=⋃

i∈I f−1(Bi)

10. f−1(⋂

i∈I Bi

)

=⋂

i∈I f−1(Bi)

Si f : X → Y y S ⊂ X, se define la restricción de f a S como la función g : S → Y tal queg(x) = f(x) para todo x ∈ S. Una notación habitual para la función restringida es f |S, aunquehaciendo abuso de notación, también suele usarse el mismo nombre f .

2

1.3. Supremos e ínfimos

Sea A ⊂ R. Se dice que t ∈ R es una cota superior de A si ∀x ∈ A, x ≤ t. Si A tieneuna cota superior, se dice que A es acotado superiormente, y se define el supremo de A,denotado supA, como la menor de las cotas superiores de A (se puede demostrar, aunque nofácilmente, que tal definición es buena). Si A no tiene cota superior, decimos que el supremode A es ∞. Se verifica que para cualquier A ⊂ R:

1. El supremo de A es único.

2. supA ≤ k ⇐⇒ ∀x ∈ A, x ≤ k.

3. Si k ∈ R y existe x ∈ A tal que x ≥ k, entonces supA ≥ k.

4. Si A ⊂ B ⊂ R, entonces supA ≤ supB.

5. Si B ⊂ R y hacemos C = a+ b : a ∈ A, b ∈ B, entonces supC ≤ supA+ supB.

De manera similar, se definen las cotas inferiores, y el ínfimo de A (ınf A) como la mayor delas cotas inferiores (si el conjunto es acotado inferiormente, o −∞ si no). Siempre ocurre queınf A ≤ supA. Para el ínfimo, se tienen propiedades análogas a las enunciadas para el supremo.

2. Espacios métricos: definiciones y propiedades básicas

Un espacio métrico es un par (X, d), donde X es un conjunto de elementos que llamaremospuntos y d es una función de X×X en R que cumple los siguientes axiomas, para todos a, b, cpertenecientes a X:

1. d(a, b) ≥ 0

2. d(a, b) = 0 ⇐⇒ a = b

3. d(a, b) = d(b, a) (axioma de simetría).

4. d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b) (desigualdad triangular).

La función d se llama distancia o métrica para X.Un ejemplo clásico de espacio métrico es el del conjunto de los números reales y la distancia

usual dada por el módulo: d(a, b) = |a− b|. Más generalmente, para n ≥ 1, Rn con la distanciaeuclídea

d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =√

(x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2

es un espacio métrico, denominado espacio euclídeo n-dimensional. La teoría de los espaciosmétricos surge con la intención de generalizar los espacios euclídeos, permitiendo extender ideasa otros tipos de conjuntos.

Ejemplo 1. Se denota con C[0,1] al conjunto de todas las funciones cuyo dominio es el intervalo[0, 1], cuyo codominio es R, y que además son continuas en todo el dominio. Para f, g ∈ C[0,1],definamos

d(f, g) = sup |f(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1]Por ejemplo, sean f , g y h las funciones definidas por

f(x) = x g(x) =x

4+

1

4h(x) = x2

3

Queda de ejercicio verificar que d(f, g) = 1/2, d(g, h) = 1/2 y d(f, h) = 1/4.Mostraremos que d definida anteriormente es una métrica para C[0,1]. Lo primero a hacer

es ver que es una función bien definida. Sean f y g dos elementos de C[0,1], y hagamos A =|f(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1]. A es un conjunto acotado superiormente, porque f y g son continuasen [0, 1], y por tanto acotadas. Luego, supA es un número real, por lo que d es una funciónbien definida de C[0,1] × C[0,1] en R.

Ahora debemos ver el cumplimiento de los cuatro axiomas. Sean f, g, h ∈ C[0,1].

Ya que |f(x)− g(x)| ≥ 0 cualquiera sea x ∈ [0, 1], tenemos que, por propiedad de supre-mos, sup |f(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1] ≥ 0, es decir, d(f, g) ≥ 0.

Supongamos que d(f, g) = 0. Tomemos cualquier t ∈ [0, 1]. Tenemos que

0 ≤ |f(t)− g(t)| ≤ sup |f(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1] = d(f, g) = 0,

y entonces |f(t)− g(t)| = 0. Luego, f(t) = g(t) para todo t ∈ [0, 1], por lo que f = g.

Recíprocamente, si f = g, tenemos que ∀x ∈ [0, 1], f(x) = g(x), y, en consecuencia,|f(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1] = 0, por lo que d(f, g) = sup0 = 0. Se cumple entonces elsegundo axioma.

d(f, g) = sup |f(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1] = sup |g(x)− f(x)| : x ∈ [0, 1] = d(g, f). Enconsecuencia, se cumple el axioma de simetría.

Dado que para cualquier x ∈ [0, 1] se cumple que

|f(x)− g(x)| = |f(x)− h(x) + h(x)− g(x)| ≤ |f(x)− h(x)|+ |h(x)− g(x)| ,

tenemos que

d(f, g) = sup |f(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1] ≤ sup |f(x)− h(x)|+ |h(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1]

Hagamos entonces

C ′ = |f(x)− h(x)|+ |h(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1]A = |f(x)− h(x)| : x ∈ [0, 1]B = |h(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1]C = a+ b : a ∈ A, b ∈ B.Tenemos que C ′ ⊂ C, y entonces supC ′ ≤ supC ≤ supA + supB. Concluimos qued(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g), y, en consecuencia, se cumple la propiedad triangular.

Como hemos verificado que d es una función bien definida de C[0,1] × C[0,1] en R que satisfacelos axiomas correspondientes, podemos afirmar que d es una métrica para C[0,1].

Pasamos ahora a una definición crucial en la teoría de espacios métricos.

Definición 2. Sean (X, d) un espacio métrico, x0 un elemento cualquiera de X y r cualquier realpositivo. El entorno de centro x0 y radio r es el conjunto Br(x0) = x ∈ X : d(x0, x) < r.El entorno reducido de centro x0 y radio r es B∗

r (x0) = z ∈ X : 0 < d(x0 − x) < rO sea que Br(x0) está constituido por todos los puntos de X que están a distancia estric-

tamente menor que r de x0 (esto incluye, por supuesto, al propio x0; es decir, todo entornoincluye a su centro). El entorno reducido consiste en todos los puntos del entorno, excepto elcentro.

Las siguientes definiciones se refieren a puntos x y subconjuntos E de un espacio métrico(X, d).

4

1. x es punto de acumulación de E si todo entorno reducido de x contiene al menos unpunto de E, es decir, si ∀r > 0, B∗

r (x) ∩ E 6= ∅ (lo que equivale a decir que cualquierentorno de x contiene un punto de E−x). Designamos por E ′ al conjunto de todos lospuntos de acumulación de E. Observar que un punto de acumulación de E puede o nopertenecer a E.

2. E es cerrado si todos sus puntos de acumulación pertenecen a E, es decir, si E ′ ⊂ E.

3. La clausura de E es E = E ∪ E ′, es decir, la unión del conjunto y sus puntos deacumulación.

4. Si x ∈ E pero x no es punto de acumulación de E, x se llama punto aislado de E.

5. x es un punto interior de E si existe r ∈ R+ tal que Br(x) ⊂ E.

6. E es abierto si todos sus puntos son puntos interiores de E.

7. La frontera de E es ∂E = x ∈ X : ∀r > 0, Br(x) ∩ E 6= ∅ 6= Br(x) ∩ Ec.

8. E es acotado si existen x ∈ X y r ∈ R+ tales que E ⊂ Br(x).

9. E es denso en X si E = X.

10. El diámetro de E es diam(E) = supd(x, y) : x, y ∈ E.Desarrollaremos ahora algunas de las propiedades más elementales de los espacios métricos.

Proposición 3. Todo entorno es un conjunto abierto.

Demostración. Sea Br(x) un entorno de x en el espacio (X, d). Para y ∈ Br(x), tomemosr′ = r − d(x, y). Será r′ > 0 pues d(x, y) < r. Veamos que Br′(y) ⊂ Br(x): si z ∈ Br′(y),d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + r′ = r, de donde z ∈ Br(x). Luego todo punto de Br(x)es un punto interior de Br(x), por lo que Br(x) es abierto.

Proposición 4. Sea E un subconjunto del espacio métrico X. Un punto x de X pertenece aE si, y sólo si, cualquier entorno de x contiene al menos un punto de E.

Demostración. Supongamos que x ∈ E. Si x ∈ E, cualquier entorno de x contiene al propio x,que es un punto de E. Si x /∈ E, x es punto de acumulación de E, por lo que cualquier entornode x contiene un punto de E − x, o sea un punto de E.

Recíprocamente, supongamos que cualquier entorno de x contiene un punto de E. Si x ∈ E,x ∈ E. Si x /∈ E, tenemos que E = E − x, por lo que cualquier entorno de x posee un puntode E − x; luego x es punto de acumulación de E, y x ∈ E.

Proposición 5. Si x es punto de acumulación de E, todo entorno de x posee infinitos puntosde E.

Demostración. Demostraremos por contrarreciprocidad. Sea x ∈ X tal que existe r > 0 tal queBr(x) contiene una cantidad finita de puntos de E. Si B∗

r (x)∩E = ∅, x no cumple la definiciónde punto de acumulación de E. Si B∗

r (x) ∩ E 6= ∅, sea r′ = mın d(x, y) : y ∈ B∗r (x) ∩ E. r′

es el más chico de un conjunto finito de números positivos, por lo que r′ > 0. Tendremos queB∗

r′(x) no contiene puntos de E, por lo que x tampoco es punto de acumulación de E.

Corolario 6. Un subconjunto finito de un espacio métrico no posee puntos de acumulación.

Teorema 7. Un subconjunto de un espacio métrico es abierto si, y sólo si, su complemento escerrado.

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Demostración. Supongamos que E es un subconjunto abierto de (X, d). Sea x ∈ E. Existe r > 0tal que Br(x) ⊂ E, luego Br(x) ∩ Ec = ∅, por lo que x no es punto de acumulación de Ec.Tenemos entonces que si x ∈ E, x no es punto de acumulación de Ec, que equivale a decir quesi x es punto de acumulación de Ec, x pertenece a Ec, mostrando que Ec es cerrado.

Recíprocamente, supongamos que Ec es cerrado. Sea x ∈ E, es decir, x /∈ Ec. x no es puntode acumulación de Ec, por lo que existe un entorno Br(x) que no contiene puntos de Ec −x.Pero ya que x ∈ E, resulta Ec − x = Ec, por lo que Br(x) ∩ Ec = ∅, es decir, Br(x) ⊂ E.Luego x es punto interior a E, y E es abierto.

Corolario 8. Un subconjunto de un espacio métrico es cerrado si, y sólo si, su complementoes abierto.

Demostración. E es cerrado ⇐⇒ (Ec)c es cerrado ⇐⇒ Ec es abierto.

Teorema 9. Para cualquier espacio métrico, las siguientes afirmaciones son válidas:

1. La unión arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

2. La intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

3. La intersección arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

4. La unión finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Demostración. Sea Aii∈I una familia cualquiera de subconjuntos abiertos de (X, d). Si x ∈⋃

i∈I Ai, existe k ∈ I tal que x ∈ Ak, luego hay un entorno Br(x) ⊂ Ak ⊂ ⋃

i∈I Ai, lo quemuestra que

⋃

i∈I Ai es abierto. Esto prueba la primera afirmación.Sea Aini=1 una familia finita de subconjuntos abiertos, y x ∈ ⋂n

i=1 Ai. Para cada i ∈1, . . . , n, existe un ri > 0 tal que Bri(x) ⊂ Ai. Sea r = mınri : i = 1, . . . , n. Será r > 0.Verifiquemos que Br(x) ⊂ ⋂n

i=1 Ai: si d(x, z) < r será d(x, z) < ri para todo i ∈ 1, . . . , npor la elección de r, por lo que z ∈ Ai para todo i ∈ 1, . . . , n, de donde z ∈ ⋂n

i=1 Ai. Porlo tanto

⋂ni=1 Ai es abierto. Esto muestra la segunda afirmación. Un ejemplo que muestra que

la afirmación no es válida para intersecciones arbitrarias es Ai = (− 1i+1

, 1i+1

) para i ∈ N, enel espacio de los reales con la métrica usual. Aquí se tiene que

⋂∞i=0 Ai = 0, que no es un

subconjunto abierto de R.Sea Cii∈I una familia cualquiera de subconjuntos cerrados de (X, d). Por las leyes de De

Morgan, se tiene que(⋂

i∈I Ci

)c=⋃

i∈I Cci , siendo este último un conjunto abierto según se

demostró en el primer ítem, ya que cada Cci es un conjunto abierto. Luego

(⋂

i∈I Ci

)

es unconjunto cerrado, pues su complemento es abierto. Esto demuestra la tercera afirmación.

Finalmente, sea Cini=1 una familia finita de subconjuntos cerrados. Será (⋃n

i=1 Ci)c=

⋂ni=1 C

ci , siendo este último un conjunto abierto según el inciso segundo de este teorema, por lo

que⋃n

i=1 Ci es cerrado.

Teorema 10. Un subconjunto de un espacio métrico es abierto si, y sólo si, es una unión deentornos.

Demostración. Supongamos que E es un subconjunto abierto de un espacio métrico (X, d).Entonces podemos asociar a cada punto z de E un número positivo rz tal que Brz(z) ⊂ E.Veamos que E =

⋃

z∈E Brz(z): si x ∈ E, x ∈ Brx(x) ⊂⋃

z∈E Brz(z), luego E ⊂ ⋃z∈E Brz(z). Ysi x ∈ ⋃z∈E Brz(z), hay un z de E tal que x ∈ Brz(z); pero por hipótesis Brz(z) ⊂ E, de dondex ∈ E; con esto,

⋃

z∈E Brz(z) ⊂ E.La vuelta se deduce de la Proposición 3 y del Teorema 9.

El siguiente teorema nos dice que la clausura de un conjunto E es “el más pequeño” de losconjuntos cerrados que contienen a E.

6

Teorema 11. Sea E un subconjunto de un espacio métrico (X, d).

1. E es un subconjunto cerrado.

2. E = E si, y sólo si, E es cerrado.

3. Si E ⊂ F y F es cerrado, entonces E ⊂ F .

4. diam(E) = diam(E).

Demostración.

1. Mostraremos que el complemento de E es abierto. Sea x ∈ Ec, luego x /∈ E, por lo que

existe r > 0 : Br(x) ∩ E = ∅. (prop. 4). Como Br(x) es abierto (prop. 3), para cadaz ∈ Br(x) existe r′ > 0 tal que Br′(z) ⊂ Br(x), y entonces Br′(z) ∩ E = ∅, por lo quez /∈ E. Entonces Br(x) ⊂ E

c. Ya que x era arbitrario, se sigue que E

ces un conjunto

abierto.

2. La ida es inmediata por el inciso anterior. Para la vuelta, siendo E cerrado, se tiene queE ′ ⊂ E, por lo que E = E ∪ E ′ = E.

3. Primero observemos que si E ⊂ F , debe ser E ′ ⊂ F ′: Tomemos x ∈ E ′, y consideremosr > 0. Por prop. 4, B∗

r (x) ∩ E 6= ∅, de donde, siendo E ⊂ F , es B∗r (x) ∩ F 6= ∅. Luego,

nuevamente por prop. 4, x ∈ F ′. Con esto podemos ver que E = E ∪ E ′ ⊂ F ∪ F ′ = F ,es decir, E ⊂ F .

4. Puesto que E ⊂ E, es directo que diam(E) ≤ diam(E). Sea ε > 0, y tomemos x e yarbitrarios en E. Sean x′, y′ ∈ E tales que d(x, x′) < ε/2 y d(y, y′) < ε/2 (prop. 4).Luego, d(x, y) ≤ d(x, x′) + d(x′, y′) + d(y′, y) < ε + d(x′, y′) ≤ ε + diam(E). Es decir,d(x, y) < ε+ diam(E). Como x e y son arbitrarios, se sigue que diam(E) ≤ ε+ diam(E),y, puesto que ε es arbitrario, se deduce que diam(E) ≤ diam(E).

Proposición 12. Sea E un subconjunto del espacio de los reales con la métrica euclídea, ysupongamos que E posee cota superior. Entonces el supremo de E pertenece a la clausura deE. Luego, si E es cerrado, el supremo de E pertenece a E.

Demostración. Sea s = supE. Para todo r > 0, Br(s) = (s− r, s+ r) contiene un punto de E(pues sino s − r sería una cota superior para E, pero menor que el supremo, y eso sería unacontradicción). Luego, s ∈ E (prop. 4). La última afirmación en el enunciado del teorema esconsecuencia inmediata del Teorema 11.

Consideraciones análogas valen para el ínfimo de un conjunto.

Proposición 13. Sea X un espacio métrico, y V1, . . . , Vn una familia finita de abiertosdensos en X. Entonces

⋂nk=1 Vk es un subconjunto abierto denso en X.

Demostración. En virtud del Teorema 9, sólo resta probar que⋂n

k=1 Vk es densa. Lo probaremospara el caso n = 2, y luego una simple inducción permitirá verificar el resultado general. Paraprobar que V1 ∩ V2 es denso, sea x ∈ X y ε > 0 arbitrario. Por ser V1 denso, existe y ∈ V1 :d(x, y) < ε/2. Como V1 es abierto, existe r′ > 0 tal que Br′(y) ⊂ V1. Sea r = mınr′, ε/2.Observar que Br(y) ⊂ Br′(y) ⊂ V1. Como V2 es denso, existe z ∈ V2 tal que d(z, y) < r.Entonces z ∈ V1 ∩ V2, y d(z, x) ≤ d(x, y) + d(y, z) < ε. Luego, x pertenece a V1 ∩ V2 (prop. 4).Por ello, V1 ∩ V2 es denso en X.

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2.1. Subespacios

Sea (X, d) un espacio métrico y S un subconjunto de X. Designemos por dS a la restricciónde d al subconjunto S × S; es decir, para x, y ∈ S, dS(x, y) = d(x, y). El par (S, dS) es tambiénun espacio métrico, y se llama subespacio de (X, d).

Observemos que el entorno de radio r alrededor de un x ∈ S en el espacio métrico Ses y ∈ S : dS(x, y) < r, mientras que el entorno de radio r alrededor de x en el espaciométrico X es y ∈ X : d(x, y) < r. El entorno del punto x depende, entonces, del espaciométrico que estemos considerando. Así, cuando hablemos de entorno alrededor de x y hayaposibilidad de confusión, emplearemos un supraíndice para indicar a qué espacio nos referimos:BS

r (x) indicará entorno alrededor de x, de radio r, en el espacio métrico S, mientras que BXr (x)

denotará entorno de radio r alrededor de x en el espacio X. Observar que BSr (x) = S ∩BX

r (x).Supongamos X = R con la métrica usual, S = [0, 1] y E =

(

12, 1]

. En el espacio métrico(X, d), E no es abierto, ya que 1 ∈ E no es punto interior de E. Pero visto como subconjuntode (S, dS), E resulta un conjunto abierto, pues BS

1

4

(1) es el conjunto de todos los reales x con34< x ≤ 1, que es un subconjunto de E. En otras palabras, E no es abierto en el espacio X, pero

sí en el subespacio S. Por esto, al hablar de conjuntos abiertos o cerrados (cuando se trabajacon espacios y subespacios) hace falta especificar con respecto a cuál de los espacios métricosestamos haciendo referencia. Usaremos frases del estilo “E es abierto relativo en S” o “E esabierto relativo en X” para indicar si nos estamos refiriendo a E como subconjunto abierto delespacio métrico (S, dS) o del espacio métrico (X, d), respectivamente. Afortunadamente, hayuna sencilla caracterización de los subconjuntos abiertos de un subespacio.

Teorema 14. Sea S subespacio de un espacio métrico (X, d), y E ⊂ S. E es abierto relativoen S si, y sólo si, E = S ∩G para algún G abierto en X.

Demostración. Para la ida: Sabemos que E =⋃

x∈E BSrx(x) (teor. 10). Sea G =

⋃

x∈E BXrx(x), el

cual es un subconjunto abierto de X (prop. 3 y teor. 9). Además, G∩S =(⋃

x∈E BXrx(x)

)

∩S =⋃

x∈E

(

BXrx(x) ∩ S

)

=⋃

x∈E BSrx(x) = E.

Para la vuelta, supongamos que E = S ∩ G con G abierto en X. Sea x ∈ E. Exister > 0 : BX

r (x) ⊂ G. Entonces BXr (x) ∩ S ⊂ G ∩ S, es decir, BS

r (x) ⊂ E, luego E es abierto enS.

Corolario 15. Si E ⊂ S ⊂ X, E es cerrado relativo en S si, y sólo si, E = S ∩ F para algúnF cerrado en X.

Demostración. E es cerrado relativo en S si, y sólo si, S − E es abierto relativo en S, lo queequivale a que S − E = S ∩ G para algún G abierto relativo en X, lo que equivale a queE = Gc ∩S, siendo Gc el complemento de G en X, que es un conjunto cerrado relativo en X.

2.2. Conjuntos compactos

Sea (X, d) un espacio métrico, E ⊂ X, I un conjunto arbitrario de índices y Aii∈I unafamilia de subconjuntos de X. Decimos que Aii∈I es un cubrimiento para E si E ⊂ ⋃i∈I Ai.Si todos los Ai son conjuntos abiertos, decimos que Aii∈I es un cubrimiento por abiertos

para E. Un subcubrimiento de Aii∈I para E es una subfamilia de los Ai que tambiénes cubrimiento para E. Un cubrimiento es finito si posee una cantidad finita de miembros.

Un subconjunto de un espacio métrico es compacto si cualquier cubrimiento por abiertospara él posee un subcubrimiento finito.

Teorema 16. Un subconjunto compacto de un espacio métrico es cerrado y acotado.

8

Demostración. Sea K un subconjunto compacto de un espacio métrico X. Mostraremos que Kc

es un subconjunto abierto de X. Sea p ∈ Kc. Para cada q ∈ K, sea rq = d(p, q)/2, y tomemosWq = Brq(q). Observar que K ⊂ ⋃

q∈K Wq, por lo que Wq : q ∈ K es un cubrimientopor abiertos para K. Luego K ⊂ ⋃n

j=1 Wqj para alguna subfamilia finita Wq1 , . . . ,Wqn. Sear = mınrq1 , . . . , rqn > 0. Para cada j ∈ 1, . . . , n, Br(p) ∩ Wqj = ∅ (en caso contrario,habría un x tal que d(p, x) < r y d(x, qj) < rqj , de donde 2rqj = d(p, qj) ≤ d(p, x) + d(x, qj) <r + rqj ≤ 2rqj , contradicción). De allí que Br(p) ∩

⋃nj=1 Wqj = ∅, y entonces Br(p) ∩K = ∅, de

donde Br(p) ⊂ Kc. Luego p es un punto interior de Kc, el cual resulta, en consecuencia, ser unconjunto abierto. Por eso, K es cerrado.

Para ver que K es acotado, notemos que la familia de todos los entornos de radio 1 alrededorde los puntos de K es un cubrimiento por abiertos para el compacto K, así que hay unasubfamilia finita B1(xj)nj=1 tal que

⋃nj=1 B1(xj) ⊃ K. Definamos r = maxd(xi, xj) : 1 ≤ i ≤

n, 1 ≤ j ≤ n. Sea x ∈ K. x pertenece a B1(xm) para algún m ∈ 1, . . . , n, de modo qued(x1, x) ≤ d(x1, xm) + d(xm, x) < r + 1, y entonces x ∈ Br+1(x1). Como x era cualquier puntode K, vemos que K ⊂ Br+1(x1), por lo que K es acotado.

Teorema 17. Un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es un conjunto compacto.

Demostración. Sea K un subconjunto compacto de X, y F un subconjunto de K que es cerradorelativo en X. Sea Ω = Aii∈I una familia de abiertos en X tal que F ⊂ ⋃

i∈I Ai. HagamosΩ2 = Ω ∪ F c; Ω2 resulta ser una familia de abiertos (pues F es cerrado) que cubre a todoX: F c ∪⋃Ai ⊃ F c ∪ F = X. En particular, esta nueva familia es un cubrimiento por abiertospara el compacto K, luego hay una subfamilia finita Ω3 de Ω2 que cubre a K, y por lo tanto aF . Tomemos Ω4 = Ω3 − F c. Puede verse que Ω4 es una subfamilia finita de Ω que cubre a F(pues Ω3 lo hacía, y ningún punto de F está en F c). Luego F es compacto.

Corolario 18. Si F es cerrado y K compacto, F ∩K es compacto.

Demostración. Siendo K compacto, es cerrado, por lo que F ∩K es también cerrado, y, siendosubconjunto del compacto K, es compacto.

Corolario 19. Sea X un espacio métrico compacto, y E un subconjunto de X. E es compactosi, y sólo si, es cerrado.

Teorema 20. Si Kii∈I es una colección de subconjuntos compactos con la propiedad de quela intersección de cualquier subfamilia finita es no vacía, entonces

⋂

i∈I Ki es no vacía.

Demostración. Supongamos que⋂

i∈I Ki = ∅. Sea m cualquier elemento de I. Sería entonces⋂

i∈I Ki = Km ∩⋂i∈I−m Ki = ∅, y entonces Km ⊂(

⋂

i∈I−m Ki

)c

=⋃

i∈I−m Kci . Cada Kc

i

es abierto (teor. 16), por lo que Kci : i ∈ I − m es un cubrimiento por abiertos para Km,

y, siendo éste compacto, hay una subfamilia finita Kci1, . . . , Kc

in que cubre a Km. Es decir,

Km ⊂ ⋃nj=1 K

cij=(

⋂nj=1Kij

)c

, o sea Km∩Ki1∩. . .∩Kin = ∅, es decir, hay una subfamilia finita

de Kii∈I cuya intersección es vacía. Entonces, por contrarreciprocidad, se tiene el resultado.

Corolario 21. Si Knn∈N es una colección de subconjuntos compactos no vacíos tal que ∀n ∈N, Kn ⊃ Kn+1, entonces

⋂

n∈N Kn 6= ∅. Además, si lımn→∞ diam(Kn) = 0, entonces⋂

n∈NKn

consta de un solo punto.

Demostración. Hagamos K =⋂

n∈NKn. Sea Kn1, . . . , KnN

una subfamilia finita de Kn.Tomemos m = maxn1, . . . , nN. Será

⋂Nj=1 Knj

= Km 6= ∅. Es decir, cualquier subfamiliafinita tiene intersección no vacía. Luego, K es no vacío (teor. 20).

Para probar la última afirmación, supongamos que K contuviese más de un punto. Seríadiam(K) > 0. Pero para cada n ∈ N, Kn ⊃ K, de modo que diam(Kn) ≥ diam(K). Estocontradiría la hipótesis de que lımn→∞ diam(Kn) = 0.

9

Teorema 22. Si E es un subconjunto infinito de un conjunto compacto K, entonces E tieneun punto de acumulación en K.

Demostración. Supongamos que ningún punto de K fuese punto de acumulación de E. Entonces,para cada q ∈ K habría rq > 0 tal que Brq(q) ∩ E contiene a lo sumo un punto de E (q, en elcaso en que q ∈ E). La familia Brq : q ∈ K es cubrimiento por abiertos para K, pero ningunasubfamilia finita puede cubrir a E (pues E es infinito y cada miembro de la familia tiene a losumo un punto de E), por lo que ninguna subfamilia finita puede cubrir a K. Contradiccióncon la compacidad de K.

Teorema 23. Sea K ⊂ S ⊂ X. K es compacto relativo en X si, y sólo si, K es compactorelativo en S.

Demostración. Supongamos K compacto relativo en X. Sea Aii∈I un cubrimiento para Kdonde todos los Ai son abiertos en el espacio métrico S. Para cada i ∈ I, Ai = S∩Vi para algúnVi abierto en X. Luego K ⊂ ⋃

i∈I Ai =⋃

i∈I (Vi ∩ S) = S ∩ ⋃i∈I Vi. Entonces K ⊂ ⋃

i∈I Vi,y, siendo K compacto en X, existe una subfamilia finita Vi1 , . . . , Vin tal que K ⊂ ⋃n

j=1 Vij .Luego K ⊂ S ∩⋃n

j=1 Vij =⋃n

j=1

(

Vij ∩ S)

=⋃n

j=1 Aij . Entonces K es compacto relativo en S.Recíprocamente, supongamos K compacto relativo en S, y sea Vii∈I un cubrimiento para

K por abiertos de X. Para cada i ∈ I, sea Ai = S∩Vi. Cada Ai será abierto en S. K ⊂ ⋃i∈I Vi,por lo que, siendo K ⊂ S, será K ⊂ S∩⋃i∈I Vi =

⋃

i∈I (Vi ∩ S) =⋃

i∈I Ai. Por ser K compactorelativo en S, hay una subfamilia finita Ai1 , . . . , Ain tal que K ⊂ ⋃n

j=1 Aij =⋃n

j=1

(

Vij ∩ S)

=S ∩⋃n

j=1 Vij , de donde K ⊂ ⋃nj=1 Vij , siendo entonces Vi1 , . . . , Vin un subcubrimiento finito

para K.

En Rn con la métrica euclídea, los conjuntos compactos se caracterizan por ser exactamentelos subconjuntos cerrados y acotados de Rn (Teorema de Heine–Borel). En particular, en R conla métrica usual, un intervalo cerrado [a, b] con a, b ∈ R es un conjunto compacto.

2.3. Conjuntos conexos

Un conjunto A de un espacio métrico (X, d) se dice disconexo si existen dos conjuntos A1

y A2 que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones:

1. A1 y A2 son ambos abiertos en X.

2. A1 ∩ A2 = ∅

3. A ⊂ A1 ∪ A2

4. A ∩ A1 6= ∅ 6= A ∩ A2

Es decir, A es disconexo cuando tiene partes contenidas en dos abiertos disjuntos que cubren aA.

Si A no es disconexo, se dice que es conexo. Un conjunto se dice totalmente disconexo

si los únicos subconjuntos no vacíos de él que son conexos constan de un único punto.

Ejemplo 24. En el espacio de los reales con la métrica euclidea, todo intervalo es conexo.Veámoslo para el caso de un intervalo [a, b] con a, b ∈ R y a < b (para los otros tipos deintervalos, la demostración es análoga). En efecto, sea I = x ∈ R : a ≤ x ≤ b.

Sean A1 y A2 dos abiertos disjuntos tales que que I ∩ A1 6= ∅ 6= I ∩ A2. Sin pérdida degeneralidad, podemos suponer que a ∈ A1. Como A1 es abierto, existe ε > 0 tal que Bε(a) ⊂ A1,por lo que A1 contiene no sólo a a, sino a todo un subsegmento de I empezando en a. HagamosS = I ∩A2 y tomemos m = ınf S. Por lo antedicho y por ser A1 y A2 disjuntos, debe ser m > a

10

(con lo que m− a > 0), y también m ≤ b (ya que estamos suponiendo que existe x ∈ I ∩A2, yentonces m ≤ x ≤ b). Es decir, m ∈ I.

Si fuese m ∈ A1, existiría R > 0 tal que BR(m) ⊂ A1, y, por propiedad del ínfimo, existet ∈ S tal que m ≤ t < m + R. Como m no podría estar en S, sería m < t < m + R. Peroentonces sería t ∈ A1 (pues |t − m| < R, es decir, t ∈ BR(m) ⊂ A1) y t ∈ A2 (pues t ∈ S),contradiciendo que A1 y A2 son disjuntos. Entonces no puede ser m ∈ A1.

Si fuese m ∈ A2, por ser éste abierto, existiría r > 0 tal que Br(m) ⊂ A2, de donde, porser m − a > 0, habría un x ∈ A2 tal que x ∈ I y x < m. Sería entonces x ∈ A2 ∩ I = S perox < ınf S, contradiciendo la definición de ínfimo. Entonces no puede ser m ∈ A2.

Luego, m ∈ I − (A1 ∪ A2), es decir, I 6⊂ A1 ∪ A2. Esto prueba que no pueden existir A1 yA2 que muestren que I es disconexo.

Veremos seguidamente otras caracterizaciones de los conjuntos conexos.

Lema 25. Sean A y C subconjuntos disjuntos, con A abierto. Entonces A ∩ C = ∅.Demostración. Sea x ∈ A. Existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ A. Como A∩C = ∅, será Br(x)∩C = ∅,de modo que x /∈ C (prop. 4). Luego, A ∩ C = ∅.Teorema 26. Un conjunto A es disconexo si, y sólo si, existen conjuntos no vacíos C y Dtales que A = C ∪D y C ∩D = ∅ = C ∩D.

Demostración. Para la ida, sean A1 y A2 abiertos disjuntos tales que A ⊂ A1 ∪A2 y A ∩A1 6=∅ 6= A ∩ A2. Hagamos C = A ∩ A1 y D = A ∩ A2 (notar que A1 ∩ D = ∅). Tenemos queA = C ∪D, pues, siendo A ⊂ A1 ∪ A2, es A = A ∩ (A1 ∪ A2) = (A ∩ A1) ∪ (A ∩ A2). Además,C ∩D ⊂ A1 ∩D = ∅ (lema 25), y análogamente C ∩D = ∅.

Veamos la vuelta. Como C∩D = ∅, para cada x ∈ C existe Rx > 0 tal que B2Rx(x)∩D = ∅,

es decir, B2Rx(x) ⊂ Dc (prop 4). Sea A1 =

⋃

x∈C BRx(x). Similarmente, para cada z ∈ D, existe

rz > 0 tal que Brz(z) ⊂ Cc; sea A2 =⋃

z∈D Brz(z). Observar que para cada x ∈ C y z ∈ D,BRx

(x) ∩ Brz(z) = ∅ (de lo contrario, habría w tal que d(x, w) + d(w, z) < Rx + rz, así qued(x, z) < 2max(Rx, rz), con lo que o bien x ∈ B2rz(z) ⊂ Cc o bien z ∈ B2Rx

(x) ⊂ Dc, imposiblesambas pues x ∈ C y z ∈ D). Como consecuencia, A1 ∩ A2 debe ser vacío.

Se tiene entonces que:

1. A1 y A2 son abiertos (teor. 10).

2. A ⊂ A1 ∪ A2, pues A1 ⊃ C y A2 ⊃ D, teniéndose que A1 ∪ A2 ⊃ C ∪D = A.

3. A ∩ A1 6= ∅, pues como C es no vacío, existe z ∈ C ⊂ A, de donde z ∈ A1 y z ∈ A.Análogamente, A ∩ A2 6= ∅.

4. A1 ∩ A2 = ∅Luego, A es disconexo.

Teorema 27. Un espacio métrico X es conexo si, y sólo si, los únicos subconjuntos de X queson simultáneamente abiertos y cerrados son el propio X y el conjunto vacío.

Demostración. Supongamos que X es conexo. Sea E un subconjunto propio no vacío de X. SiE fuese abierto y cerrado simultáneamente, tomemos A = E,B = Ec. Será A 6= ∅ 6= B, A = Ey B = Ec ya que tanto E como Ec son cerrados. A ∩ B = ∅ = A ∩ B, por lo que A y B sonseparados, contradiciendo la conexidad de X.

Supongamos ahora que X no es conexo. Entonces X = A∪B con A,B no vacíos separados.Tenemos entonces que A = Bc. Notar también que, siendo A ∩ B = ∅, será A = B

c, de donde

resulta que A es abierto. Análogamente, B es abierto, y siendo A = Bc, resulta A cerrado.Entonces, A es un subconjunto propio no vacío que es simultáneamente abierto y cerrado.

11

3. Sucesiones en espacios métricos

Una sucesión en un conjunto X es una función de los naturales en X. Designamos por xn aln–ésimo término de la sucesión (es decir, a la imagen de n a través de la función) y por xnn∈N(o, más brevemente, xn) a la sucesión completa. El campo de variabilidad de la sucesiónxn es y ∈ X : ∃n ∈ N : xn = y, es decir, el conjunto de valores que toma la sucesión. Unasucesión se dice acotada si su campo de variabilidad es un conjunto acotado.

Decimos que una sucesión xn en un espacio métrico (X, d) es convergente en X siexiste un punto p ∈ X con la propiedad de que ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N, d(p, xn) < ε. Enese caso, decimos que la sucesión converge hacia p, o que p es el límite de xn, y escribimoslımn→∞ xn = p.

Observemos que decir que lımn→∞ xn = p es equivalente a decir que lımn→∞ d(xn, p) = 0.

Teorema 28. Sea xn una sucesión en un espacio métrico (X, d), y p ∈ X.

1. xn converge hacia p si, y sólo si, cualquier entorno de p contiene a todos los términosde la sucesión, salvo una cantidad finita de ellos.

2. Si xn converge, su límite es único.

3. Si xn converge, es acotada.

Demostración.

1. Supongamos que lımn→∞ xn = p. Sea r > 0. Existe N tal que para todo n ≥ N, d(xn, p) <r, por lo que para todo n ≥ N, xn ∈ Br(p), es decir, Br(p) contiene todos los términos dela sucesión salvo, posiblemente, x0, . . . , xN−1.

Recíprocamente, supongamos que cada entorno de p contiene todos los términos de lasucesión, salvo un número finito. Sea ε > 0, y sea N tal que ∀n ≥ N, xn ∈ Bε(p).Entonces, para todo n ≥ N, d(p, xn) < ε, por lo que lımn→∞ xn = p.

2. Supongamos que lımn→∞ xn = p y lımn→∞ xn = p′. Si p 6= p′, sea ε = d(p, p′)/2. Seráε > 0. Sea N1 tal que ∀n ≥ N1, d(xn, p) < ε y N2 tal que ∀n ≥ N2, d(xn, p

′) < ε. TomemosN = maxN1, N2. Sería entonces d(p, p′) ≤ d(p, xN) + d(xN , p

′) < 2ε = d(p, p′), que esuna contradicción.

3. Sea xn convergente hacia p. Existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N, d(xn, p) < 1. SeaM = max d(x0, p), . . . , d(xN−1, p), 1. Entonces, para todo n ∈ N, d(xn, p) ≤ M , por loque la sucesión xn es acotada.

Proposición 29. Sean E ⊂ X y x ∈ X. x es un punto de acumulación de E si, y sólo si,existe una sucesión en E − x que converge hacia x.

Demostración. Supongamos que x es punto de acumulación de E. Para cada n ∈ N, elijamosyn ∈ E−x tal que d(x, yn) < 1/(n+1). Observemos que ynn∈N es una sucesión en E−x,y que d(x, yn) tiende a 0 cuando n tiende a ∞, por lo que lımn→∞ yn = x. Esto demuestra laida. Para la vuelta, sea ynn∈N una sucesión en E − x tal que lımn→∞ yn = x. Dado ε > 0,existe n ∈ N tal que d(x, yn) < ε; puesto que yn ∈ E − x, se tiene que Bε(x) contiene unpunto de E − x. Luego, x es punto de acumulación de E.

El concepto de sucesión de Cauchy aprendido para sucesiones de números reales se extiendea espacios métricos cualesquiera, de una manera natural.

Sea xn una sucesión en el espacio X. Decimos que xn es una sucesión de Cauchy si∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀m,n ≥ N, d(xm, xn) < ε.

12

Conocido es que, en el espacio métrico de los reales con la métrica euclídea, decir “sucesiónconvergente” equivale a decir “sucesión de Cauchy”. Esta equivalencia no es válida para espaciosmétricos en general. Por ejemplo, en el espacio métrico (0, 1) con la métrica euclídea, la sucesión1/(n+1) no es convergente, y sin embargo es de Cauchy. Esto motiva la siguiente definición:

Un espacio métrico en el que toda sucesión de Cauchy converge se llama espacio métrico

completo.Los reales con la métrica euclídea forman un espacio completo, cosa que no ocurre con los

racionales.

Proposición 30. Si una sucesión en un espacio métrico converge, entonces es de Cauchy.

Demostración. Supongamos que lımn→∞ xn = p. Sea ε > 0. Existe N ∈ N : ∀n ≥ N, d(xn, p) <ε/2. Luego, si m y n son mayores o iguales que N , tenemos que d(xn, xm) ≤ d(xn, p)+d(p, xm) <ε, por lo que xn es sucesión de Cauchy.

Si xn es una sucesión en el espacio métrico X y designamos por EN al conjunto y ∈X : ∃n ≥ N : y = xn, resulta directo que xn es una sucesión de Cauchy si, y sólo si,lımN→∞ diam(EN) = 0.

3.1. Subsucesiones

Sea xnn∈N una sucesión en el espacio métrico X. Consideremos una sucesión nkk∈Nestrictamente creciente de números naturales, es decir, nk < nk+1 para todo k. Con estas dossucesiones, podemos definir una nueva sucesión ykk∈N en X haciendo yk = xnk

. La sucesiónykk∈N se llama subsucesión de xnn∈N y se denota mediante xnk

k∈N. Si xnk converge

a p ∈ X, es decir, si lımk→∞ xnk= p, entonces p se llama punto de acumulación de xn.

Observar que para todo k ∈ N, nk ≥ k.

Observación 31. Un hecho que usaremos frecuentemente en las demostraciones que siguen esque un subconjunto de números naturales es infinito si, y sólo si, es no acotado.

Teorema 32. Una sucesión xn converge hacia p si, y sólo si, cualquiera de sus subsucesionesconverge hacia p.

Demostración. Supongamos que xn converge a p, y sea xnk una subsucesión. Hay un N tal

que ∀n ≥ N, d(xn, p) < ε. Luego, si k ≥ N , será nk ≥ nN ≥ N , por lo que d(xnk, p) < ε.

La vuelta es trivial, ya que xn es subsucesión de sí misma.

Proposición 33. Sea xn una sucesión en el espacio métrico (X, d), y sea p un punto de X.p es punto de acumulación de xn si, y sólo si, cualquier entorno de p posee infinitos términosde xn.

Demostración. Supongamos que p es un punto de acumulación de xn. Hay una subsucesiónxnk

k∈N de xnn∈N tal que lımk→∞ xnk= p. Sea ε > 0. Existe N ∈ N tal que ∀k ≥ N, xnk

∈Bε(p). Como cada término de la subsucesión es un término de xn, se tiene que Bε(p) contieneuna cantidad infinita de términos de xn.

Recíprocamente, supongamos que todo entorno de p posee una cantidad infinita de términosde xn. Elijamos n0 tal que d(p, xn0

) < 1. Ahora elijamos n1 > n0 tal que d(xn1, p) < 1/2. Tal

elección es posible, pues si hacemos I = n ∈ N : xn ∈ B1/2(p), por la hipótesis I es infinito, yentonces es no acotado (observ. 31), de donde debe existir un n1 mayor que n0 en I. Continuandode esta manera, para cada k > 1 debe existir un nk > nk−1 tal que d(p, xnk

) < 1/(k + 1). Setiene que xnk

es subsucesión de xn y que lımk→∞ xnk= p, lo que demuestra la suficiencia

de la condición.

13

Teorema 34. El conjunto de puntos de acumulación de una sucesión es un conjunto cerrado.

Demostración. Sea xn una sucesión en el espacio X. Denotemos por E al campo de varia-bilidad de xn y por E∗ al conjunto de puntos de acumulación de xn. Sea q un punto deacumulación de E∗. Veamos que q ∈ E∗. Sea z0 ∈ E∗ − q tal que d(z0, q) < 1/2. Sea xn0

∈ Etal que d(z0, xn0

) < 1/2. Tenemos entonces que d(q, xn0) ≤ d(q, z0) + d(z0, xn0

) < 1. Elijamosahora z1 ∈ E∗ − q tal que d(z1, q) < 1/4, y n1 tal que n1 > n0 y d(z1, xn1

) < 1/4. Talelección es posible, pues, siendo z1 un punto de acumulación de xn, hay una subsucesióninfinita de xn que converge a z1. Se tiene que d(q, xn1

) ≤ d(q, z1) + d(z1, xn1) < 1/2. Con-

tinuando de esta manera, para cada k ∈ N, sea zk ∈ E − q tal que d(q, zk) < 1/(2k + 2) ysea nk > nk−1 tal que d(zk, xnk

) < 1/(2k+ 2). Se tendrá entonces que xnk converge a q, pues

d(q, xnk) ≤ d(q, zk) + d(zk, xnk

) < 1/(k + 1), por lo que q ∈ E∗.

Teorema 35. Si xn es una sucesión en el espacio métrico compacto X, entonces xn tieneun punto de acumulación en X.

Demostración. Sea E el campo de variabilidad de xn.Si E es finito, debe haber un punto p ∈ E y una sucesión infinita nk de naturales tales que

n0 < n1 < . . . y xnk= p para todo k ∈ N. Entonces xnk

es subsucesión de xn y convergehacia p ∈ E ⊂ X, por lo que p es un punto de acumulación de xn.

Si E es infinito, tiene un punto de acumulación p en X (teor. 22). Sea n0 tal que d(p, xn0) < 1.

Elijamos n1 tal que n1 > n0 y d(p, xn1) < 1/2 (tal elección es posible pues hay una cantidad

infinita de m tales que d(p, xm) < 1/2). Continuando de esta manera, para cada k ∈ N elijamosnk tal que nk > nk−1 y d(p, xnk

) < 1/(k + 1). Entonces xnkk∈N es una subsucesión de xn

que converge a p, de donde p es punto de acumulación de xn.

Teorema 36. Los espacios métricos compactos son completos.

Demostración. Sea (X, d) un espacio métrico compacto, y xn una sucesión de Cauchy enX. xn tiene un punto de acumulación p en X (teor. 35). Sea xnk

una sucesión tal quelımk→∞ xnk

= p. Veamos que lımn→∞ xn = p: para ε > 0, sea N1 ∈ N tal que ∀m,n ≥N1, d(xm, xn) < ε/2, y N2 ∈ N tal que ∀k ≥ N2, d(p, xnk

) < ε/2. Sea N = maxN1, N2. Notarque, siendo nN ≥ N , será nN ≥ N1; además, N ≥ N2. Para m ≥ N (y por tanto m ≥ N1), setiene d(p, xm) ≤ d(p, xnN

) + d(xnN, xm) < ε.

Teorema 37. Sea X un espacio métrico compacto, y Vnn∈N una familia de subconjuntosabiertos densos en X. Luego,

⋂

n∈N Vn es densa en X.

Demostración. Sean x ∈ X y ε > 0 arbitrarios. Debemos mostrar que hay un y ∈ ⋂n∈N Vn talque d(x, y) < ε (prop. 4).

Hagamos x0 = x y δ0 = ε/2. Por la Proposición 13, para cada n ≥ 1, existe xn ∈ X y δn > 0tal que

Bδn(xn) ⊂(

n−1⋂

k=0

Vk

)

∩ Bδn−1(xn−1)

Por ser X compacto, la sucesión xn tiene un punto de acumulación y ∈ X (teor. 35). Secumple

Bδ0(x0) ⊃ Bδ1(x1) ⊃ Bδ2(x2) ⊃ · · ·por lo que y ∈ Bδn(xn) ⊂ Vn para todo n. Luego, y ∈ ⋂n∈N Vn. Ya que y ∈ Bδ0(x0) ⊂ Bε(x), sesigue que d(x, y) < ε.

14

3.2. Límites superior e inferior

Un caso particular es el del espacio métrico de los reales con la métrica usual. Decimos queuna sucesión de números reales xn converge a ∞ si ∀M ∈ R, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N, xn ≥ M .Análogamente, lımn→∞ xn = −∞ si ∀M ∈ R, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N, xn ≤ M .

Sea xn una sucesión de números reales, y E el conjunto de sus puntos de acumulación. Sedefine el límite superior de xn como lım sup xn = supE, y el límite inferior de xn comolım inf xn = ınf E. A la luz de la Proposición 12 y del Teorema 34, se verifica que lım sup xn

pertenece a E, así como lım inf xn.

Proposición 38. lım sup xn = ∞ si, y sólo si, xn no está acotada superiormente.

Demostración. Si lım sup xn = ∞, hay una subsucesión xnk que converge a ∞. Sea M ∈ R.

Existe un k ∈ N tal que xnk> M . Como xnk

es un término de xn, ésta es no acotada.Recíprocamente, sea xn no acotada superiormente. Luego hay un n0 tal que xn0

> 0.Notar que la sucesión xn0+1, xn0+2, . . . es no acotada. Por ello, existe n1 > n0 tal que xn1

>1. Similarmente, para cada k > 1, hay un nk > nk−1 tal que xnk

> k (pues la sucesiónxnk−1+1, xnk−1+2, . . . es no acotada. Entonces la subsucesión xnk

así formada converge a ∞,por lo que lım sup xn = ∞.

Proposición 39. Si t > lım sup xn, existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N , xn < t.

Demostración. Sea s = lım sup xn. Si s = ∞, no hay nada que probar. Si s ∈ R, xn esacotada superiormente. Sea M ∈ R tal que ∀n ∈ N, xn < M . Supongamos que el enunciadofuese falso, es decir, supongamos que ∀N ∈ N, ∃n ≥ N : xn ≥ t. Sea n0 tal que xn0

≥ t. Sean1 ≥ n0 + 1 tal que xn1

≥ t. Continuando de este modo, encontramos una subsucesión xnk

íntegramente contenida en el compacto [x,M ]. Esa subsucesión tiene un punto de acumulaciónen [x,M ] (teor. 35) que también es punto de acumulación de xn, pero mayor que lım sup xn.Contradicción.

Consideraciones análogas valen para lım inf xn.

4. Funciones entre espacios métricos

4.1. Límite de una función

Sean (X, dX), (Y, dY ) dos espacios métricos, E ⊂ X, f una función de E en Y , p unpunto de acumulación de E y q ∈ Y . Decimos que el límite de f cuando x tiende a p es qsi ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ E, 0 < dX(x, p) < δ ⇒ dY (f(x), q) < ε. En ese caso, escribimoslımx→p f(x) = q.

Notar que no es necesario que p ∈ E para poder hablar de límite cuando x tiende a p.Además, aún estando definida la función en p, podría ocurrir que f(p) 6= q.

Teorema 40. Sean X, Y,E, p, q, f como en la definición anterior. Se tiene que lımx→p f(x) = qsi, y sólo si, lımn→∞ f(xn) = q para toda sucesión xn en E − p que converja a p.

Demostración. Supongamos que lımx→p f(x) = q. Sea xn una sucesión en E − p tal quelımn→∞ xn = p. Sea ε > 0. Existe δ > 0 : 0 < dX(x, p) < δ ⇒ dY (f(x), q) < ε. Correspondientea ese δ > 0, existe N ∈ N : ∀n ≥ N, dX(xn, p) < δ. Luego, si n ≥ N , se tiene que dY (f(xn), q) <ε, por lo que lımn→∞ f(xn) = q. Esto demuestra la necesidad de la condición.

Supongamos ahora que lımx→p f(x) 6= q. Entonces existe ε > 0 : ∀δ > 0, ∃x ∈ X talque dX(x, p) < δ pero dY (f(x), q) ≥ ε. En particular, para cada n ∈ N, existe xn tal quedX (xn, p) < 1/(n+ 1) pero dY (f(xn), q) ≥ ε. Ya que lımn→∞ dX(xn, p) = 0, tenemos que xnconverge a p. Sin embargo, lımn→∞ f(xn) 6= q. Esto demuestra la suficiencia de la condición.

15

Corolario 41. Si una función tiene límite cuando x tiende a p, el límite es único.

Demostración. La conclusión se sigue de los Teoremas 28 (inciso 2) y 40.

Supongamos que (X1, d1), (X2, d2) y (X3, d3) son tres espacios métricos, que f es una funciónde D1 ⊂ X1 en X2 y que g es una función de D2 ⊂ X2 en X3, con f(D1) ⊂ D2. La funcióncompuesta g f : D1 → X3 está bien definida. Supongamos que p es punto de acumulaciónde D1 y que lımx→p f(x) = L1. Supongamos también que L1 es punto de acumulación de D2,y que lımx→L1

g(x) = L2. Resulta entonces natural preguntarse por la existencia del límitede la composición cuando x tiende a p. Lo primero que la intuición nos hace pensar es quelımx→p g(f(x)) existe y vale también L2. Sin embargo...

Ejemplo 42. Sea X1 = X2 = X3 = R con la métrica euclídea. Sean f y g las funciones de R

en R dadas por

f(x) = 0 g(x) =

1 si x = 00 si x 6= 0

Observemos que lımx→0 f(x) = 0 = lımx→0 g(x), pero g f es la función constante igual a 1,por lo que lımx→1 g(f(x)) = 1.

Reconociendo la equivocación en nuestra intuición, podríamos pensar entonces que el límitede la composición debe existir cuando x tiende a p, aún sin ser igual a L2. Sin embargo...

Ejemplo 43. Sea X1 = X2 = X3 = R con la métrica euclídea. Sean f y g las funciones de R

en R dadas por

f(x) =

0 si x ∈ Q

x si x /∈ Qg(x) =

1 si x = 00 si x 6= 0

Observemos que f(x) = 0 si, y sólo si, x ∈ Q. Tenemos que lımx→0 f(x) = 0 = lımx→0 g(x),pero

g(f(x)) =

1 si f(x) = 00 si f(x) 6= 0

=

1 si x ∈ Q

0 si x /∈ Q

de modo que no existe límite de la composición cuando x tiende a 0.

Veremos luego que, bajo ciertas condiciones sobre la función g, el límite efectivamente existe.

4.2. Continuidad

Sean (X, dX), (Y, dY ) dos espacios métricos, E ⊂ X, f una función de E a Y y p ∈ E.Decimos que la función f es continua en p si ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ E, dX(x, p) < δ ⇒dY (f(x), f(p)) < ε. Si f es continua en todo punto de E, decimos que f es continua en E.

Nótese que, para p ∈ E, f es continua en p si, y sólo si, para todo ε > 0, existe δ > 0 talque f

(

E ∩ BXδ (p)

)

⊂ BYε (f(p)).

Observar que, para que f sea continua en p, f debe estar definida en p.Si p es un punto aislado de E, f es continua en p. Si p es un punto de acumulación de E, se

tiene que f es continua en p si, y sólo si, lımx→p f(x) = f(p). En consecuencia, si f es continuaen p y xn es una sucesión que converge a p, se tiene que lımn→∞ f(xn) = f(p) (teor. 40),lo cual suele recordarse diciendo que los procesos de tomar límite de sucesión y evaluar f sonintercambiables: lımn→∞ f(xn) = f (lımn→∞ xn).

Proposición 44. Sean (X1, d1), (X2, d2) y (X3, d3) tres espacios métricos. Supongamos que fes una función de D1 ⊂ X1 en X2 y que g es una función de D2 ⊂ X2 en X3, con f(D1) ⊂ D2.Supongamos también que p es punto de acumulación de D1, que lımx→p f(x) existe, y que g escontinua en él. Entonces, lımx→p g(f(x)) = g( lımx→p f(x)).

16

Demostración. Llamemos L1 = lımx→p f(x). Por la continuidad de g en L1, tenemos quelımη→L1

g(η) = g(L1). Sea ε > 0. Existe r > 0 tal que si d2(η, L1) < r, entonces d3(g(η), g(L1)) <ε. Correspondiente a ese r > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < d1(x, p) < δ y x ∈ D1, entoncesd2(f(x), L1) < r. En consecuencia, para todo x ∈ D1 tal que 0 < d1(x, p) < δ, se tiene que

d3

(

g(f(x)), g(L1))

< ε. Esto muestra que lımx→p g(f(x)) = g(L1), según queríamos probar.

Teorema 45. Sean f : X → Y continua en p ∈ X y g : Y → Z continua en f(p). Entoncesg f es continua en p.

Demostración. Si p es punto aislado de X o f(p) es punto aislado de Y , la continuidad deg f en p es inmediata. Si p es punto de acumulación de D1, por prop. 44, tenemos quelımx→p g(f(x)) = g( lımx→p f(x)) = g(f(p)). Luego, g f es continua en p.

Proposición 46. Sea f : X → Y continua en p, y sea S ⊂ X tal que p ∈ S. Entonces, f |S escontinua en p.

Demostración. Sea ε > 0. Hay un δ > 0 tal que si x ∈ BXδ (p), f(x) ∈ BY

ε (f(p)). Veamosque para todo x ∈ BS

δ (p), f |S (x) ∈ BYε (f |S (p)): si x ∈ BS

δ (p), x ∈ BXδ (p) y x ∈ S; luego

f(x) ∈ BYε (f(p)); ya que p y x están en S, es f |S (x) = f(x) y f |S (p) = f(p); entonces

f |S (x) ∈ BYε (f |S (p)). Por lo tanto, f |S es continua en p.

Teorema 47. Sea f una función del espacio métrico X al espacio métrico Y , y x0 un puntoen X. f es continua en x0 si, y sólo si, para todo subconjunto V de Y que sea abierto en Y yque contenga a f(x0), x0 es un punto interior de f−1(V ).

Demostración. Supongamos f continua en x0. Sea V un subconjunto abierto de Y tal quef(x0) ∈ V . Existe ε > 0 tal que BY

ε (f(x0)) ⊂ V . Por continuidad de f en x0, existe δ > 0 talque f

(

BXδ (x0)

)

⊂ BYε (f(x0)) ⊂ V . Es decir, BX

δ (x0) ⊂ f−1(V ), con lo cual resulta que x0 esun punto interior de f−1(V ).

Supongamos ahora que x0 es un punto interior de f−1(V ) siempre que V es un subconjuntoabierto de Y que contenga a f(x0). Sea ε > 0. Tomando V = BY

ε (f(x0)), que es abierto ycontiene a f(x0), por nuestra hipótesis tenemos que x0 es punto interior de f−1(V ), es decir,existe δ > 0 tal que BX

δ (x0) ⊂ f−1(V ). Por lo tanto, f(

BXδ (x0)

)

⊂ f(

f−1(

BYε (f(x0))

))

⊂BY

ε (f(x0)). Entonces f es continua en x0.

Corolario 48. Sea f una función del espacio métrico X al espacio métrico Y . f es continua enX si, y sólo si, para todo subconjunto V de Y que sea abierto en Y , f−1(V ) es un subconjuntoabierto de X.

Demostración. Para la ida, sea V abierto en Y , y tomemos x ∈ f−1(V ). Como f(x) ∈ V y f escontinua, x es punto interior de f−1(V ) (teor. 47), y ya que x es arbitrario se sigue que f−1(V )es abierto en X. Para la vuelta, sea x ∈ X, y sea V un abierto en Y que contenga a f(x). Porhipótesis, f−1(V ) es abierto en X y contiene a x; por lo tanto, x es punto interior de f−1(V ), dedonde f es continua en x (teor. 47). Como x es arbitrario, f es continua en todo su dominio.

Corolario 49. Sea f una función del espacio métrico X al espacio métrico Y . f es continua enX si, y sólo si, para todo subconjunto V de Y que sea cerrado en Y , f−1(V ) es un subconjuntocerrado de X.

Demostración. Para la ida, sea V un cerrado en Y . Entonces V c es abierto en Y , por lo que,siendo f continua, es f−1(V c) abierto en X. Pero f−1(V c) = [f−1(V )]

c. Luego, [f−1(V )]c es

abierto en X, y entonces f−1(V ) es cerrado en X.

17

Para la vuelta, sea U abierto en Y . Entonces, U c es cerrado en Y , por lo que, de acuerdo ala hipótesis, es f−1(U c) cerrado en X, es decir, [f−1(U)]

c es cerrado en X, de donde f−1(U) esabierto en X. Habiendo demostrado que la preimagen de cualquier abierto de Y es un abiertoen X, tenemos que f es continua (teor. 48).

Teorema 50. Sea f una función continua de X en Y , y K un subconjunto compacto de X.f(K) es un subconjunto compacto de Y .

Demostración. Sea Vii∈I un cubrimiento por abiertos para f(K). La familia f−1(Vi)i∈Ies cubrimiento para K, pues

⋃

i∈I Vi ⊃ f(K) y por lo tanto⋃

i∈I f−1(Vi) = f−1

(⋃

i∈I Vi

)

⊃f−1 (f(K)) ⊃ K. Además, cada f−1(Vi) es abierto en X (teor. 48). Luego, f−1(Vi)i∈I posee unsubcubrimiento finito para K, digamos f−1(Vi1), . . . , f

−1(Vin). Es decir, K ⊂ ⋃nj=1 f

−1(Vij) =

f−1⋃n

j=1 Vij . De allí, f(K) ⊂ f(

f−1(

⋃nj=1 Vij

))

⊂ ⋃nj=1 Vij , por lo que Vi1 , . . . , Vin es

subcubrimiento finito para f(K).

La función continua f(x) = x con dominio el intervalo (0, 1) no alcanza en ese conjunto unextremo (por ejemplo, no hay ningún a en (0, 1) tal que para todo x ∈ (0, 1) sea f(x) ≤ f(a)).El siguiente corolario muestra que esta situación no puede darse si el dominio de definición def es un compacto; concretamente, expresa el hecho de que si una función continua a valoresreales tiene como dominio de definición un conjunto compacto, entonces la función alcanzaun máximo y un mínimo en puntos del conjunto compacto, y en consecuencia una función avalores reales continua definida sobre un compacto es una función acotada. Este resultado seusará frecuentemente en los capítulos que siguen.

Corolario 51. Sea f una función continua del espacio métrico (X, d) en (R, euclídea), y K unsubconjunto compacto de X. Entonces, existen xm, xM ∈ K tales que para todo x ∈ K, f(xm) ≤f(x) ≤ f(xM).

Demostración. Sea S = sup f(K). Se tiene que para todo x ∈ K, f(x) ≤ S. f(K) es compacto(teor. 50), y entonces cerrado, en R. De allí que S ∈ f(K) (prop. 12), es decir, existe xM ∈ Ktal que f(xM) = S. Luego, para todo x ∈ K, es f(x) ≤ f(xM). Lo referente a xm es análogo.

Teorema 52. Sea f una función continua biyectiva del espacio métrico compacto X al espaciométrico Y . Entonces, la función inversa de f es una función continua de Y en X.

Demostración. Sea g la función inversa de f . Tomemos un conjunto abierto V en X. V c escerrado en el compacto X, luego, V c es compacto (teor. 17), de donde f (V c) es un subconjuntocompacto (teor. 50), y por lo tanto cerrado, de Y . Pero por ser f biyectiva, se tiene quef (V c) = f(V )c, por lo que f(V ) es abierto en Y . Además, g−1(V ) = y ∈ Y : g(y) ∈ V =y ∈ Y : f−1(y) ∈ V = y ∈ Y : y ∈ f(V ) = f(V ). Entonces, g−1(V ) es abierto en Y , y g−1

es continua en Y (teor. 48).

Teorema 53. Sea f una función continua del espacio métrico X en el espacio métrico Y , y Eun subconjunto conexo de X. f(E) es un subconjunto conexo de Y .

Demostración. Supongamos que f(E) = A ∪ B con A y B subconjuntos no vacíos separadosen Y . Hagamos G = E ∩ f−1(A), y H = E ∩ f−1(B). Luego E = G ∪H y G 6= ∅ 6= H. ComoA ⊂ A, resulta G ⊂ f−1(A), siendo este último conjunto cerrado pues A es cerrado y f escontinua. Luego G ⊂ f−1(A) (teor. 11), por lo que f(G) ⊂ A. Como f(H) = B y A ∩ B = ∅,será G ∩H = ∅. Por un razonamiento análogo, G ∩H = ∅. Entonces G y H son separados, loque contradice la conexidad de E.

18

4.3. Equivalencia métrica y homeomorfismo

Sobre un conjunto X cualquiera puede haber definidas varias métricas. Por ejemplo, enel caso de R2, una métrica puede ser la euclídea de y otra la de Manhattan dM , definidasrespectivamente así, para x = (x1, x2), y = (y1, y2):

de(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 dM(x, y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|En este ejemplo, ambas métricas dan aproximadamente la misma idea de distancia: dos puntos“cercanos” (o “lejanos”) según una de ellas también estarán “cerca” (o “lejos”) según la otra. Perono siempre ocurrirá así. Esto lleva a la siguiente definición:

Dos métricas d1 y d2 para un espacio métrico X se dicen equivalentes si existen dosconstantes reales c1 y c2 con 0 < c1 < c2 tales que, para todos x, y ∈ X con x 6= y se tiene que

c1 ≤d1(x, y)

d2(x, y)≤ c2

En el caso de R2 con las métricas euclídea y de Manhattan, podemos tomar c1 = 1/2 yc2 = 1 para verificar que ambas son equivalentes. Un ejemplo de métricas no equivalentes esX = R2 − (0, 0), d1 la métrica euclídea, y d2(x, y) = | |x| − |y| | + |θ|, siendo θ el menor delos ángulos determinados por los vectores x e y.

Dos espacios métricos (X1, d1) y (X2, d2) se dicen equivalentes si existe una función h :X1 → X2 biyectiva tal que la métrica d1 para X1 definida por d1(x, y) = d2 (h(x), h(y)) esequivalente a la métrica d1.

Dos espacios métricos (X1, d1) y (X2, d2) se dicen homeomorfos si existe una funciónh : X1 → X2 continua y biyectiva cuya inversa es también una función continua.

El concepto de espacios métricos homeomorfos es más débil que el de equivalentes: dosespacios equivalentes son homeomorfos. La recíproca no es cierta: tomando X1 = N y X2 =

1n: n ∈ N

, ambos con la métrica euclídea, vemos que ambos son homeomorfos (h(x) = 1/x)pero no equivalentes.

Hay muchas propiedades que se conservan por equivalencia métrica. Por ejemplo, si dosespacios son equivalentes y uno de ellos es completo, el otro también lo es.

5. Sistemas de Funciones Iteradas

Ahora veremos un excelente ejemplo de cómo el contexto de los espacios métricos permiteexplicar un fenómeno de aparición bastante reciente: la generación de imágenes fractales pormedio de sistemas de funciones iteradas. Primero veremos el mecanismo al para generar talesimágenes, que es muy sencillo de entender, y puede ser resumido en los siguientes pasos:

1. Escoger una cantidad n de transformaciones contractivas del plano complejo (por ejemplo,transformaciones lineales de la forma az + b con |a| < 1), digamos w1, w2, . . . , wn. Elconjunto cuyos elementos son estas transformaciones se llama un sistema de funcionesiteradas, abreviado SFI.

2. Elegir cualquier conjunto compacto para la métrica euclídea (es decir, cerrado y acotado)no vacío de números complejos, digamos B ⊂ C. Tal B recibe el nombre de conjuntoinicial, y podría ser, por ejemplo, B = 0.

3. A partir del SFI y del conjunto inicial, generar una sucesión B0, B1, B2, . . . de subconjuntosdel plano del siguiente modo:

B0 = B

Bk = w1 (Bk−1) ∪ w2 (Bk−1) ∪ · · ·wn (Bk−1) (para k > 0)

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Resulta que conforme k se hace cada vez más grande, Bk se hace tanto más parecido a undeterminado conjunto que tiene, en general, la característica fractal de la autosimilaridad. Eseconjunto límite se denomina atractor del sistema de funciones iteradas, y tiene la sorprendentecaracterística de que no depende del conjunto inicial del cual arranca el proceso iterativo.

Por ejemplo, para un SFI de tres transformaciones dadas por

w1(z) =z2

w2(z) =z+12

w3(z) =z+i2

y conjunto inicial B0 = i, algunos elementos de la sucesión Bkk∈N se muestran en la figurasiguiente.

B0 B4 B6 B8

En relación al atractor de un sistema de funciones iteradas, además de la autosimilaridad,son destacables tres propiedades: existencia, unicidad e independencia del conjunto inicial;esbozaremos aquí las ideas principales que llevan a su demostración. Aclaramos ante todo queen este mecanismo, el espacio de los complejos con la métrica euclídea puede ser reemplazadopor cualquier espacio métrico completo sin alterar la esencia del fenómeno. Sólo a los fines deuna mejor comprensión intuitiva es que trabajamos con los complejos.

Definición 54. Sea (X, d) un espacio métrico, y f una función de X en X. Se dice que f esuna transformación contractiva en X (o una contracción en X) si existe un número reals ∈ [0, 1) tal que

∀x1, x2 ∈ X, d (f(x1), f(x2)) ≤ s · d(x1, x2)

Un tal s se llama un factor de contractividad para f .

Definición 55. Sea f una función de X en X, y k un natural.

Un punto x0 ∈ X se dice punto fijo para f si f(x0) = x0.

La k-ésima iteración de f , denotada f [k], se define recursivamente como:

f [0] es la función identidad.

f [k+1] = f f [k] para cualquier k ≥ 0.

Para x0 ∈ X, la órbita de x0 bajo f es la sucesión

f [n](x0)

n∈N.

Es decir, f [k] es la composición de f consigo misma k veces (con la convención de quecomponer una función consigo misma 0 veces es la identidad). La órbita de x0 bajo f es la

sucesión x0, f(x0), f(f(x0)), f(

f(f(x0)))

, . . .

Dado un espacio métrico y una función en él, resulta natural preguntarse cómo evolucionael espacio por aplicación reiterada de la función (es decir, cómo se comportan las iteracionesde la función, hacia qué destino convergen las órbitas, etc.). El siguiente resultado, conocidocomo Teorema del Punto Fijo de las Transformaciones Contractivas, resulta clave para explicarel fenómeno de convergencia hacia el atractor en el caso de los sistemas de funciones iteradas.

20

Teorema 56. Sea f : X → X una contracción del espacio métrico completo (X, d). Entonces,f posee un único punto fijo xf ∈ X, que además satisface que

para todo x ∈ X, lımk→∞

f [k](x) = xf

Su demostración será guiada a través de ejercicios.

5.1. El espacio métrico de los fractales

Nuestro objetivo es explicar, matemáticamente, la convergencia de la sucesión B0, B1, B2, . . .hacia el atractor. Para ello, construiremos un espacio métrico en el que los elementos sean figurasdel plano complejo, y la distancia mida, de alguna manera, el parecido entre dos figuras. Luegoveremos cómo los SFI inducen contracciones en ese espacio, y finalmente, por aplicación delTeorema del Punto Fijo, justificaremos la convergencia del proceso iterativo.

El primer paso para definir una distancia en ese espacio métrico comienza con la definiciónde distancia desde un punto hasta un conjunto, en el plano complejo.

Definición 57. Dado z0 ∈ C y B ⊂ C, la distancia desde z0 hasta B es

dp (z0, B) = ınf |z − z0| : z ∈ B

Por ejemplo, si z0 = 2i y B = z ∈ C : |z| ≤ 1, entonces dp (z0, B) = 1, existiendo en estecaso un complejo z∗ ∈ B tal que dp (z0, B) = |z∗ − z0| (z∗ = i). Pero si tomáramos z0 = 2i yB = z ∈ C : |z| < 1, tendríamos que dp (z0, B) es también 1, pero ningún z∗ ∈ B cumple quedp (z0, B) = |z∗ − z0|.Proposición 58. Sea B compacto no vacío y z0 ∈ C. Entonces, existe z∗ ∈ B tal quedp (z0, B) = |z∗ − z0|.Demostración. Consideremos la función dada por f(z) = |z − z0|. Tenemos que f (B) =|z − z0| : z ∈ B y que ınf f (B) = dp (z0, B). La función f es continua en C (teorema 45), y,siendo B compacto, f (B) es también compacto (teorema 50), de donde ınf f (B) ∈ f (B) (pue-de deducirse de la proposición 12), lo que implica que existe z∗ ∈ B tal que f (z∗) = ınf f (B),es decir, |z∗ − z0| = dp (z0, B).

El resultado anterior nos dice que si B es compacto, la distancia entre z0 y B se alcanza enal menos un punto de B. Por eso, si nos restringimos a conjuntos compactos, el ínfimo invocadoen la definición de distancia puede ser reemplazado por mínimo.

Observación 59. Para B compacto no vacío y z0 ∈ C, se tiene que dp (z0, B) = 0 si, y sólo si,z0 ∈ B: para la ida, si z0 /∈ B, sea z∗ ∈ B tal que dp (z0, B) = |z∗ − z0| (prop. 58). Dado quez∗ 6= z0, es |z∗ − z0| > 0, de donde dp (z0, B) 6= 0.

Para la vuelta, si z0 ∈ B, entonces

0 ≤ dp (z0, B) = ınf |z − z0| : z ∈ B ≤ |z0 − z0| = 0

así que dp (z0, B) = 0.

Proposición 60. Sean B y C conjuntos compactos no vacíos, y z0 ∈ C. Si B ⊂ C, entoncesdp (z0, B) ≥ dp (z0, C).

Demostración. Sea z∗ ∈ B tal que dp (z0, B) = |z∗ − z0|. Como B ⊂ C, z∗ ∈ C y entonces

dp (z0, C) = ınf |z − z0| : z ∈ C ≤ |z∗ − z0| = dp (z0, B)

como queríamos demostrar.

21

Lema 61. Sea B un subconjunto compacto no vacío de C. Definamos la función f : C → C

mediante f(z) = dp (z, B). Entonces, f es continua en C.

Demostración. Debemos ver que

∀z0 ∈ C, ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀z ∈ C, |z − z0| < δ ⇒ |f(z)− f (z0)| < ε

Sean z0 y ε dados. Tomemos δ = ε, y supongamos que z cumple que |z − z0| < δ.Sabemos que para todo w ∈ B, |z0 − w| ≤ |z0 − z|+ |z − w|, por lo que

mın |z0 − w| : w ∈ B ≤ |z0 − z|+mın |z − w| : w ∈ B

y entonces dp (z0, B) ≤ |z0 − z|+ dp (z, B), es decir, dp (z0, B)− dp (z, B) < ε.Análogamente, para todo w ∈ B, |z − w| ≤ |z − z0|+ |z0 − w|, por lo que

mın |z − w| : w ∈ B ≤ |z − z0|+mın |z0 − w| : w ∈ B

y entonces dp (z, B) ≤ |z − z0|+ dp (z0, B), es decir, dp (z0, B)− dp (z, B) > −ε.Juntando las dos desigualdades arriba demostradas, tenemos que

−ε < dp (z0, B)− dp (z, B) < ε

de donde |f (z)− f (z0)| < ε.

El segundo paso hacia la definición de distancia entre figuras del plano consiste en definiruna cuasidistancia entre dos subconjuntos del plano complejo, de la siguiente manera.

Definición 62. Sean A,B subconjuntos del plano complejo. La cuasidistancia entre A y Bes

dc (A,B) = sup dp (z0, B) : z0 ∈ A

Por ejemplo, si A = z ∈ C : |z| ≤ 1 y B = z ∈ C : |z| ≤ 2, entonces dc (A,B) = 0 (pues,de la observación 59, ∀z0 ∈ A, dp (z0, B) = 0) y dc (B,A) = 1. Como vemos, no se cumple elaxioma de simetría ni el primer axioma de distancia, pero luego veremos que se cumple ladesigualdad triangular, y de ahí el prefijo cuasi; entonces, dc nos servirá para construir unaadecuada forma de medir distancias entre figuras. Veamos primero que si A y B son amboscompactos no vacíos, dc (A,B) se alcanza entre puntos de ambos conjuntos.

Proposición 63. Si A y B son subconjuntos compactos no vacíos del plano complejo, entoncesexisten z1 ∈ A, z2 ∈ B tales que dc (A,B) = |z1 − z2|.

Demostración. Sea f : C → C definida por f(z) = dp (z, B). La función f es continua (lema61) y se tiene que dp (z0, B) : z0 ∈ A = f (A). Siendo A compacto, se tiene que sup f (A) ∈f (A) (proposición 12), es decir, existe z1 ∈ A tal que f (z1) = sup f (A), lo cual implica quedp (z1, B) = dc (A,B). Pero además, de la proposición 58, existe z2 ∈ B tal que dp (z1, B) =|z1 − z2|. Concluimos entonces que dc (A,B) = |z1 − z2| en donde z1 ∈ A y z2 ∈ B.

Como vemos, la compacidad de conjuntos juega un rol importante en las propiedades de dpy dc. Además, como veremos después, cada conjunto de la sucesión Bkk∈N es compacto y novacío. Nos restringiremos, entonces, a esa clase de conjuntos (los compactos no vacíos) de C

para buscar una buena manera de medir distancias entre conjuntos.

Definición 64. El espacio de los fractales es el conjunto H definido por

H = B ⊂ C : B es compacto y B 6= ∅

22

Antes de definir una distancia para H, deduciremos propiedades adicionales de dc.

Proposición 65. ∀A,B ∈ H, dc (A,B) ∈ R+0 .

Demostración. Dados A,B ∈ H, por proposición 63, existen z1 ∈ A, z2 ∈ B que verifican quedc (A,B) = |z1 − z2| ≥ 0.

Proposición 66. ∀A ∈ H, dc (A,A) = 0.

Demostración. Dado A ∈ H, dc (A,A) = sup d (z0, A) : z0 ∈ A = sup0 = 0.

Proposición 67. ∀A,B,C ∈ H, dc (A,B) ≤ dc (A,C) + dc (C,B).

Demostración. De la propiedad triangular de módulos, sabemos que

∀a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C, |a− b| ≤ |a− c|+ |c− b|

Luego,∀a ∈ A, c ∈ C, ınf |a− b| : b ∈ B ≤ |a− c|+ ınf |c− b| : b ∈ B

de donde∀a ∈ A, c ∈ C, dp (a,B) ≤ |a− c|+ dp (c, B)

Ahora sea a ∈ A. Elijamos c∗ ∈ C tal que dp (a, C) = |a− c∗| (proposición 58). Tenemosque

dp (a,B) ≤ |a− c∗|+ dp (c∗, B) = dp (a, C) + dp (c

∗, B)

≤ dp (a, C) + sup dp (c, B) : c ∈ C = dp (a, C) + dc (C,B)

Puesto que a es arbitrario en A, se tiene que

∀a ∈ A, dp (a,B) ≤ dp (a, C) + dc (C,B)

así que

dc (A,B) = sup dp (a,B) : a ∈ A≤ sup dp (a, C) : a ∈ A+ dc (C,B) = dc (A,C) + dc (C,B)

según deseábamos demostrar.

Proposición 68. Sean A,B,C ∈ H. Si B ⊂ C, entonces dc (A,B) ≥ dc (A,C).

Demostración. Para cualquier z0 ∈ A, tenemos que dp (z0, B) ≥ dp (z0, C) (proposición 60).Luego, sup dp (z0, B) : z0 ∈ A ≥ sup dp (z0, C) : z0 ∈ A, lo que demuestra el enunciado.

Ahora ya estamos en condiciones de definir una distancia entre elementos de H que captureadecuadamente cuán parecidas son dos figuras de ese conjunto.

Definición 69. Para A,B ∈ H, se define la distancia entre A y B mediante

h (A,B) = max dc (A,B) , dc (B,A)

Teorema 70. La función h : H × H → R+0 anteriormente definida es efectivamente una

distancia para el espacio H. En consecuencia, (H, h) es un espacio métrico.

Demostración.

23

1. Dados A,B ∈ H, dc (A,B) y dc (B,A) son números reales no negativos (proposición 65),luego h (A,B) también lo es.

2. De la proposición 66, h (A,A) = max dc (A,A) , dc (A,A) = 0. Además, si A 6= B,podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que existe a ∈ A−B. Luego, dp (a,B) > 0(observación 59), así que h (A,B) ≥ dc (A,B) ≥ dp (a,B) > 0. En síntesis, tenemos queh (A,B) = 0 si, y sólo si, A = B.

3. Dados A,B ∈ H, tenemos que

h (A,B) = max dc (A,B) , dc (B,A)= max dc (B,A) , dc (A,B) = h (B,A)

de donde vemos que se cumple el axioma de simetría.

4. Dados A,B,C ∈ H, recordando la proposición 67, tenemos que

h (A,B) = max dc (A,B) , dc (B,A)≤ max dc (A,C) + dc (C,B) , dc (B,C) + dc (C,A)≤ max dc (A,C) , dc (C,A)+max dc (B,C) , dc (C,B)= h (A,C) + h (C,B)

y entonces se cumple la propiedad triangular.

Con no poco trabajo y consideraciones más específicas de los espacios métricos, es factiblemostrar el siguiente resultado, que nosotros admitiremos sin demostración.

Teorema 71. El espacio métrico (H, h) es completo.

5.2. Atractores

Más arriba hemos visto que el proceso iterativo de un SFI consiste en generar una sucesiónde conjuntos aplicando reiteradamente la unión de transformados w1 (Bk−1) ∪ · · · ∪ wn (Bk−1).Formalmente, estamos considerando la transformación

W : H → HW (B) = w1 (B) ∪ · · · ∪ wn (B)

Para ver que efectivamente W (B) ∈ H toda vez que B ∈ H, empecemos recordando quecada wj es una transformación contractiva en C.

Lema 72. Si w : C → C es contractiva, entonces es continua en C.

Demostración. Sea s un factor de contractividad para w. Tomemos z0 ∈ C, y fijemos ε >0. Hagamos δ = ε/s. Si |z − z0| < δ, por ser w contractiva tenemos que |w(z)− w (z0)| ≤s |z − z0| < ε, mostrando que w es continua en z0. Puesto que z0 se eligió arbitrariamente, wes continua en C.

Proposición 73. Si w1, . . . , wn son transformaciones contractivas de C en C y B ∈ H, enton-ces w1 (B) ∪ · · · ∪ wn (B) ∈ H.

24

Demostración. Puesto que B es compacto no vacío y que para cada j ∈ 1, . . . , n, wj escontinua (lema 72), cada wj (B) es compacto no vacío (teorema 50), de donde w1 (B) ∪ · · · ∪wn (B) es no vacío, y compacto pues es unión finita de conjuntos cerrados y acotados (teorema9).

La transformación W definida más arriba no sólo está bien definida en H, sino que, másaún, es contractiva.

Lema 74. Sean A,B,C,D ∈ H. Entonces,

h (A ∪ B,C ∪D) ≤ max h (A,C) , h (B,D)

Demostración. Notemos que

dc (A ∪ B,C) = sup dp (z0, C) : z0 ∈ A ∪B= max sup dp (z0, C) : z0 ∈ A , sup dp (z0, C) : z0 ∈ B= max dc (A,C) , dc (B,C)

Luego, teniendo presente la proposición 68,

h (A ∪ B,C ∪D) = max dc (A ∪ B,C ∪D) , dc (C ∪D,A ∪ B)= max max dc (A,C ∪D) , dc (B,C ∪D) ,

max dc (C,A ∪ B) , dc (D,A ∪ B)= max dc (A,C ∪D) , dc (B,C ∪D) , dc (C,A ∪ B) , dc (D,A ∪ B)≤ max dc (A,C) , dc (B,D) , dc (C,A) , dc (D,B)= max max dc (A,C) , dc (C,A) ,max dc (B,D) , dc (D,B)= max h (A,C) , h (B,D)

como queríamos demostrar.

Teorema 75. Si w1, . . . , wn son transformaciones contractivas de C en C, con factores decontractividad s1, . . . , sn respectivamente, entonces la transformación

W : H → HW (B) = w1 (B) ∪ · · · ∪ wn (B)

es contractiva en (H, h), siendo max s1, . . . , sn un factor de contractividad para W .

Demostración. Por inducción en n ≥ 1.

1. Caso n = 1: Sean B,C ∈ H. Entonces,

dc (W (B) ,W (C)) = sup ınf |w1(b)− w1(c)| : c ∈ C : b ∈ B≤ sup ınf s1|b− c| : c ∈ C : b ∈ B= s1 · dc (B,C)

y similarmente dc (W (C) ,W (B)) ≤ s1 · dc (C,B), así que

h (W (B) ,W (C)) ≤ max s1 · dc (B,C) , s1 · dc (C,B)= s1 ·max dc (B,C) , dc (C,B) = s1h (B,C)

25

2. Paso inductivo: supongamos que hay n + 1 transformaciones contractivas w1, . . . , wn+1.Designemos por T a la transformación de H en H dada por T (B) = w1 (B)∪· · ·∪wn (B).Por hipótesis de inducción, T es contractiva con factor s = max s1, . . . , sn. Sean B,C ∈H. Entonces, teniendo presente el lema 74,

h (W (B) ,W (C)) = h (T (B) ∪ wn+1 (B) , T (C) ∪ wn+1 (C))

≤ max h (T (B) , T (C)) , h (wn+1 (B) , wn+1C)≤ max s · h (B,C) , sn+1h (B,C)≤ max s, sn+1h (B,C)

= max s1, . . . , sn, sn+1h (B,C)

completando así la demostración.

Ya estamos en condiciones de demostrar que el proceso iterativo de un SFI converge a unúnico conjunto, independientemente del conjunto inicial.

Teorema 76. Sea w1, . . . , wn un sistema de funciones iteradas. Existe un único conjuntoA compacto no vacío, denominado el atractor del sistema, tal que para cualquier conjuntoB0 ∈ H, la sucesión B0, B1, B2, . . . definida por Bk = w1 (Bk−1) ∪ · · · ∪ wn (Bk−1) para todok > 0, converge a A en el espacio métrico (H, h).

Demostración. Del teorema 75, sabemos que W es una contracción en el espacio métrico com-pleto (H, h). Entonces, por el Teorema del Punto Fijo de las Transformaciones Contractivas,existe un único A ∈ H tal que W (A) = A, y lımk→∞W [k] (B0) = A cualquiera sea B0 ∈ H.

Por construcción, la sucesión B0, B1, B2, . . . cumple que su k-ésimo término (k > 0)es Bk = W (Bk−1), y de allí que Bk = W [k] (B0). Luego, lımk→∞Bk = A, cualquiera seaB0 ∈ H.

Una consecuencia del resultado anterior es que el atractor A del SFI w1, . . . , wn satisface

A = w1 (A) ∪ · · · ∪ wn (A)

de donde se ve que si las wj son similitudes, entonces el atractor puede verse compuesto de ncopias más pequeñas de sí mismo, es decir, goza de la propiedad de autosemejanza.

EJERCICIOS

1. Considerar I = 1, 2, 3. Sean A1 = a, b, c, d, A2 = e, d, b, f, g y A3 = d, e, h,considerando que el conjunto universal es U = a, b, c, d, e, f, g, h,m, n. Obtener

⋃

i∈I Ai,⋂

i∈I Ai,⋃

i∈I Aci y⋂

i∈I Aci .

2. Para x ∈ R, se define Ax = x, π en el universo de los reales. Obtener⋃

x∈R Ax,⋂

x∈RAx.

3. Para n ∈ N = 0, 1, 2, 3, . . ., se definen, en el universo de los reales,

An = x ∈ R : −1 ≤ x < n Bn =

x ∈ R :1

3− 1

n+ 3< x <

2

3− 1

n+ 4

Cn =

x ∈ R :n

n+ 1≤ x <

n+ 1

n+ 2

Dn =

x ∈ R :n

n+ 1≤ x ≤ n+ 1

n+ 2

Obtener⋃

n∈NAn,⋂

n∈N An,⋃

n∈N Bn,⋂

n∈NBn,⋃

n∈N Cn,⋂

n∈N Cn,⋃

n∈N Dn,⋂

n∈NDn.

26

4. Sean X = 1, 2, 3, 4, 5, Y = a, b, c y f : X → Y dada por f(1) = f(4) = b, f(2) =f(3) = f(5) = c. Considerar A = 1, B = 2, 3, 5, C = a, b, D = b. Obtenerf(A), f(A ∪ B), f(A) ∪ f(B), f(A ∩ B), f(A) ∩ f(B), f(X), f−1(C), f−1(D), f−1(Y ),f−1(f(A)), f(f−1(Y )).

5. Demuestre todas las propiedades referidas a conjuntos, funciones, supremos e ínfimosenumeradas en la sección de Preliminares.

6. Para cada una de las siguientes funciones de R2 en R, decidir si es o no una métrica parael conjunto de los números reales:

a) d(x, y) = (x− y)2

b) d(x, y) =√x− y

c) d(x, y) = |x2 − y2|d) d(x, y) = |x−y|

1+|x−y|

7. Probar que los siguientes pares (X, d) son espacios métricos:

a) X = R, d(x, y) = |x− y|.

b) X un conjunto cualquiera, d(x, y) =

0 si x = y1 si x 6= y

La métrica así definida se llama métrica discreta, y decimos que el par (X, d) esun espacio métrico discreto.

c) X = [0, 1), d(x, y) = mın|x− y|, 1− |x− y|d) X el conjunto de todas las sucesiones infinitas de 0 y 1,

d(x, y) =

0 si x = y2−mıni:xi 6=yi si x 6= y

e) X el conjunto de todas las funciones de [−2π, 2π] en R que son continuas en todo sudominio (excepto en a lo sumo una cantidad finita de puntos, en los que hay saltosfinitos), d(f, g) = sup|f(x)− g(x)| : x ∈ [−2π, 2π]

f ) X el conjunto de todas las funciones de [−2π, 2π] en R que son continuas en todo sudominio (excepto en a lo sumo una cantidad finita de puntos, en los que hay saltos

finitos), d(f, g) =∫ 2π

−2π

|f(x)− g(x)|dx

g) X = X1×X2 (donde (X1, d1) y (X2, d2) son espacios métricos), d ((x1, x2), (y1, y2)) =maxd1(x1, y1), d2(x2, y2)

8. Para los incisos 7a a 7e del ejercicio anterior, trate de visualizar la forma que tienen losentornos. Por ejemplo, para 7a, puede decir que el entorno de radio r alrededor de x esel intervalo (x− r, x+ r).

9. Para los incisos 7e y 7f del ejercicio 7, encontrar las respectivas distancias entre lasfunciones dadas por

f (x) = −1 g (x) = cos x h (x) =

−1 si x 6= π6

6 si x = π6

Para cada pareja de esas funciones, ¿en cuál de los dos espacios métricos están más“cercanas”?

27

10. Mostrar que, en el espacio R2 con la métrica euclídea, la clausura de un entorno Br(x)es el conjunto y ∈ R2 : |x− y| ≤ r. ¿Es cierto que, en cualquier espacio métrico X, laclausura de Br(x) es y ∈ X : d(x, y) ≤ r? Justifique.

11. Muestre ejemplos de puntos de acumulación de conjuntos en los espacios métricos delejercicio 7.

12. En un espacio métrico (X, d), el interior de un conjunto se define como E = x ∈ X :∃r > 0 : Br(x) ⊂ E.

a) Mostrar que E es abierto si, y sólo si, E = E.

b) Mostrar que si A ⊂ E y A es abierto, entonces A ⊂ E.

c) Demostrar que Ec = (E)c.

13. a) Mostrar que ∂E = E ∩ Ec = E − E.

b) Probar que (∂E)c = E ∪ (Ec), que E = E ∪ ∂E y que E = E − ∂E

14. Para cada i ∈ N, considérese definido un conjunto Ai de un espacio métrico X. Probarque, para cualquier n ∈ N,

n⋃

i=0

Ai =n⋃

i=0

Ai

∞⋃

i=0

Ai ⊃∞⋃

i=0

Ai

Mostrar, mediante un ejemplo, que la última inclusión puede ser estricta.

15. Sea (X, d) un espacio métrico y S ⊂ X. Mostrar que S es denso en X si, y sólo si, paracada x ∈ X y cada r > 0, Br(x) contiene al menos un punto de S.

16. Sea K = 0 ∪ (n + 1)−1 : n ∈ N. Mostrar que K es un subconjunto compacto de R

con la métrica euclídea, utilizando la definición de compacidad.

17. En el espacio de los reales con la métrica euclídea, mostrar que el intervalo (0, 1) no escompacto, dando un ejemplo de cubrimiento por abiertos que no posea subcubrimientofinito.

18. Demuestre que

a) En cualquier espacio métrico:

1) Todo conjunto finito es cerrado.

2) Todo conjunto finito es compacto.

b) En un espacio métrico discreto

1) Todo conjunto es abierto y cerrado.

2) Ningún conjunto tiene puntos de acumulación.

3) Ningún conjunto es conexo, a menos que sea unitario.

19. a) En el espacio R2 con la métrica euclídea, dé un ejemplo de una familia decrecientede conjuntos acotados (no vacíos) cuya intersección sea vacía.

b) Ídem para conjuntos cerrados.

20. Sea E = x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1.

28

a) ¿Es E compacto en el espacio de los reales con la métrica euclídea?

b) ¿Es E compacto en el espacio de los reales con la métrica discreta?

21. En el espacio métrico de los racionales con la métrica euclídea, considerar E = x ∈ Q :2 < x2 < 3. Mostrar que E es cerrado y acotado, pero no compacto. ¿Es E abierto enQ?

22. Sea X = x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1, con la métrica euclídea, y E el subconjunto de todos losnúmeros de X cuya parte decimal tiene infinitos dígitos que son sólo 2 o 3. ¿Es E denso?¿Es E compacto?

23. Encontrar el conjunto de puntos de acumulación de la sucesión xn ⊂ R2 definida comosigue:

xn =

(n−1, (−1)n + n−1) si ∃k ∈ N : n = 3k(3(−1)n, 2) si ∃k ∈ N : n = 3k + 1((−5)(−1)n, 3 + 2−n) si ∃k ∈ N : n = 3k + 2

24. En el espacio métrico del ejercicio 7d , se definen las sucesiones x(n)n∈N, y(n)n∈N me-diante:

x(n)i =

1 si n es factor de i0 en otro caso

y(n)i =

0 si n e i son ambos pares1 en otro caso

Calcular lımn→∞ x(n), verificándolo por definición, y demostrar que y(n)n∈N no es con-vergente. Especificar los puntos de acumulación de ambas sucesiones.

25. Demostrar que cualquier sucesión xn de números reales satisface lım inf xn ≤ lım sup xn

y que la igualdad vale si, y sólo si, la sucesión converge.

26. Sean xn e yn dos sucesiones de números reales. Mostrar que lım sup(xn + yn) ≤lım sup xn + lım sup yn (siempre que el lado derecho no sea de la forma ∞−∞). A travésde un ejemplo, mostrar que la desigualdad puede ser estricta.

27. Mostrar que si f es una función continua del espacio métrico compacto X en el espaciométrico Y , y K es un subconjunto compacto de Y , entonces f−1(K) es un subconjuntocompacto de X.

28. Sea (X, d) un espacio métrico, y a un punto de X. Se define la función f del espaciométrico (X, d) en el espacio métrico (R, euclidea) mediante f(x) = d(x, a). Mostrar quef es continua.

29. En el espacio métrico del ejercicio 7d , se define la función σ : X → X de la siguienteforma: σ (xnn∈N) = xn+1n∈N. Por ejemplo, σ(011101110111 . . .) = 11101110111 . . .Mostrar que σ es continua y sobreyectiva, pero no inyectiva.

30. Sean (X, dX) y (Y, dY ) espacios métricos, f : X → Y , y S ⊂ X. Se dice que f esuniformemente continua en S si

∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ S, ∀w ∈ X, dX(x, w) < δ ⇒ dY (f(z), f(w)) < ε

Es decir, en la continuidad uniforme, fijado ε, se obtiene δ que sirve para todo x ∈ S.Obviamente, toda función uniformemente continua en S es continua en S, pero la recíprocano es cierta en general.

Probar que si S es compacto y f es una función continua en S, entonces f es uniforme-mente continua en S.

29

31. Sea X = x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 13 con la métrica euclídea. Probar que la función dada por

f(x) = x2 + 15

es una contracción en X. ¿Es f una contracción en R?

A mano o con ayuda de calculadora científica, obtener los diez primeros términos de la

órbita de 0, de 15, de 1

3y de

(

1−√

15

)

/2.

32. Sea (X, d) un espacio métrico completo, x un punto cualquiera de X, y f una contracciónen X, con factor de contracción s.

Probar que f es una función continua en x.

Demostrar que para cualquier n ∈ N, es d(

f [n](x), f [n+1](x))

≤ snd(x, f(x)).

Mostrar que para cualquier n ∈ N, es

d(

x, f [n](x))

≤ d (x, f(x))

1− s

(Sugerencia: hacer triangulación con f(x), f [2](x), . . . , f [n−1](x) y aplicar el incisoanterior)

Demostrar que

f [n](x)

n∈Nes una sucesión de Cauchy, y por lo tanto tiene límite

que llamaremos xF .

Mostrar que xF es un punto fijo de f .

Probar que si y ∈ X satisface que f(y) = y, entonces y = xF .

Observar que queda demostrado el Teorema del Punto Fijo de las transfor-

maciones contractivas.

30