ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS

AUXILIADO POR COMPUTADOR

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL

TITULO DE INGENIERO EN LA ESPE

CIALIZACION DE ELECTRÓNICA Y

TELECOMUNICACIONES

MARIO CALVACHE CALVACHE

QUITO, MARZO DE 1982

CERTIFICACIÓN:

Certifico que el presente

trabajo ha sido realizado

en su totalidad por el s_e

ñor Mario Calvache Calva-

che.

ING. GÜALBERTO HIDALGO

Director de Tesis

AGRADECIMIENTO

Un profundo agradecimiento a los profesores de la

Facultad de Ingeniería Eléctrica de la Escuela Politécni-

ca Nacional; en especial a los que integran el Departamen

to de Electrónica,, quienes han aportado con sus coñoci

raientos en mi realización como profesional.

Al Ingeniero Gualberto Hidalgo, quien como mi 'Do.

rector de Tesis ha aportado con muchas y valiosas inicia

tivas para la culminación del presente proyecto.

DEDICATORIA

A mis padres ,

Esposa, e

Hija

IÍ N D I C E

CAPITULO I

EL DISEÑO EN INGENIERÍA

Pag,

1.1 Introducción 1

1.2 Concepto del Diseño en Ingeniería - 4

1.3 Morfología del Diseño ' 5

1.4 La Computadora en e'l 'Diseño de

Ingeniería 12

1.5 Capacidad de la Computadora en el

Diseño de Ingeniería 14

1.6 Conceptos mas importantes relativos

al Diseño Auxiliado por Computadora 15

. CAPITULO II

UTILIZACIÓN DEL COMPUTADOR PARA EL

DISEÑO DE FILTROS

2.1 Requisitos de la Computadora 24

2.2 Definición de los tipos de Aplicación

englobados dentro del diseño de filtros

Pag

por computador _ 28

CAPITULO III

SÍNTESIS DE FILTROS ACTIVOS

3.1 Introducción y Definición de filtros

Activos 39

3.2 Solución Práctica para el Problema

de Filtrado 43

3.3 Funciones de Aproximación 53

3.4 Método de Síntesis de los Filtros

Activos 81

3.5 Criterios de Elección 105

3.6 Criterio de Ajuste 128

CAPITULO IV

ANÁLISIS DEL PROGRAMA PARA LA

SOLUCIÓN DEL DISEÑO

4.1 Introducción y Algoritmo Funcional 137

4.2 Programa y Organigrama General para

el Diseño de Filtros Activos 142

4.3 Subrutinas del Programa 150

CAPITULO V

SIMULACIÓN

5.1 Aplicación del Programa en un Ejem

pío Práctico 206

5.2 Filtro Pasa Bajo de Tchebycheff 206

5.3 Conclusiones 217

ANEXO I

FUNCIONES DE MAGNITUD

ANEXO II

TABLAS PARA SÍNTESIS DE

FILTROS ACTIVOS

ANEXO III

LISTADO DEL PROGRAMA PARA EL

"DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS

POR COMPUTADOR"

Bibliografía

PREFACIO

El presente proyecto está orientado hacia la uti-

lidad que presenta el computador para el Diseño de Fil-

tros Activos. Los primeros capítulos están referidos ex

elusivamente a conceptos básicos acerca del diseño en In

geniería y la utilidad que presenta el computador para el

mismo. Otro capitulo se basa en el estudio teórico sobre

filtros activos, tomando en consideración la solución -

práctica para el problema del filtrado, las funciones de

aproximación necesarias y la explicación de métodos para

la síntesis de los filtros, igualmente un estudio sobre

los principales filtros elementales, del tipo pasa alto

y pasa bajo, así como los criterios que se debe tomar en

cuenta para una buena elección del filtro que satisfaga

los parámetros exigidos por el diseñador.

Por otra parte se ha previsto la realización de

un programa con ayuda del computador para el diseño de

filtros activos. Sin embargo, no es posible contemplar -

todos los parámetros que intervienen en el diseño de los

filtros por cuanto es necesario un profundo conocimiento

de altas matemáticas y experiencias prácticas.

No obstante, con base al estudio teórico realiza-

do y las técnicas de optimización aplicadas a la síntesis

de filtros activos, podemos decir que el programa realiza

do en el computador es bastante útil para la realización

del diseño de filtros activos prototipos simples que pue-

dan resolver muchos problemas de filtrado, de acuerdo a

los parámetros propuestos por el diseñador.

CAPITULO I

EL DISEÑO EN INGENIERÍA

1.1 INTRODUCCIÓN

Indudablemente existen numerosas formas de lograr

un propósito específico, muchas de las cuales, si no es

que la mayoría, son desconocidas para un ingeniero al

principio de un proyecto propuesto. A él le corresponde

descubrir y explorar un cierto número de posibilidades.

Los conocimientos adquiridos con su preparación y expe-

riencia son una fuente importante, pero no la única para

tener soluciones, también tiene que emplear su ingenio.

Al evaluar las diversas posibilidades debe confiar excesi_

varaente en su juicio o criterio personal, el que utiliza

en vez de efectuar una investigación exhaustiva de todas

las alternativas (algo que obviamente no tiene tiempo de

realizar). El juicio o criterio personal, que se adquie-

re con la experiencia, es un aspecto exigente del trabajo

diario de un ingeniero. La capacidad creativa necesaria

para inventar soluciones, y el criterio utilizado en su

evaluación, significan que la práctica de la ingeniería -

tiene más de arte que de lo que se podría haber supuesto.

- 2

A un ingeniero debe interesarle la productividad_

de sus creaciones, tanto desde su punto de vista técnico

(¿puede hacerse realmente?),- como económico (¿podrá hacer

se a un costo admisible?), la comunicación o contacto con

la gente requiere la mayor cantidad de tiempo de trabajo

de un ingeniero, mientras que el estar sentado ante su me

sa o laboratorio le consume un tiempo mucho íneñor de lo

que generalmente se piensa. Una sorprendente proporción

de su tiempo se eraplea haciendo consultas, dando instruc-

ciones , contestando preguntas, proporcionando consejos o

recomendaciones, intercambiando ideas, y buscando aproba-

ción. .Consecuentemente, la incapacidad de mantener reía

ciones personales satisfactorias puede llegar a ser un se_

vero obstáculo para el éxito de un ingeniero..

En general, el resultado del trabajo de un inge-

niero es algo tangible; un aparato físico, una estructura

o un proceso. Tal hecho es, probablemente, el motivo de

un concepto erróneo común acerca de la ingeniería. Como

el resultado del trabajo de un ingeniero es un dispositi-

vo, una estructura, una máquina o un mecanismo, la gente

cree que los ingenieros pasan la mayor parte de su tiempo

trabajando en esas cosas, pero éste no es generalmente el

caso. Un ingeniero suele realizar la mayor parte de la -

resolución del problema con trabajo abstracto. Trabaja

mucho más con información (es decir, examinando hechos y

observaciones, calculando, pensando y comunicando ideas)

que con cosas u objetos tangibles * Además los técnicos -

son asnalmente los encargados de construir los prototipos

de las obras o creaciones del ingeniero cuando es necesa

rio. Así pues, el trabajo en ingeniería es muy diferente

de lo que cree la mayoría de la gente.

Es difícil lograr una plena apreciación del papel

que desempeña la ingeniería, si no se comprende la dife-

rencia básica entre la ciencia y la ingeniería. .Estas d_i

fieren en los procesos básicos característicos de cada u

na (investigación versns diseño), los objetivos de interés

que tienen día a día, y el producto .final primario (cono-

cimiento versus obras y aparatos físicos).

En definitiva, el ingeniero no existe solamente -

para la aplicación de la ciencia, sino que existe para re_

solver problemas, y en tal acción utiliza los conocimien-

tos científicos disponibles.

El ingeniero desarrolla un dispositivo físico, o

una estructura mediante un proceso creativo llamado ¿ise_

ño. Algunos cíe los primeros intereses del ingeniero, a

medida que realiza el diseño, son la factibilidad económi

caf la seguridad para la vida humana, la aceptación del

público y la manofacturabilidad de sus obras.

1.2 CONCEPTO DEL DISEÑO DE INGENIERÍA

Puesto que diseño es una palabra ordinaria y no

todos los posibles significados son oportunos., en ingenie-

ría es común añadirle la frase complemantaria "de ingenie

ría" y hablar de "diseño de ingeniería". El diseño es la

parte medular de la ingeniería y todo lo que se efectúa -

para resolver un problema, se hace mediante ese procedi-

miento, por tanto, ya que el proposito principal del inge

niero es diseñar, es conveniente dar una definición de lo

que es un ingeniero:

Un ingeniero planea, controla (esto es diseña) la

acción reciproca entre energía, materia, hombres y dinero

para cumplir en forma óptima un propósito deseado. El prp_

ducto común de un esfuerzo de ingeniería es dar servicio,

por lo tanto el servicio proporciona un plan para duplicar

objetos que satisfagan una necesidad deseada»

El diseño de ingeniería, por exigir la predicción

exacta y cierta tentativa de optimización, se vuelve por

tanto una complicada síntesis de factores técnicos, socia

5 -

les y económicos

1.3 MORFOLOGÍA DEL DISEÑO

No existe una filosofía del diseño de ingeniería,

los diseñadores normalmente adaptan sus capacidades, peri

cías y aptitudes al problema que tienen a la mano, y du-

rante un largo período de tiempo, superan a sus competido

res en la lucha por satisfacer la demanda del mercado.

Un nodelo de diseño de "circuito abierto" podría

ser semejante al representado en la figura 1. Si no se -

puede devolver al diseñador datos informativos sobre el

comportamiento ríe la demanda en el mercado, entonces el -

diseño que ce está probando no podrá ser corregido en sus

errores.

Supóngase que se agrega un circuito de retroalimen_

tación como se representa en la figura 2, en una sitúa -

.ción al evaluar el diseño, tal sistena de retroalimenta -

ción podría ser lo único que se necesite para hacer peque_

ñas modificaciones que se adapten a la demanda en el mer_

cado. Por ejemplo si la retroaliraentación es procedente

de la disminución de las ventas en el mercado, se puede -

estimular mejoras y perfeccionamientos en el diseño para

ConocimientoTécnico

La funciónde Diseno

Una necesidado Labor

Especifecada

DecisiónCurso deAcción

El DiseñoFinal

Reproduccióndel Diseño

Sin retornoa la funciónde Diseño

Cons e cuenci asNecesidad SaJtisfecha oInsatisfecha

Fig. 1 Una vista Macroscópica del Proceso de

Diseño en Ausencia del retorno prove -

niente de la Demanda del Mercado

contrarestar tal disminución.

Como .el mercado existe solo durante un breve tieru

po, a medida que las necesidades se vuelven más apremian-

tes, las recompensas son para quienes entreguen al merca

do el mejor diseño. En tal situación, la información re

troaliraentada podría consistir en sólo dos señales: "si"

(éxito) y "no" (fracaso).

Cuando es preciso comprometer grandes cantidades

de capital y otros recursos antes de poder contar con al_

gana información sobre la demanda en el mercado, será ne_

cesario buscar y utilizar otras retroalimentaciones. En

todo caso el mercado tiene que simularse en la forma más

realista posible, merced a un procedimiento de ensayo y

evaluación.

En el cuadro de DECISIÓN de la. figura 2 podríamos

notar que se toman decisiones provicionales cuyos resulta^

dos son, el diseño preliminar y la realización de modelos

experimentales, asi como también, la prueba de dichos mo-

delos, mediante la construcción real o en forma de simula_

ción. Los resultados obtenidos modifican la decisión ha_s_

ta que las pruebas son satisfactorias y la decisión provi_

cional ya satisfactoria se convierte en la decisión defi-

ConocimientoTécnico

La Función deDiseño

Decision-Cur_so de Acción

El DisenoFinal

Reproduccióndel Diseño

Una Necesidado Labor Espe_

cífica

Señal deRetroali^mentación

Consecuencias!Necesidad Sa-tisfecha o insatisfecha

Fig . 2 Una vista Macroscópica del Proceso

de Diseño en presencia del Retorno,

proveniente de la Demanda de Merca_do.

- 9 -

initiva, el recuadro de decisión ampliada lo tenemos en la

figura 3=

En el proceso de diseño, nos vamos dando cuenta -

que existen retroalimentaciones y acciones que se deben -

tomar, y éstas a su vez nos dan a entender la poca o nin

nuna importancia de pretender una visión un tanto refina-

da del proceso de diseño, sin embargo es importante desta

car aquí que de la observación de la figura 3, existen

procedimientos evaluativos que pueden ocurrir en todos -

los pasos del proceso de diseño.

El ingeniero que se enfrenta a la competencia en

un mercado que no le proporcione, o no pueda proporcionar

le una retroacción significativa a tiempo de prevenir un

desastre o de mejorar su posición competitiva, no afronta

una labor sin esperanzas. Existe un estratagema aprove-

chable para él, aunque de él dependen las tácticas especl

ficas que se empleen para alcanzar su meta, esta * estrata-

gema es producir aquel diseño que supere a todos los de-

más .

Diseñar es especificar con precisión la forma en

que ha de ejecutarse una determinada tarea. Para especi-

ficar se requiere poder creador y comprensión. La compren

10

rDecisión

'"I

DecisiónTentativa

DisenoPreliminar

Construcciónde Prototrpcso Modelos Experimentales

Fig. 3 Una Ampliación del Bloque de Decisión

del Proceso de Diseño.

- 12 -

PROVISIONAL, podría ampliarse para revelar una anatomía -

corno la representada en la figura 4. Los recuadros se re

lacionan con las cosas que deberán hacerse e indican ' la

lógica secuencial (es decir el orden lógico); pero no se

dice cómo desempeña tales funciones, simplemente desplie-

gan un estratagema de diseño. La táctica tiene que apor-

tarla el diseñador para ajustar el estratagema al proble_

ma que tenga inmediatamente a la mano.

1.4 LA COMPUTADORA EN EL DISEÑO DE INGENIERÍA

La decisión como un esfuerzo humano está ocurrien.

do constantemente, así por ejemplo algunas decisiones cp_

lindan con la acción inconsciente en algunos individuos,

pero pese a ello son decisiones, porque entrañan la pre-

sencia de alternativas; se escoje una, y se altera el cur_

so de los acontecimientos„

Una decisión es evaluada por quien la toma, y /o

por otros que valoran su contribución al logro de los obje_

tivos, inmediatos y de largo plazo, del diseñador y de su

sistema social.

Dentro del significado de decisión tenemos la ca-

pacidad y oportunidad para escoger entre dos o más alter-

- 11

sión se basa en la experiencia y se codifica en el análi-

sis r mediante el uso de técnicas matemáticas deductivas y

empíricas. Si un diseñador procede como sigue, es decir:

1. Define su problema en términos cuantitativos;

2. Decide cómo reconocerá el mérito de la solu-

ción satisfactoria;

3. Decide cómo reconocerá el mérito de la solu-

ción, y ordena sus soluciones en consecuencia;

4. Genera alternativas (posibles soluciones);

5. Por medio del análisis, descarta las alternati^

vas insatisfactorias y conserva las satisfacto

rias;

6. Elige la solución de más altos méritos entre

las alternativas factibles;

7. Toma una decisión, y la pone en ejecución.

El ingeniero estará entonces procediendo de una ma_

ñera completamente compatible con las capacidades de una -

computadora„

En el recuadro de la figura 3 designado DECISIÓN

- 13 -

r DecisiónTentativa

Definir elProblema

GenerarAlternativas

Analizar lasAlternativas

rus ^-^ •coñtra\oel problema^atisfactoria

AlternativaSatisfactoria

Des cartarAlternativa

NO Recordar laAlternativa

Ordenar lasAlternativas

Satisfactorias

Seleccionarla mejor A^ternativa

1

Fiq. 4 Una Ampliación del Bloque Decisión Tentativa

dentro del Proceso de Diseño,

- 14 -

nativas; para que haya decisiones tiene que haber alterna

tivas. Cada alternativa entraña y conlleva una variedad

de consecuencias. Sus ventajas y desventajas pueden ser

claramente previsibles, o pueden estar ocultas en una nú

be de incertidumbre, o tal vez jamas sean observables.

La capacidad para valorar cualitativamente los relativos

méritos de las diversas alternativas es importante para -

el empleo de la computadora en el diseño»

En general diremos que todo graduado en ingenie -

ría deberá tener un conocimiento de trabajo de por lo me-

nos un algoritmo adecuado para la realización efectiva -

del diseño auxiliado por computadora, entonces poseerá u

na base sobre la cual decidir si la asistencia de la com-

putadora es factible en una situación dada.

1.5 CAPACIDAD DE LA COMPUTADORA EN EL DISEÑO DE INGENIERÍA

El advenimiento de la computadora fue un avance -

que produjo consecuencias de grandes alcances para el di_

seño. Desde sus inicios, las computadoras se han emplea-

do, y se siguen empleando, para el análisis, pues calcu -

lan con rapidez, exactitud y sin fatiga.

El graduado de ingeniería de hoy trabajará en un

- 15

mundo profesional donde la computadora forma parte inte -

grante del proceso de diseño- Es importante para el nue-

vo ingeniero estar consciente de lo que sabe es posible,

pues se le llamará a usar sus conocimientosf su imagina-

ción y su poder creativo para de esa forma llegar a satis

facer cualquier problema que pueda sucitar en un diseño.

El ingeniero debe conocer ante todo las capacida-

des del computador. ¿Qué puede hacer una computadora?

Puede sumar, restar, multiplicar, dividir y ejecutar ' una

multitud de otras acciones concertadas a las cuales pode

mos llamar simplemente "cálculo". Los cálculos pueden e_

fectuarse con gran rapidez, con gran precisión, y sin el

más leve indicio de fatiga.

La utilidad de la capacidad de cálculo de la com-

putadora , es evidente en la fase de ANÁLISIS del diseño ,-

cuando los costos de programación y servicio pueden justi

ficarse desde el punto de vista económico.

1.6 CONCEPTOS MAS IMPORTANTES RELATIVOS AL DISEÑO AUXI-

LIADO POR COMPUTADORA

En la actualidad existen muchas técnicas de cálcu_

lo por computadora, por lo que definiremos primeramente -

16 ~

lo que es el diseño auxiliado por computadora.

"El diseño auxiliado por computadora es una técni

ca en la que el hombre y computador forman un equipo para

resolver problemas en el cual, mediante la unión de las -

mejores características de cada uno de ellos, se logra -

que este equipo trabaje mejor que cualquiera de los dos

por separado".

Como puede comprenderse perfectamente, hay 'que

descartar la idea de que el diseño auxiliado por computa-

dor quiere indicar, un conjunto de programas de análisis,

que 'pueden ser requeridos por el diseñador. No deben así

confundirse las aplicaciones del computador como mero ele_

mentó de análisis o corno ayuda en el diseño. Tal es así

que se ha llegado a hablar en lugar de diseño auxiliado -

por computador, de diseño aumentado por computador, desta_

cando de esta forma la profunda unión entre el hombre y -

computador, en este tipo de diseño, es decir en las apli-

caciones del diseño auxiliado por computador.

Actualmente se ha buscado sustituir el esquema -

clásico de diseño-construcción, por el de diseño-simula~

ción-construcción, ya que la simulación es una de las ma_

nifestaciones más típicas del diseño auxiliado por compu-

- 17

tadora. Normalmente, toda simulación presupone la busque

da y desarrollo de un modelo de diseño que se va ha estu

diar.

Un ejemplo de esto lo representamos en la figura

5, por lo que podemos decir que las características de un

problema de diseño que hacen aplicables el diseño auxilia

do por computador son varias o una de las siguientes:

a. El modelo es factible y compatible con la ca

pacidad del computador. Es decir, el proble-

ma puede programarse para una solución rápida.

b. El diseño es de una naturaleza secuencial»

c. El número de variables es elevado de forma

que la solución es difícil de hallar.

d. Los cálculos son laboriosos.

e. Existen beneficios de antemano, por ejemplo,

se tiene información del producto final antes

de ser fabricado.

f. Se tiene una experiencia previa para el dise-

_ 1 <JL <

Especifica-ciones

El DiseñoFinal

V

El Modelodel Diseño

El Análisisdel Diseño

Alterar el^Diseno Autómata,camente , ysecuenc-Lalmen

te

NO

Construccióndel Prototipo

Se alteranlos Modelos

Fig. 5 Diagrama de un Proceso de Diseno

por Computador.

- 19 -

ño que facilita el desarrollo de un modelo»

En general, el proceso de diseño auxiliado por com

putador lo representamos en la figura 6.

El proceso de diseño de un sistema lo hemos repre-

sentado en la figura 7, algunos bloques de este diagrama -

bien pudieran ser sustituidos por bloques como el anterior

representado en la figura 6, es decir 7 si es que el diseño

auxiliado por computadora es aplicable/ asi por ejemplo, -

el bloque de búsqueda en el catálogo de componentes dispo-

nibles para el diseño, de tal forma que éste bloque deter_

mine si alguno de sus componentes cumple los requisitos y

se pueda ordenar el diseño adecuado, a su vez ordenar el jL

nicio de un diseño con nuevos componentes. Esta tarea se

la puede asignar con muchas ventajas a un computador, el -

cual nos puede indicar el comienzo de un nuevo diseño si

el componente requerido no existe o no es satisfactorio.

Aunque sería deseable que el proceso total del di

seño fuese automático, ésto no es posible en la actualidad.

Por ejemplo, el "interfase" entre el bloque de búsqueda en

el catálogo de componentes y el diseño con nuevos componen

tes, requiere de la acción de un operador humano. Esto es

debido a que por ejemplo el bloque de búsqueda da por lo -

Optimizamosel Modelo

- 20 -

Entrada al Blo_que del Diseño

Síntesis

Se obtieneun Modelo

Análisis

Cálculo (seevalúan re-sultados fi-nales)

Salida del Blo-que de Diseño

Optimizamosla Síntesis

Fig . 6 Diagrama de un Proceso de Diseño

Auxiliado por Computador.

- 21 -

Requisitos SíntesisEspecificado,nes de Com-ponentes

Simulación

Búsquedade

Catálogos

Diseño connuevos Com-ponentes

\t\> \'

Control deCalidad

(Producción)

Fig . 7 Diagrama de Bloques del Diseño de

un Sistema.

- 22 -

general un listado de salida de sus componentes, y si es

tos componentes no son adecuados al diseño, el computador

podría rechazarlos, pero estos diseños con un mínimo de

modificaciones podrían ser usados o al menos servir de mo

délo inicial para el bloque de un diseño con nuevos compo

nentes, por lo que es necesario ese "interfase" humano.

En un proceso de diseño, primeramente hacemos una

síntesis del modelo y luego el análisis. Este análisis -

puede reducirse generalmente a subrutinas standard por ccm

putador y por lo tanto el principal problema radica en la

determinación del modelo sobre el que van a trabajar esas

subrutinas.

Sin un modelo realista, el computador será solo -

útil para el diseño y por lo tanto no se conseguirá ningu.

no de los beneficios de la aplicación del diseño auxilia-

do por computador.

Por lo tanto en la actualidad se trata de desarro

llar programas capaces de tomar decisiones en lo que a di

seño se refiere; ello va unido al desarrollo de programas

de optimización cada vez más elaborados y complejos, de

técnicas de descomposición, etc. que permitan evitar el

uso de una configuración hibr ida--computador-hombre en los

- 23 -

procesos de diseño, cuyo principal inconveniente es que -

el ahorro del costo de diseño, es proporcional a la ampli

tud del uso que del diseño auxili-ado por computador se ha

ga en el mismo.

Desde el punto de vista económico, el costo de de_

sarrollo de un programa de computador será fácilmente ab-

sorbido por la venta de grandes cantidades de los sistemas

diseñados con ayuda del computador. El costo de la pro-

gramación deberá justificarse comparándola con el del di-

seño manual.

CAPITULO II

UTILIZACIÓN DEL COMPUTADOR PARA EL

DISEÑO DE FILTROS

2.1 REQUISITOS DE LA COMPUTADORA

Si un ingeniero incorpora una computadora en el

sistema que diseña, la razón es que su solución requiere_

cuando menos unos de los siguientes medios:

1. Un medio económico de almacenar información,

2. Un medio económico de procesar información,

3. Un medio de manejar información a velocidades

a las que sólo una computadora es capaz de -ha_

cerlo.

4. Un medio de rastrear o seguir muchos eventos

o variables que interactúan y cambian frecuen

temente, en situaciones en que la computadora

es el mejor medio, sino el único, de lograrlo.

Por lo que antes de introducirnos en lo que se re

- 25 -

fiere a la ayuda del computador en el diseño de filtros -

tendremos una introducción acerca de los requisitos que

debe tener una computadora para realizar cualquier tipo -

de cálculos con el fin de facilitar y acelerar la prepara

ción de programas y lenguajes especiales que faciliten la

comunicación entre el hombre y la máquina.

El lenguaje empleado por el usuario de la computa

dora suele calificarse como un lenguaje orientado al pro

blema. Esto equivale a afirmar que el lenguaje y su • gra

mática fueron creados para ajustarse a la naturaleza de

los problemas. Entre los lenguajes de la computación fi.

guran entre otros el MAD (Michigan Algotithm Decoder), el

Fortran, etc., adecuados para las necesidades de la comu

nidad científica y de ingeniería cuando se trata de ecua

ciones algebraicas y diferenciales, manejar matrices y ve_c

tores, etc., otro lenguaje también muy utilizado en cuan-

to se refiere a programas desarrollados con miras a a-pLi

caciones también 'científicas es el BASIC en sus versiones

más potentes, que incluso se encuentran disponibles en al.

gunos compiladores de computadoras.

El lenguaje FORTRAN es el más usado en programas

en especial de ingeniería que funcionen en tiempo compar-• : ''>•'. ~ ̂

tido y que por lo general son más potentes y precisan por "•' /;..X,

- 26 -

ello mayor capacidad que el BASIC por ejemplo, en lo que

a su implementación con un computador se refiere.

En cuanto a los procedimientos de entrada-salida

(I/O, abreviatura de "imput-output") para computadoras de

lenguaje FORTRAN, éstos están al alcance de los usuarios

de las diversas modalidades particulares' de máquinas, ya

sean por intermedio del fabricante de la computadora o -

del propio centro de computación.

Los efectos de computación de tiempo compartido -

sobre la ingeniería, dan un indicio de la gran influencia

que tienen las computadoras, ya que desde un terminal un

ingeniero puede iniciar búsquedas de información, solici-

tar datos de los archivos departamentales, resolver ecu£

ciones y hacer casi cualquier cosa que haya de ser reali-

zada por la computadora. Puede escribir un programa de

computadora, ensayarlo,"limpiarlo" (quitarle los defectos

y equivocaciones) inmediatamente después, y cuando ha ob

tenido un programa utilizable dar instrucciones de almace_

narlo a la computadora. Todo el que quiera emplear tal -

programa puede solicitarlo así desde cualquier terminal y

lo tendrá a su disposición inmediatamente.

El asunto que interesa en este contexto es la na

- 27 -

turaleza déla presentación de los resultados (salidas) ,

obtenidos de la computadora, en cuanto se relacione con -

el diseño; un diseñador puede recordar datos informativos

relacionados con unas cuantas alternativas, pero si la com

putadora fuera a documentar un centenar de alternativas f

la única alternativa al azar sería conservar físicamente

juntas las informaciones de entrada y salida, por lo que

se debe tener F tomar en cuenta o formularse algunas re-

glas capaces de ordenarse en expedientes y carpetas de va

rias clases, que evitarán al diseñador sufrir considera-

bles confusiones y malos ratos en su trabajo de ingenie-

ría con computadora.

En cuanto a los problemas de ingeniería, si éstos

tuvieran que resolverse y programarse a partir de cero en

cada ocasión, la computadora tendría poco uso'en la sala

de diseño. Los gastos generales de planear el problema -

de computadora y de eliminar sus fallas serían cuantiosas,

y por lo tanto en muchos casos el uso de la computadora -

se volvería económicamente irrealizable.

Por tanto un diseñador funciona porque es capaz -

de correlacionar y concentrar sobre un problema todo un

conjunto de respuestas condicionadas, ordenadas y organi-

zadas por el intelecto en forma que permita resolver un

- 28 -

problema complicado. A la computadora se le puede "ense-

ñar" un repertorio similar de respuestas condicionadas

que los humanos tienen que organizar para integrar con e

lias la solución a un problema. Una vez que la computado

ra ha "aprendido" ese repertorio, puede hacérsela recor-

dar el entrenamiento previo. A esa aptitud de la computa

dora, equivalente al aprendizaje de respuestas condiciona

das a los problemas elementales y a recordar una vez a-

prendidas, se llama la Aptitud de Subrutina de la computa

dora.

2.2 DEFINICIÓN DE LOS TIPOS DE APLICACIÓN ENGLOBADOS DEN

TRO DEL DISEÑO DE FILTROS POR COMPUTADOR

Después de establecer en los párrafos anteriores -

introductoriamente como se puede usar un computador en un

diseño cualquiera de ingeniería, sería conveniente ya ce_

ñirse a las características propias del diseño por compu-

tador de los filtros activos que nos interesa en este tra.

bajo.

Los trabajos desarrollados para la síntesis de

filtros, son por lo general de gran capacidad de memoria

requiriendo por lo tanto de un computador potente y carac_

29 -

terizándose sobre todo el programa autosuficiente; es de-

cir :

1. Los datos precisados por el programa están -

presentes durante toda la pasada del programa,

y por consiguiente todos deberán haber sido

suministrados inicialmente por el usuario.

2. Las tomas de dicisiones internas a lo largo -

del programa, deberán estar previstas por el

programador de forma que el proceso lógico o

el algoritmo se verifique totalmente»

Para el diseño por computadora de filtros activos

(o pasivos) podríamos indicar que generalmente precisará,

usar un computador suficientemente potente, una lectora -

de fichas, unidades de memoria de "masa", es decir, cin-

tas o discos magnéticos. En determinados casos en los

que se conectan terminales remotos a un computador traba-

jando en tiempo compartido, podrá dado el caso, ser de

gran interés disponer de un teletipo o pantalla alfanume"-

rica. Por otro lado para los programas que utilizan len

guaje BASIC por ejemplo un rniniordenador será suficiente.

Los periféricos, serán los adecuados, lectora de cintas y/6

de fichas, impresora, teletipo, y una o varias unidades

- 30 -

de disco.

Con respecto a las aplicaciones involucradas en

un diseño por computador de filtros en general, podemos -

resumir así sus principales características:

2.2.1 ANÁLISIS

Ciñiéndonos al estudio de filtros activos, nos

preguntaremos ¿qué tipo de análisis nos va a ser de utili

dad?. Podríamos decir, que nos será de utilidad el ana la.

sis en frecuencia y en régimen transitorio del filtro.

A pesar de que existen programas generalizados de análisis,

la tendencia es incluir en los programas de síntesis una

o varias subrutinas que permitan el análisis (por ser es_

tructuras fijas) de cada sección del filtro, y del filtro

total en cascada de las anteriores secciones. La utilidad

de estos resultados pueden ser dobles:

1. Permitir un adecuado ajuste de las frecuencias

de resonancia (o de corte) y del factor de ca-

lidad, de cada etapa del filtro, como también

su sensibilidad.

2. Comprobar que el circuito con los componentes

- 31 -

físicos obtenidos, pueda realizar la función

de aproximación a la característica real del

filtro pedida; en función de la frecuencia se

puede obtener; módulo y fase de la función de

transferencia, retardo de grupo, impedancia -

'de entrada, etc.

2.2.2 CALCULO

En todos los programas de ingeniería, y por lo

tanto también en el diseño de filtros por computador, es

preciso realizar un número considerable de cálculos basa-

dos en los datos de entrada del programa.

Es así, de sumo interés, disponer de una bibliote

ca de subrutinas que faciliten la solución de los cálculos

o problemas más comunes. A título de ejemplo, podemos in

dicar algunas subrutinas de gran interés:

1 . Cálculo de raíces de un polinomio de coeficieri

tes reales o complejos.

2. Producto de polinomios.

3. Operaciones de todo tipo de matrices.

- 32 -

4. Dibujo por impresora de gráficas.

5 a Generación de números aleatorios.

6. Transformadas directas e inversas de Fourier.

etc . . .,

De estas y de otras subrutinas, se dispone por lo

general dentro de las subrutinas científicas de los fabri

cantes de computadoras.

No obstante es una norma de interés para todos

los usuarios de un centro de cálculo dedicado en parte al

diseño de filtros por computadores, el implementar las -

subrutinas que siendo sólo propias o útiles en esta apli-

cación , no se encuentran dentro de las bibliotecas antes

citadas. Así por ejemplo, el diseño de un ecualizador

que se use en muchos diseños, y que por simplicidad sería

un programa demasiado pequeño, para pasarlo como tal todas

las veces precisadas.

2.2.3 OPTIMIZACION

La optimización es el proceso de buscar el valor,

- 33 -

la condición o la solución óptimas. Desafortunadamente,

en la mayor parte de los problemas de ingeniería la opti-

mización es más compleja y consume más tiempo que en cual

guier otra aplicación.

Las aplicaciones de optimización se las podría re

sumir de la siguiente forma:

Se debe minimizar (o maximizar) una función que

depende de un determinado número de parámetros. Esta fun

ción en .determinados casos representará, un compromiso en

tre el costo de un circuito y su rendimiento; en otros ca

sos medirá con un determinado criterio, el error en la a-

proximación a una determinada característica del circui-

to diseñado. En cualquier caso son dos las característi-

cas de los programas de optimización;

1. Son relativamente lentos dependiendo, del al.

gorítmo usado, que podrá converger lenta o rá

pidamente hacia la solución óptima, dependien

do del caso tratado, y del número de variables

a optimizar. La dependencia con el numero de

variables no es fija, pero podemos indicar a

título de orientación, que en determinados ca

sos es muy extrema, elevándose el tiempo • de

- 34 -

pasada del programa de forma más que proporcio

nal al número de variables.

2. Son de gran tamaño (es decir, ocupan mucha me-

moria del computador), y de gran complejidad -

de programación.

Podemos de.cir, que en cuanto a los méritos y des-

ventajas de las técnicas secuenciales de optimización son

tales que hacen de estos métodos un complemento en lugar

de reemplazar a los basados en la teoría clásica de redes.

Los métodos de optimización deben ser usados- en aquellos

casos en que no sea posible resolver los problemas de di-

seño por métodos clásicos r ya que éstos pueden programar-

se con mayor facilidad, con mayor rapidez y menor capaci-

dad de memoria, lo cual debe tenerse siempre en cuenta.-

Los criterios que se utilizarán para seleccionar

el mejor diseño debe identificarse durante el análisis del

problema. Realmente, los criterios cambian muy poco de

problema a problema, el costo "de construcción o fabrica-

ción, y otros semejantes se aplican casi en todos los c_a

sos. Pero lo que sí cambia significativamente es la im-

portancia relativa de cada uno de estos criterios . De ahí

que en la mayor parte de los problemas la tarea primordial

- 35 -

del ingeniero con respecto a los criterios es conocer la

importancia relativa asignada a varios de ellos»

Por lo tanto el análisis del problema comprende

mucho trabajo de reunión y procesamiento de información.

El resultado es una definición del problema en detalle,

que se.espera maximice las probabilidades de hallar una

solución óptima. Ahora ya está uno listo para iniciar la

búsqueda de tal solución,,

2.2.4 SIMULACIÓN

El objetivo de la simulación es llegar mediante

una serie de técnicas, a una mejor comprensión del compo_r

tamiento de los sistemas. Por medio de la simulación, se

sustituyen:

1. La construcción y experimentación.

2. El modelo inforrnacional o matemático y el anjí

lisis del comportamiento del sistema usando -

el modelo de éste.

.El diagrama funcional de una aplicación de tipo -

general, es el que lo representamos en la figura 8.

- 36 -

Plantear elProblema

Determinarlos Modelos

Analizarel SistemaSimulado

OptimizamosParámetrosdel Modelo

Analizamos elSistema bajotodas las con

diciones

Construir elPrototipo

Experimenta-ción y Medi-

das

(producción J

Buscamos lafalta delModelo

Replanteodel Problema

Fig. 8 Diagrama de una Aplicación

General de Simulación.

- 37

Con respecto a dicho diagrama podemos hacer las -

siguientes observaciones:

1. Esta aplicación de simulación es del todo ge

neral como podemos observar en el diagrama, -

ya que incluso hay bloques de ANÁLISIS y de -

OPTIMIZACION.

2. Planteado el problema, se pasa al estudio de

las leyes físicas o matemáticas que intervie-

nen en él. De este estudio, se obtiene un mo

délo matemático informacional que intente

describir lo que se deduce de las leyes físi

cas. Una vez analizado el sistema usando el

modelo hallado,, se pasa a una fase de optimi-

zación, seguida de una fase de construcción 7

al final de los cuales, de la comparación de

los resultados de la simulación y de la expe-

rimentación, se puede pensar si el resultado

es satisfactorio para la construcción en serie

del sistema.

CAPITULO III

SÍNTESIS DE FILTROS ACTIVOS

3.1 INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN DE FILTROS ACTIVOS

3.1.1 INTRODUCCIÓN

El problema del filtrado o, dicho de otra manera,

de la separación y selección de las señales eléctricas en

función de su frecuencia, han sido siempre de una gran im

portañola en la técnica de las telecomunicaciones 0

Durante algunos años se observó que una línea, na

tural o artificial, la cual comprende una secuencia de bo

binas en serie y capacidades en paralelo, constituía un

filtro pasa bajo, mientras que la combinación inversa ( c

en serie, y L en paralelo) formaba un filtro pasa alto.

La asociación de circuitos resonantes en serie y de cir -

cuitos tanque (combinación de bobinas y condensadores en

paralelo) en paralelo conducía a la obtención de un fil

tro pasa banda, así como la combinación inversa de ésta -

formaba un filtro limitador de banda. Varias generaciones

de diseñadores orientaron sus esfuerzos en este sentido ,

39 -

creando estructuras cada vez más perfectas, junto con sus

correspondientes métodos de cálculo, con el afán de obte

ner filtros de todas las clases que dispusiesen de una -

banda de paso muy regular, bandas laterales fuertemente a

tenuadas y un corte los más franco posible en sus limites.

Esta técnica se halla todavía en uso y posiblemete segui-

rá empleándose en el margen de las altas frecuencias. Su

principal inconveniente reside en que cuando más bajas

son las frecuencias que se consideran, mayores son los con

densadores necesarios, y, sobre todo, las bobinas, llegan

do incluso a valores inadmisibles en la época actual, de

marcada tendencia a la miniaturizacion de los componentes.

Podría pensarse en obtener filtros que estuvieran

constituidos solamente por resistencias y condensadores ,

sin la participación de bobinas, pero al cabo de mucho

tiempo f con éstos elementos sólo se han alcanzado caracte_

rísticas mediocres de filtrado, junto con el inconvenien-

te de un considerable amortiguamiento.

La llegada del transistor y más recientemente, -

del amplificador operacional integrado, ha permitido cons

truir circuitos resonantes de un tipo nuevo, utilizando -

únicamente resistencias y condensadores junto con estos e_

lementos activos. Los filtros obtenidos de esta forma ,

- 40 -

llamados filtros activos, presentan numerosas ventajas, -

principalmente en el campo de las bajas frecuencias, nota

bles propiedades selectivas, con el único inconveniente -

de una cierta variación de las características con la ten

sión aplicada, defecto éste que se conoce con el nombre -

de "sensibilidad11 (a las variaciones se entiende) . Por

otro lado, estos filtros activos son ligeros, poco volurni

nosos y de un costo razonable.

Por lo que este capítulo nos permite profundizar

en parte los conocimientos en el campo de la técnica del

filtrado, y un estudio de los circuitos activos tanto peí

sa bajo como pasa altos que serán realizados en un progra.

ma de computadora en la parte IV de este trabajo.

3.1.2 DEFINICIÓN

Un filtro eléctrico es de una manera general, un

circuito que proporciona una modificación de la amplitud

o la fase de los componentesf pero cuando nos referimos -

concretamente a filtros pasivos o filtros activos, teñe

mos que tomar en consideración que los circuitos resonan-

tes eléctricos (con -LC, de cavidad resonantee etc.) . se

basan en el fenómeno de intercambio de energía electrostá

tica y- electromagnética, siguiendo las leyes clásicas del

- 41 -

electromagnetismo; si el circuito resonante se exita me-

diante una fuente de energía exterior y después se deja -

en reposo/, dicho circuito pierde lentamente la energía que

ha almacenado, oscilando en su frecuencia de resonancia„

La amplitud de esta oscilación decrece más o menos rápida

mente, según el valor del coeficiente de sobretensión, pe

ro el circuito resonante disipa pasivamente la energía re

cibida, los que utilizan circuitos resonantes de este ti

po son filtros pasivos.

Por el contrario, cuando se excita un circuito re

sonante constituido por resistencias y condensadores aso-

ciados a elementos activos, como transistores, por ejemplo,

estos últimos suministran al circuito una energía más o -

menos considerable, la cual se opone al decrecimiento de

la oscilación inicial. Llegando al límite, si esta ener-

gía suministrada es suficientemente importante; en este -

caso el circuito resonante posee un coeficiente de sobre -

tensión infinito y contituye un oscilador. Los filtros -

que utilizan circuitos resonantes de este tipo son filtros

activos.

De esta manera, podemos establecer la siguiente -

definición:

- 42 -

"Filtro activo es el que recibe energía de una -

fuente interna. Filtro pasivo el que no recibe energía •=-

de ninguna fuente interna".

Los circuitos resonantes activos pueden tener un

coeficiente de sobretensión tan grande como se desee. Por

consiguiente, teóricamente se pueden realizar filtros ac

tivos con las características que se quieran; pero esto -

no es posible en la práctica, ya que cuanto mayor sea el

coeficiente de sobretensión mayor será también el riesgo

de oscilación expontánea. En otros términos, cuanto mayor

es el valor del Q del circuito, mayor es su inestabilidad.

Por eso nos limitaremos a definir circuitos en los que la

estabilidad debida al valor del coeficiente de sobreten -

sión es suficiente para que se pueda obtener relaciones -

viables. El riesgo de inestabilidad es el principal in-

conveniente de los filtro activos, y también es el factor

que limita sus características y sus aplicaciones.

En cuanto a ventajas de los filtros activos tene-

mos, su reducido volumen ya que se emplean circuitos inte_

grados, .y no es necesario el empleo de inductancias, el -

filtro tendrá, en definitiva, el volumen impuesto por el

tamaño de los condensadores. De igual forma su pequeño -

peso, y su costo reducido que también están determinados

- 43 -

por los condensadores. En cuanto a los ajustes, los fil-

tros activos presentan mucha facilidad, actuando simple -

mente sobre el elemento activo =

Cuando las frecuencias con las que trabaja un fil-

tro son muy bajas, los circuitos resonantes activos que -

solo utilizan resistencias y condensadores son, con mucho,

los que permiten obtener las mejores características.

Por estas razones , los filtros activos son los que resul-

tan más convenientes en el campo de las frecuencias muy -

bajas, por otro lado como son poco voluminosos y, a menu-

do, de reducido costo, pueden compararse con ventaja a

los filtros pasivos en el campo de las audiofrecuencias ,

Estas cualidades los hacen también estimables pa

ra ciertas aplicaciones en frecuencias de hasta algunos -

centenares de Hz., cuando el volumen y el precio de costo

son factores determinantes y cuando los coeficientes de -

sobretensión que se precisan no son demasiado elevados.

3.2 SOLUCIÓN PRACTICA PARA EL PROBLEMA DEL FILTRADO

Los filtros eléctricos tienen por objeto separar

ciertas señales útiles de otras indeseables, mezcladas con

ellas. Por consiguiente, para la realización de un filtro

- 44 -

se necesita conocer ei espectro de frecuencias que tiene

la señal útil. El filtro ideal sería el que transmitiera

todos los componentes útiles sin atenuación y sin desfase,

eliminando a la vez totalmente las señales indeseables,

Así, un filtro de tales características transmitirá la se

nal útil sin deformación ni retardo y no dejará pasar las

señales que no se desean.

Veamos pues, 'que para cada caso de filtro a reali

zar, debe definirse el margen de frecuencias que se quie

re dejar pasar sin atenuación y que se llama banda pasan-

te del filtro; pero también se debe definir los márgenes

de frecuencia en las que la atenuación debe ser grande y

que son las bandas de corte.

Pueden definirse cuatro tipos de filtros, según -

la posición respectiva que ocupan las bandas de paso y de

corte con relación a la frecuencia cero, (como muestra la

figura 9).

Filtro pasa bajo, en los que la banda de paso

se extiende desde la frecuencia cero hasta una

frecuencia de corte fe.

- Filtro pasa alto , cuya banda" de paso abarca

I- 45 -

desde una frecuencia de corte fe. hasta el in

finito a

Filtro pasa banda, en las que la banda de pa

so está situada entre las frecuencias de cor-

te fe" y fe .

Filtros de corte de banda o recortadores de -

banda/ en los que la banda atenuada está comprendi-

-t-da entre las frecuencias de corte fe y fe „

A (dB) A (dB)

A (dB) A (dB)

\i

f - f 4- f f -c e _ e f 4- fc

Fig. 9. Curvas de respuesta de diversos filtros

ideales: a) Paso bajo,- b) Paso alto; c)

Paso de banda; d) Recortador de banda.

46

Con la práctica se ha llegado a la conclusión de que

con un número finito de componentes, no es posible reali-

zar redes que presenten una curva de respuesta semejantes

a las representadas en la figura 9. Solamente se puede -

llegar a una aproximación de éstas, conseguida en mayor o

menor grado. Los circuitos realizables en la práctica

presentan tres imperfecciones i

La atenuación en la banda de paso no es nula.

La atenuación en las bandas cortadas tienen -

un valor finito.

La transición entre las bandas de paso y las

cortadas no se realiza bruscamente, sino de

forma progresiva.

En razón de estas consideraciones, la curva de

respuesta de amplitud de un filtro real tendrá, por ejem-

plo, la forma representada en la- figura 10, que correspon

de a un filtro pasa banda. Podemos observar en ella que

la atenuación de la banda de paso, en lugar de ser nula ,

es inferior a v\ cierto valor máximo Amáx. Asimismo, la

atenuación de las bandas cortadas, en lugar de ser infini

ta, es sencillamente superior a un cierto valor mínimo

Amin. Además, podemos observar que entre la banda pasan

- 47 -

te y la atenuada existe otra de transición, cuyas frecuen-

cias limites son fa, que es la primera frecuencia atenua-

da, y fp, que es la ultima frecuencia de paso.

Cuanto más se aproxime el filtro real al ideal, -

más estrechas son las bandas de transición, menor es la a

tenuación Amáx, y más elevada es la atenuación Amin.

A (dB)

Amín

Amax -i -r-x—K-

Fig. 10 Curva de respuesta de un filtro pasa/

banda real.

Igualmente con la experiencia se ha demostrado que

cuanto más se acerca un filtro real al ideal, mayor n^me

ro de componentes se necesitan para su realización y, en

consecuencia, resulta más caro. Por lo tanto, la primera

etapa que debe considerarse en la realización de un fil-

tro consiste en hallar un término medio entre unas carac-

terísticas aceptables y un razonable numero de componen -

tes. Para lograr este objetivo se define una plantilla -

en cuyo interior debe situarse la curva de respuesta capaz

de resolver el problema que nos ocupa. Las plantillas de

los filtros de pasa bajo, de pasa alto, de pasa banda y

de corte de banda tienen las formas representadas en la -

figura 11.

A más de los valores Amáx, Amin, fa y fp definidos

anteriormente existe otro valor característico en la plan

tilla de un filtro de pasa bajo (o de pasa alto), la se-

lectividad K = fp/fa (o K = fa/fp). f la cual expresa la in

clinación de la pendiente de la banda de transición. Cuan

to más se aproxime un filtro al ideal, más cerca de la u-

nidad estará su selectividad. Por lo tanto, este valor -

es muy importante, ya que permite expresar el grado de per_

facción de un filtro.

En un filtro real cada una de los componentes su

fre un desfase variable con la frecuencia. Aún en el ca.

so de que el filtro se aproxime al ideal en lo que con-

cierne a la atenuación, el desigual desfase al que son so

metidos los diferentes componentes del espectro comprendí

- 49 -

das en la banda de paso puede extrañar una deformación de

la señal útil, que puede llegar a ser muy molesta.

A (dB)

Amín

Amax

fp *-

- 50 -

nal sin deformación es suficiente que en toda la banda de

paso se cumpla la relación: —— = cte.L c dto

La magnitud T se llama tiempo de propagación de

grupo de un filtro a lo largo de la banda de paso y refle

ja su aptitud para transmitir señales transitorias sin de_

formación. Así, un filtro ideal tiene un tiempo de propa

gación de grupo constante en toda la banda de paso.

Hemos visto que para definir la plantilla dentro

de la cual se pueda inscribir la curva de respuesta del -

filtro a realizar se precisa el conocimiento previo del -

problema que hay que resolver.

En este sentido intervienen dos simplificaciones

utilizadas universalmente, las cuales permiten reducir la

realización de cualquier filtro a la simple construcción

de .un filtro equivalente pasa bajo de frecuencia de corte

unidad llamado filtro prototipo (ver fig. lia) . Estas

simplificaciones consisten en la normalización de las uñó.

dades de frecuencia y de impedancia y en la transposición

de la frecuencia.

Como consecuencia de lo dicho anteriormente, el

método práctico que permite realizar un filtro que respon.

- S i -

da a unas características determinadas quedará definido -

de la siguiente manera:

Los datos físicos del problema permitirán de

terminar la naturaleza del filtro a emplear -

(pasa bajo, pasa alto, etc.) y definirá la -

forma de la plantilla en cuyo interior deberá

quedar situada la curva de respuesta de ampli

tud. Esta plantilla será un término medio en

tre unas características satisfactorias y -un

precio de costo aceptable.

La plantilla en cuestión, delimita las bandas

de paso y las atenuadas; quedará totalmente -^

definidos una vez conocidos los siguientes va

lores característicos:

Amáx: Atenuación máxima tolerada en la banda

de paso.

Amín: Atenuación mínima exi-gida para las ban

das eliminadas.

k: Selectividad del filtro, que determina

la pendiente de corte./

fp o fo: Frecuencia de corte de un filtro de

- 52 -

pasa bajo o de pasa alto, o también frecuen

cia central de un filtro de pasa banda o re

cortador de banda.

Los tres parámetros Amáx, Amín y K, permitirán

determinar las funciones de transferencia, la

configuración y el valor de los elementos del

filtro prototipo, es decir, del de pasa bajo

normalizado correspondiente a la plantilla ele

gida inicialmente.

Si el filtro que debemos construir no es de p_a

sa bajo, podremos obtener de una forma senci

lia. mediante la transposición de los elementos

del filtro prototipo, la configuración y el va.

lor de los elementos del filtro deseado, No

obstante, si esta transposición hace aparecer

elementos indeseables en la realiza!con de los

filtros activos, tales como las inductancias,

se efectuará primeramente la transposición de

la función de transferencia, a la del filtro pro

totipo, y se sintetizará la red activa del fi_l

trado con ayuda de esta última.

La última operación que deberá efectuarse será la

conversión de las unidades normalizadas en valores-rea

53 -

les, lo que permitirá obtener los valores de los elementos

en unidades c.lásicas: ohmios, faradios y henrios.

3.3 FUNCIONES DE APROXIMACIÓN

En el apartado anterior hemos visto que el conoci-

miento de los datos relativos a un problema de filtrado

permite definir la plantilla del filtro de pasa bajo norma

lizado o prototipo, que sirve de base para la construcción

del filtro deseado.

La realización de cualquier filtro se reduce a la

de un filtro pasa bajo normalizado, llamado prototipo. Por

su parte, el filtro prototipo puede estar totalmente 3efi

nido por su plantilla, o lo que es lo mismo, por sus tres

magnitudes características: Amáx, Amín y k. Fig. 12.

A (as)

Amín

Amax

1 1/K

Fig. 12 Plantilla de un filtro prototipo defi_

nido por Amáx, Amín y k.

- 54 -

Por lo tanto, el problema a resolver está en el

diseño de una red cuya curva de respuesta pueda inscribir

se en el interior de la plantilla establecida.

Aquí demostraremos que para realizar un filtro

prototipo de pasa bajo partiendo de su plantilla se nece

sita la ayuda de ciertas funciones matemáticas r llamadas

funciones de aproximación las cuales nos permitirán hallar

la función de transferencia del filtro a construir deter-

minando en consecuencia, la estructura y el valor de sus

elementos.

Para determinar la función de transferencia de un

filtro cuya curva de respuesta quede inscrita en una plan,

tilla determinada, se buscará una función que relacione -

la magnitud A (oí) expresada ya sea por una expresión ma

temática, un conjunto de valores dados o una función ra

cional, que exprese el amortiguamiento en función de la

frecuencia y cuyo gráfico pueda inscribirse en el interior

déla plantilla; es decir una función que constituya una _a

proximación conveniente a la curva de respuesta ideal.

Las especificaciones de magnitud usualmente están dadas -

ya sea en medidas lineales o logarítmicas. En este ulti-

mo caso, se usa decibeles (20 log A (oí) }, abreviado dB.

- 55 -

El filtro que deseamos realizar está compuesto, -

como es natural de elementos lineales, concentrados e in

variables en el tiempo, tales como resistencias, condensa

dores y amplificadores . De ello resulta que su función *-

de transferencia podrá expresarse mediante una función ra

cional de variable compleja p = jco :

F (P) = (1)E(p)

expresión en la que P(p) es un polinomio par.

Además este filtro ha de ser estable, es decir, -

no debe aparecer ninguna señal en la salida cuando no exi_s

ta en la entrada. Esto significa que F(p) es un polino-

mio de Hurwitz; o sea, que todas sus raíces tienen la par

te real negativa. Esto quiere decir, a su vez, que el -

grado de P(p) es como máximo, igual a F(p).

Estas consideraciones, imponen una forma de expre

sión particular para la atenuación en función de la fre -_

cuencia.

En efecto, expresando en unidades lineales, tene_

mos que:

- 56

1

Í A ( ü J ) } 2

V2

V1

2

— P í r-. 1 T•C *.P J ¿ t p J (2,

P =

y también, considerando la función de transmisión

1H(p) = es decir, la inversa de la función de trans

ferencia, tenemos

V2V1

= H(P) H(-p)E(p) E(-p)

ÍP(P2)}2= h(w2) (3)

Las expresiones (2) y (3), denotan que la función

de aproximación, al cuadrado,.es:

Una fracción racional,

Una función al cuadrado de la frecuencia,

De grado 2n en tu si H(p) es de grado n en p.

3.3.1 CONDICIONAMIENTOS

Para que el 'gráfico de la función A (u) pueda ins-

cribirse en el interior de la plantilla de pasa bajo, la

amplitud de A(CÜ) debe presentar una forma particular:

Con valores de frecuencia f

- 57 -

A(w) = V2VI

debe ser cercano a la unidad, es

decir-, la atención debe ser pequeña en la ban

da de paso. Expresada en decibeles, la reía-

V2ción A(to) =

VI debe ser cercana a cero.

Con valores de frecuencia f>fa, el valor

V2VI debe ser elevado, lo que quiere

decir que la atenuación debe ser grande en la

banda atenuada.

Con valores de frecuencia comprendidos entre -

fa y fp, A-(w). debe aumentar rápidamente desde

la unidad hasta un valor elevado.

VI

Vemos que en cualquier caso A(co) >1, es decir,

V2 (si existe un amplificador de ganancia A0 en

el filtro, lo dicho anteriormente sólo tiene valor con u

na aproximación de un factor multiplicativo), por ello es

preferible poner A(w) en la forma siguiente:

A(Ü>) = A( (4)

K(co2) se llama función característica del filtro. Su es-

tudio matemático resulta más sencillo, ya que K(w2) varia

al rededor de cero en la banda de paso» Por esta razón

en el estudio teórico del filtrado se trata la función ca

racterlstica con preferencia a la función de aproximación

K(w2) es también una fracción racional en w2 cuyo

denominador es el mismo que el de A(w2). :

51ÍP(a>2).}2 2

Por otra parte, a estos condicionamientos expu'es_

tos hay que añadir una consideración de tipo económico.

En este sentido, A(u) debe ser de menor grado posible,

pues cuando más alto sea el grado de A (tu) , mayor será el

orden de la función de transferencia F(p). del correspon-

diente' filtro y mayor será el numero de componentes para

su realización.

3.3.2 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CARACTERÍSTICAS

En la banda de paso, la atenuación del filtro d_e

be ser inferior a Amáx. Si ésta se expresa en decibeles r

el valor de k(w2) resulta:

- 59 -

Amáx = 20 log / 1 + K(ü)2)

10

(6Amáx/10 „ ^2

En la banda atenuada, la atenuación del filtro de_

be ser superior al valor Amín . Expresada en decibelios ,

el valor de K(w2) resulta i

Amín = 20 log / 1 + K(OJ2)

En resumen, la función característica de un filtro

de pasa bajo debe satisfacer las siguientes condiciones:

Ser función par de la frecuencia,. es decir,

función de co2 ;

Ser fracción racional en ü)2 cuyo denominador

.sea un cuadrado;

Tener un valor pequeño, inferior a:

/ „ - Ai'tiáx/l O -i i j je = / 10 - 1 en la banda de paso;

Tener un valor elevado, superior a:

L = / 10 m:Ln/ - -3 en la banda atenuada;

- 60 -

- Ser de grado lo menor posible.

Si la función de transferencia del filtro es de

orden n, el grado de la función característica es de gra

do 2n. Por ejemplo, K(w2) = (w2) es una función cara_c

terística satisfactoria.

Cuando conocemos la función característica de un

filtro que responde a una determinada plantilla de paso -

bajo y satisface las condiciones que acabamos de estable

cer, existe una sola forma de determinar su función de

transferencia.

En efecto, asociando las relaciones (3), (4) y (5)

podemos escribir (suponiendo que A0 = 1):

E ( p ) E ( -p )

( P ( P 2 ) } 2

N ( W 2 )— 1 -i-

p = j (Ü ÍP ( O J 2 ) }2

de donde':

E(p) S(-p) ='{p(p2)}2 + N(p2) (8)

La ecuación (8) es de grado 2n si n es el grado

del numerador de la función de transferencia del filtro.

Por consiguiente r el segundo miembro de esta ecuación tie

- 61 -

ne 2n raices. En el plano complejo estas raices están

dispuestas siguiendo una doble simetría con relación a los

ejes real e imaginario. En efecto, si p0 es una raíz,

también p0* lo es, ya que la expresión E(p).E(-p) tienen

coeficientes reales. Asimismo ~p0 es también una raíz,

ya que la expresión es el producto de E(p) por E(-p) .

Hemos visto que E(p) , que es el denominador de u

na función de transferencia, es un polinomio de Hurwitz ,

es decir, que todas sus raíces tiene la parte real negat;L

va. Por consiguiente podemos obtener E(p) factorizando

las n raíces de parte real negativa: pl, p2, ..... pn .

E(p) - (p-pl) (p-p2) ... (p-pn) (9)

En resumen para obtener la función de transferen-

cia — ̂- de un filtro de orden n-, del cual se conoce su

función característica :

Se busca las' raíces de la expresión:

ÍP(p2)}2 + N(p2)

E(p) puede obtenerse conservando solamente las n

62 -

raices de parte real negativa y factorizándolas como se

indica en la expresión (9), En cuanto a P(p); no es más

que el polinomio P(w2) en el que ha sustituido p por jw.

Las funciones características que responden a las

condiciones enunciadas anteriormente son numerosas y son

las únicas que se utilizan en el diseño de filtros, éstas

se dividen en dos categorías principales: funciones poli.

nómicas y funciones características, de las cuales sola-

mente las primeras serán estudiadas ya que estas nos con_

ducen a la realización de los filtros llamados polinomia-

§ les; de ellos estudiaremos las funciones de Butterv/orth ,Tchebyscheff y Bessel que son tema de este proyecto.

3.3.3 FILTROS DE BUTTERWORTH

Los filtros de Butterworth poseen la propiedad de

tener una curva de respuesta lo más plana posible 'en el

origen, es decir, para la frecuencia cero como lo demues-

tra la figura 13.

Para satisfacer estas exigencias, la función 'ca

racterística de Butterworth (es decir la inversa de la

función de transferencia) de grado n, Bn(w2)f así como sus

- 63 -

i

n - 2

Fig. 13 Curva de respuesta de amplitud de los

filtros de Butterworth de diferente

orden.

n primeras derivadas, deberá ser nulas para w = 0. Por

consiguientef se tiene:

K(co2) = Bn(ü)2) = e2(u)2)n

de lo que resulta:

- 64 -

A (ü)J) = / 1+£2OJ2n = / 1 + (-1 10)P =

Para 01 = 1, es decir, para la frecuencia de corte,

se tiene:

A = Amax = / 1 + £'

o, puesto en unidades logarítmicas

e =

estando Amáx expresado en dB.

i .0

0.5 -

0.5 1.0 1.5 2.0

Fig. 14 Magnitud de las funciones de Butterworth

de varios ordenes.

65

Las funciones de transferencia de los filtros de

Butterworth se obtiene buscando las raices de parte

real negativa de la expresión 1 + (-1) p2 y factorizan-

do según la expresión (9).

Si por el contrario a la función cuadrada de niacf

nitud o función de transíerenica lo representamos de la

forma siguiente :

(jco) V2V1

= N Cp). w C-p) =1 +E

Cuya demostración se encuentra en el anexo, donde

H es el valor de N(0) y el máximo valor que w(jtu) | alean

za, y donde e se usa para ajustar la relación a la cual la

magnitud decrece. El valor de e usualmente se escoge i.

gual a 1. y la función se refiere entonces como una fun

ción de Butterworth. Bn este caso N (jto) = 3.01 dB para

0 3 = 1 , por lo tanto, la frecuencia u = 1 rad/seg. usual_

mente está referida corno la función de -3 dB o frecuencia

de los 3 dB abajo. De (12) vemos que la pendiente de -

(jw) a esta frecuencia es proporcional a n/2. En la

figura 14 representamos curvas de la magnitud de la fun

ción Butterworth para n = 2,5 y 10.

La localización de los polos de una función de red

- 66 -

H(p), que tenga una característica de magnitud Butterworth

puede ser hallada usando (12) (con e= 1) 0 Asi obtenemos:

N(p) N(-p) =H 2

1 + ÜT 1 + (-1 )

Haciendo cero el^denominador polinomial de (13) en

contramos que los polos están localizados en valores de p

que satisfagan la relación;

P = {-(-Dn}1/2n (14)

por lo tanto para n par,

p = (-D e Ck = 1, 3, 5 4n-D,

y para n impar.

P =

De estas relaciones vemos que los polos de F (p)

F(-p) sean equiangulares espaciadas al rededor del circulo

unitario. Reteniendo solamente las singularidades del se-

rniplano izquierdo, encontramos que los polos de N (p) están

dados como sk = 6k + j cok donde:

67 -

ók = -Sen • TT2n

2k — 1Wk = Cos — TT

2n

k = 1 , 2 , 3 , . . . , n (15.;

El denominador polinomial caracterizado por estas

raíces se llaman polinomios Butterworth. Al diseñar una

función de red para conocer ciertos requerimientos especl_

fieos, la relación dada en (12) puede ser usada para de-

terminar el valor de n, esto es, determinar el orden del

filtro que se necesita.

Los filtros de Butterworth resultan muy sencillos

de "calcular. Presentan una respuesta transitoria sati_s

factoría, pero la pendiente de su corte es mediocre para

un determinado orden n. También presentan la ventaja de

tener una curva de respuesta poco sensible a las variacio_

nes de los componentes, lo cual resulta bastante útil -

cuando no se pueden definir con precisión los ele'mentos -

de un filtro; como por ejemplo, en el caso de frecuencias

elevadas . Estos filtros se usan preferentemente en apId-

eaciones que no exigen una alta precisión.

- 68 -

3.3.4 FILTROS DE TCHEBYCHEFF

Los filtros de Tchebycheff se calculan de manera

que su atenuación en la banda de paso oscile el mayor nú

mero posible de veces entre cero y Amáx para un filtro de

orden dado. De esta manera, en los filtros de Tchebycheff

la imperfección que constituye esta atenuación residual -

que existe en la. banda de paso queda uniformemente repar_

tida a lo largo de toda esta banda de paso y se dice que

tiene una característica de igual rizado. Por el cpntr_a

rio, la atenuación aumenta de forma continua en la" banda

atenuada, como se observa en'la figura 15- donde tenemos -

la curva 'de respuesta de amplitud del filtro de Tchebycheff

de orden 3 y 4. En esta figura se puede observar que en

los filtros de orden par, la atenuación es igual a Amáx -•

para la frecuencia cero.

= 4

= 3

O 0,5 1 1.5 2.5 f

Fig. 15 Curva de respuesta de los filtros Tchebycheffde diferente orden para una ondulación en labanda de paso Amáx = 1 dB.

- 69 -

Por lo tanto, la aproximación de magnitud de igual

rizado pasa bajo puede desarrollarse escribiendo la fun-

ción cuadrada de magnitud o función de transferencia

N (jtú) 2 en la forma :

N(ju) 2 = ~ . (16)

donde Tn (w) es un polinomio de orden n, y el valor de e

determina los limites de variación de la Función caracte_

rlstica de magnitud. Como Kn(w2) = e2Tn2(w) en (16).

tenemos:

e = /10AmSx/n°-i

Donde Amáx está expresado en dB.

Estas funciones oscilan n veces entre los valo-

res O y e 2 .

La atenuación de los filtros de Tchebycheff en fun

ción de la frecuencia se expresa, aplicando la relación -

(4), mediante la fórmula:

A (tu) = / i + £2Tn2 (ü))

- 70 -

Como los polinomios de Tchebycheff pueden ser pa

res o impares, Tn2(to)- es necesariamente función de w2 „

Las funciones de transferencia de los filtros de

Tchebycheff se obtienen, como en el caso anterior, buscan

do las raices de la expresión 1 + £2Tn2 (w) y facterizando

las raices -de parte real negativa de acuerdo, con la ecua

ción (9). Esta búsqueda se realiza con bastante sencilles

de la siguiente manera:

Un grupo de polinomios Tn (.co). de Tchebycheff se los

define como sigue:

T1 (tú) = ü)

T2 (Cu) = 2tú2-l

T3 (tú) = 4ü)3-3W

Tn+1 (ü)) = 2üJTnlü3) -Tn-1 (üj). (17)

donde la última expresión es válida para todo n > 1 . Los

polinomios de Tchebyscheff pueden también ser escritos u.

sando -las expresiones trigonométricas:

Tn (tu) = Cos (n Cos ü» O < tu < 1 (18 a)

_ 1Tn (tú) = Gosh(n Cos tú) tu > 1 (18 b)

- 71 -

Curvas de magnitud de funciones de igual rizado -

para n = 2,5 y 10 (para e = 1) se muestran en la figura 16,

N(jco)

A

1 .0

0.5

n= 10

0.5 1 .0 1.5 2 (ü

Fig. 16 Magnitudes de igual rizado (3dB)

para funciones de varios ordenes

Usando la expresión N(jto) dado en (16) para

determinar la localización de los polos para una función

de red de igual rizado y siguiendo el desarrollo dado pa.

ra una función general de red cuadrada podemos escribir:

N (p) N (-p) = N (jo))=P/J 1+e^Tn'

(p/j)

- 72

De aquí los polos del producto N(p) NC-p) son las

raíces de Tn2(p/j) = -1/e2 o Tn(p/j) = ±j/e. Usando la

forma trigonométrica para Tn(to) dado en (18) podemos es

cribir:

(p/j) = Cos (n Cos 1p/j) = ±j/e (20)

para resolver esta ecuación primero definamos una función

complej a,

oí = y + jv = Cos n ?- (21)

sustituyendo esta expresión en (20) obtenemos:

Cos n (y+ jV) = Cos ny Cosh n"0-j Sen- n]J Senh nV=±j/£ (22)

Igualando las partes reales del segundo y tercer

miembro de esta relación da;

Cos ny Cosh nV = O

ya que Cosh nV > 1 para todos los valores de nV, esta

igualdad requiere que Cos ny = O „ Esto puede ser escrito

en la forma:

- 73 -

2k-12n k = 1 , 2 , 3 , . . . , 2n (23)

siendo n entero.

Igualando las partes imaginarias de (22):

Sen ny. Senh nV = ±j/£

y reconociendo que para los valores de u definidos por

(23) r sen ny = ±1 , obtenemos:

-iV = l/n Senh 1 /£ (24!

donde hemos retenido solamente los valores positivos para

v, la ecuación (21) puede ahora ser puesta en la forma;

p = j Cos (]1 +JV) = Sen u Senh V+j Cos p. Cosh V (25)-te K . k

Esta relación especifica los polos del producto -

N(p) N (-p) . Los polos del semiplano izquierdo están asig

nados a N(p) para completar la determinación de la función

de red. Así podemos ver que los polos de N(p) estarán en

S1 = Sk + jo), , donde:k k'

- 74

Ók = -Sen y SenhK.

üik = Cos y Cos vK.

k = 1 , 2, . .. , n (26)

y donde y y V están definidas en (23) y (24).K.

El lugar geométrico de los polos- pueden estar de_

terminados empezando con la relación trigonométrica bás:L

ca Sen2y + Cos2y = 1 . Insertando la relación paraJC K.

SenzuT y- Cos2yn de (26). obtenemos :k k

Ók - 1 (27)SenhzV Cos V

Esta relación representa una elipse en el origen

del plano s , con un semieje ordenado de longitud Cosh V(K.

y un semieje abcisa de longitud Senh v como muestra la

figura 17,

Senh V

Fig „ 17 Los lugares geométricos de los polos defunciones de magnitud de igual rizado.

- 75 -

El lugar geométrico definido por (27) puede ser

usado en un método alternado para encontrar la localiza -

ción de los polos de una función de igual rizado. Para

hacer ésto, primero definirnos una normalización de fre

cuencia tal que la banda de paso tenga un rango O < to < oj ,

•idonde: o> = : . De (26) la localización de los poc Cosh v v̂-

los normalizada es entonces definida comos

6 Sen y Tanh VK (28)

oí = eos yK

El lugar geométrico elíptico para esos polos tie

nen un semieje ordenado de longitud unidad y un semieje

abcisa de longitud Tanh v. Comparando la determinación

de los polos dada por (28) con aquellas dadas por '(15) pa-

ra el caso de magnitud máximamente plana vemos que, para

la normalización de frecuencia dada de la función de i-

gual rizado, las partes imaginarias de la localización de

los polos de los dos tipos de función son las mismas, sin

embargo las magnitudes de las partes reales de los polos

de igual rizado han decrecido por un factor de Tanh v,

Como resultado, la equiangularidad plana debe usarse para

determinar gráficamente la localización de los polos de

igual rizado.

Los filtros de Tchebycheff presentan un gran inte

- 76 -

res práctico, ya que de todos los filtros polinomiales -

son los que tienen el corte más abrupto para un orden n

dado. Por el contrario, desafortunadamente los filtros -

de Tchebycheff no presentan una regularidad del tiempo de

propagación demasiado buena en la banda de paso, ni su

comportamiento frente a transitorios es tan bueno corno el

de los filtros de Butterworth. Por ello estos filtros so

lo se utilizan cuando estos defectos, asi como la ondula-

ción de paso, no representan un inconveniente.

3.3.5 FILTROS DE BESSELL

Los filtros de Bessell, también llamados de Thom-

son , son filtros polinomiales en los que a diferencia .de

los anteriores, el criterio de optimización es la regula-

ridad del tiempo de propagación de grupo en la banda de

paso „

Para calcular estos filtros se busca directamente

la función de transferencia sin la mediación de la función

característica, puesto que el mayor interés reside en el

tiempo de propagación de grupo y no en la atenuación» El

proceso de cálculo es el siguiente:

77 -

La función de transferencia de un filtro que ten-

ga un tiempo de propagación de grupo de T = 1 seg. perfec_

tamente constante, es;

F(P) = e pT = e p = -—r—Jca .— (29)Cosh p + Senh p

Una aproximación de orden n de esta función de -

transferencia se puede obtener desarrollando Coth p en se_

rie :

4 6

„ ^Cosh p /-)/-,Coth p - - - T—̂ - - - (30,Senh p 3 5

P P •••

y también en fracción continua:

Coth p = 1 r - -̂ - Oí).

p

Por lo tanto, los polinomios de F(p) que figuran

en el denominador de las funciones de transferencia obt_e

nidas de esta forma son polinomios de Bessell0

Es preciso tener en cuenta un detalle importante.

- 7:

Los polinomios.de Bessell se han calculado toman

do como unidad el tiempo de propagación de grupo. Por

consiguiente, se obtendrá curvas de respuesta de amplitud,

en las que la atenuación en la frecuencia unidad, será

arbitraria.

Este resultado es poco cómodo y no coherente., con

el método de cálculo de los demás filtros, es por esto -

que daremos una tabla de los valores de los polos para di

ferentes valores de n, que será de mucha utilidad para

próximos capítulos'. También aquí hemos calculado las -

funciones de transferencia tomando como frecuencia unidad

aquella para la cual la atenuación es de 3dB.

La figura 18 nos da a título de ejemplo, la forma

de la atenuación y del tiempo de propagación de grupo de

los filtros de Bessell de orden 5.T resuelta casi constan

te hasta 1.5 veces la frecuencia de corte en 3dB. con-

que la atenuación en este punto sólo es de 7.5 dB „

Puede decirse que la curva de variación del

tiempo de propagación de grupo en función de la frecuen-

cia de los filtros de Bessell tienen.la misma, forma que

la correspondiente a la atenuación de los filtros de But-

terworth, es decir, resulta nula en el origen, así como

- 79 -

A(dB)

10

0.5 1 1,5 F=f/f3dB

Fig. 1! Curvas de respuesta de ampli tud ( A )

y en t iempo de propagac ión de grupo

(T) correspondientes a un f i l t ro de

Bessell de orden 5,

n

2

4

6

8

10

Polos

— 1

— 2- 2

- 2- 3- 4

- 2- 4

- 5__ 5

- 3- 4- 5- 6- 6

.50000 +

. 10379 +

.89621 +

.51593 -f

.73571 +

.24836 +

.83898 +

.35829 +

.20484 +

.58789 +

. 1 0892 +

.88622 +

.96753 +

.92204 +

.61529 +

-i_J

jjjjjjjjjjjjjj

0

20

420

6420

86402

.86603

.65742

.86723

.49267

.62627

.86751

.35391

. 41 444

.61618

.86701

. 23270

.22499

.38495

.86767

.61157

Tabla 1 . Localizacion de los polos para una función deBessell,

- 80

sus n primeras derivadas, decreciendo después contfnuamen

te. Por el contrario, la figura 18 demuestra que la ate-

nuación en la banda atenuada es mediocre. Por esta razón

sólo se elegirá este tipo cuando no se acepte ninguna de

formación en régimen transitorio. Tal el caso cuando se

quiere transmitir impulsos sin deformación, como por ejem

pío/ en la cabeza de lectura de un registrador numérico.

Debemos tener en cuenta la siguiente observación:

los filtros de Bessell se han concebido tomando como cri

terio fundamental su comportamiento' frente al tiempo de

propagación de grupo. Si transponernos en frecuencia un

filtro de pasa bajo de Bessell para obtener, por ejemplo,

uno de pasa banda, la forma de la atenuación en función -

de la frecuencia quedará conservada, pero no así el tiem

po de-propagación de grupo. Por esta razón la transposi-

ción de un filtro pasa bajo de Bessell no representa nin

gün interés. Si se desea obtener un filtro de pasa banda

que tenga un tiempo de•propagación de grupo muy regular 7

será preciso sintetizarlo directamente sin pasar por el

prototipo, siguiendo una técnica muy especial cuya des-

cripción cae fuera del propósito de este trabajo.

3.4 MÉTODO DE SÍNTESIS DE LOS FILTROS ACTIVOS

El conocimiento de los datos fundamentales rela-

tivos a un problema de filtrado nos permite definir la -

plantilla del filtro prototipo, acabamos de ver que esta

plantilla permite a su vez escoger el tipo de filtro que

debemos realizar , después de calcular su función de trans

ferencia.

En este apartado estudiaremos los diversos proce-

dimientos que permiten determinar la estructura y, a con

tinuación calcular el valor de los elementos del filtro -

partiendo de su función de transferencia, este conjunto

de operaciones se llama síntesis del filtro. Nos limita

remos a estudiar la síntesis de los filtros que utilizan

elementos activos combinados con resistencias y condensa-

dores .

Inicialmente, vamos a proceder al estudio de los

principales tipos de elementos activos que sirven para -

realizar los filtros y posteriormente, los métodos genera

les de síntesis.

En este apartado presentaremos métodos para re al i.

za:: funciones de redes por medio del uso de circuitos de.

- 82 -

filtros que contienen elementos activos, comunmente lia

mados como "filtros activos RC" o "filtros sin inducto -

res". Hay muchas razones que hacen que estos "filtros -

activos RC" sean atractivos, y efectivamente son preferi

bles con relación a los filtros RLC puramente pasivos „

Por ejemplo, los filtros activos RC usualmente pesan me

nos y requieren de menos- espacio que los pasivos. Esto

es una consideración en satélites y otras aplicaciones -

del aerotransporte. Como otro ejemplo, los filtros acti

vos pueden ser fabricados en microminiatura usando técni.

cas de circuitos integrados. De esta manera pueden pro

ducirse en masa y baratamente. Notablemente en la indus_

tria de las telecomunicaciones, están ahora siendo mod_i

ficadas como para el uso de filtros activos exclusivamen-

te. Como resultado, la producción anual de filtros acti

vos es ahora de millones y muchas compañías ofrecen es-

tos artículos como artículos estándar.

3.4.1 EL FILTRO AMPLIFICADOR RC

Existe un método general de usar filtros activos

RC para realizar funciones de redes, éste es el denomina

do método de "cascada", se lo ha denominado de esta man_e

ra debido a que la función de red que se va a realizar -

- 83

es primero descompuesta en productos de términos de según

do orden. Cada término es entonces realizado individual-

mente por su circuito activo RC y una conexión cascada o

serie de circuitos se utiliza para realizar toda la fun

ción de red. Los circuitos activos RC individuales por -

supuesto, deben ser diseñados de tal manera que no se in

teraccionen entre ellos cuando se realiza la conexión en

cascada, es decir, deben estar aislados unos de otros .

Existe un segundo método para realizar funciones

de red y es el método "directo", el cual consiste en com

binar un solo elemento activo con una red de resistencias

y condensadores , siguiendo un método de identificación pa

so a paso. Este método tiene la ventaja de usar un único

elemento activo, pero es objeto de complicados cálculos -

en cuanto el orden del filtro es superior a 3 o 4 y condu

ce frecuentemente a una complicada red cuyas cualidades -

prácticas a menudo dejan mucho que desear. E