ESO1

J. C olera J iménez , I . Gaztelu Albero , R . C olera Cañas

MATEMÁTICAS

propuesta didáctica

SUMA piezaS

DEMO

Unidad

1. los números naturales ................................................. 10

Criterios de evaluacion y estándares de apredizaje del currículo de Andalucía ... 24

Suma Piezas y las claves del proyecto .......................... 4

Nuestra oferta para la etapa ................................................. 6

índice

demo

Un proyecto sustentado en el aprendizaje competencial y en el desarrollo

de compromisos del alumnado con la realidad de su tiempo

y construye tu aprendizaje.

SUMA piezaS

Suma Piezas propone un nuevo enfoque competencial, con el máximo rigor curricular y una secuenciación de contenidos coherente y coordinada entre todas las áreas a lo largo de la etapa. Favorece la competencia en comunicación lingüística, primordial para acceder al conocimiento que permite comprender el mundo que nos rodea y desarrollar habilidades de convivencia.

De manera flexible, Suma Piezas brinda la posibilidad de incorporar metodologías activas, utilizar estrategias cooperativas y de pensamiento, fomentar las habilidades personales y sociales para la gestión de las emociones y el desarrollo del emprendimiento y atender la orientación académica y profesional, apostando por la igualdad y la inclusión. Y todo ello, dentro del marco de los Objetivos de Desarrollo Sostenible, que han de ser nuestro horizonte en los próximos años.

Compromiso ods Los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) establecen el marco a partir del cual articular aprendizajes competenciales que refuercen en el alumnado su preparación hacia una ciudadanía comprometida.

Plan Lingüístico Contribuye al desarrollo de habilidades orales y escritas y al aprendizaje de los diferentes aspectos relacionados con el uso del lenguaje.

Desarrollo del pensamiento Las estrategias de pensamiento fomentan la competencia de aprender a aprender; contribuyen a que el alumnado tome conciencia de sus procesos mentales y a que actúe de forma reflexiva y crítica.

Aprendizaje cooperativo La aplicación de técnicas cooperativas favore-ce el aprendizaje e incrementa la participación y el sentido de responsabilidad del alumnado para generar capacidades de comunicación y cooperación.

Educación emocional Proporciona al alumnado pautas para la gestión emocional de sus situaciones de aprendizaje diarias, ayudándoles a que, a nivel intrapersonal, identifiquen y reconozcan las emociones, las regulen y las gestio-nen; y a nivel interpersonal, adquieran habilidades de relación con las personas.

Cultura emprendedora Promueve las distintas habilidades de emprendi-miento en sus tres dimensiones, personal, social y productiva, de manera trans-versal en todas las áreas a través de una secuencia progresiva de actividades a lo largo de toda la etapa.

TIC Integra el uso de las TIC como recurso para obtener información, seleccio-narla y utilizarla con una finalidad concreta, desarrollar la ciudadanía digital y las competencias de planificación, gestión y elaboración de trabajos, pasando a tener un uso para el aprendizaje y el conocimiento (TAC).

Orientación académica y profesional Facilita el desarrollo de habilida-des que le ayudarán a conocerse a sí mismo, a entender el entorno y a tomar decisiones académicas y profesionales que le permitan entrar en el mercado laboral y prosperar en él.

Evaluación Incorpora estrategias que permiten al alumnado participar en la evaluación de su aprendizaje analizando «qué ha aprendido» y «cómo ha aprendido», acompañando su análisis con el uso del portfolio y de otros instru-mentos que faciliten una valoración objetiva.

LAS CLAVES DEL PROYECTO

ODS

Los libros del alumnad

Los libros presentan los contenidos y las ac-tividades ajustados al desarrollo curricular de nuestra comunidad. Bajo una metodo-logía competencial, permiten responder de una manera creativa e innovadora a nuestro compromiso con los Objetivos de Desarro-llo Sostenible y posibilitan el crecimiento de las habilidades y las aptitudes que exige nuestra sociedad, cada vez más diversa.

Los libros se acompañan de la obra Dual-focus, especialmente diseñada para que el alumnado pueda acercarse a los conteni-dos del área en inglés.

EL PROYECTO DIGITAL para el profesorado

nuestro proyecto para el área

I S B N 978-84-698-7519-3

9 7 8 8 4 6 9 8 7 5 1 9 3

8420902

+

Available at www.anayaeducacion.es

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SUMA piezaS

dual FOCUS

SECONDARY EDUCATION

1

MATHEMATICSDUAL FOCUS

SECONDARY EDUCATION

MATHEMATICS

1ESO

MATEMÁTICAS

SUMA piezaS

2J. C olera J iménez , I . Gaztelu Albero ,

R . C olera Cañas

MATE

MÁTI

CAS

ESO

MATHEMATICSFOR VOCATIONAL

TRAINING

I S B N 978-84-698-7521-6

9 7 8 8 4 6 9 8 7 5 2 1 6

8440901

+

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RESOURCE BANK

that accompanies this book.

dual FOCUS

3SECONDARY EDUCATION SUMA

piezaS

3

MATHEMATICS for VOCATIONAL TRAININGDUAL FOCUS

SECONDARY EDUCATION

MATHEMATICSFOR VOCATIONAL

TRAINING

I S B N 978-84-698-7521-6

9 7 8 8 4 6 9 8 7 5 2 1 6

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dual FOCUS

3SECONDARY EDUCATION SUMA

piezaS

3

MATHEMATICS for VOCATIONAL TRAININGDUAL FOCUS

SECONDARY EDUCATION

I S B N 978-84-698-7519-3

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SUMA piezaS

dual FOCUS

SECONDARY EDUCATION

1

MATHEMATICSDUAL FOCUS

SECONDARY EDUCATION

MATHEMATICS

1 ESO1

J. C olera J iménez , I . Gaztelu Albero ,

R . C olera CañasMATEMÁTICAS

SUMA piezaS

ESO3

J. C olera J iménez , M .ª J . Ol ive ira González ,

I . Gaztelu Albero , R . C olera Cañas

MATEMÁTICAS

ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

ACADÉMICAS

SUMA piezaS

ESO

J. C olera J iménez , M .ª J . Ol ive ira González ,

I . Gaztelu Albero , R . C olera Cañas

MATEMÁTICAS

ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

ACADÉMICAS

SUMA piezaS

4

MATE

MÁTI

CAS

orie

ntad

as a

las

ense

ñanz

as a

cadé

mica

s

ESO

I S B N 978-84-698-7520-9

9 7 8 8 4 6 9 8 7 5 2 0 9

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+

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3SECONDARY EDUCATION

SUMA piezaS

dual FOCUS

3

MATHEMATICS for academic studiesDUAL FOCUS

SECONDARY EDUCATION

MATHEMATICSFOR ACADEMIC

STUDIES

I S B N 978-84-698-7520-9

9 7 8 8 4 6 9 8 7 5 2 0 9

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+

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3SECONDARY EDUCATION

SUMA piezaS

dual FOCUS

3

MATHEMATICS for academic studiesDUAL FOCUS

SECONDARY EDUCATION

MATHEMATICSFOR ACADEMIC

STUDIES

ESO3

MATEMÁTICASORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

APLICADAS

SUMA piezaS

J. C olera J iménez , I . Gaztelu Albero ,

R . C olera Cañas

MATE

MÁTI

CAS

ORIE

NTAD

AS A

LAS

ENSE

ÑANZ

AS A

PLIC

ADAS

ESO

SUMA piezaS

ESO

J. C olera J iménez , I . Gaztelu Albero ,

R . C olera Cañas

MATEMÁTICASORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

APLICADAS

4

MATE

MÁTI

CAS

ORIE

NTAD

AS A

LAS

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ÑANZ

AS A

PLIC

ADAS

ESO

La web www.anayaeducacion.esLa web del profesorado es una herramienta que facilita y enriquece la labor do-cente. Con ella, podrá adaptar los contenidos a las necesidades de los estudiantes a través de recursos adicionales o reforzar aspectos didácticos que considere re-levantes:

• Programación, propuesta didáctica y documentación del proyecto.• Diversidad e inclusión, para atender a la diversidad de motivaciones, intereses,

ritmos y estilos de aprendizaje del alumnado. Ofrece:

- Recursos teóricos para la adaptación curricular.- Fichas de ejercitación.- Fichas de profundización y para el desarrollo de competencias.- Tareas, talleres y otros recursos.

• Evaluación, pilar fundamental del proyecto, presenta:

- Herramienta digital para evaluar: aplicación que permite conocer el grado de adquisición de las competencias clave respecto a los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje evaluables del currículo de Andalucía.

- Generador digital de pruebas de evaluación por contenidos y estándares de aprendizaje.

- Pruebas y registros de evaluación prediseñados.

- Documentación específica.

- Fondo de herramientas de evaluación.

- Herramienta digital de entrenamiento de pruebas externas.

• Banco de recursos, con una gran variedad de recursos digitales tales como:

Actividades GeoGebra · Videotutoriales · Autoevaluaciones · Glosarios · Recursos teóricos· Aprende jugando · Refuerza la resolución de problemas.

Banco de recursos en www.anayaeducacion.es con:• Recursos relacionados con las claves del proyecto.• Recursos destacados de la materia.

• Recursos para cada unidad.Libro digitalUna versión digital del libro de texto que podrán descargar completo o por unidades; con todos sus recursos o una descarga ligera (sin los recursos digitales más pesados).

¿y para el alumnado?

las Propuestas didácticas para el profesorado

Una propuesta didáctica para cada libro del alumnado con las soluciones de las activida-des, orientaciones metodológicas, sugeren-cias para aplicar las claves del proyecto, etc.

Para cada epígrafe los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje.

ESO1

J. C olera J iménez , I . Gaztelu Albero , R . C olera Cañas

MATEMÁTICAS

propuesta didáctica

SUMA piezaS

MATE

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CAS

PROP

UEST

A DI

DÁCT

ICA

ESO

2ESO1

J. C olera J iménez , I . Gaztelu Albero , R . C olera Cañas

MATEMÁTICAS

propuesta didáctica

SUMA piezaS

MATE

MÁTI

CAS

PROP

UEST

A DI

DÁCT

ICA

ESO

ESO3

J. Colera Jiménez, M.ªJ. Oliveira González, I . Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

MATEMÁTICASORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

ACADÉMICAS

propuesta didáctica

SUMA piezaS

MATE

MÁTI

CAS

ORIE

NTAD

AS A

LAS

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ÑANZ

AS A

CADÉ

MICA

SPR

OPUE

STA

DIDÁ

CTIC

A ES

O

ESO3

J. Colera Jiménez, I . Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

MATEMÁTICASORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

APLICADAS

propuesta didáctica

SUMA piezaS

MATE

MÁTI

CAS

ORIE

NTAD

AS A

LAS

ENSE

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AS A

PLIC

ADAS

PROP

UEST

A DI

DÁCT

ICA

ESO

ESO3

J. Colera Jiménez, I . Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

MATEMÁTICASORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

APLICADAS

propuesta didáctica

SUMA piezaS

MATE

MÁTI

CAS

ORIE

NTAD

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ADAS

PROP

UEST

A DI

DÁCT

ICA

ESO

4ESO3

J. Colera Jiménez, M.ªJ. Oliveira González, I . Gaztelu Albero, R. Colera Cañas

MATEMÁTICASORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

ACADÉMICAS

propuesta didáctica

SUMA piezaS

MATE

MÁTI

CAS

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MICA

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DIDÁ

CTIC

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O

4

el libro digital Los libros de todos los cursos disponen de una versión digital. Podrá descargar el libro comple-to o por unidades, con todos sus recursos o en su versión ligera (sin los recursos digitales más pesados), lo que posibilita su uso en condiciones offline y online. Los recursos de cada unidad se agrupan por tipologías y permiten un acceso di-recto al banco de recursos de la web y a la pro-puesta didáctica.

10

Presentación de la unidadLos números naturales no parecen obedecer a ninguna «construcción» in-telectual del ser humano. Desde siempre y en todas las culturas surgen de modo natural para contar, ordenar, medir, etc.La unidad comienza contrastando algunos de los sistemas de numeración más conocidos. Así, además de apuntar la evolución histórica de los méto-dos de representación, se muestra que el concepto de número natural es el mismo en todos los casos, independientemente de cómo se exprese.Tras revisar la estructura del sistema decimal, y constatar sus ventajas res-pecto a otros sistemas de numeración, se trabaja la lectura y la escritura de números de nueve o más cifras. También se recuerdan los procedimientos y las ocasionales ventajas de la aproximación por redondeo.Se repasan después las operaciones básicas con números naturales, y algu-nas de sus propiedades, poniendo especial empeño en la división, en la que se detectan con mayor frecuencia errores y lagunas, tanto conceptua-les como en la mecánica del algoritmo.En el repaso de las operaciones, además de practicar el cálculo operativo, priorizamos la resolución de problemas, actividad que garantiza la revisión y la mejora en la construcción de conceptos. Por último, se avanza en la resolución de expresiones con paréntesis y ope-raciones combinadas.Los contenidos de esta unidad son de tres tipos:• Aspectos teóricos:

– Sistemas de numeración. El sistema de numeración decimal. – Propiedades de las operaciones y ventajas que aportan a la práctica del cálculo.

• Cálculo: – Algoritmos de las operaciones. – Expresiones con paréntesis y operaciones combinadas. – Cálculo mental.

• Utilización de la calculadora y conocimiento de las técnicas básicas.

Conocimientos mínimos• Estructura del sistema de numeración decimal.• Lectura y escritura de números grandes.• Redondeo.• Cálculo mental y escrito con las cuatro operaciones.• Uso elemental de la calculadora.• Resolución de expresiones sencillas con operaciones combinadas.• Resolución de problemas de una y dos operaciones.

Anticipación de tareas • Buscar información sobre distintos sistemas de numeración (civilizacio-

nes antiguas, sistema binario de los lenguajes informáticos, etc.).• Revisar la operativa con las cuatro operaciones (detección de lagunas).• Mostrar los distintos tipos de calculadora.• Recordar algunas estrategias y procedimientos generales para resolver

problemas y describir los procesos de resolución.

1 LOS NÚMEROS NATURALESContenidos y competencias

Contenidos de la unidad Competencias clave

Página inicial• Distintas formas de expresar

los números• Otras formas de multiplicar• Operaciones combinadas

CCLCMCT

1. Sistemas de numeración• El sistema de numeración

egipcio• El sistema de numeración maya• El sistema de numeración

decimal

CCLCMCTCDCAACSYSCEC

2. Los números grandes CCLCMCTCAA

3. Aproximación de números naturales

CCLCMCTCSYC

4. Operaciones básicas con números naturales• La suma y sus propiedades• La resta y su relación

con la suma• La multiplicación

y sus propiedades• La división• División exacta y división entera• Una propiedad de la división

CMCTCAA

5. Expresiones con operaciones combinadas• Orden en que han

de hacerse las operaciones• Aprende a usar

la calculadora

CCLCMCTCDCAACSYS

Páginas finales• Ejercicios y problemas• Taller de Matemáticas• Autoevaluación

CCLCMCTCAACSYCSIEPCEC

CC: competencias clave, CCL: comunicación lingüística, CMCT: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecno-logía, CD: competencia digital, CAA: aprender a aprender, CSYC: competencias sociales y cívicas, SIEP: sentido de iniciativa y espíri-tu emprendedor y CEC: conciencia y expresiones culturales.

11

Los números naturalesCE. 1.12. (EA.1.12.1. - EA.1.12.2. - EA.1.12.3.)

Al iniciar la unidadLa página presenta distintas formas de expresar números naturales y pro-pone una reflexión sobre la utilidad de los sistemas de numeración, sobre sus diferencias y sobre el papel que han desempeñado en las distintas cul-turas y épocas.Se presenta además un algoritmo de multiplicación, diferente del que co-nocen los alumnos y las alumnas, pero basado igualmente en el sistema de numeración decimal. Podríamos aprovechar aquí para contrastarlo con el que practicaban los egipcios (ver página 26 del libro del alumnado) y mostrar las relaciones entre la forma de representar los números y las ven-tajas o desventajas que presentan para realizar operaciones.

Cuestiones para detectar ideas previas • Crear un sistema de signos que sirva para codificar cualquier número

menor que 50 (o 100 o…). • Leer y escribir números de hasta ocho cifras. • Calcular con las operaciones básicas. • Comparar expresiones muy sencillas variando la posición del paréntesis. • Inventar problemas para una operación dada.

Soluciones1 Es el número 3 059.

MMMLX

CM UMDM C D U

2 El primero y el tercero.3 Respuesta abierta.4 a) 208 × 34

0

0060

78

2

0 32 4

2

6 10

1 0

20

8 34

0 7 0 7 2

0 0

b) 453 × 26

0

0281

74

8

0 10 6

8

11 7

45

3 26

1 1 7 7 8

3 0

5 a) 15 · 3 b) 20 + 15 · 3 c) (20 + 15) · 3

9

1los números naturales

9 8

Todas las civilizaciones se han servido de un sistema de numeración para representar cantidades. Desde la prehistoria hasta nuestros días, los pueblos egipcio, babilonio, griego, romano, chino, indio, árabe, maya… maneja-ron sistemas de numeración muy diversos, que pasaron de unos pueblos a otros y evolucionaron a lo largo del tiempo. Inicialmente, los números se utilizaban para contar cantidades naturales (rebaños, frutos, monedas…), y los sistemas de numeración eran muy ru-dimentarios: se hacían muescas en un cayado, se dibujaban dedos y ma-nos... Sin embargo, el progreso de las civilizaciones condujo a la introduc-ción de símbolos y normas que los hicieron más complejos y prácticos.

Los sistemas de numeración son útiles para escribir números y, así, recor-darlos y transmitirlos. Pero deben servir, también, para operar con ellos. Piensa en el sistema de numeración romano (que ya conoces) e imagina cómo se las apañarían para efectuar sumas. Por ejemplo:

MCCCXLVI + DCCCXXXIV¿Complicado? Pues imagina lo difícil que tendría que ser multiplicar. Los antiguos matemáticos hindúes, en el siglo vi, dieron un gran paso adelante con la invención del sistema de numeración decimal posicional.

Desde la India se propagó hacia el Mediterráneo a través del pueblo árabe, y llegó a Europa en los siglos ix y x.Las ventajas de este sistema permitieron el desarrollo de nuevas estrategias de cálculo, precursoras de las que utilizamos actualmente.

Con los números y sus operaciones, calculamos y obtenemos datos nuevos útiles para manejarnos en situaciones cotidianas. Para ello, es necesario inter-pretar y resolver su expresión escrita. Prácticalo en la siguiente propuesta.

Distintas formas de expresar los números

Observa tres formas diferentes de representar el mismo número:

1 ¿De qué número se trata? ¿Cómo representarías, en cada caso, el número siguiente?

2 ¿Cuál o cuáles se basan en el sistema de numeración decimal?

3 ¿De qué otra forma representarías ese número?

Otras formas de multiplicar

Observa cómo multiplicaba la población hindú en el pasado 346 × 57.• Se parte de una tabla, como ves en el ejemplo, colo-

cando en los bordes las cifras de los factores.• Se completan las casillas con los productos cru-

zados de los dígitos colocados en los bordes. Por ejemplo, en la casilla coloreada:

4 × 7 = 28• Se suman los resultados en vertical. En cada co-

lumna solo cabe un dígito.

4 Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones: a) 208 × 34 b) 453 × 26

1

1252

12

2

12

0 43 0

2

9 61

34

6 57

1 9 7 2 2

2 8

Operaciones combinadas

5 Para participar en las escuelas deportivas municipales has de abonar 20 € de matrícula y 15 € al mes.¿Qué crees que se calcula con cada una de estas expresiones?

(20 + 15) · 3 20 + 15 · 3 15 · 3a) El pago del segundo trimestre.b) El pago del primer trimestre.c) El pago del primer mes para tres hermanas o hermanos.

Desarrollo del pensamientoTécnica: Piensa y comparte en pareja.Es bueno que el alumnado piense cuál cree que es la res-puesta y escuche las ideas de sus compañeros y sus com-pañeras para contrastar posturas.Tras unos minutos de reflexión se los invita a compartir su respuesta con el compañero o la compañera que esté a su lado, con los argumentos que le llevan a ella. piezas clave

Compromiso ODS• Meta 11.c.• Meta 13.3.

Plan Lingüístico• Destrezas: expresión oral (texto argumentativo)

y comprensión escrita (texto expositivo)

Desarrollo del pensamiento• Piensa y comparte en pareja

Aprendizaje cooperativoTécnica:• Lápices al centro

Cultura emprendedora• Productividad (dimensión productiva):

mi proyecto• Iniciativa (dimensión productiva): apoyo

los cambios

TIC• Actividades interactivas• Cálculo mental• Soluciones de la autoevaluación

Evaluación• Ejercicios y problemas• Elaboración del portfolio

12

Sistemas de numeraciónCE. 1.2. (EA.1.2.3.) CE. 1.10. (EA.1.10.1.) CE. 2.1. (EA.2.1.2.) CE. 2.4. (EA.2.4.2.)

Sugerencias metodológicasLa utilización de distintos sistemas de numeración, ideados en diferentes épocas y culturas, hará valorar a las alumnas y a los alumnos el esfuerzo progresivo realizado por la humani-dad en la construcción de herramientas que hoy empleamos sin percibir, acaso, la dificul-tad del proceso, y que son parte de la herencia cultural, en continua reelaboración, que ca-da generación transmite a la siguiente.A la vez, se puede señalar que cada cultura ha utilizado el sistema de numeración que se adaptaba a sus necesidades. No nos podemos imaginar ninguna situación en la que un hombre primitivo, cazador y recolector, tuviera que manejar números de, por ejemplo, sie-te cifras. Pero solo tenemos que abrir un periódico, o cualquier tratado científico, para ver que esos mismos números son imprescindibles en la sociedad actual. Es decir, los sistemas de numeración se han ido perfeccionando a medida que evolucionaban las necesidades de enumerar y calcular (comercio, construcción, estadística…), y, a la vez, cada avance ha per-mitido acceder a nuevos campos de la ciencia y ha traído consigo la aparición de nuevas necesidades numéricas.Para apreciar en su justa medida las virtudes de nuestro sistema de numeración decimal, conviene compararlo con otros tipos de sistemas, especialmente los aditivos. Hágase ver la dificultad de esos últimos para representar números grandes y números decimales y tam-bién para operar. Es recomendable insistir en el salto adelante que supuso el uso de los sistemas posicionales, en su economía de símbolos y su potencia para expresar cantidades. También se señalará la importancia de la tardía aparición del cero, símbolo abstracto para ocupar un lugar en el que no había nada, pero a la vez llave imprescindible para el desarrollo de estos sistemas. La presencia del cero permite asignar distintos valores a las cifras.

Soluciones de «Para fijar ideas»La actividad incluida en este apartado pretende recordar la estructura del SND y detectar lagunas en su comprensión, aportando ayuda para superarlas.

1 a) 3 millares hacen 300 decenas.b) 1 decena de millar hace 100 centenas.c) 5 unidades de millón hacen 50 000 centenas.

Soluciones de «Para practicar»1 19 =

65 =

34 120 =

2 523 083 =

2 7 = 84 =

12 = 126 =

3 6 11 120 126

4 Por la izquierda: Por la derecha:

5 a) 500 D = 50 C = 5 UM b) 3 000 C = 300 UM = 30 DMc) 6 UM = 60 C = 600 D d) 8 CM = 80 DM = 80 000 D

6 a) Verdadero b) Verdadero c) Falso d) Falso e) Verdadero

7 40 001, pues 41 000 – 40 001 = 999

11

1Unidad

Los números naturales (1, 2, 3, …) surgieron de la necesidad de contar, y su repre-sentación evolucionó adaptándose a cada momento cultural e histórico.Las personas en la prehistoria ya utilizaban algunas técnicas para contar: compa-raban con los dedos, hacían muescas en un cayado, ensartaban cuentas en una cuerda, etc.A medida que la sociedad evolucionaba se hizo necesario manejar cantidades grandes y representarlas de una forma práctica. Así, aparecieron en distintas cul-turas los sistemas de numeración.

Los símbolos utilizados para representar los conteos, junto con sus normas de uso, forman un sistema de numeración.

ãEl sistema de numeración egipcioLos antiguos egipcios utilizaban los símbolos siguientes:

1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000

palo asa cuerda flor dedo rana hombre

La norma para escribir un número era sencilla: se iban añadiendo (sumando) los símbolos necesarios hasta completar la cantidad deseada. A los sistemas de numeración, como el egipcio, en que se van añadiendo símbo-los y sumando su valor, los llamamos sistemas aditivos.

ãEl sistema de numeración mayaEl pueblo maya, en la actual Guatemala y el sur de México, antes de la llegada de Colón al continente americano, usaba solo tres símbolos para escribir los nú-meros:

En los números menores de 20, como puedes ver a la izquierda, el sistema era aditivo. Hasta aquí, el primer nivel. Para escribir números mayores, se superpo-nían otros niveles, con los mismos símbolos, pero multiplicando su valor por 20 al subir cada escalón.

Segundo nivel (× 20) 8

Primer nivel (× 1) 8

Como ves, un símbolo tiene diferente valor según el nivel en que se encuentre, característica de los sistemas de numeración posicionales. Es decir, el sistema maya era en parte aditivo y en parte posicional.

ãEl sistema de numeración decimalEl sistema de numeración que utilizamos actualmente es el decimal. Consta de diez símbolos o cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y se rige por estas normas:• Se definen órdenes de unidades: unidades, decenas, centenas…• Diez unidades de un orden hacen una unidad del orden inmediato superior.• El valor de una cifra depende del lugar que ocupe (sistema de tipo posicional).Veamos un ejemplo:

La cifra 4 tiene diferente valor según el orden de unidades que ocupa.

1 SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Este hombre primitivo ha escrito el número 47. ¿Sabrías decir el valor de cada símbolo?

Aquí aparece escrito el número 1 333 331.

RecuerdaUn número se puede descomponer se-gún sus órdenes de unidades y según el valor de posición de cada cifra:

27 473

2 DM → 20 000 7 UM → 7 000 4 C → 400 7 D → + 70 3 U → 3 27 473

10

UMM CM DM UM C D U

4 7 8 4 3 0 4

↓4 000 000 U

↓4 000 U

↓4 U

20 21 27 36 40 100 13720 21 27 36 40 100 137

(0) (1) (5)(0) (1) (5)(0) (1) (5)(0) (1) (5)(0) (1) (5)

cxlixPara practicar

1 Escribe en el sistema de numeración egipcio los nú-meros 19, 65, 34 120 y 2 523 083.

2 En un sistema aditivo se utilizan estos símbolos:

1 5 10 100

Escribe, basándote en él, los números 7, 12, 84 y 126.

3 Traduce al sistema decimal estos números del sistema maya.

4 Añade cuatro elementos por la derecha y otros cuatro por la izquierda a esta serie de números del sistema maya.

5 Completa en tu cuaderno.a) 500 D = … C = … UM b) 3 000 C = … UM = … DMc) 6 UM = … C = … D d) 8 CM = … DM = … D

6 ¿Verdadero o falso? a) Si cambias de lugar las cifras, cambia el valor del

número. b) Si añades un cero a la derecha de un número, su

valor se multiplica por 10. c) Si añades un cero a la izquierda de un número, el

valor se divide entre 10. d) Medio millar equivale a 5 decenas. e) Mil millares hacen un millón.

7 Un número tiene cinco cifras que suman 5. Si intercambias las unidades con las unidades de millar, aumenta en 999. ¿Qué número es?

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

Para fijar ideas

1 Situándote en el sistema de numeración decimal:a) ¿Cuántas decenas hacen 3 millares?b) ¿Cuántas centenas hacen una decena de millar?c) ¿Cuántas centenas hay en 5 unidades de millón?

Ayuda

CM DM UM C D U

1 0 0 1 UM = 100 D× 10× 10

13

Los números grandesCE. 2.1. (EA.2.1.2. - EA.2.1.3.) CE. 2.4. (EA.2.4.2.)

Sugerencias metodológicasLos grandes números (de seis, nueve, doce y más cifras) aparecen frecuentemente en infor-maciones científicas, sociológicas, económicas, etc., de ahí que resulten necesarios para ela-borar e interpretar mensajes relativos a medios en los que ya se mueve el alumnado.Los alumnos y las alumnas han de leer y escribir con agilidad los números de muchas cifras y han de manejar con soltura los correspondientes órdenes de unidades (millones, miles de millones, billones…) y sus equivalencias.Posteriormente, en la siguiente unidad, utilizarán la notación abreviada de estos órdenes, con el apoyo de las potencias de diez.También es aconsejable incidir en la diferencia existente entre nuestro término «billón» y el término billion que suele aparecer en los textos y medios de comunicación norteamericanos y que con frecuencia da lugar a equívocos y errores en las traducciones. El billion equivale, contra lo que cabría esperar, a mil millones. Y quizá, para diferenciarlo del billón, y para tener un término equivalente en las traducciones, es por lo que se ha acuñado el nuevo término millardo (mil millones), aunque su uso no es nada frecuente.

Soluciones de «Para practicar»1 a) Siete mil millones.

b) Tres mil ciento cincuenta y tres millones seiscientos mil.c) Nueve billones cuatrocientos sesenta mil ochocientos millones.

2 a) 28 350 000 b) 143 000 000 c) 2 700 000 000d) 16 000 000 000 e) 1 500 000 000 000 f ) 15 350 000 000 000

3 a) Millón b) Millardo c) Millardo d) Billón4 Entre 10 y 70 billones de células.5 Diez mil billones.6 Un 1 seguido de 24 ceros → un billón de billones.

13

1Unidad

Muchas cantidades y datos superan las nueve cifras: el número de habitantes de la Tierra (7 000 000 000), los segundos que tiene un siglo (3 153 600 000), los kilómetros de un año luz (9 460 800 000 000)…El sistema de numeración decimal permite representar cantidades tan grandes como deseemos. Aquí tienes algunos órdenes para números con más de 9 cifras, junto a algunos ejemplos:

… bil

lon

es

mil

es

de

mil

lon

es

mil

lon

es

mil

lar

es

c d u

1 3 8 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

El universo se originó hace trece mil ochocientos millones de años.

El cerebro de una persona joven tiene unos cien mil millones de neuronas.

La Tierra tiene un volu-men aproximado de un bi-llón de kilómetros cúbicos.

• Un millón ↔ Un 1 seguido de 6 ceros.• Un billón ↔ Un millón de millones ↔ Un 1 seguido de 12 ceros.• Un trillón ↔ Un millón de billones ↔ Un 1 seguido de 18 ceros.

LOS NÚMEROS GRANDES

Aunque no es muy habitual, a los miles de millones también se los lla-ma millardos.También se designan con el prefijo giga:

1 000 000 000 bytes = 1 gigabyte

Ten en cuenta

2

12

Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil de recordar e incómodo para operar. Por eso, lo solemos sustituir por otro más manejable de valor aproxima-do, terminado en ceros. Por ejemplo:

31 853 000 × 500 = 15 926 500 000

En España circulan 31 853 000 billetes de 500 €.

¿Cuántos miles de millones de euros serán,

aproximadamente?

Son, aproximadamente, dieciseismil millones.La forma más frecuente y práctica de realizar aproximaciones es el redondeo.

Para redondear un número a un determinado orden de unidades:• Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.• Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco, se suma una unidad

a la cifra anterior.

APROXIMACIÓN DE NÚMEROS NATURALES3

Para practicar

1 Lee las primeras líneas de esta página. Escribe cómo se leen:a) El número de habitantes de la Tierra.b) El número de segundos de un siglo.c) El número de kilómetros que tiene un año luz.

2 Escribe con cifras.a) Veintiocho millones trescientos cincuenta mil.b) Ciento cuarenta y tres millones.c) Dos mil setecientos millones.d) Dieciséis gigas.e) Un billón y medio.f ) Quince billones trescientos cincuenta mil millones.

3 Copia en tu cuaderno y completa.a) Mil millares hacen un…b) Mil millones hacen un…c) Un millón de millares hacen un…d) Un millón de millones es un…

4 El cuerpo humano tiene entre diez y setenta millones de millones de células. Expresa esas cantidades en billones.

5 ¿Cómo leerías el número expresado por un 1 seguido de 16 ceros?

6 Las científicas y los científicos calculan que los mares y océanos de la Tierra contienen tres cuatrillones de kilogramos de agua. ¿Qué crees que es un cuatrillón?

Para practicar

1 Redondea a los millares estos números:

a) 24 963 b) 7 280 c) 40 274 d) 99 834

2 Aproxima a las centenas y decenas de millar.

a) 530 298 b) 828 502 c) 359 481 d) 29 935 236

3 Lee esta noticia y aproxima el número de turistas a los millones y el gasto a los miles de millones.

4 Aproxima a los millones por redondeo.a) 24 356 000 b) 36 905 000 c) 274 825 048

5 A continuación, puedes ver varias aproximaciones al precio de un piso en venta:

138 290 €

SE VENDE

138 000 €138 300 €140 000 €

a) ¿Cuál es más cercana al precio real?b) ¿Cuál te parece más adecuada para una informa-

ción coloquial, si no se recuerda la cantidad exacta?

6 Un ayuntamiento ha presupuestado 149 637 € para rehabilitar un área deportiva. ¿Qué cifra darías para comunicar este dato en una conversación informal?

En 2018

visitaron España

82 600 000

turistas que

gastaron

89 678 millones

de euros.

anayaeducacion.es Practica la aproximación.

Para fijar ideas

1 Completa para aproximar el número 384 523 a las centenas de millar, a las decenas de millar y a los millares.centenas de millar decenas de millar millares

Ayuda

Aproximación del número 52 722:– A las decenas de millar → 50 000– A los millares → 53 000

+1 8 ≥ 5

3 8 4 5 2 3

0 0 0 0 0...

= 4 < 5

3 8 4 5 2 3

0 0 0 0

+1 5 ≥ 5

3 8 4 5 2 3

0 0 0... ...

+1 8 ≥ 5

3 8 4 5 2 3

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= 4 < 5

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+1 5 ≥ 5

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+1 8 ≥ 5

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+1 5 ≥ 5

3 8 4 5 2 3

0 0 0... ...

dm umcm

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1Unidad

Muchas cantidades y datos superan las nueve cifras: el número de habitantes de la Tierra (7 000 000 000), los segundos que tiene un siglo (3 153 600 000), los kilómetros de un año luz (9 460 800 000 000)…El sistema de numeración decimal permite representar cantidades tan grandes como deseemos. Aquí tienes algunos órdenes para números con más de 9 cifras, junto a algunos ejemplos:

… bil

lon

es

mil

es

de

mil

lon

es

mil

lon

es

mil

lar

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c d u

1 3 8 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

El universo se originó hace trece mil ochocientos millones de años.

El cerebro de una persona joven tiene unos cien mil millones de neuronas.

La Tierra tiene un volu-men aproximado de un bi-llón de kilómetros cúbicos.

• Un millón ↔ Un 1 seguido de 6 ceros.• Un billón ↔ Un millón de millones ↔ Un 1 seguido de 12 ceros.• Un trillón ↔ Un millón de billones ↔ Un 1 seguido de 18 ceros.

LOS NÚMEROS GRANDES

Aunque no es muy habitual, a los miles de millones también se los lla-ma millardos.También se designan con el prefijo giga:

1 000 000 000 bytes = 1 gigabyte

Ten en cuenta

2

12

Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil de recordar e incómodo para operar. Por eso, lo solemos sustituir por otro más manejable de valor aproxima-do, terminado en ceros. Por ejemplo:

31 853 000 × 500 = 15 926 500 000

En España circulan 31 853 000 billetes de 500 €.

¿Cuántos miles de millones de euros serán,

aproximadamente?

Son, aproximadamente, dieciseismil millones.La forma más frecuente y práctica de realizar aproximaciones es el redondeo.

Para redondear un número a un determinado orden de unidades:• Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.• Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco, se suma una unidad

a la cifra anterior.

APROXIMACIÓN DE NÚMEROS NATURALES3

Para practicar

1 Lee las primeras líneas de esta página. Escribe cómo se leen:a) El número de habitantes de la Tierra.b) El número de segundos de un siglo.c) El número de kilómetros que tiene un año luz.

2 Escribe con cifras.a) Veintiocho millones trescientos cincuenta mil.b) Ciento cuarenta y tres millones.c) Dos mil setecientos millones.d) Dieciséis gigas.e) Un billón y medio.f ) Quince billones trescientos cincuenta mil millones.

3 Copia en tu cuaderno y completa.a) Mil millares hacen un…b) Mil millones hacen un…c) Un millón de millares hacen un…d) Un millón de millones es un…

4 El cuerpo humano tiene entre diez y setenta millones de millones de células. Expresa esas cantidades en billones.

5 ¿Cómo leerías el número expresado por un 1 seguido de 16 ceros?

6 Las científicas y los científicos calculan que los mares y océanos de la Tierra contienen tres cuatrillones de kilogramos de agua. ¿Qué crees que es un cuatrillón?

Para practicar

1 Redondea a los millares estos números:

a) 24 963 b) 7 280 c) 40 274 d) 99 834

2 Aproxima a las centenas y decenas de millar.

a) 530 298 b) 828 502 c) 359 481 d) 29 935 236

3 Lee esta noticia y aproxima el número de turistas a los millones y el gasto a los miles de millones.

4 Aproxima a los millones por redondeo.a) 24 356 000 b) 36 905 000 c) 274 825 048

5 A continuación, puedes ver varias aproximaciones al precio de un piso en venta:

138 290 €

SE VENDE

138 000 €138 300 €140 000 €

a) ¿Cuál es más cercana al precio real?b) ¿Cuál te parece más adecuada para una informa-

ción coloquial, si no se recuerda la cantidad exacta?

6 Un ayuntamiento ha presupuestado 149 637 € para rehabilitar un área deportiva. ¿Qué cifra darías para comunicar este dato en una conversación informal?

En 2018

visitaron España

82 600 000

turistas que

gastaron

89 678 millones

de euros.

anayaeducacion.es Practica la aproximación.

Para fijar ideas

1 Completa para aproximar el número 384 523 a las centenas de millar, a las decenas de millar y a los millares.centenas de millar decenas de millar millares

Ayuda

Aproximación del número 52 722:– A las decenas de millar → 50 000– A los millares → 53 000

+1 8 ≥ 5

3 8 4 5 2 3

0 0 0 0 0...

= 4 < 5

3 8 4 5 2 3

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+1 5 ≥ 5

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+1 8 ≥ 5

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+1 5 ≥ 5

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+1 5 ≥ 5

3 8 4 5 2 3

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dm umcm

Aproximación de números naturalesCE. 1.10. (EA.1.10.1.) CE. 2.1. (EA.2.1.3.) CE. 2.4. (EA.2.4.2.)

Sugerencias metodológicasAdemás de aprender el significado del término aproximar y de dominar la técnica del re-dondeo de cantidades, el alumnado se ha de acostumbrar a realizar esas operaciones para expresar con propiedad, recordar o apuntar datos relativos a informaciones y resultados de cálculos que maneja de forma cotidiana.Cuando en la televisión nos dicen, por ejemplo, que «los acertantes de 14 cobrarán 119 274 euros», recordamos, y si es el caso transmitimos, la información: «los de 14 cobrarán 120 000 euros». Otra cosa será cuando uno de los afortunados vaya a hacer efectivo su pre-mio. Ahí sí es necesaria la exactitud.Para que el aprendizaje se incorpore a las competencias de los alumnos y las alumnas, pode-mos proponerles, como actividad, la elaboración de una lista de situaciones, como la del ejemplo, en que el redondeo es apropiado y eficaz (precios, presupuestos, datos estadísticos de población, economía, etc.).

Soluciones de «Para fijar ideas»La actividad propone el redondeo de un mismo número a distintos órdenes de unidades.Acompañada de un ejemplo y aportando apoyo gráfico, pretende hacer más fácil la tarea y asentar comprensivamente el procedimiento. Además, contrastar los distintos casos ayudará a crear nuevas relaciones y profundizar en la estructura de los números.1 Centenas de millar: 400 000

Decenas de millar: 380 000Millares: 385 000

TICanayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dis-pone de actividades interactivas para reforzar este contenido.

14

Soluciones de «Para practicar»1 a) 25 000 b) 7 000 c) 40 000 d) 100 000 2 a) 530 298 → 500 000 y 530 000 b) 828 502 → 800 000 y 830 000

c) 359 481 → 400 000 y 360 000 d) 29 935 236 → 29 900 000 y 29 940 0003 El número de turistas fue de 83 000 000 millones, aproximadamente.

El gasto fue de 90 miles de millones, aproximadamente.4 a) 24 000 000 b) 37 000 000 c) 275 000 0005 a) 138 300 b) 140 000 6 150 000 €

Operaciones básicas con números naturales (I)CE. 1.8. (EA.1.8.1.) CE. 2.1. (EA.2.1.3.) CE. 2.4. (EA.2.4.1. - EA.2.4.2.)

Sugerencias metodológicasSe abre aquí un espacio para consolidar aprendizajes iniciados en cursos anteriores, que servirá de preparación para abordar más adelante las operaciones con números enteros y con fracciones, donde se aplicarán técnicas similares a las que aquí se ejercitan.Se revisan los algoritmos y también las propiedades y las relaciones de la suma y la resta con un objetivo doble:

—Su implantación automatizada y espontánea para la mejora del cálculo. —Su formalización teórica (expresión con letras) para que los estudiantes superen el ejem-plo concreto y las generalicen para todos los números.

La comprensión de las propiedades y su implantación a nivel práctico, a estas edades, ha de conseguirse por el camino de la experimentación y de la práctica, más que por el del razo-namiento analítico. Y, por consiguiente, la explicitación teórica será posterior a la com-prensión y supondrá el último paso del proceso de aprendizaje.Apoyando esa implantación práctica, es conveniente hacer notar al alumnado las ventajas que ofrece la aplicación de las propiedades para facilitar el cálculo de productos, especial-mente en el desarrollo de estrategias de cálculo mental, como muestran estos ejemplos:• El producto 35 × 12 se puede transformar en otro más sencillo, 42 × 10, combinando las

propiedades asociativa y conmutativa.35 × 12 = (7 × 5) × (2 × 6) = 7 × (5 × 2) × 6 (1) = 7 × 10 × 6 = 7 × 6 × 10 = 42 × 10 (2)(1) Propiedad asociativa(2) Propiedad conmutativa

• El producto 125 × 23 se facilita con la propiedad distributiva:125 × 23 = 125 × (20 + 3) = 125 × 20 + 125 × 3 = 2 500 + 375 = 2 875

Como ampliación de estos contenidos, se propone la extracción de factor común, que es la aplicación de la propiedad distributiva en sentido inverso a su presentación habitual:

a · b + a · c = a · (b + c)

Soluciones de «Para practicar»1 a) 468 b) 166 c) 758 d) 1852 La respuesta correcta es la b) 167 + 235 + 32 = 434 €. 3 a) 48 + 23 = 60 → 60 – 48 = 12

b) 22 – 2 – 6 = 14 → 14 + 2 + 6 = 224 51 – 18 – 15 = 18 años5 El precio del televisor es 204 + 246 = 450 €.6 4 5

× 2 83 6 0

+ 9 0 1 2 6 0

9 5 8× 7 3

2 8 7 4+ 6 7 0 6

6 9 9 3 4

15

1Unidad

Aunque ya sabes operar con números naturales, conviene que hagamos un rápido repaso de algunos conceptos y propiedades.

ã La suma y sus propiedadesRecuerda que sumar es unir, juntar, añadir.Por ejemplo, si queremos saber el número de personas que hay en el campo de fútbol que se ve en el margen, deberemos hacer una suma:

11 576 + 9 006 = 20 582La suma cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los su-mandos.

a + b = b + a• Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma

en que se agrupen los sumandos.(a + b) + c = a + (b + c)

ã La resta y sus relaciones con la sumaRecuerda que restar es quitar, suprimir, hallar lo que falta o lo que sobra; es decir, calcular la diferencia.Por ejemplo, para saber cuántas localidades vacías hay en el partido mencionado antes, tenemos que realizar una resta:

25 342 – 20 582 = 4 760Observa, además, que 25 342 = 20 582 + 4 760 y que 20 582 = 25 342 – 4 760.

Relaciones entre la suma y la resta: M – S = D → M S DS M D–

= +=

*

4 OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS NATURALES

14

ã La multiplicación y sus propiedadesRecuerda que multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma repetida de sumandos iguales. Por ejemplo, si una entrada para el partido de fútbol de la página anterior costaba 35 €, la recaudación por las 20 582 entradas vendidas sería:

35 + 35 + 35 + … + 35 = 35 · 20 582 = 720 370 € 20 582 veces

La multiplicación cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

a · b = b · a• Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente

de la forma en que se agrupen los factores.(a · b) · c = a · (b · c)

• Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

a · (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a · b – a · c

El siguiente ejemplo te ayudará a comprender el significado de la propiedad distributiva:En una peña de amigos y amigas, compraron el jueves 7 entradas para el partido, y el viernes, 3 entradas más para los rezagados. ¿Cuál fue el coste de las entradas?Podemos calcular de dos formas el coste de las entradas:gasto de 7 entradas + gasto de 3 entradas ↔ gasto de (7 + 3) entradas

35 · 7 + 35 · 3 = 35 · 10

Cálculo mental16 × 55

8 × 2 × 5 × 11

88 × 10

880La propiedad asociativa nos permite reagrupar los términos, y la conmuta-tiva, cambiarlos de orden.

35 · 7 + 35 · 3 = 35 · (7 + 3) 245 + 105 35 · 10 350 350

Para practicar

1 Calcula.a) 254 + 78 + 136 b) 340 + 255 – 429c) 1 526 – 831 + 63 d) 1 350 – 1 107 – 58

2 Estima la respuesta y compruébala después.Carmen compra un bolso de 167 €, una gabardina de 235 € y un pañuelo de 32 €. ¿Cuánto se ha gastado?a) Se ha gastado alrededor de 350 €.b) Se ha gastado, más o menos, 450 €.c) Se ha gastado alrededor de 550 €.

3 Transforma.a) Esta suma en una resta: 48 + 12 = 60b) Esta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14

4 Si Alberto tuviera 15 años más, aún sería 18 años más joven que su tío Tomás, que tiene 51 años. ¿Cuál es la edad de Alberto?

5 Si comprara solo una lavadora, me sobrarían 246 €, pero si comprara también un televisor, me faltarían 204 €. ¿Puedes decir el precio de alguno de estos ar-tículos?

Para practicar

6 Completa en tu cuaderno. 5

× 2

+ 9 0 1 2 6 0

9 8×

2 8 7 4+

6 9 9 3 4

7 Recuerda que para multiplicar por 10, por 100, por 1 000… se añaden uno, dos, tres… ceros.a) 19 · 10 b) 12 · 100 c) 15 · 1 000d) 140 · 10 e) 230 · 100 f ) 460 · 1 000

8 Expresa con una igualdad aritmética:Multiplicar un número por ocho es lo mismo que multi-plicarlo primero por diez y después restarle su doble.¿Qué propiedad se aplica en esta igualdad?

9 Multiplica mentalmente por 9 y por 11 como se ha-ce en los ejemplos.• 23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207

• 23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253

a) 12 · 9 b) 25 · 9 c) 33 · 9 d) 12 · 11 e) 25 · 11 f ) 33 · 11

10 ¿Cuántas vueltas da en un cuarto de hora una rueda que gira a razón de 1 500 revoluciones por minuto? ¿Y en una hora? ¿Y en hora y media?

11 Una agricultora tiene una huerta con 200 melocoto-neros. Calcula que con cada árbol llenará siete cajas de cinco kilos de melocotones.¿Qué beneficio obtendrá si vende toda la producción a 2 € el kilo?

anayaeducacion.es Cálculo mental con multiplicaciones.

anayaeducacion.es Cálculo mental con sumas y restas.

25 342 ← Minuendo (M ) – 20 582 ← Sustraendo (S ) 4 760 ← Diferencia (D )

Recuerda

AFORO: 25 342 localidades

Localidades ocupadas

Gradas este: 11 576

Gradas oeste: 9 006

34 + 16 = 16 + 34 50 50

(18 + 3) + 17 = 18 + (3 + 17) 21 + 17 18 + 20 38 38

Propiedad conmutativa

Propiedad asociativa

TICanayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dis-pone de actividades interactivas para practicar el cálculo mental.

15

7 a) 190 b) 1 200 c) 15 000d) 1 400 e) 23 000 f ) 460 000

8 x · 8 = x · (10 – 2) = x · 10 – x · 2En esta igualdad hemos aplicado la propiedad distributiva.

9 a) 12 · 9 = 12 · 10 – 12 = 120 – 12 = 108b) 25 · 9 = 25 · 10 – 25 = 250 – 25 = 225c) 33 · 9 = 33 · 10 – 33 = 330 – 33 = 297d) 12 · 11 = 12 · 10 + 12 = 120 + 12 = 132e) 25 · 11 = 25 · 10 + 25 = 250 + 25 = 275f ) 33 · 11 = 33 · 10 + 33 = 330 + 33 = 363

10 En 15 minutos: 1 500 × 15 = 22 500 vueltas En una hora: 22 500 × 4 = 90 000 vueltasEn una hora y media: 22 500 × 6 = 135 000 vueltas

11 200 × 7 × 5 × 2 = 14 000 €

1716

1Unidad

ã La divisiónRecuerda dos de las situaciones que resuelve la división y que aparecen frecuen-temente en los problemas aritméticos:• Se han gastado 5 625 metros cúbicos de agua para regar un parque durante 15 días.

¿Cuántos metros cúbicos se han gastado cada día?

5 6 2 5 151 1 2 375

0 7 5 0 0

⎯→ 5 625 : 15 = 375 m3 cada día

Dividir es repartir un todo entre varios, en partes iguales, para averiguar cuánto le toca a cada uno.

• El riego de un parque supone un gasto diario de 375 metros cúbicos de agua. ¿Para cuántos días hay reservas en un depósito con 5 625 metros cúbicos?

5 6 2 5 3751 8 7 5 15

0 0 0 ⎯→ 5 625 : 375 = 15 días

Dividir es partir un todo en porciones iguales de un tamaño dado, para averiguar cuántas porciones se obtienen.

ãDivisión exacta y división enteraEn el ejemplo anterior, con 5 625 metros cúbicos se regaba el parque exactamen-te durante 15 días, y no sobraba nada de agua.

5 6 2 5 3751 8 7 5 15

0 0 0 ⎯→ 5 625 = 375 · 15

Decimos que esta división es exacta.Pero si en el depósito hubiera 5 700 metros cúbicos, tendría reservas, igualmente, para 15 días, pero sobraría algo de agua.

5 7 0 0 3751 9 5 0 15

0 7 5 ⎯→ 5 700 = 375 · 15 + 75

Decimos que esta división es entera.

Una división puede ser exacta o entera dependiendo del valor del resto.• División exacta (el resto es cero).

D d 0 c

⎯→ El dividendo es igual al divisor por el cociente. D = d · c

• División entera (el resto es distinto de cero). D d r c

⎯→ El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

D = d · c + r

4 OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS NATURALES

AGUA PARA EL RIEGO DIARIO

ãUna propiedad de la divisiónObserva lo que ocurre cuando en una división multiplicamos el dividendo y el divisor por el mismo número:Para regar 3 arbustos, utilizamos 24 litros de agua. ¿Qué ocurre si tenemos el doble de arbustos y el doble de litros de agua? 24 litros 48 litros

24 30 8

48 60 8

Al repartir el doble de litros entre el doble de arbustos, la cantidad que corres-ponde a cada uno no varía.

Si en una división se multiplican el dividendo y el divisor por el mismo nú-mero, el cociente no varía.

Ejemplo

32 8 0 4

224 56 00 4

El cociente no varía.

× 7 × 7

Se reparten 35 kg de naranjas en cajas de 5 kilos.

35 50 7

Se llenan 7 cajas y no sobra nada.

Se reparten 38 kg de manzanas en cajas de 5 kilos.

38 53 7

Se llenan 7 cajas y sobran 3 kilos.

División exacta

División entera

anayaeducacion.es Cálculo mental con divisiones.

Para practicar

12 Averigua el cociente y el resto en cada división:a) 96 : 13 b) 713 : 31 c) 5 309 : 7d) 7 029 : 26 e) 49 896 : 162 f ) 80 391 : 629

13 Divide mentalmente, por partes, igual que se hace en el ejemplo.

• 96 : 12 8

: 3 32 : 4

a) 60 : 12 b) 180 : 12 c) 300 : 12d) 75 : 15 e) 90 : 15 f ) 180 : 15g) 180 : 30 h) 240 : 30 i) 390 : 30

14 Realiza en tu cuaderno las operaciones como se indi-ca en los esquemas.

(36 : 12) : 3

:

36 : (12 : 3)

:

¿Qué observas?

15 Calcula y compara los resultados. Después, reflexio-na y contesta.a) (50 : 10) : 5 50 : (10 : 5)b) (36 : 6) : 2 36 : (6 : 2)¿Cumple la división la propiedad asociativa?

16 Averigua el término que falta en cada división:dividendo 53 39 15

1 000 divisor 12 38

17 ¿Verdadero o falso?a) El cociente debe ser mayor que el divisor.b) El resto es siempre menor que el divisor.c) Si es exacta, al multiplicar por 2 el dividendo, el

cociente es el doble.d) Al multiplicar por 3 el dividendo y el divisor, el

cociente aumenta al triple.e) La división cumple la propiedad conmutativa.

18 Resuelve sin lápiz ni papel.a) Repartimos 150 gramos de mortadela en tres bo-

cadillos. ¿Cuántos gramos pondremos en cada uno?b) ¿Cuántos minutos son 180 segundos?c) Hemos recorrido, por la autopista, 240 kilómetros

en tres horas. ¿Cuántos kilómetros por hora son?d) Envasamos 250 kg de manzanas en cajas de 10 kg.

¿Cuántas cajas llenamos?

19 Un granjero recoge 1 274 huevos, los envasa en ban-dejas de 30, y las bandejas, en cajas de 10.¿Cuántos huevos quedan sin completar una bandeja?¿Cuántas bandejas quedan sin completar una caja?

Operaciones básicas con números naturales (II)CE. 1.8. (EA.1.8.1.) CE. 2.1. (EA.2.1.3.) CE. 2.4. (EA.2.4.1. - EA.2.4.2.)

Sugerencias metodológicasLos alumnos y las alumnas ya deben dominar el algoritmo de la división, aunque aprove-charemos este epígrafe para detectar posibles lagunas en su aprendizaje que bloquearían la adquisición de contenidos posteriores.Los conceptos de división se revisarán mediante la propuesta de actividades en contextos adecuados (resolución de problemas):

—La división como reparto: consiste en averiguar cuántos elementos corresponden a cada parte cuando un conjunto se va a dividir en un número determinado de partes iguales. —La división como partición: consiste en averiguar cuántas partes de un determinado ta-maño se pueden hacer con los elementos de un conjunto. Este concepto requiere espe-cial atención por presentar mayor dificultad.

Las relaciones entre los términos de la división exacta y entera se afianzarán con su compro-bación y aplicación en situaciones concretas (por ejemplo, prueba de la división).El epígrafe se completa con una propiedad importante de la división: ¿qué ocurre al multi-plicar el dividendo y el divisor por el mismo número? El alumnado puede interiorizarlo a través de ejemplos contextualizados y de simple operativa. Será importante responder tam-bién a la pregunta: ¿qué ocurre con el resto? La aplicación de esta propiedad será funda-mental para justificar los algoritmos de la división con divisores decimales, y enlazará con otros contenidos como la equivalencia y simplificación de fracciones.

Soluciones de «Para practicar»12 a) c = 7; r = 5 b) c = 23; r = 0 c) c = 758; r = 3

d) c = 270; r = 9 e) c = 308; r = 0 f ) c = 127; r = 508

13 a) 60 : 3 = 20 : 4 = 5 b) 180 : 3 = 60 : 4 = 15c) 300 : 3 = 100 : 4 = 25 d) 75 : 3 = 25 : 5 = 5 e) 90 : 3 = 30 : 5 = 6 f ) 180 : 3 = 60 : 5 = 12g) 180 : 10 = 18 : 3 = 6 h) 240 : 10 = 24 : 3 = 8i) 390 : 10 = 39 : 3 = 13

14 (36 : 12) : 3

3 : 3

1

36 : (12 : 3)

36 : 4

9

Se observa que la división no cumple la propiedad asociativa.

TICanayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dis-pone de actividades interactivas para practicar el cálculo mental.

16

Expresiones con operaciones combinadasCE. 1.6. (EA.1.6.3.) CE. 1.8. (EA.1.8.1.) CE. 1.10. (EA.1.10.1.) CE. 1.11. (EA.1.11.1.) CE. 2.1. (EA:2.1.2. - EA.2.1.3.) CE. 2.4. (EA.2.4.2.)

Sugerencias metodológicasEl lenguaje matemático, como cualquier otro lenguaje, requiere un aprendizaje secuencia-do, contrastado en la práctica, y exige tiempo.La interpretación y la producción de expresiones aritméticas con operaciones combinadas y paréntesis no resulta obvia para los estudiantes. Por el contrario, la experiencia nos demues-tra que se le ha de dedicar una atención especial para no incurrir en errores de aprendizaje que perturbarán avances posteriores.Para analizar las distintas expresiones y contrastar sus diferencias, se recomienda utilizar esquemas que saquen a la luz su estructura como muestran los ejemplos.Es importante que las alumnas y los alumnos, tras calcular el valor de una expresión a tra-vés del desarrollo de su estructura, se acostumbren a expresar todos los pasos mediante su-cesivas igualdades presentadas en horizontal. Aquí es necesario vigilar la aparición de errores de redacción (suelen adelantar igualdades con resultados parciales escribiendo, por ejemplo 4 · (8 – 6) · 3 = 4 · 2 = 8 · 3 = 24).También resulta interesante el análisis del comportamiento de distintas calculadoras al rea-lizar operaciones combinadas. Presentando dos máquinas, una que respete la prioridad de las operaciones y otra, más simple, que opere en el orden de entrada, les sorprenderá obser-var que la misma secuencia de teclas arroja en cada una un resultado diferente:Máquina que respeta la prioridad: 4 + 6 × 3 → 22Máquina que opera en el orden de entrada: 4 + 6 × 3 → 30La conclusión es que para utilizar con garantía una calculadora, hemos de conocerla a fon-do y tener en cuenta su modo de funcionamiento.

Soluciones de «Para fijar ideas»La actividad 1 presenta distintas expresiones con los mismos números y operaciones, pero con distintos resultados. Mediante su resolución guiada, se pretende facilitar la interioriza-ción del papel de los paréntesis y de la prioridad de las operaciones. La actividad se puede complementar, una vez resuelta, con la redacción de cada proceso, en horizontal, mediante sucesivas igualdades.1 4 · 10 – 8 · 3 + 2

40 – 24 + 2

16 + 2

18

4 · (10 – 8) · 3 + 2

4 · 2 · 3 + 2

24 + 2

26

4 · 10 – (8 · 3 + 2)

40 – ( 24 + 2)

40 – 26

14

4 · 10 – 8 · (3 + 2)

40 – 8 · 5

40 – 40

0

4 · (10 – 8) · (3 + 2)

4 · 2 · 5

4 · 10

40

19

1Unidad

5 EXPRESIONES CON OPERACIONES COMBINADAS

ãOrden en que han de hacerse las operacionesAl resolver expresiones con operaciones combinadas, debes tener en cuenta las normas del lenguaje matemático. Estas normas aseguran que cada expresión ten-ga un significado y una solución únicos.Observa el orden de actuación en las siguientes expresiones. Los resultados son diferentes a pesar de estar formadas por los mismos números y operaciones.

48 : 3 + 5 – 2 · 3

16 + 5 – 6

21 – 6

15

48 : (3 + 5) – 2 · 3

48 : 8 – 6

6 – 6

0

48 : 3 + (5 – 2) · 3

16 + 3 · 3

16 + 9

25

En las expresiones con operaciones combinadas, hemos de atender: • Primero, a los paréntesis. • Después, a las multiplicaciones y a las divisiones. • Por último, a las sumas y a las restas.

ãAprende a usar la calculadoraIntroduce en la calculadora esta secuencia: 2 + 3 * 4 =Aunque te parezca extraño, según la máquina que utilices puedes obtener en pantalla dos soluciones diferentes, 20 o 14.

{∫“≠} → La calculadora hace las operaciones en el orden en que van entrando.(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20

{∫‘¢} → La calculadora hace primero el producto. Es decir, respeta la prioridad de las operaciones.

2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 Como ves, no todas las calculadoras tienen la misma lógica interna. Averigua de cuál de los dos tipos es la tuya y tenlo en cuenta cuando la utilices.

18

Para fijar ideas

1 Completa en tu cuaderno cada casilla y comprueba que obtienes el resultado que se indica.

4 · 10 – 8 · 3 + 2 – + 2 + 2 18

4 · (10 – 8) · 3 + 2 4 · · 3 + 2 + 2 26

4 · 10 – (8 · 3 + 2) – ( + 2) – 14

4 · 10 – 8 · (3 + 2) – 8 · – 0

4 · (10 – 8) · (3 + 2) 4 · · 4 · 40

Para practicar

1 Opera como en los ejemplos.• 12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4

• (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4

a) 8 + 5 · 2 b) 15 – 10 : 5 c) 4 · 6 – 13d) (15 – 3) : 4 e) (8 + 2) · 3 f ) 18 : (10 – 4)

2 Resuelve mentalmente y compara los resultados.a) 2 + 3 · 4 (2 + 3) · 4 b) 6 – 2 · 3 (6 – 2) · 3 c) 18 – 10 : 2 (18 – 10) : 2 d) 24 : 6 + 2 24 : (6 + 2)

3 Observa el ejemplo y calcula.• 4 · (7 – 5) – 3 = 4 · 2 – 3 = 8 – 3 = 5

a) 2 · (7 – 3) – 5 b) 3 · (10 – 7) + 4c) 4 + (7 – 5) · 3 d) 18 – 4 · (5 – 2)e) 8 – (9 + 6) : 3 f ) 22 : (7 + 4) + 3

4 Resuelve, indicando los pasos seguidos, y comprueba la solución que se da a la derecha. Si no coincide, re-pasa el ejercicio.a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7) ⎯→ 14b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5 ⎯→ 2c) 21 : (3 + 4) + 6 ⎯→ 9d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6 ⎯→ 7e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3 ⎯→ 1f ) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) ⎯→ 11g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2) ⎯→ 0h) 3 · [13 – 3 · (5 – 2)] ⎯→ 12

5 Problema resuelto

Un empleado ha trabajado este mes 12 jornadas de 7 horas, con tarifa normal, y 5 jornadas de 9 horas, 6 con tarifa normal y 3 con tarifa noctur-na. ¿Cuántas horas ha trabajado en todo el mes?

Lo podemos resolver con dos expresiones:

Solución: Ha trabajado, en total, 129 horas.

6 Escribe una expresión que resuelva cada enun-ciado y calcula la solución.a) Una furgoneta transporta 8 cajas de plátanos, 20 de

naranjas y 6 de manzanas. Las cajas de plátanos pe-san 15 kilos, y las de naranjas y manzanas, 8 kilos. ¿Cuántos kilos de fruta transporta la furgoneta?

b) Un supermercado hace un pedido de 20 paquetes de leche entera, 15 de leche desnatada y 10 de se-midesnatada. Cada paquete contiene 6 cajas de li-tro. ¿Cuántas cajas van en el pedido?

c) En una cafetería hay 15 mesas, 55 sillas y 12 tabu-retes. ¿Cuántas patas hay en total? (nota: los tabu-retes son de 3 patas).

d) Una granjera envasa 1 500 huevos en cajas de 10 uni-dades, otros tantos en cajas de 6 unidades, y una par-tida de 300 huevos de producción ecológica, también en cajas de 6 unidades. ¿Cuántas cajas ha llenado?

12 · 7 + 5 · (6 + 3) = 84 + 5 · 9 = 84 + 45 = 129

12 jornadas 5 jornadas

12 · 7 + 5 · 6 + 5 · 3 = 84 + 30 + 15 = 129

normal nocturna

Escribe un número de dos cifras, a b .Escribe el número cambiando el or-den de las cifras, b a .Suma ambos números y divide el resultado entre la suma de las dos cifras, a + b.

( a b + b a ) : (a + b) = ¿…?¿Qué obtienes? Averigua por qué.

¿Por qué?

• 48 : 3 + 5 – 2 · 3 = 16 + 5 – 6 = = 21 – 6 = 15

• 48 : (3 + 5) – 2 · 3 = 48 : 8 – 6 = = 6 – 6 = 0

• 48 : 3 + (5 – 2) · 3 = 16 + 3 · 3 = = 16 + 9 = 25

Para fijar ideas

2 Copia y completa en tu cuaderno. Después, comprueba los resultados con una calculadora de cuatro operaciones, siguiendo la secuencia de teclas que se indica en cada caso.

Ayuda

≤ 8 Suma la pantalla a la memoria

µ 8 Resta la pantalla a la memoria

Ñ 8 Recupera lo que hay en la memoria

40 – 12 : 4 + 2 · 3 40 – + +

(40 – 12) : 4 + 2 · 3 : 4 +

+

40 ≤ 12 / 4 µ 2 * 3 ≤ Ñ → {∫∫∫∫∫∫¢«} 40 - 12 =/ 4 ≤ 2 * 3 ≤ Ñ → {∫∫∫∫∫∫‘«}

Aprendizaje cooperativoTécnica: Lápices al centro.Realizar grupos de cuatro estudiantes para realizar la actividad 6. A cada miembro del equipo se le asigna un apartado y se les pide que dejen su lápiz en el cen-tro de la mesa. Por turnos, los encargados del primer apartado lo leen y proponen una solución. El resto del grupo aporta su opinión y se debate cómo solu-cionarlo.Cuando lo tienen claro, todos los que conforman el grupo cogen su lápiz y resuelven la cuestión sin ha-blar.

15 a) (50 : 10) : 5 = 5 : 5 = 1 b) (36 : 6) : 2 = 6 : 2 = 3 50 : (10 : 5) = 50 : 2 = 25 36 : (6 : 2) = 36 : 3 = 12La división no cumple la propiedad asociativa.

16 53 · 15 + 39 = 834 (1 000 – 12) : 38 = 988 : 38 = 26

17 a) Falso b) Verdadero c) Verdadero d) Falso e) Falso

18 a) 50 g b) 3 minutos c) 80 km/h d) 25 cajas19 1 274 : 30 → cociente = 42 y resto = 14. Quedan 14 huevos sin completar una bandeja.

42 : 10 → cociente = 4 y resto = 2. Quedan dos bandejas sin completar una caja.

17

2 (40 – 12) : 4 + 2 · 3

28 : 4 + 6

7 + 6

13

40 – 12 : 4 + 2 · 3

40 – 3 + 6

37 + 6

43

Soluciones de «Para practicar»Las actividades 5 y 6 pretenden conciliar la abstracta frialdad de las expresiones aritméticas con la realidad cotidiana de los alumnos y las alumnas, dándoles sentido en contextos que les resulten próximos y reconocibles.

1 a) 8 + 5 · 2 = 8 + 10 = 18 b) 15 – 10 : 5 = 15 – 2 = 13c) 4 · 6 – 13 = 24 – 13 = 11d) (15 – 3) : 4 = 12 : 4 = 3e) (8 + 2) · 3 = 10 · 3 = 30f ) 18 : (10 – 4) = 18 : 6 = 2

2 a) 14 y 20b) 0 y 12c) 13 y 4d) 6 y 3 Al comparar los resultados se pone en evidencia que el paréntesis transforma el valor de la expresión.

3 a) 2 · (7 – 3) – 5 = 2 · 4 – 5 = 8 – 5 = 3b) 3 · (10 – 7) + 4 = 3 · 3 + 4 = 9 + 4 = 13c) 4 + (7 – 5) · 3 = 4 + 2 · 3 = 4 + 6 = 10d) 18 – 4 · (5 – 2) = 18 – 4 · 3 = 18 – 12 = 6e) 8 – (9 + 6) : 3 = 8 – 15 : 3 = 8 – 5 = 3f ) 22 : (7 + 4) + 3 = 22 : 11 + 3 = 2 + 3 = 5g) 5 · 2 + 4 · (7 – 5) = 10 + 4 · 2 = 10 + 8 = 18h) 18 : 2 – 2 · (8 – 6) = 9 – 2 · 2 = 9 – 4 = 5

4 a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7) = 24 – 2 · 5 = 24 – 10 = 14b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5 = 24 – 2 – 20 = 22 – 20 = 2c) 21 : (3 + 4) + 6 = 21 : 7 + 6 = 3 + 6 = 9d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6 = 26 – 5 · 5 + 6 = 26 – 25 + 6 = 1 + 6 = 7e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3 = 26 : 2 – 12 = 13 – 12 = 1f ) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) = 2 · 10 – 3 · 3 = 20 – 9 = 11g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2) = 30 – 6 · (13 – 8) = 30 – 6 · 5 = 30 – 30 = 0h) 3 · [13 – 3 · (5 – 2)] = 3 · [13 – 3 · 3] = 3 · [13 – 9] = 3 · 4 = 12

5 Problema resuelto.

6 a) 8 · 15 + (20 + 6) · 8 = 120 + 26 · 8 = 120 + 208 = 328 kilosb) (20 + 15 + 10) · 6 = 45 · 6 = 270 cajasc) (15 + 55) · 4 + 12 · 3 = 70 · 4 + 36 = 280 + 36 = 316 patasd) 1 500 : 10 + 1 500 : 6 + 300 : 6 = 150 + 250 + 50 = 450 cajas

18

Ejercicios y problemasCE. 1.6. (EA.1.6.3. - EA.1.6.4. - EA.1.6.5.) CE. 1.11. (EA.1.11.1.) CE. 2.1. (EA:2.1.2. - EA.2.1.3.) CE. 2.4. (EA.2.4.2.)

Sistemas de numeración1 a) 57 b) 234 c) 2 540 d) 3 430 0002 a) b) c)

3 a) 87 = lxxxvii b) 425 = cdxxv c) 2 600 = mmdc d) 54 528 = livdxxviii

4 Decimal: 57Romano: lviiEgipcio:

5 Un billón → 1 000 000 000 000 → 13 cifras, 12 ceros.Un trilón → 1 000 000 000 000 000 000 → 19 cifras, 18 ceros.

6 a) Falso b) Verdadero c) Verdaderod) Falso e) Verdadero

7 1 año luz → 9 billones y medio de kilómetros. 9 500 000 000 000

Estrella A → 5 años luz ≈ 45 billones de kilómetros.Estrella B → 5 billones de kilómetros.La estrella A está más lejos que la B.

Aproximaciones

8 aproximaciones

númeroa las centenas

de millara los millones

2 830 554 2 800 000 3 000 00019 270 000 19 300 000 19 000 000

399 675 000 399 700 000 400 000 000

9 20 millones de habitantes, aproximadamente.10 La que más se aproxima es la tercera. Pero no dice que sea una aproximación.

La primera es algo menos exacta que la tercera, pero informa de que se trata de una aproximación.

11 peso aproximado

a los millones de toneladas

valor aproximado a los cientos

de millones de euro

frutas frescas 4 000 000 6 000 000 000hortalizas y patatas 4 000 000 5 000 000 000total 8 000 000 11 000 000 000

Utilidades de los números12 a) 235 b) 724 c) 235 y 23113 a) La más antigua es 3948 FBG.

La más nueva es 4389 GFB.b) La siguiente a la roja es la azul, y la anterior, la verde.c) Se matricularon 54 coches.d) La última matriculada con las mismas letras sería la 9999 GFB.

9 999 – 4 389 = 5 610 Se matricularon 5 610 coches con las mismas letras.

20 2120

Ejercicios y problemas1UnidadEn el «Portfolio» del banco de recursos de anayaeducacion.es,

encontrarás orientaciones sobre cómo elaborar tu portfolio.

OperacionesSuma y resta

14 Calcula.a) 6 070 + 893 + 527 b) 651 + 283 – 459c) 831 – 392 – 76 d) 1 648 – 725 – 263

15 Copia en tu cuaderno, calcula y completa.a) 48 + … = 163 b) … + 256 = 359c) 628 – … = 199 d) … – 284 = 196

16 Calcula mentalmente.a) 5 + 7 – 3 – 4 b) 18 – 4 – 5 – 6c) 10 – 6 + 3 – 7 d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5e) 12 + 13 + 8 – 23 f ) 40 – 18 – 12 – 6

17 Calcula.a) 47 – (35 – 28) b) 52 – (36 – 27)c) 128 – (86 – 45 – 12) d) 237 – (152 + 48 – 14)e) 348 – (148 – 86 + 29) f ) 235 – (340 – 152 – 84)

18 Calcula.a) 5 – [7 – (2 + 3)]b) 3 + [8 – (4 + 3)]c) 2 + [6 + (13 – 7)]d) 7 – [12 – (2 + 5)]e) 20 – [15 – (11 – 9)]f ) 15 – [17 – (8 + 4)]Comprueba tus resultados:a) 3; b) 4; c) 14; d) 2; e) 7; f ) 10

Multiplicación y división

19 Multiplica.a) 16 · 10 b) 128 · 10 c) 60 · 10d) 17 · 100 e) 85 · 100 f ) 120 · 100g) 22 · 1 000 h) 134 · 1 000 i) 140 · 1 000

20 Calcula el cociente y el resto en cada caso:a) 2 647 : 8 b) 1 345 : 29c) 9 045 : 45 d) 7 482 : 174e) 7 971 : 2 657 f ) 27 178 : 254

21 Copia y completa en tu cuaderno.

8 5 6 3 6

8 2 14 9 5 7 6

22 Copia en tu cuaderno, calcula y completa.a) 123 · … = 5 904 b) … · 86 = 1 548c) … : 57 = 26 d) 1 862 : … = 133

23 Calcula mentalmente.a) 3 · (10 : 5) b) (4 · 6) : 8c) 20 : (2 · 5) d) (30 : 5) · 3e) 10 : (40 : 8) f ) (40 : 8) : 5

24 Calcula mentalmente, teniendo en cuenta que di-vidir entre 5 es igual que dividir entre 10 y, después, multiplicar por 2.

• 90 : 5 18

: 10 9 · 2

a) 60 : 5 b) 80 : 5 c) 120 : 5d) 140 : 5 e) 170 : 5 f ) 200 : 5g) 210 : 5 h) 340 : 5 i) 420 : 5

25 Copia en tu cuaderno, completa y calcula. 6 · (8 + 2) = 6 · 8 + 6 · 2 = 60 … = 5 · 9 – 5 · 6 = … (10 – 8) · 4 = … = … … = 7 · 12 – 2 · 12 = …

¿Qué propiedad has usado?

26 Resuelve mentalmente.a) En un bidón de agua caben 5 litros. ¿Cuántos bi-

dones se llenan con 100 litros?b) Un kilo de almendras cuesta 12 €. ¿Cuánto cuesta

una bolsa de 5 kilos?c) Una caja de refrescos contiene 24 botellas. ¿Cuán-

tas botellas hay en 10 cajas?d) Cambiar las cuatro cubiertas de las ruedas de un

coche ha salido por 360 euros. ¿Cuánto ha costado cada cubierta?

Sistemas de numeración

1 Traduce al sistema decimal estos números del anti-guo Egipto:

A

C

B

D

2 Escribe en el sistema aditivo egipcio cada uno de estos números:a) 48 b) 235 c) 2 130

3 Expresa en números romanos.a) 87 b) 425 c) 2 600 d) 54 528

4 Escribe el número «cincuenta y siete» en, al me-nos, tres sistemas de numeración.

5 ¿Cuántas cifras necesitas para escribir un billón? ¿Y un trillón? ¿Cuántos ceros son en cada caso?

6 ¿Verdadero o falso?a) Un millón equivale a mil centenas.b) Cien millones son mil centenas de millar.c) Mil veces un millón hacen un giga.d) Cien gigas hacen un billón.e) Un billón tiene un millón de millones.

7 Una estrella, A, está a una distancia de cinco años luz, y otra, B, a cinco billones de kilómetros. ¿Cuál de las dos está más lejos?

Aproximaciones

8 Copia en tu cuaderno y completa la tabla.

aproximaciones

número a las centenas de millar a los millones

2 830 55419 270 000

399 675 000

9 Meta 11.c. Según publicó un periódico cai-rota, la población de la capital de Egipto, en junio de 2018, era de 19 487 245 habitantes. Si te preguntaran por esa cifra y no te acordaras de la cantidad exacta, ¿qué responderías? Si continúa el crecimiento de la población, ¿cuál podría ser la cifra en 2030? ¿Qué medidas tomarías para favo-recer que en 2030 El Cairo sea una ciudad sostenible?

10 Lees, en un anuncio, que una vivienda se vende por 293 528 €. Unos días después lo comentas con una amiga, pero no te acuerdas exactamente del precio. ¿Cuál de las siguientes expresiones elegirías para transmitir la información? Explica por qué.a) Cuesta casi trescientos mil euros.b) Cuesta doscientos y pico mil.c) Cuesta doscientos noventa mil.

11 La tabla contiene algunos datos sobre el consumo en España de productos hortícolas durante 2016:

peso (toneladas)

valor (miles de €)

frutas frescas 4 369 449 6 195 054

hortalizas y patatas 3 626 510 5 214 031

total 7 995 959 11 409 085

Repite la tabla, aproximando los datos a los millones de toneladas y a los cientos de millones de euros.

Utilidades de los números12 Estos son los números de varias habitaciones en

un hotel de playa: 401; 235; 724; 231.a) Una de ellas está al final del pasillo. ¿Cuál es?b) Otra está en la última planta. ¿Qué número tiene?c) ¿Cuáles de ellas están a la misma altura?

13 ¿Recuerdas cómo se ordenan las matrículas de los coches? Observa las tres siguientes:

E 3948 FBG E 3894 FBG E 4389 GFB

a) ¿Cuál es la más antigua? ¿Y la más nueva?b) ¿Cuál es la siguiente a la roja? ¿Y la anterior?c) ¿Cuántos coches se matricularon entre la roja y la

verde?d) ¿Cuántos coches se matricularon después de la

azul con las mismas letras?

Compromiso ODSVisualizar el vídeo Meta 11.c. antes de realizar la acti-vidad 9 propuesta.Abrir un debate en clase sobre acciones que se pue-den llevar a cabo para hacer que las ciudades sean más sostenibles.

Plan LingüísticoDestreza: Expresión oral (texto argumentativo).En la actividad 10, animar al alumnado para que se enfrente a la situación de explicar en voz alta la expre-sión elegida.

Evaluaciónanayaeducacion.es En «Mis recursos en la web» dis-pone de documentación para la elaboración de un portfolio.

19

OperacionesSuma y resta

14 a) 7 490 b) 475c) 363 d) 660

15 a) 48 + 115 = 163 b) 103 + 256 = 359 c) 628 – 429 = 199 d) 480 – 284 = 196

16 a) 5 b) 3 c) 0d) 1 e) 10 f ) 4

17 a) 40 b) 43 c) 99d) 51 e) 257 f ) 131

18 a) 5 – [7 – 5] = 5 – 2 = 3 b) 3 + [8 – 7] = 3 + 1 = 4 c) 2 + [6 + 6] = 2 + 12 = 14d) 7 – [12 – 7] = 7 – 5 = 2e) 20 – [15 – 2] = 20 – 13 = 7f ) 15 – [17 – 12] = 15 – 5 = 10

Multiplicación y división

19 a) 160 b) 1 280 c) 600d) 1 700 e) 8 500 f ) 12 000g) 22 000 h) 134 000 i) 140 000

20 a) c = 330; r = 7 b) c = 46; r = 11 c) c = 201; r = 0d) c = 43; r = 0 e) c = 3; r = 0 f ) c = 107; r = 0

21 8 1 6 2 50 6 6 3 2

1 6

8 2 9 5 6 1 41 2 9 5 9 2 5

0 3 5 0 7 6 0 6

22 a) 123 · 48 = 5 904 b) 18 · 86 = 1 548c) 1 482 : 57 = 26 d) 1 862 : 14 = 133

23 a) 6 b) 3c) 2 d) 18e) 2 f ) 1

24 a) 12 b) 16c) 24 d) 28e) 34 f ) 40g) 42 h) 68i) 84

25 6 · (8 + 2) = 6 · 8 + 6 · 2 = 605 · (9 – 6) = 5 · 9 – 5 · 6 = 15(10 – 8) · 4 = 10 · 4 – 8 · 4 = 8(7 – 2) · 12 = 7 · 12 – 2 · 12 = 60Se ha usado la propiedad distributiva.

26 a) 100 : 5 = 20 bidonesb) 12 · 5 = 60 eurosc) 10 · 24 = 240 botellasd) 360 : 4 = 90 euros

20 2120

Ejercicios y problemas1UnidadEn el «Portfolio» del banco de recursos de anayaeducacion.es,

encontrarás orientaciones sobre cómo elaborar tu portfolio.

OperacionesSuma y resta

14 Calcula.a) 6 070 + 893 + 527 b) 651 + 283 – 459c) 831 – 392 – 76 d) 1 648 – 725 – 263

15 Copia en tu cuaderno, calcula y completa.a) 48 + … = 163 b) … + 256 = 359c) 628 – … = 199 d) … – 284 = 196

16 Calcula mentalmente.a) 5 + 7 – 3 – 4 b) 18 – 4 – 5 – 6c) 10 – 6 + 3 – 7 d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5e) 12 + 13 + 8 – 23 f ) 40 – 18 – 12 – 6

17 Calcula.a) 47 – (35 – 28) b) 52 – (36 – 27)c) 128 – (86 – 45 – 12) d) 237 – (152 + 48 – 14)e) 348 – (148 – 86 + 29) f ) 235 – (340 – 152 – 84)

18 Calcula.a) 5 – [7 – (2 + 3)]b) 3 + [8 – (4 + 3)]c) 2 + [6 + (13 – 7)]d) 7 – [12 – (2 + 5)]e) 20 – [15 – (11 – 9)]f ) 15 – [17 – (8 + 4)]Comprueba tus resultados:a) 3; b) 4; c) 14; d) 2; e) 7; f ) 10

Multiplicación y división

19 Multiplica.a) 16 · 10 b) 128 · 10 c) 60 · 10d) 17 · 100 e) 85 · 100 f ) 120 · 100g) 22 · 1 000 h) 134 · 1 000 i) 140 · 1 000

20 Calcula el cociente y el resto en cada caso:a) 2 647 : 8 b) 1 345 : 29c) 9 045 : 45 d) 7 482 : 174e) 7 971 : 2 657 f ) 27 178 : 254

21 Copia y completa en tu cuaderno.

8 5 6 3 6

8 2 14 9 5 7 6

22 Copia en tu cuaderno, calcula y completa.a) 123 · … = 5 904 b) … · 86 = 1 548c) … : 57 = 26 d) 1 862 : … = 133

23 Calcula mentalmente.a) 3 · (10 : 5) b) (4 · 6) : 8c) 20 : (2 · 5) d) (30 : 5) · 3e) 10 : (40 : 8) f ) (40 : 8) : 5

24 Calcula mentalmente, teniendo en cuenta que di-vidir entre 5 es igual que dividir entre 10 y, después, multiplicar por 2.

• 90 : 5 18

: 10 9 · 2

a) 60 : 5 b) 80 : 5 c) 120 : 5d) 140 : 5 e) 170 : 5 f ) 200 : 5g) 210 : 5 h) 340 : 5 i) 420 : 5

25 Copia en tu cuaderno, completa y calcula. 6 · (8 + 2) = 6 · 8 + 6 · 2 = 60 … = 5 · 9 – 5 · 6 = … (10 – 8) · 4 = … = … … = 7 · 12 – 2 · 12 = …

¿Qué propiedad has usado?

26 Resuelve mentalmente.a) En un bidón de agua caben 5 litros. ¿Cuántos bi-

dones se llenan con 100 litros?b) Un kilo de almendras cuesta 12 €. ¿Cuánto cuesta

una bolsa de 5 kilos?c) Una caja de refrescos contiene 24 botellas. ¿Cuán-

tas botellas hay en 10 cajas?d) Cambiar las cuatro cubiertas de las ruedas de un

coche ha salido por 360 euros. ¿Cuánto ha costado cada cubierta?

Sistemas de numeración

1 Traduce al sistema decimal estos números del anti-guo Egipto:

A

C

B

D

2 Escribe en el sistema aditivo egipcio cada uno de estos números:a) 48 b) 235 c) 2 130

3 Expresa en números romanos.a) 87 b) 425 c) 2 600 d) 54 528

4 Escribe el número «cincuenta y siete» en, al me-nos, tres sistemas de numeración.

5 ¿Cuántas cifras necesitas para escribir un billón? ¿Y un trillón? ¿Cuántos ceros son en cada caso?

6 ¿Verdadero o falso?a) Un millón equivale a mil centenas.b) Cien millones son mil centenas de millar.c) Mil veces un millón hacen un giga.d) Cien gigas hacen un billón.e) Un billón tiene un millón de millones.

7 Una estrella, A, está a una distancia de cinco años luz, y otra, B, a cinco billones de kilómetros. ¿Cuál de las dos está más lejos?

Aproximaciones

8 Copia en tu cuaderno y completa la tabla.

aproximaciones

número a las centenas de millar a los millones

2 830 55419 270 000

399 675 000

9 Meta 11.c. Según publicó un periódico cai-rota, la población de la capital de Egipto, en junio de 2018, era de 19 487 245 habitantes. Si te preguntaran por esa cifra y no te acordaras de la cantidad exacta, ¿qué responderías? Si continúa el crecimiento de la población, ¿cuál podría ser la cifra en 2030? ¿Qué medidas tomarías para favo-recer que en 2030 El Cairo sea una ciudad sostenible?

10 Lees, en un anuncio, que una vivienda se vende por 293 528 €. Unos días después lo comentas con una amiga, pero no te acuerdas exactamente del precio. ¿Cuál de las siguientes expresiones elegirías para transmitir la información? Explica por qué.a) Cuesta casi trescientos mil euros.b) Cuesta doscientos y pico mil.c) Cuesta doscientos noventa mil.

11 La tabla contiene algunos datos sobre el consumo en España de productos hortícolas durante 2016:

peso (toneladas)

valor (miles de €)

frutas frescas 4 369 449 6 195 054

hortalizas y patatas 3 626 510 5 214 031

total 7 995 959 11 409 085

Repite la tabla, aproximando los datos a los millones de toneladas y a los cientos de millones de euros.

Utilidades de los números12 Estos son los números de varias habitaciones en

un hotel de playa: 401; 235; 724; 231.a) Una de ellas está al final del pasillo. ¿Cuál es?b) Otra está en la última planta. ¿Qué número tiene?c) ¿Cuáles de ellas están a la misma altura?

13 ¿Recuerdas cómo se ordenan las matrículas de los coches? Observa las tres siguientes:

E 3948 FBG E 3894 FBG E 4389 GFB

a) ¿Cuál es la más antigua? ¿Y la más nueva?b) ¿Cuál es la siguiente a la roja? ¿Y la anterior?c) ¿Cuántos coches se matricularon entre la roja y la

verde?d) ¿Cuántos coches se matricularon después de la

azul con las mismas letras?

20

Ejercicios y problemas

22 2322

1Unidad

Resuelve problemas

36 Problema resuelto

Deja claro el significado de cada paso, de cada ope-ración y de cada resultado.

Un mayorista en alimentación compra 150 sacos de pa-tatas de 30 kg por 2 000 €. Después, al seleccionar la mercancía desecha 300 kg y envasa el resto en bolsas de 5 kg, que vende a 4 € la bolsa. ¿Qué ganancia obtiene?

— Kilos comprados (150 sacos de 30 kg): 150 · 30 = 4 500 kg

— Kilos envasados (desecha 300 kg): 4 500 – 300 = 4 200 kg

— Bolsas de 5 kg obtenidas: 4 200 : 5 = 840 bolsas— Ingresos, en euros, por la venta de 840 bolsas a 4 €

cada una: 840 · 4 = 3 360 €— Ganancias (ingresos, 3 360 €, menos gastos, 2 000 €):

3 360 – 2 000 = 1 360 €Solución: El mayorista gana 1 360 €.

37 En una industria conservera se preparan 250 kg de mermelada de ciruela que se envasan en tarros de 200 g. Durante el proceso se desechan 17 tarros por rotura o por sellado defectuoso. ¿Cuántos tarros váli-dos se obtienen?

38 La construcción de cierto chalé, A, duró 14 me-ses y comenzó 4 meses después de que se iniciaran las obras de otro chalé, B, cuya construcción duró 15 meses. Si A se finalizó en junio, ¿en qué mes se fina-lizó B?

39 En el vivero de una huerta se preparan 50 bande-jas con 100 semillas en cada una. En cada bandeja se malogran, por término medio, 20 semillas. ¿Cuántos plantones espera obtener el hortelano?

40 En la estantería de los refrescos del supermerca-do quedaban 7 cajas de 6 botes y 4 botes sueltos. La reponedora coloca 12 cajas más. ¿Cuántos botes hay ahora?

41 María ha mandado en la última semana 40 men-sajes con su móvil. A su hermano Pepe le ha man-dado cinco; a sus padres, tres más que a Pepe, y al grupo de su pandilla, el resto. ¿Cuántos mensajes ha mandado a la pandilla?

42 Como pago por buzonear 7 tacos de propaganda, Clara ha recibido 28 euros. ¿Cuánto habría recibido si hubiera repartido un taco más?

43 Del horno de cierto obrador de bollería salen ca-da día cinco bandejas con tres docenas de magdalenas cada una. ¿Cuántas magdalenas fabrican a la semana, teniendo en cuenta que los lunes cierran por descan-so del personal?

44 En una granja hay el doble de vacas que de caba-llos y en total son 36 cabezas. ¿Cuántas vacas y cuán-tos caballos son?

45 Un camión de reparto transporta 15 cajas de re-frescos de naranja y 12 de limón. ¿Cuántas botellas lleva en total si cada caja contiene 24 unidades?

46 En la familia Smith, el padre, Jonathan, cobra 1 940 dólares al mes. Si gana 720 dólares más que Jon, el hijo mayor, 880 más que Cathy, la hija que si-gue, más joven, y 280 menos que Catherine, su mu-jer, ¿cuáles son los ingresos mensuales de la familia?

47 Rosa tiene dos años más que su hermano peque-ño, Julián, y dos menos que Alberto, su hermano mayor. Si entre los tres igualan la edad de su madre, Marta, que acaba de cumplir 42, ¿cuántos años tiene cada uno de los hermanos?

48 Un tren de mercancías, que avanza a 55 km/h, se cruza con uno de pasajeros que avanza por la vía paralela a 105 km/h. ¿Qué distancia los separa media hora más tarde?

49 Un coche y una moto parten a la vez de una ca-fetería de carretera en la misma dirección. El coche avanza a 90 km/h, y la moto, a 100 km/h. ¿Qué dis-tancia los separa al cabo de hora y media?

27 ¿Verdadero o falso?a) Al multiplicar un número por tres obtenemos el

mismo resultado que si le sumamos su doble.b) Tres veces quince es lo mismo que quince veces

tres.c) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar

dos veces por cinco.d) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar

primero por cinco y después por dos.e) La propiedad conmutativa se cumple solo para los

números pares.

28 Investiga: Si en una división multiplicas el dividendo y el divisor por el mismo número, el co-ciente no varía. Pero ¿qué le ocurre al resto?

Operaciones combinadas29 Opera.

a) 2 · (4 + 6) b) 2 · 4 + 6c) 8 : (7 – 5) d) 5 · 7 – 5e) (5 + 6) · 4 f ) 5 + 6 : 3g) (19 – 7) : 2 h) 18 – 7 · 2

30 Calcula.a) 8 + 7 – 3 · 4 b) 8 : 4 + 7 – 3c) 15 – 2 · 3 – 5 d) 10 – 12 : 6 – 4e) 22 – 6 · 3 + 5 f ) 8 + 10 : 5 – 10g) 36 – 8 · 4 – 1 h) 11 – 2 – 9 : 3i) 4 · 7 – 13 – 2 · 6 j) 15 : 3 + 7 + 4 : 2k) 5 · 4 + 12 – 6 · 4 l) 12 : 4 – 1 – 6 : 3m) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5 n) 9 : 3 + 8 : 4 – 7 : 7ñ) 8 · 8 – 4 · 6 – 5 · 8 o) 18 : 2 – 12 : 3 – 6 : 2

31 Escribe una expresión con los números 9, 3 y 1 cuyo resultado sea el peso que marca cada balanza:

32 Calcula.a) 30 – 4 · (5 + 2) b) 5 + 3 · (8 – 6)c) 5 · (11 – 3) + 7 d) 3 · (2 + 5) – 13e) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4) f ) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7)g) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2) h) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3)Comprueba tus soluciones:a) 2; b) 11; c) 47; d) 8; e) 9; f ) 14; g) 9; h) 11

Interpreta, describe, exprésate

33 Asocia cada enunciado con dos de las expresiones de abajo: I. En el autobús urbano iban 50 personas. En la

primera parada bajan 16 y suben 4. II. La clase de música tiene 50 estudiantes matricu-

lados, pero hoy han faltado 4 y otros 16 han ido a un concierto.

III. Ernesto compró una camiseta de 16 € y una go-rra de 4 €, y pagó con un billete de 50 €.

IV. En el hotel han pernoctado 50 clientes. Hoy en-tran 16 nuevos y salen 4.

a) 50 – 16 – 4 b) 50 – 16 + 4 c) 50 – (16 + 4)d) 50 – (16 – 4) e) 50 + (16 – 4) f ) 50 + 16 – 4

34 ¿Cuál o cuáles de las expresiones aritméticas lle-van a la solución de este problema?En el supermercado se han vendido esta mañana 24 kg de manzanas a 2 €/kg, 12 melones a 4 € la pieza, y 13 piñas a 2 € cada una. ¿Cuánto se ha ingresado en caja por la venta de esas frutas?a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2 b) 24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2c) (24 + 13) · 2 + 12 · 4 d) (24 + 13 + 2) · (2 + 4)

35 Lee el enunciado del problema y observa su reso-lución. Después, explica el significado de cada opera-ción y lo que se obtiene en cada resultado parcial.En una granja hay caballos, vacas y gallinas. En total hemos contado 714 patas, 168 cuernos y 137 picos. ¿Cuántos caballos hay en la granja?Resolución

1.º 168 : 2 = 84 2.º 84 · 4 = 3363.º 137 · 2 = 274 4.º 336 + 274 = 6105.º 714 – 610 = 104 6.º 104 : 4 = 26

A B

Ejercicios y problemas

22 2322

1Unidad

Resuelve problemas

36 Problema resuelto

Deja claro el significado de cada paso, de cada ope-ración y de cada resultado.

Un mayorista en alimentación compra 150 sacos de pa-tatas de 30 kg por 2 000 €. Después, al seleccionar la mercancía desecha 300 kg y envasa el resto en bolsas de 5 kg, que vende a 4 € la bolsa. ¿Qué ganancia obtiene?

— Kilos comprados (150 sacos de 30 kg): 150 · 30 = 4 500 kg

— Kilos envasados (desecha 300 kg): 4 500 – 300 = 4 200 kg

— Bolsas de 5 kg obtenidas: 4 200 : 5 = 840 bolsas— Ingresos, en euros, por la venta de 840 bolsas a 4 €

cada una: 840 · 4 = 3 360 €— Ganancias (ingresos, 3 360 €, menos gastos, 2 000 €):

3 360 – 2 000 = 1 360 €Solución: El mayorista gana 1 360 €.

37 En una industria conservera se preparan 250 kg de mermelada de ciruela que se envasan en tarros de 200 g. Durante el proceso se desechan 17 tarros por rotura o por sellado defectuoso. ¿Cuántos tarros váli-dos se obtienen?

38 La construcción de cierto chalé, A, duró 14 me-ses y comenzó 4 meses después de que se iniciaran las obras de otro chalé, B, cuya construcción duró 15 meses. Si A se finalizó en junio, ¿en qué mes se fina-lizó B?

39 En el vivero de una huerta se preparan 50 bande-jas con 100 semillas en cada una. En cada bandeja se malogran, por término medio, 20 semillas. ¿Cuántos plantones espera obtener el hortelano?

40 En la estantería de los refrescos del supermerca-do quedaban 7 cajas de 6 botes y 4 botes sueltos. La reponedora coloca 12 cajas más. ¿Cuántos botes hay ahora?

41 María ha mandado en la última semana 40 men-sajes con su móvil. A su hermano Pepe le ha man-dado cinco; a sus padres, tres más que a Pepe, y al grupo de su pandilla, el resto. ¿Cuántos mensajes ha mandado a la pandilla?

42 Como pago por buzonear 7 tacos de propaganda, Clara ha recibido 28 euros. ¿Cuánto habría recibido si hubiera repartido un taco más?

43 Del horno de cierto obrador de bollería salen ca-da día cinco bandejas con tres docenas de magdalenas cada una. ¿Cuántas magdalenas fabrican a la semana, teniendo en cuenta que los lunes cierran por descan-so del personal?

44 En una granja hay el doble de vacas que de caba-llos y en total son 36 cabezas. ¿Cuántas vacas y cuán-tos caballos son?

45 Un camión de reparto transporta 15 cajas de re-frescos de naranja y 12 de limón. ¿Cuántas botellas lleva en total si cada caja contiene 24 unidades?

46 En la familia Smith, el padre, Jonathan, cobra 1 940 dólares al mes. Si gana 720 dólares más que Jon, el hijo mayor, 880 más que Cathy, la hija que si-gue, más joven, y 280 menos que Catherine, su mu-jer, ¿cuáles son los ingresos mensuales de la familia?

47 Rosa tiene dos años más que su hermano peque-ño, Julián, y dos menos que Alberto, su hermano mayor. Si entre los tres igualan la edad de su madre, Marta, que acaba de cumplir 42, ¿cuántos años tiene cada uno de los hermanos?

48 Un tren de mercancías, que avanza a 55 km/h, se cruza con uno de pasajeros que avanza por la vía paralela a 105 km/h. ¿Qué distancia los separa media hora más tarde?

49 Un coche y una moto parten a la vez de una ca-fetería de carretera en la misma dirección. El coche avanza a 90 km/h, y la moto, a 100 km/h. ¿Qué dis-tancia los separa al cabo de hora y media?

27 ¿Verdadero o falso?a) Al multiplicar un número por tres obtenemos el

mismo resultado que si le sumamos su doble.b) Tres veces quince es lo mismo que quince veces

tres.c) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar

dos veces por cinco.d) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar

primero por cinco y después por dos.e) La propiedad conmutativa se cumple solo para los

números pares.

28 Investiga: Si en una división multiplicas el dividendo y el divisor por el mismo número, el co-ciente no varía. Pero ¿qué le ocurre al resto?

Operaciones combinadas29 Opera.

a) 2 · (4 + 6) b) 2 · 4 + 6c) 8 : (7 – 5) d) 5 · 7 – 5e) (5 + 6) · 4 f ) 5 + 6 : 3g) (19 – 7) : 2 h) 18 – 7 · 2

30 Calcula.a) 8 + 7 – 3 · 4 b) 8 : 4 + 7 – 3c) 15 – 2 · 3 – 5 d) 10 – 12 : 6 – 4e) 22 – 6 · 3 + 5 f ) 8 + 10 : 5 – 10g) 36 – 8 · 4 – 1 h) 11 – 2 – 9 : 3i) 4 · 7 – 13 – 2 · 6 j) 15 : 3 + 7 + 4 : 2k) 5 · 4 + 12 – 6 · 4 l) 12 : 4 – 1 – 6 : 3m) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5 n) 9 : 3 + 8 : 4 – 7 : 7ñ) 8 · 8 – 4 · 6 – 5 · 8 o) 18 : 2 – 12 : 3 – 6 : 2

31 Escribe una expresión con los números 9, 3 y 1 cuyo resultado sea el peso que marca cada balanza:

32 Calcula.a) 30 – 4 · (5 + 2) b) 5 + 3 · (8 – 6)c) 5 · (11 – 3) + 7 d) 3 · (2 + 5) – 13e) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4) f ) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7)g) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2) h) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3)Comprueba tus soluciones:a) 2; b) 11; c) 47; d) 8; e) 9; f ) 14; g) 9; h) 11

Interpreta, describe, exprésate

33 Asocia cada enunciado con dos de las expresiones de abajo: I. En el autobús urbano iban 50 personas. En la

primera parada bajan 16 y suben 4. II. La clase de música tiene 50 estudiantes matricu-

lados, pero hoy han faltado 4 y otros 16 han ido a un concierto.

III. Ernesto compró una camiseta de 16 € y una go-rra de 4 €, y pagó con un billete de 50 €.

IV. En el hotel han pernoctado 50 clientes. Hoy en-tran 16 nuevos y salen 4.

a) 50 – 16 – 4 b) 50 – 16 + 4 c) 50 – (16 + 4)d) 50 – (16 – 4) e) 50 + (16 – 4) f ) 50 + 16 – 4

34 ¿Cuál o cuáles de las expresiones aritméticas lle-van a la solución de este problema?En el supermercado se han vendido esta mañana 24 kg de manzanas a 2 €/kg, 12 melones a 4 € la pieza, y 13 piñas a 2 € cada una. ¿Cuánto se ha ingresado en caja por la venta de esas frutas?a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2 b) 24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2c) (24 + 13) · 2 + 12 · 4 d) (24 + 13 + 2) · (2 + 4)

35 Lee el enunciado del problema y observa su reso-lución. Después, explica el significado de cada opera-ción y lo que se obtiene en cada resultado parcial.En una granja hay caballos, vacas y gallinas. En total hemos contado 714 patas, 168 cuernos y 137 picos. ¿Cuántos caballos hay en la granja?Resolución

1.º 168 : 2 = 84 2.º 84 · 4 = 3363.º 137 · 2 = 274 4.º 336 + 274 = 6105.º 714 – 610 = 104 6.º 104 : 4 = 26

A B

Ejercicios y problemasCE. 1.1. (EA.1.1.1.) CE. 1.2. (EA.1.2.1. - EA.1.2.2. - EA.1.2.4.) CE. 1.8. (EA.1.8.2. - EA.1.8.3.) CE. 1.10. (EA.1.10.1.)

27 a) Verdadero b) Verdadero c) Falso d) Verdadero e) Falso28 D = d · c + r

k · D = k · (d · c + r) = k · d · c + k · rLa propiedad distributiva nos dice que el resto queda también multiplicado por el mis-mo número.

Operaciones combinadas29 a) 20 b) 14 c) 4 d) 30

e) 44 f ) 7 g) 6 h) 430 a) 3 b) 6 c) 4 d) 4

e) 9 f ) 0 g) 3 h) 6i) 3 j) 14 k) 8 l) 0m) 12 n) 4 ñ) 0 o) 2

31 a) 9 + (3 – 1) = 11 b) 9 – (3 + 1) = 532 a) 30 – 4 · 7 = 30 – 28 = 2 b) 5 + 3 · 2 = 5 + 6 = 11

c) 5 · 8 + 7 = 40 + 7 = 47 d) 3 · 7 – 13 = 21 – 13 = 8e) 2 · 12 – 3 · 5 = 24 – 15 = 9 f ) 4 · 2 + 3 · 2 = 8 + 6 = 14g) 15 – 3 · (10 – 8) = 15 – 3 · 2 = 15 – 6 = 9h) 6 + 5 · (13 – 12) = 6 + 5 · 1 = 6 + 5 = 11

Interpreta, describe, exprésate33 I → b) y d) II → a) y c) III → a) y c) IV → e) y f )34 b) y c)35 1.º El número de vacas es igual a la mitad del número de cuernos:

Vacas → 168 : 2 = 842.º Patas de vaca → 84 · 4 = 3363.º El número de patas de gallina es el doble que el de picos: Patas de gallina → 137 · 2 = 2744.º Patas de vaca + patas de gallina → 336 + 274 = 6105.º El número de patas de caballo es igual al total de patas menos las de vaca y de gallina: Patas de caballo → 714 – 610 = 1046.º El número de caballos se obtiene dividiendo el dato anterior entre 4: Caballos → 104 : 4 = 26

Resuelve problemas 36 Problema resuelto.37 Se obtienen 1 233 tarros válidos.38 El chalé B se finalizó en marzo.39 Espera obtener 4 000 plantones.40 Ahora hay 118 botes.41 Ha mandado 27 mensajes.42 Si hubiera repartido un taco más, habría recibido 32 euros.43 Fabrica 1 080 magdalenas a la semana.44 Son 12 caballos y 24 vacas.45 Lleva 648 botellas en total. 46 La familia ingresa, mensualmente, 6 440 dólares.47 Julián tiene 12 años, Rosa 14 años y Alberto 16 años.48 La distancia que los separará media hora más tarde es de 80 km.49 La distancia que los separa hora y media más tarde es de 15 km.

Cultura emprendedoraProductividad (dimensión productiva): Mi proyecto.En la actividad 28 se insta al alumnado a realizar una pequeña investigación para la cual es fundamental te-ner una planificación y plan de actuación para garan-tizar su éxito.

21

La página 25 incluye una colección de problemas que remueven recursos y estrategias «di-ferentes» a los destinados a contextualizar y rentabilizar el uso de las cuatro operaciones básicas. Es decir, entrenan diversas destrezas para la resolución de problemas. A saber:• Pensamiento crítico: 64, 73• Apoyo de recursos gráficos: 65, 67, 70, 71• Interpretación de gráficos: 66• Generalización de procesos: 68• Experimentación, ensayo-error: 65, 69• Lógica, creatividad, imaginación: 68, 69, 70, 72, 73

50 Se ha salvado más de la mitad de la carga.

51 Necesitan 14 taxis.

52 Tardará 4 semanas en comprar el monopatín.

53 Cada día saca 174 coches.

54 Se han contratado 7 707 mujeres.

55 180 estudian un segundo idioma.60 estudian alemán.

56 Espera obtener 9 800 € por la venta.

57 Marta ha gastado 66 €, Julián 36 € y Rosa, 106 €.

58 Hay 10 posibilidades de juntar 1 €:

10 cts. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1020 cts. 5 0 2 4 1 3 0 2 – 1 – 050 cts. 0 2 1 0 1 0 1 0 – 0 – 0

59 Hay 8 números de cuatro cifras que solo contienen 0 y 1.Hay 16 números de cinco cifras que solo contienen 0 y 1.

60 Puede elegir 30 menús posibles.

61 Se pueden sentar de 24 maneras diferentes.

62 Se deben pedir 32 cajas para cumplir con el pedido.

63 Cada pato vale 10 €, y cada ganso, 30 €.

64 En 78 segundos recorrería 1 950 m. Sí, ha superado el límite de velocidad permitido.

65 El campo albergará 1 624 chopos.

66 Se han fabricado 3 960 coches rojos.

67 El 20 % de la población no ha estado ni en la playa ni en el pueblo.

68 La suma de los números del uno al cien es 5 050.

Problemas «+»69 Respuesta abierta. Por ejemplo: 1 102, 2 011 o 3 001.

70 Gorka tarda 10 minutos en alcanzar a Fernando.

71 En 1.º de ESO hay 105 alumnos y alumnas matriculados.

72 Pesan 46 kg, 45 kg, 42 kg y 38 kg.

73 En 55 vueltas y media la moto verde doblará a la roja.

Ejercicios y problemas

24 2524

1Unidad

64 Un coche tarda 78 segundos en atravesar un tra-mo de 2 km con la velocidad limitada a 90 km/h. ¿Crees que ha superado el límite permitido? ¿Por qué?

65 En un campo rectangular de 150 m × 300 m se van a plantar chopos, dispuestos en filas y columnas paralelas a las vallas, de forma que cada línea esté a 5 metros de las contiguas o, en su caso, de los bordes. ¿Cuántos chopos albergará el campo?

Dibujar sobre cuadrícula, casos más sencillos. Por ejemplo:

66 La gráfica informa de la distribución, por colores, de los 30 690 coches fabricados en un trimestre.

blanco verde azul rojo otrosgris

¿Cuántos coches rojos se han fabricado en ese período?

67 Para la elaboración de una estadística sobre las va-caciones en una ciudad de interior, se ha hecho una encuesta que arroja los siguientes datos:— El 56 % ha estado en la playa.— El 47 % ha pasado unos días en el pueblo.— El 23 % ha disfrutado de ambos destinos.¿Qué tanto por ciento no ha estado ni en la playa ni en el pueblo?

68 Martina ha obtenido así la suma de los 7 prime-ros números naturales.

:

1 2 3 4 5 6 77 6 5 4 3 2 18 8 8 8 8 8 8

8 7 5656 2 28

·+ + + + + ++ + + + + + +

+ + + + + +

==4

¿Sabrías calcular la suma del 1 al 100?

Problemas «+»69 Un número tiene cuatro cifras que suman 4. Si

intercambias las unidades con las centenas, aumen-ta en 99. ¿Qué número puede ser? Intenta encontrar más de una solución.

70 Gorka y Fernando viven en el mismo portal y van al mismo colegio. Gorka, cuando va solo, tarda 20 minutos en el recorrido de casa a clase. Fernando, a su paso, tarda 30 minutos en el mismo trayecto. Hoy, cuando sale Gorka, hace ya cinco minutos que se fue su compañero. ¿Cuánto tardará en alcanzarlo?

71 De los alumnos y las alumnas matriculados en 1.° de ESO, sabemos que:— 44 se quedan al comedor, 58 usan el transporte

escolar y 47 están apuntados a extraescolares.— 24 se quedan al comedor y a extraescolares.— 23 se quedan al comedor y usan el transporte es-

colar; 25 usan el transporte y se quedan a extraes-colares.

— 11 usan los tres servicios, y 17, ninguno de los tres.¿Cuántos alumnos y alumnas hay matriculados?

¿Te serviría uti-lizar un gráfico como este?

1.º ESO

COMEDOR TR. ESCOLAR

ACT. EXTR.

72 Cuatro amigos y amigas se pesan, por parejas, de todas las formas posibles y anotan desordenadamente los resultados obtenidos:

83 kg - 87 kg - 91 kg - 80 kg - 84 kg - 88 kgLa persona más grande pesa 46 kg. ¿Cuánto pesa ca-da uno por separado?

73 Se está celebrando el gran premio de motociclis-mo en el circuito de Laguna Sosa.

La moto verde salió mal y está invirtiendo 1 minuto y 46 segundos en cada vuelta. La moto roja salió bien, pero cada vuelta la da en 1 minuto y 48 segundos.En este momento cruza la línea de control la moto ro-ja, y 3 segundos después, la verde. Todavía queda mu-cha carrera por delante.¿Cuánto tardará la moto verde en doblar a la roja?

50 Un camión de reparto lleva 27 cajas de refrescos de 24 botellas. En un accidente se vuelca la carga y se rompen 311 botellas. Averigua si se ha salvado más o menos de la mitad de la carga.

51 Un autobús con 54 turistas a bordo sufre una avería camino del aeropuerto. Como no hay tiempo, pues el avión no espera, el responsable del grupo de-cide acomodar a las viajeras y los viajeros en taxis de cuatro plazas. ¿Cuántos taxis necesitan?

52 Marta tiene ahorrados 162 € y quiere comprar un monopatín que cuesta 199 €. Si consiguiera ahorrar de su paga 10 € cada semana, ¿cuántas semanas tardará en comprar el monopatín?

53 Una fábrica de coches ha producido 15 660 uni-dades entre enero, febrero y marzo. ¿Cuántos coches saca, por término medio, cada día?

54 El sector hotelero de cierta localidad turística ha contratado a 12 845 personas. Tres de cada cinco son mujeres. ¿Cuántas mujeres se han contratado?

55 En un colegio que tiene 450 estudiantes, dos de cada cinco estudian un segundo idioma y, de ellos, uno de cada tres ha elegido alemán. ¿Cuántos estu-dian segundo idioma? ¿Cuántos estudian alemán?

56 Un agricultor tiene 140 melocotoneros en un huerto. Atendiendo a su experiencia de campañas an-teriores, espera cosechar, por término medio, 35 kg de melocotones en cada árbol. La fruta, según se re-coge, se envasa en cajas de 10 kg y se vende a 20 € la caja. ¿Cuánto espera obtener por la venta de su cose-cha?

57 Marta, Julián y Rosa salen de compras. Marta gasta 30 € más que Julián y 40 € menos que Rosa. Si entre los tres han gastado 208 €, ¿cuánto ha gasta-do cada uno?

58 Tienes un buen montón de monedas de 50, 20 y 10 céntimos. ¿De cuántas formas diferentes puedes juntar 1 euro? Justifica tu respuesta.

59 Utilizando solamente ceros y unos, se pueden construir cuatro números diferentes de tres cifras:

111110

10

1011

1

0 1000

1

3.ª2.ª1.ª

¿Cuántos números de cuatro cifras tienen solo ceros y unos? ¿Y de cinco cifras?

60 La carta de un restaurante ofrece cinco variedades de primer plato, tres de segundo y dos de postre. ¿De cuántas formas puede elegir su menú un cliente que toma un plato de cada grupo?

61 Antonio, Beatriz, Cora y David acaban de entrar al cine. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar en las cuatro butacas que les corresponden?

Haz, primero, un problema más fácil: ¿De cuántas for-mas se podrían sentar si Antonio ha ocupado ya la buta-ca n.º 1?

62 Una empresa organizadora de eventos hace un pedido, a un almacén de flores, de 150 docenas de rosas. El almacén dispone en ese momento de 40 ca-jas de 25 rosas. ¿Cuántas cajas de 25 rosas se deben pedir para poder cubrir el pedido?

63 Valentina tiene una granja de patos y gansos. Hoy ha vendido 21 de sus animales por 350 euros.Entre los animales había el doble de patos que de gansos, y un ganso vale el triple que un pato.¿Qué precio tiene un pato? ¿Y un ganso?

1.a A2.a B B C C D D3.a C D B D B C4.a D C D B C B

1520

20 30

1520

20 30

Ejercicios y problemas

24 2524

1Unidad

64 Un coche tarda 78 segundos en atravesar un tra-mo de 2 km con la velocidad limitada a 90 km/h. ¿Crees que ha superado el límite permitido? ¿Por qué?

65 En un campo rectangular de 150 m × 300 m se van a plantar chopos, dispuestos en filas y columnas paralelas a las vallas, de forma que cada línea esté a 5 metros de las contiguas o, en su caso, de los bordes. ¿Cuántos chopos albergará el campo?

Dibujar sobre cuadrícula, casos más sencillos. Por ejemplo:

66 La gráfica informa de la distribución, por colores, de los 30 690 coches fabricados en un trimestre.

blanco verde azul rojo otrosgris

¿Cuántos coches rojos se han fabricado en ese período?

67 Para la elaboración de una estadística sobre las va-caciones en una ciudad de interior, se ha hecho una encuesta que arroja los siguientes datos:— El 56 % ha estado en la playa.— El 47 % ha pasado unos días en el pueblo.— El 23 % ha disfrutado de ambos destinos.¿Qué tanto por ciento no ha estado ni en la playa ni en el pueblo?

68 Martina ha obtenido así la suma de los 7 prime-ros números naturales.

:

1 2 3 4 5 6 77 6 5 4 3 2 18 8 8 8 8 8 8

8 7 5656 2 28

·+ + + + + ++ + + + + + +

+ + + + + +

==4

¿Sabrías calcular la suma del 1 al 100?

Problemas «+»69 Un número tiene cuatro cifras que suman 4. Si

intercambias las unidades con las centenas, aumen-ta en 99. ¿Qué número puede ser? Intenta encontrar más de una solución.

70 Gorka y Fernando viven en el mismo portal y van al mismo colegio. Gorka, cuando va solo, tarda 20 minutos en el recorrido de casa a clase. Fernando, a su paso, tarda 30 minutos en el mismo trayecto. Hoy, cuando sale Gorka, hace ya cinco minutos que se fue su compañero. ¿Cuánto tardará en alcanzarlo?

71 De los alumnos y las alumnas matriculados en 1.° de ESO, sabemos que:— 44 se quedan al comedor, 58 usan el transporte

escolar y 47 están apuntados a extraescolares.— 24 se quedan al comedor y a extraescolares.— 23 se quedan al comedor y usan el transporte es-

colar; 25 usan el transporte y se quedan a extraes-colares.

— 11 usan los tres servicios, y 17, ninguno de los tres.¿Cuántos alumnos y alumnas hay matriculados?

¿Te serviría uti-lizar un gráfico como este?

1.º ESO

COMEDOR TR. ESCOLAR

ACT. EXTR.

72 Cuatro amigos y amigas se pesan, por parejas, de todas las formas posibles y anotan desordenadamente los resultados obtenidos:

83 kg - 87 kg - 91 kg - 80 kg - 84 kg - 88 kgLa persona más grande pesa 46 kg. ¿Cuánto pesa ca-da uno por separado?

73 Se está celebrando el gran premio de motociclis-mo en el circuito de Laguna Sosa.

La moto verde salió mal y está invirtiendo 1 minuto y 46 segundos en cada vuelta. La moto roja salió bien, pero cada vuelta la da en 1 minuto y 48 segundos.En este momento cruza la línea de control la moto ro-ja, y 3 segundos después, la verde. Todavía queda mu-cha carrera por delante.¿Cuánto tardará la moto verde en doblar a la roja?

50 Un camión de reparto lleva 27 cajas de refrescos de 24 botellas. En un accidente se vuelca la carga y se rompen 311 botellas. Averigua si se ha salvado más o menos de la mitad de la carga.

51 Un autobús con 54 turistas a bordo sufre una avería camino del aeropuerto. Como no hay tiempo, pues el avión no espera, el responsable del grupo de-cide acomodar a las viajeras y los viajeros en taxis de cuatro plazas. ¿Cuántos taxis necesitan?

52 Marta tiene ahorrados 162 € y quiere comprar un monopatín que cuesta 199 €. Si consiguiera ahorrar de su paga 10 € cada semana, ¿cuántas semanas tardará en comprar el monopatín?

53 Una fábrica de coches ha producido 15 660 uni-dades entre enero, febrero y marzo. ¿Cuántos coches saca, por término medio, cada día?

54 El sector hotelero de cierta localidad turística ha contratado a 12 845 personas. Tres de cada cinco son mujeres. ¿Cuántas mujeres se han contratado?

55 En un colegio que tiene 450 estudiantes, dos de cada cinco estudian un segundo idioma y, de ellos, uno de cada tres ha elegido alemán. ¿Cuántos estu-dian segundo idioma? ¿Cuántos estudian alemán?

56 Un agricultor tiene 140 melocotoneros en un huerto. Atendiendo a su experiencia de campañas an-teriores, espera cosechar, por término medio, 35 kg de melocotones en cada árbol. La fruta, según se re-coge, se envasa en cajas de 10 kg y se vende a 20 € la caja. ¿Cuánto espera obtener por la venta de su cose-cha?

57 Marta, Julián y Rosa salen de compras. Marta gasta 30 € más que Julián y 40 € menos que Rosa. Si entre los tres han gastado 208 €, ¿cuánto ha gasta-do cada uno?

58 Tienes un buen montón de monedas de 50, 20 y 10 céntimos. ¿De cuántas formas diferentes puedes juntar 1 euro? Justifica tu respuesta.

59 Utilizando solamente ceros y unos, se pueden construir cuatro números diferentes de tres cifras:

111110

10

1011

1

0 1000

1

3.ª2.ª1.ª

¿Cuántos números de cuatro cifras tienen solo ceros y unos? ¿Y de cinco cifras?

60 La carta de un restaurante ofrece cinco variedades de primer plato, tres de segundo y dos de postre. ¿De cuántas formas puede elegir su menú un cliente que toma un plato de cada grupo?

61 Antonio, Beatriz, Cora y David acaban de entrar al cine. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar en las cuatro butacas que les corresponden?

Haz, primero, un problema más fácil: ¿De cuántas for-mas se podrían sentar si Antonio ha ocupado ya la buta-ca n.º 1?

62 Una empresa organizadora de eventos hace un pedido, a un almacén de flores, de 150 docenas de rosas. El almacén dispone en ese momento de 40 ca-jas de 25 rosas. ¿Cuántas cajas de 25 rosas se deben pedir para poder cubrir el pedido?

63 Valentina tiene una granja de patos y gansos. Hoy ha vendido 21 de sus animales por 350 euros.Entre los animales había el doble de patos que de gansos, y un ganso vale el triple que un pato.¿Qué precio tiene un pato? ¿Y un ganso?

1.a A2.a B B C C D D3.a C D B D B C4.a D C D B C B

1520

20 30

1520

20 30

22

Taller de matemáticasCE. 1.2. (EA.1.2.1. - EA.1.2.3. - EA.1.2.4.) CE. 1.3. (EA.1.3.1. - EA.1.3.2.) CE. 1.6. (EA.1.6.2.) CE. 1.8. (EA.1.8.1. - EA.1.8.4.) CE. 1.9. (EA.1.9.1.) CE. 2.1. (EA.2.1.3.) CE. 2.4. (EA.2.4.2.)

Lee e infórmateContar: del pasado al presenteEl apoyo a la lectura comprensiva, la curiosidad por el desarrollo histórico de las matemáti-cas, por hechos o anécdotas interesantes relacionados con la evolución de los números, con las estrategias o herramientas de cálculo, o con los hombres y las mujeres que han contri-buido al desarrollo de las matemáticas, forman parte de esos contenidos que, además de necesarios para la formación del alumnado, nos ayudarán a aportar elementos de motiva-ción, a romper los momentos de trabajo rutinario y a hacer más atractiva la asignatura.La comprensión del texto se puede complementar con un turno de comentarios, en el que las alumnas y los alumnos puedan expresar sus opiniones o aportar más datos sobre el te-ma. Finalmente, como trabajo de grupo, se puede pedir la búsqueda de más información (Internet, biblioteca, etc.) y la confección de un mural que muestre, secuenciadamente, el desarrollo de los instrumentos de cálculo a lo largo de la historia.

Así multiplicaban los antiguos egipciosSe puede reforzar la justificación del método recurriendo al siguiente proceso basado en la propiedad distributiva:23 · 18 ↔ (1 + 2 + 4 + 16) · 18 = 1 · 18 + 2 · 18 + 4 · 18 + 16 · 18 =

= 18 + 2 · 18 + 2 · 2 · 18 + 2 · 2 · 2 · 2 · 18• a) 17 × 41 b) 41 × 17

1

2

4

8

16

17

41

82

164

328

656

697

⎯→⎯→⎯→

⎯→

→

→←

←•

←•→

1

2

4

8

16

32

41

17

34

68

136

272

544

697

⎯→

⎯→

⎯→

→

→

→←

←•

←•

←•→

InvestigaEstas actividades, en las que el alumnado se enfrenta a una dificultad adecuada a su nivel, pero sin presentación teórica, suelen ser bien aceptadas y se adaptan al trabajo en grupo y al aprendizaje entre iguales.Para la realización de esta actividad conviene que el alumnado disponga de un ábaco que le facilite el descubrimiento por experimentación y ensayo-error. Una vez descubierto el fun-cionamiento del ábaco, conviene dejar constancia por escrito de las conclusiones.Se recomienda la realización de las actividades propuestas en pequeño grupo, sin instruc-ciones previas, con posterior puesta en común.•

• a)

b)

2726

Taller de matemáticas1Unidad

Los ábacos aparecen en muchas culturas a lo largo de la historia. El más potente de todos es el ábaco chino, como el que aparece en la ilustración, donde se muestra cómo sumar 326 + 15:

• Analiza y descifra los movimientos de fichas realizados para realizar esa suma.• Dibuja, de la misma forma, los movimientos necesarios para hacer estas operaciones:

a) 211 + 42 b) 131 – 6

Contar: del pasado al presente¿Seríamos capaces de comunicarnos, trabajar, construir, comerciar…, es decir, de vivir en el mundo actual, sin la ayuda de los números? El nacimiento y el desarrollo de la civilización han llevado parejo el nacimiento y la evolución de los números, y al mismo tiempo se han ido creando instrumentos cada vez más sofisticados para representarlos y hacer operaciones. La primera calculadora que inventó la humanidad fueron los dedos de las manos. ¿Quién no ha contado alguna vez con los dedos? Después, para manejar números más grandes, se idearon métodos que utilizaban montoncitos de piedras (cálcu-los), bolitas ensartadas en cuerdas, ábacos… hasta llegar en épocas recientes a las calculadoras mecánicas y, por último, a las electrónicas y a los actuales ordenado-res, capaces de manejar números enormes y operar a velocidades increíbles.

Así multiplicaban los antiguos egipciosLa población egipcia multiplicaba por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo hacían 23 × 18.Escribían dos columnas de números siguiendo las siguientes reglas:— En la primera, duplicaban sucesivamente 1 sin sobrepasar el primer factor; en

nuestro caso, sin pasarse de 23.— En la segunda, duplicaban sucesivamente el segundo factor, en nuestro ejemplo,

18, tantas veces como habían duplicado 1 en la primera columna.— Después, en la primera columna tomaban los sumandos necesarios para obtener

23: 1 + 2 + 4 + 16 = 23— Para concluir, cogían, en la segunda columna, los sumandos correspondientes

a los tomados en la primera. El resultado de esa suma era el producto buscado: 18 + 36 + 72 + 288 = 414 → 23 × 18 = 414

• Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones:a) 17 × 41 b) 41 × 17

1248

1623

183672

144288414

⎯→⎯→⎯→

⎯→

→→→

→←

←•←•←•

←•→

+15

Reflexiona y ensaya• Coloca en tu cuaderno los números del 1 al 9, uno por

casilla, de forma que todos los tríos alineados sumen 15.

• ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar utili-zando solamente las cifras 1, 2 y 3?

• En una bandeja había varios sándwiches cuadrados y hemos partido algunos por la mitad en forma de trián-gulo. Si en total cuento 18 esquinas, ¿cuántos están en-teros y cuántos partidos?

¿Te ayudaría completar esta tabla?

cuadrados 1 2 3esquinas 4

resto esquinas 14triángulos No posible

INVESTIGA

LEE E INFÓRMATE ENTRÉNATE RESOLVIENDO OTROS PROBLEMAS

1 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:

sistemas de numeración

egipcio

maya

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19decimal 528

Di si cada uno de los sistemas es aditivo o posicional. ¿Cuál es la diferencia?

2 Copia en tu cuaderno y rellena los huecos.a) 18 · = 180 b) · 100 = 27 000c) 4 000 : = 40 d) : 10 = 38

3 Copia en tu cuaderno y calcula los términos que fal-tan. a) 154 · = 462 b) : 27 = 98c) 30 275 : = 35 d) 1 508 = · 125 + 8

4 Realiza las siguientes operaciones combinadas:a) 12 + 3 · 5 – 2 b) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7c) 7 · 3 – 4 · 2 + 2 d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)]

5 En una cafetería hay 60 asientos. Si las sillas son el triple que las banquetas, ¿cuántas hay de cada clase?

6 Observa estas cantidades:• La extensión de Brasil es de ocho millones quinien-

tos catorce mil ochocientos setenta y siete kilóme-tros cuadrados.

• La población mundial en abril de 2018 era de 7 601 767 200 habitantes.

a) Expresa con cifras la primera cantidad y con letras la segunda.

b) Redondéalas a las decenas de millar. c) Redondéalas al orden de unidad que consideres

más adecuado para que la información sea razona-ble e indica a qué orden has redondeado.

7 Un camión que avanza por una carretera a 60 kiló-metros por hora se cruza con un coche que avanza en sentido contrario a 90 kilómetros por hora. ¿Qué distancia los separa 10 minutos después?

8 Una apicultora tiene 187 colmenas con una produc-ción de dos cosechas al año, a razón de 9 kilos de miel por colmena en cada cosecha. a) La miel se envasa en tarros de medio kilo. ¿Cuán-

tos tarros de miel obtiene al año? b) Los tarros se envasan en cajas de seis que se ven-

den a 18 € cada una. ¿Qué beneficio anual pro-duce el colmenar?

c) ¿Cuál es, en números redondos, ese beneficio?

AUTOEVALUACIÓN anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.

Visualiza el vídeo meta 13.3., piensa en una acción con la que podrías contribuir al logro de esa meta y comprométete a llevarla a cabo.Compromiso

Plan LingüísticoDestreza: Comprensión escrita (texto expositivo).En este apartado, el alumnado debe extraer y com-prender la información que contiene el texto para luego ser capaz de resolver las actividades propuestas.

Cultura emprendedoraIniciativa (dimensión productiva): Apoyo los cambios.Plantear en común cómo resolver las actividades de esta sección y llegar a acuerdos, cambiando de opi-nión si fuese necesario.

+ 15

300 + 20 + 6326

300 + ( 20 + 10 ) + (6 + 5 ) 300 + ( 30 + 10 ) + 1326 + 15

300 + 40 + 1341

+ 42211 + 42

200 + 10 + 1211

200 + ( 10 + 40 ) + (1 + 2 ) 253

– 6 – 6131 – 6

100 + 30 + 1131

100 + 20 + 11 100 + 20 + ( 11 – 6 ) 125preparación

23

Entrénate resolviendo otros problemasSe incluyen en este apartado una serie de problemas o retos, independientes de formulacio-nes teóricas y del programa de contenidos, cuyo objetivo es practicar estrategias de elabora-ción personal en la resolución de problemas de lógica. El alumnado recurrirá, por supuesto, a sus conocimientos matemáticos, pero también a la experimentación, al tanteo, al descu-brimiento por ensayo-error, o a cualquier otro camino que le lleve a la solución.• Colocando el 5 en el centro:

12

3

4

5

98

7

6

• Para la primera cifra hay tres opciones (1, 2 o 3). Para cada una de esas tres opciones hay otras tres para la segunda cifra, y otras tres para la tercera. Por tanto, existen 3 · 3 · 3 = 27 números distintos con las condiciones dadas. Ver el esquema del margen.

• Al intentar completar en la tabla el número de cuadrados (primera fila) y las esquinas que corresponden en cada caso (segunda fila), queda condicionado el número de esquinas de triángulos (tercera fila), que debe ser múltiplo de tres. Así aparece el único caso posible: 3 cuadrados (12 esquinas) y dos triángulos (6 esquinas).

cuadrados 1 2 3 4 5esquinas 4 8 12 16 20

resto esquinas 14 10 6 2triángulos No posible 2

Por tanto, había cuatro sándwiches y se ha partido uno.

Autoevaluación1 sistemas de numeración

egipcio

maya

decimal 3 042 13 528

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

El sistema de numeración egipcio es aditivo. El maya es en parte aditivo y en parte posi-cional. Y el sistema de numeración decimal es posicional.

2 a) 10 b) 270 c) 100 d) 380 3 a) 3 b) 2 646 c) 865 d) 124 a) 25 b) 32 c) 15 d) 130 5 Hay 15 banquetas y 45 sillas.6 a) 8 514 877 → Siete mil seiscientos un millones setecientos sesenta y siete mil doscientos

b) 8 510 000 → 7 601 770 000c) Redondeo a las centenas de millar: 8 500 000 Redondeo a las centenas de millón: 7 600 000 000

7 10 minutos después los separará una distancia de 25 km.8 a) Obtiene 6 732 tarros de miel al año.

b) Obtiene un beneficio anual de 20 196 €.c) El beneficio redondeado será de 20 000 €.

2726

Taller de matemáticas1Unidad

Los ábacos aparecen en muchas culturas a lo largo de la historia. El más potente de todos es el ábaco chino, como el que aparece en la ilustración, donde se muestra cómo sumar 326 + 15:

• Analiza y descifra los movimientos de fichas realizados para realizar esa suma.• Dibuja, de la misma forma, los movimientos necesarios para hacer estas operaciones:

a) 211 + 42 b) 131 – 6

Contar: del pasado al presente¿Seríamos capaces de comunicarnos, trabajar, construir, comerciar…, es decir, de vivir en el mundo actual, sin la ayuda de los números? El nacimiento y el desarrollo de la civilización han llevado parejo el nacimiento y la evolución de los números, y al mismo tiempo se han ido creando instrumentos cada vez más sofisticados para representarlos y hacer operaciones. La primera calculadora que inventó la humanidad fueron los dedos de las manos. ¿Quién no ha contado alguna vez con los dedos? Después, para manejar números más grandes, se idearon métodos que utilizaban montoncitos de piedras (cálcu-los), bolitas ensartadas en cuerdas, ábacos… hasta llegar en épocas recientes a las calculadoras mecánicas y, por último, a las electrónicas y a los actuales ordenado-res, capaces de manejar números enormes y operar a velocidades increíbles.

Así multiplicaban los antiguos egipciosLa población egipcia multiplicaba por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo hacían 23 × 18.Escribían dos columnas de números siguiendo las siguientes reglas:— En la primera, duplicaban sucesivamente 1 sin sobrepasar el primer factor; en

nuestro caso, sin pasarse de 23.— En la segunda, duplicaban sucesivamente el segundo factor, en nuestro ejemplo,

18, tantas veces como habían duplicado 1 en la primera columna.— Después, en la primera columna tomaban los sumandos necesarios para obtener

23: 1 + 2 + 4 + 16 = 23— Para concluir, cogían, en la segunda columna, los sumandos correspondientes

a los tomados en la primera. El resultado de esa suma era el producto buscado: 18 + 36 + 72 + 288 = 414 → 23 × 18 = 414

• Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones:a) 17 × 41 b) 41 × 17

1248

1623

183672

144288414

⎯→⎯→⎯→

⎯→

→→→

→←

←•←•←•

←•→

+15

Reflexiona y ensaya• Coloca en tu cuaderno los números del 1 al 9, uno por

casilla, de forma que todos los tríos alineados sumen 15.

• ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar utili-zando solamente las cifras 1, 2 y 3?

• En una bandeja había varios sándwiches cuadrados y hemos partido algunos por la mitad en forma de trián-gulo. Si en total cuento 18 esquinas, ¿cuántos están en-teros y cuántos partidos?

¿Te ayudaría completar esta tabla?

cuadrados 1 2 3esquinas 4

resto esquinas 14triángulos No posible

INVESTIGA

LEE E INFÓRMATE ENTRÉNATE RESOLVIENDO OTROS PROBLEMAS

1 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:

sistemas de numeración

egipcio

maya

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19decimal 528

Di si cada uno de los sistemas es aditivo o posicional. ¿Cuál es la diferencia?

2 Copia en tu cuaderno y rellena los huecos.a) 18 · = 180 b) · 100 = 27 000c) 4 000 : = 40 d) : 10 = 38

3 Copia en tu cuaderno y calcula los términos que fal-tan. a) 154 · = 462 b) : 27 = 98c) 30 275 : = 35 d) 1 508 = · 125 + 8

4 Realiza las siguientes operaciones combinadas:a) 12 + 3 · 5 – 2 b) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7c) 7 · 3 – 4 · 2 + 2 d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)]

5 En una cafetería hay 60 asientos. Si las sillas son el triple que las banquetas, ¿cuántas hay de cada clase?

6 Observa estas cantidades:• La extensión de Brasil es de ocho millones quinien-

tos catorce mil ochocientos setenta y siete kilóme-tros cuadrados.

• La población mundial en abril de 2018 era de 7 601 767 200 habitantes.

a) Expresa con cifras la primera cantidad y con letras la segunda.

b) Redondéalas a las decenas de millar. c) Redondéalas al orden de unidad que consideres

más adecuado para que la información sea razona-ble e indica a qué orden has redondeado.

7 Un camión que avanza por una carretera a 60 kiló-metros por hora se cruza con un coche que avanza en sentido contrario a 90 kilómetros por hora. ¿Qué distancia los separa 10 minutos después?

8 Una apicultora tiene 187 colmenas con una produc-ción de dos cosechas al año, a razón de 9 kilos de miel por colmena en cada cosecha. a) La miel se envasa en tarros de medio kilo. ¿Cuán-

tos tarros de miel obtiene al año? b) Los tarros se envasan en cajas de seis que se ven-

den a 18 € cada una. ¿Qué beneficio anual pro-duce el colmenar?

c) ¿Cuál es, en números redondos, ese beneficio?

AUTOEVALUACIÓN anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.

Visualiza el vídeo meta 13.3., piensa en una acción con la que podrías contribuir al logro de esa meta y comprométete a llevarla a cabo.Compromiso

TICanayaeducacion.es Soluciones de la autoevaluación.

Compromiso ODSVisualizar el vídeo Meta 13.3.Abrir un debate en clase sobre acciones que se pue-den llevar a cabo para mitigar el cambio climático.

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Estándares de aprendizaje y criterios de evaluacióncurrÍculo de andalucía

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