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$: Espacio recíproco en difracción de rayos Xdepa.fquim.unam.mx/~jesusht/de_espacio_reciproco.pdf · Red recíproca y condición de Laue. 2 ki ki kr kr d θ θ a a 1 2 a1 a * R * Espacio$
Espacio recíproco endifracción de rayos X

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luis r. mejıa mazariegos

Luis Mejıa Mazariegos

Departamento de Fısica y Quımica Teorica

Facultad de Quımica, UNAM.

Espacio recıproco. Seminario de doctorado. l.r.m.m. – p. 1/13

Ley de Bragg.

H

E

k


Ley de Bragg.

H

E

k k =2π

λ


Ley de Bragg.

H

E

k k =2π

λ

aa1 2

k ki r

kr

R

θ θ

d

1/k 1/l

ki


Ley de Bragg.

H

E

k k =2π

λ

aa1 2

k ki r

kr

R

θ θ

d

1/k 1/l

ki R =2∑

i=1

niai


Ley de Bragg.

H

E

k k =2π

λ

aa1 2

k ki r

kr

R

θ θ

d

1/k 1/l

ki R =2∑

i=1

niai

nλ = 2dsenθ


Red recíproca y condición de Laue.

2

k i

kikr

k r

d

θθ

aa1 2a1a

* *R


Red recíproca y condición de Laue.

aa1 2

k

k

ki

i

r

kr

R

θ θ

d

**a1 2a


Red recíproca y condición de Laue.k

k

ki

i

r

kr

θ θ

d

**a1 2a

ki

R

−kr G


Red recíproca y condición de Laue.k

k

ki

i

r

kr

θ θ

d

**a1 2a

ki

R

−kr G

G ·R = (ha∗1 + ka

∗2 + la∗3 ) · (ua1 + va2 + wa3 ) = N


Construcción de la base recíproca.

(a1 ,a2 ,a3 )←→ (a∗

1 ,a∗

2 ,a∗

3 ) (1)

a1

a

a3

2

a*3 a*

*1a

2

A = A1a1 + A2a2 + A3a3 (2)

El problema

A∗ = A∗

1a∗

1 + A∗

2a∗

2 + A∗

3a∗

3 (3)

donde{ai} y {a∗

k} no son ortonormales.


Espacio recíproco.

ai · a∗j =

{ 0 si i 6= j

1 si i = j

|ai||a∗

j |cos(ai,a∗

j ) = 1 y |a∗

j | =1

|ai|cos(ai,a∗

j )(4)

a1

a*3

2aa2

*

a3 θ

θ

a1*Espacio recıproco. Seminario de doctorado. l.r.m.m. – p. 5/13

{ai} ↔ {a∗j} .

a∗

1 = m(a2 × a3), y a∗

1 · a1 = 1 (5)

ma1 · (a2 × a3) = 1, y m =1

a1 · (a2 × a3)(6)

a∗

1 =a2 × a3

a1 · (a2 × a3)=

a2 × a3

V(7)

a∗

2 =a3 × a1

Vy a

∗

3 =a1 × a2

V(8)

a∗

i =aj × ak

Vy ai =

a∗

i × a∗

k

V′(9)

a1 · (a2 × a3) 6= 0


Espacio recíproco.

a1

a3

a1

a*3 a*

*

2

a2


Vector G.

a1

a3

a*3

*1a

a2

G

a*2


Vector G.

a1

a3

a*3

*1a

a2

G

a*2

Q

R

S


Indices de Miller .

Q( 1

h, 0, 0), R(0, 1

k, 0), R(0, 0, 1

l), dondeh, k y l son enteros.

−→QR(− 1

h, 1

k, 0) y

−→QS(− 1

h, 0, 1

l).

−→QR×

−→QS = Aper =

a1

lk+

a2

hl+

a1

hk(10)

Πhkl = Aper ·(

a1(x − 1/h) + a2(y) + a3(z ))

= 0

Πhkl = hx + ky + lz = 1 (11)


G es perpendicular aΠhkl.Está en el espacio recíproco con coeficientes enteros.

−→QR×

−→QS = G =

(

−1

ha1 +

1

ka2

)

×(1

ha1 +

1

la3

)

G = −1

hl(a1 × a3 )−

1

hk(a2 × a1 ) +

1

kl(a2 × a3) (12)

a1 × a2 = V a∗

3 , a2 × a3 = V a∗

1 , a3 × a1 = V a∗

2 (13)

G =1

hl(V a

∗

2) +1

hk(V a

∗

3) +1

kl(V × a

∗

1) (14)

G =V

hkl

(ha

∗

1 + ka∗

2 + la∗

3

)(15)


dhkl.dhkl =

a1

h· n =

a1

h·

G

|G|(16)

dhkl =a1

h·(ha

∗

1 + ka∗

2 + la∗

3

|G|

)

(17)

|G| =1

dhkl

(18)

a1

a3

a*3

*1a

a2

hklda*

2

G


Condición de Laue.

a*3

a*2

a*1

kf

a3ki

ki

a2

ki

kf

a1

G

R

−kr

G ·R = (ha∗

1 + ka∗

2 + la∗

3 ) · (ua1 + va2 + wa3 ) = N


Factor de estructura.

Rt = R + rj

Fcris(G) =∑

j

fj (G)eiG·rj

︸︷︷︸

celda unitaria

∑

R

eiG·R

︸︷︷︸

red cristalina

Referencias

1] J.Als-Nielsen y Des McMarrow. Elements of Modern X-Ray Physics.2001.John. Wiley and Sons. U. K.

2] J. J. Rosseau. Basic Crystallography.1998. John Wiley and Sons. U. K.

3] A. I. Borisenko y E. E. Tarapov. Vector and Tensor Analysis. Whit Applications.

1968. Dover. New York.

4] L. Mejia Mazariegos. Notas sobre la densidad electrónica y estructura

cristalina. 2006. y referencias citadas allí.Espacio recıproco. Seminario de doctorado. l.r.m.m. – p. 13/13

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