esfuerzos en vigas

18/09/2015

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ESFUERZOS EN VIGAS

Esfuerzos en vigas Resultantes de esfuerzos: Fuerzas cortantes Momentos flexionantes Esfuerzos y deformaciones unitarias

Analizar y diseñar vigas sometidas a una variedad de condiciones de carga

Flexión

Curva de deflexión

Ejes coordenados: origen en el apoyo fijo x(+) hacia la derecha y(+) hacia arriba z dirigido hacia fuera

Las vigas deben ser: Simétricas con respecto al eje xy Eje y es de simetría de la sección transversal Todas las cargas deben actuar en el eje xy

Plano de deflexión Deflexión = desplazamiento

Viga con carga

v

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Flexión pura y flexión no uniforme

Flexión pura Flexión no uniforme

La fuerza cortante es cero ya que Vdx

dM

Flexión en presencia de fuerzas cortantes

Viga simple en flexión pura

Viga en voladizo en flexión pura

Curvatura de una viga

1k

21mmO dsd

ds

dk

1

Om1

dx

dk

1

Curvatura de la curva de deflexión

Centro de curvatura

Radio de curvatura

Para deflexiones pequeñas

dxds

Convención de signos para la curvatura de una viga

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Deformaciones unitarias longitudinales en vigas

Las secciones transversales de la viga permanecen planas y normales al eje longitudinal

Superficie neutra

Eje neutro de la Sección transversal

La distancia en la superficie neutra no cambia

dx

dxd

deformaciones unitaria normales x

La longitud de la línea después de la deflexión es

1Lef

dxy

dxdyL

1

ydxdxL 1

La relación deformación unitaria-curvatura es ky

yx

Esfuerzos normales en vigas (materiales linealmente elásticos)

kyy

x

Deformaciones unitarias longitudinales

De la curva esfuerzo-deformación

Para un material linealmente elástico ESustituimos la ley de Hooke para esfuerzo uniaxial

EkyEy

E xx

Resultantes de los esfuerzos normales: (1) Una fuerza que actúa en la dirección (2) Momento resultante = Momento flexionante

0x

M

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Fuerza que actúa sobre el elmento = dAxEsfuerzos de compresión (-)

Primera ecuación de la estática:

0 AAx EkydAdA

0A ydA

El eje neutro pasa por el centroide del área de la sección transversal cuando el material obedece a la ley de Hooke y no hay una fuerza axial que actúe sobre la sección transversal.

El origen O de las coordenadas está ubicado en el centroide del área de la sección transversal.

Ubicación del eje neutro:

Los ejes y y z son ejes centroidales principales.

Esfuerzos de tensión (+)


Relación momento-curvatura:

Segunda ecuación de la estática:

ydAdM x Ax ydAM

AA

dAykEdAkEyM 22

kEIM AdAyI 2 Momento de

inercia

EI

Mk

1 Ecuación momento- curvatura

EI =rigidez a la flexión

Un momento flexionante positivo Produce una curvatura positiva y Un momento flexionante negativo Produce una curvatura negativa

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EkyEy

E xx

EI

Mk

1

I

Myx fórmula de

la flexión esfuerzos de flexión o esfuerzos flexionales

Esfuerzos máximos en una sección transversal:

Esfuerzos normales máximos 1

11

S

M

I

Mc

2

22

S

M

I

Mc

módulos de sección

1

1c

IS

2

2c

IS


Secciones doblemente simétricas:

Con respecto al eje así como al eje z yccc 21

S

M

I

Mc 21

S

Mmáx

c

IS

Sección transversal rectangular

12

3bhI

6

2bhS

Sección transversal circular

64

4dI

32

3dS

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Ejemplos 1. Una viga de sección rectangular de 150 x 250 mm soporta la

carga de indica la figura. Determinar el máximo esfuerzo por flexión que se produce.

• Primero hay que determinar el máximo momento flexionante. El diagrama de fuerza cortante indica que éste se anula para x = 2m. El momento flexionante en dicho punto, calculado por el área del diagrama de fuerza cortante, es, para x= 2m

[ΔM = (área)v]

Mmáx = 14+2

22 = 16 𝑘𝑁. 𝑚

Aplicaremos ahora la fórmula de flexión, cuidando que las unidades empleadas sean congruentes. Para eso nos vamos a nuestra tabla para obtener el módulo resistente para sección rectangular, S = bh2/6

𝜎 =𝑀

𝑆=

6𝑀

𝑏ℎ2=

6 16 ∗ 103

(0.150)(0.250)2= 10.24 𝑀𝑃𝑎

SOLUCION

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2. Una viga de madera de 100 x 300 mm y 8 m de longitud soporta las cargas indicadas en la figura. Si el máximo esfuerzo cortante admisible es de 9 MPa, ¿para qué el valor máximo se w se anula la fuerza cortante bajo P y cuánto vale P?

• Para satisfacer las condiciones indicadas en el enunciado el diagrama de fuerza cortante debe tener la forma que representa la figura. El máximo valor de w que anula la fuerza cortante bajo P se determina por:

𝛥𝑉 = á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠

4𝑤 +𝑃

4= 6𝑤

Que proporciona la relación entre P y w, quedando: P=8 w El máximo momento flexionante tiene lugar bajo P y su valor es [ΔM = (área)v]

Mmáx =1

26 6𝑤 = 18𝑤 𝑁. 𝑚

Aplicando la fórmula de flexión resulta:

𝑀 = 𝜎𝐼

𝑐= 𝜎

𝑏ℎ2

6

18𝑤 = 9 ∗ 1060.100 0.300 2

6

𝑤 = 750𝑁

𝑚

Y según P=18w, el valor de P es 𝑃 = 8𝑤 = 8(750) = 6 𝑘𝑁

SOLUCION

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