Aluno: Nicolás Zumelzu C.

Espaços de Baire

René-Louis Baire

1874 − 1932

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas, un espacio deBaire es un espacio topológico que, hablando intuitivamente es muy grandey tiene suficientes puntos para un cierto proceso limite. Fue nombrado así enhonor a René-Louis Baire quien introdujo el concepto.

En un espacio topológico se puede pensar en conjuntos cerrados con in-terior vazio como puntos en el espacio. Ignorando los espacios con puntosaislados, que son su propio interior, un espacio de Baire es grande en el sen-tido que no puede ser construido como una união numerable de estos puntos.Un ejemplo concreto es un plano bidimensional con una colecção enumerablede líneas. Sin importar que líneas escojamos, no podemos cubrir el espaciocompletamente con las líneas. ver [?]

El ser un espacio de Baire es una propiedad topológica y como tal se preserva por homeomor-fismos.

Definição 1 (Espaços de Baire) Dizemos que um conjunto X é um espaço de Baire se satisfaza seguinte condição:

dada {Fi}i∈N de fechados de X, com◦F i = φ, ∀i ∈ N, também seu

◦( ⋃i∈N

Fi

)= φ em X.

Exemplo 1 Segue-se imediatamente da definição que se X é um espaço de Baire e X =⋃i∈N{Fi}

onde cada Fi é fechado em X, então pelo menos um dos Fi contém um aberto não-vazio, ou seja,◦Fi 6= φ para algum i ∈ N.

Exemplo 2 O espaço Q dos números racionais não é um espaço de Baire. Os conjuntos quepossuem apenas um único elemento de Q são fechados e possuem interior vazio em Q; além disso,Q é a união enumerável de seus subconjuntos unitários.

Por outro lado, o espaço Z+, é um espaço de Baire. Todo subconjunto de Z+ é aberto, porquenão existem subconjuntos de Z+ com interior vazio, exceto o conjunto vazio. Assim, Z+ satisfaztrivialmente a condição de Baire.

Em geral, qualquer subespaço fechado de R, ao ser um espaço métrico completo, é um espaçode Baire. Veja que os números irracionais de R também constituem um espaço de Baire.

Definição 2 (Primera Categoria Fδ.) Seja (X, T ) um espaço topológico. Diremos que C ⊂ X é

conjunto Fδ se C ⊂⋃i∈N

{Ci : X − Ci ∈ T ,

◦Ci = φ

}, ou seja, se C ta contido na união enumerável

de conjuntos fechados com interior vazio.

Definição 3 (Segunda Categoria Gδ.) Seja (X, T ) um espaço topológico. Diremos que A ⊂ Xé conjunto Gδ se A =

⋂i∈N{Ai : Ai ∈ T }, ou seja, se A for formado pela intersecção de conjuntos

abertos.

Espaços de Baire Feito em LATEX Página 1

Observação 1 La terminología proviene del Alemán. La G viene de Gebit, que significa conjuntoabierto, y la δ de Durchschnitt, que significa intersección.

Definição 4 (Conjunto Denso) Um subconjunto A do espaço X é dito denso em X se A = X.

Teorema 1 Um espaço X é um espaço de Baire se, e somente se, todo conjunto aberto não vaziode X é de segunda categoria.

Demonstração: Com efeito, un conjunto F tem interior vazio se, e somente se, X − F é denso.

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Lema 1 X é um espaço de Baire se, e somente se, dada qualquer família enumerável {Un} deconjuntos abertos em X, cada um dos quais são densos em X, sua intersecção

⋂Un é também um

conjunto denso em X.

Demonstração: Recordemos que um conjunto C é denso em X se C = X. O resultado é entãouma consequência dos seguintes fatos:

(1) A é fechado em X se, e somente se, X −A é aberto em X.

(2) B tem interior vazio em X se, e somente se, X −B é denso em X.

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Lema 2 Seja ... ⊂ C2 ⊂ C1 uma sequência encaixada de conjuntos não vazios em um espaçométrico completo X. Se diâm Cn −→ 0 então

⋂Cn 6= φ.

Demonstração: Para cada n escolhamos um ponto xn em Cn. Como xn, xm ∈ Cn, para n,m >N , e o diâmetro de Cn pode ser menor que qualquer ε dado a fim de escolher um N suficientementegrande, a sequência (xn) é uma sequência de Cauchy. Suponhamos que converge a um ponto x.Então dado k, a subsequência xk, xk+1, ... também converge a x. Por tanto, necesariamente secumpre que x pertence a Ck = Ck e, em consequência, x ∈

⋂Ck, como queríamos mostrar.

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Definição 5 (Sequência de Cauchy) Uma Sequência (xn)n∈N é dita Sequência Cauchy se ∀ε >0 existe um N ∈ N tal que ‖xn − xm‖ < ε, para todo n, m ≥ N .

Definição 6 (Espaço métrico completo) O espaço metrico é dito completo se toda sequênciade Cauchy é convergente.

Exemplo 3 Um exemplo de um espaço métrico que não é completo, é o espaço Q com a metricad(x, y) = |x− y|., pois veja que se

1, 4, 1, 41, 1, 414, 1, 4142, 1, 41421, ...

de números con una cantidad finita de decimales, que converge em R a√2, é uma sequência de

cauchy en Q que não converge em Q.

Exemplo 4 Em Q2 com a norma usual. A sequência definida por xn =((1 + 1

n

)n, 1n

)é de Cauchy

pero não converge em Q2.

Definição 7 (Regularidade) Supongamos que los conjuntos unipuntuales son cerrados en X.Entonces se dice que X é regular si para cada par formado por un punto x y un conjunto B queno contiene a x, existen conjuntos abiertos disjuntos que contienen a x y B respectivamente.

Definição 8 (Normal) El espaço X é dito Normal si para cada par A, B de conjuntos cerradosdisjuntos de X, existen conjuntos abiertos disjuntos de contienen A y B, respectivamente.

Teorema 2 (Teorema da categoria de Baire) Se X é um espaço de Hausdorff Compacto ouum espaço Métrico Completo então X é um espaço de Baire.

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Demonstração: Dada {Ai}i∈N de fechados em X com interiores vazio, queremos provar que suaunião

⋃An também possui interior vazio em X. Assim, dado um conjunto aberto no vazio U0 de

X, devemos encontrar um ponto x de U0 que não pertença a nenhum dos conjuntos An.Consideremos o primeiro conjunto A1. Por hipótese, A1 não contém U0. Por tanto, podemos

escolher um ponto y de U0 que não pertençe a A1. A regularidade de X juntamente com o fato deque A1 seja fechado, nos permite escolher uma vizinhança U1 de y tal que

U1 ∩A1 = φ , com U1 ⊂ U0.

Se X é um espaço métrico, escolhemos U1 tal que seu diâmetro seja menor que 1.Em geral, dado um conjunto aberto não vazio Un−1, escolhemos um ponto de Un−1 que não

pertence ao conjunto fechado An e então escolhemos uma vizinhança Un deste ponto verificando:

a) Un ∩An = φ, com Un ⊂ Un−1,

b) diâm Un <1

nno caso métrico.

Afirmamos que a intersecção⋂Un é não vazia, donde se conclui o teorema, veja Lema 1. Com

efeito, se consideramos um ponto x de⋂Un, então x pertence a U0 ja que U1 ⊂ U0. Além disso,

para cada n o ponto x não pertence a An, ja que Un e An são conjuntos disjuntos.A prova de que a intersecção

⋂Un é não vazia se dá em duas partes, dependendo de que X seja

um espaço de Hausdorff compacto ou um espaço métrico completo. Se X é um espaço de Hausdorffcompacto, consideramos a sequência encaixada ... ⊂ U2 ⊂ U1 de subconjuntos não vazios de X. Afamília {Un} tem a propriedade da intersecção finita; como X é compacto,

⋂Un 6= φ.

Se X é um espaço métrico completo, então aplicamos o seguinte Lema 3.

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Observação 2 Ser um espaço de Baire é uma propriedade topológica, logo, a proposição acimasignifica que todo espaço topológico homeomorfo a um espaço métrico completo é um espaço deBaire.

Observação 3 Resulta do Teorema de Baire que todo espaço métrico completoM contendo apenasuma quantidade enumerável de pontos deve possuir um ponto isolado. Do contrário M seria magro

em si mesmo e, pelo Teorema de Baire,◦M = φ, o que é absurdo. Na realidade, M deve possuir

uma infinidade de pontos isolados pois se x1 ∈M é isolado, M −{x1} é fechado em M e portantoé um espaço métrico enumerável. Logo, existe um ponto isolado x2 ∈M−{x1}, e assim por diante.

Exemplo 5 Em particular, todo subconjunto fechado enumerável do espaço euclidiano Rn possuiuma infinidade de pontos isolados. Ainda em consequência, a topologia natural do conjunto Q dosnúmeros racionais não pode ser definida por uma métrica em relação à qual Q seja completo. OTeorema de Baire proporciona também uma demonstração de que o conjunto dos números reaisnão é enumerável, por ser um espaço métrico completo sem pontos isolados.

Exemplo 6 O conjunto de Cantor K é um subespaço fechado da reta, logo, é um espaço métricocompleto e portanto um espaço de Baire. Mostraremos agora que K não possui pontos isolados e,em consequência, concluiremos que K não é enumerável. Inicialmente observamos que se, numadas etapas da construção de K, o intervalo (a, b) é um dos terços médios omitidos, os seus extremosa, b nunca mais serão omitidos e portanto pertencem a K. Com efeito, em qualquer etapa somentesão retirados pontos interiores dos intervalos que sobraram da etapa anterior. Consideremos, porexemplo, o extremo a de um terça) médio omitido (a, b). Embora exista um intervalo semi-aberto[a, b) tal que [a, b) ∩ K = {a}, qualquer intervalo (a − ε, a] contém infinitos pontos de K. Comefeito, na ocasião em que (a, b) foi omitido, restou um certo intervalo [c, a]. Nas etapas posterioresda construção de K, restarão sempre terços finais de intervalo, do tipo [cn, a], com cn ∈ K, comoobservamos acima. O comprimento cn − a tende para 0, logo, cn − a e assim a não é pontoisolado de K. Suponhamos, em seguida, que x ∈ K não seja extremo de um intervalo omitidodurante a construção de K. (Não sabemos, a esta altura, se tais pontos existem realmente em K.

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Entretanto, como foi omitida apenas uma infinidade enumerável de intervalos, os pontos extremosde intervalos omitidos formam um subconjunto enumerável de K. Resultará então desta discussãoque os demais pontos, não somente existem, como formam um conjunto não enumerável, e mesmoum espaço de Baire.) Afirmamos que, dado qualquer ε > 0, existem pontos de K em ambos osintervalos (x− ε, x) e (x, x+ ε). Tomemos (x, x+ ε), por exemplo. Se (x, x+ ε) ∩K fosse vazio,então o intervalo (x, x + ε) teria sido omitido durante a construção de K. Na primeira vez emque uma parte de (x, x+ ε) fosse omitida, nada mais restaria desse intervalo pois os extremos dointervalo omitido pertenceriam a K e portanto não seriam omitidos em etapas posteriores. Comox permaneceu, segue-se que o intervalo omitido foi do tipo (x, b). Mas isto contradiz a hipótesefeita sobre x e portanto a discussão está encerrada.

Lema 3 Todo subespaço aberto Y de um espaço de Baire X é um espaço de Baire.

Demonstração: Seja An uma família enumerável de conjuntos fechados de Y que têm interioresvazios em Y . Provaremos que a união

⋃An também tem interior vazio em Y .

Seja An o fecho de An em X, de modo que An ∩ Y = An. O conjunto An tem interior vazioem X. Com efeito, se U é um conjunto não vazio aberto em X e contido em An, então U deveintersectar An. Portanto, U ∩ Y é um conjunto não vazio aberto em Y contido em An, o quecontradiz a hipótese.

Se a união dos conjuntos An contém o conjunto não vazio W aberto em Y , então a união dosconjuntos An também contém o conjunto W , que é aberto em X porque Y é aberto em X. Mascada conjunto An tem interior vazio em X, o que contradiz o fato de que X seja um espaço deBaire.

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Exemplo 7 Lembre o exemplo 1 e fazendo uso do Lema 3 nos permite afirmar, mais exatamente,

que se X =⋃Fn onde cada Fn é fechado então A =

⋃ ◦Fn é um aberto denso em X. Com efeito,

seja U um aberto não-vazio qualquer em X. Temos U =⋃(U ∩ Fn) onde cada U ∩ Fn é fechado

em U . Sendo U um espaço de Baire, existirá algum n tal que◦

(U ∩ Fn) = U ∩◦Fn 6= φ. Isto mostra

que U ∪(⋃ ◦

Fn

)6= φ, donde

⋃ ◦Fn é denso em X. Completando o Exemplo 5, podemos então

acrescentar que todo espaço de Baire enumerável possui um subconjunto discreto denso.

Teorema 3 Seja X um espaço e seja (Y, d) um espaço métrico. Seja fn : X −→ Y uma sequênciade funções contínuas tais que fn(x) −→ f(x) para todo x ∈ X, donde f : X −→ Y . Se X é umespaço de Baire, o conjunto de pontos de continuidade de f é um subconjunto denso em X.

Demonstração: Dado um inteiro positivo N e também um número ε > 0, definimos o conjunto

AN (ε) = {x : d(fn(x), fm(x)) ≤ ε, ∀n,m > N}.

Observemos que AN (ε) é fechado em X. Isto é consequência do fato de que o conjunto de pontosx para os quais d(fn(x), fm(x)) ≤ ε é fechado em X, pela continuidade das funções fn e fm, eAN (ε) é a intersecção destes conjuntos para,n,m > N .

Para um número ε fixo, escolhamos os conjuntos A1(ε) ⊂ A2(ε) ⊂ ... A união destes conjuntosé todo o conjunto X. Com efeito, dado um ponto x0 ∈ X, o fato de que fn(x0) −→ f(x0) implicaque a sequência fn(x0) seja uma sequência de Cauchy e, como consequência, x0 ∈ AN (ε) paraalgum N .

Definamos o conjunto

U(ε) =⋃

N∈Z+

◦AN (ε).

Vamos a provar duas coisas:

(1) U(ε) é um conjunto aberto e denso em X.

(2) A função f é contínua nos pontos do conjunto

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C = U(1) ∩ U(1/2) ∩ U(1/3) ∩ ...

Feito isto, segue-se que X é u espaço de Baire.Para provar que U(ε) é denso em X, é suficiente provar que para qualquer conjunto V não

vazio e aberto em X existe um número N tal que o conjunto V ∩◦AN (ε) é não vazio. Com este

objetivo em mente, notemos primeiro que, para cada N , o conjunto V ∩ AN (ε) é fechado em V .Como V é um espaço de Baire pelo Lema 3, ao menos um destes conjuntos, digamos V ∩ AM (ε),deve conter um conjunto W não vazio e aberto em V . Como V é aberto em X, o conjunto W é

também aberto em X e, portanto, está contido em◦AM (ε).

Agora provaremos que se x0 ∈ C então f é contínua em x0. Dado ε > 0 encontraremos umavizinhança W de x0 tal que d(f(x), f(x0)) < ε para x ∈W .

Em primeiro lugar, escolhamos um inteiro k tal que1

k<

ε

3. Como x0 ∈ C tem-se que x0 ∈

U(1/k) pois, existe um número N tal que x ∈◦AN (1/k). Finalmente, a continuidade da função fN

nos permite escolher uma vizinhança W de x0, contido em AN (1/k), tal que

d(f(x), fN (x0)) <ε

3, para x ∈W. (1)

Como W ⊂ AN (1/k) então tem-se:

d(fn(x), fN (x)) ≤ 1

kpara n ≥ N y x ∈W.

com n −→∞ obtemos a desigualdade

d(f(x), fN (x)) ≤ 1

k<ε

3, para x ∈W. (2)

Em particular, como x0 ∈W , temos

d(f(x0), fN (x0)) <ε

3. (3)

Aplicando a desigualdade triangular a (1), (2) e (3) se deduz o resultado.

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