X Concurso Escolar de Trabajos Estadísticos ICANE

Curso escolar: 2018­2019

¡Menudo numerito ese 23!

Número de alumnos: 5 Nivel que cursan los alumnos: 4º de ESO

Tabla de Contenidos

1. INTRODUCCIÓN (NOTAS DEL PROFESOR). Pág. 3 2. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO. Pág. 3

2.1. Objetivos iniciales. Pág. 3

2.2. Diseño del plan experimental. Pág. 4

2.3. Diseño del estudio. Pág. 5

2.4. Datos técnicos. Pág. 6

2.5. Recogida y tratamiento de datos. Pág. 6 3. CÁLCULOS, TABLAS Y GRÁFICOS. Pág. 7 4. ANÁLISIS Y VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS. Pág. 19 5. CONCLUSIONES. Pág. 22 6. SUGERENCIAS DE MEJORÍA. Pág. 23 7. DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA. Pág. 23 8. BIBLIOGRAFÍA. Pág. 24 ANEXOS. Tablas Pág. 25

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1. INTRODUCCIÓN (NOTAS DEL PROFESOR) A raíz de la celebración de un cumpleaños de un alumno en clase les propuse que pensasen si les parecería lógico que dos o más alumnos en una clase tuviesen la misma fecha de cumpleaños. Les puse como ejemplo nuestro Departamento de Matemáticas donde siendo tan solo ocho profesores había dos que compartían la misma fecha de cumpleaños (solo día y mes, no año evidentemente). Se les planteó si la probabilidad de esa coincidencia tendría relación con el número de alumnos y cuál sería dicha probabilidad, así como también cómo se podría calcular. Posteriormente, con la convocatoria del concurso del Icane ya hecha pública, hubo un grupo de alumnos que se postuló para estudiar con más profundidad este tema y tratar de experimentar y analizar los resultados de cara a elaborar un proyecto para dicho concurso. A veces, de un hecho singular y sin apenas interés para el común de los mortales, surgen proyectos y estudios que poco a poco pretenden ir más allá de lo que queda a simple vista. Ahí nace el interés de algunos alumnos y alumnas por el método científico. El diseño de uno o varios experimentos, la obtención de datos experimentales (nuevos o ya existentes), la clasificación, la puesta en común, el análisis y la valoración de las conclusiones que se pueden obtener, los cálculos y fórmulas que hay detrás de todo ello, etc.; todo esto y más, cada paso que se ha ido dando, ha constituido un auténtico desafío para cada alumno participante. Creo, en mi más sincera y modesta opinión, que lo aprendido con este proyecto por estos chicos no lo van a olvidar nunca puesto que han sido ellos mismo quienes han construido su aprendizaje.

2. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO 2.1. Objetivos iniciales

El objetivo inicial de nuestro proyecto partía del “Problema clásico de coincidencia de cumpleaños”, un problema propuesto por Richard von Mises en 1939, justamente hace 80 años.

Richard Edler von Mises (1883­1953), físico austrohúngaro, ingeniero, matemático, filósofo y profesor universitario, trabajó e hizo aportaciones en mecánica de sólidos y fluidos, aerodinámica, aeronáutica, estadística y teoría de la probabilidad. Propuso una definición formal de la teoría de la probabilidad basada en el concepto de probabilidad definida como valor límite de la frecuencia relativa. Finalmente se adoptó la definición de Kolmogorov, quien defendió la aportación establecida por von Mises.

Fue profesor de las Universidades de Harvard y Humboldt de Berlín, entre otras. A partir de su estudio del comportamiento de las frecuencias relativas, formalizó la definición de probabilidad tal y como se conoce hoy en día.

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Formuló la famosa “paradoja del cumpleaños”: “Si tienes 23 personas reunidas, hay una probabilidad de 50,7% de que al menos dos de ellos cumplan años el mismo día. Para 57 o más personas la probabilidad es ya mayor del 99%”.

Este problema tiene relación con la teoría de la probabilidad, cuyas bases sentó Blaise Pascal en 1654, y sobre la que Christian Huygens escribió la primera obra publicada en 1657. Posteriormente, en 1718, será Abraham de Moivre quien publicase “La doctrina de las posibilidades”, con ediciones ampliadas en 1738 y 1756.

También se plantea inicialmente, a partir de un artilugio existente en el Museo de Matemáticas de Cataluña (MMACA) ­véase la siguiente imagen­, realizar un experimento para el estudio de las probabilidades de las coincidencias.

En dicho museo se invita a ocho visitantes a introducir una piedra cada uno, sin haber visto a los anteriores, en uno de los 15 agujeros, y después se comprueba si ha habido coincidencias en la elección.

Aunque 8 es prácticamente la mitad de 15, sin embargo, la probabilidad de que haya alguna coincidencia es de casi el 90%, en concreto 88,9%.

Es decir, de cada 10 veces que hagamos este “juego” en 8 o 9 vamos a tener coincidencias. 2.2. Diseño del plan experimental

Se observó que el módulo del MMACA tenía 15 agujeros numerados dispuestos de forma lineal. Esto, a nuestro entender, podría condicionar la elección del agujero pues:

se puede tender a introducir la piedra al principio o al final, en los extremos, o bien tender al centro.

al estar numerados, se puede tener tendencia a escoger el número de preferencia de cada persona dejando de lado la aleatoriedad.

también hay números con menor probabilidad: ¿quién echa en el nº13? con la numeración establecida es muy fácil comunicar a otra persona dónde se ha

introducido, facilitando en cierta medida que haya coincidencias. Para tratar de evitar todos estos inconvenientes que hemos mencionado, lo que hicimos fue diseñar dos cajas diferentes, una con una matriz de 4x3 agujeros (12 en total) sin numerar, y la otra, con 4x4 agujeros (16 en total); una con forma más rectangular y la otra más cuadrada. Matriz 3x4 (12 agujeros) Matriz 4x4 (16 agujeros)

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Después de construir estos dos modelos de cajas:

Realizamos el experimento pasando por las clases de nuestros compañeros de instituto para realizar la demostración empírica de que no era muy complicado que hubiese coincidencias:

Hicimos grabación en video del plan experimental, pero grabando de forma que no apareciesen caras para de esta forma cumplir con la Ley de Protección de Imágenes al ser menores de edad los que salían en los videos. Ver el video en el siguiente enlace: https://drive.google.com/open?id=1BHNBKIa­ENdsxr14JbxqZVXVKIA6HavU 2.3. Diseño del estudio

Se visitó la página del ICANE para ver si ya había estudios del mismo tipo, http://www.icane.es/ , y también algunas de sus Publicaciones, y la web del Instituto Nacional de Estadística http://www.ine.es/ para contrastar nuestros trabajos y estudiar si había estudios anteriores.

Finalmente surgió la idea del estudio real y contextualizado sobre los diversos grupos existentes en nuestro propio instituto. Es decir, el proyecto consistiría en directamente estudiar las coincidencias de las fechas de cumpleaños de los grupos de nuestro centro.

Con esta información de partida, nos planteamos el siguiente itinerario y las siguientes preguntas:

Estudio de la probabilidad: mínimo número de personas, etc…

Estudio clase por clase de nuestro instituto, con las fechas de cumpleaños.

Estudio de bases de datos: CENSOS / INE / ICANE / etc… para ver la moda, densidad/mes de las fechas de cumpleaños (que son las fechas de nacimiento en realidad).

Para el trabajo colaborativo entre nosotros de cara a la elaboración del proyecto, realización del documento de la memoria, trabajo con hojas de cálculo, etc., procedimos a abrir una cuenta de Gmail para tener un Drive donde compartir los documentos, videos, hojas de cálculo, fotos, etc… Esto nos permitía cooperar y aportar todos a la vez.

Además, en Google Documentos (procesador de texto) instalamos el Complemento “MathType”, desde wiris.com, para escribir y editar fórmulas matemáticas.

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2.4. Datos técnicos

Población: En nuestro instituto tenemos un total de 576 alumnos.

Muestra: Se tomaron como muestras las distintas clases de cada curso, 26 distintos grupos.

Sistema de muestreo: Surge de la propia configuración y agrupamientos de las clases.

2.5. Recogida y tratamiento de datos

Con los datos obtenidos de los grupos de nuestro instituto que nos facilitaron en la secretaría, sin nombres, apellidos, ni ningún tipo de dato personal para salvaguardar el anonimato y la información personal de cada alumno, cumpliendo la Ley de Protección de Datos, se procedió al recuento y ordenamiento de los datos para tratar de observar y remarcar las coincidencias de las fechas de cumpleaños.

Para ello se hizo un tratamiento informático de los datos ( véase Anexos.Tablas al final de este documento ), usando una hoja de cálculo (Google Hojas de Cálculo), para ordenar numéricamente las fechas y conseguir resúmenes de los recuentos que precisábamos:

Nº Alumnos Grupo Coincidencias 17 B1A 0 17 B1B 0 23 B1C 0 21 B1D 1 26 B2A 3 18 B2B 2 19 B2C 1 23 1ºA 1 24 1ºB 0 22 1ºC 0 13 1ºCGM 0 29 1ºCGS 0 22 1ºD 0 20 1ºE 2 27 2ºA 0 27 2ºB 0 22 2ºC 1 28 2ºCGS 0 21 2ºD 0 27 3ºA 2 26 3ºB 2 21 3ºC 2 19 3ºD 1 22 4ºA 1 21 4ºB 0 21 4ºC 1

alumnos grupos con coincidencias 576 26 13 (50%)

media 22,15384615 alumnos/grupo

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3. CÁLCULOS, TABLAS Y GRÁFICOS

En este apartado vamos a mostrar cada cuestión planteada y tratada, así como los datos conseguidos con ellas, clasificando los datos obtenidos, e ilustrando con los correspondientes gráficos que nos permitirán después sacar conclusiones y valorar todos estos datos del estudio.

Cálculo de las probabilidades del experimento Caja 3x4 agujeros

En los experimentos realizados con los compañeros de otras clases, cuando se les preguntaba qué probabilidad creían que había de tener coincidencias, nos comentaban que como eran 12 agujeros y se metían 7 piedras (una más que la mitad de los agujeros) sería como mucho de un 60%, otros creían que solamente un 25%. Veamos qué nos dice el cálculo de probabilidades:

Para la primera piedra tenemos 12 de 12 agujeros posibles; para la segunda, si no queremos coincidir, tenemos 11 posibles de los 12 agujeros; para la tercera, tendremos 10 posibles de los 12 agujeros; y así sucesivamente. Es decir, que si metemos 7 piedras y no queremos que haya coincidencias tendremos entonces:

Y entonces,

Cálculo de las probabilidades del experimento Caja 4x4 agujeros

Con el mismo razonamiento que en el anterior cálculo, realizado ahora para la caja de 4x4 agujeros, tendremos en el caso de esta caja de 16 agujeros que con 9 piedras (una más que la mitad de los agujeros):

Y entonces,

Resultados de los experimentos Cajas 3x4 y 4x4 agujeros

En los experimentos realizados en las clases de nuestros compañeros de instituto, obtuvimos estos resultados ( ver el video “coincidencias.mp4” ) :

https://drive.google.com/open?id=1BHNBKIa­ENdsxr14JbxqZVXVKIA6HavU

Clase Coincidencias 3x4 Coincidencias 4x4 4.ºA 1 2

1.ºBach.A 1 2 1.ºBach.B 2 0 1.ºBach.C 1 3

4.ºB 1 2 Resumen En 5 de 5 hay coincid. En 4 de 5 hay coincid. Total Porcentajes 9/10 = 90% coinciden 1/10 = 10% no coincid.

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Simulaciones con hoja de cálculo del experimento Caja 3x4 agujeros

Para no tener que hacer el experimento con las cajas muchas veces, se ideó hacer la simulación con una hoja de cálculo lo que nos permitía hacer el experimento tantas veces como quisiéramos con la función de crear número aleatorio entre 1 y 12. Así podíamos repetir el experimento 10 veces, 25 veces, 50 veces, etc., con solo arrastrar las celdas en la hoja de cálculo. Sólo una pega, cada vez que entramos en la hoja de cálculo se recalcula todo al ser los resultados de las celdas números aleatorios .

De estas simulaciones, hemos obtenidos estos datos:

simu­1

simu­2

simu­3

simu­4

simu­5

simu­6

simu­7

simu­8

simu­9

simu­10

"=ALEATORIO.ENTRE(1;12)" 6 9 8 9 2 1 4 10 9 5 Ofrece un entero aleatorio distribuido uniformemente entre dos valores, ambos incluidos.

9 10 1 5 6 3 11 6 12 10 5 10 3 4 6 12 6 3 1 4 4 6 9 11 11 11 6 8 4 9 9 5 12 3 3 11 9 5 5 8

12 4 4 9 10 5 9 4 11 11 12 8 4 12 6 9 10 12 12 5

"=COUNTUNIQUE(B2:B8)" 5 6 6 6 5 6 5 7 6 6

Cuenta el número de valores únicos en una lista de valores e intervalos especificados.

NO COINCIDENCIAS 1 % NO COINCIDENCIAS 10,00% COINCIDENCIAS 9 % COINCIDENCIAS 90,00%

En la siguiente hoja de cálculo están hechas las simulaciones, dando estos resultados: https://drive.google.com/open?id=1QjDMF9shem9UrupXsQYzCNxr­PkNLrWxGtuxJ4­mg6w

Nº Simulaciones No coinciden Coincidencias % No coinc. % Coincidencias 10 1 9 10% 90% 25 8 17 32% 68% 50 8 42 18,18% 81,82%

Simulaciones con hoja de cálculo del experimento Caja 4x4 agujeros

Al igual que en el caso anterior, procedimos a simular muchas veces con una hoja de cálculo en lugar de repetir el experimento, obteniendo en este caso los siguientes resultados:

simu­1

simu­2

simu­3

simu­4

simu­5

simu­6

simu­ 7

simu­8

simu­9

simu­10

"=ALEATORIO.ENTRE(1;16)" 16 13 16 7 3 1 8 7 13 16 Ofrece un entero aleatorio distribuido uniformemente entre dos valores, ambos incluidos.

3 8 5 7 5 11 3 11 8 11 1 1 15 15 6 7 1 1 15 14 13 11 2 12 9 14 11 14 10 15 5 8 2 3 14 5 14 14 2 9

2 4 16 2 2 5 7 2 4 2 13 7 8 11 13 16 7 11 15 14 12 11 4 4 16 14 13 2 12 12 3 5 14 1 6 9 16 15 3 3

"=COUNTUNIQUE(B2:B10)" 7 7 7 8 8 7 8 6 8 8

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Cuenta el número de valores únicos en una lista de valores e intervalos especificados.

NO COINCIDENCIAS 0 % NO COINCIDENCIAS 0,00% COINCIDENCIAS 10 % COINCIDENCIAS 100,00%

https://drive.google.com/open?id=1SxH6RZSPMoE5jEwkos3VLtg7­k5I4yf4a8vWmt1k0Sg

Nº Simulaciones No coinciden Coincidencias % No coinc. % Coincidencias 10 0 10 0% 100% 25 0 25 0% 100% 50 9 41 19,15% 80,85%

Cálculo de las probabilidades del Problema de la coincidencia de cumpleaños

Aquí podemos encontrarnos con dos tipos de preguntas que se diferencian en muy poco, pero nos dan resultados muy dispares:

Planteamiento 1: ¿Cuántos alumnos tenemos que ser al menos en clase para que sea bastante posible que dos de ellos tengan la misma fecha de cumpleaños (día y mes, no año)?

Está claro que si metemos 366 alumnos en clase por lo menos dos de ellos sí que coincidirían. Esto se conoce en matemáticas como el “Principio del Palomar”: si hay x+1 palomas ocupando x palomares, seguro que un palomar tiene más de una paloma.

Si escogemos un alumno cualquiera de clase, la probabilidad de que otro alumno tenga la misma fecha de cumpleaños sería 1/365, y entonces la probabilidad de que no coincidiesen sería 364/365. Si cogemos un tercer alumno, la probabilidad de que su fecha coincida con la de uno de los dos anteriores sería 2/365, y entonces la probabilidad de que estos tres alumnos no coincidiesen en su cumpleaños sería el producto (364/365)*(363/365).

Continuando con este mismo razonamiento para 4, 5, 6, 7, etc… alumnos y calculando estos productos resultantes, podemos hallarlo mediante una hoja de cálculo haciendo uso de la siguiente fórmula, para x alumnos,

Haciendo cálculos en una hoja Excel, obtenemos:

alumnos (x) 2 3 4 5 … 21 22 23

365‑x+1 = 364 363 362 361 … 345 344 343

numerador = 364*363*…*(364‑x+2) = 364 132132 47831784 2E+10 … 9,8E+50 3,37E+53 1,156E+56

denominador = 365^(x‑1) = 365 133225 48627125 2E+10 …1,76E+51 6,43E+53 2,347E+56

cociente = 0,997 0,992 0,984 0,973 … 0,556 0,524 0,493

P(no coincidan) = 0,997 0,992 0,984 0,973 … 0,556 0,524 0,493

P(coinc) = 1 ‑ P(no coinc.) = 0,003 0,008 0,016 0,027 … 0,444 0,476 0,507

P(alguna coincidencia) = 0,003 0,008 0,016 0,027 … 0,444 0,476 0,507

0,3% 0,8% 1,6% 2,7% … 44,4% 47,6% 50,7%

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Y vemos que cuando hay 23 alumnos la probabilidad de no coincidencia de cumpleaños es 0,493 con lo cual la probabilidad de que sí hubiese alguna coincidencia sería de 1 – 0,493 = 0,507 = 50,7% > 50%.

Es justo el número clave de alumnos, porque para 22 alumnos nos sale 0,476 la probabilidad de coincidencia de cumpleaños, lo que supone un 47,6% < 50%.

Por lo tanto, si queremos tener ciertas posibilidades de tener coincidencias de cumpleaños en un grupo de clase deberemos tener al menos 23 alumnos.

Planteamiento 2: Si conocemos que un alumno de clase cumple años el 28 de febrero, ¿cuántos alumnos más deberá haber en clase para que coincida su cumpleaños con el de otro compañero?

En el anterior planteamiento, no sabíamos qué dos alumnos coincidían en la fecha de cumpleaños ni cuándo era esa fecha. Con este nuevo planteamiento de la pregunta, las probabilidades cambian considerablemente. La diferencia estriba en que ahora tenemos una fecha fija para la coincidencia. Vamos a verlo:

La probabilidad de que el alumno del 28­F no coincida con otro alumno será 364/365. Y con otros dos alumnos será entonces (364/365)*(364/365). Y si tenemos x alumnos, entonces la probabilidad de que dicho alumno no comparta su cumpleaños con cualquiera de los otros x­1 alumnos será: (364/365) (x­1)

Ahora, trataremos de calcular ese valor x del número de alumnos. Si queremos que esa probabilidad sea ½ (o lo que es lo mismo 0,5), nos queda entonces la ecuación:

Como lo que tenemos que hallar es un exponente, podemos entonces usar una herramienta que hemos aprendido este curso en clase, los famosos “logaritmos”:

Aplicando las propiedades de los logaritmos, podemos despejar la “x”:

Y calcular su valor:

Este cálculo significa que si tenemos 254 alumnos tendremos probabilidad mayor que 0,5 de que haya dos alumnos cumpliendo años el 28­F, mientras que si solamente tenemos 253 alumnos estaríamos por debajo del 50% de probabilidad. Estos valores se aproximan más a lo que el sentido común o la intuición nos haría estimar.

En vez de logaritmos de base 10 (“log”) podíamos haber usado “ln” (logaritmos neperianos) u otros logaritmos de otra base. Hemos cogido estos logaritmos por la comodidad para utilizarlos con la calculadora.

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Otros planteamientos sobre el problema de los cumpleaños:

a) Que 3 alumnos coincidan en su cumpleaños : entonces se necesitaría reunir a 88 alumnos para tener probabilidad mayor del 50%.

b) Que 2 alumnos tengan fechas de cumpleaños distantes entre sí un determinado número de días : con solamente reunir a 14 alumnos en una clase ya tendríamos más posibilidades de que ocurriese que de que no.

c) En una clase con igual número de chicos y chicas, la probabilidad de que un chico y una chica coincidiesen en la fecha de cumpleaños : en este caso, las matemáticas son muy complejas, pero los estudios existentes indican que haría falta tener un grupo de 32 alumnos, 16 chicas y 16 chicos, para tener más posibilidades de coincidir que no.

Para todos los cálculos necesarios en cualquier problema de cumpleaños, se basa en el supuesto de que los cumpleaños se distribuyen por igual en todo el año, es decir, de manera uniforme, y que cada cumpleaños tiene la misma probabilidad de darse (es decir, son “equiprobables)” cuando se coge un alumno al azar.

Los datos existentes en bases de datos nos muestran que eso no es del todo cierto, puesto que parecen darse más nacimientos en los meses de verano, pero es bastante aproximado a la uniformidad como para dar por buenas las soluciones obtenidas en los cálculos.

Veamos las tablas de datos obtenidos al respecto tanto de las bases de datos del ICANE como del INE:

http://www.ine.es/dyngs/INEbase/es/operacion.htm?c=Estadistica_C&cid=1254736177007&menu=resultados&secc=1254736195442&idp=1254735573002

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Nacimientos. Año 2014­2017

Nacimientos. Datos Totales España

Nacimientos según mes del nacimiento.

Unidades: nacimientos

Ene Febr Marz Abr May Jun Jul Agos Septiem Octub Novi Dic

2014 35.799 31.725 36.081 34.434 35.611 34.725 36.978 36.053 37.676 37.323 35.041 36.149

2015 35.501 31.335 35.190 33.808 35.137 33.939 36.421 35.502 36.670 36.721 34.948 35.118

2016 34.490 32.093 34.292 31.719 33.439 34.222 35.839 36.230 36.159 35.679 33.328 33.093

2017 32.703 29.795 32.849 30.747 32.772 32.096 34.035 34.069 33.737 35.049 33.357 31.972

suma totales 138.493 124.948 138.412 130.708 136.959 134.982 143.273 141.854 144.242 144.772 136.674 136.332

días del mes 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 med

densidad (nacimientos/día) 4468 4462 4465 4357 4418 4499 4622 4576 4808 4670 4556 4398 4525

% desviación de la media ‑1% ‑1% ‑1% ‑4% ‑2% ‑1% 2% 1% 6% 3% 1% ‑3%

Fuente: Instituto Nacional de Estadística

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A nivel de Cantabria, acudiendo a las bases de datos abiertos del Icane, podemos obtener datos de series desde 1941 hasta 2017, con los nacimientos mes a mes:

Contacto: icane@cantabria.es Descripción de la serie: Nacimientos por meses, lugar de residencia de la madre, lugar de inscripción Categorización: Población ­> Movimiento Natural de Población (MNP) ­> Movimiento Natural de Población ­>

Nacimientos Fuente: Movimiento Natural de Población (MNP). Instituto Nacional de Estadística (INE) Periodicidad: Mensual Período inicial: Enero 1941 Último período: Diciembre 2017 Ámbito territorial: Regional Última actualización: 18­12­18 12:00 AM Notas al pie: De 1941 a 1974 nacidos por lugar de inscripción; de 1975 a 2009 nacidos por lugar de

residencia de la madre. Datos por sexo sólo a partir del año 2005.

Unidades: Número de nacimientos

Si diferenciamos determinadas etapas, para ver si ha habido cambios sustanciales en la distribución a lo largo del tiempo, decidimos estudiar 4 tramos:

1) Desde 2014 a 2017 (los últimos cuatro años, al igual que la serie estudiada del INE a nivel nacional):

Población ­> Movimiento Natural de Población (MNP) ­> Movimiento Natural de Población ­> Nacimientos

Nacimientos por meses, lugar de residencia de la madre, lugar de inscripción

Mes 2014 2015 2016 2017

Enero 400 369 363 358

Febrero 330 341 321 321

Marzo 346 334 364 338

Abril 379 328 341 337

Mayo 379 378 380 312

Junio 376 367 362 347

Julio 409 378 387 328

Agosto 424 382 359 395

Septiembre 359 402 374 346

Octubre 397 391 346 341

Noviembre 393 349 328 368

Diciembre 373 356 319 327

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2) Desde 1994 a 1997, fase posterior de la crisis del petróleo del 93, tras las

olimpiadas de Barcelona’92 y la Expo’92 de Sevilla:

Mes 1994 1995 1996 1997

Enero 323 312 302 318

Febrero 282 290 296 307

Marzo 350 340 326 315

Abril 346 301 314 341

Mayo 340 326 355 342

Junio 332 289 332 337

Julio 343 313 328 340

Agosto 313 347 303 330

Septiembre 322 313 339 287

Octubre 279 316 283 324

Noviembre 266 291 345 324

Diciembre 311 296 336 334

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3) Desde 1969 a 1972, una etapa que se dio en llamar del “baby boom”, donde hubo bastantes nacimientos y crecimiento de la población:

Mes 1969 1970 1971 1972

Enero 682 691 618 674

Febrero 720 648 653 663

Marzo 720 793 752 710

Abril 721 662 700 700

Mayo 735 727 679 750

Junio 722 732 684 708

Julio 759 803 732 676

Agosto 712 732 696 745

Septiembre 738 797 720 798

Octubre 768 739 733 679

Noviembre 642 676 668 622

Diciembre 696 659 699 686

4) Desde 1941 a 1944, son los primeros años con datos estadísticos y coinciden con la etapa de la post­guerra:

Mes 1941 1942 1943 1944

Enero 613 537 710 699

Febrero 592 577 639 654

Marzo 673 691 685 711

Abril 559 693 674 635

Mayo 631 679 645 656

Junio 579 567 570 572

Julio 600 524 603 650

Agosto 554 583 666 668

Septiembre 557 622 673 631

Octubre 555 677 681 704

Noviembre 498 587 669 654

Diciembre 510 664 665 677

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Casos reales estudiados y documentados:

En el Mundial de Fútbol de 2014 se estudió cómo se confirmaba la conocida “paradoja del cumpleaños para grupos de 23 personas”. El periodista James Fletcher (BBC) en su artículo del 17 de junio de 2014, así lo explicaba: participaban 32 selecciones nacionales, cada una

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con 23 jugadores, de las cuales 16 tenían por lo menos una coincidencia de cumpleaños; es decir, en el 50% de los equipos se daba la coincidencia.

Los datos se basaban en las fechas de nacimiento de la lista oficial de equipos de la FIFA:

11 Países con 1 coincidencia: Australia, Bosnia, Brasil, Camerún, Colombia, España, EEUU, Holanda, Honduras, Nigeria y Rusia.

5 Países con 2 coincidencias: Argentina, Corea del Sur, Francia, Irán y Suiza.

Hemos comprobado nosotros si también se había dado la paradoja en el pasado Mundial de Rusia­2018. Para ello, hemos buscado en la web los datos oficiales de la FIFA, también fueron 32 equipos de 23 jugadores cada uno, que conseguimos ( fifa.pdf ) en el siguiente enlace :

https://www.infobae.com/america/deportes/mundial­rusia­2018/2018/06/04/ya­es­oficial­los­23­jugadores­de­las­32­selecciones­con­sus­respectivas­dorsales/

A partir de esas hojas del fichero PDF de la FIFA, fuimos pasando los datos de cada equipo nacional a una hoja de cálculo, ordenando los datos por la columna de la fecha de cumpleaños y buscando después las coincidencias de cumpleaños dentro de cada equipo:

Team # Pos. FIFA Popular Name Birth Date Shirt Name Spain 11FW VAZQUEZ Lucas 01.07.1991 LUCAS V. Spain 17FW ASPAS Iago 01.08.1987 IAGO ASPAS Spain 3 DF PIQUE Gerard 02.02.1987 PIQUÉ Spain 13GK ARRIZABALAGA Kepa 03.10.1994 ARRIZABALAGA Spain 9 FW RODRIGO 06.03.1991 RODRIGO M. Spain 19FW COSTA Diego 07.10.1988 DIEGO COSTA Spain 1 GK DE GEA David 07.11.1990 DE GEA Spain 21FW SILVA David 08.01.1986 SILVA Spain 8 MF KOKE 08.01.1992 KOKE Spain 2 DF CARVAJAL Dani 11.01.1992 CARVAJAL Spain 10MF THIAGO 11.04.1991 THIAGO

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Spain 6 MF INIESTA Andres 11.05.1984 A. INIESTA Spain 12DF ODRIOZOLA Alvaro 14.12.1995 ODRIOZOLA Spain 5 MF BUSQUETS Sergio 16.07.1988 SERGIO Spain 4 DF NACHO 18.01.1990 NACHO Spain 20MF ASENSIO Marco 21.01.1996 ASENSIO Spain 18DF ALBA Jordi 21.03.1989 JORDI ALBA Spain 22MF ISCO 21.04.1992 ISCO Spain 7 MF SAUL 21.11.1994 SAÚL Spain 16DF MONREAL Nacho 26.02.1986 MONREAL Spain 14DF AZPILICUETA Cesar 28.08.1989 AZPILICUETA Spain 15DF RAMOS Sergio 30.03.1986 RAMOS Spain 23GK REINA Pepe 31.08.1982 REINA Lo mismo que en el anterior mundial, aquí también tenemos 16 equipos sin coincidencias (50%) y otros 16 en donde se dan coincidencias :

12 países con 1 coincidencia: Alemania, Australia, Corea del Sur, Costa Rica, Croacia, España, Francia, Inglaterra, Irán, Nigeria, Rusia y Perú.

2 países con 2 coincidencias: Brasil y Marruecos.

1 país con 3 coincidencias: Portugal.

1 país con 4 coincidencias: Polonia.

Por ejemplo, veamos los datos de este último equipo con 4 coincidencias:

Team # Pos. FIFA Popular Name Birth Date Shirt Name Poland 8 MF LINETTY Karol 02.02.1995 LINETTY Poland 15DF GLIK Kamil 03.02.1988 GLIK Poland 20DF PISZCZEK Lukasz 03.06.1985 PISZCZEK Poland 14FW TEODORCZYK Lukasz 03.06.1991 TEODORCZYK Poland 3 DF JEDRZEJCZYK Artur 04.11.1987 JEDRZEJCZYK Poland 12GK BIALKOWSKI Bartosz 06.07.1987 BIALKOWSKI Poland 11MF GROSICKI Kamil 08.06.1988 GROSICKI Poland 5 DF BEDNAREK Jan 12.04.1996 BEDNAREK Poland 18DF BERESZYNSKI Bartosz 12.07.1992 BERESZYNSKI Poland 23FW KOWNACKI Dawid 14.03.1997 KOWNACKI Poland 16MF BLASZCZYKOWSKI Jakub 14.12.1985 BLASZCZYKOWSKI Poland 22GK FABIANSKI Lukasz 18.04.1985 FABIANSKI Poland 1 GK SZCZESNY Wojciech 18.04.1990 SZCZESNY Poland 17MF PESZKO Slawomir 19.02.1985 PESZKO Poland 13MF RYBUS Maciej 19.08.1989 RYBUS Poland 19MF ZIELINSKI Piotr 20.05.1994 ZIELINSKI Poland 4 DF CIONEK Thiago 21.04.1986 CIONEK Poland 9 FW LEWANDOWSKI Robert 21.08.1988 LEWANDOWSKI Poland 2 DF PAZDAN Michal 21.09.1987 PAZDAN Poland 6 MF GORALSKI Jacek 21.09.1992 GORALSKI Poland 7 FW MILIK Arkadiusz 28.02.1994 MILIK Poland 10MF KRYCHOWIAK Grzegorz 29.01.1990 KRYCHOWIAK Poland 21MF KURZAWA Rafal 29.01.1993 KURZAWA

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Las posibles similitudes pudieran deberse a que muchos equipos repiten su participación y vuelven a tener muchos jugadores que ya habían participado en el anterior mundial. En otros casos, porque hubiese jugadores que son hermanos mellizos o gemelos, pero de las coincidencias encontradas solamente hallamos un único caso (el de los gemelos Alexey y Anton MIRANCHUK, de Rusia). Luego, este posible condicionamiento para tener coincidencias, en este estudio no tiene suficiente peso y podemos no tenerlo en cuenta. 4. ANÁLISIS Y VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS

Cabe destacar que en los experimentos con cajas para analizar las probabilidades de coincidencias, en todos ellos es fácil tener un 90% o más de posibilidades de que haya coincidencias. Y con solo tener una piedra más que la mitad de los agujeros disponibles, algo que choca con lo que la intuición nos diría; cuando hicimos el experimento con los compañeros, los más optimistas hablaban de un 60% como mucho y los pesimistas citaban como máximo un 25%.

Aun cuando estemos reunidos menos de 23 alumnos en una clase pueden darse coincidencias de fechas de cumpleaños, pero es ese número el 23 el que nos da más posibilidades de que las haya cuando hay una reunión de más de 23.

Sin embargo, si lo que fijamos es ya la fecha concreta de cumpleaños que queremos sea compartida por varios alumnos, entonces deberemos meter en clase a 253 alumnos para tener más de un 50% de posibilidades.

Y resulta que 253=23*11 (otra vez sale el número 23).

Al estudiar los grupos de clases de nuestro instituto, la media del número de alumnos por grupo se acerca a 23 alumnos, dando un 50% de coincidencias respecto al número total de grupos (en 13 de los 26 grupos se da alguna coincidencia).

Cuando hemos repetido el estudio realizado por J. Fletcher de la BBC en 2014 sobre las coincidencias del Mundial de Fútbol­2014, en nuestro caso estudiando las estadísticas del Mundial de Rusia­2018, resulta curioso que otra vez los equipos son de 23 jugadores y la mitad de los 32 equipos (el 50%) tienen alguna coincidencia. Se podría pensar que hay varios equipos que repiten participación, que hay bastantes jugadores que vuelven a estar presentes en las listas, que hay casos de mellizos y gemelos, etc.; sin embargo, solo hay un caso de gemelos y hay muchos jugadores jóvenes que debutaron como mundialistas en el del 2018, lo cual no ha impedido obtener iguales resultados en ambos mundiales.

Resulta curioso que sean 32 equipos (32 es el número 23 al revés; otra vez el 23…).

El caso de los gemelos y mellizos, estudiados en los distintos grupos de nuestras clases también hemos observado que no tienen incidencia en las coincidencias de cumpleaños puesto que en nuestro instituto están separados en distintos grupos.

El resultado de 23 personas NO es una paradoja matemática, se puede comprobar matemática y fácilmente como hemos visto. Se le califica como “paradoja” por lo contraria que parece a lo que nos dice la intuición.

Lo problemático de esta cuestión es que cualquiera de nosotros tiende a imaginarse la probabilidad de que haya otra coincidencia de cumpleaños con la suya, fijando ya de antemano una fecha concreta. Ahí radica la diferencia, como ya hemos visto con los dos planteamientos estudiados del problema.

La clave es que hay muchas posibles parejas que pueden formarse según vamos creciendo en el número de personas agrupadas.

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Por eso, la probabilidad acaba siendo tan alta en un grupo tan pequeño.

Por ejemplo, nuestra letra del NIF es el resto de dividir nuestro número DNI entre 23, quedarnos con el resto y asignarle una de las 23 letras de la tabla del abecedario reducido.

También el futbolista David Beckham, con reconocida enfermedad TOC (Trastorno Obsesivo Compulsivo) escogió el nº 23 para jugar en el Real Madrid.

Algo parece que tiene que ver nuestro numerito “23” con el orden de las cosas.

Estudiadas las densidades de nacimientos por días y meses, a lo largo de las distintas series de años desde que hay estadísticas tanto del INE como del ICANE, podemos considerar que tanto en Cantabria como en España la distribución es bastante uniforme. A la luz de los gráficos radiales construidos y visto que salen bastante concéntricos podemos considerar que no tiene influencia la fecha de cumpleaños que se fije.

Como la serie de datos disponibles comienza en 1941, se consideró repartir ese espacio de tiempo a estudiar por décadas puesto que de esta manera se eliminaban los posibles condicionantes a los períodos de años escogidos.

Ver el archivo: Nacimientos por meses­ICANE­Cantabria(1941­2017).xls

Agrupando datos por décadas:

días/mes 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 Nacimientos Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes

Año Enero Febr. Marzo Abril Mayo Junio Julio Agost Sept. Oct. Nov. Dic. 1941 613 592 673 559 631 579 600 554 557 555 498 510 1942 537 577 691 693 679 567 524 583 622 677 587 664 1943 710 639 685 674 645 570 603 666 673 681 669 665 1944 699 654 711 635 656 572 650 668 631 704 654 677 1945 699 702 770 735 689 680 681 686 682 718 638 732 1946 814 702 740 747 704 631 690 741 725 765 655 673 1947 674 647 795 764 724 712 670 696 794 804 697 716 1948 785 789 874 785 827 749 794 739 734 761 740 732 1949 788 731 852 754 805 774 740 716 759 754 648 675 1950 767 698 840 728 776 702 755 771 792 694 714 689 1941­1950 7086 6731 7631 7074 7136 6536 6707 6820 6969 7113 6500 6733 nacimientos/día 229 240 246 236 230 218 216 220 232 229 217 217 Etc… Lo cual da las siguientes densidades de nacimientos por día y mes:

días/mes 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 Nacimientos/día Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes

Año Enero Febr. Marzo Abril Mayo Junio Julio Agost Sept. Oct. Nov. Dic. 1941­1950 229 240 246 236 230 218 216 220 232 229 217 217 1951­1960 247 265 264 263 252 249 245 248 261 241 241 240 1961­1970 232 254 248 247 249 243 248 238 251 239 226 226 1971­1980 226 229 236 242 243 238 242 239 244 223 219 224 1981­1990 155 158 161 157 163 161 160 156 158 156 147 151 1991­2000 105 111 109 114 114 111 108 113 114 108 109 108 2001­2010 134 137 137 138 145 140 146 143 148 147 144 142 2011­2017 88 87 85 86 88 91 91 97 93 91 92 83

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Si hacemos una gráfica conjunta y comparativa de todos estos datos:

Después se vio que como el recorrido de la serie que se puede obtener de las bases de datos del ICANE va desde el año 1941 al 2017, inclusive, entonces tenemos 2017­1941+1 años estudiados, es decir, un recorrido de 77 años en dicha serie. Por lo que podemos repartirlos en tramos, en intervalos, bien haciendo 7 tramos de 11 años (que sería muy similar a lo ya estudiado por décadas), o bien haciendo 11 tramos de 7 años cada uno, que es el agrupamiento por intervalos que finalmente también se estudió:

días/mes 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 Nacimientos

/día Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes

Año Enero Febr. Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Sept. Oct. Nov. Dic. 1941­1947 153 161 163 160 153 144 143 148 156 158 147 150 1948­1954 171 184 187 177 176 172 170 166 178 159 164 160 1955­1961 175 187 183 188 181 176 172 179 185 177 172 173 1962­1968 164 179 176 174 175 169 175 167 173 167 158 157 1969­1975 154 164 167 168 170 167 172 166 173 159 153 159 1976­1982 153 156 158 161 163 158 161 158 162 150 147 147 1983­1989 107 103 108 106 108 110 104 106 105 105 98 101 1990­1996 75 78 79 81 82 79 80 79 82 78 77 75 1997­2003 78 82 77 81 85 82 81 86 84 84 83 83 2004­2010 99 99 102 103 106 102 107 103 108 106 104 104 2011­2017 88 87 85 86 88 91 91 97 93 91 92 83 Que nos da la gráfica correspondiente:

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Como todas las líneas de densidad de nacimientos por día y mes son bastante planas y paralelas entre sí, podemos determinar que las distribuciones de los nacimientos, y en consecuencia asimismo las de los cumpleaños, son lo suficientemente uniformes como para poder considerar todas las fechas de cumpleaños con la misma probabilidad de darse, es decir, “equiprobables” . 5. CONCLUSIONES

Una conclusión final es que el número 23 si bien no es definitivo, al menos sí que es clave.

Claro que si nos reunimos solamente media docena pudiera haber coincidencias, pero si estamos reunidos más de 23 seguro que es muy posible que las hubiese. De hecho, en nuestro estudio de los grupos de clases, hay aulas con menos de 23 alumnos que sí tienen alguna coincidencia, mientras las hay de más de 23 ( con 26, 27 o 28 alumnos) que sin embargo no tienen ninguna.

Las estadísticas de cumpleaños por día y mes, la densidad de los mismos, no tiene influencia en la posibilidad de las coincidencias puesto que su distribución es muy uniforme a lo largo de las series de años estudiados, tanto en Cantabria como a nivel nacional.

Hemos concluido que debíamos estudiar también la serie 2001­2006 en Cantabria, para ver si la distribución de nacimientos en ese intervalo de años tenía incidencia en las coincidencias dadas en nuestro instituto, puesto que son los años de nacimiento de los alumnos que ahora estamos matriculados en el IES. Vistos los gráficos resultantes, podemos concluir que ha sido considerablemente uniforme a lo largo de dichos años. Veámoslo:

Nacimientos. Año 2001­2006

Nacimientos. Datos Totales CANTABRIA

Nacimientos según mes del nacimiento.

Unidades: nacimientos

Ene Febr Marz Abr May Jun Jul Agos Septiem Octub Novi Dic 2001 334 325 345 328 396 339 362 390 345 402 351 363 2002 373 338 337 357 389 368 395 414 389 407 400 393 2003 385 389 402 376 414 436 446 433 457 459 433 430

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2004 421 365 392 407 462 376 441 398 403 399 375 434 2005 424 365 433 421 473 416 444 441 480 437 446 487 2006 434 384 473 424 461 384 465 401 440 486 456 421

suma totales 2.371 2.166 2.382 2.313 2.595 2.319 2.553 2.477 2.514 2.590 2.461 2.528

días del mes 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 med densidad (nacimientos/día) 76 77 77 77 84 77 82 80 84 84 82 82 80

% desviación de la media ­5% ­4% ­4% ­4% 4% ­4% 3% 0% 5% 4% 2% 2%

Fuente: ICANE e INE

6. SUGERENCIAS DE MEJORÍA

LO QUE PODEMOS MEJORAR : Creemos que la principal deficiencia del trabajo es que se podían haber hecho más veces los experimentos de las cajas en los recreos, o repetir más veces con las mismas clases y ver que salían distintas coincidencias, por ejemplo.

Pensamos en posibles mejoras para el futuro :

1. Intentar reunir en la biblioteca o en un aula a 23 alumnos al azar, por orden de entrada al instituto u otra manera, e intentar ver si había coincidencias de cumpleaños.

2. Hacer más tipos de cajas para el experimento (de 5x5, o con 15 agujeros, por ejemplo).

3. Escoger solamente los grupos del instituto con exactamente 23 alumnos, o con más alumnos pero no menos; y también pedir listados de otros institutos.

4. Hacer un experimento en vivo y en directo en un auditorio. Se podría preguntar: ¿cuántos cumplen años el día 15? O mejor aún: ¿cuántos cumplen años hoy? Si no, ¿cuántos cumplen años mañana? Si no, ¿cuántos cumplieron años ayer?, etc … para hacer ver que no es difícil hallar coincidencias de cumpleaños en cualquier reunión con determinado número de asistentes.

Y cuando se encuentre la coincidencia: cantarles “ Happy birthday to you… ”

Y poner la canción de “ Cumpleaños feliz ” del grupo Parchís …. 7. DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA

Este trabajo ha sido realizado durante tres meses, trabajando en grupo y quedando con el tutor en algunos recreos para mostrarle las ideas y los avances. También hemos llevado a

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cabo experiencias prácticas con nuestros compañeros de clase, que nos han aportado ideas y corregido errores. Fue una experiencia en la que pudimos aprovechar para contar al resto de compañeros del instituto qué estábamos trabajando en este proyecto.

Además, en clase, en la asignatura Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas, no sabíamos a ciencia cierta si podríamos llegar a los temas de Estadística y Probabilidad, por lo que de esta forma experimental hemos trabajado dichas unidades. Con este proyecto hemos adquirido una serie de aptitudes y conocimientos más profundos, como son la exploración de bases de datos disponibles en la web. También, expresiones técnicas de la estadística y de la probabilidad.

Por último, a nivel personal, hemos mejorado nuestra visión hacia el uso práctico de la estadística y la probabilidad para explicar o analizar sucesos que ocurren en la vida real cotidiana. 8. BIBLIOGRAFÍA

.­ “MMACA. Coincidencias. La paradoja del cumpleaños”. Daniel Vila Martínez. División Educativa CASIO España. CASIO NEWS. Año 4. Número 6. Julio 2017.

.­ “33. The birthday problema (El problema del cumpleaños)”. Tony Crilly. 50 mathematical ideas you really need to know. Quercus 2007.

.­ MMACA. Coincidencias, 15 agujeros y 8 huevos. http://www.mmaca.cat/index.php/moduls/probabilitat­i­estadistica

.­ Els mòduls de probabilitat i estadística del MMACA: Les coincidències. Enric Brasó (MMACA). NouBiaix 37. Diciembre 2015. http://publicacions.iec.cat/repository/pdf/00000222/00000078.pdf

.­ La sorprendente teoría matemática que se confirma en el Mundial. James Fletcher. BBC. 17 de junio de 2014 http://www.bbc.com/mundo/noticias/2014/06/140617_ciencia_paradoja_cumpleanos_mundial_np

.­ ABC Ciencia. Fernando Corbalán. 22 de mayo de 2017 http://www.abc.es/ciencia/abci­paradoja­cumplenos­problema­matematico­puedes­probar­agenda­201705220958_noticia.html

.­ Oficial: las listas de 23 jugadores de todas las selecciones del Mundial de Rusia 2018. La página oficial de la FIFA compartió las listas de jugadores que presentó cada país para el Mundial, 4 de junio de 2018 https://www.infobae.com/america/deportes/mundial­rusia­2018/2018/06/04/ya­es­oficial­los­23­jugadores­de­las­32­selecciones­con­sus­respectivas­dorsales/ (fifa.pdf)

.­ https://es.wikipedia.org/wiki/Richard_von_Mises

.­ https://www.gaussianos.com/la­paradoja­del­cumpleanos/

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ANEXOS. Tablas

Alumnado del centro Plataforma Yedra, Gestión de Centros. Consejería de Educación. Gobierno de Cantabria 13/02/19 ­ 13:06

Grupo Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento

1 B1A 01/12/2001 1 B1B 01/02/2002 1 B1C 01/11/2002 2 B1A 03/06/2002 2 B1B 02/01/2002 2 B1C 02/12/2002 3 B1A 03/09/2002 3 B1B 02/03/2002 3 B1C 03/05/2002 4 B1A 09/03/2002 4 B1B 04/05/2002 4 B1C 03/07/2002 5 B1A 10/06/2002 5 B1B 05/10/2002 5 B1C 04/06/2002 6 B1A 11/11/2000 6 B1B 07/05/2001 6 B1C 05/07/2001 7 B1A 12/07/2002 7 B1B 07/08/2002 7 B1C 08/11/2002 8 B1A 14/05/2002 8 B1B 09/02/2002 8 B1C 12/08/2000 9 B1A 15/10/2002 9 B1B 12/09/2002 9 B1C 13/03/2001 10 B1A 16/06/2002 10 B1B 15/05/2002 10 B1C 13/08/2002 11 B1A 16/11/2002 11 B1B 15/10/2002 11 B1C 16/08/2002 12 B1A 18/04/2002 12 B1B 19/01/2002 12 B1C 17/06/2002 13 B1A 19/03/2002 13 B1B 23/02/2002 13 B1C 18/04/2002 14 B1A 19/07/2002 14 B1B 24/02/2002 14 B1C 18/10/2002 15 B1A 23/07/2002 15 B1B 26/02/2002 15 B1C 19/02/2002 16 B1A 25/05/2002 16 B1B 27/11/2002 16 B1C 19/07/2002 17 B1A 26/09/2002 17 B1B 30/08/2002 17 B1C 23/06/2002

Grupo Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento 18 B1C 28/04/2002

1 1ºE 01/11/2004 1 3ºD 03/09/2004 19 B1C 28/09/2002 2 1ºE 02/01/2006 2 3ºD 05/06/2004 20 B1C 28/12/2002 3 1ºE 03/06/2005 3 3ºD 06/08/2004 21 B1C 29/07/2001 4 1ºE 04/11/2006 4 3ºD 07/10/2004 22 B1C 30/06/2002 5 1ºE 08/05/2006 5 3ºD 08/04/2003 23 B1C 30/07/2002

6 1ºE 08/12/2006 6 3ºD 08/12/2002 Grupo Fecha de nacimiento

7 1ºE 09/11/2006 7 3ºD 09/01/2002 1 1ºCGM 01/05/1998 8 1ºE 11/04/2006 8 3ºD 09/01/2003 2 1ºCGM 03/11/2002 9 1ºE 15/01/2006 9 3ºD 10/05/2004 3 1ºCGM 05/01/1998 10 1ºE 15/01/2006 10 3ºD 10/11/2003 4 1ºCGM 05/06/2001 11 1ºE 16/02/2005 11 3ºD 12/04/2004 5 1ºCGM 08/04/1999 12 1ºE 16/02/2006 12 3ºD 16/11/2003 6 1ºCGM 10/04/1999 13 1ºE 16/03/2006 13 3ºD 18/09/2003 7 1ºCGM 10/11/2001 14 1ºE 16/04/2006 14 3ºD 19/06/2003 8 1ºCGM 12/11/1999 15 1ºE 18/05/2005 15 3ºD 19/10/2004 9 1ºCGM 19/03/1999 16 1ºE 20/09/2005 16 3ºD 22/08/2003 10 1ºCGM 22/05/2001 17 1ºE 21/07/2006 17 3ºD 26/05/2003 11 1ºCGM 22/09/2000 18 1ºE 22/11/2005 18 3ºD 28/04/2003 12 1ºCGM 29/11/2001 19 1ºE 23/12/2006 19 3ºD 29/05/2004 13 1ºCGM 31/10/2001 20 1ºE 30/06/2006

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Grupo Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento

1 B1D 03/10/2002 1 B2A 01/08/2001 1 1ºCGS 02/10/1989 2 B1D 03/11/2002 2 B2A 04/09/2001 2 1ºCGS 04/02/1997 3 B1D 04/02/2002 3 B2A 05/09/2001 3 1ºCGS 06/02/2000 4 B1D 06/12/2002 4 B2A 07/02/2001 4 1ºCGS 07/04/1998 5 B1D 07/03/2002 5 B2A 07/06/2001 5 1ºCGS 09/02/1999 6 B1D 07/11/2002 6 B2A 07/11/2001 6 1ºCGS 09/06/1999 7 B1D 08/05/2002 7 B2A 10/05/2001 7 1ºCGS 10/02/1972 8 B1D 08/05/2002 8 B2A 11/08/2001 8 1ºCGS 13/07/1996 9 B1D 10/12/2001 9 B2A 12/12/2001 9 1ºCGS 13/10/2000 10 B1D 12/11/2002 10 B2A 13/04/2001 10 1ºCGS 14/09/1999 11 B1D 18/04/2002 11 B2A 13/04/2001 11 1ºCGS 14/11/1987 12 B1D 19/02/2002 12 B2A 14/02/2000 12 1ºCGS 15/01/1996 13 B1D 19/09/2002 13 B2A 14/03/2001 13 1ºCGS 15/05/1992 14 B1D 19/10/2001 14 B2A 16/06/2001 14 1ºCGS 15/07/1996 15 B1D 20/10/2002 15 B2A 21/01/2000 15 1ºCGS 17/12/1997 16 B1D 21/11/2002 16 B2A 21/09/2001 16 1ºCGS 18/02/2000 17 B1D 25/12/2001 17 B2A 22/03/2001 17 1ºCGS 19/01/1993 18 B1D 28/07/2001 18 B2A 22/05/2001 18 1ºCGS 19/05/1991 19 B1D 30/08/2002 19 B2A 22/05/2001 19 1ºCGS 20/05/1999 20 B1D 31/01/2002 20 B2A 22/05/2001 20 1ºCGS 20/06/1994 21 B1D 31/05/2002 21 B2A 24/08/1999 21 1ºCGS 20/10/1998

Grupo Fecha de nacimiento 22 B2A 25/11/2001 22 1ºCGS 22/06/1997

1 1ºC 03/12/2005 23 B2A 25/11/2001 23 1ºCGS 22/07/1997 2 1ºC 06/03/2006 24 B2A 26/04/2000 24 1ºCGS 22/09/1999 3 1ºC 06/10/2006 25 B2A 28/02/2001 25 1ºCGS 25/03/1973 4 1ºC 12/08/2006 26 B2A 28/03/2001 26 1ºCGS 28/07/1999 5 1ºC 14/05/2006 27 1ºCGS 29/04/2000 6 1ºC 14/09/2006 28 1ºCGS 29/07/2000 7 1ºC 14/12/2006 29 1ºCGS 30/11/1983 8 1ºC 15/07/2004 9 1ºC 16/05/2006 10 1ºC 16/09/2006 11 1ºC 17/04/2006 12 1ºC 17/12/2006 13 1ºC 18/03/2006 14 1ºC 21/06/2006 15 1ºC 22/04/2006 16 1ºC 24/05/2005 17 1ºC 26/08/2006 18 1ºC 27/04/2006 19 1ºC 27/05/2006 20 1ºC 28/01/2006 21 1ºC 29/03/2006 22 1ºC 31/07/2006

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Grupo Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento

1 1ºD 01/06/2006 1 1ºA 01/09/2006 1 1ºB 01/02/2006 2 1ºD 01/11/2005 2 1ºA 06/03/2006 2 1ºB 02/06/2006 3 1ºD 06/07/2006 3 1ºA 07/05/2006 3 1ºB 08/02/2005 4 1ºD 07/07/2005 4 1ºA 08/05/2006 4 1ºB 08/03/2006 5 1ºD 09/01/2006 5 1ºA 09/06/2005 5 1ºB 10/01/2006 6 1ºD 09/06/2006 6 1ºA 09/12/2006 6 1ºB 11/05/2005 7 1ºD 14/11/2006 7 1ºA 10/04/2006 7 1ºB 12/01/2006 8 1ºD 14/12/2006 8 1ºA 11/10/2006 8 1ºB 12/07/2005 9 1ºD 15/11/2006 9 1ºA 12/12/2006 9 1ºB 13/08/2006 10 1ºD 16/11/2006 10 1ºA 13/07/2006 10 1ºB 15/09/2006 11 1ºD 19/11/2006 11 1ºA 14/08/2006 11 1ºB 17/03/2006 12 1ºD 24/05/2005 12 1ºA 15/02/2006 12 1ºB 19/04/2006 13 1ºD 25/05/2006 13 1ºA 20/11/2006 13 1ºB 20/09/2006 14 1ºD 26/04/2006 14 1ºA 20/12/2005 14 1ºB 22/02/2006 15 1ºD 27/08/2006 15 1ºA 22/10/2006 15 1ºB 22/04/2006 16 1ºD 27/12/2006 16 1ºA 22/11/2005 16 1ºB 23/01/2006 17 1ºD 28/10/2005 17 1ºA 23/05/2005 17 1ºB 23/05/2005 18 1ºD 29/01/2005 18 1ºA 24/04/2006 18 1ºB 23/08/2006 19 1ºD 29/03/2006 19 1ºA 24/05/2006 19 1ºB 25/05/2006 20 1ºD 29/12/2006 20 1ºA 24/05/2006 20 1ºB 26/02/2006 21 1ºD 30/06/2006 21 1ºA 24/11/2006 21 1ºB 26/04/2006 22 1ºD 30/07/2006 22 1ºA 27/05/2005 22 1ºB 26/05/2006

Grupo Fecha de nacimiento 23 1ºA 31/05/2006 23 1ºB 26/12/2006

1 3ºC 02/02/2003 24 1ºB 30/08/2006 2 3ºC 03/07/2003 3 3ºC 04/10/2003 4 3ºC 05/03/2003 5 3ºC 05/03/2003 6 3ºC 06/02/2004 7 3ºC 06/02/2004 8 3ºC 08/12/2004 9 3ºC 11/05/2004 10 3ºC 13/06/2002 11 3ºC 13/11/2004 12 3ºC 14/11/2004 13 3ºC 15/07/2004 14 3ºC 19/02/2004 15 3ºC 19/08/2003 16 3ºC 21/08/2004 17 3ºC 22/08/2004 18 3ºC 22/11/2004 19 3ºC 25/06/2004 20 3ºC 27/06/2003 21 3ºC 29/05/2003

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Grupo Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento

1 2ºA 03/04/2005 1 2ºB 01/04/2005 1 2ºC 01/11/2005 2 2ºA 03/05/2003 2 2ºB 02/01/2005 2 2ºC 03/07/2005 3 2ºA 03/06/2005 3 2ºB 03/01/2005 3 2ºC 03/11/2004 4 2ºA 03/08/2004 4 2ºB 03/10/2005 4 2ºC 05/07/2004 5 2ºA 05/10/2005 5 2ºB 04/03/2005 5 2ºC 06/08/2005 6 2ºA 05/11/2005 6 2ºB 07/08/2005 6 2ºC 07/07/2005 7 2ºA 05/12/2005 7 2ºB 07/10/2005 7 2ºC 09/03/2005 8 2ºA 06/06/2005 8 2ºB 08/03/2005 8 2ºC 09/07/2005 9 2ºA 09/05/2005 9 2ºB 08/08/2005 9 2ºC 10/04/2005 10 2ºA 09/12/2004 10 2ºB 10/04/2004 10 2ºC 10/06/2003 11 2ºA 10/11/2005 11 2ºB 11/02/2005 11 2ºC 10/10/2005 12 2ºA 12/10/2005 12 2ºB 12/01/2005 12 2ºC 12/08/2005 13 2ºA 13/07/2005 13 2ºB 12/07/2005 13 2ºC 15/07/2005 14 2ºA 15/06/2005 14 2ºB 13/05/2005 14 2ºC 19/06/2005 15 2ºA 19/04/2005 15 2ºB 15/01/2005 15 2ºC 22/09/2004 16 2ºA 19/05/2005 16 2ºB 16/11/2004 16 2ºC 23/02/2005 17 2ºA 20/05/2004 17 2ºB 17/09/2005 17 2ºC 23/09/2005 18 2ºA 21/04/2005 18 2ºB 18/04/2004 18 2ºC 24/03/2005 19 2ºA 23/02/2005 19 2ºB 21/05/2005 19 2ºC 27/12/2004 20 2ºA 24/05/2005 20 2ºB 22/05/2005 20 2ºC 28/02/2004 21 2ºA 24/12/2005 21 2ºB 22/10/2005 21 2ºC 28/02/2005 22 2ºA 26/07/2005 22 2ºB 23/07/2004 22 2ºC 29/03/2005

23 2ºA 28/09/2005 23 2ºB 24/08/2005 Grupo Fecha de nacimiento

24 2ºA 28/10/2005 24 2ºB 26/06/2005 1 2ºD 02/04/2005 25 2ºA 29/04/2005 25 2ºB 26/08/2005 2 2ºD 03/04/2005 26 2ºA 30/11/2005 26 2ºB 27/10/2005 3 2ºD 04/05/2005 27 2ºA 31/10/2005 27 2ºB 30/09/2005 4 2ºD 06/07/2005 5 2ºD 08/01/2003 6 2ºD 10/07/2005 7 2ºD 11/08/2005 8 2ºD 12/08/2005 9 2ºD 13/01/2005 10 2ºD 13/12/2005 11 2ºD 15/06/2004 12 2ºD 16/05/2005 13 2ºD 17/05/2004 14 2ºD 18/02/2005 15 2ºD 22/05/2005 16 2ºD 22/06/2005 17 2ºD 23/08/2004 18 2ºD 23/10/2005 19 2ºD 24/02/2004 20 2ºD 24/12/2004 21 2ºD 28/01/2005

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Grupo Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento

1 2ºCGS 01/09/1998 1 3ºB 02/06/2004 1 3ºA 01/08/2004 2 2ºCGS 03/06/1978 2 3ºB 04/07/2004 2 3ºA 02/10/2004 3 2ºCGS 03/12/1998 3 3ºB 05/03/2004 3 3ºA 07/08/2004 4 2ºCGS 04/06/1999 4 3ºB 07/02/2004 4 3ºA 15/04/2004 5 2ºCGS 06/02/1997 5 3ºB 09/06/2003 5 3ºA 15/08/2004 6 2ºCGS 06/11/1997 6 3ºB 11/09/2004 6 3ºA 15/11/2004 7 2ºCGS 09/07/1997 7 3ºB 11/10/2003 7 3ºA 16/09/2004 8 2ºCGS 10/02/1992 8 3ºB 12/03/2004 8 3ºA 16/09/2004 9 2ºCGS 10/07/1998 9 3ºB 13/05/2004 9 3ºA 17/06/2004 10 2ºCGS 11/01/1999 10 3ºB 13/11/2004 10 3ºA 18/01/2004 11 2ºCGS 11/07/1991 11 3ºB 14/02/2004 11 3ºA 19/07/2004 12 2ºCGS 11/08/1990 12 3ºB 15/12/2004 12 3ºA 19/12/2004 13 2ºCGS 12/12/1976 13 3ºB 18/09/2004 13 3ºA 21/06/2004 14 2ºCGS 14/03/1996 14 3ºB 19/08/2004 14 3ºA 21/07/2004 15 2ºCGS 14/05/1990 15 3ºB 19/09/2003 15 3ºA 22/06/2003 16 2ºCGS 16/01/1992 16 3ºB 19/09/2004 16 3ºA 24/06/2004 17 2ºCGS 16/10/1985 17 3ºB 22/02/2004 17 3ºA 24/06/2004 18 2ºCGS 18/05/1996 18 3ºB 23/07/2004 18 3ºA 25/05/2004 19 2ºCGS 20/01/1997 19 3ºB 26/07/2004 19 3ºA 26/06/2004 20 2ºCGS 22/08/1993 20 3ºB 26/08/2004 20 3ºA 27/11/2003 21 2ºCGS 23/07/1980 21 3ºB 26/08/2004 21 3ºA 28/03/2004 22 2ºCGS 24/03/1998 22 3ºB 27/01/2003 22 3ºA 28/06/2004 23 2ºCGS 24/06/1990 23 3ºB 28/02/2004 23 3ºA 29/06/2003 24 2ºCGS 24/09/1999 24 3ºB 28/09/2004 24 3ºA 29/07/2004 25 2ºCGS 24/10/1995 25 3ºB 30/03/2003 25 3ºA 30/09/2003 26 2ºCGS 27/10/1991 26 3ºB 30/09/2004 26 3ºA 30/10/2003 27 2ºCGS 28/08/1996 27 3ºA 31/03/2004 28 2ºCGS 31/10/1997

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Grupo Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento

1 4ºA 01/07/2003 1 4ºB 01/01/2003 1 4ºC 02/02/2003 2 4ºA 04/01/2003 2 4ºB 03/02/2003 2 4ºC 03/11/2003 3 4ºA 05/02/2003 3 4ºB 03/07/2002 3 4ºC 04/12/2002 4 4ºA 05/05/2003 4 4ºB 04/06/2002 4 4ºC 06/04/2002 5 4ºA 08/01/2003 5 4ºB 05/02/2003 5 4ºC 07/10/2003 6 4ºA 09/02/2003 6 4ºB 05/08/2002 6 4ºC 09/02/2003 7 4ºA 10/03/2001 7 4ºB 06/11/2001 7 4ºC 10/07/2003 8 4ºA 11/01/2003 8 4ºB 08/08/2003 8 4ºC 10/10/2002 9 4ºA 14/05/2003 9 4ºB 13/03/2003 9 4ºC 12/03/2001 10 4ºA 14/10/2003 10 4ºB 15/06/2003 10 4ºC 13/01/2003 11 4ºA 17/06/2003 11 4ºB 16/06/2003 11 4ºC 13/01/2003 12 4ºA 17/07/2003 12 4ºB 20/02/2003 12 4ºC 14/06/2003 13 4ºA 18/08/2002 13 4ºB 20/08/2003 13 4ºC 16/05/2003 14 4ºA 19/08/2003 14 4ºB 20/09/2003 14 4ºC 19/01/2003 15 4ºA 20/08/2003 15 4ºB 20/10/2003 15 4ºC 20/08/2003 16 4ºA 21/03/2003 16 4ºB 21/08/2002 16 4ºC 21/03/2003 17 4ºA 21/03/2003 17 4ºB 23/04/2002 17 4ºC 24/12/2003 18 4ºA 22/03/2003 18 4ºB 24/01/2001 18 4ºC 26/01/2003 19 4ºA 22/09/2003 19 4ºB 27/10/2001 19 4ºC 27/04/2003 20 4ºA 25/12/2003 20 4ºB 28/04/2003 20 4ºC 28/07/2003 21 4ºA 28/01/2003 21 4ºB 29/09/2002 21 4ºC 31/07/2000 22 4ºA 29/06/2003

Grupo Fecha de nacimiento Grupo

Fecha de nacimiento

1 B2B 03/01/2001 1 B2C 03/07/2001 2 B2B 03/08/2001 2 B2C 04/06/2000 3 B2B 03/12/2000 3 B2C 06/06/2000 4 B2B 06/10/2001 4 B2C 07/08/2000 5 B2B 07/04/2000 5 B2C 11/09/2001 6 B2B 09/05/2001 6 B2C 14/10/2000 7 B2B 14/01/2000 7 B2C 15/06/2001 8 B2B 14/01/2000 8 B2C 15/07/2001 9 B2B 15/02/2000 9 B2C 16/10/2001 10 B2B 17/08/2001 10 B2C 17/05/2001 11 B2B 18/10/2001 11 B2C 18/10/2001 12 B2B 18/10/2001 12 B2C 20/08/2001 13 B2B 19/09/1999 13 B2C 21/05/2001 14 B2B 21/06/2001 14 B2C 21/08/2001 15 B2B 21/08/2001 15 B2C 21/09/2001 16 B2B 22/03/2000 16 B2C 23/02/2001 17 B2B 23/02/2001 17 B2C 23/02/2001 18 B2B 25/12/2000 18 B2C 29/04/2001 19 B2C 31/10/2001

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