escuela politÉcnica nacional facultad de ingenierÍa … · 2019. 4. 7. · nes de transferencia...
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
"PROGRAMA DIGITAL PARA SÍNTESIS DE CUADRIPOLOS
PASIVOS. REDES ESCALERA"
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE
INGENIERO ELÉCTRICO EN LA ESPECIALIDAD DE
POTENCIA
LUIS EDUARDO PESANTEZ SAMANIEGO
QUITO x
AGOSTO DE 1983 /
CERTIFICO QUE EL PRESENTE
TRABAJO HA SIDO ELABORADO
POR LUIS E. PESANTEZ :
SAMANIEGO. /
lena Ws"s
DIRECTORA DE TESIS
«.mente.
AGRADECIMIENTO
A la Ingeniera Helena Vass. Directora de
Tesis.
A la Es-cuela Politécnica Nacional que en
sus aulas- aprendí-.a formarme profesional-
A
Pax. 4a £a,cA¿fi¿c¿a (fLízadoá pcuta gu¿<vw<¿.no cíeZ 6<cén.A tn£sCon cono/t.
Í N D I C E
CAPITULO 1
INTRODUCCIÓN
1.a Generalidades
l.b Objetivos
l.c Alcance del presente trabajo
PAGINA
1
1
2
3
CAPITULO 2
PROPIEDADES Y REALIZABILIDAD
Principios de síntesis de funciones de transferencia 5
2.a Condiciones para la realización de cua-dripolos escalera 5
2.a.l Notas preliminares 6
2. a. 2 Algunas propiedades de redes escalera 8
2.b Condiciones para la realización física dez .. . ', y... con cuadripolos escalera 15
2.b.l Condiciones para la realización física defunciones de transferencia, T(s) . 17
2.c Materias y notas preliminares de síntesis.ceros de transmisión 20
2.c.l Secciones que producen ceros de transmisión 21
2.d Un método básico parasíntesis de funcionesde transferencia T(s) , con redes escalera 25
CAPITULO 3
SÍNTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE REDESESCALERA CON ELEMENTOS LC, RC, RL y RLC CON CEROSDE TRANSMISIÓN: REALES NEGATIVOS, IMAGINARIOS PU-ROS, EN EL ORIGEN E INFINITO. 33
Í N D I C E
PAGINA
3.a Síntesis de redes LC, con ceros de tran-
misión puramente imaginarios, en el ori-
gen e infinito. 33
3-j.a.l Estudio preliminar de las redes LC 33
3.a. 2 Obtención de z~,,, Zoo ° ~y?if ^02 "e a
función de transferencia dada. 34
3.a.3 Síntesis de una sección del tipo 1-LC 37
3. a. 4 Síntesis de una sección del tipo 2-LC 4.0
3.a.5 Procedimiento de síntesis de funciones de
transferencia con secciones LC 44
3.b Síntesis de funciones de transferencia con
ceros de transmisión reales negativos, en
el origen e infinito. Redes RC, RCL 45
3.b.l Estudio preliminar de redes RC 46
3.b.2 Obtención de z , z22 o -y~*r y2p ¿e la fun.
ción de transferencia dada. 48
3.b.3 Síntesis de una sección del tipo 1-RC 53
3.b.4 Síntesis de una sección del tipo 2-RC 57
3.b.5 Procedimiento de síntesis de funciones de
transferencia con secciones del tipo 1 y
2-RC 59
3.b.6 Condiciones para la realización de seccio-
nes del tipo 1-RC, 2-RC. 61
3.c Síntesis de funciones de transferencia con
ceros de transmisión reales negativos, en
el origen e infinito. Redes RL, RLC. 62
3.C.1 Estudio preliminar de redes RL. 63
PAGINA
S.c.2 Obtención de z^T' z?2 ° 71' 72 e
la función de transferencia dada. 64
3.C.3 Síntesis de una sección del tipo 1-RL 65
3.C.4 Síntesis de una sección del tipo 2-RL 67
3.C.5 Procedimiento de síntesis de funcionesde transferencia con secciones de tipo1 y 2 RL. 69
3.C.6 Condiciones para la realización con sec-ciones del tipo 1-RL y 2-RL. 71
CAPITULO 4
PROGRAMA DIGITAL
4.a.l Objetivo. 73
4.a.2. Método de solución. 73
4.b Descripción de programas y subrutinas. 74
4.c Diagramas de flujo. 79
4.d Resolución de ejemplos. Comparación deresultados. 96
4.e Forma de introducir los datos. Forma-tos utilizados. 109
4.e.l Restricciones de los programas 110
4.f Nomenclatura de los programas 111
CAPITULO 5
APLICACIONES 114
COMENTARIOS Y CONCLUSIONES 125
APÉNDICE 1
REDES PREESTABLECIDAS . 127APÉNDICE 2LISTADOS DEL PROGRAMA 133
APÉNDICE 3
PROPIEDADES DE INMITANCIAS DE EXCITACIÓN W(s) 134
CAPITULO 1
INTRODUCCIÓN
1.a Generalidades
La síntesis de redes eléctricas es una de las más impor-
tantes ramas de la Teoría de Circuitos eléctricos, tiene
aplicación)... en la teoría de la información, teoría del
control automático y otros campos.
Es indispensable para iniciar el estudio de síntesis de
redes, tener conocimientos básicos tanto de análisis de
redes y de funciones reales positivas. A continuación
se compara el análisis con la síntesis.
a) Análisis de redes:
Bed encontrar
Función de red
Parámetros de red encontrar
Características dela redo
Comportamiento dela red
b) Síntesis de redes
Características dela red
oEspecificaciones entérminos del compor-tamiento
encontrar
Función deredo
Parámetros dered
encontrar
Según lo anteriormente expuesto se ve que el problema
de síntesis de redes es opuesto al de análisis de redes.
El estudio de síntesis de funciones de transferencia -
T(s) que se definen en el Cap. 2, para obtener cuadripolos
l..b
- 2 -
escalera, se basa en que estas funciones deben cumplir
ciertas propiedades para que exista una red físicamente
realizable; de aquí la importancia de las Funciones
reales positivas y de los Polimonios de Hurwitz, ya que
ellas nos dan las condiciones necesarias y suficientes
para realizar el presente estudio; igualmente son impor_
tantes las propiedades de las impedancias (Z) y admitan
cias (Y) de excitación de la red considerada.
En el presente trabajo no se hace el estudio de los Po-
limonios de Hurwitz, ni de Funciones reales positivas,
para su estudio se remite a la Tesis "Estudio de las
funciones reales positivas" (Referencia 1)
También las propiedades de funciones de excitación de
dipolos LC, RL y RC son objeto de estudio en la Tesis
"Programa digital para la síntesis de Foster y Cauer de
redes canónicas de dos tipos de elementos, LC, RL, RC"
(Referencia 2) .
El objetivo principal del presente trabajo es desarro-
llar dos programas de computación (uno para redes LC y
otra para RC, RL y RLC) que sintetizen funciones de
transferencia; para obtener cuadripolos pasivos tipo
escalera. Para este propósito se presentan los prin-
cipios de la realización y métodos de síntesis de fun-
ciones de transferencia o de un conjunto de parámetros
de red determinado (z. . o Y- - ) que serán definidos en
el Cap, 2.
Para estar en capacidad de sintetizar una red, se debe
conocer cuales son las características de la red deter-
minada y si la función y los parámetros son realizables.
- 3 -
Las condiciones para la realización de la red, son discuti-
das en el presente trabajo, este esta dedicado a la sínte-
sis de redes pasivas, lineales, bilaterales; los procedi-
mientos consisten en pasos claramente definidos y muestran
los métodos para la solución.
Al plantearse el problema de síntesis es necesario conocer
la respuesta a la siguiente pregunta:
Se puede siempre sintetizar una función de transferencia
o un conjunto de parámetros de red, mediante una, red pa-
siva, lineal, bilateral? La respuesta es no; la función
o parámetros de red, deben satisfacer un conjunto de con-
diciones para su realización física. Estas condiciones se_
rán estudiadas en el Capítulo 2.
l.c Alcance del presente trabajo.
El presente trabajo- cubre los siguientes tópicos:
En el Capítulo 2, se hace un estudio de las condiciones
para la realización física de cuadripolos: tanto para los
parámetros de excitación (z22' 22^ transferencia (z-j-t/
así como de las funciones de transferencia T(s).
Cuatro funciones de transferencia del tipo "respuesta-ex-
citación" son definidos para representar las diferentes
condiciones de operación de la red.
También se estudia: propiedades de redes escalera, defi-
niciones básicas en síntesis, la manera de establecer la
red correspondiente para cada problema en particular, así
como los pasos a seguir en la síntesis. Los pasos discu-
tidos aquí son responsables para todos los métodos de sin
tesis estudiadios en el Cap. 3.
- 4 -
En el Capítulo 3, se estudia principalmente los métodos de
síntesis de cada sección básica de que se compone la red
(ver tabla 2.1) de cuadipolos escalera con elementos LC, R.G,
RL, y RLC.
. '/'
En el Capítulo 4, se da el manual de uso de los programas de
computación que incluye el objetivo, método de solución, des_
cripción de los programas, nomenclatura de las variables de
entrada y salida, forma de introducirse los datos, formatos
usados, restricciones de los programas y diagramas de flujo.
También se desarrollan ejemplos de aplicación.
Finalmente en el Capítulo 5, se dan aplicaciones del presente
trabajo.
También se dan las conclusiones obtenidas del desarrollo de
este trabajo. •.. . ...
Adicionalmente se incluyen tres apéndices que son necesarias
para complementar este trabajo.
En el apéndice 1 se dan las redes que se obtendrán al sinte-
tizar una función de transferencia.
El apéndice 2 contiene los listados de los programas de compu-
tación.
El apéndice 3 incluye las propiedades para la realización fí-
sica de :'impedancias y admitancias de excitación.
CAPITULO 2
PROPIEDADES Y REALIZABILIDAD
2.a Condiciones para la realización física de cuadripolos
escalera.
En primer lugar se definen las funciones de transferencia peí
ra el cuadripolo de la fig. 2.1.
Las funciones: de transferencia T.Cs). del tipo "respues;ta-exci_
tación" de la fig. 2.1, son;
Z (s) - — 2.a.
'A(s) = ' " ' 2.a.1.b
Y (s) = . 2.a.1.c
E2G(s) = - 2.a.1.d
E
En este capítulo, .se estudian las propiedades de las funcic}
nes de transferencia T(s) definidos en 2.a.l de cuadripolos
pasivos, lineales, bilaterales. Cualquier_función T(s) que*t
no posea estas propiedades, no puede ser una función de trans_
ferencia de una red pasiva y además no puede ser realizado
como tal.
Estas condiciones además son consideradas, "las condiciones
para la realización física" de funciones de transferencia
con 'redes pasivas.
- 6 -
2.a.l Nota.s, preliminares
Se definen los parámetros de red; de impedancia (z¿--) y ad-
mitancia (yin-) / para un cuadripolo como el de la fig. 2.1
siendo:
V,impedancia de excitación (entrada) 2.a.2.a
11 /!•>=
/I = O impedancia de transferencia 2.a.2.b
J22
11 V-,
Y21 -V,
Y22 V,
/!,= O
impedancia de excitación (salida) 2.a.2.c
admitancia de excitación (entrada) 2.a.2.a
admitancia de transferencia/V0= O
- o
2.a.2.e
admitancia de excitación (salida) 2.a.2.f
Surge una pregunta, ¿es posible encontrar un cuadripolo, da-
dos sus parámetros z91, z99 o y01, y00 ?£ J- £ £ £ JL, ¿, ¿
Se podrá realizar cada conjunto z.. o y.. con un cuadripolo?
Hay conjuntos de parámetros que no son realizables con un
cuadripolo pasivo, lineal, bilateral. Esto será determina-
do de las condiciones de realización física.
Una función de red es de la forma:
T =A sm + Am 1 sm -1 +....+ A, s + Am m—1 1 o
Q('s-) B s11 + B . sn +....+ B. s • + Bn n—1 . 1 o
2.a.3.a
- 7 -
Ahora, la ecuación PC.s) = 0. tiene (m) raíces, y Q(s) = O
tiene (n) raíces, de modo que (2.a.3.a) se puede escribir en
productos de estas raíces en la forma;
T (e) = H.) Cs-z2) (s - .zm)
} (S-PO). Cs - P 12. n
2.a.3.b
Donde H = A /B es una constante conocida con el nombre denr n ,
"factor de escala" y Z , Z2 ..,, Zm sgn frecuencias complejas
conocidas como "ceros-" de la función ya que para estos valo-
res la función se hace nula y P^, P2, ,.. ?n son las frecuen
cias complejas denominadas "polos" de una función ya que pa-
ra estos, valores la función de red S.e hace infinita. Los
polos y ceros- se los representa en el plano complejo s:
jw
-cr +CT
Plano s de la frecuencia compleja
Si para una función de red se toman en cuenta los polos y
ceros en el origen e infinito, además de los polos y ceros
finitos, el número total de ceros es igual al número total
de polos.
Frecuencia compleja s: La variable de frecuencia compleja s,
es un número complejo expresado por:
s '= CT + jw
Donde (T es la parte real y se la conoce como frecuencia nepe-
riana y w es 'la parte imaginaria y se interpreta como la fre-
cuencia angular en radianes.
Ceros de transmisión: Son los ceros de cualquier función
de transferencia T (s) del tipo respuesta-excitáción, corres-
pondientes a la ecuación (2.a.l).
Ceros de transmisión en infinito (,s = <*> ) ; Una. función de
transferencia tiene un cero de transmisión en infinito si el
grado (m) de P(s) en la Ec. (2.a.3.a) es uno menor que el
grado (n) de Q(s). En general una función tendrá, (n-m) ce-
ros de transrn.is. Jo n : :- en infinito.
Funciones de mínima fase; Una función de transferencia es de
mínima fase, si esta no tiene los ceros de transmisión en el
semiplano derecho de la frecuencia compleja s.
2.a.2 Algunas propiedades de las redes escalera.
Los cuadripolos de la fig.2.'.2 tienen tres terminales distin-,
tos/ ya que los terminales l'-2' están directamente conecta-
dos, se llama a estas redes no balanceadas.
Propiedad A: Una red escalera sin inductancias mutuas (sin
acoplamiento magnético) puede ser transformada en: 1) una
red equivalente T en la forma de la fig. 2.3.b con tres im-
pedancias Z , Z,, Z (o tres admitancias Y_ , Y , "$•}, o 2) end JD O ct J3 O.
una red equivalente 7T en la forma de la fig. 2.3.c
con tres admitancias Y^, Y^, Y-_ (o tres impedancias
Zlf Z2, Z3); donde Z&, Z&, ZG Co ?a, ?V YC) , y Y±, y^,
- 9 -
1 1h 'E,1
;1 '
CUADRIPOLO
2 2
j +
E I
I \
2'
¿g. 2.3
(o Z1, Z?, Z3) se representan en la forma:
"Z, o Y. = son relación de dos polonomios en s con coeficien
tes positivos1 2.a.4
Esta transformación se la realiza, por medio de las relaciones
estrella y triangulo (Reí. 5} .
Propiedad B: Para una red escalera sin inductancias mutuas:
- Todos los coeficientes- en los numera dore; y denominadores de
z21, z±1, z22 o y21, y1:L, y22 no son negativos. 2.a.5.a
I
- Los coeficientes del numerador z21 no son mayores que los
correspondientes (tienen el mismo grado) coeficientes de .
v Z22 r Z 22tienen el mismo denomina-
dor.
2.a.5.bIgual tratamiento se da para -y2i' 22 Y vll
Prueba de la propiedad B:
De acuerdo a la propiedad A se ipuede transformar la red esca-
lera de la fig. 2.3.a en el equivalente T de la fig. 2.3.b,
donde: "Z , Z, , Z son relaciones de dos polinomios en s conci JD ccoeficientes positivos." 2.a.6
(a)
(a)
- 10 -
-o
Q Ó D
o
no balanceada
(b)
Fig. 2.2
2 1
2' 1
Fig. 2.3
2' 1
(b) (c)
De las definiciones para z«-,r Z22 y Z21 da^as en (2-a-2)
se puede fácilmente encontrar para la red T:
zll = Zb + Zc
Z22 Za + Zc
Z21 = Zc
2.a.7
Se asume que z - i - i / Z21 t:¡-enen formas:
n-1 +....+ 3. s + a
J22
'21
D(s)
N22(s)
D(s)
n
D (s)
n-1•. . .+ t s + b
N21(.s) •_ cns
D(s)
n
D (s)
D (.s)
2.a.8.a
2.a.8.b
2.a.8.c
- 11 -
donde:
r> i \ n , j r-n~l , , d-s + d 2.a.9D(s) = d s + d - s + ....+ 1 on n—1
Como Z , Z+r Z en (2.a.7) son relaciones de dos polimonios
en s con coeficientes positivos de acuerdo a (2.a.6). Los,
coeficientes de z- i - i / z,,,., y z^- en (2.a.7) y (2.a.8) no de-
ben ser negativos, esto es:
a.>0 b. > O c.>0 d. > O i=l,2,....,n 2.a.10i — i i i .
Esto demuestra la propiedad en (2 .a .5 .a)
Ahora resolviendo para Z, y Z en v ( 2 . a . 7 )ij a
Z, = z.... - z0. = Ec . (2 . a . 8 . a ] - Ec. (2 . a .8 . c )D 11 21
(a -c ) sn+(a --c J sn~. + + (at-c1) s + a - c ' ' .__ n n . n—1 n-1 . . 1 1 o o_ . 2.a.11.a
D (s)
Za = Z22 - Z21
(b - c )sn +(b .r-c ). s11'1 i- + (b- - cjs +b - c_ n n n-1 n-1 1 1 o o 0 1., ,vr; . P ^ » 3. . I | . J3
D Cs)
De acuerdo a ( 2 . a . 6 ) todos los coeficientes en (2.a.11] no
deben ser negativos, esto es:
a - - c . > Q o a • > c .i i — 1 1
i = 0 , . l , 2 , . . . , n ' 2. a. 11 . cb . - c .. > O o b . > c .1 1 1 1
Esto establece la propiedad en (2.a.5.b) y completa la prue-
ba , similarmente se puede probar para los parámetros y...
- 12 -
Propiedad C: Para un cuadripolo como el de la fig. 2.1; con
resistencia, terminal R,,; las funciones- de transferencia defi
nidas en (2.a.l), deben responder la siguiente descripción:
- Todos los coeficientes del numerador de estas expresiones,
esto es: Z (s)/R_;-A(s); -R_ Y (s) ; G(s) no deben ser
negativos. - 2.a.12.a
- Los coeficientes del numerador de estas expresiones, no son
mayores que los correspondientes coeficientes del denomina-
dor- 2.a.12.b
Prueba: Se puede expresar las funciones de transferencia
de las Ees. (2.a.l) en términos de los parámetros y.. o z. ..
Se puede describir las relaciones de voltaje-corriente del
cuadripolo de la fig... 2.1 con las ecuaciones:
El + Y12 E2
J2 = Y21 E2 + Y22 E2
Las anteriores ecuaciones provienen del estudio del análisis
de redes pasivas (timen solo dos fuentes de voltaje, en los
terminales de entrada y salida) por el método de las corrien
tes de malla, o con las siguientes ecuaciones, que se ob-
tienen del estudio del análisis de redes pasivas, por el mé-
todo de las tensiones en los nudos:
El = Zll Jl + Z12 T2
E2 = Z21 Jl + Z22 X2
Para mayor detalle en la obtención de estas ecuaciones, se
puede consultar en la Ref. 5-,
- 13 -
De aquí ;gue las funciones de transferencia T(s) en (2.a.l):
Según la Ec. E» = z^-. I-, + I2 y con referenc;i-a a laE,
fig. 2.1, se ve que: -I_ _ 2_ entonces reemplazando (-!„)R9¿ por En/R0
E',2
Pero según (2.a.1.a)
'21
'21
'21
R2 + Z22
2.a.13.a
A(S) =Tl R2
x Ec. C2.a.l3.a)
Z21
R2 + Z22
2.a.13.b
Por un análisis -similar al hecho para Z (s) se obtiene Y (s) :
Y (s) = -£ =T El
' Y
y22 -2-y21
1/R2.a.13.c
GCs) - E.
-y
= -R2 x Ec C2.a.l3.c)
211/R2 + Y22
2.a.13.b
- 14 -
Se modifica. (2. a. 13. a) y se reemplaza z y z con (2. a. 8)
ZT(-s)= expresión en corchetes en (2. a. 13. a)
Z21
N21(s)/D(s) " N21 (s)
(s)/D(s) R Ei-(s)
Cn g + Cn-l s + - - - + % 2.a.14.a
(R2 W sl1 + (R + } s' +' ' '+ « d + bi l ' ' ' 2 o o
Como R9 r 0; por (2.a.10) y (2.a.ll.c) todos los coeficien-
tes del numerador y denominador en (2.a.14.a) son positivos;
también los coeficientes del numerador, no son mayores que
los correspondientes coeficientes del denominador.
Similármente, se puede considerar las expresiones en corche-
tes en (2.a.l3.b) hasta (2.a.l3.d) y se obtienen similares
resultados. La propiedad c es así establecida.
De (2.a.14.a) y por (2.a.l2.b) es obvio que:
Zm«T) Zm (s)T
R2 R2 /s =(J >
= Ec.(2.a.l4.al/ s =(I>0 ^^ 2.a.14.b
2.a.14.c
Igualmente, se obtienen similares resultados para otras fun-
ciones de transferencia. Se tienen establecidas las propie-
dades D y E dadas a continuación:
- 15 -
Propiedad D; (Corolario de la propiedad C)
Para un cuadripolo tipo escalera como el de la fig. 2.1, se
encuentra que para las funciones de transferencia T(s):
O < (ff) < R
O < -A (ff) < 1
O <-Y (CT) < 1/R-L
O < G (ff) < 1
para s = (T >: O
para s = CT 2: O
para s = CT > O
para s = (T O
2.a,15.a
2.a.15.b
2.a.15.c
2.a.15.d
Propiedad E; (Corolario de la propiedad C)
Para un cuadripolo como el de la fig. 2.1 con R_ = 1 .n. (en
este caso se dice que la red está normalizada) encontramos
que:
:£ 1 para,. s. =..Cr. O 2.a.16
Cabe anotar que el anterior estudio excluye valores de R_
cero o infinito.
2.b Condiciones para la realización fís-ica de los paráme-
tros z.. y y.. para la síntesis con redes escalera.JO ^
Desarrollar una función de transferencia T(s) para obtener
una red pasiva, además una red escalera sin inductancias mu-
tuas, es equivalente a santetizar un conjunto de parámetros
z.. o y.. físicamente realizables, referidos a C2.a.l3);
donde R_ = 1.
Para sintetizar la funciónde transferencia, definidaen (2. a. 1).
El problema equivalente essintetizar este conjunto deparámetros físicamente rea-lizables, referidos a lafunción de transferencia en(.2.a.13)
Z21' Z22 2.a.17.a
- 16 -
A (s) = I2/1! Z21' Z22 2.a.17.b
YT (s) = I2/El y21/ y22 2.a.17.c
G (s) = E /EY21' Y22 2.a.17.d
Como ~Y2i' no tiene coeficientes negativos en su numerador
y denominador por la propiedad B, es comunmente usada en
vez de Y2-, ; el signo menos se adopta a causa de que y_
es negativo para cualquier red, ya que al ver la fig.
2.1 la dirección de !„ y referencia de V. no son compati-
bles.
Condiciones para la realización física de z?1 , z«_
(o y01, Yo?) con cuadripolos tipo escalera:¿* _1_ £¿ ¿*
- z99 (o y99),- así como z (o y1 1). deben ser funciones de
excitación físicamente realizables satisfaciendo las
condiciones respectivas (Apéndice 3). 2.a. 18.a.
- Los polos de z , z , zll ° de Y21' Y22' Yll Y los Ce~
ros de z~0, z . o y00, y- si no están en el eje imagi—2.¿ XI 22 11
nario -jw , . están en el semiplano izquierdo de s; aque_
líos en el eje jw son simples. (Apéndice 3). 2.a.18.b
- En general los polos de z?1 son también los polos de z~~
y z11; pero z_9 o z11 pueden tener otros polos queJ_ _L ^ -L J_
aquellos de z,?1 . Igual condición se da para los polos de
~Yoi ' Y-, -, i Yoo- 2.a.18.c¿¿ -L _L _I_ ^
- Todos los coeficientes en los numeradores y denominado-
res de z2 , z y z. o -Y21/' Y22' YH no son negativos,
- 17 -
los coeficientes del numerador de z ., o (~Ypi) no son mayo-
res que los correspondientes coeficientes de z,.,-, z... o y.-,.-,
o y-,-, donde los denominadores de estos parámetros son los
mismos. 2.a.18.d
— C ~í T f ^ T7 ^ /""^ *7 ^ /*V T7 ^ * '<C 11 T"l íí "Fl T TI I*™* ~í f^Tl /^ O O'VO1 "Í "f1 3 O ~í I TIO-L .o ^ «•} \J _/ O O / 11 \ J 1 1 / C-TJ U.Í1O. -L LJ.il O _L(»JX1 t_lti CA.O _L L-dL^ J_^J11
de una red LC y por tanto es una relación de polinomios im-
pares y pares de s, entonces z91 (o y01) debe también ser£ JL ^ _1_
una relación de polinomios pares e impares de s. _ 2.a. 18.e
Establezcamos la condición (2.a.l8.c): Se ha visto que una
red escalera puede ser transformada en una red equivalente
T; estableciéndose que z11 = Z.+Z , z00 = Z +Z^ y z = Z_LX j j c . ^-^ ac Z_L c
es claro ver que los polos de z-.. (polos de Z ) son polos
de Zn1 y de z99; mientras que los polos de Z, que son de_L J_ ~ - ' ' ¿* & ' ~ ~ i-J .
z_ ; y los de Z" que son" dé z00 no son polos de z01 . Por unj.j. a // • Z.L
procedimiento similar y con la red equivalente , se prue-
ba para los parámetros y. La condición (2.a.l8.c) ha sido
probada.
2.b.l Condiciones para la realización física de funciones
de transferencia T(s) en (2.a.l).
Ahora se enumerará y probará las propiedades generales de
las funciones de transferencia 1 (s) ', ya que cualquier
T(s) que no cumple estas propiedades, no- puede ser función
de transferencia de una red pasiva y además no realizable
en cuadripolos pasivos:
Cabe anotar que las funciones de transferencia difieren de
las funciones• de excitación en dos puntos importantes:
- 18 -
a. Las reglas que gobiernan el grado de los- polinomios- numera_
dor y denominador Ec. (2.a.3.a) son diferentes; el numera-
dor puede ser de cualquier grado menor que el denominador
(incluyendo el grado 0), y como máximo 1 grado mayor, en
las funciones de transferencia T(.s).
b. Los ceros pueden estar localizados: en cualquier lugar del
plano s. Sin embargo T(s). es de mínima fase para el pre-
sente estudio, entonces tanto polos- y ceros' están o en el
eje jw o en el semi plano izquierdo s.
Condición 1: T0_s) es representable como una relación dos
polinomios en s, con coeficientes- reales en s; en la for-
ma de (.2 . a. 3 . a) .
Condición 2: Los polos de las. funciones de transferencia
T(s) definidas en 0.2,a. 1) están 'en el semi plano izquier-
do s. - . •
Para establecer la condición 2 primero se considera: ZT(S) =
E2/I-, y A(s) = l2/Ii . De acuerdo a sus relaciones con los
parámetros z^-, y z22 en (2. a. 13. a) y (2.a.l3.b) y exami-
nando estas ecuaciones, los polos de Z (s) y A(.s) son:
Los ceros de + Z22 ^ue no son ceros e z 91 • 2.b.1
Los poios de z21 que no son polos de R2 + z22 o z?2* 2-b-2
La condición en (2.b.2) es rota por (2.a.l8.c); ya que z,,
es una impedancia de excitación Z , que satisface las condi-
ciones de las funciones de excitación W(s) (Apen. 3),
Z ' (s) = R2 + z_2 = R2 +' zrj debe también ser una impedan-
cia de excitación que satisfaga las condiciones de las fun-
ciones de excitación W(s).
- 19 -
Los ceros de R9 + z no pueden estar en el eje imaginario¿- £, -£.
jw, lo que requeriría que Real z99 (jw) = - R9, violando[_ ¿¿ j ¿
la propiedad Real W(jw)J - O, para cualquier valor de w
y está además en el semi plano izquierdo de s para R9 O.
Se ha establecido la condición 2 para ZT(S) y A(s).
Similarmente se usa y91 y y99 y las relaciones,en (2.a.l3.c)
y (2.a.l3.d) para establecer la condición 2,para Y^Cs) =
Corolario 2 A.: Para una función de transferencia T(s) de
la forma de (2.,a;3.a) con A ^ O', la situación:
B - B- = 0 no es permitida.. 2.b.3. ..................... . . .
Para A ^ O y B = BI = O, T(s) tendría dobles polos en s^O;
esta situación es rota por la condición 2 anterior. El co-
rolario 2 A, es entonces establecido.
Condición 3: Para la realización de una función de transfe-
rencia definidas en (2. a. 1) con una red escalera, las siguien
tes condiciones deben ser satisfechas para las expresiones:
ZT(s)/R2, -A(s) , -R2 YT(s), G(s).
- Todos los coeficientes en el numerador y denominador de es_
tas expresiones no deben ser negativos.
- Los coeficientes del numerador de estas expresiones no de-
ben ser mayores que los correspondientes coeficientes (mis
mo exponente) del denominador.
- 20 -
2.c Materias y notas preliminares de síntesis.
Ceros- de transmisión.
Existe transmisión a través de la red, cuando para una
señal de entrada (en los terminales l-l1), se obtiene
una de salida (en los terminales 2-2') de la fig. 2.1;
cuando esta señal de salida es cero se dice que la red
tiene un cero de transmisión, las frecuencias en que
esta condición ocurre se las conoce como ceros de trans_
misión.
De las definiciones de z?1 y -y?1 en (2.a.2) se ve que
señal de salida cero, V = O y I->=0' implica que los ce-
ros de transmisión son los ceros de z?1 y -y?1-
Cómo se pueden producir estos ceros de transmisión?
La transmisión puede ser interrumpida cortocircuitan-
do las ramas paralelas Y o que las ramas serie ZF p s
sean circuito abierto (ver fig. 2.4) .
Ahora bien la rama paralela es un cortocircuito en el
polo de su admitancia Y (.o en el cero de y la
rama serie Z es circuito abierto en el polo de Z .s c s
Esto significa que se puede identificar directamente
los ceros de transmisión de z?1 y ~Y:?1 con los polos
de Z y Y respectivamente.
1
1 '
Z-S
I — II I
(a)
2 1
2' 1'
Fig. 2.4
E
(
>P
b)
- 21 -
En general, enunciamos las siguientes notas:
Nota 1; (.para ceros de transmisión finitos). . Una rama se-
rie zg. o una paralela y como se ve en fig. 2.4 cont-tibuye
a la existencia de cada cero de transmisión finito, o cada
par de ceros imaginarios puros.
Nota 2; (Ceros de transmisión en el origen e infinito) .
Pueda que haya una o varias ramas contribuyendo a la existen
cia de un cero de transmisión en cero o en infinito.
2-c.l Secciones que producen ceros de transmisión.
Como se discutirá luego en Art. 2.d se sintetizará una fun-
ción de transferencia dada, teniendo un conjunto de ceros
de transmisión conocidos, con una red escalera que se compo-
ne de secciones escalera (ver tabla 2.1); cada una de estas
secciones consiste de:
Ramas que producen ceros de transmisión:
"Una rama principal que produce un cero de transmisión real
negativo o un par de ceros de transmisión puramente imagi-
narios". 2.c.1.a.
Y "Una o varias ramas auxiliares que producen: (1) un cero
de transmisión en s = »° , (2) un cero de transmisión en
s = O o (3) ceros de transmision.no son. producidos. 2.c.1.b
Estas secciones están referidas a las secciones productoras
de ceros de transmisión.
Cuando se tiene suficientes secciones, para producir to-
dos, los ceros de transmisión de la función de transferencia
- 22 -
dada (y satisfaciendo otros requerimientos a ser discuti-
dos luego) se obtiene la red escalera como resultado de la
síntesis.
Las secciones productoras de ceros de transmisión, a ser
usadas en la síntesis de funciones de transferencia con re
des escalera se ven en la tabla 2.1 y son:
A. Secciones del tipo 1.
Las secciones del tipo 1 de redes LC, RC, RL. y RLC están
en la tabla 2.1 columna 1. La representación general de
una sección tipo 1, se ve en la columna (1) de la tabla 2.1,
donde'Y es la rama principal como se describió en (2.c.l.a)a
y Z, es la rama auxiliar como se describió en (2.c.l.b).b -
- Sección del tipo 1-LC para ceros de transmisión puramen-
te imaginarios.
Como se ve en (la) de la tabla 2.1, la rampa principal
(l/La)sY = = ; produce un par de ceros .dea 9 9 7
s^+l/L^C s + w3. o.
transmisión puramente imaginarias en s= + jw = + j (I/ v/Laca)
la rama auxiliar Z, = s L, o Z, = 1/s C, produce un cero deb b b b
transmisión en s = ° < = > o s = 0.
- 23 -
- Sección del tipo 1-RC para un cero de transmisión real
negativo.
Como se ve en (Ib) de la tabla 2.1 la rama principal
(1 /R J s . (I /RíaY = = • produce un cero de trans-a s+1 /R C s + Q|- ' a a
misión en s = -(7 = -1/R C ; la rama, auxiliar Z = JL ,a a, JD p
no teniendo polo, no produce ceros de transmisión,en nin-
gún caso.
Un caso especial es también visto en (Ib) de la tabla 2.1
y donde la .rama principal Y = s C , tiene un polo ena a
s = °° produce un cero de transmisión en s =^o
% - Sección .del tipo. 1-RL ..para un cero. de. transmisión real
negativo.
Como se ve en (le) de la tabla 2.1, la rama principal
1/L 1/LY = = produce un cero de transmi-a S + R / L s + C T
Si el
sión en s = -CF = - R /L ; la rama auxiliar Z = R^ no te-a a r> r>
niendo polo, no produce ceros de transmisión en ningún ca-
so..#-
Un caso especial es también visto en (le) de la tabla 2.1,
donde la rama principal Y = 1/s L , teniendo un polo ena a
s = 0; produce un cero de transmisión en s = 0.
B. Secciones del tipo 2.
Las secciones del tipo 2 de redes LC, RC, RL y RLC están
en la tabla 2.1, columna 2. La representación general
- 24 -
de una sección tipo 2, se ve en la columna (2} de la tabla
2.1, donde Z es la rama principal como se describió en
(2.c.l.a) y Y es una rama auxiliar como se describió ena
Sección del tipo 2-LC para ceros de transmisión puramente
imaginarios.
Como se ve en (2a) de la tabla 2.1, la rama principal
(1/C ) s. . . .Cl/C I. .s.Z =— = ----- = — - = - ~ - produce un par de ceros de
transmisión puramente imaginarios en s =+ jw =+j (I/y L, C ) ;,
la rama auxiliar Y = S C o Y = 1/s L produce un ceroa a a a
de transmisión en s-°° o s=0.
Sección del tipo 2-RC para un cero de transmisión re,
gativo."QUITO
_ ECUADORComo se ve en (2b) de la tabla 2.1, la rama princiS
i/cb i/cZ = = produce un cero de transmisión en
o-l-1 /~O C1 <3 4- (TS I J_/ -CVr ^T- O T^ U
£> £>
s=-(7=-l/R, C, ; la rama auxiliar Y = G , no teniendo polo,JD & a a
no produce ceros de transmisión en ningún caso.
Un caso especial se ve en (2b) de la tabla 2.1, donde la
rama principal Z = 1/S C , teniendo un polo en s=0, produ-
ce un cero de transmisión en s=0.
Sección del tipo 2-RL para un cero de transmisión real nega-
tivo.
- 25 -
Como se ve en (2c)_ de la tabla 2.1, la rama principal
ILs tLs .Z = = produce un cero de transmisión
s+K. / L.. s+db b
en s = -d =-Rv/L,; la rama auxiliar Y = G , no teniendo*-* b a a
polo, no produce ceros de transmisión en ningún caso.
Un caso especial es también visto en (.2c) de la tabla 2.1,
donde la rama principal 2L = s L , teniendo un polo en
s = oo ; produce un cero de. transmisión en s = <^>.
2.d Un método básico para síntesis de funciones de transfe
rencia T(.s) con redes escalera.
A. Una vez que la función de transferencia T(.s) satisface
las condiciones de realización física anteriormente anali
zadas, se .estudia:
Paso 1: Determinamos z-^, z?2 (o ~Yp-i /• Yo?) ^e una
de transferencia T(s): Se debe escoger el conjunto de pa
rámetros asociados z2i' Z22 ° ~ - 21' - 22 ^e acuer<3-0 con
relaciones en (2. a. 13); donde R9 = 1 es usualmente usada
en la representación de la red.
Los parámetros deben satisfacer las condiciones (2. a. 18)
para su realización física. Para fácil aplicación, se usa
- 26 -
los dos siguientes requerimientos en la determinación de
Z21' Z22 ° ~Y21' Y22:
Selección de z 1/ z „ o "Yoi/ Y22 de T^s^ de acuerdo con
(2.a.4.3). . • .
- z91 (o -y91) se escogen para que tengan el mismo denomi-¿j -L ^ ,L
nador de z ~ (o Y22^ ' - 2.d.1.a
- z o y,-,,-, son escogidos para ser sintetizados: como una
función de excitación LC, si una red LC será determinada;
como una función de excitación RC, si una red RC será de-
terminada; o como una función de excitación RL si una red
RL será determinada;... como una función .de excitación RLC,
si una red RLC será determinada. 2.d.l.b
Los métodos para escoger los parámetros z91 , z99 o ~Y91 ,
y 2 ¿e una función de transferencia según (2.a.l) serán da-
dos en el Cap. 3.
Paso 2: Se establece posibles configuraciones de red de
los ceros de transmisión (esto es los ceros de z~~ o -y«-,
obtenidos en el paso 1). Usando las secciones básicas de
producción de ceros de transmisión vistos, en la tabla 2.1
para producir todos los ceros de transmisión de la función
de transferencia T(s), se puede fácilmente predecir la
- 27 -
configuración de red para la función de transferencia da-
da. Esto se discutirá en el Art. 2.d.B; y las redes es-
tán en el Apéndice 1.
Paso 3: Se sintetiza z,-,~ como una impedancia de excita-
ción Z, (.o y22 como una admitancia de excitación Y J con
una de las configuraciones de red determinadas, de acuer_
do a los procedimientos establecidos, obteniendo una red
para la función de transferencia T Cs) y sus parámetros
asociados z?!' Z22 ° ~ 21' 22" no es realiza-ble (Pue_
de dar elementos negativos), con una configuración de red
particular, se trata con otra configuración establecida.
Cabe indicar que los programas de computación determinan
directamente redes realizables.
B. Determinación de las posibles configuraciones de red, se-. . - . -gún los ceros de transmisión.
.Representaciones generales de redes; dados z--, y Z22: se
establece que la red para un conjunto de parámetros z ,,
y z22 con el mismo denominador tiene una de las dos for-
mas generales de la fig. 2.5.al y 2.5.a2 con la siguien-
te descripción:
- Debe haber una rama paralela en el extremo izquierdo de
la red. 2.a.2.a
- Los polos de todas las ramas serie Z., con excepción de
Z en el extremo derecho de la fig. 2.5.a2, son ceros de
transmisión. 2.d.2.b
- Los polos de todas las ramas paralelas Y- son ceros de
transmisión. 2 d 2
Tratemos de justificar estas descripción: por las defi-
niciones de Z21 y z?2< vemos C2ue 1a inserción de cualquier
rama serie entre 1 y 3 en la fig. 2.5.a no cambiará z91
y 292* Por E ' ' Para me<3-ir Zni' inyectamos una corriente
en 1, medimos E^ a través de 2-2' y encontramos zoi=E9/Ii •
Si insertamos una rama serie Z entre 1 y 3 podemos aún
inyectar la misma corriente y encontrar el mismo z
Representaciones generales de redes, dadas -y ni y Y?2'
Encontraremos que la red para un conjunto de parámetros
dados -yn-i y y? o con £1 mismo denominador, -tiene una de
las formas generales de la fig. 2.5.b con la siguiente
descripción :
en " a ficf- 2- . 5 .b'Representaciones de redes dadas -y2i y
Debe haber una rama serie en el extremo izquierdo de la
red. 2. d. 3. a
Los polos de todas las ramas serie Z . son ceros de trans-
misión. 2.d.3.b
Los polos de todas las ramas paralelas Y- con la excep-
ción de Y en el extremo derecho de la fig. 2.5.b.2 son
ceros de transmisión. 2.d.3.c
Podemos justificar esta descripción de igual manera que
(2.d.2) .
C. Predicción de configuraciones de redes dadas Z^-, , Z~2 °
~y21' Y22'
Para determinar las posibles configuraciones de red del
- 29 -
conjunto de parámetros z-.., z, ° "Yoi / 9?' se usa e-'-
siguiente procedimiento:
Se encuentran los ceros de transmisión; que son los ce-
ros de z2l o -y2i' 2.a.4.a
Se usa las secciones básicas y si es necesario, también
las ramas básácas según la tabla 2.1 para'desarrollar una
red de la forma general vista en la fig. 2.5.a, si. z_.,,
Z22 son dados, ° en 1a fig- 2.5.b, si -Yoi/ Y?? s-on ^a~
dos, tal que todos los ceros de transmisión son produci-
dos por las secciones básicas junto con las ramas básicas,
si estas son usadas. 2.d.4.b
Pero como hacer uso de estas secciones básicas para pro-
ducir los ceros de transmisión? Se da una lista de las
posibles distribuciones de ceros de transmisión y enton-
ces se desarrollan algunas reglas para guiarnos en cada
situación:
Un conjunto de ceros de transmisión obtenidos en (2.d.4.a)
ordinariamente cae en una de las siguientes categorías:
Distribución de ceros de transmisión.
Un conjunto de ceros de transmisión finitos distintos
de cero más un cero de transmisión en infinito (s=o°), 2.a.5.a
Un conjunto de ceros de transmisión finitos distintos de
cero más un cero de transmisión en el origen (s=O ) . 2.d.5.b
Un conjunto de ceros de transmisión finitos solamente, sin
ceros de transmisión en el origen o infinito. 2.a.5.c
- 30 -
Casos especiales en los cuales todos los ceros de transmi-
sión están en: CU s= oo , (21 s=0, (.3) s= o*> y s=0. 2.d.5.b
A fin de proceder con (2.d.4.b) en las situaciones descri-
tas en (.2.d.5I, se necesita las siguientes reglas.
Regla 1: Para la, distribución de ceros de transmisión en
C2.d.5.aJ, se usa una sección básica de la tabla 2.1 para
cada cero de transmisión finito, esto es s Q y s^ *~ . La
rama auxiliar para cada sección básica del tipo 1 o 2, de-
be producir un cero de transmisión en s=°° , mientras que
la rama principal produce el valor del cero de transmisión
finito distinto de cero.
Pero como se justifica la regla 1? Suponemos que tenemos
tres ceros de transmisión finitos distintos de cero, y un
cero de transmisión en s=<» . por la regla 1, usamos tres
secciones básicas del tipo 1 o 2; cada una de estas seccio_
nes tiene una rama auxiliar que produce un cero de transmi_
sión en s= °« . Hemos producido tres ceros de transmisión
con las tres ramas auxiliares, en vez de una como se seña-
ló? La respuesta es no; por la nota 2 en el Art. 2c.
Zn-1 1 3 n-1111
i i
-i i~
i — i i
"T H
"VÍJ D y U y Li n n-2ii 1
1
-1>Z
rLi D Ú22 Y 4.iT Yn-H , ni
Y 1 YZ22
1 ' (a2} 2Z Z Z Z
n+1 n n-2 1' i — i i 1 i 1 i 1—a_
n-rr Y -Tn-3 sY22
Y «~\1 Y o"n-3_I L,
Y2r
Yo
a
Y22
(b ) 2' 1' (b ) 2'
Fig. 2.5
a). Configuración de redes para z.,. Siempre hay una rama paralela en elextremo izquierdo de la red. b) Configuración de redes para y. ..Siempre hay una rama serie en el extremo izquierdo de la red.
31
Podemos- s-imilarmente justificar las- siguientes reglas:
Regla 2: Para la distribución de ceros de transmisión en
(2 .d. 5 .b) usamos una sección básica de la tabla 2.1 para ca_
da cero de transmisión -"finito esto es en s =f <*>
y s =£ o.
Si la sección básica es del tipo 1 o 2, debería tener una
rama auxiliar para producir un cero de transmisión en
s = o, mientras su rama principal produce el valor del
cero de transmisión finito..
Regla 3: Para la distribución de ceros de transmisión en
(2 . d. 5 .c) usamos- una s-ección bás-ica de la tabla 2.1 para ca_
da cero de transmisión finito esto es en s- =£ QO
Si la sección básica es- del tipo 1 o 2 deberla tener una
rama auxiliar consistiendo en una s-encilla resistencia
R o conductancia G que no produce ceros de transmis-ión.
Regla 4: Para la distribución de ceros de transmisión en
(2 .d. 5 .d) usamos las secciones- básicas- especiales cuyas- ra-
mas principales y auxiliares- producen ceros- de transmisión
en s = °° y/o s = o. De acuerdo a nota 2 en 2.c podemos-
usar más de una sección básica para producir un cero de
transmisión en s - = ° » o s = o.
Regla 5: Si una rama básica, además de las secciones bá-
sicas; es necesario como se indicó enC2 .b. 4 .b) usamos tal
rama básica por Ej . una L o C simple en una red LC, para
producir un cero de transmisión en s = °o o s • = o como se
requirió en '(2 .d. 5. a); (2 .d. 5 .b), (2 .d. 5 .d) o usamos una sim-
ple resistencia R o conductancia G como una rama básica
que no produce ceros de transmisión como se requirió en
(2.d.5.c).
-. 3.2 -
D. Casos en que ~Yy-\ Yoo C-° z?i z?2^ no tienen el
mismo denominador.
Como se indico en 2.d.l.a s-i des-eamos sintetizar una fun-
ción de transferencia dada T(s) con una red escalera,
podemos siempre escoger -y^i' Yo2 ° Z21' Z22^ ^e T^^
tal que ellos tengan el mismo denominador, sin embargo
hay casos en que esto no se da:
Caso 1: z^p tiene más polos finitos que z,?1 . En este ca_
so podemos generalmente representar z2l' z?2 en ~a f°rma:
•7 = -7 '21 21
Z22 = z>22 + Zs
2.:d.6
donde z' - y z' „ tienen e.l mismo conjunto de polos fini
tos, y Z es una impedancia de excitación realizable. Ess —
to significa que: dado este conjunto de Zp- y z^^ podemos:
1) Representar su red en la forma de la fig. 2.6.a donde
Z es una red de dos terminales conocida; y, 2] Realiza-S
mos z'2i y Z'o2 Con las t®cni°as standar a ser estudiadas
en el capitulo 3 para obtener la parte res-tante de la red.
Justificamos usar 2.'d.6 para describir la fig. 2.6.a?
La respuesta es si. Para medir z2-, en la fig. 2.6.a
ya que no fluye corriente a través de Z bajo la condiciónO
medida I,-, = o, tenemos- £„ = E' lo que implica E«/I- =
E27I1 ° Z21 = Z21*
La segunda relación en (2.d.6)es obiva en la fig. 2.6.a
Caso 2: y7~ tiene m^s- polos- finitos que ~Y2i' General,
mente podemos representar ~Y2]_' Y22 en la forma
21 = -YO212.d.7
Donde -yo-, Y Yo o ' tienen el mismo conjunto de polos fini-£ _L ^ -¿-t
tos y Y es una admitancia de excitación realizable. EsP ~
to significa que dado este conjunto de -y¿-< Y Yoo P°de-
mos: 1) Representar su red en la forma de la fig. 2.6.b
donde Y es una red de dos terminales conocido; y, 2) Rea_
licemos -yó-i f Yo o' con las técnicas standar a ser estu-
diadas en el capítulo 3, para obtener la parte restante
de la red.
Siguiendo la linea de razonamientos con lo que justifica-
mos el anterior caso podemos fácilmente justificar el uso
de (2 .d. 7) para describir la fig. 2.6.b.
b)
r
Red A1' con z i
J21 tienen el mismo
conjunto de polos fi-ni
Red &.' con y22' yy,J1 ' tienen el mismo
conjunto de polos fini_
tos-.
V =Vy22 ^22
0Y21=Y21 '
. J
2.6
TABLA 2.1
SEDES- ESCALERA
o— -o- -D- -O-
c-1' 21 Z1
Sección básica del tipo 1 , cuyasramas principal y auxiliar se indi can con los cuadrados rayadosy en "blanco, respectivamente.
-o-
Sección básica del tipo 2, cuyas.ramas principal y auxiliar se indican con los cuadrados rayadosy en blanco respectivamente.
O—r-
REDES' L(J. La rama principal produce cerostransmisión imaginarios puros.
de
Sección básicadel tipo 2
Rama principalo básica
Secció*n básicadel tipo 1
Rama principalo básica
Y = si, a 2 , 2/ S + W
responsableparalos ceros detransmisiónen:
donde P
paraS=oo
SL, - o
T paraa *
@ ^ para
Yapara
W
para
Ga a Y para
responsable paralos ceros detransmisión en:
donde :
Zv para- - * S=
paras=o
REDES" RC . Laa ramai principal produ.ce un cerode transmisión) real negativo
? v Y <1 /Ra)s
K/a~ a + ci
J_ G responsa"bley J paraa el ce-J ro de trans
misión en:s= -CT
donde* .
R Ga ai
(lo) 17 -p^^ Zt=RD
5 Y para| S t-<7
c To su casoespecial!
Zb=B"b
_L Y paraT a 33= oo
^
O b .
z/ VCbs + cr
responsable parael cero de transmisión en:
s= - 0"donde: 1
T-
5bS
@ Zb para' ~~} s= -cro rn . nLJ
Ya=Ga
O ' — O
o su cSao es-pecial: _ _
Zl) para s=0o . •(! ••
Y =Ga a
REDES RL • La rama principal produce un cerode transmisión real negativo.
VLaI . Y *
K/" 8 + *T responsable^ R para el ce-Í J r o d e trans
misión en:s= -(T
dbndet-r,Ha
*' —
® 2t =Sb
Y para* s=-ff
o su caso espe-cial
Zb^
' i , Y^
1-b
. *b ,X R , . S
b S + ( T
responsable parael cero de transmisión en:
3=-<J
donde: -B,(T = L
^
© Z* para' s -j s= -cr
O- 1 -TI
^-^J
Ya=% i
.o su casoespecial.
^b para s=°°
Y =G ^a a
- 33 -
CAPITULO 3
SÍNTESIS DE. PUNCIONES DE TRANSFERENCIA DEREDES ESCALERA CON ELEMENTOS LC, RC, RL YRLC, CON CEROS DE TRANSMISIÓN: REALES NE-GATIVOS, IMAGINARIOS PUROS, EN EL ORIGEN YEN INFINITO.
3.a Síntesis de funciones de transferencia con ceros de
transmisión; imaginarios puros, en el origen e~.infi_
nito. Redes LC.
S.a.l Estudio preliminar de redes LC.
La discusión en el capitulo1 2, nos conduce al compor_
tamiento de funciones de transferencia y excitación
de redes LC.
Estas propiedades han señalado que W(s): impedencia
o admitancia de excitación de una red LC, tiene la
forma (*):
W(s)= H
9 9 9 9~+. v z ) .....es + *2 2 2 2 2
( _ s + n ) (s +n2 ) • • • (s +
3.a.1
Donde H = H's o H"/s r siendo H' una constante positiva.
El término en corchetes en (3.a.l) es responsable pa-
ra m pares de ceros ( ' \ y m pares de polos (n) .
Al examinar (S.a.l) nos damos cuenta que esta ecuación
es una relación de un polimonio solo de potencias pa-
res (o impares) , para un polinomio solo de potencias
impares (o pares) de s; que es característico de W(s)
en redes LC.
Se cumple:nn < \ < n0 < X0 . . . < Xm.-l < n < K 3. a. 21 1 2 ¿ :•• i •'•"•• m m
n2 '•• < m - l < m m 3. a. 3
(*) Para mayor detalle ver Ref. 2
- 34 -
1 "-11 it •1 '
Red. escaleracon elementosLC, RC, RL
o RLC.
2 :. 2
— p?2 •J
1
<R2=1f
2'
Fig. 3.1
Notas preliminares.
En el capítulo 2.d.A, se discutió los tres pasos del método
básico para síntesis de funciones de transferencia con re-
des escalera. Ahora aplicaremos estos pasos para la sínte-
sis de redes LC.
Paso 1; Determinamos los parámetros z , z o -y~* , Yoo-
Esto se estudiara en el Art. 3. a. 2.
Paso 2 : Predecimos las posibles configuraciones de redes,
según los ceros de transmisión, esto es, los ceros de z_ o
Esto ha sido estudiado en Cap. 2.d.B y C.
Paso 3 : Sintetizamos la configuración de red preestablecida,
con los procedimientos determinados. Se discutirá: (.1) el
procedimiento para sintetizar una sección del tipo 1-LC, en
el Art. 3. a. 3, (.2) el procedimiento para sintetizar una sec
ción del tipo 2-LC, en el Art. 3. a. 4 y (.3) el procedimiento
general para síntesis de funciones de transferencia con es-
tas secciones LC en el Art. 3. a. 5.
3. a. 2 Obtención de z , z o -Y2i' Yo? de la funci°-n de
transferencia .
- 35 -
Consideramos la obtención de los- parámetros Z~i /• Z,,,-, o
-y,.,-,, y ,-,2 de una función de transferencia T(.s] para la
red fig. 3.1 con &2= (representación de red normaliza-
da) o sus casos especiales R0= <*> y R0=o.•- ^
Para una función de transferencia dada Z Cs). o A(.s) : Asu-
mimos que la función de .transíerencia dada tiene la forma
ZT(S) = H PCs)/ Q(s) o ACs] =-H PCs]/Q(s):
También asumimos-
Q (.&) = Qp(.s] + Qj, (» = Parte par de Q Cs] + Parte impar de
QCs-J "3. a. 4
Ahora consideremos- dos cas-os- diferentes-: lí P Cs) es una
función ".-. par de s-; y, 2) P (>] es- una función '. impar de -s
1. Para P (s) par: primero identificamos la función de
transferencia dada con 2. a. 13, .a o 2. a. 13. .b para RO^
T o -A(s)=H P(s) _ H P(s)
Q(s) Qp(s)+Q±(s)
H P(s)/Q¡(*) 3
l+Qp(s)/Qi(s)
Z21 , '3., a,.
Z22
y entonces identificando
Para P(s) par... en el numerador de z (s) o A(s)
21 — • 22 = p'QÍ(S) Q±(S) J"a-'
- 36 -
2. Para P (s) impar, identificamos la función de transfe-
rencia dada con 2. a. 13. a o 2. a. 13. E) para R = 1
ZT(s) o -A(.s) = H FCs)_ H P(s)
Qts) QpCs)+Qi(s-)
H P (.s)/;."Qp(s)
l+Q±(.s)/<:QpCs]
Z22
y entonces identificando
Para P (.s) impar en el numerador de Z_,(.&). o A (.s-).
Z21 = H
Qís) i"
Dando una función de transferencia ZT(S) o A(.s), podemos
fácilmente determinar sus- parámetros asociados- zQ1 y z99£ JL ¿* £
con la ayuda de 3.a.7. o 3.a.9
Pero porqué seleccionamos z91, z99 en la forma de 3.a.7^ -i- j¿
o 3.a. 9? De acuerdo a la condición 2 del capítulo 2.5:.,
Q(.s] es un polinomio de Hurwitz, z^2 seleccionado en
3. a. 7 o 3. a. 9 es una impedancia reactiva realizable; esto
es una función de impedancia de exitación LC. Además z,?1
y Z22 en 3.a.7 y 3.a.9 satisfacen la condición para la
realización física en 2.a.18.e
Para una función de transferencia Y (s) o G(s)
- 37 -
Encontraremos.- los parámetros- asociados de una función de
transferencia dada.
YT(.S) = -H P Cs-) o G(.s-). = H P (.&) en las siguientes
Q Cs) Q Cs)
formas :
Para P(.s) par en el numerador de Y (,s-) o GCs)
3.a.11
y21 = HFte i y22Q Csl
Para P(s) impar en el numerador de Y_Cs) o G (.s.-)
-Vo-, = H P'(s-) Yo o =. Q-,- Cs-)-*21 —^— -^22 i.Qp Cs-) Q )
3.a.3 Síntesis de una sección del tipo 1-LC
Deseamos sintetizar una Z, de excitación LC con una sec-
ción del tipo 1-LC como se ve en (la) de la tabla 2-1 o
fig. 3.2.a; dejando otra Z.Vv- de excitación a ser sinte-
tizada. Consideramos que la sección del tipo 1-LC en la
fig. 3.2.a es la sección productora del k— th cero de trans
misión de la red y es responsable para el par de ceros de
transmisión en s = + JW¿).
Procedimiento para sintetizar una sección del tipo 1-LC
que produce ceros de transmisión en s = + jwk
Paso 1: Para Z, (jwk) = jXjj., la rama Z- (k) en la fig.
3.2.a es inductiva si
Para X!^ o - Lb (k) = Xk 3.a..]2.a
Zb(k) = s Lb(k)
capacitiva para Xj,< O C, (k) =
Z,(k) = 1
s Cb(k)
3.a.12.b
3.a.13.a
3.a.13.b
que lo podemos ver en la fig. 3.2.b
Justifiquemos el paso 1: Examinemos la fig. 3.2.a y nota-
mos que; Zfc = Zb(k)+Z* ; pero Z* (. j wk) = O, ya que wk es
la frecuencia resonante de L (k) y C (k) , Z, ( j wk)=0+j Xva a js. -1 K.
para una Z (s) reactiva y:
/s= jwk - / s = jwk
o Zb(.k) ( j w k ) + 0 = Z k ( j wk) = j 3.a.14.
que implica que la rama de Z, (k) en la fig. 3.2 es induc-
tiva si X, >: O, o capacitiva si X, < 0.
Paso 2: Ahora podemos determinar z, * y Y* conk
* = ,- I Eq 3.a.l2.b o
Eq 3.a.l3.bJ
3.a.15.a
3.a.15.b
entonces la fracción parcial Yv* en la forma:
V - 9 ?s +wk
(I/ L (k)) sci
S2+1/L (k)C,(k)ci. ci
Lk+l
3.a.16
donde Mv puede ser evaluado con: M, = lim•- xs -»j wk
y se encuentran los elementos de Y_(k) con:o.
2, 2
3.a.17.a
La(k) = ca(k) = 3.a.17.b
wk
- 39 -
Justifiquemos- el paso 2: de la fig. 3.2, las relaciones
en 3.a.15 son obvias; la Eq. 3.a.17.o es una expresión
standar usada para la evaluación de la constante M, de)£.
la fracción parcial en 3a.l.-:.6 y las expresiones en 3.a.l7.b
son obtenidas identificando las- expresiones en 3.a. 16.
Paso 3 : con'
(k) = Mk ya obtenido, encontramos
Yk+l = Yk* - Ya 3.a.18.a
ZTk+l k+1 3.a.18.b
Ahora estamos listos para sintetizar Z, 1 con la sección
k+1 ISección que produce el k , ,.. 7. .. . - th --*l.. . .. . -cero de transmisión
íí
1]1111!
Zk+1
M s' \eL- fr- v V H'- ^
a ' / a ¿ „/ s +w. ^
C (k ): a 'J reponsable para el <;_
*- cero de transmisión |s=+ jwk ,
(a) ¡YÍ=— Fig^ 3.2 '
Y ^* 7"k+1 k Y.
Zb(k)=sLb(k)
3cb (k)
(b)
k
-Síntesis en los casos especiales con ceros de transmisión
en s = oo ó s = o producidos por la rama principal y para
secciones del tipo 1-LC.
Esta sección del tipo 1-LC tiene la forma de la fig. 3.3,
donde el polo de Ya (k) - sCa (.k) o Ya (k) =' 1/s L& (.k). es-
S = oo ó S = O
- 40. -
El procedimiento a seguir es el anteriormente estudiado,
con las siguientes modificaciones:
Para el caso especial de la fig. 3.3.a.
Usamos Y (k)=s C (k) en vez dea • c*
2Ya(k) = M^ s/ (s+w) en 3. a. 16
Usamos C (k) = lim Y en vez de 3.a.17JCJ
3.a.19.a
3.a.19.b
Para el caso especial de la fig. 3.3.b
Usamos Y = i/s L (k) en vez dea a
Y = JYL s/ (s2+w?) en 3. a. 16a /e K-
f * ~\ (k) = I/ lim (s Y. ) en vez de 3. a. 17
a l k j
OYa(k)=s Ca(k)
- - C (k) responsable paraa s = oo
T
-U
3.a.20.a
3.a.20.b
2L (k)b
Y (k)=1/s L (k)a a
L (k) responsable para3- _ _ r\ 1
k+1
' * 1Yn,= . r-
--]s — u
1 1! ' 'i i i-i * * i i
k+1Y, = *7 r~.
(a) Fig.3.3 (b)
3.a.4 Síntesis de una sección del tipo 2-LC
Deseamos sintetizar una admitancia (Y ) de excitación, co-.rC
mo se ve en la tabla 2.1, columna 2.a o fig. 3.4, para una
sección del tipo\2-LC, dejando otra Y. . de excitación a
ser sintetizada.
Consideremos que la sección del tipo 2-LC de la fig. 3.4
- 41 -
es la sección productora del K_,v - ce -o de transmisión
de la red y es responsable; para un par de ceros de trans-
misión en s • = + jwk.
Procedimiento para sintetizar una sección del tipo 2-LC
que produce ceros de transmisión en s = + jwk.
Paso 1; Para Y-, (jwk) = JB-,.. la rama Y Ck) en la fig.
3.4.a es capacitiva si
Bv=> o C (k) - B,k a k 3. a. 21. a
wk
Ya(k). - s Ca(k) 3.a-21.b
o inductiva si
Bk<o "•: La(k) = • • • • ! • • 3.a..22.a
wk. B'
Y (k) = " T " 3,a..22.b.s LaCk]
como se ve en la fig. 3.4.
Para justificar el paso 1, examinamos- la fig. 3.4 y nota-
mos que Yk = Ya(k)+Yk*, Yk* (jwk)=o porque wk es la fre_
cuencia resonante de Lb (k) y C (k) , Y, (jwk)-o+jB para
una reactiva Yk(s), y
(Yk)/s wk 3.a,23.a
Ya(k) (jwk)+o = Yk(.jwk) = j Bk: 3.a.23.b
que implica que la rama Y (k) en la fig. 3.4.a es- capaoi
I
- 42 -
tiva. para, B,." ; :> Q.fo inductiva s-i R. <: o
Paso 2:. a.n.ora determinamos- Y * y z-,* en la fig. 3.4.a
con:
Yk* = Yk-Ya (k) =Yk-(Eq 3.a.2Í|'!b o 3.a.24.a
3.a.2;2.b)
* 3.a.24.b
entonces la fracción parcial Zk* en la forma
s-
=. .Ci/cb:(.K))s + z
s2+l/Cb (k) Lk+1 3.a.25
donde N-, puede s-er evaluado con-,
= lim
s -* jwk
2 2s +X-7k z, *
s-3.a.26.a
y finalmente encontramos los elementos del circuito de
Zb(k) con Cb(k) ="_1_ Lb(.k) = N^ 3.a.26
NT , 2k wk
Para justificar el paso 2 vemos la fig. 3.4.a; las rela
ciones en 3.a.24 son obvias, la Eq. 3.a.26.a es simple-
mente una expresión standar usada para la evaluación de
N-, en la fracción parcial de 3.a. 25 y las expresiones en
3.a.26.b son fácilmente obtenidas identificando las ex-
presiones de 3.a.25.
2 2Paso 3. Con Z-, (k) = N,s/(s +wk ), encontramos
- 43 -
= V - 3.a.27 . a
k+1 3.a.27.b
Estamos listos para sintetizar Y, - con la sección
(k+1)
Sección que produce el k itn .. . ..
cero de transmisión.
± C (k)el
Y (k)=sC (k)a a
Reponsable para pnel cero de trans- U-l-e.misión s=+]w
(a) 'Z*
Sig. 3.4
Y (k)=1/sL (k)3. cL
-Síntesis del caso especial de una sección del tipo 2-LC
con un cero de transmisión ens = o o ó s = o producido
por la rama principal.
Esta sección del tipo 2-LC, tiene la forma de la fig.
3.5 donde el polo de Zb (k) = s Lfo(k) o Zb(k) = 1/s Cb(k)
es s = °° o s = o.
El procedimiento a seguir es el anteriormente estudiado
con las siguientes modificaciones: Para el caso de la
fig. 3.5.a
Usamos: Z-, (k) = s L. (k). en vez de Z, (k) = Nvs/(s2+wk2)
en 3.a.25
Usamos: L, (k) = lim
s — *-«
(1/s) * en vez de
3.a .26
3.a,.28.a
3,a..28,
- 44 -
Para el caso especial en la fig. 3.5.b
Usamos-: Z^Ckl = 1/s- C-r Ckl en vez de. 'Z^ Ckl =
Nvs/ ( s-2+wk2 1 en 3. a. 25.
Usamos: C Ckl = I/ lim Cs- Zfc*l| en vez de
s-—«-o 3.a.26
3.a.29.a
3.a.29.b
Responsable paras = eso p
L\ (le)
1 a<.iii1
11
Responsable pa-ra s = 0 Y Ti
I I a ^
*1 9 !1j 11 —
(b)
Fig. 3.5
3. a. 5 Procedimiento de. síntesis de funciones de trans-
ferencia con redes LC.
Ahora establecemos un procedimiento para sintetizar con
una red escalera LC, una función de transferencia, en la
forma de una relación de polinomios.
T(s) = H p (s) o T(s) =_H p (s)
Q (s) Q (s)3.a.3Q
Parte A.
De la función de transferencia T(s) en 3 . a. 30 . obtenemos
los parámetros asociados z^l/- z ,, o "Yo-i /• y?p con los me_
todos descritos e ilustrados en cap. 3.a.2_..
- 45 -
Parte B.
Determinamos los ceros de transmisión esto es los ceros
de z?1 o--y?1, entonces predecimos las configuraciones
de red usando las técnicas descritas en el capitulo 2 . d
Parte C.
Sintetizamos z22 (o Y22^ como una Z o (Y) de excitación
de acuerdo con la configuración de red predicha con la
ayuda de los siguientes procedimientos.
Para sintetizar una sección del tipo 1-LC en la fig. 3.2
usamos el procedimiento asociado con la E.q. 3. a. 12 hasta
3. a. 18; para sintetizar el caso especial en la fig. 3.3.a
modificamos este procedimiento con 3. a. 19, para sinteti-
zar el caso especial en la fig. 3.3.b modificamos este
procedimiento con 3. a. 20.
Para remover solo una L o C, como una rama básica que no es
parte de una sección básica; se puede usualmente representar
una Z o Y en la forma de: W(s) = sK+W, (s) =H/s+Wk+1 (s) ;
en el ejemplo de Z (s) = s L ,, , + Z (s)
tenemos una inductancia L „. removida de Z (s ), mientras
Zk+l ^s ^ se deJa Para ser sintetizada.
Para sintetizar una sección del tipo 2-LC en la fig. 3.4
usamos el procedimiento asociado con las Eq. 3. a. 21 hasta
3. a. 27 para sintetizar el caso especial en la fig. 3.5.a
modificamos este procedimiento con 3.a28, para sintetizar
el caso especial en la fig. 3.5.b modificamos este proce-
dimiento con 3. a. 29.
3.b Síntesis de funciones de transferencia con ceros de
transmisión reales negativos, en el origen e infinito.
Redes RC, RLC.
- 46. -
Redes RC, RCL:aunque esta sección es- principalmente de-
dicada a redes RC; la discus-ión es- de naturaleza general
y es igualmente aplicable a síntesis de redes RL y RCL.
S.b.l Estudio preliminario de redes RC (:> )
Nuestra discusión en el capitulo 2, nos conduce al com-
portamiento de funciones de transferencia y de excita-
ción.
Estas propiedades han señalado que la impedancia de exci-
tación de una red RC tiene la forma:
Z '(s) = Hn. (s+n2)
3.b.1
Donde:
n <c Xl3.b.1.a
Esto significa que los polos y ceros están intercalados
en el eje real negativo; H es una constante positiva.
Función admitancia de excitación: Podemos- encontrar Y(s)
para una red RC como el recíproco de Z(s) en S.b.l.
Esto nos da:
Y ( s ) = H
Donde:
(s+n- ) (s+n,,) .. (s+n^)
X
n.
kl
•1
ll
n "2
2
3.B.2
<Xm-l<3.b.2.a
- 47 -
*
Igualmente vemos- que los- polos: y ceros están intercala-
dos en el eje real negativo, H es una constante positiva.
Aproximación para s-intetizar ZT Cs-). como definimos en
2.a.1.a. :
Sintetizamos Z C&i con la red de. la fig. 3.6.C.V: siendo:
t
Consideramos- R2 en la fig. 3.6.C.1 como una parte de la
red en vez de una carga, redi.bu jamos la red en la forma
de la fig. 3.6.C.2 que es idéntica con la fig. 3.6.a.
Sintetizamos Z2l. ~ ZT^S^
Z22 = exPresi°n a ser escogida
en capitulo 3,. b.2~- 3 .Ex. 3
»
- Aproximación para sintetizar Y™ (.s) como definimos en
2.a.1.c
Considerando R2 en la fig. 3.6.d.1.como una parte de la
red, en vez de una carga, redibujamos la red en la for-
ma de la fig. 3.6.d.2 que es- idéntica con la fig. 3.6.b
Sintetizamos Yrp (_sl con la red de la fig. 3.6.d.l s-iendo:
t|--y-?-] = -dando Y_ (.s-) , y«9 = expresión a ser escogida
en capitulo S'-.b. 3.B.4
- Aproximación para sintetizar G Cs}. como definimos en
2.a.l.d
Como: G(s-)= K2 = -X2. .R2 - ~R2 J'2 = ~R2 YT(s)
El El El
- 48 -
y YT (s ) =- (1/R2 ). G (.s ). =- ( 1/R2 ). H P Cs-I /Q. (.&}
=-H P (.s-) /Q C&1 en la fig. 3.6.d.l, el problema de
sintetizar G(s) puede ser resuelto como el problema equi-
valente de sintetizar YT(S) =-H P(s)/Q(.s) con 3.b.4 de
la siguiente manera:
Sintetizamos -y^i ~ H P(s-)/Q(.s) Yno: expresión a ser
escogida en capítulo 3.b..2 con una red --3.B..5
de la fig. 3.6.d.l
Las constantes H y H s-on cantidades conocidas.
- Aproximación para s-intetizar A('.s) como definimos en
2.a.l.b
. .!„Como A(s-). =— - (-E2/R2)./i:1 - -(1/R2) (£2/1 ),
y Z^ís) =-R,A(s) = R9 H P(s)/Q(s) = H P (si en la fig.1 ^ z O. (ST
S.b.c.l el problema de sintetizar A(s) puede ser resuel-
to como el problema equivalente de sintetizar ZT(.S) —
-H P(s)/Q[s) con 3.b.3 de la ságuiente manera:
Sintetizamos A(s) con la red de la fig. S.b.c.l
Sintetizamos zol= P(s)/Q(s) , z22 expresión a ser es-
cogida en capitulo 3.b.2' 3.B.6
Las constantes H y H son cantidades conocidas.
3.b.2 Obtención de z2-,, z22 y -Y21/- Y22 e 1a función
de transferencia.
- 49. -
Igualmente nuestra, discusión aquí, es- aplicable para pro-
blemas- de síntesis- de redes- RC, RL y algunas RLC.
Para una función de trans-ferencla Z™ C&l , -A. (». definidas
en 2.a.1.
Como: Z T C s I / -A Oí = HPO'I/QO'I 3.b.7
Podemos escribir- los- parámetros- as-ociados como:
Z21 = H p' Cs-1 z22 = R Cs-í
Q Oí Q (.s-1
1. Para un cuadripolo RC:: z22 debe, s-er una impedanci.a de
excitación realizable 'del tipo de 3.b.1; usamos un número
igual de factores lineales- o dos- polimonios del mismo" gra_
do en s-u numerador y denominador, en la forma:
Para redes RC z00=RCs] MCs+.?>. ,n.).("sH-, A..0.) (.s-K ÍV )¿¿ = £j £_ m. 3.b.9.a
Q (s-).
M = 1 o cualquier valor apropiado
•••• < V-l
2. Para un cuadripolo RL: z ,-, debe ser una impedancia de
excitación realizable del tipo\de 3.C.1; usamos un número
igual de factores lineales o dos polimonios del mismo gra_
do en su numerador y denominador, en la forma:
Para redes RL z99=R(s) =. M(.s+. * .,.) ,(s.+. ,9.) .....(.s+. ?•_)¿jL -1- 2 m S.b.lO.a
Q (s) C.s+n1) Cs-t-n2) .... O+n.
M=l o cuaJ-quier valor apropiadoH i - 3.b.10.b
- 50. -
Para una función de transferencia, YTCs) , GtsO ó como
definimos en 2.a.l
De una función de- .transferencia;
;-.V,/ Vl\ — YT(.s) , GCs] o = H PCs-) 3.11.
Q(s)
Podemos escribir los parámetros- asociados como:
-y21 - H P(s)/Q(.s-). , Y22 := RCs-}/QCs} S.b.12
Donde RCs-) es escogido tal que lo siguiente se cumpla.
Para un cuadripolo RC: y,-,,., debe s-er una admitancia de<?
excitación realizable del tipo de 2.b.2; usamos- un número
igual de factores lineales- o dos polimonios del mismo gra_
do con su numerador y denominador; en" la forma:
Para redes RC: y22=R.Gs] M Cs-Hn.., .}(srl-n. 1 ------- C- = - 3,b.13.aQ Cs-I Cs+ X 1} ( s+ -\ } .
M = 1 o cualquier- valor apropiado
3.h.13.b
Para un cuadripolo RL: y~~ debe ser admitancia de excita-
ción realizable del tipo de 3.b.2; usamos en número igual
de factores lineales o dos polimonios del mismo grado en
su numerador y denominador; en la forma:
Para redes RL: •, : R(s) M(s+n-,) (s+n9)...(s+n J -,,..,„' ¿._,-: -L - ni o.D.. T4.I
Q(s) (s+X (s+X2) ...
- 51 -
M = 1 o cualquier valor apropiado
Existen ocasiones en que el polinomio Q (.s) de la fun-
ción T (s) , es grande y el encontrar los- factores: linea
les resulta un laborioso proceso, o si los factores de
Q (.s) no cumplen con las- condiciones, de impedancias (.Z)
o admitancias (Y) de excitación, caso para el cual la
red resulta ser del tipo RLC, el procedimiento a seguir
para encontrar R Cs) es el siguiente:
Tanto para las secciones: del tipo 1 y 2 RL y RC, asumi-
mos que Zv y/o Y, tienen una de las siguientes formas:JV _rC
Zk= K '• ~ ~ ^— 3.b.15.a(s+ 1] ('s+ n' ) » , . . (s+ n )z " m
7 _ „ S +an-l S . + + als+ao 3.b.15.b¿i, — Jx ^k n,,. n-1 , , ,, ,,
Q -(-n Q 4- A- rS Q--4-T~iO ' - -'v> I»3 T ^ » . » « l ^ ÍJ -* OT^J_Jn—1 1 o
Y = -i- fZv en C3.B.15.a] o (3.b-15.b)l 3.b.15.ck ¿fc L K
Condiciones para la realización física de Zk con una sec-
ción del tipo 1-RC o 1-RL/ sección que produce un cero de
transmi.s-ión en s• = - <J,_. Si definimos::
n _ k 1 k. 2>- ~ k ia'- 3.b.16.a
C - f f k + íiil C-crk + n2}. . . . ( - a k + n^l
(-C7,)n + a . (-CT,)11'1 + ...+ ok' _ n-1 v k7 _ . 3.b.16.b
-"- + b o
- 52 -*i
entonces la Z de excitación en la forma de S.b.lS.aJC
o S.b.lS.b debe s-atis-facer las- condiciones-:. Condiciones
para la realizabilidad de Z con una sección del tipo 1jC
en la fig. 3.7 '• O -9- < 1 3.&.17.a
an-l 1 ¿-M. . 3.b..17.b.
bn-1 "
3.U.17.C
b ~ Y n n .n-2 - £ 3
ao _ j^l. A2..m >£K 3.b.17.k
bo nl n2"- nm
Condiciones para la realizabilidad de Y con una sección_ -K.
del tipo 2 RC o RL, sección responsable para un cero de
transmisión en s- = - ^k. Si definimos-
C- Jk+ni J (.- k+n?) . . . C-_ 1 _ ± _ 3.b.18
• 0 =
(- 'k+ A 2) . . (- k+ A m}
(- Cíkjn+b r C-a'3c)n"1+ ____ + b3.b.18.a
entonces la Y, de excitaci^on en la forma de 3.b.l5.c debeJC
satisfacer las- condiciones;
Condiciones para la realización de Y, con una sección del
tipo 2 en la fig. 3.b.8:
" 3.b.19.a
3.b.19.b
n-.
- 53 -
.n-
ln-2
bo
O
3 ,B. 1 9.. c
3,b:.ia.k.•m
La discusión anterior se aclarará con un ejemplo posterior
R
E
R-
l-n, +
_l(b)
(c2)
E
1 Fig. 3.6 2
3.b.3 Síntesis- con una s-ecci.ón del tipo 1-RC
Deseamos- sintetizar una Z- de. excitación RC con una s-e.c-
ción del tipo 1-RC, como s-e ve en (l.b) de la tabla 2.1 o
en la fig. 3.7 dejando otra Z,+1 de excitación a ser sin-
tetizada. Esta s-ección deJ. tipo 1-RC de la fig. 3.7 es la
sección productora del K^t cero" de transmisión en s = -^}
Procedimiento para sintetizar una sección del tipo 1-RC.
- 54 -
Paso 1: Evaluamos Zk (- ^k) y si Zk (- °"k) O
.encontramos P». (k) - Z^C.-^kJ 3.b.20.a
Si Z (-^k) < Q; no es realizable Z, con una sección delk -K
tioo 1-RC.
Justifiquemos el paso 1: examinemos la fig. 3.7.a y nota_
mos que Zk = RB (k) + Zfc*, Y& (k> - Mk s/ ( s+ 0"k) = °° y
Z (k) = I/Y (XI = 0 para s - - ^k, Z * (- °k) -O porqueel 9. Js. -
Z3 (k) (- kl = O y
CRb(k).+zk*)/s=r_ o k = Czk)/s=_ Qk , o Rg(k}+0^ zk(-
Paso 2: Podemos- entonces determinar Zk* y Y * ('en la fig.
3.7.a con:
= Zk - Eq. (3.b.20.a) 3.b.20.b
Yk* = 1/Zk* 3.b.20.c
entonces la fracción parcial en la forma
Y * — Y ("k- 1 +V = - + YT(k)+Y +
donde M, podemos evaluar con
M = lim S+ 3.b.20.es — > - k i~~ k
y encontramos los elementos de Y (k)a
- 55 -
R C k ) = l/M ; C ( J c l = M / c r k . 3J3,.2Q.fa
Para justificar el pas-o 2 de la fig. 3.7.a las- relaciones
en 3.b.20 son obvias-, la Eq. \3.b.20.e es simplemente una
expresión standar us-ada para la evaluación de la constan-
te M-, en la fracción parcial de la forma de 3.b.20.d y las
expresiones- en 3.b.20.f son obtenidas- identificando las-
expresiones de 3.b.20.d.
Pas-o 3 : Con Y' (XI = M, s/ 0+°" kl ya obtenidoa Je
Yk+l = V -
Zk+l / k+l 3.b.20.h
Ks-tamos- 1 i ato a- para sintetizar Z.. - con la s.-ección Ck+11
- Caso es-pecial de.l tipo 1-RC, la s-eccion produce un cero
de transmisión en s =00.
Vemos- en la fig. 3.7.b que. la rama principal Y a (XI =
a- Ca Ocí produce un cero de. transmisión en s- =00. El proce-
dimiento para sintetizar este caso especial en el mismo
que el anterior, pero con las- siguientes- modificaciones:.
Para el caso especial en la fig. 3.7.a
Usamos Y (k) = s- C (k) en vez de Y (k) = M, s/Cs+^k).Si 3- ci xC
en 3.b.20.d 3,b.21.a
Usamos- C= (k) = lim (1/s-) Y * en vez de 3.b.20.f 3.b.2l.b< k • J
'SI •—-> oo
- 56 -I Seccióni* Responsable para el k. *)i cero de transmisión j
I R*(SI j
cc
TV» '| C (k) =! a ;:
> *">>.
Y (k) responsable
'para el cero de^trans- C (k) :misión s=- cr ""^
K" "1 1
3. &. Je
í (a)1
Y (k) Responsable papra el cero de
\n s=
Y (k)=sC (k) |3. d. '
1 (b)
2k=1/YkFig. 3.7
Notas acerca de la realización física. Un cero de trans-
misión real negativo s = -6"k puede ser producido por 1)
una sección del tipo 1-RC, 2) una sección del tipo 2-RC,
3) una sección del tipo 1-RL, o 4) una sección del tipo
2-RL. Estas secciones básicas son vistas en (Ib), (2b),
(le) y (2c) de la tabla 2.1
Esto significa, que cuando una Z, de excitación es encon-
trada no realizable con una sección del tipo 1-RC para un
cero de transmisión s =-6"k-enel sentido que obtenemos ele-
mentos negativos en el circuito; tratamos otros medios:
Sintetizando con una sección del tipo 1 o 2.
- En la síntesis- de una Z de excitación con una red RC;
podemos usar una sección del tipo 1-RC o 2-RC para pro-
ducir un cero de transmisión en s- = - k 3.B..22.a
- En la síntesis de Zfc con una red RL, podemos usar una
seción del tipo 1-RL o 2-RL para producir un cero de
transmisión en s = - C""k 3.B,22,b
- En la síntesis de Zfc con una red RLC, según las reglas
vistas; determinamos si es realizable con 1) una sec-
ción del tipo 1-RC o 1-RL si deseamos usar una sección
- 57 -
del tipo 1 para producir un cero de transmisión en s- = -
o 2) una sección del tipo 2-RC o 2-RL si deseamos- usar
una sección del tipo 2 para producir un cero de transmi-
sión en s = - k. 3.h.22..c
Las mismas alternativas seguimos- para una Y, de excitación.JC
3.b.4 Síntesis con una sección del tipo 2-RC
Deseamos sintetizar una Y, (o Z, = I/Y., ) de excitación RC,
con una sección del tipo 2-RC, como se ve en ' C2b) de la
tabla 2.1 o fig. 3.8 dejando otra ¥,_,.. de excitación a ser
sintetizada. Esta sección del tipo 2-RC de la fig. 3.8
es la sección productora del Ktñ, cero de transmisión en
s = -
Procedimiento :
Paso 1: Evaluamos- Y^C-^k) s-i. Y , C - ^ k ) ^0 encontramos-
Ga(.kl = Y k C - k } RaCkl = l/Ga(k] 3.b.23.a
Si Y-, (- CJ k) <0 , no es realizable con una sección del tipo
2-RC.
Para justificar el paso 1: examinamos la fig. 3.8.a y
vemos que, Y, = G (k) + Y*; Z (k) = N7/(s+a ) = °-K a K. D K K
y Yb(k) = l/Zb(k) - O para s = - G^, Y* (- O fc) = 0
porgue Yb(k) (- (Tk) = O
y (Ga (k) + Y*)/g= - (Yk)/s = _•**• JC
o G a ( k ) + 0 = Yk(-dk)
que es idéntico con (3 .b .23 . a ) . Para Y (- G ) < 0 ;
Ra (k) = 1/G (k) como una resistencia negativa no es realizablea.
Paso 2: Podemos determinar Y, * y Zv* en la fig. 3.8 con
- 58 -
Y * = Y. - G CX). = Yv - Eq C3.b.23,a). 3.B.23Tb.JC JC a JC
Z * = l/Y, * 3.B.23.C-Tv -
entonces la fracción parcial en la forma:
z * = Vk)+zk+i - Nk + zk+1 = .l/cb(k)
s+l/Rb(k)Cb(k)
3.b.23.'d
donde M-, podemos evaluar con Nk = lim (s+ k) *,
3.b.23.ey encontramos- los elementos de Z-r (k.) :
Cb(k) = l/Nk ; Rb(k) = Nk/íTk 3.b.23.f
Nota _..
Para justificar el paso 2: de la fig. 3.8.a; las relacio-
nes en 3.b.23 son obvias, la Eq. 3.b.23.e es simplemente
una expresión standar usada para la evaluación de la cons_
tante N, en la fracción parcial de la forma de 3.b.23.d y
las expresiones en 3.b.23.f son obtenidas identificando
las expresiones de 3.b.23.d.
Paso 3: Con Z (k) = N,/(s+ £ k) ya obtenido; encontramos
Zk+l = Zk* - Zb(k) 3.b.23.g
Yk+l = V Zk+l 3-b'23-h-
Estamos listos para sintetizar Y, n con la sección~~
Caso especial del tipo 2-RC; para producir un cero de trans
misión en s = o.
Vemos en la fig. 3.8b que la rama principal Z-, (k) =l/s C-i (k)
produce un cero de transmisión en s = o. El procedimiento -
para sintetizar este caso especial eis el mismo anteriormen-
te estudiado; pero con las siguientes modificaciones:
Usamos: Zb(k)=l/s Cb (k)) en vez de Zb C.k) "= N-^CsH- '-k)
en 3.b.23.d. 3.b.24.a
Usamos C (k.). = l/U-im s z *}_ en, vez de 3.&.23..f 3.b,24.bel / .oí.
Sección crue produce k i. _. .. .. tn -»ij cero deil
^
2L Gtl=t
transirá.
R^Oc)b
uu _
I /s+ «5-
.saon
r- (k).b,
cb(k)
'fe'
Z (k] Responsable pa_ra el c. de trarmi c¡i nn S=- ^k
G 0^=^-^,a R (k.)
^— a
ZT OcÍ=1/sC.
<;). responsable! G (k)=1/R (k)% 9- >para el cero
de transmisiónS-:= O
(a) (b)
Y
Fig. 3.8
3.b.5 Procedimiento de síntesis de funciones de transfe-
rencia con secciones del tipo 1 y 2 RC.
Ahora estableceremos un procedimiento para sintetizar con
secciones del tipo 1 y 2-RC una función de transferencia;'
T(s) en la forma de:
T(s) = H P(s! o T(s) = -H P (s)
Q(.s) Q(s)3.b.25
PARTE A: De la función de transferencia dada T(s) en
3.b.25 obtenemos los parámetros asociados z-- 2 °
OB con l°s métodos descritos en capítulo 3.b.£
PARTE B: Determinamos los ceros de transmisión; esto es,
los ceros de z~- o -y2i_ entonces predecimos las configu-
raciones de red usando las técnicas descritas en el capí-
tulo 2.d
PARTE C: Sintetizamos como una z de
- 60 -
excitación de acuerdo con la configuración de red predi-
cha con la ayuda de los s-iguientes procedimientos:
- Para sintetizar una sección del tipo 1-RC de la fig. 3.7.a,
usamos el procedimiento en 3.b.20; para sintetizar el
caso especial en la fig. 3.7.b modificando el procedi- .
miento con 3.b.21-
- Para sintetizar una sección del tipo 2-RC de la fig.3.8.a,
usamos el procedimiento en 3.b.23 para sintetizar_el ca-
so especial en la fig. 3.8.b modificamos el procedimien-
to con 3.b.24.
PARTE D: En algunos problemas de síntesis de T(.s] defini-
dos en 2.a.l y de la forma de 3.b.25 deseamos obtener una
red con una carga R2 = 1.
Suponemos que tenemos ya obtenida la red de la fig. 3.9.a
como el resultado de la síntesis y su carga es R2z=r. i
i
' Para obtener una nueva red con
R2=l en la fig. 3.9.b, necesitamos solo cambiar la impedan-
cia de cada elemento del circuito en la red vieja en fig.
3.9.a por 1/r, el método está indicado en la fig. 3.9.b
HE1,1 •
Red sintetizada
para T (sí
±2
" í +
E2 *i
a}
_L1
V "b1
cl
da multiplicamos :
cada R poir 1/rcada C por r
r cada L ñor 1/p
X2
, |+|
E2 ít I
b)
Fig. 3.9
R =r. -=12 r
- 61 -
*
3.b.6 Condiciones para la realización con secciones del
tipo 1-RC, 2-RC.
Condición para la realización de z, con una sección del
tipo 1-RC.
Una Z, de excitación que satisface las condiciones 3. tí. 17
deben también satisfacer las siguientes condiciones a fin
de ser realizable con una sección del tipo 1-RC que pro-
duce un cero de transmisión en s =-°"k.
La condición esr
zk}/s =-íT k 3-b-25
Justificación : Con referencia al proceso de síntesis
asociado con 3.b.20 y fig. 3.7.a tenemos:
Y 1 Mfc S , Y, , -- + k+1
zk* ' Zk~Rb(k)
3.B.27.a
Mv debe ser positiva a fin de que R (k) = 1/M-, y C (k)Jv • a je a
M, / &- , sean positivas y entonces realizables
= s+ Y. *k ,s = -crk - Va) s= -1
(d/ds)- I/
(d/ds) (zk)/s --
3.b..27.b
Para que M, sea positivo como se indicó en 3.b.27.b, debe-
mos imponer la condición 3.b.26.
- 62 -
*Condición para la realización de Y . con una sección del
tipo 2-RC.
Una Y, de excitación que satisfa.ce las condiciones 3.b.l9k
debe también satisfacer las siguientes condiciones a fin
de ser realizable con una sección del tipo 2-RC que proce_
de en cero de transmisión en s =•
& La condición es
/ d -Y ) : > ° 3.b.28k,
dsS= - 0-k
Justificación: Con referencia de proceso de síntesis aso-
ciado con 3.b.23 y fig. 3.8.a tenemos:
1 _ 1 _ Nk
N, debe ser positiva a fin de que C (k) = l/N .- y R, (k)
= N, /cr k sean positivas y entonces realizables.K.
S- - V k 3.b.28.b
1> O
(d/ds)
Para que Nk sea positivo, debemos imponer la condición 3.b.2¡
3.C SÍNTESIS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA CON CEROS DE
TRANSMISIÓN REALES NEGATIVOS EN EL ORIGEN E INFINITO.
REDES RL, RLC.
- 63 -
S.c.l Estudio preliminar de redes- RLC*1
Igualmente para redes- RL, el estudio en el capítulo 2 nos
conducen al comportamiento de funciones de transferencia y
excitación.
De allí que la Z de excitación de una red RL tiene la for-
ma:
Csj = H
Cs-+ "X 1) (s-f >-2} . . . Cs+ Am]
3.c.1
donde, n- < X ., < n~ < A m m 3.C.1.a
ií n-,rn-1 ' m m
Lo que significa que los- polos y ceros- están intercalados
en el eje real negativo. H es- una constante positiva.
Función admitancia de excitación: Podemos encontrar Y(s-)
para una red RL como el recíproco de Z(s) en S.c.l. Esto
nos da:
XlXs+ A2)Y (S'J —"H
donde, n. < A <
.) (s+n2)
^n-1
tí )
rim Xm
3.c.2
3.c.2.a
< n , < X < .n'[n-1 rn m
Igualmente los polos y ceros están intercalados en el eje
real negativo H es una constante positiva.
Notas preliminares.
Nuestra discusión en 3.b dedicada a redes RC, es también
* Para mayor detalle "ver (2).
- 64 -
aplicable para síntesis de redes RL y RLC.
La referencia es hecha para 3.b.5 hasta 3.b.l2 en el capi-
tulo 2.b concerniente a la síntesis de las diferentes fun-
ciones de transferencia T (s) definidas en 2.a.l.
En esta sección discutiremos problemas de síntesis de re-
des RL usando secciones básicas del tipo 1 y 2 RL.
3.C.2 Obtención de z
transferencia .
, o - de la funci°n de
La discusión en el capítulo 3.b.2 es igualmente aplicable
para problemas de síntesis de redes RL, RC y RLC.
Para las funciones de transferencia (s) , A(s) la refe-
rencia es hecha en las Eqs. 3.b.7, 3.b.8 y 3.b.lO, para
las funciones de transferencia Y (s), G(s) la referencic
está en las Eqs. 3-b.ll, 3.b.l2 y 3.b.l4.
Sección que produce elk cero de transmisión itil y
R, (k) Ib i
R (k)a
-, 00
-W>A-
Y (k)=N/(s+(T )a K A
responsable para elc. de transmisión. _^
• - -k+1 - Y.k+1
I1 1I y* _ _' k ~ Z*
(a)k
l _ Sección que produce el k J.j cero de transmisión ¡
Rb(k)
,. responsable para el ceI ro de transmisión s= (J
1 lk+.l Z.
J _1
k+1Y*
(a)
Fig.3.10
Sección que produce el¡ k cero de transmisión
Vk)
IJ ^AA v
Y (k)=1/sL (k)3. 3.
responsable para elc. de transmisións = O I
1 1IY* = •——k Z*1
z =k Y(b)
Sección que' produce elcero de transmisión
soz, (k) = s L, (k)b bresponsable para el c;de transmisión s = oo :
1 • ~1 '
„ i 1 ¡ „* ik+1 z., , „ k Y*
:Ga(k)=FTk)f -
•*!'
"""k Z,
Pig.3.11 (b)
- 65 -
'3.C.3 Síntesis con una sección del tipo 1-RL.
Deseamos sintetizar una Z-, de excitación RL con sección
del tipo 1-RL, como se ve en (le)' de la tabla 2.1. o
fig. 3.10, dejando otra Zv .. de excitación a ser sinte-
tizada. Consideramos- esta sección del tipo 1-RL como pro
ductora del kth cero de transmisión responsable para el
cero en s -- C^k. _ s.c.3.
Procedimiento :i
Paso 1: Evaluamos Z en (-^k)si Z. (- ^k) 0 , encontra_
mos que R& (k.) = Zfc (- k) ' 3.c.4.a
para la rama resistiva en la fig. 3.10.a. Si Zk(
no es realizable.
Para justificar el paso 1, examinamos la fig. 3.10.a y no
tamos Zk .= Rb.(k) + zfc*.. , . . . . .. .
Y (k) = N, /(s+ °"k) =t» y z (k) = I/Y (k) - O, para s =-0"k,a • K a o.
z'* (- °" k) = 0 porque Z (k) (- k) = O yK. ~ el
= (ZkVs = -ff,-K
que es idéntico con (3.c.4.a). Para Zk (-CT )<0; R (k)
como una resistencia negativa no es realizable.
o equivalente Rb(k)+0 = Z,(- ^ k)
Paso 2: Podemos determinar Zfc* y Yfe* en la fig. 3.10.a
con Zk* = zk - Rb(k) = Zk-Eq (3.c.4.a) 3.c.4.b
V = k 3.0. 4.c
entonces la fracción parcial Yfc* en la forma:
v - v*>«k+1 - Y i - 1/La(k)S k s+Ra(k)/La(k)
3.c..4.d
- 66 -
donde,
Mk = lim Cs.4- '°~k! Yk* 3.c.4.e
s—»• - k
y finalmente los elementos de Y (k)
La(k) = l/Nkí Ra(k) = 3.c.4.f
Para justificar el paso 2: de la fig. 3.10.a; las relacio-
nes en 3.C.4 son obvias; la Eq. 3.c.4.e es simplemente una
expresión standar us-ada para la evaluación de la constante
^ en la fracción parcial de la forma 3.c.4.d y las expre-}c
siones en 3.c.4.f son obtenidas- identificando las expresio-
nes de 3.c.4.cL
Paso 3.- Con Y (k) = NT / (.s-f k). ya obtenido, encontramos:~ - a je
Yk+i - V - V-k> 3-c-4-g
zk+l = 3-c-4-h
Estamos listos para s-intetizar z,-, con la sección k+1
Síntesis de el caso especial del tipo 1-RL con un cero de
transmisión. en s = o.
Consideramos el caso especial de la sección del tipo 1-RL
de la fig. 3.10.b cuya rama principal produce Ya (k). =
1/s L (k) un cero de transmisión en s = oel
El procedimiento es- el mismo anterior con las- siguientes
modificaciones :
- 67 -
Usamos Y (k) = 1/s- L (Je), en vez de. Y Ck) = N:/(s+ 6" k). enci ci 3. .Kl
3.c.4.d S.c.S.a
Usamos L, Ck) = I/ lim ('s- YT *)' en vez de 3.c.4.f 3 c 5 bi s->o: k J
3.C.4.C Slntes-is con una sección del tipo 2-LR-,.
Deseamos sintetizar una Y, de excitación RL (o Z-, ='i/Yk'):o:on
una sección del tipo 2-RL como s-e ve en C2c] de la tabla
2.1 o la fig. ;.,3.11.a, dejando otra Y, - de excitación* "
a ser sintetizada. Consideramos esta sección del tipo
2-LR como productora del K£j cero de transmisión , respon-
sable para el cero en s — -
Procedimiento:
Paso 1: Evaluamos Yfc en (- °"k) Si Yfc(- «^"k) o
encontramos G_ tk) = Y-C-°"k) ; Ra Ck) = 1/G_ Ck) 3,c.6.ad _[< o. d
para la rama resistiva de la fig. 3.11.a. Si Yk(- °~~ k) <Co
no es realizable.
Justifiquemos el pas-o 1, examinamos la fig. 3.11 y notamos
que Yv = G3(k) + Y *J\- GL JS.
Z, (k) = M,s/(s-t-<5"~k) = °° y YbCk)= l/Zb(.k)=o ; para s = - k;
Yk* (- k) = o por que Y (k). (- k) = o y (G& (k) +Y, *)/s=- k
- (Yk)/s =- k
o equivalentemente G Ck). + o = Y, (.- k)
Pas-o 2: Ahora determinamos- Yfc* y Z * en la fig. 3.11.a con
- 68 -
Yk = Yk ~ Ga(:kl " y-fc-Ecí> G3y.C/.£.a.l 3.c.6.b
zfc* - I/Y* 3.C.6.C
y la fracción parcial z,. * en, 1a forma;
3.c.6.d
donde, M-, evaluamos- con:
= lim s+ • ( - f c Z*- Je 3 . c . 6 . e
s- -» - k. s-
y finalmente encontramos- los- elementos- de zfi (kj con
LfcOU = k_
Para justificar el paso 2; de. la fig. 3.11.a; las- relacio
nes- en S.Cvó.b son obvias-, la E.q. 3.C.6. e es- simplemente una
expresión standar usada para la evaluación de la constante
JXL en la fracción parcial de la forma de 3.c.6.d y las ex-
presiones 3.c.6.f son obtenidas- identificando las- expres-io
nes- de 3 . c. 6 .d.
Paso 3: Con z (k) .= M,_ s/Cs+^k) conocido, hallamos
Zk+l = Zk* ~ 3..c..S,g-
Yk+l = 1//zk+l 3.c.6.h
- 69 -
Estamos- listos para sintetizar Y con la sección del ti-
po (k+1)
Síntesis- de el caso especial del tipo 2-RL con un cero de
transmisión en s = °°
El cas-o especial lo vemos- en la fig. 3.11.b cuya rama prin
cipal 2,-^ (k) = s- LT- Ck] produce un cero de transmis-ión en
s — oo
El procedimiento es- el mismo anterior con las- s-iguientes
modificaciones:
Usamos Z^ (k) = s- L ,Ckl en vez de Z^ (je); = JVL s-/ Cs+<r k). en
3 . c. 6.d. 3.c.7.a
Usamos L, (k) = lim (1/s) z * | en vez de 3.c.6.fD L, K j
s —> co 3. c. 7. b
Notas sobre la. realización física: ¿Qué sucede si la Y,
de excitación es encontrada no realizable con una sección
del tipo 2-RL. La referencia esta en 3.b.22.
3.C.5 Procedimiento para síntesis de funciones de trans-
ferencia con secciones del tipo 1 y 2 RL.
La discusión del capitulo 3.b.5 para redes RC, es aplica-
ble con ciertas modificaciones a síntesis de funciones de
transferencia:
T(s) = H P (s) o T(s] =_H P (s) 3,c.8
Q(s) Q(s)
- 70. -
con s-ecciones- del tipo 1 y 2 RL.
Parte A.
De la función de transí eren cia dada T Cs-I en S.c.8, ob
tenemos los- parámetros- as-ociados- z,-,., , z97 o -yx-i , Yo?
con los- métodos- des-critos- en 3.b.2.
Parte B.
Determinamos- los- ceros- de tra.ns-misi.6n,, es-to es: los- ceros
de z~-, o -YO-, / entonces- predecimos- las- configuraciones
de red usando las- técnicas- descritas- en el capitulo 3.c y
2.d.
Parte C.
Sintetizamos- z91 o y no como una z Co Y] de excitación de
acuerdo con la configuración de red predicña con la ayu-
da de los- siguientes procedimientos-;
- Para sintetizar una s-e.cci6n del tipo 1-RL en la fig.
3.10.a us-amos- el/procedimiento en 3.c.4, pa.ra sinteti-
zar el caso especial en la fig. 3.10.b modificamos- el
procedimiento con 3.C.5. 3.c.9.a
- Para sintetizar una sección del tipo 2-RL en la fig.
3.11.a us-amos- el procedimiento de 3.C.J5, para sinteti-
zar el cas-o especial en la fig. S.ll.b. modificamos- el
procedimiento con 3.c.7. 3.c.9.b
Parte D.
Para una red con una carga R2=l' en 3.c.8; usamos el pro-
cedimiento de 3.b.5.D
- 71 -
S.c.6 Condición para. la. realización con secciones- del
tipo 1-RL, 2-RL.
Condición para la realización de Z-, con una sección 1-RL.
Una Z, de exciit ación que satisface las- condiciones 3.b.l7
debe también s-atis-facer las- siguientes condiciones a fin
de ser realizable con una sección del tipo 1-RL, que pro-
duce un cero de transmisaón en s- = -°k.
Condición: :d_. > o
s-
(_. ); > o 3.0. 10
Justificación: Con referencia al procese- de síntesis aso
ciados- con S.c.4 y fig. S.lQ.a tenemos;
v * — 1 1 vYk = _L_ = ± = _JS +
Z, * Z,-R (k) s+ k2k* Zk-Rb(k)
Nr debe ser una cantidad positiva a fin de que L (k) =k 3-
y R (k) = ^ k sean pos-itivas y entonces reali-Jc a -N, zables.
N. - (s+^k) Y * . = S+ >Q 3,c.1l.B' —
1 > or> (d/dg) (zk)/s=! _
Para que N, sea positivo debemos imponer la condición
3.C.10.
Condición para la realización de Y-, con una sección del
tipo 2-RLX,
- 72 -
Una Yv de excitación que satisface, las- condiciones 3.b.l9
debe también satisfacer las- s-iguientes condiciones a fin
de ser realizable con una sección del tipo 2-RL, que pro-
duce un cero de transmisión en s=- "k.
Condición: (_d^_ y ) - <Q 3 _ c _ 1 2
d k / s=- O" k
Justificación: Con referencia al proceso de síntesis aso-
ciado con 3.C.6 y f.ig. 3.11.a tenemos:
1 1 Mv sZ * = — = - * + Z 3.c.13.a
Yk* Yk~Ga
debe ser una cantidad positiva a fin de que L, (k) =" JD
Y Re (k) '= M , sean positivas y entonces realiza
bles :
Z* (s/s= _ O k ~ _
-i/ak3.c.13.b
Para que M-^ sea positivo, debemos imponer la condición
3.C.12.
- 73 -
CAPITULO 4
PROGRAMA DIGITAL
4.a.l Objetivo:
Sintetizar funciones de transferencia o parámetros de
red. Con ceros de transmisión imaginarios puros o
reales negativos, en el origen e infinito para obte-
ner cuadripolos pasivos tipo escalera, con elementos
LC; o RC, RL, y RLC.
4.a.2 Método de solución:
Este se basa, en que los ceros de transmisión de la
función de transferencia, al ser evaluados para el
parámetro de Z o Y de excitación de la red, nos da
como resultado el elemento de la rama auxiliar de la
sección básica, luego modificando esta Z o Y, y si-
guiendo un modelo standar, para encontrar el residuo
de la fracción parcial se determinan los elementos
de la rama principal de la sección básica, el número
de estas secciones de que se compone•la red depende
del número de ceros de transmisión que tenga la fun-
ción de transferencia. Luego con la Nueva Z o Y
estamos listos para seguir con la síntesis de la pró-
xima sección básica según el nuevo cero de transmisión.
El proceso culminará o la red será totalmente sinte-
tizada, cuando todos los ceros de transmisión de la
función han sido desarrollados. El programa hace
las modificaciones necesarias al método anterior pa-
ra cuando el cero de transmisión está en el origen o
infinito.
Estos pa,sos de. solución, han. sido estudiados; en. el. Cap,3.
- 74 -
4.b Descripción de los programas
Descripción del programa para sintetizar redes RC, RL
o RLC.
El programa sintetiza los parámetros de red Z^-i/ Z22
o ~yy ir Y22' Para obtener redes RC, RL o RLC. de las
características de la función de transferencia sabemos
que tipo de elementos tendrá la red. Damos a la varia-
ble KU el valor de Q, si la red será RL y 1 si. será RC.
Sin embargo si los parámetros de red tienen el mismo
conjunto de polos finitos, podemos omitir este dato,
ya que el programa se encarga de encontrar que tipo de
red será.
El programa desarrolla parámetros cuyos exponentes son
hasta el grado 14, sin embargo podemos incrementar ca-
pacidad de ejecución del programa, para poder sinteti-
zar 'funciones dé red cuyos polinomios sean de mayor gra_
do, naturalmente hay que hacer las respectivas modifica_
ciones en los dimensionamientos.
El programa consta del programa principal y de 9 subruti-
nas, siendo la más importante la subrutina REDRC ya que
en ella se desarrolla el modelo matemático para obtener
las redes RL(C) o RC(L). Las otras subrutinas son auxi-
liares que desarrollan ciertos pasos del modelo matemáti
co siendo llamadas por la anterior subrutina.
Cabe anotar que este programa sintetiza funciones de trans
ferencia que tengan ceros de transmisión reales negativos,
en el origen e infinito. .
Descripción del programa para sintetizar redes LC.-
El programa que sintetiza funciones de transferencia para
redes- del tipo LC consta además del programa principal de
- 75. -
10 subrutinas; igualmente aquí hay subruti.nas principa-
les y auxiliares •; son principales- la subrutina AISLA , ORI_
GEN Y PINITO; el modelo matemático es seguido en el pro-
grama principal. Para este caso los ceros de transmisión
son imaginarios- puros; en infinito y en el origen.
A continuación se detallan los- respectivos programas prin
cipales y subrutinas-.
Programa para redes- RL, RC, RLC.-
Programa principal: En primer lugar lee los exponentes
de los polimov.ios, así como el parámetro KU que determi-
na si la red será RL o RC en primera sección: además si
los parámetros son impedancia o admitancia. Luego lee
los coeficientes de los polinomios numerador; y denomina-
dor de los parámetros de excitación y transferencia; de-
termina si los polos finitos son iguales en ambos parame
tros; si no son iguales- determina los elementos adiciona~
les a la red. A continuación encuentra los ceros de
transmisión de la función imprimiendo estos; haciendo lue_
go la llamada a la subrutina REDRC que des-arrolla el mode
lo matemático.
Subrutina REDRC. Este programa sintetiza el parámetro
de excitación, de acuerdo al modelo matemático dado en
el Cap. 3 Eqs 3.b.20 o 3.b.23 si son secciones del tipo
1-RC o 2-RC y Eqs 3.c.4 o 3.C.6. si son secciones del ti
po 1-RL o 2-RL; para los diversos ceros de transmisión,
el programa se encarga de determinar el tipo de sección;
según esto la red será RL, RC o RLC.
La subrutina llamará a otros s-ubprogramas s-egún la nece-
sidad de operación; los resultados se imprimen de rama
básica en rama Ibásica y al final los elementos de la ra-
ma auxiliar.
- 1¡6 -
S;uBrut±na. FRACCl: Des-arrolla un proces-o que nos permiti-
rá encontrar los- valore.s; de los- elementos de la rama prin
cipal de la red.
Subrutina EVALÚA:. Evalúa los- polirLoiTii.os- numerador y deno
minador del parámetro de excitación para el cero de trans_
misión respectivo, y encuentra la Relación de estas eva-
luaciones; para determinar el valor del elemento de la
rama auxiliar.
Subrutina RESTE: Modifica la función de excitación ya sea
para determinar los- elementos- de. la rama básica o iniciar
el proceso para un nuevo cero de transmisión.
Subrutina DIVIDA: Divide el polirjomio numerador para el
denominador se utiliza especialmente este subprograma pa-
ra encontrar los valores de los elementos en ceros de
transmisión en el infinito.
Subrutina REDUCE:- Reduce la función de excitación de tal
manera que las funciones de excitación y transferencia
tengan los mismos polos finitos-.
f
Subrutina INVTER: Invierte el polinomio numerador al de_
nominador y vi ce ver sa-x.-.í .-
Subrutina DERIVA: Deriva un poliryornio dado y evalúa la
derivada para un cero de transmisión determinado; permi-
te conocer si la rama será del tipo RL o RC.
Subrutina PRUEBA: Comprueba que los coeficientes- de los-
pol±rjomios no s-ean negativos-; de ser así. da el mensaje
de error; y para el ejemplo, ya que la función no será
s in t et i z ab le.
- 11") -
Programa para redes- LC
Programa principal: Inicia con la lectura de los- exponen
tes de los polinomios- de la función de trans-f erencia; así
.como la variable JT que nos- permite conocer si los- pará-
metros son de impedancia o admitancia. Lee los- coeficien
tes de los polimomios- del parámetro de transferencia; ha-
ce la llamada para encontrar los- polinomios- del parámetro
de excitación,. encuentra luego los- ceros- de transmisión
de la función; imprimiendo los- anteriores- parámetros y coe_
ficientes. Luego de acuerdo con las- condiciones de la fun
ción dada, procede a ejecutar el modelo matemático de las
s-ecciones- del tipo 1—LC s-egún las- Eqs- 3. a. 12 hasta 3. a. 18
o del tipo 2 LC s-egún las- E.CJS- 3. a. 21 hasta 3. a. 2 7 para ob_
tener la red deseada.
Por último imprime, los^ valores- de. los e.lementos- obtenidos-
tanto de. la rama Bás-ica como de la principal.
Subrutina ORIGEN: Cuando los ceros de transmisión están
todos en el origen, esta subrutina se encarga de sinteti-
zar la red, imprimiendo los valores respectivos.
Subrutina FINITO: Esta subrutina sintetiza la red cuando
todos los ceros de transmisión están en infinito imprimien
do los valores respectivos.
Subrutina AISLA: Obtiene los parámetros de excitación y
transferencia que permitirán sintetizar la red, tomando
la función de transferencia dada; el proceso es según el
modelo matemático del Cap. 3 Eqs 3.a.4 hasta 3.a.8.
Subrutina NUEVA: Cuando se ha s-intetizado la función de
transferencia y la red predicha resulta no realizable. Es-
ta subrutina asigna los valores originales al parámetro
- 78- -
de excitación, de tal manera que. '£n±.c£e a s-inte.tiza,r una
nueva red predicHa.
Las subrutinas- FRAC'C, DIVIDA, RESTE, EVALÚA nacen la, mi&-
ma función que las- análogas- subrutinas- del anterior pro-
grama, pero el método es- distinto por las- características
propias de cada programa.
Las subrutinas INVIEB. y PRUEBA han s-ido ya des-critas- en
el anterior programa.
DIAGRAMAS- DE?FLUJO DEL PROGRAMA PARA
REDES RC, RL, RLC
- 79 -
DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA PRINCIPAL
( i N I C I O )
L E E R M, N,M2f N2, JT, KU
'LEERM IOS P S , C , B
(GALL P R U E B A )
NO
/ LEER QS /
OBTENER LOS ELE-
MENTOS ADICIONALES
ELEMENTOS
ADICIONALES
CALCULO DE LOS CEROS
DE TRANSMISIÓN
v
I M P R I M ELOS CEROS
( C A L L | | R E P RCL)
( EN D)
- 80 -
DIAGRAMA DE FLUJO DE JA SUBRUTINA DERIVA
J=1,WN-1
N I CÍO
MN G R A D O DEL
P O L I N O M I O D (J )A SER D E R I V A D O
PRT=(PR l*POR+D(J+l)CMN-J)r
P R l = M N * D ( l )
DIA&RAMV DE FLUJO DE LA SUBRUTINA INYIER
M=M1-1
N = N 1 - 1
1
E T U R N
« 81 •*.
DIAGRAMA DEJl'LUJO DE LA SUBRUTINA REDRO
(iNICto)
N0/ RA,Z(1)= > S'
CONTAR LOS CEROS
.CONTAR LOS CEROSK=1 . M2
cCALL EVALÚA y
NOCAM3IE EL ORDENDE LOS CEROS DE
T R A N S M I S I Ó N
DA ('íf\rlA 1 IV) =*
ENCULA
ES 1
("CALL
ENTRA SISECCIÓN
3L O RC
\
FRAC!
- 82 -.
CAMBIA ELORDEN DELOS CEROS
HALLAR SI LA SEC-CIÓN ES RL O RC
(CALL FRACC1 )
RA(K)/(*f
RB(M22)
RA(M22)
- 83 -
DIAGRAMA DE-FLUJO DE LA SUBRUTINA RESTE
X17 K=2. M1
\
C(K) = C(K)-R*B(K)
C(K)=C(K)-R*B(K-1)
(RETURN)
- 84 -
DIAGRAMA DE FLUJO DE LA SUBRUTIRA-DIVIDA
tETURNi)
DIAGRAMA DE FLUJO DE LA SUBRÜTBTA EVALÚA
ZZ-ZZ.PH-C(I + 1
DIAGRAMA DE FLUJO DE LA-SUBRÜTINA REDUCE
(IINICIO
E(2)= ABS(POR)
;=1 ,M
G(K)=C(1
-c
(^RETURN)
C(L)-G(I)
G(M
- 86 -
DIAGRAMA DE FLUJO DB LA SÜBRUTIFA P3ACC1
><8 K=1 , N )
D(I)=D(m)-G(KME(H-1)
M*G(J) V
(_ R E T U R N )
NO
OO ''JJ-l; N "><
- 87 -
DIAGRAMAS DE FLUJO DEL' PROGRAMA PARA
REDES LC
- 88 -
DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA PRINCIPAL
IN ICI O
L E E RM2 N2 .JT
LEERI), QS(I)
(CALI I AISLA )
CALCULO DELOS CEROS DETRANSMIS IÓN
N ITo)
B(K) C(K),M,N
CONTAR LOS CEROSK= 1 , LL
(CALL EVA LUA
ENCUENTRA ELELEMENTO DE LARAMA ADICIONAL
„ NO HALLA El; ELEMENTO ADICIONAL
(CALL || NUEVA )
siCALL FRACC
ENCONTRAR LOSELEMENTOS DE LARAMA PRINCIPAL
ELEMENTOS DELA SECCIÓN
89 *
CONTAR LOS CERCK = 1 , I L
CALL EVALÚA
ENCONTRAR EL^ELEMENTO; DÉLARAMA AUXILIAR
(CALL
CALL ORIGEN
CALL RESTE
SI /NO=1XN°
FRACC
ENCONTRAR LOSELEMENTOS D E LARAMA PRINCIPAL
ELEMENTOS DELA SECCIÓN
so -
DIAGRAMA DE FLUJO DE LA SUBRUTIKA. ORIGEN
CALL F R A C C
DIAGRAMA JDB FLUJO DE LA SUBRUIINA FINITO
CALL DIVIDA
K=K+1
- 92 -
DIAGRAMA DE PLUJO DE LAJSUBRUTINÁ DIVIDA
I N I C I O
r K= NN,10
B (K) = O
BR =
9 I = 1,M,2
C(l)=
R E T U R N
¿- S3 -
DIAGRAMA DE FLUJO DE LA SUBRUTINA AISLA
B(I )=QS(I )
B(l+1)=0
N=N2-1
R E T U R N
r-<6 I = 2 , N E , 2i > .
C ( I ) = 0
94, --
DIAGRAMA DE FLUJO DE LA SUBRUTUJA líUETA
DIAGRAMA DE FLUJO DE LA SUBRUTISA RESTE
C(K)=C(K)-B(K)BR
C(K)=C(K)-B(lO-2)BR
II
_t
. - 95 -
DIAGRAMA DE FLUJO DE LA SÜERUTINA PRACC
r
E(1) = 1
= CABS(POR)**2
K - 1 . H . 2 >
BOO=D(t)
-<6 1 = 1, N, 2
D(l)=D(H-2) -
M = N-1 J^CALL EVALÚA
1= 1 , N, 2
C(I)=C(I)-BM * BU)
_J
K= 1 , M, 2
C(K)=F(1)
,
1 = 1 , M,-2
FO)=F(l-i-2)-C(K>E(l+2)
R E T U R N )
- 96 -
4.d Resolución de ejemplos-. (.*).
Comparación de res-ultados-
Ej. 4.d.l Para una red del tipo LC
Siendo la función de transferencia
v ( ^ TT P C&) _ Cs-2+l)' Cs2+4)Yf ( S) = - H Q ) -s-y - F * —
39 § + 115 + 65s +175 +205+4
Obtenemos- los- parámetros- asociados según 3. a. 10
Cs-2+4) _ Hs4+17s2+4
^S 3 99
39s +65s +20s- 39s
y los ceros- de transmisión de —yp-i son:
Con los ceros de transmisión y según el Cap. 2.d prees-
tablecemos la red; existe otra configuración de red se-
gún, -si la red anterior resultare no realizable; estas
redes se pueden ver en el apéndice 1 fig. 3.a.2.
Síntesis de. la red preestablecida con secciones del ti-
po 1-LC.
„. _ , / _ 39s5+65s3+20s según (3 .a. 12) a (3 . a. 18)/,:). -
1. Para s = + jl.
Paso 1: zi.Cjl) - - = 3j' 11-17+4
-j- = 3 nr;
Paso 2:
. * _ 39s5+6'5s3+20s Q _ 6s-5+14s-3+8s-2 7- ~ 4 o 6s' ~ 4 •?
lis +17s- +4 lis +17s +4
(*) Ver referencia (5)
- 97 -
Y:J.* .=? i/z. .*
M4 = lim ' Cs^'-fl-I •(:i'ls-4-+'r7s-2'+4l_ 11-17'+4
L CD = i - f i í . c CU =1f.CL O.
Paso 3: ^ _ Hs:4+T7s^2+4 s; = •5s-4+9's^2+4 'i *-j —
2 6s5+14s-2+8s^ s2+l 6s-5+14s3+8s-
= •C5s-2+4): =
2 Cs2+Íl (.6s-3+8s-) 6s3+8s
2 - 1/Y2
2. Para s- = + j2
Paso 1: z ? ü 2 I = '^TC^H-Sl 2j8'0.-36-4
Lb(2) - 1 ñ.
Paso 2:
s-3+4s;_ _ __ es —
9 25s +4 5s +4
Y * - 1/Z2--
M2 - lim (s2+4) (5s2+4) =
S~^D"2 s &Cs2+4)
(2) & - h. C (2) = 1 f4
Paso 3:
' _ 5's- +-4 _- '4s- _ s-2+4"3 ~ " 7 T
s +4s- s^+4 s- +4s-
- 98 -
Cs2+4Y =3
3 r 2C s + 4 ) s s-
Z3 = ^3 = s 1^(3) = 1 h
V3)o WTsr-
(2)
V2)nmirffr—
Lb(1o Tnrnr
1'nrsr"
T
1/1
i
Red del Ej. d. 1
A continuación resolvemos la aplicación por medio del pro
grama digital correspondiente.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL "F.ACULTAO OE IN GFMIERIA ELÉCTRICA -,'.-•.JULIO O€ 1<3*3 "° ;
TESIS DE GRADOREALIZADO POR LUIS E» PESANTEZ S.PROGRAMA DIGITAL °A^A SÍNTESIS DE CUAORIPOLOS PASIVOSREDES ESCALENA
¿* ****************************************** **f**.-** ***;************ A* ********* A* **^
*.* PROGRAW-A PARA SINTETIZAR CUADR IPOL^S-ESCALJE^A
* CON ELEMENTOS DEL TIPO LCJU
* DE ACUERDO A LOS CEROS DE TRANSMISIÓN -**-» DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
í* *****************************************-=************************************'
***************************************
* ** *
0E -APfc-tGA-Ci-Q-N *-
fc
* ' " •'
i*,************************************.GRADO DEL NUMERAD 1R= 4 GRADO DEL DEN Ot«1I NAOOR= 5
»Q1_INIMIO C ( K >
11.00000 O . O O O O O l ' - O O O O O 0 .00000 4 .00000
P O L I N O M I O B Í K )
39.0000 0.0000 65.0000 0.0000 2 O . O O O O O . O O O O
LOS CEROS DE TRANSMISIÓN FINITOS SON:
* **** * *-**-*CERO DE TRANS.C 2 ) = O . O " '+J 1.0000OO.OCERO DE T R A N S . C 3)"= O.O +J 1^.9999990""-
ELEMENTOS DE LA BA MA, AUXILIAR
. ***********
^-- -J^(% \]\'v1 ) = . 3. (tá&lO'Ó'fr' HENR I OS A j\ '-Sp.'» \ ** '* '':
I-. 'V >h :. J! V
/ ;/"" / L B # " 2 > = O .999999_HENRIO5,_ <^/ .'• ,;' ,- _ ¿-"' • ' „ • , M '
/ ^ ' : : • • • • ^ - 1 - ' ' 1 . - . - -».¡''L8Í 3'j= 0.999995 HENR IOS \d i .. . , i ^j
.ELEMENTOS DE LA RAi.^A. BÁSICA
.(ñ)OOOO HSNRIÍOS i fcA%"jp^ 1.0000(
\ A^i í ÍU í Jl.-'' "
- 99 -
Ej.4d.2 Para la función de red:
YT(S) -*iii-Q(s-) (s+2). (s+5)
obtenga la red RC,
Obtenemos los parámetros- asociados según las- Eqs. 3.b.l2
y 3.b.l3.
(s+3) (s+6)' = (s+1) (s+4)
(s+2) Cs+5) 22 (s+2) (s+5}
Existen otros parámetros y^p que cumplen conla condición
3.b.l3.a para los cuales obtenemos otras redes para Yj(s),
La red preestablecida; según el estudio del Cap. 2d y 3b
es la de la fig. l.a.l del apéndice 1.
Sintetizamos con secciones del tipo 1-RC según las Eq.
3.b.20, siendo los ceros de transmisión s = -6 y s = -3.
1. Para s- = -6.
Paso 1: Z± =J^= Cs+2):Cs+5I== s2+7s+lQ
y22 CS+D; (s+4); s-+5s+4
l(-.6J = 1 j^cij = 2/5 - Q . 4 _n.
7 * _ s2+7s+10 2 _ 0.6s2+5s+8.4Paso 2: . z-¡ ~ — ~ — — -^
5 s- +5 s+4
Y±* -i
= lim Cs+6] (s2+55+4) = Q
s—*-6 s (s+6) (0.65+1.4)
R (1) - 1.32 .n. C_(l) = 0.1262 f.ci a.
- 10.0. -
Paso 3:
= s2+5s+4 __ 0. 75 s
2 0.6s2+5s+8. 4 s+6
0 .54 s2+3.93s+4
(s+6) ( O . G s + 1 . 4 )
0 .54 s+0.6 Z = I/Yo2 ~
0.6 s +1.4
2. Para s = -3
(-3) - 2 . 4 2 4 2 R C 2 1 = - - - = 0.4125
Paso 1:
Z o ( - 3 ) - 2 . 4 2 4 2 Rp,C21 =2 .4242
Paso 2- z *= °-6s+1-4 _ 0-4125 = 0.375s+1.125
0.54s+0 .6 0 .54s+0 .6s
= 1/Z2*
M, - lim I CO- .545+0 .6 )s-*-3 s- 0 .375Cs+3í
R (2) = 1.16 _n_ C (2 ) = 0 . 2 8 7 f.d cL
0 . 5 4 s + 0 . 6 _ 0.8619S _ 0 .22 s+0.6 =Paso 3: Y_ -
6 0 .375(s+3] Cs+3] 0 . 3 7 5 ( 3 + 3 )
* Y, = ±^L. Z = 1/Y3
' J 0 .375
Z3=1.6875 Rb(s) - 1.6875
Rb^'3^ ^b^' ^b^1^ • 1.6875 0.4125 0.4AAAA—
R C1) 1-16| | 1-323.
-C (1). 0.287-J- -LO.1262- a • T T
Redes- del Ej . d -2
-.•c * i£ í* A * * * * £ * * * >4í A - !< * íí •'c °c -'c *í í£
* • '
JÉ- /''^ i -ir'- r 1 fj\* po )r,q./\MA ' J A P A S T N T F 7 r l'^Aín '.f ilA'T^*,^1
* . '' --^ '. • ' ' cj '.J vy
* . CMN FLKMi-.-:MTns QEI_ TIPO RLC" *' "~ " " " - • - •
* ' HE Acuemn A LOS CFROS DE. TPANSMI ION* « ... "'* DE LA Fi/NCI 1M' Ó(S T.- ANSFERENC IA
****«Jc***is*************J:4:************ i;**********************-****
* * * : « K *.**•* -i í * A ^ * * * a * * # * * -fe * * * ;ír i * * * * * * ^ i-. ••-.-f ^
.ie t= JE M^L. n DF A P L T C A C M N ~
G R A D O O(3LNUMtRADr!R= ^ G R A D O DEL DENOMINADHR= 2
, . í z"! NIMIO C~f"<t"~)
1.00000 5 . 0 0 0 0 0 4.00000
P O L I N O M I O B ( K )
i . Q O O O Tv-3-O-O-í -TQ-.OO'OO: ; ' ; :
LOS CEROS OE TRANSMISIÓN SON
- i , 000 K -o . 3 0 0 - , ..•
ELEMENT-IS op LA RAMA BÁSICA************:(£**************: j
: A ( 1)= 3.000T1HM CAC 1)= O. 1 1 1 11 l ^ A R A O I O S
AL SER LA E V A L U A C I Ó N EN FL;CERO DE TRANSMISIÓN NEGATIVA
LOS VALORES INMEDIATOS ANTER TORF.S NO SQN VALIDOS
SINO L O S f?E>p-e"C"Ti:vos SIGUÍETW^S^c^cijc jácác1*** ifc'fct'ácác "íc 3? ste 4c ác ^c sx jfe ¿c 4c ^c ;sc "íc ác ^t ^fc 4c í í X"i r-jfc,jjr ¿fc-^fc i iir^v j c ¡ác "Je ¡íc de ¡}t^?wit 5k 3sc jfc ác ác ¡¿c "* t jíc
CAMBIAMOS EL ORDEN D t^'EV ALU^CION beL~'-CE --p,.&. TRÁ"N,S.MI S I ON»***>V
R A ( ,- ]
.A( a.).= .
os
' - C A (''" 2 )'=,, 0.?>B731'7'FÁR A^I O S,X' •/--'' '"'"•'.-.
E N T.ffe DÍ';"L A ;" FÍAM'AÍ'ri5ü¡xFO A R *>'•^ n • . .. . - yF - ^ . >* . T' * . . . í _ ¿«
( ?. ) t= i - -Q .4-1 a5«", O H M ]? . ¡ - i ' - . . ' ' ^i-;:^' -
- 101 -
Ej.4d.3 Dada la función de transferencia
Y fsí =
s + i0- s+33
Obtenemos los- parámetros según 3.b.l2
(s+1) Cs+31 y • _ s2+As+B• 91 92
s2+ ¿O s+3 s-2+ i° s+33 3
No conocemos A y B ya crue Q(sJ no es factorable
Los ceros de transmisión son s = -1 y s = -3'.
Determinación de los coeficientes A y B
De acuerdo a la red preestablecida en el apéndice 1, fig.
4a, la primera sección básica es del tipo 1. Esto re-
quiere que Z •]. = I/Y 2 o sa"tisfaga las condiciones de la
Eq. 3.b.l7. de aquí
Y22
s2+10/3 s+3-J- " "s As + B
con 3.b.l5 y s = -3 evaluamos
(-3)2+10/3(-3)+3
(-3) 2+A(-3)+B C9+B).-3A
Las condiciones- 3.b.l7 con Q definidas en la fórmula an-terior. ..
O e <• 1
lP/3 ^ aA 4J3.2
B
Podemos seleccionar cualquier conjunto A y B satisfacien
do por ejemplo: A = 8/3 B=2 Q = 2/3
La selección de A y B satisfacen las condiciones 3.b.l7
para la realización de una primera sección del tipo 1
- 102 -
asociada con s- = -3, paro no tenemos- la seguridad que 1a
segunda sección asociada con s- = —1 pueda ser realizada.
Si la segunda sección se encuentra no realizable, debemos-
tratar otros conjuntos- adicionales- A y B satis-faciendo
4.d.3.1¡ y 4.d.3.2 hasta que ambas- s-ecciones de la red pre
dicha sean realizadas.
„ _ s2+10/3 -s+3¿ _s- +8/3 s+2 f
Determinemos si la primera sección básica es del tipo
1-RL o 1-RC
C2S+10/3) (s2+8/3s+2)-(.2s+8/3) &2+10/3s+3) , __ _ /s=-J(s-^+8/3s+2)2
27
De acuerdo a 3.b.26 la primera sección será del tipo 1-RC
en la fig. 4a del apéndice 1.
Sintetizamos la sección 1-RC; para s = -3 de acuerdo a
3.b.20.
Paso 1:
z C-3) = (-3)2+(10/3) (-3)+3 = 2_
1' (-3)2+(8/3) (-3)+2 3
Rb.CH =2/3
Paso 2:
Zt* = Zi-2/3 = -
- 10.3 -
z * l/r3.g^+14/9s.+8/3
1 s-2+8/3s+2
Y * = 1/Z,* Y * =s+3
= lim Cs+3I- C&2+8/3s+2)
c o (s+3) C1/3S+5/9}S - T O
R (1) = - = 0 . 4 4 _n_ C (1) = -^ = 0 .75 f.
Paso 3:
2.25 sY = V * -2 ^1 s+3
= s2+8/3s+2 2.25s
2 (.s+3) (l/3s+5/9l s+3
= 3/12s2+17/12s+2 = 3/12s+8/12
2 (s+3) Cl/3s+5/9l 1/3s + 5/9
z =3/12s+8/12
Determinamos si la s-egunda sección básica es del tipo
1-RL o 1-RC según
,d ,(d Z2j/s= - <T2= - 1
= 1/3 (3/12+8/12) -3/12 (1/35+5/9)/s=_1 =||>O
(3/12s+8/12)2
De acuerdo 3.C.10 la s-egunda s-ección s-erá del tipo 1-RL
Sintetizamos la s-ección 1-RL; para s- — -1 de acuerdo a
3.C.4 .
- 10.4 -
Paso !;•'
(-11 =. -2/g = ' ÜL_5/12 15
15
Pas-o 2:
Z * = Z, - 8/15 =3/12s+8/12
_ 8/15
Z2 =T/5S+T/5
3/12s+8/12
* = 1/Z- * = Nos-
s+1+
= lim(s+1) (3/12s+8/12 _ 25
1/5 (s+1) 12
L (2) = - - - 0.48 tu R (2) = - - = 0.48a _. a -_N0 N0
Paso 3:
= Y * -2
25/12&
s+1
3/12s+8/12 _ 25/12 = 3/12s+3/12 = 15
1/5s-+ 1/5 s+1 1/5 (s+1) 12
3 = 12/15 Rb(3) - 12/15
12/15
0.48 :*•<
0 . 48 .]
i
8/15 2/3
>• t
f
a
: 0.44
0.75
Redes del Ej. d.3
PRJolAMA P A R A SINTETIZAR CUADPI"OLOS ESCALERA
CON ELEMENTOS DEL TIPO RLC
OE ACUERO'Q A LOS CEROS OE TRANSMISIÓN
******"*****
-'!. COu JO -1 .00 .JOO
LCS cl ÜS ,-f?£s TRANSMISIÓN-• ' •*. ' .' **4-r . '
•' i * -v"--..' *• *.-V ~'"v^ . ' "' ,-,-»•'
\ \'
\L E N T O S O E L A R A M A B Á S I C A
R A (
X748Qgfír AR AD I O 3~
O . 48Q4HENR IOS
ELEMENTOS ÓE LA R A M A AUXILIAR
0'. 66622
R B Í 2 ) = 0.53426 O H M I O S
RB( 3 )= 0 .79556 OHMIOS
- 10.5 -
E j . 4 d . 4 Dado el conjunto de parámetros-
_ s+3 v _ ' Cs+'2T Cs+51- ^21 s+4 t Cs+ij Cs+4);
Sintetizar para una red RL.
Vemos- que los- parámetros- no tienen los- mismos- polos- fini-
tos-.
De acuerdo a la discución del Cap. 2d. podemos predecir
la red de"la fig. 2.6.b y del apéndice 1 fig. 2.d-l y los
parámetros en la forma:
,_ s+3Yol ~ - 21 ~~
s+4
Y22 = * + YP =
Según la S.c.4.2
N- = lim C's+1)
s—--1
Nl = t
Entonces los elementos adicionales a la red son:
l o ' Ó~1 1 "5L CU = -^ = - h. y Ro(l) - —-^ - ¿ - - ^L
Nn 4 N, 4 4
entonces-: y, ' = y_ • - 3s+14
3s+12
Y :
s+4
- 10.6 -
El cero de transmi.s-i.6n es- s- = —3
Usando el cero de transmisión s- = -3 y según el Cap. 2d
predecimos la red del apéndice 1 fig. 2.a.l y para sinte-
tizar usamos- secciones- del tipo 1-RL s-egún 3.C.4.
Para s =-3
Paso 1:_3) = 3 (-31+12 = 3
3C-3I+14 5
Paso 2:
V =
= 3's+12 _ 3_ = -6/5S-H8/5
3s+14 5 3s+14
s+1
Cs+31 C3s+14) 25= lim
(s+3i
L (1) - — h RaCH = —a 25 25
Paso 3:
s+3
Y = 3g:+'14 _ 25/6 = 3s4-14-5 = 3s:+9
2 6 s+18 s+3 6 Cg+31 6(.s+3,
Y =96/5
1 2 ?Z2 = - = - R (2). = £ JL
Y2 5 5
- 107 -
s+4
3s+143s+12
L (1)0
R (Do
2/5 3/5
6/25
18/25
¿3/4
|3/4
Redes del Ej . d.-
****** *#**********%********************** *
EJEMPLO DE APLICACIÓN***i-%r*T*'W* *-#"3"¡pM<r*-:sr Hf^c^r^c^rif^^tri: :jrfc-*-$r$^Wr*^e
GRADO JELNUMERADOR- 2 GRADO DEL DENOMINADORA Z
' ~ HIJI_ £N I MTQ CTX T ~
1.00000 7 . 0 0 0 0 0 10.00000
POLINOMIO B C K >
r. u o u u -> • u u o u H- . UU <J U
ROCK)=1 ,L C.7SQO O
L O C K J = l , i _ 0.7500
•3 .00000T R A N S M I S I Ó N SOM
'LEiENTOS
*********
AR¡f -***** ;
- IB 8 -
COMPARACIÓN DE RESULTADOS
Los ejemplos anteriormente desarrollados han sido propuestos
en la referencia (.5) ; al comparar los- resultados- obtenidos en
esta sección como aquellos- de los programa de computación,
con los de la referencia respectiva, vemos que estos resulta-
dos son correctos; de aquí que el procedimiento seguido y los
programas de computación son aceptables y confiables.
Q
! i. uj !
i i
_L_L_
¡!!i
1
i
!t
"T"4_.. 1 !
! ! 1 ' : -i -
M ' i ¡ 1'-i- ! i í íi j ! TT^
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OJ
OJ
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- 109 -
4. e Forma de introducir los. datos. Formatos utilizados:.
Para el programa que sintetiza redes: RCf KL o RLC
Primera tarjeta: De la columna 1 a 2 el grado CM). del po-
linomio numerador del parámetro de excitación;
desde la columna 3 a 4 el grado (N) del polinomio denomina_
dor del parámetro de excitación; desde la columna 5 a 6 el
grado (M2) del polinomio numerador del parámetro de trans-
ferencia, de la columna 7 a 8 el grado (N2) del polinomio
denominador del parámetro de transferencia; de la columna
9 a 10 el indicador JT, de la columna- 11 a 12 el indicador
KU.
Todas estas variables tienen el formato entero I, con un
campo de .2.
Segunda tarjeta: ' Lee los factores del polinomio PS que
contine los ceros de transmisión; cada coeficiente con un
campo de 5 columnas, formato F5.2.
No importa el orden de lectura de los factores.
Si todos los ceros de transmisión están en infinito se omi-
te esta tarjeta.
Tercera tarjeta: Contiene los coeficientes del polinomio
numerador (C) en orden descendente de potencias, cada coe-
ficiente con un campo de 5 columnas, formato F5.2
Cuarta tarjeta: Contiene los coeficientes del polinomio
denominador (B) del parámetro de excitación, en orden deseen
dente de potencias; cada coeficiente con un campo de 5 colum
ñas, formato F5.2.
Quinta tarjeta: (opcional). Solamente si los parámetros
de excitación y transferencia no tienen los mismos polos fi
nitos (mismo denominador).
Contiene los factores del polinomio QS;
cada coeficiente con un campo de 6 columnas, formato F6.2
- 110 -
Hay que anotar que primeramente: se. leen los factores, comu-
nes a los parámetros de red,.
Para el programa que sintetiza redes: LC-
Primera tarjeta: Las siguientes: variables: se. leen con foj:-
mato entero I y campo 2. De la columna 1 a 2 el exponente.
M2; desde la columna 3 a 4 el exponente N2, de. la columna.
5 a 6 el indicador JT.
Segunda tarjeta; Corresponde, a los factores del polin.Q.m,i.Q
PS que contiene los ceros de transmisión; cada coeficiente
con un campo de. 1Q columnas, forjuato F?;1Q,.7.
No importa el orden de lectura de los factores.
Si todos los ceros de transmisión están en el infinito s:e.
omite esta tarjeta.
Tercera tarjeta: Contiene los coeficientes, del polinomio
QS, en orden descendente de potencias, cada coeficiente con
un campo de 8 columnas, formato FS8.5.
El programa está diseñado para desarrollar varios ejemplos
a la vez.
Una muestra práctica de la anterior explicación se da en
la hoja de codificación dada a continuación; para los ejem
píos dados en el Cap. 4.d.
4.e.l Restricciones de los programas
Los programas están en capacidad de sintetizar funciones de
transferencia y parámetros de red, cuyos polinomios tienen
exponentes hasta de grado 14.
El número de ceros de transmisión que se puede tener es co-
mo máximo 15.
Los programas sintetizan funciones de transferencia cuya
distribución de ceros de transmisión se discutió en el Cap.
2.d; Eqs (2.d.5¿)
- 111 -
4 ..-fr Nomenclatura de los Programas.
a. Nomenclatura para el programa que sintetiza redes
RC, RL y RLC.
Variables de entrada
Símbolo Descripción
M Grado del polinomio numerador del paráme-tro de excitación.
N Grado del polinomio denominador del pará-metro de excitación.
M2 Grado del polinomio numerador del paráme-tro de transferencia.
N2 Grado del polinomio denominador del pará-metro de transferencia.
JT Si damos el valor de 1, los parámetros sonz.-, si damos el valor 2 estos son y. ..
KU Damos el valor de O, cuando la primera sec_ción es del tipo RL y el valor de 1, cuan^do la primera sección es del tipo RC.
C Coeficientes del polinomio numerador delparámetro excitación.
B Coeficientes del polinomio denominadordel parámetro de excitación.
PS Factores del numerador del parámetro detransferencia.
QS Factores del denominador del parámetro deexcitación, dado cuando los polos finitosno son iguales en los parámetros.
Variables de salida
Ro(k) Resistencias adicionales al cuadripolo,
cuando los parámetros de excitación y trans
ferencia, ño tienen los mismos polos fini-
tos.
LO(X). In.ductanci.as- adi.ci.onale.s- al cuadripolo, cuan
do los- parámetros- no tienen los- mismos- polos-
finitos-.
CO(K) Capacitancias- adicionales al cuadripolo, cuan
do los- parámetros- no tienen los- misinos- polos
finitos-,
RA(K) Elementos de la rama básica en secciones del
tipo 1, y elementos- de la rama auxiliar en
secciones- del tipo 2.
RB CK) Elementos de la rama básica en secciones del
tipo 2, y elementos- de la rama auxiliar en
secciones del tipo 1.
LA(K] Elementos- de la rama básica en secciones- del
tipo irVEL
LB(K) Elementos de la rama básica en secciones del
tipo 2 RL.
CA(K) Elementos'- de la rama básica en secciones del
tipo 1 RC.
CB (K) Elementos- de la rama básica en secciones del
tipo 2 RC.
Nomenclatura para el programa LC
a. Variables- de entrada.
Símbolo Des-cripción
M2 Grado del polimomio numerador de. la función
de trans-f erenci'a.
N2 Grado del polimomio denominador de la función
de transferencia.
JT Si damos- el valor de 1; los parámetros- s-on z. .,
si damos- el valor 2 estos- s-on y. . .IDPS Factores- del numerador de la función de trans_
ferencia.
- 111 -
QS Factores- del denomina,dor de. 'la función, de.
transí ere'n cía,.
C Coeficientes- del polinomio numerador de.1 pará-
metro de excitación.
B Coeficientes- del polimomio denominador del pa-
rámetro de excitación.
b. Variables- de s-alida.
LBO Elemento de la rama auxiliar adicional, en sec-
ciones del tipo 2.
CAO Elemento de la rama auxiliar adicional, en sec-
ciones del tipo 1.
CA(K) Elementos de la rama básica para secciones del
tipo 1, o elementos- de la rama auxiliar para
secciones del tipo 2.
LB (K) Elementos- de la rama básica para secciones- del
tipo 2, o elementos- de la :rama auxiliar para
s-ecciones del tipo 1.
CB (K) Elementos- de la rama básica para secciones del
tipo 2, o elementos de la rama auxiliar para
secciones del tipo 1.
LA(KI Elementos-de 'la pama, b:ás.i;ca para s.-eccipnes- del
tipo 1, o elementos* de la rama, auxiliar- para.
secciones- del tipo 2.
CAPITULO 5
APLICACIONES'
Las técnicas de síntesis de parámetros de excitación y
transferencia descritas- son usadas para funciones que pue-
den ser realizadas usando s-ecciones LC, RC o RL para obte-
ner redes con dos- o tres tipos de elementos-.
La estructura aquí usada para la s-lntes-is de funciones de
transferencia especialmente la red es-calera LC con doble
R terminal, es- muy popular para el diseño de filtros- pasi-
vos. Esta estructura sirve para realizar funciones- de trans_
ferencia con polos- en el semiplano izquierdo s, y ceros- de
transmisión en el eje imaginario jw, por lo tanto permite
la s-íntesis- de funciones- para obtener filtros Butterwortíi,
Chehvs-ñev, Eés-s-el, - Elipli.cas-, especialmente en filtros si-
métricos. Una importante característica de estas estructu-
ras escalera es- que ellas pueden ser diseñadas para produ-
cir una muy baja sensitividad en filtros paso bajos (deja
pasar las frecuencias bajas- hasta una frecuencia de corte
we y atenúa las- mayores] .
Las topologías- de red es-calera LC con doble R terminal s-on
usadas en la realización de filtros- activos- de baja sensi-
tividad.
A continuación s-e dan dos- ejemplos- prácticos- de filtros
Aplicación 5.1 C*i .
Sintetizar .una red LC, terminada en 1-n.que satis-face los
requerimientos normalizados pas-o bajo que se ven en la
fig. 5.1
C*l Ver la referencia C3 I
Pérdidasdb
0.1 db.
SO dB
1.S
Solución:
Siendo la función elíptica requerida, según las tablas (3)
y, , = (s2+3. 476896) (.s2+8 . 2273914)
s5+1.7265s-4+2.79873s3+2.47783s2+l,57136s+0.51647
En primer lugar encontramos- los parámetros- de excitación
y transferencia s-egún la Eq. 3. a. 10.
Ya que el numerador es- par entonces-:.
PCs)21~ 22 Q±(s;
Para nuestro cas-o H = 1 siendor
Q±(s) = s5+2.79873s3+1.57136s
Q (s) = 1.7265s4+2.47783s2+0. 51647
Cs2+3 . 4'76'8'9:&r ' Cs-2+3'.'22739'14í5 3s +2.79873 sj+l. 57136 s
^221.7265&4+2. 47783 s2+0. 51647
s-3+2. 79873 + 1.57136 s
Podemos ver que la función tiene ceros de transmisión en:
S]. = oo s2=+ 1^3.476896 y s3=+jNy8.2273914
Procedemos a la síntesis según lo estudiado en el Cap. 2c,
2d, Cap. 3a.
La red preestablecida para la función es del tipo de la
fig. 2.5.b.
De aquí que sintetizamos con secciones del tipo 1-LC según
las- Eqs-. 3 . a. 12 a 3 . a. 12 .
1 s-5+2.7?873 s-3' + 1.57136 &¿¿ —
1.7265 s-4+2.47783 s2+Q.51647
1. Para el cero de transmisión s=+j v / 8 . 2 2 7 4 9 1 4 = +j 2. 86834
Paso 1:
.7 t • o o e o - a / M - (1. 2. 86834) 5+2. 79873 (1.2. 86834) 3+l. 57136 (12. 86834)- 6 ^ 1 3 z . ü b o j 4 ; — - - T - -""--•:::•• 1 . 7265(1 .2 .86834) +(j ;2. 86834) +0.51647
z1 ( 1 . 2 . 8 6 8 3 4 ) = 1.367 > 0
Como 1.367 0 la primera rama auxiliar de la sección de
^ la fig. 3.2 es inductiva.
"" -L (1) = - - -" = 0 . 4 7 6 h.
W- 2 ,8683
Paso 2:
Z1 - s Lb(l)
0.177 s5+0.1611s3+1.325 s
1.7265s4+2.47783s2+0.51647
V
¡YLs:y * = ~\ * Y * = __ — _ -i- v1 -"-/¿i 1 9 2
s +8 .22739
£ = llm (s2+8. 22739 y
s ^ j . 2 . 8 6 8 3 4 s
M . = 9.1 y L CU = — ; C CU =. . —9.1 8 .22739
Que son los elementos- de la rama básica.
Paso 3:9 1 <=!•
Y. = Y * - a - S -9 1 9. s +8 .22739
_ 1 /v 0.177- s- + 0.1611 s9 — I/-1- o — 9
0.1154 s + 0.0.628
2. Proseguimos afiora con s• = + j \ y3 .47 68 9 = + j 1.8646
Paso 1:
Z2 Cj 1.86464). = X2
X2 = 2 .504
Como X 9 > 0 LKC2) - 2'5°4 = 1.343; h..D 1.86464
Paso 2:
V - Z2 - s Lb(2)
0.0221 s3+0.0767 s_
0.1154 s2+0.0628
r,
s +3.4768
= lim (s2+1.86462)
s-» j (1.8646)
*i'
- lié -
. ... -A-fi-
' "M = 4.4Q.9: L f2); - —^— -n, C (2\ -^^- ^ 1.26.81 f,a 4.40.2 1.86462
Que s-on los- elementos- de 'la segunda rama principal
Paso 3::-4".-4-CT2: s-= y * —.
3 9
O 0221 qp -i /-y- * * -*- ^ -i 9OO T-,
3 30.181
LbC3) = 1.222 h.
La red final es-
Redes- de la aplicación 5.1
Aplicación 5-2(*)
Sintetice el filtro característico paso bajo del Ejemplo
5.1, usando una red LC con terminales de R=.l
Solución:
La función de transferencia se obtiene de las tablas stan
dar (3).
(s2+3.476896) (s2+8.2273914)
T 1.1584s5+s-4+ 2.37889s3+1.43525s2+1.11717s+0.29916
Encontramos los- parámetros de excitación y transferencia
según las Eqs.-- 3 . a. 5 y- 3 , a, 7 .
('*)' Ver referencia f ^ I
Como el numerador es par:
Q±(.s)
Siendo H = 1 y Q-(s) - l.'l584sl+2 . 37889s3+l. 11717s
Q O) = s4+1.43525s-2+0. 29916
z
= Cs-2+3V47'6876) (s'2+8 . 2273914)
21 1.1584s5+2.37889s3+1.11717£
s4+1.43525s:2+0.29916
22 1.1584s-5+2.37889s-3+1.11717s
Los ceros- de transmisión de la función son:
sl = °^ S2 = - J\/8-2273914 S3= ± j\/3. 4 7 6 8 9 6
Procedemos- a la s-intes-is según lo estudiado en el Cap. 2c,
2d y Cap. 3.a
La red predi cha s-erá del tipo de la fig. 2.5.a
De aquí la s-íntes-is- será con secciones del tipo 2-LC se-
gún las Eqs . 3. a. 21 a 3. a. 27.
1 1.1584s5+2.37889s3+1.11717s
z22 s4 + 1.43525s2 + 0.29916
1. Para el cero de transmisión; s=+jv /3 .476896 =+j 1.8646
v f i o e / 1 ^ - (j . 1.8646) 5xl.l584+ (j. 1.8646) 3x2.37889+ (j 1.8646) x (1.11717)X - , 1 . 3 . 0 . 0 5 4 b ¿ — 2; 5(j 1.8646) +(j.1.8646)¿xl.43525+0.29916
Y± (j.1.8646) = B.JL = 1.72649
1 7? fi4QComo B..X) C (1) = ^ = 0 ,9259 f.
a 1.8646
120 -
Paso 2:
v * =Yl
0.232s5 + l.Q499'9 s3 + 0.84
s4+1.4353s2 + 0.2991
N g.
z * = i + Zs2 + 3.4768
N1 = lim (s2 + 3.4768)J- ¿i.s—»j.1.8646 s-
N-L = 3.7545 CgC.l). = 0.266 f. (D = 1-0798 h.
que son los elementos de la rama principal de la primera
sección básica.
Paso 3:
3.7545.S— 17 * „~_2s + 3.4768
v _ i /„ _ 0.2325s3+0.2416s2 ~ / 2 ~ - 7 -
0.1271& +Q.086
2. Para s = + j 2. '8 68 3,,•;*
Paso 1:
Y2 (j 2.8683). = B2
B0 = 4.9944
Como B2 > O C C2) = 4'9944 = 1.7412 f.2.8693
- 123- -
Paso 2:
Y2*
* —
- 1.7412 s-
O'. 01119s- '+• O.'Q-g-lS'S s-
Q.1271 s-2 + 0 .086
Z2* = V= + Z.
= lim
s—-j .3 .47689
s- +8.22739
Cs-2+3.47689l
s-
N,a C 2 ] - — • = 0 . 0 9 5 6 8 f . L ,C2¡=
•=1.2702
s-on los elementos- de la rama principal de la s-egunda rama
básica.
Paso 3:17 rr * 10.45 s-
3 2 s~2+8. 22739 »
I1 |
Av (^)IN Y
1
Ca
1^(2)
CbC2}
C31
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Y30' OT1 ?' =!•1/7 u . uo-j.^. t> ri ro Y
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nuS C1 ):
0.. 0.1 0.5 a
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[
t) 'J
1.27
IIII0, . 095
i n G.H f- J- . U D / I .
1.0798
1 .067
uuQ.266
1.741 0 .92
1iI
- ^i11
Redes' de la aplicación 5.2
-4-
En -el dis-eño de cir-ciairtoff- de baja frecuencia, las- induc-
tancias, si son requeridas- ordinariamente toman grandes-
valores-. Consecuentemente la realización f£s-ica de estas-
122 --
inductancias- s-e convierte muy- iaaprá.cti.ca,, por el tamaño,
costo y disipación. Además por las especificaciones pre-
cisas que se desea conseguir. Existe sin imbargo una
gran necesidad de realización de redes precisas en bajas
en frecuencias, especialmente en el campo del control,don
de la exacta compensación de redes es requerida. De aquí
que redes RC son de particular importancia.
Aplicación 5.3 (*í
Red de compensación RG de Guíllermin
Se determinan las- especificaciones-, tanto la función de
transferencia, y las- características- de comportamiento.
Una vez realizadas- las- condiciones-, especificaciones y
características- de la red de compens-ación se obtienen los
parámetros- de red:
_ •(s+250) •CsH-'S-Q-Ql „ _ c _ ts+25) Cs+3-Q]2 _ — Z ,-j ^ — ¿L u /
(s+1911 (s+386) Cs-t-191) (s+386}
Según lo estudiado en el Cap. 2d, preestablecemos- la red
que esta en el Apéndice 1, fig. l.a.l
Según 3.b.2 sintetizamos- el parámetro; siendo los- ceros- de
transmis-ión s--j— —25 y s-~= —30'^ par-a secciones- del,' tipo 2-RC.
Para s^ =- sr^ = -25
Yl = Vz22
Paso: 1;
- Y (-251 = Clg6} C3G1} - Q,5&071 G a C H = Q . 5 6 Q 7C225] C475)
R, CU =l/GaCU = 1.7834 _n_O- d
C*);-" Ver referencia C )
- 123 --
Paso 2;
O . 43928s;2+156 . 46s+3'637- Q . 5 6 O 7 =.s +750S+125000 s~+720s + 125.000
NZ * = I/Y * Z * = - + Z01 1 1 2
NI = lim Cs+2 5') Cs;2+7 5 O's+12 5 Q 00 ) =
s--»-25 (s+25) CO.43928sH-145.43)
' 1 NlC, CD = — - = 0.00126 f. R. Cl) = — = 31.8b ' N b «i
Paso 3:
•794. 6Z2 =
s+25
•_ s:2+7-5'Qs+125QO'Q20.4393s-2+156-. 46s+3637.1 (s+25). C0.43928s+145.48)
_ OV43-93S- + T4S/48— -s- + 376
2. Para s =- ^2 = -30.
Paso 1:
Y-C-30) = -LJ^'JZJ- = 0.3824 G (2) - 0.38243 4.:; 6 a
R _ ( 2 ) = 1/G,(2) = 2 . 6 1CL ' d '
Paso 2:
= Y2 - GaC2)
0.4393S+145.48 _ Q 3g24 = 0. 0569s+l.'69-76
s- + 376 s + 376
z * =2 V= — + S3-s+3o;
Cs+3'Q'l Cs4-376í
0.0569 (s+30)'
1(21 = — = Q . O O Q 1 6 4 f. R..C2ID •— = 203 _n_
N
Paso 3:
Z3 = Z2* -'6081
s+3Q
. Z3 =
6'Q81
a.a569s-t-1.6H76 S+3Q O . 0.569 Cs+3Q).
Y3 = 1/Z3 - Q. 0569 GaC3-í=Q.Q569 =17.6
.:b en 203 31 .8
C_ (2) V-11 0.000164
R C2)O.
(.2): R ena
-o o-
0.00126
2.61
Redes' de la, aplicación 5.3
1.78
A continuación se resuelven las anteriores aplicaciones
por medio.: de los programas &e computación.
El orden de presentación de las resoluciones es desale,la aplicación 5.1 a la aplicación 5.3 respectivamente.
f ***************************************** • *
* EJEMPLO DE APLICACIÓN *
Í - 5.17V-T - • "i :••• "' * " '****************** *!*f **; ***** ********* =t
G R A D O O E L N U M E R A O O R = > .4 GRADO OFL D E N O M I NAOORj=__5_
P O L I N I M I O < X K ) -
1.72650 0 .00000 2.47783 O . O O O O O _.. O ,51647- '
P O L I N O M I O B ( K )
1 .0000 0 . 0 0 0 0 2.7987 0 . 0 0 0 0 1.5713 O . O O O O
LOS CEROS DE T R A N S M I S I Ó N FINITOS SON:************************************CERO OE TRANS. Í 2 ) = O.O +J 2.8683420CERO DC—TRArN-Svt—3~h=~ O~s"0- * J 1. »6 46-4313
ELEMENTdS DE L.A RAMA AUXILIAR
•*:**:*****.* Je ******^c*-*-*-*********-
t.B"t TT ="'tri"4T6664"HE70R"IOS
L3( 2)= 1.343108 HENRIOS
LB( 3»= 1,221950 HENRIOS
ELEMENTOS DE LA R A M A BÁSICA
***************************
L A < I )= 0.1O9386 HENRIOS C A ( 1)= 1.1O6101 F A R A D I O S
L A ( 2 ) = 0.226760 HENR: IOS C A (~"2T=-4_. 268358 F A R A D I O S
E J - ' M P L O OE A P L I C A C I Ó N
5.2
<3R£0a DEL'NlÜMERAOOR:— 4" tSRAOQ DEL
P Q L I N I M I O C ( K )
i .ooocr— o-.ooooxr t-. 435-25 - 0.00000- 0,299-6
— onmowrtr FrtfO1.1584 0.0000 2,3789 0.0000 1.1172 0.0000
LOS CEROS OE TRANSMISIÓN FINITOS SON:
********************************•*:***CERO" ÜE- TRATíSi-t- 2)— 0-íO- +J- 1.ÍÍ64643O-C E R O DE T R A N S . { 3 ) = 0.0 +J ?..36834?.0
ELEMENTOS OE LA RAMA AUXILIAR
; ll o.g25913 FAR. .;• •j_ 1.741219
/ - Á( 3>= 1 .O 67 33 8 FARADIOS''
•• 1 ÍJl!; ELEMENTOS OE LA RAMA 9ASI.CA
:' ' \;; -?
LB( 1 1,7 ,1 .0:79863 H E N R I O S C8t- '!).= O.?66341 F A R A D I O S
LB( 4V=Cf'1.270208 H E N R T O S CB ( 2 ) - O. O95689 .''kft-R-'MD IOS
****************** *******í=******-í<:******* ** ' . ' ** . EJEMPLO DE . APLICACIÓN ** -V* . 5.3 *
GRADO DELNUMERADOR= ?. GRADO ^DEL OENOtf I NADüR= 2
CÍK)1.00. 750.00 " 125000.00
POLINOMIO B(K>•i* O 577.0 73726.0 - -
LOS CEROS DE TRANSMISIÓN SON
-24.98875 -30.00000 ,
/ '<
ELEMENTOS DE LA "-"VM TSSI-CA
&BÍ 1)~ 31 .S0051HM C3{ "• ) - í . O ' ) I ?5SF A'-.'AO I HS
RB( 2)=2O4. .fí263DHV C8< 2 ) = O . 0001 63 FAR AD IOS
«
ELEMENTOS DE LA RAMA AUXILIAR*
\
P.A( 1)= !„ 78^4-0 OHMIOS
• ? A ( 2)= 2,614RS OHMIOS
R A Í ' . 3 )= 17.59 ? 4 HH^IOS
135 -
COMENTARIOS' Y CONCLUSIONES'
Una vez que se 'ha desarrollado el objetivo propuesto en
el presente trabajo, s-e. puede 'comentar lo--siguiente:
Al concluir el estudio del Capítulo 2 (Propiedades- y Rea_
lizabilidad. Principios- de Si.nte.s-i.s- de Funciones- de Trans_
ferencial , y conociendo cuales- son las- condiciones tanto
de la función de transferencia y e los parámetros de ex-
citación, para poder s-er realizadas como un cuadripolo pa-
sivo; s-e puede'determinar que'tipo de red se obtendrá, se_
gún los ceros de transmisión que tenga la función y si es-
ta es- imperancia o admitancia.
Cabe anotar que para, iniciar el estudio de síntesis de -re-
des- e.s- nece&ario tener conocimientos- de funciones reales
positivas ya que e.s-tas- s-on fundamentales en síntesis, igual
mente se debe conocer sobre las características de funcio-
nes- tanto LC, RL. y RC.
Se presentan los pasos- a seguir para, efectuar la síntesis
de las respectivas- redes- preestablecidas; los modelos mate
matices- sintetizan la red de. sección básica en s-ección bá-
sica; desarrollándose e.stas- según el tipo de cero de trans_
misión, obteniéndose los- elementos- tanto de la rama princi
pal como de la rama auxiliar de. cada sección según la ta-
bla 2.1. El proceso culminará o la red será totalmente sin
tetizada cuando todos- los- ceros- de transmisión han sido de_
s-arrollados.
Es importante anotar que las redes- preestablecidas; para
cada uno de 'los problemas que s-e puedan plantear están en
el Apéndice 1, allí, se 'dan las redes- principales, pudiendo
ciar- s-e el caso s-e.gún. los- ceros- de trans-mis-ion de la función
que la red s-ea un caso particular de una de ellas.
Para tener una seguridad de que el modelo matemático
do asi como de la validez del programa de computación, se
desarrollan ejemplos-, al obtener los resultados de estos y
al comparar con las respectivas- referencia confirmamos que
el algoritmo y el programa cumplen con los requerimientos
deseados.
Este algoritmo puede ser utilizado para redes con cualquier
número de secciones- bási'cas-? naturalmente, siguiendo las
condiciones; establecidas- y de s-er necesario se modificarán
los dimensionamientos- respectivos-, cuando mayor capacidad
de memoria s-e ne.ces-i.te.
Finalmente se dan aplicaciones^ del pres:ente trabajo, tan-
•to en filtros pasivos- como en rede,s; de compensación de sis;
temas- de control automático, es- importante anotar que pa-
ra realizar estas- aplicaciones s-e parte, o de la función de
trans-ferencia o del parámetro de red, mas no de las- carac-
terísticas- propias- del problema ya que esto no es materia
de este trabajo.
Hay que anotar que esta material de síntesis de. redes- es-
muy amplia, existiendo diferentes- métodos- para sintetizar
las- diversas- funciones; de red, obteniéndose re.de.s- de diver
sos tipos.
Es- de esperarse que en el futuro se. desarrollen e implemen
tes nuevos programas- de. síntesis de redes- que s-irvan para
la aplicación y sean instrumento práctico y estudio a dis-
pos-ición del profesor y e.studian.tes; de la Facultad de Inge
ni.exía Eléctrica,
APÉNDICE 1'D'IJ'T^Tí1 O" "D "D L1 U1 C ""H "A T5 T" "F f™1 "T" T^^ Qrv PiJ_ J P'jJ Jr L\P'."' w J^/~\- TJ-.J-/r"\CÍ.
1. REDES RC1.a Ceros- de transmisión en s-j=- G^; S2=-02; S3:=~03 •••sn=~(Tn
; r, AA/W\a« 1 A/WV-» íWVXAA 1 ÁAAA/V^ 1 \AA/vAXr O
>
X
b. Ceros de transmisión todos en el infinito S1~S2= ' " sn~ °°
Rb(2)O i W\A/\
I
Rb(D
c.
La posición de R, (n+1) depende si el parámetro es z o y
Cero de transmisión todos en el origen s =s_ =...s =0
Cb(n) C
o V\/\/\ —
iif
rR.Cn)
La posición de Ra(n+lí depende si el parámetro es z o y
d. Cuando los parámetros- no tienen los- mismos- polos- finitos
- 128 -
Red d'el
tipo-
a), b), o o)'22
1.d.2
Red d el
tipo
a), b), o c)
Eo(n) R0(D
*1-0222
Se pueden derivar otras redes, dependié.ndo de los ceros de transmisiónque producen las secciones básicas de la red.
Ej. Red con ceros de transmisión en: s^=°° , s =
2. Redes RL
a* Ceros de transmisión en:
2.a.1--G^ ; 82=r:"~^2 ' * 0 0 * * B n = i i
La(n)
2a.2
V*)-wv^
-XSLSLJ-
-wv
-T.52S-
-w\
- 129 -
b. Cero», de transmisión todos en infinito
E (n+1)CL.
(n+1) fc (n) .(1)'f aix 'iiii
a ») > a a
La pos-ici<5n de R (n+1) depende si los parámetros son de impe-cL
dancia o admitancia.
c. Ceros de transmisión todos en el origen B-\ ao =
R^Cn+1)o r vv...
= 3 =0
La(n)
La posición de R (n+1) depende si los parámetros son de impedancia
o admitancia.
d. Cuando Ibs parámetros de red no tienen los mismos polos finitos( mi BBIO denominador) •
d.1Red del
tipo
a), t>), o c)(n)
Lo(n)'22
d.2 Red del
tipo
a), b), o c)
S0(n)
-,
Se pueden derivar otras redes, dependiendo de los ceros de transmisiónque producen las secciones "básicas de la red.
Ej. Red con ceros de transmisión en: s^ = O ; 3 = -ff2 2
- 130 -
a-.
4. REDES ROL
¿terca de-' transmisión finitos: •1 = -^ ¡ S2 * -0"2 ; ...
V"*1) S (n) V3) Rb(D
R(n)
Oa(n) J= ^Ljn)
R_(2)
:J2^ T I
"b.
" I Il_ _JI . A c,- -, I II—ii—i
-22
3. REDES IC
az. Ceros de transmisión en
a.1 - ¡5- -ASfií-
« • -n
- asu-
¿22
Si red (a-1) no es realizable entonces se obtiene la red (a.1.a)
- 131 -
a» 1.a
o— -€5tf^-
V2-)—tfifr— —ÍOTV
-rJ-CAO
-22
a. 2
V2)
1 Ca(n)
Si la red (a. 2) no es realizable entonces se obtiene la rea (a.2.a-)
ob(D
^ Ga(n) Í°a(l)
"b« Sferos dte transmisión en: s1 Í .1w
I I
Ca(n) :!}..«v
.
2) =:t
.
a(1) = 4Ljen>«-iy.22
_i_ Ca(n)_i_
Oa(2) ^Ca(l) z22
Todoa los ce ros en infinito
VJ>c.l
"22
0.2
Ca(4) ¿ 1Todos los oeros en el origen
,(D
(2)
d.2O C4) Ob(2)
1 (1)
-22
- íf 3 -
APÉNDICE 2
LISmDO DEL PROGRAMA
RG, RL, RLC
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C *** ESCUELA POLITÉCNICA NACION4LC *** FACULTAD DE II-T.ENIFPl» ELF.CTqlcAC *«* TESIS OS GRADOC «* REALIZADO °OR: LUIS EDUARDO °ESANT=Z SAMANIEGOc **+ FECHA: JULIO oe 1983cC OBJE TIVOC EL PPESENTE PROGRAMA SINTETIZA FUNCIONES OSC TRANSFERENCIA "ARA OBTENFS CUADRIPOLOS TSCALfíRA.C CON DOS TIPOS Oe ELEMENTOS
REALBI 1 5 ) . C ( l S > , R < 1 5 ) , S ( l ' 5 ) . < : > S ( 3 1 > » O S C 3 o > , R A t l 5 ) . R q ( l S > , L A ( l I 5 > .*L9( ISV . C A C 15) .CEH 1S> ,L8O ' s •>'.
COM°LEX RAÍ Zl 15 ) , POR • RR - . .'*'.-PRIST 1200
1200 FORMATC//30X, 'ESCUELA °TLITECNICA NACI1NAL • ,/30X.' FACULTAD OE CW»G5Nie<ílA ELÉCTRICA' , /30X. ' JULIO OE I )1T . S*~¡ 1 X. 'TESIS DE 1RAW*, /TTX, ''ÍEAL IZADO POR LUIS E, PESANTEZ S. ' . / .3 ' X, • PPHGRAMA DIGITAL,« O A R A SÍNTESIS OE CUADRr°OLOS PASIVIS'/I X, 'REDES ESC ALFRA' / / / / )
Cc > oqoGRAMA PARA S INTET IZAR CU 5.OR IOQL TS ='!CALE=IA CON ELEMENTO LCC —> L 3S CEROS OE TRANSMISIÓN S^N IMAGINARIOS DUROS, CSRO "= [S^INt1"»C
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C — > CALCULO HE L3S CEROS ~¡~. T R A N S M I T Í )J33 ^-í I N T I! D34 si? FORVATÍ / / / 15X . 'LOS CFROS n c T R A N S M I T Í 'N = [ N I T OS SON : ' / 'ñ < , *<=, í ' ' ' I35 IF;^2.GF.N2I GU Tt 2236 L=N2-M237 DO 20 J=l ,L38 20 R A 12 ( J ) = CMPLX(O . . FIN»
CC —> DETERMINAR SI TODOS LOS ORTOS OE T"? \NSM IS ION E''.TAN £N INFINITO
39 IF tM2.EQ.Ol GO TO 29140 GO TQ 2441 22 L=042 24 DO 26 K=l,IL
44 RAÍ Z(t_«< I-CHP^X (O. . R»A I45 LOU=L-fK46 PRINT 501. LDU. PA I 2 fUK )47 501 F3RHAT! 35X. 'CERO DE TR ANS. ( ' , 12 . ' I = ' , Ft. l . • «.j -.Fli .7)48 26 CONTINUÉ
C49 DO 11 LE=1.N150 11 S ( L R ) = = 3 ( L E )51 OO 13 LI=1.MI52 11 R (LI )=C( LI)
CC —•> DETERMINAR QUE TIPO D= "ÍEO 5R 01T=I1»\3 I F ( A I M A G Í R A I Z ( I L ) ) -EO . i I "O TO 91
54 IFÍ AIMAGÍRA t¿ ! 1 I I .NE. = INI C,n TH 91 .55 IF( A I M A G (RA IZ(2 ) ) .NE, FIN )' <~,O TO H
C —> LLAMAOA CUANDO TOCOS LTS C=ROS DE TRANSMISIÓN ESTÁN EN INFIStT56 291 CALL F IN IT J (M ,N , B .C , J T )57 GO TO 2OO
CC —> DESARROLLO D€L MODELO " \TSMATICTC —> PROCESO PARA CJANKX) EL, °RIVfO CFR 1 OE TRANSMISIÓN FSTA EN INFINITA
58 31 OO 76 K=l.IL59 L =K +• 160 CALU INVIER(M,N,B,CI
C ' 'C —> EVALUAR LA FUNCIÓN EN EL C=RQ 0= TRANSMISIÓN RESPECTIVO
62 CALL EVALÚA (POR ,M,N.8.C.RR )63 R IO»AIHAG;RHI64 IFtJT.EQ.2l GO TO 50
C —> DETERMINAR SI EL ELEMENTO OE LA R A M A A - J X I ' - I A R Es INDUCTIVO o C A P A C I T I V O65 IFCRIO.LT.O I GO TO 39«6 CA!KI=RIO/CASS(°ORI67 R 5 = C A ( K I68 CALL RESTE(M.N.H.C.F5 .ÑOR, NO)69 t= (NO.E0.1) GO TO 4t
C —> RETOMAR LOS VALORES INICIALES DEL °ARAMF.T=n DE E X C I T A C I Ó N70 33 CALL NUEVAtR. S, 1. C.M. S . M A K ,M AS )71 I F ; N O . = . O . I ) GO TO 4272 CALL OIV IDAtM.N.B.C.B-1)73 L8O=Bfl74 N 0 = l75 PRINT 41 .L8076 41 FORMAT ( / /50X. 'L-1O= ' ,F3.5, ' HFNR IOS ' )77 GO TO 3178 42 CALL INVIFR(M,N,O.C)70 CALL OIV I D A t M . N . q . C . BR »80 CAO=BR81 J T= í82 M22=IL63 PRINT 44 . C A O84 44 FORMAT ( / /50X. ' C A O = ' , F4."í, ' F A R A D I O S ' I83 G T TO 3185 4rt CUL I NV IF.R (M .N.R.C I
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100 N0=l1 Cl P R t N T í-J .CAO102 69 FTR1ATÍ / /SJX. 'CAO= ' .F1.T. • C^OATIP'; . |1 0 3 GO fO 31.10* 73 C M-L tNV IE1(M,N.fl,C)ios CALL nrv io»(M.N.3,c.ml106 LBO=BR107 JT=1108 H22 = IL109 PRINT 72,Laa110 7Z FTOMATt/'/SIX. 'L9O=' , F1,*,, 'HENPIOS • I111 GG TO 3111?. 7». CALL INV IER(H,N.9.C)113 CALL FRACCÍM. N. -T. C.POR-. BM I11» L » ( K > = l ^ e w115 CA;¡Kt = B>1/t CABS{ P3R t ) **2
C — > REPETIR EU PROCESO P » R A UN NUEVO -;=RO TE TRANSMISIÓN1 16 76 CONTINUÉ117 oRINT 17llí 17 FORMAT ( /X45X. 'hLEf ENT ]S 1? LA U^M* AUX IH AR '/4.5X , 31 ! ' * ' 1 / 1
C — > "REJUNTAR SI EL P R O C E S A HA TE11'? I P ( C ( 1 l . L T . O . O O T O 1 ) GT TI _7T120 CALL INV I6RÍ.1 iNiB.C)121 CALL OtV IOA(M.N.S ,C,O í)122 H2Z = IL-H123 IF(JT.Sa.l) GO TO 8*12* " LÍ(^22)=f3R125 GO TO 73126 77 I F ( J T . E l . l ) GO TI 05
C — > IMPRESIÓN DE LOS RESULTADOS12T 78 7)1 2a J=1,M2Z128 PRINT 79 .J.IB! J )129 7a FORMATC//50X. • LB t • . I 2. ' ) = ' .F9 .6,1-JO 29 C^TINUH131 P R I N T 40-132 *0 FQRMAT Í/ /*SX. 'ELSMENTTS DE LA H A V \ A S I C A • /4SX . r>7 ( ' « • ) / ' )133 TO 30 K= t . IL13* PRIMT 31 ,K,LA(K ) ,K .CA «>135 81 F1«XATÍ//37X. *LAÍ • . 12, • !=• .F9.6, ' H=NR r-T5 ' . 2X . • C A ( * . I 2 . • ) = '
*• FARADIOS1 )136 30 CONTINUÉ137 GO TO 23013» 3* C M M 2 2 ) = BR139 8S DO 21 K = 1 . M 2 21*0 P R t S T 36 , K . C A ( K )1*1 8fi F 3 R H A T C X / 5 0 X , - C A Í ' , 12 . ' ) - • .F9.Í ,' = A R A T t O S ' l1*2 21 C O N T I N U A1*3 PRINT 1 J1** 19 FORMAT t///»SX i 'ELEMENTOS QF L» P A M A =) \SIC • /*"3X ,' 7 ( • * ' ) / )1 *5 DO 65 K= 1, IL1*6 DRINT -Sa.K.LBtK) . K . C B ( K )1*7 -58 FORMATÍ//37X. 'L3Í ' . 12, ' !=• .F9.6. ' H :NR US ' , JX , ' C9 ( ' , 2 , ' I = •
* • F A R A T [OS 1 )1*9 6S CONTINUÉ1*9 GO TO 2OO
C — > DETERMINAR SI TOÓOS LTS '"E^nS OF TT^NSMtSnN ETTAN EN ^L n150 90 IF( AI1AG tRA IZ( 1 ) I .NE. 1 • ) ."'"1 TO 92
C -- > LLAMAOA CUANDO TUCUS LOS CÍ"OS ")F TRANSMISIÓN E "TAN EN =Llíl CALL ORtGEN( n .N .R .C .JT )isa r,n TO 200
C -- •> °ROC=SO CUANDO -10 HAY CE^O S HE TP \NSM I •> tON INFINTTTS1 53 92 00 130 < = 1. IL15* POR=RAI2 tK t155 P1=AIMAG ÍRA IZtK I I
C -- > EVALUAR LA FUNCIÓN EN EL CERO DE T R A N S M I S I Ó N RFS°ECTIVO156 CALL EVALÚA (PCP ,M iN ,B .C.R'J )157 R to -At * A G ( R R Ii°í<* r = r « r - f=r\1 t fin T n t i i
&
162163i *¡4163166í f ¡ 716S1601701711 72173174.17-51 76177
1811821831 "3*1851861B71881991 9019119219319+I 95I9fi197
98
19
110
114
120
C — >
r = (°o.s6.o ) c.o TO 95c * ; < ) = !GO TO 910=T = RHINAR SI FU FUFM = Nn 1=I F C R I T . G E . i I ü'l TO 96LA; K 1 = i/ ÍCABS; PIR) * A I S Í R I T I IRT = i n, A ; K )N?R=2C A L L RÍSTEC M.N. ñ, C ,f 4 , HT». N'l |GT TO 9aC A; K I=!)I O/CAJS( "OFMR 5 = C A ( K IC*LL RES TEÍ M.N.3.C,R5 .Nm, NO)C *LL [NV lE'ÜM ,N,S ,C)I P< NO.EO .1 I CO l"o ICOCAL.L. N JE VAÍ R. S, •Í.C.f, N . M AK ,V1AJT=1CALL INV IE-?!M,N , 3 , C )GO TO 92C ALL C RACCC" . .N .«.e ,PO7.=1M |
FS t ' ITirr i vi
201702?0 1204205206207208
209210
21 1212213214215216217211219220221222223224?2S226227228
229230231232'.33234235?.36
1 22
124C — >126130
C — >
301
13245
125
12712146302
134
47
141
1 4o57
IF Í ^T .= 0.01 GO TU 1^3L 1! <)=3M/ ;cAHS!«-JP ) )»•<?G3 ' T 10 »1_1(<I=0CALL INV IE-i(M.N,d,C )GQ TO 1 3OIF(PO .NE.O | GO TO 11*ug;<i=oGO TQ IZOIF<RIO.GE.O . )GO TO 1 1 *>c a < K ) = i / ;cA8s;pnR i* A - a s íR5 =1/CB (K )N3R=2C »l_l_ RESTEÍM, M.B iCfRS ,NOR, NO IGO TO 130L a C K ) = R t OXCAdS(PQR)R'5=U8(KICALL RESTE«M.N»9.CiR5.Nnc!,NO)CALL t NV IE3 (M .N , B , ClIPÍNO.EO.U 3O TO 122
R=?T3MAR LOS VALORES IHICIALFS OEL J \Q AM-TTt?0 o?C «LL SIJEVAÍ R.S.B.C.M , N.HAK . M A S IJ'r=2 -CALL INV IERÍH.N,a,ClGO TO 92C U-L FoACC;u.N, •líC ,POO ,qv( )L A( K) = 1/8MIF(PO -EO.O ) ' GO TO 124C A Í <) = 9 M / - ( C A 8 S ( P O R ) I**H *GO TO 126C A ( K ) = )RíPETtR El_ PROCFSO P A R A UN NUEVO C=ROOF. TRANSMISIÓNCALL INV IER ( M , N ,3 . C)CONTINIjeIMPRESIÓN DE PESULTAOOSPRINT TI 1F1RMAT://'4SX. -ELEMENTOS Te LA R A W A ÍUXIL I AR '/45 X. 29 (IF(JT.EO.a> GO TO 148IF(qiO .GE.O.) GO TO 125D O 4 5 K = 1 , I LPRINT 132.K.C8ÍK)FOPUATÍ/ /SOX, -Cf}( • , I Z , • > = • ,F9.6,C3NTINUEG O T O 1 4 6OO 12 X=l.ILPRINT 127, K, LR ( K )FTRMAT( / /50X. 'LB( • ,12, • 1 = ' ,F9.6.CONTINUÉPRINT 302FORMAT(/ / •4SX. ' ELEMENTOS TE LA R A" \A S IT A ' /-45X , ?7(no 47 K=l , ILPRINT 114. KFOR-ATÍ / /37X. 'LA!
* • FARAD ros- tCONTINUÉGQ TO 200IFtRID.GE.3.) CO TO 131no 57 J= 1. ILPRINT 149, J.F. IRMATC/ /SJX, -LCONTINUÉGO TO 15f)
L A ( K ) . K , C 4 C K )12. • ! = • ,F9.6. • H=NR IHS ' , "»X . ' C A t '
L A t J I12, • ) = • ,F9,6 . •
337 1 11 OD «i9 J=l. IU.? 3 B P R I M T 140. J, C A ( J >?3o i 4'i Fi iRMAT t / /sox, ' c A Í •, 12, • i•>40 /ÍT CONTINUA.'41 líO PRI ' JT 3)3242 101 FOP^AT(/ /4S X, ' tL¿^ENT'15•> 4 3 m !61 J = 1 . tU241 PRINT 142, J. LRtJ I . J.245 14? FORMAT t ' / 3? -X , 'L=lí ' , 12 , ' I =• ,c 3. 6. • H^NR I 1<5 • . í X , ' rr) ( i , [ ? , i | = ' , Pq . 6
* • PARAD IOS1 )246 <)61 CONTINUÉ747 ?00 GI7 TO 1248 J9^ STO"? 4 9 E NO
Cc —> S'jfíRUTiNA PARA OESARR «LLAR CLINC ro-i-:'? ou • TIENEN S'in»e^r= cs«is IEC SITN EN INFINIT-l
3SO SUBTOUTINE FIMrüíM,N.1.C, J T Iísi R=AL B; i s) , r( ib ) .LS; i í i .<~A ; i 57 ,I.A i'52 K=l253 I^ lJT.El . l l GC r j 6'54 IF(M.GE.NI GO TO 1255 GO ro 3?S6 1 C «_L OIV l257 GO TO 1525» 3 C\U1_ INV lERtM.N.B.CI259 C At-L OIV tOA(H,M.3.C,BPl260 Ur) (K)=eR261 S PBINT 4.K.BR262 4 F T R U A T ; / / S O X , ' L a t •. 12, • ) = ' iFs.s.'Hí^io tis1 i263 IF(C( 1 KLT.O.OQOO1 I GO TT 1OO254 K=Kfl265 6 I F t ' - . G T . N ) GO TO 7266 GO TO 9267 7 C«-t_ OIV IOAÍH ,N,8,C,SR>26fl GQ TO 5269 9 CALL INVtER (M.N.B .CI270 CAUL OIV IOA(M,N.e,C,BR)271 C A ! K >=SR.?72 15 PRINT IO.K.RR'7T I" FORMAT ( / /5DX. ' C A ( • , 12,.' ) -' ,*J3.5-, ' ^ AT\ I 1 S • 1274 I F ( C ( 1 ) . L T . 0 . 0 0 0 0 1 ) Gl TO 100Í75 K=K«-1276 GO TO 3277 103 RSTURN278 ' E»JO
C íc —> SUBRUTINA °ARA SEPAPAR LA FUNCIÓN EN su PARTE °AR c IMPARC —> Y ENCONTRAR EU PARÁMETRO DE EXCIT^ION
279 SUñROUTINE A I SLA< NE, M 2,N2, TS ,C ,B, M , N )2SO RFAL Bt l S) ,C( 15) .OS! 15 I281 IF( {M2/2 I*2.EO.M2) GO TO 42B2 1 DO 2 1=1 ,ME.2283 C < I I = O S ( I >284 2 C { t + 1 1 = 0 .285 M = N 2286 00 1 1=2,NE,2287 H«I-1 (=QS« I )288 3 ñtI 1=0 .2fl9 N=N2-1290 GO TO 8291 4 r)O 5(=l.Ne,2292 8 C T 1=QSr II293 5 =1 CI-H 1=0.294 N=N2?95 IF(H2 .EO.N2 I TO TO t296 tF(M?.EO.OJ GO TO 1'.97 DO 6 1=2.NE.2298 Ct 1-1 l=QSt I )299 6 C<I 1=0.300 M=N2-1101 S RETURN302 END
C —V EVALÚA LA FUNCIÓN DE FXCr r \ cnN R^l =L CHRO OE fANSMIStON QESi ->=CTiy i
303 SURROUTINe F-VALÚA ( POR . M , S . =1 , C , RR )304 REAL Sí 1 SI . Cí 15 I
105 CO"PLSX P n K . K R , 7 Z » Y Y30IS N l = N + l107 M l=*t- ljon ZZ=CMPLX co . .o .)ITP YY=CMPLX co . .o .)!10 00 ÍS t= l . N l . 2T I : A A = a t r )312 K=N1-I313 YY=YY*AA*C¡POR I-<rK)31* -Í5 CONTINUÉ315 DO 33 1= 1 , M 1 .2l l f i A = C ( r )117 K-V1-I318 Z7.= 7.Z+\* ( (POR ) * " K I319 31 CONTINUÉ320 R R = Z Z X Y Y121 RSTURN722 ESO
123 S U ñ R O t J T I N E I N V I FP ( M , N . T ,R í A L 8 (1 5 I , C ( 1 5 I . A ( 1 S )
12532612732832933033 133233333*3351363371383393*03*13*23*3
12
3
5
7
M 1 = M -f 1N 1 =N*-ltFCí.GE.N) GU TO 1L =N +• 1GO TO 2L— M -*•!NX— «MDO 3 K=l .LA ( K ) =C ( K •M 1 =N1DO 5 K«l .t — • - -CCK)=a(K)Nl=NX00 7 K = l ,i_BCKt=AtKI-M =M 1—1N=N1-1RETURN£HO
CC —> SUBRUTINA PARA HALLAR LO ¡ "zLEMENTIS OF LA R A ' A . BÁSICA OE L\D
3** SUOROUTtNe FRACCt M.N.Q.C .P3R,-3f )3*5 - REAL 3!1 5) .C( 151 ,P Ií 15I .DÍ 15) .Fr i5 l ,F( I SI3*6 COMP1.EX PJR. BMO i
3*9 DO 2 1 = 1 .NI350 2 O ( I )=8( I )351 E(l • = ! .352 E ( 2 ) = 0353 E (3 )-CAflS<POR}«*2—35* 0 (N«-2 )=0355 DO * I=*,15 • ' . . .356 » E ( I 1=0 i357 OO 3 K»! .Hr2 — . - . - - - . _3 5 8 B t K 1=0(1 ) • . • • • ' • .359 9 C K + 1 ) =0 v '360 DO 6 1=1 ,N.2361 D( r)=O(I*2^-&t*.H'E( H-2V362 6 CONTINUÉ363 S D t N » l ) = 036* N=N-1
C > ENCONTRAR LOS ELEMENTOS np LA R A " A 4AS [CA365 CALL EVALUAÍPOR.M.N.B ,C,HMO)
367 [ F ( N .ET.O I N=l368 OO 30 1=1.N,2169 P K I )=BM*(5( I )370 C C f I =C< t I-P K I I371 30 CONTINUÉ372 I F ( C ( 1 ) .LE.O.OOOO-t) PETURN373 DO 31 J =1 ,M137* 31 F ( J I = C ( J I375 F ! M 4 - 2 I = 0376 I F ( M .EQ.O ) M =1
C > REDUCCIÓN OEL F A R A M P T R O HE EXCITACIÓN377 00 50 K = l , H . ¿37B C t K ) = F ! 1 I379 CfKt lMO
i
•""Í-WEr
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380381
1 3821833843853863fl7
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39039139239339439639fi397T583994004014024034044054064O7408409410
411412413414 .415416417418419420421422
• . 423424425426
; • 427. 428
429430
1 431432433434
1 435436437438
) 439440
1 441442443
; 44444544644744 R449
i
DO 40 [=1.M.2F( I )=F ( I * -2 ) -C(K) *E(H-2 )
40 CONTINUÉ50 F(MÍ-1>=0
N =N- 1M = M— ?RETURNEND
CC — > SUBRUTINA PARA DESARR<LLAR FUNCIDNHS TU TIENEN SOLA^ENTF CEROS DE r R A N MIC SION EN EL ORIGEN
SUBROUTINE t)R I GE •*( M , N , B , C , 1 T )REAL F3!l 5) , Cí 15) . LA í 1 5 1 , C t ! 1 "5 1K =1CALL INVIER ( M , N , B , C >CALL FRACCÍM, N.B.C.POR.BMIIFÍJT.EO.ll GO TO 4
2 C 9 ( K ) = 1 / B MPRI NT3 ,K .CB (K )
3 FTRMAT (//SO X. 'C3( ' , 12. ' ) = • .Fa.S ' * R \ I "> ó ' )GO TO 6
4 L A ( K ) = 1/BMPRINT 5, K.LAÍ K 1
5 FORMAT(/ /50X, -LA( • , 12. • > = ' .F8.5. ' HF\JKiaS')6 IF(CU >. LE. 0.00001 ) RETURN
CALL INVIER ÍM.N.B.C)CAtt FRACC<M,N<9.C ,POR,<3MtK=K-H •IFt JT.EQ.l I GO TO 8 .IFt;K/2)*2 .EQ. K) GO TO 4-, íGO- TO Z — • . ' •*'
8 IF(<K/2)*2 .EQ. K) GO T3 2 ! ''.'.•GO TO 4 . •" -END , • • • • • . ' o -
C - - - --•- -- ' . •C — > SUSRUTINA PARA ENCONTRAR EL NUEVO. V4.LOR DE LA r".P5DANCIA T ADMI' iNCIA
SUBROUTINE RESTE! F , N , q.C .BR , ÑOR , NO )REAL Bt lS) ,Ct 15 1N1=N+-1M 1 — M -MIFCNOR.EQ. 2) Gü TO 12DO 4 K=l ,H1 ,2—C CK)=C(K I-B[K )*BR .. -o,IF( C(K) .LT .O) NO=2 • , i ' " - ' - ,
4 CONTINUÉ . ', • _. . -6 IFCCf l I.LT.O.OOOO1 )- Sn TO S -1'
GO TO 50 .' v8 H=M-2
M1=M-H : -.,DO 1O K=1,M1- - ! ] \0 C ( K ) = C ( K * - 2 ) '-4 K
GO TO 50 , > | V12 IF<M.LT. N) GO TO 16 . ' 4 \O 14 K=3.Ml.-2r -- - .. ' : . '.. -
C(K)=C(K )-B<K-2)*BR '-IF;C;KI.LT.O. i No=2
14 CONTINUÉNOR=1 -- • ' - ' 'GO TO 6
16 DO 20 K=1.M1.2C (K)=CCK I-SÍK )*BR
20 IF(C(Kl.LT.O. )- NO=2NOR = 1GO TO 6
50 RETURNENO
CC — > DIVIDE LOS POLINOMIOS NUMERADOR P A R 4 EL DENOMINADOR
SUBROUTINe Dt VIDAtM.N.Q.C, F}R>REAL BU 51 »C! 15)CÍM4-2) =0NN=N+2DO 2 K=NN,ta
2 B(K)=0SR = Cf 1 ) /B( 1 )DO 9 t=l ,M, 2Cf I I=CÍ I +2»-«R*B( H-2 >
€
450 C ( I t l } = 04-51 9 CONTINUÉ452 H=M-2453 RETURV454 ENO
455 SUflROUTINE NUEV A{ P ,S , 8 , C . H . N . MA K. M 4 ? !456 REAL R C 1 5) , St 1 5 ) , B t 1 5 r .Ct 1 5 T457 N = H A S45fl M ^ M A K459 N l = N + t+60 WI=X+1461 OO 2 L I = 1 . M 1462 2 C ( L I ) = R ( L I )463 DO 4 LE=1,N146» 4 B t l _ e ) = S < L E >4-65 RSTURN46-6 ENO
CC —> S U S R U T I M A PAR* TOMPRn^AR OUE LOS C 1=F I C I E N TE-? OT LHSC «VOS
467 • SUSROUTINE PRUERAÍ PS , C ,1. ME. M I . VI . « )468 REAL PS(301,C(15) ,B<1SI >46<3 I F < M E . e Q . O ) GO TO 7470 OO 1 J=l ,ME471 IFtPS! J) .LT.O. ) GO TO 15472 1 CONTINUÉ4 73 7 D 0 9 t _ I = l . M l •'474 IF{ C(L t ) .LT.O. ) GO TO 15 '475 T CONTINUÉ476 OO l+JJ=t»ftt-+77 IF(3<JJ).UT.O.) GO TO 15478 14 CONTINUÉ479 RETURN+80 15 PHINT 2O- - - -.+ 81 20 FORMAT ( / -X38X, 'ERROR UNO OE UJS COeFICI:?^TES OE LD1! ^ A R A M E T H O S
*.47t•*• I / /55X. "=s N E f i A T I V O ' / 5 5 X . t 1 C ' * ' I / / 4 4 X . - L A FUNCIÓN NT SE PUFOí STNTS*OE SINTETIZAR'/44X.3s; •*• I f •'
+82 RETURH 1483 END