esf-uniformes

5/11/2018 esf-uniformes - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/esf-uniformes 1/12

ESFUERZOS PUROS EN ELPLANO

En lo que sigue se analizarán situaciones en las cuales el o loselementos a considerar están o se supondrán sometidos a un único tipo de solicitación en el plano.Tal situación si bien es cierto no corresponde en ocasiones a la realidad, permitirá sentar las basespara efectuar posteriormente un análisis de situaciones de cargas combinadas.

1.1. Esfuerzos Uniformes

Existen diferentes situaciones en las cuales el estado de cargas, ladisposición de los elementos, sus características geométricas, el tipo de apoyos o su forma deinteractuar con otros elementos, hacen que sobre una parte, pieza o elemento mecánico losesfuerzos que se generan puedan ser considerados con un valor uniforme en toda la seccióntransversal. Aún cuando el número de situaciones en las cuales esto puede ocurrir es pequeño, lavariedad de problemas que se pueden enfrentar no lo es.

Las situaciones en las cuales se puede llegar a presentar unestado de esfuerzos uniformes corresponden a alguno de los siguientes casos:- donde la carga es axial pura- donde la carga es de corte puro

Otra situación que se puede también analizar como esfuerzouniforme es la de un cilindro de paredes delgadas sometido a una presión interna.

1.1.1. Esfuerzo Axial Uniforme

Si se considera la definición general dada para los esfuerzos, estoes, que corresponden a la magnitud de una fuerza dividida por el área de la superficie en la cualactúa, en la figura continua se puede pensar que el área total de la sección transversal fue dividida

en pequeños sectores de área ∆A, sobre cada uno de los cuales actúa un esfuerzo normal σx. En

consecuencia si se multiplica cada esfuerzo σx por su correspondiente elemento de área ∆A, se

σx

obtendrá una parte de la fuerza P, que se denominará ∆P. Si se efectúa esta operación en cada

elemento de área, es claro que la suma de todos los ∆P debe necesariamente ser igual a la fuerzaP total. En términos matemáticos lo anterior se expresa como:



Resistencia de Materiales Esfuerzos Puros en el Plano. Esfuerzos Uniformes

x A P σ ∆=∆

∑∆= x A P σ

En la medida que la división del área total sea más fina, cadaelemento de área será cada vez más pequeño (elemento infinitesimal), y la sumatoria anterior se

transformará en una integral:

dA P x∫ = σ

Cuando el esfuerzo es constante (uniforme) en toda el área,entonces la expresión anterior se transforma en.

∫ = dA P xσ

La integral de dA sobre toda el área no es otra cosa que la sumade todos los elementos individuales, lo cual obviamente dará como resultado el área total. Por lo

tanto se podrá escribir que:

A P xσ = o lo que es lo mismo A

P x =σ

Para el esfuerzo axial se utiliza normalmente el mismo convenio designos especificado para la fuerza axial, esto es:

- si el esfuerzo es de tracción entonces es positivo- si el esfuerzo es de compresión entonces es negativo.

La expresión anterior es válida solamente si el valor del esfuerzoen cada uno de los elementos de área es el mismo. La pregunta que cabe entonces es ¿cuándo

se podrá aplicar esta relación? La respuesta a esta interrogante se encuentra recordandoexperiencias realizadas en el pasado y que se reseñan en la figura siguiente:

L

H

H/4

P/A

H/2

P/A

H

P/A

P

P P P

P

σmax=2,575P/A σmax=1,387P/A

σmax=1,027P/A

2




En esta figura se representa una barra recta sometida a la acciónde una fuerza P. Si se miden los esfuerzos a una distancia igual a H/4 a partir del punto deaplicación de la carga se obtendrá una distribución como la indicada en la primera figura, con unvalor de esfuerzo máximo igual a 2,575 veces el valor del esfuerzo medio ( P/A). A una distanciaigual a H/2, la distribución se hace más uniforme con un valor máximo de esfuerzo igual a 1,387veces P/A. Finalmente a una distancia igual a H (altura de la sección) la distribución ya casi escompletamente uniforme. Lo anterior es conocido como Principio de Saint – Venant.

Este resultado experimental permitirá que de aquí en adelante sepueda asumir en barras rectas sometidas a cargas axiales de tracción y/o compresión que, enpuntos lo suficientemente alejados de los puntos de aplicación de la carga, la distribución deesfuerzos será uniforme y se podrá aplicar para el cálculo del esfuerzo axial uniforme la expresión:

σ =P

A, expresión en la cual

P = fuerza axial actuando sobre la sección transversalA = área total de la sección transversal.

Con esta sencilla relación se pueden resolver tres tipos de

problemas diferentes:

a) Conocida la fuerza axial P actuando en la sección transversal y el área A de la misma,determinar el valor del esfuerzo de trabajo a que está sometida la barra

b) Conocida el área A de la sección transversal y el material empleado ( con lo cual se conoceránsus propiedades mecánicas), determinar el valor máximo que podría alcanzar la fuerza P paraque el esfuerzo de trabajo no sobrepase el valor del esfuerzo admisible del material.

c) Conocida la fuerza P actuando en la sección transversal y conocidas la propiedades mecánicasdel material empleado, determinar el mínimo valor que debería tener el área A de la seccióntransversal para que el esfuerzo de trabajo no sobrepase el valor del esfuerzo admisible delmaterial.

Con todo lo anterior, la expresión desarrollada para determinar el

esfuerzo axial uniforme tiene validez sólo bajo las siguientes condiciones:

- barra recta o ligeramente curva- sección transversal constante en toda la longitud- evaluada en puntos alejados de los lugares de aplicación de la carga.

1.1.2. Deformaciones en elementos sometidos a cargas axiales.

Si se considera una barra recta de sección constante, sometida auna carga axial única solicitación y cuya longitud y altura iniciales son L y h respectivamente, esclaro que si la carga es de tracción la barra sufrirá un alargamiento en el sentido longitudinal y unacortamiento en el sentido transversal, si por el contrario la carga es de compresión la barra seacortará longitudinalmente y se alargará en sentido transversal.

Considerando la figura siguiente y recordando la definición dadapara la deformación. esto es, que es igual al cambio en la longitud dividido por la longitud inicial enla dirección en que ocurrió el cambio, se tendrá que:

3




ε x

L

L=

∆y que ε y

h

h=

−∆

donde el signo menos en ∆h señala que es un acortamiento y no un alargamiento.

L L

h

hP P

Por otro lado si se considera un punto situado en una seccióntransversal cualesquiera de la barra y se determinan los esfuerzos que se encuentran actuando endicho punto se obtendrá que:

σx = P/A

σy = 0

τxy = 0

Recordando que la Ley de Hooke es la expresión que relacionaesfuerzos con deformaciones se puede entonces escribir que:

( )ε σ ν x x E

= −1

σ y

( )ε νσ y x E

= − +1

σ y

Reemplazando los valores para σx y para σy se obtiene :

ε σ

x x

E = , y que ε

νσ

y x

E =

−

es evidente que la deformación, ya sea calculada a través de su definición o por medio de la Leyde Hooke debe ser la misma, por lo tanto se puede escribir que:

∆ L

L E

x=σ

, y que−

=−∆h

h E

xνσ

Reemplazando en estas expresiones el valor de σx, se obtiene finalmente ecuaciones para elcálculo del alargamiento (acortamiento) experimentado por la barra al estar sometido a la cargaseñalada.

∆ LPL

AE =

∆hPL

AE =

−ν

4




Estas dos últimas expresiones sólo son válidas si la seccióntransversal es constante en toda la longitud de la barra. Su primera utilidad es emplearlas paraconocer directamente las variaciones en las dimensiones de la barra y la otra, tal vez másimportante que la anterior, es su aplicación en la resolución de problemas estáticamenteindeterminados en tracción o compresión.

1.1.3. Esfuerzos debidos a cambios de temperatura.

A partir de las leyes básicas de la física se conoce que cuando uncuerpo bidimensional es sometido a un cambio de temperatura, sus dimensiones se veránafectadas en mayor o menor medida de acuerdo al valor que para ese material tenga la propiedad

física denominada “ coeficiente de expansión térmica α” del material. Así se tiene que si una

barra de longitud inicial L es sometida a un cambio de temperatura ∆T, entonces la variación en la

longitud ∆L estará dada por la expresión:

∆ ∆ L L T = α

expresión que es conocida como Ley de la dilatación lineal de un cuerpo.

Considérese ahora que se tiene una barra de longitud inicial L, desección recta y constante A, puesta entre dos paredes rígidas, de forma tal que el extremo derecho

de la barra se encuentra separado de la pared del mismo lado una distancia δ. Si sobre la barra se

aplica ahora un incremento de temperatura ∆T de tal magnitud que :

∆ ∆ L L T = >α δ ,

se tendrá que la barra intentará alcanzar su longitud final de acuerdo a la ecuación de dilatación

térmica, sin embargo la pared derecha sólo dejará que se alargue una distancia δ. El resultado finalsobre la barra es similar al que se obtendría si se aplicará una fuerza de compresión que provocará

sobre la barra un acortamiento igual a ∆L -δ.

Lo anterior significa lisa y llanamente que si un cuerpo esimpedido por otro a dilatarse libremente,entonces se generará sobre él un esfuerzo,que se denomina “esfuerzo térmico” y que seconsidera como un esfuerzo uniforme sobreel cuerpo.

En el ejemploque se estaba analizando el esfuerzo decompresión a que quedará sometida la barraes:

( ) L

E T L δ α σ

−∆=

)(

L

δ

∆ L

∆L-δ

5




1.1.4. Problemas estáticamente indeterminados en tracción o compresión.

En un sinnúmero de problemas que involucran esfuerzos axialesuniformes se encontrará que el número de ecuaciones de equilibrio independientes que se puedenplantear es menor que el número de reacciones que hay que despejar como incógnitas.

Para la solución de problemas de este tipo, ya sean estáticamenteindeterminados en tracción o compresión o cualquier otro tipo de problema estáticamenteindeterminado, se sugiere seguir siempre la siguiente metodología.

i. Plantear las ecuaciones de equilibrio estático para el problemaii. Establecer relaciones de compatibilidad geométricaiii. Aplicar las relaciones correspondientes entre esfuerzos y deformaciones.

Con la realización del primer paso se podrán identificar, por unaparte, la cantidad de ecuaciones de equilibrio independientes que se pueden plantear y por otraparte, determinar exactamente cuantas ecuaciones más se requieren para hacer el problemaestáticamente determinado.

Las relaciones de compatibilidad geométrica son relaciones que es

posible formular tomando en cuenta la forma física en que estas deben se producen de acuerdocon la geometría, forma y conexión entre los elementos involucrados. Se deben formular tantasrelaciones de compatibilidad geométrica como incógnitas redundantes se tengan.

Una vez establecidas las relaciones de compatibilidad geométricaestas se deben escribir reemplazando las deformaciones en función de los esfuerzos que lasgeneran y de acuerdo con las leyes físicas correspondientes al tipo de problema de que se trate.

El ejemplo que se desarrollará a continuación aclarará lo planteadoprecedentemente.

Ejemplo:- Determinar el valor de los esfuerzos a que quedan sometidas las barras de acero y bronce en el sistema

mostrado en la figura. Considere en los cálculos que EAcero = 2,1 x 10

6

Kgf /cm

2

y que EBronce= 8,5 x 10

5

Kgf /cm2.

Solución:

eb

ea

El diagrama de cuerpo libre para la barrarígida se muestra en la segunda figura. Deacuerdo con él las ecuaciones de equilibrioson:

B A y y F F F R F +=+⇒=∑ 0

F F F M A B80160800 =+⇒=∑

estas dos ecuaciones son las únicasecuaciones de equilibrio independientes quese pueden plantear en este problema. Deaquí se concluye que se tiene 3 incógnitas,FA, FB, y Ry. De acuerdo con esto faltaríaencontrar una ecuación adicional pararesolver este problema.

En la figura inferior la línea horizontal representa la posición inicial de labarra rígida, antes de aplicar la carga F. La línea inclinada representa la única manera en la cual físicamente

6




se puede mover esta barra, y para que esto suceda la barra de bronce deberá experimentar un alargamientoeb y por su parte la barra de acero tendrá que soportar un alargamiento e a. De la misma figura se puedeconcluir que la relación existente entre ambos alargamientos esta dada por la expresión:

16080

ab ee=

Esta es la ecuación de compatibilidad geométrica para este problema

Ahora, la barra de bronce estará sometida a una única fuerza axial F B, ypor su parte la barra de acero estará sometida a la fuerza axial FA. Aplicando la expresión encontrada en lasección 3.1.2. para determinar el alargamiento en una barra sometida a carga axial se puede entonces escribir que:

B B

B Bb

E A

L F e = , y que

A A

A Aa

E A

L F e =

reemplazando estas dos expresiones en la ecuación de compatibilidad geométrica y reordenando se obtiene:

A A

B B

B

A A B

E A E A

L L F F

21=

colocando los valores numéricos correspondientes : FB = 0,3373 FA

reemplazando este resultado en la ecuación de sumatoria de momentos y despejando FA, se obtiene que:

FA = 85,57 kgf y FB = 28,86 kgf

Con esto los esfuerzos en las barras serán:

- esfuerzo normal en la barra de bronce : 12,1 kgf /cm2

- esfuerzo normal en la barra de acero : 4,08 kgf /cm2

1.1.5. Concentración de esfuerzos en barras sometidas a cargas axiales de tracción ocompresión.

Como ya se ha explicado, en una barra que se encuentre sometidaal efecto de una carga axial de tracción o de compresión, el valor del esfuerzo que en ella segenera está dado por el cuociente entre la fuerza aplicada y el área de la sección transversal delelemento en la sección donde se está evaluando el esfuerzo.

La evidencia empirica sin embargo ha demostrado que en barrasque presentan algún tipo de discontinuidad en la sección, como por ejemplo un agujero, un cambiode sección, un entalle o muesca, etc., precisamente en el punto donde se sitúa la mayor

discontinuidad el valor del esfuerzo real, medido directamente a través de diferentes técnicasexperimentales, es varias veces superior al esfuerzo nominal, entendiendo por este último al

calculado a través de la relación σ = P/A.

P

P

En la figura contigua el esfuerzo nominal seríaen la zona del agujero igual a la fuerza Pdividida por el área achurada.

La experiencia práctica ha demostrado queprecisamente en la zona que se muestra

7




achurada la distribución del esfuerzo no es uniforme sino que es del tipo que se muestra en lafigura siguiente.

La distribución delesfuerzo en la sección correspondiente al centro delagujero muestra que exactamente en el borde de él seproduce el máximo valor del esfuerzo.

Para evaluar esteesfuerzo se recurre a resultados experimentales y seutiliza la relación :

σ σ max t nominal K = σmax

donde :Kt : factor de concentración de esfuerzos

El factor de concentración de esfuerzos se determina normalmentea partir de ecuaciones empíricas o mediante la utilización de gráficos de estas relaciones.

Las figuras siguientes muestran el valor del factor de concentraciónde esfuerzos para diferentes tipos de discontinuidades en una situación de carga axial de traccióno compresión.

8




9




1.1.6. Esfuerzos en cilindros de paredes delgadas sometidos a presión interna.

Un cilindro se considerará de pared delgada si cumple con lacondición de que su espesor sea menor o a lo sumo igual a un décimo del radio interno del cilindro.Si se cumple con esta condición el estado de esfuerzos que se genera cuando el cilindro seencuentra sometido a una presión interna, se puede asumir como un estado de esfuerzos biaxial ylo que es más importante, que se trata de esfuerzos uniformes.

Si por el contrario el cilindro es de pared gruesa existirá un estadode esfuerzos no uniforme y su determinación escapa al alcance de este curso.

Para determinar el valor de los esfuerzos en uncilindro de pared delgada sometido a una presióninterna, considérese el cilindro mostrado en la figuraadjunta.

En este caso se pueden determinar dos tipos deesfuerzos, uno que tiende a abrir el cilindro que sellamará esfuerzo circunsferencial y el otro queactuará en sentido del eje del cilindro (asumiendoque este posee tapas en ambos extremos).

Para determinar el esfuerzo circunsferencialobsérvese la figura siguiente en la cual se ha

efectuado un corte a lo largo del cilindro, en ambas secciones cortadas aparecerá un esfuerzo, quecorresponde al esfuerzo circunsferencial, que deberá equilibrar la fuerza ejercida por la presióninterna en el cilindro.

R

L

t

Ri

Pi

10




La presión interna ejercerá unafuerza en esta porción del cilindro, que sepuede determinar como el valor de lapresión multiplicada por el área sobre lacual actúa. Sin embargo se puede tambiénestablecer que las componenteshorizontales originadas por la presión seanulan y sólo queda presente lacomponente vertical. Esta componentedeberá ser equilibrada por el esfuerzocircunsferencial.

Pi

σc σc

Expresando matemáticamente

lo anterior:

P R L tLi i c2 2= σ

despejando el valor del esfuerzo de esta expresión se obtiene finalmente que:

σ ci i P R

t =

suponiendo que el cilindro posee tapas en ambos extremos se puede demostrar que el esfuerzolongitudinal a que queda sometido el cilindro esta dado por la expresión:

σ Li i P R

t =

2

es decir, en un cilindro de pared delgada sometido a presión interna el mayor valor de esfuerzocorresponde al esfuerzo circunsferencial y vale exactamente el doble que el valor del esfuerzo

longitudinal.

1.1.7. Esfuerzo de corte puro.

Este tipo de esfuerzo corresponde al único caso en el cual elesfuerzo uniforme no es un esfuerzo normal. Generalmente se dice que un elemento está sometidoa la acción de un esfuerzo de corte puro cuando es capaz de soportar una carga transversal sinpresentar efectos de flexión, y se define como el valor de la carga transversal dividido por el áreatotal en corte.

Un ejemplo típico de elementos sometidos a un esfuerzo de cortepuro lo constituyen por lo general los diferentes tipos de pasadores.

La ecuación que permite determinar el valor del esfuerzo de cortepuro es la siguiente:

τ =V

A, o en su defecto τ =

Fuerza Transversal

Area total en corte

11




12

La figura siguiente muestra un ejemplo de aplicación de estas

relaciones:

F F

F

V

V

Si se considera la primera figura, en ella se tendráque :F = fuerza transversal sobre el pasador A = área de la sección transversal del pasador

pero allí se puede también apreciar que existendos zonas en las cuales se puede producir el corte,por lo tanto el área total en corte será dos veces elárea del pasador, con lo cual:

τ =F

A2

Si se toma en cuenta la figura inferior de ella se tiene que :

2V = F, o lo que es lo mismo V = F/2

y como la fuerza V actúa sobre el área A, entonces:

τ = =V

A

F

A2

resultado que es exactamente igual al anterior.

esf-uniformes

Documents