Unidad 5

1

Espacio Vectorial de las Matrices

Consideremos el conjunto mn de las matrices de orden m n , es decir, :mn ij ijA a a con

cuerpo, las matrices , mnA B y .

Con las operaciones suma y producto definidas por:

A B C donde ijC c es de orden m n tal que ij ij ijc a b para todo 1,...,i m y para todo 1,...,j n .

A B de orden m n , tal que ij ijb a para todo 1,...,i m y para todo 1,...,j n .

Teorema 57: La cuaterna , , ,mn es un espacio vectorial sobre , que indicaremos simplemente mn .

Teorema 58: La dimensión de mn es m n .

Corolario 1: El conjunto n de todas las matrices cuadradas de orden n es un espacio vectorial sobre de

dimensión 2n .

Algunos subespacios especiales de n

Consideremos el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de orden n sobre el cuerpo y los siguientes

subconjuntos:

(1) El conjunto de las matrices triangulares superiores (inferiores) de orden n , es un subespacio de n de

dimensión igual a 1

2

n n .

(2) El conjunto de las matrices diagonales de orden n , es un subespacio de n de dimensión igual a n .

(3) El conjunto de las matrices escalares de orden n , es un subespacio de n de dimensión igual a 1.

(4) El conjunto n S de las matrices simétricas de orden n , es un subespacio de n de dimensión igual a

12

n n .

(5) El conjunto n A de las matrices antisimétricas de orden n , es un subespacio de n de dimensión igual

a 1

2

n n .

Subespacio fila y columna de una matriz

En el espacio vectorial , , ,n consideremos la matriz: 11 12 1 1

21 22 2 21 2

1 2

n

nn

m m mn m

a a a F

a a a FA C C C

a a a F

Todas las iF pueden interpretarse como vectores de n , habrán m vectores:

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

n

n

m m m mn

F a a a

F a a a

F a a a

Las columnas jC pueden interpretarse como vectores de m , habrán n vectores:

11 12 1

21 22 21 2

1 2

n

nn

m m mn

a a a

a a aC C C

a a a

Vamos a llamar:

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1 2, , , mS F F F el subespacio de m generado por los vectores filas de A ( subespacio fila).

1 2, , , nS C C C el subespacio de n generado por los vectores columnas de A ( subespacio columna).

Teorema fundamental de matrices: Toda matriz mnA verifica que el subespacio fila y el subespacio columna

poseen la misma dimensión. (Lo cual expresa que en una matriz hay el mismo número de filas y de columnas

linealmente independientes).

Rango: Rango o característica de una matriz, es el número máximo de vectores filas (vectores columnas) linealmente

independientes. También rango o característica de una matriz es la dimensión del subespacio fila o del subespacio

columna.

Matriz regular: Una matriz A se dice regular o no singular si todas sus filas son linealmente independientes y todas

sus columnas son linealmente independientes.

Nota: Solo las matrices cuadradas pueden ser regulares. No toda matriz cuadrada es regular.

Simbolizaremos el conjunto de las matrices regulares de orden n con n R .

Inversión de una matriz cuadrada: En el anillo de las matrices cuadradas de orden n , dada una matriz A se llama

inversa de A , a la izquierda, a toda matriz G tal que G A I y se llama inversa de A , a la derecha, a toda matriz

D tal que A D I .

Teorema de la inversión de matrices: Toda matriz regular de orden n , admite una y sólo una matriz inversa a

izquierda G y admite una y sólo una matriz inversa a derecha D y G D .

Teorema 61: Si multiplicamos una matriz cualquiera A , de orden m n , por una matriz regular M a la izquierda

(derecha) el rango de la matriz producto es igual al rango de la matriz A .

Aplicaciones de matrices particionadas

Calculo de inversas

Si0

0

PA

R

es una matriz en bloques diagonal y ,P R son no singulares, entonces A es no singular

(regular) y1

11

0

0

PA

R

.

Si0

P QA

R

es una matriz en bloques triangular superior y ,P R son regulares, entonces A es regular y

1 1 11

10

P P QRA

R

.

Si0P

AQ R

es una matriz en bloques triangular inferior y ,P R son regulares, entonces A es regular y

11

1 1 1

0PA

R QP R

.

Grupo de matrices regulares de orden n

Teorema 62: El conjunto n R de las matrices cuadradas regulares de orden n , forman un grupo respecto al

producto matricial.

Esto es ,n R es un grupo no conmutativo.

Demostración:

(1) El producto de matrices es operación binaria interna. Es decir, si yA B son matrices regulares de orden n ,

entonces C A B es otra matriz regular de orden n .

Como A es regular, por teorema 61 Rang C Rang B n , luego C es regular.

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(2) Como en general el producto de matrices es asociativo, también lo será en este conjunto.

(3) La matriz identidad I pertenece al conjunto de matrices regulares y será I A A A I para todo A .

(4) Sea A regular, luego existe 1A tal que 1 1A A A A I

Como A es regular, por Teorema 61 1Rang A Rang I n . Por lo tanto 1A es regular.

Lema 8: Sean yA B matrices regulares del mismo orden, entonces se verifica: 1 1 1A B B A .

Lema 9: Sea A regular, entonces 11 T TA A .

Grupo de las matrices ortogonales

Definición 60: Una matriz regular A , de orden n es ortogonal si y sólo si 1 TA A .

Luego T TA A A A I .

Al conjunto de las matrices ortogonales lo simbolizaremos con n O .

Teorema 63: Una matriz regular de orden n es ortogonal si y sólo si sus n vectores filas forman un sistema

ortonormal de vectores de n .

Nota:

La matriz regular A de orden n es ortogonal sus n vectores filas 1 2, , , nF F F verifican ,i j ijF F .

Observación 15: En toda matriz ortogonal sus vectores columnas forman un sistema ortonormal de vectores de n .

Lema 10: La inversa de una matriz ortogonal es también ortogonal.

Lema 11: El producto de dos matrices ortogonales es también ortogonal.

Teorema 64: El conjunto n O de matrices ortogonales de orden n es un grupo multiplicativo no conmutativo.

En símbolos ,n O es un grupo no conmutativo.

Grupo de matrices unitarias

Definición 61: Una matriz regular A , sobre el cuerpo de los complejos se dice unitaria si y sólo si 1 TA A .

Indicaremos con n el conjunto de todas las matrices unitarias sobre el cuerpo de los .

Observación 16:

(1) Una matriz ortogonal real es unitaria.

(2) Una matriz unitaria es ortogonal si y solo si cada uno de sus elementos es real.

Nota:

(1) Si yA B son matrices unitarias entonces A B es también unitaria.

(2) Si A es una matriz unitaria, entonces 1A es unitaria.

Teorema 65: El conjunto n de las matrices unitarias de orden n es un grupo multiplicativo no conmutativo.

En símbolos ,n es un grupo no conmutativo.

Permutaciones

Permutar significa intuitivamente cambiar el orden de los elementos de un cierto conjunto.

Si el conjunto tuviese n elementos se podrían realizar !n permutaciones.

Se dice que en una permutación dada de n elementos, los números ,i j forman una inversión, si siendo i j , j esta

antes que i .

Una permutación se llama par si sus elementos forman un número par de inversiones y será impar en otro caso.

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Determinante de una matriz cuadrada

Definición 62: Determinante de una matriz cuadrada de orden n es la suma de sus !n términos.

Término de un determinante de una matriz cuadrada de orden n es el producto de n elementos de una matriz, uno

de cada fila y columna con el signo mas o menos según si sus subíndices forman una permutación par o impar.

Simbólicamente:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

1 21 2 1 2det , , , j

nn j j njA A j j a a a donde 1 2

1 si la permutación es par, , , j

-1 si la permutación es imparnj j

Propiedades de los determinantes:

(1) El determinante de una matriz A y el determinante de su traspuesta TA son iguales.

(2) Una condición necesaria y suficiente para que un determinante sea nulo, es que una línea sea combinación

lineal de otras paralelas, vale decir que el rango de la matriz no sea n . Luego:

(a) Una condición necesaria y suficiente para que una matriz sea regular es que su determinante sea distinto

de cero.

(b) Una condición necesaria y suficiente para que una matriz sea singular es que su determinante sea igual a

cero.

(3) Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos filas paralelas, el determinante conserva su valor absoluto,

pero cambia el signo (de aquí deducimos que el determinante de una matriz que tiene dos filas paralelas

iguales es cero).

(4) Si una matriz tiene una fila constituida por ceros, entonces su determinante es cero.

(5) El determinante de una matriz no varía si a una línea se le suma una combinación lineal de otras líneas

paralelas.

(6) Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz por un mismo número, el valor del

determinante queda multiplicado por el mismo número. En otras palabras “si en una matriz los elementos de

una línea están todos multiplicados por un mismo número, este puede extraerse factor común fuera del

determinante de la matriz”.

Ej: 15 20 3 4

5 5 9 4 251 3 1 3

(7) Si una matriz cuadrada tiene una fila como suma de p sumandos el determinante de la matriz es igual a la

suma de los p determinantes.

(8) El determinante del producto de matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes:

A B A B

(9) Los determinantes de las matrices inversas son inversos. 1 1A

A

(10)Cálculo de determinantes para cierta matrices particionadas en bloques:

Si 11 12

220

A AA

A

es una matriz en bloques y 11A es no singular (regular), 22A es una matriz cuadrada,

entonces 11 22A A A .

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5

Menores y Cofactores

Dada la matriz A , se llama menor correspondiente del elemento ija de A al determinante de la matriz que se obtiene

al eliminar en A la fila i y la columna j y se indica ijM .

Sea11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

11 1223

31 32

a aM

a a

Se llama cofactor del elemento ija de A a ( 1)i jij ijM .

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea

1 1 2 21

1 21 1 2 2

1 1 2 21

( 1) ( 1) ... ( 1)

n

i i i i in in ij ijj

i i i ni i i i in in

n

j j j j nj nj ij iji

A a a a a

a M a M a M

A a a a a