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Propuesta didáctica para la medición de la masa de un agujero negro utilizando imágenes astronómicas y la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación

media

Germán Guerrero Peñuela

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas

Bogotá, Colombia

2014

Propuesta didáctica para la medición de la masa de un agujero negro utilizando imágenes astronómicas y la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación

media

Germán Guerrero Peñuela

Tesis o trabajo de investigación presentada(o) como requisito parcial para optar al título

de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director:

Eduard Alexis Larrañaga R

PhD. Profesor Observatorio Astronómico Nacional

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Bogotá D.C., Colombia

2014

A mis padres, quienes me apoyaron en mi

desarrollo intelectual, prestándome los

recursos que necesite para lograr esta meta

A mis hijos y esposa, quienes me apoyaron de

manera incondicionalmente para alcanzar la

meta propuesta en esta Maestría.

Agradecimientos

A Dios por darme la oportunidad y permitirme terminar un gran sueño que es este, el haber

empezado y lo mejor de todo es haber terminado mi maestría “Enseñanza de las Ciencias

Exactas”

Al profesor Alexis Larrañaga, quien me apoyo y me aporto para desarrollar esta idea de

trabajo, lográndolo llevar a cabo por medio de un planteamiento claro con el fin de

ejecutarlo en diferentes contextos en el tiempo requerido.

A mis padres por apoyarme en todos mis procesos cognitivos especialmente este, a mi

esposa por comprenderme y apoyarme en esta etapa, y a mi hija porque a sus nueve años

de vida me ha entendido y aportado el tiempo necesario para alcanzar esta meta.

RESUMEN Y ABSTRACT IX

RESUMEN

La idea de tomar la astronomía como pretexto para abordar la física y en especial tener

en cuenta la tercera ley de Kepler como elemento de estudio, facilita la apropiación de una

serie de temáticas importantes en las ciencias naturales, que ayudan de alguna manera

aproximarse al desarrollo de las habilidades científicas en estudiantes de educación media

vocacional. La propuesta didáctica basada en el modelo de aprendizaje significativo, busca

fundamentar al estudiante desde el contexto histórico, los aspectos epistemológicos y los

aspectos conceptuales, relacionados con las leyes de Kepler aplicado al movimiento de

los planetas, además de la posibilidad de asociar este trabajo a otro aspecto astronómico

como la determinación de la masa de objetos centrales en especial la masa de un agujero

negro, como es el caso del que existe en Sagitario A*. La aplicación de este trabajo se

hace apropiada en el aula, dado que genera un interés bastante significativo en los

estudiantes de educación media del colegio El Japón Jornada Tarde, donde se hicieron

algunas pruebas con resultados bastante importantes en el desarrollo de las habilidades

científicas.

Palabras claves: Enseñanza de la astronomía, leyes de Kepler, habilidades científicas,

modelo de aprendizaje, agujeros negros.

X Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes

astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media

ABSTRACT

The idea of using astronomy as pretext to study physics and specifically to use Kepler's

third law as a tool, give us the opportunity to present a series of important subjects in natural

sciences that may help in the development of scientific skills of high school students. The

didactic proposal is based on the significative learning model and pretends to use the

historical context to give the student the epistemological aspects and the conceptual issues

concerning Kepler's laws applied to the movement of planets or, in particular, to the

determination of the mass of unknown objects as, for example, the central supermassive

black hole Sagittarius A* in the Milky Way. This work is applied in the class room to students

of high school level in the El Japón School, where we made some test with quite important

results in the development of scientific skills.

Keywords: Astronomy, Laws Kepler’s, didactic model, black hole,

CONTENIDO XI

CONTENIDO

Pág.

RESUMEN ...................................................................................................................... IX

ABSTRACT ..................................................................................................................... X

Lista de figuras ............................................................................................................ XIII

Lista de tablas ............................................................................................................. XIV

Lista de Símbolos y abreviaturas ................................................................................ XV

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 1

1. OBJETIVOS, METODOLOGÍA Y CRONOGRAMA DEL TRABAJO. ........................ 3 1.1 Objetivos ............................................................................................................ 3

1.1.1 Objetivo general............................................................................................... 3 1.1.2 Objetivos Específicos....................................................................................... 3

1.2 Metodología ....................................................................................................... 3 1.2.1 Fase Inicial ...................................................................................................... 3 1.2.2 Fase de Desarrollo .......................................................................................... 4 1.2.3 Fase de Consolidación .................................................................................... 4

1.3 Cronograma ....................................................................................................... 4

2. MARCO TEÓRICO .................................................................................................... 5 2.1 Aspectos Epistemológicos e Históricos .............................................................. 5

2.1.1 Sistema Geocéntrico ....................................................................................... 5 Cosmología Aristotélica .................................................................................. 5 Modelo de Ptolomeo ....................................................................................... 6

2.1.2 Sistema Heliocéntrico ...................................................................................... 6 Del modelo de Aristarco de Samos al modelo de Kepler ................................ 6

2.2 Aspectos Conceptuales ...................................................................................... 8 2.2.1 Secciones Cónicas .......................................................................................... 8

El Círculo ........................................................................................................ 8 La Elipse ......................................................................................................... 9 Ecuación reducida de la Elipse ....................................................................... 9 Excentricidad de la Elipse ............................................................................. 10

2.2.2 Leyes de Kepler ............................................................................................. 11 Primera Ley .................................................................................................. 11 Segunda Ley ................................................................................................ 11 Tercera Ley .................................................................................................. 12

2.2.3 Visión newtoniana de las leyes de Kepler ...................................................... 12 2.3 Agujeros Negros .............................................................................................. 15

XII Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes


2.3.1 Contexto histórico .......................................................................................... 15 2.3.2 Evolución de las estrellas .............................................................................. 19 2.3.3 De la gravedad de Newton a la de Einstein ................................................... 21 2.3.4 Origen de los agujeros negros ....................................................................... 23 2.3.5 ¿Qué existe en el centro de nuestra Vía Láctea? .......................................... 25

3. ASPECTOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS ....................................................... 26 3.1 Modelo de Aprendizaje Significativo.................................................................. 26

Estándares en el área de Ciencias Naturales Física ..................................... 28 3.2 Propuesta Didáctica Para la Medición de la Masa de Un Agujero Negro Utilizando la Tercera Ley de Kepler ............................................................................................. 30

3.2.1 Etapa de motivación: “Reconociendo el universo: del sistema solar a los agujeros negros” ...................................................................................................... 31

Procedimiento: .............................................................................................. 32 3.2.2 Etapa de profundización “¿Cómo son las leyes universales?” ....................... 33

Procedimiento ............................................................................................... 34 3.2.3 Etapa de aplicación “La interpretación de Kepler” ......................................... 35

Procedimiento ............................................................................................... 36 3.3 Metodología de evaluación ............................................................................... 37

4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ........................................................... 39 4.1 Conclusiones .................................................................................................... 39 4.2 Recomendaciones ............................................................................................ 40

Anexo 1: Guía general para el docente ......................................................... 42 Anexo 2: Guía momento inicial “El orden del caos” ....................................... 45 Anexo 3: Evaluación momento inicial “El orden del caos” .............................. 47 Anexo 4: Conceptualización aspectos geométricos y leyes de Kepler. “Describiendo la naturaleza” ................................................................................. 50 Anexo 5: Proceso de evaluación etapa de conceptualización “Describiendo la naturaleza” ........................................................................................................... 55 Anexo 6: Actividad Aplicación de la Tercera Ley de Kepler. “Midiendo un agujero negro”. ..................................................................................................... 57

5. Bibliografía ............................................................................................................. 63

CONTENIDO XIII

Lista de figuras

Pág.

Figura 2-1 La circunferencia ............................................................................................. 9

Figura 2-2 La Elipse ....................................................................................................... 10

Figura 2-3 Sistema Planetario, ....................................................................................... 11

Figura 2-4 Imágenes leyes de Kepler ............................................................................. 13

Figura 2-5 Efecto de la gravedad sobre la luz ................................................................ 23

Figura 2-6 Efecto de la gravedad de la Tierra sobre el movimiento de la Luna ............... 24

Figura 3-1 Aspectos que fundamentan el aprendizaje significativo ................................. 28

Figura 3-2 Propuesta Didáctica ...................................................................................... 31

CONTENIDO XIV

Lista de tablas

Pág.

Tabla 1-1: Organización del cronograma del trabajo. ........................................................ 4

Tabla 3-1 Propósitos, metas e indicador asociada a la primera etapa. ............................ 32

Tabla 3-2 Propósitos, metas e indicador asociado a la segunda etapa. .......................... 34

Tabla 3-3 Propósitos, metas e indicador asociado a la tercera etapa. ............................. 36

CONTENIDO XV

Lista de Símbolos y abreviaturas

Símbolos con letras latinas Símbolo Término Unidad SI Definición

𝑎 Semieje mayor de una elipse 𝑚 Ecu (2-4)

𝐴 Constante de proporcionalidad tercera Ley de Kepler

𝑠2

𝑚3

Ecu (2-8)

𝑏 Semieje menor de una elipse 𝑚 Ecu (2-5)

𝑐 Distancia del origen al foco de una elipse 𝑚 Ecu (2-5)

𝐶 Centro de la circunferencia

𝑒 Excentricidad de una elipse Ecu (2-7)

𝐹 Foco de la elipse 𝑚

𝐹′ Foco de la elipse 𝑚

𝐹1(−𝑐, 0) Coordenadas del foco uno

𝐹2(𝑐, 0) Coordenadas del foco dos

𝑂(0,0) Origen del sistema de coordenadas

𝑂𝑃 Semieje menor de una elipse.

𝑂𝐹1 Distancia del origen al foco.

𝑃(𝑥, 𝑦) Punto en una función

𝑃𝐹1 Semieje mayor de una elipse.

𝑟 Distancia del centro al punto 𝑃(𝑥, 𝑦) en la circunferencia

𝑚 Ecu (2-1)

𝑇 Tiempos de revolución (Periodos) 𝑠 Ecu (2-8)

𝑉1; 𝑉2 Vértices en la elipse.

INTRODUCCIÓN 1

INTRODUCCIÓN

El pasó de un docente de ciencias por la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas,

toma sentido a la hora de cualificar sus conocimientos, generar estrategias nuevas para

su quehacer diario, fomentando en el aula de clase el interés en los estudiantes por el

estudio de las ciencias naturales. Dentro de las nuevas tendencias la integración de los

conocimientos a los aspectos cotidianos de los estudiantes es uno de los aspectos de

mayor relevancia, pero el procurar profundizar en los estudios relacionados con las

ciencias siempre ha llevado al docente a una búsqueda constante de temas interesantes

que le permita desarrollar este aspecto que tanto le interesa.

En este recorrido de la labor docente, encontrar un buen pretexto para la generación de

expectativas en los estudiantes de educación media en el grado decimo más precisamente,

puede observarse de una manera significativa, si se revisa el comienzo mismo de la

ciencia. Se puede proponer en un curso de física, por ejemplo, la revisión de primeras

observaciones realizadas por Galileo sobre el cielo, utilizando su diseño del telescopio,

pasando luego en esta revisión histórica, al estudio del modelo propuesto por Kepler con

la cual se puede explicar movimiento de los astros físicos llamados planetas. Tomando

este aspecto histórico como punto de partida, se pueden proponer elementos actuales

como elemento de estudio, que pueden llegar a ser más atractivos, interesantes y

significativos para nuestros estudiantes. Se puede utilizar entonces los procedimientos

propuestos por Kepler en sus leyes, además si se toman los datos que se encuentran en

la red frente a las observaciones del telescopio espacial, para de esta manera calcular la

masa de un agujero negro.

Este trabajo busca plantear una alternativa para acercar a los estudiantes a los conceptos

físicos básicos en un curso de grado décimo, con la intencionalidad de hacer más atractivo

y didácticos los cursos de ciencias naturales, para que los estudiantes se sientan más

atraídos por estudiar ciencias en un futuro próximo para ellos. Por esta razón se propone

que el tema de desarrollo sean las tres leyes de Kepler, proponiendo una aplicación

interesante de su tercera ley, en el cálculo de la masa de un agujero negro dando una

aplicación más cercana a la actualidad en la que vivimos. La organización de la información

existente, la obtención de información de los diferentes medios electrónicos y el uso de los

datos para la aplicación de la tercera ley de Kepler, son parte importante en este trabajo.

La metodología utilizada para el desarrollo de este trabajo, está basada en la pedagogía

constructivista del aprendizaje significativo, puesto que es el modelo aplicado en la

institución educativa El Japón donde se propone la aplicación concreta de este trabajo. Por

esta razón se proponen tres momentos fundamentales en los cuales se basa la propuesta,

un momento inicial en el que se realizara una introducción al tema con los estudiantes y

se revisaran aquellos preconceptos con los que los estudiantes llegan, un segundo

momento en que se realizara una fundamentación teórica que permita ampliar aquellos

conceptos previos que tienen los estudiantes, y un tercer momento donde se propondrá el

2 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes


cálculo de la masa de un agujero negro, como una aplicación práctica de los conceptos

abordados.

Se puede afirmar entonces que los alcances de este trabajo están propuestos para

desarrollar un diseño didáctico, que facilite a un docente de física abordar el problema de

las leyes de Kepler en el aula de clase, dando un desarrollo adecuado de estos conceptos,

con una aplicación que permite que los estudiantes de educación media se aproximen a

los desarrollos llevados a cabo en la ciencia actual, ya que se utilizan datos disponibles en

la red.

OBJETIVOS, METODOLOGÍA Y CRONOGRAMA DEL TRABAJO 3

1. OBJETIVOS, METODOLOGÍA Y CRONOGRAMA DEL TRABAJO.

1.1 Objetivos

1.1.1 Objetivo general

DISEÑAR una propuesta metodológica para la determinación de la masa de un agujero

negro a partir de observaciones astronómicas y usando la tercera ley de Kepler con

estudiantes de educación media.

1.1.2 Objetivos Específicos

ANALIZAR los aspectos epistemológicos y conceptuales referentes a la observación de

trayectorias de objetos astrofísicos, fundamentados en las leyes de Kepler.

DETERMINAR los aspectos relevantes en las leyes de Kepler para el cálculo de masas de

objetos centrales.

IDENTIFICAR la metodología más adecuada para abordar esta temática facilitando la

implementación de la actividad al programa de física que se desarrolla con estudiantes de

grado decimo.

DEFINIR elementos de motivación, actividades didácticas así como las formas de

evaluación adecuadas para un trabajo en el aula en el que se integren las observaciones

astronómicas y la determinación de la masa de un agujero negro en el estudio de la tercera

ley de Kepler.

1.2 Metodología

1.2.1 Fase Inicial

Búsqueda bibliográfica con respecto a los contenidos y aspectos conceptuales para

desarrollar la propuesta.

Análisis y organización de la información.

Organización de la teoría para aterrizarlo al nivel de los estudiantes.



1.2.2 Fase de Desarrollo

Organización de la propuesta pedagógica según las necesidades del problema propuesto.

Definición del modelo pedagógico a utilizar.

Diseño de las actividades para desarrollar con los estudiantes.

1.2.3 Fase de Consolidación

Elaboración de las actividades.

Propuestas de evaluación de las actividades según el modelo pedagógico planteado.

Consolidación de la propuesta a través del escrito final.

Entrega de trabajo final.

1.3 Cronograma

agosto Septiembre Octubre Noviembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo

Delimitación del problema

Fundamentación teórica

Presentación proyecto

Organización, evaluación y selección del modelo pedagógico que se pueden aplicar en la propuesta.

Diseño de la actividad didáctica en función del modelo seleccionado.

Evaluación y conclusiones de las actividades diseñadas.

Presentación de trabajo final

Tabla 1-1: Organización del cronograma del trabajo.

MARCO TEORICO 5

2. MARCO TEÓRICO

2.1 Aspectos Epistemológicos e Históricos

Durante el desarrollo de la historia humana se observa un especial interés por el gran

espectáculo que ofrece una noche despejada, donde las luces que se observan en el cielo

llenan de incertidumbres sobre nuestra presencia en el universo. Entender qué son estas

luces y cómo se comportan ante nuestros ojos es uno de los retos constantes de cada una

de las civilizaciones que han dedicado tiempo a la observación de la bóveda celeste,

teniendo en cuenta que todos tienen una lógica desde el fundamento de sus creencias,

coincidiendo a pesar de esta circunstancia en muchas de las mediciones realizadas del

movimiento aparente de los astros físicos.

Los chinos, los babilonios, los egipcios, los incas y los mayas hicieron observaciones y

mediciones del movimiento de los astros que, según nuestros registros, resultaron tener

bastante precisión al momento de hacer predicciones de fenómenos astronómicos

particulares, los que a su vez resultaron ser fundamentales en el desarrollo de la agricultura

debido a que muchos de estos fenómenos coinciden con el cambio de las estaciones, el

funcionamiento de sus sociedades se fundamentó en la distribución del tiempo por medio

de estas observaciones ya que podían establecer los momentos específicos en los cuales

realizar sus ceremonias u otras actividades importantes. También tiene influencia en la

realización de diferentes travesías a través del mundo, siendo evidente en algunas

civilizaciones nórdicas y europeas para quienes la observación del cielo les permitió tener

una ubicación más precisa en el lugar que se encontraban en sus desplazamientos a través

del océano.

Entonces observando la inmensidad de la bóveda celeste, se puede registrar regularidades

en el comportamiento de aquellas luces que acompañan la noche, teniendo como primera

explicación la existencia de dioses que regularizan las acciones de los seres lumínicos, que

de alguna manera dictan los parámetros que rigen el comportamiento de los seres humanos

en función de una creencia particular.

2.1.1 Sistema Geocéntrico

Cosmología Aristotélica

Teniendo en cuenta las posturas de Aristóteles donde el universo tiene dos componentes

fundamentales uno astral inmutable e incorruptible, y el otro terrestre o sublunar, de tal

manera que las leyes de la naturaleza tienen dos comportamientos en los lugares ya

nombrados. Para comprender el cosmos se adopta el sistema homocéntrico de Eudoxo,

donde los astros siguen trayectorias circulares enmarcadas en esferas cristalinas, que



permiten la ubicación de la Tierra en el centro inmóvil de dichas esferas. Se considera

entonces que el universo es finito y esférico.

Teniendo en cuenta la creencia de la existencia de cuatro elementos que constituyen la

naturaleza, tierra, aire, fuego y agua, Aristóteles logra hacer un ajuste en su teoría del

universo de tal manera que puede colocar combinaciones de estos cuatro elementos y

ubicarlos en un lugar particular del modelo. Por ejemplo, se tiene claro que el elemento

tierra es inmóvil, por lo tanto, siempre tendrá una tendencia a mantenerse en mundo

sublunar, ya que cuando este elemento está en este lugar se le encontrará inmóvil. Si por

alguna razón se lanza un objeto constituido por la tierra fuera de su posición ideal, este

buscara viajar a la posición inicial, explicando así porque este tipo de objetos siempre cae

al suelo. Por otro lado, un elemento constituido por el aire o el fuego encontrará que su

condición ideal cuando está en el cielo, por lo tanto, tendrá la tendencia a ir siempre hacia

arriba.

Rodeando toda esta estructura está un elemento que compone a todo lo existente en la

circunferencia exterior que es el elemento llamado éter. Esto permitía que el modelo que

describe el cosmos y el movimiento constante de los astros se ajustara a las observaciones

que se realizaban del cielo, pero, al final es un modelo bastante complejo para entender y

explicar el comportamiento de los planetas.

Modelo de Ptolomeo

El modelo de Aristóteles tenía algunos problemas para describir el movimiento de los

planetas; sin embargo, Ptolomeo es quien logra ajustar el movimiento de los planetas que

se observan, pero al trazar las trayectorias toman características bastante complicadas de

entender, por lo que terminan siendo en espirales alrededor de un movimiento circular. Esto

no implica que el movimiento de los planetas se ajuste a la descripción de las observaciones

realizadas hasta este momento de la historia. El problema es que esta descripción continua

siendo bastante compleja de entender. El modelo de Ptolomeo lo termina adoptando la

iglesia católica, debido a que se ajustaba perfectamente a la visión cosmológica de esta

religión.

2.1.2 Sistema Heliocéntrico

Del modelo de Aristarco de Samos al modelo de Kepler

Entender cómo se da el paso para transformar las ideas que se tenían del universo

trasladando el centro del cosmos de la Tierra al Sol, implica un proceso de abstracción

bastante significativo, ya que se debe descentralizar la idea que se tiene de lo que se

observa en el cielo, pues la impresión inicial es que todo lo que está en la bóveda celeste

gira en torno al observador. Un primer intento de hacer este ejercicio, fue presentado por

MARCO TEORICO 7

Aristarco de Samos, pero esta idea no fue apoyada en su momento, terminando relegada

al olvido.

En otro momento de la historia aparece Nicolás Copérnico quien, en 1543, publica en su

libro “De revolutionibus orbium caelestium” donde plantea un sistema heliocéntrico, formado

por esferas distribuidas de tal manera que en el centro de todas las esferas está el Sol, y

todos los planetas incluyendo Tierra viajan alrededor del Sol siguiendo una trayectoria

circular. Además indica que la luna no gira en torno al Sol sino lo hace alrededor de la

Tierra, por último indica que la Tierra tiene tres movimientos que la afectan que son la

rotación, la traslación y un movimiento anual del eje de rotación terrestre de características

similares al comportamiento de un trompo al rotar.

Estas ideas continúan influenciadas por la propuesta cosmológica de Aristóteles que

enuncia que todo está constituido por cinco elementos tierra, aire, fuego, agua y éter.

Entonces se podía suponer que cada esfera debería estar asociada a alguno de estos

elementos fundamentales, y su vez cada uno de estos asociado a los cinco sólidos

regulares de tal manera que esperaba encontrar una perfección en la construcción del

universo, concebido así por Dios. Este aspecto lo tuvo muy en cuenta Johannes Kepler,

quien al tratar de describir el cosmos a través de la propuesta Copérnico logró encontrar

algunos ajustes en este modelo; sin embargo, al tener acceso a los datos de las

observaciones realizadas por Tycho Brahe, termina por convencerse que el modelo

heliocéntrico de las esferas no se ajusta en su totalidad al comportamiento de los planetas.

Es así que Kepler, al realizar el ajuste de sus hipótesis con los datos obtenidos por Tycho

en las observaciones hechas del cielo durante varios años, termina encontrando tres

conclusiones fundamentales en la comprensión del movimiento de los planetas. En primera

instancia se dio cuenta que los planetas describen trayectorias elípticas y no circulares

donde el Sol se encuentra en uno de los focos. Una segunda conclusión se basa en el

recorrido de los astros físicos del sistema solar, donde la línea directa entre el Sol y el

planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. La tercera, es que el tiempo en que el

planeta recorre la trayectoria elíptica es proporcional al cubo de la distancia media entre

ellos. Estos últimos aspectos se esperan abordar con mayor profundidad en el desarrollo

de este trabajo.



2.2 Aspectos Conceptuales

2.2.1 Secciones Cónicas

Las secciones cónicas son importantes para el desarrollo de este trabajo debido a que en

el nivel de los estudiantes en los que se espera aplicar, es un componente significativo en

la parte geométrica, así como en los aspectos preliminares para la comprensión del

movimiento planetario, y la física que debe manejarse al respecto.

Las cónicas fueron estudiadas en un principio por Apolonio de Pérgamo (LUQUERO

MORENO, 1998) (262 – 190 a.C.), quien, al cortar un cono en varias secciones, encontró

figuras que dependían fundamentalmente de cómo estuviesen distribuidos los cortes en el

cono.

Dependiendo de cómo se corten las secciones recibirán el nombre de círculos, elipses,

hipérbolas o parábolas. Es interesante hacer un estudio acerca de estas figuras debido a

que muchas de las observaciones que se hacen de la naturaleza tienen comportamientos

regulares, que se asemejan a estos planos.

Para entender las cónicas se pueden observar desde tres puntos de vista diferentes, entre

ellos son:

a) Uno es estudiarlo como lo hizo Apolonio, en términos de intersecciones de planos

con un cono en diferentes puntos del mismo.

b) Otra forma es estudiarlos como casos particulares de ecuaciones de segundo grado,

como se hace en el curso de cálculo diferencial.

c) Otro es estudiarlos como lugares geométricos de puntos que cumplen cierta

propiedad geométrica.

Para el desarrollo de las actividades propuestas en este trabajo, se tuvieron en cuenta estas

tres formas de abordar el problema de las secciones cónicas. Sin embargo, antes del

proponer las guías de trabajo, es necesario reconocer algunos conceptos básicos

centrando el estudio en las secciones cónicas como el círculo y la elipse que son las más

relevantes en los procesos abordados por este trabajo.

El Círculo

DEFINICIÓN: “Una circunferencia es el lugar geométrico de los

puntos P(x,y) que equidistan de un punto fijo C llamado centro”

(ORTIZ, 2004)

MARCO TEORICO 9

Dentro de esta definición podemos tener en cuenta que la distancia de un punto P(x,y) al

punto C que se llamara 𝑟 y para calcular esta distancia se utilizará la ecuación para la

distancia entre dos puntos:

𝑟 = √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 (2-1)

Donde 𝐶(𝑥0, 𝑦0) son las coordenadas del centro de la circunferencia. De aquí al elevar al

cuadrado toda la expresión se puede obtener:

𝑟2 = (𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 (2-2)

Y cuando el centro de la circunferencia está en el origen del sistema de coordenadas la

expresión sería:

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 (2-3)

Figura 2-1 La circunferencia

Representación de una circunferencia, cuando

se hace rotar el radio de la misma en función

de un ángulo.

La Elipse

DEFINICIÓN: “Una elipse es un lugar geométrico de los puntos

P(x,y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ llamados

Focos es constante” (ORTIZ, 2004)

|𝑃𝐹| + |𝑃𝐹′| = 𝑐𝑡𝑒 = 2𝑎 (2-4)

Ecuación reducida de la Elipse

Cuando los focos de la elipse están ubicados sobre el eje x y la distancia del origen a cada

uno de los focos es de Ox, de tal manera que la distancia entre los focos sea equivalente a

2𝑐, se tiene la siguiente expresión:



𝑥2

𝑐2 +𝑦2

𝑏2 = 1 (2-5)

Donde:

𝑎 es el semieje mayor.

𝑏 es el semieje menor

Focos 𝐹2(𝑐, 0) y 𝐹1(−𝑐, 0)

El centro es el origen O(0,0)

Los vértices 𝑉1; 𝑉2

Del grafico se puede obtener que 𝑃𝐹1 = 𝑎; 𝑂𝑃 = 𝑏; 𝑂𝐹1 = 𝑐

Figura 2-2 La Elipse

Representación de la elipse,

teniendo en cuenta los aspectos

importantes de la misma, el radio

mayor, el radio menor, los focos.

Como se observa se obtiene un triángulo rectángulo, y por tanto se puede determinar el

teorema de Pitágoras teniendo que:

𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 (2-6)

Excentricidad de la Elipse

DEFINICIÓN: “Llamamos excentricidad 𝒆 de una elipse a la

distancia focal y el eje real” (ORTIZ, 2004)

𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2−𝑏2

𝑎 (2-7)

MARCO TEORICO 11

La excentricidad mide el grado de achatamiento de la elipse. Teniendo en cuenta la

excentricidad de la elipse se puede expresar el semieje mayor y el semieje menor términos

de:

𝑎 =𝑟

(1−𝑒2) (2-8)

𝑏 =𝑟

√1−𝑒2 (2-9)

2.2.2 Leyes de Kepler

Figura 2-3 Sistema Planetario,

Representación del sistema planetario

en sus órbitas elípticas alrededor del

Sol.

Las leyes de Kepler están establecidas en tres aspectos importantes como es el movimiento

de los planetas entorno al Sol, el tiempo en que realizan este movimiento y como se

mantienen las proporciones. Así es que enunciaron las leyes:

Primera Ley

Cuando Kepler toma los datos de Tycho Brahe, hace el ejercicio de ajustar los datos para

un observador que está fuera de nuestro sistema encontrando en primera instancia que:

“Cada planeta describe una órbita elíptica donde el Sol se encuentra

en uno de los focos de la elipse” (HEWITT G., 2004)

Segunda Ley

El aspecto de la segunda ley que la hace importante en la comprensión del movimiento de

los planetas es el hecho de encontrar que al analizar los datos, los astros físicos se mueven

con mayor rapidez cuando están cerca del Sol, como también se mueven más lentamente

cuando están lejos. Si se hace un análisis geométrico de esta situación trazando una línea

imaginaria uniendo al Sol y el astro, y además se hace girar dicha línea en torno al

movimiento del planeta, se encontrará que se marca un área de igual valor en ambos

momentos. Entonces esta ley se enunciaría así:



“La línea del Sol a cualquier planeta barre áreas iguales de espacio

en intervalos iguales de tiempo” (HEWITT G., 2004)

Esto implica que el movimiento de los planetas alrededor del Sol no es con velocidad

constante, pues esta cambia según la cercanía con la que este el planeta del Sol.

Tercera Ley

A pesar de que Kepler nunca logró explicar porque los planetas y los satélites tenían este

comportamiento después de muchos análisis con los datos encontrados por Brahe,

encontró una nueva relación que tenía un valor constante sin importar el planeta que se

observara. Este valor se obtiene de la razón entre el valor del periodo de cada planeta al

cuadrado (𝑇2) y de las distancias medias al cubo (𝑅3). Esto fue enunciado de la siguiente

manera:

“Los cuadrados de los tiempos de revolución (los periodos) 𝑻𝟐de los

planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias

promedios al Sol 𝑨𝟑 (𝑻𝟐𝜶𝑨𝟑 para todos los planetas).” (HEWITT G.,

2004)

𝑇2 = k𝐴3 (2-10)

A pesar de que Kepler conocía las ideas de Galileo acerca de la inercia y el movimiento

acelerado, él no las integro a sus postulados, puesto que Galileo creía fervientemente en la

idea del movimiento circular de los planetas.

2.2.3 Visión newtoniana de las leyes de Kepler

Las leyes de Kepler ya enunciadas, explica como es el movimiento de los planetas, pero no

aclara las razones por las cuales se presentan de esta manera. Esto es lo que da

importancia al trabajo desarrollado por Newton, dado que explica las razones por las cuales

el movimiento de los planetas se presenta como lo observamos, además de ajustarse al

comportamiento que se encuentran aquí en la Tierra.

Para ello formula la Ley de Gravitación Universal, que afirma: “Dos masas M y m se atraen

entre sí por una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia”. Si expresamos matemáticamente

lo anterior se tendría que:

𝐹 =𝐺𝑀𝑚

𝑅2 (2-11)

MARCO TEORICO 13

Figura 2-4 Imágenes leyes de Kepler

a. Grafica que representa el área

barrida por el radio promedio a medida

que el planeta hace su recorrido en un

intervalo de tiempo.

b. Diferencia entre el radio y la

velocidad centrípeta que se presenta en

el perihelio y el afelio, durante el

recorrido del planeta alrededor del Sol.

Al analizar esta expresión, se puede enunciar que si uno de los objetos, por lo general de

mayor masa se encuentra en un punto inercial, el otro al sentirse atraído tendrá una

trayectoria que podría asociarse a una sección cónica, como una elipse para aquellos

objetos que se mantienen constantemente en torno a los objetos centrales, parábolas para

aquellos objetos que caen hacia el objeto hasta ser absorbidos, e hipérbolas para aquellos

que solo se acercan una vez al objeto central.

Entonces se evidencia así que la presencia de que la existencia de fuerzas centrales

justifica la primera ley de Kepler, como una consecuencia de la Ley de Gravitación

Universal. Como se están considerando orbitas elípticas se consideraran los siguientes

aspectos:

Partiendo de la definición de momento angular se tendría la ecuación:

𝐿 = 𝜇𝑟2 𝑑𝜃

𝑑𝑡 (2-12)

Donde 𝜇 =𝑀𝑚

𝑀+𝑚 que son las masas que interactúan en el sistema. Organizando la expresión

se tiene que:

𝐿

2𝜇𝑑𝑡 =

1

2𝑟2𝑑𝜃 (2-13)



Si se tiene en cuenta que la expresión 1

2𝑟2𝑑𝜃 es la componente diferencial del área de la

elipse en coordenadas polares. Por otro lado se tiene que al integrar un periodo completo,

el área de la elipse se puede expresar entonces como:

1

2𝜇𝑇 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 𝜋𝑎𝑏 (2-14)

Donde 𝑎 es el semieje mayor de la elipse, 𝑏 es el semieje menor de la elipse y 𝑇 es el

periodo completo. Ahora, si se combinan estos aspectos geométricos con algunos

conceptos físicos, se pueden describir los semiejes como:

𝑎 =𝐶

(−2𝐸) (2-15)

𝑏 =𝐿

√−2𝜇𝐸 (2-16)

Donde 𝐸 = 1 − 𝑒2. Entonces reemplazando en la ecuación (2-14) se tiene que:

1

2𝜇𝑇 = 𝜋

𝐶

−2𝐸

𝐿

√−2𝜇𝐸 (2-17)

Elevando la expresión al cuadrado, despejando y simplificando se tiene la expresión:

𝑇2 =𝜋2𝜇𝐶2

−2𝐸3 (2-18)

Teniendo en cuenta que 𝐴 =𝐶

−𝐸 y 𝐶 = 𝐺𝑀𝑚 entonces la expresión finalmente seria:

𝑇2 =𝜋2

2(𝑀+𝑚)𝐺𝐴3 (2-19)

Que es la expresión para la tercera ley de Kepler, interpretada desde las leyes de Newton.

Como uno de los objetivos de este trabajo es determinar una masa central la expresión que

se usa para tal fin sería:

(𝑀 + 𝑚) =𝜋2

2𝐺𝑇2 𝐴3 (2-20)

Donde 𝑀 + 𝑚 es el conjunto de masas que interactúan en el sistema, 𝐴 es el semieje mayor

de la elipse que describe la trayectoria del astro alrededor de la masa central, 𝐺 es la

constante de gravitación universal que tiene un valor de 𝐺 = 6,77 ∗ 10−11 𝑁𝑚2

𝑘𝑔2 , y 𝑇 es el

periodo orbital del astro que gira. También es necesario tener en cuenta que para el cálculo

de la masa, usando la expresión (2-20) puede influir en el resultado la inclinación de la órbita

con respecto al plano de referencia.

MARCO TEORICO 15

2.3 Agujeros Negros

2.3.1 Contexto histórico

La primera vez que se tuvo en cuenta la idea de lo que hoy conocemos como agujero negro,

fue en 1783 cuando el científico John Michell, propuso combinar la teoría corpuscular de la

luz propuesta por Newton, con la teoría de gravitación universal. A partir de esta idea no es

erróneo pensar, que la gravedad pudiese influir sobre la luz gracias a la posibilidad de que

esta fuese compuesta por partículas, ya que la influencia de la gravedad según la

concepción clásica se da a través de la interacción de las masas de los objetos.

Según la idea planteada por Michell, si se lanza verticalmente un objeto que esta sobre la

superficie de una estrella a una cierta velocidad, este tendera a caer de nuevo hacia ella, si

su velocidad inicial no es lo suficientemente alta para vencer el campo gravitatorio de la

estrella. Si por el contrario este tiene la suficiente velocidad inicial para escapar, el objeto

disminuirá su velocidad pero logrará huir de la acción de la gravedad.

Esta velocidad límite se reconoce como velocidad de escape, que es la velocidad mínima

que deben tener los objetos para poder escapar de la acción de la gravedad de un astro.

Cuando Michell quiso argumentar su idea, procuro calcular cuales deberían ser las

condiciones, para que la velocidad limite fuese lo suficientemente alta como parea que la

luz no pudiese escapar de una estrella.

“Michell pudo calcular la velocidad de escape utilizando las leyes de

la gravedad de Newton, y pudo demostrar que es proporcional a la

raíz cuadrada de la masa de la estrella dividida por su

circunferencia. Por consiguiente, para una estrella de masa fija,

cuanto más pequeña es la circunferencia mayor es la velocidad de

escape. La razón es simple: cuanto más pequeña es la

circunferencia, más cerca está la superficie de la estrella de su

centro y, por lo tanto, mayor es la gravedad en la superficie y más

trabajo tiene que hacer la partícula para escapar de la atracción

gravitatoria de la estrella.” (S. THORNE, 1994)

En el párrafo anterior, se puede intuir los pasos que siguió Michell para realizar sus cálculos,

se puede entonces identificar la expresión que él utilizó:

𝑣𝑒 = √2𝐺𝑀

𝑅𝑒 (2-21)

A partir de aquí, se propone a continuación un ejercicio que permita identificar los pasos

que posiblemente siguió Michell para hallar las características de una estrella, cuya

velocidad de escape sea equivalente a la velocidad de la luz, valor que ya se había

establecido en la época de Michell. Si se consideran entonces los siguientes datos, la masa

del Sol equivalente a 𝑀 = 1,989 ∗ 1030𝑘𝑔, el radio del Sol 𝑅𝑒 = 695800𝑚, y la constante de



gravitación universal 𝐺 = 6,67 ∗ 10−11 𝑚3

𝑠2𝑘𝑔. Con estos datos y la expresión 2-21, se tendría

que el radio de una estrella con una masa equivalente a la del sol, con las características

de una estrella que no deja escapar la luz, entonces:

𝑅𝑒 =2𝐺𝑀

𝑣2

𝑅𝑒 =2 (6,67 ∗ 10−11 𝑚3

𝑠2𝑘𝑔) (1,989 ∗ 1030𝑘𝑔)

(3 ∗ 108 𝑚𝑠

)2

𝑅𝑒 = 2948,14𝑚

Este sería el radio crítico, en el cual una estrella con la masa equivalente a la del Sol no

dejaría que la luz escapara. De la misma manera se puede calcular la masa que se

necesitaría para producir el mismo efecto, pero con un radio equivalente a la del Sol. Este

proceso se llevaría a cabo de la siguiente manera:

𝑀 =𝑣2𝑅𝑒

2𝐺

𝑀 =(3 ∗ 108 𝑚

𝑠)

2(695800𝑚)

2 (6,67 ∗ 10−11 𝑚3

𝑠2𝑘𝑔)

𝑀 = 3,51 ∗ 1042𝑘𝑔

Esto da una idea del proceso que se llevó a cabo para determinar algunas de las

características de estas estrellas tan extrañas. Como no existía ninguna ley que impidiese

la existencia de tales estrellas, esto llevo Michell a especular acerca sobre la existencia de

un gran número de estrellas de estas características en el universo, las cuales por obvias

razones no serían visibles desde la Tierra.

Michell publico estas ideas en la Royal Society de Londres el 27 de Noviembre de 1783, lo

cual generó bastante revuelo en los científicos de la época. Trece años después el científico

francés Pierre Simón Laplace masifico esta idea en su publicación El sistema del mundo,

sin hacer referencia al trabajo de Michell. Laplace mantuvo esta idea en la segunda edición

de su publicación, pero en la tercera desecho la idea, debido muy posiblemente a los

resultados del trabajo de Thomas Young sobre la interferencia de la luz, dado que la mayor

parte de los científicos abandonaron la interpretación corpuscular de la luz. Además no era

claro como la luz si es onda se vería afectada por la gravedad.

Todos estos aspectos relacionados con las estrellas oscuras habían sido dejados por los

científicos, hasta que Einstein formula la teoría de la relatividad, a partir del cual él mismo

MARCO TEORICO 17

detecta una inconsistencia entre su teoría y la teoría gravitatoria de Newton. Aunque esta

discrepancia no era muy evidente, si lo hacía intuir que existía una debilidad de dicha teoría,

Newton proponía que la gravedad dependía fundamentalmente de la distancia entre los dos

objetos gravitantes. Esto supondría un problema si se tomaba en cuenta que la teoría de la

relatividad que postulaba que la distancia es diferente en distintos sistemas de referencia.

“las leyes de la relatividad de Einstein predicen que la distancia

entre el Sol y Mercurio diferirá aproximadamente en una parte en

mil millones, dependiendo de si uno está situado en la superficie de

Mercurio cuando la mide o si está situado en la superficie del Sol. Si

ambos sistemas de referencia, el de Mercurio y el del Sol, son

igualmente buenos a los ojos de las leyes de la física, entonces

¿qué sistema debería utilizarse para medir la distancia que aparece

en la ley gravitatoria de Newton? Cualquier elección, la del sistema

de Mercurio o la del Sol, violaría el principio de relatividad. Este

dilema convenció a Einstein de que la ley gravitatoria de Newton

debía tener un punto débil.” (S. THORNE, 1994)

Esto le indicó a Einstein que además de descartar el tiempo y el espacio absoluto, había

que reformular la ley de gravitación, búsqueda que comenzó en 1907, cuando es invitado

a escribir un artículo en la publicación Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik sobre sus

leyes de la física de la relatividad especial y sus consecuencias. Hasta ese momento evitaba

constantemente incluir la gravedad en sus explicaciones, dado que un sistema inercial que

se propone en la teoría de la relatividad, las leyes de la naturaleza actúan como si la

gravedad no existiese, situación que es difícil de argumentar ya que estos sistemas no se

encuentran con facilidad.

Así que en un momento de contemplación que tuvo Einstein, logra encontrar un sistema

que se aproxima bastante con esta situación y es aquel, en que una persona cae en caída

libre. La sensación que tiene la persona en el momento de la caída, según la explicación

dada por él, es que la persona no sentirá su peso. Entonces si la persona se olvida por un

momento de lo que hay a su alrededor durante la caída, no podrá diferenciar si está cayendo

o está flotando. En este pequeño sistema de referencia la persona evidenciara que todas

las leyes de la naturaleza actuaran sin la presencia de la gravedad, la cual no será visible

en ese instante, por lo que no se podrá detectar ni medir.

“En cualquier pequeño sistema de referencia en caída libre, en

cualquier parte de nuestro Universo real dotado de gravedad, las

leyes de la física deben ser las mismas que en un sistema de

referencia inercial en un universo idealizado libre de gravedad.

Einstein llamó a este principio el principio de equivalencia, porque

afirma que pequeños sistemas de referencia en caída libre en

presencia de gravedad son equivalentes a sistemas inerciales en

ausencia de gravedad.” (S. THORNE, 1994)



Este aspecto es muy importante en el desarrollo de la relatividad especial, si se tiene en

cuenta que así se justifica la existencia de un sistema inercial sin gravedad, donde se

cumplen las leyes de la física, reproduciéndolas en cualquier sistema de referencia. La

propuesta de gravedad de Einstein se desarrolla con mayor profundidad más adelante en

este trabajo.

Desde este punto la idea de las estrellas oscuras, finalmente se vuelve a tomar en cuenta

cuando un científico Karl Schwarzschild leyó la publicación de la relatividad general en el

número 25 de noviembre de 1915 de las Actas de la Academia Prusiana de Ciencias,

colocándose a la tarea de analizar un cuerpo esférico que no gira, dado que en otras

condiciones la matemática sería bastante complicada. Esta situación la plantea Kip Thorne

en su libro:

“Puesto que sería muy complicado analizar matemáticamente una

estrella que gire o que no sea esférica, Schwarzschild se limitó a

estrellas que no giran en absoluto y que son exactamente esféricas;

y para facilitar su cálculos buscó en primer lugar una descripción

matemática de la región exterior a la estrella y dejó su interior para

más tarde. En pocos días tuvo la respuesta. A partir de la nueva

ecuación de campo de Einstein, había calculado en sus detalles

exactos la curvatura del espacio-tiempo en el exterior de cualquier

estrella esférica y sin rotación. Su cálculo era bello y elegante, y la

geometría espacio-temporal curvada que predecía, la geometría de

Schwarzschild como pronto iba a ser conocida, estaba destinada a

tener un enorme impacto sobre nuestra comprensión de la gravedad

y el Universo.” (S. THORNE, 1994)

Esta geometría de Schwarzschild dio el inicio a lo que hoy conocemos como agujero negro,

a pesar de que Einstein presento el trabajo de Schwarzschild ante la comunicad científica,

ya que él se encontraba en el frente de batalla en la segunda guerra mundial, para Einstein

este trabajo no tenía mucho sentido, ya que aunque se ajustaba a la teoría de la relatividad,

para él la naturaleza no se podía comportar de manera tan destructiva.

El desarrollo de esta geometría, hace parte del primer ejemplo de la curvatura del espacio

– tiempo, el cual es importante en la comprensión del comportamiento de los agujeros

negros.

Si se retoma por un momento la concepción de espacio que se tiene en la mecánica clásica,

se comenzará a identificar las diferencias entre la postura clásica, y los cambios que se

proponen en el desarrollo de la geometría de Schwarzschild.

“Es un espacio compartido por toda la humanidad, por el Sol, por

todos los planetas y estrellas. Cada uno de nosotros se mueve en

este espacio en trayectorias y con velocidades propias, pero nuestra

experiencia del espacio es la misma, independientemente de

MARCO TEORICO 19

nuestro movimiento. Este espacio nos proporciona nuestra

sensación de longitud, anchura y altura; y de acuerdo con las leyes

de Newton, todos nosotros, independientemente de nuestro

movimiento, estaremos de acuerdo en la longitud, anchura y altura

de un objeto, con tal de que hagamos medidas suficientemente

precisas.” (S. THORNE, 1994)

Como se observa el espacio absoluto tiene unas características, que unifica la forma en

que ve la naturaleza cada observador independiente. De la misma forma si tomamos en

cuenta como se entiende el tiempo absoluto, en la mecánica clásica.

“El tiempo absoluto de Newton era el tiempo de la experiencia

cotidiana, el tiempo que fluye inexorablemente hacia adelante a

medida que envejecemos, el tiempo medido por los relojes de alta

calidad y por la rotación de la Tierra y el movimiento de los planetas.

Es un tiempo cuyo flujo es experimentado en común por toda la

humanidad, por el Sol, por todos los planetas y por todas las

estrellas. Según Newton, todos nosotros, independientemente de

nuestro movimiento, estaremos de acuerdo en el periodo de una

órbita planetaria o en la duración del discurso de algún político, con

tal de que utilicemos relojes suficientemente precisos para medir la

órbita o el discurso.” (S. THORNE, 1994)

2.3.2 Evolución de las estrellas

Para entender cómo se crea un agujero negro es necesario conocer la evolución de las

estrellas, enfocándose especialmente en las diferentes formas posibles en que la vida de

ellas termina. Los astrónomos tienen dos maneras de describir este proceso, uno de ellos

es organizar modelos matemáticos que facilitan la aproximación de los hechos; la otra forma

es realizar la observación directa.

“La evolución de todas las estrellas es parecida a grandes rasgos,

aunque los detalles individuales pueden variar mucho. En particular,

la duración de la fase de combustión del hidrogeno depende mucho

de la masa de la estrella: las estrellas de masa muy pequeña

pueden tardar mil veces más que el Sol en alcanzar la etapa de

gigante roja. Incluso algunas estrellas pueden no llegar a alcanzar

nunca una temperatura interna suficiente para encender el destello

del helio, y simplemente se irán enfriando. Sean los que sean los

detalles o la duración de su evolución, todas las estrellas están

sujetas a la segunda ley de la termodinámica, según la cual la

combustión no puede seguir indefinidamente; al final tiene que llegar

el momento de la muerte de la estrella” (DAVIES, 1985)



Teniendo en cuento los aspectos desarrollados por los astrónomos en cuanto a la vida de

las estrellas, implica que sea necesario indicar que los procesos en una estrella para dejar

de existir son muy variados entre sí, lo que termina dificultando la realización de la

descripción de esta situación. A pesar de esta dificultad se pueden generalizar algunos

aspectos. Uno de ellos es la dependencia entre la masa de las estrellas con el tiempo de

vida de las mismas. Por ejemplo, entre mayor cantidad de masa tiene una estrella, el núcleo

de ella deberá compensar la presión que ejercen las capas externas, lo cual se realizará

ocupando menos espacio debido a la compresión, lo que terminará aumentando la

temperatura según lo predicen las leyes de la termodinámica. Este proceso generará que

el consumo de hidrogeno se realice más rápidamente, lo que disminuirá el tiempo de

equilibrio entre las capas externas y las internas.

Estos aspectos indican que las estrellas están en una constante lucha por mantener en

equilibrio su núcleo, lo que consiguen aumentando su temperatura para poder consumir los

diferentes elementos que se van generando en cada una de sus fases antes de extinguirse,

teniendo que en primera instancia se debe agotar el hidrogeno, luego el helio para de esta

manera llegar a elementos cada vez más pesados como el oxígeno o el hierro. Según el

combustible que tenga la estrella en su núcleo, esta emitirá una radiación lumínica en un

espectro electromagnético determinado, lo cual nos permite identificar desde la

observación, que composición tiene, y en qué momento de su vida se encuentra cuando

nos llega la información desde ella.

“Al completarse cada etapa de combustión, el núcleo de la estrella

se contrae aún más para mantener el vital equilibrio entre la presión

y el flujo de energía. Cada vez que se acaba la energía de la estrella,

debe empezar a contraerse bajo su propia gravedad hasta que la

temperatura es lo bastante alta para quemar el combustible que está

disponible. Cuando se empieza a quemar los elementos incluyendo

el oxígeno, la temperatura se acerca a los mil millones de grados,

unas cien veces más caliente que el centro del Sol en su estado

actual.” (DAVIES, 1985)

Para continuar con este análisis, se tomará el ejemplo de una estrella pequeña como

nuestro Sol. El inicio de la vida de nuestra estrella se dio con una acumulación constante

de una nube de gases con alto contenido de hidrogeno, la cual comienza a contraerse,

acumulándose y aumentando su temperatura hasta que su actividad se estabiliza por varios

millones de años, aquí su apariencia es la de una enana amarilla. Una vez se consume el

hidrogeno transformándolo en helio, la estrella comienza un proceso de cataclismo donde

debe estabilizarse nuevamente, lo cual realiza expandiéndose hasta transformarse en una

gigante roja. Más tarde al consumir nuevamente su combustible de helio, transformándolo

en elementos más densos y con la idea de buscar la estabilidad debe aumentar su

temperatura para poder consumir su nuevo combustible. Al generarse su proceso el color

que se observa de su brillo es de una estrella azul caliente. Luego al consumir su

MARCO TEORICO 21

combustible nuclear se enfría transformándose en una enana blanca, la cual se va

apagando constantemente por mucho tiempo hasta transformarse en una enana negra.

Cambia significativamente los procesos sobre la estrella, cuando estas tienen una mayor

cantidad de masa, dado que en su composición atómica, estas estrellas pueden llegar a

tener elementos mucho más pesados en las diferentes etapas de su evolución. Sin

embargo, para que estas estrellas puedan mantener su equilibrio vital en el núcleo, entre la

presión y el flujo de energía, deberá contraerse en función de cada una de las etapas que

sufre durante su vida como estrella. Cuando el núcleo sube a temperaturas por encima de

los mil millones de grados, crea otro tipo de inestabilidad. Por un lado la radiación emitida

en forma de rayos x, genera la energía suficiente para producir pares electrón – positrón,

teniendo en cuenta que algunos de estos pares terminan aniquilándose formando pares

neutrino – antineutrino. En este instante el núcleo se vuelve radiactivo y empieza a

desintegrarse por emisión de neutrinos, quienes atraviesan las capas superiores sin

encontrar nada que los detenga escapando así al espacio.

A medida que aumenta la temperatura y el núcleo se contrae cada vez más, la emisión de

neutrinos aumenta significativamente, pero esto no lo hace eternamente puesto que llega

un momento en que se termina el suministro de energía de los procesos de síntesis nuclear,

encontrando una estabilidad en el material que contiene este horno nuclear. Aquí se

producen núcleos más pesados como es el caso del hierro. Para producir estos materiales

tan pesados, el consumo de energía es bastante significativo lo que genera un aumento en

la temperatura hasta unos tres mil millones de grados, alcanzando de esta manera el

equilibrio termodinámico.

Después de un tiempo comienza nuevamente a contraerse el núcleo, solo que esta vez lo

hace cada vez más rápido, aumentando la temperatura nuevamente hasta alcanzar unos

ocho mil millones de grados, destruyendo finalmente los núcleos de hierro que se han

formado por millones de años, por lo que el núcleo comienza a emitir rayos gamma cada

vez más activos. En unos pocos segundos el núcleo de la estrella se colapsa, generando

tal densidad que los neutrinos ya no pueden escapar. La potente cantidad de neutrinos

emitidos por el núcleo generados por la implosión, hacen que las capas exteriores capten

energía la cual se libera en una gran explosión, produciendo un brillo con una luminosidad

equivalente a la generada por una galaxia, este brillo se puede observar por algunos días.

Los residuos de esta explosión generan une estrella muy contraída con un campo

magnético encerrado en ella. Cuando la estrella gira rápidamente, produce un giro en su

campo magnético lo que crea pulsos de radio constantes que se pueden detectar con los

radio telescopios. Estas estrellas son conocidas hoy en día como pulsares.

2.3.3 De la gravedad de Newton a la de Einstein

Antes de continuar con la evolución de las estrellas y como estas pueden llegar a ser

agujeros negros, se debe entender de la mejor manera que es la gravedad, quien es

considerada como la fuerza de menor intensidad comparada con las otras fuerzas



fundamentales de la naturaleza. Sin embargo es quien termina provocando el colapso de

la estrella de manera más espectacular, debido a que esta fuerza siempre es continua y

atractiva. Los enigmas que genera este tipo de final en las estrellas, son muy complejos

para nuestro entendimiento, dado que al producirse, implica la desaparición de información

en términos de las estructuras ordenadas a las que nos ha acostumbrado el universo, por

lo que se supone la extinción de una gran cantidad de materia en aquellos lugares.

La pregunta a realizar entonces es ¿qué es la gravedad? Newton fue el primero que dio

algunas ideas acerca de este concepto. Uno de los avances más significativos por parte de

él, es haber relacionado esta fuerza como la causante del movimiento de los planetas

alrededor del Sol, debido fundamentalmente a la interacción entre las masas involucradas,

en este caso la masa central la del Sol y la de los planetas. La masa en estas condiciones

se conoce como masa gravitacional. Por otro lado la gravedad es la razón por la cual nos

sentimos empujados hacia el suelo en línea recta cuando caemos, afectando nuestra masa

obligándonos a estar atados a la Tierra. Por esta razón a la masa en estas condiciones se

le conoce como masa inercial.

Newton no dejo muy claro en sí que es la gravedad, tal vez porque no era su interés, a

pesar de esta situación su propuesta fue aceptada, debido a que se ajustaba bastante bien

a la descripción de orbitas descritas por la mayoría de los planetas. En los casos en los que

no ajustó bien estos resultados, se explicó argumentando la existencia de algún objeto no

visto que generaban una perturbación de las trayectorias de los planetas debido a la

gravedad generada por dicho objeto.

“cuando Einstein descubrió la teoría de la relatividad en 1906, se

llegó a la conclusión de que la idea newtoniana de la gravedad tenía

que ser errónea, siendo la dificultad principal el que actuará

instantáneamente a distancia. Los experimentos realizados a

principios de siglo, combinados con el brillante trabajo de Einstein,

establecían sin ninguna duda que ninguna influencia física podía

sobrepasar la velocidad de la luz sin invertir el orden de causa y

efecto. Como esto resulta impensable, elimina la posibilidad de

acción instantánea a distancia, en la que se fundaba el concepto de

gravedad de Newton.” (DAVIES, 1985)

Como se puede observar en este texto de Paul Davies en su libro el “Universo desbocado”,

que el concepto de gravedad como lo propone Newton, debe ser transformado y ajustado

a la nueva realidad, identificada en la teoría de la relatividad de Einstein. Este hecho de que

la gravedad no pudiese actuar de manera instantánea, dado que sobrepasaría la velocidad

limite que impone la teoría, transforma el concepto de gravedad de una fuerza causada por

la interacción entre masas, a un aspecto puramente geométrico, dado que la masa provoca

en el espacio y el tiempo una curvatura que puede ser analizada desde la matemática

asociada, a la trayectoria que siguen los objetos en torno a la masa estudiada. Tal vez

Newton no pudo llegar a esta conclusión, al considerar como una mera coincidencia, el

MARCO TEORICO 23

hecho de que los objetos con diferentes densidades que se dejan caer al tiempo desde la

misma altura, llegan al suelo al mismo tiempo. Este pudo ser el punto de partida importante

para Einstein en el momento de buscar una alternativa como la que encontró.

“Al variar la gravedad de un sitio a otro, varían las trayectorias de

los cuerpos en movimiento, fenómeno llamado efecto de marea,

porque la variación de la gravedad de la Luna sobre la superficie de

la Tierra produce mareas oceánicas. Einstein busco una propiedad

del espacio y el tiempo que pudiera explicar cómo podía variar las

trayectorias de caída libre de los cuerpos de un sitio a otro. Esta

variación podría ser el efecto de torsión y giro, o bien una expansión,

una contracción o desgarro. Einstein propuso que el espacio y el

tiempo son, de alguna forma, elásticos y puede sufrir distorsiones

en presencia de una masa gravitante. La curvatura del espacio

cerca de una masa tuerce las trayectorias de los cuerpos en caída

libre. De acuerdo con esta imagen no debemos considerar la Tierra

como forzada a seguir una trayectoria curva alrededor del Sol por la

fuerza de gravedad, sino cayendo libremente por el espacio tiempo

curvado, cuya distorsión aparta a la Tierra del movimiento en línea

recta provocando una trayectoria curva. La gravedad por lo tanto

queda reducida a la geometría, y deja de ser una fuerza.” (DAVIES,

1985)

Figura 2-5 Efecto de la gravedad sobre la luz

En la imagen se puede ver la representación de la curva generada en el espacio – tiempo, por una masa gravitante como el Sol. Si se observa la contrastación entre la trayectoria lineal si no existiese la masa del Sol y la trayectoria que sigue la luz cuando está el Sol.

Las trayectorias de las masas gravitantes, dependen fundamentalmente de la curva que

generan los objetos en el espacio, dado que el espacio - tiempo es un ente elástico, que se

ve afectado por los objetos que habitan en él.

2.3.4 Origen de los agujeros negros

Al comprender un poco mejor como es el ciclo de las estrellas, según las ideas expuestas

hasta el momento, su final depende de la cantidad de materia que ha venido acumulando

durante su nacimiento. Si la masa del núcleo no excede la masa equivalente a tres soles,



su vida se extinguirá como ya se analizó anteriormente. Lo que se entrará a analizar ahora,

es lo que sucede cuando ese núcleo supera el límite de las tres masas solares.

Al utilizar la explicación de Einstein en la formación de agujeros negros, se encuentran

elementos de mayor claridad, para fundamentar lo que ocurre cuando se presenta en el

colapso gravitacional. Cuando la masa de las estrellas es significativamente mayor, a la

masa equivalente a tres masas solares, el núcleo de la supernova no podrá equilibrar la

gravedad que se genera en el centro, por lo que el colapso será inevitable. Por otro lado

este suceso, se presenta en una escala de tiempo muy corto, comparado con lo que ocurre

en el resto de la evolución de la estrella. Esto se presenta en una milésima de segundo,

ocurriendo fenómenos nuevos y extraños.

“El primer efecto se refiere a la dilatación del tiempo ya mencionada

en relación con la gravedad Terrestre. Sobre la superficie de una

estrella esférica en colapso, el ritmo del tiempo, con relación a un

lugar muy alejado, decrece exponencialmente; es decir, el ritmo del

“reloj” disminuye a la mitad cada diez milésimas de segundo para

una estrella típica. En un abrir y cerrar de ojos el tiempo de la

superficie de la estrella, medido con un reloj lejano, llega a pararse

prácticamente, y para en observador alejado de los acontecimientos

parecen haberse congelado en el tiempo.” (DAVIES, 1985)

El efecto nombrado en este párrafo es muy interesante, dado que su explicación viene de

la forma en que la gravedad afecta el espacio - tiempo. Si un observador se encuentra en

un punto donde la intensidad de la gravedad es significativa, comparado con otro

observador que se encuentra alejado de dicho punto, se podrá observar que un cambio en

el comportamiento del reloj de uno de ellos,

Figura 2-6 Efecto de la gravedad de la Tierra sobre el movimiento de la Luna

Representación de la curvatura

generada por la Tierra en el espacio -

tiempo

MARCO TEORICO 25

2.3.5 ¿Qué existe en el centro de nuestra Vía Láctea?

Observar un agujero negro no es nada fácil, si tenemos en cuenta por ejemplo la definición

de estos objetos estelares, tendremos claro que verlos será imposible, ya que se necesitaría

que de él saliera luz, lo cual jamás ocurrirá. Sin embargo los efectos gravitatorios que

causan el movimiento sobre los objetos que se encuentran alrededor, podrán evidenciarse

fácilmente.

Sin embargo, el suponer cuáles serán los lugares donde posiblemente se podrá encontrar

algún agujero negro, no es un ejercicio sencillo de realizar. Por otro lado para poder

observar los lugares donde se supone que se encuentran algunos agujeros negros, se

deben utilizar equipos especializados, dado que realizar las observaciones implica mirar a

través de gran cantidad de material cósmico, el cual no permite el paso de la luz visible.

Cuando los radio telescopios apuntaron por ejemplo, al centro de la galaxia, se pudo

observar un número significativo de estrellas de gran tamaño, las cuales después de varios

años de apuntar en esta dirección, se ha podido determinar el comportamiento de estas

estrellas conocidas como S. El comportamiento que describen estas estrellas simulan la

presencia de un objeto central, cuya masa genera una curvatura en el espacio, lo

suficientemente capaz de provocar que las estrellas S (que tienen una masa de varias veces

la masa solar) giren en torno a él. Por otro lado, de este punto central que se ha determinado

a través de las imágenes tomadas, no se ha detectado ningún tipo de luz radiando de este

lugar, acorde al comportamiento de un agujero negro. Además por las simulaciones de

computador, se ha podido determinar donde se encuentra el horizonte de sucesos del

agujero negro, en el momento en que absorbe materia de alguna de las estrellas que giran

en torno a él.

Aquí es donde puede tomar sentido este trabajo, dado que al realizar estas observaciones,

las orbitas son muy similares a las que se presentan en el sistema solar, por lo que realizar

el cálculo de la masa que se ubica en el centro de la galaxia, lo podemos realizar utilizando

las leyes de Kepler. Como aplicación de estos conceptos en la clase de física del colegio

IED El Japón, puede hacer que haya mayor interés por parte de los estudiantes del colegio

hacia temas asociados con la ciencia.



3. ASPECTOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS

La pedagogía se puede definir como “Una actividad humana sistemática que orienta las

acciones educativas y de formación, se plantean los principios, métodos, practicas,

maneras de pensar y modelos que son sus elementos constitutivos.” (Mendoza, 2001) de

acuerdo con lo anterior, podemos establecer que la pedagogía es uno de los parámetros

más importantes que permiten identificar la pertinencia de las actividades aplicadas a una

población educativa especifica. Así mismo los modelos pedagógicos dan las herramientas

necesarias que permiten la aproximación de los estudiantes al conocimiento; a partir de

la evaluación de los avances tienen los estudiantes al verse afectados por estas acciones.

Cada uno de estos está relacionado a través de un modelo pedagógico. Pero se tiene que

un modelo pedagógico según Peretti 1987 es:

“Conjunto de creencias, de concepciones o generalizaciones y de

valores que comprenden una concepción del conocimiento, una

concepción de las relaciones persona-sociedad-naturaleza, un

conjunto de valores-intereses, una manera de hacer, un sentido

global.”

Se puede decir entonces que cada uno de estos elementos está fundamentado en unos

aspectos filosóficos, metodológicos y estructurales, enmarcados en una serie de modelos

que reúnen los aspectos comunes a las necesidades de una población. Es así como la

escuela al momento definir cuáles son las acciones pedagógicas que desean aplicar a la

población de estudiantes que posee, debe definir el contexto en el que esta, las

necesidades de los estudiantes, revisar los diferentes modelos para poder apropiar alguno

que mejor se ajuste a sus necesidades.

En el caso de la Institución Educativa Distrital El Japón se ha hecho un trabajo importante

en este campo, de tal manera que se ha seleccionado el Modelo de Aprendizaje

Significativo, como elemento importante para el desarrollo pedagógico que se realiza en

cada uno de los proyectos educativos, trazando a partir de aquí la visión que tiene la

institución, frente al tipo de estudiantes que desea aportar a la sociedad y las necesidades

del entorno en el que se encuentra.

3.1 Modelo de Aprendizaje Significativo

El modelo de aprendizaje significativo fue planteado por primera vez por David Ausubel en

la Psicología del Aprendizaje Verbal Significativo (1963), ampliado más tarde en Psicología

Educativa (1968), para fortalecer su desarrollo con un equipo de colaboradores como

Joseph Novak, Helen Hanesian y Edmun Sullivan.

ASPECTOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS 27

Las fuentes filosóficas en las cuales está basado este modelo vienen dadas por Jean

Piaget, Thomas Kuhn y Stephan Toulmin. Del primero Ausubel retoma el concepto y la

génesis de las estructuras cognoscitivas. En este aspecto Ausubel propone que el

pensamiento está jerarquizado y organizado de tal manera que a partir de estas estructuras

la persona interpreta el mundo social, físico y matemático. A partir de este fundamento el

conocimiento escolar debe estar basado en los diferentes niveles de desarrollo que

presentan las personas, para que a su vez este pueda servir para construir el nuevo

conocimiento.

El aspecto que toma de Kuhn es el concepto de paradigma e intenta aplicarlo al aprendizaje.

De tal manera que si se observa el paradigma para la ciencia es que estos hacen las veces

de anteojos conceptuales que delimitan las preguntas que se deben realizar para ayudar a

los científicos a encontrar los nuevos significados en datos ya conocidos. Así los conceptos

que se incluyen en la estructura cognitiva de los estudiantes facilitan el aprendizaje

significativo, permitiendo el desarrollo de dichos conceptos incrementando la capacidad de

resolución de problemas en un área específica.

El último aspecto que se toma en cuenta son las posturas filosóficas de Toulmin según el

cual: “La educación ha crecido de conceptos fundamentales que orienten la investigación y

la orientación científica” (SAMPER DE ZUBIRIA, Tratado de pedagogía conceptual Los

modelos pedagogicos, 1994) como se puede ver en esta frase se busca que la educación

se fundamente en la ciencia partiendo como elemento fundamental de estudio. En resumen,

cada uno de estos elementos constituye la forma de ver la construcción del conocimiento

en los estudiantes. Así lo hace evidente De Zubiria:

“Piaget aporta la dimensión genética y estructural al modelo

ausebeliano; Toulmin, la reflexión sobre la necesidad de encontrar

principios educativos básicos y trasladando la estructura kuhniana

de las revoluciones científicas al campo del aprendizaje, se puede

pensar que los paradigmas en la comunidad científica cumplen el

papel de los conceptos inclusores en la interpretación que los

individuos hacen del mundo” (SAMPER DE ZUBIRIA, Tratado de

pedagogía conceptual Los modelos pedagogicos, 1994)

Por otro lado para que el aprendizaje significativo se presente de manera adecuada se debe

observar por lo menos tres momentos fundamentales, a partir de los cuales se podrá

evidenciar un aprendizaje en los estudiantes. Este se observa en el siguiente mapa:



Figura 3-1 Aspectos que fundamentan el aprendizaje significativo

Estos son los aspectos mínimos que se deben presentar para que el aprendizaje

significativo se desarrolle según lo propuesto por Ausubel.

Según se observa en este mapa el aprendizaje significativo tiene tres momentos: el primero,

que se basa en la importancia que tiene el concepto que se va a desarrollar; el segundo,

es que el estudiante debe tener un conocimiento previo el cual debe identificarse, para

poder construir a partir de la transformación de los conceptos. El otro elemento importante

es que el estudiante, quien es el directamente afectado, debe tener una buena actitud frente

al conocimiento, lo cual se espera obtener a partir de una actividad que sea atractiva para

ellos.

Para desarrollar la propuesta didáctica que se desarrolla en este trabajo, es necesario

realizar una pequeña mirada a los estándares que propone el Ministerio de Educación, en

cuanto a la enseñanza de las ciencias naturales, de tal manera que se pueda mirar la

pertinencia del desarrollo de este trabajo durante el desarrollo de las actividades del aula.

Estándares en el área de Ciencias Naturales Física

En el afán de promover una educación de calidad el ministerio de educación ha establecido

para el campo de las ciencias naturales, unos parámetros fundamentales en el cual todos

los estudiantes que estén en el nivel de la media, tendrán unos parámetros de medición

establecido por esta normatividad. Estos parámetros permiten la identificación de los

APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO

El contenido debe ser

potencialment

El estudiante debe tener un

conocimiento

El estudiante debe tener

actitud


mínimos frente al conocimiento que deben apropiar los estudiantes, en función de las

competencias básicas que deben desarrollar en su paso por la educación media.

Visto de esta manera, en la publicación del Ministerio de Educación Nacional en su Serie

Guías N7 de 2004 “Formar en ciencias: ¡el desafió lo que necesitamos saber y saber

hacer!”, muestra algunas cosas a tener en cuenta en los procesos de la actividad

pedagógica en el aula, teniendo como punto de partida las competencias que los

estudiantes deben desarrollar al abordar una serie de elementos puntuales. En una aparte

de este documento enuncia:

“Los estándares que formulamos pretenden constituirse en derrotero para que

cada estudiante desarrolle, desde el comienzo de su vida escolar, habilidades

científicas para:

•Explorar hechos y fenómenos.

•Analizar problemas.

•Observar, recoger y organizar información relevante.

•Utilizar diferentes métodos de análisis.

•Evaluar los métodos.

•Compartir los resultados.”

Como otro elemento a tener en cuenta, se establece que todos los conocimientos estarán

integrados en los diferentes momentos o pasos por la escuela de tal manera que se tiene

un cúmulo de información interdisciplinar. Sin embargo, con el fin de profundizar, en algunos

problemas específicos, los entornos se centrarán en el estudio de la química, la biología y

la física. En esta propuesta nos centraremos en algunas problemáticas del entorno físico.

Entonces los estándares que se desarrollaran en los estudiantes al aplicar la práctica que

se propone en este trabajo en un entorno asociado con la clase de física, tiene que ver con

los siguientes:

Establezco relaciones entre las diferentes fuerzas que actúan sobre los cuerpos en

reposo o en movimiento rectilíneo uniforme y establezco condiciones para conservar

la energía mecánica.

Modelo matemáticamente el movimiento de objetos cotidianos a partir de las fuerzas

que actúan sobre ellos.

Establezco relaciones entre estabilidad y centro de masa de un objeto.



Relaciono masa, distancia y fuerza de atracción gravitacional entre objetos.

Establezco relaciones entre el modelo del campo gravitacional y la ley de gravitación

universal.

3.2 Propuesta Didáctica Para la Medición de la Masa de Un Agujero Negro Utilizando la Tercera Ley de Kepler

Cuando se quiere abordar el concepto del movimiento de los planetas, para construir las

ideas de Kepler, se plantean en este trabajo tres momentos fundamentales que facilitan el

aprendizaje de los estudiantes. Se tiene una actividad enfocada a definir los conocimientos

previos que tienen los estudiantes acerca de las leyes de Kepler, o en sí, del movimiento

de los planetas en el Sistema Solar; además, se tiene en cuenta el contexto histórico en el

cual se desarrollan estas ideas. Una vez se tiene este insumo se propone un momento

donde se conceptualiza a través de actividades puntuales, con la idea de transformar los

conceptos que tienen así como aclarar las dudas respecto a las leyes de Kepler,

centrándonos al final en la tercera ley. En el tercer momento se aplicará los conceptos

apropiados por los estudiantes, de tal manera que se pueda aplicar en el cálculo que se

propone en este trabajo el cual es que los estudiantes estimen la masa de un agujero negro

utilizando la tercera ley de Kepler. A continuación se presenta la fundamentación didáctica

en la cual se basa este trabajo.

Cuando se diseña una actividad didáctica para aplicar en el aula se tiene en cuenta el

modelo pedagógico seleccionado; sin embargo, muchas de las instituciones educativas

tienen un modelo específico, bajo el cual está diseñado su proyecto educativo institucional

PEI. En el caso de la Institución Educativa Distrital El Japón, su propuesta pedagógica está

basada en el aprendizaje significativo, desde este punto de vista este trabaja se sustentara

en la estructura utilizada en esta institución, organizando en tres momentos fundamentales

que permitirán llevar a cabo el aprendizaje de las leyes de Kepler y su aplicación a la

medición de la masa de un agujero negro. En el mapa 1 se observa la estructura de la

propuesta didáctica:


Figura 3-2 Propuesta Didáctica

Estructura general de la propuesta didáctica para la medición de la masa de un agujero

negro utilizando la tercera ley de Kepler.

En esta propuesta se tienen tres momentos fundamentales que permitirán desarrollar las

habilidades de los estudiantes en torno al conocimiento de las leyes de Kepler, teniendo en

cuenta cómo está establecido el movimiento de los planetas, y verlo aplicado en otro

contexto astronómico como lo es el cálculo de la masa de una agujero negro. Dentro de la

estructura de la propuesta cada etapa tiene unos propósitos generales, unas metas y un

indicador de desempeño las cuales permitirán evaluar los procesos de los estudiantes en

función del modelo pedagógico propuesto. Cada momento se aclara en profundidad a

continuación.

3.2.1 Etapa de motivación: “Reconociendo el universo: del sistema solar a los agujeros negros”

En un primer encuentro relacionado como etapa de motivación, se espera organizar un

conversatorio alrededor de un libro y un video en el que determinarán los preconceptos con

los que llegan los estudiantes. Se busca generar un ambiente propositivo, donde los

estudiantes puedan expresar su sentir, puedan manifestar su opinión, utilicen la

PROPUESTA DIDÁCTICA

ETAPA DE MOTIVACIÓN

ETAPA DE APLICACIÓN

ETAPA DE PROFUNDIZACIÓN

ACTIVIDAD

Durante este proceso, se hace una exploración a los preconceptos que tienen los estudiantes, llevándolos a un viaje epistemológico e histórico del tema.

Una vez identificados los elementos históricos propios del tema, se espera conceptualizar y aclarar los procedimientos que se deben conocer de esta temática seleccionada.

Después de todo este recorrido se propone dar un sentido práctico a lo aprendido, siguiendo claramente el modelo pedagógico utilizado. Se espera entonces poner en práctica lo aprendido.



imaginación produciendo en ellos el interés necesario para desarrollar la actividad de

calculo que se propone en este trabajo.

En este orden se tiene en cuenta una lectura y un video que buscarán coherencia acerca

del tema desde el ámbito histórico. Como es evidente entonces, este momento se refiere

fundamentalmente a la parte epistemológica e histórica del tema. Los propósitos, metas e

indicador de desempeño se presentan a continuación:

PROPÓSITOS METAS INDICADOR DE

DESEMPEÑO Identificar los

conceptos previos que tienen los estudiantes frente al estudio y comprensión del movimiento de las estrellas.

Hace una lectura crítica de diversos documentos libros videos y textos, tomando postura frente a los planteamientos de los mismos.

Reconoce la importancia de la astronomía en el desarrollo histórico, tecnológico y cotidiano de la humanidad, encontrando las relaciones en el entorno.

Promover el interés de los estudiantes a la observación del cielo.

Desarrolla un criterio propio a través de la discusión, para discutir acerca de los avances de la astronomía en función de los avances que se tienen en la tecnología.

Aproximar a los estudiantes a los procesos históricos desarrollados alrededor de la observación del cielo en las diferentes civilizaciones.

Describe desde el punto de vista histórico el desarrollo de la ciencia.

Tabla 3-1 Propósitos, metas e indicador asociada a la primera etapa.

Procedimiento:

La primera etapa presenta las siguientes actividades donde se aclara el rol de los

estudiantes y el rol del docente quien dirige la actividad.

1. Se propone la lectura del libro “La historia del tiempo” de Stephen Hawking con el

fin de crear un ambiente propicio para el estudio de la astronomía haciendo una

introducción al tema de las leyes de Kepler desde la historia de los modelos

astronómicos. El docente propone de manera previa unas preguntas que deben


direccionar la lectura de los estudiantes, para que en el conversatorio tenga un

sentido claro para cada uno de los asistentes.

2. Durante la Tertulia en la que se invita a los estudiantes alrededor de un café (tinto)

en un lugar adecuado para esta discusión como la biblioteca del colegio, el docente

propone seguir con las preguntas que todos los asistentes han tratado de resolver

de manera previa, con estas ideas se busca que el grupo llegue a las explicaciones

científicas de cómo funciona el universo. Al final de este momento los estudiantes

deben presentar sus impresiones a manera de conclusión cerrando la discusión.

Los estudiantes deberán llenar una guía que tendrá como función la evaluación del

proceso llevado a cabo en la Tertulia; además, servirá como insumo para iniciar el

trabajo enfocado en la propuesta didáctica en sí. La guía que llenarán los

estudiantes se presenta en el anexo 1.

3. Como es posible que muchas de las ideas y conceptos trabajado por el libro no se

centran en la historia concreta de las leyes de Kepler, así como cada uno de los

pormenores que lo llevó a él a determinar las leyes matemáticas de este problema,

es conveniente ver el video de Cosmos de Carl Sagan capítulo “Armonía de los

mundos”. Para ello se tendrá nuevamente una guía de trabajo estructurada en tres

momentos. Un momento previo con unos elementos que direccionen la observación

del video, otro donde durante el video deberán concretar algunas ideas. Y otro

donde deberán plasmar los conceptos que se han apropiado en el desarrollo de la

actividad. La guía con sus pormenores se presenta en el anexo 2. Se espera que

los estudiantes vean los videos de divulgación de una manera más productiva para

que no quede como un gran número de información sin un sentido claro.

4. Como elemento adicional y con el fin de fundamentar el interés de los estudiantes

se proponen algunas actividades de observación del cielo. Para hacerlo en la

Institución Educativa El Japón, que no posee instrumentos de observación como el

telescopio, se propone la utilización de un software como el Stellarium para

incentivar el estudio de la astronomía, que facilita la observación desde un

ordenador.

3.2.2 Etapa de profundización “¿Cómo son las leyes universales?”

En un segundo momento relacionado como etapa de profundización se propondrá una serie

de actividades encaminadas a construir los conceptos geométricos y físicos necesarios

para poder aplicar las leyes de Kepler al problema que queremos realizar. El punto de

partida de esta etapa de la actividad responde a las necesidades de los grupos en función

de los resultados encontrados en la primera etapa. Aquí se propone que un elemento

fundamental a trabajar son las secciones cónicas, para luego centrarse en la

caracterización de la elipse, y se finaliza con la definición de las leyes de Kepler. Los

propósitos, metas e indicador de desempeño para esta etapa son:



PROPÓSITOS METAS INDICADOR DE

DESEMPEÑO Establecer los

conocimientos geométricos previos que tienen los estudiantes frente a las secciones cónicas.

Diferencia la procedencia y características básicas de las secciones cónicas. Usa las propiedades

geométricas de la elipse en la interpretación de las leyes de Kepler en problemas relacionados con el movimiento de los planetas.

Profundizar en el estudio de la elipse como sección cónica importante en el estudio del movimiento de los planetas.

Determina e identifica las características geométricas de las secciones cónicas en especial de la elipse.

Reconocer las leyes de Kepler desde su conformación geométrica.

Asocia las características geométricas de la elipse con las leyes de Kepler.

Tabla 3-2 Propósitos, metas e indicador asociado a la segunda etapa.

Procedimiento

1. Por otro lado se propone una tertulia adicional donde se tratará el tema de los

agujeros negros, a partir de otro libro de divulgación bastante interesante, de Kip S.

Thorne, llamado “Agujeros negros y tiempo curvo”. Este libro brinda la posibilidad

de entender desde qué momento en la historia se empieza a hablar de los agujeros

negros, qué características tienen, así como permite comprender cómo podemos

detectar algún agujero negro.

2. Trabajo con plastilina en la que solicitará a los estudiantes que moldeen conos en

plastilina o greda, a partir del cual se realizarán unos cortes específicos de tal

manera que ellos identificaran los planos que se forman al hacer los cortes. Cada

uno de los estudiantes deberá hacer un registro con los resultados encontrados,

realizando una representación gráfica. Nuevamente se realizará una guía de

aplicación.

3. En un segundo momento se estudiará en profundidad el círculo y la elipse como

elementos fundamentales en la construcción teórica de las leyes de Kepler. Como

complemento al trabajo realizado en las clases se planea una actividad que permita

estudiantes definir los elementos necesarios para trazar las elipses en una hoja

milimetrada desarrollándolo con una de las técnicas propias del trabajo con lápiz y

papel. Se utilizará el curvígrafo como elemento integrante de esta actividad.


3.2.3 Etapa de aplicación “La interpretación de Kepler”

En un tercer momento, relacionado en nuestro cuadro como etapa de aplicación, se le dará

importancia a la manera en que se puede utilizar el conocimiento que ha sido apropiado en

cada una de las etapas anteriores. Esta etapa es muy importante ya que en función del

aprendizaje significativo es necesario evidenciar al estudiante en qué se puede utilizar el

conocimiento, de tal manera que tenga un significado que transforme el entorno del

estudiante. En este momento se plantearán múltiples formas de utilizar las leyes de Kepler

pero se centrará en encontrar la masa de un agujero negro analizando las elipses que

muestran como trayectoria una serie de estrellas que giran en torno a él.

En un tercer momento se dará a conocer a los estudiantes las características de las leyes

de Kepler, la interpretación que se tienen de las mismas planteando algunas aplicaciones

concretas, de tal manera que se vea la relevancia de estos trabajos.

En esta parte de la actividad, se propone presentar a los estudiantes las leyes de Kepler

con sus aspectos matemáticos y geométricos necesarios para describir lo que ocurre en el

sistema solar. Se realizarán ejercicios y se propondrán situaciones que pueden llegar a ser

cotidianas para acercar el problema a los estudiantes. Se trabajará aspectos de cinemática,

frente al movimiento uniforme, movimiento uniformemente acelerado, caída libre y

movimiento parabólico.



PROPÓSITO META INDICADOR DE

DESEMPEÑO

Identificar los usos de la tercera ley de Kepler.

Calcula las masas centrales de astros físicos usando la tercera ley de Kepler.

Utiliza la tercera ley de Kepler para calcular masas centrales, comparando sus resultados con el trabajo realizado dependiendo de las escalas utilizadas.

Aplicar la tercera ley de Kepler en el cálculo de la masa del Sol como objeto central.

Determina la masa de un objeto central como el Sol empleando sus conocimientos y los datos reconocidos de los planetas internos del sistema solar.

Utilizar las herramientas durante la propuesta didáctica para determinar la masa de agujero negro supermasivo ubicado en el centro de la galaxia.

Emplea los conocimientos adquiridos en toda la actividad para determinar la masa de un agujero negro.

Tabla 3-3 Propósitos, metas e indicador asociado a la tercera etapa.

Procedimiento

1. Mediante una serie de ejercicios donde se espera comprender el funcionamiento

de la leyes de Kepler, a través del trazado de las orbitas elípticas de los planetas.

Aplicando las propiedades de las elipses. Se propone una serie de componentes

como el manejo de las diferentes escalas de tiempo y distancia, como una discusión

inicial que permitirá centrarnos en la aplicación de la tercera ley de Kepler en la

medición de masas centrales.

2. En la definición de la tercera ley de Kepler se puede observar que a través de su

aplicación se puede determinar la masa del objeto central que está en uno de los

focos. Por lo que se puede aplicar este concepto para determinar la masa del Sol

utilizando los periodos orbitales de los planetas interiores, y las distancias medias

entre los planetas y el Sol. Aquí se utilizarán como ejemplo las órbitas de Mercurio,

Venus, Tierra y Marte.

3. Como una manera de evaluar todo el proceso desarrollado en esta propuesta, se

espera concretar todo el trabajo ajustándolo con la medición de la masa de un

agujero negro, utilizando el mismo método ya nombrado en el punto anterior si se

realiza el ajuste correspondiente a la escala, y se determina la masa del agujero


negro que se ha detectado en el centro de la galaxia, que es nombrado como

Sagitario A*.

3.3 Metodología de evaluación

El desarrollo de los procesos cognitivos en la Institución Educativa Distrital El Japón, se

propone en función del modelo pedagógico seleccionado por la institución que es el modelo

de aprendizaje significativo. Los procesos de evaluación que se abordan en la institución,

tienen sus parámetros a partir de competencias definidas como lo son las cognitivas, meta

cognitivas, comunicativas, ciudadanas y emocionales. Estas competencias están

propuestas para cada uno de los ciclos de desarrollo de los estudiantes que son el ciclo I

(niños de las primeras edades de educación preescolar y transición, primero y segundo

grado), ciclo II (niños de tercero y cuarto grado), ciclo III (niños de quinto, sexto y séptimo

grado), ciclo IV (jóvenes de octavo y noveno grado), ciclo V (jóvenes de decimo y once

grado).

Por otro lado, la organización de la institución está establecida en función de los campos

del conocimiento como lo son el Campo de Comunicación, Arte y Expresión, Campo

Histórico y Social, Campo Matemático y el Campo Científico y Tecnológico, lo cual permite

encaminar las competencias básicas en función de las necesidades de los estudiantes

según el perfil establecido por la institución, y las propuestas de desarrollo del conocimiento

de los campos.

Como es de esperar, las competencias en las que está basado este trabajo van en función

de las propuestas por el campo científico, de tal manera que se asocia este trabajo con el

desarrollo de las habilidades científicas, con el diseño de los indicadores de desempeño

que son los elementos que al final permite medir la evaluación de los estudiantes, en función

del trabajo desarrollado en las actividades.

Durante el desarrollo de la evaluación se debe tener claro que el modelo de aprendizaje

significativo establece que este proceso debe ser permanente en cada uno de los

momentos establecidos para la actividad, debe tener en cuenta los diferentes estados de

apropiación de los conceptos abordados, por lo que la actividad debe ser flexible a las

necesidades de la población en la que se aplica. Por esta razón se puede indicar que hay

dos momentos de evaluación, uno cualitativo que permite identificar los estados de los

estudiantes según la apropiación que se tiene del concepto desarrollado, y otro cuantitativo

que se presenta al final del proceso que permite identificar el estado de promoción del

estudiante.

Para el desarrollo de cada una de las etapas de la propuesta didáctica se establecen los

parámetros primordiales en función de la evaluación, como se muestra en cada uno de los

cuadros observados en los puntos correspondientes a los títulos 3.2.1,3.2.2 y 3.2.3, que

esperan responder a las competencias propuestas para grado décimo. Estas competencias

se enumeran a continuación:



DESEMPEÑO COGNITIVO: Emplear los conceptos asociados a los principios de la

naturaleza para aplicar a situaciones cotidianas a diversas problemáticas sociales,

siguiendo el método científico como una forma de interpretación, análisis y reconstrucción

de la realidad.

DESEMPEÑO METACOGNITIVO: Proyectar los conocimientos adquiridos a través de la

experiencia en la escuela, para identificar las habilidades cognitivas teniendo presente la

superación de las dificultades aplicando las diferentes metodologías que se encuentran en

el desarrollo de las actividades científicas.

DESEMPEÑO CIUDADANO: Reconocer los principios fundamentales de la naturaleza

como una forma de entender y aplicar la construcción de las normas de convivencia en un

entorno social, generando condiciones de autonomía, autorregulación y responsabilidad.

DESEMPEÑO EMOCIONAL: Fortalecer el reconocimiento de la identidad emocional para

generar criterios de convivencia, desarrollando elementos que le permita asumir las

dificultades de una manera positiva.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 39

4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

4.1 Conclusiones

En el desarrollo de la fundamentación teórica de este trabajo, se pudo intuir una serie

de elementos importantes, como la visión humana de la concepción de la ciencia, a

partir la historia de vida de los científicos que afrontaron preguntas que la humanidad

siempre se ha realizado, con una visión enfocada desde la perspectiva de la ciencia. La

concepción de cada uno de los conceptos por parte del ser humano, hasta las diversas

aplicaciones que tienen estos en los avances de la tecnología actual. Este recuento

llevado al aula de clase a través de los diferentes medios disponibles en la actualidad,

como libros, videos y aplicaciones para el computador, permiten que la astronomía y en

especial las leyes de Kepler se contextualicen a la actualidad de los estudiantes,

facilitando de esta manera la interpretación física de muchos fenómenos visibles pero

no comprendidos por los estudiantes. Dadas las diferentes condiciones de los

estudiantes de este nivel, toma real importancia, la necesidad de producir interés en los

estudiantes por las ciencias naturales, buscando fundamentalmente el fortalecimiento

de las habilidades científicas en los estudiantes, como uno de los parámetros

importantes en el desarrollo intelectual de los estudiantes, sobre todo cuando buscan

un proyecto de vida que está relacionado con las ingenierías y la ciencia misma.

Cuando se planteo está actividad, se tenía en el presupuesto que este ejercicio debería

ser interdisciplinar, desde la propuesta de un proyecto de aula asociado desde la

integración del área de Matemáticas, Física, Filosofía, Historia e inclusive Ética. Dentro

de los resultados de algunos apartes de la actividad que se pudieron realizar en el

colegio, que no se pudo aplicar en su totalidad por cuestiones de tiempo, se pudo

establecer que el pretexto propuesto en este trabajo permite desarrollar las habilidades

lectoras, la capacidad de discusión que tienen los estudiantes, así como la comprensión

de los parámetros que se dieron para que la ciencia se halla desarrollado como se ha

presentado hasta nuestra época actual. En filosofía e historia la docente pudo

establecer algunos parámetros importantes que le sirvieron para el desarrollo de su

propia clase.

En el diseño de la actividad ha sido importante la aplicación del modelo de aprendizaje

significativo, que ofrece los elementos que facilitan la apropiación del tema propuesto,

permite ver los conceptos desde el contexto de los estudiantes contrastándolos de

alguna manera con sus intereses personales y el desarrollo de la ciencia, mejorando la

sensibilidad de ellos a la observación de la naturaleza, el análisis de las observaciones

y la comprensión de lo que ocurre en el medio. Esto permite evidenciar dentro del

proceso las bondades que brinda esta propuesta, están la posibilidad de cambiar en las

personas la forma de ver e interpretar el mundo, desde el aprendizaje de la ciencia,

como una alternativa clara de solución de diversas situaciones problemicas.



Tratar el tema del movimiento de los planetas con un grado de profundidad como lo

plantea este trabajo, permite al docente abordar diversas temáticas propias del área de

física, de una manera más llamativa y en un contexto real establecido como, por

ejemplo, la construcción de modelos matemáticos para la descripción de fenómenos

físicos, el movimiento uniforme, uniformemente acelerado, caída libre, movimiento

parabólico, movimiento circular uniforme, movimiento en trayectoria elíptica. El

concepto de escala, magnitudes vectoriales y escalares, las leyes de Newton, entre

otras que se pueden desarrollar en clase según la evolución del trabajo con los

estudiantes. La astrofísica, fortalece la imaginación de los estudiantes así como el

interés por conocer un poco más por lo que ocurre en el espacio, por ejemplo el conocer

la naturaleza de los agujeros negros, y lo que entendemos por este tipo de objetos

estelares. Esto permite concluir que utilizar la astronomía como pretexto para abordar

la ciencias naturales, es muy positivo y es uno de los productos más importantes en la

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas, pues a quienes hemos vivido el

proceso nos ha permitido ampliar nuestra visión frente a la enseñanza de las ciencias,

fortaleciendo nuestro discurso en el aula, mejorando nuestra argumentación llegando a

que nuestras clases sean más agradables para los estudiantes, quienes son los

primeros beneficiados.

Es muy importante resaltar que esta propuesta pedagógica fortalece el desarrollo de las

actividades del aula, fomentando la lectura, mejorando la comprensión de los

estudiantes, fomentando la imaginación y la curiosidad, esperando que los estudiantes

formen sus conceptos a partir de estos desarrollos transformando su entorno así como

la forma de ver el mundo. Entonces la forma más coherente de evaluar estos procesos

es mantener la observación constante de los avances de los estudiantes, ajustar los

diferentes momentos propuestos a las necesidades de cada uno de los grupos, para

finalizar el proceso con la construcción coherente del concepto guiado por el docente y

las diferentes construcciones que van realizando los estudiantes.

4.2 Recomendaciones

Un aporte importante de este trabajo es la posibilidad de fortalecer la lectura y la

escritura, por lo que se debe hacer un énfasis en el desarrollo de técnicas de estudio

en este sentido con los estudiantes, dado que este es un factor importante para mejorar

las habilidades que deben tener los estudiantes para la vida. Además este elemento

puede brindar un eje transversal significativo que integre otras áreas del conocimiento,

provocando que las ciencias se integren mejor a los procesos de otros saberes, que

faciliten de esta manera el desarrollo de personas integrales.

Durante el proceso se presentó la posibilidad de aplicar algunas de las actividades en

clase con estudiantes del colegio, lo que significó evidenciar que en el diseño se

presentaron algunos ajustes en las guías para hacerlas más apropiadas para los

estudiantes. Por esta razón una recomendación significativa para aplicar esta

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 41

propuesta, es tener muy en cuenta las características de la población en la que se quiere

desarrollar, por lo que es necesario tener claro que el modelo utilizado permite una

práctica flexible, facilitando el ajuste de los ejercicios según las necesidades e intereses

de las personas involucradas.

La posibilidad de entender el contexto histórico en el que se desarrollaron los conceptos

facilita la descentralización de los estudiantes frente a su entorno, encontrando una

alternativa para modificar su actuar frente a las problemáticas de la vida diaria que

enfrentan en su espacio de vida común. Por esta razón estudiar el impacto que se

genera en una población específica con una propuesta de estas características, pude

ser un objeto importante de estudio en un futuro inmediato, visto desde el desarrollo de

las ciencias en la escuela, y con un interés especial por la pedagogía.

Se presentan como una serie de aspectos que se podrían realizar en un futuro para

emprender investigaciones similares o fortalecer la investigación realizada.



Anexo 1: Guía general para el docente

COLEGIO IED EL JAPÓN

CAMPO CIENTÍFICO Y TECNOLÓGICO

ÁREA DE FÍSICA

GUÍA DEL DOCENTE

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD:

Esta actividad busca provocar en los

estudiantes un interés por los temas

relacionados con la astronomía, desde los

conceptos que traen los estudiantes, la

revisión histórica del desarrollo de la

astronomía. Además que haya claridad en

los estudiantes como se llegó a la

concepción de las leyes de Kepler, a

través de la historia de vida de este

personaje así como la influencia otros de

la misma época y posteriores, en el

desarrollo del concepto actual. Hay un

número de propuestas que se plantean

para tener en cuenta, el docente es quien

analizara la pertinencia de la aplicación de

todos o algunos momentos planteados,

según la actitud y aptitud de los grupos

que vallan a seguir esta actividad.

PROPOSITOS DE LA ACTIVIDAD

Reconocer los hechos históricos

relevantes que permitieron el desarrollo

de las Leyes de Kepler.

METAS DE LA ACTIVIDAD

Los estudiantes crean una imagen del

universo propia, donde emplean los

conocimientos previos y los transforman a

través de la actividad en una imagen

estructurada del movimiento en el

universo.

DESEMPEÑOS CICLO V

En la Institución Educativa Distrital El

Japón, se ha establecido como modelo

pedagógico el aprendizaje significativo, lo

que implica el planteamiento de unas

competencias básicas para todos los

estudiantes en los diferentes ciclos

establecidos en el desarrollo de los

estudiantes en su paso por la institución.

Estas competencias se han apropiado en

los diferentes campos, en la descripción

de unos desempeños que permiten

evidenciar los avances de los estudiantes,

en los diferentes campos del

conocimiento. En el campo científico y

tecnológico estos serían los desempeños

generales planteados.

Cognitivo: Emplear los conceptos

asociados a los principios de la naturaleza

para aplicar a situaciones cotidianas a

diversas problemáticas sociales,

siguiendo el método científico como una

forma de interpretación, análisis y

reconstrucción de la realidad.

Metacognitivo: Proyectar los

conocimientos adquiridos a través de la

experiencia en la escuela, para identificar

las habilidades cognitivas teniendo

presente el superación de las dificultades

aplicando las diferentes metodologías que

se encuentran en el desarrollo de las

actividades científicas.

Praxeológico: Desarrollar a partir del

conocimiento de los fenómenos naturales

y del método científico, encontrando la

ANEXOS 43

fortaleza de sus aprendizajes en la

transformación del entorno en que se vive

para la consolidación de un proyecto que

le permita encontrar la solución a diversas

problemáticas.

Comunicativo: Elaborar a partir de

conceptos desarrollados, informes

escritos y orales coherentes con el

estudio de fenómenos naturales

transformando el entorno a partir de una

descripción científica.

Ciudadano: Reconocer los principios

fundamentales de la naturaleza como una

forma de entender y aplicar la

construcción de las normas de

convivencia en un entorno social,

generando condiciones de autonomía,

autorregulación y responsabilidad.

Emocional: Fortalecer el reconocimiento

de la identidad emocional para generar

criterios de convivencia, desarrollando

elementos que le permita asumir las

dificultades de una manera positiva.

INDICADORES DE DESEMPEÑO

En su orden para plantear esta actividad

se proponen unos indicadores de

desempeño, los cuales permiten evaluar

avances de los estudiantes respecto a los

desarrollos alcanzados en la actividad

planteada.

Cognitivo y Metacognitivo: Comprende

el proceso histórico que se llevó a cabo

para desarrollar las leyes de Kepler en la

descripción del movimiento de los

planetas en el Sistema Solar.

Procedimental: Aplica los conceptos

desarrollados en la descripción del

movimiento de los astros físicos.

Emocional y Ciudadano: Cumple con

las actividades dentro de los parámetros

del respeto a la diversidad, la diferencia

de criterios y de pensamientos.

Comunicativo: Participa activamente de

las actividades de debate, justificándolo

con escritos propios basados en las

lecturas realizadas en la actividad.

METODOLOGÍA

Esta actividad tiene tres momentos, el

primero donde se propone adentrar al

estudiante en el tema identificando los

conceptos previos que ellos traen. Un

segundo momento donde se

fundamentara teóricamente los procesos

de los estudiantes. Un tercer momento

donde se aplicaran los conceptos

desarrollados en la medición de la masa

de un agujero negro.

Momento inicial “El orden del caos”

Este momento se centrará en la revisión

de algunos libros y videos. Se revisaran

los conocimientos previos de los

estudiantes, así como la historia del

desarrollo de los conceptos planteados.

Para iniciar se proponen unas preguntas

que permitirán identificar que saben los

estudiantes acerca del tema. Luego estas

preguntas serán las que dirijan la atención

de la lectura que se realizara del primer

capítulo “Nuestra imagen del universo” del

libro la Historia del Tiempo de Stephen

Hawking. Se propone una mesa redonda

donde los estudiantes compartan sus

observaciones a partir de la lectura y fijen

unas posturas frente a lo que se conoce.

Como complemento se propone analizar

el video de la serie cosmos “La armonía

de los mundos” donde se espera centrar

en la historia de vida de Kepler, en su

carrera hasta llegar a la descripción del



movimiento de los planetas alrededor del

Sol.

Se sacaran conclusiones al respecto, se

realizara un mapa mental con el grupo y

un cartel que permita evidenciar las

conclusiones del grupo frente a los temas

tratados.

Momento de fundamentación

“Describiendo la naturaleza”

En este momento de la actividad se

trabajar a profundidad los aspectos

teóricos, relacionados con las formas

cónicas, el círculo y la elipse, como

preámbulo al trabajo con las leyes de

Kepler.

Más adelante se abordaran las leyes de

Kepler con las cuales se procederá a

calcular algunos parámetros de las orbitas

de los planetas cercanos al Sol.

Se espera también fundamentar la

definición de gravedad, desde el punto de

vista clásico y moderno, para analizar

cómo queda transformada las leyes de

Kepler para determinar la masa de un

objeto central, teniendo en cuenta la

órbita elíptica y el periodo de astro que se

mueve en torno al objeto central.

Con estos elementos se hablará de la vida

de las estrellas, teniendo en cuenta la

importancia de estos aspectos para la

formación de agujeros negros. Se

fundamentara en esta parte del trabajo la

explicación de que es un agujero negro.

Momento de aplicación “Midiendo un

agujero negro”

Una vez se ha realizado todo el trabajo de

fundamentación se está preparado

entonces para abordar el cálculo de la

masa de un agujero negro, utilizando los

datos del telescopio espacial y la tercera

ley de Kepler.

Con este fundamento se realizará el

cálculo y se propone una estructura de

informe en el cual los estudiantes darán

cuenta de todos los elementos trabajados

en el desarrollo de esta propuesta.

Según la propuesta esta se puede

fundamentar como un trabajo que permite

ser un pretexto para abordar los temas de

movimiento y fuerzas en el trabajo de

física.

ANEXOS 45

Anexo 2: Guía momento inicial “El orden del caos”



ÁREA DE FÍSICA

MOMENTO DE ENTRADA

“EL ORDEN DEL CAOS”

ESTUDIANTE:______________________________________________________________

CURSO______________ FECHA: __________________

ASPECTOS GENERALES

PROPÓSITO GENERAL:

Identificar los conceptos previos que

tienen los estudiantes frente al estudio y

comprensión del movimiento de las

estrellas.

META:

Hace una lectura crítica de diversos

documentos libros videos y textos,

tomando postura frente a los

planteamientos de los mismos.

INDICADORES DE DESEMPEÑO:

Identifica los elementos relacionados con

TIEMPO DE TRABAJO:

Una sesión extra clase

Dos sesiones de trabajo en clase

Una sesión de evaluación

MATERIALES DE TRABAJO:

El libro de divulgación científica de

Stephen Hawking “La historia del tiempo”

capitulo uno “Nuestra imagen del

Universo”

Video de divulgación científica “La

armonía de los mundos” de la serie

Cosmos de Carl Sagan.

Guía de trabajo con el estudiantes.

METODOLOGÍA:

Los estudiantes por recomendación del

docente hacen lectura de los primeros

capítulos del libro “La historia del tiempo”,

donde se familiarizarán con el desarrollo

de las ideas que tiene el ser humano

acerca de la organización y

comportamiento del universo. Luego en

clase se toma el video de divulgación “la

armonía de los mundos” en el cual se

muestra a través de la vida de algunos

científicos como Galileo y Kepler, el

desarrollo en la comprensión de las leyes

de la naturaleza. Para la observación del

video, el docente a criterio propio, deberá

hacer pausas que les permitan a los

estudiantes identificar los aspectos

importantes y relevantes para este

trabajo. Se termina con una discusión

guiada por el docente en la que los

estudiantes abordaran la temática,

siguiendo una serie de preguntas

establecidas con anterioridad.

GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE

DESARROLLO PREVIO A LA

ACTIVIDAD

PRIMERA SESIÓN

1. Indique sus impresiones

generales del libro “Historia del

tiempo” de Stephen Hawking.



2. ¿Cuáles cree usted que son las

tres ideas principales de los tres

primeros capítulos del libro?

3. ¿Cuál es la imagen que tiene

usted del universo? Descríbala o

realice una representación

mediante un dibujo.


DURANTE LA OBSERVACIÓN DEL

VIDEO

SEGUNDA SESIÓN

1. ¿Cuál fue la función de la ciencia

en la formulación de un modelo

planetario?

2. ¿Cuáles son los aspectos más

importantes que considera usted

acerca de la vida de Galileo Galilei

y Johannes Kepler?

3. Lo que se presenta a continuación

es una imagen de un conjunto de

estrellas en el cielo. Una las

estrellas formando alguna figura y

cree una historia que permita

justificar la presencia de esta

imagen en el cielo.

4. ¿Qué importancia tuvo el trabajo

de Johannes Kepler y Tycho

Brahe en el desarrollo de la

descripción del movimiento

planetario?

5. Para usted, como se representa el

movimiento de los astros en

nuestro sistema solar.

Represéntelo mediante un dibujo.

6. Lo que se presenta a continuación

es una imagen de un conjunto de

estrellas en el cielo. Una las

estrellas formando alguna figura y

cree una historia que permita

justificar la presencia de esta

imagen en el cielo.


DURANTE LA DISUCIÓN

DESARROLLADA EN CLASE

TERCERA SESIÓN

1. Indique cuales son los aspectos

teóricos o conceptuales que son

importantes conocer o saber para

el tema que se trata en la

discusión.

2. ¿Cuáles son los modelos del

sistema solar que el ser humano

ha construido a través de sus

observaciones y creencias?

3. ¿Cuál es la imagen del universo

que se construye en la discusión?

4. Organice un mapa conceptual con

los elementos desarrollados

durante la conversación, realizada

en la tertulia alrededor del libro “La

historia del Tiempo”

5. De la conversación realizada que

preguntas considera que aún no

han sido resueltas.

ANEXOS 47

Anexo 3: Evaluación momento inicial “El orden del caos”



ÁREA DE FÍSICA

PROCESO DE EVALUACIÓN

“EL ORDEN DEL CAOS”

ESTUDIANTE:______________________________________________________________

CURSO______________ FECHA: __________________

ASPECTOS GENERALES

Las actividades que se presentan a continuación tienen como fin evaluar la primer parte de

la actividad propuesta.

GUÍA DE TRABAJO

Durante la observación del video se propone que el estudiante realice un registro con los

aspectos importantes. Este video tiene como fin fundamentar los aspectos históricos y

teóricos relacionados con las leyes de Kepler.

1. Usando el software Stellarium ubique alguna constelación de su interés, un planeta,

una estrella. Una vez los ubique, tome una imagen y envié los resultados al correo

del profesor como una presentación.

2. Según el video ¿Cuáles son las características que definen la astronomía como una

ciencia?

3. Indique de forma abreviada cual era la visión de Kepler frente a como estaba

constituido el universo según lo explicado por el video de cosmos “La armonía de

los mundos” de Carl Sagan.

4. Indique según el análisis del video realizado durante la clase, ¿qué ventajas le dio

a las diferentes civilizaciones el hecho de estudiar el movimiento de las estrellas?



Complete el siguiente crucigrama:

CRUCIGRAMA

1

2

3

4

5

6

7

8

Horizontales:

1 Cuando la luna pasa de una fase a otra se

conoce con el nombre de:

5 Ciencia que estudia la regularidad con la

que se comportan los astros físicos.

6 Es uno de los productos de estudiar el

comportamiento de las estrellas

8

Él fue el último astrologo, y el primer

astrónomo en utilizar los métodos de la

ciencia.

Verticales:

1 Estrella que se comporta como un faro.

2 Mes en el que se presenta el solsticio de

verano en Norteamérica.

3 Sólido regular que representa al fuego.

4 El modelo de Ptolomeo tiene orbitas

circulares en torno a _______________

7 Estrella errante.

ANEXOS 49

1. Escriba un resumen donde se interprete el siguiente cuadro. Para este ejercicio

tenga en cuenta el video observado durante la clase.

OBSERVACIÓN DEL CIELO

ASTRONOMÍA ASTROLOGÍA

CIENCIA PSEUDOCIENCIA

EXPLICACIÓN DEL MOVIMIENTO APARENTE DE LAS

ESTRELLAS EN EL CIELO

RELACIÓN DE LOS EVENTOS OBSERVABLES EN EL CIELO

CON EVENTOS Y COMPORTAMIENTOS HUMANOS

MODELOS DEL SISTEMA

SOLAR

GEOCENTRICO HELIOCENTRICO

ORBITAS CIRULARES

MODELO DE PTOLOMEO

ORBITAS CIRULARES

MODELO DE COPERNICO

ORBITAS ELIPTICAS

MODELO DE

KEPLER

PRIMERA LEY: El movimiento planetario describe orbitas

elípticas

SEGUNDA LEY: Los planetas barren áreas iguales en

tiempos iguales.

TERCERA LEY: El cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor



Anexo 4: Conceptualización aspectos geométricos y leyes de Kepler.

“Describiendo la naturaleza”

Para facilitar la comprensión de las leyes de Kepler por parte de los estudiantes es

necesario fundamentar algunos conceptos geométricos de tal manera que facilite el

proceso.



ÁREA DE FÍSICA

ACTIVIDAD “DESCRIBIENDO LA NATURALEZA”

MOMENTO DE ENTRADA

ESTUDIANTE:_______________________________________________________________

CURSO______________ FECHA: __________________

ASPECTOS GENERALES DE LA GUÍA

PROPÓSITO GENERAL:

Establecer los conocimientos geométricos

previos que tienen los estudiantes frente a

las secciones cónicas.

META:

Diferencia la procedencia y

características básicas de las secciones

cónicas.

INDICADOR DE DESEMPEÑO:

Usa las propiedades geométricas de la

elipse en la interpretación de las leyes de

Kepler en problemas relacionados con el

movimiento de los planetas.

TIEMPO DE TRABAJO:

Una hora de clase.


Guía propuesta para el desarrollo del

trabajo.

METODOLOGÍA:

Esta guía debe permitir identificar cuáles

son los conocimientos previos que tienen

los estudiantes frente a las secciones

cónicas, lo que dará un punto de partida

para trabajar las leyes de Kepler desde el

concepto geométrico. Esta puede

modificarse según las condiciones del

grupo.


DESARROLLO PREVIO A LA

ACTIVIDAD

PRIMERA SESIÓN

Para esta actividad se propone construir

los diversos planos que se forman a partir

de algunos cortes sobre un cono. Para

ello se solicita a los estudiantes que

realicen un trabajo previo que se indica a

continuación.

1. Dibuje un cono utilizando una

regla y compas en una hoja

milimetrada.

2. Si se realizarán tres cortes

diferentes sobre el cono

(entendiendo que es una figura en

tres dimensiones), realice un

dibujo que representen los planos

que se observarían sobre ese

cono.


ANEXOS 51

DESARROLLO CONCEPTUAL

SEGUNDA SESIÓN

Desarrolle en clase esta actividad,

utilizando greda o plastilina, con ayuda de

una regla para cumplir con las medidas

establecidas, siga las indicaciones de

esta guía de trabajo para realizar dicha

actividad.

1. Moldee cuatro conos diferentes

que cuya base circular tenga un

diámetro de 6 cm y una altura de 4

cm. Si se cumplen con las

dimensiones, el radio de la base

debe ser de 3 cm, la altura de 4 cm

y la generatriz que se obtendría

por el teorema de Pitágoras seria

exactamente de 5 cm. Moldee

según las indicaciones de este

dibujo.

2. Una vez tenga los conos

moldeados, con cada uno de ellos

debe cortarlos utilizando un

pedazo de hilo teniendo en cuenta

por ejemplo que para generar el

círculo se hace un corte

totalmente paralelo a la base. Los

demás cortes de hacen como los

indica la imagen.

3. Deje secar las figuras si las

moldeo en greda. Luego realice la

observación de los planos que se

generaron, dibújelos y

descríbalos en el siguiente

cuadro.

4. Lea cuidadosamente el siguiente

texto

LAS TRES LEYES DE KEPLER

“El astrónomo alemán Johannes Kepler

ha pasado a la historia por sus tres leyes

que describen el movimiento de los

planetas en sus órbitas alrededor del Sol.

Las leyes de Kepler fue la interpretación

de un gran número de datos acumulados

por el gran astrónomo observador Tycho

Brahe, quien había confeccionado las

tablas astronómicas más precisas. Kepler

no comprendió el origen de sus leyes, que

también describían tanto el movimiento de

los planetas como el de otros cuerpos

astronómicos como el sistema Tierra –

Luna. Sería Newton quien extraería todas

las consecuencias de las leyes de Kepler,

permitiéndole así enunciar la Ley de

Gravitación Universal.

Kepler nació en Weil der Stadt, cerca de

Sttutgardt (Alemania) en 1571. De

naturaleza frágil y enfermiza, contrajo la

viruela a los tres años, lo que limitó

considerablemente su vista. Pero pronto

destacó en matemáticas y se interesó por

la astronomía. Ingresó en un seminario

protestante en 1584 y estudió después en

la universidad de Tubinga. En 1594

abandonó sus estudios de teología para



comenzar a enseñar matemáticas en la

escuela de Gras. En 1600 conoció a

Tycho Brahe en Praga y cuando murió

éste último le sustituyó como matemático

imperial de Rodolfo II. A partir de 1612

vivió en Linz hasta 1626, cuando tuvo que

abandonar la ciudad tras el asedio militar.

Kepler murió en 1630 en Ratisbona

(Alemania).

Kepler pasó la mayor parte de su vida

tratando de entender cómo se mueven los

planetas, intuyendo que debían seguir

algún tipo de ley. En Tubinga se había

hecho partidario del modelo copernicano,

lo que le hacía intentar demostrar que las

distancias de los planetas al Sol venían

dadas por alguna regla matemática, por

ejemplo utilizando una regla de esferas

inscritas en el interior de poliedros

perfectos.

Por otra parte el astrónomo danés Tycho

Brahe (1546-1601) había conseguido

construir en Uraniborg (Dinamarca) el

mejor observatorio de su época. En 1599,

cuando perdió el apoyo del rey danés se

trasladó a Praga, donde continuó

observando hasta acumular un conjunto

de observaciones muy sistemáticas con la

precisión más alta posible permitida por la

observación sin telescopio.

En 1660 Tycho invitó a Kepler para

trabajar con él de asistente en Praga. Sin

embargo, la relación establecida por los

dos astrónomos fue un tanto extraña y

compleja. A pesar del interés de Kepler

por los datos observacionales de

precisión, Tycho nunca dejó que Kepler

accediese a los suyos. De hecho, Kepler

no pudo acceder a dichos datos hasta

que, muerto Tycho, la familia de este

último se los facilitó.

Con los datos de Tycho, Kepler realizó un

importante trabajo de síntesis que

permitió formular sus tres famosas leyes:

Primera Ley: Los planetas se

mueven describiendo órbitas

elípticas en torno al Sol, el cual

permanece situado en un foco de

las Elipses.

Segunda Ley: El radio vector

determinado por el Sol y el planeta

barre áreas iguales en tiempos

iguales.

Tercera Ley: El cuadrado de

tiempo en que tarda un planeta en

dar la vuelta alrededor del Sol

(período orbital) es directamente

proporcional al cubo de la

distancia media entre dicho

planeta y el Sol.

Kepler enunció las dos primeras leyes en

1609 y no alcanzó a enunciar la tercera

hasta 10 años más tarde. Aunque,

ciertamente, resultó bastante satisfactorio

encontrar tales reglas, relativamente

simples, como rectoras universales del

movimiento planetario, Kepler nunca

consiguió comprender el sentido último de

las leyes que enunció. Isaac Newton

(1643 - 1727) describiría su teoría de la

gravedad, y la ley de Gravitación

Universal en 1685 ofreciendo así una

explicación natural de las Leyes de Kepler

como consecuencia de la interacción

(atracción) gravitacional entre los

cuerpos.

TAMBIÉN INTERESANTE:

Según Kepler los movimientos

celestes no eran más que música

continúa y polifónica que debía ser

comprendida por la inteligencia en

lugar de por el oído. En su libro La

ANEXOS 53

armonía del mundo, asignaba

notas musicales al movimiento de

los planetas.

Tycho inventó el sextante, un arco

de un sexto de círculo, y con el

afán de mejorar la precisión de las

observaciones, construyó unos

cuadrantes enormes de unos tres

o cuatro metros de tamaño que

fueron instalados en su

observatorio de Uraniborg.

En 1569, mientras estudiaba en

Wittenberg, Tycho, que entonces

tenía 23 años, se disputo con otro

estudiante sobre los méritos que

cada uno de ellos tenía en

matemáticas, la disputa termino

con un duelo en el que Tycho

perdió parte de su nariz, por lo que

tuvo que llevar una prótesis

metálica el resto de su vida.

En 1572 Tycho observó una

supernova en la constelación de

Casiopea y en 1577 observó el

paso de un cometa. Tycho

demostró que ambos fenómenos

eran astronómicos, probando así

que, contrariamente a lo que se

pensaba hasta entonces, el cielo

no era inmutable.” (BACHILLER,

2009)

5. Indique sus impresiones

generales sobre esta lectura.

6. Explique con sus propios términos

qué entendió sobre las tres leyes

de Kepler.

7. Realice una consulta acerca de las

diferentes escalas de tiempo y

distancia que existen para hacer

medición a nivel cósmico.


DURANTE LA DISUCIÓN

DESARROLLADA EN CLASE

TERCERA SESIÓN

1. Dibuje la órbita del planeta

Mercurio teniendo en cuenta que

la excentricidad de su órbita es de

0,206. Siga las siguientes

instrucciones:

a. Si la excentricidad de la

elipse está dada por la

ecuación:

𝑒 = √1 −𝑏2

𝑎2

Donde a es el radio mayor

de la elipse y b es el radio menor.

b. Dibuje la elipse.

c. Trace un segmento de recta

que pase por uno de los

focos y dos puntos sobre la

elipse trazada.

d. Realice el mismo ejercicio del

punto anterior pero con otro

segmento.

e. Determine las áreas que se

forman con los segmentos de

recta trazados.

f. Consulte acerca del periodo

orbital de este planeta.

g. Realice el proceso anterior

para el planeta Venus

teniendo en cuenta que la

excentricidad de su órbita es

de 0,007.

INTRODUCCIÓN 55

Anexo 5: Proceso de evaluación etapa de conceptualización “Describiendo la naturaleza”



ÁREA DE FÍSICA

PROCESO DE EVALUACIÓN

“DESCRIBIENDO LA NATURALEZA”

ESTUDIANTE:______________________________________________________________

CURSO______________ FECHA: __________________

ASPECTOS GENERALES

Las actividades que se presentan a continuación tienen como fin evaluar la primer parte

de la actividad propuesta.

1. En una hoja milimetrada dibuje una elipse, utilizando alguna de las técnicas

utilizadas en clase. Para ello el radio menor debe tener unas dimensiones de 8

cm mientras que el radio mayor debe tener dimensiones de 10 cm.

2. Identifique las características que se describen a continuación en el dibujo.

3. Determine la ecuación reducida de la elipse que se dibujó, utilizando los datos de

las gráficas.

4. Responda el siguiente crucigrama:

56 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando

imágenes astronómicas y la tercera ley de Kepler con estudiantes de

educación media

Título de la tesis o trabajo de investigación

SECCIONES CÓNICAS

1 2

3

4

5

6

HORIZONTALES:

1

En una elipse, el nombre que recibe la

distancia que existe entre el foco y el

eje real

6

Sección cónica de curva abierta de dos

ramas obtenidas al cortar un cono recto

por un plano oblicuo al eje de simetría.

VERTICALES:

2

Una elipse es un lugar geométrico de los

puntos P(x,y) cuya suma de distancias a dos

puntos fijos F y F’ llamados Focos es

constante

3

Punto donde en el cual se ubica el Sol,

sabiendo que un planeta que gira a su

alrededor sigue una trayectoria elíptica.

4

Se define también como el lugar geométrico

de los puntos de un plano que equidistan de

una recta llamada directriz y un punto

exterior a ella llamado foco.

5

Lugar geométrico de los puntos del plano

cuya distancia a otro punto fijo, llamado

centro, es menor o igual que una cantidad

constante, llamada radio.

Marco Teórico 57

Anexo 6: Actividad Aplicación de la Tercera Ley de Kepler. “Midiendo un agujero negro”.

En este momento para poder utilizar las leyes de Kepler en la medición de la masa de un

agujero negro se propone una revisión de los conocimientos de las escalas de distancia y

tiempo en los estudiantes.



ÁREA DE FÍSICA

APLICACIÓN DE LAS LEYES DE KEPLER

ACTIVIDAD DE INICIO

ESTUDIANTE: ___________________________________________________________________

CURSO______________ FECHA: __________________

ASPECTOS GENERALES DE LA GUÍA

PROPÓSITO GENERAL:

Aplicar la tercera ley de Kepler en el cálculo de la masa del Sol como objeto central.

Reconocer las diferentes escalas que se utilizan para medir distancias y tiempo.

META:

Determina la masa de un objeto central como el Sol empleando sus conocimientos y los

datos reconocidos de los planetas internos del sistema solar.

INDICADOR DE DESEMPEÑO:

Utiliza la tercera ley de Kepler para calcular masas centrales, comparando sus resultados

con el trabajo realizado dependiendo de las escalas utilizadas.

TIEMPO DE TRABAJO:

Una hora previa a la sesión de trabajo en clase.


Guía de trabajo.

Fuentes de información como Internet o Libros de divulgación.

METODOLOGÍA:



educación media


Se plantea a los estudiantes esta guía con el fin de determinar el grado de apropiación de

cada uno de los conceptos abordados en cada etapa anterior. Una vez claros estos

elementos se procederán a calcular la masa del Sol proporcionando una serie de datos

necesarios para aplicar la tercera ley de Kepler.

1. Describa las características de las tres leyes de Kepler.

2. Organice una tabla donde se representen las diferentes escalas utilizadas

para medir distancia y tiempo.

3. Indique que entiende por periodo orbital.

4. Busque en la literatura cual es la masa del Sol.

ASPECTOS GENERALES

Kepler publicó sus leyes en 1609 y 1619. Unos años más tarde en 1687, Isaac Newton se

da cuenta que estas leyes son consecuencia de la ley de gravitación universal. La ley de

gravitación universal indica que la fuerza gravitacional actúa en función de la existencia de

dos cuerpos con masa para todo lo que está en el universo, no solo para el Sol y un planeta.

En otras palabras la gravitación explica la caída de una piedra en la Tierra; este hecho

también da sentido a la razón por la cual el movimiento de la Luna se mantiene en su órbita

alrededor de la Tierra y en consecuencia permite explicar la órbita que lleva la Tierra

alrededor del Sol. Esta ley explica claramente cómo actúa esta fuerza en la órbita que lleva

el Sol entorno al centro de la Vía Láctea, así como las orbitas que llevan las estrellas

cercanas a un agujero negro. Desde 1990 los astrónomos, están observando el rápido

movimiento de las estrellas en el centro de la Vía Láctea. ¿Podrían estas grandes

velocidades ser un indicio de la existencia de un agujero negro supermasivo en el centro

de la Vía Láctea?

LAS OBSERVACIONES

Es difícil realizar las observaciones de las estrellas cercanas al centro de la Vía Láctea.

Las estrellas que se encuentran en este lugar se encuentran opacadas por el polvo estelar

existente entre nosotros y el centro de la Vía Láctea, por lo que la pregunta sería ¿cómo

podríamos ver que hay en el centro de la galaxia? Afortunadamente la luz infrarroja tiene

una longitud de onda más grande que la longitud de onda del visible y menos oscura que

la del polvo, lo que nos permite observar las estrellas que tienen trayectorias entorno al

centro. Muchos astrónomos han tomado imágenes en longitudes de onda del infrarrojo del

centro de la Vía Láctea durante varios años, usando los telescopios de la ESO ubicados

en el desierto de Chile.

En imágenes tomadas de forma sucesiva, en diferentes momentos, muestran que las

estrellas cercanas al centro de la Vía Láctea, se mueven rápidamente. Una estrella en

particular, llamada S2, ha mostrado un movimiento que es más evidente a lo largo de los

años, lo que permite un estudio más sencillo de su movimiento, y en torno a que lo realiza.

Marco Teórico 59

EL CÁLCULO DE LA MASA

Antes de iniciar el cálculo es necesario dejar claros algunos aspectos, que tienen que ver

con las orbitas de las estrellas que se mueven alrededor del agujero negro. Observemos

la siguiente imagen:

Esta imagen representa las diferentes orbitas de los las estrellas cercanas al centro de la galaxia, si se

observa las orbitas no se encuentran todas en el mismo plano. Si queremos usar las leyes de Kepler para

determinar el valor de la masa de Sagitario A*, será necesario escoger una de las estrellas cuya orbita tenga

una plano de inclinación lo más cercano a cero.

Por esta razón la estrella que se selecciona es S2, que tiene un grado de inclinación con

el plano pequeño y su órbita elíptica es mucho más evidente. En la tabla 1 se observan los

datos que corresponden a las observaciones de esta estrella durante varios años. Aquí se

evidencia la variación de la posición con respecto al eje x y al eje y del sistema de

coordenadas. Con la posición de S2 que están en la lista presentada en la tabla 1, podemos

determinar la masa de Sagitario A* usando las leyes de Kepler. Las masas son

mencionadas en la tercera ley de Kepler, por lo tanto podemos usarla para determinar la

masa de Sagitario A*.



educación media


AÑO Coordenada x

Segundos de arco

Coordenada y Segundos de

arco

1992,226 0,104 ± 0,003 −0,166 ± 0,004

1994,321 0,097 ± 0,003 −0,189 ± 0,004

1995,531 0,087 ± 0,002 −0,192 ± 0,003

1996,256 0,075 ± 0,007 −0,197 ± 0,010

1996,428 0,077 ± 0,002 −0,193 ± 0,003

1997,543 0,052 ± 0,004 −0,183 ± 0,006

1998,365 0,036 ± 0,001 −0,167 ± 0,002

1999, 465 0,022 ± 0,004 −0,156 ± 0,006

2000,474 −0,000 ± 0,002 −0,103 ± 0,003

2000,523 −0,013 ± 0,003 −0,113 ± 0,004

2001,502 −0,026 ± 0,002 −0,068 ± 0,003

2002,252 −0,013 ± 0,005 0,003 ± 0,007

2002,334 −0,007 ± 0,003 0,016 ± 0,004

2002,408 0,009 ± 0,003 0,023 ± 0,005

2002,575 0,032 ± 0,002 0,016 ± 0,003

2002,650 0,037 ± 0,002 0,009 ± 0,003

2003,214 0,072 ± 0,001 −0,024 ± 0,002

2003,353 0077 ± 0,002 −0,036 ± 0,002

2003,454 0,081 ± 0,002 −0,036 ± 0,002 Ilustración 4-1. Coordenadas de ubicación de la estrella S2 según las observaciones realizadas desde 1992

hasta 2003. Se tienen en cuenta las coordenadas x e y de la estrella con respecto al origen donde se supone

que se encuentra el agujero negro. Para este ejercicio no se tiene en cuenta el valor de la inclinación de la

órbita con respecto al observador.

1. Como propuesta inicial, en una hoja milimetrada se propone reproducir el cuadro

que se presenta a continuación. El estudiante debe ubicar los puntos presentados

en la tabla anterior con el fin de determinar la elipse que describe la trayectoria de

S2, así mismo como el valor del semieje mayor de la elipse. Para determinarla dibuje

la elipse que mejor se ajuste a los puntos, no es necesario que todos los puntos

pasen por la elipse.

Marco Teórico 61

Ilustración 4-2 Sistema de coordenadas. En una hoja milimetrada debe reproducir este plano para ubicar los

puntos de la ilustración 1.

2. Para medir el semieje mayor, estas medidas se dan segundos de arco, tenga en

cuenta que estas medidas debe ajustarlas a la medida dada por la distancia

recorrida por la luz en un día. En consecuencia la distancia de 2 segundos de arco

corresponden a 82 días luz. Tenga en cuenta que en el origen de coordenadas se

considera que está ubicado el agujero negro Sagitario A*.

3. Para hacer un tratamiento estadístico de sus resultados compare su respuesta con las de

sus compañeros, lo que le permitirá estimar el valor promedio de dicha medida así como

su incertidumbre. Determine estos valores siguiendo las recomendaciones de su profesor.

4. Como ejercicio se puede verificar la segunda ley de Kepler, lo cual se puede proponer

como ejercicio de aplicación para la estrella S2 con la gráfica trazada en una hoja

milimetrada. Para ello siga los siguientes pasos:

a. Primero se traza una línea desde el origen, hasta uno de los puntos ubicado según

el año de observación. Luego se traza otra línea desde el origen hasta otro punto

donde se ubica 4 años después.



educación media


b. Una vez se traza esta porción de la elipse, se calcula el área usando el método

de conteo de cuadros dentro de ese espacio. Calcule otra porción siguiendo

el mismo procedimiento.

5. Determine el periodo en que tarda la estrella S2 en dar una vuelta alrededor del

agujero negro Sagitario A*, teniendo en cuenta la expresión:

𝑇 =∆𝑡

∆𝐴𝐴𝑒𝑙

Donde ∆𝑡 es el tiempo entre los dos puntos seleccionados, ∆𝐴 es la porción de área medida

en el punto anterior y 𝐴𝑒𝑙 es el área de la elipse que se calcula como 𝐴𝑒𝑙 = 𝜋𝑎𝑏. (𝑎 Semieje

mayor 𝑏 semieje menor).

2. Con el periodo determinado calcule la masa usando la expresión:

M =𝜋2

2𝐺𝑇2𝐴3

Tenga en cuenta que 𝐴 es el semieje mayor de la elipse que describe la estrella S2, T es el periodo

calculado en el punto 5 y G es la constante de gravitación universal. La masa de la estrella no se

considera, debido en comparación con la del agujero negro es mucho menor.

INTRODUCCIÓN 63

5. BIBLIOGRAFÍA

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