Espacios Lp

Como ya venimos haciendo, todos los conjuntos y funciones a los que nos referimos sonmedibles.

Lo que queremos hacer ahora es estudiar los espacios de funciones que integrables y,más en general, integrables cuando las elevamos a alguna potencia. Recuerden que en laintroducción a la materia les conté que cuando trabajamos con la integral de Riemann,estos espacios no son muy interesantes porque no tienen buenas propiedades, por eso esuna ventaja (otra más) trabajar con la integral de Lebesgue.

1. Funciones equivalentes

Para tomar en cuenta que la integral no distingue funciones iguales en casi todo punto,dado E ⊂ Rn, en las funciones f : E → C podemos definir una relación de equivalencia dela siguiente forma:

f ' g si y sólo si f = g en casi todo punto de E

Les dejo para que prueben que efectivamente es una relación de equivalencia. Además, esimportante hacer la siguiente observación:

Observación 1.1. Si f1 ' f2, g1 ' g2 y α ∈ C, entonces

1. f1 + g1 ' f2 + g2

2. f1 · g1 ' g1 · g2

3. α · f1 ' α · f2

Demostración. Veamos cómo se prueba la primer propiedad, les dejo para que hagan lasotras dos. Notemos que

{f1 + g1 6= f2 + g2} ⊂ {f1 6= g1} ∪ {f2 6= g2},

aśı que tomando medida obtenemos que

m({f1 + g1 6= f2 + g2}) ≤ m({f1 6= g1})︸ ︷︷ ︸=0

+m({f2 6= g2})︸ ︷︷ ︸=0

= 0

y esto prueba lo que queŕıamos.

Por comodidad, es habitual identificar a todas las funciones de una misma clase deequivalencia, aśı que en adelante escribiremos f = g en vez de f ' g (sin aclarar que estaigualdad es en casi todo punto).

2. Espacios Lp

Definición 2.1. Dado 1 ≤ p ‖f‖∞} =∞⋃n=1

{x ∈ E : |f(x)| > ‖f‖∞ +

1

n

}Como cada uno de los conjuntos de la derecha es de medida nula, entonces m({|f | >

‖f‖∞}) = 0. En otras palabras, vale que |f(x)| ≤ ‖f‖∞ para casi todo x ∈ E.Además, esto quiere decir que ‖f‖∞ es uno de los elementos del conjunto sobre el que

tomamos ı́nfimo, aśı que en realidad se trata de un mı́nimo.

Observación 2.4. Si f = g (recuerden que en realidad esto quiere decir f ' g), entonces‖f‖p = ‖g‖p para todo 1 ≤ p ≤ ∞, ya que las definiciones anteriores no distinguenfunciones iguales en casi todo punto.

El nombre de “norma infinito”viene de la siguiente propiedad:

Proposición 2.5. Si ‖f‖q q podemos escribir∫

E|f |p dx =

∫E|f |p−q|f |q dx ≤ ‖f‖p−q∞

∫E|f |q dx

de donde, elevando a la 1p , obtenemos

‖f‖p ≤ ‖f‖1− q

p∞

(∫E|f |q dx

) 1p

.

Si ahora consideramos p→∞ (recordemos que∫E |f |

q dx

Por otro lado, sea α tal que 0 < α < ‖f‖∞ y sea A = {x ∈ E : |f | > α}. Entonces,

∞ >∫E|f |q dx ≥

∫A|f |q dx ≥ αqm(A)

aśı que deducimos que m(A)

3. Desigualdades fundamentales y estructura de Lp

El siguiente es un primer resultado que dice que el espacio que acabamos de definir esrazonable para trabajar, ya que tiene estructura de espacio vectorial.

Teorema 3.1. Si 1 ≤ p ≤ ∞, Lp(E) es un espacio vectorial sobre C.

Demostración. Supongamos que f, g ∈ Lp(E) y α ∈ C, debemos probar que f + g ∈ Lp(E)y α · f ∈ Lp(E). Como las definiciones de la norma son distintas según si 1 < p < ∞ op =∞, dividimos la demostración en casos.

Caso 1 ≤ p

También tiene sentido definir un nuevo tipo de convergencia, que se suma a los que yaconocemos.

Definición 3.2. Dado 1 ≤ p ≤ ∞, decimos que fn → f en Lp(E) si ĺımn→∞ ‖fn−f‖p = 0.

Observen que aunque usamos el nombre de “normas p”, todav́ıa no estamos en condi-ciones de probar que efectivamente las que definimos son normas sobre el espacio vectorialLp(E) (porque para 1 ≤ p < ∞ todav́ıa no sabemos si vale la desigualdad triangular).Las desigualdades a continuación nos van a permitir demostrar esto y otras propiedadesimportantes de los espacios y de la convergencia en Lp.

Proposición 3.3. (Desigualdad de Young) Sean a, b ≥ 0. Entonces, para todo 1 < p 0.

Recordarán de Análisis 1 que ln(x) es una función cóncava y que, por lo tanto, dadosα, β > 0 tales que α+ β = 1 se verifica que

ln(αx+ βy) ≥ α lnx+ β ln y = lnxα + ln yβ = ln(xα.yβ)

Por lo tantoαx+ βy ≥ xα.yβ

Si ahora tomamos x = a1α , y = b

1β (son positivos porque estamos en el caso a, b > 0) nos

queda

αa1α + βb

1β ≥ ab

y si en esta desigualdad reemplazamos p = 1α , entonces p′ = pp−1 =

11−α =

1β , por lo que

finalmente nos quedaap

p+bp′

p′≥ ab

Definición 3.4. Dado 1 < p 1 y (p′)′ = p.

Además, esta definición se puede extender al caso p = 1 tomando p′ = ∞ y al casop =∞ tomando p′ = 1 (en estos casos usamos la convención 1∞ = 0).

Teorema 3.5. (Desigualdad de Hölder) Si 1 ≤ p ≤ ∞ y 1p +1p′ = 1, entonces ‖fg‖1 ≤

‖f‖p‖g‖p′.

Demostración. Cuando p =∞, la desigualdad que debemos probar es∫E|fg| dx ≤ ‖f‖∞

∫E|g| dx

que es inmediata usando que |f(x)| ≤ ‖f‖∞ para casi todo x ∈ E. Igual de inmediata esla desigualdad en el caso p = 1.

Para probar el caso 1 < p

El siguiente es un ejemplo de cómo se usa la desigualdad de Hölder. El punto clavesiempre es elegir el exponente con el que aplicar la desigualdad, que depende de qué normap queremos hacer aparecer.

Proposición 3.8. Si m(E) 1 y suexponente conjugado es r′ = p2p2−p1 . Tenemos entonces∫

E|f |p1 dx ≤

(∫E|f |p1r dx

) 1r(∫

Eχr′E dx

) 1r′

=

(∫E|f |p2 dx

) p1p2

m(E)p2−p1p2

Elevando esta desigualdad a la 1p1 nos queda(∫E|f |p1 dx

) 1p1

≤(∫

E|f |p2 dx

) 1p2

m(E)p2−p1p2p1

Para relacionar la convergencia en Lp con los otros tipos de convergencia que conocemos,vamos a usar la siguiente generalización de la desigualdad de Chebyshev que ya vimos (yque correspond́ıa al caso p = 1):

Proposición 3.11. (Desigualdad de Chebyshev) Sea 1 ≤ p < ∞, f ∈ Lp(E) y δ > 0.Entonces

m(E(|f | > δ)) ≤ 1δp‖f‖pp

Demostración. Si A = E(|f | > δ), entonces

‖f‖pp =∫E|f |p dx ≥

∫A|f |p dx ≥

∫Aδp dx = δpm(A)

y dividiendo por δp tenemos el resultado.

Corolario 3.12. Si 1 ≤ p ≤ ∞ y (fn) es una sucesión de Cauchy en Lp(E), entonces (fn)es de Cauchy en medida en E. Por lo tanto, existen una subsucesión (fnk) y una función

finita f tal que fnk → f en casi todo punto de E. Además fnm−→ f en E.

Demostración. Sea δ > 0. Tenemos que probar que ĺımm,n→∞m(E(|fn − fm| ≥ δ)) = 0.Si p = ∞, la demostración es inmediata, ya que por hipótesis existe n0 tal que ‖fn −

fm‖∞ < δ para todo n,m ≥ n0. Pero entonces |fn(x)−fm(x)| ≤ ‖fn−fm‖∞ < δ para casitodo x ∈ E (si n,m ≥ n0), o sea que

ĺımm,n→∞

m(E(|fn − fm| ≥ δ)) = 0

Si 1 ≤ p 0 existe n0 tal que si n,m ≥ n0,entonces

‖fn − fm‖p < δ ε1p

Entonces, por la desigualdad de Chebyshev, si n ≥ n0,

m(E(|fn − fm| ≥ δ)) ≤1

δp‖fn − fm‖pp <

1

δpδp ε = ε

lo que prueba que (fn) es de Cauchy en medida. Que esto implica el resto del enunciadoya lo hab́ıamos probado cuando estudiamos los distintos tipos de convergencia.

Observación 3.13. Por el corolario anterior, si una sucesión (fn) converge a f en Lp,

entonces fnm−→ f . La rećıproca no es cierta, pero vale una rećıproca parcial pidiendo la

hipótesis adicional |fn| ≤ g para todo n ∈ N y alguna g ∈ Lp. Lo dejo para que lo escribanustedes (los ejercicios 2 y 12 de la gúıa 4 son el caso p = 1 de este resultado).

Volviendo al problema de probar desigualdades que impliquen propiedades importantesde los espacios Lp, vamos a probar la desigualdad triangular que nos falta:

Teorema 3.14. (Desigualdad de Minkowski) Si 1 ≤ p ≤ ∞, ‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p.

Demostración. Si p =∞, ya probamos esto en el Teorema 3.1.Si p = 1, es claro que ∫

E|f + g| dx ≤

∫E|f | dx+

∫E|g| dx

Supongamos ahora que 1 < p

2. ‖α · f‖p = |α| · ‖f‖p para todo α ∈ C: esta cuenta la hicimos en el Teorema 3.1.

3. ‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p: es la desigualdad de Minkowski.

Ahora nos falta probar que Lp con la norma ‖ · ‖p es completo, es decir, que si (fn) ⊂Lp(E) es tal que ĺımn,m→∞ ‖fn−fm‖p = 0, entonces existe f ∈ Lp(E) tal que ĺımn→∞ ‖fn−f‖p = 0.

Caso 1 ≤ p 0 existe n0 tal que ‖fnk −fn‖ < ε

1p

si n, k ≥ n0. Entonces para todo n ≥ n0

ĺım infk→∞

‖fnk − fn‖pp < ε

y, por lo anterior,‖f − fn‖p < ε

lo que significa que fn converge a f en Lp. Además, vale que f ∈ Lp(E) ya que

‖f‖p ≤ ‖f − fn0‖p︸ ︷︷ ︸

Si x ∈ E − Z, como |fn(x) − fm(x)| ≤ ‖fn − fm‖∞ entonces tenemos que (fn(x))nes una sucesión unifomemente de Cauchy en C. Por lo tanto, usando que C es completo,existe f tal que ĺımn→∞ fn(x) = f(x) uniformemente en E − Z.

Como |fn(x)−f(x)| < ε para todo n ≥ n0 y para todo x ∈ E−Z, entonces ‖fn−f‖∞ < εpara todo n ≥ n0, es decir que fn converge a f en L∞(E). Además

‖f‖∞ ≤ ‖f − fn0‖∞ + ‖fn0‖∞ t}).

Proposición 4.2. Si 1 ≤ p t} dx dt

=

∫Rn

∫ ∞0

p tp−1χ{x∈E:|f(x)|>t} dt dx

=

∫E

∫ |f(x)|0

p tp−1 dt dx

=

∫E|f(x)|p dx.

Teorema 4.3. Si f toma valores reales, 1 ≤ p ≤ ∞ y 1p +1p′ = 1, entonces

‖f‖p = sup‖g‖p′≤1

∫Efg dx

donde el supremo se toma sobre todas las funciones g con valores reales tales que ‖g‖p′ = 1y la integral de la derecha existe.

Demostración. Por la desigualdad de Hölder,∫Efg dx ≤ ‖f‖p‖g‖p′ ,

aśı que es inmediato que

sup‖g‖p′≤1

∫Efg dx ≤ ‖f‖p

Nos falta ver la desigualdad opuesta. Observemos que si ‖f‖p = 0 entonces f = 0 encasi todo punto de E, y la desigualdad es trivial. Entonces sólo tenemos que ver que ladesigualdad vale en los casos 0 < ‖f‖p

como queŕıamos.Si ‖f‖p =∞, supongamos primero que f ≥ 0 y definamos una sucesión (fk) poniendo

fk(x) =

{0 si |x| > kmı́n(f(x), k) si |x| ≤ k

Estas funciones están en Lp y, por convergencia monótona, ĺımk→∞ ‖fk‖p = ‖f‖p = ∞.Además, por lo que acabamos de probar, para cada fk existe gk tal que ‖gk‖p′ = 1 y∫

Efk gk dx = ‖fk‖p →∞

Pero, f ≥ fk para todo k, aśı que∫E fgk dx ≥

∫E fk gk dx y, por lo tanto

sup‖g‖p′=1

∫Efg dx =∞ = ‖f‖p

Si f ahora es cualquiera, podemos aplicar el resultado anterior a |f | y tenemos unasucesión (gk) con ‖gk‖p′ = 1 tales que

‖f‖p = ĺımk→∞

∫E|f | gk dx = ĺım

k→∞

∫Efg̃k dx

tomando g̃k = gk sg(f). Como también ‖g̃k‖p′ = 1, tenemos lo que queremos.

Caso p =∞:Si m(E) > 0 (sino el resultado es trivial), por definición de la norma infinito, dado

ε > 0 existe A ⊂ E tal que 0 < m(A) ‖f‖∞ − ε si x ∈ A. Si definimos

g(x) = sg(f(x))χA(x)

m(A),

entonces ‖g‖1 = 1 (porque excluimos el caso f = 0 en casi todo punto) y∫Efg dx =

∫E|f |χA(x)

m(A)dx =

1

m(A)

∫A|f | dx > 1

m(A)

∫A

(‖f‖∞ − ε) dx = ‖f‖∞ − ε

Entonces, se sigue que

sup‖g‖1≤1

∫Efg dx ≥ ‖f‖∞

como queŕıamos.

Observación 4.4. Si la función toma valores complejos, vale un resultado análogo, que es

‖f‖p = sup‖g‖p′≤1

∫Efḡ dx

donde ḡ(x) = g(x) es el conjugado complejo de g(x).

5. Clases de funciones densas en Lp(Rn)

Como las funciones de Lp pueden ser bastante irregulares, es importante encontrarclases de funciones densas. Aśı, cuando querramos probar alguna propiedad para funcionesde Lp, vamos a poder asumir, gracias a la densidad, que en realidad de trata de una funciónmejor en algún sentido (por ejemplo, continua).

Teorema 5.1. Si 1 ≤ p < ∞ y f ∈ Lp(Rn), dado ε > 0 existe ϕ simple (también en Lp)tal que ‖ϕ−f‖p < ε. Es decir, las funciones simples de Lp son densas en Lp si 1 ≤ p

Observación 5.2. Cuando p = ∞, también es cierto que las funciones simples acotadasson densas en L∞(Rn), les dejo para que piensen por qué.

Teorema 5.3. Si 1 ≤ p < ∞ y f ∈ Lp(Rn), dado ε > 0 existe ϕ continua tal que‖ϕ− f‖p < ε. Es decir, la clase C de funciones continuas es densa en Lp si 1 ≤ p

tenemos que ∫Rn|ϕ|p dx =

N∑i=1

|ci|pm(Ei)

y, como g ∈ Lp, |g|p ∈ L1, aśı que es una mayorante integrable para |g − gk|p. Por conver-gencia mayorada, tenemos entonces que

ĺımk→∞

‖g − gk‖pp = ĺımk→∞

∫Rn|g(1− ψk)|p dx =

∫Rn

ĺımk→∞

|g(1− ψk)|p dx = 0

ya que ĺımk→∞ ψk = 1.Entonces, existe k0 tal que ‖g − gk0‖p < ε2 para todo k ≥ k0. En definitiva, gk0 es una

función continua de soporte compacto y

‖f − gk0‖p ≤ ‖f − g‖p + ‖g − gk0‖p <ε

2+ε

2= ε

lo que prueba que las funciones continuas de soporte compacto son densas en Lp.

Un ejemplo de cómo usar la densidad cuando queremos probar alguna propiedad es elsiguiente resultado:

Corolario 5.7. Si 1 ≤ p 0, seag ∈ C0 tal que ‖f − g‖p < ε.

Sean K = sop g = {x : g(x) 6= 0}, K1 = {x : d(x,K) ≤ 1}.Como nos interesa el ĺımite cuando h→ 0, podemos suponer que |h| < 1. Entonces∫

Rn|g(x+ h)− g(x)|p dx =

∫K1

|g(x+ h)− g(x)|p dx

Pero por ser g continua, es uniformemente continua en el compacto K1, aśı que, dado ε > 0,existe δ > 0 tal que si |h| < δ vale que |g(x+ h)− g(x)| < ε y entonces∫

K1

|g(x+ h)− g(x)|p dx < εpm(K1),

Como ε es arbitrario y m(K1) es una constante que sólo depende de g, tenemos que‖g(x+ h)− g(x)‖p → 0 cuando |h| → 0.

Entonces, por la desigualdad de Minkowski y la invariancia por translaciones de laintegral,

‖f(x+ h)− f(x)‖p ≤ ‖f(x+ h)− g(x+ h)‖p + ‖g(x+ h)− g(x)‖p + ‖g(x)− f(x)‖p= 2‖f(x)− g(x)‖p + ‖g(x+ h)− g(x)‖p< 2ε+ ‖g(x+ h)− g(x)‖p→ 0 si |h| → 0

Nos falta una clase importante de funciones densas en Lp, que son las funciones C∞0(que están en Lp). Pero este resultado lo vamos a desarrollar en la próxima sección.

6. La convolución en Lp

Ya vimos como consecuencia del Teorema de Fubini que ‖f ∗g‖1 ≤ ‖f‖1‖g‖1. Queremosahora estudiar el comportamiento de la convolución en Lp.

Teorema 6.1. Si 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ Lp(Rn) y g ∈ L1(Rn), entonces f ∗ g ∈ Lp(Rn) y

‖f ∗ g‖p ≤ ‖f‖p‖g‖1

Demostración. El caso p = 1 es el qua ya lo probamos. Veamos los demás.

Caso p =∞:Observen que

|(f ∗ g)(x)| ≤∫Rn|f(x− y)g(y)| dy ≤ ‖f‖∞

∫Rn|g(y)| dy = ‖f‖∞‖g‖1

aśı que se sigue que ‖f ∗ g‖∞ ≤ ‖f‖∞‖g‖1, como queŕıamos.

Caso 1 < p

En realidad, vale un resultado más general, les dejo algunas indicaciones para queustedes completen los detalles de la demostración, es similar a la anterior pero con algunascuentas más:

Teorema 6.2. (Desigualdad de Young para la convolución) Si 1 ≤ p, q ≤ ∞ y 1p +1q ≥ 1,

entonces para toda f ∈ Lp(Rn) y g ∈ Lq(Rn) vale que f ∗ g ∈ Lr(Rn) con1

r=

1

p+

1

q− 1

y, además,‖f ∗ g‖r ≤ ‖f‖p‖g‖q

Demostración. Observen que, por la relación entre p, q, r,:

si r =∞ debe ser q = p′, y la desigualdad a probar es ‖f ∗ g‖∞ ≤ ‖f‖p‖g‖p′

si p =∞ deben ser q = 1, r =∞, y la desigualdad a probar es ‖f ∗ g‖∞ ≤ ‖f‖∞‖g‖1

si q =∞ deben ser p = 1, r =∞, y la desigualdad a probar es ‖f ∗ g‖∞ ≤ ‖f‖1‖g‖∞Las 3 desigualdades anteriores salen directamente escribiendo |f ∗ g| ≤ |f | ∗ |g| y aplicandola desigualdad de Hölder a las funciones |f(x− y)| y |g(y)|.

Para el caso p, q, r < ∞, la demostración es similar a la del teorema anterior. La ideaes escribir

|(f ∗ g)(x)| ≤∫Rn|f(x− y)

pr g(y)

qr ||f(x− y)1−

pr ||g(y)1−

qr | dy

y usar la desigualdad de Hölder generalizada para 3 funciones, con exponentes r, p1, p2 conp1 =

1p −

1r , p2 =

1q −

1r .

Observación 6.3. Si fijamos K ∈ L1 y consideramos la transformación T (f) = f ∗ Kentonces, por el teorema anterior, T : Lp → Lp. Un operador de este tipo se llama operadorde convolución con núcleo K.

Ahora vamos a considerar una familia particular de núcleos:

Definición 6.4. Dada una función K : Rn → R y ε > 0 notamos

Kε(x) =1

εnK(xε

)Por ejemplo si K = χB con B = B(0, 1), entonces

Kε(x) =

{ε−n si |x| < ε0 si |x| ≥ ε

o sea Kε = ε−nχBε donde Bε = B(0, ε). Observen que a medida que achicamos ε, Kε es una

función con un pico más elevado y un soporte más chico. Lo mismo ocurre para cualquierK positiva, más precisamente, vale el siguiente resultado:

Proposición 6.5. Si K ∈ L1(Rn) y ε > 0 entonces

i) ∫RnKε(x)dx =

∫RnK(x)dx

ii) Para cada δ > 0 fijo,

ĺımε→0

∫|x|>δ

|Kε(x)| dx = 0

Demostración. Para probar i) hacemos cambio de variable y = x/ε y tenemos∫RnKε(x) dx =

∫Rn

1

εnK(xε

)dx =

∫RnK(y) dy

Para probar ii) fijamos δ > 0 y hacemos el mismo cambio de variable, entonces∫|x|>δ

|Kε(x)| dx =∫|x|>δ

1

εn

∣∣∣K (xε

)∣∣∣ dx = ∫|y|>δ/ε

|K(y)| dx

Pero δ/ε → +∞ cuando ε → 0, y como K ∈ L1(Rn) la última integral tiende a cero amedida que ε→ 0.

Lo que queremos probar es que (f ∗Kε)(x)→ f(x) en Lp ε→ 0.Una familia núcleos {Kε : ε > 0} para la cual f ∗Kε → f (en algún sentido) se llama

una aproximación de la identidad. Recuerden que probamos que la convolución no tieneelemento neutro en L1, aśı que las aproximaciones de la identidad funcionan como unasuerte de reemplazo, pero además veremos que f ∗Kε es una función “mejor” que f (enalgún sentido, dependiendo de las hipótesis en K).

Teorema 6.6. Sea fε = f ∗Kε donde K ∈ L1(Rn) y∫Rn K(x) dx = 1. Si f ∈ L

p(Rn) con1 ≤ p

Por lo tanto,

|fε(x)− f(x)| =∣∣∣∣∫

Rnf(x− y)Kε(y) dy −

∫Rnf(x)Kε(y) dy

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫Rn

[f(x− y)− f(x)]Kε(y) dy∣∣∣∣

≤∫Rn|f(x− y)− f(x)| |Kε(y)| dy

≤∫Rn|f(x− y)− f(x)| |Kε(y)| dy

=

∫Rn|f(x− y)− f(x)| |Kε(y)|

1p |Kε(y)|

1p′ dy (usando que 1 =

1

p+

1

p′)

Por la desigualdad de Hölder, llegamos entonces a

|fε(x)− f(x)| ≤(∫

Rn|f(x− y)− f(x)|p |Kε(y)| dy

) 1p(∫

Rn|Kε(y)| dy

) 1p′

Ahora elevamos a la p e integramos, nos queda∫Rn|fε(x)− f(x)|p dx

≤∫Rn

{∫Rn|f(x− y)− f(x)|p |Kε(y)| dy

}{∫Rn|Kε(y)| dy

} pp′

dx

= ‖K‖pp′1

∫Rn

∫Rn|f(x− y)− f(x)|p |Kε(y)| dy dx

Por el teorema de Fubini-Tonelli tenemos entonces

‖f − fε‖pp ≤ ‖K‖pp′1

∫Rn

∫Rn|f(x− y)− f(x)|p |Kε(y)| dx dy

= ‖K‖pp′1

∫Rn|Kε(y)|

∫Rn|f(x− y)− f(x)|p dx dy

Llamando φ(y) =∫Rn |f(x− y)− f(x)|

p dx = ‖f(x− y)− f(x)‖pp tenemos

‖f − fε‖pp ≤ ‖K‖pp′1

∫Rn|Kε(y)|φ(y) dy

Para δ > 0 escribimos

Iε =

∫Rn|Kε(y)| φ(y) dy = Aε,δ +Bε,δ

con

Aε,δ =

∫|y| 0, podemos elegir δ > 0para que φ(y) < η si |y| < δ. Entonces

Aε,δ ≤ η∫|y| 0. Por otro lado, por la desigualdad de Minkowski y la invariancia portranslaciones de la integral,

φ(t)1p = ‖f(x− y)− f(x)‖p ≤ ‖f(x− y)‖p + ‖f(x)‖p = 2 ‖f‖p

aśı que ‖φ‖∞ ≤ 2‖f‖pp = C. Entonces

Bε,δ =

∫|y|≥δ

|Kε(y)| φ(y) dy ≤ C∫|y|≥δ

|Kε(y)| dy → 0

cuando ε→ 0. Por lo tanto, Iε → 0 cuando ε→ 0 y esto prueba el teorema.

Una propiedad importante de la convolución (pero que no voy a probar) es que siK ∈ C∞, entonces K ∗ f ∈ C∞ y, en ese sentido, decimos que la convolución “suaviza”funciones. Si asumimos este resultado (la demostración está, por ejemplo, en el libro deWheeden y Zygmund), podemos probar lo siguiente.

Corolario 6.7. Para 1 ≤ p 0 podemos escribir f = g + h donde g tiene soportecompacto y ‖h‖p < η. En efecto, como C0 es densa en Lp, basta tomar g ∈ C0 tal que‖f − g‖p < η y definir h = f − g.

Si elegimos un núcleo K ∈ C∞0 tal que∫Rn K(x) dx = 1 y llamamos gε = g ∗ Kε,

entonces gε ∈ C∞0 (Rn) y ‖g − gε‖p → 0 cuando ε→ 0 por los resultados anteriores.Entonces, si ε tal que ‖g − gε‖p < η, tenemos que

‖f − gε‖p ≤ ‖h‖p + ‖g − gε‖p < 2η

lo que prueba el corolario.

El siguiente resultado es un sustituto del teorema anterior para el caso p =∞

Teorema 6.8. Sea fε = f ∗ Kε donde f ∈ L∞(Rn), K ∈ L1(Rn) y∫Rn K(x)dx = 1,

entonces fε → f en cada punto de continuidad de f cuando ε→ 0

Demostración. Al igual que al inicio de la demostración del teorema anterior escribimos

|fε(x)− f(x)| ≤∫Rn|f(x− y)− f(x)| |Kε(y)| dy

Si f es continua en x, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si |y| < δ entonces |f(x − y) −f(x)| < ε. Por lo tanto

|fε(x)− f(x)| =

(∫|y|≥δ

+

∫|y|