Potenciales  y  energías  

Luis  A.  Núñez  Esc.  Física  

Universidad  Industrial  de  Santander  

Trabajo  

2  

W = T =Z ~r2

~r1

~F · d~r~r1

~r2

~F

~F

d~rd~r

T =Z

~r2

~r1

⇣F

x

ı̂ + Fy

⌘̂+ Fz

k̂

⌘·⇣ı̂dx+ ⌘̂dy + k̂dz

⌘

~F = 3̂ı + 7̂⌘ Mueve  un  cuerpo  de     ~r1 = 3̂ı ! ~r2 = 3̂⌘•  Por  una  línea  recta  •  Por  un  arco  de  circunsferencia  

¿Gravedad  conserva?va?  

3  

Tg A!0!B!A =I

m~g · d~r

Tg A!0!B!A = 0|{z}A!0

0!Bz }| {

�Z y0

0mg dy�

Z 0

y0

mg dy

| {z }B!A

= 0

Tg A!0!B!A =I

m~g · d~r =I

mg(�⌘̂) · (̂ıdx+ ⌘̂dy) =I

�mgdy

Tg A!0!B!A =I

m~g · d~r = 0

¿Fricción  disipa?va?  

4  

Tg A!0!B!A =I

~fr · d~r

Tfr A!0!B!A =Z 0

Afr(�ı̂) · (̂ıdx+ ⌘̂dy) +

Z B

0fr(�⌘̂) · (̂ıdx+ ⌘̂dy) +

Z A

Bfr(cos(✓)̂ı + sen(✓)̂⌘) · (̂ıdx+ ⌘̂dy)

Tfr A!0!B!A =

Z 0

�x0�f

r

dx+

Zy0

0�f

r

dy +

Z �x0

0f

r

dx

x0p

x

20 + y

20

+y

20

x0

px

20 + y

20

!

y =y0

x0x+ y0 ) dy =

y0

x0dx

Tg A!0!B!A = �frx0 � fry0 � frq

x

20 + y

20

¿Elás?ca  conserva?va?  

5  

T�kx 0!A!0 =I

�k~x · d~x

T�kx 0!A!0 =Z �x0

0�kx(̂ı) · ı̂dx+

Z 0

�x0�kx(̂ı) · ı̂dx = 0

T�kx 0!A!0 =I

�k~x · d~x = 0

Energías  Potenciales  

6  

Tkx A!B =

ZB

A

�kx dx = �12k x

2��BA

= ��Uk

Tg A!B = �mg sen(✓)dA!B = �mg y|BA = ��Ug

1

2k x

2��B0= �Uk ) Uk(x) =

1

2kx

2 , �dUk(x)dx

ı̂ = �kx̂ı

mg y|B0 = �Ug ) Ug(x) = mgy , �dUg(y)

dy⌘̂ = �mg⌘̂

�~rU~F (x, y) ⌘ �✓@U~F (x, y)

@x

ı̂ +@U~F (x, y)

@y

⌘̂

◆= ~F

Energía  Mecánica  

7  

T = ��Ug ) ��Ug = �Ec ) 0 = �Ug +�Ec

T =Z ~r2

~r1

~F · dr̄ = 12mv2~r2 �

1

2mv2~r1 = �Ec

Si  sólo    existe  la  fuerza  de  gravitación    

Para  el  caso  general,  en  presencia  de  varias  fuerzas  conserva@vas  que  realicen  trabajo  

Em = Um~g + Ec

Para  el  caso  general,  en  presencia  de  fuerzas  disipa@vas  y  conserva@vas  que  realicen  trabajo  

Em = U~F1 + · · ·+ U~FN + Ec = const

0 = �U~F1 + · · ·+�U~FN +�Ec �Tdisipativa| {z }�Em